Sequence and Series Electronic-media For Mathayomsuka V

Department of Mathematics Streesmutprakan World-class standard School

Sakul Kangwanklai

ล าดบและอนกรม II

ครสกล กงวาลไกล

A series is the sum of the terms of a sequence. Finite

sequences and series have defined first and last terms,

whereas infinite sequences and series continue

indefinitely.[1]

In mathematics, a sequence is an ordered list of objects

(or events). Like a set, it contains members (also called

elements or terms), and the number of terms (possibly

infinite) is called the length of the sequence.

ล าดบและอนกรม (sequences and series)

ล าดบ คอ ฟงกชนซงมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก

ก าหนดล าดบ a1, a2, a3, ... , an, ...

เรยก a1 + a2 + a3 + ... + an + ... วาอนกรม (Series)

ฟงกชน คอ ความสมพนธซงในสองคอนดบใดๆ ของความสมพนธนน ถาสมาชกตวหนาเหมอนกนแลว สมาชกตวหลงตองไมตางกน

หลกในการพจารณาวาความสมพนธเปนฟงกชนหรอไม ถาความสมพนธนนอยในรปแจกแจงสมาชก ใหดวาสมาชกตวหนาของคอนดบซ ากนหรอไม ถาสมาชกตวหนาของคอนดบซ ากน แสดงวาความสมพนธนนไมเปนฟงกชน

A = { (1,1),(2,3),(3,6),(4,10),(5,15) ,…}

ก าหนดล าดบ a1, a2, a3, ... , an เปนล าดบเลขคณต

a1 +a2,+ a3+ ... +an เปนอนกรมเลขคณต ใหอนกรมเลขคณต = Sn

Sn = a1 +a2+ a3+ ... +an

Sn = a1 +a2+ a3+ ... +an 1 na2 na

Sn = a1 da1 da 21 dna 1... 1

Sn = an+an-1+ an-2 + ... +a3 +a2+ a1

1

Sn = an+ dan dan 2 dnan 1... 2

1 2 + 2Sn = naa 1 naa 1 naa 1 naa 1....

2Sn =n(a1 +an)

Sn = (a1 +an) 2

n

Sn = (a1 + 2

n )11 dna dnan

Sn 122

1

N พจน

dnan

Sn 122

1

nn aan

S 12

แบบฝกหด 4.2.1หนา 171 1.จงหาผลบวก 50 พจนแรกของล าดบเลขคณต 5,7,9,11,13,...

dnan

Sn 122

1

51 a 257 d

2150522

5050 S

......50 S

2.จงหาผลบวก 30 พจนแรกของล าดบเลขคณต 0,2,4,6,8,...

dnan

Sn 122

1

01 a 202 d

2130022

3030 S

.....30 S

3.จงหาผลบวก 40 พจนแรกของล าดบเลขคณต 2,6,10,14,18,...

dnan

Sn 122

1

21 a 426 d

4140222

4040 S

.....40 S

4.จงหาผลบวก 60 พจนแรกของล าดบเลขคณต -2,3,8,13,18,...

dnan

Sn 122

1

21 a 538 d

5160222

6060 S

......60 S

5.จงหาผลบวก 75 พจนแรกของล าดบเลขคณต 5,2,-1,-4,-7,...

dnan

Sn 122

1

51 a 352 d

3175522

7575 S

......75 S

6.จงหาผลบวก 50 พจนแรกของล าดบ เลขคณต , 1 , , 2 , ,...

2

1

2

3

2

5

dnan

Sn 122

1

2

11 a

2

1

2

11 d

2

1150

2

12

2

5050S ......50 S

7.จงหาผลบวก 100 พจนแรกของล าดบ เลขคณต , , , , ,...

3

1 1

3

7

3

1

3

5

dnan

Sn 122

1

3

11 a

3

2

3

11 d

3

21100

3

12

2

100100S ......100 S

8/38 จงหาผลบวกของอนกรมเลขคณตตอไปน

1) 6+9+12+15+…+99 dnaan 11

31699 n

99633 n

963 n

32n

dnan

Sn 122

1

3132622

3232 S

.....32 S

2) (-7)+(-10)+(-13)+(-16)+...+(-109)

dnaan 11

10943 n

1053 n

35n

317109 n

dnan

Sn 122

1

3135722

3535 S

.....35 S

8/38 จงหาผลบวกของอนกรมเลขคณตตอไปน 3) (-7)+(-4)+(-1)+2+...+131

dnaan 11

131103 n

1413 n

317131 n

3147722

4747 S

.....47 S

dnan

Sn 122

1

47n

9/38 จงหาผลบวกของพจนทกพจนของอนกรมเลขคณตทมพจนแรกเปน 6 ผลตางรวมเปน 4 และพจนสดทายคอ 26

dnaan 11

41626 n

2624 n

6n

nn aan

S 12

2662

66 S

.....6 S

10/171 จงหาผลบวกของจ านวนเตมคบวก 100 จ านวนแรก

1+3+5+7+9+...

dnan

Sn 122

1

11 a 2d

21100122

100100 S

.....100 S

11/39 จงหาผลบวกของจ านวนเตมบวกทเปนพหคณของ 3 ยสบจ านวนแรก 3+6+9+12+15+... 31 a 3d

dnan

Sn 122

1

3120322

2020 S

.....20 S

12/39 จงหาผลบวกของจ านวนคตงแต 17 ถง 379

dnaan 11

2117379 n

2217379 n

182n

nn aan

S 12

379172

182182 S

.....182 S

13/171 อนกรมเลขคณตอนกรมหนงมพจนทสบเปน 20 และพจนท 5 เปน 10 จงหาผลบวกตงแตพจนท 8 ถงพจนท 15

dnaan 11

da 11020 1

2091 da 1 da 1510 1

1041 da 2 1 2 -

105 d 2d

10241 a 21 a

ล าดบคอ 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30

dnan

Sn 122

1

2181622

88 S

....8 S

14/171 ชายคนหนงเรมตนท างานตงแต พ.ศ.2540 โดยไดรบเงนเดอน 9500 บาท ถาเขาไดเงนเดอนเพมขนปละ 700 บาท จงหาวาในป พ.ศ.2550 เขาจะไดรบเงนเดอนๆละเทาไร

9500,9500+700,9500+2(700),....

9500,9500+700,9500+2(700),....

dnaan 11

700111950011 a

7000950011 a

.....11 a

พ.ศ.2550 เขาไดเงนเดอนๆละ.............บาท ตอบ

15/171 ทมเรมออมเงนโดยในวนแรกเขาจะมเงนส าหรบเปนเงนออม 1 บาท วนทสอง 2 บาท วนทสาม 3 บาท ไปเรอยๆจนครบ 30 วน ทมจะมเงนออมทงหมดเทาใด

1,2,3,4,...

1130122

3030 S

30n 11 a 1d

dnan

Sn 122

1

311530 S

....30 S

ทมจะมเงนออมทงหมด..........บาท

ตอบ

อนกรมเรขาคณต(Geometric Series)

nn

n rarararararS 1

1

1

3

1

2

11 ... 2

r 1

1

1

2

1

3

1

2

111 ... nn

n rararararaaS 1

2 1 -

11 araSrS n

nn

11 1 n

n rarS

1

11

r

raS

n

n

1 2 - แตถาน า

r

raS

n

n

1

11

อนกรมอนนต เรขาคณต

rarararararS 1

1

1

3

1

2

11 ... 2

r 1

rarararaaS 1

3

1

2

111 ... 1

1 2 - 1arSS

11 arS

r

aS

1

1

infinite series

ล าดบเลขคณต (Arithmetic Sequences)

ล าดบเรขาคณต (Geometric Sequences)

dnaan )1(1

1

1

n

n raaอนกรมเลขคณต (Arithmetic Series)

Sn = (a1 +an) 2

n dnan

Sn 122

1

อนกรมเรขาคณต (Geometric Series) 1

11

r

raS

n

n

r

raS

n

n

1

11

อนกรมอนนต เรขาคณต r

aS

1

1 1rinfinite series

,...,8

1,

4

1,

2

1,1,2 ,...,

27

1,

9

1,

3

1,1,3

r

aS

1

1

แบบฝกหด 4.2.2 หนา 178 1.จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต เมอก าหนดให

2,3,4)1 1 ran

1

11

r

raS

n

n

12

123 4

nS

45nS

4,5,7)2 1 ran

1

11

r

raS

n

n

14

145 7

nS

......nS

3,7,11)4 1 ran

1

11

r

raS

n

n

13

137 11

nS

......nS

5,3,9)3 1 ran

1

11

r

raS

n

n

15

153 9

nS

......nS

2,5,14)5 1 ran

1

11

r

raS

n

n

12

12514

nS

......nS

3

125 14

nS

2/46 จงหาผลบวก 9 พจนแรกของ อนกรมเรขาคณต 2+6+18+54+...

1

11

r

raS

n

n

13

132 9

9

S

13

2

132 99

9

S

.....9 S

3/46 จงหาผลบวก 8 พจนแรกของ อนกรมเรขาคณต 9+12+16+ +...

3

64

1

11

r

raS

n

n

13

4

13

49

8

8S

.....8 S

4/46 จงหาผลบวก 8 พจนแรกของ อนกรมเรขาคณต + + + +...

81

16

3

2

9

4

27

8

1

11

r

raS

n

n

13

2

13

2

3

28

8S

....8 S

5/46 จงหาผลบวกของพจนทกพจนของอนกรมเรขาคณตทก าหนดใหตอไปน

1) 9+27+81+...+729

1

1

n

n raa

139729

n

8131

n

4133

n

41n

5n

1

11

r

raS

n

n

13

139 5

5

S

....5 S

2) 2+8+32+...+8192 1

1

n

n raa

1428192

n

409641

n

6144

n

61n

7n

1

11

r

raS

n

n

14

142 7

7

S

....7 S

3) 4+2+1+...+ 512

1

1

1

n

n raa1

2

14

512

1

n

2048

1

2

11

n

111n 12n

1

11

r

raS

n

n

12

1

12

14

7

12S ....12 S

111

2

1

2

1

n

1

1

n

n raa1

2

116

32

1

n

1632

1

2

11

n

91n 10n

1

11

r

raS

n

n

12

1

12

116

7

10S

....10 S

5) 1+(-2)+4+...+256 1

1

n

n raa

121256

n

8122

n

81n

9n

1

11

r

raS

n

n

12

1219

9

S

....9 S

4) 16+8+4+...+ 32

1

91

2

1

2

1

n

1

1

n

n raa

131729

n

72931

n

61n

7n

1

11

r

raS

n

n

13

1317

7

S

....7 S

6) (-1)+3+(-9)+...+(-729)

6133

n

6133

n

6/46 พลตงใจจะออมเงนโดยวนแรกเขาเกบไว 1 บาท วนทสอง 2 บาท วนทสาม 4 บาท วนทส 8 บาท เชนนเรอยไปครบ 15 วน พลจะมเงนออมทงหมดเทาใด

1+2+4+8+... 1

11

r

raS

n

n

12

121 15

15

S

1215

15 S

......15 S

พลจะออมเงนออมเงนไวได........บาท

ตอบ

7/178 บรษทแหงหนงซอรถยนตในราคา 1,000,000 บาท ถาพนกงานบญชตงคาเสอมราคาไวปละ 20% ซงหมายถงรถยนตคนนราคาจะลดลง 20 % ทกป อยากทราบวาเมอครบ 5 ป รถยนตคนนราคาเทาใด

1000000, ,...10

81000000,

10

81000000

2

1

1

n

n raa

15

55

41000000

a

.....5 a

เมอครบ 5 ป รถยนตคนนราคา.................บาท

ตอบ

8/178 ผจดการฝายขายของบรษทแหงหนงตงใจวา เขาจะเพมยอดขายใหมากขนเปน 3% ของยอดขายเดมทกไตรมาส ถาขณะทเขาท ายอดขายได 300000 บาท ในหนงไตรมาสครบสองปเขาควรท ายอดขายไดไตรมาส ละเทาใด

สองปมทงหมด 8 ไตรมาส

300000, ,...100

103300000,

100

103300000,

100

103300000

32

ยอดขายไตรมาสสดทาย........บาท

ตอบ

1

1

n

n raa

18

8100

103300000

a

.....8 a

9/178 ถงน าใบหนงจ 5832 ลตร ถามการน าน าจากถงไปใชทกวนตลอดสปดาห โดยท แตละวนจะใชน าไป 1/3 ของปรมาณน าทมอยในถง อยากทราบวาเมอครบ 6 วน จะมน าเหลออยในถงกลตร

,....3

25832,

3

25832,5832

2

ปรมาณน าในถงเมอครบ 6 วน.................ลตร

ตอบ

1

1

n

n raa

16

63

25832

a

.....6 a

10/178 ถงน าใบหนงมน าอย 20 ลตร เมอตกน าออกจากถงครงหนง แลวแทนดวยของเหลวชนดหนง จากนนกตกน าทมสวนผสมของของเหลวออกมาครงถงแลวเตมดวยของเหลวชนดเดมลงไปแทน ถาท าเชนนเรอยๆไปครบ 8 ครง จะมน าในถงเทาใด

,...2

120,

2

120,

2

120,20

32

ปรมาณน าในถงเมอครบ 8 ครง.................ลตร

ตอบ

1

1

n

n raa

18

82

120

a

.....8 a

*ล าดบเลขคณตมล าดบทสองเปน 19 และล าดบทสเปน 23 ผลตางรวมของล าดบเปนเทาใด

dnaan 11

da 1219 1

191 da 1 da 1423 1

2331 da 2 2 1 -

42 d 2d

1

1

n

n raa15

15

raa4

15 raa 13

13

raa2

13 raa

1212

1

4

1

3

5 ra

ra

a

a1212 r 11r

*อตราสวนระหวางพจนทหากบพจนทสามของล าดบเรขาคณตเปน 121 อตราสวนรวมของล าดบนเปนเทาใด

X

XX 9

9

81X

dnan

Sn 122

1

31122

nn

Sn

3322

nn

Sn

132

nn

Sn

*ผลบวกของ 1+4+7+10+.. nพจนเปนเทาใด

*ถา 9,X,9X เปนล าดบเรขาคณต จงหาคา X

จงหา .....125

1

25

1

5

115

r

aS

1

...1

5

S

*ล าดบ(ผสม) 3,6,11,20,,..... มพจนท n เปนเทาใด

3 6 11 20

21+1 22+2 23+3 24+4 25+5 2n+n na n

n 2

ล าดบ(ผสม) 2,15,72,297,..... มพจนท n เปนเทาใด

2 15 72 297

32-1x{(3x2)-1)}

133 1 na n

n

33-1x{(3x3)-1)} 34-1x{(3x4)-1)} 31-1x{(3x1)-1)}

2 18 4 15 6 17 8 19 ….

3 10 15 7 8 3 11 12 6 15 7 9 ….

2 , 5 , 12 , 31 , 86,

1+30 2+31 3+32 4+33 5+34

4 , 3 , 1 , -3 , -11,

5-20 5-21 5-22 5-23 5-24

ธนาคาร A ธนาคาร B เงนตน 1,000,000 บาท อตราดอกเบยรอยละ 9 ตอป เงนปนผลปละ 20,000 บาท ใชเวลา 5 ป

เงนตน 1,000,000 บาท อตราดอกเบยรอยละ 9 ตอป เงนปนผล ไมม ใชเวลา 5 ป

1

1

n

n raa

เงนปนผลปละ 20,000 บาท เวลา 5 ปเปนเงน.............บาท

1

1

n

n raa

1.จงหาผลบวกทอยระหวาง 20 กบ 100 ทหารดวย 7 ลงตว ล าดบแรก 2173 ล าดบทสอง 2874 ล าดบสดทาย 98

dnaan )1(1

7)1(2198 n nn aa

nS 1

2

2. 5 3 27 5S

1

1

n

n raa 1

11

r

raS

n

n

31 a

15

5 3 ra

273 4

5 ra

3

27

3

3 4

1

5 r

a

a

44 39 r

3r

2r

3. ใ ออ อซอ อ NIKE ออ ไ 20 ถ ไ ออ 2 อ อ ส อ 6 ออ ไ อ 20,40,80,160,320,...

1

11

r

raS

n

n

12

1220 6

6

S

ล าดบตอไปน 7,29,133,...

จงหาล าดบท 8 และอนกรมพจนท 8

7, 29, 133,...

21 +51 22 +52 23 +53

จงหาผลบวกอนนต

ของล าดบตอไปน 7,1,1/7,1/49,....

r

aS

1

1

7

11

7S

7

17

7S

7

6

7S

6

49S

6

18S

ล าดบท 8 ของ 21,22,23,... คอ 1 n

n ara

ล าดบท 8 ของ 51,52,53,... คอ

1 n

n ara18

8 22 a8

8 2a

2568 a

18

8 55 a8

8 5a

3906258 a

ล าดบท 8 คอ 390881

อนกรม 8 พจน ของ 21,22,23,... คอ อนกรม 8 พจน ของ 51,52,53,... คอ

1

11

r

raS

n

n

12

122 8

8

S

229

8 S

1

11

r

raS

n

n

15

155 8

8

S

4

559

8

S

อนกรม 8 พจน คอ ..........