ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ С ... · 2018-09-10 ·...

Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова

(филиал) федерального государственного автономного образовательного

учреждения высшего образования Национальный исследовательский

технологический университет «МИСиС»

Кафедра высшей математики и информатики

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

ПО МАТЕМАТИКЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОНЛАЙН-

СЕРВИСА WOLFRAMALPHA. ЧАСТЬ 1

Одобрено Редакционно-издательским советом СТИ НИТУ МИСИС в качестве

учебного пособия для студентов технических направлений очной формы

обучения

Старый Оскол, 2017

2

ББК 22.1

УДК 51

Составители:

Богатов Егор Михайлович,

Мухин Равиль Рафкатович

Рецензент:

Ефимов Анатолий Константинович, к.ф.-м.н., доцент

Богатов Е.М., Мухин Р.Р.

Б73 Лабораторный практикум по математике с использованием онлайн-сервиса

WolframAlpha. Часть 1. Учебное пособие [Текст] / Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин - Старый

Оскол: СТИ НИТУ МИСИС, 2017.- 66 с.

Практикум предназначен для самостоятельной работы студентов

технических направлений, изучающих дисциплину «Математика» по программе

бакалавриата. Он включает в себя 9 лабораторных работ, охватывающих основы

линейной алгебры и аналитической геометрии, а также математический анализ

функций одной и нескольких переменных. Обучение использованию онлайн-сервиса

WolframAlpha осуществляется на примерах с помощью скриншотов.

Практикум может быть использован в качестве самоучителя для овладения

основам компьютерной математики.

© Богатов Е.М., Мухин Р.Р. 2017.

© Кафедра высшей математики и информатики СТИ НИТУ МИСИС, 2017.

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ............................................................................................................................... 4

Лабораторный практикум

Лабораторная работа № 1. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ............................................................................................. 7

Лабораторная работа № 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ................................................... 13

Лабораторная работа № 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ....... 18

Лабораторная работа № 4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ........................................ 24

Лабораторная работа № 5. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ

ФУНКЦИИ. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ ............................................... 32

Лабораторная работа № 6. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО

БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ. АСИМПТОТЫ ...................................................................... 36

Лабораторная работа № 7. ЭЛЕМЕНТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ .................................................................................................................. 40

Лабораторная работа № 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ,

НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ................................................... 46

Лабораторная работа № 9. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ......................................................... 52

Образец титульного листа............. ................................................................................... 60

Банк данных к лабораторному практикуму

Задание и варианты к лабораторной работе № 1 ........................................................... 61






Задание и варианты к лабораторной работе № 7 .......................................................... 63


Задание и варианты к лабораторной работе № 9 ............................................................64

Литература........................................................................................................................... 65

4

ВВЕДЕНИЕ

Федеральные образовательные стандарты нового поколения (ФГОС 3+) дали

возможность включить в образовательные программы технических направлений

лабораторный практикум по математике. При этом предполагалось, что изучение

компьютерной математики параллельно с традиционной даст студентам возможность

для овладения дополнительной компетенции – умения использовать компьютер, как

помощник в решении задач символьной и численной математики различного уровня

сложности. Для достижения данной цели необходимо осуществить выбор пакета

прикладных программ, предназначенных для решения задач из области высшей

математики. Оптимальный выбор пакета должен сочетать в себе следующие свойства:

1. невысокую цену продукта;

2. небольшой объём памяти на диске, требуемый для установки и работы

программы;

3. лёгкость в обращении и простота обучения.

Отметим, что имеющиеся в настоящее время математические пакеты (Mathcad, Maple,

MATLAB, MATHEMATICA и др.) совсем не удовлетворяют условиям 1-2 и лишь

частично удовлетворяют условию 3. В этой связи их использование оказалось

нецелесообразным и в качестве новых претендентов на роль «решателей»

математических задач выступили бесплатные интеллектуальные поисковые системы,

реализованные посредством облачных технологий в виде онлайн-сервисов (см. [1]-

[2]). Одним из наиболее известных и востребованных таких сервисов, разработанных

на основе вычислительного ядра системы MATHEMATICA, является

интеллектуальная база данных и знаний WolframAlpha

(http://www.wolframalpha.com/). Её интерфейс отличается простотой и удобством (см.

рис. 1.)

Рис.1 Интерфейс базы знаний WolframAlpha.

Для решения математической задачи с помощью WolframAlpha достаточно

набрать в поле ввода запрос (необходимые слова вводятся на английском языке) и

нажать клавишу Enter. Сервис сразу выдаст результат. В качестве примера можно

http://www18.wolframalpha.com/

http://www.wolframalpha.com/



5

рассмотреть решение квадратного уравнения ax2+bx+c=0 (см. рис. 2).

Отметим, что большим подспорьем при использовании WolframAlpha может

служить система помощи, доступная при щелчке мышью по слову Examples,

находящемуся под полем ввода справа (см. рис.1-2). Результатом должно явиться

появление галереи из нескольких десятков окон, первым из которых является окно

дисциплины Математика (см. рис.3).

Рис.2. Решение квадратного уравнения в общем виде.

Рис.3. Галерея окон с различными дисциплинами и их разделами (фрагмент).


6

Для дальнейшей работы со справкой наводим мышь на слово MATHEMATICS

и щёлкаем по нему. Появляется новое окно с разделами математики (Элементарная

математика, Алгебра, Дискретная математика и т.п.) и примеры возможных задач,

решаемых с помощью WolframAlpha (см. рис.4).

Рис.4. Примеры задач из разделов математики, решаемые с помощью WolframAlpha.

В заключение скажем несколько слов по поводу оформления лабораторных

работ (ЛР). Отчёт о работе должен содержать: титульный лист (образец см. на стр.

61), а также формулировку задания и его вариант; цель выполнения работы и все

скриншоты. Не следует включать в скриншоты постороннюю информацию, не

относящуюся непосредственно к решению конкретной задачи. Для защиты ЛР

необходимо подготовиться отвечать на теоретические вопросы по материалу из

соответствующего раздела дисциплины (требуемые знания перечислены ниже).



7

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Лабораторная работа № 1

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Цель работы: научиться производить численные и символьные вычисления над

матрицами и определителями с помощью онлайн-сервиса WolframAlpha.

Необходимые знания из раздела линейной алгебры:

- правила действий над матрицами;

- правила вычисления определителей;

- методы решения систем линейных уравнений определённых и неопределённых.

Ход выполнения работы:

1. Выполнение действий над матрицами в в WolframAlpha.

а) сложение и вычитание;

б) умножение на число;

в) перемножение;

г) транспонирование;

д) вычисление обратной матрицы;

е) нахождение миноров матрицы.

2. Вычисление определителей 3-го и 4-го порядков в WolframAlpha.

3. Решение определённых и неопределённых систем линейных уравнений в

WolframAlpha.

Пояснения к выполнению работы

Ввод матриц в WolframAlpha осуществляется с помощью фигурных скобок

построчно, элементы строки и строки разделяются запятыми. Например, матрица

𝐴 = (−1 1 23 0 6

) вводится следующим образом {{-1,1,2,},{3,0,6}}. Для умножения

матрицы на число используется обычная десятичная точка.

Пример 1.

Найти, чему равно 2A+3B, если A=(2 1 −10 1 4

); B=(−2 1 0−3 2 2

).

Решение. См. скриншот № 1.






8

Скриншот №1. Вычисление линейной комбинации матриц.

Замечание: как видим, попутно вычисляется размерность результата (2 строки на 3

столбца).

Пример 2. Вычислить произведение квадратных матриц (1 −3 23 −4 12 −5 3

) (2 5 61 2 51 3 2

)


Скриншот №2. Вычисление произведения квадратных матриц.

Пример 3. Транспонировать матрицу А=(1 23 4

).

Решение. См. скриншот № 3

9

Скриншот №3. Транспонирование матрицы

Пример 4. Убедиться, что матрица А= (2 5 61 2 51 3 2

) невырожденная. Найти обратную к

ней.

Решение.

Шаг первый – вычисление определителя матрицы А (скриншот № 4).

Скриншот №4. Вычисление определителя матрицы 3х3.

Шаг второй – вычисление обратной матрицы (скриншот № 5).

10

Скриншот №5. Вычисление невырожденной обратной матрицы

Пример 5. Найти все миноры матрицы А= (2 5 61 2 51 3 2

).

Решение. Матрицу, составленную из миноров матрицы А см. на скриншоте № 6.

Скриншот №6. Миноры матрицы А.

Пример 6. Получить формулу для определителя 3-го порядка.


11

Скриншот №7. Определитель 3-го порядка в символьном виде.

Пример 7. Решить систему: {3𝑥 − 5𝑦 = 13;2𝑥 + 7𝑦 = 81.

Решение См. скриншот № 8.

Пример 8. Решить систему {

7𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 15;5𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 15;

2𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 0.


Замечание. Поскольку система неопределённая (третье уравнение является

следствием дух первых), её решение будет представлять собой выражение двух

базисных переменных через свободную.

Скриншот №8. Решение определённой системы линейных уравнений

12

Скриншот №9. Решение неопределённой системы линейных уравнений.

13

Лабораторная работа № 2.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Цель работы: научиться производить численные и символьные вычисления над

векторами с помощью онлайн-сервиса WolframAlpha.

Необходимые знания из раздела векторной алгебры:

- правила действий над векторами в координатной форме:

сложение, вычитание, умножение на число;

нахождение модуля;

скалярное, векторное, смешанное произведение;

нахождение угла между векторами;

нахождение площади треугольника и его геометрических характеристик.


1. Нахождение расстояния между точками в WolframAlpha.

2. Выполнение действий над векторами в WolframAlpha.

а) сложение и вычитание;

б) умножение на число;

в) нахождение скалярного, векторного и смешанного произведения векторов.

г) нахождение угла между векторами.

3. Измерение пространственных треугольников в WolframAlpha.

Пример 1. Найти длину отрезка AB, где A(1,2,4), 𝐵(4,7,6).


Скриншот № 10. Расстояние между двумя точками.

Замечание. В данном примере координаты точек, между которыми ищется

расстояние, вводятся в специальном поле, появляющемся после ввода запроса





14

«distance between two points».

Пример 2. Найти вектор 𝑐̅ = �̅� + 2�̅� и его длину, если �̅�(1,2,3), �̅�(4,5,6).


Скриншот № 11. Линейная комбинация векторов. Вычисление модуля.

Пример 3. Даны векторы �̅�(1,2,3), �̅�(4,5,6). Найти их скалярное и векторное

произведение.

Решение. См. скриншоты № 12-13.

Скриншот № 12. Скалярное произведение векторов

Замечание. Результат скалярного произведения – число, векторного – вектор. Этот

вектор изображается WolframAlpha по умолчанию (см. скриншот № 13); его длина

также рассчитывается по умолчанию.

Пример 4. Найти смешанное произведение векторов �̅�(1,2,3), �̅�(4,5,6), 𝑐̅(7,8,8).



15

Скриншот № 13. Векторное произведение векторов

Скриншот № 14. Смешанное произведение векторов

16

Пример 5. Найти угол между векторами �̅�(1,2,3), �̅�(4,5,6).


Скриншот № 15. Угол между векторами

Замечание. Угол между векторами вычисляется через их скалярное произведение.

Пример 5. Изобразить треугольник с вершинами A(-1,-2,4), B(-4,-2,0), C(3,-2,1) и

найти его площадь, длины сторон, углы и периметр.


Замечание. Величины, характеризующие треугольник, выдаются WolframAlpha по

умолчанию (скриншот № 16).

Скриншот № 16. Параметры треугольника.


17

Скриншот № 17. Треугольник в трёхмерном пространстве

18


ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Цель работы: научиться решать простейшие задачи аналитической геометрии на

плоскости и в пространстве с помощью онлайн-сервиса WolframAlpha.

Необходимые знания из раздела аналитической геометрии:

- уравнение прямой на плоскости и в пространстве;

- уравнение плоскости;

- формула для нахождения расстояния между прямыми и между точками;

- формула для нахождения расстояния от точки до прямой и от точки до плоскости;

- формула для нахождения угла между прямыми на плоскостями.


1. Нахождение уравнений прямых и плоскостей в пространстве.

2. Нахождение уравнений прямых на плоскости.

3. Нахождение расстояния от точки до плоскости.

4. Нахождение расстояния от точки до прямой.

5. Нахождение точки пересечения прямых на плоскости.

Пример 1. Получить уравнение плоскости, проходящей через три точки A (1,2,0),

B(0,-1,3), C(-3,0,4) и координаты её нормального вектора.


Пример 2. Получить уравнение прямой, проходящей через точки A(1,2,3), B(4,5,6).


Замечание. Уравнение прямой в пространстве выдаётся в параметрическом виде.

Пример 3. Найти расстояние от точки A(1,-1,0), до плоскости –x-3y+4z+2=0.


Пример 4. Получить уравнение прямой на плоскости по заданному угловому

коэффициенту k=1/5 и свободному члену b=3 и построить прямую.


Пример 5. Получить уравнение прямой, проходящей через точки A(7,5), B(10,3) и

построить прямую.


Скриншот № 20. Уравнение прямой в пространстве.


19

Скриншот № 18. Условие задачи для уравнения плоскости.

Скриншот № 19. Уравнение плоскости и её нормальный вектор.

20

Скриншот № 21. Расстояние от точки до плоскости.

Скриншот № 22. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.

21

Скриншот № 23. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через 2 точки.

Пример 6. Найти расстояние от точки M(2,-3) до прямой 2x-3y+4=0 и построить на

координатной плоскости точку M и прямую.

Решение. См. скриншоты 24-25.

Пример 7. Найти точку пересечения прямых 2x-3y+2=0 и 4x-5y+3=0 и построить их

на координатной плоскости.

Решение. См. скриншот 26.

22

Скриншот № 24. Расстояние от точки до прямой. Числовое выражение.

Скриншот № 25. Расстояние от точки до прямой. Визуальное представление.

23

Скриншот № 26. Пересечение прямых на плоскости.

24


КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Цель работы: научиться производить построение и исследование кривых 2-го

порядка с помощью онлайн-сервиса WolframAlpha.

Необходимые знания из аналитической геометрии:

- уравнение эллипса; определение центра, фокусов, вершин, полуосей, директрис,

эксцентриситета, фокальных радиус-векторов;

- уравнение гиперболы; определение центра, фокусов, вершин, полуосей, директрис,

асимптот, эксцентриситета;

- уравнение параболы; определение оси, фокусы, директрисы, эксцентриситета.


1. Нахождение геометрических характеристик эллипса.

2. Нахождение геометрических характеристик гиперболы.

3. Нахождение геометрических характеристик параболы.

4. Нахождение точек пересечения кривых второго порядка.

5. Нахождение точек пересечения кривых второго порядка и прямых линий.

Пример 1.

Найти фокусы эллипса 𝑥2

4+

𝑦2

9= 1 , его вершины, полуоси, центр и построить его.



25

Скриншот № 27. Фокусы и изображение эллипса.

Пример 2. Найти фокусы гиперболы 𝑥2

16−

𝑦2

25= 1 , её вершины, полуоси, центр,

эксцентриситет, асимптоты и построить её.


Скриншот № 28. Определение геометрических характеристик эллипса.

26

Скриншот № 29. Определение геометрических характеристик гиперболы.

Пример 3. Найти координаты фокуса, вершины, уравнение директрисы параболы

y2=2x и построить её график.


Пример 4. Найти точки пересечения эллипса 𝑥2

40+

𝑦2

10= 1 и окружности x

2+y

2=25 и

построить эти линии.


Замечание. Оба скриншота – это результат одного запроса, включающего уравнения

данных линий.

Пример 5. Найти точки пересечения гиперболы 𝑥2

20−

𝑦2

10= 1 и окружности x

2+y

2=25 и

построить эти линии.


Замечание. Оба скриншота – это результат одного запроса, включающего уравнения

данных линий.

27

Скриншот № 30. Асимптоты гиперболы.

28

Скриншот № 31. Парабола

Скриншот № 32. Пересечение окружности и эллипса (координаты).

29

Скриншот № 33. Пересечение окружности и эллипса (график).

Скриншот № 34. Пересечение окружности и гиперболы (график).

Пример 6. Изобразить пересечение прямой 0,5x-y-3=0, окружности x2+y

2=25, эллипса

𝑥2

16+

𝑦2

9= 1 и гиперболы

𝑥2

20−

𝑦2

10= 1 на одном графике.


30

Скриншот № 35. Пересечение четырёх линий на одном графике.

Пример 7. Найти координаты фокуса, вершины, уравнение директрисы параболы

y2=3-4x и построить её график.

Решение. Осуществляем запрос, как и для решения примера 3. Результат на

скриншоте № 36.

Замечание. Аналогичным образом можно построить эллипс и гиперболу, центры

которых не совпадают с началом координат, а оси симметрии – с осями абсцисс и

ординат.

31

Скриншот № 36. Парабола со смещённым центром

32


ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ

Цель работы: научиться находить пределы последовательностей и функций с

помощью онлайн-сервиса WolframAlpha.

Необходимые знания из математического анализа:

- определение и свойства пределов последовательностей;

- определение и свойства пределов функций;

- определение односторонних пределов функций;

- виды неопределённостей и способы их раскрытия.


1. Нахождение предела последовательности вида «многочлен делить на

многочлен».

2. Нахождение пределов последовательности с иррациональностями.

3. Нахождение пределов последовательности с экспоненциальными

нелинейностями.

4. Нахождение предела функции в точке её непрерывности.

5. Нахождение предела дробно-рациональной функции в точке её разрыва.

6. Нахождение одностороннего предела функции.

Пример 1.

Найти предел последовательности (𝑛+2)3−(𝑛−2)3

95𝑛3+39𝑛 при n .


Скриншот № 37. Предел последовательности №1.

Пример 2. Найти предел последовательности √𝑛4+3𝑛+1

𝑛−1 при n .



33


Пример 3. Найти предел последовательности √𝑛 + 2 − √𝑛 при n .



Пример 4. Найти предел последовательности 2𝑛+3𝑛

2𝑛−3𝑛 при n .



Пример 5. Найти предел функции y=𝑥2−2

3𝑥2−5𝑥+1 при x 0 и указать на графике

предельную точку.


34

Скриншот № 41. Предел функции №1.

Пример 6. Найти предел функции y=𝑥

|𝑥+3| при x -3 и указать на графике предельную

точку.


Скриншот № 42. Предел функции № 2.

Пример 7. Убедиться, что функция y=1

2−𝑥−

3

8−𝑥3 имеет разные односторонние

пределы при 𝑥 → 2 ± 0.


35

Скриншот № 43. Предел функции № 3.

36


СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ

ФУНКЦИЙ. АСИМПТОТЫ

Цель работы: научиться находить асимптоты функций и сравнивать бесконечно

малые и бесконечно большие с помощью онлайн-сервиса WolframAlpha.


- определение и сравнение бесконечно малых функций;

- определение и сравнение бесконечно больших функций;

- первый и второй замечательный предел;

- определение и классификация точек разрыва функции;

- определение горизонтальных и вертикальных асимптот функции.


1. Нахождение предела функции с использованием первого или второго

замечательного предела и следствий из них;

2. Проверка наличия разрыва функции в заданной точке.

3. Определение порядка малости (роста) одной функции относительно другой при

𝑥 → 𝑥0.

4. Определение горизонтальных и вертикальных асимптот функций.

Пример 1. Найти предел функции y=(𝑥+3

𝑥−2)

2𝑥+1

при x (основа – второй

замечательный предел).


Скриншот № 44. Предел функции на базе второго замечательного предела.

Пример 2. Найти предел функции y=𝑥(𝑙𝑛(2 + 𝑥) − 𝑙𝑛𝑥) при x (основа –

следствие из второго замечательного предела).



37

Скриншот № 45. Предел функции на базе следствия из второго замечательного

предела.

Пример 3. Убедиться, что функция y= (2 + 𝑥)1/𝑥имеет разрыв в точке x=0.


Замечание. Поскольку правосторонний предел функции при x 0 бесконечен, данная

функция имеет разрыв 2-го рода.

Скриншот № 46. Пример разрыва функции.

Пример 4. Определить порядок малости функции y(x)=3𝑥3/2

1−𝑥 относительно функции

g(x)=x при x 0.


Замечание. Порядок малости предположительно совпадает со степенью x в числителе

при x 0.

Ответ: =1,5.

Скриншот № 47. Определение порядка малости функции.

38

Пример 5. Определить порядок роста функции x3+150x+10 относительно функции

x при x .


Замечание. Порядок роста предположительно совпадает со степенью x в числителе

при x .

Ответ: =3.

Скриншот № 48. Определение порядка роста функции.

Пример 6. Убедиться в том, что функция y=arctg x имеет две горизонтальных

асимптоты.


Скриншот № 49. Левая горизонтальная асимптота.

Скриншот № 50. Правая горизонтальная асимптота.

Пример 7. Убедиться в том, что функция y=71

2−𝑥 имеет левостороннюю вертикальную

асимптоту. Построить график функции вблизи точки x=2.

39


Скриншот № 51. Левосторонняя вертикальная асимптота.

40


ЭЛЕМЕНТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Цель работы: научиться находить проводить элементы исследования функций с

помощью онлайн-сервиса WolframAlpha.


- определение области определения, области значений функции;

- определение чётности и нечётности функции;

- определение периодичности функции;

- определение производной функций и правил дифференцирования;

- определение точек экстремума функции;

- определение точек перегиба функции;

- определение касательной к функции и её уравнения.


1. Нахождение области определения и области значений функции одной

переменной.

2. Проверка функции на чётность и нечётность.

3. Проверка функции на периодичность.

4. Нахождение производной функции одной переменной.

5. Нахождение точек экстремума функции одной переменной.

6. Нахождение точек перегиба функции одной переменной.

7. Нахождение касательной к функции и её уравнения.

Скриншот № 52. Область определения функции


41

Пример 1. Найти область определения и множество значений функции

y=√sin 𝑥 − 0.5.


Замечание. Область значений в данном случае определяется, исходя из графика

функции (см. скриншот 53). Ответ: E(y)=[0,0.7].

Скриншот № 53. Множество значений функции.

Пример 2. Проверить функцию y=√sin 𝑥 − 0.5 на чётность.


Ответ: Данная функция не является чётной или нечётной.

42

Скриншот № 54. Проверка функции на чётность (нечётность).

Пример 3. Проверить функцию y=(sin x -0.5)3 на периодичность и показать период

на графике.


Скриншот № 55. Проверка функции на периодичность.

43

Пример 4. Найти производную сложной функции y=(1+3x2)

3/4.


Скриншот № 56. Нахождение производной функции.

Пример 5. Найти точки экстремума функции y=(sin x -0.5)3 и указать их на графике.


44

Скриншот № 57. Нахождение точек экстремума функции.

Пример 6. Найти точки перегиба функции y=(sin x -0.5)3 и указать их на графике.


Пример 7. Получить уравнение касательной к функции y=(sin x -0.5)3 в точке x= и

изобразить касательную на графике.


Скриншот № 58. Нахождение точек перегиба функции.

45

Скриншот № 59. Уравнение и график касательной к заданной функции.

46


ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ И

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ

Цель работы: научиться проводить простейший анализ функций нескольких

переменных с помощью онлайн-сервиса WolframAlpha.


- определение области определения, функций нескольких переменных;

- определение линий уровня функций нескольких переменных;

- определение предела и непрерывности функций нескольких переменных;

- определение частных производных функций нескольких переменных;

- определение и вид уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности;

- определение и вид дифференциала функций нескольких переменных.


1. Нахождение области определения функции нескольких переменных.

2. Изображение линий уровня функции нескольких переменных.

3. Нахождение предела функции нескольких переменных.

4. Нахождение дифференциала и частных производных функций нескольких

переменных.

5. Нахождение касательной плоскости и нормали к поверхности вида z=f(x,y).

Пример 1. Найти область определения функции z=ln (-x-y) и изобразить её на

графике.



47

Скриншот № 60. Область определения функции двух переменных.

Пример 2. Изобразить линии уровня функции и определить название поверхности

z=xy.


48

Скриншот № 61. Линии уровня поверхности.

Пример 3. Найти предел функции lim𝑥→∞𝑦→∞

(𝑥2 + 𝑦2)𝑠𝑖𝑛 (1

𝑥2+𝑦2).


Скриншот № 62. Предел функции двух переменных. Первый замечательный предел

Пример 4. Найти предел функции lim𝑥→0𝑦→0

(𝑥2 + 𝑦2 + 1)1

𝑥2+𝑦2.


49

Скриншот № 63. Предел функции двух переменных. Второй замечательный предел.

Пример 5. Найти частные производные функции z=ln (x2-y

2) по переменным x,y.


Скриншот № 64. Частная производная функции по переменной x.

Скриншот № 65. Частная производная функции по переменной y.

Пример 6. Найти частные производные и дифференциал функции трёх переменных

u=xyz.


50

Скриншот № 66. Дифференциал функции трёх переменных.

Пример 7. Получить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z=cosxsiny в точке 𝑀 (𝜋

4,

𝜋

4).


51

Скриншот № 67. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

52


ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ

Цель работы: научиться находить частные производные старших порядков и решать

экстремальные задачи для функций нескольких переменных с помощью онлайн-

сервиса WolframAlpha.


- определение, обозначение и правила вычисления частных производных старших

порядков функций нескольких переменных;

- определение и правила нахождения экстремума (условного экстремума) функций

нескольких переменных;

- определение и правила нахождения наибольшего (наименьшего) значения функций

нескольких переменных в заданной области;


1. Нахождение частных производных старших порядков функции нескольких

переменных.

2. Нахождение экстремума функций нескольких переменных.

3. Нахождение условного экстремума функций нескольких переменных.

4. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функций двух и трёх

переменных в заданной области.

Пример 1. Найти производные второго порядка от функции двух переменных

z=𝑥3 + 3𝑥2𝑦 − 𝑦3.


Скриншот № 68. Нахождение смешанной производной 𝑧𝑦𝑥′′ .


53

Скриншот № 69. Нахождение частной производной 𝑧𝑥𝑥

′′ .

Скриншот № 70. Нахождение частной производной 𝑧𝑦𝑦

′′ .

Пример 2. Найти производные второго порядка от функции трёх переменных u=exyz

–

𝑢𝑦𝑦′′ , 𝑢𝑥𝑥

′′ , 𝑢𝑧𝑧′′ , 𝑢𝑧𝑦

′′ , 𝑢𝑥𝑦′′ .


Скриншот № 71. Нахождение частной производной 𝑢𝑦𝑦

′′ .

54

Скриншот № 72. Нахождение частной производной 𝑢𝑥𝑥′′ .

Скриншот № 73. Нахождение частной производной 𝑢𝑧𝑧

′′ .

Скриншот № 74. Нахождение частной производной 𝑢𝑧𝑦

′′ .

55

Скриншот № 75. Нахождение частной производной 𝑢𝑥𝑦

′′ .

Пример 3. Найти глобальный экстремум функции двух переменных z=x2+xy+y

2-3x-6y

и изобразить его на графике.


Скриншот № 76. Нахождение глобального экстремума функции z=f(x,y).

Пример 4. Найти локальный экстремум функции двух переменных z=3x2 –x

3+3y

2+4y

и изобразить его на графике.

56


Пример 5. Найти глобальный экстремум функции трёх переменных u=x2+y

2+z

2-

4x+6y-2z.


Пример 6. Найти условный локальный экстремум функции двух переменных

z=x2 +y

2-xy+x+y-4 при условии 3+x+y=0 и изобразить его на графике.


Скриншот № 77. Нахождение локального экстремума функции z=f(x,y).

57

Скриншот № 78. Нахождение глобального экстремума функции u=u(x,y,z).

Скриншот № 79. Нахождение условного локального экстремума функции z=f(x,y).

58

Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=x2 +y

2-xy-x-y в

области x0, y0, x+y3 и изобразить на графике.


Скриншот № 80. Наименьшее значение функции в области.

59

Скриншот № 81. Наибольшее значение функции в области.

60

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СТАРООСКОЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМ. А.А. УГАРОВА

(филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения

высшего образования

«Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»»

Кафедра высшей математики и информатики

МАТЕМАТИКА Отчет по лабораторной работе № __

«Название работы»

Выполнил:

студент гр. ИТ-16Д

______________________

Проверил:

______________________

Старый Оскол, 201_

61

Банк данных к лабораторному практикуму

Лабораторная работа №1

Задача 1. Вычислить линейную комбинацию матриц 4A-5B, если

𝐴 = (𝑛 2 34 0 −𝑛5 𝑛 6

), 𝐵 = (0 𝑛 7

−𝑛 5 9−1 8 𝑛

); n- номер варианта.

Задача 2. Перемножить квадратные матрицы А и В (данные взять из задачи 1).

Задача 3. Перемножить прямоугольные матрицы С и D.

𝐶 = (2𝑛 3−4 05 𝑛

), D=(0 −5 𝑛7 9 −𝑛

), n- номер варианта.

Задача 4. Найти матрицу, транспонированную к матрице D (данные взять из задачи

3).

Задача 5. Убедиться, что матрицы А и В невырожденные (данные взять из задачи 1).

Найти обратные к ним, если они существуют.

Задача 6. Вычислить определитель 4-го порядка

|

−1 −𝑛 2 32 4 6 75 9 8 𝑛0 1 −6 −3

|, n- номер варианта.

Задача 7. Найти решение системы линейных уравнений {

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑛𝑧 = 15𝑥 − 𝑛𝑦 + 2𝑧 = 2𝑛𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 3

, n- номер

варианта.


Задача 1. Найти длину отрезка AB, где A(1,2, 𝑛), 𝐵(4, 𝑛, 6); n- номер

варианта.

Задача 2. Вычислить линейную комбинацию векторов �̅�(1,2, 𝑛), �̅�(4, 𝑛, 6):

найти вектор 𝑐̅ = �̅� − 3�̅� и его длину. n- номер варианта.

Задача 3. Найти скалярное и векторное произведение векторов �̅�(1,2, 𝑛),

�̅�(4, 𝑛, 6), n- номер варианта.

Задача 4. Найти смешанное произведение векторов �̅�(1,2, 𝑛), �̅�(4, 𝑛, 6),

𝑐̅(7,8, 𝑛). n- номер варианта.

Задача 5. Найти угол между векторами �̅�(1,2, 𝑛), �̅�(4, 𝑛, 6), n- номер варианта.

Задача 6. Изобразить треугольник с вершинами A(-1,n,4), B(4,-2,n), C(n,2,1) и

найти его площадь, длины сторон, углы и периметр. n- номер варианта.

62


Задача 1. Получить уравнение плоскости, проходящей через три точки A

(1,2,n), B(n,1,3), C(3,n,4) и координаты её нормального вектора. n- номер варианта.

Задача 2. Получить параметрическое уравнение прямой, проходящей через

точки A(1,2,n), B(4,n,6). n- номер варианта.

Задача 3. Найти расстояние от точки A(1,-1,n), до плоскости nx-3y+4z+2=0. n-

номер варианта.

Задача 4. Получить уравнение прямой на плоскости по заданному угловому

коэффициенту k=n/(n+1) и свободному члену b=10/n и построить прямую. n- номер

варианта.

Задача 5. Получить уравнение прямой, проходящей через точки A(1,n), B(n,3),

n- номер варианта.

Задача 6. Найти расстояние от точки A(1,n) до прямой nx-3y+2=0 и построить

прямую. n- номер варианта.

Задача 7. Найти точку пересечения прямых nx-5y+2=0 и 4x-ny+12=0 и

построить прямые. n- номер варианта.

Лабораторная работа №4.

Задача 1. Найти фокусы эллипса 𝑥2

𝑛2+

𝑦2

(𝑛+2)2= 1 , его вершины, полуоси, центр

и построить его. n- номер варианта.

Задача 2. Найти фокусы гиперболы 𝑥2

𝑛2−

𝑦2

(𝑛+3)2= 1 , её вершины, полуоси,

центр, эксцентриситет, асимптоты и построить её. n- номер варианта.

Задача 3. Найти координаты фокуса, вершины, уравнение директрисы

параболы y2=nx и построить её график. n- номер варианта.

Задача 4. Найти точки пересечения эллипса 𝑥2

𝑛2+

𝑦2

(𝑛+2)2= 1 и окружности

x2+y

2=(3+n)

2 и построить эти линии. n- номер варианта.

Задача 5. Найти точки пересечения гиперболы 𝑥2

𝑛2−

𝑦2

(𝑛+3)2= 1 и окружности

x2+y

2=(4+n)

2 и построить эти линии. n- номер варианта.

Задача 6. Изобразить пересечение прямой nx-2ny-3=0, окружности

x2+y

2=(n+5)

2, эллипса

𝑥2

3𝑛2+

𝑦2

(𝑛+2)2= 1 и гиперболы

𝑥2

𝑛2−

𝑦2

2(𝑛+3)2= 1 на одном

графике.

Задача 7. Найти координаты фокуса, вершины, уравнение директрисы

параболы y2=n-(n+1)x, эллипса nx

2+2x+(n+5)y

2+4y=100, гиперболы nx

2+2x-(n+5)y

2-

4y=10 и построить их графики. n- номер варианта.


Задача 1. Найти предел последовательности (𝑛+𝑁)3−(𝑛−(2+𝑁))3

9𝑛3+3𝑛 при N. N - номер

варианта.

Задача 2. Найти предел последовательности √𝑛4+(3+𝑁)𝑛+1

𝑁𝑛2−1 при n . N - номер

варианта.

Задача 3. Найти предел последовательности √𝑛 + 2𝑁 − √𝑛 − 𝑁 при n . N - номер

63

варианта.

Задача 4. Найти предел последовательности 1+(2+𝑁)𝑛+(4𝑁−3)𝑛

(2+𝑁)𝑛−(4𝑁−3)𝑛 при n . N - номер

варианта.

Задача 5. Найти предел функции y=(𝑁+1)𝑥2−𝑁

3𝑥2−(5+𝑁)𝑥+1 при x 0 и указать на графике

предельную точку. N - номер варианта.

Задача 6. Найти предел функции y=𝑁𝑥

|𝑥+𝑁| при x - N и указать на графике

предельную точку. N - номер варианта.

Задача 7. Найти односторонние пределы функции y=|sin 𝑁𝑥|

𝑥 при x 0. N - номер

варианта.


Задача 1. Найти предел функции y=(𝑥+𝑁

𝑥−2𝑁)

2𝑥+𝑁

при x . N - номер варианта.

Задача 2. Найти предел функции y=𝑥(𝑙𝑛(𝑁 + 𝑥) − ln (𝑁𝑥)) при x . N - номер

варианта.

Задача 3. Убедиться, что функция y= (𝑁 + 𝑥)1/2𝑥имеет разрыв в точке x=0. N - номер

варианта.

Задача 4. Определить порядок малости функции y(x)=𝑥𝑁+3

𝑁−𝑥 относительно функции

g(x)=Nx при x 0. N - номер варианта.

Задача 5. Определить порядок роста функции x3+N

+10Nx+3N относительно функции

x при x . N - номер варианта.

Задача 6. Убедиться в том, что функция y=N-arctg(Nx) имеет две горизонтальных

асимптоты. N - номер варианта.

Задача 7. Убедиться в том, что функция y=(𝑁 + 2)3

𝑁−𝑥 имеет одностороннюю

вертикальную асимптоту. Построить график функции вблизи точки x=N. N - номер

варианта.


Задача 1. Найти область определения и множество значений функции

y=√𝑁 sin 𝑥 − 0.5𝑁. N - номер варианта.

Задача 2. Проверить функцию y=√𝑁 sin 𝑥 − 0.5𝑁 на чётность. N - номер варианта.

Задача 3. Проверить функцию y=(Nsin x -0.5N)3 на периодичность и показать период

на графике. N - номер варианта.

Задача 4. Найти производную сложной функции y=(1+Nx2)3/(4N)

. N - номер варианта.

Задача 5. Найти точки экстремума функции y=(Nsin x -0.5N)3 и указать их на

графике. N - номер варианта.

Задача 6. Найти точки перегиба функции y=(Ncos x -0.5N)3 и указать их на графике.

N - номер варианта.

Задача 7. Получить уравнение касательной к функции y=(Ncos x -0.5N)3 в точке x=

и изобразить касательную на графике. N - номер варианта.

64


Задача 1. Найти область определения функции z=ln (-Nx-y) и изобразить её на

графике. N - номер варианта.

Задача 2. Изобразить линии уровня функции и определить название поверхности

z=x/Ny. N - номер варианта.

Задача 3. Найти предел функции lim𝑥→𝑁𝑦→∞

(𝑥2 + 𝑦2)𝑠𝑖𝑛 (𝑁+1

𝑥2+𝑦2). N - номер варианта.

Задача 4. Найти предел функции lim𝑥→0𝑦→0

(𝑥2 + 𝑁𝑦2 + 1)𝑁+2

𝑁𝑥2+𝑦2. N - номер варианта.

Задача 5. Найти частные производные функции z=N+ln (Nx2-y

2) по переменным x,y. N

- номер варианта.

Задача 6. Найти частные производные и дифференциал функции трёх переменных

u=(Nxy)z/N

. N - номер варианта.

Задача 7. Получить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

z=cos(Nx)sin(y/N)-1 в точке 𝑀 (𝜋

4𝑁,

𝜋𝑁

4). N - номер варианта.


Задача 1. Найти производные второго порядка от функции двух переменных

z=𝑥3𝑁 +3𝑥2𝑦

𝑁− 𝑁𝑦3. N - номер варианта.

Задача 2. Найти производные второго порядка от функции трёх переменных u=𝑒𝑥𝑦

𝑁𝑧–

Nz:

𝑢𝑦𝑦′′ , 𝑢𝑥𝑥

′′ , 𝑢𝑧𝑧′′ , 𝑢𝑧𝑦

′′ , 𝑢𝑥𝑦′′ , 𝑢𝑥𝑧

′′ . N - номер варианта.

Задача 3. Найти глобальный экстремум функции двух переменных

z=x2+Nxy+y

2-(3+N)x-(6-N)y и изобразить его на графике. N - номер варианта.

Задача 4. Найти локальный экстремум функции двух переменных

z=Nx2 –x

3+(3+N)y

2+(4-N)y и изобразить его на графике. N - номер варианта.

Задача 5. Найти глобальный экстремум функции трёх переменных u=Nx2+y

2+z

2-

(4+N)x+6Ny-(2+N)z. N - номер варианта.

Задача 6. Найти условный локальный экстремум функции двух переменных

z=x2 +y

2-xy+Nx+y-4N при условии N+x

2+y=0 и изобразить его на графике. N - номер

варианта.

Задача 7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=x2 +y

2-xy-Nx-y+N в

области x0, y0, x+yN и изобразить на графике. N - номер варианта.

65

Список литературы

1. Нигма. РФ – Интеллектуальная поисковая система [Интернет-ресурс]

URL: http://www.nigma.ru/index.php?t=math

2. Wolfram|Alpha по-русски Математика, статистика, анализ данных (блог)

[Интернет-ресурс] URL: http://www.wolframalpha-ru.com/

3. Синтаксис WolframAlpha (глава в вики-учебнике) [Интернет-ресурс] URL:

http://ru.wikibooks.org/wiki/Синтаксис_Wolfram_Alpha.

4. WolframAlpha – Википедия [Интернет-ресурс] URL:

http://ru.wikipedia.org/wiki/WolframAlpha.

5. WOLFRAM|ALPHA: Как посчитать вселенную на уроке или математика

всего [Интернет-ресурс] URL: http://www.edutainme.ru/post/wolfram-alpha/

6. А.В. Ефимов Б.П. Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Ч.

1 Линейная алгебра и основы математического анализа. [Текст] — М.,

Наука, 1993.

http://www.wolframalpha-ru.com/



http://ru.wikibooks.org/wiki/Синтаксис_Wolfram_Alpha




http://ru.wikipedia.org/wiki/WolframAlpha




66

Учебное издание

Егор Михайлович Богатов

Равиль Рафкатович Мухин

Лабораторный практикум по математике с использованием

онлайн-сервиса WolframAlpha. Часть 1.

Материалы для самостоятельной работы

учебное пособие

Технический редактор: Н.И. Иванова

Компьютерная вёрстка: Е.М. Богатов

Подписано к печати___________2017 Бумага для множительной техники

Формат__________Усл. печ. лист. ___ Тираж ____ экз. Заказ_________

Отпечатано с авторского оригинала в отделе оперативной печати

Старооскольского технологического института.

Старый Оскол, микрорайон Макаренко, 40.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ С ... · 2018-09-10 ·...

Documents