水素原子 - 組織・特性計算グループ(microstructure...
TRANSCRIPT
水素原子 by T.Koyama
1.シュレ-ディンガ-の波動方程式の極座標表示 シュレ-ディンガ-の波動方程式を3次元中心間ポテンシャルについて解こう。 まず、シュレ-ディンガ-の波動方程式は、
− ∇ +LNM
OQP =
22
2mV r E( ) ( ) ( )ψ ψr r (1)
にて与えられる。これを極座標表示に書き換える。変数の変換は、
x ry rz r
===
sin cossin sincos
θ φθθ
φ (2)
である。これより、
r x y z zr
yx
2 2 2 2= + + = =, cos , tanθ φ (3)
であり、さらに、
r x y z
r rx
x rx
xr
rr
r ry
y ry
yr
rr
r rz
z rz
zr
rr
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
= + +∂∂
= ∴∂∂
= = =
∂∂
= ∴∂∂
= = =
∂∂
= ∴∂∂
= = =
sin cos sin cos
sin sin sin sin
cos cos
θ φ θ φ
θ φ θ φ
θ θ
(4.1)
および、
cos
sinsin
sin cos cossin
cos cos
sinsin
sin sin cossin
cos sin
sinsin sin
cossin
sin
θ
θ θ θθ
θ φ θθ
θ φ
θ θ θθ
θ φ θθ
θ φ
θ θ θθ θ
θθ
θ
=
−∂∂
= −∂∂
= − ∴∂∂
= = =
−∂∂
= −∂∂
= − ∴∂∂
= = =
−∂∂
= −∂∂
= − ∴∂∂
= − =−
= −
zr
xzr
rx
xzr x
xzr r
yzr
ry
yzr y
yzr r
zrr
zr
rz r
zr z
zr r r r
2 3 3
2 3 3
2 2
2
3
2
3
21 1
r
r1
(4.2)
また、
1
tan
coscos sin sin
sin coscos sin
sin
coscos cos
sin coscossin
cos
φ
φφ φ φ θ φ
θ φφ φ
θ
φφ φ φ φ
θ φφθ
φφ φ
=
∂∂
= − ∴∂∂
= − = − = −
∂∂
= ∴∂∂
= = =
∂∂
= ∴∂∂
=
yx
xyx x
yx
rr r
yxx x x r r
z z
1
1 1
1 0 0
2 2 22
2 2 22
2 22
2
2
(4.3)
となる。以上から、x, y, zによる偏微分は、
∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
−∂∂
xrx r x x r r r
yry r y y r r r
zrz r z z r r
θθ
φφ
θ φ θ φθ
φθ φ
θθ
φφ
θ φ θ φθ
φθ φ
θθ
φφ
θ θθ
sin cos cos cos sinsin
sin sin cos sin cossin
cos sin
(5)
と計算される。次に x, y, zによる2階偏微分を計算しよう。結局は式(5)を2階続けて行えば良いのであるから、次のように計算される。
∂∂
∂∂
FHG
IKJ =
∂∂
+∂∂
−∂∂
FHG
IKJ
∂∂
+∂∂
−∂∂
FHG
IKJ
=∂∂
∂∂
+∂∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
∂∂
+∂∂
−∂∂
FHG
IKJ
−∂∂
∂∂
+
x x r r r r r r
r r r r
r r r r
r r
sin cos cos cos sinsin
sin cos cos cos sinsin
sin cos sin cos cos cos sinsin
cos cos sin cos cos cos sinsin
sinsin
sin cos cos cos
θ φ θ φθ
φθ φ
θ φ θ φθ
φθ φ
θ φ θ φ θ φθ
φθ φ
θ φθ
θ φ θ φθ
φθ φ
φθ φ
θ φ θ φr r
r r r r r r r
rr r r r
r r
rr
∂∂
−∂∂
FHG
IKJ
=∂∂
−∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ +
∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
+
∂∂
+∂
∂ ∂−
∂∂
+∂∂
∂∂
−∂
∂ ∂
F
H
GGGG
I
K
JJJJ
−−
∂∂
+
θφθ φ
θ φ θ θ φθ θ
φ φφ φ
θ φθ φ θ φ
θθ φ
θθ φ
θ
φ θθ φ
φθ θ φ
φθ
θ φ
sinsin
sin cos sin cos cos sin cos
cos coscos cos sin cos sin cos cos cos
sin cossin
sinsin
sinsin
sin sin
2 22
2
2 2 2
2 2
2
2
2
1 1
sin cos cos sin cos cos
cossin
sinsin
θ φφ
θ φθ
θ φφ θ
φθ φ
φθ φ
∂∂ ∂
+ −∂∂
+∂
∂ ∂
+ −∂∂
+ −∂∂
F
H
GGGG
I
K
JJJJ
2 2
2
2
r r r
r r
2
=∂∂
−∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ +
∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ −
sin cos sin cos cos sin cos
cos cos sin cos cos
cos sin cossin
cossin
sinsin
sin cos
2 22
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
1 1
1 1
1
θ φ θ θ φθ θ
φ φφ φ
θ φθ
θ θ φθ θ
θ φ φθ
θθ φ θ φ
φθ φ
φ φ
r r r r r r r
r r r r r r
r
r r r r
2
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
2
2
2
2
1φ θ φ
θ φθ
φθ
φφ θ
r r
r
sin
cos sinsin
sin cos
(6)
∂∂
∂∂
FHG
IKJ =
∂∂
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ
∂∂
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ
=∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
∂∂
+
y y r r r r r r
r r r r
r r r r
r r
sin sin cos sin cossin
sin sin cos sin cossin
sin sin sin sin cos sin cossin
cos sin sin sin cos sin cossin
cossin
sin sin cos sin
θ φ θ φθ
φθ φ
θ φ θ φθ
φθ φ
θ φ θ φ θ φθ
φθ φ
θ φθ
θ φ θ φθ
φθ φ
φθ φ
θ φ θ φr r
r r r r r r r
rr r r r
r r
r
∂∂
+∂∂
FHG
IKJ
=∂∂
−∂∂
+∂
∂ ∂−
∂∂
+∂
∂ ∂FHG
IKJ
+
∂∂
+∂
∂ ∂−
∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂
∂ ∂
F
H
GGGG
I
K
JJJJ
+
∂∂
θφθ φ
θ φ θ φ θ φθ
θ φθ
φθ φ
φθ φ
θ φθ φ θ φ
θθ φ
θθ φ
θ
θ φθ φ
φθ θ φ
φθ
θ φ
cossin
sin sin sin sin cos sin cos sin cossin
cossin
cos sincos sin sin sin sin sin cos sin
cos cossin
cossin
cossin
sin cos
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
r r r r
r r
+∂
∂ ∂+
∂∂
+∂
∂ ∂
−∂∂
+∂∂
F
H
GGGG
I
K
JJJJ
sin sin cos cos cos sin
sinsin
cossin
θ φφ
θ φθ
θ φφ θ
φθ φ
φθ φ
2 2
2
2
=∂∂
+ −∂∂
+∂
∂ ∂FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
−∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
sin sin sin cos sin sin cos
cos sin sin cos sin
cos sin cossin
cossin
cossin
sin cos
2 22
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
1 1
1 1
1
θ φ θ θ φθ θ
φ φφ φ
θ φθ
θ θ φθ θ
θ φ φθ
θθ φ θ φ
φθ φ
φ φ
r r r r r r r
r r r r r r
r
r r r r r r
r
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
+∂
∂ ∂FHG
IKJ
2
2
2
2
1φ θ φ
θ φθ
φθ
φφ θ
sin
cos cossin
cos sin
(7)
3
∂∂
∂∂
FHG
IKJ =
∂∂
−∂∂
FHG
IKJ
∂∂
−∂∂
FHG
IKJ
=∂∂
∂∂
−∂∂
FHG
IKJ −
∂∂
∂∂
−∂∂
FHG
IKJ
=∂∂
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
− −∂∂
+∂
∂ ∂−
∂∂
−∂∂
FHG
IKJ
=∂
z z r r r r
r r r r r r
r r r r
r r r r r
cos sin cos sin
cos cos sin sin cos sin
cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
cos
θ θθ
θ θθ
θ θ θθ
θθ
θ θθ
θ θ θθ
θθ
θ θ θθ
θθ
θθ
θ
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
1
1 1
∂+
∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
r r r r
r r r r r r
sin cos
sin sin cos
θ θθ θ
θθ
θ θθ θ
(8)
x, y, zによる2階偏微分が得られたのでラプラシアンは、
4
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
−∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ +
∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ +
∂∂
+∂
2
2
2
2
2
2
2 22
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
1 1
1 1
1
x y z
r r r r r r r
r r r r r r
r r r r
sin cos sin cos cos sin cos
cos cos sin cos cos
cos sin cossin
cossin
sinsin
θ φ θ θ φθ θ
φ φφ φ
θ φθ
θ θ φθ θ
θ φ φθ
θθ φ θ φ
φθ
2
2
2
2
2
2
2 22
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
1
1 1
1 1
∂FHG
IKJ
−∂
∂ ∂−
∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+ −∂∂
+∂
∂ ∂FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FH
φ
φ φφ θ φ
θ φθ
φθ
φφ θ
θ φ θ θ φθ θ
φ φφ φ
θ φθ
θ θ φθ θ
sin cossin
cos sinsin
sin cos
sin sin sin cos sin sin cos
cos sin sin cos sin
r r r
r
r r r r r r r
r r r r r rG IKJ
−∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
+∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
cos sin cossin
cossin
cossin
sin cossin
cos cossin
cos sin
cos sin cos
sin sin cos
θ φ φθ
θθ φ θ φ
φθ φ
φ φφ θ φ
θ φθ
φθ
φφ θ
θ θ θθ θ
θθ
θ θ
r
r r r r r r
r
r r r r
r r r r
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2 2
2
1 1
1
1 1 2
r r∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJθ θ
5
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+ −∂∂
+∂
∂ ∂FHG
IKJ + −
∂∂
+∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂
∂ ∂−
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ +
∂∂
sin cos sin sin cos
sin cos cos sin cos sin
sin cos cos sin cos sin
sin cos sin cos
2 22
22 2
2
22
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
1 1
1 1
1 1
θ φ θ φ θ
θ θ φθ θ
θ θ φθ θ
θ θ φθ θ
θ θ φθ θ
θ θθ θ
θ θθ
r r r
r r r r r r
r r r r r r
r r r r r−
∂∂ ∂
FHG
IKJ
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
+∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ + −
2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
1 1
1 1
r
r r r r r r
r r r r r r r r r
r r
θ
φ φφ φ
φ φφ φ
θ φθ
θ φθ
θθ
θ φ φθ
θθ φ θ φ
θ φ φθ
θ
sin cos sin cos
cos cos cos sin sin
cos sin cossin
cossin
cos sin cossin
cos
1
sin
sinsin
cossin
sin cossin
sin cossin
cos sinsin
sin cos cos cossin
cos sin
θ φ θ φ
φθ φ
φθ φ
φ φφ θ φ
φ φφ θ φ
θ φθ
φθ
φφ θ
θ φθ
φθ
φφ θ
∂∂
+∂
∂ ∂FHG
IKJ
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
+∂∂
FHG
IKJ
+ −∂
∂ ∂+
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂ ∂
−∂∂
FHG
IKJ
+∂∂
−∂
∂ ∂FHG
IKJ +
∂∂
+∂
∂ ∂FHG
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1
1 1
r r r r r r
r r r r r r
r rIKJ
=∂∂
+∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
1 1 1 1
2 1 1
1 1 1 1
r r r r r r r r
r r r r r r
r rr
r
θ θ φθθ θ
θθθ θ θ φ
θ θθ
θ θ φ
sincos
sin
cossin sin
sinsin
sin
(9)
にて与えられる。ここで、
1 1 1 1
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r rr f
r rr f
r r rr f
r rf r f
r
rfr
fr
r fr
fr r
fr r r r
f
∂∂
2
FHG
IKJ =
∂∂
FHG
IKJ =
∂∂
∂∂
FHG
IKJ
RSTUVW=
∂∂
+∂∂
FHG
IKJ
RSTUVW
=∂∂
+∂∂
+∂∂
RSTUVW =
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
FHG
IKJ
(10.1)
6
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2 2 2
2
2
r r
r
r r r
sinsin
sin sincos sin
sin
cossin sin
cossin sin
θ θθ
θ θ φ θθ
θθ
θ θ
θθ θ θ θ φ
θθθ θ θ φ
∂∂
∂∂ φ
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP=
∂∂
+∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP
=∂∂
+∂∂
+∂∂
LNM
OQP
=∂∂
+∂∂
+∂∂
(10.2)
を用いた。以上から、結局
∇ =∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP
22
2 2 2
2
2
1 1 1 1r r
rr sin
sinsinθ θ
θθ θ φ
(11)
であるので、シュレ-ディンガ-の波動方程式は、極座標にて
− ∇ +LNM
OQP =
− ∇ +LNM
OQP = −
∇ −LNM
OQP =
∇ − =
∇ + − − =
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
L
22
22
2 2
22
2
2 2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2 2
2
0
1 1 1 1
mV r E
mV r k
m
mV r k
U r k
U r k
r rr
r
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) { ( ) } ( )
( )sin
sinsin
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψθ θ
θθ θ φ
r r
r r
r r
r r
r r
rNM
OQP
+ − − =ψ ψ( ) { ( ) } ( )r rU r k 2 0
(12)
と書き直される。ここで
E km
U r mV r= − =
2 2
222, ( ) ( ) (13)
と置いた。 2.シュレ-ディンガ-の波動方程式の解法 シュレ-ディンガ-波動方程式の極座標表示が得られたので、次に変数分離にてこの偏微分方程式を解こう。まず、 ψ ψ θ φ θ φ( ) ( , , ) ( ) ( , )r = =r R r Y (14) と置く。これより、波動方程式は、
7
1 1 1 1 0
1 1 1 1
2
2 2 2
2
22
2
2 2 2
2
22
r rr R r Y
rR r Y U r k R r Y
Yr r
rR r R rr
Y U r k R r Y
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP
+ − − =
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP
+ − −
( ) ( , )sin
sinsin
( ) ( , ) { ( ) } ( ) ( , )
( , ) ( ) ( )sin
sinsin
( , ) { ( ) } ( )
θ φθ θ
θθ θ φ
θ φ θ φ
θ φθ θ
θθ θ φ
θ φ ( , )
( )( ) { ( ) }
( , ) sinsin
sin( , )
θ φ
θ φ θ θθ
θ θ φθ φ
=
∂∂
FHG
IKJ + − − +
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP
=
0
1 1 1 02
22 2
2
2
2r
R r rrR r r U r k
YY
と書き直され、これより、λを変数 ( , , )r θ φ に依存しない変数として、
rR r r
rR r r U r k
YY
( )( ) { ( ) }
( , ) sinsin
sin( , )
∂∂
FHG
IKJ + − − =
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP
= −
2
22 2
2
2
21 1 1
λ
θ φ θ θθ
θ θ φθ φ λ
となる。この2式をさらに変形し、最終的に
rR r r
rR r r U r k
rR r rrR r U r k
r
r rrR r U r k
rR r
( )( ) { ( ) }
( )( ) { ( ) }
( ) ( ) ( )
∂∂
FHG
IKJ + − − =
∂∂
FHG
IKJ + − − =
∂∂
FHG
IKJ + − − −RST
UVW =
2
22 2
2
22
2
2
22
2
1
1 0
λ
λ
λ
(15)
1 1 1
1 1 0
1 1 0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
YY
Y Y
Y
( , ) sinsin
sin( , )
sinsin
sin( , ) ( , )
sinsin
sin( , )
θ φ θ θθ
θ θ φθ φ λ
θ θθ
θ θ φθ φ λ θ φ
θ θθ
θ θ φλ θ φ
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP
= −
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
LNM
OQP
+
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
+LNM
OQP
=
= (16)
を得る。さらに変数分離を続けよう。 Y F G( , ) ( ) ( )θ φ θ φ= (17) と置く。これより、式(16)は、
8
1 1 0
1 1 0
1 1 0
1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sinsin
sin( , )
sinsin
sin( ) ( )
sinsin ( ) ( )
sin( ) ( ) ( ) ( )
( )sin
sin ( ) ( )sin
θ θθ
θ θ φλ θ φ
θ θθ
θ θ φλ θ φ
θ θθ
θθ φ
θ φθ φ λ θ φ
φθ θ
θθ
θ θθ
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
+LNM
OQP
=
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
+LNM
OQP
=
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂∂
+ =
∂∂
∂∂
FHG
IKJ +
∂
Y
F G
F G F G F G
G F F∂
+ =
∂∂
∂∂
FHG
IKJ + +
∂∂
=
φφ λ θ φ
θθ
θθ
θθ λ θ
φ φφ
2
22
2
0
1 1 0
G F G
FF
GG
( ) ( ) ( )
( )sin sin ( ) sin
( )( )
と変形され、これより、µを ( , )θ φ に依存しない変数として、
1
1
2 2
2
22
FF
GG
( )sin sin ( ) sin
( )( )
θθ
θθ
θθ λ θ µ
φ φφ µ
∂∂
∂∂
FHG
IKJ + =
∂∂
= −
(18)
が成立する。この2つ目の式は容易に解けて、
1
0
2
22
2
22
GG
G G
G A i
( )( )
( ) ( )
( ) exp( )
φ φφ µ
φφ
µ φ
φ µ
∂∂
= −
∂∂
+ =
∴ = φ
である。関数の規格化条件から、
G d A d A A( ) ,φ φ φ ππ
π π2
0
2 2
0
2 22 1 12z z= = = =
である。ここで、 と仮定した。したがって、A > 0 G( )φ は、
G( ) exp( )φπ
µφ=12
i (19)
にて与えられる。ここで、周期的境界条件から、
G G
im
( ) ( ) exp( )
exp( ), , , ,
0 12
2 12
2
2 10 1 2 3
= = =
∴ == = ± ± ±
ππ
ππ µ
π µµ
i
(20)
9
となりµは整数となる。 次に式(18)の始めの式を解こう。µを mに置き換えて、
1
0
1 0
2 2 2
2 2
2
2
FF m
F F m F
F m F
( )sin sin ( ) sin
sin sin ( ) ( ) sin ( )
sinsin ( )
sin( )
θθ
θθ
θθ λ θ µ
θθ
θθ
θ θ λ θ θ
θ θθ
θθ λ
θθ
∂∂
∂∂
FHG
IKJ + = =
∂∂
∂∂
FHG
IKJ + −
∂∂
∂∂
FHG
IKJ + −
FHG
IKJ =
= (21)
となる。さらに、
cos , sin
( ) (cos )
θθ θ
θ
θ θ
= = = −
=
x dd
dxd
ddx
ddx
F f
と変数変換しよう。これより、
1 0
1 0
1 0
1
2
2
2
2
2
2
22
2
sinsin ( )
sin( )
sinsin ( )
sin( )
sinsin sin sin ( )
sin( )
sinsin sin ( )
sin
θ θθ
θθ λ
θθ
θ θθ
θθ λ
θθ
θθ θ θ θ λ
θθ
θθ θ θ λ
θ
∂∂
∂∂
FHG
IKJ + −
FHG
IKJ =
FHG
IKJ + −
FHG
IKJ =
− −FHGIKJ
RSTUVW + −
FHG
IKJ =
− −FHGIKJ
RSTUVW + −
FHG
IKJ
F m F
dd
dd
F m F
ddx
ddx
F m F
ddx
ddx
F m F( )
sinsin sin cos sin ( )
sin( )
sin cossin
sin ( )sin
( )
cos sin ( )sin
( )
( )
θ
θθ θ θ θ θ θ λ
θθ
θ θθ
θ θ λθ
θ
θ θ θ λθ
θ
=
− − −FHG
IKJ
RSTUVW
+ −FHG
IKJ =
−FHGIKJ +
RSTUVW + −
FHG
IKJ =
− +FHG
IKJ + −
FHG
IKJ =
− + −
0
1 2 0
2 1 0
2 0
2 1
22
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
ddx
ddx
ddx
F m F
ddx
ddx
F m F
ddx
ddx
F m F
x ddx
x d 2
2
2
2
22
2
2
2
10
1 21
0
dxF m
xF
x d f xdx
x df xdx
mx
f x
FHG
IKJ + −
−FHG
IKJ =
− − + −−
FHG
IKJ =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
θ λ θ
λ
(22)
と書き直される。これはルジャンドルの陪微分方程式である。特に の時は、ルジャン
ドルの微分方程式 m = 0
10
( ) ( ) ( ) ( )1 222
02
00− − +x d f x
dxx df x
dxf xλ 0= (23)
となる。この解がルジャンドル多項式であるが、これを級数解法にて解いてみよう。まず、
を級数展開にて、 f x0 ( )
f x C x x
df xdx
k m C x
d f xdx
k m k m C x
mk m
m
mk m
m
mk m
m
00
00
1
02
02 0 0
2
0
0
0
0
1 1
1
( ) , ( )
( )
( ) ( )( )
= − ≤ ≤
= +
= + + −
+
=
∞
+ −
=
∞
+ −
=
∞
∑
∑
∑
b g (24)
と置く(xの指数部の mは、先の式(20)の mではないので注意すること)。これを、ルジャンドルの微分方程式(23)に代入し整理する。
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
(
1 2 0
1 1 2
1 1
2
22
02
00
20 0
2
00
1
0 0
0 02
00 0
0
0
0 0
0 0
− − + =
− + + −RST
UVW − +RST
UVW +RST
UVW =
+ + − − + + −
−
+ −
=
∞+ −
=
∞+
=
∞
+ −
=
∞+
=
∞
∑ ∑
∑ ∑
x d f xdx
x df xdx
f x
x k m k m C x x k m C x C x
k m k m C x k m k m C x
k
mk m
mm
k m
mm
k m
m
mk m
mm
k m
m
λ
λ
+ + =
− + + + + + −
− + + − − + + =
− + +
+
=
∞+
=
∞
− − + −
=
∞
+
=
∞+
=
∞+
=
∞
−
∑ ∑
∑
∑ ∑ ∑
m C x C x
k k C x k k C x k m k m C x
k m k m C x k m C x C x
k k C x k k C x
mk m
mm
k m
m
k km
k m
m
mk m
mm
k m
mm
k m
m
k k
)
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0 02
0 0 11
0 02
2
0 00
00 0
0 0 02
0 0 1
0
1 1 1
1 2 0
1 1
λ
λ
−+
+
=
∞
+
=
∞+
=
∞+
=
∞
− −
++
+ + + + +
− + + − − + + =
− + +
+ + + + + − + + − − + +
∑
∑ ∑ ∑
10 0 2
0
0 00
00 0
0 0 02
0 0 11
0 0 2 0 0 0
2 1
1 2 0
1 1
2 1 1 2
0
0 0 0
0 0
0
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
k m k m C x
k m k m C x k m C x C x
k k C x k k C x
k m k m C k m k m C k m C C x
mk m
m
mk m
mm
k m
mm
k m
mk k
m m mk
λ
λl q
00∑
mm
mk k
m mk m
m
k k C x k k C x
k m k m C k m k m C x
=
∞
− −
++
=
∞
∑
∑
=
− + +
+ + + + + + − + + + =
0
0 0 02
0 0 11
0 0 2 0 00
0
1 1
2 1 1 0
0 0
0
( ) ( )
( )( ) { ( )( )}λ
決定方程式より、C から、k k0 0≠ k0 0 01 0 0( ) , 1,− = ∴ = が得られ、さらに ( )k k0 01 0+ = よ
り、k の時、C は任意である。任意であるから通常C0 0= 1 1 0= と置く。また の時には、
となる。また、 k0 1=
C1 0=
11
( )( ) { ( )( )}
( )( )( )( )
k m k m C k m k m C
C k m k mk m k m
C
m m
m m
0 0 2 0 0
20 0
0 0
2 1 11
2 1
+ + + + + − 0+ + + =
=+ + + −+ + + +
+
+
λλ (25)
である。 まず始めに の場合を考えよう。これより、 k0 0=
C m mm m
Cm+ =+ −
+ +21
2 1( )
( )( ) mλ (26)
である。ここで、
C m mm m
C m mm m
C m mm m
Cm m m+ =+ −
+ +=
+ −+ +
=+ −+ +2
2
2
2
21
2 1 3 21 11 3 2
( )( )( )
/ // /
λ λ λm
と変形されるので、λが m に無関係な定数であれば、m→ ∞で となり、解は収
束しない。 で と収束するためには、
C Cm+ =2 m
m→ ∞ Cm → 0 λと m の間に何らかの関係が存在しなくてはならない。nを整数として、
λ = + = + ≤
= >
n n n n n m
C nm
( ) ,
,
1
0
2
m (27)
が成立する時に と収束する。なぜなら、 Cm → 0 m m m m n n m n m n m n m n m n2 2 2 1+ − = + − − = + − + − = + + −λ ( )( ) ( ) ( )( ) であり、これを式(26)に代入すると、
C m n m nm m
C n m m n mm m
Cm m+ =+ +
m−
+ +=
+ + −+ +2 2 2
13 2
1 1 11 3 2
( )( ) ( / / )( // /
)
が得られ、
lim ( / / )( / )/ /
lim( / )( / ) limm m m
n m m n mm m
n m n m nm→∞ →∞ →∞
+ + −+ +
= + − = − FHGIKJ
RS|T|UV|W|<
1 1 11 3 2
1 1 12
2
1
であるから、結局、式(27)の条件が成立すれば、 n m≤ の場合、漸化式(26)は大きな mに対して、 に収束することがわかる。またCm → 0 n m> では式(27)よりC としたので、当
然ながら である。つまり、式(27)の条件が成立すれば、式(24)は無限級数ではなく、有限級数展開(=多項式展開)できるのである。議論が若干複雑になってきたので、ここでいったんまとめてみよう。
m = 0Cm = 0
・ルジャンドルの微分方程式
12
( ) ( ) ( ) ( )1 222
02
00− − +x d f x
dxx df x
dxf xλ 0=
1≤
(28.1)
・級数展開( の場合) k0 0=
(28.2) f x C x xmm
m0
0
1( ) , ( )= − ≤=
∞
∑ ・解が収束する条件
λ = + = + ≤
= >
n n n n n m
C nm
( ) ,
,
1
0
2
m (28.3)
・漸化式
C m n m nm m
C m n n mm m
Cm m+ =+ + −+ +
= − m+ + −+ +2
12 1
1 12 1
( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )
(28.4)
・初期条件 (28.5) C C0 10≠ , 0= となる。さて、初期条件において、決定方程式からC1 0= としたので、漸化式から級数展
開には偶数次しか現れないことがわかる。具体的に展開してみよう。 C C C0 0 1 0= =, の時 m + =2 2
C n n C2 01 12
= −+( ) ( )
!
の時 m + =2 4
C n n C n n n n C
n n n n C
4 2
20
1 3 24 3
1 3 24 3
1 12
1 3 1 24
= −+
0−
⋅= −
+ −⋅
−+
= −+ + −
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )!
( ) ( )( ) ( )!
の時 m + =2 6
C n n C n n n n n n C
n n n n n n C
6 42
0
30
1 5 46 5
1 5 46 5
1 3 1 24
1 5 3 1 2 46
= −+ −
⋅= −
+ −⋅
−+ + −
= −+ + + − −
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )!
( ) ( )( )( ) ( )( )!
の時 m + =2 8
C n n C n n n n n n n n C
n n n n n n n n C
8 63
0
40
1 7 68 7
1 7 68 7
1 5 3 1 2 46
1 7 5 3 1 2 4 68
= −+ −
⋅= −
+ −⋅
−+ + + − −
= −+ + + + − − −
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )!
( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )!
ここで、ルジャンドル多項式は、
13
P x n pn p n p p
xnp
nn p
p
n
( ) ( ) ( )!( )!( )! !
/
= −−
− −−
=∑ 1 2 2
2 22
0
2
(29)
にて定義される。n=偶数として、 n p l− =2 2 と置き、pを消去すると、
P x n pn p n p p
x
n n ln n l n n l n l
x
n ln l l n l
x
np
nn p
p
n
n ln
n n l
l
n
n ln
l
l
n
( ) ( ) ( )!( )!( )! !
( ) ( )!( / )!( )!( / )!
( ) ( )!( / )!( )!( / )!
/
//
//
= −−
− −
= −− +
− + − + −
= −+
+ −
−
=
− −
=
−
=
∑
∑
∑
1 2 22 2
1 2 22 2 2 2
1 22 2 2 2
2
0
2
2 2
0
2
2 2
0
2
+
これも具体的展開してみよう。 x l2 の係数は次のように定義しよう。
C n ln l l n ll
n ln2
21 22 2 2 2
≡ −+
+ −−( ) ( )!
( / )!( )!( / )!/
l = 0の時、
C nn n
nn0
212 2 2
= −( ) !( / )!( / )!
/
l = 1の時、
C nn n
n n n nn n n
n n nn
C
n n nn
C
n n C
nn
n
n22 1
2
0
0
0
1 22 2 1 2 2 1
11
2 1 22 2 1 2 2 2
11
2 1 22 1
11
2 12
1 12
≡ −+
+ −=
−−
+ ++
=−
+ ++
=−
+ ++
= −+
−( ) ( )!( / )! !( / )!
( )( )
( )( ) !( / )( / )( / )! !( / )!
( )( )( )( / )
( / )2!
( )( )( )
( )2!
( ) ( )!
//
l = 2の時、
C nn n
n n n n n n nn n n n
n n n n n nn n
C
n n n n
nn
n
n
42 2
2
2
2 0
2
1 42 2 2 4 2 2
11
4 3 2 1 2 22 2 2 2 1 2 4 2
11
4 3 2 1 2 2 12 2 2 1
11
4 3 2 1
≡ −+
+ −
=−−
+ + + + −+ +
=−
+ + + + −+ +
=−
+ + + +
−( ) ( )!( / )! !( / )!
( )( )
( )( )( )( ) !( / )( /( / )( / )( / )! !( / )!
( )( )( )( )( )( / )( / )
( / )( / )4!
( )( )( )( )( )
/
/ 1)
n nn n
C
n n n n C
( )( )( )4!
( ) ( )( ) ( )!
−+ +
= −+ + −
24 2
1 3 1 24
0
20
14
l = 3の時、
C nn n
n n n n n n n n n nn n n n n
n n n n n n n n nn
nn
n
n
62 3
2
3
3
1 62 2 3 6 2 3
11
6 5 4 3 2 1 2 2 1 22 2 3 2 2 2 1 2 6 2
11
6 5 4 3 2 1 2 2 1 2 22
≡ −+
+ −
=−−
+ + + + + + − −+ + +
=−
+ + + + + + − −+
−( ) ( )!( / )! !( / )!
( )( )
( )( )( )( )( )( ) !( / )( / )( /( / )( / )( / )( / )! !( / )!
( )( )( )( )( )( )( )( / )( / )( / )
( /
/
/ 2)
3 2 2 2 111
6 5 4 3 2 1 2 46 4 2
1 5 3 1 2 46
0
3 0
30
)( / )( / )6!
( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )
( )( )( )6!
( ) ( )( )( ) ( )( )!
n nC
n n n n n n n n nn n n
C
n n n n n n C
+ +
=−
+ + + + + + − −+ + +
= −+ + + − −
以上から、ルジャンドル多項式が式(28.2)そのものであることがわかる。つまりルジャンドル多項式が式(28.1)の解である。 式(25)において の場合は、以上と同様にして、n=奇数に対するルジャンドル多項式が解となる。最も重要な点は、解が収束する条件として、式(28.3)のように
k0 1=λが特別な値に
限定される点である。 さて、以上は式(22)において、m の場合であったが、次に= 0 m ≠ 0における解を求める。天下り式ではあるが、解はルジャンドル陪関数
f x P x x ddx
P x n m nnm m
m
m n( ) ( ) ( ) ( ) , ( )/= = − − ≤ ≤1 2 2 (30)
になる(式(28.3)の mは単に展開次数を表す記号であり、式(22)において導入された上式のmとは異なるので注意)。結局、式(17)の F( )θ は、
F C f x CP x C P
n n mn m
P m
nm
nm
nm
( ) ( ) ( ) (cos )
( )!( )!
(cos ) , ( )
θ θ
θ
= = =
=+F
HGIKJ
−+
≤2 1
2n
(31)
にて与えられる。規格化定数 Cは規格化条件から決定されている。 式(17)(19)(20)(31)から、
Y F G
n n mn m
P im mnm
( , ) ( ) ( )
( )!( )!
(cos ) exp( ) , ( )n
θ φ θ φ
πθ φ
=
=+F
HGIKJ
−+
≤12
2 12
(32)
となる。さらにパリティ-まで考慮するために をつけて、最終的に ( )−1 m
Y n l ml m
P imlmm
lm( , ) ( ) ( )!
( )!(cos )exp( ) , ( )θ φ
πθ φ= −
+ m lFHG
IKJ
−+
≤1 2 14
(33)
と書かれ、これは球面調和関数と呼ばれる(慣例に従い、n と置き直した)。なお、( )l −1 m→
15
をついても、もともとYlm( , )θ φ は空間的に+側と-側が対称な関数であるので一般性を失わない。 さて、以上で波動関数の方位依存性部分が得られたので、次に動径方向について求めよう。まず動径方向の波動関数は式(15)より、
1 02
22
2rd
d rrR r U r k l l
rR r( ) ( ) ( ) ( )1F
HGIKJ + − − −
+RSTUVW = (34)
である。ただし、式(28.3)よりλ = +l l( 1)とした。ポテンシャルとして、
U r m er
m er
( ) = −FHG
IKJ = −
2 14 22
0
2
02
2
πε πε (35)
を採用しよう。απε
=me2
022および χ( ) ( )r rR r= と置いて、
12
1 0
1 0
1 0
2
20
2
22
2
2
22
2
2
22
2
rddr
rR r m er
k l lr
R r
ddr
rR r kr
l lr
rR r
ddr
r kr
l lr
r
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
FHG
IKJ + − −
+RSTUVW =
FHG
IKJ + − + −
+RSTUVW =
FHG
IKJ + − + −
+RSTUVW =
πε
α
χ α χ
(36)
さらに、 χ( ) ( ) ( ) exp( )r rR r X r kr= = − (37) と置く。
ddr
r kr
l lr
r
ddr
X r kr kr
l lr
X r kr
dd r
d X rd r
kr kX r kr kr
l lr
X r kr
d X rd r
k dX rd r
k X r
2
22
2
2
22
2
22
2
22
1 0
1 0
1 0
2
χ α χ
α
α
( ) ( ) ( )
( ) exp( ) ( ) ( ) exp( )
( ) exp( ) ( ) exp( ) ( ) ( ) exp( )
( ) ( ) ( )
FHG
IKJ + − + −
+RSTUVW =
−FHG
IKJ + − + −
+RSTUVW − =
− − −RST
UVW + − + −+RST
UVW − =
− +RST
UVW − + − + −+RST
UVW − =
− + −+RST
UVW =
exp( ) ( ) ( ) exp( )
( ) ( ) ( ) ( )
kr kr
l lr
X r kr
d X rdr
k dX rd r r
l lr
X r
22
2
2 2
1 0
2 1 0
α
α
さらに、変数を無次元にするために、
16
2
2
2 42
22
2
2
kr x
dd r
d xd r
dd x
k dd x
dd r
d xd r
dd x
k dd x
k dd x
=
=FHG
IKJ =
=FHG
IKJ
FHG
IKJ =
(38)
と置く。したがって、最終的に
d X rdr
k dX rdr r
l lr
X r
k d X x kd x
k dX x kdx
kx
k l lx
X x k
d X xd x
dX xdx
kx
l lx
X x
2
2 2
22
22
2
2
2
2 2
2 1 0
4 2 4 2 2 4 1 2
2 1 0
( ) ( ) ( ) ( )
{ / ( )} { / ( )} ( ) { / ( )}
( ) ( ) / ( ) ( ) ( )
− + −+RST
UVW =
− + −+RST
UVW =
− + −+RST
UVW =
α
α
α
0 (39)
を得る。さて、級数展開しよう。
X x C x
dX xdx
m k C x
d X xdx
m k m k C x
mm k
m
mm k
m
mm k
m
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
=
= +
= + + −
+
=
∞
+ −
=
∞
+ −
=
∞
∑
∑
∑
0
0
0
0
01
02
2 0 02
0
1
(40)
これを式(39)に代入し、整理すると、
17
d X rd x
dX rdx
kx
l lx
X x
m k m k C x m k C x
kx
l lx
C x
m k m k C x m k C x
k
mm k
mm
m k
m
mm k
m
mm k
mm
m k
m
2
2 2
0 02
00
1
0
20
0 02
00
1
0
2 1 0
1
2 1 0
1
2
0 0
0
0 0
( ) ( ) / ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
/ ( ) ( )
( )( ) ( )
− + −+RST
UVW =
+ + − − +
+ −+RST
UVW =
+ + − − +
+
+ −
=
∞+ −
=
∞
+
=
∞
+ −
=
∞+ −
=
∞
∑ ∑
∑
∑ ∑
α
α
α C x l l C x
m k m k l l C xk
m k C x
m k l m k l C xk
m k C x
k l k l
mm k
mm
m k
m
mm k
mm
m k
m
mm k
mm
m k
m
+ −
=
∞+ −
=
∞
+ −
=
∞+ −
=
∞
+ −
=
∞+ −
=
∞
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
− + =
+ + − − + + − +RSTUVW =
+ + + − − + − +RSTUVW =
+ − −
0 0
0 0
0 0
1
0
2
0
0 02
00
1
0
0 02
00
1
0
0 0
1 0
1 12
0
12
0
( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )(
l q α
α
1 1
20
1 1
20
1
1
0 0 02
1
01
0
0 0 0 0 0 11
0
01
0
0 0 0
0 0
0
0
0
0
) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )(
C m k l m k l C x
km k C x
k l k l C m k l m k l C x
km k C x
k l k l C
m k l m k
mm k
m
mm k
m
mm k
m
mm k
m
+ + + + − −
+ − +RSTUVW =
+ − − + + + + + −
+ − +RSTUVW =
+ − −
+ + + + +
+ −
=
∞
+ −
=
∞
++ −
=
∞
+ −
=
∞
∑
∑
∑
∑
α
α
− + − +RSTUVW
LNM
OQP =+
+ −
=
∞
∑ l Ck
m k C xm mm k
m
) ( )1 01
0 200
α
(41)
となる。なお、式の変形において、
(42) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{( ) }{( ) ( )}( )( )
m k m k l l m k m k l lm k l m k l
m k l m k l
+ + − − + = + − + − += + + + − += + + + − −
0 0 02
0
0 0
0 0
1 1 11
1 を用いた。ここで、C0 0≠ より、 ( )( )k l k l0 0 1 0+ − − = でなくてはならない。したがって、
か であるが、 の時、 は原点で発散するので物理的に解ではな
い。したがって、 でなくてはならない。したがって、式(41)から、 に関する漸
化式は、
k l0 = − k l0 1= + k0 = −l X x( )k l0 1= + Cm
18
( )( ) ( ) , ( , ,
( )( ) ( ) , ( , , , , )
( ) ( ) , ( , , , )
( )
( )
m k l m k l Ck
m k C m
m l m Ck
m l C m
m l mCk
m l C m
Cm l
km m l
C
m m
m m
m m
m m
+ + + + − + − +RSTUVW = =
+ + + + − + +RSTUVW = =
+ + + − +RSTUVW = =
=+ −RST
UVW+ +
+
+
−
0 0 1 0
1
1
12
0 0 1 2 3
2 2 12
1 0 0 1 2 3
2 12
0 1 2 3
22 1
α
α
α
α
− =1 1 2 3, ( , , , )m
, , )
(43)
にて与えられる。ここで、 において、 m→ ∞
Cm l
km m l
C
lm km
m lC
m lC
mCm m m m=
+ −RSTUVW
+ +=
+ −RSTUVW
+ +≅
+ +≅− − −
( )
( ) ( ) ( )
α α2
2 1
12
2 112 1
11 1 m−1 1
となる。また
exp( )
! ! !x
mx x x x x C
Cm
C
m
mm
m
m
m m
= = + + + + + =
∴ =
=
∞
=
∞
−
∑ ∑1 1 12
13
14
10
2 3 4
0
1
x
であることを考え合わせると、mの大きな所で、 は指数関数になっていることがわか
る。したがって、 X x( )
X x C x C x x C x x xmm k
mm
m l
m
lm
m
m
l( ) exp( )= = = ≅+
=
∞+ +
=
∞+
=
∞+∑ ∑ ∑0
0
1
0
1
0
1
と表すことができる書ける。しかし、この場合、
χ( ) ( ) exp( )( ) exp( / )
exp( ) exp( / )exp( / )
r X r krX x xx x xx x
l
l
= −= −
≅ −
≅
+
+
22
2
1
1
注)式(39)において、 X r X x k X x( ) { / ( )} ( )= =2 としたことに注意すること。 となり、 χ( )r が発散してしまう。 χ( )r が物理的に意味を持つ解を有するためには、結局、 X x( )が無限級数ではなく、有限な多項式で表されると仮定するしかない。つまり、あるm N= において とするのである。このようにすれば、mCN = 0 N> の は全てCm Cm = 0となる。したがって、
19
C
N lk
N N lC
N lk
N
N N=+ −RST
UVW+ +
=
∴ + − = =
−
( )
( )
( ) , ( , , ,
α
α
22 1
0
20 1 2
1
)3
(44)
である。Nと lは自然数および整数であるので、とびとびの値を取ることになる。つまり、これより、物理的に意味のある k の値は、離散的な値を取ることが導かれたのである。
απε
=me2
022および、 E k
m= −
2 2
2であるから、
( ) ,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ), ( , , , )
N lk
kN l
meN l
E km m
m eN l
meN l
N l
+ − = ∴ =+
=+
= − = −+
= −+
+ =
α απε
πε πε
20
2 4
2 2 4 2 41 2 3
2
02
2 2 2 2 4
02 4 2
4
02 2 2
(45)
これが水素原子のエネルギ-固有値である。n N l= + とすると、nは主量子数と呼ばれる。なお、N-1は動径関数の節の数であり、lは球面調和関数の節の数である。 次に式(39)が、ラゲ-ルの微分方程式であることを証明しよう。そのために、
X x x y xdX x
dxl x y x x dy x
dxd X x
dxl l x y x l x dy x
dxx d y x
dx
l
l l
l l l
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=
= + +
= + + + +
+
+
− +
1
1
2
21 1
2
2
1
1 2 1
(46)
と置いて式(39)を整理する。
20
d X rd x
dX rdx
kx
l lx
X x
d X rd x
dX rdx
N lx
l lx
X x
l l x y x l x dy xdx
x d y xdx
l x y x x dy xdx
N lx
l lx
x y x
x
l l l l l
l
l
2
2 2
2
2 2
1 12
21
21
2 1 0
1 0
1 2 1 1
1 0
( ) ( ) / ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
− + −+RST
UVW =
− ++
−+RST
UVW =
+ + + + − + −
++
−+RST
UVW =
− +
+
+
α
+
12
21
12
1
2
2
2
2
2 1
1 1 1 0
2 1
1 1 1 0
2 1
d y xdx
l x dy xdx
x dy xdx
l l x y x l x y x N lx
l lx
x y x
x d y xdx
l dy xdx
x dy xdx
l lx
y x l y x N l l lx
y x
x d y xdx
l
l l
l l l
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) {( )
+ + −
+ + − + ++
−+RST
UVW =
+ + −
++
− + + + −+RST
UVW =
+ +
+
− +
+ − + − =1 1 0x dy xdx
N y x} ( ) ( ) ( ) (47)
ここでラゲ-ルの微分方程式およびラゲ-ルの多項式は、
xd L x
dxp x
dL xdx
qL xqp
qp
qp
2
2 1( )
( )( )
( )+ + − + = 0 (48)
L x q pm m p q m
xqp
mm
m
q
( ) ( ) ( )!!( )!( )!
=− ++ −=
∑ 10
(49)
にて与えられる。したがって、 p l= +2 1、およびq N= −1の時に、式(48)と(47)が一致することがわかる。またこの場合、ラゲ-ル多項式は、
L x q pm m p q m
x
L x N lm m l N m
x
L x N lm m l N m
x
L x N lm m l N m
qp
mm
m
q
Nl
mm
m
N
Nl
mm
m
N
Nl
m
( ) ( ) ( )!!( )!( )!
( ) ( ) ( )!!( )!( )!
( ) ( ) ( )!!( )!( )!
( ) ( )! ( )!( )!( )
=− ++ −
=− − + ++ + − −
=− ++ + − −
= +−
+ + − −
=
−+
=
−
−+
=
−
−+
∑
∑
∑
1
1 1 2 12 1 11 22 1 1
2 12 1 1
0
12 1
0
1
12 1
0
1
12 1
!x m
m
N
=
−
∑0
1
(50)
となる。ここで式(43)の漸化式は、式(45)を用いると、
21
Cm l
km m l
Cm l N lm m l
C N mm m l
Cm m m=+ −RST
UVW+ +
=+ − +
+ += −
−+ +− −
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
α2
2 1 2 11
2 11 1l q
m−1 (51)
となるので、これを書き下すと、
C Nl
C1 01 11 2 1
= −−
+ +( ) ( )
( )
C N
lC N
lN
lC
N Nl l
C
2 1
20
1 22 2 2 1
1 22 2 2 1
1 11 2 1
1 2 12 2 2 1 1 2 1
= −−
+ += − 0
−+ +
−−
+ +
= −− −
+ + + +
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )( )
C N
lC N
lN N
l lC
N N Nl l l
C
3 22
0
30
1 33 3 2 1
1 33 3 2 1
1 2 12 2 2 1 1 2 1
1 3 2 13 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1
= −−
+ += −
−+ +
−− −
+ + + +
= −− − −
⋅ ⋅ + + + + + +
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )(
( ) ( )( )( )( )( )( )
)
C N
lC N
lN N N
l l lC
N N N Nl l l l
C
4 33
0
40
1 44 4 2 1
1 44 4 2 1
1 3 2 13 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1
1 4 3 2 14 3 2 4 2 1 3 2 1 2 2 1 1 2 1
= −−
+ += −
−+ +
−− − −
⋅ ⋅ + + + + + +
= −− − − −
⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + +
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )( )( )(
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )
)
である。これより、
C N m N m N
m m l m l lC
N lm m l N m
C
mm
m
= −− − − −
+ + + + + +
= −− +
+ + − −
( ) ( )( ) ( )!( )( ) ( )
( ) ( )!( )!!( )!( )!
1 1 12 1 2 1 1 2 1
1 1 2 12 1 1
0
0
(52)
である。したがって、
X x C x
x C x
x N lm m l N m
C x
x C N lm m l N m
x
mm k
m
lm
m
m
N
l m m
m
N
lm
m
m
N
( )
( ) ( )!( )!!( )!( )!
( )!( )! ( )!( )!( )!
=
=
= −− +
+ + − −
= − +−
+ + − −
+
=
∞
+
=
−
+
=
−
+
=
−
∑
∑
∑
∑
0
0
1
0
1
10
0
1
10
0
1
1 1 2 12 1 1
1 2 1 12 1 1
(53)
を得る。これより、式(50)を利用すると、
22
X x x C N l
m m l N mx
x C N lN l
L x
lm
m
m
N
lNl
( ) ( )!( )! ( )!( )!( )!
( )!( )!( )!
( )
= − +−
+ + − −
=− +
+
+
=
−
+−+
∑10
0
1
10 1
2 1
1 2 1 12 1 1
1 2 12
(54)
と表されることがわかる。関数を元の に戻そう。先に、 R r( )
R rr
rr
kr X r( ) ( ) exp( ) ( )= = −1 1χ および 2kr x=
と置いたので、
R rr
kr X r
rkr kr C N l
N lL kr
kC kr kr N lN l
L kr
lNl
lNl
( ) exp( ) ( )
( ) exp( ) ( )!( )!( )!
(
( ) exp( ) ( )!( )!( )!
( )
= −
= −− +
+
= −− +
+
+−+
−+
1
1 2 1 2 12
2
2 2 1 2 12
2
10
2 1
0 12 1
)1 (55)
となる。さらに関数の規格化条件から、最終的に、
R r k k NN l N
kr kr L krN ll
Nl( ) ( ) ( )!
( ) !( ) exp( ) (=
−+
− −+2 2 1
22 1
2 1 )2 (56)
にて与えられる。また主量子数 n N l= + を用いて書き直すと、
R r k k n ln n l
kr kr L krnll
n ll( ) ( ) ( )!
( )!( ) exp( ) (=
− −−
− − −+2 2 1
22 1
2 1 )2 (57)
となる。
23