ТОЭ Часть №1. Лк. №6.

Тема: законы в комплексной форме,

мощность и векторные диаграммы

ЗАКОН ОМАЗАКОН ОМАВ КОМПЛЕКСНОЙВ КОМПЛЕКСНОЙ

ФОРМЕ

Закон Ома в комплексной формеЗакон Ома в комплексной формеоснован на символическом методеи справедлив для линейных цепейс гармоническими напряжениямис гармоническими напряжениями

и токамиЭтот закон следует из

ф йфизической взаимосвязимежду током и напряжениеммежду током и напряжениемотдельных элементов цепи

RIРезистивный

элемент RI

URU

Комплекс напряжения IRU R ⋅=напряжения R

jВектора I

+j

напряжения и тока

RUI

+1

+1

На комплексной плоскостивектор напряжения

резистивного элементарезистивного элементасовпадает по направлениюд рс вектором своего тока

I LjXИндуктивныйэлемент

IU

LjX

LU

Комплекс напряжения IjXILjU LL =ω=

+jВектора напряжения и

+j

ILUнапряжения и тока

I

+1

На комплексной плоскостивектор напряжения

индуктивного элементаиндуктивного элементаопережает по направлениюр р

вектор своего тока90на 90 градусов

I jXЕмкостныйэлемент

I CjX−

UCU

Комплекс напряжения IjXI

CjU CC −=−=р Cω

+jВектора

I+j

напряжения и тока CU

+1

На комплексной плоскостивектор напряжения емкостного элементаемкостного элемента

отстает по направлениюрот вектора своего тока

90на 90 градусов

Где:Где:

LX LXL ω= - индуктивное сопротивление (Ом) сопротивление (Ом)

XC = 1 - емкостноеCXC ω= емкостноесопротивление (Ом)

Закон Ома в комплексной формеЗакон Ома в комплексной формедля отдельных элементов аналогичензакону Ома для резистивного элемента

на постоянном токена постоянном токе.Для символического методаД д

необходимо составить комплекснуюсхему замещения с комплекснымисопротивлениями и с комплексамисопротивлениями и с комплексамидействующих значений токов и

напряжений

Например, комплексная схемаНапример, комплексная схема

замещения цепизамещения цепи::

jXLjX

RCjX−

ECj

II

C )jX(RjXZ −+

C

CL jXR

)j(jXZ−

+=CjXR

EIZEI =Z

Где:ϕ⋅=+= j

ЭЭ eZjXRZ– эквивалентное комплексноесопротивление цепи (Ом)сопротивление цепи (Ом)

22ЭЭ XRZ += ЭЭ XRZ +=

- модуль сопротивления (Ом)ЭRXarctg=ϕЭR

gϕ

-аргумент (фаза)р у (ф )сопротивления (Град)

ЗАКОНЫ КИРХГОФАЗАКОНЫ КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙВ КОМПЛЕКСНОЙ

ФОРМЕ

Сложению и вычитаниюгармонических токов и напряжений

с одинаковой угловой частотой ωс одинаковой угловой частотойв законах Кирхгофа

ωр ф

соответствует сложение и вычитаниеих комплексных величин

1 Й1. ПЕРВЫЙЗАКОН КИРХГОФАЗАКОН КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ

ФОРМЕ

Для любого узла комплексной схемызамещения цепи алгебраическая

сумма комплексных значений токовсумма комплексных значений токовравна нулюр у

=± 0Ik =± 0Ik

ННапример:

1Iа

1

3I2I 3I2

узел а:

0III 321 =++−

2 О ОЙ2. ВТОРОЙЗАКОН КИРХГОФАЗАКОН КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ

ФОРМЕ

Для любого контура комплексной схемызамещения цепи алгебраическаясумма комплексов напряженийсумма комплексов напряженийна пассивных элементах равнар

алгебраической сумме комплексовЭДС йЭДС и напряжений на

источниках токаисточниках тока

∑ ∑ ∑ ∑±+±+±=± Jk UUEU∑ ∑ ∑ ∑±+±+±± pqJkn UUEU

ННапример:

+R

RUE RII

+

U LILjX

LUJ +

LjX

CjX−

UU IJ +

+

Cj

CUJU CI+

UUEUUU JCLR +−=+− UUEUUU JCLR ++

илиили

UUEI)jX(IjXIR UUEI)jX(IjXIR JCCLLR +−=−+−

3 О ЗА О О3. МЕТОД ЗАКОНОВКИРХГОФАКИРХГОФА

В КОМПЛЕКСНОЙФОРМЕ

Решая комплексные алгебраические уравнения, составленныепо законам Кирхгофа впо законам Кирхгофа в

комплексной форме, можноф р ,определить комплексы токов и

й йнапряжений в комплекснойсхеме замещения цеписхеме замещения цепи

ННапример:

jXR aLjXR J

+1 к 2

2I1 к. 2 к.E JU JU

CjX−

в1I

2 32n y = 3nв =

11nn y1 =−= y1

2nnn 1в2 =−=2

0JII:a 21 =−+− 2

EI)jX(I)jXR(:к1 ++ EI)jX(I)jXR(:к1 2C1L =⋅−+⋅+

J2C UI)jX(:к2 −=⋅−−

1− 1 0 1I J

0)jXR( + )jX( I E=×0)jXR( L+ )jX( C− 2I E=×

1 00 CjX JUCj

ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

ИМЕЮТ ТАКОЙ ЖЕ ВИД КАКИМЕЮТ ТАКОЙ ЖЕ ВИД КАКИ ДЛЯ ЦЕПЕЙ С ПОСТОЯННЫМИД Ц

ТОКАМИ, ПОЭТОМУ К КОМПЛЕКСНЫМ СХЕМАМКОМПЛЕКСНЫМ СХЕМАМ

ПРИМЕНИМЫ ВСЕ ИЗВЕСТНЫЕПРИМЕНИМЫ ВСЕ ИЗВЕСТНЫЕМЕТОДЫ РАСЧЕТА,

ЙНО В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

а i(t)

u(t)+

( )

в

)B()tsin(U2)t(u α+ω= )B(),tsin(U2)t(u α+ω=

)()i ()(i )A(),tsin(I2)t(i β+ω=

=⋅= )()()( titutP )()()( titutP)Вт(),t2cos(SP β+α+ω−=

)Вт(,cosUIP ϕ= )(,ϕ- средняя или активная

мощность

)ВA(,UIS =-амплитуда гармоническойсоставляющей мощностисоставляющей мощностиили полная мощностьщ

)(β )град(,β−α=ϕ ф - угол сдвига фаз между

напряжением и током

P

напряжением и током

PS.е.т,1SPсоs ≥≤=ϕ ,S

ϕ

фф - коэффициент мощности

Вт P(t)

S+P

S

P

tSP

tS-P

Когда

0)t(P >Когда

0)t(P >энергия поступает в двухполюсник- энергия поступает в двухполюсник

0)t(P < 0)t(P <энергия поступает из - энергия поступает из

двухполюсника во внешнюю цепьу

Пусть задано:

+ )В(,UeU jα=Iу да

+

ZU

)В(,UeUZU

)A(,IeI jβ= )A(,IeIв

)Ом(jXRZeZ j +== ϕ )Ом(,jXRZeZ +==

β−∗ jIIПри находимβ= jIeIПри находим

)(, ВАjQPIUS +==∗

)(,jQ

- комплекс полной мощностио е с о о ощ ос

β∗ jβ−= jIeI -сопряженное

значение токагде

значение тока

)вар(,sinUIQ ϕ= )вар(,sinUIQ ϕ

- реактивная мощностьр щ

Т.к. IZU = , то

∗∗)( IIZIUS ===∗∗

)(

)(222 ВАXjIRIIZ +== )(, ВАXjIRIIZ +==

Таким образом Таким образом активная мощность:

)Вт(RIUIP 2 )Вт(,RIcosUIP 2=ϕ=

- это мощность тепловой энергии

Реактивная мощность:

)вар(XIsinUIQ 2ϕ )вар(,XIsinUIQ == ϕ

- пропорциональнамаксимальной энергии,

запасаемой в электромагнитномзапасаемой в электромагнитномполе

Полная мощность:

)ВА(PUIS )ВА(,cos

UISϕ

==cos ϕ

это максимально-это максимальновозможная активная

мощность

при 1cos =ϕ

Можно изобразить:а) треугольник сопротивлений

р

22 XRZ +=Z Х

XRZ +

ϕR

Rcos =ϕRZ

cos =ϕ

б) йб) треугольник напряжений

2x

2R UUU +=

U xR

UХUϕ

RUUcos R=ϕ

Х

RU Uϕ

IXU;IRU XR == XR

) йв) треугольник мощностей

22 QPS +=S

Q

PQ

ϕP

Pcos =ϕP Sϕ

Топографические и лучевыеТопографические и лучевыевекторные диаграммы

используются при анализеи расчете цепей с синусоидаль-и расчете цепей с синусоидаль-ными напряжениями и токамир

Э Эти диаграммы строятсясовмещенными на комплекснойсовмещенными на комплексной

плоскости в масштабахнапряжения и тока

Лучевые векторные диаграммыстроятся

для комплексов действующихдля комплексов действующихзначений токов, когда их ,вектора выходят из начала

й координат каждый под своимугломуглом

Эти диаграммы используютсядля графической проверкипервого закона Кирхгофапервого закона Кирхгофа

Топографические векторныедиаграммы строятся длякомплексов действующихкомплексов действующих

значений напряжений, когдар ,их вектора подстраиваются

б один к другому, образуя замкнутые контурызамкнутые контуры

Эти диаграммы используютсядля графической проверкивторого закона Кирхгофавторого закона Кирхгофа

П 1Пример 1

dI СI

LI

CjX−U LjXR

CjXERI

сR

ВmU = Am =

+jмм...mU = мм

A...mI =

dLI RI

СIU

dL RII

СIERI

+1сLI

П 2Пример 2

jjXRd CjX−LjXсR b

RU LUСUСU

EIIа

+j ВmU = Am =dRU+j мм...mU = мм

A...mI =

E

с

IELU

а +1а

CU

b

П 3Пример 3СIс

IRLI

LjXLUCjX−

E b СUE

RU RR

а

ммВ...mU = мм

A...mI =

+j cмм мм

j

СUE

СI I LUE

+1aRLI

U bRU