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Material del docente 1 Identificar funciones cuyo dominio son los números reales

Tema

Matemáticas - Unidad 1Reconozcamos otras características de la función

Grado 10

Identificar funciones cuyo dominio son los números reales

Recursos de aprendizaje relacionados (Pre clase)

Grado 10:

UoL_1: Reconozcamos otras características de la función.LO_1: Identificación de funciones en diferentes contextos.LO_2: Reconocimiento del concepto de función.LO_3: Identificación de diferentes representaciones de funciones.

Materiales necesarios para la clase: Elementos para Dibujar (lápiz)

Objetivos de aprendizaje• Identificar funciones cuyo dominio son los números reales.• Caracterizar las funciones crecientes. • Caracterizar las funciones decrecientes.• Caracterizar las funciones constantes.• Caracterizar las funciones pares.• Caracterizar las funciones impares.• Caracterizar las funciones periódicas.• Caracterizar las funciones lineales.• Caracterizar las funciones afines.• Caracterizar las funciones cuadráticas.• Caracterizar las funciones cúbicas.• Caracterizar las funciones exponenciales.

Habilidad / Conocimiento(H/C)

SCO 1: Reconoce las funciones crecientes

1. Identifica situaciones funcionales en las que el comportamiento es creciente.

2. Deduce la definición de una función creciente.3. Determina a través de las diferentes representaciones si una función

es o no creciente.4. Representa de diferentes maneras funciones crecientes.5. Plantea situaciones de la cotidianidad que presenten comportamientos

crecientes.

SCO 2: Reconoce las funciones decrecientes

6. Identifica situaciones funcionales en las que el comportamiento es decreciente.

7. Deduce la definición de una función decreciente.8. Determina a través de las diferentes representaciones si una función

es o no decreciente.9. Representa de diferentes maneras funciones decrecientes.10. Plantea situaciones de la cotidianidad que presenten comportamientos

decrecientes.


SCO 3: Reconoce las funciones constantes

11. Identifica situaciones funcionales en las que el comportamiento es constante.

12. Deduce la definición de una función constante.13. Determina a través de las diferentes representaciones si una función

es o no constante.14. Representa de diferentes maneras funciones constantes.15. Plantea situaciones de la cotidianidad que presenten comportamientos

constantes.

SCO 4: Reconoce las funciones pares

16. Identifica situaciones funcionales en las que los comportamientos de sus variables generan representaciones gráficas simétricas con respecto al eje y.

17. Deduce la definición de una función par.18. Determina a través de las diferentes representaciones si una función

es o no par.19. Representa de diferentes maneras funciones pares.20. Plantea situaciones de la cotidianidad que presenten comportamientos

como funciones pares.

SCO 5: Reconoce las funciones impares

21. Identifica situaciones funcionales en las que los comportamientos de sus variables generan representaciones gráficas simétricas con respecto al origen.

22. Deduce la definición de una función impar.23. Determina a través de las diferentes representaciones si una función

es o no impar.24. Representa de diferentes maneras funciones impares.25. Plantea situaciones de la cotidianidad que presenten comportamientos

como funciones impares.

SCO 6: Reconoce las funciones Periódicas

26. Identifica situaciones funcionales en las que los valores se repiten periódicamente.

27. Deduce la definición de una función periódica.28. Determina a través de las diferentes representaciones si una función

es o no periódica.29. Representa de diferentes maneras funciones periódicas.30. Plantea situaciones de la cotidianidad que presenten comportamientos

periódicos.


SCO 7: Reconoce las funciones lineales

31. Identifica situaciones funcionales en las que la relación entre las variables es proporcional.

32. Deduce la definición de una función lineal.33. Encuentra la constante de proporcionalidad en funciones lineales.34. Deduce el significado de la constante de proporcionalidad en una

función lineal.35. Representa gráfica, tabular y algebraicamente funciones lineales.36. Predice comportamientos de situaciones a través del estudio de

funciones lineales.

SCO 8: Reconoce las funciones afines

37. Considera situaciones que pueden modelarse gráficamente mediante líneas rectas que pueden o no pasar por el origen de coordenadas cartesianas.

38. Deduce la definición de función afín.39. Encuentra similitudes y diferencias entre funciones lineales y afines.40. Reconoce la pendiente de la recta como razón de cambio de una

variable con respecto a la otra.41. Determina procedimientos para encontrar la pendiente de la recta,

puntos de corte con los ejes y la ecuación.42. Interpreta las diferentes representaciones de la función afín para

poder predecir el comportamiento de la situación que modela.

SCO 9: Identifica funciones cuadráticas a través de sus gráficas modeladas en programas computacionales

43. Representa gráficamente la expresión y = x2 por medio de programas computacionales.

44. Deduce los posibles valores que puede tomar la variable dependiente y.

45. Representa gráficamente expresiones de la forma y = ax2 por medio de programas computacionales.

46. Compara las gráficas construidas.47. Conjetura acerca de los cambios que sufre la gráfica a partir de los

cambios del parámetro a.48. Conjetura acerca de los cambios que presentaría la gráfica si se cambia

a y= ax2 + c49. Determina los cambios que sufre la gráfica al variar el parámetro c.50. Representa gráficamente la expresión y= a (x + b)2 + c para diferentes

valores de b.51. Conjetura acerca de los cambios que presenta la gráfica al variar el

parámetro b.52. Representa gráficamente funciones cuadráticas sin necesidad de

tabular.


SCO 10: Identifica las funciones cúbicas.

53. Representa gráficamente la expresión y = x3 en programas computacionales.

54. Conjetura acerca de las modificaciones que debe sufrir la expresión algebraica para desplazar horizontal, verticalmente la gráfica de la función.

55. Conjetura acerca de las modificaciones que debe sufrir la gráfica para reflejarla con respecto al eje x.

56. Conjetura acerca de las modificaciones que debe sufrir la gráfica para expandir y contraer la gráfica horizontal y verticalmente.

SCO 11: Identifica funciones exponenciales.

57. Representa relaciones funcionales de crecimiento o decrecimiento exponencial de manera gráfica.

58. Determina a través de las diferentes representaciones si una función es o no exponencial.

59. Determina los cambios que debe sufrir la expresión algebraica para que la gráfica tenga desplazamientos, compresiones o expansiones y reflexiones.

Flujo de aprendizajeIntroducción ObjetivosDesarrolloResumenTarea

1. Introducción: Identificación de algunas funciones de estudio ensituaciones reales (H/C 5, H/C 10, H/C 15, H/C 30, H/C 31)

2. Objetivos de Aprendizaje3. Desarrollo:

3.1. Actividad 1: Función creciente, decreciente, constante y periódica3.2. Actividad 2: La función Lineal3.3.Actividad 3: La función Cuadrática y cúbita3.4.Actividad 4: La función exponencial

4. Resumen.5. Tarea

Lineamientos evaluativos

Los estudiantes a través de las diferentes actividades propuestas estarán en la capacidad de identificar cuando una función es creciente, decreciente, par, impar, constante, periódica, cuadrática, cúbica y exponencial; además de justificar por qué una situación de la cotidianidad se puede representar matemáticamente por medio de alguna función en estudio.


Etapa Flujo de aprendizaje

Recursos recomendados

Enseñanza /Actividades de aprendizaje

Identificación de algunas funciones de estudio en situaciones reales (H/C 5 , H/C 10, H/C 15, H/C 30, H/C 31)

El docente presenta un video que contiene diversas situaciones reales que se pueden modelar con algunas funciones; después plantea a sus estudiantes la pregunta:

• ¿Se pueden representar matemáticamente estas situaciones?

El docente se debe percatar que los estudiantes relacionen tales situaciones reales con el concepto de función que se viene trabajando. Por consiguiente, el docente plantea la pregunta:

• ¿El concepto de función se reconoce en el video?

Después, el docente debe cerciorarse que los estudiantes entiendan que en tales situaciones mostradas se presentan cambios que pueden depender del tiempo, en consecuencia el docente realiza la pregunta:

• ¿Los cambios que se presentan en cada situación de qué dependen?

Finalmente, se socializan las respuestas, y de esta manera el docente obtiene indicios del conocimiento de los estudiantes respecto al concepto de función, y así los direcciona de la mejor manera posible para dar cabida a los nuevos conceptos matemáticos.

El docente, en compañía de los estudiantes, escribe los objetivos a los que creen que se debe llegar. Luego, el docente presenta los objetivos propuestos para este objeto de aprendizaje; además puede explicar los objetivos si lo cree necesario y/o conveniente.

Video

Sinopsis: En el video se presentan diversas situaciones reales que se pueden representar matemáticamente con las funciones en estudio.

Estas situaciones son: el llenado y vaciado con agua de un recipiente, la caída libre de un objeto, el crecimiento de una población, el movimiento de una rueda.

Introducción

Objetivos

Introducción





Recurso interactivo

Material del estudianteContiene las preguntas, consignas y espacios para la realización de lo propuesto.

Actividad 1: Función creciente, decreciente, constante y periódica [H/C 1, H/C 4, H/C 5, H/C 6, H/C 7, H/C 8, H/C 9, H/C 10, H/C 11, H/C 12, H/C 13, H/C 14, H/C 15, H/C 26, H/C 27, H/C 28, H/C 29, H/C 30)

El docente inicia la actividad retomando las concepciones que los estudiantes tienen respecto al concepto de función. Dicha conceptualizaciones van a servir de base para la identificación de situaciones funcionales, y a partir de éstas, se llevara a cabo el reconocimiento de funciones crecientes, decrecientes, constantes y periódicas.

¿Qué es una función creciente?

Para el desarrollo de este ítem, el docente les propone a los estudiantes responder algunas preguntas, teniendo en cuenta la ilustración 1.

Ilustración 1

En esta actividad el docente les indica a los estudiantes observar detenidamente la ilustración 1 y asumiendo que las figuras tienen un patrón de formación responder:

• ¿Qué dibujo le corresponde a la posición 5?

• En la posición 6 ¿cuántos puntos hay?• En la posición 12 ¿cuántos puntos hay?• En la posición n ¿cuántos puntos hay?

Después que los estudiantes respondan las preguntas anteriores, el docente les pide a algunos socializar las respuestas.

El docente presenta el tema

Contenido





Después, los estudiantes deben llenar la siguiente tabla:

Tabla 1

Con las preguntas anteriores se espera que los estudiantes reconozcan que la relación es funcional, en consecuencia el docente pregunta:

• ¿Cuál es el dominio y el rango de la función obtenida?

Con los datos obtenidos en la tabla 1, los estudiantes deben decir que el dominio sea 1, 2, 3,…, 6,…n,…; y el rango sean los números cuadrados 1, 4, 9,…n2,…

Después, el docente pregunta:

• Si se toman dos elementos del dominio, por ejemplo 1 y 3, y se establece el orden entre ellos, 1 < 3, ¿cuál es el orden que hay entre sus imágenes?

Para generalizar el docente pregunta:

• ¿Los elementos del rango tienen el mismo orden que los elementos del dominio?

En consecuencia, los estudiantes y el docente deben llegar al acuerdo que, a medida que los números pertenecientes al dominio crecen, los elementos correspondientes al rango también crecen.

Ahora, tomando como referencia lo propuesto por Flórez H. (2013) en su diseño secuencial, se considera las ilustraciones 2 y 5, además de algunas preguntas.

2 4 65 n31 ... ...





Ilustración 2. Recipiente cilíndrico

El docente les explica a los estudiantes, que al recipiente de la ilustración 2 se le vierte agua, y a partir de eso se responden las siguientes preguntas:

• Si se trata de graficar el volumen del recipiente en relación a la altura, y teniendo en cuenta lo observado en la ilustración 2, ¿cuál es la gráfica? Justifique la respuesta.

Ilustración 3. Gráfica del volumen vs altura

Luego que los estudiantes y el docente estén de acuerdo en la forma de la gráfica (ver ilustración 3), el docente pregunta:

• Si para dos alturas h1 y h2, siendo h1 < h2, al comparar los llenados V1 y V2 correspondientes, ¿cuál sería el orden para los dos llenados?





Después de socializar las respuestas, el docente afirma:

Si cuando los números pertenecientes al dominio de una función crecen, los elementos del rango también crecen; entonces esta función se denomina creciente.

Finalmente el docente les indica a los estudiantes completar la definición de función creciente:

Una función f es creciente, si para cualquier par de elementos x1 y x2 pertenecientes a un intervalo B contenido en el dominio de la función se tiene que si x1 < x2 , entonces ▭f(x1) < f(x2)

¿Qué es una función decreciente?

El docente les asigna a los estudiantes una hoja que contiene la ilustración 4 y algunas preguntas.

A continuación, el docente les pide a los estudiantes construir la ilustración 4 a medida que él vaya explicando el cómo se genera dicha figura: Inicialmente se tiene un cuadrado de lado 1; al dividirlo en dos partes iguales se obtiene dos regiones, una es la región verde y la otra región se va a dividir en dos partes iguales; de la división anterior se obtiene dos regiones, la región azul y la otra región obtenida se procederá a dividirse en dos partes iguales. El anterior proceso se realiza varias veces hasta obtener la figura de la ilustración 4.

10Material del docente Identificar funciones cuyo dominio son los números reales




Ilustración 4

Después de dejar claro lo que representa la figura, el docente realiza la pregunta:

• ¿Qué representa los números ubicados en cada región?

Después de que se tenga claro por parte de los estudiantes que cada número representa el área de cada una de las regiones obtenidas al realizar la división que se le hace al cuadrado de lado 1, el docente les pide a los estudiantes responder los enunciados consignados en la hoja de la actividad.

• Llenar la siguiente tabla donde la primera fila indica el número de divisiones que se le realizan al cuadrado, y la segunda fila indica la fracción correspondiente a cada área producida por dicha división, la cual se denota por P.

Tabla 2

2 4 65 n31

P

# de divisiones ... ...





Con las preguntas anteriores se espera que los estudiantes reconozcan que la relación es funcional, en consecuencia el docente pregunta:


Con los datos obtenidos en la tabla 2, los estudiantes deben decir que el dominio sea 1, 2, 3,…, 6,…n,…; y el rango sea los números 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…〖(1/2)n,...

Después, el docente pregunta:

• Si se toman dos elementos del dominio, por ejemplo 1 y 3, y se establece el orden entre ellos, 1 < 3, ¿cuál es el orden que hay entre sus imágenes?

Para generalizar, el docente realiza la pregunta:

• ¿Los elementos del rango tienen el mismo orden que los elementos del dominio?

En consecuencia, los estudiantes y el docente acuerdan que a medida que los números pertenecientes al dominio crecen, los elementos correspondientes del rango decrecen.

Ahora, el docente considera la imagen proyectada de un recipiente perforado que contiene agua (ver ilustración 5), y explica que en cada instante el agua del recipiente va disminuyendo.

Ilustración 5. Recipiente con una perforación





Por consiguiente, el docente pregunta: • Si se trata de graficar el volumen

del recipiente contra la altura, y teniendo en cuenta lo observado en la ilustración 5, ¿cuál es la gráfica? Justifique la respuesta.

Ilustración 6. Gráfica de volumen vs altura

Luego que los estudiantes y el docente estén de acuerdo en la forma de la gráfica (ver ilustración 6), el docente pregunta:

• Si para dos alturas h1 y h2, siendo h1 < h2, se comparan los volúmenes correspondientes, V1 y V2, ¿cuál sería el orden en dichos volúmenes?

Después de socializar las respuestas, el docente afirma:

Si cuando los números pertenecientes al dominio de una función crecen, los elementos del rango decrecen; entonces esta función se denomina decreciente.

Finalmente el docente les indica a los estudiantes completar la definición de función decreciente:

Una función f es decreciente, si para cualquier par de elementos x1 y x2 pertenecientes a un intervalo B contenido en el dominio de la función se tiene que si x1 < x2 ,entonces f(x1) > f(x2)





La función constante

Para el desarrollo de esta actividad el docente les presenta a los estudiantes una hoja que contiene la tabla 3, la gráfica de un plano cartesiano (ver ilustración 7), además de algunas preguntas referentes al tema en cuestión. La tabla 3 va ser llenada con los datos de los estudiantes escogidos por el docente que tienen la misma edad.

Ilustración 7

Tabla 3

Después de llenar la tabla, se espera que los estudiantes reconozcan que la relación es funcional, en consecuencia el docente pregunta:


2

4

Estudiante Edad

5

3

1

N°





Después que los estudiantes tengan claro el dominio y rango de la función, seguidamente, el docente pregunta:

• ¿Qué características tiene la gráfica?

Ahora, el docente propone la siguiente situación y plantea una pregunta: En cada mes del año un estudiante ahorra la misma cantidad de dinero.

Si se va graficar el comportamiento del ahorro, donde los elementos del dominio son los meses del año, y el rango de la función está conformado por un solo elemento, es decir, la cantidad que ahorra el estudiante: ¿cómo es la gráfica de la función?

Después de la realización de tal gráfica por parte de los estudiantes, el docente pregunta:

• ¿cuáles son las características de dicha gráfica?

Finalmente el docente junto a los estudiantes analizan la veracidad de las respuestas dadas por los estudiantes, y el docente enuncia que en dicha función se cumple que el rango sólo tiene un elemento.

El docente y los estudiantes acuerdan que las segundas coordenadas de la gráfica en cuestión tienen el mismo valor para todos los elementos del dominio.

Finalmente el docente les indica a los estudiantes completar la definición formal de función constante:

Una función f es constante si para todo x1 , x2 pertenecientes a un intervalo B contenido en el dominio de la función se tiene que,▭f(x1) = f(x2) = c donde c es una constante.





Funciones crecientes, decrecientes y constantes.

Para el desarrollo de este ítem se tomó como referente la información sobre los estragos producidos en los cultivos de arroz en el año 2010, donde dicha información se encuentra consignada en la Revista arroz, vol. 58 No 489. El docente propone que los estudiantes formen grupos de dos integrantes para que realicen la actividad, ésta consiste de una situación, la cual está expuesta en el material del estudiante junto con las indicaciones a realizar, además de la ilustración 7 y algunas preguntas.

El docente lee la situación que se presenta en la actividad y aclara las dudas que los estudiantes tengan respecto a dicha situación:

Los cambios en el clima tienen notables efectos en la agricultura de todo el mundo, debido a altas temperaturas, radiación solar, humedad relativa y baja precipitación especialmente. Entre los efectos de la alta temperatura se encuentra la aceleración del proceso de maduración que en el caso del arroz es de 15 días lo cual conduce a un menor peso de grano, mala calidad de grano e incremento del vaneamiento (es una enfermedad que se produce en el arroz y no permite que las espigas se llenen de granos y además afecta la calidad de los mismos).

Una mayor temperatura favorece la proliferación de plagas y enfermedades, además de facilitar su dispersión entre regiones. Esta vulnerabilidad de las plantas conlleva a mayores costos de producción y a un menor rendimiento. Desde mediados del año 2009 se han presentado bajas en la producción del arroz en el Departamento del Tolima debido a altas temperaturas en máximas y mínimas las cuales han estado por





encima de 3 grados centígrados de los datos históricos causando un alto porcentaje de Vaneamiento (50%). En el 2009 - 2010 las temperaturas máximas están por encima de los 34 grados centígrados y las mínimas por encima de los 21 grados centígrados, lo cual afecta la esterilidad del polen del arroz incrementando el Vaneamiento.

Ilustración 8

A continuación, el docente explica que la ilustración 8 muestra el rendimiento t/ha de los cultivos en la meseta de Ibagué, en los meses de Enero hasta Agosto, donde t/ha significa las toneladas por hectárea; por consiguiente, el docente les indica a los estudiantes responder las siguientes preguntas:

• ¿En qué meses el rendimiento de arroz aumentó?

• ¿En qué meses el rendimiento de arroz disminuyó?

• ¿Hay meses donde el rendimiento de arroz se mantiene?

• ¿Qué funciones de las ya estudiadas componen el comportamiento del rendimiento del arroz?

Después que los estudiantes terminen de responder las anteriores preguntas, se socializa las respuestas de cada grupo para acordar junto con el docente la veracidad de las respuestas y concluir que el rendimiento del arroz mostrado en la ilustración 7 se puede representar haciendo uso de los conceptos de función creciente, decreciente y constante





aplicados en determinados subconjuntos del dominio.

El concepto de periodicidad

Al inicio de la actividad el docente les recuerda a los estudiantes cómo funciona la rueda que está en los parques de juegos mecánicos.

A continuación, el docente propone la siguiente situación:

Ilustración 9. La rueda

Una rueda de un parque de diversiones, con diámetro de 10 metros, gira uniformemente en el sentido de las manecillas del reloj a razón de media vuelta por minuto. En la ilustración 9 se muestra las posiciones de dos cabinas A y B de la rueda; suponiendo que la rueda gira durante 8 minutos, el docente les pide a los estudiantes realizar el bosquejo de la trayectoria de la cabina A y B.

Ilustración 10





Después de la socialización de las respuestas dadas por los estudiantes, el docente muestra la ilustración 10 para corroborar las gráficas de las trayectorias de la cabina A y B, donde la gráfica de color rojo es la trayectoria de la cabina A y la gráfica de color azul es la trayectoria de la cabina B.

Por consiguiente, el docente y los estudiantes deben acordar que, a medida que la rueda sigue girando, en las trayectorias de las cabinas se va formando una repetición, donde esta repetición depende del número de vueltas que da la rueda.

Ahora, el docente expone la noria de 135 metros de altura conocida como The London Eye (El Ojo de Londres), la cual gira muy lentamente y se demora 32 minutos en dar una vuelta.

Teniendo como base la información anterior, el docente pregunta:

• Si la altura de la cabina es h en un instante t (minutos), ¿cuál es la altura de la cabina 32 minutos después?

• ¿Qué relación hay entre h(t) y h(t+32)?

Con base en las preguntas y respuestas anteriores, el docente y los estudiantes deberían discutir y acordar que la igualdad h(t) = h(t + 32) está íntimamente relacionada con que la gráfica correspondiente al primer giro se repite.

El docente explica entonces que una función de este tipo se llama periódica.

Por último, el docente indica a los estudiantes completar la definición formal de función periódica:

Una función f(x) es periódica si existe un número p, tal que f (x + p) = f (x) para todas las x. Al menor número p se le llama período.





Ahora, el docente propone la siguiente situación:

La marea es el movimiento de ascenso y descenso de las aguas del mar, producido por las perturbaciones gravitatorias del Sol y de la Luna en la Tierra. La gráfica de dichas alturas se pueden representar de la forma:

Ilustración 11. Trayectoria de una onda

Por consiguiente, el docente pregunta:

• Teniendo en cuenta la ilustración 11, ¿El movimiento del agua del mar es periódico? Justificar la respuesta.

Los estudiantes deben establecer que con respecto a la ilustración 11, la marea no es un movimiento periódico, debido a que en cada intervalo la gráfica no es la misma, por ejemplo en el intervalo (0,12) la gráfica que describe el nivel de la marea no es la misma que la del intervalo (36,48).

Actividad 2: La función lineal (H/C 31, H/C 32, H/C 33, H/C 34, H/C 35, H/C 36, H/C 37, H/C 38, H/C 39, H/C 40, H/C 41, H/C 42) Para llevar a cabo la siguiente actividad, el docente les indica a los estudiantes formar grupos de tres integrantes.

El volumen del agua en un vaso de forma cilíndrica.

El docente le da a cada estudiante una hoja con la situación a considerar, y después explica en qué consiste la situación: se toma un recipiente pequeño, el cual





contiene 30cm3 de agua y se agrega tal cantidad a un vaso cilíndrico (ver ilustración 12) de diámetro 6cm; seguido a esto, se obtienen las medidas de las alturas que hay entre la base del vaso y el nivel del agua; lo anterior se realiza cinco veces.

Ilustración 12. Vaso cilíndrico

Para calcular el volumen el docente debe recordarles a los estudiantes la fórmula del volumen de un cilindro: V = A.l, donde A = πr2 es el área transversal del vaso de radio r y l es la altura del agua en el recipiente.

Con los datos obtenidos anteriormente se llena la tabla 4 consignada en la hoja de la actividad.

Tabla 4

A continuación, los estudiantes realizan la gráfica de la altura y el volumen, donde el dominio es la altura del agua en el vaso y el rango es el volumen que se obtiene al agregarle agua al vaso.

1

345

2

0

# de veces que se le

agrega agua al vaso

Altura del agua en

el vaso l (cm)Volumen V (cm3)





Ahora, el docente les indica a los estudiantes responder las preguntas de la actividad:

• ¿En la gráfica qué características tiene la ubicación de los puntos?

Después que los estudiantes junto con el docente lleguen al acuerdo que la gráfica en el plano coordenado representa una línea recta, el docente pregunta:

• ¿Qué tipo de relación conocida se puede identificar entre las variables altura y volumen?

• ¿Cómo es el comportamiento de dicha relación?

Por consiguiente, el docente y los estudiantes acuerdan que la relación evidenciada por las variables altura y volumen es proporcional, donde A es la constante de proporcionalidad; además que su comportamiento es creciente. De esta manera, el docente explica que tal situación en estudio se ha representado por una función lineal, la cual es creciente, debido al comportamiento de los datos utilizados, donde éstos últimos se generan por la fórmula del volumen de un cilindro.

Por lo tanto, el docente introduce la representación algebraica de cualquier función lineal y = mx, y evidencia la semejanza que hay en esta representación con la fórmula utilizada para hallar el volumen, donde m viene siendo el área transversal A y la variable x es la altura del agua l.

¿Cómo varía el volumen del agua haciendo uso de un vaso cilíndrico más grande?

Ahora, el docente les propone a los estudiantes el caso donde el área transversal A’ de un vaso sea mayor que la del vaso utilizado anteriormente; es





decir, se va utilizar un vaso cilíndrico con diámetro de 7cm.

Por consiguiente, el docente les indica a los estudiantes realizar de nuevo las mediciones de la altura y volumen, donde éste último se calcula por medio de la fórmula del volumen de un cilindro. Utilizando los datos hallados se llena la tabla 4 con los nuevos valores de la altura y el volumen.

A continuación, los estudiantes deben realizar la gráfica de la altura y el volumen, donde el dominio de la función se conforma por las alturas calculadas y el rango de la función se conforma por los volúmenes correspondientes a dichas alturas.

Por último, el docente les plantea las siguientes preguntas a los estudiantes, las cuales están consignadas en la hoja de la actividad:

• ¿En la gráfica qué características tiene la ubicación de los puntos?

• Al comparar las dos gráfica realizadas, ¿cuáles son las similitudes de las dos gráficas?, ¿en qué se diferencian? Justificar las respuestas.

Después que los estudiantes junto con el docente lleguen a un acuerdo con respecto a las respuestas de cada pregunta, el docente afirma que las similitudes de las dos gráficas conciernen en que las gráficas pasan por el origen y en el comportamiento de la gráfica, pues los puntos tienden a formar una línea.

Con respecto a las diferencias, el docente afirma que el área transversal de cada vaso es distinto, de ahí que la altura del agua en cada vaso sea distinta; en últimas se generan gráficas con distintas inclinaciones debido a que las áreas transversales son distintas.





Función afín

Para desarrollar este ítem el docente les dice a los estudiantes utilizar de nuevo el vaso del primer ítem, pero esta vez conteniendo una cierta cantidad de agua. El docente deja claro que las nuevas medidas de la altura se realizan a partir de la altura h0, sin embargo, como se observa en la ilustración 13, el vaso ya tiene agua, es decir que para h0 el vaso tiene un volumen V0

Ilustración 13. Vaso con agua

Como en los ítems anteriores, para hallar el volumen se utiliza la fórmula del volumen de un cilindro, pero se ha de tener en cuenta que el vaso tiene agua, es decir, ya inicialmente hay un volumen al momento de empezar el experimento. Por consiguiente, el docente les indica a los estudiantes que el vaso tiene de altura 1cm de agua, y realiza las preguntas:

• ¿Cuál es el volumen de agua en el vaso para una altura de 1cm?

• ¿Cuál es la fórmula para hallar el volumen total de agua en el vaso?

Los estudiantes deben acordar que el volumen de agua en el vaso para una altura de 1cm es 1cm x πr2, y el volumen total de agua en el vaso es de la forma 1cm x πr2 + Al, donde A es el área transversal del vaso y l la altura del agua, la cual se mide a partir de la altura dada inicialmente, es decir, 1cm.





Ahora, el docente les pide generalizar el anterior resultado, es decir, para una altura inicial h0, por consiguiente realiza las preguntas:

• ¿Cuál es el volumen inicial Vo de agua en el vaso para una altura h0?

• ¿Cuál es la fórmula para hallar el volumen total VT de agua en el vaso?

Después que los estudiantes entiendan que el volumen se expresa de la forma VT = Vo + V, donde V es el volumen utilizado en el ítem 1; el docente les pide a los estudiantes llenar la tabla 5.

Tabla 5

Prosiguiendo con la actividad, al tener todos los datos consignados en la tabla el docente les indica a los estudiantes graficar en el plano coordenado el comportamiento del volumen respecto a la altura, es decir que las alturas halladas conforman los elementos del dominio y los volúmenes hallados conforman los elementos del rango.

A continuación, se indican las siguientes preguntas:

• Con el lápiz trazar una línea que una todos los puntos. ¿Qué características tiene dicha línea?

• Si compara esta gráfica con la gráfica obtenida en la primera parte de la actividad, ¿en qué se diferencian?, ¿hay similitudes?, justificar las respuestas.

1

3

45

2

0 h0 V0

# de veces que se le

agrega agua al vaso

Altura del agua en

el vaso l (cm)Volumen V (cm3)





Después que los estudiantes socialicen las respuestas, el docente junto con los estudiantes llegan al acuerdo de las similitudes y diferencias que existen en las dos gráficas, donde la gráfica de la primera parte de la actividad pasa por el origen, a diferencia de la gráfica obtenida en esta actividad; y con respecto a las similitudes, las dos gráficas tienen un comportamiento lineal.

De esta manera el docente afirma que la gráfica obtenida en este ítem, la cual no pasa por el origen y es una línea recta, corresponde a una función de la forma y = mx + b, donde el volumen del agua inicial Vo corresponde al corte con el eje y, es decir b, y Al corresponde con mx. Seguidamente, el docente afirma que dicha función se denomina función afín.

Haciendo uso del recurso interactivo de GeoGebra, el docente muestra la variación de la pendiente de y = mx + b, donde m y b son deslizadores (ver ilustración 14).

Ilustración 14. Gráfica de la función y = mx + b





El docente, les indica a los estudiantes considerar la siguiente gráfica de una función afín:

Ilustración 15. Pendiente de una recta

Luego, el docente les dice a los estudiantes considerar el triángulo formado por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) y plantea la siguiente pregunta:

• ¿El ángulo de inclinación mostrado en la ilustración 15 depende de los puntos que se tomen de la recta? Justificar la respuesta.

En consecuencia, los estudiantes y el docente acuerdan que no importa los dos puntos que se escojan de la recta, el ángulo de inclinación se conserva. Seguidamente, el docente introduce el término pendiente y afirma que la pendiente es la razón de cambio de la coordenada y respecto a la coordenada x,

es decir que , donde ∆y = y2 - y1 y ∆x = x1 - x2

Ahora el docente propone hallar la ecuación de la recta utilizando dos puntos pertenecientes a la recta, el punto de corte con el eje y y el punto de corte con el eje x, por consiguiente el docente pregunta:

• ¿Cómo hallar el punto de corte entre la recta y el eje y?





Los estudiantes deben tener claro que al tomar a x = 0 y remplazarse en la ecuación f(x) = mx + b, se obtiene que el punto de corte con el eje y es (0, b).

Como ya se tiene la pendiente y el punto de corte con el eje y, donde la pendiente se calcula haciendo uso de ∆y y ∆x, los estudiantes junto con el docente acuerdan que la ecuación de la recta es hallada.

Actividad 3: La función Cuadrática y la función cúbica (H/C 16, H/C 17, H/C 18, H/C 19, H/C 20, H/C 21, H/C 22, H/C 23, H/C 24, H/C 25, H/C 43, H/C 44, H/C 45, H/C 46, H/C 47, H/C 48, H/C 49, H/C 50, H/C 51 , H/C 52, H/C 53, H/C 54, H/C 55 , H/C 56)

La siguiente actividad se desarrollará en grupos de tres estudiantes. La situación dada a continuación, fue extraída del texto (Young. H y Freedman. R, 2009, p.55).

Para dar inicio a la actividad, el docente expone el movimiento de una pelota al ser lanzada verticalmente hacia arriba, además de la gráfica que representa la trayectoria. El docente explica que la pelota sale de la mano con rapidez ascendente de 15 m/s.

Ilustración 16

Recurso interactivo





Por consiguiente, el docente afirma que la posición en cualquier instante t una vez que se suelta la pelota está dada por la ecuación:

y = 15t - 4.9t2

Seguidamente, el docente enuncia que esta función es de la forma y = ax2 + bx + c, y se denomina cuadrática.

Para el desarrollo óptimo de esta actividad el docente proyecta las imágenes a considerar en esta actividad y presenta el recurso, como opcionales, algunos interactivos de GeoGebra para mostrar diversos cambios que obtiene la función y = x2

¿Qué pasa si la función y = x2 se multiplica por un número distinto de cero?

A continuación, el docente expone la expresión algebraica más simple que representa una función cuadrática, es decir y = x2, después les indica a los estudiantes realizar una tabulación para hallar el valor de y si x toma los valores de 0, ±1/2, ±2, ±5/2, ±4, y por ende realizar la gráfica de la función.

Ilustración 17. Gráfica de la función y = x2





Posteriormente, el docente proyecta la gráfica (ver ilustración 17) de la función y = x2, para corroborar la gráfica obtenida por los estudiantes; luego realiza las siguientes preguntas indicando que en cada gráfica pedida, la tabulación se realizara cuando x toma los valores de 0, ±1/2, ±2, ±5/2, ±4 :

• Si la función , ¿Cuál es

la gráfica de la nueva función cuadrática?

• Si se compara la gráfica obtenida en el punto anterior con la gráfica de y = x2, ¿cuáles son las diferencias?

• Si la función y = 2x2, ¿Cuál es la gráfica de la nueva función cuadrática?


Después de la socialización de algunas respuestas los estudiantes concluyen que la función y_1=(1/2) x^2, la cual se genera

al multiplicar 1/2 con la función y = x2, produce una expansión en la gráfica de la función dada inicialmente. Además, el docente también explica que y2 = 2x2, la cual se genera al multiplicar 2 con la función y = x2, contrae la gráfica de la función dada inicialmente.

Para corroborar lo dicho, el docente proyecta la imagen de la ilustración 18, donde la gráfica roja es la que representa la función y_1=(1/2) x^2 y la gráfica azul

representa la función y2 = 2x2

Ilustración 18





Ahora, el docente les pide a los estudiantes responder las siguientes preguntas:

• Si la función y = -2x2 ¿Cuál es la gráfica de la nueva función cuadrática?


Ilustración 19

Después de la socialización de las respuestas dadas por los estudiantes, el docente explica que la función y1 = -2x2, la cual se genera al multiplicar -2 con la función y = x2 refleja la función dada inicialmente en el eje x y la contrae. Para corroborar lo dicho, el docente proyecta la imagen de la ilustración 18, donde la gráfica roja es la que representa la función y1 = -2x2

Por último, los estudiantes deben concluir que al multiplicar la función y = x2 con un número a > 0, se genera la función y1 = ax2, tal que su gráfica es la expansión de la función inicial, siempre y cuando 0< a <1; si a > 1 la gráfica inicial se contrae.

Si a < 0, la gráfica de la función y = x2 se refleja con respecto al eje x.





¿Qué pasa si la gráfica de la función y = ax2 se traslada verticalmente c unidades?

Ahora, el docente les indica a los estudiantes considerar la función cuadrática y = 3x2 y responder las siguientes preguntas:

Si la gráfica se traslada 2 unidades en el eje positivo de las y :

• ¿Cuál es la expresión algebraica de la nueva función?

• ¿Cuál es la gráfica de la nueva función cuadrática?

Si la gráfica se traslada 2 unidades en el eje negativo de las y :

• ¿Cuál es la expresión algebraica de la nueva función?

• ¿Cuál es la gráfica de la nueva función cuadrática?

Después de la socialización de las respuestas dadas por los estudiantes, el docente explica que si la gráfica de y = 3x2 se traslada 2 unidades en el eje positivo, la expresión algebraica es y = 3x2 + 2; y si la gráfica de y = 3x2 se traslada 2 unidades en el eje negativo, la expresión algebraica es y = 3x2 - 2

Por consiguiente, el docente corrobora las traslaciones que se realizan a la función y = 3x2 haciendo uso de la proyección de la ilustración 19, donde se puede observar las gráficas y = 3x2 + 2 (gráfica de color azul)y y = 3x2 - 2 (gráfica de color rojo); además se presenta, como opcional, el recurso interactivo de GeoGebra, donde y = ax2 + c y c es un deslizador.





Ilustración 20

¿Qué pasa si la gráfica de la función y = ax2 + c se traslada horizontalmente b unidades?

Ahora, el docente les indica a los estudiantes considerar la función cuadrática y = 3x2 + 2 y responder las siguientes preguntas:

Si la gráfica de y = 3x2 + 2 se traslada 2 unidades a la derecha: • ¿Cuál es la expresión algebraica de la

nueva función?• ¿Cuál es la gráfica de la nueva función

cuadrática?

Si la gráfica de y = 3x2 + 2 se traslada 2 unidades a la izquierda: • ¿Cuál es la expresión algebraica de la

nueva función?• ¿Cuál es la gráfica de la nueva función

cuadrática?





Después de la socialización de las respuestas dadas por los estudiantes, el docente explica que si x se traslada 2 unidades a la derecha, la expresión algebraica es y = 3(x - 2)2 + 2, en cambio, si x se traslada 2 unidades a la izquierda, la expresión algebraica es y = 3(x + 2)2 + 2

Luego, el docente proyecta la ilustración 21 para asentar las gráficas de las funciones y = 3(x - 2)2 + 2 (gráfica de color azul) yy = 3(x + 2)2 + 2 (gráfica de color rojo); también presenta, como opcional, el recurso de GeoGebra donde el b de y = a(x - b)2 + c es un deslizador.

Ilustración 21.

La grafica de la función y = ax2 + bx + c sin necesidad de tabular

El docente les pregunta a los estudiantes:

• A partir de la gráfica de la función y = x2, ¿cómo se obtiene la gráfica de la función y = 2(x - 1)2 - 1?

En consecuencia, los estudiantes y el docente acuerdan que al realizar la respectiva traslación, una unidad a la derecha (pues en la expresión algebraica la componente x del vértice es 1) en el eje x, una contracción de la función y = x2, pues la función se multiplica por 2 y seguidamente la traslación, una unidad





hacia abajo en el eje y se obtiene la gráfica deseada; donde el vértice de la parábola es el punto (1,-1), que indica la traslación de los ejes x e y de la función cuadrática. Para corroborar lo dicho, el docente muestra la ilustración 22.

Ilustración 22

Por lo tanto, para asentar lo dicho, el docente les pide a los estudiantes realizar la gráfica de una función cuadrática con vértice en (1,2), la cual sufre una expansión, a causa de que la función se multiplica por ½. Los estudiantes junto con el docente deben llegar al acuerdo que la función que representa la situación anterior es de la forma y = 2(x - 1)2 + 2, y que a partir de esta expresión se puede hallar la gráfica (ver ilustración 23) como se realizó en el ejemplo anterior.

Ilustración 23





La simetría en la función cuadrática

A continuación el docente realiza las siguientes preguntas teniendo en cuenta la función y = x2:

• Hallar el valor de f(2) y f(-2), ¿Qué relación hay entre las dos imágenes de la función cuadrática?

• ¿El resultado anterior se puede generalizar para cualquier número k del dominio de la función cuadrática? Justifique la respuesta.

• ¿Observa una simetría en la gráfica? Justifique la respuesta.

Por lo tanto, los estudiantes junto con el docente concluyen que la función es simétrica con respecto al eje y, además que la imagen de un número negativo k es igual a la imagen de su opuesto aditivo, para todo k perteneciente al dominio de la función. De esta manera, el docente introduce el concepto de función par; y les propone a los estudiantes completar la definición de función par:

Una función f es par, si para todo elemento x del dominio se cumple que f(x) = f(-x)

La función Cúbica

Para dar inicio a esta parte el docente presenta la función cúbica f(x) = x3 y proyecta su gráfica (ver ilustración 24), luego expresa que el dominio y el rango de la función es el conjunto de los números reales; seguidamente proyecta la ilustración 25, y realiza la siguiente pregunta:

• ¿Cuál es el volumen de la caja, siendo la medida de cada arista w?





Ilustración 24

Después del acuerdo llegado entre los estudiantes y el docente con respecto a la expresión del volumen V = w3, el docente explica que el tamaño de la caja depende de los valores tomados por w. Sin embargo, se debe enfatizar sobre el dominio de la función volumen, debido a que las aristas de la caja sólo toman valores positivos.

Ilustración 25

La simetría de la función cúbica

A continuación el docente realiza las siguientes preguntas teniendo en cuenta la función y = x3:

• Hallar el valor de f(2) y f(-2), ¿Qué relación hay entre las dos imágenes de la función cúbica?

• ¿El resultado anterior se puede generalizar para cualquier número k del dominio de la función cúbica? Justifique la respuesta.





• ¿Observa una simetría en la gráfica? Justifique la respuesta.

Por lo tanto los estudiantes junto con el docente concluyen que la función es simétrica con respecto al origen, además que la imagen de un número negativo k, es igual al opuesto aditivo de la imagen del número k, donde k pertenece al dominio de la función. De esta manera, el docente introduce el concepto de función impar; y les propone a los estudiantes completar la definición de función impar:

Una función f es impar, si para todo elemento x del dominio se cumple que f(-x) = -f(x)

La traslación en los ejes x e y, contracción, expansión y reflexión de la función cúbica.

Ahora, el docente realiza las siguientes preguntas tomando como referencia la función y = x3:

• Si la función se traslada 2 unidades a la derecha en el eje x, ¿cómo es su nueva representación algebraica?, ¿cómo es la gráfica?

• Si la representación algebraica anterior se multiplica por ½, ¿la función se contrae o se expande?, ¿cómo es la representación gráfica?

• Si la función obtenida en el punto anterior se traslada 1 unidad hacia arriba en el eje y, ¿cómo es su nueva representación algebraica?, ¿cómo es la representación gráfica?

Después de la socialización de las respuestas dadas por los estudiantes, el docente junto con los estudiantes establece que la expresión algebraica resultante es y=1/2 (x-2)3+1. .Luego, el docente corrobora

las traslaciones y la contracción que se le realizan a la función y = x3 haciendo uso de la proyección de la ilustración 26, donde se puede observar





las gráficas de y1 = (x - 2)3 (gráfica de color

azul), y2 =1/2 (x-2)3 (gráfica de color rojo) y

y_3=1/2 (x-2)3+1 (color verde).

Ilustración 26

A continuación, el docente presenta la siguiente función y = 2x3 y pregunta:

• ¿Cuál es la representación algebraica y gráfica de la reflexión de la función con respecto al eje x?

Después de la socialización de las respuestas dadas por los estudiantes, el docente junto con los estudiantes establece que la expresión algebraica resultante para la reflexión con respecto al eje x es y1 = -2x3 y su gráfica (color azul) es la que se encuentra contenida en la ilustración 27.

Ilustración 27





Para finalizar, después que los estudiantes tengan claro las respuestas de las preguntas anteriores, el docente pregunta:

• Si c > 0, ¿la gráfica de la función y = ax2 + c se traslada c unidades en el eje positivo de las y o en el eje negativo de las y? Justificar la respuesta.

• Si c < 0, ¿la gráfica de la función y = ax2 + c se traslada c unidades en el eje positivo de las y o en el eje negativo de las y? Justificar la respuesta.

Por último, el docente junto con los estudiantes ratifican que para c > 0 la gráfica de la función y = ax2 + c es una traslación vertical de la gráfica de y = ax2 en el sentido positivo de las y, y si c < 0 la gráfica se traslada en el eje negativo de las y

• Si b > 0, ¿la gráfica de la función y = a(x + b)2 + c se traslada b unidades a la derecha o a la izquierda? Justificar la respuesta.

• Si b < 0, ¿la gráfica de la función y = a(x + b)2 + c se traslada b unidades a la derecha o a la izquierda? Justificar la respuesta.

Luego, el docente junto con los estudiantes establece que para b > 0 la gráfica de la función y = a(x + b)2 + c se traslada b unidades a la izquierda, si b < 0 la gráfica de la función y = a(x + b)2 + c se traslada b unidades a la derecha.

Lo anterior, los estudiantes deben establecerlo para la función cúbica, es decir, los estudiantes deben entender lo que la expresión algebraica y = a(x + b)3 + c muestra con respecto a las traslaciones, contracciones y expansiones.





Actividad 4: La función exponencial (H/C 57, H/C 58, H/C 59)

La siguiente actividad se desarrolla en grupos de tres estudiantes. A continuación, el docente expone la siguiente situación:

Según la Oficina de censos de los EU, la población del mundo llegó en 2012 a 7000 millones de habitantes y su crecimiento fue estimado en 1,1 % anual; tal que la tasa de crecimiento es constante.

Luego, el docente presenta la tabla 6, donde se muestra el período (que puede ser: década, año, día, hora, etc.) y el valor de la población en cada período; además explica que el período 0 de la tabla 6 corresponde la población del mundo en el año 2012, debido a que a partir de dicho valor se va a encontrar la expresión para calcular el valor de la población en los siguientes años.

Tabla 6

Después, el docente explica que el período 1, es decir año 2013, es el valor de la población en el año anterior más el cambio que sufre dicho valor inicial respecto a la tasa de crecimiento, que en últimas es el 1.1% de C0.

En consecuencia, el docente les pide a los estudiantes expresar el valor de la población para el año 2015, 2016, 2017, y

1

3

.

.

.

4

n

2

0 C0 = 7000 millones

Período Valor de la población





finalmente para el período n, teniendo en cuenta las expresiones desarrolladas en los períodos 1 y 2.

Luego, los estudiantes junto con el docente llegan a la conclusión que para el año 2015 el valor de la población se expresa de la forma:

C_3=C_2+1.1/100 C_2=C_2 (1+1.1/100)= C_0 (1+1.1/100)^3

Para el año 2016 el valor de la población se expresa de la forma:

C_4=C_3+1.1/100 C_3=C_3 (1+1.1/100)= C_0 (1+1.1/100)^4

Para el año 2017 el valor de la población se expresa de la forma:

C_5=C_4+1.1/100 C_4=C_4 (1+1.1/100)= C_0 (1+1.1/100)^5

Finalmente, para el periodo n, el valor de la población es:C_n=C_0 (1+1.1/100)^n

Por consiguiente, el docente realiza la

sustitución a=1+1.1/100, donde a > 1, y se

obtiene que la expresión anterior queda de la forma f(n) = C0an, la cual representa un función exponencial creciente.

Por lo tanto, el docente explica que una función como las mostradas anteriormente se denominan funciones exponenciales, y en general este tipo de funciones se expresan de la forma f(x) = ax, siendo a un número real positivo y x ∈ �

Ahora, el docente les pide a los estudiantes responder las siguientes preguntas teniendo en cuenta la función y = 2x y su gráfica (ver ilustración 28):





Ilustración 28. Gráfica de la función y = 2x

• Si se tiene y = c2x, ¿qué valores puede tomar c para que la gráfica de y = 2x se expanda?, ¿qué valores puede tomar c para que la gráfica de y = 2x se comprima?

• Si se tiene y = 2x+k, ¿qué valores puede tomar k para que la gráfica de y = 2x se traslade a la derecha?, ¿qué valores puede tomar k para que la gráfica de y = 2x se traslade a la izquierda?

• Si se tiene y = 2x + b, ¿qué valores puede tomar b para que la gráfica de y = 2x se traslade en el eje positivo de las y?, ¿qué valores puede tomar b para que la gráfica de y = 2x se traslade en el eje negativo de las y?

• Si se tiene y = 2x, ¿cuál es su reflexión respecto al eje x?

• Si se tiene y = 2x, ¿cuál es su reflexión respecto al eje y?

Para aclarar las respuestas dadas por los estudiantes, el docente muestra las ilustraciones 29, 30, 31, 32 y 33.





Ilustración 29. Expansión y comprensión de la gráfica de y = 2x

La anterior ilustración hace uso de las funciones y = 3 * 2

x (gráfica de color azul) y y=1/3 2^x (gráfica de color rojo).

Ilustración 30. Traslación en el eje x de la gráfica de y = 2x

La anterior ilustración hace uso de las funciones y = 2x-3 (gráfica de color rojo) y y = 2x+3 (gráfica de color azul).





Ilustración 31. Traslación en el eje y de la gráfica de y = 2x

La anterior ilustración hace uso de las funciones y = 2x - 3 (gráfica color rojo) y y = 2x + 3 (gráfica color azul).

Ilustración 32. Reflexión respecto al eje x de la

función y = 2x





Ilustración 33. Reflexión respecto al eje y de la función y = 2x

Para finalizar, el docente les propone a los estudiantes completar los enunciados siguientes teniendo en cuenta la función exponencial y = ax

• Si c > 1, la función y = cax se Comprime• Si c < 0, la función y = cax se Expande• Si k > 0, la función y = cax+k se traslada a la Izquierda

• Si k < 0, la función y = cax+k se traslada a la Derecha

• Si b > 0, la función y = cax+k + b se traslada en el eje positivo de las y

• Si b < 0, la función y = cax+k + b se traslada en el eje negativo de las y

• La reflexión respecto al eje x de la función y = ax es: y = -ax

• La reflexión respecto al eje y de la función y = ax es: 〖y = a-x

Por consiguiente, el docente realiza la siguiente pregunta:

• ¿cuál es la gráfica de la función y=(1/2)^x?

• ¿En qué se diferencia la gráfica anterior y la gráfica de la función y = 2x?

Ahora, haciendo uso del recurso interactivo de GeoGebra, donde y = ax y a es un deslizador, el docente junto con los estudiantes afirman que la función y = ax es creciente si a > 1 y es decreciente si 0 < a < 1





A continuación el docente propone las

siguientes funciones: y=2+(1/2)^xy y= 3^(1/x).

Luego realiza la pregunta:

• ¿Las funciones representan una función exponencial? Justificar la respuesta.

Ilustración 34

Ilustración 35

Después, el docente proyecta las ilustraciones 34 y 35 y pregunta:

• ¿Cuál de las dos funciones representa una exponencial?





Para finalizar, los estudiantes socializan las respuestas y el docente esclarece que la ilustración 34 es la gráfica de y= 3^( )donde se muestra que su gráfica no coincide con gráfica usual de una función exponencial; además también explica que

la función y=2+(1/2)^x si representa una

función exponencial, y su gráfica es la consignada en la ilustración 35.

El docente propone a los estudiantes realizar un resumen de cada una de las funciones en estudio (lineal, afín, cuadrática, cúbica y exponencial), donde se consigne:

• La definición matemática de cada función

• La representación gráfica• Además de explicar si las funciones

mencionadas son crecientes, decrecientes pares o impares.

Se les propone a los estudiantes diversas situaciones para que ellos identifiquen una función de las estudiadas que pueda representar matemáticamente dicha situación, además se les propondrá algunas preguntas en relación a las características de las funciones:

• Un auto de carreras al minuto de haber salido sufre un percance y queda varado durante toda la carrera, ¿qué función me representa matemáticamente la posición del auto después de ocurrido el percance?

• Cuando se juega baloncesto, al momento de realizar una canasta, ¿qué función me representa matemáticamente la trayectoria del balón después de haber salido de la mano hasta llegar a la canasta?

• La superficie de un cuadrado, donde l es la medida de un lado.

Recurso Interactivo

Material del estudiante

Resumen Resumen

Tarea Tarea





La siguiente actividad fue tomada del documento Nivel secundario para adultos, módulo de enseñanza semipresencial: matemática funciones.

• Se coloca en el fuego una olla con agua a 10 grados centígrados (10ºC). La temperatura del agua va aumentando 15ºC cada minuto, hasta llegar a hervir (100ºC) y se mantiene hirviendo (en 100ºC) hasta que la retiran del fuego, 11 minutos después de haberla colocado.

La siguiente actividad fue tomada de del texto (Robledo J. 2014) Matemática fundamental para matemáticos.

• Un cultivo de bacterias se inicia con 1000 bacterias y crece un 40% cada hora.

Las preguntas a considerar en cada situación son las siguientes:

• ¿Por qué se puede representar la situación con la función propuesta?

• Representar en el plano cartesiano la situación propuesta.

• Determinar si la función a considerar es creciente, decreciente, par o impar.

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