آن معکوس و کوشی-شوارتز نامساوی

مصلحیان صال محمد

گنابادی عبدالهزاده فاطمه

برای که مختلفی اثباتهای و کوشی-شوارتز نامساوی بررسی به مقاله این در چکیده.

مطالعه را آن ضربی و جمعی معکوسهای همچنین میپردازیم. است، شده ارائه آن

میکنیم. بیان را آن از کاربرد چند سپس و کرده

مقدمه .١به که است کوشی-شوارتز نامساوی ریاضیات، در اساسی نامساویهای از یکی

کوشی-بونیاکوفسکی- «نامساوی و شوارتز» «نامساوی کوشی»، «نامساوی نامهای

این دادن گسترش گوناگون شیوههای نامگذاریها، این علت است. معروف نیز شوارتز»

زندگینامه به مختصری نگاه ابتدا در دهید اجازه میباشد. مختلف فضاهای به نامساوی

باشیم. داشته ریاضیدان سه این

Viktor Bunyakovsky Hermann Amandus Schwarz Augustin-Louis Cauchy

تحت که بود پلیس ارشد افسر یک وی پدر آمد. دنیا به پاریس در ١٧٨٩ سال در کوشی١ لویی آگوستین

فرانسه سال چندین مدت به شدند مجبور او خانواده و داد دست از را خود شغل فرانسه کبیر انقالب تاثیر

شهرسازی و شهری مهندسی زمینه در را خود تحصیالت کوشی فرانسه، به بازگشت از پس کنند. ترک را

١Augustin-Louis Cauchy١

گنابادی عبدالهزاده ف. و مصلحیان صال م. ٢

از پس شد. کار به مشغول زمینه همین در آن از پس و رساند اتمام به پاریس عالی مدارس از یکی در

شغلش، کنار در لذا کرد. پیدا عالقه محض ریاضیات به بود، شده خسته کاری فشار از که این با سال چند

حل در او نبوغ بود. چشمگیر و سریع بسیار ریاضیات در وی رشد پرداخت. ریاضیات در پژوهش به

فرمول تعمیم و باشد) مماس شده داده دایره سه بر که دایرهای کردن (پیدا آپولونیوس مساله چون مسائلی

باالتر، مرتبههای از چندوجهیهای برای چندوجهی) یک رئوس و یالها وجوه، تعداد بین (رابطه اویلر

ایدهها ... و تحلیلی تابع یک برای کوشی انتگرال فرمول همگرایی، مفهوم تعمیم آن از بعد شد. آشکار

همچون متعددی های زمینه در کوشی نمود. اثبات و معرفی را آنها کوشی که بودند اساسی قضایای و

مفاهیم و قضایا پرداخت. مطالعه به و... ریاضی فیزیک دیفرانسیل، معادالت مختلط، آنالیز اعداد، نظریه

هشتصد حدود بود. قهاری نویسنده همچنین وی است. ریاضیدانان سایر از بیشتر بسیار او، به منسوب

سال می ٢٣ در وی مدعاست. این گواهی است، رسیده ثبت به وی از که درسی کتاب پنج و علمی مقاله

ثبت ایفل برج بر آنها نام که است برجستهای فرانسوی ٧٢ از یکی کوشی درگذشت. فرانسه در ١٨۵٧

است. شدهو خانه در کودکی در وی شد. متولد روسیه در میالدی ١٨٠۴ دسامبر ١۶ در بونیاکوفسکی٢ ویکتور

فرصت جا آن در رفت. فرانسه سوربن به آن از پس آموخت. را ابتدایی تحصیالت خود، پدر دوستان نزد

مطالعه به را خود وقت بیشتر و کرد پیدا را پوآسن و فوریه الپالس، همچون افرادی با همراهی و آشنایی

مختلف زمینه سه در و رسانید انجام به کوشی راهنمایی تحت را خود دکترای دوره وی گذراند. پژوهش و

دانشگاه در ١٨٨٠ سال تا و بازگشت روسیه به سپس داد. ارائه را خود رساله فیزیک-ریاضی و مکانیک

همچنین بونیاکوفسکی پرداخت. فیزیک و ریاضیات مختلف زمینههای در تدریس به پترزبورگ سنت

واسطه به وی شهرت بیشتر و داشته احتمال نظریه و اعداد نظریه شاخه گسترش در توجهی قابل سهم

بود پترزبورگ سنت دانشگاه رئیس نایب سال ٢۵ مدت به ویکتور میباشد. زمینه این در او پژوهشهای

بونیاکوفسکی کرد. تأسیس او نام به جایزهای علمیاش، تالشهای پاس به دانشگاه این ١٨٧۵ سال در و

درگذشت. ١٨٨٩ دسامبر دربرلین در ابتدا وی شد. متولد کنونی لهستان در ١٨۴٣ سال ژانویه ٢۵ در شوارتز٣ آماندوس هرمن

آورد روی ریاضیات به وایراشتراس، و همسرش) (پدر کومر پیشنهاد به اما بود مشغول شیمی مطالعه به

در او تحقیقات واسطه به بیشتر وی شهرت شد. برلین دانشگاه علوم آکادمی عضو که نکوشید طولی و

٢Viktor Bunyakovsky٣Hermann Amandus Schwarz

٣ آن معکوس و کوشی-شوارتز نامساوی

اشاره تسرملو۵ و فجه۴ به میتوان وی بزرگ شاگردان از است. دیفرانسیل هندسه و مختلط آنالیز زمینهدرگذشت. برلین در ١٩٢١ سال در شوارتز کرد.

بار، اولین میپردازیم. نامساوی این پیدایش چگونگی بررسی به اکنون ([١١] ک. (ر.

بدست حقیقی اعداد از متناهی تعداد یک برای را زیر نامساوی کوشی ١٨٢١ سال در

)آورد:n∑

i=۱aibi

)≤

(n∑

i=۱a۲i

)۱۲(

n∑i=۱

b۲i

)۱۲

, ai, bi ∈ R,۱ ≤ i ≤ n.

(١.١)

گسترش نامتناهی مجموع به را (١.١) رابطه خود رساله در بونیاکوفسکی، بعد، سال ٣٨

کرد: اثبات انتگرالها رابرای زیر رابطه و ∫∣∣∣∣داد b

a

f(t)g(t)dt

∣∣∣∣۲ ≤(∫ b

a

|f(t)|۲dt)(∫ b

a

|g(t)|۲dt), f, g ∈ L۲([a, b]).

(٢.١)

α, β غیرصفر ضرایب که است برقرار وقتی (٢.١) در تساوی که داد نشان بونیاکوفسکی

باشیم: داشته s ∈ [a, b] هر برای که طوری به باشند موجود

α

∫ s

a

f(t)dt = β

∫ b

a

f(t)dt.

میباشد زیر صورت به که هولدر ∫∣∣∣∣نامساویXfgdµ

∣∣∣∣ ≤ (∫X|f |pµ

)۱p(∫

X|g|qµ

)۱q

,۱p+۱q= ۱

روی اندازه یک µ آن در که است، Lp(X , µ) فضاهای برای (٢.١) رابطه از تعمیم یک

میباشد. X

انتگرالی صورت مینیمال، سطوح زمینه در مطالعه حین شوارتز ،١٨٨٨ سال در نهایت در

شوارتز آورد. بدست بود، شده اثبات بونیاکوفسکی توسط آن، از پیش که را (١.١) رابطه

۴Lipót Fejér۵Ernst Zermelo

گنابادی عبدالهزاده ف. و مصلحیان صال م. ۴

در دو، این برهان اصلی تفاوت نداشت. اطالع بونیاکوفسکی توسط رابطه این اثبات از

سبب همین به و داشت برتری شوارتز روش مورد، این در که بود آنها حدگیری فرایند

در را (٣.١) رابطه که جا آن تا بود، داخلی ضرب فضاهای به گسترش قابل وی اثبات

رابطه است شایسته شد، گفته که چه آن به بنا رسانید. اثبات به داخلی ضرب فضاهای

بنامیم. کوشی-شوارتز» «نامساوی را (٣.١)

-C∗ مانند کلیتر فضاهای به نامساوی این گسترش برای زیادی مطالعات بعدها

آنها بیان که شد انجام فضاها این در آن معکوس و هیلبرت ∗C-مدولهای و جبرها

[٨ ،۶ ،١] است. خارج مقاله این حوصله از که میباشد پیشنیازهایی و تعاریف نیازمند

(X , ⟨., .⟩) داخلی یکفضایضرب در کوشی-شوارتز نامساوی شکل شناختهشدهترین

میشود: بیان زیر صورت به که است

| ⟨x, y⟩ | ≤ ∥x∥ ∥y∥ x, y ∈ X (٣.١)

در تساوی است. X داخلی ضرب از آمده بدست نرم ∥x∥ := (⟨x, x⟩)۱۲ جا این در

هم با عبارتی به یا یکدیگر از مضربی y و x بردار دو اگر تنها و اگر است برقرار (٣.١)

باشد. موازیو ریاضی مختلف شاخههای در زیادی متنوع کاربردهای کوشی-شوارتز نامساوی

جمله: از دارد، فیزیک

مانند قضایایی اثبات برای کالسیک آنالیز در •

:∥x∥ = ⟨x, x⟩۱۲ نرم برای مثلث نامساوی (١)

∥x+ y∥۲ = ⟨x+ y, x+ y⟩ = ∥x∥۲ + ۲Re ⟨x, y⟩+ ∥y∥۲

≤ ∥x∥۲ + ۲| ⟨x, y⟩ |+ ∥y∥۲ ≤ ∥x∥۲ + ۲∥x∥∥y∥+ ∥y∥۲

= (∥x∥+ ∥y∥)۲.

در .xn → x و z = ۰ کنید فرض داخلی: ضرب تابع پیوستگی (٢)

اگر که طوری به دارد وجود N۰ طبیعی عدد ε > ۰ برای صورت این

۵ آن معکوس و کوشی-شوارتز نامساوی

داریم: n ≥ N۰ و z هر برای اکنون .∥xn−x∥ < ε∥z∥ آنگاه n ≥ N۰

| ⟨xn, z⟩ − ⟨x, z⟩ | = | ⟨xn − x, z⟩ | ≤ ∥xn − x∥∥z∥ < ε.

.⟨xn, z⟩ → ⟨x, z⟩ نتیجه درفضای در uαα∈I یکه متعامد مجموعه هر برای بسل: نامساوی (٣)

داریم x ∈ H هر و H هیلبرت

∑α∈I

| ⟨x, uα⟩ |۲ ≤ ∥x∥۲.

داخلی ضرب فضای یک به R۲ اقلیدسی صفحه از زاویه مفهوم تعمیم (۴)

دلخواه:

θx,y := cos−۱⟨x, y⟩∥x∥ ∥y∥

.

⟨x,y⟩∥x∥ ∥y∥ کسر حاصل که میکند تضمین کوشی-شوارتز نامساوی واقع در

قابل آن روی cos−۱ تابع نتیجه در و دارد قرار [−۱,۱] بازه در همواره

است. تعریفبرداری تابع برای کوشی-شوارتز نامساوی از استفاده با چندمتغیره: حسابان •

تابع سویی مشتق Du(f) آن در که داریم را |Du(f)| ≤ | f | · |u| رابطه f

میباشد. f گرادیان بردار f و u بردار جهت در f

تصادفی متغیر دو برای که واریانس-کوواریانس نامساوی احتمال: نظریه •

میشود: بیان زیر صورت به X,Y

Cov(X, Y ) ≤ V ar(X)V ar(Y ),

Ω اگر که داد نشان میتوان واقع در است. کوشی-شوارتز ازنامساوی نتیجهای

داخلی ضرب یک ⟨X,Y ⟩ = Cov(X,Y ) آنگاه باشد، احتمال فضای یک

بود. خواهد ∥X∥ = V ar(X) آن از حاصل نرم که میدهد بهدست Ω روی

گنابادی عبدالهزاده ف. و مصلحیان صال م. ۶

شناختهشده رابطه کوشی-شوارتز نامساوی از استفاده با شرودینگر۶ فیزیک: •

رساند. اثبات به را شرودینگر قطعیت عدم

هم اعداد نظریه زمینه در حتی کوشی-شوارتز نامساوی اما باشد انتظار از دور شاید

را [٣]) است شده اثبات همنهشتیها زمینه در قضایایی آن از استفاده با و داشته کاربرد

ببینید).

جمله از میرسند، اثبات به کوشی-شوارتز نامساوی از استفاده با نیز دیگری روابط

برقرارند: a, b, c مثبت اعداد برای زیر نامساویهای

• ab+c

+ bc+a

+ cb+a

≥ 32,

• a2a+b

+ b2b+c

+ c2c+a

≤ 1,

• a2

b+ b2

c+ c2

a≥ a+ b+ c,

کوشی- نامساوی از استفاده آنها همگی اثبات کلیدی نکته که دیگر متعدد روابط و

میباشد. اعداد از مناسبی مجموعه برای شوارتز

آن عملگری صورت و نامساوی این تر کلی حالتهای بررسی به بعدی بخشهای در

کوشی-شوارتز نامساوی عکس شرایطی چه تحت که میکنیم بیان همچنین میپردازیم.

است. برقرار

کوشی-شوارتز نامساوی از اثبات چند .٢

کوشی را کوشی-شوارتز نامساوی از صورت این شد، بیان مقدمه در که همانطور

یک هر که میکنیم بیان آن برای متفاوت برهان چند جا این در است. آورده بهدست

دارند. را خود خاص زیبایی

فضای در بردار دو y = (y۱, . . . , yn) و x = (x۱, . . . , xn) فرضكنید .١.٢ قضیهصورت این در باشند. Rnاقلیدسی(

n∑i=۱

xiyi

)۲

≤

(n∑

i=۱x۲i

)(n∑

i=۱y۲i

), (١.٢)

۶Schrödinger

٧ آن معکوس و کوشی-شوارتز نامساوی

برای كه باشد موجود λ حقیقی عدد كه است برقرار وقتی فقط و فقط تساوی و

.xi = λyi باشیم داشته i = ۱, . . . , n هر

دوجملهای جبری اتحاد به بنا اول: برهان

n∑i=۱

n∑j=۱

(xiyj − xjyi)۲ =

n∑i=۱

x۲i

n∑j=۱

y۲j +n∑

i=۱y۲i

n∑j=۱

x۲j − ۲n∑

i=۱xiyi

n∑j=۱

yjxj

= ۲(

n∑i=۱

a۲i

)(n∑

i=۱y۲i

)− ۲

(n∑

i=۱xiyi

)۲

.

نتیجه در است مثبت بنابراین و حقیقی اعداد مربعات مجموع فوق، تساوی چپ سمت

است. (١.٢) حكم همان كه بود خواهد صفر از تر بزرگ نیز آن راست سمت

است. واضح حكم n = ۱ برای میكنیم؛ اثبات را حكم ،n روی استقرا به دوم: برهان

k صحیح عدد ازای به (١.٢) كنید فرض است. برقرار تساوی حالت این در واقع در

یعنی باشد؛ برقرار

(k∑

i=۱xiyi

)۲

≤

(k∑

i=۱x۲i

)(k∑

i=۱y۲i

).

میكنیم: اثبات k + ۱ برای را حكم اكنون

√√√√k+۱∑i=۱

x۲i

√√√√k+۱∑i=۱

y۲i =

√√√√( k∑i=۱

x۲i

)+ x۲k+۱

√√√√( k∑i=۱

y۲i

)+ y۲k+۱

≥

√√√√ k∑i=۱

x۲i

√√√√ k∑i=۱

y۲i + |xk+۱yk+۱|

≥k∑

i=۱|xiyi|+ |xk+۱yk+۱| =

k+۱∑i=۱

|xiyi|.

گنابادی عبدالهزاده ف. و مصلحیان صال م. ٨

است. كامل استقرا نتیجه در و برقرار نیز k + ۱ برای حكم بنابراین

میكنیم: تعریف زیر صورت به را Sn دنباله سوم: برهان

Sn = (x۱y۱ + . . .+ xnyn)۲ − (x۲۱ + . . .+ x۲n)(y

۲۱ + . . .+ y۲n).

صورت این در

Sn+۱ − Sn =(x۱y۱ + . . .+ xn+۱yn+۱)۲

− (x۲۱ + . . .+ x۲n+۱)(y۲۱ + . . .+ y۲n+۱)

− (x۱y۱ + . . .+ xnyn)۲ − (x۲۱ + . . .+ x۲n)(y

۲۱ + . . .+ y۲n),

داریم: روابط بندی دسته و كردن ساده با كه

Sn+۱ − Sn = −[(x۱yn+۱ − y۱xn+۱)

۲ + (x۲yn+۱ − y۲xn+۱)۲+

. . .+ (xnyn+۱ − ynxn+۱)۲] .

بنابراینSn+۱ ≤ Sn (n ∈ N).

رابطه به روند این ادامه باSn ≤ Sn−۱ ≤ . . . ≤ S۱ = ۰,

میدهد. نتیجه را (١.٢) که مییابیم دست

معادل که ینسن، نامساوی به بنا است. محدب R روی f(t) = t۲ تابع : چهارم برهان

به p۱, . . . , pn > ۰ هر و t۱, . . . , tn ∈ R هر برای میباشد، تابع بودن محدب ویژگی

داریم: ،∑n

i=۱ pi = ۱ که طوری

(p۱t۱ + . . .+ pntn)۲ ≤ p۱t

۲۱ + . . .+ pnt

۲n.

و ti = xi

yiدادن قرار با باشند، صفر مخالف ها yi همه اگر اول: حالت •

نامساوی از pi = y۲iy۲۱+...+y۲n(

x۱y۱ + . . .+ xnyny۲۱ + . . .+ y۲n

)۲≤ x۲۱ + . . .+ x۲n

y۲۱ + . . .+ y۲n.

میگیریم. نتیجه را (١.٢)

٩ آن معکوس و کوشی-شوارتز نامساوی

از استفاده با صورت این در .yi۱ = . . . = yik = ۰ کنید فرض دوم: حالت •

داریم اول حالت

(n∑

i=۱xiyi

)۲

=

∑i=i۱,...,ik

xiyi

۲

≤

∑i =i۱,...,ik

x۲i

∑i=i۱,...,ik

y۲i

≤

(n∑

i=۱x۲i

)(n∑

i=۱y۲i

).

به منسوب نوع، این از ساده اثباتهای از یکی : کالم»٧ بدون «اثبات : پنجم برهان

شرح است. شده بیان اقلیدسی صفحه در بردار دو برای ١٩٩۴ سال در که است نلسن٨

است!!! آمده شکل پایین در کالم بدون اثبات این

(|a|+ |y|)(|b|+ |x|) ≤ ۲(|ab|۲ +

|xy|۲

)+√

a۲ + b۲√x۲ + y۲

⇒ |ax+ by| ≤ |a| |x|+ |b| |y| ≤√

a۲ + b۲√

x۲ + y۲

⇒ | ⟨(a, b), (x, y)⟩ | ≤ ∥(a, b)∥ ∥(x, y)∥.

متوازیاالضالع یک مثلث، چهار بین شده محصور شکل چپ سمت شکل در واقع در

سمت شکل در میباشد. ارتفاع در قاعده حاصلضرب برابر آن مساحت میدانیم که است

طول حاصلضرب با برابر آن مساحت که است مستطیل یک شده محصور شکل راست٧Proof without words٨R. B. Nelsen

گنابادی عبدالهزاده ف. و مصلحیان صال م. ١٠

آن ارتفاع اما است برابر مستطیل طول با متوازیاالضالع قاعده است. آن عرض در

که است، متوازیاالضالع حاده زاویه سینوس در مستطیل عرض حاصلضرب با برابر

مساحت شد. خواهد کمتر مستطیل عرض از نتیجه در و میباشد، [۰,۱] بازه در عددی

شکل از چپ سمت شکل مساحت بنابراین است. ثابت شکل دو هر در نیز مثلث چهار

اثبات به که است شده آورده شکل زیر در محاسبات سایر بود. خواهد کمتر راست سمت

میشود. منجر کوشی-شوارتز نامساوی

سمت شکل مساحت حالت، سه هر در است. قرار همین به نیز زیر شکلهای حکایت

طرف یک در که دلیل همان به است، راست سمت شکل مساحت از کوچکتر چپ

نتیجه در و قاعده همان با متوازیاالضالعی دیگر طرف در و میشود تشکیل مستطیل

نامساوی میتوان شد، بیان نلسن اثبات توضیح در که محاسباتی مشابه کمتر. مساحت

گرفت. نتیجه را کوشی-شوارتز

تغییر حسب بر v و u بردار دو داخلی حاصلضرب اندازه تغییرات نیز، زیر نمودارهای در

که طور همان است). رادیان حسب بر (زاویه است شده داده نمایش آنها بین زاویه

صفر زاویه ازای به دارد. قرار y = |u|.|v| ثابت خط زیر همواره نمودار میکنید، مالحظه

١١ آن معکوس و کوشی-شوارتز نامساوی

اصطالح به یا دارند قرار راستا یک در بردار دو که زمانی یعنی π = ۳/۱۴ زاویه وπ۲ = ۱/۵۷ زاویه ازای به و مقدار بیشترین به داخلی حاصلضرب اندازه هستند، موازی

برای توجیه نوعی بیشتر نمودارها این البته میرسد. صفر یعنی خود، مقدار کمترین به

میباشد. اعداد در کوشی-شوارتز نامساوی تأیید و بیشتر تفهیم

صورت این در .f(t) =∑n

i=۱(ait− bi)۲ میدهیم قرار : ششم برهان

f(t) =

(n∑

i=۱ai

)۲

t۲ − ۲(

n∑i=۱

aibi

)t+

(n∑

i=۱bi

)۲

.

یعنی ∆ < ۰ بنابراین است مثبت همواره چندجملهای یک f چون

۴(

n∑i=۱

aibi

)۲

− ۴(

n∑i=۱

ai

)۲( n∑i=۱

b۲i

)۲

< ۰,

است. برقرار (١.٢) نتیجه دررسیده اثبات به کوشی-شوارتز نامساوی از استفاده با زیادی عددی نامساویهای

نامساوی آنها از یکی هستند. معادل کوشی-شوارتز نامساوی با آنها از بعضی که است

α ∈ و باشند مثبت حقیقی اعداد a۱, . . . , an, b۱, . . . , bn اگر میگوید که است واگنر٩

٩Wagner

گنابادی عبدالهزاده ف. و مصلحیان صال م. ١٢

آنگاه ،[۰,۱](n∑

i=۱aibi + α

∑i=j

aibj

)۲

≤

(n∑

i=۱a۲i + ۲α

∑i=j

aiaj

)(n∑

i=۱b۲i + ۲α

∑i=j

bibj

).

کوشی-شوارتز نامساوی α = ۰ دادن قرار با باشد، برقرار واگنر نامساوی اگر وضوح به

های nتایی برای صورت این در .α ∈ [۰,۱] کنید فرض بالعکس میشود. نتیجهb = (b۱, . . . , bn) و a = (a۱, . . . , an)

[a,b] :=(

n∑i=۱

aibi + α∑i=j

aibj

),

فضاهای برای کوشی-شوارتز نامساوی بود. خواهد Rn روی داخلی نیمضرب یک

که میشود استفاده ویژگیهایی از تنها آن اثبات در زیرا است برقرار نیز داخلی نیمضرب

را نامساوی این است کافی اکنون هستند. دارا را آنها نیز داخلی نیمضرب فضاهای

آید. بدست واگنر نامساوی تا ببریم بهکار فوق داخلی نیمضرب برای

میدهیم. قرار مطالعه مورد دیگری جنبه از را کوشی-شوارتز نامساوی ادامه در

کوشی-شوارتز نامساوی جمعی معکوس .٣

جهت در کوشی-شوارتز نامساوی که میپردازیم حالتهایی بررسی به بخش این در

A ≤ B مانند نامساوی یک معکوس از وقتی کلی حالت در است. برقرار عکس

است، بزرگتر A از کلی حالت در که را B عبارت که است این منظور میکنیم، صحبت

معکوس را اول حالت کنیم. کوچکتر مثبت، عدد یک با A مجموع یا و A از مضربی از

میگویند. نامساوی یک جمعی معکوس را دوم حالت و ضربی

به باشند مثبتی حقیقی اعداد b۱, . . . , bn و a۱, . . . , an کنید فرض اعداد: در .١.٣

را ذیل نامساویهای صورت این در .m۲ ≤ bi ≤ M۲ و m۱ ≤ ai ≤ M۱ که طوریداشت: خواهیم

١٣ آن معکوس و کوشی-شوارتز نامساوی

١٠ گروس: نامساوی .١

(n∑

i=۱a۲i

)۱۲(

n∑i=۱

b۲i

)۱۲

≤n∑

i=۱aibi

+

√M۱M۲(

√M۱M۲ −

√m۱m۲)۲

۲√m۱m۲minM۱

m۱,M۲m۲

.

ببینید. را [٩]شیشا-موند:١١ نامساوی .٢

∑nk=۱ a

۲k∑n

k=۱ akbk−∑n

k=۱ akbk∑nk=۱ b

۲k

≤

(√M۱m۲

−√

m۱M۲

)۲

.

ببینید. را [۶]

داخلی ضرب فضای در ناصفر بردار دو x, y فرضکنید داخلی: فضایضرب در .٢.٣

صورت این در .∥x− y∥ ≤ δ که طوری به باشد داشته وجود δ > ۰ و باشند H

آنگاه ∥y∥ > δ اگر (١)

∥x∥۲∥y∥۲ ≤ | ⟨x, y⟩ |+ δ۲∥x∥۲.

آنگاه ∥y∥ < δ اگر (٢)

∥x∥۲∥y∥۲ ≤ δ۲ − ∥y∥۲ + ۲| ⟨x, y⟩ |.بخش در که داشت خواهیم را کوشی-شوارتز نامساوی معکوسضربی ∥y∥ = δحالت در

متفاوت، شرایطی با [۴] در نیز دراگومیر١٢ ببینید). را [٧]) میکنیم بیان را آن بعد

که صورت این به است کرده ارائه کوشی-شوارتز نامساوی برای دیگری جمعی معکوس

که طوری به a,A ∈ C و باشند H داخلی ضرب فضای در ناصفر بردار دو x, y اگر

Re ⟨Ax− y, x− ay⟩ ≥ ۰,١٠Grüss type inequality١١Shisha-Mond inequality١٢S. S. Dragomir

گنابادی عبدالهزاده ف. و مصلحیان صال م. ١۴

آنگاه ،∥x− a+A۲ y∥ ≤ ۱

۲ |A− a| ∥y∥ معادل طور به یا

∥x∥۲∥y∥۲ ≤ | ⟨x, y⟩ |۲ + ۱۴ |A− a|۲ ∥y∥۴.

ضریب نمیتوان که معنی این به است، بهترین فوق نامساوی در ۱۴ ضریب بهعالوه

نمود. آن جایگزین کوچکتریکوشی-شوارتز نامساوی ضربی معکوس .۴

به باشند مثبتی حقیقی اعداد b۱, . . . , bn و a۱, . . . , an کنید فرض اعداد: در .١.۴

صورت این در .m۲ ≤ bi ≤ M۲ و m۱ ≤ ai ≤ M۱ که طوریپولیا١٣-ژیگو:١۴ نامساوی

n∑i=۱

a۲i

n∑i=۱

b۲i ≤ m۱m۲ +M۱M۲)۲

۴m۱m۲M۱M۲

(n∑

i=۱aibi

)۲

. (١.۴)

mbi ≤ ai ≤ Mbi که طوری به باشند m,Mموجود مثبت اعداد فرضفوق، جای به اگر

میشود تحویل زیر نامساوی به (١.۴) آنگاهn∑

i=۱a۲i

n∑i=۱

b۲i ≤ (M +m)۲

۴Mm

(n∑

i=۱aibi

)۲

.

دیاز-متکالف:١۵ نامساویn∑

k=۱b۲k +

m۲M۲m۱M۱

n∑k=۱

a۲k ≤(M۲m۱

+m۲M۱

) n∑k=۱

akbk .

H داخلی ضرب فضای در صفر غیر بردار دو x, y اگر داخلی: ضرب فضای در .٢.۴

که طوری به باشند داشته وجود Λ, λ ∈ C اسکالرهای و باشندRe ⟨Λy − x, x− λy⟩ ≥ ۰,

صورت این در ،∥∥x− Λ+λ

۲ y∥∥ ≤ ۱

۲ |Λ− λ| ∥y∥ معادل طور به یا

∥x∥ ∥y∥ ≤ |Λ + λ|۲[Re(λΛ)]۱۲

| ⟨x, y⟩ |. (٢.۴)

١٣G. Pólya١۴G. Szegö١۵Diaz-Metcalf inequality

١۵ آن معکوس و کوشی-شوارتز نامساوی

-C∗ در بویژه آن کاربردهای و کوشی-شوارتز نامساوی از دیگری بسیار صورتهای

هیلبرت ∗C-مدولهای مبحث در است. آمده بهدست هیلبرت ∗C-مدولهای و جبرهاکه است جا این جالب و هستیم ارتباط در ∗C-جبر یک عناصر با اعداد، جای به

نیز آنها در و است سازگار ها ∗C-مدول داخلی ضرب ساختار با کامال نامساوی این

مفاهیمی از استفاده با میرسد. اثبات به کوشی-شوارتز نامساوی از خاصی صورت

فضای یک روی عملگر دو برای هندسی میانگین تعریف و یکانی پایای نرمهای همچون

دیگر صورتهای برای میآید. بهدست عملگرها برای زیبایی و متنوع روابط هیلبرت،

نماید. مراجعه [١] مروری مقاله به میتواند عالقمند خواننده نامساوی، این

مراجع

[1] J.M. Aldaz, S. Barza, M. Fujii and M.S. Moslehian, Advances in OperatorCauchy–Schwarz inequalities and their reverses, Ann. Funct. Anal., 6 (2015),no. 3, 275–295.

[2] H. Alzer, On the Cauchy-Schwarz inequality, J. Math. Anal. Appl., 234 (1999),no. 1, 6-14.

[3] T. Andreescu, G. Dospinescu, An unexpected application of the Cauchy-Schwarz inequality, Mathematical Reflections, 1 (2013).

[4] S. S. Dragomir, A Counterpart of Schwarz’s Inequality in Inner ProductSpaces, East Asian Math. J. 20 (2004), no.1, 1-10.

[5] S.S. Dragomir, A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete in-equalities, J. Inequal. Pure Appl. Math., 4 (2003), no. 3, Article 63, 142 pp.

[6] J.I. Fujii, M. Fujii, M.S. Moslehian, J.E. Pecarić and Y. Seo, Reverses Cauchy-Schwarz type inequalities in pre-inner product C*-modules, Hokkaido Math.J., 40 (2011) , 1-17.

[7] W. Gong-Bao, M. Ji-Pu, Some Results About reverse of Cauchy-SchwarzInequality in Inner Product Spaces, Northeast. Math. J., 21 (2005), no.2,207-211.

[8] Ilišević, Dijana; Varošanec, Sanja. On the Cauchy-Schwarz inequality and itsreverse in semi-inner product C∗-modules, Banach J. Math. Anal., 1 (2007),no. 1, 78-84.

[9] J.S. Matharu and M.S. Moslehian, Grüss inequality for some types of positivelinear maps, J. Operator Theory, 73 (2015), no. 1, 265-278.

[10] C.P. Niculescu, L.E. Persson, Convex Functions and their Applications. AContemporary Approach, Springer-Verlag, New York, 2006.

[11] http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Mathematics.