Le c t u r e 2 | 1

2. PDE เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

อนัดบัที ในตวัแปร เรียกวา่สมการเชิงเส้น

ก็ต่อเมือเขียนได้ในรูป

โดย ถ้า เรียกวา่สมการเชิงเส้นเอกพันธ์

ถ้า เรียกวา่สมการเชิงเส้นไม่เอกพันธ์

บทตัง นิยามตวัดําเนินการ

จะได้ว่า มีสมบัติเชิงเส้นกล่าวคือ

ผลของสมบตัิเชิงเส้น คือ หลกัการซ้อนทบัเป็นจริง

และทําให้ได้ผลเฉลยทวัไป

Le c t u r e 2 | 2

บทพิสจูน์ สําหรับแตล่ะ ได้ว่า

ดงันนั

ตามต้องการ

Le c t u r e 2 | 3

สําหรับ มีนิยามในทํานองเดียวกนัดงัน ี

บทนิยาม เชิงเส้น คือ สมการทีเขียนได้ในรูป

โดย เป็นฟังก์ชนัของตวัแปรของสมการ และ เป็นตวั

ดําเนินการเชิงอนพุนัธ์ยอ่ย ทีมีสมบตัิเชิงเส้น กลา่วคือ

ถ้า จะเรียกวา่สมการเชิงเส้นเอกพันธ์

ถ้า จะเรียกวา่สมการเชิงเส้นไม่เอกพนัธ์

ทีไมส่ามารถเขียนในรูปดงับทนิยามข้างบน

เรียกวา่สมการไม่เชิงเส้น

ถ้า จดัได้ในรูป จะได้ว่าสมการไม่

เชิงเส้นก็ตอ่เมอืสมบตัิเชิงเส้นไมจ่ริงอยา่งน้อยหนึงข้อ

Le c t u r e 2 | 4

ตัวอย่าง พิจารณา ในตวัแปร ต่อไปนี

(1) ถ้า เป็นค่าคงตวั จงแสดงวา่สมการที

กําหนดให้เป็น PDE เชิงเส้น

(2) ถ้า จงแสดงว่าสมการทีกําหนดเป็น

PDE ไมเ่ชิงเส้น

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 5

ตัวอย่าง จงแสดงว่า ในตวัแปร

เป็นสมการไมเ่ชิงเส้น

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 6

ตัวอย่าง จงแสดงว่า

เป็นสมการเชิงเส้นเอกพนัธ์

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 7

หลักการซ้อนทบั

ทฤษฎีบท ให้ เป็นตวัดําเนินการเชิงอนพุนัธ์ยอ่ย

ทีมีสมบตัิเชิงเส้น

(1) ถ้า เป็นผลเฉลยของ PDE เชิงเส้นเอกพนัธ์

และ เป็นค่าคงตวัจะได้

เป็นผลเฉลยของสมการด้วย

(2) ถ้า เป็นผลเฉลยของ PDE เชิงเส้นไม่เอกพนัธ์

จะได้ว่าสําหรับผลเฉลยใด ๆ ฟังก์ชนั เป็น

ผลเฉลยของสมการเอกพนัธ์

บทพิสจูน์ (1) จากสมบตัิเชิงเส้นได้

Le c t u r e 2 | 8

และ สําหรับทกุ ดงันนั

นนัคือ เป็นผลเฉลยของ PDE เชิง

เส้นเอกพนัธ์

(2) จาก และ ได้

ดงันนั เป็นผลเฉลยของ PDE เชิงเส้นเอกพนัธ์

Le c t u r e 2 | 9

ตัวอย่าง จงลดทอนการแก้สมการ

เป็นการศกึษาสมการเชิงเส้นเอกพนัธ์

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 10

3. PDE อันดับหนึง

ในหวัข้อนีจะศกึษาการแก้สมการเชิงอนพุนัธ์ยอ่ย

อนัดบัหนงึด้วยวิธีเส้นโค้งลักษณะเฉพาะ (Method

of characteristic curves)

วิธีนีสามารถใช้แก้สมการอนัดบัหนึงได้ทกุชนิดทงั

สมการเชิงเส้นและสมการไมเ่ชิงเส้นได้

ในทีนีสมมติตวัแปรของ PDE คือ และพิจารณา

เส้นโค้งในระนาบ ทีมีลกัษณะเฉพาะทีกําหนดโดย

PDE

ทบทวน ในระนาบ เส้นโค้ง(หรือเส้นตรง) ทีมีตวั

แปรเสริม จะเขียนได้เป็น

Le c t u r e 2 | 11

ตัวอย่าง เส้นตรง ผ่านจดุ ที ที

มีความชนั คือ

แสดงดงัรูป

สมการ

มีกราฟเป็นรูปพาราโบลาดงัรูป

Le c t u r e 2 | 12

บทตัง ให้ เป็นฟังก์ชนัตอ่เนือง และให้

เป็นจดุในระนาบ

มีเส้นโค้ง ผ่าน ที

และสอดคล้อง

Note ผลลพัธ์นีอาจมองในเชิงกายภาพได้ว่าเส้นโค้งทีได้

คือเส้นทางการเคลือนทีของอนภุาคในสนามความเร็ว

Le c t u r e 2 | 13

ตัวอย่าง จงหาเส้นโค้ง ทีผ่านจดุ

ที และสอดคล้อง

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 14

ตัวอย่าง จงหาเส้นโค้ง ในระนาบ

ทีผ่าน และสอดคล้อง

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 15

พิจารณา PDE อนัดบัหนงึ

โดย เป็นค่าคงตวั ให้ เป็น

เส้นโค้งผ่านจดุ ที และสอดคล้อง

แก้ระบบสมการได้

กําหนดให้

โดยกฏลกูโซจ่ะได้

นนัคือ ค่าคงที

ดงันนั มีค่าคงทีเมือเคลือนไปตาม

Le c t u r e 2 | 16

ตัวอย่าง กําหนดให้ เป็นผลเฉลยของ PDE

(1) ถ้า จงแสดงว่า

(2) ถ้ากําหนด จงแก้สมการหาผล

เฉลย

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 17

ทฤษฎีบท สําหรับ PDE อนัดบัหนงึเชิงเส้นเอกพนัธ์

กําหนดให้ เป็นเส้นโค้งทผี่านจดุ ที

และสอดคล้อง

จะได้ว่า ค่าคงทีบนเส้นโค้ง

บทพิสจูน์ ให้ โดยกฏลกูโซไ่ด้

เพราะฉะนนั ค่าคงที

ดงันนั ค่าคงทีบนเส้นโค้ง

Le c t u r e 2 | 18

ตัวอย่าง พิจารณาสมการ

(1) จงหาเส้นโค้งลกัษณะเฉพาะผ่านจดุ ที

(2) จงแก้สมการเมอืกําหนด

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 19

ตัวอย่าง พิจารณาสมการขนสง่

(1) จงหาเส้นโค้งลกัษณะเฉพาะผ่านจดุ ที

(2) จงแก้สมการเมอืกําหนด โดย

เป็นฟังก์ชนัทีหาอนพุนัธ์ได้

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 20

PDE อันดับหนึงเชิงเส้นในกรณีทัวไป

ทฤษฎีบท สําหรับ PDE เชิงเส้นใด ๆ

ให้ เป็นเส้นโค้งผ่าน ที สอดคล้อง

จะได้ว่า สอดคล้องสมการ

บทพิสจูน์ จากกฏลกูโซไ่ด้

ดงันนัได้ว่า สอดคล้องสมการดงัทีกล่าวไว้

Le c t u r e 2 | 21

Note สมการทงัหมดในทฤษฎีบทนีนิยมเขียนสนั ๆ เป็น

เรียกวา่สมการลักษณะเฉพาะ (Characteristic

equations)

เส้นโค้ง จะเรียกวา่เส้นโค้งลักษณะเฉพาะ

(Characteristic curves)

Le c t u r e 2 | 22

ตัวอย่าง พิจารณาสมการ

(1) จงหาเส้นโค้งลกัษณะเฉพาะผ่านจดุ ที

(2) แก้สมการเชิงอนพุนัธ์เมอืกําหนดให้

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 23

ตัวอย่าง พิจารณาสมการ

(1) จงหาเส้นโค้งลกัษณะเฉพาะผ่านจดุ ที

แก้สมการเชิงอนพุนัธ์เมอืกําหนดให้

วิธีทํา

Le c t u r e 2 | 24

ตัวอย่าง การเคลือนทีของระบบชีวะมวลทีมีการย่อย

สลายได้จําลองได้ด้วยสมการ

โดย เป็นค่าคงตวั

(1) จงหาจงหาเส้นโค้งลกัษณะเฉพาะผ่านจดุ

ที

แก้สมการเชิงอนพุนัธ์เมอืกําหนดให้

วิธีทํา