수질관리모델링 midterm exam

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수질관리모델링MIDTERM EXAM

환경공학과20051444

김태희

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1.study and explain the water quality model QUAL2E.

1)Theory (Physical, Chemical, and Biological Processes)

Qual2e 는 1 차원 정상상태 (steady state) 와 1 차원 가동적상태(Dynamic state) 모의 가능한 1 차원 수질예측모형으로서 하천구간내 특정지점에서의 수질현상을 모의한다 . 하천의 구간은 총 8 개의 형태로 설정이 가능하며 모형의 매개변수는 수동보정을 주로 활용 .

(1) 수리계수 수리 ( 유량 ) 계수는 하천의 유량 , 유속 , 수심자료를 바탕으로 입력되며 , 실측자료 혹은 모형 (ex: HEC-2) 모의자료를 활용하나 일반적으로 모의 결과를 활용한다 .

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(2) 수질계수 BOD 와 DO 의 관계결정계수 조류와 영양염류 관계결정계수 일반적으로 실측자료를 활용하나 자료획득이 어려운 경우 매뉴얼상의 값을 적용한 후 보정해 나가는 방법을 이용한다 .

하천 시스템 내에서 물질이동 및 변환은 유체의 흐름에 의하여 농도 부하가 이동되는 유속에 의한 유송과 유체흐름의 난류성과 물질 농도 차이에 의해 발생하는 확산 , 화학 및 생물학적 반응에 의한 물질의 증감 , 시스템 내의 오염 부하량 유입 또는 유출에 의한 부하의 증감에 의해 좌우된다 . 이와 같은 과정에 대하여 물질이동방정식을 세우면 다음 식 (1.1) 과 같다 .

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(1.1) 여기서 , C 는 물질의 농도를 나타내고 , A 는 유로 단면적 , D 는 종확산계수 , U 는 평균유속 , S 는 물질의 유입부하량 혹은 유출량 , V 는 단위 구간의 수체적 , t 는 시간 , X 는 거리 , R 는 반응에 의한 물질의 증감량을 나타낸다 . QUAL2E 는 에너지 보전의 원리를 이용하며 열전달을 고려한 에너지 방정식을 이용하여 수온을 계산한다 . 지배식은 식 (1.2) 와 같으며 물질 이동 방정식과 흡사한 형태를 가진다 . (1.2) 여기서 , T 는 수온이고 , ρ 는 물의 밀도 , c 는 비열이다

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2) Numerical Algorithm QUAL2E 유한차분법 알고리즘 (1.1)

이 모형에서 사용한 수치해석 기법은 유한차분법으로서 요소간의 수질 농도를 선형적으로 가정하는 방법을 사용하고 있다 . 또한 ,

요소 수질농도가 미지의 다른 요소 수질농도들의 함수로 표현되는 음해법으로 차분 방법식이 세워지도록 하고 있다 . 식 (1.1) 의

물질이동방정식을 1 차반응을 가정한 선형 방정식에 대입하여 다시 표현하면 식 (1.2) 와 같다 . (1.2)

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여기서 , kC 는 해석 수질항목의 반응에 의한 증감을 나타내고 , P 는 해석 수질항목의 반응을 제외한 반응을 나타낸다 . 지배식 (1.2) 를 음해법을 이용한 유한차분식으로 표현하면 식 (1.3)과 같다 . (1.3)

n+1 시각의 수질항목 C 에 대하여 정리하면 식 (1.4) 와 같다 . (1.4)

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여기서 ,

δXi : 요소간의 길이

유한차분 방정식은 3 개의 절점간의 관계로 표시된 삼각행렬로써 가우스 소거법에 의하여 해를 구하게 된다 .

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3) Run the example data

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1.study and explain the water quality model QUAL2E

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2. Study and explain the water quality model WASP6.

1) Theory (Physical, Chemical, and Biological Processes) WASP6(The Water Quality Analysis Simulation Program-6) 모형-1981 년 EPA 의 Di Toro 등에 의하여 개발 .- 사용자가 다양한 오염물 관리 계획을위해 자연 현상과 인위적인 오염원에 의한 수질 변동을 해석하고 예측할 수 있게 해줌 . -WASP6 모형은 2 개의 독립된 프로그램인 DYNHYD 모형 ( 수체의 수리적 특성에 대한 모형 ) 과 WASP5 모형 ( 수체에서 오염물질의

이 동과 반응을 예측 ) 으로 구성 .- 부영양화와 BOD, DO 등 전통적인 오염원을 대상으로 하는 EUTRO 모형과 유기화합물 , 금속 등의 독성 물질을 대상으로 하 는 TOXI 모형의부 프로그램으로 구성 .

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→ 화학적 생물학적 과정 -TOXI 는 화학물질이 겪을 수 있는 대부분의 물리 , 화학 , 생물학적 반응을 다룸 .- 흡착 , 이온화 , 휘발 , 가수분해 , 광분해 , 산화 , 생분해와 여기서 언급되지 않은 여분의 반응도 사용자의 정의에 따라 다룰 수 있다 .- 가장 간단한 형태로 화학물질에 수체와 침전층 내에서의 이동과 화학물질의 전환 , 고체로의 흡착을 적용 . 이를 위해 1 차 부패 상수 (first-order decay constants) 와 평형 분배계수 (equilibrium partition coefficients) 를 사용할 수 있는데 , 조금 복잡하게는 2 차 반응과 비선형 흡착 등온선이나 1 차 흡착 탈착 ․

속도 상수를 이용할 수도 있다 .

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가 . 전환 휘발 , 생분해 , 가수분해 , 산화 , 광분해 등의 반응에 대해 각각의 일차반응 속도상수를 입력하면 , 총 반응은 다음 식에 의해 각 개별 반응의 합에 기초하게 된다 .

(1) 여기서 , Kki = 반응 k 에 대한 화학물질 ⅰ의 1 차 전환 상수 , day-1

생분해 - 미생물에 의한 전환 , 분해는 박테리아의 효소 시스템 안에서 화합물을 분해하는것 . - 생분해는 유기 화학물질에 대한 생물체의 효소 공격이라는 넓고 복잡한 과정을포함 . 박테리아와 적은수의 조류는 지표수의 생분해에서 중요한역할 .

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- 독성 화학물질을 분해하는 박테리아 개체수의 성장 동역학은 잘 알려져 있지 않았음 . 경쟁 기질과 그 유기물을 분해하는 다른 박테리아의 존재 , 화학물질에의 적응가능성 혹은 공대사는 개체수 변화를 정량화하기에 어렵 . - 결과적으로 독성 화학물질모델은 직접적으로 박테리아를 모델링하기보다는 일정한 생물학적 활성을 가정 . 때때로 다른 수계에서 측정된 1 차 생분해 속도 상수가 직접 쓰이기도 함 . (2)여기서 , Ki = 화학물질 ⅰ의 segment j에서의 1 차 생분해 속도 상수 , day-1 TOXI 에서는 1 차 생분해 속도 상수 대신 수체 혹은 저니에서의 반감기를

이용

(3)여기서 , T1/2 = 반감기 , days 만일 이 속도 상수들이 유사한 조건에서 측정되었다면 이 일차적 접근은 좀 더 복잡한 접근법과 비슷한 수준으로 정확할 것이다

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나 . 평형 흡착

흡착은 일반적으로 다른 반응에 비해 빠르게 일어나므로 평형이 가정 . 적당한 농도 (10-5M 미만이거나 용해도의 절반 미만 ) 에서 흡착 평형은 용존 상태의화학물질의 농도에 비례 . (4)

여기서 , KPS = 분배 계수 (partition coefficient) 평형상태에서 상간의 분포는 분배 계수 KPS 에 의해 조절 . 각 상에서 화학물질의 총 질량은 KPS 와 존재하는 고체상 (DOC 상 포함 ) 의 양에 의해 조절 . 식 (4) 는 순간적인 평형과 가역성이 가정될 때 사용 가능 .

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Water column 과 benthic segments 안의 용존 화학물질은 고형물 입자와 용존유기 탄소와 반응해 용존 , DOC 에 흡착 , 고형물에 흡착(3 가지 종류의 고형물 ) 된 고체상의 5 가지 상을 형성 . 이 반응은 수체의 단위 부피에 대하여 기술 . (5)

(6)여기서 , n 은 공극률이다 . 정반응은 흡착이고 역반응은 탈착 . 이들 반응은 일반적으로 빠르고 국부평형으로 고려 . Cw 와 Cs, CB 는 평형 분배 계수 Kps0 와 KpB(L/kg) 에 의해 조절 .

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(7)

(8)

이 식은 고형물과 DOC 에 흡착될 수 있는 공간이 충분하다는 가정하에 선형 Freundlich 등온선으로 주어진다 .

(9) (10)

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화학물질의 총 농도는 다섯 가지 상 농도의 합이다 . (11) 위 두 식을 인수분해하고 용존 부분 fD 로 나타내면 다음과 같다 .

(12)

유사하게 고형물와 DOC 에 흡착된 부분은 다음과 같이 나타낼 수 있다 . (13)

(14)

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이들 부분은 분배 계수 , 내부적으로 계산된 공극률 , 예측된 고형물 농도 , 정해진 DOC 의 농도로부터 모의 수행 동안 결정 . 주어진

총농도와 다섯 상의 분율 , 용존 , 흡착 , 생물흡착 농도는 다음과 같이 결정된다 . (15) (16) (17) 이들 다섯 가지 농도는 mg/L 단위이고 각 상 내에서의 농도로 표현될 수 있다 . (18) (19) (20)이들 농도의 단위는 각각 mg/Lw, mg/kgs, mg/kgB 이다 .

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→ 물리학적 과정 고형물의 운송은 수계에서 잠재적으로 아주 중요 . 과량의 고형물은 수질에 직접 영향을 준다 . 고형물의 이동은 화학물질의 이동과 반응에도 영향을 미친다 . 많은 화학물질들은 고형물에 강하게

흡착되어 침강 (settling), 재부상 (resuspension), 매몰 (burial) 된다 . 흡착은 또한 화학물질의 이송 (transfer) 과 전환율(transformationrate) 에도 영향을 준다 . 고형물의 이동속도와 농도는 대부분의 독성물질 연구에서 추정되어야 한다 . WASP6 에서는 구간별로 각 고형물에 대한 물질수지를 계산하는데 ,

이는 benthic segment 와 water segment 모두에 적용된다 .

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(1) Water column transport 수체 내에서 고형물과 고체상 화학물질은 하부의 water segment 로 침강하고 bed segment 표면에 퇴적 (deposit). WASP6 에서는 운송영역 3,4,5 에서 속도와 표면적으로 침강 , 매몰 , 재부상 율을 표현 .입자의 운반속도는 고형물과 입자상 화학물질의 유량을 얻기 위해 단면적과 곱해진다 . 침강속도는 부유 입자의 크기와 관련해 Stoke 의 침강속도의 범위에 있어야 한다 . (21) 여기서 , Vs = Stokes velocity, m/day g = 중력가속도 , 981 cm/sec2 μ = 동점성도 , 0.01 poise(g/cm3-sec) at 20℃ ρp, ρw = 입자와 물의 밀도 , g/cm3

dp = 입자의 유효직경 , mm

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(2) Benthic Exchange 순 침전과 재부상은 고형물과 입자상 화학물질의 benthicexchange를 유발한다 . (22) 여기서 , WBs = net sediment flux rate, g/day S = 고형물의 농도 , g/m3 wD = 침전 (deposition) 속도 , m/day wR = 재부상 (scour) 속도 , m/day Aij = benthic segment 의 표면적 , m2 ⅰ = benthic segment j = water segment

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유체역학이나 수질 예측 프로그램의 기본적인 원리는 질량 보존이다 . 대상이되는 수체의 부피와 수질을 결정하는 물질들은 시간과 공간의 변화에 따라 물질수지식을 이용해 설명된다 . 이때 수체 내용존 물질에 대한 물질 수지식은 직접적인 경로를 통하거나 확산에 의해 발생하는 부하 , 이송 확산에 의한 물질 운반․ , 물리 화학․ ․

생물학적 전환을 통해 유입되거나 유출되는 모든 물질을 설명해야 한다 . 그림 1 와 같은 유체 내에서의 물질 수지식은 다음 식 (23) 과 같이 표현할 수있다 .

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(23)

여기서 ,C = 수체 내 오염물의 농도 , mg/L 혹은 g/m3 t = 시간 , days UX, UY, UZ = X, Y, Z 방향 이송 속도 , m/day EX, EY, EZ = X, Y, Z 방향 확산 계수 , m2/day SL = 직접 확산 부하량․ , g/m3-day SB = 경계 부하량 , g/m3-day SK = total kinetic transformation rate; positive is source, negative is

sink, g/m3-day

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식 (23) 은 수직 , 수평 방향의 완전 혼합을 가정하여 1 차원으로 유도

될 수 있다 . (24) 여기서 ,A = 단면적 , m2 위 식 (24) 는 크게 세 가지 항으로 나누어 볼 수 있는데 , 각각 운송 ,부하 , 전환 항을 나타낸다 . 거리 및 시간에 대하여 물질의 농도가 연속함수이므로 , 1 차원으로 가정된 물질수지식을 Taylor series 로 전개하면 , 다음과 같다 . (25)

(26)

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고차 항을 무시하고 , 식 (25) 에서 식 (26) 를 빼서 정리하면 , 다음과

같다 . (27)우변의 첫 번째 항과 두 번째 항을 동일한 방법으로 정리하면 , (28) 이므로 ,

(29)

(30)

(31) 이다 .

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그림 2 수질해석을 위한 모식도 ( 여기서 , x 는 위치 , j는 구획번호 , L 은 길이 ) 식 (29) 및 식 (31) 를 그림 2 을 참조하여 식 (24) 에 대입하고 구획 j

에 대하여정리하면 , 다음과 같다 .

(32)

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양변에 Lj를 곱하면 , 다음과 같다 .

(33)

여기서 , Rj,j+1 및 Rj-1,j 는 확산계수를 포함하는 항으로 이며 , Qj,j+1 은 구획 j에서 구획 j+1 로의 흐름을 나타낸다 . Cj,j+1 은 구획 j와 구획 j+1 의 경계면 농도를 의미하며 , 가증인수 ν(0∼1) 를 도입하면 , Cj,j+1 = νCj+1 + (1-ν)Cj로 표현되므로 , 구획 j에 구획 ⅰ가 연결되어 있고 , 경계면을 ij 라 하여 물질수지방정식을 정리 하면 , 다음과 같다 . (34)

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3) Run the example data

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3. Study and explain the hydraulic model DYNHYD5.

1) Theory (Physical, Chemical, and Biological Processes)

WASP5 는 수리모델인 DYNHYD5 와 부영양화모델인 EUTRO5, 독성물질 모델인 TOXI5 로 구성되어 있는 데 그 중 WASP5 내의 수리 모형인 DYNHYD5 는 Potomac 연안 모형이었던 DYNHYD2 를 확장한 모형이다 . 이들은 서로 독자적으로 사용이 가능하고 연합하여서도 사용 가능 . DYNHYD5 모형은 변하기 쉬운 조수 감만의 주기 , 바람 및 불안정한 물질의 유입을 가상하는 간단한 유체역학 모형 . DYNHYD 는 수질 프로그램 , WASP 이 수질 내의 오염물질에 대한 운동 그리고 상호 작용을 가상하는 동안 물의 운동을 가상하는 유체역학 프로그램 .이 경우에 DYNHYD5 가 동수역학적 계산결과를 WASP5 로 넘겨주게 되는데 , 다른 동수역학적 프로그램들에 의한 결과도 WASP5 모형과 연계 운영될 수 있다 .

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DYNHYD5 모형은 절점과 수로로서 구성된 계산격자망에 대하여 바람에 의한 응력 , 마찰력 , 중력의 영향을 고려한 1 차원 연속방정식 , 운동방정식을 지배방정식으로 하며 , 수로에서는 운동방정식을 이용하여 유속과 유량을 계산하고 , 절점에서는 연속방정식을 이용하여 수위를 계산한다 . 수리모델링 결과인 유속 및 수심은 수질모델의 입력자료로 활용된다 . 이러한 유체역학 모형은 에너지와 질량에 대한 보전 법칙에서부터 시작된다 . DYNHYD5 모델을 사용하고자 하는 경우에는 각 소구간의 수심과 수두 높이 등의 소구간 특성을 정확하게 파악하는 것이 무엇보다도

중요하며 , 정확한 자료가 입력된 경우에 모형의 실행이 가능하다 .

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2) Numerical Algorithm

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연속방정식 The equation of continuity is given by: A = cross-sectional area, m2 Q = flow, m3/sec For rectangular channels of constant width B (refer to Figure 7): B = width, m • H= water surface elevation (head), m = rate of water surface elevational change with respect to time, m/sec • = rate of water volume change with respect to distance per • unit width, m/sec

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3) Run the example data DYNHYD5 와 EUTRO5 을 이용하여 용담하류 금강의 수질 모의 실험과 그 결과 DYNHYD5 입력자료

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EUTRO5 입력자료

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용담하류 금강의 수질 모의 실험 결과

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DYNHYD5 에서 보여지는 값들

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Wasp 과 DYNHYD5 의 구조

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4. Study and explain the Watershed and Sewer Management model SWMM.

1) Theory (Physical, Chemical, and Biological Processes) SWMM 모형은 도시지역의 수량 및 수질을 모델링하기 위하여 개발된 모형이다 . 유역내 강우 , 지표유출 , 수질변화에 관계된 모든 부분의 해석을 수행할수 있게 개발되었으며 , Extran 의 모듈을 사용하여 Backwater, 배수관 망에서의 수리 유동상황을 역동적으로 해석할 수 있다 .

1969 년에서 1971 년에 걸쳐 미국 EPA 에서 개발된 SWMM 은 도시지역의 지표유출 해석에 광범위하게 사용되었으며 , 1994 년에 4.3 Version 으로 개량 되었다 . 유역내의 우수관로 , 합류식관로 , 자연배수로 등에서의 유동 , 수위 , 오염물 농도 등을 해석한다 .

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SWMM 은 실행 , 유출 , 이동 , Extran, 저류 및 처리의 5 개의 부모형으로 구성된다 . 실행모형은 모델링 전체를 조절하는 기능을 수행한다 . 즉 , 부모형 간 자료를 구성하고 , 입출력을 지시한다 . 유출모형 은 강우에 의해 유역내 에서 발생하는 지표유출과 오염도 변화를 추적하여 , 수문곡선과 오염도 곡 선을 출력한다 . 유출모형의 계산결과를 다른 모형에서 이용하여 모델링을 수행한다 . 이동모형은 우기 및 건기의 하수시스템으로의 침입수량을 계산 한다 . Extran 모형은 배수관망에서의 유량 및 수심 등의 유동 상황을 추적 한다 . 관로내의 유량을 해석하기 위하여 연속방정식과 운동방정식을 연 계하여 계산한다 . 저류 및 처리 모형은 수리 , 수질에 대한 저류 및 처 리장치의 효율을 평가한다 .

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→ 물리학적 과정 강우와 용설에 의해 유출이 발생 , 비선형 저류방정식에 의해 지표면 유출을 묘 , 침투량 산정에는 Horton 혹은

Green-Apmt 방정식을 사용 , 지표수 수질은 건기 동안 오염물질의 선형 /비선형축적과 감소 인자에 의한 오염 물질의 유실을 기본으로 함 . 건기시 유량 및 수질계산은 인구밀도와 같은 통계적인 인자와 Shield 기준에 의한 관로내 SS 의 퇴적을 기본으 로 함

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→ 화학적 과정 - Runoffbolck 에서는 10 개의수질 , transportmodul 에서의 3 개의

수질모의가 가능 - 다른 모형과의 연계– 수질모형인 WASP 와 DYNHTD 모형 ,

독립적 이거나 전체의 SWMM 모형과 HEC,STORM,QUAL-Ⅱ모형 - 모형의 정확성– 유출은 약간의 보정에 의해 비교적 정확한 결과를 얻을 수 있 다 . 수질은 폭 넓은 보정을 필요로 하며 실측 자료가 없을 시 매우 부정확함 .

→ 모형의 구조 Blosk 형태로 구성– 5 개의 serviceblock, 4 개의 computational block 각각의 block 은 특정한 기능을 가지며 block 특정한

기능을 가지며 다른 block 에서 사용 .

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일반적으로 executive block 과 하나 혹은 두개의 computationnal block 과 함께 실행

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-RunoffblocK *본 모형은 swmm 모델의 가장 중요한 모형 *강우 및 온도 또는 사용자 가정의 한우량 분포로부터 기상자료를 계산한 후 눈융해 모의실험기능과 함께 비선형 저류 접근법을 사용하여 강우 - 유출과정을 모의실험 *최종적으로 유출모형은 하수관로 유입부에서의 수분곡선 및 오염 도 곡선을 출력 한다 . *본 모형은 몇분–몇년의 가간에 대한 모델링을 수행한다 . *몇 주 미만의 모의실험은 단일사상방식 , 장기모의 실험은 연속방식으로 수행된다 . 융설을 제외하고는 , 모든 계산은 두 가지 경우에 대해 동일하게 수행 *유출부모형에서의 수질분석 과정은 옵션의 변화를 통해 지표 유출성분 부하의 산출을 포함

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1. 건기 시에 성분이 축적되며 우기 시에 세척 2. 부하가 유량에 비례하는“ ratinigcurve” 접근법 3. 일정한 농도 (강우 부하 포함 ) 4. 일반적인 토양 손실 방정식 , 전체 유역은 최대 200 개의 배수 구 역 및 200 개의 수로 /관로 및 유입으로 세분 *유출 부 모형은 다른 swmm 의 부 모델으로 file 을 전환함으로써 200 개의 유입 부 및 10 개의 성분에 대한 수문곡선 및 오염도 곡선을 출력

-Transportblock *이동 모형은 하수 관거를 통하는 유량 및 오염물 경로를 상세히 추적 . *유량경로는 kinematic wave 기법을 사용하는 반면 , 수질은 초기 이동에 대한 완화기준에 근거하여 1 차 감소 및 하수관거 내의 세척 및 퇴적모의실험 ,건기의 유량 및 수직의 산출 등을 포함 *이동부모형은 interfacefile 에 의한 유출부 모형 또는 사용자에 의해 정의된 입력 자료로부터 산출된 유입부의 수분 곡선 및 오염도곡선을 사용 *이후에 전기 유량 및 수질 , 침투 , 각 수로 /관거의 오염물 부하 , 연구 지역을결정


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2) Numerical Algorithm

지표 유출을 위해서는 소유역을 지면지류가 있는 혹은 없는 불투수 층과 지면 지류가 있는 투수층으로 나눈다 . 지면질류를 비선형 저수지로 가정하여 지표유출을 가정 비선형 저수지는 연속방정식과 Manning 방정식에 의해 결정 되어진

다 . 지면에 저류되 sanf의 양은 연속방정식에 의하며 다음과 같다 .

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유출량은 Manning 방정식에 의해 구함

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3) Run the example date

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6. Study and explain the Multidimensional Water Quality model MFEMWASP.

1) Theory (Physical, Chemical, and Biological Processes) → 물리적 과정하천 , 호소 , 해양수 등 각종 지표수의 수질은 집수 유역 및 수계의 수리적오염부하의 특성 , 기상 현상 그리고 수질과 관련된 생태인자 등 많은 요인들로부터 영향을 받아 그 변화 양상이 매우 복잡하지만 , 최근에는 컴퓨터의 발달 및 급격한 보급에 힘입어 이 인자들을 해석할 수 있는 수질예측 모형이 많이 등장하고 있고 , 또 수질예측에 대한 정확도도 우수한 것으로 평가되고 있다 . 이러한 모형중에서 미국에서 개발된 WASP5, QUAL2E, HYDROQUAL, MIT 모형과 WQRRS(Water Quality for River-Reservoir System) 모형 등이 비교적 잘 알려져 있다 . MIT 모형은 깊이에 대한 1 차원 모형으로 처음에는 온도만을 고려하였으나 , 그 후 여러 수질항목을 해석할 수 있는 모형으로 개량되었으며 Fontana Reservoir 에 적용되어 좋은 결과를 얻은 바 있다 . WQRRS 모형은 댐에 의해 생성된 인공호수내의 수생태계 변화를 수심방향에 대하여 해석할 수 있는 모형으로서 , 1974 년 미육군 공병단 HEC(Hydrologic Engineering Center) 에서 처음 개발된 1 차원 모형이며 1976 년과 1978 년에 RMA(Resource Management Associate) 와 Tetra Tech. Inc. 에서 보완한 바 있으며 비교적 많이 보급되어 있고 정확도도 인정을 받고 있다 .

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최근에는 하천 모듈과 호수 모듈을 분리하여 발전시켰으며 , 수질외에도 냉해 등의 온도에 대한 모델링도 수행할 수 있는 모형이다 . QUAL2E 모형은 하천의 수질 및 온도 오염 문제를 해석하는 모형으로서 운영이 비교적 간단하기 때문에 , 국내외에서 가장 많이 사용된 모형이다 . 그러나 , 부정류 상태에 대한 해석을 수행할 수 없다 . 비교적 최근에 개발된 WASP5 (Water Quality Analysis Simulation Program Version 5) 모형은 지금까지 개발되어온 수질 예측 모형들을 종합 , 보완한 것으로서 일반 해양 , 하구 , 하천 , 호소 등 광범위한 수체에 적용이 가능하며 부영양화 , 독성물질 이동 등 여러 문제를 해석할 수 있다 . 그러나 , 모형 개발 알고리즘이 수치해석적인 방법에 기초하지 않은 네트워크 모형이기 때문에 수질이나 수리 현상의 변화가 심한 경우 안정된 해를 얻기가 어렵고 , 격자망 수에 제한이 있으며 , 수체의

형상을 표현하기가 어렵다 .

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국내의 수질 예측 모형에 관한 연구는 비교적 많지 않다 . KAIST 에서는 WQRRS, MIT 등의 모형을 도입하여 Case Study 를 통하여 모형들의 적용성을 검토한 바 있으며 , 유한요소법을 이용한 2 차원 모형들의 개발을

시도하였으나 보전성물질이나 BOD 와 같은 다른 수질항목간의 비교적 적은 오염물질만의 예측이 가능한 정도이며 , 수질에서 중요한 항목인 DO 의 예측이 불가능하다 . 농림수산부에서도 아산만 (담수호 ) 을 대상으로 Multiple BOX 수질모형을 개발한 바 있으나 아직 다른 호수에 적용되고 있지 않다 . 우리나라의 실정은 대부분 외국에서 개발된 수질예측 모형을 적용시키는 단계에 있다 . 또한 대부분의 수질예측 모형들이 입력자료로서 상세한 수질자료 및 반응상수의 자료들을 필요로 하지만 , 국내의 경우 이러한 파라미터에 대한 조사가 매우 부족하여 많은 입력자료 산정시 외국의 자료 또는 예상치를 이용하고 있어 결과에 대한 신뢰도의 평가가 어려운 실정에 있다 .

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위에 언급된 단점들을 보완하기 위하여 강원대학교 환경시스템 연구실에서는 WASP5 모형의 반응 기작을 토대로 일반 오염물 , 온도 , 부영양화 , 독성물질 등의 여러 오염 현상에 적용될 수 있는 전산 모형을 개발하였다 . 본 개발된 모형은 안정된 수치해를 얻고 , 수체의 형상을 자세히 표현하기 위하여 다차원 유한요소법을 적용하였다 . 또한 , 국내의 경우 파라미터에 대한 조사가 미흡한 단점을 보완하기 위하여 WASP5 의 파라미터를 재정리하여 파라미터 조사 정도에 따라 입력하여 모델링할 수 있도록 프로그램을 개발하였다(FEMWASP). 지표수유동 및 수질 문제를 완벽하게 해석하기 위해서는 지하수 유동 및 오염에 대한 해석을병행하여 수행하는 것이 바람직하다 .

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→ 화학적 과정위의 유한요소식에서 생화학적 반응에 의한 변환항을 선택적으로 구성함으로써 모형의 계산항목을 축소하거나 확대할 수 있다 . 가장 간단한 수질관리모형을 사용하여 BOD 와 DO 를 계산하기 위해서는 이미 잘 알려진 Streeter- Phelps 모형을 적용할 수 있고 , 이 모형에 질산화과정 및 부영양화과정을 더함으로서 모형은 여러 경우의 문제를 해석할 수 있다 . 따라서 본 연구에서는 WASP5 모형과 마찬가지로 본 모형에 선택적으로 4 가지 경우를 계산할 수 있도록 수정하였다 (Streeter-Phelps 모형 , 수정된 Streeter-Phelps 모형 , 완전 선형 DO 평형 모형 , 단순 부영양화 반응 모형 ). 부영양화 과정은 수질항목별로 다음과 같이 반응속도상수와 오염부하속도를 정의하였다 .1) 수질항목별 생화학적 반응식

(플랑크톤 사멸 )(탄소성 BOD 의 산화 )( 고형 BOD 침전 )( 질소성 BOD 의 감소 )

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② Org-N

③ NH3-N

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④ NO3-N

⑤ Org-P

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⑥ PO4-P

⑦ Phyto-C

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⑧ DO

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2) 부영양화 과정내 파라미터 해석부영양화 과정은 수체내에서 인 , 질소 등의 영양염류와 용존산소 , 탄소화합물을 주요인자로 물질간의 상호작용을 통한 수질 변화 과정을 포함한다 .아래 그림은 부영양화 현상의 주요 수질 변수간의 상호 관계를 나타내고 있다 . 주요과정을 보면 질산화와 유기질소 화합물의 무기이온화 , BOD

물질의 침전 및 분해 , 식물성 플랑크톤의 합성 , 분해 및 호흡과정 그리고 이 변화과정에 참여하고 있는 용존산소의 변환과 인의 순환과정이다 . 부영양화 현상의 주요과정별로 구분하여 설명하면 다음과 같다 .

① 질산화 ② 무기이온화 ③ 침전 ④ 분해 ⑤ 호흡 ⑥ 광합성 ⑦ 사멸 ⑧ 포기 ⑨ 소비 ⑩ 탈질화

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2) Numerical Algorithm 유한요소법에 포함되어 있는 적분은 손으로 직접 계산하여 그 식을 컴퓨터 프로그램으로 구성할 수 있는데 , 수치적분을 이용한 컴퓨터 프로그램을 구성하여 수행하면 직접 계산 과정에서 유발되는 실수를 감소시킬 수 있고 , 광범위하게 응용할 수 있는 범용적인 프로그램을 구성할 수 있다 . 유한요소법에서의 수치적분은 Newton-Cotes 적분법과 Gauss 적분법이 주로 쓰이는데 , 본 연구에서는 Gauss 적분법을 사용하였다 . Gauss 적분법은 선택점의 위치를 결정할 때 함수값을 잘 나타낼 수 있도록 결정하여야 하는데 , 본 연구에서는 기저함수가 선형이므로 계산시간과 해의 수렴상 선택점의 위치가 2 일 때가 가장 적절하여 이를 선택하였다 . Gauss 적분법은 다음의 식으로 나타낼 수 있다 .

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요소행렬 [ET]는 다음과 같다 .

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물질이동식을 이산화하면 각 방향별 요소 행렬은 다음과 같이 합쳐진 다음 주변수와 곱해진다 .

요소 행렬을 이용한 이산화된 물질이동식은 다음과 같다 .

시간영역에 대하여 일반적으로 이산화하여 최종 시스템식을 구성하면 다음과 같다 .

여기서 , {f}는 경계지역에서 유입 flux 를 의미한다 .

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본 알고리즘의 최종 행렬의 좌측행렬은 각 절점에서의 기지의 변수와 기저함수에 의해 평가되는 값으로 각각의 요소행렬별로 계산되어 띠행렬의 형태로 전체 행렬식에 조합된다 . 또한 우측부하벡터도 각각의 요소별로 평가된 이후에 부하벡터행렬로 조합된다 . 따라서 우측행렬과 좌측행렬은 선형연립방정식이 되어 이 행렬식을 풀면 각 절점별 농도가 구해진다 . 요소 행렬의 조합 절차는 전체의 행렬 형태가 비대칭 행렬식을 사용할 수 있고 , 변수의 기억용량을 줄이는 방향으로 수행한다 . 지배 방정식의 유한요소식에서 경계조건에 관련된 항은 경계에서의 전체유입량을 나타낸다 . 유한요소식은 전체 영역에 대하여 각 요소에 적용되지만 내부의 경계치들은 서로 상쇄되므로 전체적인 외곽의 경계치만이 필요하다 . 경계조건은 주 변수로 주어지는 값 , flux 값 , 복합된 형태의

세가지가 있다 . 최종전체식의 우변과 좌변에 큰 여유치를 더함으로써 알려진 경계값은 모형 실험을 통해 계속 유지된다 . 기저 및 가중함수를 사용하여 경계 조건의 유입량 적분이 수행된다 . 복합 형태의 경계 조건은 농도나 상의 flux가 경계와 외부의 농도나 압력 차이에 비례하는 경우이다 . flux 형태의 경계조건과 마찬가지로 적분은 기저 및 가중함수를 사용하여 행해진다 . 경계조건은 다음과 같이 제일 이 삼의 경계조건으로 나누어 평가할 수 있다‧ ‧

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- 제일 경계 조건제일 경계조건의 경우는 , 기지의 농도가 경계지역에 상주할 때이며 , 로

표시되어 , Penalty 방법을 사용하여 , 다음과 같이 평가된다 .

만일 , penalty 값이 매우 크다면 , 가 되는 것을 알 수 있다 .- 제이 경계 조건제이 경계조건의 경우는 , 기지의 유출율이 경계지역에 상주할 때이며 , 다음과 같이 평가된다 . 일차원 문제인 경우에는 다음과 같다 .

이차원 문제인 경우에는 다음과 같다 .

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삼차원 문제인 경우에는 다음과 같다

- 제삼 경계조건제삼 경계조건의 경우는 , 유출율이 경계지역의 농도에 따라

다음과 같이 결정되는 경우이다 .

시간영역에 대하여 일반화하면 다음과 같다

유한차분법을 적용하면 다음과 같다

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각 요소행렬은 전 요소영역에 대해 가우스점에서 기저함수의 적분에 의해서 계산되므로 모든 파라미터는 가우스점을 사용하여 전 영역에 대해서 평가되어야 한다 . 이 평가방법은 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

비선형 문제에 있어서 반복 계산은 오차의 조건을 만족할 때까지 반복된다 . 비선형식을 피하기 위해 새로운 시간 단계에서의 비선형항을 예측하는 것이 필요하며 , 이때 전단계의 값을 사용하는 것이 일반적이다 . 오차를 줄이기 위해 반복계산과 오차에 대한 조건이 필요하다 . 변수 예측이 불가능하거나 비선형의 정도가 심한 경우 오랜 계산 시간을 필요로 하게 된다 . 적절한 시간과 공간 변수의 구간 크기 설정과 초기조건의 결정이 비선형에 관련된 불안정성의 문제를 줄이기 위해 필수적이다 .

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확산에 의한 이동이 지배적인 경우는 수치해석상의 안정 문제가 지배방정식이 쌍곡선 형태로 접근하는 유속에 의한 이동이 지배적인 경우에 비해 심각하지 않다 . 후자의 경우 상부가중방식을 사용하는 것 이외에도 모사 시간 간격을 작게 잡는 것이 필요하다 . 이는 비선형의 정도가 심한 경우 큰 문제가 된다 . 이 문제를 극복하기 위해서는 시간과 공간구간의 크기를 변화시키는 것이 필요하다 . 가변시간 구간은 절단오차 (Truncation Error) 로부터 결정될 수 있다 . 가변 공간 구간 결정은 물질의 이동 전면을 찾는 방법을 필요로 한다 . 만약 농도 구배를 계산할 수 있다면 구배의 급격한 변화가 이동 전면을 나타낸다 . 이 위치에서는 작은 공간 크기가 요구된다 . 본 연구에 있어서는 비선형의 난점을 극복하기 위해 질량묶음 , 상부가중함수와 개량된 반복계산법이 사용되었다 .

- 비선형 반복 기법에 있어서 적절한 시간 간격의 선택 Cooley 의 반복 알고리즘을 비선형 해법으로 사용하였는데 , 이때

수렴값이 얻어질 때까지의 반복회수에 최소와 최대의 제한 범위를 두어서 만약 최대값보다 반복회수가 크면 시간간격을 자동적으로 줄였고 , 최소값보다 작으면 시간간격을 늘였다 . 알고리즘은 다음과 같다 :

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각 반복단계에 있어서 오차는 다음의 식으로 표현된다 .

Cooley 의 알고리즘은 다음과 같다 .

여기서 dha 는 각 반복단계에 있어서 최대허용 dh 이다

수질관리모델링 midterm exam

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