ԹԻՎ 5 (103), 2015թ. «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке

«MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ Համլետ Միքայելյան ԿԱՏԱԿԵՐԳԱԿԱՆԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ ………… 3

... Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Մերի Սահակյան ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ԵՎ ԻՆՖՈՐՄԱՏԻԿԱ ԱՌԱՐԿԱՆԵՐԻ ԻՆՏԵԳՐՈՒՄԸ՝ ՈՐՊԵՍ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏՈՒԹՅԱՆ ԲԱՐՁՐԱՑՄԱՆ ԳՈՐԾՈՆ .................. 15

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Լուսինե Սմբատյան ԱՇԱԿԵՐՏԱԿԵՆՏՐՈՆ ՈՒՍՈՒՑՈՒՄ ...................................................... 20

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն Ն. Դովլաթյան, Ս. Խաչատրյան ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՄԵԾԱԳՈՒՅՆ (ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ) ԱՐԺԵՔԻ ՄԱՍԻՆ ...... 26

Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն Լ.Պետրոսյան, Ն. Պետրոսյան ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԵՎ ՖԻԶԻԿԱՅԻ ԷՔՍՏՐԵՄԱԼ ԽՆԴԻՐՆԵՐՈՒՄ ՖԵՐՄԱՅԻ ՄԵԹՈԴԻ ՄԻ ՔԱՆԻ ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ …….. 30

Շուշանիկ Գրիգորյան ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ ԿԱՊԵՐԸ ՏՐԱՄԱԲԱՆՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԸՆԹԱՑՔՈՒՄ ……......................……....…….. 41 Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը Լիլիթ Բալասանյան ԴԱՍԻ ՕՐԻՆԱԿԵԼԻ ՄԻ ՊԼԱՆԻ ՄԱՍԻՆ...........…………………………….. 49

Կ Ր Թ Ա Կ Ա Ն Հ Ա Մ Ա Գ Ո Ր Ծ Ա Կ Ց Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ս. Ասրյան, Ա.Ենոքյան, Ս.Ղուկասյան «ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆ» ԳԻՏԱԺՈՂՈՎ ..………………….. 55

ÐÐ

ÏñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çïáõ

ÃÛ³

Ý Ý³

˳

ñ³ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃáõ

ÃÛ³

Ý ³

½·

³ÛÇ

Ý ÇÝ

ëïÇï

áõï

¶Çï

³Ù»

Ãá¹

³Ï³

Ý ³

Ùë³

·Çñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№5, 2015Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 30.11.2015Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ` 2000, ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ :

ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿:

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

3

ԿԱՏԱԿԵՐԳԱԿԱՆԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հ. Ս. Միքայելյան

Բանալի բառեր – մաթեմատիկական կրթություն, կատակերգա-կան, գեղագիտական արժեք, խրախճանական, հումոր:

Թեև կատակերգականը բնորոշվում է որպես փիլիսոփայական-գեղագիտական կատեգո-րիա, որն արտահայտում է սոցիալական և գե-ղագիտական տեսակետից նշանակալից ծի-ծաղելին, սակայն այն որոշակիորեն տարբեր-վում է ծիծաղելիից: Միայն ֆիզիոլոգիական բնույթ ունեցող ծիծաղը, օրինակ, կատակեր-

գական չէ (այդպիսին է խտուտից առաջացած ծիծաղը): Իսկ մերկացնող սուր սատիրան և կատակերգականի որոշ այլ տեսակներ էլ ծիծաղելի չեն:

Փիլիսոփայության պատմության մեջ տարբեր մոտեցումներ են եղել ծիծաղելիի և կատակերգականի նկատմամբ: Պլատոնը գտնում է, որ ծի-ծաղելի են թույլ և վրեժ լուծելու ոչ ունակները, երբ նրանց ծաղրում են, հզոր

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Թատերական կատակերգության դիմակ, մ.թ.ա. II դար, Աթենք

4

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

մարդկանց տգիտությունը ատելի է, իսկ թույլերինը` ծիծաղելի, ծիծաղելի է մեծամտությունը այնտեղ, որտեղ այն ոչ-ոքի չի վնասում:

Միջնադարյան որոշ փիլիսոփաներ անդրադառնում են Աստծո և կա-տակերգականի փոխհարաբերության հարցին, ոմանք կասկածում են, օրի-նակ, նույնիսկ Փրկչի ծիծաղելու ունակության հնարավորության վրա: Սպինո-զան քննարկում է բարոյականության հետ կատակերգականի փոխ-հարաբերության հարցը: Նա գտնում է, որ «Ծիծաղը ուրախության ար-տահայտություն է, ինչի պատճառով այն բարիք է» (տես [8]: Լեսինգը գտնում է, որ կատակերգությունը չի կարող բուժել հիվանդությունը, բայց կարող է ամրապնդել առողջությունը: Կանտը ծիծաղը համարում է հակասությունների հաշտեցման միջոց և գտնում, որ ծիծաղելի բաներ հիշելն անգամ մեզ ուրախացնում է: «Ծիծաղը առանձնապես վարակիչ է այն դեպքերում, երբ հարկ է լինում լուրջ երևալ, և ավելի ուժեղ ծիծաղում են նրա վրա, ով ունի հենց լուրջ տեսք: Ուժեղ ծիծաղը հոգնեցնում է և, ինչպես տխրությունը, ավարտվում է արցունքներով: Խտուտի ծիծաղը շատ տանջալից է: Եթե մեկի վրա ծիծաղում եմ, ապա նրանից չեմ կարող նեղանալ անգամ այն դեպքում, եթե նա ինձ վնաս է պատճառում» (տես [6], h.2. էջ 216): Անդրադառնալով ծիծաղի կամ ծաղրի ազդեցությանը, Կանտը նշում է, որ քիչ մարդիկ կարող են ամբոխի ներկայությամբ անվրդով տանել նրա ծաղրն ու ատելությունը, չնայած գիտակցում են, որ այդ ամբոխը կարող է կազմված լինել անկիրթ ու հիմար մարդկանցից:

Շիլլերը անդրադառնում է կատակերգության մեջ հանդիսատեսի վի-ճակին. «Այն հանգիստ է, պարզ, ազատ, ուրախ, մենք մեզ չենք զգում ոչ ակ-տիվ, ոչ պասիվ, մենք ինքնամփոփված ենք, և ամեն ինչ մնում է մեզանից դուրս: Դա աստվածների իրավիճակն է, աստվածներ, որոնց մարդկային ոչինչ չի անհանգստացնում, որոնց չի վերաբերում որևէ բախտ, չի կաշկանդում որևէ օրենք» (տես [11], էջ 481): Ըստ Շիլլերի, սատիրան լավագույնս բացահայտում է իրականի և իդեալականի միջև եղած հակասությունը: Հեգելը կոմիզմի հիմքերը տեսնում էր ներքին անկարողության և արտաքին հիմնավորվա-ծության միջև եղած հակասության մեջ: Բ.Կրոչեն անդրադառնալով կոմի-կականի գեղագիտական խնդիրներին, գտնում է, որ նրա սահմանման բոլոր փորձերը կոմիկական են:

Կոմիկականի էությունը նաև հակասության մեջ է. այն կոնտրաստի, հակադրությունների արդյունք է: Արիստոտելի մոտ այն հակասություն է գեղեցիկի և տգեղի միջև, Կանտի մոտ` վեհի և ստորի, Հեգելի մոտ` կեղծի և

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

5

ճշմարիտի, չհիմնավորվածի և հիմնավորվածի, Շոպենհաուերի մոտ` բա-նականի և հիմարի, Բերգսոնի մոտ` ավտոմատի և կենդանու և այլն (տես [4]):

Կոմիկականում մեծ դեր ունի անսպասելիության գործոնը: Այսպես, Մոնտսկյեն նկատում է. «Երբ անճոռնին անսպասելի է, ապա կարող է առա-ջացնել որոշ տեսակի ուրախություն, անգամ` ծիծաղ» (տես [7]): Իսկ Կանտը կոմիկականի էությունն տեսնում է լարված սպասումը հանկարծակի ոչնչի վերածվելու մեջ, ինչը նա բացահայտում է հետևյալ անեկդոտի միջոցով: Մի հնդկացի ճաշի էր հրավիրված անգլիացու մոտ: Երբ շամպայնի շիշը բացեցին և նրա պարունակությունը` փրփուրների տեսքով ցնդեց շշի միջից, հնդկացին ապշած էր: Անգլիացու` «Ի՞նչ կա այստեղ զարմանալու» հարցին, նա պատասխանեց. «Ես չեմ զարմանում, որ փրփուրը դուրս փախավ շշից: Զարմանում եմ, թե դուք ինչպե՞ս էիք այն մտցրել շշի մեջ»: (տես [6], h.2 էջ 216): Այս պատասխանի առաջացրած ծիծաղը, ըստ Կանտի, չի նշանակում, որ ծիծաղողը հնդկացուց բարձր է, այլ նշանակալից է նրանով, որ մեր լարված սպասումը հանկարծակի վերածվում է ոչնչի:

Կատակի, կոմիկակականի նկատմամբ մարդու վերաբերմունքը արտահայտվում է ծիծաղով: Ծիծաղը իր բնույթով ժողովրդական է և ժո-ղովրդավարական: Այն չի ճանաչում շերտա-վորվածություն, կարգ, աստիճաններ և հեղինա-կություններ, չի թույլ տալիս խոնարհվել դրանց առաջ: Ծիծաղը հավասարության նշան է դնում անգամ սովորական մահկանացուի և թագա-

վորի միջև: Այս տեսակետից ուսանելի է Անդերսենի հեքիաթը մերկ թա-գավորի մասին: Երբ թագավորի հպատակները համոզվում են թագավորի մերկ լինելու մեջ և սկսում են ծիծաղել, նրանք այլևս չեն խոնարհվում և պատվում նրան: Եվ եթե տարերային անարխիան ծնում է քաոս, ապա ծիծաղի տարերքը կարող է քաոսից ծնել ներդաշնակություն: Ծիծաղը նաև վարակիչ է, ինչը ավելի է խորացնում ու մեծացնում նրա ժողովրդավարական արժեքն ու նշանակությունը:

Ֆրանսիսկո Գոյա, Ատամների որս, «Կարպրիչիոս» շարքից, 1797-98

6

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Գոյություն ունեն ծիծաղի բազմապիսի տարատեսակներ. Հոմերական քրքիջ, Մոնա Լիզայի ժպիտը, Եզոպոսի ծաղրը, Գոյայի զայրալից գրո-տեսկները, Շոուի հեգնանքը, Դոմյեի ծաղրանկարները, Չեխովի քնարական հումորը ...

Սրամտությունը հումորի ակտիվ, ստեղծագործական ձևն է: Եթե հումորի զգացումը կոմիկականի ընալման ունակությունն է, ապա սրամտությունը դրա ստեղծման ունակությունն է: Սրամտության տաղանդը հնարավորություն է տալիս խտացնել, գեղագիտորեն գնահատել և ավելի սուր ներկայացնել

իրականության հակասությունները, որպեսզի տեսողական և զգացական դառնա դրանց կոմիզմը:

Կատակի նպատակը, սովորաբար, մարդկանց զվարճացնելն է, ինչն արտահայտվում է ծիծաղի միջոցով: Ծիծաղը արտահայտում է հոգու կա-րևոր հատկանիշներ: Ծիծաղի համար միայն կոմիկական իրադրությունը բավարար չէ: Ան-հրաժեշտ է ունենալ նաև դրա ընկալման ունա-

կություն` հումորի զգացում, ինչը գեղագիտական զգացմունքի տեսակ է: Բորևը բերում է այդպիսի ունակությունների որոշակի ցանկ (տես [4]):

Ծիծաղը քննադատական ուժ է, որ ունակ է ինչպես ժխտել և ավերել, այնպես էլ հաստատել ու արարել: Հարկ է, որ այն ձգտի վերացնելու անարդարությունը և արարելու արդարն ու կատարյալը:

Կոմիզմի հիմնական տեսակներն են հումորը, սատիրան, իրոնիան, սարկազմը, գրոտեսկը, կատակը, անեկդոտը, ձեռ առնելը և այլն: Հումորը բարեսիրտ, անշառ, բայց և ոչ անատամ ծիծաղն է, ժպիտը: Այն կատարե-լագործում է երևույթը, մաքրում է թերություններից, օգնում է բացահայտել նրանում հասարակայնորեն արժեքավորը և վերացնել այն: Սատիրան ժխտում է, ծաղրում ոչ կատարյալ երևույթը` այն արմատապես փոխելու, կատարյալի հետ համապատասխանեցնելու համար: Հեգնանքը կատակի կամ ծաղրի միջոցով ասում է հակառակը նրա, ինչ մարդ մտածում է, բայց ասում է այնպես, որ հասկացվի այն, ինչ մտածում է: Սարկազմը սուր,

Օնորե Դոմյե, Վիկտոր Հյուգո, 1849

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

7

թունավոր հեգնանքն է, որ ասվում է վիրավորելու, ցավ պատճառելու նպա-տակով: Գրոտեսկը կոնտրաստային, ծաղրանկարային, հիպերբոլային զու-գորդումների միջոցով իրականի և ֆանտաստիկականի, ճշմարտանմանի և ոչ տրամաբանականի պատկերումն է: Կատակը հումորային բովանդա-կությամբ ոչ մեծ արտահայտություն է: Անեկդոտը կարճ, ծիծաղելի պատ-մություն է, որն ունի անսպասելի ավարտ: Ձեռ առնելը վիրավորող, արժա-նապատվությունը ոտնահարող կատակն է:

Մեծ չէ կոմիզմի և նրա տեսակների մասով մեր նախնիների թողած ժա-ռանգությունը: Ահա մ.թ.ա. երրորդ դարի հունական մի կատակ: Ուսուցիչը, վարսավիրը և ճաղատը միասին ճամփորդելով, ստիպված են լինում գիշերել բաց երկնքի տակ և հերթով հերթապահում են իրենց իրերի մոտ: Վարսավիրը իր հերթապահության ձանձրույթը փարատում է սափրելով ուսուցչի գլուխը: Հերթապահության ավարտին արթնացնում է ուսուցչին, իսկ ինքը անմիջապես քնում է: Ուսուցիչը շոշափում է իր գլուխը և այնտեղ մազ չգտնելով, մտածում է. «Ինչքան հիմար են այս սափրիչները. էս մեկը ինձ արթնացնելու փոխարեն, ճաղատին է արթնացրել»:

Ժամանակակից մարդու կյանքում դրական մեծ նշանակություն ունի անեկդոտը: Այն ավելացնում է մարդու կենսական ներուժը, հաղորդում է դրական լիցքեր: Անեկդոտները լայն տարածում են ստացել, անգամ կատարվում է դրանց դասակարգում ըստ թեմաների: Ահա մի անեկդոտ Լենինի թեմայով: Երկար քննարկումներից հետո Աստված ու Սատանան որոշեցին Լենինի հոգին ուղարկել դժոխք: Որոշ ժամանակ անց Սատանան բողոքեց Աստծուն, թե՝ «Վերցրու Լենինին քեզ մոտ, որովհետև իմ ճտերը աբստամբություն են բարձրացրել ու իրենց դժոխային աշխատանքի դիմաց դրախտային կյանք են ուզում»: Աստված համաձայնում է: Որոշ ժամանակ անց Սատանան նորից է հանդիպում Աստծո հետ ու հարցնում, թե «Հը, Աստված, ո՞նց է Լենինը»: Աստված զայրանում է Սատանի վրա, թե` «Նախ ոչ թե Աստված, այլ ընկեր Աստված, հետո էլ` Աստված չկա և, վերջապես, ինձ մի զբաղեցրու, որովհետև ժողովից ուշանում եմ»:

Լայն տարածում ունի հայկական ռադիոյի թեման: Ահա մի նմուշ: Հայկական ռադիոյին հարցնում են. «Կա՞ արդյոք կյանք Մարսի վրա»: Հայ-կական ռադիոն պատասխանում է. «Էնտեղ էլ չկա»:

Կատակերգականը և մաթեմատիկական կրթությունը: Կատակեր-գականը բոլոր ժամանակներում մեծ տեղ է ունեցել մաթեմատիկայի

8

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

ուսուցման գործընթացում, հանդես գալով որպես այդ գործընթացի երևակա-յականով և լրջությամբ հագեցվածած էությունը կատակի, զվարճանքի տարրերով մեղմելու գործոն: Ընդ որում, այստեղ կատակերգականը դրսևոր-վում է զանազան ձևերով:

Մաթեմատիկայի և մաթեմատիկական գործունեության հետ կատակեր-գականի հանդես գալը մեծապես պայմանավորված է մաթեմատիկական դատողությունների անսպասելիության դրսևորմամբ, ինչը կապված է նաև վերջինիս մաթեմատիկական գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշ լինելով: Ընդ որում, ինչպես նշում է Մենտեսկյեն, «երևույթին կատակերգական երանգ հաղորդելու համար անսպասելին պետք է լինի անճոռնի»: Մաթեմատիկայի պարագայում այդ անճոռնին կարող է լինել ակնհայտ սխալը, որն ստացվել է մաթեմատիկական «ճշգրիտ» դատողությունների միջոցով (ավելի անճոռնի բան մաթեմատիկայում դժվար է պատկերացնել): Հասկանալի է, որ նման դատողությունները իրենց մեջ պարունակում են քողարկված սխալներ, որոնք դժվար է նկատել և որոնց հայտնաբերումն էլ բավարավածություն, ուրախու-թյուն է հաղորդում: Այդպիսի իրադրություններ դիտարկվել են դեռևս անտիկ Հունաստանում, սոֆիստների կողմից, որոնք փորձել են «ապացուցել» ակնհայտ սխալ դրույթներ:

[1]-ում մենք դիտարկել ենք սոֆիստական ապացուցումների օրինակներ, մասնավորապես՝ Զենոնի որոշ ապորիաներ, որոնք աշակերտների (ինչու միայն աշակերտների) մոտ ոչ միայն ինչպես զարմանք ու տարակուսանք են առաջացնում, այլ նաև զվարճանք ու ծիծաղ:

Բազմազան են նաև բուն մաթեմատիկայում և նրա ուսուցման գործըն-թացում կիրառվող քողարկված սխալ դատողությունները: Նման օրինակ-ները, ինչպես նշվեց վերևում, հետաքրքրություն, աշխույժություն են հաղոր-դում դասավանդման գործընթացին: Միաժամանակ նպատակ ունեն ստու-գելու սովորողների իմացության մակարդակը: Հանրահաշվի դասագրքերում յուրաքանչյուր պարագրաֆից հետո մեր կողմից բերված են նման վարժու-թյուններ, որոնք վերաբերում են հենց այդ պարագրաֆում զետեղված նյու-թին: Բերենք մի քանի օրինակներ:

Ապացուցենք, որ 2=3: Իսկապես, ունենք 4-10=9-15 կամ 4-10+(25/4)=3-15+(25/4) և 22-2.2.(5/2)+(5/2)2=32-2.3.(5/2)+(5/2)2: Այստեղից կստանանք (2-5/2)2=(3-5/2)2: Հետևաբար՝ 2-5/2=3-5/2 և, ուրեմն, 2=3:

Այժմ էլ ցույց տանք, որ 2 > 3: Իսկապես, ունենք ¼ > 1/8: Հետևապես՝ (1/2)2 > (1/2)3: Անհավասարության երկու մասերը լոգարիթմենք 10 հիմքով,

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

9

կունենանք՝ 2log10(1/2)>3log10(1/2): Ստացված անհավասարության երկու մասերը բաժանելով log10(1/2) թվի վրա, կստանանք 2>3:

Մի՞թե զավարճալի չեն մեր ստացված արդյունքները: Իսկ դրանց հերքո՞ւմը կամ մեր դատողություններում սխալների հայտնաբերո՞ւմը: Դրանք իսկապես մեծագույն բավարարվածություն և հաճույք են պարգևում և մեծ հետաքրքրություն առաջացնում ոչ միայն սովորողների շրջանում:

Ընդհանրապես, խնդրի կամ հանելուկի առաջադրումը և լուծումը իր մեջ պարունակում է կատակերգականի երանգներ և դրանով նպաստում է կյան-քի առօրեական տաղտուկի հաղթահարմանը: Սա գիտակցել են նաև մեր նախնիները և խնդիրների ու հանելուկների առաջադրման-լուծման պրակ-տիկան լայնորեն կիրառել իրենց կենցաղում՝ այն դարձնելով ավանդական խնջույքի կարևոր բաղկացուցիչ մաս: Եվ դա վերաբերում է հայկական իրա-կանության սոցիալական բոլոր խավերին՝ սկսած թագավորից, վերջացրած սովորական գյուղացին: Օրինակ, հայոց արքաների խնջույքը բաղկացած էր երեք մասից. հացկերույթ, գինարբուք և հոգևոր մաս: Վերջինիս ընթացքում էլ կատարվում էր խնդիրների ու հանելուկների վերը նշված առաջադրումը (տես [2]):

Ինչպես նշում է Հ. Պետրոսյանը, «միջնադարյան հայ միտքը մեկ անգամ չէ, որ մշակութային-հոգևոր-բարոյական գաղափարների տարածման համար լայնորեն օգտագործել է ժողովրդական աշխարհաընկալման, սովորույթների և ծեսերի զանազան կողմերը» (տես [2]): Նման մտահղացումների իրա-կանացման համար օգտագործվել են ինչպես արդեն ստեղծված մշա-կութային արժեքները, այնպես էլ գրվել են հատուկ այդ նպատակներին միտ-ված աշխատություններ: Այս տեսակետից հատկանշական են, օրինակ, Ներ-սես Շնորհալու հանելուկները և Մխիթար Գոշի, Վարդան Այգեկցու առակ-ները, Անանիա Շիրակացու խնդիրները:

Հայտնի է, որ «առաջին եվրոպացի» Կառլոս Մեծը ժամանակակից Եվրո-պայի հիմքերը դրեց իր հսկա կայսրության Ախեն մայրաքաղաքում ակա-դեմիայի հիմնադրմամբ, որը գլխավորելու համար անգլիական Յորք քա-ղաքից հրավիրեց ժամանակի մեծագույն մտածող գիտնական, աստ-վածաբան և պոետ Ալկուինին, իսկ վերջինս` այդ պաշտոնում առաջին ձեռ-նարկումներից մեկը եղավ «Մտքի մարզանքի համար» մաթեմատիկական հետաքրքրաշարժ խնդիրների խնդրագրքի կազմումը: Սակայն, դրանից ավելի քան մեկ դար առաջ կիսանկախ և փոքրիկ Հայաստանում Անանիա Շիրակացին գրեց մաթեմատիկայի իր խնդրագիրքը: Այդ խնդրագրքի

10

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

խնդիրները` իրենց հետաքրքրաշարժությամբ թեև չունեին Ալկուինի խնդրա-գրքի գեղագիտական հմայքը, սակայն անհամեմատ գերազանցում էին վերջինիս մաթեմատիկական բովանդակության խորությամբ և կրթական նշանակությամբ:

Շիրակացու խնդրագիրքը լրացվում է նրա ինը խրախճանականներով: Դրանք, իրենց հիմքում ընկած տրամաբանական կառուցվածքի բար-դությամբ և խստությամբ, իրենց հնարամտությամբ անկասկած, զիջում են Ալկուինի խնդիրներին: Սակայն, ինչպես գրում է Հ. Պետրոսյանը, Շիրա-կացու խրախճանականները ունեցել են խրախճանքների ժամանակ մասնա-կիցներին առաջադրվելու նպատակ (տես [2]): Շիրակացին ինքն էլ է հաս-տատում դա, խրախճանականների սկզբում գրելով. «Գրում եմ ձեզ համար խրախճանականներ, որպեսզի դուք [օգտվելով նրանցից], երբ կերուխումի ժամանակ զվարճանում եք և ցանկանում եք զվարճալի և ծիծաղելի մի բան ասել» (տես [3], էջ 62): Այսպիսով, Շիրակացու խրախճանականները կատա-րում էին նաև այլ արժեքների հետ ճշմարտական արժեքի արտաձգման և փոխլրացման միջոցով հոգևոր արժեքների տարածման և արմատավորման գործառույթ, ինչը չի կարելի ասել Ալկուինի խնդիրների մասին: Նշեք նաև, որ մաթեմատիկական խնդիրների միջոցով նման գործառույթ էր իրակա-նացվում արդեն Վերածննդի շրջանի Հոլանդիայում` քաղաքների սյուներին լուծման ենթակա մաթեմատիկական խնդիրներ փակցնելով: Նման խնդիր-ներից մեկի լուծումը նպաստեց, օրինակ, ֆրանսիական բանակի քսանամյա զինվոր Ռենե Դեկարտի հետագա առաջընթացին` գիտության ասպարեզում:

Վերադառնալով Շիրակացու խրախճանականների և, ընդհանրապես, խնդիրների արժեբանական գործառույթներին, նշենք, որ դրանց իրա-կանացման նախադրյալները առկա են այդ խնդիրների բովանդակային տրամաբանական կառույցներում, նրանց կիրառական ֆոնի և շարադրանքի ոճի մեջ: Ինչպես նշում է Հ. Օրբելին, “Անանիայի խնդիրները զբաղեցնող են, կենսալից, պարզ: Խնդիրների թեմաները մեծամասամբ վերցված են Անանիային շրջապատող կենցաղից, գործողության վայրը նրա հայրենի Շիրակն է և նրան հարևան վայրերը, գործող անձինք, եթե կոչվում են անուններով, տեղական իշխաններն են` Կամսարականները, այդ թվում և Անանիայի ժամանակակից Ներսեհը” (տես [9]):

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

11

Ավելացնենք, որ Շիրակացու խնդիրների և դրանց լուծման պարզության հետևում հաճախ թաքնված են տրամաբանական խորությունը և անսպա-սելիությունը, որոնք լինելով գիտական գեղեցիկի հատկանիշներ, լրացուցիչ գեղագիտական հմայք են հաղորդում մաթեմատիկական նյութին: Այս տե-սակետից ուշադրության է արժանի Շիրակացու խրախճանականների առա-ջին խնդիրը: Ահա այն.

Ասա ընկերոջդ` «Ես կարող եմ իմանալ, թե դու որ ժամին ես ցանկանում ճաշել և քանի նվագ գինի ես ուզում խմել»: Եթե նա ասի քեզ, թե` «Իմացիր», ասա նրան. «Մտքումդ պահիր այն ժամերի քանակությունը, երբ ցանկանում ես ճաշել: Կրկնիր այն: Ավելացրու նրա վրա ևս հինգ: Բազմապատկիր հինգով, նրա վրա ավելացրու տասը և տասով բազմապատկիր: Նրա վրա ավելացրու խմած գինին` քանի նվագում ուզում ես խմել»: Երբ նա կատարի քո ասածները, այն ժամանակ հարցրու նրան, թե որքան է հաշված թվերի գումարը: եվ նա ինչ թվով որ ասելու լինի, նրանից միշտ դուրս հանիր 350, մնացած թվի մեջ տես, թե քանի հարյուրավոր կա, այն ժամին է լինելու նրա ճաշը, իսկ հարյուրից պակաս մնացած թիվը իմացիր, որ այդքան նվագ է նա գինի խմելու: Իսկ եթե ընկերդ անհմուտ մեկն է և գինի խմելու նվագը հարյուր լինի, պատասխանիր, որ անհնար է մեկ ժամում հարյուր նվագ գինի խմել” (տես [3]):

Ժամանակակից մաթեմատիկական լեզվով` այստեղ Շիրակացին, ըստ էության, խնդրի մոդելավորումը հանգեցնում է երկու անհայտով անորոշ հա-վասարման, սակայն ոչ անպայման` ամբողջ գործակիցներով, ինչպես Դիոֆանտի մոտ է, և Շիրակացու լուծումն էլ ոչ թե կատարվում է նման անո-րոշ հավասարումների լուծման հայտնի եղանակներով, այլ մաթեմա-տիկական գիտելիքի և կիրառական ոլորտի հնարամիտ զուգակցմամբ: Նման մոտեցումը բացառիկ է. այն նմանը չունի մաթեմատիկական կրթու-թյան հետագա, նաև` ժամանակակից դրսևորումներում: Իսկ լուծման անսպասելությունը, կատակերգականի հետ միասին, խնդրին հաղորդում է վերևում նշված գեղագիտական գրավչությունը:

Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում կատակերգականը հիմնա-կանում դրսևորվում է խնդիրների բովանդակության ու լուծումների մեջ: Դրանք նաև ծիծաղի կարևոր աղբյուրներ են: Այս տեսակետից ուշագրավ են Գ Օյստերի կողմից առաջադրված խնդիրները (տես [10]): Դրանք առաջին հայացքից հեռու են հասարակության կողմից ընդունված բարոյական նորմերից ու մոտեցումներից և, թվում է, կարող են սովորողների մոտ

12

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

ձևավորել բարոյական ոչ դրական որակներ: Ժամանակին որոշ հայ հեղինակներ իրենց մեթոդական փոքրիկ ձեռնարկում ներառեցին մի քանի նման խնդիրներ, և ֆեյսբուքյան սոցիալական ողջ ցանցը մի քանի օր անընդհատ զբաղված էր այդ հեղինակների «հակամանկավարժական» գործունեությունը դատապարտելով: Ես նույնպես կարդացի այդ թարգ-մանությունները և, որովհետև հումանիտար ոլորտում ճշմարտության որոն-ման լավագույն եղանակը պրակտիկան է, փորձեցի այդ խնդիրները քննարկել տարրական դպրոցի աշակերտ իմ Հայկ թոռան ու ընկերոջ հետ: Առաջին խնդիրը կարդալուց հետո ես անհամբեր սպասում էի Հայկի ռեակցիային: Նա զարմացած նայեց ինձ, նայեց-նայեց, ու … բռնվեց մի վարակիչ ծիծաղով: Դե իր համար մաթեմի դասերը միշտ են հետաքրքիր, բայց խոստովանեց, որ եթե նման խնդիրներ երբեմն-երբեմն դիտարկվեն, ապա այդ դասերը կարող են հետաքրքիր դառնալ նաև ծույլիկների համար: Ահա դրանցից մի քանիսը:

• Երբ Կոլյան եկավ իր ընկեր Տոլյայի ծննդին, նա իր նվերի հետ միասին կշռում էր 26 կգ 100 գրամ: Այստեղ նա կերավ 40 կոնֆետ՝ յուրաքանչյուրը 10 գրամ, 10 խնձոր՝ յուրաքանչյուրը 100 գրամ և 2 կգ 500 գ կշռող մի տորթ՝ ամբողջությամբ: Ինչքան էր կշռում Կոլյան ծնունդից վերա-դառնալիս, եթե հայտնի է, որ նվերը նա հետը տուն տարավ:

• Կոլյան երազում է ուտել մի շոկոլադ, որի երկարությունը երկու մետր է, իսկ լայնությունը՝ մեկ մետր: Տոլյան էլ երազում է ուտել նույն երկարությամբ շոկոլադ, որի երկարությունը նույնն է, բայց մակերեսը երեք անգամ մեծ է: Ինչքա՞նով է Տոլյայի երազած շոկոլադի լայնությունը երկար նրա սեփական երկարությունից:

• Ջայլամը 200 մետրը վազում է 12 վայրկյանում: Առնվազն քանի կիլոմետր պետք է վազի Պյոտր Պետրովիչը, եթե արդեն 10 րոպե է, ինչ ջայլամը վազում է նրա հետևից:

• Քառասուն տատիկներ հրավիրված էին մի պապիկի ծնունդին: Նրանցից յուրաքանչյուրը նվեր տարավ երկու սանր: Քանի՞ սանր նվեր ստացավ այդ պապիկը, եթե նա լրիվ ճաղատ էր:

Գրականություն

1. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղեցիկը և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը,

Երևան, 2015թ.:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

13

2. Հ. Պետրոսյան, Անանիա Շիրակացու “Խրախճանականը” և միջնադարյան խնջույքը, Հայաստանը և քրիստոնյա Արևելքը, Երևան, 2000, էջ 356-361:

3. Ա. Շիրակացի, Մատենագիտություն, Երևան, 1979: 4. Ю. Б. Борев, Основные эстетические категории, М., 1960. 54 5. Е. П. Ильин, Эмоции и чувства, 2-е издание, М., С-Петербург, 2013. 6. И. Кант, И. Кант, Сочинения в 6 т., т. 1- 6. М., Мысль, 1963.102 7. Ш. Монтескье, Избранные произведения, М., 1955. 141 8. Б. Спиноза. Избранные произведения М., 1957. 9. И. А. Орбели, Вопросы и решения вартапета Ананиа Ширакаци,

армянского математика 7-го века, “Избранные труды”, Ереван, 1963. 10. Г. Б. Остер, Задачник. Ненаглядное пособие по математике, М.,

1992. 11. Ф. Шиллер. Статьи по эстетике, М., 1935.221

КОМИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Г. С. Микаелян

Резюме

В связи с возрастанием внимания на гуманистического компонента образования, становится актуальной проблема эстетического воспитания учащихся посредством математического образования. Оказалось, что математика, традиционно тесно связанная с красотой, обладает и огромным образовательным потенциалом формирования эстетических ценностей. В статье рассматриваются связь комического с математикой и возможности его формирования в процессе преподавания математики.

COMIC AND MATHEMATICAL EDUCATION

H. S. Mikaelian Summary

Due to the increasing emphasis on humanistic education component, has become an urgent problem of aesthetic education of students through mathematical education. It turned out that mathematics is traditionally closely associated with beauty, and has

14

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

great educational potential formation of aesthetic values. This article discusses the connection of the comic in mathematics and the possibility of its formation in the teaching of mathematics.

Համլետ Սուրենի Միքայելյան – ֆ.մ.գ.թ, մաթեմատիկայի /ՌԴ/ և ման-կավարժության /ՀՀ/ պրոֆեսոր, ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի դասավանդման մե-թոդիկայի ամբիոնի վարիչի պաշտոնակատար, “Մաթեմատիկան դպրոցում” ամսագրի գլխավոր խմբագիր:

Հեռախոս՝ 093 88 17 07 Էլ. hասցե` h.s.mikaelian@gmail.com

15

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ԵՎ ԻՆՖՈՐՄԱՏԻԿԱ ԱՌԱՐԿԱՆԵՐԻ ԻՆՏԵԳՐՈՒՄԸ՝ ՈՐՊԵՍ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ

ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏՈՒԹՅԱՆ ԲԱՐՁՐԱՑՄԱՆ ԳՈՐԾՈՆ

Մերի Սահակյան

Բանալի բառեր – ինտեգրված դաս, ուսուցման արդյունավետություն, ինֆորմատիկա, ալգորիթմ:

Ինտեգրված դասը հատուկ կազմակերպված դաս է, որի նպատակը

կարող է հասանելի լինել միայն տարբեր առարկաների գիտելիքների միավորումից` ուղղված դեպի ինչ-որ խնդրի դիտարկմանը և լուծմանը: Ինտեգրված դասերը աշակերտին տալիս են աշխարհի, առարկաների և երևույթների փոխկապակցվածության մասին բավականին լայն և վառ պատկերացում: Հիմնական շեշտը այստեղ դրվում է ոչ այնքան որոշակի գիտելիքների ընկալման, որքան ստեղծագործական մտածողության զար-գացման վրա: Ինտեգրված դասերը թույլ են տալիս օգտագործել բոլոր ուսումնական առարկաների բովանդակությունը, ուշադրություն դարձնել գիտության տարբեր ճյուղերին, ենթադրում են սովորողների ստեղծագոր-ծական ակտիվության պարտադիր զարգացում: Դրանք ունեն մի շարք առավելություններ.

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

16

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

● ինտեգրված դասերը նպաստում են ուսուցման մոտիվացիայի բարձրացմանը, սովորողների ճանաչողական հետաքրքրության, ամբող-ջական գիտական աշխարհի պատկերացումների և երևույթների տարբեր կողմերից դիտելու ունակության ձևավորմանը,

● նպաստում են խոսքի զարգացմանը, սովորողների մոտ ձևավոր-վում են համեմատելու, ընդհանրացնելու, հետևություններ կատարելու հմտություններ, ուսումնադաստիարակչական գործընթացի ակտիվացու-մը թեթևացնում են սովորողների ծանրաբեռնվածությունը,

● նպաստում են անհատի բազմակողմանի զարգացվածությանը, ներդաշնակ և մտավոր զարգացմանը,

● ինտեգրումը հնարավորություն է տալիս փաստերի միջև գտնելու այնպիսի նոր կապեր, որոնք միավորում կամ խորացնում են սովորողների դիտարկմամբ արված որոշակի հետևությունները տարբեր առարկանե-րում: Ինտեգրված դասի կառուցվածքը սովորական դասից տարբերվում է.

● սահմանված հստակությամբ, կոմպակտությամբ, ուսումնական նյութի համառոտությամբ,

● տրամաբանական փոխհամաձայնեցմամբ, ● դասի յուրաքանչյուր փուլում ինտեգրված առարկաների փոխ-

կապվածությամբ, ● դասի ժամանակ օգտագործվող նյութի մեծ տեղեկատվական

հզորությամբ: Ինտեգրված դասերը միջառարկայական կապերի համակարգում կարևոր մաս են կազմում: Դրանք նպատակահարմար է անցկացնել ընդ-հանրացնող դասերի ժամանակ, որում ի հայտ են գալիս երկու կամ ավելի առարկաների համար կարևոր խնդիրներ: [3]

Հասարակության համակարգչայնությունը, ժամանակակից տեղե-կատվական տեխնոլոգիաների ներդրումը պահանջում է մարդու մաթե-մատիկական գրագիտություն յուրաքանչյուր աշխատավայրում: Այն են-թադրում է և´ մաթեմատիկական գիտելիքներ, և´ որոշակի մտածողու-թյան ձև: Բարձրագույն կրթություն պահանջող մասնագիտություններից մեծ մասը անմիջականորեն կապված են մաթեմատիկայի և ինֆորմատի-կայի հետ: Ընդգծելով մաթեմատիկայի և ինֆորմատիկայի գիտելիքների

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

17

ինտեգրման մասին` կարելի է նշել, որ դրա պատրաստման մեջ հիմնա-կան դեր է խաղում կրթության մաթեմատիկական բաղադրիչը։

ՏՀՏ-ի օգտագործումը դպրոցի մաթեմատիկայի և ինֆորմատիկայի դասերին հնարավորություն է տալիս համակարգիչը օգտագործել որպես. • գործիք մաթեմատիկական փորձերի կատարման համար, • կոմունիկացիա. դպրոցի մակարդակով ցանցային ծրագրեր, համա-

ցանց-ծրագրեր: Ինֆորմատիկա և մաթեմատիկական առարկաների ինտեգրման ժա-

մանակ ուսուցչի խնդիրն է սովորողների մոտ ձևավորել տեղեկատվական իրավասություն: Այդպիսի դասերը թույլ են տալիս ցույց տալ առարկանե-րի կապը, սովորեցնում են տեսական գիտելիքները օգտագործել գործնա-կանում, զարգացնում համակարգչային գիտելիքները, խթանում ինքնու-րույն մտավոր գործունեությանը: Յուրաքանչյուր աշակերտ ակտիվ աշ-խատում է, նրանց մոտ ձևավորվում է հետաքրքրասիրություն, ճանաչո-ղական ունակություններ: Այսօր համակարգչային տեխնոլոգիաները կա-րելի է համարել գիտելիքների հաղորդման այն նոր միջոցը, որը կապա-հովի ուսման ավելի բարձր որակ, թույլ կտա երեխային ավելի մեծ հետա-քրքրությամբ սովորել, գտնել տեղեկատվական աղբյուրներ, նոր գիտե-լիքներ ձեռք բերելիս դաստիարակում է ինքնուրույնություն և պատաս-խանատվության զգացում, զարգացնում է ինտելեկտուալ գործունեության կարգապահություն:

Խոսելով մաթեմատիկա և ինֆորմատիկա առարկաների ինտեգրման մասին՝ առաջին հերթին կարելի է նշել ալգորիթմի, ալգորիթմական մտա-ծողության մասին: Ալգորիթմ հասկացությունը սերտորեն առնչվում է թե՛ մաթեմատիկայի, թե՛ ինֆորմատիկայի հետ: Ալգորիթմը հանդիսանում է ոչ միայն մտավոր գործունեության, այլև ընդհանրապես գործունեության ընդհանուր տեսակներից մեկը: Ալգորիթմ հասկացությունը թափանցում է ժամանակակից մաթեմատիկայի բոլոր ոլորտները՝ նախնականից մինչև բարձրագույն: Ալգորիթմը հանդիսանում է մաթեմատիկայի հիմնային հասկացություններից մեկը: Մաթեմատիկայի ուսուցումը ցանկացած մա-կարդակում անպայման իր մեջ ներառում է ալգորիթմի ուսուցումը: Ալգո-րիթմներ կազմելու և ձևավորելու կարողությունը կարևոր է ոչ միայն մա-թեմատիկական մտածողության և մաթեմատիկական կարողությունների զարգացման համար: Այն ձևավորում է նաև կանոններ ձևավորելու և

18

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

դրանց հետևելու գործընթացը: Ուսուցման ալգորիթմացումը ժամանակա-կից ուսուցման գործընթացում դիտարկվում է երկու իմաստներով՝ աշա-կերտին ալգորիթմի ուսուցում, ինչպես նաև ուսուցման մեջ ալգորիթմների կազմում և իրագործում:

Իրենց հերթին, մաթեմատկայից ստացած գիտելիքները աշակերտին օգնում են յուրացնել «Ալգորիթմներ» թեման ինֆորմատիկայից: Մաթե-մատիկական մտածողությունն, իր հստակությամբ, համակարգվածու-թյամբ, հաջորդականությամբ, խստությամբ և տրամաբանությամբ, հան-դիսանում է ճիշտ կազմակերպված մտածողության օրինակ: Մաթեմատի-կայի և ալգորիթմների լեզվին տիրապետելը էականորեն ազդում է աշա-կերտի լեզվական ունակությունների զարգացման վրա:

Մաթեմատիկայի դասերին շատ արդյունավետ է ամրապնդել և ընդ-հանրացնել ստացած գիտելիքները ինֆորմատիկայի օգնությամբ: Օրինակ, 8-րդ դասարանում կարելի է անցկացնել գիտելիքների ամրա-պնդում՝ հանձնարարելով աշակերտներին պատրաստել սահիկներ «Քա-ռանկյուն» թեմայից՝ օգտվելով երկրաչափության դպրոցական դասա-գրքից։ Նրանք սահիկները կարող են պատրաստել ինֆորմատիկայի ժա-մին, քանի որ արդեն ուսումնասիրել են MicrosoB Office PowerPoint ծրա-գիրը: 7-րդ դասարանում երկրաչափության առաջին դասերին ուսումնա-սիրում են «Անկյուններ» թեման, որին շարունակություն կարելի է տալ ինֆորմատիկայի դասին «Paint ծրագրում նկարներ, համակարգչային գրաֆիկներ» թեմայի ժամանակ:

Ինտեգրված դաս կարելի է անցկացնել նաև ‹‹Հանրահաշիվ և մաթե-մատիկական անալիզի հիմունքներ›› առարկայից ‹‹Գրաֆիկի ձևափո-խություններ›› թեմայի կրկնության ժամանակ: Աշակերտները, օգտա-գործելով Advanced Grapher ծրագիրը, կարողանում են տարրական ֆունկցաների գրաֆիկներից ավելի բարդ ֆունկցաների գրաֆիկներ կա-ռուցել: Նրանց մոտ մաթեմատիկական գիտելիքը ավելի լավ է ամ-րապնդվում, ինչպես նաև կարողանում են ճիշտ կիրառել տվյալ ծրագիրը ինֆորմատիկայի ժամանակ:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

19

Գրականություն

1. Երկրաչափություն, 7-9: Լ.Ս. Աթանեսյան, Երևան 2007 2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для

учащихся. - М.: Просвещение,1984. 3. «Анализ современного урока» С.В. Кульневич, Т.П. Лакоценина

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРЕДМЕТОВ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАК ПОВЫШЕНИЯ ЭФЕКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ Саакян М. Резюме

Интегрированные уроки дают ученику достаточно широкое и яркое

представление о мире, в котором он живёт, о взаимосвязи явлений и предметов, решают множество отдельных задач и их совокупность. Формы урока могут быть различны, но в каждом должно быть достаточно материала для упражнения «деятельных сил» ребёнка, данных ему от природы.

INTEGRATION OF MATHEMATICS AND INFORMATION AS A FACTOR

OF THACHING PRODUCTIVITY RAISE Sahakyan M.

Summary So we see, that the integrated courses give to scholars better (vivid) idea

about the world around them. Forms of course may be various but every of them may contain enough materials for learner to exercise the "practical force" given by nature. Մերի Սահակյան - ՀՊՄՀ Մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոն, մագիստրոս

Հեռախոս՝ 077208608 Էլ. hասցե` Meri1992meri@mail.ru

20

ԱՇԱԿԵՐՏԱԿԵՆՏՐՈՆ ՈՒՍՈՒՑՈՒՄ

Սմբատյան Լուսինե

Բանալի բառեր – աշակերտակենտրոն ուսուցում, ուսուցման նպատակ, ուսուցման կազմակերպման ձևեր, գիտելիք, առաջադրանք, զարգացնող ուսուցում:

Գիտության և տեխնիկայի զարգացմանը զուգահեռ, տեղեկատվու-թյան մեծ հոսքին ընդառաջ փոխվում են նաև պահանջները կրթության նկատմամբ: Փոխվում են ուսումնական գործընթացների կազմակերպ-ման ձևերն ու նպատակները: Աշակերտներն ուսումնական գործընթացի կազմակերպման հիմնական ձևի՝ դասի ընթացքում դադարում են պասիվ վիճակում գտնվելուց: Աշակերտին անհետաքրքիր է պարզապես լսել ու-սուցչի կողմից ներկայացված փաստերը և փորձել այդ ամենը մտապահել: Այսօր աշակերտը դասի ակտիվ անդամ է: Հայտնաբերում է նոր գիտելիք-ներ, կատարում է ինքնուրույն և հետազոտական աշխատանքներ: Այս-ինքն առաջ է մղվում աշակերտակենտրոն ուսուցումը: Այդ դեպքում ուսու-ցիչը հանդես է գալիս ոչ թե սովորեցնողի, այլ առաջադրանքներ տվողի, հարցադրումներ անողի, կազմակերպողի, ուղղություն ցույց տվողի և վերահսկողի դերում: Իսկ աշակերտները հանդես են գալիս ընդհանրաց-նողի, գիտելիքներն ինքնուրույնաբար ձեռք բերողի դերում: Այս ձևով ու-սումնական գործընթացները կազմակերպելիս աշակերտների մեջ ձևա-վորվում և զարգանում են մի շարք որակներ: Աշակերտը դառնում է ճկուն նոր գիտելիքն ընկալելու, ինքնուրույն եզրահանգումներ անելու առումով:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

21

Զարգանում է ոչ ստանդարտ իրավիճակներում աշակերտների արագ կողմնորոշվելու ունակությունը:

Եկել ենք այն եզրակացության, որ ոչ թե ավելի շատ պատրաստի գիտելիքներ հաղորդենք աշակերտներին, այլ օգնել նրանց գիտելիքներ ձեռք բերելու գործում: Այդ դեպքում ավելի ակտիվ են աշակերտները և ուսուցումը կոչվելու է աշակերտակենտրոն: Այսպիսով ավելի շատ տեղ պետք է տալ աշակերտակենտրոն ուսուցմանը: Նպատակը ոչ միայն աշակերտներին մաթեմատիկա սովորեցնելն է, այլև մաթեմատիկայի միջոցով աշակերտների մեջ արժեքներ ձևա-վորելն ու զարգացնելը: Արդի պահանջներից մեկը զարգացնող ուսուց-ման կենսագործումն է: Ուսուցման պրոբլեմային և հետազոտական մե-թոդներն աշակերտների մեջ ավելի մեծ հետաքրքրություն են առաջաց-նում ուսման նկատմամբ, քան հաղորդող-պատմողական մեթոդները: Զարգացնող ուսուցումը, որը կապված է դասերի ընթացքում աշակերտ-ների գիտական նոր ճշմարտություններն ինքնուրույն որոնման ու հայտ-նաբերման գործը կազմակերպելու հետ, ոչ միայն ձևավորում է դրական վերաբերմունք ուսման նկատմամբ, այլև խթանում է աշակերտներին հաղ-թահարելու դժվարությունները, նպաստում է ստեղծագործական մտա-ծողության ու երևակայության արագ զարգացմանը:

Աշակերտակենտրոն ուսուցում կազմակերպելու և նշված խնդիր-ները լուծելու համար լայնորեն կիրառում ենք ուսուցման կազմակերպման մի շարք մեթոդներ, ձևեր, հնարներ, եղանակներ, միջոցներ: Դրանց կիրառման շնորհիվ առաջին պլան է մղվում ոչ թե աշակերտների վերար-տադրողական (ռեպրոդուկտիվ) մտածողությունը, այլ քննադատական, վերլուծական մտածողությունը, ինքնուրույն դատողություններով եզրա-հանգման գալը: Որպես աշխատանքի կարևորագույն սկզբունք ընդունում ենք «Ավելի շատ ինչու՞, քան ինչպես» սկզբունքը: Կիրառում ենք էվրիս-տիկ զրույց, պրոբլեմային ուսուցում, ինտերակտիվ մեթոդներ, համա-գործակցային ուսուցում և այլ արդյունավետ մեթոդներ:

• Էվրիստիկ զրույց Էվրիստիկ զրույց մեթոդի դեպքում քննարկման տրամաբանությունն

առաջին պլանում է: Այն պրոբլեմային իրավիճակ ստեղծելու լավագույն

22

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

հնարավորությունն է: Այս մեթոդի կիրառման ժամանակ ուսուցիչը ներկա-յացնում է առաջադրանքները, ձևավորում պրոբլեմը, պլանավորում է որոնման քայլերը, ունկնդրում է պատասխանները, առաջադրում է օգնող հարցեր: Աշակերտը հետևում է հետազոտության պլանին, արձագանքում է որոնման քայլերին, մոբիլիզացնում է կարողություններն ու հմտություն-ները, հետևում է այլ պատասխաններին ու մասնակցում եզրահան-գումներին:

Օրինակ. Ուսուցիչ – Ճի՞շտ է հետևյալ սահմանումը. «Բազմանկյուն կոչ-վում է այն պատկերը, որը կազմված է հատվածներից այնպես, որ կից հատվածները չեն գտնվում մի ուղղի վրա, իսկ ոչ կից հատվածներն ընդհանուր կետ չունեն»:

Աշակերտ – Այո:

Ու. – Միայն այդպիսի պատկե՞րն է կոչվում բազմանկյուն: Ա. – Երևի այո: Դասագրքում այդպես է գրված: Համեմատեցի: Ու. – Այդ դեպքում գտի՛ր այլ սահմանում: Ա. – Բազմանկյան և նրա ներքին տիրույթի միավորում հանդիսացող պատկերը ևս անվանվում են բազմանկյուն: Ու. – Այդ դեպքում ինչպե՞ս զանազանենք: Ա. – Կոնկրետ առաջադրանքից կորոշվի: Օրինակ. Տրված է 540 անկյուն: Կարկինի և քանոնի օգնությամբ անկյունը բաժանել երեք հավասար մասերի:

• Պրոբլեմային ուսուցում Պրոբլեմային ուսուցման մեթոդի էական պայմանը ուսուցման ընթաց-

քում սովորողների աշխատանքի հետազոտական բնույթի ապահովումն է: Պրոբլեմային իրադրություն կարելի է ստեղծել երեք հիմնական եղա-նակներով.

1. Ուսուցչի կողմից պրոբլեմի հստակ առաջադրում, 2. այնպիսի իրադրության ստեղծում, որը սովորողներից պահանջում

է ինքնուրույն հասկանալ և ձևակերպել առաջացած պրոբլեմը,

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

23

3. այնպիսի իրադրության ստեղծում, որտեղ քիչ թե շատ հստակորեն նշված է պրոբլեմ, որի լուծումից հետո աշակերտը հանգում է նոր լրացուցիչ պրոբլեմի, որն ինքը պետք է հայտնաբերի: Սխեմատիկորեն ձևակերպենք այսպես.

- Ոչ ստանդարտ բնույթի, ագրեսիվ առաջադրանք, որն ընկալվի այդպիսին:

- Խանդավառ աշխատանք: - Էվրիստիկ զրույց, հետազոտական աշխատանք: - հայտնագործություն, հայտնագործողի բերկրանք:

Օրինակ. Կարելի՞ է եռանկյունը, որն ունի ոչ հավասար կողմեր, կտրել երկու հավասար եռանկյունների: Պատասխան՝ ոչ:

• Ինտերակտիվ մեթոդներ Ուսուցումն ինտերակտիվ մեթոդներով կազմակերպելու ընթացքը ներկայացնենք սխեմատիկորեն.

1. Կազմակերպիչը առաջադրում է թեման, հարցադրումները: 2. Յուրաքանչյուր մասնակից տալիս է իր իմացած տեղեկատվությունը: 3. Ստեղծվում է «Մտքերի տարափ» իրավիճակ, որն ընդգրկում է «Ուղե-

ղային գրոհի» մեթոդի հնարավորությունները: 4. Թիմով քննարկում են նշված նյութը, ձևակերպում արդյունքը: 5. Կատարվում է արդյունքների ամփոփում, անդրադարձ: Օրինակ. Քառակուսու հատկություններից առանձնացնել զուգահեռագծի, ուղղանկյան, շեղանկյան, քառակուսու բնորոշ հատկությունները:

«Ուղեղային գրոհի» և «մտքերի տարափի» միջոցով առանձնացվում են նշված երկրաչափական պատկերների բնորոշ հատկությունները: Ուսուցիչը ներկայացնում է առաջադրանքը, որոշ մեկնաբանություններ տալիս: Արդյունքը ձևակերպվում է աշակերտների ակտիվ մասնակցու-թյամբ:

• Համագործակցային ուսուցում Այն պարունակում է ինքնուրույն, անհատական, շերտավորված աշ-

խատանքների հնարներ, ներառում է ինտերակտիվ մեթոդների, պրոբլե-մային ուսուցման, էվրիստիկ զրույցի տարրեր:

24

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Նախ որևէ սկզբունքով կազմվում են թիմեր: Աշխատանքը շատ որոշակիորեն հանձնարարվում է: Կազմակերպվում է թեմերին և դրանց անդամներին աջակցման գործընթաց: Անհրաժեշտությունից և նպատակահարմարությունից ելնելով՝ երբեմն վերադասավորվում են թիմերը և ամփոփիչ քննարկումը կատարվում է ամբողջ դասարանով:

Օրինակ. Քանի՞ քառակուսի կա հետևյալ պատկերում:

12+22+32+42=1+4+9+16=30: Ավելացնում ենք նաև կենտրոնի հինգ քառակուսիները՝ 30+5=35:

Եթե արդյունավետ կիրառենք այս մեթոդները, ապա ուսուցումը կարող ենք համարել աշակերտակենտրոն:

Գրականություն

1. Ղուշչյան Ա., Աբրահամյան Ա., և ուր. «Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում կրթության բովանդակային բաղադրիչները որպես դաստիարակության միջոց», Երևան 2009թ. 2. Սարգսյան Ռ., «Դասախոսություններ մաթեմատիկայի ուսուցման մեթոդիկայից», Զանգակ, Երևան, 2012թ. 3. Лернер И., Дидактические основи методов обучения, Москва, Педагогика, 1981г.

ЛИЧНОСТНО-ОПИЕНТИРОВАННОЕ (УЧЕНИКОЦЕНТРИЧЕСКОЕ) ОБУЧЕНИЕ

Смбатян Лусине Резюме

Мы пришли к выводу, что ученикам нужно предоставлять не готовые знания, а помочь им приобретать их самостоятельно. В этом

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

25

случае ученики более активны и обучение является личностно-ориентированным (ученикоцентрическим). Таким образом, больше следует использобать личностно-ориентированное обучение.

ORIENTED TEACHING

Smbatyan Lusine Sammary

We came to the conclusion that it is better to help the pupils to gain knowledge than give them ready knowledge. In that case pupils are more active and the teaching will be called oriented. So it is important to give much more attention to the oriented teaching.

Լուսինե Սմբատյան - ՀՊՄՀ հայցորդ, ՃՇՀԱՀ Մ. Աբեղյանի անվան ավագ դպրոց

Հեռախոս՝ 094 31 68 16 Էլ. hասցե` smbatyanl@yandex.com

26

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՄԵԾԱԳՈՒՅՆ (ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ) ԱՐԺԵՔՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ

Ն. Դովլաթյան, Ս. Խաչատրյան

Բանալի բառեր – ֆունկցիայի մաքսիմում, ֆունկ-ցիայի մինիմում, ֆունկցիաների գումար, հավասա-րում, անհավասարում:

Տարիներ շարունակ համատեղության կարգով աշխատել ենք հան-

րապետության դպրոցներում և ՀՊՄՀ – ի հենակետային վարժարանում: «Ֆունկցիայի հետազոտում» թեման դասվանդելիս, միշտ կատարել հե-տևյալ հարցադրումը.

«Ի՞նչպես գտնել ( ) և ( ) ֆունկցիաների գումարի կամ տարբե-րության մեծագույն արժեքը»: Շատ հաճախ ստանում ենք հետևյալ պատասխանը.

«Գտնենք ( ) և ( ) ֆունկցիաների մեծագույն արժեքները (դիցուք դրանք և թվերն են) և դրանք գումարենք: Օրինակ, երբ բացատր-վում է, թե որ թվերն են հանդիսանում և ֆունկցիաների մեծա-գույն և փոքրագույն արժեքները, որից հետո հետևում է հարց. «ո՞ր թվերն են հանդիսանում = + (*) ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները», գրեթե միշտ ստանում ենք հետևյալ պատասխանը. «փոքրագույնը - 2, իսկ մեծագույնը՝ 2»:

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

27

Ընթերցողին շատ լավ հայտնի է աշակերտների այս մտայնությունը և թե ինչպես գտնել (*) ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները 1, 2 :

Այս աշխատանքում նպատակ ունենք ընթերցողի ուշադրությունը հրավիրելու այն փաստին, որ երբեմն ( ) + ( ) մեծագույն հենց +

թիվն է: Առանց ապացույցների ձևակերպենք մի քանի պնդումներ.

1. Եթե ( ) և ( ) իրենց մեծագույնին հասնում են կետում, ապա ( )+ ( ) –ի մեծագույնը կլինի ( ) + ( ); 2. Եթե ( ) – ի մեծագույն ( ) – ն է, իսկ ( ) – ի փոքրագույնը ( )

– ն, ապա ( )- ( ) – ի մեծագույնը կլինի ( ) − ( ) թիվը; 3. Եթե ( ) և ( ) արժեքները ոչ բացասական են և կետում

հասնում են իրենց մեծագույնին, ապա = ( ) ∙ ( ) ֆունկցիայի մեծագույնը կլինի ( ) ∙ ( ) թիվը: Իհարկե այս պնդումները կարելի է շարունակել: Ներկայացնենք այս պնդումների մի քանի կիրառություններ:

Նկատենք, որ ստորև ներկայացված օրինակների համար կան լուծման զանազան մեթոդներ: Առանց քննարկելու թեր և դեմ կողմերը, մենք կներկայացնենք մեր մեթոդը:

Օրինակ 1. ( 2 170) Լուծել հավասարումը. √1 − = 1 + (1)

Լուծում. Դիտարկել հետևյալ ֆունկցիան` = √1 − − (1 + ) (2)

Նկատենք, որ այս ֆունկցիայի որոշման տիրույթը՝ ( ) = −1; 1 : Դիցուք ( ) = √1 − , իսկ ( ) = 1 + : Նշված տիրույթում ( ) – ի մեծագույն արժեքը (0) = 1 թիվն է, իսկ ( ) – ի փոքրագույնը (0) = 1, հետևաբար ( ) ֆունկցիայի մեծագույն

արժեքը կլինի. (0) = (0) − (0) = 0 Իսկ երբ ≠ 0, ապա ( ) < 0, հետևաբար (1) հավասարումը ունի

միակ լուծում և այն = 0 թիվն է: Առաջարկում ենք ընթերցողին քննարկել [2] դասագրքում

ներկայացված N 170; 171 օրինակները:

28

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

Օրինակ 2. ( 2 183) Լուծել անհավասարությունը (0,2) ≤ 25 − 7| − 1| (3) Լուծում: Դիտարկել հետևյալ ֆունկցիան. ( ) = (0,2) − 25 + 7| − 1| (4) Այս դեպքում ( ) = (0,2) = 5( ) ( ) = 25 − 7| − 1| Քանի, որ ( ) = ( ) = | , ապա ( ) = | : Հեշտ է տեսնել, որ ( ) – ը իր փոքրագույն արժեքը ընդունում է =1 կետում և (1) = 25, իսկ ( ) ֆունկցիան իր մեծագույնին հասնում է

նորից = 1 կետում և (1) = 25, ուրեմն ( ) ֆունկցիան իր փոքրագույն արժեքին հասնում է = 1 կետում և (1) = 0: Ուրեմն ≠ 1, ապա ( ) >0, այսինքն՝ (0,2) > 25 − 7| − 1| (5)

(5) – ից հետևում է, որ (3) անհավասարման միակ լուծումը = 1 թիվն է:

Ընթերցողին առաջարկում ենք քննարկել [2] - ի 182, 183 օրինակները:

Օրինակ 3. Գտնել հետևյալ ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը.

= ∙ 4 − | − 1| (6) Այս ֆունկցիայի որոշման տիրույթը −3; 5 հատվածն է:

Դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիանները. ( ) = և ( ) = 4 − | − 1| Նկատենք, որ երբ = 1 ( ) = ∙ = 1 Իսկ՝ ( ) = √4 = 2 Հետևաբար (6) ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը կլինի. (1) = (1) ∙ (1) = 2

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

29

Գրականություն

1. Հ. Ս. Միքայելյան, «Հանրահաշիվ 8», 2007թ. 2. Գ. Գևորգյան, Ա. Սահակյան «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական

անալիզի տարրեր 12» 2013թ.

О наибольшем (наименьшем) значение функции Резюне

Довлатян Н. С. , Хачатрян С.А.

В статье рассматривается наибольшее и наименьшее значение суммы двух функций, если известны соответствующие значения слагаемых. Отмечены некоторые прнменения полученных результатов при решении некоторых равенств и неравенств.

On maximum (minimum) value of a function Dovlatyan N.S., Khachatryan S.A.

Summary

It is consideved the maximum or minimum values of a sum two funeton by means of corresponding values of addant. Some applications of abtaned facts are presented in the paper.

Ն. Դովլաթյան, Ս. Խաչատրյան - ՀՊՄՀ – ի Մաթեմատիկական անալիզի և ֆունկցիաների տեսության ամբիոն Էլ հասցե՝ sevada1946@mail.ru

30

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԵՎ ՖԻԶԻԿԱՅԻ ԷՔՍՏՐԵՄԱԼ ԽՆԴԻՐՆԵՐՈՒՄ ՖԵՐՄԱՅԻ ՄԵԹՈԴԻ ՄԻ ՔԱՆԻ

ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ

Լ. Ն. Պետրոսյան Ն. Լ. Պետրոսյան

ՀԱՊՀ Կապանի մասնաճյուղ

Բանալի բառեր - ֆերմայի մաթեմատիկական մե-թոդ, ֆունկցիայի էքստրեմում, կրիտիկական կետեր:

Ներածություն Գաղտնիք չէ, որ ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս Պիեռ Ֆերման

մեծ ավանդ ունի մաթեմատիկայի տարբեր բաժինների` թվերի տեսությու-նից սկսած մինչև հավանականությունների տեսություն, ձևավորման և զարգացման գործում: Ուստի պատահական չէ, որ նրա կողմից առաջ քաշված մեթոդները և սկզբունքները մեծ հաջողությամբ իրենց կիրառու-թյունն են գտնում ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլ նաև ֆիզիկայի մի շարք խնդիրներում և տեսական մեկնաբանություններում:

Ներկա հոդվածի նպատակն է մի շարք խնդիրների օրինակներով ներկայացնել Ֆերմայի մաթեմատիկական մեթոդի մի քանի հետաքրքիր կիրառությունները մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մի շարք էքստրեմալ խնդիրների լուծման ժամանակ և դրանով իսկ ցույց տալ այդ մեթոդի

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

31

կիրառմամբ պայմանավորված նմանատիպ խնդիրների լուծման արդյու-նավետությունն ու մատչելությունը և, որ շատ կարևոր է, այդ լուծումների բացառիկ գեղեցկությունը:

Մինչ կոնկրետ խնդիրներին անցնելը համառոտ քննարկենք Ֆերմա-յի թեորեմը ածանցելի ֆունկցիայի էքստրեմումի գոյության անհրաժեշտ պայմանի մասին և փորձենք ներկայացնել այդ թեորեմի կապը նույնպես Ֆերմային պատկանող երկրաչափական օպտիկայի հայտնի հիմնարար սկզբունքի հետ:

Ֆերմայի թեորեմը էքստրեմումի անհրաժեշտ պայմանի մասին Դիֆերենցիալ հաշվի այդ կարևոր թեորեմն այնքան պարզ է, որ այն

կարելի է ուսումնասիրել «Հանրահաշիվ և տարրական ֆունկցիաներ» առարկայի դպրոցական դասընթացում: Ժամանակակից տերմինաբա-նությամբ թեորեմն ձևակերպվում է հետևյալ կերպ. եթե 0x կետի շրջա-կայքում որոշված ( )xf ֆունկցիան ածանցելի է այդ կետում և 0xx = դեպքում ունի էքստրեմում, ապա ֆունկցիայի ածանցյալն այդ կետում`

( ) 00 =′ xf : Հետաքրքիր է, թե ինչ ձևով է Ֆերման ստացել իր թեորեմն ածանց-

յալի և ինտեգրալ հաշվի «հայտնագործումից» գրեթե կես դար առաջ: Նա ուշադրություն դարձրեց այն բանի վրա, որ էքստրեմունի (լոկալ մինիմումի կամ լոկալ մաքսիմումի) կետի բավականաչափ փոքր շրջակայքում ֆունկ-ցիայի աճը պահպանում է իր նշանը, անկախ արգումենտի աճի նշանից: Խիստ մինիմումի կետում աճը դրական է, իսկ մաքսիմումի կետում` բա-ցասական: Այդ պատճառով էքստրեմումի փնտրման համար Ֆերման ուսումնասիրեց ֆունկցիայի աճի կախումն արգումենտի փոքր աճից:

Ցույց տանք, օրինակի համար, թե ինչպես Ֆերմայի մեթոդով անհրաժեշտ է փնտրել 2xy = պարաբոլայի գագաթը, այսինքն` ( ) 2xxf = ֆունկցիայի մինիմումը: Դիտարկենք ( )xf ֆունկցիայի աճը կամայական x կետում, արգումենտի փոքր h աճի դեպքում: Կստանանք`

( ) ( ) ( ) 222 2 hxhxhxxfhxf +=−+=−+ : (1) Որպեսզի ( )xf ֆունկցիայի աճը կախված չլինի h -ի նշանից, անհրաժեշտ է, որ տեղի ունենա 02 =xh հավասարությունը, այսինքն` 02 =x : Ուրեմն,

32

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

0=x և 2xy = պարաբոլայի գա-գաթն ունի ( )0,0 կոորդինատները: Դիֆերենցիալ հաշվի տեսանկյու-նից մենք փնտրում էինք այնպիսի x , որ լիներ հետևյալը.

( ) 02 ==′ xxf : Ֆերման չէր զբաղ-վում էքստրեմումի բավարար պայ-մանների ուսումնասիրությամբ, բայց այնուամենայնիվ նշենք, որ

( ) ( ) 000 2 ≥=−+ hfhf (2) անհավասարության արդյունքում կարելի է պնդել 0=x կետում ֆունկ-ցիայի լոկալ մինիմումի գոյությունը:

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ: Դիցուք` հետազոտվող ֆունկցիան ( ) ( )xxxg −= 1 ֆունկցիան է: Ունենք`

( ) ( ) ( ) ( ) 222 21 hhxxxhxhxxghxg −−=+−+−+=−+ : (3) Ակնհայտ է, որ ( )xg ֆունկցիան ամենամեծ արժեքն ունի x կետում,

որտեղ 021 =− x , այսինքն` 21=x դեպքում: Այդ դեպքում ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը` 41max =g :

Իր հայտնագործությամբ Ֆերման գրեթե չլուծվող խնդիրների մի մեծ դաս տեղափոխեց լրիվ լուծվող խնդիրների շարք, քանզի պարզվեց, որ ածանցելի ֆունկցիայի էքստրեմումի փնտրման համար ֆունկցիայի որոշ-ման ողջ տիրույթի փոխարեն բավարար է դիտարկել միայն նրա կրիտի-կական, այսինքն` այն կետերի, որում ֆունկցիայի ածանցյալը հավա-սարվում է զրո, բազմությունը:

Կարելի է վստահորեն ենթադրել, որ Էվկլիդեսի «Սկիզբ»-ից Ֆերման գիտեր մաքսիմալ արժեքի փնտրման հայտնի խնդիրը, որն այժմ կարելի էր լուծել իր մեթոդով:

Էվկլիդեսի խնդիրը: Եռանկյանը ներգծած զուգահեռագծերից գտնել այն զուգահեռագիծը, որն ունի ամենամեծ մակերեսը:

Այս խնդիրն ինքը` Էվկլիդեսը լուծեց և հաստատեց, որ փնտրվող զուգահեռագիծն այն է, որի հիմքը երկու անգամ փոքր է տրված եռանկյան հիմքից: Ներկայումս, երկրաչափության այս խնդիրն հանգեցվում է

Նկ. 1

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

33

ֆունկցիայի էքստրեմումի փնտրման ոչ բարդ խնդրին: Դիցուք` ABC եռանկյանը ներ է գծված AMND զուգահեռագիծը (նկ. 1): Ենթադրենք, որ

ACxAD ⋅= , 10 ≤≤ x : ABC և DNC եռանկյունների նմանությունից հե-տևում է, որ ( ) BBxNN ′⋅−=′ 1 : Դրա հետևանքով զուգահեռագծի մակե-րեսը`

( ) ( )xxSxxBBACS −=−⋅′⋅= 121 1 , (4) որտեղ 1S -ը եռանկյան մակերեսն է: Ինչպես ցույց տրվեց վերևում,

( ) ( )xxxg −= 1 ֆունկցիան ունի մաքսիմում, երբ 21=x : Այսպիսով, 21SS = , երբ 21=x , այսինքն` երբ DCAD = :

Ֆերմայի խնդիրը: AB հատվածը բաժանել AC և CB հատվածների այնպես, որ AC և CB կողմերով ուղղանկյունն ունենա ամենամեծ մակե-րեսը:

Ենթադրենք, որ ,ABxAC ⋅= 10 ≤≤ x : Այդ դեպքում ( )ABxCB −= 1 և ուղղանկյան մակերեսը` ( )xxABS −= 12 : Այսպիսով, AC և CB կողմերով ուղղանկյան մակերեսը ունի 42

max ABS = առավելագույն արժեքը, երբ 21=x , այսինքն` AB հատվածը պետք է կիսել երկու հավասար մասերի:

Այժմ անցնենք ֆիզիկայի էքստրեմալ խնդիրներում Ֆերմայի մեթոդի մի քանի կիրառությունների քննարկմանը:

Երբեմն ուսանողների հետ, իսկ դպրոցում նաև ավագ դասարանների սովորողների հետ, հարկ է լինում դիտարկել ֆիզիկայի դասընթացի ոչ բարդ խնդիրներ, մինչ մաթեմատիկայի (մաթանալիզի) դասընթացի յու-րացումը: Նման իրավիճակներում խիստ օգտակար դերակատարություն են ունենում ֆիզիկայի գիտամեթոդական գրականության մեջ երբեմն ի հայտ եկած այնպիսի հրապարակումները, որոնք նվիրված են տարրա-կան մաթեմատիկայի մեթոդների կիրառմամբ ֆիզիկայի էքստրմալ խնդիրների լուծմանը (օրինակ [6] աշխատանքը): Նմանատիպ խնդրների լուծման ժամանակ հեղինակները սովորաբար մտածում և գտնում են լուծման ինքնատիպ մեթոդներ: Այդպիսի լուծման մի օրինակ է ֆիզիկայի դասընթացից հայտնի հետևյալ խնդրի լուծումը:

Խնդիր 1: Էլեկտրական շղթան բաղկացած է հոսանքի աղբյուրից և ռեոստատից: Աղբյուրի ԷլՇՈՒ-ն` 6=ε Վ, իսկ ներքին դիմադրությունը`

2=r Օմ: Ռեոստատի դիմադրությունը կարելի փոփոխել 1Օմ-ից մինչև 5

34

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Օմ սահմաններում: Ինչի՞ է հավասար ռեոստատի վրա անջատվող հո-սանքի առավելագույն հզորությունը:

Լուծում: Այս խնդիրը կարելի է լուծել ինչպես սովորական մաթեմա-տիկական մեթոդներով, այնպես էլ ածանցյալի կիրառությամբ: Սակայն այս դեպքում մեր նպատակն է ներկայացնել լուծում, որտեղ օգտա-գործվում է Ֆերմայի համընդհանուր մեթոդը:

Մինչ նշված մեթոդով խնդրի անմիջական լուծմանն անցնելը, նախ և առաջ փորձենք Ֆերմայի մեթոդը կիրառել հետևյալ ռացիոնալ կոտորա-կային ֆունկցիայի նկատմամբ.

( )21

2

xxxf

+= : (5)

Դիցուք` 0x -ն այն կետի կոորդինատն է, որում f ֆունկցիան ունի էքստրեմում, իսկ x -ը` էքստրեմումի մոտիկ կետերի կոորդինատներն են:

Դիտարկվող ֆունկցիայի համար որոշենք հետևյալ տարբերություն

( ) ( ) ( ) ( )( )( )2

02

002

0

020 11

12

1

2

1

2

xxxxxx

xx

xxxfxff

++−

−=+

−+

=−=Δ : (6)

Եթե 0x -ն այն կետն է, որտեղ f ֆունկցիան ունի էքստրեմում, ապաfΔ տարբերությունը 0xx > դեպքում, ունի այն նույն նշանը, ինչ` 0xx <

դեպքում: Քանի որ (6) արտահայտության մեջ fΔ -ը երկու բազմապատկիչների արտադրյալ է, իսկ առաջին արտադրիչը փոխում է իր նշանը x արգումենտը էքստրեմումի 0x կետով անցնելիս, ապա իր նշանը պետք է փոխի նաև (6) արտահայտության աջ մասի երկրորդ` կոտորակային արտադրիչը: Դրա հետևանքով երկրորդ արտադրիչը, ինչպես և առաջինը, 0xx = դեպքում պետք է հավասար լինի զրոյի.

( )

( )( ) 011

1220

20 =++

−xxxx

, երբ 0xx = : (7)

Այսպիսով, համաձայն (6)-ի և (7)-ի կունենանք`

( ) ( )

00

0 =−−xxxfxf

, երբ 0xx = : (8)

Հասկանալի է, որ (8) արտահայտությունը հենց Ֆերմայի թեորեմն է, որը գրված է առանց ածանցյալի հասկացության օգտագործման, սակայն

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

35

Ֆերմայի ալգորիթմի կիրառման արդյունքում: Եվ, վերջապես, (7)-ից ստանում ենք` 012

0 =−x , որտեղից հետևում է, որ (5) ֆունկցիան ունի երկու էքստրեմալ կետեր. 101 −=x , 102 +=x : Ընդ որում` ( ) 101 −=xf , իսկ

( ) 102 +=xf : Այժմ վերադառնանք վերևում առաջարկված խնդրի լուծմանը:

Օհմի օրենքի համաձայն փակ շղթայում հոսանքի ուժի համար կունենանք` ( )RrI += ε : Հետևաբար ռեոստատի վրա անջատվող հզո-

րության համար կարող ենք գրել` ( )22 RrRP += ε : Այսինքն` խնդիրը հանգեցվում է

( )( )2

2

RrRRP

+= ε

(9)

Ֆունկցիայի առավելագույն արժեքի որոշմանը: Ակնհայտ է, որ (9)-ի առավելագույն արժեքի որոշումը հանգեցվում է

( )( )2RrRRG

+= (10)

ֆունկցիայի առավելագույն արժեքի որոշմանը: Փորձենք Ֆերմայի մեթո-դով ներկայացնել (5) ֆունկցիայից 2ε հաստատուն արտադրիչով տար-բերվող (10) ֆունկցիայի առավելագույն արժեքի որոշման էքստրեմալ խնդրի լուծումը:

Դիցուք` 0R -ն ( )RG ֆունկցիայի մաքսիմումի կետն է: Մաթեմա-տիկական ոչ բարդ ձևափոխություններով կարելի է համոզվել, որ R կե-տում և 0R կետում ֆունկցիայի արժեքների GΔ տարբերությունը որոշ-վում է հետևյալ արտահայտությամբ.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

02

02

00 RrRrRRrRRRGRGG

++−

−=−=Δ : (11)

Վերևում դիտարկված ( )xf ֆունկցիայի, ինչպես նաև (7) և (8) արտահայտությունների համանմանությամբ կարող ենք գրել, որ (11)-ի ինչպես առաջին, այնպես էլ երկրորդ արտադրիչը` 0RR = դեպքում պետք է հավասար լինի զրոյի.

36

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

( )

( ) ( )0

20

20

2

=++

−RrRrRRr

, երբ 0RR = : (12)

( ) ( )

00

0 =−−RRRGRG

, երբ 0RR = : (13)

Իսկ (12)-ից ստանում ենք, որ 0220 =− rR , որտեղից հետևում է, որ

(10) ֆունկցիան ունի երկու էքստրեմալ կետ. rR −=01 , rR =02 : Ընդ որում ( ) ∞=01RG , իսկ ( ) rRG 4102 = : Պարզ է, որ ( ) ∞=01RG դեպքը, որը

հանգեցնում է ( ) ∞=01RP դեպքին, ֆիզիկական իմաստ չունի: (9) արտահայտությամբ որոշվող հզորության առավելագույն արժեքի

համար ստանում ենք`

( )( ) rrr

rrP4

2

2

2

max

εε =+

= : (14)

Այս արտահայտության մեջ թվային արժեքները տեղադրելով ռեոստատի վրա անջատվող առավելագույն հզորության համար ստանում ենք 5,4 Վտ:

Ֆիզիկայի դասընթացում երբեմն հարկ է լինում գործ ունենալ այնպիսի էքստրեմալ խնդիրների հետ, որտեղ ֆունկցիան պարունակում է արմատներ: Օրնակ, այդ խնդիրն առաջանում է Ֆերմայի վարիացիոն սկզբունքից լույսի անդրադարձման և բեկման օրենքները դուրս բերելիս: Իսկ վարիացիոն սկզբունքն ունի հետևյալ պարզեցված ձևակերպումը. Տարածության երկու կետերի միջև լույսը տարածվում է այն ճանապարհով, որի երկայնքով նրա տարածման ժամանակամիջոցը նվազագույնն է: Լույսի բեկման դեպքում նվազագույն արժեք պետք է ունենա

( ) ( )22

2

22

1

11 xdbxaxf −+++=υυ

(15)

ֆունկցիան, որտեղ 1υ -ը լույսի արագությունն է առաջին միջավայրում, 2υ-ը լույսի արագությունը երկրորդ միջավայրում (նկ. 2):

Ինչպես և նախորդ երկու դեպքերում, գրենք ( )xf ֆունկցիայի ( ) ( )0xfxff −=Δ տարբերությունը x և 0x կետերում.

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

37

[ ] ( ) ( ) −+−−+++−+=Δ 2

0222

2

20

222

1

11 xdbxdbxaxafυυ

(16)

Պարզ հանրահաշվական ձևափոխություններից հետո, որն իր մեջ ներառում է նաև քառակուսային փակագծերի մեջ գտնվող տարբերությունների բազմապատկումն ու բաժանումը նույն արմատների գումարով, ստանում ենք`

[ ] ( ) ( )

−++−+

−++

+++

+=

−Δ

2

0222

2

0

20

2221

0

0

2

xdbxdb

dxxxaxa

xxxxf

υυ: (17)

Ստացված արդյունքի նկատմամբ կիրառենք Ֆերմայի ալգորիթմը, այն է`

( ) ( )0

0

0 =−−xxxfxf

, երբ 0xx = ,

որից հետո կստանանք.

( )2

02

2

0

20

21

0

xdb

xd

xa

x

−+

−=

+ υυ, (18)

կամ, ինչպես հետևում է նկ. 2-ից, կարող ենք գրել`

21

sinsin

υβ

υα = : (19)

Սա հենց լույսի բեկման օրենքն է: Ֆերմայի մեթոդից օգտվելով, ավելի հեշտ քան լույսի բեկման օրենքը,

կարելի է ստանալ լույսի անդրադարձման օրենքը: Շատ դեպքերում, այլ էքստրեմալ խնդիրների ուսումնասիրման

համար, այստեղ ներկայացված Ֆերմայի ալգորիթմը անհարաժեշտ է լինում թեթևակի ենթարկել մոդիֆիկացիայի: Այդպիսի օրինակներում քիչ թիվ չեն կազմում այն խնդիրները, որտեղ օգտագործվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները:

38

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Անդրադառնանք [6] աշ-խատանքում մեր կողմից դիտարկված «Խնդիր 5»-ին, որը կձևակերպենք հետևյալ կերպ. Խնդիր 2: Հորիզոնի նկատ-մամբ ինչպիսի՞ α անկյան տակ չորսուի վրա պետք է կիրառել F ուժը, որպեսզի նվազագույն ճիգ գործադրե-լով այն հավասարաչափ տե-ղափոխվի μ շփման գոր-ծակցով հորիզոնական մա-կերևույթով:

Լուծում: Ինչպես ցույց տրվեց [6] աշխատանքում, խնդիրն այս դեպքում հանգեցվում է

( )αμα

μαsincos +

= mgF (20)

ֆունկցիայի նվազագույն արժեքի որոշմանը: Ինչպես և նախորդ խնդիր-ների լուծման ժամանակ ներկայացնենք ( ) ( )0αα FF − տարբերությունը, որտեղ 0α -ն α անկյան այն ենթադրյալ արժեքն է, որի դեպքում F ուժն ունի նվազագույն արժեք.

( ) ( )00

0 sincossincos αμαμ

αμαμαα

+−

+=− mgmgFF : (21)

Որոշ եռանկյունաչափական ձափոխություններից հետո ստանում ենք`

( ) ( ) ( )( )

++

+

−

+

⋅

−

=−00

00

00 sincossincos

2sin

2cos2

2sin

αμααμα

ααααμμαααα

mgFF : (22)

Ինչպես և նախորդ դեպքերում, տարբերությունն իրենից ներկայաց-նում է երկու արտադրիչների արտադրյալ: Ընդ որում, ինչպես և նախորդ դեպքերում, առաջին արտադրիչը փոխում է իր նշանը α արգումենտի

Նկ. 2

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

39

արժեքը 0α -ի հավասար արժեքով անցնելիս: Էքստրեմումի կետով անց-նելիս իր նշանը պետք է փոխի նաև ուղիղ փակագծի ներսում գտնվող երկրորդ արտադրիչը: Հետևաբար, այդ արտադրիչը 0αα = դեպքում պետք է հավասար լինի զրոյի: Այստեղից ստանում ենք.

,0sincos 00 =− ααμ μα =0tg , μα arctg=0 : (23) (23)-ից ստացվող արժեքները ( )αF -ի (20)-ով որոշվող

արտահայտության մեջ տեղադրելով ( 0αα = դեպքում) ստանում ենք` ( ) 00 cosαμα mgF = : (24)

Նշենք, որ դիտարկված խնդրի լուծումը կարելի է, գուցե և ավելի պարզ, ներկայացնել ոչ թե հետազոտելով ֆունկցիան, այլ միայն ( )αF ուժի, այսինքն` (20)-ի հայտարարի արտահայտությունը:

Գրականություն

1. Белл Э. Т. Творцы математики: Предшественники современной математики: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1979. 256 с.

2. Хрестоматия по истории математики: Пособие для студентов пед. ин-тов / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Просвещение, 1977. 224 с.

3. Кудрявцев П. С. Курс истории физики. М.: Просвещение, 1982. 448 с.

4. Самохин В. Н. Необходимое условие экстремума и вариационный принцип Ферма. / Соросовский образовательный журнал.- 1999.- N 6.- С. 123 – 126.

5. Лузин А. Н. Орешении эксремальных задач методами элементарной математики. Методические, дидактические и психологоческие аспекты проблемного обучения физике / Тез. Докл. 2-ой Всесоюзной научно-методической конференции.- Донецк. Дон. ГУ, 1991.- С. 126 – 128.

6. Լ. Ն. Պետրոսյան, Ն. Լ. Պետրոսյան. Էքստրեմումի որոշմամբ ֆիզիկայի խնդիրների լուծման մեթոդների և դրանց կիրառման մի քանի օրինակների մասին: ԲՆԱԳԵՏ, 2015, N 3:

40

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ МЕТОДА ФЕРМЫ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

Л.Н.Петросян, Н.Л.Петросян Резюме

Рассматривается несколько интересных применений математического метода Фермы при решении задач по математике и физике. Показана эффективность и доступность решения задач с применением этого метода как в вузовском курсе физики, так и курсе физики в старшей школе.

ABOUT SOME APPLICATIONS OF THE FERMA METHOD IN A NUMBER OF EXTREMAL TASKS ON MATHEMATICS AND PHYSICS

L.N.Petrosyan, N.L.Petrosyan Summary

Some interesting applications of the mathematical method of Ferma are

observed at solving some extremal tasks on Mathematics and Physics. The effectiveness and availability of solving tasks by this method is shown both in the course of Physics in Higher Educational Establishment and in the course of Physics in High School.

Պետրոսյան Լեռնիկ Նահապետի - ՀՊՃՀ (Պոլիտեխնիկ) Կապանի մասնաճյուղ, տնօրենի ժ/պ, համատեղությամբ Մ և ԲԱ ամբիոնի դասախոս, մանկ. գիտ. դոկտոր, պրոֆեսոր Հեռ.՝ (0285) 2-67-61, 2-43-60, (094) 43-85-40 Պետրոսյան Նահապետ Լեռնիկի - ՀՊՃՀ (Պոլիտեխնիկ) Կապանի մասնաճյուղ Մ և ԲԱ ամբիոնի դասախոս, մանկ. գիտ. թեկնածու Հեռ.՝ (0285) 5-34-61, 2-43-60, (077) 43-85-40

41

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ ԿԱՊԵՐԸ ՏՐԱՄԱԲԱՆՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ

ԸՆԹԱՑՔՈՒՄ

Շուշանիկ Գրիգորյան

Բանալի բառեր – մաթեմատիկա, համակարգիչ, ուսուցում, Ք.Շենոն, տրամաբանական փականներ, լամպ:

Հայտնի է, որ ցանկացած թիվ կարելի է արտահայտել հաշվարկման

երկուական համակարգում, որում օգտագործվում ենմիայն 0 և 1 թվանշանները: Նրանում հաշվարկը կատարվում է այսպես. 0, 1, 10, 11, 100, 101, 111, 1000 և այլն:

Կարևոր է նկատել, որ երկուական հաշվարկման համակարգը կա-րող է ծառայել որպես յուրահատուկ կամուրջ թվաբանության ու էլեկտրա-կանության միջև։ Ռելեն կարող է հանդես գալ երկուական թվի տեսքով. եթե ռելեն աշխատեց (միացավ), երկուական թիվը հավասար է 1, հակա-ռակ դեպքում՝ 0։

Համակարգիչների համար երկուական թվերը հիմնական ռեսուրսն են, արտահայտման լեզուն։

Մինչև 19-րդ դարը ոչ ոք չէր կռահում, որ էլեկտրական շղթայի բոլոր բաղկացուցիչները ի վիճակի են իրականացնել բուլյան արտահայտու-թյուններ։ Էլեկտրականության և տրամաբանության միջև կապը հայտնի չէր մինչև 1930թ․, մինչև Քլոդ Շեննոնի (Claude E. Shannon) «Ռելեներով և անջատիչներով շղթաների սիմվոլային վերլուծություն» աշխատու-թյունը։

Տասը տարի անց «Հաղորդակցության մաթ․ տեսություն» հոդվածի մեջ բիտ (bit) բառն առաջին անգամ օգտագործվել է «երկուական թիվ» (binary digit) իմաստով։

Քլոդ Շեննոնը հանդիսանում է արդի բարձր տեխնոլոգիական կապի համակարգերում կիրառվող «ինֆորմացիայի տեսության» հիմնա-դիրը։

42

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Միչիգանի համալսարան հաճախելով, Շեննոնը ծանոթանում է Բուլի աշխատանքների հետ։ Ավարտելով և տեղափոխվելով Մասաչուսետսի Տեխնոլոգիական Ինստիտուտ, ուսումնասիրում է Վաննեվեր֊Բուշի դիֆերենցիալ անալիզատորը, որի արդյունքում հանգում մտքին, որ Բուլի կոնցեպտները կարող են ստանալ արժանի կի-րառություն։ Շեննոնի աշխատանքները 20-րդ դարի ամեն-

ակարևոր գիտական նվաճումներից են։ Այժմ, հիմնվելով Քլոդի նկատառումների վրա, էլեկտրամագնիսական ռելեների միջոցով ստանանք մեզ անհրաժեշտ տրամաբանական փականները։ Դիտարկվող էլեկտրամագնիսական ռելեն ունի հետևյալ սխեմատիկ կառուցվածքը․

Նկարում պատկերված ռելեն (նկարը՝ “Code, Charles Petzold” գրքից) նկարա-գրվում է մուտքային և ելքային ազդա-նշանների տերմիններով։ Եթե մուտքով անցնում է հոսանք (օրինակ, եթե անջատիչի միջոցով միացվում է էներգիայի աղբյուրին), էլեկտրական մագնիսն աշխատում է, հետևաբար ելքում

հայտնվում է լարում։ Հատկանշական է, որ ռելեի մուտքում պարտադիր չէ անջատիչ լինելը, իսկ ելքում լամպ լինելը։ Մի ռելեի ելքը կարող է միացվել մեկ այլ ռելեի մուտքին․

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

43

Երբ միացնում ենք անջատիչը, առաջին ռելեն աշխատում է և փոխանցում է հոսանքը երկրորդ ռելեին։ Երկրորդը ևս աշխատում է, որի արդյունքում վառվում է լամպը․

Ինչպես երկու հաջորդաբար միացված անջատիչ-ները, այս երկու ռելեները կատարում են պարզ տրամաբանական ֆունկցիա։ Լամպը վառվում է, եթե երկու ռելեներն էլ միացված են։ Այս սխեման կոչվում է ԵՎ փական (AND gate, կամ պարզապես AND), նշանակվում է այսպես․

Մի քանի ռելեների միացումը ընկած է տրամաբանական փականների կառուցման հիմքում։ Ռելեները կարելի է միացնել հաջորդաբար։

Նկարից պարզ երևում է, երբ երկու անջա-տիչները անջատված վիճակում են, լամպը չի վառվում։ Եթե միացնենք անջատիչներից մեկը, լամպը դեռևս չի վառվի։ Լամպը կվառվի միայն այն դեպքում, եթե միացնենք երկու անջատիչները միասին։

44

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Սա չորս հիմնական տրամաբանական փականներից առաջինն է։ ԵՎ փականն ունի երկու մուտք (նկարում՝ A և B) և մեկ ելք (նկարում՝ Q): Օգտագործելով ԵՎ փականը, վերևի երկու հաջորդաբար միացված ռելեներով սխեման կարելի է փոխարինել սրանով․

Փականն անվանվում է ԵՎ (AND), որովհետև լամպը կվառվի միայն

երբ առաջին ԵՎ երկրորդ անջատիչներն էլ միացված լինեն։ Եթե նշանակենք հոսանքի բացակայությունը 0-֊ով, իսկ ներկայությունը՝ 1-ով, ապա AND փականի ելքային ազդանշանը մուտքայինից կախված կլինի այսպես․

AND փականը կարող է ունենալ երկուսից ավել մուտքեր։

Հաջորդ տրամաբանական փականը բաղկացած է զուգահեռ միացված երկու ռելեներից․

Երկու ռելեների ելքերը միացված են միմյանց հետ, իսկ այդ

միավորված ելքից հոսանքը սնուցում է լամպը։ Լամպը կվառվի ռելեներից ցանկացած մեկի միացման դեպքում։ (կվառվի նաև եթե երկու ռելեները

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

45

միասին միացված լինեն) Այս սխեման անվանվում է ԿԱՄ փական (OR gate, կամ պարզապես OR): Նշանակվում է այսպես․

OR փականի ելքում կա լարում, եթե մուտքերից որևէ մեկում կամ

երկուսում միաժամանակ կա լարում։ Կրկին, նշանակենք լարման բացակայությունը 0֊ով, ներկայությունը՝ 1֊ով։ OR փականը կարող է գտնվել հետևյալ վիճակներում․

Լամպը ռելեին կարող է միացվել երկու տարբերակով, մի

տարբերակում ռելեն ձգում է երկաթե ձողիկ֊անջատիչը, որի արդյունքում լամպը կվառվի, իսկ մյուս դեպքում լամպը վառված վիճակում է, իսկ ռելեի միացման արդյունքում էլեկտրական մագնիսը ձգելով երկաթե ձողիկ֊անջատիչը՝ անջատում է լամպը։ Հաջորդ նկարը հստակեցնում է նկարագրվածը․

Այսպիսի ռելեն անվանվում է երկդիրքային (double-throw)։

Այս սխեմայում լամպը հանգում է, երբ միացնում ենք ռելեն։

Նմանատիպ միացված ռելեն որպես տրամաբանական տարր անվանվում է ինվերտոր (inverter): Տրամաբանական տարրը կոչվում է NOT փական։ Անվանվումից հասկանալի է, որ երբ մուտքի լարումը 0 է, ելքում ստացվում է 1 և հակառակը։ Սխեմատիկ պատկերը․

46

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Դիտարկենք ևս երկու փականներ։ Հաջորդ սխեմայում լամպը գտնվում է վառվող վիճակում, երբ երկու ռելեներից ոչ մեկը միացված չէ։ Բավական է միացնել ռելեներից ցանկացած մեկը կամ երկուսը միաժամանակ, լամպը կմարի։

Այսպիսի պահվածքը OR փականի հակառակ պահվածքն է։ Այս

սխեման կոչվում է ԿԱՄ֊ՈՉ (NOT OR, կամ պարզապես` NOR) փական։

Ռելեների միացման ևս մեկ տարբերակ․ Լամպը միացված է, եթե երկու անջատիչ-

ները գտնվում են անջատված վիճակում։ Սա- կայն դրանցից որևէ մեկը միացնելիս լամպը

դեռևս կմնա վառված։ Լամպը կհանգի միայն երկու անջատիչների միաժամա-նակյա միացման դեպքում։ Այսպիսի պահվածքը AND փականի հակադարձ պահվածքն է, այս սխեման այդպես էլ կոչվում է՝ NOT AND (NAND) փական․

Վերջապես, մի քանի վերջնական նշանակումներ և ընդմիշտ հրա-

ժեշտ կտանք ռելեների սխեմաներին, փոխարենը կօգտագործենք միայն

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

47

տրամաբանական տարրեր, ինչպիսիք են AND, OR կամ NAND փականները։ Վերևում 2-4 դեկոդեր հավաքելիս, հանդիպեցինք այսպիսի սխեմայի (ձախ մասում)․

Նկարի աջ մասում պատկերված է նույնը, ինչ ձախ մասում՝ ավելի

կոմպակտ տեսքով։ Հատկանշական է, որ մուտքերում երկու ինվերտորներ ունեցող AND

փականի աշխատանքը (ինչպիսին վերևում պատկերված AND-ն է) հավասարազոր է ԿԱՄ֊ՈՉ֊ի աշխատանքին (NOR): Նույն կերպ, մուտքերում երկու ինվերտորներ ունեցող OR փականի աշխատանքը հավասարազոր է ԵՎ֊ՈՉ (NAND) փականի աշխատանքին․

Սխեմաների այս զույգը հանդիսանում է դե Մորգանի օրենքների էլեկտրական իրականացումը։ Դե Մորգանի օրենքները պարզ ներկայացվում են այսպես․

Ինֆորմատիկայի և ֆիզիկայի հետ տրամաբանության տարրերի

միջառարկայական կապերի օգտագործումը ուսուցման ընթացքում ընդ-լայնում է սովորողների մտահորիզոնը, խորացնում և ամրապնդում է գիտելիքները,զարգացնում սովորողների կիրառական և ստեղծագործա-կան կարողությունները։ Ներկայացված նյութը առավել նպատակահար-մար է գործածել բնագիտամաթեմատիկական հոսքերում ,իսկ հումանի-տար հոսքում կարելի է տալ միայն ակնարկային նկարագրություն՝ չխորանալով տեխնիկական հարցի մեջ։

48

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Межтредметные связи в процессе обучения элементов логики Ш.Григорян

Резюме

В статье раскрывается механизм работы ЭВМ, рассматриваются некоторуые межпредметные связи обучения математики и информатики.

Interdisciplinary Communication in the Learning Process

Logic Elements Sh.Grigoryan

Summary

The article reveals the mechanism of a computer, explores some interdisciplinary communication teaching mathematics and computer science.

Շուշանիկ Գրիգորյան – Սիսիանի պետական քոլեջ, մաթեմատիկայի դասախոս

Հեռախոս՝ 055 29 96 09 Էլ. hասցե` shushanik.grigoryan.1992@mail.ru

49

ԴԱՍԻ ՕՐԻՆԱԿԵԼԻ ՄԻ ՊԼԱՆԻ ՄԱՍԻՆ

Լիլիթ Բալասանյան

Բանալի բառեր – եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, խմբային ուսուցում, վարժություններ, միավոր շրջանա-գիծ, ուսուցում

Դասարան- X Առարկա- Հանրահաշիվ և մաթանալիզի տարրեր Դասի թեման - Թվային արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկ-

ցիաներ Դասի տիպը- գիտելիքների ամրապնդման դաս Դասի նպատակները- 1. Իմանալ եռանկյունաչափական նույնությունները, եռանկյունաչափա

կան ֆունկցիաների նշանները ըստ քառորդների 2. Կարողանալ նույնությունները կիրառել եռանկյունաչափական ար-

տահայտություննեը պարզեցնելու ժամանակ 3. Կարողանալ լսել ուրիշներին և արտահայտել իրենց կարծիքը 4. Բարձրացնել սովորողների հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի

նկատմամբ Դասի ընթացքը Աշակերտները նստում են 2 խմբով (5-6 աշակերտ): Խմբի մեջ մաս-

նակցում են տարբեր ընդունակությունների աշակերտներ: Յուրաքանչյուր

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

50

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

խումբ իրենից ներկայացնում է մեքենա, որի մակնիշը համապատաս-խանում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անուններին (sin, cos, tg, ctg), իսկ խմբի անդամները այդ մեքենաների ուղևորներն են: Յուրա-քանչյուր խմբի տրվում է երթուղին և որոշվում է նպատակը. անցնել տրված երթուղին հաջողությամբ, առանց սխալների:

Ուսուցչի խոսքը Այսօրվա մեր դասի թեման է. «Թվային արգումենտի եռանկյունաչափ-

ական ֆունկցիաներ»: Այսօրվա դասին մենք պետք է սովորենք. 1. Հաշվել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները 2. Պարզեցնել եռանկյունաչափական արտահայտությունները Դրա համար պետք է իմանալ. 1. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները 2. Եռանկյունաչափական նույնությունները Վաղուց հայտնի է, որ մեկ գլուխը լավ է, իսկ երկուսը՝ ավելի լավ:Դրա

համար դուք այսօր աշխատելու եք խմբերով: Ներկայացվում է անձնակազմը և վարորդը

1. sincos 2. tgctg Ձեզ սպասվում է իրականացնել վազք «եռանկյունաչափություն» քա-

ղաքում՝ հաղթահարելով որոշակի խոչընդոտներ: Երթուղիները յուրա-քանչյուր խմբին բաժանված են: Խոչընդոտները կարող է հաղթահարել այն խումբը, որը գիտի սահմանումները և եռանկյունաչափական նույնու-թյունները: Դուք պետք է հաղթահարեք հետևյալ ուղիները.

Iփուլ- Ճանապարհային երթևեկության կանոններ IIփուլ- Տեխզննում IIIփուլ- Մրցավազք խաչմերուկում IVփուլ- Չնախատեսված կանգառ Vփուլ- Հանգիստ VIփուլ- Ավարտ Այսպիսով՝ բարի ճանապարհ

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

51

Iփուլ 1. Յուրաքանչյուր խմբի տրվում է տեսական հարցերով տոմսեր.

2.Խմբավորեք բանաձևերը: Յուրաքանչյուր խումբ պետք է համապատասխանեցնի բանաձևերը և գրի գրատախտակին համապատասխան թվերի զույգով: Օրինակ.

1 + 1 1 12 2 , ≠ , ∈3 + 3 1 , ≠ , ∈4 4 1, ≠ 2 , ∈5 1 + 5 , ≠ 2 + , ∈6 ∙ 6 1 , ≠ 2 + ,∈

IIփուլ Տեխզննում

Գրատախտակին գրված է վարժությունը. Պետք է պարզեցնել արտահայտությունը: Կողքը գրված է պատասխանների տարբերակները: Խումբը որոշում է ճիշտ պատասխանը 1 ր-ում և բարձրացնում է համապատասխան տառը՝ Ա, Բ, Գ:

sincos tgctg 1. Ասացեք α արգումենտով sin-ի սահմանումը 2. Ասացեք α արգումենտով cos-ի սահմանումը 3. Ասացեք sin ֆունկցիայի նշան-ները ըստ քառորդների 4. Ասացեք cos ֆունկցիայի նշանները ըստ քառորդների

1. Ասացեք α արգումենտով tg-ի սահմանումը 2. Ասացեք α արգումենտով ctg-ի սահմանումը 3.Ասացեք tg ֆունկցիայի նշաննե-րը ըստ քառորդների 4. Ասացեք ctg ֆունկցիայի նշան-ները ըստ քառորդների

52

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

IIIփուլ Հանդիպում խաչմերուկում Խմբերին տրամադրվում է 3ր ժամանակ, այնուհետև յուրաքանչյուր

խմբի ներկայացուցիչը լուծում է վարժությունը՝ օգտագործելով գրա-տախտակը: Երբ ներկայացուցիչները վերջացնում են գրատախտա-կին գրելը, բոլոր աշակերտները ստուգում են և գրում տետրի մեջ:

«sincos» - + − 2 « » − 11 + + 11 +

IVփուլ- Չնախատեսված կանգառ Ձեր մեքենան փչացել է: Պետք է վերացնեք մեքենայի անսարքու-

թյունը: Յուրաքանչյուր խմբի համար տրված են արտահայտություններ, որոնց մեջ կան սխալներ: Գտեք այդ սխալները և բացատրեք, ինչու՟ են դրանք թույլ տրվել: Արտահայտություններում օգտագործվում են ձեր մե-քենայի մակնիշին համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկ-ցիաներ:

«sincos»- եթե 0< t < , ապա sint>0, իսկ sin(4 +t) <0 Եթե cos (-t)=3/5, ապա cost = -3/5 «tgctg»- եթե tgt=3/4, ապա tg(t-4 ) = - ¾ եթե cost=0, ապա ctg(t+ ) = 1

Vփուլ- Հանգիստ Դուք հոգնել եք և պետք է հանգստանաք: Մինչ դուք կհանգստանաք

ես կպատմեմ եռանկյունաչափության պատմության մասին: «Եռանկյու-նաչափություն» բառը նշանակում է եռանկյունների չափում: Եռանկյունա-չափության առաջացումը կապված է աշխարհագրության և աստղագի-տության զարգացման հետ: Աշխարհագրությունը և աստղագիտությունը գիտություններ են երկնային մարմինների շարժման, տիեզերքի առաջաց-ման և զարգացման մասին: Աստղագիտական դիտարկումները ներկա-յացնելու ժամանակ անհրաժեշտություն դարձավ որոշել աստղերի դիրքը, հաշվել հեռավորությունները և անկյունները: Քանի որ որոշ հեռա-վորություններ, օրինակ՝ երկրից մինչև այլ մոլորակ, հնարավոր չէր չափել ուղղակիորեն, ապա գիտնականները սկսեցին մշակել եղանակներ, որոնք կարտահայտեն եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև որոշակի

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

53

կապ, որի 2 գագաթները տեղավորված են երկրի վրա, իսկ երրորդը՝ իրե-նից ներկայացնում է մոլորակ կամ աստղ: Այդպիսի հարաբերությունները հնարավոր է դուրս բերել ուսումնասիրելով տարբեր եռանկյուններ և նրանց հատկությունները: Ահա թե ինչու աստղագիտական հաշվումները բերեցին եռանկյունների լուծմանը: Դրանով էլ հենց զբաղվում է եռանկ-յունաչափությունը: Եռանկյունաչափության ծագումը հայտնաբեր վել է Հին Բաբելոնում: Բաբելոնյան գիտնականները կարողանում էին գուշակել արևի և լուսնի խավարումները:

VIփուլ- Ավարտ Որպեսզի հաջողությամբ հատենք ավարտի գիծը, պետք է շատ արագ

լրացնենք հետևյալ աղյուսակը:

Ամփոփում Ի՟նչ սովորեցիք այսօրվա մեր դասից (պարզեցնել եռանկյունաչափա-

կան արտահայտությունները, գտնել եռանկյունաչափական ֆունկցիանե-րի արժեքները): Իսկ դրա համար ի՟նչ պետք է իմանալ.

1. sin, cos, tg, ctg ֆունկցիաների սահմանումները 2. Միավոր շրջանագծի վրա եռանկյունաչափական ֆունկցիաների

նշանները ըստ քառորդների 3. Իմանալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները միավոր

շրջանագծի I քառորդում: Ես կարծում եմ, որ դուք հասկացաք, որ նույնությունները պետք է լավ

իմանալ, որպեսզի դրանք ճիշտ օգտագործենք: Դուք նաև հասկացաք, որ եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի շատ կարևոր բաժիններից է, քանի որ այն կիրառվում է նաև այլ գիտություններում՝ աստղագիտություն, աշխարհագրություն, ֆիզիկա և այլն:

Գնահատում – Տնային աշխատանքի հանձնարարում

0 π/6 π/4 π/3 π/2 sin cos tg ctg

54

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

ОБ ОДНОМ ПРИМЕРНОМ ПЛАНЕ УРОКА Баласанян Лилит

Резюме

Статья представляет собой примерный план урока относительно темы «Тригонометрические функции числового аргумента». Это зак-репляющий урок, главная цель которого развить интерес учащихся к математике. Во время урока проводится групповая работа. Каждая группа представляет собой машину, марка которой соответствует тригонометрической функции (sin,cos,tg,ctg), а члены группы –пасса-жиры машины. Они должны путешествовать по «Тригонометричес-кому» городу соответствующим маршрутом.

ABOUT ONE EXEMPLARY LESSON PLANS

Balasanyan Lilit Summary

In this article a sample lesson planning is represented which refers to the theme of trigonometric functions of numeric argument. The class is characterised as knowledge-consolidating. The class is aimed at raising students' interest towards the subject of Mathematics. During the lesson mainly group work is done. Each group is represented as a car (machine) the mark of which corresponds to a certain trigonometric function ( such as- sin, cos, tg, ctg). The members of each group are supposed to be the passengers of the cars and are to travel through the city of ''Trigonometry'' using the appropriate route.

Լիլիթ Բալասանյան - Կոտայքի մարզ, Կարենիսի միջնակարգ դպրոց

Հեռախոս՝ 093 46 70 67 Էլ. hասցե` Lilush.28@mail.ru

55

«ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆ»

Գիտաժողովը

Ս. թ. հոկտեմբերի 22-23-ը Խ.Աբովյանի անվան Մանկավար-ժական համալսարանում անց-կացվեց ՀՊՄՀ-ի, ՀՀ Գիտության պետական կոմիտեի և Կրթության ազգային ինստիտուտի նախա-ձեռնությամբ կազմակերպված «Մաթեմատիկական կրթություն» գիտաժողովը: Գիտաժողովում քննարկվեցին հանրակրթական դպրոցում մաթեմատիկայի ուսու-ցմանը վերաբերող այնպիսի կարևոր հարցեր, ինչպիսիք են

մաթեմատիկական կրթությունը և արժեքների ձևավորման հիմնախնդիրը, մաթեմատիկայի ուսուցիչների պատրաստման հիմնախնդիրը մանկա-վարժական կադրերի պատրաստման երկաստիճան համակարգի պայմաններում, մաթեմատիկական կրթության հոգեբանամանկավարժական հիմնախնդիրները հումանիստական կրթության պայմաններում:

Արդեն 3-րդ անգամ անցկացվող գիտաժողովն անդրադառնում է հանրակրթական մերօրյա հիմնախնդիրներին՝ փորձելով գտնել մաթեմատի-կա առարկայի դասավանդման լավագույն մոդելը:

Արտաքուստ չոր ու անհրապույր թվացող մաթեմատիկան անգամ դեպի աշխարհն ու արվեստները տանող ճանապարհի բանալին է. այսպես է կարծում գիտաժողովի կազմակերպիչ, պրոֆեսոր Համլետ Միքայելյանը: Ի վերջո, գիտաժողովի մասնակիցների համար երկօրյա գիտաժողովը մաթեմատիկա

ԿՐԹԱԿԱՆ ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

56

ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

առարկայի խնդիրների ու զարգացման հեռանկարների շուրջ հաղորդակցվելու և փորձի փոխա-նակման լավագույն դպրոց է: Եվ ՀՀ ԿԳ փոխնախարար Մանուկ Մկրտչյ-անի, ՀՊՄՀ պրոռեկտոր Սրբուհի Գևորգյանի, նիստի նախագահող Համլետ Միքայելյանի և մյուս ելույթ ունեցողների և զեկուցողների ասելիքի մեխը հենց դա էր՝ փորձել գտնել մաթեմատիկական կրթու-թյան բովանդակային խնդիրների և

ուսուցման ձևերի այն ներդաշնակությունը, որի արդյունքում կնվազեն առկա խնդիրները և կբարձրանա առարկայի որակական նշանակությունը:

ՀՊՄՀ պրոռեկտոր Ս.Գևորգյանը առարկայի հանրակրթական դերի և ուսուցման գործընթացում կարևորեց արժեհամակարգային բաղադրիչը, ինտերակտիվ համագործակցության ձևերը և բոլոր այն մոտեցումները, որոնք կօգնեն գտնելու դեպի առարկան տանող ամենակարճ ճանապարհը:

ՀՀ ԿԳ փոխնախարար Մանուկ Մկրտչյանի զեկուցումը «Մաթեմա-տիկան որպես հանրակրթական առարկա. զարգացման հեռանկարները», ամ-փոփ և ամբողջական տեղեկատվություն էր հանրակրթական առարկայի մեր-օրյա խնդիրների ու զարգացման հեռանկարների շուրջ: Նա կարևորեց մաթեմատիկական գիտաժողովի անցկացումը, որը նվիրված է մաթեմատի-կայի դասավանդման ժամանակակից խնդիրների քննարկմանը, այն կարևոր նշանակություն ունի օրակարգային զեկուցումներում ընդգրկված հարցերի քննարկման և մաթեմատիկական ժամանակակից խնդիրների առաջադրման տեսանկյունից, քանզի դրանք կարող են ստեղծել օրենսդրական փոփոխու-թյունների հնարավորություն, առաջադրված գաղափարների մի մասը կարող են ծրագրերի հիմք դառնալ, դրանք կարևոր են նաև ուսուցիչների պատ-րաստման և վերապատրաստման տեսանկյունից:

Ինչ վերաբերում է մաթեմատիկային, սա այն հիմնական առարկան է, որը որոշում է ընդհանրապես կրթության դասավանդման բոլոր կարևոր հարցերի տիրույթը, հենց մաթեմատիկան իր պատմական ընթացքով, նաև իր դասավանդման արժեքով և հատկություններով, իր ունեցած դերով ու նշանա-կությամբ առանցքային առարկա է համարվում:

ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

57

Ընդհանրապես բոլոր առարկաների համար այսօր շատ կարևոր է հանրակրթական նշանակությունը: Դա պրոբլեմ է, որի լուծումը դեռևս գտնված չէ:

Պլենար նիստում ելույթ ունեցան նաև ՀՊՄՀ ամբիոնի վարիչ, պրո-ֆեսոր Համլետ Միքայելյանը, ՌԴ Սարատովի մանկավարժական համալսա-րանի պրոֆեսոր Վլադիմիր Իգոշինը:

Երկօրյան քննարկումների արդյունքում ծնված բոլոր գաղափարներն ու իրատեսական առաջարկությունները մաթեմատիկայի դասավանդման ոլորտի շահագրգիռ մասնագետների համար նոր մոտեցումների հիմք կդառնան, ապագա մանկավարժների համար՝ մագիստրոսական թեզի շուրջ նոր պրպտումների հնարավորություն:

Ստորև ներկայացնում ենք կոնֆերանսում կարդացած զեկուցումների ամբողջական ցանկը: Նյութերը տպագրված են առանձին ժողովածուով: Այն կարելի է ձեռք բերել ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնում: Աբրամովա Ի.Վ. ՈՒՍԱՆՈՂԻ ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԸ ՈՐՊԵՍ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՊԱԳԱ ՈՒՍՈՒՑՉԻ ՏԿ ԿՈՄՊԵՏԵՆՏՈՒԹՅԱՆ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ՄԻՋՈՑ Ալեքսանյան Աշխեն ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԲԱՐՁՐ ՈՐԱԿԱՎՈՐՈՒՄ ՈՒՆԵՑՈՂ ՈՒՍՈՒՑԻՉՆԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑԸ Ադամյան Լիլիթ ՈՉ ԼՐԻՎ ԻՆԴՈՒԿՑԻԱՅԻ ԿԻՐԱՌՄԱՆ ՄԱՍԻՆ Ակիմովա Ի.Վ.,Տիտովա Ե.Ի. ՏԵՂԵԿԱՏՎԱԿԱՆ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐԻ ԴԵՐՆ ՈՒ ՏԵՂԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՉ ՍՏԱՆԴԱՐՏ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՄԵՋ Առաքելյան Լ. Ռ. ՌԵՖԼԵԿՏԻՎ ՎԵՐԱՑԱՐԿՈՒՄԸ ՈՐՊԵՍ ԱՌԱՋԱՆՑԻԿ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅԱՆ ՀԻՄՔ (ԱՎԱԳ ԴՊՐՈՑԻ ԿԱՄԸՆՏՐԱԿԱՆ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ՕՐԻՆԱԿԻ ՎՐԱ) Արտամոնովա Յու.Ն. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՊԱԳԱ ՈՒՍՈՒՑՉԻ ՆԱԽԱՊԱՏՐԱՍՏՈՒՄԸ ՀԱՆՐԱԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՉԱՓՈՐՈՇԻՉԻ ԻՐԱԿԱՆԱՑՄԱՆԸ ՆԱԽԱԳԾԱՅԻՆ

58

ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

ԳՈՐԾՈՒՆԵՈՒԹՅԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ Ավագյան Ռ. ՀԱՆՐԱԿՐԹԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ԱՐԴԻ ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ Ավետիսյան Ա. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ՈՐՈՇ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՀՍՏԱԿԵՑՈՒՄ Բալասանյան Լիլիթ ԴԱՍԻ ՕՐԻՆԱԿԵԼԻ ՊԼԱՆ: ԹՎԱՅԻՆ ԱՐԳՈՒՄՆԵՏԻ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆԱՉԱՓԱԿԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ Բոլոտսկի Ա.Վ. ԻՆՖՈՐՄԱՏԻԿԱՅԻ ՆԱԽԱՊԱՏՐԱՍՏԱԿԱՆ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸ ՄԻՋՆԱԿԱՐԳ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՍԿԶԲՆԱԿԱՆ ԴԱՍԱՐԱՆՆԵՐՈՒՄ ԵՎ ԻՆՖՈՐՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸ ԴՊՐՈՑԻ ԲԱՐՁՐ ԱՍՏԻՃԱՆՆԵՐՈՒՄ Գադզաովա Ս.Վ. ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ԴԱՍԸՆԹԱՑՆԵՐԻ ԴԵՐԸ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԱՇԽԱՐՀԱՅԱՑՔԻ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ԳՈՐԾՈՒՄ

Գալյամովա Մ.Ս. ՍՖԵՐԻԿ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼԻ ԿԱՌՈՒՑՄԱՄԲ Գասպարյան Ա. ՇԱԽՄԱՏԸ՝ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ և ԻՆՖՈՐՄԱՏԻԿԱՅԻ ՏԵՍԱՆԿՅՈՒՆԻՑ Գավրիլովա Մ.Ա., Կոչետկովա Օ.Ա. ԾՐԱԳՐԱՅԻՆ ԳՈՐԾՈՒՆԵՈՒԹՅՈՒՆԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԱՎԱՆԴՄԱՆ ՄԵՋ ՈՐՊԵՍ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՀՈՒՄԱՆԻԶԱՑԻԱՅԻ ԳՈՐԾԻՔ Գրիգորյան Ա. ՄԱՅՐԵՆԻ ԼԵԶՈՒՆ, ԽՈՍՔԸ ԵՎ ԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ Գրիգորյան Շուշանիկ ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ՇԱՂԿԱՊՆԵՐԸ ՈՐՊԵՍ ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ ԿԱՊԵՐԻ ՄԻՋՈՑ Գուլյան Էդիկ

ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

59

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԳԻՏԵԼԻՔԻ ԻՄԱՑՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԿԻՐԱՌՄԱՆ ՀՈԳԵԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՆՁՆԱՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ Դանիելյան Շուշան , Արմինե Նավասարդյան ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԷԼԵԿՏՐՈՆԱՅԻՆ ԽՆԴՐԱԳՐՔԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՄԱՆ ՄՒ ՆԱԽԱԳԾԻ ՄԱՍԻՆ Դավթյան Ծովիկ ԳՈՐԾՆԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԸ ՈՐՊԵՍ ՓԱՍՏԵՐԻ, ՕՐԻՆԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ, ԳԱՂԱՓԱՐՆԵՐԻ ՀԱՅՏՆԱԲԵՐՄԱՆ ՄԻՋՈՑ Դիկով Ա.Վ. ԻՆՉՊԵՍ ԵՆ ՆՈՐ ՏՀՏ-ՆԵՐԸ ԱԶԴՈՒՄ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ Դմիտրիչենկո Դ.Վ. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ ՈՐՊԵՍ ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ԻՆՏԵԼԵԿՏՈՒԱԼ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏ ՄԻՋՈՑ Դովլաթյան Նորվարդ, Խաչատրյան Սևադա ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՄԵԾԱԳՈՒՅՆ և ՓՈՔՐԱԳՈՒՅՆ ԱՐԺԵՔՆԵՐԻ ՈՐՈՆՄԱՆ ՄԱՍԻՆ Ենոքյան Ա. ՀԱՆԴՈՒՐԺՈՂԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ Եսայան Զաբել ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ԼԵԶՎԱԿԱՆ ԳՐԱԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ՈՒՂԻՆԵՐԸ Զենցովա Ի.Մ. ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԻ ՆՊԱՍՏՈՒՄԸ ՖԻԶԻԿԱ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԸՆՏՐՈՒԹՅԱՆ ԳՈՐԾՈՒՄ Իգոշին Վ.Ի. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՊԱԳԱ ՈՒՍՈՒՑԻՉՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐ ՆԱԽԱՏԵՍՎՈՂ ԹՎԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ԴԱՍԸՆԹԱՑԸ ԲԱԿԱԼԱՎՐԻԱՏԻ ԵՎ ՄԱԳԻՍՏՐԱՏՈՒՐԱՅԻ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐՈՒՄ Իսախանյան Մարգարիտ ԴԻՖԵՐԵՆՑԱՑՎԱԾ ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԸՆԹԱՑՈՒՄ

Իստոմինա-Կաստրովսկայա Ն.Բ., Տիխոնովա Ն.Բ., ԿՐՏՍԵՐ ԴՊՐՈՑԱԿԱՆՆԵՐԻ ՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ ԿԱՐՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ԶԱՐԳԱՑՈՒՄԸ ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ

60

ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

Իվաշովա Օ.Ա., Եկիմովա Ա.Ա. ՊԱՏՄԱՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԻ ԴԵՐԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՆԿԱՏՄԱՄԲ ԿՐՏՍԵՐ ԴՊՐՈՑԱԿԱՆՆԵՐԻ ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՎԵՐԱԲԵՐՄՈՒՆՔԻ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ԳՈՐԾՈՒՄ Խանձրատյան Մելինե ՀԱՄԱԿԱՐԳԻՉԸ ԵՎ ԻՆՏԵՐՆԵՏ ԿԱՊԸ ՈՐՊԵՍ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՄԻՋՈՑՆԵՐ Խարիտոնովա Ե.Ա. ՈՒՍԱՆՈՂԻ ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ԳՈՐԾՈՒՆԵՈՒԹՅՈՒՆԸ ՈՐՊԵՍ ԱՊԱԳԱ ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԻ ՊԱՏՐԱՍՏՄԱՆ ՏԱՐՐ Խրամովա Ն.Ն., Մառինա Ե.Վ. ԹԵՍՏԱՅԻՆ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄԸ ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՕԼԻՄՊԻԱԴԱՆԵՐԻՆ ՆԱԽԱՊԱՏՐԱՍՏԵԼՈՒ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ Կարապետյան Վ. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՍԿՍՆԱԿ ՈՒՍՈՒՑՉԻ ԳՈՐԾՈՒՆԵՈՒԹՅԱՆ ԳՆԱՀԱ-ՏՈՒՄՆ ԷՄՊԻՐԻԿ ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԱԿԱՐԴԱԿՈՒՄ Կարպեևա Վ.Յա. ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ ԲՆՈՒՅԹԻ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԹԵՄԱՏԻԿ ԸՆՏՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ՈՐՊԵՍ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԵՎ ՖԻԶԻԿԱՅԻ ԿԱՊԻ ԻՐԱԿԱՆԱՑՄԱՆ ՁԵՎԵՐԻՑ ՄԵԿԸ Կոչետկովա Օ.Ա., Պուդովկինա Յու., Ն. ՄԱՆԿԱՎԱՐԺՈՒԹՅԱՆ ԲԱԿԱԼԱՎՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՈՒՄԸ ԾՐԱԳՐԱՅԻՆ ԳՈՐԾՈՒՆԵՈՒԹՅԱՆԸ («ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ՄԱՍՆԱԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ՕՐԻՆԱԿՈՎ») Կորնիենկո Վ.Ն. ՊՐԱԿՏԻԿ-ԿՈՂՄՆՈՐՈՇՎԱԾ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄԸ «ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ» ԱՌԱՐԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԸՆԹԱՑՔՈՒՄ ՄԻՆՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՔՈԼԵ ՋՈՒՄ Կուզնեցովա Ե.Պ. 5-9 ԴԱՍԱՐԱՆՆԵՐՈՒՄ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՄԵԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՉԱՓՈՒՄԸ ԹԵՄԱՅԻ ՆԵՐԿԱՅԱՑՄԱՆ ԱՌԱՆՁՆԱՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ Հակոբյան Լիլիա ՈՍԿԵ ՀԱՏՈՒՄ Հակոբյան Մելինե

ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

61

ԷՎՐԻՍՏԻԿ ԶՐՈՒՅՑԻ ՄԵԹՈԴԸ Հակոբյան Սարիբեկ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԲԱՐԵԼԱՎՄԱՆ ԱՌԱՋՆԱՀԵՐԹՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ Համբարձումյան Գայանե ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԺԱՄԱՆԱԿԱԿԻՑ ԴԱՍԻՆ ՆԵՐԿԱՅԱՑՎՈՂ ՊԱՀԱՆՋՆԵՐ Հովհաննիսյան Հ. ՀԵՏԱՔՐՔՐՈՒԹՅԱՆ ԴՐՍԵՎՈՐՈՒՄՆԵՐԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ Ղազարյան Ն. ԱՎԱԳ ԴՊՐՈՑԻ ՀՈՒՄԱՆԻՏԱՐ ՀՈՍՔԵՐՈՒՄ ՍՈՎՈՐՈՂ ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԴԱՍՏԻԱՐԱԿՈՒԹՅԱՆ ԻՐԱԿԱՆԱՑՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԸՆԹԱՑՔՈՒՄ Ղուշչյան Ա. ՄԱԳԻՍՏՐՈՍԱԿԱՆ ԿՐԹԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏՈՒԹՅԱՆ ԲԱՐՁՐԱՑՄԱՆ ՄԻ ՔԱՆԻ ՀԱՐՑԵՐ Ղուշչյան Ա., Քոչարյան Ս. ‹‹ԸՆՏԱՆԵԿԱՆ ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԸ››՝ ԱՊԱԳԱՅԻ ՄԱՍՆԱԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ Մարգարյան Գայանե ԱՆՀԱՏԱԿԱՆԱՑՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ Մալինյան Ռ. ՀԱՄԱԿՐԱՆՔԸ, ՍԵՐԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ Մանուկյան Տ., Դավթյան Մ. XIX ԴԱՐԻ ԵՐԿՐՈՐԴ ԿԵՍԻ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅԱՆ ՀԱՅԿԱԿԱՆ ԴԱՍԱԳՐՔԵՐԸ Մինասյան Ա. ՍՏՈԽԱՍՏԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԱՐԴԻ ՀԱՅՐԵՆԱԿԱՆ ՓՈՐՁԸ Միտրոխինա Ս.Վ., Իվանչենկո Օ.Ն. ՍՏՈԽԱՍՏԻԿԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՐԴԻ ԴԱՍԸՆԹԱՑՈՒՄ Միքայելյան Հ.Ս. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԲԱՂԱԴՐԻՉԸ Մկրտչյան Ա., ՏՐԱՄԱԲԱՆՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԻ ՆԵՐԱՌՄԱՆ ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ՕԲՅԵԿՏԻՎ ՏԵՍԱՆԿՅՈՒՆԸ

62

ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

Մկրտչյան Մ. Ա. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՆ ՈՐՊԵՍ ՀԱՆՐԱԿՐԹԱԿԱՆ ԱՌԱՐԿԱ. ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ՀԵՌԱՆԿԱՐՆԵՐԸ Մուկուչյան Տաթևիկ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՍԽԱԼՆԵՐԻ ԿԱՆԽԱՐԳԵԼՄԱՆ ԻՄ ՓՈՐՁԻՑ Նավասարդյան Ա., Դանիելյան Շ. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԷԼԵԿՏՐՈՆԱՅԻՆ ԽՆԴՐԱԳՐՔԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՄԱՆ ՄԻ ՆԱԽԱԳԾԻ ՄԱՍԻՆ Շեստակովա Լ.Գ. ՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑԻՉՆԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ Շիշկինա Օ.Վ. ԲԱՆԱՎՈՐ ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ ՈՐՊԵՍ ԺԱՄԱՆԱԿԱԿԻՑ ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԿՈՄՊԵՏԵՆՑԻԱՆԵՐԻ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ՄԻՋՈՑ Չաշեչնիկովա Օ.Ս., Կոլեսնիկ Ե.Ա., ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑԻՉՆԵՐԻ ՆԱԽԱՊԱՏՐԱՍՏՈՒՄԸ ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ՍՏԵՂԾԱԳՈՐԾԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅԱՆ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ՄՈԴԵԼԻ ԿԻՐԱՌՄԱՆԸ Պետրովա Ե.Դ., Շեստակովա Լ.Գ. ԽԱՂԸ ՈՐՊԵՍ ՀԱՄԱՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՈՒՆԻՎԵՐՍԱԼ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՁՎԱՎՈՐՄԱՆ ՄԻՋՈՑ ԿՐՏՍԵՐ ԴՊՐՈՑՈՒՄ Պողոսյան Կ. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑԻՉՆԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՄԱՆ ՀԻՄՆԱԽՆԴԻՐԸ ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ԿԱԴՐԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՄԱՆ ԵՐԿԱՍՏԻՃԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐՈՒՄ Պուչկովսկայա Տ.Օ. ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԻՆՏՈՒԻՑԻԱՅԻ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ՀԱՐՑԻ ՇՈՒՐՋ Ռիխտեր Տ.Վ. ԱՊԱԳԱ ՈՒՍՈՒՑԻՉՆԵՐԻ ՄԱՍՆԱԳԻՏԱԿԱՆ ԿՈՄՊԵՏԵՆՏՈՒԹՅԱՆ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՀՆԱՐՆԵՐ՝ ԿՐԹԱԿԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԻՆՏԵՐԱԿՏԻՎ ՄԵԹՈԴՆԵՐԻ ԿԻՐԱՌՄԱՄԲ Ռադիոնով Մ.Ա., Պիչուգինա Պ.Գ.

ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

63

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՊԱԳԱ ՈՒՍՈՒՑԻՉՆԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՈՒՄԸ ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑԻ ՄՈՏԻՎԱՑԻՈՆ ՈՒՂՂՎԱԾՈՒԹՅԱՆ ԻՐԱԿԱՆԱՑՄԱՆԸ Սարգսյան Ռ. ՀԱՐՑԱԴՐՈՒՄՆԵՐԻ ՏԱՔՍՈՆՈՄԻԱՆ Սահակյան Մերի ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ և ԻՆՖՈՐՄԱՏԻԿԱ ԱՌԱՐԿԱՆԵՐԻ ԻՆՏԵԳՐՈՒՄԸ ՈՐՊԵՍ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏՈՒԹՅԱՆ ԲԱՐՁՐԱՑՄԱՆ ԳՈՐԾՈՆ Սահակյան Օլյա ՊԱՏԿԵՐԱՅԻՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ ՈՐՊԵՍ ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅԱՆ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ՄԻՋՈՑ Սեդրակյան Անժելա ՍԱՀՄԱՆՄԱՆ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԿՐԹԱԿԱՆ ՆՇԱՆԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸ Սենչուկ Ե.Գ. ՄԱՍՆԱԳԻՏԱԿԱՆ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅՈՒՆՈՒՄ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻ ՍՈՑԻԱԼԱԿԱՆ ԿՈՄՊԵՏԵՆՏՈՒԹՅԱՆ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ՀԱՐՑԻ ՇՈՒՐՋ Սմբատյան Լուսինե ԱՇԱԿԵՐՏԱԿԵՆՏՐՈՆ ՈՒՍՈՒՑՈՒՄ Ստրահովնիկ Ո., Ցուրկո Բ. ԲԱՐՈՅԱԿԱՆ ԴԱՍՏԻԱՐԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՔՆՆԱԴԱՏԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ Սրեյան Մ. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ ԱՐԵՎԵԼՅԱՆ ՀԱՅԱՍՏԱՆՈՒՄ ԱՌԱՋԻՆ ԱՇԽԱՐՀԱՄԱՐՏԻՑ ԱՌԱՋ Վարդանյան Վ. ԿՐԱՄԵՐԻ ԿԱՆՈՆԻ ՈՐՈՇ ՃՇԳՐՏՈՒՄՆԵՐ Վարդապետյան Վ. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԵՐԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳՉԱՅԻՆ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄԸ ՈՐՊԵՍ ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ՃԱՆԱՉՈՂԱԿԱՆ ՀԵՏԱՔՐՔՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ՄԻՋՈՑ Տյապինա Ա.Ի., Տյապին Ն.Ա.

64

ՀԱՄԱԳՈՐԾԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԱՐՄԱՐԵՑՎԱԾ ԹԵՍՏԱՎՈՐՄԱՆ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐՈՒՄ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԴԱՍԱԿԱՐԳՈՒՄԸ Ուրբան Մ.Ա. ՈՒՍՈՒՑՉԻ ՄՈՏԻՎԱՑԻԱՅԻ ՀԻՄՆԱԽՆԴԻՐԸ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՎԵՐԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆՔՆԵՐԻ ՀԱՍՆԵԼՈՒ ՀԱՄԱՐ ՏԱՐՐԱԿԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐՈՒՄ

Օհանյան Շողիկ ՖԻԲՈՆԱՉԻԻ ԹՎԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՄԻՋՈՑՈՎ ԳԵՂԵՑԻԿԻ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ԻՄ ՓՈՐՁԸ

Սիլվա Ասրյան, Անահիտ Ենոքյան, Սոնա Ղուկասյան