Лукашенко т.п. - Лекции iii-семестр
DESCRIPTION
Математический анализTRANSCRIPT
Лекция 1 02.09.081
Определение. Пусть {ak}∞k=1 — последовательность. Тогда рядом называют бесконечную сумму2
an + an+1 + an+2 + . . . =∞∑k=n
ak.3
ak — член ряда (с номером k). Обычно n = 0 или n = 1.4
Будем рассматривать ряды∞∑k=1
ak (то есть n = 1).5
Част. суммой с номером N называют SN =N∑k=1
ak.6
Будем рассматривать ряды с ak — действительными или комплексными числами, то есть число-7
вые ряды.8
Если существует конечный limN→∞
SN (или равный ±∞ для случая действительных чисел), то9
предел S = limN→∞
SN называют суммой ряда.10
Ряды, имеющие конечную сумму, называют сходящимися, а если предел частичных сумм не11
существует или равен ±∞, то ряд называют расходящимся.12
Теорема 1.1 (Критерий Коши сходимости ряда).13
Числовой ряд∞∑k=1
сходится ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀p ∈ N14
|Sn+p − Sn| =
∣∣∣∣∣n+p∑k=n+1
ak
∣∣∣∣∣ < ε15
или, эквивалентно, ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀m > N16 ∣∣∣∣∣k=m∑k=n
ak
∣∣∣∣∣ < ε17
Теорема 1.2 (Необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то его члены стре-18
мятся к 0.19
Определение. Ряд∞∑k=1
ak называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд∞∑k=1
|ak|.20
Теорема 1.3. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.21
Доказательство. Если ряд абсолютно сходится, то по критерию Коши22
∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀m > N :m∑k=n
|ak| < ε23
Тогда, в силу неравенства∣∣∣∣ m∑k=n
ak
∣∣∣∣ 6 m∑k=n
|ak|, условие Коши выполняется для ряда∞∑k=1
ak. �24
Определение. Если ряд сходится, то его остаток rn = S − Sn =∞∑
k=n+1
ak, rn −−−−→n→∞
0.25
Если ряд сходится абсолютно, то rn =
∣∣∣∣∣ ∞∑k=n+1
ak
∣∣∣∣∣ 6 ∞∑k=n+1
|ak|.26
Определение. Ряд, который сходится, но не сходится абсолютно, называется сходящимся условно.27
Теорема 1.4 (об операциях над рядами).28
29
1. Если ряд∞∑k=1
ak сходится и S — его сумма, то ∀α ряд∞∑k=1
αak сходится и αS — его сумма.30
2. Если ряд∞∑k=1
ak сходится и Sα — его сумма, ряд∞∑k=1
bk сходится и Sβ — его сумма, то ряд31
∞∑k=1
ak ± bk также сходится и Sα ± Sβ — его сумма.32
1
3. Если ряд∞∑k=1
ak сходится и S — его сумма, то ряд∞∑n=1
mn+1∑k=mn+1
ak, где 0 = m1 < m2 < m3 < . . .—33
последовательность целых чисел, также сходится, и S — его сумма. А если ak −−−−→k→∞
0 и34
mk − mk−1 — ограниченная последовательность, то из сходимости последнего ряда следует35
сходимость начального ряда.36
Доказательство.37
Последовательность частичных сумм второго ряда — подпоследовательность первого. Значит,38
сходится.39
Если ak −−−−→k→∞
0,mn −mn−1 6 M ∈ N, S — сумма сгруппированного ряда и mn−1 6 m 6 mn,40
то |Smn − Sm| =
∣∣∣∣∣ mn∑k=m+1
ak
∣∣∣∣∣ 6 mn∑k=mn−1+1
|ak| 6mn−1+M∑k=mn−1+1
|ak| = ¯o(1) −−−−→n→∞
0. Если Smn −−−−→n→∞
S,41
то Sm −−−−→m→∞
S. �42
Ряды с неотрицательными членами.43
Признаки сходимости.44
1. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно ограниченности45
его частичных сумм.46
2. Если 0 6 ak 6 bk для ∀k > K, то из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а47
из расходимости первого следует расходимость второго.48
3. Если 0 < α 6 ukvk6 β < ∞ при ∀k > K, то ряды с неотрицательными членами
∞∑k=1
uk и∞∑k=1
vk49
одновременно сходятся или расходятся.50
Доказательство. При k > K αvk 6 uk 6 βvk. Значит, если ряд∞∑k=1
vk сходится, то (по51
признаку сравнения 2) сходится и другой ряд. Всё остальное аналогично.52
Замечание. Условие 0 < α 6 ukvk6 β < ∞ при k > K, где K — некоторое число, эквивалентно53
условию54
0 < limk→∞
ukvk6 limk→∞
ukvk
<∞�55
4. Если∞∑k=1
uk и∞∑k=1
vk — ряды со строго положительными числами и uk+1uk6 vk+1
vkпри k > K, то56
из расходимости первого следует расходимость второго, а из сходимости второго — сходимость57
первого.58
Доказательство. Пусть m > n > K, тогда umun
=m−1
Пk=n
uk+1uk6
m−1
Пk=n
vk+1vk
= vmvn
, то есть um 659
6 unvn· vm,m > n > K. Фиксируем n. Тогда, в силу оценки um 6 C · vm, применяется признак60
сравнения 2. �61
2
Лекция 2 05.09.0862
5 (признак Д’Аламбера)63
Пусть дан ряд со строго положительными членами∞∑k=1
uk.64
1. Если uk+1uk6 q < 1 при k > K, то ряд сходится.65
2. Если uk+1uk> 1 при k > K, то члены ряда не стремятся к 0 и ряд расходится.66
Доказательство. Возьмём vk = qk. Тогда 1) следует из признака сравнения 4. Пункт 2) следует67
из оценки uk > uK при k > K. �68
Замечание. Условие пункта 1) выполняется, если limk→∞
uk+1uk
< 1. Условие пункта 2) выполняется,69
если limk→∞
uk+1uk
> 1.70
Если limk→∞
uk+1uk6 1 6 lim
k→∞uk+1uk
или если limk→∞
uk+1uk
= 1, то ряд может как сходиться, так и нет.71
Например, ряд∑
1k(k+1) сходится, а гармонический ряд — расходится.72
6 (признак Коши)73
Пусть дан ряд со строго положительными членами∞∑k=1
uk.74
1. Если k√uk 6 q < 1 при k > K, то ряд сходится.75
2. Если k√uk > 1 для бесконечного числа номеров k, то члены ряда не стремятся к 0 и ряд76
расходится.77
Доказательство. Возьмём vk = qk. Тогда 1) следует из признака сравнения 2. Пункт 2) следует78
из того, что для бесконечного числа номеров uk > 1. �79
Замечание. Условие пункта 1) выполняется, если limk→∞
k√uk < 1. Условие пункта 2) выполняется,80
если limk→∞
k√uk > 1.81
Если limk→∞
k√uk = 1 или если lim
k→∞k√uk = 1, то ряд может как сходиться, так и нет. Например,82
ряд∑
1k(k+1) сходится, а гармонический ряд — расходится.83
Теорема 2.1. Если выполнено условие 1) признака Д’Аламбера, то выполнено условие 1) признака84
Коши (говорят, что признак Коши сильнее признака Д’Аламбера).85
Доказательство. Пусть ukuk+1
6 q < 1 при k > K, тогда un = uK+1 ·n−1
Пk=K+1
uk+1uk6 uK+1 · qn−K−2,86
n√un 6 n
√uK+1 · q1−
K+2n −−−−→
n→∞1 · q < 1. �87
Пример. Ряд∞∑k=1
2−k+(−1)k удовлетворяет 1) признаку Коши, но не удовлетворяет 1) признаку88
Даламбера. �89
7 (интегральный признак Коши—Маклорена)90
Пусть f(x) — неотрицательная невозрастающая функция на [m,+∞). Тогда91
0 6n∑
k=m
f(k)−∫ n+1
m
f(x) dx =∫ n+1
m
f([x])− f(x) dx 6 f(m),92
где [x] — целая часть x. Ряд∞∑k=m
и интеграл∫∞mf(x) dx одновременно сходятся или расходятся.93
Доказательство.94n∑
k=m
f(x)−∫ n+1
mf(x) dx =
∫ n+1
mf([x])− f(x) dx, так как
∫ k+1
kf([x]) dx = f(k). Заметим, что f([x])−95
− f(x) > 0.∫ n+1
mf([x]) − f(x) dx =
n∑k=m
∫ k+1
kf([x]) − f(x) dx 6
n∑k=m
∫ k+1
kf(k) − f(k + 1) dx =96
=n∑
k=m
(f(k)− f(k + 1)) = f(m)− f(n+ 1) 6 f(m). Так как разность ряда и интеграла ограничена,97
то они одновременно либо сходятся, либо расходятся. �98
3
Следствие. Ряд∞∑k=1
1kα , как и интеграл
∫∞1
dxxα , сходится при α > 1 и расходится при α 6 1.99
Пример.100
101
0 6n∑k=1
1k−∫ n+1
1
dx
x=
n∑k=1
1k− ln(n+ 1) −−−−→
n→∞
∫ ∞1
1[x]− 1xdx = C
�102
8 (признак Куммера)103
Пусть дан ряд∞∑k=1
ak с ai > 0 ∀i и последовательность bk > 0. vk = bkakak+1
− bk+1 одного знака при104
k > K.105
1. Если vk > l > 0 при k > K, то ряд∞∑k=1
ak сходится.106
2. Если vk 6 0 при k > K и ряд∞∑k=1
1bk
расходится, то расходится ряд∞∑k=1
ak.107
Доказательство. 1) vk = bk · akak+1
− bk+1 > l > 0, k > K, тогда ak · bk − ak+1 · bk+1 > lak+1, k > K.108
l∞∑k=K
ak+1 6∞∑k=K
(akbk − ak+1bk+1) 6 aK · bK . Последовательность частичных сумм ряда ограничена109
aK · bK ⇒ он сходится. По признаку сравнения 2 сходится ряд l∞∑k=K
ak+1, а, значит, и ряд∞∑k=1
ak.110
2) vk = bk · akak+1
− bk+1 6 0, k > K. Тогда ak+1 > ak · bkbk+1
, ak+1ak> bk
bk+1, k > K. an
aK=
n−1∏k=K
ak+1ak>111
>n−1∏k=K
bkbk+1
= bKbn
, n > K. Тогда an > bK ·aKbn
, и, по признаку сравнения 2, ряд∞∑n=K
an расходится. �112
9 (признак Раабе)113
Пусть дан ряд∞∑k=1
ak, ai > 0 ∀i и пусть αk = k( akak+1
− 1).114
Если αk > r > 1 при k > K, то ряд сходится.115
Если αk < 1 при k > K, то ряд расходится.116
Доказательство. Воспользуемся признаком Куммера. Возьмём bk = k, k ∈ N. vk = k· akak+1−(k+1) =117
= k(
akak+1
− 1)− 1 = αk − 1. �118
Замечание. Пункт a) признака 9 Раббе выполняется, если lim k( akak+1
− 1) > 1, а б) выполняется,119
если lim k( akak+1
− 1) < 1.120
10 (признак Гаусса)121
Пусть дан ряд со строго положительными членами∞∑k=1
ak и akak+1
имеет вид α+ βk + γk
k1+ε , где α, β —122
действ. числа, ε > 0, γk — ограниченная последовательность. Тогда если α > 1 или α = 1 и β > 1,123
то ряд сходится. А если α < 1 или α = 1 и β 6 1, то ряд расходится.124
4
Лекция 3 16.09.08125
Признак Гаусса126
Пусть ak > 0, k ∈ N и akak+1
= α+ βk + γk
k1+ε , где α, β, ε— действительные числа, ε > 0, а γk — огр.127
посл. Тогда если α > 1 или α = 1 и β > 1, то ряд сходится. А если α < 1 или α = 1 и β 6 1, то ряд128
расходится.129
Доказательство.130
131
1. α > 1. limk→∞
akak+1
= α > 1, ряд сходится по пр. Д‘Аламбера.132
2. α < 1. limk→∞
akak+1
= α < 1, члены ряда не стремятся к 0 и ряд расходится.133
3. α = 1, β > 1. limk→∞
k ·(
akak+1
− 1)
= limk→∞
(β + γk
kε
)= β > 1, ряд сходится по пр. Раабе.134
4. α = 1, β < 1. limk→∞
k ·(
akak+1
− 1)
= β < 1, ряд расходится по пр. Раабе.135
5. α = 1, β = 1. Воспользуемся признаком Куммера с bk = k ln k, k > 2. Ряд∞∑k=2
1k ln k =
∞∑k=2
1bk
расходится по пр. Коши—Маклорена.
vk =akak+1
bk − bk+1 =(
1 +1k
+γkk1+ε
)· k ln k − (k + 1)ln(k + 1) =
= k ln k + ln k +γkkε
ln k − (k + 1) ln(k + 1) = −(k + 1)(ln(k + 1)− ln k) +γk ln kkε
=
= − ln(
1 +1k
)1+k
+γk ln kkε
−−−−→n→∞
−1 < 0
Значит, ряд расходится по признаку Куммера. �136
Лемма 3.1 (Признак Лейбница). Пусть∞∑k=1
uk — ряд со знакочередующимися членами (то есть137
все чётные одного знака, а все нечётные — другого) и |u1| > |u2| > . . ., uk −−−−→k→∞
0 (то есть uk не138
возрастая стремится к 0). Такой ряд называется рядом Лейбница. Он сходится и |rn| 6 |un+1| 6139
6 |un|, n ∈ N.140
Доказательство. Рассмотрим случай u2k−1 > 0, u2k 6 0 k ∈ N. Тогда S2n =n∑k=1
(u2k−1 + u2k
),141
u2k−1 + u2k > 0, S2n — неубыв. посл., а S2n+1 = u1 +n∑k=1
(u2k + u2k+1
), u2k + u2k+1 6 0, S2n+1 —142
невозр. посл, S2n 6 S2n+1. Имеем S2 6 S2n 6 S2n+1 6 S1. Значит, ∃ limn→∞
S2n = lim→∞
S2n+1. Они143
равны, так как S2n+1 − S2n −−−−→n→∞
0. Значит,∞∑k=1
uk сходится.144
Случай u2k−1 6 0, u2k > 0 сводится к рассмотренному домножением на −1.145
Оценим rn =∞∑
k=n+1
uk. Если un+1 > 0, то rn =∞∑k=1
(u2k+n−1 + u2k+n
)>∞∑k=1
0 = 0.146
0 6 rn = un+1 +∞∑k=1
(u2k+n + u2k+n+1
)6 un+1 +
∞∑k=1
0 = un+1, то есть |rn| 6 |un+1| 6 |un|. Второй147
случай сводится к предыдущему домножением на −1. �148
Преобразование Абеля149
Пусть uk, vk, k ∈ N — действительные или комплексные числа. Тогдаn∑
k=m
uk·vk =n−1∑
k=m−1
Uk(vk−vk+1
)+150
+ Unvn − Um−1vm−1 =n−1∑k=m
Uk(vk − vk+1) + Unvn − Um−1vm, где v0 = 0, U0 = 0, Uk =
k∑j=1
uj .151
5
Доказательство.
n∑k=m
ukvk =n∑
k=m
Ukvk −n∑
k=m
Uk−1vk =n∑
k=m
Ukvk −n−1∑
k=m−1
Ukvk+1 =
=n−1∑
k=m−1
Uk(vk − vk+1) + Unvn − Um−1vm−1.
�
Последовательность ограниченной вариации.152
Определение. Последовательность {ak}∞k=1 (действ. или компл. чисел) имеют ограниченную ва-153
риацию (с огр. измен), если сходится ряд∞∑k=1
∣∣ak+1 − ak∣∣.154
Из свойств операции над рядами следует, что если последовательность ограниченной вариации155
умножить на любое число, то получится последовательность ограниченной вариации. Если к после-156
довательность ограниченной вариации прибавить или вычесть последовательность ограниченной157
вариации, то получится последовательность ограниченной вариации.158
Теорема 3.1. Комплексная последовательность является последовательностью ограниченной ва-159
риации ⇐⇒ её действительные и мнимые части - последовательности ограниченной вариации.160
Действительная последовательность является последовательностью ограниченной вариации ⇐⇒161
её можно представить в виде разности двух сходящихся неубывающих (невозрастающих) последо-162
вательностей.163
Доказательство. Пусть {zk}∞k=1 — комплексная последовательность, zk = ak + ıbk, ak, bk ∈ R,164
|ak+1 − ak| 6 |zk+1 − zk|, |bk+1 − bk| 6 |zk+1 − zk|. То есть, всё хорошо.165
Если {ak}∞k=1 — сходящаяся неубывающая последовательность, тоn∑k=1
∣∣ak+1−ak∣∣ =
n∑k=1
(ak+1−ak
)=166
= an+1 − a1 — сход. последовательность, то есть {ak}— огр. вариации.167
Случай сход. невозрастающей последовательности сводится к предыдущему домножением на168
−1.169
Sn =n−1∑k=1
∣∣ak+1−ak∣∣, это сходящаяся неубывающая последовательность. Sn−an =
n−1∑k=1
(|ak+1−ak|−170
−(ak+1−ak))−a1 — сходящаяся неубывающая последовательность. an = Sn−(Sn−an). an = αn−βn,171
где αn, βn — сходящаяся неубывающая последовательность �172
Следствие 3.1.1. Любая последовательность ограниченной вариации сходится.ы173
6
Лекция 4 19.09.08174
12. Признак Абеля.175
Если ряд∞∑k=1
uk сходится, а vk — последовательность ограниченной вариации, то сходится ряд∞∑k=1
uk·vk.176
13. Признак Дирихле.177
Если последовательность частичных сумм ряда∞∑k=1
uk ограничена, а vk — сходящаяся к 0 последо-178
вательность ограниченной вариации, то сходится ряд∞∑k=1
uk · vk.179
Доказательство.
n∑k=m
uk · vk =n−1∑
k=m−1
Uk · (vk − vk+1) + Un · vn − Um−1 · vm−1
∣∣∣ n−1∑k=m−1
Uk(vk − vk+1)∣∣∣ 6 sup
k|Uk| ·
n−1∑k=m−1
|vk − vk+1|, Uk =k∑j=1
uj .
∀ε > 0 ∃N1 : ∀n,m > N1 : supk|Uk| ·
n−1∑k=m−1
|vk − vk+1| <ε
2
{Ukvk} сходится в обоих признаках. ∀ε > 0 ∃N2 ∀n,m > N2 : |Unvn − Um−1vm−1| < ε2 . Пусть180
N = max{N1, N2}. Тогда ∀n,m > N :∣∣∣ n∑k=m
uk · vk∣∣∣ < ε
2 + ε2 = ε.181
Заметим, что признак Лейбница является следствием признака Дирихле. По условию признака182
Лейбница uk = (−1)k|uk| или uk = (−1)k+1|uk|. Последовательность∞∑k=1
(−1)n ограничена. При этом183
|uk| монотонно стремятся к 0. Значит, ряд сходится по признаку Дирихле.184
Определение. Пусть ϕ— взаимно однозначное отображение N на N, а∞∑k=1
ak — ряд. Тогда ряд185
∞∑k=1
aϕ(k) называется перестановкой ряда∞∑k=1
ak.186
Теорема 4.1 (Коши). Если ряд∞∑k=1
ak абсолютно сходится и S — его сумма, то переставленный187
ряд∞∑k=1
aϕ(k) также сходится абсолютно и его сумма равна S.188
Доказательство.n∑k=1
|aϕ(k)| 6maxk6n
ϕ(л)∑j=1
|aj | 6∞∑j=1
|aj | <∞.189
∀ε > 0 ∃N :∞∑
k=N+1
|ak| < ε. Так как ϕ— взаимно однозначное соответствие, то найдётся такое190
M ∈ N : {ϕ(k) : k 6M} ⊃ {1, . . . , N}. Пусть m >M . Тогда∣∣∣ m∑k=1
|aϕ(k)| − S∣∣∣ =
∣∣∣ m∑k=1
|aϕ(k)| −∞∑j=1
|aj |∣∣∣ 6191
6∞∑
j=N+1
|aj | < ε. �192
Теорема 4.2 (Римана). Если ряд∞∑k=1
ak сходится условно, ai ∈ R, то ∀l ∈ R найдётся перестановка193
ϕ, что переставленный ряд∞∑k=1
aϕ(k) имеет сумму l.194
Доказательство. Пусть uk — последовательность неотрицательных членов ряда, vk — оставшихся195
членов. Так как ak −−−−→k→∞
0, то uk и vk также стремятся к 0. Имеем:∞∑k=1
uk = +∞, а∞∑k=1
vk = −∞.196
7
1. l ∈ R. ∃k1 :k1∑j=1
uj > l. ∃ наименьшее n1 ∈ N :k1∑j=1
uj+n1∑i=1
vi < l. ∃ мин k2 > k1 :k2∑j=1
uj+n1∑i=1
vi > l.197
И так далее.198
Все члены ряда встретятся. |Skr+nr − l| 6 |vnr | −−−−→n→∞
0. Аналогично:∣∣Skr+1+nr − l
∣∣ 6 |ukr+1 | −−−−→n→∞
0.199
Значит, l— сумма получившегося ряда.200
2. l = +∞. Тогда найдём {ni}, ni+1 > ni : ∀i ∈ Nni+1−1∑k=ni
uk > vi+1. Тогдаn∑i=1
(ni+1−1∑k=ni
uk − vi
)> n.201
Значит, сумма ряда равна +∞ (доказательство немного отличается от данного на лекции).202
3. l = −∞. Аналогично. (Да-да: сводится к предыдущему домнож. . . ) �203
Произведение рядов.204
205
Теорема 4.3 (Коши). Если ряды∞∑k=1
uk и∞∑k=1
vk сходится абсолютно и U и V — их суммы, то ряд206
из всех их попарных произведений, взятый в любом порядке, абсолютно сходится, и его сумма —207
U · V .208
Доказательство. Пусть wk — занумерованные в некотором порядке ui · vj . Пусть ∀m ∈ N ψ(m) —наибольшее среди i и j, соответствующих uivj , занумерованных k 6 m. Тогда
m∑k=1
|ωk| 6ψ(m)∑i=1
ψ(m)∑j=1
|ui · vj | =ψ(m)∑i=1
|ui| ·ψ(m)∑j=1
|vj |.
По одной из предыдущих теорем можем искать сумму в любом порядке. Так как ряд сходится, то209
рассмотрим подпоследовательность частичных суммn∑i=1
m∑j=1
uivj =n∑i=1
uj ·n∑j=1
vj −−−−→n→∞
U · V . �210
8
Лекция 5 23.09.08211
Теорема 5.1 (Мертенса). Если ряды∞∑k=1
uk и∞∑k=1
vk сходятся, причём хотя бы один из них абсо-212
лютно, и U , V — их суммы, то сходится ряд∞∑k=1
wk, где wk =k∑i=1
ui · vk+1−i и U · V — его сумма.213
Пояснение о том, как происходит суммирование. Пусть есть плоскость с целочисленными коор-214
динатами, каждая точка - соответствующий член uivj . Тогда суммирование идёт по диагонали.215
Доказательство. Будем считать, что ряд∞∑k=1
uk сходится абсолютно. Оценим∣∣∣ n∑i=1
n∑j=1
ui·vj−n∑k=1
wk
∣∣∣ =216
=∣∣∣ n∑l=1
ul ·n∑j=1
vj −n∑k=1
k∑i=1
ui · vk+1−i
∣∣∣ =∣∣∣ n∑l=1
ul ·n∑j=1
vj −n∑k=1
uk ·n−k+1∑i=1
vk
∣∣∣ =∣∣∣ n∑k=1
uk · (Vn − Vn+1−k)∣∣∣, где217
Vl =l∑
j=1
vj . ∀ε > 0 ∃N :∞∑
k=Т+1
|uk| < ε и ∀n > N |Vn−V | < ε. Тогда ∀n > 2N :∣∣∣ n∑i=1
n∑j=1
ui ·vj−n∑k=1
wk
∣∣∣ 6218
6∣∣∣( N∑k=1
+n∑
k=N+1
)uk ·
(Vn − Vn+1−k
)∣∣∣ 6 2ε ·∞∑k=1
|uk| + 2 supn
∣∣Vn∣∣ · ε = 2(∞∑k=1
|uk| + supn
∣∣Vn∣∣) · ε, то есть219
n∑i=1
n∑j=1
ui · vj −n∑i=1
wk = ¯o(1) при n → ∞. Так какn∑i=1
n∑j=1
ui · vj =n∑i=1
ui ·n∑j=1
vj −−−−→n→∞
·U · V , то220
утверждение верно. �221
Бесконечные произведения222
Определение. Пусть {ak}∞k=n — последовательность действительных или комплексных чисел. То-223
гда выражение am · am+1 · . . . =∞∏k=m
ak называется бесконечным произведением.224
Будем считать, чтоm = 1. Если произведение∞∏k=1
ak — бесконечное произведение, то Pn =n∏k=1
ak —225
частичное произведение с номером n.226
Определение. Если существует конечный limn→∞
Pn 6= 0, то говорят, что бесконечное произведение227
сходится и равно P = limn→∞
Pn.228
Если limn→∞
Pn равен 0, или ±∞, или не существует, то говорят, что бесконечное произведение229
расходится.230
Теорема 5.2 (Необходимое условие сходимости бесконечного произведения). Если беско-231
нечное произведение сходится, то ak −−−−→n→∞
1 и остаток rn = PPn−−−−→n→∞
1.232
Доказательство. Второе утверждение очевидно.233
Первое утверждение: ak = PkPk−1
−−−−→k→∞
1 �234
Заметим, что из того, что an → 1 следует, что с некоторого момента an > 0. Значит, можно235
вообще считать все члены положительными.236
Теорема 5.3 (критерий сходимости для положительных чисел). Бесконечное произведение237
положительных чисел∞∏k=1
ak сходится ⇐⇒ сходится ряд∞∑k=1
ln ak. При этом в случае сходимости238
n∑k=1
ln ak = ln∞∏k=1
ak.239
Доказательство. lnPn = lnn∏k=1
ak =n∑k=1
ln ak. Устремим всё к бесконечности: lnP =∞∑k=1
ln ak.240
Если ряд∞∑k=1
ln ak сходится, то Pn = e
n∑k=1
ln ak−−−−→n→∞
e
∞∑k=1
ln ak6= 0. �241
Теорема 5.4. Бесконечное произведение∞∏k=1
(1 + αk), 1 < αk, где все αk одного знака, сходится242
⇐⇒ сходится ряд∞∑k=1
αk.243
9
Доказательство. Бесконечное произведение сходится ⇐⇒ сходится ряд∞∑k=1
ln(1 + αk). В этом244
ряду все члены одного знака. Заметим, что ln(1 + αk) −−−−→k→∞
0 ⇐⇒ αk −−−−→k→∞
0. Если αk −−−−→k→∞
0,245
то ln(1+αk)αk
−−−−→k→∞
1. При αk −−−−→k→∞
0 сходимость ряда∞∑k=1
ln(1 + αk) эквивалентна сходимости ряда246
∞∑k=1
αk. �247
Пример (Формула Эйлера). sinx = x∞∏k=1
(1− x2
k2π2
).248
Доказательство. При x = ±kπ, k = 0 или k ∈ N, то утверждение верно.249
Рассмотрим x 6= kπ для всех k ∈ Z.250
1. Пусть m = 2n+ 1, n ∈ Z+, тогда sinmxm sin x =
n∏k=1
(1− sin2 x
sin2 kπm
).251
Докажем, что sinmx = sinx · Pn(sin2 x), Pn — многочлен степени не выше n. n = 0 — верно,252
n = 1 — утверждение верно. sin 3x = 3 sinx−4 sin3 x = sinx(3−4 sin2 x). Если утверждение вер-253
но для m > 3, то оно будет верно для m+2. sin(m+2)x+sin(m−2)x = 2 sinmx·cos 2x = 2 sinx×254
×Pn(sin2 x) · (1− 2 sin2 x), откуда sin(m+ 2)x = sinx ·Pn+1(sin2 x)− sinx ·Pn−1(sin2x) = sinx×255
×Pn+1(sin2 x).256
Pn(y) имеет корни sin2 fπm , k = 1, . . . ,m, так как sinmx имеет корни kπ
m , k = 1, . . . ,m.sinmxm sinx︸ ︷︷ ︸↓1x→0
=257
= 1mPn(sin2 x), Pn(y)︸ ︷︷ ︸
↓cy→0
= c·n∏k=1
(1− y
sin2 kπm
). Получаем, что c = m. Имеем sinmx
m sin x =n∏k=1
(1− sin2 x
sin2 kπm
).258
2. Пусть x = 1mz, тогда sin z
m sin zm
=n∏k=1
(1− sin2 z
m
sin2 kπm
). Пусть m = 2n+ 1, натуральное p 6 n, |z| 6 p,259
тогда sin zm sin z
m=
p∏k=1
(1− sin2 z
m
sin2 kπm
)·Rp,n, где Rp,n =
∏k = p+ 1n
(1− sin2 z
m
sin2 kπm
). Фиксируем p, а n260
устремим к +∞. sin zz =
p∏k=1
(1− z2
k2π2
)·Rp, Rp = lim
n→∞Rp,n. �261
10
Лекция 6 26.09.08262
Продолжение доказательства формулы Эйлера∑x = x ·
∞∏k=1
(1− x2
k2π2
).263
В конце прошлой лекции было доказано, что sin xx =
p∏k=1
(1− x2
k2π2
)·Rp(x), гдеRp(x) = lim
n→∞Rp,n(x),264
Rp,n =n∏
k=p+1
(1− sin2 x
m
sin2 kπm
), где m = 2n+ 1, p 6 n.265
Почему такой предел существует. Вспомним: sin xm sin x
m=
p∏k=1
(1− sin2 x
m
sin2 kπm
)· Rp,n. Значит, предел266
существует как предел частного.267
Rp(x) = limn→∞
n∏k=p+1
(1− sin2 x
m
sin2 kπm
). Докажем, что Rp −−−→
p→∞1.268
Лемма 6.1. Для любых комплексных чисел αk, k = 1, . . . , n,∣∣∣ n∏k=1
(1 + αk)− 1∣∣∣ 6 n∏
k=1
(1 + |αk|)− 1.269
Доказательство. n = 1 — утверждение верно. |(1 + α1)− 1| = |α1| 6 (1 + |α1|)− 1 = |α1|.270
Пусть верно для n = q и докажем его для n = q+1.∣∣∣q+1∏k=1
(1+αk)−1∣∣∣ 6 ∣∣∣q+1∏
k=1
(1+αk)−q∏
k=1
(1+αk)∣∣∣+271
+∣∣∣ q∏k=1
(1+αk)−1∣∣∣ 6 ∣∣∣ q∏
k=1
(1+αk)×αq+1
∣∣∣+ q∏k=1
(1−|α|)−1 6q∏
k=1
(1+|αk|)·|αq+1|+q∏
k=1
(1+|αk|)−1 =q+1∏k=1
(1+|αk|)−1.272
sinx = x− x3
3! + . . .— формула Тейлора.273
При |x| 6 1:274 ∣∣∣∣−x3
3!+x5
5!− x7
7!+ . . .
∣∣∣∣ 6 |x3| ·(
16
+162
+163
+ . . .
)= |x3| ·
16
1− 16
=15|x3|275
При |x| 6 1|x| − 15 |x| 6 | sinx| 6 |x|+
15 |x|, то есть 4
5 |x| 6 | sinx|65 |x|.276
|Rp,n − 1| 6n∏
k=p+1
(1 + |sin
xm |2
|sin kπm |2
)− 1 6
∏k = q + 1n
(1 + ( 6|x|
5m )2
( 45kπm )2
)− 1 6
n∏k=p+1
(1 + |x|2
(2k)2
)− 1277
Произв.∞∏k=1
(1 + |x|2
4k2
)сходится, так как сходится ряд
∞∑k=1
|x|24x2 = |x|2
4
∞∑k=1
1k2 .278
Его остаток∞∏
k=p+1
(1 + |x|2
4x2
)−−−→p→∞
1.279
Так как |Rp − 1| =∣∣∣ limn→∞
Rp,n − 1∣∣∣ 6 ∞∏
k=p+1
(1 + |x|2
4k2
)− 1, то Rp −−−→
p→∞1.280
Устремим p→∞. Получим, что sin xx =
∏k = 1∞
(1− x2
k2π2
)�281
Следствие 6.0.1 (ф-ла Валлиса). π2 =
∞∏k=1
(2k)2
(2k+1)(2k−1) = limn→∞
12n+1
(22n(n!)2
(2n)!
)2
.282
x = π2 , 1 = π
2 · π∞k=1
(1− 1
4x2
)= pi
2
∞∏k=1
((2k)2−1(2k)2
)= π
2
∞∏k=1
((2k+1)(2k−1)
(2k)2
).283
π2 =
∞∏k=1
(2k)2
(2k+1)(2k−1) .284
12n+1
(22n(n!)2
(2n)!
)2
= 12n+1
(2n·2n·n!
2n·(2n−1)···(n+1)
)2
= 12n+1
(2n
(2n−1)(2n−3)
)285 (
22n
n!
)(2n
(2n−1)(2n−3)···1
)286
Надо закончить это доказательство.287
Следствие 6.0.2. cosx =∞∏k=1
(1− x2
( (2k−1)2 )2
π2
).288
Доказательство. cosx = sin 2x2 sin x при x 6= kπ.289
cosx = limn→∞
2x2N∏k=1
(1− 4x2
k2π2
)2x·
N∏k=1
(1− x2
k2π2
) = limN→∞
2N∏k=1
(1− x2
( k2 )2π2
)= lim
N→∞
N∏k=1
(1− x2
( 2k−12 )2
π2
).290
11
n∏k=1
(1− m2π2
( 2k−12 )2
π2
)=
n∏k=1
(2n−1)2−4m2
(2k−1)2 =
n∏k=1
(2k−1−2m)·n∏k=1
(2k−1+2m)(n∏k=1
(2k−1)
)2 =291
=(−1)m
n∏k=n−m+1
(2k−1+2m)
n∏k=n−m+1
(2k−1)−−−−→n→∞
(−1)m. �292
Суммирование расходящихся последовательностей и рядов.293
Определение. Пусть {sk}∞k=1 — числовая последовательность. Эта последовательность суммирует-294
ся методом Чезаро (Чезаро—Фейера, средних арифметических, методом (C, 1)) к S, если S = limn→∞
σn,295
где σn = 1n
n∑k=1
sk.296
Ряд∞∑k=1
ak сумм. методом Чезаро к S, если посл. его частичных сумм суммируется методом297
Чезаро к S.298
Пример. Последовательность 1,−1, 1, . . . суммируется методом (C, 1) к 0.299
Ряд∞∑k=1
(−1)k+1 �300
12
Лекция 7 30.09.08301
Определение. Пусть {ak}∞k=1 — числовая последовательность. Эта последовательность суммирует-302
ся методом Чезаро (Чезаро—Фейера, средних арифметических, методом (C, 1)) к S, если S = limn→∞
σn,303
где σn = 1n
n∑k=1
sk.304
Ряд∞∑k=1
ak сумм. методом Чезаро к S, если последовательность его частичных сумм суммируется305
методом Чезаро к S.306
Определение. Метод суммирования последовательностей (рядов) называют линейным, если из307
того, что последовательность sk (ряд∞∑k=1
ak) суммируется к числу S, следует, что для любого числа308
α последовательность αsk (или ряд) суммируется этим же методом к αS. А если последовательности309
sk и tk (ряды) суммируются к S1 и S2 соответственно, то последовательность sk + tk (или ряд)310
суммируется этим же методом к S1 + S2.311
Определение. Метод суммирования называется регулярным, если любая сходящаяся последова-312
тельность (любой сходящийся ряд) суммируется этим методом к своему пределу.313
Метод суммирования называется вполне регулярным, если он регулярен и любая расходящаяся314
к ±∞ последовательность (ряд) суммируется этим методом к ±∞.315
Теорема 7.1. Метод суммирования средних арифметических (Чезаро) линеен и вполне регулярен.316
Доказательство. Линейность очевидна из определения.317
Остаётся показать, что он вполне регулярен. Начнём с регулярности. Пусть sk = ¯o(1). Покажем,318
что она суммируется методом Чезаро к 0. ∀ε > 0 ∃N ∈ N∀k > N : |sk| < ε. Тогда ∀n > N : σn =319
= 1n
N∑k=1
sk+ 1n
n∑k=N+1
sk,
∣∣∣∣∣ 1n n∑k=N+1
sk
∣∣∣∣∣ < 1n (n−N)ε 6 ε, а 1
n
N∑k=1
sk = ¯o(1) −−−−→n→∞
0. ∃N ∀n > N : |σn| < ε.320
Значит, σn −−−−→n→∞
0. Если sk −−−−→k→∞
s, то sk = s+ ¯o(1), σn = s+ ¯o(1), то есть σn −−−−→n→∞
s.321
Вполне регулярность. Если sk −−−−→k→∞
+∞, то ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N : sk ∈ B ε2(+∞), то есть322
sk >2ε . Тогда ∀n > N : σn = 1
n
N∑k=1
sk + 1n
n∑k=N+1
sk, 1n
n∑k=N+1
ыk >(n−Nn
)2ε = 2
ε −Nn ·
2ε ,
1n
N∑k=1
sk = ¯o(1)323
при n→∞, Nn ·2ε = ¯o(1) при n→∞. N ∀n > N : σn > 1
ε , то есть σn ∈ Bε(+∞). Значит, σn → +∞.324
Случай −∞. . .325
Лемма 7.1. Если последовательность sk (ряд∞∑k=1
ak) суммируются методом средних арифметиче-326
ских (к какому-то числу), то sk = ¯o(k) (ak = ¯o(k)).327
Доказательство. sk = kσk − (k − 1)σk−1 = k(σk = σk−1) + σk−1 = k · ¯o(1) + O(1) = ¯o(k).328
ak = Sk − Sk−1 = ¯o(k)− ¯o(k) = ¯o(k). �329
Метод Абеля330
Определение. Ряд∞∑k=1
ak суммируется методом Абеля к числу S (к ±∞), если для любого r ∈ [0, 1)331
ряд∞∑k=1
akrk−1 сходится (или расходится к ±∞) и
∞∑k=1
ak · rk−1 −−−−−→r→1−0
S.332
Последовательность {sk}∞k=1 суммируется методом Абеля к числу S (к ±∞), если к S (±∞)333
суммируется ряд s1 +∞∑k=2
(sk − sk−1)334
Теорема 7.2 (Фробениуса). Если ряд (последовательность) суммируется методом Чезаро к чис-335
лу S, то он (она) суммируется методом Абеля также к S.336
Доказательство. Рассмотримn∑k=1
akrk−1 =
n−1∑k=1
Sk(rk−1−rk)+Snrn−1 =
n∑k=1
Sk(rk−1−rk)+Snrn =337
= (1−r)n∑k=1
Skrk−1+Snrn. По лемме Sn = ¯o(n),∀r ∈ [0, 1)Sn·rn −−−−→
n→∞0. Значит,
∞∑k=1
akrk−1 = (1−r)
∞∑k=1
Skrk−1,338
n∑k=1
Skrk−1 = (1− r)
n∑k=1
kσkrk−1 + nσn · rn. nσn = O(n), ∀r ∈ [0, 1) nσn · rn −−−−→
n→∞0.339
13
∞∑k=1
akrk−1 = (1− r)2
∞∑k=1
kσkrk−1, оба ряда одновременно сходятся или расходятся (∀r ∈ [0, 1)).340
Пусть a1 = 1, ak = 0 при k > 2. Тогда при r ∈ (0, 1) 1 = (1− r)2∞∑k=1
krk−1.341
∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N |σn − s| < ε. Оценим∣∣∣ ∞∑k=1
akrk−1 − S
∣∣∣, ряд сходится по критерию Коши,342
так как ak = ¯o(k), limn→∞
n√an · rn−1 6 r < 1.343 ∣∣∣ ∞∑
k=1
akrk−1 − S
∣∣∣ =∣∣∣(1 − r)2
∞∑k=1
kσkrk−1 − (1 − r)2
∞∑k=1
kSrk−1∣∣∣ 6 (1 − r)2
N∑k=1
|kσk − kS|rk−1 +344
+ (1− r)2∞∑
k=N+1
k|σk −S|rk−1 6 (1− r)2N∑k=1
|k(σk −S)|+ (1− r)2∞∑k=1
kεrk−1 6 C · (1− r)2 ↓r→1 0 + ε (см.345
ранее). Поэтому ∃ro ∈ [0, 1) ∀r ∈ (r0, 1) :∣∣∣ ∞∑k=1
akrk−1 − S
∣∣∣ < 2ε, то есть ряд суммируется методом346
Абеля к S. �347
Теорема 7.3. Метод Абеля линеен и вполне регулярен.348
Доказательство. Линейность очевидна, регулярность следует из регулярности метода Чезаро и349
предыдущей теоремы. Докажем вполне регулярность.350
Пусть Sn =n∑k=1
ak −−−−→n→∞
+∞. Воспользуемся преобразованием Абеля.n∑k=1
akrk−1 = (1−r)
n∑k=1
Sk×351
×rk−1 +Sn · rn. Sn > 0 для достаточно больших n. Sk < 0 — конечное число. Значит, ряд∞∑k=1
Skrk−1
352
сходится или расходится к +∞. Отсюда ряд∞∑k=1
akrk−1 также или сходится, или расходится к +∞353
одновременно с рядом∞∑k=1
Skrk−1. Если ряд
∞∑k=1
Skrk−1 = +∞ для некоторого r = r0 ∈ [0, 1), то он354
равен +∞ для r ∈ [r0, 1) по признаку сравнения.355
Рассмотрим случай, когда ряд∞∑k=1
Skrk−1 сходится при каждом r ∈ [0, 1). ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N :356
Sk >2ε . Тогда ∀n > N
∞∑k=1
akrk−1 > (1 − r)
∞∑k=1
Skrk−1 = (1 − r)
N∑k=1
Skrk−1 + (1 − r)
∞∑k=N+1
Skrk−1 >357
> (1− r)N∑k=1
Skrk−1 + 2
ε − (1− r)N∑k=1
2εrk−1. Значит, ∃r0 ∈ (0, 1) ∀r ∈ (r0, 1) :
∞∑k=1
akrk−1 > 1
ε �358
14
Лекция 8 03.10.08359
Пример. Пример ряда, суммируемого по Абелю, но не по Чезаро.360
∞∑k=1
(−1)k−1k361
Доказательство.362n∑k=1
(−1)k−1xk = 1−(−1)nxn+1
1+x .n∑k=1
(−1)kkxk−1 = (1+x)(1−(−1)n(n+1)xn+(−1)nxn+1)(1+x2) −−−−→
n→∞1+x−x(1+x)2 =363
= 1(1+x)2 −−−−−→x→1−0
14 .364
По Чезаро он не суммируется. �365
Критерий Маркова—Гордона (1995 год)366
Пусть B — база в множествеB, а D — база в множествеD, h(x, y) — отобр. изB×D (не обязателно367
всего) в R (или C), существует limDh(x, y) = f(x) для x ∈ B ∈ B, ∃ lim
Bh(x, y) = g(y) для y ∈ D ∈ D.368
Пределы limBf(x) и lim
Dg(y) существуют и равны ⇐⇒369
∀ε > 0 ∃B ∈ B ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D ∀y ∈ Dx : |h(x, y)− g(y)| < ε.370
Необходимость. Пусть limBf(x) = lim
Dg(y) = H. ∀ε > 0 ∃B1 ∈ B ∀x ∈ B1 : |f(x) − H| < ε.371
∀x ∈ B1 ∩ B ∃D1 ∈ D ∀y ∈ D1 : |h(x, y) − f(x)| < ε. ∃D2 ∈ D ∀y ∈ D2 : |g(y) − H| < ε. Возьмём372
B ⊂ B1 ∩ B, B ∈ B. ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D1 ∩ D2 ∩ D,Dx ∈ D. Тогда ∀y ∈ Dx : |h(x, y) − g(y)| 6373
6 |h(x, y)− f(x)|+ |f(x)−H|+ |H − g(y)| < 3ε.374
Достаточность. Пусть ∀ε > 0 ∃B ∈ B ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D ∀y ∈ Dx : |h(x, y)− g(y)| < ε.375
1. Докажем, что ∃ limBf(x) = H. ∀ε > 0 ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D ∀y ∈ Dx : |h(x, y) − f(x)| < ε.376
∀x1 ∈ B ∈ B ∃Dx1 ∈ D ∀y ∈ Dx1 : |h(x, y) − g(y)| < ε. ∀x2 ∈ B ∈ B ∃Dx2 ∈ D ∀y ∈ Dx2 :377
|h(x2, y) − g(y)| < ε. ∃B0 ⊂ B ∩ B, B0 ∈ B. ∀x1, x2 ∈ B0 ∃D0 ⊂ Dx1 ∩ Dx2 ∩ D, D0 ∈ D378
∀y ∈ D0 : |f(x1)−f(x2)| 6 |f(x1)−h(x1, y)|+|h(x1, y)−g(y)|+|g(y)−h(x2, y)|+|h(x2, y)−f(x2)| <379
< 4ε.380
2. Докажем, что limDg(y) = H. ∀ε > 0 ∃B1 ∈ B ∀x ∈ B1 : |f(x)−H| < ε. ∃B ∈ B ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D381
∀y ∈ Dx : |h(x, y) − g(y)| < ε. ∀x ∈ B ∈ B ∃Dx ∀y ∈ Dx : |h(x, y) − f(x)| < ε. Фиксируем382
x ∈ B1 ∩ B ∩ B 6= ∅, ∃D0 ⊂ Dx ∩ Dx ∩ D, D0 ∈ D, ∀y ∈ D0 : |g(y) − H| 6 |g(y) − h(x, y)| +383
+ |h(x, y)− f(x)|+ |f(x)−H| < 3ε. Значит, limDg(y) = H.384
Замечание. Необходимым и достаточным (для существования и равенства повторных пределов385
limBf(x) и lim
Dg(y)) является также условие386
∀ε > 0 ∃D ∈ D ∀y ∈ D ∃By ∈ B ∀x ∈ By : |h(x, y)− f(x)| < ε.387
Определение. Функциональной последовательностью fn на множестве E будем называть после-388
довательность определённых на E функций fn(x).389
Будем считать все функции действительнозначными или комплекснозначными на E.390
Функциональным рядом∞∑k=1
fk на множестве E будем называть ряд из определённых на E дей-391
ствительных или комплексных функций.392
Определение. Функциональная последовательность (ряд) сходится в x, если все члены последо-393
вательности (ряда) определены в этой точке и числовая последовательность fn(x) (ряд∞∑k=1
fk(x))394
сходится.395
Функциональная последовательность (ряд) сходится на множестве E, если она(он) сходится в396
каждой точке E.397
Определение. Функциональная последовательность fn сходится равномерно на множестве E к398
функции f , если fn и f опр. на E и ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀x ∈ E : |fn(x)− f(x)| < ε.399
Ряд∞∑k=1
fk(x) сходится равномерно к функции S(x), если fn и S опр. на E и последовательность400
частичных сумм ряда Sn(x) сходится равномерно к S(x) на E.401
15
Лекция 9 07.10.08402
Определение. Функциональная последовательность (ряд) сходится в x, если все члены последо-403
вательности (ряда) определены в этой точке и числовая последовательность fn(x) (ряд∞∑k=1
fk(x))404
сходится.405
Функциональная последовательность (ряд) сходится на множестве E, если она(он) сходится в406
каждой точке E.407
Определение. Функциональная последовательность fn сходится равномерно на множестве E к408
функции f , если fn и f определены на E и ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀x ∈ E : |fn(x) − f(x)| < ε.409
Эквивалентно: supE|fn(x)− f(x)| −−−−→
n→∞0.410
Функциональный ряд∞∑k=1
fk(x) сходится равномерно на множестве E к функции S(x), если fn411
и S опр. на E и последовательность частичных сумм ряда Sn(x) сходится равномерно к S(x) на E.412
Пишут fn(x)E⇒
n→∞f(x).413
Определение. Последовательность функций fn удовлетворяет условию Коши равномерной сходи-414
мости на E, если fn определены на E и ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N ∀x ∈ E : |fn(x)− fm(x)| < ε.415
Теорема 9.1 (Критерий Коши равномерной сходимости). Функциональная последовательность416
Sn сходится равномерно на E ⇐⇒ она удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости на417
E.418
Доказательство. Необходимость. Если fn(x)E
⇒n→∞
f(x), то ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀x ∈ E : |fn(x)−f(x)| < ε2 .419
Тогда ∀n,m > N ∀x ∈ E : |fn(x)− fm(x)| = |fn(x)− f(x)|+ |f(x)− fm(x)| < ε.420
Достаточность. Если fn удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости на E, то fn(x)421
сходится в каждой точке x ∈ E, так как в каждой точке E последовательность удовлетворяет усло-422
вию Коши обычной числовой последовательности. Пусть f(x) = limn→∞
fn(x) при x ∈ E. Докажем, что423
сходимость к этой функции равномерная. Имеем ∀ε > 0 ∃N∀m,n > N ∀x ∈ E : |fn(x)− fm(x)| < ε.424
Устремим m к ∞, тогда ∀n > N ∀x ∈ E : |fn(x)− f(x)| 6 ε. �425
Следствие 9.1.1 (Критерий Коши равномерной сходимости ряда). Функциональный ряд∞∑k=1
fk426
сходится равномерно на E ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N : ∀n > N ∀p ∈ N : ∀x ∈ E∣∣∣ n+p∑k=n+1
fk(x)∣∣∣ < ε. Или, эквива-427
лентно, ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N ∀x ∈ E :∣∣∣ n∑k=m
fk(x)∣∣∣ < ε.428
Доказательство. Первая запись означает, что |Sn+p(x)− Sn(x)| < ε. Ясно. Насчёт второй всё429
тоже ясно. �430
Свойства равномерной сходимости.431
1. Если fn(x)E⇒
n→∞f(x), F ⊂ E, то fn(x)
F⇒
n→∞f(x).432
2. Если fn(x)E
⇒n→∞
f(x), α ∈ R, то αfn(x)E
⇒n→∞
αf(x) (аналогично для рядов). Если fn(x)E
⇒n→∞
f(x),433
gn(x)E
⇒n→∞
g(x), то fn(x) + gn(x)E
⇒n→∞
f(x) + g(x) (аналогично для рядов).434
Доказываются честно по определению. Самому это написать не составляет никакого труда.435
3. Если fn(x)E
⇒n→∞
f(x), g(x) ограничена на E, то g(x)fn(x)E
⇒n→∞
g(x)f(x). Аналогично: если ряд436
∞∑k=1
fk(x) сход. равномерно на E и S(x) — его сумма, g(x) ограничена на E, то ряд∞∑k=1
g(x)fn(x)437
сходится равномерно на E и g(x) · S(x) — его сумма.438
Доказывается также честно по определению (используется оценка g(x) < supEg(x)).439
Признаки равномерной сходимости.440
1 (Вейерштрасса). Пусть на E задан функциональный ряд∞∑k=1
fk(x) и существует такой схо-441
дящийся числовой ряд∞∑k=1
αk, то ∀x ∈ E : |fk(x)| 6 αk. Тогда функциональный ряд∞∑k=1
сходится442
равномерно на E.443
16
Доказательство.444
Ряд∞∑k=1
αk сходится, значит, ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N : |m∑k=n
αk| < ε. Так как ∀x ∈ E |fk(x)| 6 αk,445
то ∀n,m > N ∀x ∈ E :∣∣∣ m∑k=n
fk(x)∣∣∣ 6 m∑
k=n
αk < ε, то есть выполнено условие Коши равномерной446
сходимости на E.447
2 (Дини). Пусть fn — последовательность непрерывных функций на компакте K в некотором448
метрическом пространстве, f(x) — непрерывная функция на K и |fn(x) − f(x)| −−−−→n→∞
0 монотонна449
в каждой точке x ∈ K. Тогда fn(x)K⇒
n→∞f(x).450
Доказательство.451
Возьмём любое ε > 0 и пусть Fn = {x ∈ K : |fn(x)− f(x)| > ε}.Это замкнутые подмножества K.452
F1 ⊃ F2 ⊃ . . .,∞⋂n=1
Fn = ∅. Положим Gn = M \ Fn, где M — метрическое пространство, Gn — откры-453
тое множество,∞⋃n=1
Gn = M ⊃ K. Выберем подпокрытие K Gn1 , . . . , Gnm . Пусть n = maxn1, . . . , nm.454
Так как G1 ⊂ G2 ⊂ . . ., то Gn ⊃ K, то есть Fn = ∅, то есть ∀x ∈ K : |fn(x) − f(x)| < ε. Тогда455
∀n > n ∀x ∈ K : |fn(x)− f(x)| 6 |fn(x)− f(x)| < ε. То есть fn(x)K⇒
n→∞f(x).456
Пример. xn на [0, 1) монотонно стремится к 0, но не равномерно. xn на [0, 1] монотонно стремится457
к ξ{1}(x). Равномерной сходимости тоже нет. �458
3 (Лейбница). Пусть на множестве E дан функциональный ряд∞∑k=1
fk(x), члены которого459
действительные функции на E и в каждой точке x ∈ E образует знакопеременную последователь-460
ность, |fn(x)|E
⇒n→∞
0 монотонно. Тогда ряд сходится равномерно на E и если S(x) — его сумма, то461 ∣∣∣ n∑k=1
fk(x)− S(x)∣∣∣ =
∣∣∣Sn(x)− S(x)∣∣∣ 6 |fn+1(x)| 6 |fn(x)| в каждой точке E.462
Доказательство. В каждой точке x ∈ E ряд∞∑k=1
fn — ряд Лейбница (знакочередующийся ряд,463
члены которого по модулю монотонно стремится к 0). Тогда ряд сходится в каждой точке x ∈ E,464
пусть S(x) — его сумма, по признаку Лейбница для числовых рядов |Sn(x)− S(x)| 6 |fn+1(x)|E
⇒n→∞
0,465
то есть supx∈E|Sn(x)− S(x)| −−−−→
n→∞0. �466
17
Лекция 10 10.10.08467
4. Признак Абеля468
Пусть функциональный ряд∞∑k=1
uk(x) сходится равномерно на E, vn(x) и∞∑k=1
|vk − vk+1| ограни-469
чены на E. Тогда функциональный ряд∞∑k=1
uk(x) · vk(x) сходится равномерно на E.470
Определение. Система функций {fλ(x)}λ∈Λ равномерно ограничена на E (ограничена в совокуп-471
ности), если все функции системы определены на E и supλ∈Λ,x∈E
|fλ(x)| < +∞ (или ∃C ∀λ ∈ Λ ∀x ∈ E :472
|fλ(x)| < C).473
5. Признак Дирихле474
Если частичные суммы функционального ряда∞∑k=1
uk(x) равномерно ограничены на E, vk(x)E⇒k→∞
0475
и ряд∞∑k=1
|vk(x)− vk+1(x)| равномерно сходится на E, то функциональный ряд∞∑k=1
uk(x) · vk(x) схо-476
дится равномерно на E.477
Доказательство.n+p∑k=n+1
uk(x)vk(x) =p∑j=1
un+j(x)vn+j(x) =p−1∑j=1
(Un+j − Un) (vn+j−vn+j+1)+(Un+p − Un) vn+p,478
где Uk =k∑j=1
uj .479
∣∣∣ n+p∑k=n+1
uk(x)vk(x)∣∣∣ 6 sup
16j<p|Un+j(x)− Un(x)| ·
p−1∑j=1
|vn+j(x)− vn+j+1(x)|
+ |Un+p(x)− Un(x)| ·
(v1(x) +
n+p−1∑k=1
(vk+1(x)− vk(x))
)
6 sup16j<p
|Un+j(x)− Un(x)| ·
(|v1(x)|+ 2
n+p∑k=1
|vk(x)− vk+1(x)|
)6 C · sup
16j6p|Un+j(x)− Un(x)| .
В признаке Абеля ф.р. сходится равномерно: ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀p ∈ N ∀x ∈ E : |Un+p(x)−Un(x)| < ε.480
Тогда ∀n > N ∀p ∈ N ∀x ∈ E :∣∣∣ n+p∑k=n+1
uk(x) · vk(x)∣∣∣ 6 C · ε.481 ∣∣∣ n+p∑
k=n+1
uk(x)vk(x)∣∣∣ 6 2 · sup
k∈N,x∈E|Uk(x)| ·
p−1∑j=1
|vn+j(x)− vn+j+1(x)|+ 2 supk∈N,x∈E
|Uk(x)| · vn+p(x).482
Признак Дирихле:
∀ε > 0 ∃N1 ∀n > N1 ∀x ∈ E : |vn(x)| < ε
∃N2 ∀n > N2 ∀p ∈ N ∀x ∈ E :n+p∑j=n+1
|vj(x)− vj+1(x)| < ε.
Тогда ∀n > max{N1, N2} ∀p ∈ N ∀x ∈ E :∣∣∣ n+p∑k=n+1
uk(x) · vk(x)∣∣∣ 6 4 sup
k∈N,x∈E|Uk(x)| · ε = C · ε. �483
На этом с признаками мы закончили. . .484
Перестановка пределов.485
Теорема 10.1. Пусть B — база в множестве, B ∈ B и fk(x)B
⇒k→∞
f(x), для каждого k ∈ N существу-486
ет limBfk(x) = bk. Тогда ∃ lim
Bf(x) = lim
k→∞bk (то есть lim
Blimk→∞
fk(x) = limk→∞
limBfk(x)).487
Доказательство. Воспользуемся критерием Маркова—Гордона. Были h(x, y), f(x) = limDh(x, y),488
g(y) = limBh(x, y). ∀ε > 0 ∃N ∀k > N∃B ∈ B ∀x ∈ B : |fk(x) − f(x)| < ε. В качестве B возьмём B.489
18
∀ε > 0 ∃B ∈ B ∀x ∈ B ∃N ∀k > N : |fk(x) − bk| < ε. ∀ε > 0 ∃N ∀k > N ∀x ∈ B : |fk(x) − f(x)| < ε.490
Или ∀n,m > N ∀x ∈ B : |fn(x)− fm(x)| < 2ε. Фикс. m > N . Тогда ∃B ∈ B : ∀x ∈ B|fn(x)− bn| < ε.491
∀ε > 0 ∃B ∈ B ∀x ∈ B ∃N ∀k > N : |fk(x)−bk| 6 |fk(x)−fn(x)|+|fn(x)−bn|+|bn−bk| < 2ε+ε+2ε = 5ε.492
Всё ОК.493
Теорема 10.2. Пусть E — множество в метрическом пространстве, fk(x)E
⇒k→∞
f(x), a— предельная494
точка E, для каждого k ∈ N существует limE3x→a
f(x) = limk→∞
bk.495
Теорема является следствием из предыдущей.496
Пример. E = [0, 1), a = 1, fk(x) = xk. limk→∞
xk = 0, x ∈ [0, 1). limx→1−0
xk = 1. limk→∞
limx→1−0
xk = 1,497
limx→1−0
limk→∞
xk = 0 6= 1. �498
19
Лекция 11 14.10.08499
Теорема 11.1 (о перестановке пределов). Если fkE
⇒k→∞
f , где E — подмножество метрического500
пространства, a— предельная точка E, ∀k ∈ N ∃ limE3x→a
fk(x) = bk, то limE3x→a
f(x) = limk→∞
bk.501
Следствие 11.1.1. Если fkE
⇒k→∞
f , где E — подмножество метрического пространства, все fk непре-502
рывны в точке a ∈ E, то f непрерывна в точке a по E.503
Следствие 11.1.2. Если fkE⇒k→∞
f , где E — подмножество метрического пространства, и все fk504
непрерывны на E, то f непрерывна на E.505
Определение. Пусть K— компакт в некотором метрическом пространстве. Через C(K) будем обо-506
значать множество непрерывных на K функций с нормой ‖f‖ = maxK|f(x)|.507
Следствие 11.1.3. C(K) — полное нормированное пространство (над R или C), сходимость в кото-508
ром эквивалентна равномерной сходимости.509
Доказательство. Очевидно, что норма введена корректно.510
Про сходимость: fk −−−−→k→∞
f(по метр.) означает, что ‖fk − f‖ = maxK|fk(x)− f(x)| −−−−→
k→∞0, что и511
означает, что fkK⇒k→∞
f .512
Если fk — последовательность Коши, то ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N : ‖fn−fm‖ = maxK|fn(x)−fm(x)| <513
< ε, то есть выполнен критерий Коши равномерной сходимости fk на K, то есть ∃f ∈ C(K), что514
fk −−−−→k→∞
f (по метр. C(K)). �515
Теорема 11.2 (О перестановке предела и суммы). Если ряд∞∑k=1
uk(x) сходится равномерно516
на E к S(x) (где E — подмножество метрического пространства), a— предельная точка E и ∀k ∈ N517
существует limE3x→a
uk(x) = bk, то limE3x→a
S(x) =∞∑k=1
bk.518
Следствие 11.2.1. Если ряд∞∑k=1
uk(x) сходится равномерно на E к S(x), где E — подмножество519
метрического пространства, все uk(x) непрерывны в точке a ∈ E по E, то и S(x) непрерывна в520
точке a по E.521
Следствие 11.2.2. Если∞∑k=1
uk(x) сходится равномерно на E к S(x), где E — подмножество метри-522
ческого пространства, все uk непрерывны на E, то S(x) непрерывна на E.523
Теорема 11.3 (о перестановке предела и диф.). Пусть fk — последовательность дифференци-524
руемых функций на ограниченном I, f ′k(x) сходится равномерно на I, а fk(x) сход. хотя бы в одной525
точке I.526
Тогда существует такая диф. функция f на I, что fkI⇒k→∞
f , а f ′kI⇒k→∞
f ′.527
Доказательство. ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N : 1)|fn(x0) − fm(x0)| < ε, где x0 — точка I, в которой528
сходится последовательность fk(x), 2) ∀x ∈ I : |f ′n(x)− f ′m(x)| < ε.529
∀x ∈ I ∀n,m > N : |fn(x) − fm(x)| 6 |fn(x) − fm(x) − (fn(x0) − fm(x0))| + |fn(x0) − fm(x0)| =530
= |(f ′n(c) − f ′m(c))(x − x0)| + |fn(x0) − fm(x0)| < ε · |I| + ε = (|I| + 1) · ε = C · ε. Выполнено условие531
Коши равномерной сходимости fk на I, существует f : fk(x)I⇒k→∞
f(x).532
Возьмём любую точку x ∈ I и докажем, что существует f ′(x) и f ′k(x) −−−−→k→∞
f ′(x). Рассмотрим533
последовательность функций ϕk(t) = fk(t)−fk(x)t−x на I \{x}. Докажем, что ϕk(t) сходится равномерно534
на I \ {x}. ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N ∀x ∈ I : |f ′n(x)− f ′m(x)| < ε. Тогда ∀n,m > N ∀t ∈ I \ {x} : |ϕn(t)−535
− ϕm(t)| =∣∣∣ fn(t)−fm(t)−(fn(x)−fm(x))
t−x
∣∣∣ = |f ′n(c)− f ′m(c)| < ε, где c— между t и x.536
По теореме перестановки пределов: limI3t→x
limk→∞
ϕk(t) = f ′(x) = lim k →∞ limI3t→x
ϕx(t) = limk→∞
f ′k(x).�537
20
Теорема 11.4 (о перестановке суммы и дифф.). Пусть дан ряд∞∑k=1
uk(x) на ограниченном про-538
межутке I, uk(x) дифференцируемы на I и ряд∞∑k=1
u′k(x) сходится равномерно на I, а начальный539
ряд сходится хотя бы в одной точке I. Тогда ряд∞∑k=1
uk(x) сходится равномерно на I, его сумма540
S(x) дифференцируема на I и S′(x) =∞∑k=1
u′k(x) на I541
Теорема 11.5 (о перестановке предела и интеграла). Пусть fk(x)[a,b]
⇒k→∞
f(x) и все fk(x) ∈ R[a, b]542
(∈ H[a, b]). Тогда f(x) ∈ R[a, b] (∈ H[a, b]) и∫ baf(x) dx = lim
k→∞
∫ bafk(x) dx.543
Доказательство. ∀ε > 0 ∃N ∀k > N ∀x ∈ [a, b] : |fk(x)− f(x)| < ε. Фиксируем k > N . Тогда ∃δ > 0544
(масштаб δ(x) на [a, b]), что ∀ отмеченного разбиения π = {(∆i, ξi)} (ξi ∈ ∆i) мельче δ (согласованное545
с δ(x)) выполнено |σ(fk, π)−∫ bafk(x) dx| < ε.546
Тогда ∀ отмеченного разбиения T = {(∆i, ξi)} мельче δ (согласованное с δ(x)) выполнено∣∣∣σ(f,T)−547
− limk→∞
∫ bafk(x) dx
∣∣∣. ∀n, ,m > N :∣∣∣∫ ba fn(x) dx−
∫ bafm(x) dx
∣∣∣ =∣∣∣∫ ba (fn(x)− fm(x)) dx
∣∣∣ < ∫ ba
2ε dx =548
= 2(b− a) · ε, посл.∫ bafk(x) dx— последовательность Коши и сущ. lim
k→∞
∫ bafk(x) dx.549
Тогда ∀ отм. разб. T = {(∆i, ξi)} мельче δ (соглас. с δ(x)) выполнено: |σ(f,T)− limk→∞
∫ bafk(x) dx| 6550
6 |σ(f,T)−σ(fk,T)|+|σ(fk,T)−∫ bafk(x) dx|+|
∫ bafk(x) dx− lim
k→∞
∫ bafk(x) dx| <
∣∣∣∣∑i
(f(ξi)− fk(ξi)) · |∆i|∣∣∣∣+551
+ ε+ 2(b− a) 6 (b− a) · ε+ ε+ 2(b− a)ε = C · ε. �552
21
Лекция 12 14.10.08553
Теорема 12.1 (о перестановке суммы и интеграла). Пусть ряд∞∑k=1
uk(x) сходится равномер-554
но на [a, b] и S(x) — его сумма, все uk(x) ∈ R[a, b] (∈ H[a, b]), тогда сумма S(x) ∈ R[a, b] (∈ H[a, b]) и555 ∫ baS(x) dx =
∞∑k=1
∫ bauk(x) dx.556
Определение. Множество P в метрическом пространстве называется предкомпактом, если ∃ ком-557
пакт K ⊃ P .558
Теорема 12.2. Множество P является предкомпактом ⇐⇒ замыкание P , P (наим. замкнутое559
множество, содержащее P ) является компактом.560
Доказательство. P =⋂F⊃P
F , F — замкнутое. Достаточность следует из определения. Необходи-561
мость: если K — компакт, K ⊂ P , тоP ⊂ K иP — компакт как замкнутое подмножество компакта.�562
Определение. Пусть E и D— множества в метр. пр-ве. Пусть ε > 0, множество D является ε –563
сетью для E, если ∀x ∈ E ∃y ∈ D : ρ(x, y) 6 ε.564
ε–сеть D (для E) является конечной, если D— конечное множество.565
Теорема 12.3. Если для некоторого ε > 0 множество E имеет конечную ε–сеть {xk}nk=1, то E —566
огр. множество.567
Доказательство. Если E = ∅, то утв. верно. Если E 6= 0, то ∃y ∈ E, пусть R = ε+ max16k6n
ρ(y, xk),568
тогдаBR(y) ⊃ E. �569
Определение. Множество E (в метрическом пространстве) называется вполне ограниченным, ес-570
ли ∀ε > 0 существует кон. ε–сеть E.571
Теорема 12.4 (критерий компактности Хаусдорфа). Множество P в полном метр. пр-ве пред-572
компактно ⇐⇒ оно вполне ограничено, а компактно ⇐⇒ оно вполне ограничено и замкнуто.573
Доказательство. Второе утверждение следует из первого. Пусть P — компакт, тогда P — предком-574
пакт, то по утв. 1 P вполне ограничена, а также замкнуто.575
Если P вполне ограничено и замкнуто, то по утверждению 1 P — предкомпакт, а тогдаP = P —576
компакт.577
Доказательство первого факта: Если P — предкомпакт, то P — компакт, из покрытия P опр.578
множествами Bε(x), x ∈ M можно выбрать конечное подпокрытиеP {Bε(xk)}nk=1, тогда {xk}nk=1 —579
ε–сеть P , а значит, и P, следовательно, P вполне ограничено.580
Достаточность: Пусть P — вполне ограниченное множество в полном метрическом пространстве.581
Докажем, чтоP — компакт. Предположим, чтоP не компакт, то есть существует покрытиеP откры-582
тыми множествами {Gλ}λ∈Λ, из которого нельзя выделить кон. подпокрытие.583
Существует {x1k}nk=1, что
⋃k
B1(x1k) содержит P , а значит, и P . Из множеств P ∩B1(x1
k) хотя бы584
одно не имеет конечного подпокрытия (из Gλ). ∃{x2k}∞k=1, что
⋃k
B 12(x2k) содержит P , а, значит, и585
P∩B1(x1k1
) (которое не имеет конечного подпокрытия). Из множествP∩B1(x1k1
)∩B 12(x2k) хотя бы одно586
не имеет конечного подпокрытия, обозначим егоP∩B1(x1k1
)∩B 12(x2k2
). ρ(x1k1, x2k2
) < 1+ 12 . Продолжим587
эту деятельность (каждый следующий радиус в два раза меньше предыдущего). ρ(xi−1ki−1
, xiki) 6588
6 12i−2 + 1
2i−1 .589
{xiki}— последовательность Коши. Поскольку пространство полно, то она сходится. Пусть x0 —590
её предел. x0 — предельная точка P , то есть x0 ∈ P , а также всем множествам P ∩( n⋂i=1
B2−i(xiki)).591
∃Gλ 3 x0, а значит ∃Bδ(x0) ⊂ Gλ ∃n ∈ N : ρ(xnkn , x0) < δ2 и 2−n+1 < δ
2 .592
ТогдаP ∩(
n⋂i=1
B2−i+1(xiki))⊂ Bδ(x0) ⊂ Gλ, что противоречит тому, что это множество не имеет593
конечного подпокрытия Gλ. Значит,P — компакт.594
22
Лекция 13 17.10.08595
Лемма 13.1. Если множество E в метрическом пространстве имеет конечную ε–сеть, то E имеет596
конечную 2ε–сеть, состоящую из элементов E.597
Доказательство. Пусть {xk}nk=1 — ε–сеть E. Если Bε(xk) ∩ E 6= ∅, то возьмём вместо xk эл-т598
yk ∈ Bε ∩ E. А если Bε(xk) ∩ E = ∅, то его можно выкинуть. Получим 2ε–сеть, состоящую из599
элементов E. �600
Определение. Система функций {fλ}λ∈Λ на множестве E равностепенно непрерывна на E, если601
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ E, ρ(x, x′) < δ ∀λ ∈ Λ: |fλ(x)− fλ(x′)| < ε.602
Теорема 13.1 (Арцеля–Асколи). Пусть C(K) — пространство непрерывных действ. (или компл.)603
функции на компакте K с нормой ‖f‖ = maxx∈K|f(x)|. Семейство функций Φ = {fλ}λ∈Λ ⊂ C(K)604
предкомпактно ⇐⇒ Φ равномерно ограниченно и равностепенно непрерывно.605
Доказательство.606
Необходимость. Пусть ϕ предкомпактно. Тогда ϕ вполне ограничено по теореме Хаусдорфа. Зна-607
чит, ограничено в C(K), то есть ∃D > 0, что ∀fλ ∈ Φ: ‖fλ‖ 6 D, то есть ∀fλ ∈ Φ ∀x ∈ K : |fλ(x)| 6 D,608
то есть Φ равномерно ограниченно.609
Теперь покажем, что оно равностепенно непрерывно. Возьмём любое ε > 0 и найдём некоторую610
ε–сеть {gk}nk=1 ∈ C(K) семейства Φ. Так как gk непрерывна на компакте K, то ∃δk > 0 ∀x, x′ ∈ K,611
ρ(x, x′) < δk : |gk(x) − gk(x′)| < ε (gk равномерно непрерывна на K). Положим δ = min16k6n
δk. Тогда612
∀fλ ∈ Φ ∃gk, 1 6 k 6 n, что ‖fλ−gk‖ 6 ε, то есть max |fλ(x)−gk(x)| 6 ε. Тогда ∀x, x′ ∈ K, ρ(x, x′) < δ :613
|fλ(x)− fλ(x′)| 6 |fλ(x)− gk(x)|+ |gk(x)− gk(x′)|+ |gk(x′)− fλ(x′)| < 3ε.614
Достаточность. Пусть Φ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Построим ε–сеть.615
Возьмём любое ε > 0 и, пользуясь равностепенной непрерывностью найдём такое δ > 0, что616
∀x, x′ ∈ K, ρ(x, x′) 6 δ ∀fλ ∈ Φ: |fλ(x) − fλ(x′)| < ε. Так как K — компакт, то найдётся конеч-617
ная δ–сеть {xk}nk=1. Рассмотрим отображение Φ в Rn (или Cn): fλ −→ (fλ(x1), . . . , fλ(xn)). Так618
как Φ равномерно ограничено, то образ ϕ в Rn (Cn) — ограниченное множество, а, значит, предком-619
пакт в Rn (или Cn). Существует конечная ε–сеть {fm(x1), . . . , fm(xn)}Mm=1, fm ∈ Φ. Тогда ∀fλ ∈ Φ620
∃fm : ρ((fλ(x1), . . . , fλ(xn)), , (fm(x1), . . . , fm(xn))
)< ε, то есть
√n∑k=1
|fλ(xk)− fm(xk)|2 < ε. Значит,621
∀k, 1 6 k 6 n, |fλ(xk) − fm(xk)| < ε. ‖fλ − fm‖ = maxx∈K|fλ(x) − fm(x)|. ∀x ∈ K ∃xk : ρ(x, xk) 6 δ.622
|fλ(x)− fm(x)| 6 |fλ(x)− fλ(xk)|+ |fλ(xk)− fm(xk)|+ |fm(xk)− fm(x)| < 3ε. �623
Следствие 13.1.1. Если fk — последовательность действительных или комплексных функций на624
компакте. которая равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, то из неё можно выбрать625
равномерно сходящуюся на K подпоследовательность.626
Степенные ряды.627
Определение. Степенным ряд называется ряд∞∑k=0
ck(z−z0)k, где ck, z0 — комплексные числы, z —628
комплексная переменная. Обозначением z − z0 за w изучение исходного ряда сводится к изучению629∞∑k=0
ckwk.630
Теорема 13.2 (Коши–Адамара). Пусть дан степенной ряд∞∑k=0
ckwk. Тогда существуетR ∈ [0,+∞],631
что ряд сходится абсолютно в круге BR = {w ∈ C : |w| < R} и расходится в точках {w ∈ C : |w| > R}632
и R = 1
limk→∞
k√|Ck
(где 10 = +∞, 1
+∞ = 0). R называют радиусом сходимости, круг BR — кругом схо-633
димости степенного ряда∞∑k=0
ckwk.634
Доказательство. Степенной ряд∞∑k=0
ckwk сходится абсолютно, если lim
k→∞k√|ckwk| < 1 (по крите-635
рию Коши.) limk→∞
k√|ckwk| = |w| · lim
k→∞k√|ck| < 1, то есть |w| < 1
limk→∞
k√|ck|
. Если limk→∞
k√|ckwk| > 1, то636
члены ряда не стремятся к 0 и ряд расходится, то есть ряд расходится при |w| · limk→∞
k√|ck| > 1, или637
при |w| > 1
limk→∞
k√|ck
. �638
23
Замечание. Если существует limk→∞
∣∣∣ ckck+1
∣∣∣, то он равен R— радиусу сходимости.639
Доказательство. По признаку Д’Аламбера если limk→∞
∣∣∣ ckwk
ck+1wk+1
∣∣∣ > 1, то ряд абс. сходится, то есть640
если limk→∞
∣∣∣ ckck+1
∣∣∣ > |w|, то ряд абсолютно сходится. А если limk→∞
∣∣∣ ckck+1
∣∣∣ < 1, то члены ряда не стремятся641
к 0 и ряд расходится, то есть если limk→∞
∣∣∣ ckck+1
∣∣∣ < |w|, то ряд расходится. �642
Теорема 13.3. Пусть дан степенной ряд∞∑k=0
ckzk, R— его радиус сходимости. Если r < R, то ряд643
сходится равномерно на кругеBr(0) = {z ∈ C : |z| 6 r}.644
Доказательство. Ряд∞∑k=0
ckrk сход. абсолютно, то есть сход. ряд
∞∑k=0
|ck|rk. По признаку Вейер-645
штрасса ряд∞∑k=0
ckzk сходится равномерно наBr(0). �646
Следствие 13.3.1. Сумма степенного ряда непрерывна внутри круга сходимости BR(0).647
Доказательство. ∀z, |z| < R найдётся r > 0, то |z| < r < R. Сумма степенного ряда непрерывна648
наBr(0), а значит, непрерывна в точке z. �649
Следствие 13.3.2. Степенной ряд сходится равномерно на любом компакте из круга сходимости650
BR(0).651
Доказательство. BR(0) =∞⋃n=1
BR− 1n
(0), если K— компакт из BR(0), то он имеет конечное подпо-652
крытие этими кругами, а, значит, принадлежит одному из них. То есть, нашли круг, на котором653
сходимость равномерна. Значит, и на компакте всё хорошо. �654
24
Лекция 14 21.10.08655
(перепечатана с конспекта)656
Теорема 14.1. Сумма степенного ряда∞∑k=0
ckzk непрерывна на круге сходимостиBR(0) = {z ∈ C : |z| < R},657
где R— радиус сходимости.658
Теорема 14.2 (Абеля). Если степенной ряд∞∑k=1
ckzk сходится в точке z0, то он сходится абсолютно659
в любой точке z, |z| < |z0| и сходится равномерно на любом кругеBr(0) = {x ∈ C : |z| 6 r}, r < |z0|.660
Теорема 14.3 (о дифференцировании степенного ряда). Пусть дан степенной ряд∞∑k=0
ckzk.661
Тогда почленно продифференцированный степенной ряд∞∑k=1
ckkzk−1 имеет тот же радиус сходи-662
мости, что и начальный ряд, и, если R > 0, то сумма степенного ряда∞∑k=1
ckkzk−1 внутри круга663
сходимости — комплексная производная суммы начального ряда.664
Доказательство. R = 1limk→∞
k√ck
. Радиус сходимости∞∑k=0
ckkzk равен 1
limk→∞
t√k|ck|
= 1
limk→∞
k√k· limk→∞
k√ck
= R.665
Ряды∞∑k=1
ckkxk−1 и
∞∑k=0
ckkzk имеют одинаковый радиус сходимости. Пусть S(z) =
∞∑k=0
ckzk,666
|z0| < R. Возьмём ε > 0: |z0|+ε < R. Пусть z = z0+Δz, |Δz| < R. Тогда S(z)−S(z0) =∞∑k=0
ck(zk−zk0 ).667
Поскольку an − bn = (a − b) ·n−1∑k=0
akbn−k−1, то ΔS = S(z) − S(z0) =∞∑k=1
ck(z − z0)k−1∑m=0
zmzk−m−10 .668 ∣∣∣ k−1∑
m=0zmzk−m−1
0
∣∣∣ 6 k(|z0|+ ε)k−1. ΔSΔz =
∞∑k=1
ckk−1∑m=0
zmzk−m−10 , 0 < |Δz| < ε.669
Ряд∞∑k=1
|ck|k(|z0|+ε
)k−1 сходится (так как |z0|+ε < R), поэтому по признаку Вейерштрасса ряд670
∞∑k=1
ckk−1∑m=0
zmzk−m−10 сходится равномерно. В круге |Δx| = |z − z0| < ε, поэтому lim
Δz→0
ΔfΔz =
∞∑k=1
ck×671
× limΔz→∞
k−1∑m=0
zmzk−m−1 =∞∑k=1
ckkzk−10 . �672
Следствие 14.3.1. Сумма степенного ряда бесконечно дифференцируема внутри круга сходимо-673
сти.674
Теорема 14.4 (об интегрировании степенного ряда). Пусть дан степенной ряд∞∑k=0
ck(z−z0)k675
и [a, b] ⊂ R ∩ BR(z0), где R— радиус сходимости. Тогда ряд интегрируем по Риману на [a; b] и676 ∫ ba
∞∑k=0
ck(z − z0)k dz =∞∑k=0
ck∫ ba
(z − z0)k dz.677
Теорема 14.5 (Абеля). Если степенной ряд∞∑k=0
ckzk сходится в точке z0, то он сходится равно-678
мерно на отрезке [0, z0] = {z : z = tz0, 0 6 t 6 1}.679
Доказательство. Ряд∞∑k=0
ckzk0 сходится, tk на [0; 1] ограничена последовательностью с ограничен-680
ной вариацией, то есть по признаку Абеля ряд∞∑k=0
cktkzk0 сходится равномерно при t ∈ [0; 1]. �681
Следствие 14.5.1. Если степенной ряд∞∑k=0
cktk сходится в точке z0, то lim
t→1−0
∞∑k=0
cktkzk =
∞∑k=0
ckzk0 .682
Далее следует несколько примеров, которые я позволю себе пропустить.683
Теорема 14.6 (единственности). Если степенной ряд∞∑k=0
akzk и
∞∑k=0
bkzk имеют ненулевые ради-684
усы сходимости и их суммы равны ы точках zk −−−−→k→∞
0, zk 6= 0, то ak = bk при всех k = 0, 1, 2, . . ..685
25
Доказательство. a0 = limm→∞
∞∑k=0
anzkm = lim
m→∞
∞∑k=0
bkzkm = b0. Ряды
∞∑k=1
akzk−1 и
∞∑k=1
bkzk−1 совпада-686
ют в точках zm,m = 1, 2, . . ., значит, a1 = b1 и так далее. �687
Теорема 14.7. Степенной ряд∞∑k=0
ckzk с ненулевым радиусом сходимости является рядом Тейлора688
своей суммы.689
Доказательство. S(n)(0) = cn · n!. То есть, cn = S(n)(0)n! . �690
26
Лекция 15 24.10.08691
Определение. Пусть f(x, y) отображает X × Y в R (или в C), Y — подмножество нек. метр. про-692
странства, y0 — предельная точка Y . Если в точке x ∈ X существует предел limY 3y→y0
f(x, y) = g(x),693
то говорят, что в точке x существует предельная функция g(x) (при Y 3 y → y0). Если предел694
существует в каждой точке x ∈ X, то говорят, что f(x, y) поточечно сходится на X к g(x) (при695
Y 3 y → y0).696
Говорят, что f(x, y) равномерно на X стремится к g(x) при Y 3 y → y0, если ∀ε > 0 ∃δ > 0697
∀y ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∀x ∈ X : |f(x, y)− g(x)| < ε, или, эквив., supx∈X|f(x, y)− g(x)| −−−−−−→
Y 3y→y00.698
Обозначение: f(x, y)X⇒
Y 3y→y0g(x).699
Функция f(x, y) равномерно сходится при Y 3 y → y0, если ∃g(x) на X, что f(x, y)X
⇒Y 3y→y0
g(x).700
Из равномерной сходимости следует поточечная сходимость. Равномерная сходимость последова-701
тельности является частным случаем: пусть Y = N ⊂ R, ρ(x, y) = arctg |x−y| (или ρ(x, y) = |x−y|1=|x−y| ).702
Все свойства метрики проверяются.703
Теорема 15.1 (Критерий равномерной сходимости).704
f(x, y)X⇒
Y 3y→y0g(x) ⇐⇒ ∀{yn}∞n=1 ⊂ Y \ {y0}, yn −−−−→
x→∞y0 : f(x, y0)
X⇒
n→∞g(x) (напоминает определе-705
ние по Гейне).706
Доказательство. Необходимость. Если f(x, y)X
⇒y→y0
g(x), а yn такая последовательность, что707
yn ∈ Y \{y0}, yn −−−−→n→∞
y0, то ∀δ > 0 ∃N ∀n > N : yn ∈ B′δ(y0)∩Y . Тогда ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ Bδ(y0)∩Y708
∀x : |f(x, y) − g(x)| < ε. Тогда имеем, что ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀x ∈ X : |f(x, yn) − g(x)| < ε, то есть709
f(x, yn)X
⇒n→∞
g(x).710
Достаточность. Предположим, что утверждение f(x, y)X
⇒y→y0
неверно. Найдём такую последо-711
вательность {yn}, yn ∈ Y \ {y0}, что f(x, y0) не стремится равномерно к g(x). Напишем, что же это712
означает: ∃ε > 0 ∀δ > 0∃y ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∃x ∈ X : |f(x, y) − g(x)| > ε. Возьмём последовательность713
δn = 1n и найдём такие yn ∈ B′δn(y0) ∩ Y , xn ∈ X : |f(xn, yn) − g(xn)| > ε. Тогда yn ∈ Y \ {y0},714
yn −−−−→n→∞
y0, а f(x, yn) не стремится равномерно на X к g(x), так как |f(xn, yn)− g(xn)| > ε > 0. �715
Теорема очень полезная: позволяет сводить равномерную сходимость функций к равномерной716
сходимости последовательности.717
Определение. Функция f(x, y) (отобр. X × Y в R или в C, Y — подмножество метрического718
пр-в, y— предельная точка Y ) удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости по X при719
Y 3 y → y0, если ∀ε > 0 ∃δ ∀y, y ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∀x ∈ X : |f(x, y)− f(x, y′)| < ε.720
Теорема 15.2 (Критерий Коши равномерной сходимости). Функция f(x, y) равномерно по721
x ∈ X сходится при Y 3 y → y0 ⇐⇒ f(x, y) удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости722
по x ∈ X при Y 3 y → y0.723
Доказательство. Необходимость. Пусть f(x, y)X
⇒Y 3y→y0
g(x). Тогда ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ B′δ(y0)∩Y724
∀x ∈ X : |f(x, y)− g(x) < ε2 . Тогда ∀y, y′ ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∀x ∈ X : |f(x, y)− f(x, y′)| 6 ε.725
Достаточность. Пусть выполнено условие коши равномерной сходимости на X при Y 3 y → y0.726
Тогда ∀x ∈ X выполнено условие Коши существования предела при Y 3 y → y0 f(x, y). Значит,727
этот предел (обозначим его g(x)) существует в каждой точке множества. В силу условия Коши728
равномерной сходимости ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y, y′ ∈ Bdt(yo)∩ Y ∀x ∈ X : |f(x, y)− f(x, y′)| < ε. Перейдём729
к пределу при Y 3 y′ → y0. Тогда ∀y ∈ B′δ(y0) ∩ Y : |f(x, y)− g(x)| 6 ε. �730
Свойства равномерной сходимости.731
1. Если f(x, y)X⇒
Y 3y→y0g(x), X ′ ⊂ X, то f(x, y)
X′
⇒Y 3y→y0
.732
27
2. Если f(x, y)X⇒
Y 3y→y0g(x), ϕ(x) — ограниченная функция на X, то ϕ(x) ·f(x, y)
X⇒
Y 3y→y0ϕ(x) ·g(x).733
Свойство следует из простейшей оценки |ϕ(x)f(x, y)− ϕ(x)g(x)| 6 supX|ϕ| · |f(x, y)− g(x)|.734
3. Если f(x, y)X⇒
Y 3y→y0g(x), h(x, y)
X⇒
Y 3y→y0ψ(x), то f(x, y) ± h(h, y)
X⇒
Y 3y→y0g(x) ± ψ(x). Тоже оче-735
видно.736
Теоремы о перестановке пределов.737
Теорема 15.3. Если f(x, y)X
⇒Y 3y→y0
g(x), X — подмножество метрического пространства, x0 — пре-738
дельная точка X и ∀y ∈ Y ∃ limX3x→x0
f(x, y) = b(y) (∈ R или ∈ C), то ∃ limY 3y→y0
b(y) = limX3x→x0
g(x).739
Доказательство. Возьмём произвольную последовательность yn ∈ Y \ {y0}, yn −−−−→n→∞
y0. Тогда740
f(x, yn)X⇒
n→∞g(x) и ∀n ∈ N ∃ lim
X3x→x0f(x, yn) = b(yn), тогда по теореме о перестановке пределов для741
последовательности существует limn→∞
b(yn) = limX3x→x0
g(x). Так как это верно ∀yn ∈ Y \{y0}, yn → y0,742
то существует limY 3y→y0
b(y) = limX3x→x0
g(x). �743
Следствие 15.3.1. Если f(x, y)X⇒
Y 3y→y0g(x) и все(?) f(x, y) непрерывны в точке x0 ∈ X по множе-744
ству X, то g(x) непрерывна в точке x0 ∈ X по множеству X745
Следствие 15.3.2. Если f(x, y)X
⇒Y 3y→y0
g(x) и все f(x, y) непрерывны на X, то g(x) непрерывна на746
X.747
Теорема 15.4. Если f(x, y), отображающая X × Y в R (или в C) дифференцируема по x при748
каждом y на ограниченном промежутке I и ∂∂xf(x, y) равномерно сходится на I при Y 3 y → y0, а749
f(x, y) сходится хотя бы в одной точке I при Y 3 y → y0, то существует такая дифференцируемая750
на I функция g(x), что f(x, y)I
⇒UY 3y→y0
g(x) и ∂∂xf(x, y)
I
⇒Y 3y→y0
g(x).751
Доказательство. Возьмём произвольную последовательность yn ∈ Y \ {y0}, yn −−−−→n→∞
y0. Тогда752
∂∂xf(x, yn) равномерно сходится при n→∞ на I, а f(x, yn) сходится хотя бы в одной точке I. Тогда753
по аналогичной теореме для последовательности существует такая дифференцируемая функция754
g(x) на I, что f(x, yn)I
⇒n→∞
g(x) и ∂∂xf(x, yn) ⇒
n→∞g′(x). Докажем, что для разных последователь-755
ностей эта функция одна и та же. Если взять последовательность yn ∈ Y \ {y0}, yn −−−−→n→∞
y0,756
y′n ∈ Y \ {y0}, y′n −−−−→n→∞
y0, то последовательность y1, y′1, . . . стремится к y0. По доказанному для757
этой последовательности существует соответствующая функция g(x). Значит, для последовательно-758
сти yn и y′n соответствующая функция g(x) одна и та же. �759
28
Лекция 16 28.10.08760
Теорема 16.1 (об интегрируемости). Пусть f(x, y) отображает [a; b] × Y в R (или в C), Y —761
подмножество метрического пространства, y0 — предельная точка Y , f(x, y)[a;b]
⇒Y 3y→y0
g(x), для любого762
y ∈ Y f(x, y) интегрируема по x на [a, b]в смысле Римана (в смысле Курцвейля–Хенстока). Тогда763
g(x) интегрируема в том же смысле на [a; b] и∫ bag(x) dx = lim
Y 3y→y0
∫ baf(x, y) dx.764
Доказательство. Возьмём любую последовательность yn ∈ Y \{y0}, yn → y0. Тогда f(x, yn)[a,b]
⇒n→∞
g(x),765
по теореме об интегрировании равномерно сходящихся последовательностей функции g(x) интегри-766
руема на [a, b] (по Риману или по Курцвейлю–Хенстоку) и∫ bag(x) dx = lim
n→∞
∫ baf(x, yn) dx. Пользуясь767
определением предела по Гейне, получаем всё, что нужно. То есть,∫ bag(x) dx = lim
Y 3y→y0
∫ baf(x, y) dx.�768
Собственные интегралы с параметром.769
I(y) =∫ b(y)a(y)
f(x, y) dx.770
Теорема 16.2 (о предельном переходе). Пусть f(x, y) отображает [a, b] × Y в R или в C, b(y)771
и a(y) — отображения Y в [A,B] Y — подмножество метрического пространства, y0 — предельная772
точка Y , f(x, y)[A;B]−−−−−−→
Y 3y→y0g(x), lim
Y03y→y0b(y) = b, lim
Y03y→y0a(y) = a. Тогда для любого y ∈ Y f(x, y)773
интегрируема по x на [A,B] по Риману (по К–Х). Тогда g(x) интегрируема в том же смысле на774
[A,B] и limY03y→y0
I(y) = limY03y→y0
∫ b(y)a(y)
f(x, y) dx =∫ bag(x) dx.775
Доказательство.∫ b(y)a(y)
f(x, y) dx =∫ baf(x, y) dx+
∫ aa(y)
f(x, y) dx+∫ b(y)b
f(x, y) dx. Первый интеграл776
по теореме один стремится к∫ bag(x) dx.
∫ aa(y)
=∫ aa(y)
f(x, y)−g(x) dx+∫ aa(y)
g(x) dx. Второй интеграл777
стремится к 0 при Y 3 y → y0 пот теореме о непрерывности интеграла с переменным пределом.778
Разбираемся с первой половиной. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∀x ∈ [A,B] : |f(x, y) − g(x)| < ε.779
∀y ∈ B′δ(y0) ∩ Y∣∣∣∫ aa(y) |f(x, y)− g(x)| dx
∣∣∣ 6 ε(B − A). Значит, первый интеграл тоже стремится к 0.780
То есть, весь интеграл стремится к 0 при Y 3 y → y0. И с другим всё аналогично хорошо. Говорят,781
что всё доказано. �782
Теорема 16.3 (о непрерывности). Пусть f(x, y) — непрерывная функция на [A;B]×Y , Y — ком-783
пакт в Rn, f(x, y) — действительная или комплексная функция, b(y) и a(y) — непрерывные отобра-784
жения Y в [A,B]. Тогда I(y) =∫ b(y)a(y)
f(x, y) dx непрерывна на Y .785
Доказательство. Надо доказать, что ∀y0 — предельной точки Y f(x, y)[A,B]
⇒Y 3y→y0
f(x, y0). [A,B] и786
Y — ограниченные множества, поэтому [A,B]× Y — ограниченное множество в Rn+1. Далее, [A,B]787
и Y — замкнутые множества (в R и в Rn соответственно), поэтому [A,B]×Y — замкнутое множество788
в Rn+1, так как если (x, y) /∈ [A,B]×Y , то либо x, либо y не принадлежат своим множествам. Пусть789
x /∈ [A,B]. Тогда ∃Bδ(x) : Bδ(x) ∩ [A,B] = ε. Тогда Bδ((x, y) ∩ ([A,B] × Y )
)= ∅. Если y /∈ Y , то790
∃Bδ(y) : Bδ(y)∩Y = ∅. Тогда Bdt((x, y)
)∩([a,B]×y) = ∅. Другое, наверное, аналогично. [A,B]×Y —791
компакт в Rn+1.792
Функция f(x, y) непрерывна, а, значит, равномерно непрерывна на [A,B]× Y . Поэтому793
f(x, y)[A;B]−−−−−−→
Y 3y→y0f(x, y0). Вся теорема доказана. �794
Теорема 16.4 (о диф.). Пусть f(x, y) и ∂∂yf(x, y) непрерывны на [A,B] × [C,D], a(y) и b(y) —795
дифференцируемые отображения [C,D] в [A,B]. Тогда I(y) =∫ b(y)a(y)
f(x, y) dx— дифференцируемая796
на [C,D] функция и I ′(y) =∫ b(y)a(y)
∂∂yf(x, y) dx+ f(b(y), y) · b′(y)− f(a(y), y) · a′(y).797
29
Доказательство.
ΔI
Δy=I(y0 + Δy)− I(y0)
Δy=
1Δy
(∫ b(y0+Δy)
a(y0+Δy)
f(x, y0 + Δy) dx−∫ b(y0)
a(y0)
f(x, y0) dx
)=
=∫ b(y0)
a(y0)
f(x, y0 + Δy)− f(x, y0)Δy
dx+1
Δy
∫ b(y0+Δy)
b(y0)
f(x, y0) dx+
+1
Δy
∫ b(y0+Δy)
b(y0)
f(x, y0 + Δy)− f(x, y0) dx−
− 1Δy
∫ a(y0+Δy)
a(y0)
f(x, y0) dx− 1Δy
∫ a(y0+Δy)
a(y0)
f(x, y0 + Δy)− f(x, y0) dx = I1 + I2 + I3 − I4 − I5
I1:f(x,y0+Δy)−f(x,y0)
Δy = ∂∂yf(x, y0 + ΘΔy), 0 < Θ < 1, ∂
∂yf(x, y0 + ΘΔy)y0+Δy∈[C,D]
⇒Δy→0
.798
I1 −−−−→Δy→0
∫a(y)b(y) ∂∂yf(x, y) dx.799
I2 = 1Δy
(b(y0+Δy)−b(y0)
)·f(x, y0), где x между b(y0) и b(y0+Δy). Это стремится к b′(y0)·f(b(y0), y0).800
I4 — аналогично.801
|I3| 6∣∣∣ b(y0+Δy)−b(y0)
Δy
∣∣∣ · sup[b(y0),b(y0+Δy)]
|f(x, y0 + Δy)− f(x, y0)|. Первая половина стремится к |b′(y0),802
Вторая — к 0. I3 и I5 стремятся к 0. �803
30
Лекция 17 31.10.08804
Теорема 17.1 (об интегрировании собств. интеграла с параметром). Пусть f(x, y) непр. на805
[A,B]× [C,D]. Тогда∫ BAf(x, y) dx интегрируема по Риману на [C,D],
∫DCf(x, y) dy интернируем по806
Риману на [A,B] и807 ∫ D
C
∫ B
A
f(x, y) dxdy =∫ B
A
∫ D
C
f(x, y) dydxs.808
Доказательство. Из непрерывности следует интегрируемость. Осталось доказать равенство инте-809
гралов. F (x, y) =∫ xAf(t, y) dt, A 6 x 6 B. ∂
∂xF (x, y) = f(x, y), A 6 x 6 B. Опять же из-за непрерыв-810
ности можем воспользоваться теоремой о дифференцировании. ∂∂x
∫DCF (x, y) dy =
∫DC
∂∂xF (x, y) dy =811
=∫DCf(x, y) dy.
∫DCF (x, y) dy— первообразная
∫DCf(x, y) dy. Поэтому
∫ BA
∫DCf(x, y) dydx =
∫DCF (B, y) dy−812
−∫DCF (A, y) dy =
∫DC
∫ BAf(t, y) dtdy − 0. �813
Перейдём к несобственным интегралам с параметром.814
Несобственные интегралы с параметром.815
Будем рассматривать∫[a,b)
f(x, y)dx, где a ∈ R, b ∈ R, a 6 b, f(x, y) определена на [a, b) × Y ,816
интеграл — несобственный интеграл Римана или Курцвейля–Хенстока.817
Определение. Несобственный интеграл с параметром∫[a,b)
f(x, y) dx сходится на множестве Y ,если он сходится в [a, b) в каждой точке y ∈ Y , несобственный интеграл с параметром
∫[a,b)
f(x, y) dxсходится равномерно на Y , если он сходится на Y и
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀b′ ∈ B′δ(v) ∩ [a, b) ∀y ∈ Y :
∣∣∣∣∣∫ b′
a
f(x, y) dx−∫
[a,b)
f(x, y) dx
∣∣∣∣∣ < ε
или, эквивалентно,
∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) ∀b′ ∈ [a, b) ∀b′ ∈ (b, b) ∀y ∈ Y :
∣∣∣∣∣∫ b′
a
f(x, y) dx−∫
[a,b)
f(x, y) dx
∣∣∣∣∣ < ε.
Определение. Несобственный интеграл с параметром∫[a,b)
f(x, y) dx удовлетворяет условию Ко-818
ши равномерной сходимости на Y , если f(x, y) интегрируема (в одном из смыслов) на любом отрезке819
[a, b] ⊂ [a, b) при каждом y ∈ Y и ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀b′, b′′ ⊂ B′δ(b)∩[a, b) ∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′a f(x, y) dx−
∫ b′′af(x, y) dx
∣∣∣ =820
=∣∣∣∫ b′b′′ f(x, y) dx
∣∣∣ < ε. Или, эквив., ∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) ∀b′, b′′ ∈ (b, b) ∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′a f(x, y) dx−
∫ b′′af(x, y) dx
∣∣∣ =821
=∣∣∣∫ b′b′′ f(x, y) dx
∣∣∣ < ε.822
Теорема 17.2 (критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром).823
Несобственный интеграл с параметром∫[a,b)
f(x, y) dx сходится равномерно на Y ⇐⇒ он удовлетво-824
ряет условию Коши равномерной сходимости на Y .825
Доказательство. Давайте введём F (b′, y) =∫ b′af(x, y) dx, a 6 b′ < b. Тогда равномерная сходи-826
мость несобственного интеграла с параметром на Y эквивалентна F (b′, y)Y
⇒b′→b−0
F (b, y) =∫[a,b)
f(x, y) dx.827
По критерию Коши равномерной сходимости функции это эквивалентно условию условию Коши828
равномерной сходимости функции ∀ε > 0∃δ > 0 ∀b′, b′′ ∈ B′δ(b)∩[a, b) ∀y ∈ Y : |f(b′, y)− f(b′′, y)| < ε.829
Так что ничего тут особо хитрого нет. �830
Теорема 17.3. Если несобственный интеграл с параметром∫[a,b)
f(x, y) dx сходится равномерно на831
Y , Y ′ ⊂ Y , то 1) он сходится равномерно на Y ′ и 2) для любой ограниченной на Y функции ϕ(y)832
несобственный интеграл с параметром∫[a,b)
f(x, y)ϕ(y) dx сходится равномерно на Y , 3) если ещё и833
несобственный интеграл с параметром∫[a,b)
g(x, y) dx сходится равномерно на Y , то равномерно на834
Y сходится интеграл∫[a,b)
f(x, y)± g(x, y) dx.835
Доказательство. Всё очень просто. Равномерная сходимость∫[a,b)
f(x, y) dx— это равномерная836
сходимость на Y функции F ′(b′, y) =∫ b′af(x, y) dx при b′ → b−0. Ну а для таких функций мы знаем837
про сходимость на подмножестве, про сумму и про произведение. Поэтому утверждение теоремы838
очевидно. �839
31
Признаки равномерной сходимости.840
1 (Вейерштрасса). Если f(x, y) при любом y ∈ Y интегрируема по Риману или по Курцвейлю–Хен-841
стоку на любом [a, b′] ⊂ [a, b) и |f(x, y)| 6 ϕ(x), где несобственный интеграл∫[a,b)
ϕ(x) dx существует842
(в любом из двух смыслов), то несобственный интеграл с параметром∫[a,b)
f(x, y) dx сходится рав-843
номерно на Y .844
Доказательство. Из оценки ∀b′, b′′ ∈ [a, b) ∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′′b′ f(x, y) dx
∣∣∣ 6 ∣∣∣∫ b′′b′ ϕ(x) dx∣∣∣ и условия845
Коши сходимости несобственного интеграла∫[a,b)
ϕ(x) dx выполняется условие Коши равномер-846
ной сходимости на Y несобственного интеграла с параметром∫[a,b)
f(x, y) dx.∣∣∣∫ b′′b′ f(x, y) dx
∣∣∣ 6847
6∣∣∣∫ b′′b′ |f(x, y)| dx
∣∣∣ 6 ∣∣∣∫ b′′b′ ϕ(x) dx∣∣∣, b′ 6 b′′. �848
2 (Дини). Пусть несобственный интеграл с параметром∫[a,b)
f(x, y) dx существует для y ∈ K—849
компакту в некотором метрическом пространстве и является непрерывной функцией наK. ∀b′ ∈ [a, b)850 ∫ b′af(x, y) dx также непрерывная функция на K, ∀y ∈ K функция f(x, y) одного знака на K (неот-851
рицательна или неположительна). Тогда несобственный интеграл с параметром∫[a,b)
f(x, y) dx схо-852
дится равномерно на K.853
Доказательство. Пусть ϕ(s, y) =∫[a,b)
f(x, y) dx −∫ saf(x, y)dx =
∫[s,b)
f(x, y) dx, a 6 s 6 b. До-854
кажем, что ϕ(s, y)K⇒
x→b−00. Для любого y ∈ K ϕ(s, y) монотонна по S и ϕ(s, y) стремится к 0 при855
s→ b− 0. ϕ(s, y) непрерывна на K при каждом s ∈ [a, b) (следует из непрерывности несобственного856
интеграла и непрерывности каждого собственного интеграла). ∀ε > 0 определим Fs = {y ∈ K : |ϕ(s, y)| >857
> ε}— замкнутое подмножество K, если s < s′, то FS ⊃ Fs′ и⋂
a6s6bFs = ∅, M \ Fs, где M —858
метрическое пространство, открыты,⋃
a6s<b(M \ Fs) = M ⊃ K. Существует конечное подпокрытие859
множествами M \ Fs, выбрав из него наибольшее множество Fs, получим, что M \ Fs ⊃ K. Значит,860
Fs пусто. То есть, |ϕ(s, y)| < ε на K, для s ∈ (s, b) также |ϕ(s, y)| < ε. Значит, ϕ(s, y)K⇒
s→b−00. �861
32
Лекция 18 07.11.08862
На прошлой лекции мы рассматривали признаки равномерной сходимости собственных интегра-863
лов с параметром. Осталось два признака:864
3 (Признак Абеля).865
Пусть несобственный интеграл (Римана или Курцвейля–Хенстока)∫[a,b)
f(x, y) dx сходится рав-866
номерно на Y , а v(x, y) — такая функция на [a, b) × Y , что v(x, y) и Varx∈[a,b)
v(x, y) ограничены на Y .867
Тогда несобственный интеграл∫[a,b)
u(x, y)v(x, y) dx сходится равномерно на Y .868
4 (Признак Дирихле).869
Пусть интегралы∫[a,b′]
u(x, y)(Римана или Курцвейля–Хенстока) равномерно ограничены для870
b′ ∈ [a, b), y ∈ Y , а v(x, y) ∀y ∈ Y ограниченной вариации на [a, b) и v(x, y)Y
⇒x→b−0
0, Var[b′,b]
v(x, y)Y
⇒b′→b−0
.871
Тогда несобственный интеграл∫[a,b)
u(x, y) · v(x, y) dx сходится равномерно на Y .872
Доказательство. Доказываем единственным возможным способом — проверяем критерий Коши.873
Пусть a 6 b′ 6 b′′ < b. Тогда∫ b′′b′u(x, y)·v(x, y) dx = (R – S)
∫ b′′b′v(x, y) dU(x, u), U(x, y) =
∫ xb′u(t, y) dt.874
Проинтегрируем по частям:∫ b′′b′u(x, y)v(x, y) dx = v(b′′, y)U(b′′, y)−
∫ b′′b′U(x, y) dv(x, y). Теперь оцен-875
ки отдельно для признаков:876
Признак Абеля.∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y)v(x, y) dx
∣∣∣ 6 supb′′∈[a,b)
|v(b′′, y)|·|U(b′′, y)|+ supx∈[b′,b′′]
|U(x, y)|· Var[b′,b′′]
v(x, y) 6877
6
(|v(a, y)|+ 2 Var
[a,b]v(x, y)
)· supx∈[b′,b′′]
|U(x, y)| (по-моему, небольшой бред с v(a, y)... ну да ладно). Так878
как несобственный интеграл∫[a,b)
u(x, y) dx сходится равномерно на Y , то ∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) ∀b′, b′′ ∈ [b, b]879
∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y) dx
∣∣∣ < ε. Тогда ∀b′, b′′ ∈ (b, b) ∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y)v(x, y) dx
∣∣∣ < Cε, где C =880
= supy∈Y|v(a, y)|+ 2 sup
y∈YVar[a,b)
v(x, y). Выполнен критерий Коши.881
Признак Дирихле.∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y)v(x, y) dx
∣∣∣ 6 2 supa6b′<b
∣∣∣∫ b′a u(x, y) dx∣∣∣·|v(b′′, y)|+2 sup
a6b′<b
∣∣∣∫ b′a u(x, y) dx∣∣∣×882
× Var[b′,b′′]
v(x, y) = 2 supa6b′<b
∣∣∣∫ b′a u(x, y) dx∣∣∣·(|v(b′′, y)|+ Var
[b′,b′′]v(x, y)
). Теперь: ∀ε > 0 ∃b ∀b′ ∈ (b, b) ∀y ∈ Y883
: |v(b′, y)| < ε и Var[b′, b)v(x, y) < ε. Тогда ∀b′, b′′ ∈ [b, b) ∀y ∈ Y :
∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y)v(x, y) dx∣∣∣ < Cε, где884
C = 4 supa6b′<b,y∈Y
∣∣∣∫ b′a u(x, y) dx∣∣∣. Выполнен критерий Коши равномерной сходимости всего, чего нам885
нужно. Признак "Д"доказан. �886
Теорема 18.1 (О перестановке несобственного интеграла и предела). Пусть несобственный887
интеграл∫[a,b)
f(x, y) dx сходится равномерно на Y , y0 — предельная точка Y (в некотором метри-888
ческом пространстве), ∀b′ ∈ [a, b) f(x, y)[a,b′]
⇒Y 3y→y0
g(x). Тогда существует несобственный интеграл889 ∫[a,b)
g(x) dx = limY 3y→y0
∫[a,b)
f(x, y) dx (несобственный интеграл всюду или Римана, или Курцвейля–Хен-890
стока).891
Доказательство. Рассмотрим Iz(y) =∫ zaf(x, y) dx, a 6 z < b. Тогда Iz(y) −−−−−−→
Y 3y→y0
∫ zag(x) dx,892
a 6 z < b (теорема о переходе к пределу собственного интеграла с параметром). С другой сто-893
роны, Iz(x)Y⇒
z→b−0
∫[a,b)
f(x, y) dx. Для равномерно сходящихся функций есть теорема о переста-894
новке пределов. Можно написать, что limz→b−0
limY 3y→y0
Iz(y) = limY 3ytoy0
limz→b−0
Iz(y). Это означает, что895 ∫[a,b)
g(x) dx = limY 3y→y0
∫[a,b)
f(x, y) dx, что и требовалось в этой теореме. �896
Теорема 18.2 (О непрерывности несобственного интеграла с параметром). Пусть функция897
f(x, y) непрерывна на [a, b)×Y , Y — компакт в Rn. Пусть также несобственный интеграл I(y) =∫[a,b)
f(x, y) dx898
сходится равномерно на Y . Тогда I(y) — непрерывная функция на Y (вообще-то, Rn здесь немного899
лишнее, но так проще).900
33
Доказательство. Рассмотрим Iz(y) =∫ zaf(x, y) dx, a 6 z < b. Тогда ∀z ∈ [a, b) Iz(y) непрерывна на901
Y (по теореме о непрерывности собственного интеграла с параметром). Iz(y)Y⇒
z→b−0I(y) =
∫[a,b)
f(x, y) dx,902
I(y) — непрерывная функция на Y как равномерный предел непрерывных функций. �903
Теорема 18.3 (о перестановке несобственного интеграла и дифференцирования). Пусть904
f(x, y) и ∂∂yf(x, y) непрерывны на [a, b)× J , где J — ограниченный промежуток. Также несобствен-905
ный интеграл∫[a,b)
f(x, y) dx сходится хотя бы в одной точке J , а несобственный интеграл∫[a,b)
∂∂yf(x, y) dx906
сходится равномерно на J . Тогда несобственный интеграл I(y) =∫[a,b)
f(x, y) dx сходится равномер-907
но на J и дифференцируем на J . К тому же I ′(y) =∫[a,b)
∂∂yf(x, y) dx.908
Доказательство. Рассмотрим Iz(y) =∫ zaf(x, y) dx, a 6 z < b. Для него выполнено, что ∂
∂yTz(y) =909
=∫ za
∂∂yf(x, y) dx, a 6 z < b. ∂
∂y Iz(y)J
⇒z→b−0
∫[a,b)
∂∂yf(x, y) dx, Iz(y) имеет предел при z → b−0 хотя бы910
в одной точке y ∈ J . Тогда по теореме о перестановке предела и дифференцирования для функций911
существует дифференцируемая на J функция g(x) такая, что Iz(y)J⇒
z→b−0g(y), а ∂
∂y Iz(y)J⇒
z→b−0g′(y).912
Посмотрим на смысл всего происходящего: g(y) =∫[a,b)
f(x, y) dx, g′(y) =∫[a,b)
∂∂yf(x, y) dx. Теорема913
оказалась доказанной. �914
34
Лекция 19 11.11.08915
Теорема 19.1 (о собств. инт. несобств. инт.). Пусть несобственный интеграл∫[a,b)
f(x, y) dx схо-916
дится равномерно на отрезке [c, d], f(x, y) непрерывна на [a, b) × [c, d]. Тогда существует интеграл917
Римана∫ dc
∫[a,b)
f(x, y) dxdy =∫[a,b)
∫ dcf(x, y) dydx.918
Доказательство. FZ(y) =∫ zaf(x, y) dx, a 6 z < b, при фиксированном z это непрерывная функ-919
ция по y, intdcFz(y) dy =∫ za
∫ dbf(x, y) dydx. Так как Fz(y)
[c,d]
⇒z→b−0
∫[a,b)
f(x, y) dx, то по теореме о пе-920
рестановке предела и интеграла для равномерной сходимости функций (R)∫ dc
∫[a,b)
f(x, y) dxdy =921
= limz→b−0
∫ dcF2(y) dy = lim
z→b−0
∫ za
∫ dcf(x, y) dydx. �922
Теорема 19.2 (о несобственном интегрировании несобственного интеграла). Пусть f(x, y)923
непрерывности на [a, b)×[c, d), на любом [c, d′] ⊂ [c, d) несобственный интеграл∫[a,b)
f(x, y) dx сходит-924
ся равномерно, на любом [a, b′] ⊂ [a, b) несобственный интеграл∫[c,d)
f(x, y) dy сходится равномерно,925
существует хотя бы один из повторных интегралов∫[c,d)
∫[a,b)
f(x, y) dxdy,∫[a,b)
∫[c,d)
dydx. Тогда они926
равны.927
Доказательство. Пусть существует∫[c,d)
∫[a,b)|f(x, y)| dxdy. Пусть Fz(y) =
∫ zaf(x, y) dx, a < z < b.928
По теореме 1∫[c,d)
Fz(y) dy =∫ za
∫[c,d)
f(x, y) dydx. Так как |Fz(y)| 6∫ za|f(x, y)| dx 6
∫[a,b)|f(x, y)| dx,929
существует∫[c,d)
∫[a,b)|f(x, y)| dx dy, то по принципу Вейерштрасса несобственный интеграл
∫[c,d)
Fz(y) dy930
сходится равномерно по z ∈ [a, b).931
Именно поэтому существует limz→b−0
∫[c,d)
Fz(y) dy =∫[c,d)
limz→b−0
Fz(y) dy =∫[c,d)
∫[a,b)
f(x, y) dxdy =932
= limz→b−0
∫ za
∫[c,d)
f(x, y) dydx =∫[a,b)
∫[c,d)
f(x, y) dydx. �933
Интеграл Дирихле.∫∞0
sin xx dx = π
2 .934
Существование следует немедленно из признака Дирихле. Рассмотрим I(y) =∫∞0
sin xx · e
−yx dx,935
y > 0. Сходимость равномерная по признаку Абеля. Диф. на (0,+∞) и I ′(y) = −∫∞0
sinx · e−yx dx.936
−∫∞0
sinx·e−yx dx существует по признаку Вейерштрасса, sinx·y−yx.−∫∞0
sinx·e−yx dx =∫∞0e−yx d cosx =937
= cosx·e−yx∣∣∣∞0
+y∫∞0
cosx·e−yx dx = −1+y∫∞0y−yx dx = −1+y ·sinx·e−yx
∣∣∣∞0
+y2∫∞0
sinx·e−yx dx =938
= −1 + y2∫∞0
sinx · e−yx dx ·∫∞0
sinx · e−yx dx = 11+y2 = −I ′(y), I(y) = arctg y + C.939
|I(y)| 6∫∞0e−yx dx = 1
y
∫∞0e−z dz = 1
y −−−→y→∞0. 0 = −π2 + C, то есть C = π
2 . I(y) непрерывно на940
[0,+∞), I(0) = limy→+0
I(y) = π2 .941
Посмотрим на∫∞0
sinαxx dx. Он равен π
2 при α > 0, 0 при α = 0, −π2 при α < 0. А теперь942 ∫∞0
sinαxx · cosβx dx. Он равен π
2 при α > β > 0, 0 при 0 < α < βα, π4 при α < β > 0.943
Надо дописать эту лекцию. Как-то сегодня не идёт. ♠.944
Далее дописано с конспекта.945
Интеграл Фрулани.946
∫ ∞0
f(ax)− f(bx)x
dx947
Если f непрерывна на [0,+∞) и существует limx→+∞
f(x) = f + (∞), то∫∞a
f(ax)−f(bx)x dx =948
= (f(0)− f(∞)) ln ba .949
Доказательство.∫Δ
δf(ax)−f(bx)
x dx =(∫ aΔ
aδ−∫ bΔbδ
)f(t)t dt =
(∫ bδaδ−∫ bΔaΔ
)f(t)t dt = f(ξ) ln b
a−f(ζ) ln ba ,950
ab < ξ < bδ, a∆ < ζ < b∆. при δ → 0, а ∆→ +∞ интеграл стремится к (f(0)− f(+∞)) · ln ba . �951
35
Лекция 20 11.11.08952
(с конспекта)953
Гамма–функция Эйлера954
Γ(s) =∫∞0xs−1e−x dx.955
Она интегрируема в правой окрестности 0 при s > 0. ∀s интегрируема в окрестности точки956
+∞ (так как xs−1 · e−εx −−−−→x→∞
0 ∀ε > 0). Функция Γ(s) определена на (0,+∞). На любом отрезке957
[a; b] ⊂ (0,+∞) интеграл сходится равномерно по признаку Вейерштрасса. При x ∈ (0, 1] 0 6 xs−1,958
e−x 6 xs−1 6 xa−1, поэтому интеграл∫ 1
0xs−1 · e−x dx сходится на [a, b] равномерно. При x > 1 0 6959
6 xs−1 · e−x 6 max{xa−1, xb−1} · e−x, поэтому интеграл∫∞1xs−1e−x dx сходится на [a, b] равномерно.960
Значит, Γ(s) непрерывна на (0; +∞). Также она дифференцируема на любом отрезке [a, b] ⊂ (0,+∞),961
а значит и на (0,+∞) и Γ′(s) =∫∞0xs−1e−x lnx dx. Аналогично, Γ′(s) дифференцируема на любом962
отрезке [a, b] ⊂ (0,+∞), а значит, на (0,+∞) и Γ′′(s) =∫∞0xs−1e−x ln2 x dx. Функция Γ(s) бесконечно963
дифференцируема на (0,+∞) и Γ(n)(s) =∫∞0xs−1e−x lnn x dx.964
Теорема 20.1. Γ(s) = limn→∞
(n−1)!s(s+1)···(s+n−1)n
s = limn→∞
n!s(s+1)···(s+n) (n+ 1)s965
Доказательство. Из выпуклости ex вниз следует, 1 +x 6 ex на R. Значит, 1−x 6 e−x 6 11+x . Для966
n ∈ N, x ∈ R 1− tn 6 e−
tn 6 (1 + t
n )−1, n ∈ N, 0 6 t 6 n. 0 6 e−t −(1− t
n
)n = e−t(1− et
(1− t
n
)n).967
Так как 1 = tn 6 e
tn , то
(1 + t
n
)n6 et. Значит, e−t
(1− et
(1− t
n
)n)6 e−t
(1−
(1 + t
n
)n (1− tn
)n) =968
= e−t(
1−(
1− t2
n2
)n)6 e−t
(1−
(1− t2
n
))= e−t t
2
n .969
Значит. 0 6∫ n0xs−1
(e−x −
(1− x
n
)n)dx 6
∫ n0xs−1e−x x
2
n dx 6 1n
∫∞0xs+1·e−x dx 6 Γ(s+2)
n −−−−→n→∞
0.970
Γ(s) = limn→∞
∫ n0xs−1
(1− x
n
)ndx.
∫ n0xs−1
(1− x
n
)ndx =
(сделаем замену t = x
n
)=∫ 1
0nsts−1(1−t)n dt =971
= ns∫ 1
0ts−1(1−t)n dt. Посчитаем
∫ 1
0ts−1(1−t)n dt = 1
s
∫ 1
0(1−t)n dts = 1
s (1−t)nts∣∣∣10+ 1s
∫ 1
0ts(1−t)n−1 dt =972
= ns
∫ 1
0ts(1−t)n−1 dt. Значит, ns
∫ 1
0ts−1(1−t)n dt = ns · n(n−1)
s(s+1)
∫ 1
0ts+1(1−t)n−2 dt = ns n!
s(s+1)···(s+n−1)×973
×∫ 1
0ts+n−1 dt = ns · n!
s(s+1)···(s+n) = (n−1)!s(s+1)···(s+n−1) · n
s · ns+n . �974
36
Лекция 21 14.11.08975
Γ(s) =1s
∞∏x=1
(1 + 1
k
)s1 + s
k
= limn→∞
n!s(s+ 1) · · · (s+ n)
(n+ 1)s976
Произведение сходится на Rn \ {0,−1,−2, . . . , }977
Γ(s) =∫ ∞
0
ss−1e−x dx при s > 0978
Теорема 21.1. Для s ∈ R \ {−,−1,−2, . . .} Γ(s+ 1) = s · Γ(s).979
Доказательство. Γ(s + 1) = limn→∞
n!(s+1)···(s+n+1) (n + 1)s+1 = lim
n→∞s · n!
s(s+1)···(s+n) (n + 1)s · n+1a+n+1 =980
= s · limn→∞
n!s(s+1)···(s+n) = sΓ(s). �981
Так как Γ(1) = 1, то из теоремы 1 следует, что ∀n ∈ N Γ(n+ 1) = n!.982
Следствие 21.1.1. Γ(1− s) = −sΓ(−s) для s ∈ R \ {0, 1, . . .}.983
Теорема 21.2. Γ(s) · Γ(1− s) = πsinπs для s ∈ R \ Z.984
Доказательство. Γ(s) ·Γ(1− s) = −s ·Γ(s) ·Γ(−s) = −s · 1s∞∏k=1
(1+ 1k )s
1+ sk· 1−s
∞∏k=1
(1+ 1k )−s
1− sk= 1
s
∞∏k=1
1
1− s2k2
.985
Так как sinx = x∞∏k=1
(1− x2
π2k2
), то и получаем нужное тождество. �986
Следствие 21.2.1. Γ( 12 ) =
√π.987
Следствие 21.2.2.∫∞0e−x
2dx =
√π
2 .988
Доказательство. Давайте посмотрим. Γ( 12 ) =
∫∞0
1√xe−x = 2
∫∞0e−t
2dt =
√π. �989
Бета–функция Эйлера990
.991
B(p, q) =∫ 1
0xp−1(1 − x)q−1 dx. У этой функции при p < 1 есть особенность в 0. Поскольку в992
окрестности нуля эта функция эквивалентна xp−1, то есть интеграл существует в правой окрестно-993
сти 0 при p > 0. Аналогично: при q > 0 интеграл существует в левой окрестности 1. По какой-то994
там теореме эта функция непрерывно дифференцируема, и вообще можно выяснить кучу замеча-995
тельных и интересных свойств. Пока мы достойны отметить только одно из них:996
Свойство. B(p+ 1, q) = pp+qB(p, q), p, q > 0.997
Доказательство. Проверим это.B(p+1, q) =∫
01xp(1−x)q−1 dx = −1q
∫01xp d(1−x)q = −1
q xp(1−x)q
∣∣∣10+998
+ pq
∫01(1− x)qxp−1 dx = p
q
∫01(1− x)q−1xp−1 dx− p
q
∫01(1− x)q−1xp dx = p
qB(p, q)− pqB(p+ 1, q).�999
Ещё свойства. B(p, q) = B(q, p), B(p, q) = 0∞
tp
(1+t)p+q−1 dt.1000
Доказательство. Пусть t = x1 − x, то есть x = t
t+1 . Тогда B(p, q) =∫
01 tp−1
(1+t)p−1 · 1(1+t)q−1
dt(1+t)2 =1001
=∫∞0
tp−1(1+t)p+q . �1002
Теорема 21.3. B(p, q) = Γ(p)·Γ(q)Γ(p+q) , p, q > 0.1003
Доказательство. Рассмотрим p > 1, q > 1. Γ(p + q) =∫∞0xp+q−1e−x dx. Пусть x = (1 + v) · u,1004
u, v > 0. Тогда Γ(p + q) = (1 + v)p+q∫
0∞up+q−1e−(1+v)u du, p(p+q)(1+v)p+q =
∫0∞up+q−1e−u · e−vu du.1005
Γ(p+q)·B(p, q) = Γ(p+q)∫∞0
vp−1
(1+v)p+q dv =∫
0∞ Γ(p+q)(1+v)p+q ·v
p−1 dv =∫∞0
∫∞0up+q−1 ·vp−1e−ue−v dudv =1006
=∫∞0
∫∞0up+q−1·vp−1e−ue−v dvdu =
∫∞0uq−1e−u
∫∞0
(uv)p−1e−vu dvudu =∫∞0uq−1e−u
∫∞0tp−1e−t dtdu =1007
= Γ(p)∫∞0uq−1e−u du = Γ(p) · Γ(q).1008
Теперь Тарасу Павловичу надо обосновать перемену порядка интегрирования. Конечно же, по-1009
динтегральная функция непрерывна. И вообще все хорошо, но докажем равномерную сходимость.1010
37
∫∞0up+q−1 · vp−1 · e−u · e−vu du сходится равномерно при v ∈ [0, a] по признаку Вейерштрасса:1011
|up+q+1 · vp−1e−ue−vu| 6 ap−1 · up+q−1·e−u .1012
int∞0 up+q−1vp−1e−ue−vu dv = uqe−u
∫∞0
(uv)p−1e−uv d(uv) сходится равномерно при a ∈ [0, b] по1013
признаку Дини.1014
Для p, q > 1 формула доказана. Теперь сводим нужный нам (p, q > 0) случай сводим к уже1015
доказанному. Сводим:1016
B(p, q) = p+qp B(p + 1, q) = p+q
p B(q, p + 1) = p+qp ·
p+q+1q B(q + 1, p + 1). Можно воспользоваться1017
уже доказанной формулой и получить, что B(p, q) = p+qp ·
p+q+1q · Γ(p+1)Γ(q+1)
Γ(p+q+2) = Γ(p)·Γ(q)Γ(p+q) . �1018
38
Лекция 22 18.11.081019
На прошлой лекции мы изучали Γ и B функции. Одну формулу мы забыли.1020
Формула Стирлинга.1021
Γ(s+ 1) =√
2πs · ss · e−s(
1 +ω√s
), где −1 6 ω 6 1, s > 01022
Доказательство. Для этого воспользуемся интегральным представлением Γ(s+1) =∫∞0xse−x dx.1023
Давайте возьмём производную (xs · e−s)′ = (s · xs−1 − xs) · e−x = (s − x)xs−1e−x, поэтому xs · e−x1024
строго возрастает на [0, s] и строго убывает на [s,+∞). Сделаем замену x = s(t + 1). Γ(s + 1) =1025
=∫∞−1ss(t + 1)se−se−std dt = ss+1e−s
∫∞−1e−st+s ln(1+t) dt. Сделаем ещё одну замену переменной.1026
−st + s ln(1 + t) = − su2
2 , где t и u одинакового знака. Вообще-то странно. . . Далее: Γ(s + 1) =1027
= ss+1·e−s∫∞−∞ e
−su22 dt
du du. Сократим на s и продифференцируем полученное равенство: (t−ln(1+t)) =1028
= u2
2 ⇒ t′− t′
1+t = u, t′ = u · 1+tt = u(
1t + 1
). t− ln(1+ t) =(раскладываем по формуле Тейлора с оста-1029
точным членом в форме Лагранжа)= t−t+ 1(1+th t)2 ·
t2
2 . 1(1+th t)2 ·
t2
2 = u2
2 ⇒ u = t1+th t , где 0 < th < 1.1030
u+u th t = t, откуда ut = 1− thu.
∫∞−∞ e
−su22 (1− thu) du =
∫∞−∞ e−
su22 du+
∫∞−∞ e−
su22 (1− th)u du, где1031
0 < 1−th < 1. Считаем первый интеграл: I1 =∫∞−∞ e−
su22 du. Замена: x =
√s2u, I1 =
√2s
∫∞−∞ e−x
2dx =1032
=√
2s · 2
∫∞0e−x
2=√
2s · 2 ·
√π
2 =√
2πs . I2 =
∫∞−∞ e−
su22 (1 − th)u du, |I2| 6 2
∫∞0e−
su22 u du =1033
=∫∞0e−
su22 du2 =
∫∞0e−
s2 t dt = − 2
se− s2 t∣∣∣∞0
= 2s . Γ(s + 1) = ss+1e−s
(√2πs + 2ν
s
), −1 6 ν 6 1.1034
Γ(s + 1) =√
2πs · ss · e−s(
1 +√
2π ·
ν√s
). Кстати, не самая лучшая оценка — может быть не ω√
s, а1035
O( 1s ). �1036
Определение. Пространством со скалярным произведением (предгильбертовым) называется ли-1037
нейное пространство L на полем R или C со скалярным произведением (x, y) : L2 → R(или C соот-1038
ветственно), со следующими свойствами:1039
1. (x, x) > 0 и (x, x) = 0⇔ x = 0 (z ∈ C, z > 0⇔ |z| = z).1040
2. Для любого α ∈ R(∈ C) и любых x, y ∈ L : (αx, y) = α(x, y).1041
3. Для любых x1, x2, y ∈ L : (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y).1042
4. Для любых x, y ∈ L : (x, y) =(y, x).1043
Простейшие примеры:1044
• Rn : ( #»x , #»y ) =n∑i=1
xiyi.1045
• Cn : ( #»x , #»y ) =n∑i=1
xjyj .1046
Свойства1047
• Для любого α ∈ R (∈ C) и любых x, y ∈ L : (x, αy) =α(x, y). (x, αy) =(αy, x) =α(x, y).1048
• (x, y1 + y2) = (x, y1) + (x, y2). Тоже простейшее.1049
Неравенство Коши–Буняковского1050
Для любых x, y ∈ L : |(x, y)|2 6 (x, x) · (y, y), причём равенство имеет место тогда и только тогда,1051
когда x и y линейно зависимы.1052
39
Доказательство. Случай 1. (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0. Тогда (x, y) = 0 и неравенство превращается в1053
равенство, x и y линейно зависимы.1054
Случай 2. (x, x) > 0. Тогда рассмотрим скалярное произведение (αx + (x, y)y, αx + (x, y)y) > 0.1055
Пусть α ∈ R, (αx + (x, y)y, αx + (x, y)y) = (x, x)α2 + (x, y)(y, x)α +(x, y)(x, y)α + (x, y)(x, y)(y, y) =1056
= (x, x)α2 + 2|(x, y)|2α+ |(x, y)|2(y, y) > 0. Значит, его D = 4|(x, y)|4 − 4(x, x)|(x, y)|2(y, y) 6 0. Если1057
|(x, y)| = 0, то неравенство верно. Если |(x, y)| > 0, то |(x, y)|2 − (x, x)(y, y) 6 0. Если неравенство1058
Коши–Буняковского превращается в равенство, то D = 0 и квадратный трёхчлен имеет корень1059
α0 : (α0x + (x, y)y, α0x + (x, y)y) = 0, то есть α0x(x, y)y = 0, то есть x и y линейно зависимы, если1060
α20 + |(x, y)|2 6= 0. Если (x, y) = 0 и в неравенстве Коши–Буняковского имеет место равенство, то1061
или x = 0, или y = 0, тогда x и y линейно зависимы. То, что для линейно зависимых всё правильно,1062
посчитаем очевидным и опустим. �1063
Введём ‖x‖ =√
(x, x).1064
Свойства:1065
1. ‖x‖ > 0 и ‖x‖ = 0⇔ x = 0.1066
2. ‖αx‖ = |α| · ‖x‖.1067
3. ‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖.1068
40
Лекция 23 18.11.081069
Мы выяснили, что пространство со скалярным произведением является нормированным (с со-1070
ответствующей нормой) и, значит, метрическое.1071
Определение. Полное пространство со скалярным произведением называется гильбертовым про-1072
странством.1073
Определение. Элементы (вектора) x, y предгильбертова пространства ортогональны, если (x, y) = 0.1074
Система {eλ}λ∈Λ в предгильбертовом пространстве называется ортогональной, если ∀λ ∈ Λ1075
eλ 6= 0 и ∀α, β ∈ Λ, α 6= β, (eα, eβ) = 0.1076
Система {eλ}λ∈Λ в предгильбертовом пространстве называется нормированной, если ∀λ ∈ Λ1077
‖eλ‖ = 1.1078
Ортогональная и нормированная система называется ортонормированной.1079
Определение. Если {eλ}λ∈Λ — ортогональная система в предгильбертовом пространстве L, x—1080
элемент L, то x(λ) = xλ = (x,eλ)(eλ,eλ) = (x,eλ)
‖eλ‖2 — коэфицент Фурье элемента x по системе {eλ}λ∈Λ.1081
Теорема 23.1 (экстремальное свойство коэф. Фурье). Если {eλ}λ∈Λ — ортогональная систе-1082
ма в предгильбертовом пространстве L, то ∀x ∈ L ∀ чисел ck, k = 1, . . . , n∥∥∥∥x− n∑
k=1
ckek
∥∥∥∥ >1083
> ‖x−n∑k=1
xkek, причём равенство имеет место только в случае ck = xk.1084
Доказательство. ‖x−n∑k=1
ckek‖2 =(x−
n∑k=1
ckek, x−n∑k=1
ckek
)= ‖x‖2−
n∑k=1
ck(x, ek)−n∑k=1
ck(ek, x)+1085
+n∑k=1
ckck‖ek‖2 (помним, что система ортогональная). Продолжим: = ‖x‖2−n∑k=1
ckxk‖ek‖2−n∑k=1
ckxk‖ek‖2+1086
+n∑k=1
ckck‖ek‖2 = ‖x‖2+n∑k=1
(ck − xk)(ck − xk)‖ek‖2−n∑k=1
xkxk = ‖x‖2−n∑k=1
|xk|2‖ek‖2+n∑k=1
|ck−xk|2‖ek‖2.1087
Минимум достигается тогда, когда мы хотели доказать. �1088
Следствие 23.1.1 (тождество Бесселя). ‖x−n∑k=1
xkek‖2 = ‖x‖2 −n∑k=1
|x2k‖ek‖21089
Следствие 23.1.2 (неравенство Бесселя). ‖x‖2 >n∑k=1
|xk|2‖ek‖21090
Следствие 23.1.3. Для любой ортогональной системы {eλ}la∈Λ, для любого элемента x и любого1091
ε > 0 неравенство |xk| · ‖eλ‖ > ε может выполняться лишь для конечного подмножества Λ.1092
Доказательство. Действительно, число таких λ не превосходит ‖x‖2
ε2 . �1093
Следствие 23.1.4. Для любой ортогональной системы {eλ}la∈Λ, для любого элемента x неравен-1094
ство xλ 6= 0 может выполняться лишь для не более чем счётного подмножества Λ (надо взять в1095
предыдущем следствии εn = 1n ).1096
Теорема 23.2. Пусть {eλ}la∈Λ — ортогональная система в предгильбертовом пространстве. Тогда1097
∀x следующие условия эквивалентны:1098
1. ∀ε > 0 ∃K ∈ N ∃ числа ck, k = 1, . . . ,K, ∃λk ∈ Λ, k = 1 . . . ,K, что ‖x−K∑k=1
ckeλk‖ < ε.1099
2. Пусть λk — такая последовательность из Λ, которая содержит все λ с xλ 6= 0. Тогда x =∑k
xλkeλk .1100
3. ‖x‖ =∑k
|xλk |2‖eλk‖2 (равенство Парсеваля).1101
Доказательство. Из первого второе. По экстремальному свойству если ‖x−K∑k=1
ckeλk‖ < ε,1102
то ‖x−K∑k=1
xλkeλk‖ < ε. Все xλk 6= 0, 1 6 k 6 K, встречаются среди членов последовательности1103
41
λk, поэтому ∃N : ∀λk, 1 6 k 6 K, такие, что xλk 6= 0 встречаются среди λk, 1 6 k 6 N . По1104
экстремальному свойству ∀n > N ‖x−n∑k=1
xλkeλk‖ 6 ‖x−n∑k=1
xλkeλk‖ < ε.1105
Из второго третье немедленно следует из тождества Бесселя: ‖x−n∑k=1
xλkeλk‖ = ‖x‖2−n∑k=1
|xλk |2‖eλk‖2.1106
И та, и другая часть стремятся к 0 при n→∞.1107
Из третьего первое. Опять же напишем тождество Бесселя. ‖x‖2−n∑k=1
|xλk |2‖eλk‖2 = ‖x−n∑k=1
xλkeλk‖.1108
Первая штука стремится к 0 при n → ∞. Значит, и вторая штука стремится к 0 при n → ∞.1109
Значит, первое верно. �1110
Теорем уже очень много. Докажем лучше лемму.1111
Лемма 23.1. Пусть {ek}— конечная или счётная ортогональная система. Если x =∑k
ckek, то1112
∀kck = xk, а если z ортогонален всем ek, то (z, x) = 0.1113
Доказательство.(
n∑k=1
ckek, z
)равно ck‖ek‖2 для z = ek, 1 6 k 6 n и 0, если z ортогональна1114
ek, 1 6 k 6 n. Если {ek}— конечная система, то лемма верна (ведь x =n∑k=1
ckek для некоторого1115
n). Если {ek}— счётная система, то x =n∑k=1
ckek + ¯o(1) при n → ∞. Если z = em, то при n >1116
> m (x, em) = em‖em‖2 + ¯o(1) (при n → ∞), так как |(x, ¯o(1))| 6 ‖x‖ · ‖ ¯o(1)‖ −−−−→n→∞
0. Значит,1117
(x, em) = em‖em‖2 = xm‖em‖2. Осталось только посмотреть, что будет, когда z ортогонально всем1118
ek. (x, z) = 0 + ¯o(1) −−−−→n→∞
0. Значит, (x, z) = (z, x) = 0 (так как |(¯o(1), z)| 6 ‖mo(1)‖ · ‖z‖ −−−−→n→∞
0).�1119
Лемма 23.2. Пусть {ek}— счётная ортогональная система в гильбертовом пространстве. Ряд∞∑k=1
ckek1120
сходится ⇐⇒ сходится ряд∞∑k=1
|ck|2‖ek‖2.1121
Доказательство. Ряд∞∑k=1
ckek сходится ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N
∥∥∥∥ m∑k=n
ckek
∥∥∥∥ < ε, то есть1122 ∥∥∥∥ m∑k=n
ckek
∥∥∥∥ =m∑k=n
ckck‖ek‖2 < ε2. Ряд∞∑k=1
|ck|2‖ek‖2 по критерию Коши сходится ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N1123
∀n,m > Nm∑k=n
|ck|2‖ek‖2 < ε. Нас обманули? Нет! :) �1124
Определение. Если {eλ}la∈Λ — ортогональная система в предгильбертовом пространстве, то для1125
любого элемента x ряд∑λ∈Λ
xλeλ называется рядом Фурье элемента x. Поскольку отличных от нуля1126
членов не более чем счётно, то и суммируем мы не более чем счётное число элементов.1127
42
Лекция 24 25.11.081128
Тарас Павлович загадочно улыбается и утверждает, что присутствующим старостам очень легко1129
отметить отсутствующих... Ровно 27 присутствующих. Саша Подгайц: "Это много. Просто Вы не1130
ходили на другие лекции". Т.П.: "Ну, я напомню определение"1131
Определение. Если {eλ}λ∈Λ — ортогональная система, то для любого элемента x ряд∑λ
xλeλ на-1132
зывается рядом Фурье x по системе {eλ}.1133
Теорема 24.1. Ряд Фурье элемента x имеет не более чем счётное множество отличных от 0 членов1134
и при их суммировании в любом порядке полученный ряд либо всегда сходится к одному и тому же1135
элементу, называемому суммой ряда Фурье (и не обязательно равному x), причём его ряд Фурье1136
совпадает с данным рядом Фурье, либо всегда расходится. В Гильбертовом пространстве ряд Фурье1137
всегда сходится и имеет место тождество Бесселя ‖x−∑λ
xλeλ‖ = ‖x‖2 −∑λ
|xλ|2 · ‖eλ‖.1138
Доказательство. Первая часть следует из двух теорем прошлой лекции (это было быстро устно1139
объяснено — я не осознал). Так как ‖x‖2 >∑λ
|xλ|2‖eλ‖2, то из сходимости последнего ряда следует,1140
что в Гильбертовом пространстве сходится ряд∑λ
xλeλ. �1141
Представляет интерес вопрос, когда же ряд Фурье сходится к числу x.1142
Теорема 24.2. Пусть {eλ}λ∈Λ — ортогональная система в предгильбертовом пространстве. Тогда1143
следующие утверждения эквивалентны:1144
1. Любой элемент x этого пространства с любой точностью приближается линейными комбинаци-1145
ями элементов ортогональной системы, то есть ∀x ∀ε > 0 ∃ck, k = 1, . . . ,K и ∃λk ∈ Λ, k = 1, . . . ,K,1146
что ‖x−K∑k=1
ckeλk‖ < ε.1147
2. Любой элемент равен сумме своего ряда Фурье.1148
3. Для любого элемента x ‖x‖2 =∑λ∈Λ
|xλ|2‖eλ‖2 (равенство Парсевале).1149
4. Для любых элементов x и y (x, y) =∑λ∈Λ
xλ ¯xλ‖eλ‖2 (равенство Парсевале).1150
Из 1) - 4) следует, что 5) если ∀λ ∈ Λ (x, eλ) = 0, то элемент x = 0. В Гильбертовом пространтсве1151
из 5) следует 1) - 4)1152
Доказательство. 1) - 3) эквивалентны для любого x, а, значит, для всех x (стиль Семеона Анто-1153
новича?). Очевидно из 4) ⇒ 3). Докажем, что из 2) ⇒ 4). Пусть λk — последовательность таких λ1154
из Λ, которая содержит все такие λ, что xλ 6= 0 или yλ 6= 0. x =∑k
xλkeλk , y =∑k
yλkeλk , то есть1155
x =∑k6n
xλkeλk + ¯o(1).1156
(x, y) =
(∑k6n
xλkeλk , y
)+(¯o(1), y) =
∑k=n
xλk(eλ, y)+¯o(1) =∑k6n
xλk yλk‖eλk‖+¯o(1) −−−−→n→∞
∑k
xλk¯yλk‖eλk‖
2.1157
Из 2) ⇒ 5) Всеволод Сальников утверждает, что очевидно.1158
Из 5) ⇒ 2). В гильбертовом пространстве ряд Фурье сходится, поэтому существует y =∑λ
xλeλ.1159
Рассмотрим x− y, для любого λ ∈ Λ (x− y)λ = xλ− yλ = xλ− xλ = 0. Тогда по 5) x− y = 0, то есть1160
x = y. �1161
Определение. ОС. {eλ}λ∈Λ называется замкнутой, если выполнено 1), называется полной, если1162
выполнено 5).1163
Определение. Пространство l2 (l2) — пространство действительных или комплексных последова-1164
тельностей ak, таких что∑k
|ak|2 <∞.1165
Скалярное произведение ({ak}, {bk}) =∑k
ak bk.1166
Это пространство со скалярным произведением. Если {ak} ∈ l2, {bk} ∈ l2, то {ak ± bk} ∈ l2, так1167
как |ak ± bk|2 6 (|ak|+ |bk|)2 = |ak|2 + 2|ak||bk|+ |bk|2 6 2(|ak|2 + |bk|2).1168 ∑k
ak bk сходится абсолютно в силу последнего неравенства:∑k
|ak bk| 6 12
∑k
(|ak|2 + |bk|2). Значит,1169
скалярное произведение определено корректно. Проверим 4 свойства скалярного произведения:1170
43
1. (x, x) > 0 и (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0. ({ak}, {ak}) =∑k
|ak|2 > 0 и = 0 ⇐⇒ {ak}— нулевая1171
последовательность.1172
2. (αx, y) = α(x, y)1173
3. (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)1174
4. (x, y) =(y, x). ({ak}, {bk}) =∑k
ak bk =∑k
akbk =({bk}, {ak}).1175
44
Лекция 25 28.11.081176
Напомним определение:1177
Определение. Функция f измерима на [a, b], если f определена почти всюду на [a, b] и ∀ε > 0 ∃g ∈ C[a, b],1178
что µ∗{x ∈ [a, b] : f(x) 6= g(x)} < ε.1179
Определение. Функция f измерима на [a, b], если f определена почти всюду на [a, b] и ∀ε > 0 ∃E ⊂ [a, b],1180
µ∗E < ε, что f непрерывна на [a, b] \ E.1181
Свойства измеримых функций.1182
1. Если f и g измеримы на [a, b], то там же измерима их сумма, разность и произведение, а если1183
g(x) 6= 0 почти всюду на [a, b], то и их частное.1184
2. Если f измерима на на [a, b], ϕ непрерывна на f([a, b]), то ϕ(f) измерима на [a, b].1185
3. Если fk, k = 1, . . . , n измеримы на [a, b], то maxk
fk(x) и minkfk(x) измеримы на [a, b].1186
Всё это продвинутая молодежь знает и умеет доказывать.1187
Лемма 25.1. Пусть Gk, k = 1, . . .— открытые множества, принадлежащие конечному промежутку1188
I, Gk ⊃ Gk+1 для всех k, infkµ∗Gk > 0. Тогда найдётся отрезок J ⊂ G1, такой что inf
kµ∗(Gk ∩J) > 0.1189
Доказательство. G1 — объединение непересекающихся интервалов (αi, βi),∑i
(βi−αi) <∞. ∃M ∈ N :1190 ∑i>M
|βi − αi| < γ2 , где γ = inf
kmu∗Gk > 0. Если для любого i 6 M inf
kµ∗(Gk ∩ (αi, βi)) = 0, то1191
∃m : µ∗(Gm∩(αi, βi)) < γ2M для всех i 6M . Тогда µ∗ (Gm) 6
m∑i=1
µ∗(Gm∩(αi, βi))+µ∗(Gm ∩
⋃i>M
(αi, βi))<1192
< M · γ2M + γ
2 = γ, что противоречит условию. Значит, ∃i 6 M , что δ = infkµ∗ (Gk ∩ (αi, βi)) > 0.1193
∃[c, d] ⊂ (αi, βi), что (βi − αi) < δ4 и (c − αi) < δ
4 . Положим J = [c, d]. Так как µ∗(Gk ∩ (αi, βi)) 61194
6 µ∗(Gk ∩ J) + (βi − d) + (c− αi) < µ∗(Gk ∩ J) + δ2 , то µ∗(Gk ∩ J) > δ
2 . �1195
Следствие 25.0.1. Пусть Gk, k = 1, . . .— открытые множества, принадлежащие ограниченному1196
промежутку I, Gk ⊃ Gk+1 для всех k, infkµ∗Gk > 0. Тогда
∞⋂k=1
Gk 6= ∅.1197
Доказательство. Найдётся ограниченный J1 ⊂ G1, ∃ отрез. J2 ⊂ J1, J2 ⊂ G2. И так далее.1198
Получили последовательность вложенных отрезков Jk ⊂ Gk,⋃k
Jk 6= ∅. �1199
Следствие 25.0.2. Пусть Gk, k = 1, . . . ,— открытое множество принадлежащим ограниченному1200
промежутку I, Gk ⊂ Gk+1 для всех k. Если∞⋂k=1
Gk = ∅, то µ∗Gk −−−−→k→∞
0.1201
Лемма 25.2. Пусть fk ∈ C[a, b], k ∈ N, для каждой точки x ∈ [a, b] существует конечный предел1202
limk→∞
fk(x). Тогда для любого ε > 0 ∃ открытое множество Gk, µ∗G ⊂ ε, что fk равномерно сходится1203
на [a, b] \G.1204
Доказательство. Пусть k ∈ N, Gn = {x ∈ [a, b] : ∃m, l > n, |fm(x) − fl(x)| > 1k}, это открытое1205
множество, Gn ⊃ Gn+1. Если∞⋂n=1
Gn 6= ∅, то в точке x ∈∞⋂n=1
Gn не выполнено критерий Коши1206
сходимости fk(x). Значит,∞⋂n=1
Gn = ∅, то есть µ∗Gn −−−−→n→∞
0.1207
∀k ∈ N nk ∈ N : µ∗Gn = µ∗{x ∈ (a, b) : ∃m, l > nk, |fm(x) − fl(x)| > 1k} < ε · 2−k. Положим1208
G =∞⋃n=1
Gnk , µ∗G 6∞∑k=1
ε · 2−k = ε. Последовательность fk удовлетворяет условию Коши равномер-1209
ной сходимости на (a, b) \ G, так как ∀k ∈ N ∀m, l > nk ∀x ∈ (a, b) \ |fm(x) − fl(x)| 6 1k . Так как в1210
точке a и точке b последовательность fk сходится, то fk сходится равномерно на [a, b] \G. �1211
Теорема 25.1 (Егорова). Пусть последовательность измеримых функций на [a, b] fk(x) сходит-1212
ся почти всюду к функции f(x). Тогда f(x) измерима на [a, b] и ∀ε > 0 ∃E ⊂ [a, b]µ∗ < ε,1213
fk(x)[a,b]\E⇒k→∞
f(x).1214
45
Доказательство. Пусть D0 — множество точек [a, b], где хотя бы одна из функций fk не существу-1215
ет или не существует конечного limk→∞
fk(x), µ∗D0 = 0. ∀k ∈ N ∃Dk ∈ [a, b], µDk < ε · 2k−1, что fk1216
непр. на [a, b] \Dk. Пусть D =∞⋃k=0
DK , µ∗D < ε2 . Найдётся система интервалов {li}i, покрывающая1217
D,∑i
|li| < ε2 . Положим G1 =
⋃i
li ⊃ D, µ∗G1 <ε2 , G1 — открытое. Все fk непрерывны на [a, b]\G1 —1218
замкнутом множестве. Можно считать, что [a, b] \ G1 6= ∅. Пусть f∗k (x) = fk(x) на F = [a, b] \ G1,1219
линейны на замыканиях конечных смежных интервалов F, постоянны на замыкании бесконечных1220
смежных интервалов F. Такая функция строилась во втором семестре. Функции f∗k (x) непрерыв-1221
ны на R и имеют конечный limk→∞
f∗k (x) = limk→∞
fk(x) на F = [a, b] \ G1. Тогда конечный limk→∞
f∗k (x)1222
существует всюду на R. Ну а теперь можно воспользоваться леммой: ∃ откр. G2, µ∗G2 <
ε2 , что f∗k1223
равномерно сходится на [a, b] \G2. Кстати, философский вопрос: что легче — писать или переписы-1224
вать? Имеем: f∗k (x)[a,b]\E⇒k→∞
f(x), где E = (G1∪G2)∩ [a, b]. Значит, fk(x)[a,b]\E⇒k→∞
, µ∗E 6 µ∗G1 +µ∗G2 < ε.1225
Измеримость на [a, b] следует из простого факта. Функция f(x) непрерывна на [a, b] \E (как равно-1226
мерный предел непрерывных функций). Значит, f измерима на [a, b]. �1227
Следствие 25.1.1. Если f интегрируема по Курцвейлю–Хенстоку на [a, b], то f измерима на [a, b].1228
Доказательство. Действительно, пусть F — неопределённый интеграл f , F — непр. на [a, b] и f(x) =1229
= limk→∞
(F (x+ 1
k )− F (x))· k почти всюду на [a, b]. �1230
Ещё свойства измеримых функций1231
1. Если fk, k ∈ N, измеримы на [a, b] и п.в. на [a, b] f(x) = limk→∞
fk(x), то f измерима на [a, b].1232
2. Если fk, k ∈ N, измерима на [a, b] и почти всюду на [a, b] supkfk(x) (inf
kfk(x)) конечен, то он1233
является измеримой функцией на [a, b].1234
3. Если fk, k ∈ N, измер. на [a, b] и почти всюду на [a, b] существует конечный limk→∞
fk(x)1235
( limk→∞
fk(x)), то limk→∞
fk(x) = limn→∞
supk>n
fk(x).1236
46
Лекция 26 02.12.081237
За 6 лекций до сессии... Здравствуйте. На прошлой лекции мы рассмотрели свойства измеримых функ-1238
ций и доказали теорему Егорова. А сегодня:1239
Лемма 26.1. Пусть функции fk, k ∈ N, определены всюду на [a, b] и fk ∈ H[a, b], всюду на [a, b] для k ∈ N1240
fk(x) 6 fk+1(x), всюду на [a, b] существует конечный предел limk→∞
fk(x) = f(x) и существует конечный1241
I = limk→∞
∫ bafk dx. Тогда f ∈ H[a, b] и I =
∫ baf(x) dx.1242
Доказательство. Возьмём любое ε > 0, найдём такое K ∈ N, что I−∫ bafK dx < ε. Для каждого k ∈ N най-1243
дём такой масштаб δk, что для любого согласованного с δk отмеченного разбиения T = {(Δi, ξi)} отрезка [a, b]1244
будет выполняться, что∣∣∣σ(fk,T)−
∫ bafk dx
∣∣∣ < ε · 2−k. ∀ξ ∈ [a, b] ∃kξ > K, что∣∣fkξ (ξ)− f(ξ)
∣∣ < ε. Определим1245
масштаб δ(x) = δkx(x) для каждого x ∈ [a, b]. Пусть T = {(Δi, ξi)}— отмеченное разбиение [a, b], согласован-1246
ное c δ(x). |σ(f,T)− I| 6∣∣∣∣∑i
f(xii) · |Δi| −∑i
fkξi (ξi) · |Δi|∣∣∣∣+∣∣∣∣∑
i
(fkξi (ξi) · |Δi| −
∫Δifkξi
)∣∣∣∣+∣∣∣∣∑i
∫Δifkξi dx− I
∣∣∣∣.1247
Разбираемся:∣∣∣∣∑i
(f(ξi)− fkξi (ξi)
)· |Δi|
∣∣∣∣ < ε ·∑i
|Δi| = ε(b− a).1248 ∣∣∣∣∣ ∞∑k=1
∑i : kξi
=k
(fkξi (ξi) · |Δi| −
∫Δifkξi dx
)∣∣∣∣∣ 6 ∞∑k=1
ε · 2−k = ε.1249 ∫ bafK dx =
∑i
∫ΔifK dx 6
∑i
∫Δifkξi dx 6 (в силу неубываемости функций). 6
∑i
∫Δifmax
ikξi
dx =1250
=∫ bafmax
ikξi
dx 6 I. Значит, 0 6 I −∑i
∫Δifkξi dx < ε. |σ(f,T)− I| < ε · (b− a+ 2). �1251
Лемма 26.2. Пусть функции fk, k ∈ N, определены почти всюду на [a, b] и fk ∈ H[a, b], почти всюду на1252
[a, b] для k ∈ N fk 6 fk+1(x) почти всюду на [a, b] существует конечный limk→∞
fk(x) = f(x) и существует1253
конечный I = limk→∞
∫ bafk dx. Тогда f ∈ H[a, b] и I =
∫ baf dx.1254
Доказательство. Пусть Dk — множество таких точек [a, b], что не выполнено неравенство fk(x) 6 fk+1(x)1255
(то есть одна из функций fk, fk+1 не существует или обе существуют, но fk(x) > fk+1(x)). µ∗Dk = 0,1256
k ∈ N. Пусть D0 — множество таких точек [a, b], что не существует конечного limk→∞
fk(x), µ∗D0 = 0. Пусть1257
D =∞⋃k=0
Dk, µ∗D = 0. Пусть f∗k =
{0, если x ∈ Dfk(x), если x /∈ D
, f∗ =
{0, если x ∈ Dlimk→∞
fk(x), если x /∈ D . Тогда f∗k и f∗1258
удовлетворяют условию леммы 1. Поэтому f ∈ H[a, b] и I =∫ baf∗ dx. Так как f(x) = f∗(x) почти всюду на1259
[a, b], то f ∈ H[a, b] и I =∫ baf dx. �1260
Теорема 26.1 (Б. Леви). Пусть функции fk, k ∈ N, определены почти всюду на [a, b] и fk ∈ H[a, b],1261
почти всюду на [a, b] для k ∈ N fk(x) 6 fk+1(x) и supk
∫ bafk dx < +∞. Тогда почти всюду на [a, b] существует1262
f(x) = limk→∞
fk(x), f ∈ H[a, b] и∫ baf dx = lim
k→∞
∫ bafk dx.1263
Доказательство. Посмотри, в чём отличие от леммы 2. Всё, что надо доказать — доказать, что почти1264
всюду существует limk→∞
fk(x). Почти всюду на [a, b] fk(x) — неубывающая последовательность, поэтому почти1265
всюду на [a, b] существует конечный или бесконечный limk→∞
fk(x). Достаточно найти подпоследовательность1266
fki , что limi→∞
fki(x) конечен почти всюду. Пусть I = limk→∞
∫ bafk dx. Найдём такую подпоследовательность ki1267
последовательности натуральных чисел, что I −∫ bafki dx < 2−2i. Пусть Ei — множество таких точек [a, b],1268
что fki+1−fki(x) > 2−i. По неравенству Чебышева µ∗Ei 6 12−i
∫ bafki+1−fki(x) dx 6 2i ·
(I −
∫ bafki dx
)< 2−i.1269
Рассмотрим ряд fki(x)+∫∞i=1
(fki+1 − fki(x)
). Пусть E0 — множество точек x, что ∃k, что fk(x) не определена1270
или не выполняется неравенство fk(x) 6 fk+1(x). µ∗(E0) = 0.1271
На [a, b] \(∞⋃i=n
Ri⋃E0
)ряд сходится, так как начиная с номера n его члены 6 2−i. То есть fk1(x) +1272
+N∑i=1
(fki+1 − fki(x)
)= fki+1(x) имеет конечный предел при N → ∞. µ∗
(∞⋃i=n
Ri⋃E0
)6
∞∑i=n
µ∗Ei <1273
<∞∑i=n
3−i = 2−n+1 −−−−→n→∞
0. �1274
Определение. Для α > 0 определим функцию на C1275
[z]α =
{z, |z| 6 αα z|z| , |z| > α
1276
Это непрерывная функция на C.1277
47
Лемма 26.3. Действительная (комплексная) функция f на [a, b] измерима ⇐⇒ ∀α > 0 измер. [f ]α.1278
Доказательство. Необходимость: если f измерима,то [f ]α измерима. Достаточность: Если ∀α > 0 [f ]α1279
измерима, то по теореме Егорова f(x) = limn→∞
[f(x)]n измерима. �1280
48
Лекция 27 05.12.081281
Критерий интегрирования (по Курцвейлю–Хенстоку) неотрицательных функций1282
Если f почти всюду неотрицательна на [a, b], то f ∈ H[a, b] ⇐⇒ [f ]k, k ∈ N, интегрируема по1283
Курцвейлю–Хенстоку на [a, b] и supk
∫ ba[f ]k dx <∞.1284
Доказательство. Необходимость. Если f ∈ H[a, b], то f измерима, измерима [f ]k ∀k ∈ N, а значит1285
[f ]k ∈ H[a, b] и ∀k ∈ N 0 6∫ ba[f(x)]kdx 6
∫ baf(x) dx.1286
Достаточность. Если [f ]k ∈ H[a, b], k ∈ N, supk
∫ ba[f ]k dx <∞, то по теореме Б.Леви f(x) = lim
k→∞[f(x)]k =1287
=∈ H[a, b]. �1288
Следствие 27.0.1. Если f — измеримая комплекснозначаня функция на [a, b], |f(x)| 6 g(x) почти всюду1289
на [a, b], g ∈ H[a, b], то f ∈ H[a, b].1290
Доказательство. Если f — действительная, тогда f+(x) = f(x)+|f(x)|2
=
{f(x), f(x) > 0
0, f(x) < 0и f−(x) =1291
= |f(x)|−f(x)2
=
{−f(x), f(x) 6 0
0, f(x) > 0интегрируемы по Курцвейлю–Хенстоку на [a, b] (так как f+ и f− неот-1292
рицательный измеримые функции,∫ ba[f+]k dx 6
∫ bag dx,
∫ ba[f−]k dx 6
∫ bag dx), значит, f = f+−f− ∈ H[a, b].1293
Если f комплексная, то <f ∈ H[a, b] и =f ∈ H[a, b], значит, f = <f + ı=f ∈ H[a, b]. �1294
Следствие 27.0.2. Если f, g ∈ K[a, b], h измеримы на [a, b] и f(x) 6 h(x) 6 g(x) почти всюду на [a, b], то1295
h ∈ H[a, b].1296
Доказательство. 0 6 h(x)−f(x) 6 (g(x)−f(x)) ∈ H[a, b], значит, g(x)−f(x) ∈ H, значит, h(x) ∈ H[a, b].�1297
Лемма 27.1 (Фату). Если g ∈ H[a, b], fk ∈ H[a, b], k ∈ N, для всех k ∈ N g(x) 6 fk(x) почти всюду на1298
[a, b], lim inf∫ bafk dx <∞. Тогда lim infk→∞ fk(x) ∈ H[a, b] и
∫ ba
lim infk→∞ fk(x) dx 6 lim infk→∞∫ bafk(x) dx.1299
Доказательство. Для любого n ∈ N и m > n g(x) 6 infk>n
fk(x) 6 fm(x) почти всюду на [a, b]. Зна-1300
чит, по следствию 2 infk>n
fn(x) ∈ H[a, b] и∫ ba
infk>n
fk(x) 6 lim infk→∞∫ bafk(x) dx < ∞. По теореме Б.Леви1301
lim infk→∞ fk(x) = limn→∞
infk>n
fk(x) ∈ H[a, b] и∫ ba
lim infk→∞ fk(x) dx 6 lim infk→∞∫ bafk(x) dx. �1302
Лемма 27.2 (Фату). Если fk ∈ H[a, b], k ∈ N, f(x) > 0 почти всюду на [a, b] и всех k ∈ N supk
∫ bafk(x) dx <∞X,1303
то lim infk→∞ fk(x) ∈ H[a, b] и∫ ba
lim inf fk(x) dx 6 supk
∫ bafk(x) dx1304
Теорема 27.1 (Лебега). Если f, g ∈ H[a, b], hk, k ∈ N измерима на [a, b] и для каждого k ∈ N f(x) 61305
6 hk(x) 6 g(x) почти всюду на [a, b], почти всюду на [a, b] существуют h(x) = limk→∞
hk(x). Тогда h ∈ H[a, b]1306
и∫ bah(x) dx = lim
k→∞
∫ bahk(x) dx.1307
Доказательство.∫ bah(x) dx 6 lim infk→∞
∫ bahk(x) dx по лемме Фату. Теперь можно заметить, что так как1308
−g(x) 6 −hk(x) 6 −f(x) почти всюду на [a, b], то по лемме Фату∫ ba−h(x) dx 6 lim infk→∞
∫ ba−hk(x) dx =1309
= − lim supk→∞∫a6bhk(x) dx. Имеем, что lim supk→∞
∫ bahk(x) dx 6
∫ bah(x) dx 6 lim infk→∞
∫ bahk(x) dx. Зна-1310
чит,∫ bah(x) dx = lim
k→∞
∫ bahk(x) dx. �1311
Следствие 27.1.1 (Лебега). Если hk, k ∈ N измерима на [a, b] и для каждого k ∈ N |h(x)| 6 g(x) ∈ H[a, b],1312
почти всюду на [a, b] существует h(x) = limk→∞
hk(x). Тогда h(x) ∈ H[a, b] и∫ bah(x) dx = lim
k→∞
∫a6bhk(x) dx.1313
Пространство Лебега L2[a, b] состоит из измеримых на [a, b] функций f таких, что |f |2 ∈ H[a, b]. (f, g) =1314
=∫ baf(x) ·g(x) dx существует, так как fg измерима на [a, b] и |f(x) · g(x)| = |f(x)||g(x)| 6 1
2
(|f(x)|2 + |g(x)|2
),1315
поэтому f · g ∈ H[a, b].1316
Функции из L2[a, b] совпадают почти всюду на [a, b], считаются одинаковыми.1317
Теорема 27.2. Пространство L2[a, b] — гильбертово (то есть полное).1318
Доказательство. Пусть fk ∈ L2[a, b], k ∈ N и образуют последовательность Коши, то есть ∀ε > 0 ∃N1319
∀n,m > N : ‖fn − fm‖ =(∫ b
a|fn − fm|2 dx
) 12< ε. ∀k ∈ N ∃nk — возрастающая последовательность, что1320
∀m > nk : ‖fnk − fm‖ < 2−k. Рассмотрим ряд fn1(x) +∞∑k=1
fnk+1(x)− fnk (x), Sm(x) = fnm+1(x).1321
49
∫ ba|fnk+1(x)− fnk (x)| dx 6
(∫ ba|fnk+1(x)− fnk (x)|
2 dx) 1
2 ·(∫ b
a12 dx
) 12< 2−k ·
√b− a.1322
Рассмотрим ряд∞∑k=1
|fnk+1(x)− fnk |,∫ ba
m∑k=1
|fnk+1−fnk | dx 6√b− a
m∑k=1
2−k <√b− a, по теореме Б.Леви1323
ряд сходится почти всюду на [a, b].1324
Значит, ряд fn1(x) +∞∑k=1
(fnk+1 − fnk (x)
)сходится абсолютно на [a, b] почти всюду, пусть f(x) — его1325
сумма. Последовательностьm∑k=1
|fnk+1(x)− fnk (x)| неубывает на [a, b]и
(∫ ba
(m∑k=1
|fnk+1 − fnk (x)|)2
dx
) 12
=1326
=
∥∥∥∥ m∑k=1
∣∣fnk+1 − fnk∣∣∥∥∥∥ ∥∥∥∥6 ∞∑
k=1
|fnk+1 − fnk |∥∥∥∥ < m∑
k=1
2−k < 1.1327
Последовательность интеграл∫ ba
(∼mk=1 |fnk+1 − fnk |
)2dx < 1, отсюда
∫ ba
(∞∑k=1
|fnk+1 − fnk |)2
dx 6 1 по1328
теореме Б.Леви. То есть∞∑k=1
|fnk+1 − fnk | ∈ L2[a, b], тогда
∞∑k=1
(fnk+1 − fnk ) ∈ L2[a, b], то есть f(x) ∈ L2[a, b].1329
Последовательностьm∑k=N
|fnk+1(x)−fnk (x)| неубывает на [a, b],m > N и
(∫ ba
(m∑k=N
|fnk+1 − fnk (x)|)2
dx
) 12
=1330
=
∥∥∥∥ m∑k=N
∣∣fnk+1 − fnk∣∣∥∥∥∥ ∥∥∥∥6 ∞∑
k=N
‖fnk+1 − fnk |∥∥∥∥ < m∑
k=N
2−N+1 < 1.1331
Последовательность интеграл∫ ba
(∼mk=N |fnk+1 − fnk |
)2dx < 2−N+1, отсюда
∫ ba
(∞∑k=N
|fnk+1 − fnk |)2
dx 61332
6 2−N+1 по теореме Б.Леви. То есть∥∥∥∥ ∞∑k=m
|fnk+1 − fnk |∥∥∥∥ 6 2−N+1.
∥∥∥∥ ∞∑k=N
(fnk+1 − fnk )∥∥∥∥ 6 2−N+1.
∥∥∥∥ ∞∑k=N
(fnk+1 − fnk )∥∥∥∥ =1333
= ‖f(x) − fnN (x)‖ = ‖f(x) − (fm(x) +N−1∑k=1
(fnk+1−fnk ))‖ < 2−N+1. fnk → f при k → ∞ по метрике L2[a, b].1334
∀m > nk‖f − fm‖ 6 ‖f − fnk‖+ ‖fnk − fm‖ < 2−k+1 + 2−k < 2−k+2. �1335
50
Лекция 28 09.12.081336
Определение. Пространство L2(R) — - множество измеримых на любом отрезке интегрируемых с квадра-1337
том |f |2 функций на R в смысле несобственного интеграла Курцвейля–Хенстока функций f .1338
Скалярное произведение (f, g) =∫
R f · g dx (все функции действительно или комплекснозначные).1339
Во-первых, L2(R) — линейное пространство над R или над C, так как |f ± g|2 6 |f |2 + |g|2 + 2|f | · |g|,1340
|f(x)| · |g(x) 6 12
(|f(x)|2 + |g(x)|2
). Также легко понять про домножение на число. Кстати, в силу последнего1341
неравенства скалярное произведение всегда существует.1342
‖f‖ =(∫
R |f |2) 1
2 .1343
Теорема 28.1. L2(R) — гильбертово пространство.1344
Доказательство. Пусть fk ∈ L2(R), k ∈ N, fk — фундаментальная последовательность, то есть ∀ε > 0 ∃N1345
∀n,m > N : ‖fn − fm‖ =(∫
R |fn(x)− fm(x)|2 dx) 1
2 < ε. ∀l ∈ N рассмотрим fk · ξ[−l,l] (ξ[−l,l] равно 1 на [−l, l]1346
и 0 иначе). При фиксированном l ∈ N fkξ[−l,l] — последовательность Коши в L2[−l, l], она сходится, пусть1347
f l — её предел. Если l, k ∈ N, l < k, то f l = fk на [−l, l] почти всюду. Пусть f — такая функция, что ∀l ∈ N1348
f(x) = f l(x) почти всюду на [l, l]. Докажем, что f ∈ L2(R) и является пределом последовательности fk.1349
∀ε > 0 N ∀n,m > N : ‖fn − fm‖ < ε. Тогда ∀l ∈ N ∀n,m > N : ‖fnξ[−l,l] − fmξ[−l,l]‖ < ε. Перейдём к пределу1350
при m→∞ и получим оценку ‖fnξ[−l,l]− fξ[−l,l]‖ 6 ε. Теперь l→∞. Тогда ‖fn− f‖ 6 ε. Значит, получили,1351
что f ∈ L2(R) (что-то сказано про принадлежность fn − f пространству L2(R)) и f — предел fk. �1352
Определение. Пусть f и g— действительнозначные (или комплекснозначные) функции на R, x ∈ R. Тогда1353
свёртка f ∗ g(x) =∫
R f(x− t)g(t) dt.1354
Пусть f и g— действительнозначные или комплекснозначные T–периодические функции на R (или на1355
[0, T ]). x ∈ R (x ∈ [0, T ]). Тогда f ∗g(x) =∫ T0f(x− t)g(t) dt (в случае [0, T ] разность x− t берётся по mod T ).1356
В первом случае свёртка f ∗ g(x) определена всюду на R в следующих случаях:1357
1. f, g ∈ L2(R).1358
2. Одна из функций абсолютно интегрируема несобственным интегралом Курцвейля–Хенстока на R, а1359
вторая измерима на R (то есть на всех отрезках из R) и ограничена.1360
3. Одна из функций на любом отрезке абсолютно интегрируема по Курцвейлю–Хенстоку, то есть (f и1361
|f | интегрируемы), а вторая измерима на R, ограничена и финитна (равна 0 вне некоторого отрезка).1362
Почему: 1. Если f ∈ L2(R), то f(−t) ∈ L2(R) и f(x−t) ∈ L2(R). Тогда свёртка f ∗g(x) = (f(x−t), g(t)). 2.1363
Если g абсолютно интегрируема на R, f— ограничена, то |f(x− t)g(t)| 6 supR|f(t)| · |g(t)|. Значит, f(x− t)g(t)1364
интегрируема по t в смысле несобственного интеграла Курцвейля–Хенстока на R (f(x− t)g(t) — измеримая1365
на любом отрезке). 3. После того, как правильно сформулировали, всё понятно.1366
В втором случае свёртка f ∗ g(x) определена всюду на R в следующих случаях:1367
1. f, g ∈ L2[0, T ].1368
2. Одна из функций абсолютно интегрируема по Курцвейлю–Хенстоку на [0, T ], а вторая измерима и1369
ограничена на [0, T ].1370
1. Просто повторим предыдущее рассуждение (как всегда, товарищи возникают по поводу частичного1371
стирания. Ответ: у нас кризис, я мел экономлю). 2. Если g абсолютно интегрируема на [0, T ], f— ограничена1372
и измерим, то |f(x − t)g(t)| 6 sup[0,T ]
|f(t)| · |g(t)|. Значит, f(x − t)g(t) интегрируема по t в смысле интеграла1373
Курцвейля–Хенстока на [0, T ].1374
Лемма 28.1. Если f T–периодична и f ∈ H[0, T ], то f ∈ H[a, a+ T ] для любого a ∈ R и интеграл от f по1375
любому отрезку длины [a, a+ T ] одинаков.1376
Доказательство. Пусть a ∈ [nT, (n+1)T ], n ∈ Z. Тогдаa+T∫a
f dx =a−nT+T∫a−nT
f dx =
(T∫
a−nT+a−nT+T∫
T
)f dx =1377
=
(T∫
a−nT+a−nT∫
0
)f dx =
∫ T0f dx. �1378
Свойства свёртки.1379
1. f ∗ g(x) и g ∗ f(x) одновременно существуют или не существуют, а если существуют, то равны.1380
2. Пусть fh(x) = f(x− h). Тогда fh ∗ g(x) и f ∗ g(x− h) одновременно существуют или не существуют и,1381
если существуют, то равны.1382
51
Доказательство. Пусть существует f ∗ g(x) =∫
R f(x − t)g(t) dt. Сделаем замену x − t = u, тогда1383
f ∗ g(x) =∫ −∞+∞ f(u)g(x− u)d(−u) =
∫∞−∞ f(u)g(x− u) du = g ∗ f(x).1384
Периодический случай. Пусть существует f ∗g(x) =∫ T0f(x−t)g(t) dt. Сделаем ту же замену. Получим1385 ∫ x−t
−x f(u)g(x− u) d(−u) =∫ xx−T f(u)g(x− u) du =
∫ T0f(u)g(x− u) du = g ∗ f(x).1386
fh ∗ g(x) =∫
R f(x− h− t)g(t) dt (просто написали по определению).∫
R f(x− h− t)g(t) dt = f ∗ g(x− h).1387
Периодический случай. fh ∗ g(x) =∫ T0fh(x− t)g(t) dt =
∫ T0f(x− h− t)g(t) dt = f ∗ g(x− h). �1388
Основной недостаток свёртки как групповой операции — отсутствие 1.1389
52
Лекция 29 12.12.081390
Определение. Аппроксимативной единицей (δ–образное последовательностью) на R называется после-1391
довательность абсолютно интегрируемых несобственных интегралов Курцвейля–Хенстока на R функций1392
{Kn(t)}∞n=1 со следующими свойствами:1393
1. supn
∫R |Kn(t)| dt <∞1394
2. limn→∞
∫R Kn(t) dt = 11395
3. ∀δ > 0 limn→∞
(∫ −δ−∞+
∫∞δ
)|Kn(t)| dt = 0.1396
Аппр. единицей в T–периодическом случае называется последовательность T–периодических (опреде-1397
лённых на [o, T ]) абсолютно интегрируемых по Курцвейлю–Хенстоку функций {Kn(t)} со следующими1398
свойствами:1399
1. supn
∫ T0|Kn(t)| dt <∞1400
2. limn→∞
∫ T0Kn(t) dt = 11401
3. ∀δ > 0 limn→∞
∫ T−δδ
|Kn(t)| dt = 0.1402
Теорема 29.1. Пусть {Kn(t)}— аппр. ед. на R (на [0, T ] в T–периодическом случае), а f — ограниченная1403
измеримая функция на R (T–периодическая). Тогда1404
1. Если x— точка непрерывности f , то f ∗Kn(x) −−−−→n→∞
f(x)1405
2. Если f равномерно непрерывна на R, то f ∗Kn
R⇒
n→∞f(x)1406
3. Если Kn(t) непрерывны на R, n ∈ N, f (k)(t), k = 0, 1, . . . ,m непрерывны и ограничены на R, то в1407
каждой точке x ∈ R (f ∗Kn)(m) (x) −−−−→n→∞
f (m)(x), а если f (m) равномерно непрерывны на R (что1408
всегда выполнено в T–пер случае, то) свёртка сходится равномерно на R1409
Доказательство. Случай R. Если x0 — точка непрерывности f , то ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Bδ(x0) : |f(x)−f(x0)| < ε.1410
Тогда рассмотрим разность f ∗ Kn(x0) − f(x0). Свёртка существует, так как функция Kn(t) абсолют-1411
но интегрируема, а f — ограничена и измеримая. f ∗ Kn(x0) − f(x0) =∫
R f(x0 − t)Kn(t) dt − f(x0) =1412
=∫
R (f(x0 − t)− f(x0))Kn(t) dt+f(x0)(∫
R Kn(t) dt− 1). |f ∗Kn(x0)− f(x0)| 6
∫ δ−δ |f(x0−t)−f(x0)|·|Kn(t)| dt+1413
+2 supR|f |·(∫ −δ−∞+
∫ +∞δ
)|Kn(t)| dt+sup
R|f |·∣∣∫
R Kn(t) dt− 1∣∣. Второй интеграл стремится к 0 по пункту 3. Тре-1414
тий интеграл стремится к 0 по пункту 2. Первая часть6 ε·supn
∫R |Kn(t)| dt. Значит, ∃N ∀n > N |f∗Kn(x0)−f(x0)| < Cε,1415
С— постоянное.1416
Если f равномерно непрерывно, то это значит, что та δ выбирается единой. Тогда мы имеем, что в1417
первой части всё хорошо, в следующей — стремление равномерное, а в третьей тоже нет зависимости от x0.1418
Значит, имеем равномерное стремление.1419
В случае T—периодичности. Если x0 — точка непрерывности f , то ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Bδ(x0) :1420
|f(x)−f(x0)| < ε. Тогда рассмотрим разность f ∗Kn(x0)−f(x0). Свёртка существует, так как функция Kn(t)1421
абсолютно интегрируема, а f — ограничена и измеримая. f ∗Kn(x0)− f(x0) =∫ T0f(x0− t)Kn(t) dt− f(x0) =1422
=∫ T0
(f(x0 − t)− f(x0))Kn(t) dt+f(x0)(∫ T
0Kn(t) dt− 1
). |f ∗Kn(x0)− f(x0)| =6
(∫ δ0
+∫ TT−δ
)|f(x0−t)−f(x0)|·1423
· |Kn(t)| dt+2 supR|f | ·
∫ T−δδ
|Kn(t)| dt+supR|f | ·
∣∣∣∫ T0 Kn(t) dt− 1∣∣∣. В общем, всё аналогично и, по утверждению1424
ТП, скучно.1425
Остался третий пункт с производной. Случай на R.∫
R f(x− t)Kn(t) dt. Рассмотрим сразу ещё один ин-1426
теграл: intRf ′(x−t)Kn(t) dt = (f ∗Kn(x))′ (x) (пользовались признаком Вейерштрасса равномерной сходимо-1427
сти.)∫
R f′′(x−t)Kn(t) dt = (f ∗Kn(x))′′ (x) и так далее. В конце концов: (f ∗Kn)(n) (x) =
∫R f
(m)(x−t)Kn(t) dt =1428
=(f (m) ∗Kn
)(x) −−−−→
n→∞f (m)(x).1429
Пример. На [−1, 1] Kn(t) = (1−t2)n∫ 1−1(1−t2)n dt
образует аппр. ед.1430
Если продолжить 0 на R \ [−1, 1], то образуется аппр. единица на R.1431
Проверка свойств: 1ое очевидно выполняется, ибо он равен 1. Во втором свойстве интеграл тоже всегда1432
равен 1. Поэтому надо проверить только третье свойство. Для этого оценим∫ 1
−1(1−t2)n dt = 2
∫ 1
0(1−t2)n dt >1433
> 2∫ 1
0(1− t)n dt = 2
n+1.(∫ δ−1
+∫ 1
δ
)|Kn(t)| dt 6
∫ 1−1(1−δ2)n dt
2n+1
= (n+ 1) · (1− δ2)n −−−−→n→∞
0.1434
2π–периодический случай: Kn(t) = (1−cos t)n∫ π−π(1+cos t)n dt
.∫ π−πKn(t) dt = 1. Поэтому первые два свойства1435
выполняются, надо проверить третье. Kn(t) =cos2n t
2∫ π−π cos2n t
2 dt.∫ π−π cos2n t
2dt = 4
∫ π2
0cos2n u du = 2
∫ π2
0. Та-1436
рас Павлович здесь стёр. В результате имеем∫ π−π cos2n t
2dt = 2B(n + 1
2, 1
2) = π
n. 0 < δ < π оцениваем1437 ∫ 2π−δ
δ
(1+cos x)n∫ π−π(1+cos t)n dt
dx 6cos2n δ
2 ·2ππn
= 2n · cos2n δ2−−−−→n→∞
0. �1438
53
Теорема 29.2 (Вейерштрасса). 1. Если g ∈ C[a, b], то ∀ε > 0 ∃ многочлен P (x) : ‖f(x) − P (x)‖ =1439
= max[a,b]|f(x)−P (x)| < ε, причём если f действительнозначная, то многочлен тоже действительнознач-1440
ный.1441
Сел ноут — нет небольшой части лекции.1442
54
Лекция 30 16.12.081443
Здравствуйте, наши телезрители. Сегодня мы начнём изучение тригонометрической системы. Под этим1444
понимается следующая система функций{
12, cosnx, sinnx
}, n ∈ N или
{einx
}n∈Z. Связь очень простая: по1445
формуле Эйлера e−nx = cosnx + i sinnx, cosnx = einx+e−inx
2, sinnx = einx−e−inx
2i. Обе системы являются1446
ортогональными системами в L2 [0, 2π]. Проверять, конечно же, нечего — это очевидно.1447
Тригонометрический многочлен (или полином) T (x) = a02
+n∑k=1
ak cos kx+ bk sin kx (по традиции скобки1448
вокруг членов суммы не ставятся), или, если записывать в другой форме,n∑
k=−ncke
inx.1449
Теорема 30.1 (Вейерштрасса). Пусть f — 2π–периодическая функция.1450
1. Если f ∈ C[0, 2π], то ∀ε > 0 ∃ тригонометрический многочлен T (x) : ‖f(x)−T (x)‖c[0;2π] = maxR|f(x)−T (x)| <1451
< ε.1452
2. Если f ∈ Cn[0, 2π] (пространство n раз непрерывно дифференцируемых функция), то ∀ε > 0 ∃ триго-1453
нометрический многочлен T (x) : ‖f(x)− T (x)‖Cn[0,2π] = max06k6n,x∈R
|f (k) − T (k)(x)| < ε,1454
причём если f действительно, то и в 1) и в 2) T (x) — многочлен с действительными коэф. ak и bk.1455
Доказательство. Рассмотрим аппроксимативную единицу Km(x) = (1+cos x)m∫ 2π0 (1+cos x)m dx
, m ∈ N. f ∗ Km(x) —1456
тригонометрический многочлен. f∗Km(x) =∫ 2π
0f(t)·Km(x−t) dt = 1∫ 2π
0 (1+cos t)m dt
∫ 2π
0f(t)(1 = cos(x−t))m dt.1457
Значит, f ∗Km(x)R⇒
m→∞f(x), (f ∗Km)(x)
R⇒
m→∞f (k)(x). �1458
Теорема 30.2. Тригонометрическая система замкнута (или полна) в L2[0, 2π].1459
Доказательство. Пусть f ∈ L2[0, 2π]. Так как |f − [f ]k| 6 |f | (кстати, почему) и |f − [f ]k| −−−−→k→∞
0 почти1460
всюду на R, то по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла∫ 2
0π|f − [f ]k|2 dx −−−−→
k→∞0,1461
поэтому ∀ε > 0 ∃[f ]n, что ‖f − [f ]n‖L2[0,2π] < ε Так как [f ]n измерима, то ∃ 2π–периодическая g ∈ C[0, 2π] :1462
µ∗{x ∈ [0, 2π] : [f(x)]n 6= g(x)} < ε2
n2 , |g(x)| 6 n, тогда (H)∫ 2π
0|f(x)− g(x)|2 dx < (2n)2 · ε
2
n2 = 4ε2.1463
Почему такая оценка верна? Существует открытое множество G ⊃ {x ∈ [0, 2π] : f(x) 6= g(x)}, µ∗G < ε2
n2 .1464
Масштаб δ(x): если x ∈ G, то Bδ(x)(x) ⊂ G, δ(x) = 1 на [0, π] \ G. Пусть T — любое отмеченное разбиение,1465
согласованное с δ(x), тогда∣∣∣∣∑i
|[f ]n(ξi)− g(ξi)|2 · |Δi|∣∣∣∣ 6 ∑
ξi∈G(2n)2 · |Δi| 6 4n2 · µ∗G < 4ε2.1466
Оценка интеграла (которая< 4ε2) означает, что ‖[f ]n−g‖L2 < 2ε. Существует g ∈ C[0, 2π] : ‖[f ]n−g‖L2[0,2π].1467
Применим теорему 1 к функции g: ∀ε > 0 существует тригонометрический многочлен T (x) : ‖g(x)−t(x)‖C[0,2π] =1468
= maxR|g(x)−T (x)| < ε. Существует тригонометрический многочлен T (x) : ‖g−T‖L2[0,2π] =
√∫ 2π
0|g(x)− T (x)|2 dx <1469
<√∫ 2π
0|g(x)− T (x)|2 dx <
√ε2 · 2π =
√2π · ε.1470
‖f − T‖L2[0,2π] 6 ‖f − [f ]n‖+ ‖[f ]n − g‖+ ‖g − T‖ < (3 +√
2πε). �1471
Если f — 2π–периодическая функция, ∈ H[0, 2π], то её рядом Фурье называется тригонометрический1472
ряд σ[f ] = a02
+∞∑k=1
ak cos kx + bk sin kx =∞∑
k=−∞cke
ikx, где ak = 1π
∫ 2π
0f(t) cos kt dt, k = 0, 1, . . . ,, bk =1473
= 1π
∫ 2π
0f(t) sin kt dt, k = 1, 2, . . . или ck = 1
2π
∫ 2π
0f(t) ·eikx dt = 1
2π
∫ 2π
0f(t) · e−ikx dt— коэффициенты Фурье.1474
Свойства.1475
1. Если α— число, то σ[αf ] = α·σ[f ] для f — 2π–периодической, f ∈ H[0, 2π], если f, g— 2π–периодические1476
и f, g ∈ H[0, 2π], то σ[f ± g] = σ[f ]± σ[g].1477
2. Если f — 2π–периодическая , f ∈ H[0, 2π], fn(x) = f(x− h), то σ[fn] = σ[f ](x− h) = σh[f ].1478
Доказательство. ck(fn) = 12π
∫02π
f(t−h)e−ikt dt = 12π
∫ 2π
0f(x)e−ik(x+h) dx = 1
2π
∫ 2π
0f(x)e−ikx dx·e−ikh =1479
= ck(f) ·e−ikh. σ[fn](x) =∞∑k=1
ck(fn) ·eikx =∞∑
k=−∞ck(f) ·e−ikh ·eihx =
∞∑k=−∞
ck(f)eik(x−h) = σ[f ](x−h) =1480
= σn[f ]. �1481
3. Если f — 2π–периодичная, f ∈ H[0, 2π], f−(x) = f(−x), то σ[f−](x) = σ[f ](−x) = σ−[f ](x).1482
4. Если f, g— 2π–периодические и f, g ∈ L2[0, 2π], то ck(f ∗ g) = ck(f) · ck(g), k ∈ Z.1483
55
Доказательство. Рассмотрим случай, когда f(x) = einx, g(x) = e−mx. f ∗ g =∫ 2π
0ein(x−t)− eimt dt =1484
=∫ 2π
0ei(m−n)t dt · einx =
{0, m 6= n
einx, m = n. Свойство 4 верно.1485
Если f = T — тригонометрический многочлен, g = P — также тригонометрический многочлен, то1486
свойство тоже верно. То есть, верно, что ck(T ∗ P ) = ck(T ) · ck(P ). ∀f ∈ L2[0, 2π] существует тригоно-1487
метрический многочлен Tk −−−−→k→∞
f в L2[0, 2π]. Пусть Tl → f ∈ L2[0, 2π], Pl −→ g ∈ L2[0, 2π], тогда1488
ck(Tl) −→ ck(f), ck(Pl) −→ ck(g). |ck(Tl)−ck(f)| = |ck(Tl−f)| = |(Tl−f, e−kx)| 6 ‖Tl−f‖‖eikx‖ −−−→e→∞
0.1489
Tl∗Pl(x)[0,2π]
⇒l→∞
f∗g(x), f∗g(x) = (f(x− t), g(t)). |Tl∗Pl(x)−f∗g(x)| =∣∣(Tl(x− t),P l(t))− (f(x− t), g(t))
∣∣ 61490
6∣∣(Tl(x− t)− f(x− t),P l(t)
)+(f(x− t),P l(t)− g(t)
)∣∣ 6 ‖Tl−f‖·‖P l‖+‖f‖·‖P l−g‖ = ¯o(1)·O(1)+O(1)·¯o(1) =1491
= ¯o(1). Значит, Ck(Tl ∗ Pl) −−−→l→∞
Ck(f ∗ g). То есть, Ck(f ∗ g) = ck(f) · ck(g). �1492
5. Если f — 2π–периодическая и всюду дифференцируема, то σ[f ′] = σ′[f ].1493
Доказательство. ck(f ′) = 12π
H∫ 2π
0f ′(t)·e−ikt dt = 1
2πR – S
∫ 2π
0e−ikt df(t) = −1
2πR – S
∫ 2π
0f(t) de−ikt =1494
= 12π·ik(H)
∫ 2π
0f(t)·e−ikt dt = ikCk(f). σ[f ′](x) =
∞∑k=−∞
ck(f′)eikx =
∞∑k=−∞
ck(f)ikeikx =∞∑
k=−∞ck(f)(e−ikx)′.�1495
6. Для любой 2π–периодической f ∈ L2[0, 2π] и любого отрезка [A,B]∫ Baf(x) dx =
∞∑k=−∞
ck(f)∫ BAeikx dx.1496
Почему это так: пусть [A,B] ⊂ [0, 2π]. Тогда написанная формула — равенство Парсеваля для произ-1497
ведения f и ξ[A,B].∫ BAf(x) dx =
(f, ξ[A,B]
)= 2π
∞∑k=−∞
ck(f)ck(ξ[A,B]) = 2π∞∑
k=−∞ck(f) 1
2π
∫ BAe−ikt dt =1498
=∞∑
k=−∞ck(f)
∫ BAeikt dt1499
56
Лекция 31 19.12.081500
Напомним равенство Парсеваля: ‖f‖2 =∑k
|fk|2‖ek‖2. Для нашей конкретной системы:∫ 2π
0|f(t)|2 dt =1501
= π|a0|22
+ π∞∑k=1
|ak|2 + |bk|2 = 2π∞∑
k=−∞|ck|2.1502
Теорема 31.1. Если f — 2π–периодическая абсолютно интегрируемая по Курцвейлю–Хенстоку на перио-1503
де функция (то есть f, |f | ∈ H[0, 2π]), то коэффициенты Фурье f стремятся к 0, то есть an(f) −−−−→n→∞
0,1504
bn(f) −−−−→n→∞
0, cn(f) −−−−→n→∞
0.1505
Доказательство. Пусть f, |f | ∈ H[0, π], тога 0 6 |[f(x)]n| 6 |f(x)|, [f(x)]n −−−−→n→∞
f(x) почти всюду, по1506
теореме Лебега∫ 2π
0|f(x)−[f(x)]n| dx −−−−→
n→∞0. ∀ε > 0 ex[f ]n :
∫ 2π
0|f(x)−[f(x)]n| dx < ε. Тогда |ck(f−[f ]n)| =1507
=∣∣∣ 12π
∫ 2π
0(f(x)− [f(x)]n) e−inx dx
∣∣∣ < ε2π
. [f ]n ∈ L2[0, π] как ограниченная измеримая функция, по равенству1508
Парсеваля ck([f ]n) −−−−→|k|→0
0, то есть ∃N ∈ N ∀k, |k| > N : |ck([f ]n)| < ε2. Тогда при |k| > N |ck(f)| 61509
6 |ck(f − [f ]n)|+ c− k([f ]n) < ε2π
+ ε2< ε. �1510
Для тригонометрического ряда σ = a02
+∞∑k=1
ak cos kx+bk sin kx =∞∑
k=−∞cke
ikx. Частичная сумма Sn(x) =1511
= a02
+n∑k=1
ak cos kx+ bk sin kx =n∑−ncke
ikx.1512
Sn(f, x) =n∑
k=−nck(f)eikx =
n∑k=−n
12π
∫ 2π
0f(t)e−ikt dteikx = 1
2π
n∑k=−n
∫ 2π
0f(t)eik(x−t) dt =1513
= 12π
∫ 2π
0
∫ 2π
0f(t)
n∑k=−n
eik(x−t) dt = 12π
∫ 2π
0f(t)· e
−in(x−t)−ei(n+1)(x−t)
1−ei(x−t) dt = 12π
∫ 2π
0f(t) e
−i(n+ 12 )x−t−ei(n+ 1
2 )(x−t)
e−i 12 (x−t)−ei
12 (x−t)
dt =1514
= 12π
∫ 2π
0f(t)
−2i sin(n+ 12 )(x−t)
−2i sin x−t2 dt = 1π
∫ 2π
0f(t) · sin(n+ 1
2 )(x−t)2 sin x−t
2dt.1515
Sn(f ;x) = 1πf ∗Dn(x), где Dn(t) =
sin(n+ 12 )t
2 sin t2
— ядро Дирихле.1516
Теорема 31.2 (признак Дини).1517
Пусть f — 2π–периодическая абсолютно интегрируемая по Курцвейлю–Хенстоку на периоде функция и1518
существует такое число S и δ > 0, что∫ δ0
∣∣∣ f(x+t)+f(x−t)−2St
∣∣∣ dt существует и конечный. Тогда ряд Фурье1519
сходится в точке x к S.1520
Доказательство. ∀ε > 0 ∃δ > 0:∫ δ0
∣∣∣ f(x+t)+f(x−t)−2St
∣∣∣ dt < ε. Sn(f, x) − S = 1π
∫ π−π f(x − t)Dn(t) dt −1521
− 1π
∫ π−π S ·Dn(t) dt = 1
π
(∫ π0
+∫ 0
−π
)(f(x− t)− S)Dn(t) dt = 1
π
∫ π0
(f(x− t) + f(x+ t)− 2S)Dn(t) dt =1522
= 1π
(∫ δ0
+∫ πδ
)f(x+t)+f(x−t)−2S
2 sin t2
sin(n+ 1
2
)δ = I1 + I2, 0 < δ < π. sinx > 2
πx на
[0, π
2
]в силу выпуклости1523
sinx.1524
Значит, |I1| 6 1π
∫ δ0
∣∣∣ f(x+t)+f(x−t)−2S2πt
∣∣∣ dt = ε2.1525
I2 = 1π
∫ π−π
f(x+t)+f(x−t)−2S
2 sin t2
ξ[δ;π](t)·(sin t
2· sinnt+ sin t
2· cosnt
)dt = bn
(f(x+t)+f(x−t)−2S
2 sin t2
· ξ[δ;π](t) · cos t2
)+1526
+an(f(x+t)+f(x−t)−2S
2 sin t2
· ξ[δ;π](t) · sin t2
)−−−−→n→∞
0. Значит, найдётся такое N , что ∀n > N : |I2| < ε2. Значит, всё1527
сходится и теорема доказана. �1528
Следствие 31.2.1. Если f диф. в точке x или имеет конечные левую и правую производные, то ряд Фурье1529
f сходится в точке x к f(x).1530
Теорема 31.3 (принцип локализации Римана). Если f и g— 2π–периодические абсолютно интегриру-1531
емые по Курцвейлю–Хенстоку функции и существует Bδ(x), что f(x) = g(x) на Bδ(x), то ряды Фурье1532
одновременно сходятся или расходятся, а в случае сходимости сходятся к одному и тому же числу.1533
Доказательство. Это очень просто. Рассмотрим ряд Фурье σ(f − g, x). В окрестности 0 получаем тожде-1534
ственно нулевую функцию. По признаку Дини он сходится к 0 в точке x. �1535
Метод суммирования средних арифметических (Чезаро–Фейера).1536
σn(x) = 1n
n−1∑k=0
Sk(x). σn(f, x) = 1πn
n−1∑k=0
f∗Dk(x) = 1πf∗(
1n
n−1∑k=0
Dk
)(x). 1
n
n−1∑k=0
sin(k+ 12 )
2 sin t2
= 1n
n−1∑k=0
sin(k+ 12 )·2 sin t
22 sin2 t
2=1537
= 12 sin2 t
2
n−1∑k=0
12
(cos kt− cos(k + 1)t) = 1−cosnt4n sin2 t
2=
sin2 n2 t
2n sin2 t2.1538
σn(f, x) = 1πf ∗Kn(x), где Kn(t) = 1−cosnt
4n sin2 t2
=sin2 n
2 t
2n sin2 t2
— ядро Фейера.1539
57
1πKn(t) — аппроксимативная единица для 2π–периодического случая. Действительно, 1
π
∫ π−πKn(t) dt = 11540
(вспомним доказательство теоремы Дини — там было выяснено что-то похожее про ядро Дирихле). Также1541
Kn(t) > 0 на [−π, π].1542
Давайте докажем третье свойство: ∀δ > 0∫ 2π−δδ
Kn(t) dt −−−−→n→∞
0.∫ 2π−δδ
Kn(t) dt 6 1
2n sin2 δ2· 2π −−−−→
n→∞0.1543
То есть, действительно аппр. ед.1544
Теорема 31.4 (Фейера). Если f — 2π–периодичная абсолютно интегрируемая по Курцвейлю–Хенстоку1545
функция, то1546
1. В каждой точке непрерывности f среднее арифметическое ряда Фурье f σn(f, x) −−−−→n→∞
f(x).1547
2. В каждой точке устранимого разрыва или разрыва первого рода σn(f, x) −−−−→n→∞
f(x+0)+f(x−0)2
1548
3. Если f непрерывна на периоде (на R), то σn(f, x)R⇒
n→∞f(x).1549
Доказательство. Первое и третье следует из свойств аппроксимативной единицы. Второе: пусть 2π–периодическая1550
g(x) =
f(x+ 0), x ∈ (x, x+ π)
f(x− 0), x ∈ (x− π, x)f(x), x, x± π
1551
g∗Kn(t) = 1π∫ π
−πg(x−t)Kn(t) dt = f(x−0)=f(x+0)
2. f(x)−g(x) непрерывна в точке x, поэтому σn(f−g, x) −−−−→
n→∞0.1552
Значит, σn(f, x) = σn(f − g, x) + σn(g, x) −−−−→n→∞
f(x+0)+f(x−0)2
. �1553
Если ak — - числовая последовательность, k = 0, 1, . . ., σn — её среднее арифметическое, то σn,kn = 1kn
=1554
=n+Kn−1∑j=n
aj , kn ∈ N.1555
Лемма 31.1. Если σn −−−−→n→∞
S, а отношение nk n
ограничено сверху, то σn,kn −−−−→n→∞
S.1556
Доказательство. knσn,kn = (n+ kn)σn+kn − nσn =n=kn−1∑j=n
aj . σn,kn = σn+kn + nkn
(σn+kn − σn) = σn+kn +1557
+ O(1) · ¯o(1) −−−−→n→∞
S. �1558
Теорема 31.5 (тауберова теорема Харди). Если члены числового ряда∞∑k=0
αk, αk = O( 1k), средние1559
арифметические частичных сумм σn −−−−→n→∞
S, то частичные суммы Sn −−−−→n→∞
S.1560
Доказательство. σn,kn −Sn = 1kn
n+kn−1∑j=n
(Sj −Sn), |σn,kn −Sn| 6 1knkn
∑j=n+1
n+ kn − 1Cj, где |αk| 6 C
k. То1561
есть, |σn,kn − Sn| 6n+kn−1∑j=n+1
Cknn+1
. ∀ε > 0 выберем kn так, что knn+1
< ε, а 1ε< n
kn< 2
ε. Это можно сделать для1562
n > ε2... И что-то та дальше �1563
Теорема 31.6 (признак Дирихле–Жордана). Если f — 2π–периодичная функция ограниченной вари-1564
ации на периоде, то в каждой точке x ряж Фурье f сходится к f(x+0)+f(x−0)2
.1565
Доказательство. Всё, что нужно доказать — это то, что коэффициенты ряда Фурье ведут себя хорошо по1566
отношению к 1n. ck(f) = 1
2π
∫ 2π
0f(t)e−ikt dt = 1
2π∫ 2π
0f(t) · 1
−ik de−ikt = 1
−ik·2π
∫ 2π
0e−iktdf(t).
∣∣∣∫ 2π
0e−iktdf(t)
∣∣∣ 61567
6 |e−ikt| cotVar f = C. Значит, ck(f) 6 Ck. �1568
58