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Material del docente 1 Clasificación de funciones de variable real.

Grado 11 Título del objeto de aprendizaje

Matematicas - Unidad 2Las funciones, una forma de interpretar relaciones entre números reales.

Clasificación de funciones de variable real.

Recursos de aprendizaje relacionados (Pre clase)

Grado: 10°UoL_1: Reconozcamos otras características de la función.LO_6: Reconocimiento de funciones de variable real.Recurso:

Grado: 11°UoL_2: Las funciones, una forma de interpretar relaciones entre números reales.LO_1: Caracterización de las funciones de variable real.Recurso:

Objetivos de aprendizaje• Clasificarfuncionesdevariablerealdeacuerdoasus

comportamientos. 1. Identificarelcomportamientodelasfuncionesinyectivas.2. Identificarelcomportamientodelasfuncionessobreyectivas.3. Identificarelcomportamientodelasfuncionesbiyectivas.

Habilidad / Conocimiento(H/C)

[SCO 1] Caracteriza funciones inyectivas que se observan en situaciones dentro de las matemáticas, otras ciencias o su cotidianidad.

[H/C1]Clasificadistintassituacionesfuncionalesdeacuerdoala manera en que se relacionan los elementos del conjunto de partida con el conjunto de llegada.

[H/C2]Determinaladefinicióndefuncionesinyectivas,sobreyectivasybiyectivas.

[H/C3]Determinaquéfuncionessononoinyectivasatravésde sus diferentes representaciones.

[H/C4]Representadediferentesmanerasfuncionesinyectivas.

[H/C5]Establecerelacionesentreeldominioyelrecorridodela función.

[SCO 1] Caracteriza funciones sobreyectivas que se observan en situaciones dentro de las matemáticas, otras ciencias o su cotidianidad. [H/C6]Determinaquefuncionessononosobreyectivasatravés de sus diferentes representaciones.

[H/C 7] Realiza transformación entre representaciones de la función.


[H/C 8] Establecerelacionesentreeldominioyelrecorridodela función.

[SCO 3] Caracteriza funciones biyectivas que se observan en situaciones dentro de las matemáticas, otras ciencias o su cotidianidad.

[H/C9]Representafuncionesbiyectivasfinitasmediantediagramas sagitales.

[H/C10]Determinaquéfuncionessononobiyectivasatravésde sus diferentes representaciones.

[H/C11]Representadediferentesmanerasfuncionesbiyectivas.

[H/C12]Reconocequeeldominioyelrecorridotienenlamisma cantidad de elementos.

[H/C 13] Encuentra relaciones entre conjuntos numéricos estableciendounareglabiyectivaentreellos.

Flujo de aprendizaje IntroducciónObjetivosDesarrolloResumenTarea

Introducción:

• Recordando las Funciones.

Objetivos de aprendizaje.

Actividad 1: Funciones. [H/C 1 - H/C 2]

Actividad 2:FuncionesInyectivas.[H/C3-H/C4-H/C5]

Actividad 3:FuncionesSobreyectivas.[H/C6-H/C7-H/C8]

Actividad 4:FuncionesBiyectivas.[H/C9-H/C10-H/C11-H/C12-H/C13]

Resumen: Estableciendo Conclusiones.

Tarea.

Guia de valoración Losestudiantes,atravésdelasdiferentesactividadespropuestas,determinaranladefinicióndefuncióninyectiva,sobreyectivaybiyectiva,reconociendolasdiferentesmanerasderepresentarestasyestableciendorelacionesentreeldominioyrecorridodecadafunción.


Etapa Flujo de aprendizaje

Recursos recomendados

Enseñanza /Actividades de aprendizaje

Introducción Recurso Interactivo

Recordando las Funciones.

La intencionalidad que se tiene en esta introducción,esquelosestudiantesevidencien los conocimientos previos que tienenenrelaciónalasfunciones,paraesto,seproponelarealizacióndelasiguiente actividad.

Eldocente,haciendousodelrecurso,presenta a los estudiantes el siguiente listado de palabras:

» Función » Regla » Elemento x » Elemento f(x) » Conjunto de llegada » Conjunto de partida » Variable independiente » Variable dependiente » Dominio » Rango

Y presenta el siguiente esquema con una consignadetrabajo,paraserabordadadeforma individual por los estudiantes en el Material del Estudiante:

• Ubica las diez (10) palabras en el esquema,deformacoherente,posterior-mente,enunpárrafo,indicaporqueesaes la ubicación correcta.

Después de dar un tiempo prudencial para que el estudiante aborde la consigna pro-puesta,seproponelasocializacióndelas

Es una

De un Es una

LlamandoLlamando

Pertenece a unEl cual es

Donde un Se asocia un





respuestasdadas.Dichasocializacióndebecontar,enloposible,conlaparticipacióndeestudiantesquehayanubicadolaspalabras de forma diferente.

Parafinalizar,eldocentedebepresentarelsiguienteesquema,elcualcontienela organización correcta de las palabras enlistadasyexplicarlacoherenciadeeste,teniendo en cuenta las respuestas dadas por los estudiantes.

Objetivos de aprendizaje

Eldocente,encompañíadelosestudiantes,escribe los objetivos a los que creen que se debellegar.Luego,eldocentepresentalosobjetivos propuestos para este objeto de aprendizaje. Se considera importante que el docente explique los objetivos propues-tos,puesapartirdeestoselestudiantereconoceráloquedebealcanzarfinalizadoelprocesoenseñanza-aprendizaje.

Actividad 1: Funciones. [H/C 1 - H/C 2].

[H/C1:Clasificadistintassituacionesfuncionales de acuerdo a la manera en que se relacionan los elementos del conjunto de partida con el conjunto de llegada.]

[H/C2:Determinaladefinicióndefuncionesinyectivas,sobreyectivasybiyectivas.]

Duranteeldesarrollodeestaactividad,seretomaránalgunasrepresentacionesquehacenpartedeltrabajorealizadopor

Objetivos

Contenido

El docentepresenta el tema

Es una

FUNCIÓN

DOMINIO RANGO

REGLA

ELEMENTO X

VARIABLEINDEPENDIENTE

VARIABLEDEPENDIENTE

CONJUNTO DEPARTIDA

CONJUNTO DELLEGADA

ELEMENTO F(x)

De un Es una

Llamando

Pertenece a unEl cual es

Donde un Se asocia un





(Vargas,M.2011)titulado“Elconceptodefunciónysusaplicacionesensituacionesrelacionadasconfenómenosfísicos,queconducenaunmodelocuadrático,unapropuesta para trabajar en el grado noveno”.

Eldocente,apoyadoenelrecurso,daráinicio al desarrollo de la primera parte de estaactividad,paraestopresentaráalosestudianteslassiguientessituaciones,estasestaránpresentesademásenelMaterialdel Estudiante:

“contextualicemoslasfunciones.”

• Unafábricadezapatosobservaquecuando el precio de cada par de zapa-tos es de $ 50 se venden 30 pares en el día.Sielprecioaumentaen$10,solosevenden 15 pares.

• Lalongituddeunlotedeedificaciónrectangularestresvecessuancho.

• Una caja rectangular tiene una base cuadrada. Su altura es la mitad del anchodelabase.

• Unapáginacuyasdimensionesson24cmdeanchoy33cmdelargotieneunamargendeanchox,querodeaelmate-rial impreso.

Conrespectoaestassituaciones,eldocente propone la realización de la siguienteconsigna,enelmaterialdelestudiante de forma individual:

• Determinasilassituacionespropuestas,son situaciones que representan el

conceptodefunción.Justificatu respuesta.

Posteriormente,eldocentepresentalossiguientes diagramas: “representaciónsagitaldefunciones”

• RecursoInteractivo

• Material del estudiante





x

x

-1

-1

-2

1

1

1

2

-1

0

0

0

0

2

2

4

-2

Y = f(X) = 2 x

Y = f(X) = - x

Y = f(X) = + x

Y = f(X) = -2 x

X

X

X

X -1

-1

-1

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1 1.41 1.73+ + +

1

2

2

2 3

2

2

2 -2

-2

-2

-4

4

Yseplanteaelsiguientecuestionamiento,para ser abordado en el material del estudiante de forma individual:

• ¿Cuáldelosdiagramasrepresentaunafunción?Justificaturespuesta.

Consecutivamente,sepresentanlasiguienteconsideraciónydoscuestionamientos en relación a esta:

ConsiderelosconjuntosA={a,e,i,o,u}yB={2,6,8,10}

• Dibuje un diagrama sagital de una relación de A en B que corresponda a unafunción.Justifiquesurespuesta.

• Dibuje un diagrama sagital de una relación de A en B que No corresponda aunafunción.Justifiquesurespuesta.

Después,sepresentanlassiguientestablas:





Yseproponeelsiguientecuestionamiento,para ser abordado en el material del estudiante de forma individual: • ¿CuáldelastablasNocorrespondea

unafunción?Justificaturespuesta.

Parafinalizarestaprimerapartedelaactividad,seproponelasiguienteconsigna,para ser abordada de forma individual en el material del estudiante:

• Deacuerdoalotrabajadoenlosítemsanterioresytomandoenconsideración,solamente las representaciones que correspondenaunafunción,determi-na la manera como se relacionan los elementos del conjunto de partida con el conjunto de llegada en cada caso.

Lasrespuestas,representacionesyjustificaciones,seránsocializadasporalgunosestudiantes,loscualesseránseleccionados por el docente. Durante la socialización,eldocentedebeaprovecharla oportunidad que se tiene para abordar aquellosaspectosqueconsiderenohansido claros para sus estudiantes.

Para dar inicio a la segunda parte de estaactividad,eldocentecontará,enelrecurso,conunaseriedefrasesquecorrespondenadefinicionesdefuncióninyectivaysobreyectiva.Dichasfrasesdebenserpresentadasalosestudiantes,esdecir,seharálecturadecadaunadeellas.

Lasdefinicionessonlassiguientes:

• Unafunciónessobreyectivasitodosloselementosdelcodominiosonimágenesde la función.

• Si dos elementos del dominio tienen lamismaimagenentoncesdichos elementos son iguales.• Unafunciónessobreyectivasisurango

es igual a su codominio.• Nohay,eneldominio,dosomásele-

mentos diferentes con la misma





imagen.• Cada elemento del rango es imagen de

un solo elemento del dominio.• La cardinalidad del dominio es igual a

la del rango.• Unafunciónessobreyectivasipara

todoelementoenelcodominio,existeun elemento en el dominio del cual este es imagen.

Posterior a la lectura de cada una de las definiciones,eldocenteorganizarálosestudiantes en grupos de cuatro integrantes.Acadagrupo,eldocente,asignaráunadelasdefinicionesquehasidoleídaypropondrálassiguientesconsignas de trabajo para ser abordadas en el Material del Estudiante:

• Leedetenidamenteladefiniciónquesetehaasignadoyhazunarepresentacióngráficadeloqueestá dice esta. • Redactaunpequeñotexto,enelcual

expliques de manera detallada lo que diceladefiniciónquesetehaasignado.

• Finalizadaslasdosconsignasanteriores,intercambia tu material con un

compañerodeotrogrupo.• Leeladefiniciónquelecorrespondióa

tucompañeroyevalúasiharealizadode manera correcta las dos consignas iniciales,denoserasí,indicaenel

materialdetucompañerocualeselerrorylaformacorrectadehacerlo.• Contumaterialenmano,revisala

evaluaciónrealizadaportucompañeroydeterminasiestásdeacuerdoconesta.Sinoestásdeacuerdo,escribelosargumentos que te permitan refutar la posición de este.

Finalizado el trabajo de las consignas propuestasyteniendoalamanocadaestudiantesumaterial,eldocentedirecciona la socialización de las respuestas dadas por estos a cada consigna.Durantelasocialización,será





valioso que el docente permita la refutación de las respuestas dadas por los estudiantes,despuésdequesecuenteconargumentosparahacerlo.

Posteriormente,eldocenteapoyadoenelrecurso,presentacadaunadelasdefinicio-nespropuestasconsusprosysuscontras,de acuerdo a la información consignada en eltrabajode(Porras,F.2011),titulado“El concepto de función en la transición bachillerato universidad”:

Función inyectiva:Enelprimersentido,hayun caso particular en el que cada elemento del rango sólo es utilizado una vez como imagen por ser la regla de asociaciónbiunívoca,encuyocasosedicequelafunciónesinyectiva.

Esteconceptopuededefinirsedesdevariasperspectivas:

-La cardinalidad del dominio es igual a la del rango.Estetipodedefinición,aunquese desprende del concepto de función comoasignación,seapoyaenotroconceptoquenohacepartedelaestructurateóricoconceptualypresentacomodesventajasucarácterpocooperativo,salvoencasosdefuncionescondominiofinito,representablesmediantetablasodiagramassagitales,locual puede reforzar en el estudiante la tendencia a considerar este tipo de funciones como prototipos a usar como apoyoenlaidentificacióndefunciones;adicionalmente,ensuaplicaciónelestudiantecomparaconjuntos,masnoanalizalafunciónensímisma,loquegeneradificultadesalutilizarseencontextoscomoelcartesianooelanalíticoen los cuales la conformación del rango puedetornarsecomplicada.Sinembargo,sinasumirlacomoladefinicióndefuncióninyectiva,espositivasupresentaciónalosestudiantes como una consecuencia de la relaciónbiunívocaentredosconjuntos





seanestosdiscretos(finitosoinfinitos)ocontinuos,ydemaneraposterioralacons-trucciónpersonal,porpartedelestudiante,deladefiniciónqueseasumaparafuncióninyectiva.

-Cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio. Es esta una definiciónapropiadaparaanalizarfunciones representadas mediante diagramassagitales,tablas,paresordenadosoenelplanocartesiano,portanto su aplicación exige ese primer paso en la estrategia. De manera introductoria pareceadecuada,ademásdenecesaria,porcuanto obliga a la utilización del registrográficodelafunción,loqueponeenjuegoelpensamientovisual,devitalimportanciaenelaprendizajedelcálculo(Zimmermann,1990).Silafunciónnohasidopresentadaenestetipoderegistro,seránecesarialaconversiónentreeltipoderegistroutilizadoyelgráficoparapoderrealizarel“mapeo”delcodominioyeldominio lo que refuerza un aprendizaje profundo del concepto de función gracias a la movilización entre diferentes repre-sentaciones.Sinembargoingresaaquíunaspectodeimportancia,setratadequelosestudiantesidentificancomofuncionessóloaquellasquesoninyectivasy/oalpedirlesquedefinanfuncióninyectiva,lohacenmedianteladefinicióndefunción(Álvarez,Delgadoyotros,2001).

En el primer caso lo que falla es el conocimiento en acto que no se corresponde con el institucionalmente aceptado,elestudianteposeeunaimagen conceptual mal adaptada matemáticamentedelconceptodefunción. En el segundo caso lo que falla es el modo de representación del conocimien-to en acto por diferencias entre el lenguaje naturalyellenguajematemático,alrespecto debe recordarse que se presentan problemas de comprensión asociados a las representaciones semióticas del discurso





matemático,tantoenelsentidodecrearsignificadosapartirdedichasrepresenta-cionescomoenelsentidoinverso,esdecir,alrepresentarsemióticamentesignificadospersonales que pueden estar bien o mal adaptadosmatemáticamente.Esteesunproblemaque,enmuchoscasos,esgeneradoporenfoquesdeenseñanzaqueprivilegian algunos sistemas de registro sobre otros. El estudiante no es exigido paramovilizarseentreunosyotrossistemasderegistroporlocualconstruyeconceptosdepocageneralidadyesquemasinsuficientesparalamovilizaciónentrediferentes registros.

Porestemotivoestadefiniciónnodebeasumirsecomodefiniciónúltimadefuncióninyectiva,puestoquepierdeaplicabilidad en otros registros como el algebraico,propiodecontextosanalíticos,oencasosdefuncionesdedifícilrepresentacióngráficaodefuncionesqueno tienen dominio numérico (funciones vectorialesporejemplo),esdecir,debeabordarseintroductoriamente,comodefiniciónaplicablearegistrosgráficos,pero siempre preparando el paso a otra definicióndeaplicaciónenotrosregistros.Estoúltimopuedepotenciarsemediantela utilización de contraejemplos que ponganenconflictolosesquemasqueelestudiantehaconstruidoyqueyaresulteninsuficientesparalaidentificaciónadecua-dadefuncionesinyectivas,oseadiversoscasosdefunciones,endiferentesregistros,quenoseaninyectivasoderelacionesquepudieranserinyectivasaunquenoseanfunciones.

-No hay, en el dominio, dos o más elemen-tos diferentes con la misma imagen. Es esta definiciónmuysimilarensuestructuraalaanteriory,comotal,presentalasmismasventajasydesventajasdeella.Sinembargo,alanalizarlamásendetalle,vemos que esta se centra en el dominio mientras la anterior se centra en el rango





lo que le da una forma lógica a su escritura favoreciendo el acercamiento a la definiciónformal,enlenguajematemático,necesaria para la construcción de otros tiposderegistroenestadosmásavanzadosdeformaciónmatemática.

Función sobreyectiva: en el segundo sentido,esdecir,encuantoalacomparaciónentreelrangoyelcodominiodeunafunción,elcasoparticularquesetomaparaestablecerunacategoríaenelconcepto de función es aquel en que estos seaniguales,esdecir,lafunciónessobreyectiva.

Esteconceptopuedeenfocarse,paraefectosdelaestructurateóricoconceptual,de varias maneras:

-Una función es sobreyectiva si su rango es igual a su codominio.Estadefiniciónseapoyaenlosconceptosdecodominioyrango,yensuoperatividadutilizalacomparacióndeconjuntos,porestarazónresulta apropiada en casos de funciones enregistrotabularosagital,einclusohastacartesiano,comoetapainicialdeconstruccióndelconcepto,cuandoaúnelestudianteconforma,casiquepasoapaso,elrangodelasfuncionesatravésde la aplicación de la regla de asignación propuesta,odichorangohasidopuestodemanifiesto.Sinembargoalserexigidaparaanalizar funciones en registro algebraico el estudianteseencontraráconunadefiniciónpocooperativayrequeriráunadefiniciónmásevolucionada,desventajapropiadeunadefiniciónformuladaenlenguaje natural.

-Una función es sobreyectiva si todos los elementos del codominio son imágenes de la función. Posee el mismo campo de aplicaciónqueladefiniciónanterior,sólo cambia en cuanto que no cita explícitamenteelrango,sinoquehacereferenciaaélcitandolasimágenesde





lafuncióncomo“pidiendo”larevisiónelemento a elemento. Se trata de una definiciónbastanteprocedimental,basada en la constatación paso a paso de lacondicióndesobreyectividad,denuevosetieneunadefiniciónadecuadaenlasprimeras instancias de introducción del concepto,peroquedebeevolucionaraunadefiniciónque,sinperderoperativi-dad,extiendasucampodeaplicaciónyposibilite al estudiante la movilización entre los diversos tipos de registro utilizadospararepresentarfuncionesyelmanejo de funciones con dominios numéricos tanto continuos como discretosyenfuncionescondominioycodominio no numéricos.

Finalmente,eldocentepresentalassiguientesdefinicionescomolasmásadecuadas en relación al trabajo a realizar posteriormente.Esimportante,queenlamedidadeloposible,eldocenteretomelasrespuestasdadasporlosestudiantes,en el transcurso de su explicación:

-Función Inyectiva: Si dos elementos del dominio tienen la misma imagen enton-ces dichos elementos son iguales. Esta definición,aquíexpresadaenlenguajenatural,sedesprendedemaneralógicadelaanterioryeslaqueseproponecomodefinicióndefuncióninyectiva.

Esimportanteseñalarque,aunqueseapropuestaestacomodefinición,sehaenfatizado en una construcción previa quellegue,incluso,hastalaexpresiónen el registro propio del lenguaje de las matemáticas:

Six1,x2sonelementosdeldominiodeftalesquef(x1)=f(x2),entoncesx1=x2.

Estetipodedefinición,construidaapartirderegistrosdetipográficoydelenguajenatural,encapsulalasdefinicionesyacitadas sin perder operatividad. Presenta





la ventaja de ser aplicable en cualquiera delosregistros(gráfico,tabular,algebraicooenlenguajenatural),puedeaplicarseafunciones de dominio discreto o continuo,conformadoporobjetosmateriales o abstractos. A pesar de enfatizarenlafuncióncomoproceso,abrecaminohacialaconstruccióndeunaconceptualizacióncomoobjeto,dadoelniveldegeneralidadqueproporcionayla manera como encapsula en una sola frase todo el concepto permitiendo aun la movilizacióndesdeellahaciacualquierade los diferentes registros existentes para funciones.

- Función sobreyectiva: si para todo elemen-to en el codominio, existe un elemento en el dominio del cual este es imagen. No resulta sencillo llegar al nivel de elabo-raciónimplícitoenestadefinición,apesarde estar expresada en lenguaje natural. Llegar a ella exige el trabajo previo en las definicionesanterioresylapresentaciónde diversidad de casos de funciones sobre-yectivasynosobreyectivas,endiferentesregistros,quecoloquenalestudianteenconflictocognitivoalacudiralasherramientasdefinicionalesdisponiblesperoinsuficientes.Laaplicacióndeestadefiniciónafuncionesrepresentadasenregistrostabulares,sagitaleso,incluso,cartesianospasaporel“mapeo”deloselementosdelcodominio,peroalmomen-todeplantearelanálisisdefuncionesexpresadas algebraicamente o funciones cuyarepresentaciónenesetipoderegistroposeanivelesdedificultadaltos,setornaráinsuficiente.Esteconflictodebedirigirsede manera adecuada a la construcción de unaexpresióndeladefiniciónenlenguajematemáticoquelapongaenposicióndeextender sus alcances:

Paratodoyenelcodominiodef,existeunxeneldominiodef,talquef(x)=y.

Setomaestadefinicióncomometadeconstrucción en esta parte de la





estructurateóricoconceptual,porcuantocubrelasdefinicionesinicialesyextiendesu aplicación a funciones no numéricas (por ejemplo funciones vectoriales) o funcionesexpresadasanalíticamenteque pueden ser analizadas a partir de manipulaciones algebraicas.

Funciónbiyectiva:diremosqueunafunciónesbiyectivasiesinyectivaysobreyectiva.Podríaparecerintrascendenteesteconcepto,sinembargo,desdeelpuntodevistamatemáticoesfundamental,enparticularalabordartemáticascorrespondientesaespacios,Subespacios,bases,homomorfismoseisomorfismos.Desdelospuntosdevistacognitivoydidáctico,elconceptodefunciónbiyectivaponeenjuegodemanerasimultánealosconceptosdefunción,funcióninyectivayfunciónsobreyectivaloquepermitealdocenteyalestudianteidentificardificultadesyaseaconlainterpretaciónpersonal de representaciones semióticas o con la representación semiótica de significadospersonales.Estoseráposibleenlamedidaenqueel estudiante sea enfrentado a distintas situaciones que lo movilicen entre diversosregistrosyenambossentidos,esdecir,trabajaridentificandoyclasificandofunciones,deacuerdoalasdefinicionesyconstruyendo,élmismo,funcionesquecumplancontalesdefinicionesentodoslos registros.

Parcerrarestaactividad,eldocentepropone la siguiente consigna:

• De acuerdo a lo presentado por tu docente,determinaladefiniciónde

funcióninyectiva,sobreyectivaybiyectivaenelmaterialdelestudiante.





Actividad2:FuncionesInyectivas.[H/C3-H/C 4 - H/C 5].

[H/C 3: Determina qué funciones son o no inyectivasatravésdesusdiferentesrepresentaciones.]

[H/C 4: Representa de diferentes maneras funcionesinyectivas.]

[H/C 5: Establece relaciones entre el dominioyelrecorridodelafunción.]

Eldocente,apoyadoenelrecursoyconservando los grupos de trabajo estable-cidos,presentalassiguientesfuncionesalosestudiantes,estasestaránpresentesenel Material del Estudiante:

• f(x) = 2x -1• g(x)= x2 – 2• f(x) = 1/x• f(x) = x3 + 6

x

x

1

1

1

1,5

3

3

9

3,6

5

5

25

2,8

2

2

4

2,1

4

4

16

5,3

6

6

36

2,1

f(x)

f(x)





Enrelaciónalasrepresentaciones,eldo-centeproponelasiguienteconsigna,paraserabordadaenelMaterialdelEstudiante;

• DeacuerdoaladefinicióndeFunción Inyectiva,queyaconoces,determinasilasfuncionesdadassononoinyectivas.

Después de socializar las respuestas dadas porlosestudiantes,eldocenteapoyadoenelrecurso,presentaunafunción,lacualleservirádeejemploparaexplicarcómosedeterminasiunafunciónesonoinyectiva.Posteriormente,eldocentepresentaelsiguiente listado de funciones:

1. f(x)=√x+22. f(x)= x3+63. f(x)= 4 / x+34. f(x)=4x2-15. f(x)=√1-x6. f(x)= x3+4

Yenrelaciónaestas,seproponenlasi-guientes consignas:

• DeterminacuálesdelasfuncionessonInyectivas.Justificatuselecciones.

• Tomalasfuncionesqueseaninyectivas,determinalatablayrepresentacióngráficadecadaunadeestas.Recuerdaquelasrepresentacionesgráficassepueden realizar en diagramas de Venn oenelplanocartesiano,deacuerdoalas condiciones dadas.

• Establece la relación existente entre el dominioyelrecorridodecadaunadelas funciones.

Eldocentedaráuntiempoprudencial,parala realización de cada una de las consignas propuestasydespuésdeeste,deberealizarla socialización de las respuestas dadas.

Esnecesarioquedurantelasocialización,el docente utilice las respuestas de los estudiantes para la explicación de las dudas o equivocaciones que se estén presentando.





Actividad3:FuncionesSobreyectivas.[H/C6 - H/C 7 - H/C 8].

[H/C 6: Determina qué funciones son o no sobreyectivasatravésdesusdiferentesrepresentaciones.]

[H/C 7: Realiza transformación entre repre-sentaciones de la función.]

[H/C 8: Establece relaciones entre el dominioyelrecorridodelafunción.]

Apoyadoenelrecursoyconservandolosgruposdetrabajo,eldocentepresentalassiguientesgráficasalosestudiantes,estasestarántambiénpresentesenelMaterialdel Estudiante:

Acontinuación,eldocentelespidealosestudiantes:

• indicarloselementosdeldominio,recorridoycodominiodelafunción.

después pregunta:

• ¿La función que se representa en (a) es sobreyectiva?Justificalarespuesta.

• ¿La función que se representa en (b) es sobreyectiva?Justificalarespuesta.

Posteriormente,eldocentepresentalasiguientegráficadelafuncióncuadráticayestablecequelafunciónestádefinidaenRa R:





Seguidamente,eldocentepreguntaalosestudiantes:

• ¿Eslafunciónrepresentadaenlagráficasobreyectiva?Expliqueporquéhaciendousodelagráfica.

Porúltimo,eldocentepresentalafunciónfdefinidadeNaN,dadaporf(x)=2x,despuéspregunta:

• ¿Lafunciónf(x)essobreyectiva?Justifiquelarespuesta.

Enrelaciónalaanteriorfunción,eldocentejuntoconlosestudiantes,debenacordarquelafunciónanteriornoessobreyectiva;porconsiguiente,eldocentelespreguntaalos estudiantes:

• Sieldominioeselconjunto{1,2,3,4,5},¿cuáleselcodominiodelafunciónf(x)=2xparaqueéstaseasobreyectiva?Representelanuevafunciónhaciendouso de los diferentes registros.

Parageneralizar,eldocentepreguntaasusestudiantes teniendo en cuenta que f(x)=2x estádefinidadeNaN:

• ¿Cuáldebeserelnuevorecorridodela función f(x)=2x para que ésta sea sobreyectiva?

• Explique porqué la función anterior essobreyectivahaciendousodela





representacióngráficadelafunción.

Enconsecuencia,losestudiantesdebendeducir que el nuevo codominio debe ser igualalrecorridodelafunción,esdecir,alconjuntoformadoporlosnúmerospares.

Después de socializar las respuestas dadasporlosestudiantes,alasdiferentesconsignasypreguntaspropuestas,eldocenteapoyadoenelrecurso,presentaunafunciónlacualleservirádeejemplopara explicar cómo se determina si una funciónesonosobreyectiva.

Actividad4:FuncionesBiyectivas.[H/C9–H/C 10 – H/C 11 – H/C 12 – H/C 13].

[H/C9:Representafuncionesbiyectivasfinitasmediantediagramassagitales]

[H/C 10: Determina qué funciones son o no biyectivasatravésdesusdiferentesrepre-sentaciones.]

[H/C 11: Representa de diferentes maneras funcionesbiyectivas.]

[H/C12:Reconocequeeldominioyelreco-rrido tienen la misma cantidad de elemen-tos.]

[H/C 13: Encuentra relaciones entre con-juntos numéricos estableciendo una regla biyectivaentreellos.]

Deacuerdoalotrabajadohastaelmomen-toyteniendoencuentaprincipalmenteladefinicióndefunciónBiyectiva,eldocenteproponealosestudiantes,darrespuestaalas siguientes consignas en el Material del Estudiante:

• Establecetresfuncionesinyectivas.• Establecetresfuncionessobreyectivas.• Establecetresfuncionesbiyectivas.

Acontinuaciónyenrelaciónaloestablecido,seproponelasiguiente





consigna;

• Representa en diagramas sagitales las funciones establecidas.

• Representa en el plano cartesiano las funciones establecidas.

Posteriormente,seplanteanlossiguientescuestionamientos:

• ¿TodaslasfuncionesBiyectivassepueden representar en diagramas sa-gitales?

• ¿TodaslasfuncionesBiyectivasse pueden representar en el plano cartesiano?

Después de la socialización de las respues-tasdelosestudiantesylaaclaracióndela imposibilidad de representar funciones infinitasendiagramassagitales,seplanteala siguiente consigna:

• RepresentatresfuncionesBiyectivasfinitasendiagramassagitales.

Después de socializar las respuestas dadasporlosestudiantes,alasprimerasconsignasypreguntaspropuestasenestaactividad,eldocenteapoyadoenelrecurso,presentaunafunciónlacualleservirádeejemplo para explicar cómo se determina siunafunciónesonobiyectiva.

Dandocontinuidadaltrabajo,eldocentepresenta a los estudiantes las siguientes funciones:

f(x)=1/4 x+6 f(x)=√x+2 f(x)=5+3x f(x)=15x+4 f(x)=x2+5x+6 f(x)=x3+4

Y se propone la realización de las siguientesconsignas,enelMaterialdelEstudiante:





• Determina si la función dada es Inyectiva.

• Determina si la función dada es Sobreyectiva.

• Determina si la función dada es Biyectiva.

Después de que los estudiantes determinen cuales funciones son Biyectivas,darespuestaalasiguienteconsigna en el Material del Estudiante:

• Representa cada una de las funciones biyectivasdediferentesmaneras.

(Recuerda que las funciones se puedenrepresentardeforma:Verbal,Numérica,Visualyalgebraica).• Determina los elementos del Dominio

de la función. • Determina los elementos del Recorrido

de la función.

Deacuerdoalotrabajado,darespuestaalsiguiente cuestionamiento:

• ¿ExisteunarelaciónentreelDomioyelRecorridodelasfuncionesBiyectivas?

Enrelaciónaestecuestionamiento,esimportante que los estudiantes reconozcan la relación de igualdad entre la cantidad deelementosdeldominioydelrecorrido.

Parafinalizarestaactividad,seproponelarealización de las siguientes consignas:

• Cada grupo de trabajo propone dos funcionesrepresentadasvisualmente,dosnuméricamenteydosverbalmente.

• Después intercambian sus materiales con los de los integrantes de otro grupo.

• Al recibir seis funciones en diferentes representaciones,determinaransilasfuncionessononoBiyectivas.

• Enúltimolugar,cambiaranlasseisfunciones dadas de registros de

representación.





Es necesario que cada uno de los grupos detrabajosocialicesusrespuestasyqueapartirdeestas,eldocente,despejecualquier duda que se pueda presentar.

Parafinalizarestaactividad,eldocentepropone la realización de una competencia queasignarapuntospormayornúmeroderespuestascorrectas,paraestodividiráalosestudiantesendosgruposdetrabajoylespropondrálassiguientesconsignas:

• Escribe los nombres de los conjuntos numéricos que conoces. (Se asigna un punto por cada conjunto).

• Dacaracterísticasdecadaunodelosconjuntos numéricos. (Se asigna un puntoporcadacaracterística).

• Encuentra relaciones entre los conjuntosnuméricos,estableciendounareglabiyectivaentreellos.(Seasigna un punto por cada relación).

Finalmentesesocializanlasrespuestasyseasignanlospuntos.Elequipoganador,recibiráunpremioqueestásujetoaladisposición del docente.

Es necesario que el docente durante las socializaciones,clarifiquelasdudasquehayapodidoidentificarensusestudian-tesycorrijalasequivocacionesquesepresenten.

Actividad: Estableciendo Conclusiones.

Estaactividad,tomarácomobaseunadelas actividades propuestas en el trabajo deMaestríarealizadopor(Quintero,C.2011),titulado“Estrategias didácticas para el aprendizaje del concepto de función en el curso de álgebra y funciones de la universidad Icesi”. Los ejercicios propuestos en este documento,permitiránquelosestudiantespotencialicenlashabilidadesadquiridasalpresentarunmuybuenniveldedificultad.

Eldocente,organizaráalosestudiantesengruposdecuatrointegrantesyproponelos

Resumen Resumen • Recurso Interactivo





siguientes ejercicios:

1. Considerelafunciónf,delconjuntoformado por los estudiantes de grado oncedeunainstituciónoficial,enelconjuntodelosnúmerosnaturales,definidaporlafórmulaf(x)=Numerodelistadex.Determinesiesinyectiva.Justificaturespuesta.

2. Considere la función real de variable real,definidaporlafórmulaf(x)=4x2-12x+10. Determine si la función es sobreyectiva.Explique.¿Esinyectiva?Explique.

3. Considerelafunción,delosrealesenlosreales,definidaporlafórmulaf(x)=x2.Determinesifesinyectiva.Explique.Determinesifessobreyectiva.Explique.

Considere la función:

f:(- ,3] R Cuyagraficaeslasiguiente:

a) Determinesiesinyectiva.Explique.b) Determinesiessobreyectiva. Explique.c) Determinesiesbiyectiva.Explique.

5. Considere la función: Cuyagraficaeslasiguiente:

f: R [-3,3]

8

f





Cuyagraficaeslasiguiente:

a)Determinesiesinyectiva.Explique.b)Determinesiessobreyectiva. Explique.c)Determinesiesbiyectiva.Explique.Despuésdedaruntiempoprudencial, para el desarrollo de los ejercicios propuestos,eldocentedebe direccionar la socialización de las respuestasdadasyaprovecharesta,paralaaclaracióndeposiblesdudasy la corrección de errores.

Apartirdelotrabajadodurantelaclase,da respuesta a las siguientes consignas:

• Enlista 15 palabras que consideres relevantes en relación al concepto de funciónyeltrabajoconestas.

• Apartirdedichaspalabras,elaboraun crucigrama. Recuerda que para descubrir una palabra en un crucigra-ma,sedebedarunaclaveopista,sinhacerexplicitalapalabra.

• Organiza el crucigrama elaborado (sin resolver),enunahojadeblock,consusrespectivasclavesopistas.Márcalocontu nombre en la parte inferior de la hoja.

• Entrega tu crucigrama al docente.

El docente debe recoger los crucigramas ydistribuirlosdeformatal,quecada

Tarea Tarea





estudiante quede con un crucigrama diferente al realizado por él. Se da un tiempoprudencialparatrabajarsobreeste,siendo importante que el docente resalte: losmejorestrabajosylosestudiantesmáshabilidososenlasolucióndeestos.

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