1

1/63

ЗАКОН ОМАВ КОМПЛЕКСНОЙ

ФОРМЕ

2

2/63

Закон Ома в комплексной формеоснован на символическом методеи справедлив для линейных цепейс гармоническими напряжениями

и токамиЭтот закон следует из

физической взаимосвязимежду током и напряжениемотдельных элементов цепи

3

3/63

Синусоидальный ток в резисторе

)sin(2

)sin(2

α+ω=⋅=

α+ω=

tURiu

Омазаконупо

tIiпри

Для действующих значений:

RIU ⋅=

4

4/63

Резистивный

элемент

Комплекс

напряжения

Векторы

напряжения и

тока

RI&

IRUR&& ⋅=

RU&I&

+j

+1

RU&

5

5/63

На комплексной плоскостивектор напряжения

резистивного элементасовпадает по направлению

с вектором своего тока

6

6/63

Мгновенная мощность:

( )( )

2 2

2

2 sin

1 2

p u i I R t

I R cos t

ω α

ω α

= ⋅ = ⋅ + =

= − +

Средняя мощность за период Т

( ) 2

0

1,

T

P p t dt I R BтT

= =∫

7

7/63

Р - называется активной мощностью и

используется в балансе активных мощностей

mI&

ωt

α = 0

i(t)U(t)

P(t)

P

mU&

8

8/63

Синусоидальный ток в индуктивности

)90sin(2

)cos(2

:

)sin(2

0++⋅⋅=

=+⋅⋅==

+=

αω

αωω

αω

tU

tLIdt

diLu

индукции

нитнойэлектромагзаконупо

tIiпри

9

9/63

Индуктивный

элемент

Комплекс

напряжения

Векторы

напряжения и

тока

+j

+1

I&

LU&

LjX

IjXILjU LL&&& == ω

I&LU&

10

10/63

На комплексной плоскостивектор напряжения

индуктивного элементаопережает по направлению

вектор своего токана 90°

11

11/63

Для действующих значений:

LXILIU ⋅=⋅= ω

где LXL ⋅= ωиндуктивное реактивное сопротивление

В индуктивности напряжение

опережает ток на 090

12

12/63

)(2sin

)cos()sin(2 2

αω

αωαω

+⋅=

=+⋅+⋅⋅=

=⋅=

tQ

ttXI

iuр

L

L

Мгновенная мощность равна:

где −⋅= варXIQ LL ,2

реактивная индуктивная мощность

13

13/63

14

14/63

Когда 0≥p индуктивность потребляет

энергию, которая запасается в магнитном

поле;

Когда 0≤p запасенная энергия

возвращается в сеть.

Средняя за период Т активная мощность Р=0.

15

15/63

Синусоидальный ток в ёмкости

)90sin(2

)cos(2)(1

:

)sin(2

0−+⋅⋅=

=+⋅⋅

⋅−=⋅=

+⋅⋅=

∫αω

αωω

αω

tU

tC

Idtti

Сu

получимнапряжениядля

tIiпри

Сi

16

16/63

Для действующих значений:

CXIC

IU ⋅=

⋅=ω

ниесопротивле

емкостноереактивное

СXгде С −

⋅=ω

1

17

17/63

Емкостный

элемент

Комплекс

напряжения

Векторы

напряжения и

тока

IjXIC

jU CC

&&& −=−=ω

I& CjX−

CU&

I&

CU&+1

+j

18

18/63

На комплексной плоскостивектор напряженияемкостного элемента

отстает по направлениюот вектора своего тока

на 90 градусов

19

19/63

В ёмкости напряжение отстаёт от тока

на090

Мгновенная мощность равна:

)(2sin

)cos()sin(2 2

αω

αωαω

+⋅=

=+⋅+⋅⋅−=

=⋅=

tQ

ttXI

iuр

C

C

20

20/63

ВарXIQ CC ,⋅−= 2где

реактивная емкостная мощность

21

21/63

Когда 0≥p ёмкость потребляет

энергию, которая запасается в электрическом

поле;

Когда 0≤p запасенная энергия

возвращается в сеть.

Средняя за период Т мощность Р=0.

22

22/63

LXL ω= - индуктивноесопротивление (Ом)

CXC ω

1= - емкостноесопротивление (Ом)

23

23/63

Закон Ома в комплексной формедля отдельных элементов аналогичен

закону Ома для резистивного элементана постоянном токе

24

24/63

Комплексная схема

замещения цепи

R

LjX

CjX−−−−E&I&

25

25/63

C

CL

jXR

jXRjXZ

−−

+=)(&

Z

EI

&

&& =

26

26/63

эквивалентное комплексноесопротивление цепи (Ом)

ϕjЭЭ eZjXRZ ⋅=+=&

2Э

2Э XRZ +=

модуль сопротивления (Ом)

Э

Э

R

Xarctg=ϕ

фаза сопротивления (град)

27

27/63

ЗАКОНЫ КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ

ФОРМЕ

28

28/63

Сложению и вычитаниюгармонических токов и напряжений

с одинаковой угловой частотойв законах Кирхгофа

соответствует сложение и вычитаниеих комплексных величин

ω

29

29/63

1. ПЕРВЫЙЗАКОН КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ

ФОРМЕ

30

30/63

Для любого узла комплексной схемызамещения цепи алгебраическая

сумма комплексных значений токовравна нулю

∑ =± 0Ik&

31

31/63

Например:

0III 321 =++− &&&

а1I&

3I&

2I&

32

32/63

2. ВТОРОЙЗАКОН КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ

ФОРМЕ

33

33/63

Для любого контура комплексной схемызамещения цепи алгебраическаясумма комплексов напряженийна пассивных элементах равна

алгебраической сумме комплексовЭДС и напряжений на

источниках тока

∑ ∑ ∑ ∑±+±+±=± pqJkn UUEU &&&&

34

34/63

Например:

U&

CU&JU&CI&+

RU&

LU&

E&

RI&

LI&

J& +

+

+

R

LjX

CjX−−−−

35

35/63

UUEUUU JCLR&&&&&& +−=+−

или

UUEIjXIjXIR JCCLLR&&&&&& +−=−+− )(

36

36/63

3. МЕТОД ЗАКОНОВКИРХГОФА

В КОМПЛЕКСНОЙФОРМЕ

37

37/63

Решая комплексные алгебраическиеуравнения, составленныепо законам Кирхгофа в

комплексной форме, можноопределить комплексы токов и

напряжений в комплекснойсхеме замещения цепи

38

38/63

Например:

a

+1 к. 2 к.

LjX

CjX−−−−

R

E&

в

J&

JU&2I&

1I&

39

39/63

11nn y1 ====−−−−====

2nnn 1в2 ====−−−−====

2n y ==== 3nв ====

40

40/63

021 =−+− JIIa &&&:

EIjXIjXRк CL&&& =⋅−+⋅+ 211 )()(:

JC UIjXк && −=⋅−− 22 )(:

41

41/63

1−−−− 1 01I&

1 00 CjX JU&

J&

0)jXR( L++++ )( CjX−2I& E&====××××

42

42/63

ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

ИМЕЮТ ТАКОЙ ЖЕ ВИД КАКИ ДЛЯ ЦЕПЕЙ С ПОСТОЯННЫМИ

ТОКАМИ, ПОЭТОМУ ККОМПЛЕКСНЫМ СХЕМАМ

ПРИМЕНИМЫ ВСЕ ИЗВЕСТНЫЕМЕТОДЫ РАСЧЕТА,

НО В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

43

43/63

Мощностьпри гармонических

напряженияхи токах

44

44/63

u(t)

+а i(t)

в

)B(),tsin(U2)t(u αααα++++ωωωω====

)A(),tsin(I2)t(i ββββ++++ωωωω====

45

45/63

+

Z&U&

)(,α ВUeU j=&

)(, AIeI βj=&

)(, ОмjXRZeZ φj +==&

I&

Пусть задано:

а

в

46

βjIeI −=*

При находим

)(,*

ВАjQPIUS +=⋅= &&

- комплекс полной мощности

βjIeI −=*

-сопряженноезначение тока

где

47

47/63

)(,

)(**

ВАXjIRIIZ

IIZIUS

222 +==

===

&

&&&&

Т.к. IZU &&& ⋅= , то

48

48/63

)Вт(,RIcosUIP 2====ϕϕϕϕ====

- это мощность тепловойэнергии

Таким образомактивная мощность:

49

49/63

)вар(,XIsinUIQ 2== ϕϕϕϕ

- пропорциональнамаксимальной энергии,

запасаемой в электромагнитномполе

Реактивная мощность:

50

50/63

)ВА(,cos

PUIS

ϕϕϕϕ========

-это максимальновозможная активная

мощность

при 1cos ====ϕϕϕϕ

Полная мощность:

51

51/63

а) треугольник сопротивлений

ϕϕϕϕ

Z

R

Х

22 XRZ ++++====

Z

Rcos ====ϕϕϕϕ

Можно изобразить:

52

52/63

б) треугольник напряжений

ϕϕϕϕ

U

RU

2x

2R UUU ++++====

U

Ucos R====ϕϕϕϕ

ХU

IXU;IRU XR ========

53

53/63

в) треугольник мощностей

ϕϕϕϕ

S

P

22 QPS ++++====

S

Pcos ====ϕϕϕϕ

Q

54

54/63

Топографическиеи лучевыевекторныедиаграммы

55

55/63

Топографические и лучевыевекторные диаграммы

используются при анализеи расчете цепей с синусоидаль-ными напряжениями и токами

Эти диаграммы строятсясовмещенными на комплексной

плоскости в масштабахнапряжения и тока

56

56/63

Лучевые векторные диаграммыстроятся для комплексов

действующихзначений токов, когда их

вектора выходят из началакоординат каждый под своим

угломЭти диаграммы используются

для графической проверкипервого закона Кирхгофа

57

57/63

Топографические векторныедиаграммы строятся длякомплексов действующих

значений напряжений, когдаих вектора подстраиваются

один к другому, образуязамкнутые контуры

Эти диаграммы используютсядля графической проверкивторого закона Кирхгофа

58

58/63

Пример 1

d

CjX−−−−E&

I&

U& LjX

LI&

СI&

с

R

RI&

59

59/63

СI&

E&

+1

+j

U&

с

d

LI&

LI&

RI&

RI&

I&

ммВ...mU ====

ммA...mI ====

60

60/63

Пример 2

dCjX−−−−

E&

RU&

LjX

I&

сR

LU&

а

СU&

b

61

61/63

I

dRU&

E&

+1

+j

LU&

с

а

CU&

b

ммВ...mU ====

ммA...mI ====

62

62/63

Пример 3

а

CjX−−−−E&

I&

RU&

LjX

RLI&

СI&с

R

LU&

b СU&

63

63/63

СI&

+1

+j

СU&

aRLI&

I&

bRU&

c

LU&

ммВ...mU ====

ммA...mI ====

E&