Сплетенные кубики

Балашовский филиал

Саратовского государственного университета

им. Н. Г.Чернышевского

А. В. Шатилова, Е. В. Сухорукова,

Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова

Внеурочная работа по математике

в условиях дифференциации обучения

Учебное пособие

Второе издание, дополненное

Рекомендовано УМО по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 032100 (050201) — математика.

Балашов 2005

УДК 51(09)

ББК 22.1я729

Ш28

Рецензенты:

Доктор педагогических наук, чл.-корр. Российской академии образования,

профессор Мордовского государственного педагогического инститта

им. М. Е. Евсевьева

Г. И. Саранцев;

Учитель математики 1-й категории средней школы № 1 г. Балашова

О. А. Русанова.

Шатилова, А.В.

Ш28 Внеурочная работа по математике в условиях дифференциации обучения : учеб. пособие. — 2-е изд., доп. / А. В. Шатилова, Е. В. Сухорукова, Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова. — Балашов: «Николаев», 2005. — 180 с.

ISBN 5—94035—203—0

В пособии представлены некоторые аспекты реализации различных видов внеурочной работы по математике в условиях дифференциации обучения, методические рекомендации по организации ее систематических и эпизодических форм: факультативов, кружков, предметных недель по математике. Также авторами рассматривается одна из форм внешкольной работы — районная олимпиада по математике памяти М. Я. Суслина, проводимая на базе Гуманитарно-педагогического лицея-интерната г. Балашова.

Предлагаемые материалы могут быть использованы учителями математики, студентами математических специальностей педагогических вузов в процессе организации и проведения внеклассной работы.

УДК 51(09)

ББК 22.1я729

ISBN 5—94035—203—0 © А. В. Шатилова, Е. В. Сухорукова,

Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова, 2005

О г л а в л е н и е

Глава 1. Методика организации систематических форм внеурочной работы по математике

1.1. Внеурочная работа по математике как важное средство

реализации дифференцированного подхода6

1.2. Методические рекомендации по организации факультативов

по математике11

1.3. Методические рекомендации по проведению занятий

математического кружка20

Глава 2. Методика организации эпизодических форм внеурочной работы по математике

2.1. Методические рекомендации по подготовке и проведению

недели математики29

2.2. Районная олимпиада по математике памяти М.Я.Суслина63

Заключение106

Приложения107

Список литературы196

Предисловие

Внеклассная работа является неотъемлемой частью профессиональной деятельности учителя математики. Ее эффективность определяется правильным выбором форм и методов проведения, учитывающим профиль обучения школьников, уровень их математической подготовки, интерес к изучаемому предмету и т. п. В настоящее время широкое распространение получила концепция профильной дифференциации. Она реализуется через сеть профильных классов в общеобразовательных школах, а также в инновационных учебных заведениях — лицеях, гимназиях, колледжах и др. Учителю математики необходимо использовать новые подходы, технологии не только в процессе обучения, но и в организации внеурочной работы.

В настоящем пособии отражена специфика организации внеурочной работы по математике в условиях профильной дифференциации обучения в старших классах средней школы.

Авторами описывается система внеурочной работы по математике, реализуемая на базе Гуманитарно-педагогического лицея-интерната (ГПЛИ) г. Балашова и обобщается многолетний опыт работы.

Начинающие учителя и студенты математических специальностей педагогических вузов нуждаются в конкретных дидактических материалах, поэтому, рассказывая о методике проведения тех или иных внеклассных мероприятий, мы приводим примерные программы факультативных курсов и математических кружков, сценарии математических КВНов, викторин, устных журналов и т. п. Приведены условия задач математических боев и олимпиад, многие из которых снабжены решениями.

В конце пособия указана литература, которую читатель может использовать в процессе организации внеурочной работы по математике.

Вашему вниманию предлагается второе издание учебного пособия, которое по откликам учителей и студентов оказалось весьма полезным в организации и проведении внеурочной работы по математике.

Авторы выражают благодарность за оказание финансовой поддержки при повторном издании настоящего пособия администрации Балашовского филиала Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского (БФСГУ), администрации и коллективу Гуманитарно-педагогического лицея-интерната г. Балашова, а также студентам физико-математического факультета БФСГУ, принимавшим участие в организации и проведении внеурочной работы по математике на базе ГПЛИ.

Авторами написаны следующие разделы: Е. В. Сухорукова (гл. 1, 1.3, приложение 1), А. В. Шатилова, Е. Ю. Павлова, О. А. Задкова (предисловие, гл. 1, гл. 2, приложение 2, заключение).

Глава 1Методика организации систематических форм внеурочной работы по математике

1.1. Внеурочная работа по математике как важное средство реализации дифференцированного подхода

Под внеурочной работой мы будем понимать систему занятий по математике, которая проводится во внеучебное время. Внеурочная работа по математике способствует расширению и углублению знаний учащихся, обеспечивает оптимальное развитие их математических способностей и интереса к изучаемому предмету, а также прививает им определенные навыки научно-исследовательского характера. В методической литературе обычно выделяют три вида внеурочной работы по математике:

1) внеклассная работа;

2) внешкольная работа;

3) заочная работа.

Внеклассная работа является одной из важных составляющих процесса математического образования школьников, органично дополняя учебную работу по предмету. Внеклассная работа проводится, как правило, учителем с учащимися тех классов, где сам учитель преподает математику. В процессе реализации различных форм внеклассной работы на базе одного учебного заведения возможно совместное проведение мероприятий несколькими учителями математики для учащихся разных классов. Формы внеклассной работы по математике весьма разнообразны и подробно освещены в педагогической и методической литературе. На практике часто используются такие формы, как неделя или декада математики, вечера, утренники, различные соревнования, игры, викторины, конкурсы, школьные олимпиады, математическая печать, научные конференции, подготовка учащимися докладов, рефератов и сочинений по математике, ее истории и приложениям, изготовление математических моделей и др. Наряду с перечисленными формами внеклассной работы, которые реализуются периодически, используются систематические формы работы — математический кружок и факультативные занятия.

Факультативы были введены в среднюю школу в 1966 году. Обычно в учебно-методической литературе они рассматриваются как форма учебной работы, которая способствует углублению и расширению знаний учащихся по предмету, развитию интереса к предмету, приобщению к исследовательской работе и т. д. Однако, учитывая некоторые особенности организации факультативных занятий (свобода выбора факультатива школьниками, объединение учащихся из параллельных или последовательных классов в факультативные группы и т. д.), можно считать, что факультатив — это одна из форм внеурочной работы по математике. Факультатив дополняет основной курс школьной математики, обогащает его. Факультативные занятия представляют большие возможности подготовки к математическим олимпиадам, научно-практическим конференциям, содействуют профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений. В настоящее время согласно новой концепции математического образования, ориентированной на предпрофильную и профильную подготовки учащихся средней школы, факультативы из учебного плана исключаются, уступая место элективным курсам.

Элективные курсы — обязательные курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы выполняют, по крайней мере, три основных функции. Одни из них могут выступать в роли «надстройки», дополнения содержания профильного курса. В этом случае такой дополненный профильный курс становится в полной мере углубленным, а школа (класс), в которой он изучается, превращается в традиционную спецшколу с углубленным изучением отдельных учебных предметов. Другой тип элективных курсов может развивать содержание одного из базисных курсов, изучение которого в данной школе (классе) осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне. Это позволяет интересующимся школьникам удовлетворить свои познавательные потребности и получить дополнительную подготовку, например, для сдачи ЕГЭ по этому предмету на профильном уровне. Третий тип элективных курсов направлен на удовлетворение познавательных интересов отдельных школьников в областях деятельности человека, как бы выходящих за рамки выбранного им профиля.

Внешкольная работа по математике предполагает организацию занятий с учащимися из разных школ, которые могут проводиться на базе вуза его преподавателями. По форме организации это может быть вечерняя математическая школа, воскресная математическая школа, летняя математическая школа и т. п. Хорошо зарекомендовали себя и такие формы внешкольной работы, как научные конференции школьников, а также математические олимпиады — районные, городские, областные, республиканские.

Заочная работа со школьниками не предусматривает непосредственных контактов учителя с учеником. Наиболее распространенными формами заочной работы являются заочные математические школы, заочные олимпиады, конкурсы по решению задач. Заочные математические школы действуют при ведущих вузах страны. Систематически заочные олимпиады и конкурсы по решению задач проводятся журналами «Математика в школе», «Квант» и др. Обратная связь с учащимися осуществляется либо путем рецензирования каждой работы и возвращением ее обратно ученику, либо путем разбора задач на страницах журнала с анализом присланных в адрес редакции решений. Как показывает практика, в заочном решении математических задач принимают участие школьники как в индивидуальном порядке, так и коллективы школьных математических кружков. Таким образом, задания для заочной работы могут быть использованы во внеклассной и внешкольной работе по предмету.

В процессе реализации различных видов и форм внеурочной работы по математике необходимо учитывать идеи личностно-ориентирован-ного образования, по сути предусматривающие дифференцированный подход как к обучению, так и к организации внеурочной работы с учетом уровня интеллектуального развития школьников, а также их подготовки по данному предмету, способностей и интересов.

Проблема дифференциации обучения принадлежит к числу традиционных для отечественной школы. Ее методологические основы отражены в работах Ю. К. Бабанского, А. А. Кирсанова, И. Я. Лернера, Х. И. Лийметс, А. З. Макоева, Е. С. Рабунского, И. Э.Унт, Р. А. Утеевой, В. Ф. Чучкова и др. Различные аспекты дифференцированного обучения математике исследованы в работах С. В. Алексеева, В. А. Гусева, М. И. Зайкина, Ю. М. Колягина, Г. И. Саранцева, И. М. Смирновой, А. А. Столяра, Н. А. Терешина и др. Они внесли значительный вклад в развитие теории и практики дифференцированного обучения математике.

Образование на современном этапе характеризуется усилением внимания к ученику. Учебный процесс строится так, чтобы знания, получаемые учеником, имели для него личностный смысл, сам ученик был бы в центре процесса обучения. Полноценное образование человека возможно лишь в условиях гуманизации, которая означает, прежде всего, необходимость его дифференциации.

В концепции развития школьного математического образования задачи дифференциации формулируются следующим образом: «Дифференциация способствует более полному учету индивидуальных запросов учащихся, развитию их интересов и способностей, достижению целей образования. В условиях дифференцированного обучения ученик реализует право выбора предмета или уровня обучения в соответствии со своими склонностями: известная однородность интересов и уровня подготовленности учащихся облегчает и делает более эффективной работу учителя» [22, с. 7].

В педагогической литературе различают понятия «внутренней» и «внешней» дифференциации. Под внутренней (уровневой) дифференциацией понимается такая организация учебного процесса, при которой индивидуальные особенности учащихся учитываются в условиях организации учебной деятельности на уроке в своем классе. При внешней (профильной) дифференциации учащиеся разного уровня обученности специально объединяются в учебные группы.

В последнее время все большее признание и распространение получила концепция профильного дифференцированного образования, которая реализуется через сеть классов с углубленным изучением отдельных предметов в общеобразовательных школах, а также в различных инновационных учебных заведениях, ориентированных на подготовку к дальнейшему продолжению образования по выбранной специальности в соответствии с интересами и способностями учащихся. Несмотря на то, что в профильные классы поступают школьники, уже проявившие интерес к соответствующему предмету, в процессе обучения наблюдается их расслоение. В связи с этим имеет место уровневая дифференциация, которая предполагает различные варианты планирования обязательных результатов обучения.

В нашем регионе Концепция профильной дифференциации реализуется, в частности, в Гуманитарно-педагогическом лицее-интернате (ГПЛИ), организованном в 1995 году при Балашовском филиале СГУ им. Н. Г. Чернышевского для одаренных молодых людей из городов и сельских районов Правобережья Саратовской области, выпускников девятилетней школы. Обучение в лицее осуществляется по трем направлениям: социально-гуманитарное, естественно-научное и физико-математическое.

Главной задачей коллектива ГПЛИ является выявление талантливой молодежи и обучение ее по специальным программам, направленным на развитие творческих способностей личности, подготовка ее к самостоятельной жизни в новых социально-экономических условиях, к успешному усвоению программ высшего образования.

Дифференцированный и индивидуальный подходы к учащимся как в организации учебных занятий, так и во внеурочной деятельности занимают важное место. Наличие разнопрофильных классов в лицее оказывает влияние на организацию, структуру и содержание внеурочной работы по математике. Внеклассная работа по математике в ГПЛИ планируется методическим объединением учителей математики. При этом учитываются интересы и способности учащихся классов различных профилей. В план включаются как систематические формы внеклассной работы, так и эпизодические. Постоянно действующей формой работы по математике в классах математического и естественно-научного направлений являются факультативы. Одной из важных задач занятий факультатива является подготовка лицеистов к участию в предметных олимпиадах.

Ежегодно в ноябре, начиная с 1996 года, на базе ГПЛИ проводится олимпиада по математике для учащихся 10-х и 11-х классов памяти нашего земляка, талантливого ученого — М. Я. Суслина (15.11.1894—21.10.1919). В 1998 году эта олимпиада получила статус районной. В состав оргкомитета и жюри олимпиады входят ведущие преподаватели физико-математического факультета Балашовского филиала СГУ им. Н.Г. Чернышевского. Олимпиада проводится при содействии районного управления образования и администрации лицея в рамках декады математики в лицее. План проведения декады математики формируется с учетом профиля класса, уровня математической подготовки учащихся, а также запросов и индивидуальных наклонностей различных групп учащихся.

Знание особенностей организации внеклассной работы по математике, овладение методиками проведения разнообразных внеклассных мероприятий является частью методической культуры учителя. Решению задач профессиональной подготовки студентов педвуза способствует работа проблемной группы, действующей на базе лицея, руководство которой осуществляют ведущие преподаватели физико-математи-ческого факультета БФСГУ. В процессе деятельности студенты знакомятся с различными направлениями содержания внеклассной работы по математике в условиях дифференциации обучения, целями и формами внеклассной работы. Формированию профессиональных умений и навыков у студентов способствует их активное участие в организации и проведении внеклассных мероприятий в ГПЛИ. Лицей является экспериментальной площадкой Балашовского филиала СГУ им. Н. Г.Черны-шевского, на базе которой студенты вуза проводят научно-методи-ческие исследования по заданиям кафедр, органов народного образования. Материалы исследований включаются в содержание выпускных квалификационных работ, тематика которых направлена на разработку студентами авторских факультативных курсов, их апробация осуществляется в профильных классах.

Внеурочная работа по математике является важным средством осуществления дифференцированного подхода. При выборе форм и методов внеклассной работы необходимо учитывать профиль класса, индивидуальные и возрастные особенности учащихся.

Более подробно методика организации внеклассной работы в условиях дифференциации будет рассмотрена в следующих параграфах.

1.2. Методические рекомендации по организациифакультативов по математике

В ГПЛИ факультативы проводятся по авторским программам, получившим положительное заключение кафедр физико-математического факультета БФСГУ и утвержденным на заседании педагогического совета лицея.

Отличительной чертой организации факультативов в ГПЛИ является полный охват учащихся классов математического и естественно-научного профилей этим видом работы. В этих классах обязательный курс математики изучается по программам средней общеобразовательной школы, а на изучение факультативных курсов выделяется дополнительное время (до двух часов в неделю). Обязательные и факультативные занятия проводит один и тот же учитель; часы факультативных занятий включены в расписание как обычные уроки.

В классах естественно-научного профиля основной целью проведения факультативного курса является подготовка к выпускным и вступительным экзаменам по математике. Содержание данного факультатива — решение задач школьной программы, предлагаемых на экзаменах в школе и в вузах. На факультатив отведен дополнительно один час в неделю.

В математических классах ГПЛИ изучаются отдельно три предмета математического цикла: алгебра, геометрия, начала анализа. Занятия проводятся преподавателями кафедр соответствующего профиля физико-математического факультета БФСГУ. Согласно учебному плану в математических классах реализуются два факультативных курса: по геометрии и по математическому анализу.

Приведем программу факультативного курса для учащихся 11-го математического класса, составленную старшим преподавателем кафедры алгебры и геометрии БФСГУ Е. Ю. Павловой.

Программа факультативного курса по геометрии

«Комбинации геометрических тел»

Пояснительная записка. В материалы Централизованного тестирования и в варианты вступительных экзаменов в вузы включаются задачи на различные комбинации геометрических тел. Однако в содержании базового курса по геометрии для средней школы не в полной мере представлены теоретические и практические аспекты данной темы. В связи с этим актуальным является проведение факультатива по теме «Комбинации геометрических тел».

Основными его целями являются: рассмотрение различных случаев взаимного расположения геометрических тел в пространстве, формирование у школьников умений и навыков решения задач по данной теме, подготовка учащихся к выпускным и вступительным экзаменам в вузы.

На проведение данного факультатива отводится 16 часов. Основная форма проведения — практические занятия. На занятиях актуализируются и систематизируются знания, полученные школьниками при изучении следующих тем базового курса: «Многогранники», «Тела вращения», «Объемы и поверхности тел». При решении задач привлекается планиметрический материал: соотношения между сторонами и углами в треугольниках, площади плоских фигур и т. д.

В содержание практических занятий включены задачи, аналогичные тем, которые предлагаются при проведении Централизованного тестирования по математике и на вступительных экзаменах в вузы.

Тематический план факультативного курса

Призма-призма

1 час

Пирамида-призма

1 час

Призма-цилиндр

1 час

Пирамида-цилиндр

1 час

Пирамида-конус

1 час

Призма-конус

1 час

Призма-сфера (шар)

2 часа

Пирамида-сфера (шар)

2 часа

Конус-сфера (шар)

1 час

Конус-цилиндр

1 час

Цилиндр-сфера (шар)

2 часа

Зачетная работа в виде теста

(2 варианта)

2 часа

Всего:

16 часов

Рассмотрим примерное содержание факультативного занятия на тему «Комбинации конуса и пирамиды».

Тип занятия. Изучение нового материала.

Характеристика темы занятия.

Содержанием темы является понятие пирамиды, вписанной в конус и описанной около него. (На предыдущем занятии были рассмотрены определения призмы, вписанной в цилиндр и описанной около него.) На данном занятии формируется умение применять изученные факты в конкретных ситуациях. Для этого подобраны упражнения на применение этих фактов в простых и сложных ситуациях.

Цели занятия:

— сформировать понятие пирамиды, вписанной в конус и описанной около него;

— формирование действий, адекватных определению понятий, с использованием моделей для установления связей между рассматриваемыми телами;

— формирование умений работы с задачами по данной теме;

— развитие гибкости мышления — быстрой перестройки мыслительных действий при варьировании условий задачи.

Оборудование. Каркасные модели конусов и пирамид и модели из картона; чертежи; демонстрационный столик.

Методы обучения. Эвристический метод, аналогия, репродуктивный метод.

Структура занятия.

1. Постановка цели.

2. Актуализация знаний и умений.

3. Формирование понятий.

4. Применение к решению задач.

5. Подведение итогов работы на уроке.

6. Задание на дом.

Ход занятия.

1. Постановка цели.

2. Актуализация знаний.

Повторение определений конуса и пирамиды, определений призмы, вписанной в цилиндр и описанной около цилиндра.

3. Формирование понятий.

Используя плакаты с чертежами (рис. 1—4) и модели, ввести определения пирамиды: а) вписанной в конус; б) описанной около конуса. Определения формулируются самими учащимися на основе анализа конкретных ситуаций, создаваемых учителем.

Определения: а) Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

б) Пирамида называется описанной около конуса, если ее основанием является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Разъяснить понятия «конус вписан в пирамиду» и «конус описан около пирамиды» и сформировать умения учащихся в выполнении чертежей, а также в установлении зависимостей между величинами при решении задач.

4. Применение к решению задач.

Задание. Составьте текст задачи по чертежу (рис. 1) и символической записи данных и искомых.

Дано: (восполнить пробел);

Найти:

APB

S

D

.

Решите составленную задачу.

Рис. 1

Рис. 2

Учащимся дается некоторое время на обдумывание формулировки задачи, затем эта формулировка уточняется, и составленная задача предлагается к решению.

Текст задачи. В конус вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с острым углом

a

и площадью

S

. Боковая грань пирамиды, которая проходит через катет, прилежащий к углу

a

, наклонена к плоскости основания под углом

b

. Найти площадь осевого сечения конуса.

Предлагаемая задача относится к задачам динамического характера, когда каждая новая ситуация возникает при постановке дополнительных условий в предыдущей.

Рис. 3

Рис. 4

Решение

Построим плоский чертеж основания пирамиды (рис. 5).

Рис. 5

Пусть

a

NK

=

.

1)

,

H

OP

;

R

AB

2

1

;

OP

AB

2

1

APB

S

=

=

×

=

D

тогда

.

H

R

S

APB

×

=

D

2) Из

.

;

sin

:

a

a

ctg

a

MK

a

MN

MKN

×

=

=

D

3)

.

2

2

1

;

2

1

2

a

a

tg

S

a

ctg

a

S

NK

MK

S

MNK

×

=

Þ

=

×

=

D

4)

,

2

1

NK

OE

=

как средняя линия треугольника MNK,

,

2

1

;

2

2

2

1

MN

R

tg

S

a

OE

=

×

=

=

a

как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника;

.

sin

2

2

sin

2

a

a

a

tg

S

a

R

×

=

=

5)

.

;

2

2

;

:

)

2

2

;

;

90

(

H

PO

tg

tg

S

PO

tg

OE

PO

tg

S

OE

E

O

POE

=

×

×

=

×

=

×

=

=

°

=

Ð

D

b

a

b

a

b

6)

.).

.

(

cos

2

sin

4

2

2

2

sin

2

2

ед

кв

tg

S

tg

tg

S

tg

tg

S

tg

S

H

R

S

APB

a

b

b

a

a

b

a

a

a

×

=

=

×

×

=

×

×

×

×

=

×

=

D

Ответ:

.

.

cos

2

ед

кв

tg

S

S

APB

a

b

×

=

D

Решите задачу (рис. 3). В правильную треугольную пирамиду, у которой высота в два раза больше стороны основания, вписан конус. Около этой пирамиды описан еще один конус. Найти отношение площадей боковых поверхностей этих конусов.

Решение. Для удобства введем обозначения: а — сторона основания пирамиды, r, R — радиусы оснований соответственно вписанного и описанного конусов; l1, l2 — образующие вписанного и описанного конусов; S1, S2 — площади боковых поверхностей соответственно вписанного и описанного конусов.

1)

,

3

;

3

2

;

;

2

2

1

1

a

R

a

r

Rl

S

rl

S

=

=

=

=

p

p

тогда

.

3

2

3

2

1

2

1

2

1

l

l

l

a

l

a

S

S

=

×

×

×

×

×

=

p

2) Выразим образующие конусов через сторону основания пирамиды, зная, что

a

H

2

=

. Используем для этого теорему Пифагора.

.

3

13

3

4

;

:

;

3

2

7

12

4

;

:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

×

=

+

=

+

=

+

=

D

=

+

=

+

=

+

=

D

a

a

a

R

H

l

OP

OA

AP

AOP

a

a

a

r

H

l

OP

OM

PM

MOP

3)

.

13

4

7

13

3

2

2

3

7

2

1

=

×

×

=

a

a

S

S

Ответ:

.

13

4

7

2

1

=

S

S

5. Подведение итогов занятия.

6. Задание на дом.

1) Докажите, что высота пирамиды совпадает с высотой вписанного в нее (описанного около нее) конуса.

2) Составьте текст задачи по чертежу (рис. 2) и символической записи данных и искомых. Решите задачу.

Дано: (восполнить пробел);

.

2

;

;

j

j

=

Ð

=

Ð

=

BAC

MNO

r

OK

Найти:

.

.

пир

бок

S

Текст задачи: Радиус основания конуса равен r, а образующая наклонена к плоскости основания под углом φ. Около этого конуса описана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с острым углом 2φ. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ:

(

)

j

j

j

sin

2

cos

2

sin

1

2

.

.

×

+

=

r

S

пир

бок

кв. ед.

Факультатив завершается зачетной контрольной работой, на которую отводится два часа. Форма контрольной работы — тест, примерные варианты которого приведены ниже.

Тест: Комбинации фигур

Вариант I

1. Если диаметр основания конуса равен 18, а радиус вписанного в него шара равен 7,2, то высота конуса равна

а) 80; б) 40; в) 20; г) 160.

2. Площадь поверхности правильного тетраэдра равна 12

3

см2. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в этот тетраэдр.

а) 3

p

6

см2; б) 6π см2; в) 4π см2; г) 2

p

6

см2.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данный параллелепипед, если площадь боковой поверхности параллелепипеда равна S.

а)

2

sin

a

p

×

S

; б)

2

cos

a

p

×

S

; в)

4

sin

a

p

×

S

; г)

8

sin

a

p

×

S

.

4. Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 8 см описан шар. Найдите радиус шара.

а) 4

2

см; б) 4,75 см; в) 4 см; г) 4,5 см.

5. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар объемом

p

3

4

см3 . Найдите объем пирамиды, если ее высота 5 см.

а) 10 см3; б)

3

25

см3; в) 12,5 см3; г)

9

100

см3.

6. В полушар вписан цилиндр, причем одно из оснований цилиндра лежит в плоскости диаметрального круга полушара, а высота цилиндра вдвое меньше радиуса полушара. Найдите отношение объема цилиндра к объему полушара.

а)

4

3

; б)

16

9

; в)

8

5

; г)

9

5

.

7. Если сфера касается всех граней правильной треугольной призмы с длиной ребра основания 3, то радиус сферы равен

а)

3

3

9

; б)

4

3

3

; в)

5

3

3

; г)

.

2

3

8. В конус, высота которого равна 4

2

дм, а радиус основания 2 дм, вписан куб, четыре вершины которого принадлежат основанию, а четыре другие вершины — боковой поверхности. Найдите ребро куба.

а)

2

2

дм; б) 1,2

2

дм; в) 0,5

2

дм; г)

3

2

4

дм.

Вариант II

1. В сферу вписан конус с высотой, равной диаметру основания. Если площадь основания конуса равна 2,4, то площадь сферы равна:

а) 6; б) 9π; в) 15; г) 15

p

.

2. Площадь поверхности правильного тетраэдра равна 30

3

см2. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в этот тетраэдр.

а) 8

p

3

см2; б) 12,5π см2; в) 10π см2; г) 8

p

2

см2.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого β. Найдите объем цилиндра, вписанного в данный параллелепипед, если объем параллелепипеда равен V.

а)

2

sin

b

p

×

V

; б)

2

sin

2

b

p

×

V

; в)

4

sin

b

p

×

V

; г)

4

sin

2

b

p

×

V

.

4. Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 9 см и высотой 10 см описан шар. Найдите радиус шара.

а) 6 см; б) 6,35 см; в) 5,6 см; г) 7,25 см.

5. В конус вписан шар объемом

p

3

4

см3 . Найдите объем конуса, если его высота 3 см.

а)

p

3

2

см3; б) 4π см3; в) 3π см3; г)

p

2

3

см3.

6. В полушар вписан цилиндр, причем одно из оснований цилиндра лежит в плоскости диаметрального круга полушара, а высота цилиндра втрое меньше радиуса полушара. Найдите отношение объема цилиндра к объему полушара.

а)

3

5

6

; б)

9

4

; в)

9

5

; г)

9

3

2

.

7. Если сфера радиуса 3 касается всех граней правильной шестиугольной призмы, то длина ребра основания призмы равна

а)

3

3

; б)

3

4

; в)

3

; г)

.

3

2

8. В правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 4

2

дм и высотой 6

2

дм вписан куб. Найдите ребро куба.

а)

2

8

,

1

дм; б) 2

2

дм; в) 2,4

2

дм; г)

2

3

дм.

Замечание: в каждом задании буква верного ответа выделена жирным шрифтом.

В процессе подготовки к зачету учащимся предлагаются для самостоятельного решения задания, выполнение которых способствует успешному усвоению данной темы.

Задания к зачету по теме «Комбинации геометрических тел»

1. Радиус основания кругового конуса равен r, а образующие наклонены к плоскости основания под углом

a

. Около конуса описана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с углом

b

. Определить боковую поверхность пирамиды.

2. В шар вписан круговой конус. Образующие конуса наклонены к плоскости основания под углом

a

. Боковая поверхность конуса равна

Q

. Определить поверхность шара.

3. Образующие кругового конуса наклонены к плоскости основания под углом

a

, а сумма высоты конуса и радиуса основания равна

m

. Найти поверхность и объем шара, вписанного в этот конус.

4. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, в три раза больше радиуса шара, вписанного в нее. Найти двугранный угол

j

между основанием и боковой гранью.

5. Угол между соседними боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды равен

a

, радиус описанной около пирамиды сферы равен R. Найти длину бокового ребра пирамиды и ее объем.

6. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н. Перпендикуляр, опущенный из центра описанного вокруг пирамиды шара на ее боковую грань, образует с высотой угол

a

. Определить объем шара.

7. Около шара описана правильная треугольная призма, а около призмы описан шар. Найти отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.

8. Около шара описан усеченный конус. Отношение объема конуса к объему шара равно

6

13

. Найти угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

9. Объем конуса, в который вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом

a

при вершине, равен V. Найти боковое ребро пирамиды.

10. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через боковое ребро и высоту пирамиды. Отношение площади сечения к площади основания равно k. Найти отношение объема вписанного в пирамиду шара к объему вписанного в пирамиду конуса.

11. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник. Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна h и составляет с одним из катетов угол α. Найти объем призмы, если известно, что в нее вписан шар.

1.3. Методические рекомендации по проведению занятийматематического кружка

Наряду с факультативами систематической формой внеклассной работы по математике являются математические кружки. Для учащихся, посещающих занятия кружка, не требуется дополнительных знаний по математике, поэтому в условиях профильной дифференциации кружковые занятия позволяют объединить учащихся разных классов. В ходе занятий перед школьниками ставятся задачи поискового, изобретательского характера: создание новых приборов, установок, усовершенствование существующих. В настоящее время поиск способов повышения качества математического образования ведется по различным направлениям. В связи с этим в процессе обучения используются всевозможные методы и средства, способствующие повышению уровня знаний и умений школьника, а также всестороннему развитию его личности. Одним из таких средств является применение наглядных пособий в процессе обучения и самостоятельное изготовление их учащимися. Еще Я. А. Коменский считал принцип наглядности «золотым правилом дидактики». И в наше время проблема умелого использования наглядности остается актуальной.

Подробнее опишем содержание занятий кружка, посвященных моделированию (изготовлению наглядных пособий), которое разработано и апробировано заведующей кафедрой математики и методики преподавания математики БФСГУ, кандидатом педагогических наук, доцентом Е. В. Сухоруковой. Во-первых, изготавливая модели, математический кружок может оказать большую помощь в оборудовании математического кабинета, что является немаловажным в современных экономических условиях, а во-вторых, моделирование приносит большую пользу самим школьникам, ибо изготовление моделей способствует более глубокому усвоению учащимися школьного курса математики. Школьник приобретает полезные навыки практического характера. Прежде чем сделать модель, школьнику приходится продумать технологию ее изготовления, продумать, какие элементы модели находить путем измерений, а какие вычислениями. От этой подготовительной работы зависит не только качество модели, но и простота ее изготовления.

Важно помнить, что моделирование помогает не только поддерживать интерес к математической литературе, описывающей способы изготовления моделей и других наглядных пособий, но и развивать воображение ребенка, давать ему наглядное представление о многих сложных теоретических вопросах математики.

Современная теория и методика обучения математике считает, что применение наглядных пособий есть эффективное средство при изучении математики, которое способствует не только лучшему усвоению знаний, но и созданию на уроках обстановки заинтересованности, облегчает восприятие, следовательно, повышается качество обучения.

Анализ состояния современных кабинетов математики показывает, что в основном в школах имеются в наличии таблицы, плакаты, дидактические материалы, раздаточный материал, наборы чертежных инструментов. Моделей геометрических фигур явно недостаточно. Это частично можно объяснить тем, что многие предприятия прекратили выпуск наглядных пособий и средства наглядности почти не приобретаются. Частичное решение этой проблемы возможно путем конструирования наглядных пособий самими школьниками под руководством учителя.

Наглядные пособия помогают созданию у учеников пространственных представлений и развивают конструктивные способности, помогают развивать и некоторые практические навыки учащихся. Преподавание геометрии без наглядных пособий едва ли возможно себе представить. Создание наглядных пособий самими школьниками, анализ конструкций производственных образцов, демонстрация их на уроках оказывают значительное влияние на развитие учащихся.

В последние годы, в связи с дифференциацией обучения, появлением классов различной профильной направленности, по-новому встают вопросы о методах обучения математике. Наиболее интересной является постановка преподавания геометрии в классах различной профильной направленности с использованием наглядных пособий, а также решение вопросов по изготовлению наглядных пособий самими учащимися. Необходимы новые подходы к их использованию, которые учитывали бы специфику таких классов, но при этом сохраняли бы достаточно высокий общий уровень математического образования.

Иногда учителя недооценивают роль наглядных пособий в формировании умения решать геометрические задачи, а также в самостоятельном получении новых для учеников фактов. Наглядные пособия используются в основном как средство предъявления условия теоремы или геометрической задачи. Между тем наглядные пособия могут служить базой для исследования возможных случаев соотношения между элементами фигуры, а также представить материал для анализа и геометрических обобщений.

Сформулируем следующие положения, которые необходимо учитывать в практике обучения:

Роль одних и тех же средств наглядности на различных этапах обучения неодинакова.

Увлечение готовыми моделями при обучении учащихся, уже достигших некоторого уровня пространственного воображения, является неоправданным.

В старших классах заслуживают предпочтения задания, требующие самостоятельного конструирования моделей.

Использование средств наглядности иногда дает отрицательный эффект. Это наблюдается тогда, когда происходит использование средств, имеющих особенности, которые отвлекают от процесса усвоения. Это, например, яркая, бросающаяся в глаза окраска, которую лучше было бы использовать для выделения основных черт.

Б. И. Крельштейн [11, с. 91] выделяет следующие требования, предъявляемые к наглядным пособиям, по их изготовлению:

1) должны быть просты для понимания, свободны от лишнего, заслоняющего существенно важное;

2) должны удовлетворять требованию удобообозримости;

3) изготовление их по возможности осуществляется учениками, что создает у них некоторые практические навыки в пользовании простейшими инструментами и умение использовать различные материалы. Вследствие этого изготовление наглядных пособий развивает конструктивные способности учащихся.

А. Я. Блох и другие [29, с. 34] выделяют следующий ряд правил, которым подчинено применение наглядных пособий в обучении:

1) ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью различных органов чувств;

2) обращать внимание учащихся на самые важные, существенные признаки предмета;

3) по возможности показать предмет в его развитии;

4) предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении наглядных пособий;

5) использовать средства наглядности ровно столько, сколько это нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не превращать наглядность в самоцель.

Следовательно, умелое применение средств наглядности в обучении всецело находится в руках учителя. Учитель в каждом отдельном случае должен самостоятельно решать, когда и в какой мере надо применять наглядность в процессе обучения, так как от этого в определенной степени зависит качество знаний учащихся.

Методика использования пособий разнообразна: одни пособия демонстрируются с целью поставить вопрос, решением которого занят класс; другие показывают динамику процесса, непрерывность изменения, многообразие форм; третьи подтверждают результаты, полученные аналитическим или логическим путем. Некоторые модели предваряют рассуждение. Отдельные группы фигур строят на глазах учащихся, иные, наоборот, показывают в собранном, готовом виде. Среди пособий также должны существовать наборы деталей-полуфабрикатов для конструирования моделей самими учащимися и учителем.

В отношении пособий не может быть единого методического режима, прием должен выбираться в зависимости от индивидуальных особенностей класса, ученика и учителя. В иной группе учеников элемент конкретизации следует усилить, в другой — достаточно ограничиться одним чертежом. В одном и том же классе отдельным учащимся можно разрешить не пользоваться пособиями, другим, наоборот, надо предоставить возможность самостоятельно разобрать конструкцию задачи на модели. Но использование пособий по математике предусматривает предварительную подготовку учителя к урокам и приобретение им навыков в свободном обращении с оборудованием. Общеизвестен факт, что неудавшаяся демонстрация отрицательно влияет на дисциплину класса, на отношение учеников к содержанию вопроса.

Изготовление и разумное применение наглядных пособий по математике поможет учителю воспитать у учащихся внимание, зрительную память, развить интеллектуальные способности, а также привить некоторые трудовые умения и навыки. Все это в значительной степени повышает качество всего учебно-воспитательного процесса.

Рассмотрим изготовление моделей, связанных с темой «Многогранники». Выбор этой темы можно объяснить тем, что многогранники составляют один из важнейших предметов изучения стереометрии. Центральная роль многогранников определяется прежде всего тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются из соответствующих результатов для многогранников. Независимо от этого многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимся теоремами и задачами. Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии.

Работа по изготовлению и использованию моделей многогранников для учащихся классов различной профильной ориентации может значительно отличаться. С учащимися классов гуманитарной направленности вполне возможно ограничиться изготовлением моделей, а иногда и просто их рассмотрением и анализом различных свойств и соотношений в связи с изучаемой темой или решением конкретной задачи. Хотя и в таких классах довольно часто находятся ученики, которым, может быть, тяжело общаться на языке математики с помощью формул, но к практическому изготовлению моделей они проявляют интерес.

У учащихся классов математической направленности моделирование само по себе иногда может не вызвать интереса, так как они не видят в этой работе математического содержания. Действительно, чтобы вырезать по определенной выкройке с указанными размерами развертку модели и склеить ее клапаны, математических знаний не требуется. В этом случае эффективность работы по изготовлению моделей будет зависеть от того, насколько учителю удастся раскрыть перед учениками математическую сущность их практической деятельности, связанную с обучением математике. Например, при изготовлении модели правильного тетраэдра необходимо вначале дать задание изготовить различные развертки тетраэдра, а затем, после обсуждения, выбрать наилучшие варианты с точки зрения экономного использования бумаги, наименьшей длины линии склеивания, наиболее рационального порядка работы, прочности модели и т. п. Использование именно такого типа задач по моделированию с включением «математической фазы» работы, предшествующей изготовлению моделей, активизирует мыслительную деятельность школьников, поднимает их творческую инициативу, развивает конструктивные способности, воспитывает эстетический вкус.

Изготовление моделей в технике оригами

Оригами — искусство складывания из бумаги. В российскую педагогику и методику преподавания математики оригами лишь начинает входить, но первые шаги по использованию оригами в процессе обучения геометрии позволяют говорить о достаточно высокой эффективности его применения.

Оригами является мощным стимулом для интеллектуального и эстетического развития учащихся. За относительно короткое время ребенок начинает превращать бумагу, обычный квадрат в удивительные изделия, игрушки, фигуры, некоторые из которых он и представить не мог.

С использованием оригами происходит развитие творческих способностей ребят: умения целенаправленно наблюдать, сравнивать, выдвигать гипотезы, ставить проблемы, разрешать их; подтверждать или опровергать выдвинутые гипотезы. Занятия оригами помогают стать им более раскрепощенными, активными и свободными.

При работе в технике оригами выделяются следующие положительные аспекты:

Постепенно происходит знакомство с геометрическими понятиями, обогащение математического словаря и словаря специальных терминов оригами, усвоение свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве, утверждений относительно этих фигур в их взаимосвязи, непроизвольно усваиваются формулы, выражающие определенные свойства фигур и связи между ними.

Активизируются мыслительная деятельность. В процессе конструирования возникает необходимость соотнесения наглядных символов при показе приемов складывания со словесными и перевод их в плоскость практических действий при самостоятельном выполнении.

Усиливаются представления о взаимосвязи плоскости с пространством, происходит развитие конструктивных навыков. Совершенствуется мелкая моторика рук, точные движения пальцев, координация мелкой мускулатуры, происходит развитие глазомера. Вырабатывается способность работать руками под контролем сознания. Происходит развитие концентрации внимания и памяти.

Осуществляется эстетическое воспитание, совершенствуется чувство прекрасного. Оригами стимулирует создание игровых ситуаций, следовательно, расширяются коммуникативные способности.

Отметим литературу по оригами, которую с успехом можно использовать на уроках геометрии и во внеклассной работе:

1. Афонькин, С. Ю. Волшебные шары — кусудамы / С. Ю. Афонькин, Е. Ю. Афонькина. — СПб. : ООО «Изд. дом «Кристалл», 2001.

2. Афонькин, С. Ю. Уроки оригами в школе и дома / С. Ю. Афонькин, Е. Ю. Афонькина. — М. : «Аким», 1998.

3. Афонькин, С. Ю. Универсальный бумажный конструктор — оригами / С. Ю. Афонькин, Е. Ю. Афонькина. — М. : «Аким», 1997.

4. Белим, С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методом оригами / С. Н. Белим. — М. : «Аким», 1998.

5. Оригами помогает геометрии / под ред. Н. И. Чиканцевой. — М., 1995.

6. Сборник лучших моделей из бумаги. М. : «Аким», 2001.

7. Журналы «Оригами».

При изучении темы «Куб» мы предлагаем изготовить в технике оригами модель куба.

Схема сборки предлагается в приложении № 1 (технологическая карта № 1). Сборка самого куба из шести готовых модулей уже сама по себе — занимательная головоломка. Учащимся классов гуманитарной направленности можно ограничиться сборкой куба (рис. 6).

.

;

;

b

a

=

Ð

=

=

Ð

D

PTO

S

S

NMK

MNK

Членам кружка, обучающимся в общепедагогическом классе, мы предлагаем изготовить модель «сплетенные кубики», а именно, два пересеченных куба. Для этого у готового кубика расплетают один из углов, сгибая раскрываемые модули по диагоналям граней куба. Добавляя еще три модуля к этой частично раскрытой модели, перед учащимися ставится задача получить пересекающиеся кубики (рис. 7).

Учащимся класса физико-математической направленности предлагаем после освоения приема изготовления пересекающихся куби

ков изготовить модели трех, четырех и т. д. кубиков, затем усложняем задание, ставя различные ограничения, например, расположить все пересекающиеся кубики по прямой, закольцевать полученную модель. Можно также предложить по�