ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО...
TRANSCRIPT
Ю. В. АВЕРБУХТ. И. СЕРЕЖНИКОВА
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯУчебно-методическое пособие
Министерство образования и науки Российской ФедерацииУральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина
Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Рекомендовано методическим советом УрФУ в качествеучебно-методического пособия для студентов, обучающихся
по направлениям подготовки:230401 — Прикладная математика (специалитет),
220300 — Автоматизированные технологиии производства (специалитет),
231300 — Прикладная математика (бакалавриат)
ЕкатеринбургИздательство Уральского университета
2014
УДК 517.972(075.8)ББК 22.161.8я73
A19
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева, зав. кафедрой«Высшая и прикладная математика» УрГУПС; канд. физ.-мат. наукА. А. Усова, науч. сотр. отдела динамических систем ИММ УрО РАН
Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин
Авербух, Ю. В.A19 Простейшие задачи вариационного исчисления : учеб.-метод. пособие
/ Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова. — Екатеринбург : Изд-во Урал.ун-та, 2014. — 44 с.ISBN 978-5-7996-1250-4
В издании введено понятие простейшей задачи вариационного ис-числения. Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свобод-ного правого конца. Для обеих задач приведено необходимое условиепервого порядка. Для простейшей задачи вариационного исчисления вскалярном случае указано необходимое условие второго порядка. Так-же для этой же задачи в общем случае приведены достаточные усло-вия.
Библиогр.: 7 назв.
УДК 517.972(075.8)ББК 22.161.8я73
ISBN 978-5-7996-1250-4 c⃝ Уральский федеральныйуниверситет, 2014
Содержание
1. Введение 4
2. Постановка задачи 4
3. Необходимые условия первого порядка для задачи с закреп-ленными концами 8
4. Интегралы решения уравнения Эйлера–Лагранжа 134.1. Вырожденный случай F = F (t, x) . . . . . . . . . . . . . . . 134.2. F зависит лишь от t и x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3. F не зависит от t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Примеры 14
6. Необходимые условия первого порядкав простейшей задаче вариационного исчислениясо свободным правым концом 17
7. Необходимые условия второго порядкав задаче с закрепленными концами 20
8. Достаточные условия в задаче с закрепленнымправым концом в скалярном случае 28
9. Элементы теории поля 32
10.Достаточные условия в векторном случае 34
3
1. Введение
Настоящее пособие посвящено изучению простейших задач вариацион-ного исчисления. Нами будет рассмотрены задачи с фиксированным и сосвободным правыми концами. Для задачи с фиксированным правым кон-цом кроме необходимого условия первого порядка будут рассмотрены необ-ходимые условия второго порядка и достаточные условия.
Отметим, что вариационному исчислению посвящено множество работ.Некоторые из них указаны в списке литературы. Материал параграфов 2–6следует книге [1]. Материал параграфов 7, 8 изложен в соответствии с [5].Параграфы 9 и 10 следуют учебнику [7]. Также отметим учебники [4], [6],они содержат необходимые условия. Важная, но трудная в освоении мо-нография [3] может быть рекомендована студентам специальности «При-кладная математика». Отметим, что для закрепления материала полезнопрорешать задания из сборника задач [2].
2. Постановка задачи
Пусть x ∈ Rn, это вектор-столбец, то есть
x =
x1x2...xn
.
В дальнейшем вектор-столбцы будем называть просто векторами. Множе-ство n-мерных вектор-столбцов будем обозначать через Rn. Вектор-строкаесть s = (s1, s2, . . . , sn). Вектор-строки будем называть ковекторами. Мно-жество всех ковекторов будем обозначать через Rn∗. Операцию транспони-рования будем обозначать через T , эта операция переводит строку в столбеци наоборот. Если s ∈ Rn∗, x ∈ Rn, то
sx =n∑
i=1
sixi
4
есть произведение ковектора s на вектор x. Если x ∈ Rn, то длина вектораx есть
∥x∥ =√xTx =
√√√√ n∑i=1
x2i .
Основное внимание в данном пособии уделяется вектор-функциям, тоесть функциям t 7→ x(t). Мы будем предполагать достаточную гладкостьфункций. Вектор-функцию t 7→ x(t) как целое мы будем обозначать x(·).Если
x(t) =
x1(t)x2(t)
...xn(t)
,
то производная по времени функции x(t) есть вектор, составленный из про-изводных
x =
x1(t)x2(t)
...xn(t)
.
Кроме вектор-функций времени, мы будем рассматривать скалярныефункции одного или нескольких векторных аргументов. То есть функции(t, x, u) 7→ F (t, x, u). Здесь t – время (скалярный аргумент), x и u – n-мерные векторы. Частные производные будем обозначать через Ft, Fx и Fu
соответственно. При этом мы считаем, что Fx и Fu – ковекторы
Fx(t, x, u) =
(∂F (t, x, v)
∂x1,∂F (t, x, u)
∂x2, . . . ,
∂F (t, x, u)
∂xn
),
Fu(t, x, u) =
(∂F (t, x, u)
∂u1,∂F (t, x, u)
∂u2, . . . ,
∂F (t, x, u)
∂un
).
Напомним, что если заданы функции некоторого аргумента α x(α) иu(α), то полная производная функции F (t, x(α), u(α)) равна
d
dαF (t, x(α), u(α)) = Fx(t, x(α), u(α))
dx(α)
dα+ Fu(t, x(α), u(α))
du(α)
dα. (1)
5
Принято называть функцию, которая сопоставляет функции x(·) числоJ [x(·)] , функционалом.
Простейшая задача вариационного исчисления формулируется следую-щим образом. Среди всех функций x(·) таких, что x(t0) = x0, x(t1) = x1,найти функцию, минимизирующую функционал
J1[x(·)] =∫ t1
t0F (t, x(t), x(t))dt. (2)
Аналогично формулируется простейшая задача вариационного исчисле-ния со свободным правым концом (задача Больца). Среди всех функцийx(·) таких, что x(t0) = x0, найти функцию, минимизирующую функционал
J2[x(·)] =∫ t1
t0F (t, x(t), x(t))dt+ σ(x(t1)). (3)
Значения t0, t1, x0 и x1 считаем фиксированными параметрами задачи.В дальнейшем будем называть непрерывно дифференцируемые функции
x(·) такие, что x(t0) = x0, x(t1 = x1) (для задачи с закрепленными концами)и x(t0) = x0 (для задачи со свободным правым концом) допустимыми.
В дальнейшем будем использовать понятие метрики. Метрикой на мно-жестве X называется функция ρ(x, y) такая, что
1) ρ(x, y) ≥ 0 и ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;2) ρ(x, y) = ρ(y, x);3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y).Для того чтобы найти расстояние между двумя функциями, мы исполь-
зуем две метрики. Первая метрика использует лишь значение функций,вторая использует значение самих функций и их производных.
Положим,ρ0(x(·), y(·)) , max
t∈[t0,t1]∥x(t)− y(t)∥,
ρ1(x(·), y(·)) , maxt∈[t0,t1]
∥x(t)− y(t)∥+ maxt∈[t0,t1]
∥x(t)− y(t)∥.
Определение 1. Будем говорить, что x∗(·) является сильным локаль-ным минимумом в задаче с закрепленными концами (со свободным пра-вым концом), если существует такое ε > 0, что для любой функции x(·)такой, что ρ0(x∗(·), x(·)) < ε, выполнено неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)](J2[x∗(·)] ≤ J2[x(·)]).
6
Отметим, что сильный минимум использует близость функций. Еслиучитывать и близость производных, то получается понятие слабого мини-мума.
Определение 2. Будем говорить, что x∗(·) является слабым локальнымминимумом в задаче с закрепленными концами (со свободным правымконцом), если существует такое ε > 0, что для любой функции x(·) та-кой, что ρ1(x∗(·), x(·)) < ε, выполнено неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)](J2[x∗(·)] ≤ J2[x(·)]).
Аналогично вводятся понятия сильного и слабого локальных максиму-мов. Если функция x∗(·) доставляет либо локальный минимум, либо ло-кальный максимум, то говорят, что она доставляет локальный экстремум.
В некоторых задачах интерес представляет глобальный экстремум, в тоже время глобальный экстремум обязательно является локальным экстре-мумом, и задача нахождения глобального экстремума может быть решенас использованием перебора всех локальных экстремумов.
В заключение отметим связь сильного и слабого экстремума.
Предложение 1. Если x∗(·) – сильный минимум (максимум), то x∗(·) –слабый минимум (максимум).
Доказательство. Мы докажем это утверждение для задачи с закреплен-ными концами. В самом деле, пусть ε таково, что для любой допустимойфункции x(·), удовлетворяющей условию ρ0(x∗, x(·)) < ε, верно неравенствоJ1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)]. Так как ρ0(x∗(·), x(·)) ≤ ρ1(x∗(·), x(·)), то из неравенстваρ1(x∗(·), x(·)) < ε следует неравенство ρ0(x∗(·), x(·)) < ε. Откуда мы заклю-чаем, что для любой допустимой функции такой, что ρ1(x∗(·), x(·)) < ε,верно неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)]. Это в точности определение слабогоэкстремума.
Обратное утверждение неверно. Для того чтобы это показать, рассмот-рим пример. Мы минимизируем функционал
J1[x(·)] =∫ 1
0
(2x2(t)− x4(t))dt
при условиях x(0) = x(1) = 0. Здесь предполагается, что x(t) являетсячислом. Отметим, что функция x∗(t) ≡ 0 является слабым минимумом, но
7
не является сильным. В самом деле, у функции F (v) = 2v2−v4 число v = 0является локальным, но не глобальным минимумом. Если |x(t)| <
√2, то∫ 1
0
(2x2(t)− x4(t))dt > 0.
Однако, если мы рассмотрим функции xk(t) = sin(k2πt)/k, тоρ0(x∗(·), xk(·)) → 0, a J1[xk(·)] → −∞ при k → ∞.
Основное внимание далее уделяется условиям слабого минимума.
3. Необходимые условия первого порядка для задачис закрепленными концами
Теорема 1. Пусть x∗(·) доставляет функционалу J1 слабый локальныйэкстремум в классе функций с закрепленными концами. Тогда вдоль этойфункции выполнено соотношение (уравнение Эйлера–Лагранжа)
Fx(t, x∗(t), x∗(t))−d
dtFx(t, x∗(t), x∗(t)) = 0. (4)
Доказательство. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы от-ступить от x∗(·) вдоль некоторого функционального направления. Будемсчитать, что это направление задается функцией u. То есть мы рассмат-риваем теперь некоторую (произвольную) функцию u(·), интеграл которойравен 0 ∫ t1
t0u(t) = 0,
положим
y(t, u(·)) =∫ t
t0u(τ)dτ. (5)
Отмечу, что u(·) – это вектор-функция
u(t) =
u1(t)...
un(t)
.
Интеграл ее мы понимаем как интеграл от каждой компоненты, а 0 – каквектор, состоящий из n нулей.
8
В качестве тестовой функции рассмотрим функцию
xα(t) = x∗(t) + αy(t, u(·)). (6)
Отметим, что xα(·) допустимая функция. В самом деле, из определе-ния y(t, u(·)) (см (5)) имеем, что y(t0, u(·)) = 0 (в силу того, что y(t, u(·))определяется как интеграл от u(·)). Тогда
xα(t0) = x∗(t
0) + αy(t0, u(·)) = x∗(t0) = x0.
Также y(t1, u(·)) = 0 (так как интеграл по отрезку [t0, t1] от функции u(·)равен 0),
xα(t1) = x∗(t
1) + αy(t1, u(·)) = x1.
Теперь покажем, что при достаточно малых α функция xα(·) близка кфункции x∗(·) в метрике ρ1. В самом деле найдем ∥xα(t)− x∗(t)∥. Для этогопродифференцируем выражение для xα(t) (см. (6)). Имеем, что
∥xα(t)− x∗(t)∥ = ∥x∗(t) + αy(t, u(·))− x∗(t)∥ = α∥u(t)∥.
Как видно, при достаточна малых α ∥xα(t) − x∗(t)∥ будет меньше ε. Мыпоказали близость производных, надо показать еще близость значений.
∥xα(t)− x∗(t)∥ = ∥x∗(t) + αy(t, u(·))− x∗(t)∥ = α∥y(t, u(·))∥.
Также можно выбрать α так, чтобы α∥y(t, u(·))∥ стало меньше ε.Теперь подставим xα(·) в определение слабого экстремума. При подста-
новке получаем, что∫ t1
t0F (t, x∗(t), x∗(t))dt ≤
∫ t1
t0F (t, xα(t), xα(t))dt.
Из определения xα(·) следует, что при α = 0 xα(·) = x∗(·). То есть, если мырассмотрим функцию
g(α) =
∫ t1
t0F (t, xα(t), xα(t)),
то для нее α = 0 является точкой локального минимума, т. е. g(0) ≤ g(α)при достаточно малых α. Воспользуемся принципом Ферма. Раз α = 0доставляет g(α) локальный минимум, имеем, что
dg(0)
dα= 0.
9
Найдем производную функции g(α) при α = 0. Нам нужно продифферен-цировать интеграл в случае, когда подынтегральная функция зависит отпараметра. Результат – интеграл, от производной подынтегральной функ-ции по параметру.
0 =dg(α)
dα=
=
∫ t1
t0
[Fx(t, xα(t), xα(t)) ·
∂xα(t)
∂α+ Fx(t, xα(t), xα(t)) ·
∂xα(t)
∂α
]∣∣∣∣α=0
dt.
По определению xα(·) имеем, что
∂xα(t)
∂α
∣∣∣∣α=0
= y(t, u(·)), ∂xα(t)
∂α
∣∣∣∣α=0
= u(t).
Тогда
0 =
∫ t1
t0[Fx(t, x∗(t), x∗(t)) · y(t, u(·)) + Fx(t, x∗(t), x∗(t)) · u(t)] dt.
Дальше мы проведем некоторые преобразования. Для упрощения обо-значим
F ∗x (t) = Fx(t, x(t), x∗(t)), F ∗
x (t) = Fx(t, x∗(t), x∗(t)). (7)
Заметим, что F ∗x (t) и F ∗
x (t) – ковекторы, то есть вектор-строки.Имеем, что
0 =
∫ t1
t0[F ∗
x (t) · y(t, u(·)) + F ∗x (t) · u(t)]dt. (8)
Положим,
p0(t) =
∫ t
t1F ∗x (t)dt.
По свойствам интеграла с переменным верхним пределом
p0(t1) = 0, p0(t) = F ∗x (t).
Рассмотрим отдельно первое слагаемое в правой части равенства (8).Воспользуемся методом интегрирования по частям и определением функ-
10
ции p0(t).∫ t1
t0F ∗x (t) · y(t, u(·))dt =
= p0(t1) · y(t1, u(·))− p0(t
0) · y(t0, u(·))−∫ t1
t0p0(t) · u(t)dt =
= −∫ t1
t0p0(t) · u(t)dt.
Здесь мы воспользовались тем, что p0(t1) = 0, y(t0, u(·)) = 0, y(t, u(·)) =
= u(t). Следовательно, равенство (8) преобразуется к виду
0 =
∫ t1
t0(−p0(t) + F ∗
x (t))u(t)dt. (9)
Если мы вспомним утверждение теоремы, то убедимся, что правая частьуравнения Эйлера–Лагранжа (см. (4)) является производной от функцииp0(t)−F ∗
x (t). И для того чтобы доказать справедливость уравнения Эйлера–Лагранжа, достаточно доказать, что −p0(t) + F ∗
x (t) равна константе на[t0, t1]. Для этого у нас есть функция u(·).
Эта функция удовлетворяет условию∫ t1
t0u(t)dt = 0.
Это равенство n-мерных векторов. Домножим (в смысле скалярного про-изведения) это равенство на произвольный ковектор s = (s1, s2, . . . , sn).Получаем, что ∫ t1
t0su(t)dt = 0. (10)
Сложим равенства (20) и (10). Получаем, что для всех функций u, интегралкоторых равен 0 и всех ковекторов s, верно равенство
0 =
∫ t1
t0(−p0(t) + F ∗
x (t) + s)u(t)dt. (11)
Выберем ковектор s равным
s =−1
t1 − t0
∫ t1
t0[−p0(t) + F ∗
x (t)]dt.
11
Из этого выбора следует, что∫ t1
t0[−p0(t) + F ∗
x (t) + s]dt = 0. (12)
Здесь 0 – ковекторный 0. Положим,
u∗(t) = [−p0(t) + F ∗x (t) + s]T .
В силу (12) интеграл от u∗(·) равен 0. Следовательно,∫ t1
t0(−p0(t) + F ∗
x (t) + s)(p0(t) + F ∗x (t) + s)Tdt = 0.
Если интеграл от неотрицательной функции равен 0, то и подынтегральнаяфункция равна 0.
(−p0(t) + F ∗x (t) + s)(−p0(t) + F ∗
x (t) + s)T = 0, для всех t ∈ [t0, t1].
Если равен 0 квадрат вектора (ковектора), сам вектор (ковектор) тоже ра-вен нулю
−p0(t) + F ∗x (t) + s = 0 для всех t ∈ [t0, t1].
Продифференцируем это тождество по t. Поскольку p0(t) = F ∗x (t), мы по-
лучаем, что
−F ∗x (t) +
d
dtF ∗x (t) = 0.
Теперь вспомним, что стоит за нашими обозначениями и домножим полу-чившееся равенство на —1. Имеем, что
Fx(t, x∗(t), x∗(t))−d
dtFx(t, x(t), x∗(t)) = 0.
Мы получили уравнение (4) – уравнение Эйлера–Лагранжа.
Любая функция, удовлетворяющая уравнению Эйлера–Лагранжа и кра-евым условиям, называется экстремалью. В заключение этого раздела от-метим еще раз, что уравнение Эйлера–Лагранжа – необходимое условие, иэкстремали не обязательно являются оптимальными функциями в исходнойзадаче. Общая идея применения уравнения Эйлера–Лагранжа следующая.
12
1. Найти общее решение уравнения (4); оно зависит от 2n произвольныхпостоянных (в общем случае).
2. Подставить найденное общее решение уравнения (4) в граничные усло-вия и определить возможные значения произвольных постоянных.
3. Попытаться выяснить, что достигается на найденных кривых (мини-мум, максимум или просто посторонние функции).
4. Интегралы решения уравнения Эйлера–Лагранжа
В некоторых частных случаях удается упростить уравнение Эйлера–Лагранжа и найти функцию, которая не изменяется вдоль экстремали –первый интеграл. Как мы знаем из курса дифференциальных уравнений,система из 2n первых интегралов задает решение в неявной форме (этосвязано с тем, что в n-мерном случае уравнение Эйлера–Лагранжа – этосистема n-уравнений второй степени).
4.1. Вырожденный случай F = F (t, x)
То есть функция F не зависит от x(t).В этом случае уравнение Эйлера–Лагранжа принимает вид
Fx(t, x(t), x(t)) = 0.
А граничных условий – два! Следовательно, в общем случае удовлетво-рить им невозможно. Экстремум достигается в каких-то исключительныхслучаях, когда решение задачи Коши для такого вырожденного уравненияЭйлера–Лагранжа при условии x(t0) = x0 проходит через точку (t1, x1).
4.2. F зависит лишь от t и x
В этом случаеFx(t, x(t), x(t)) = 0.
Следовательно, уравнение Эйлера–Лагранжа принимает вид
− d
dtFx(t, x(t)) = 0.
13
ТогдаFx(t, x(t)) = C1.
Нами найден один первый интеграл. Так как последнее уравнение независит от x, то его можно проинтегрировать.
4.3. F не зависит от t
В этом случае уравнения Эйлера–Лагранжа на первый взгляд не упро-щаются
Fx(x(t), x(t))−d
dtFx(x(t), x(t)) = 0.
Найдем производную по t. Получаем, что уравнение при таком переписы-вании имеет вид
Fx(x(t), x(t))− Fxx(x(t), x(t))x(t)− Fxx(x(t), x(t))x(t) = 0.
Умножим это уравнение на x. Получаем, что
Fx(x(t), x(t))x− Fxx(x(t), x(t))(x(t))2 − Fxx(x(t), x(t))x(t)x(t) = 0.
Выражение, которое стоит в левой части, равно
d
dt(F (x(t), x(t))− Fx(x(t), x(t))x(t)) .
В этом легко убедиться, непосредственно вычислив производную.Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа имеет первый интеграл
F (x(t), x(t))− Fx(x(t), x(t))x(t) = C1.
Дальше мы либо разрешим это выражение относительно x(t), либо введемпараметр и (может быть) сможем решить в явном виде.
5. Примеры
В рассматриваемых ниже примерах мы найдем только экстремали, про-верка, действительно ли экстремали оптимальны, будет проведена позднее.
14
1. Рассмотрим функционал
J1[x(·)] =∫ π/2
0
[(x(t))2 − (x(t))2]dt,
при условиях x(0) = 0, x(π/2)=1.Уравнение Эйлера–Лагранжа имеет в этом случае вид
−2x(t)− d
dt(2x(t)) = 0.
Илиx(t) + x(t) = 0.
Его решение x = C1 sin t + C2 cos t. Определим константы из краевыхусловий.
0 = x(0) = C2,
1 = x(1) = C1.
Следовательно, экстремум может достигаться только на функцииx∗(t) = sin t.
2. Найти экстремали функционала
J1[x(·)] =∫ 1
0
[(x(t))2 + 12tx(t)]dt
при условиях x(0) = 0, x(1) = 1. Уравнение Эйлера–Лагранжа в этомслучае принимает вид
12t− d
dt2x(t) = 0.
Что даетx(t) = 6t.
Решение этого уравнения
x(t) = t3 + C1t+ C2.
Найдем константы, подставляя в краевые условия. Получаем, что
0 = x(0) = C2,
1 = x(1) = 1 + C1t ⇒ C1 = 0.
Экстремаль единственна, это функция x(t) = t3.
15
3. Рассмотрим задачу о наименьшей поверхности вращения. А именно,пусть есть две точки (t0, x0), (t1, x1). Надо провести кривую x(·), про-ходящую через эти точки так, чтобы при ее вращении получившаясяповерхность была минимальной площади.
Пусть нам дана произвольная функция x(·). Тогда, как известно изпредыдущих курсов, площадь поверхности вращения равна
S(x(·)) = 2π
∫ t1
t0x(t)
√1 + (x(t))2dt.
При этом нельзя забывать о граничных условиях x(t0) = x1, x(t1) = x1.
Как мы видим, F не зависит от t. Тогда воспользуемся найденнымвыше первым интегралом
x(t)√
1 + (x(t))2 − x(t)(x(t))2√1 + (x(t))2
= C1.
Приведем к общему знаменателю, упростим и получим, что
x(t)√1 + (x(t))2
= C1.
Для того чтобы проинтегрировать это уравнение, введем параметр,x(t) = sh s. Напомню, что
sh s =ex − e−x
2, ch s =
ex + e−x
2, sh′ s = ch s, ch′ s = sh s.
Подстановка дает, чтоx(t) = C1 ch s.
Теперь найдем dt/ds.
dt
ds=
dx
ds(x(t))−1 = C1.
Следовательно,t = C1s+ C2.
16
В результате мы получаем, что
t = C1s+ C2,x = C1 ch s.
Выражая s, мы получаем, что
x(t) = C1 cht− C2
C1.
Это семейство цепных линий. Постоянные C1 и C2 определяются изусловия прохождения через граничные условия.
6. Необходимые условия первого порядкав простейшей задаче вариационного исчислениясо свободным правым концом
Теорема 2. Пусть x∗(·) доставляет слабый локальный экстремум в про-стейшей задаче вариационного исчисления со свободным правым концом.Тогда выполнены условия:
1. Уравнение Эйлера–Лагранжа:
Fx(t, x∗(t), x∗(t))−d
dtFx(t, x∗(t), x∗(t)) = 0, (13)
2. Условие трансверсальности:
Fx(t1, x∗(t
1), x∗(t1)) = −σx(x∗(t
1)). (14)
Доказательство. Доказательство близко к доказательству необходимогоусловия для простейшей задачи вариационного исчисления для задачи сзакрепленными концами. Воспользуемся тем, что для достаточно близкихв смысле метрики ρ1 к x∗(·) функций x(·) верно неравенство
J2[x∗(·)] ≤ J2[x(·)]. (15)
Для того чтобы получить необходимое условие слабого экстремума, мывозмутим наше оптимальное движение x∗(·). Возмущение будем определять
17
некоторой вектор-функцией u(·) (u(t) ∈ Rn). Положим,
y(t, u(·)) =∫ t
t0u(τ)dτ. (16)
В качестве тестовой функции рассмотрим функцию
xα(t) = x∗(t) + αy(t, u(·)). (17)
Такое возмущение вводилось нами ранее. Мы показывали, что функция xαдопустима. В нашем случае она тоже допустима, поскольку xα(t
0) == x∗(t0) = x0. Также было показано, что для любого ε можно выбрать αстоль малым, чтобы удовлетворялось условие ρ1(xα(·), x∗(·)) ≤ ε.
Теперь подставим xα(·) в неравенство (15). При подстановке получаем,что∫ t1
t0F (t, x∗(t), x∗(t))dt+ σ(x∗(t
1)) ≤∫ t1
t0F (t, xα(t), xα(t))dt+ σ(xα(t
1)).
Из определения xα(·) следует, что при α = 0 выполняется равенство xα(·) == x∗(·). Если мы рассмотрим функцию
g(α) =
∫ t1
t0F (t, xα(t), xα(t))dt+ σ(xα(t
1)),
то для нее α = 0 является точкой локального минимума: g(0) ≤ g(α) придостаточно малых α. Воспользуемся принципом Ферма. Так как α = 0доставляет g(α) локальный минимум имеем, что
dg(0)
dα= 0.
Найдем производную функции g(α) при α = 0.
0 =dg(α)
dα=
=
∫ t1
t0
[Fx(t, xα(t), xα(t)) ·
∂xα(t)
∂α+ Fx(t, xα(t), xα(t)) ·
∂xα(t)
∂α
]∣∣∣∣α=0
dt+
+ σx(xα(t1)) · ∂xα(t
1)
∂α
∣∣∣α=0
.
18
По определению xα(·) имеем, что
∂xα(t)
∂α
∣∣∣∣α=0
= y(t, u(·)), ∂xα(t)
∂α
∣∣∣∣α=0
= u(t).
Тогда
0 =
∫ t1
t0[Fx(t, x∗(t), x∗(t))y(t, u(·)) + Fx(t, x∗(t), x∗(t))u(t)] dt+
+ σx(x∗(t1)) · y(t1, u(·)).
Используя введенные выше обозначения (см. (7)), мы можем переписатьэто равенство в виде
0 =
∫ t1
t0[F ∗
x (t) · y(t, u(·)) + F ∗x (t) · u(t)]dt+ σx(x∗(t
1)) · y(t1, u(·)). (18)
Положим,
p0(t) ,∫ t
t1F ∗x (t)dt− σx(x∗(t
1)).
Тогда по свойствам интеграла с переменным пределом имеем, что
p0(t1) = −σx(x∗(t
1)), (19)
p0(t) = F ∗x (t).
Рассмотрим отдельно первое слагаемое в правой части равенства (18).Воспользуемся методом интегрирования по частям и определением функ-ции p0(t).∫ t1
t0F ∗x (t) · y(t, u(·))dt =
= p0(t1) · y(t1, u(·))− p0(t
0) · y(t0, u(·))−∫ t1
t0p0(t) · u(t)dt =
= −σx(x∗(t1)) · y(t1, u(·))−
∫ t1
t0p0(t) · u(t)dt.
19
Здесь мы воспользовались тем, что p0(t1) = −σx(x∗(t
1)), y(t0, u(·)) = 0,y(t, u(·)) = u(t). Следовательно, равенство (8) преобразуется к виду
0 =
∫ t1
t0[−p0(t) + F ∗
x (t)] · u(t)dt. (20)
Выберем u(t) , [−p0(t) + F ∗x (t)]
T . Тогда
0 =
∫ t1
t0[−p0(t) + F ∗
x (t)]T [−p0(t) + F ∗
x (t)]dt.
Поскольку подынтегральная функция неотрицательная, а интеграл равен0, то подынтегральная функция равна нулю тождественно, то есть
[−p0(t) + F ∗x (t)]
T [−p0(t) + F ∗x (t)] = 0.
Скалярный квадрат равен нулю тогда и только тогда, когда сама величинаравна нулю, т. е.
−p0(t) + F ∗x (t) = 0. (21)
Продифференцировав последнее равенство и воспользовавшись равенствомp0 = F ∗
x (t), мы получаем уравнение Эйлера–Лагранжа. Также подставив в(21) момент t = t1, мы получаем, что
F ∗x (t
1) = p0(t1) = −σx(x∗(t
1)).
7. Необходимые условия второго порядкав задаче с закрепленными концами
В данном разделе мы предполагаем, что x – скаляр, т. е. x ∈ R. Как ивыше, мы предполагаем, что x∗(·) является слабым локальным минимумомфункционала J1[x(·)].
Пусть u – некоторая функция такая, что∫ t1
t0u(t)dt = 0.
20
Как и выше, обозначим
y(t, u(·)) =∫ t
t0u(τ)dτ.
Ниже мы будем опускать зависимость от u(·). Если α – некоторое число,то, как мы помним, функция
g(α) = J∗[x∗(·) + αy(·)]
имеет в точке α = 0 локальный минимум.Разложим функцию g(α) в ряд Тейлора. Мы получим, что
g(α) = g′(0) + αg′(0) +α2
2g′′(α) + o(α2).
Необходимое условие минимума состоит в том, что g′′(0) ≥ 0. Найдем значе-ние g′′(0). Здесь и ниже мы предполагаем, что все производные существуют.
g′′(0) =
∫ t1
t0[A(t)y2(t) + 2B(t)y(t)y(t) + C(t)y2(t)]dt.
Здесь
A(t) =∂2F
∂x2(t, x∗(t), x∗(t)),
B(t) =∂2F
∂x∂x(t, x∗(t), x∗(t)),
C(t) =∂2F
∂x2(t, x∗(t), x∗(t)).
Таким образом нами получено предложение 2.
Предложение 2. Для того чтобы функция x∗(·) доставляла слабый ми-нимум функционалу J1, необходимо, чтобы функционал
K[y(·)] =∫ t1
t0[A(t)y2(t) + 2B(t)y(t)y(t) + C(t)y2(t)]dt (22)
был положительно определен (т. е. неотрицателен) для любой непрерыв-но дифференцируемой функции y(·), такой что y(t0) = y(t1) = 0.
21
К сожалению, условия предложения 2 очень сложно проверить. Далеемы найдем проверяемую форму условия положительной определенности.
Прежде всего отметим, что при y(t0) = y(t1) = 0 метод интегрированияпо частям дает формулу∫ t1
t02B(t)y(t)y(t)dt =
∫ t1
t0−dB(t)
dty2(t)dt.
Таким образом,
K[y(·)] =∫ t1
t0[D(t)y2(t) + C(t)y2(t)]dt.
Здесь введено еще одно обозначение
D(t) = A(t)− dB(t)
dt.
Теорема 3 (Лежандр). Для того чтобы функционал J1[x(·)] достигал наx∗(·) минимума, необходимо, чтобы
Fxx(t, x∗(t), x∗(t)) ≥ 0.
Доказательство. Заметим, что мы должны доказать следующее условие.Если функционал K[y(·)] положительно определен, то C(t) ≥ 0.
Проведем доказательство от противного, пусть в некоторой точке θC(θ) < 0. Пусть yε(·) таково, что
1. yε(t) равно 0 вне интервала (θ − 2ε, θ + 2ε);
2. |yε(t)| < ε для всех t;
3. |yε(t)| > 1ε на интервале (θ − ε, θ + ε).
Тогда мы получаем, что
K[yε(·)] ≤ ε2∫ t1
t0|D(t)|dt+ 1
ε2
∫ θ+ε
θ−ε
C(t)dt → −∞, ε → 0.
Это противоречит положительной определенности функционала K.
22
Замечание. Для того чтобы функция x∗(·) доставляла максимум функци-онала J1, необходимо, чтобы
1. K[y(·)] было отрицательно определено;
2. Fxx(t, x∗(t), x∗(t)) ≤ 0.
Определение 3. Будем говорить, что точка θ является сопряженной кточке t0, если существует не равное тождественно 0 решение дифференци-ального уравнения
D(t)y(t)− d
dt(C(t)y(t)) = 0, (23)
удовлетворяющее условию y(t0) = y(θ) = 0.
Уравнение (23) называется уравнением Якоби. Оно является уравнениемЭйлера для функционала K. Уравнение Якоби можно переписать в экви-валентной форме
A(t)y(t) +B(t)y(t)− d
dt(B(t)y(t) + C(t)y(t)) = 0. (24)
Для того чтобы показать эквивалентность уравнений (23) и (24), достаточ-но заметить, что
d
dt(B(t)y(t)) =
dB(t)
dty(t) +B(t)y(t) и D(t) = A(t)− dB(t)
dt.
Далее мы будем говорить что функционал K[y(·)] строго положительноопределен, если K[y(·)] > 0 для всех y(·), отличных от тождественного 0.
Теорема 4. Если отрезок [t0, t1] не содержит сопряженных (относитель-но функционала K) точек к t0 и C(t) > 0, то функционал K[y(·)] строгоположительно определен для всех y таких, что y(t0) = y(t1) = 0.
Доказательство. Для того чтобы показать строгую положительно опреде-ленность функционала K, приведем его к виду
K[y(·)] =∫ t1
t0C(t)z2(t)dt.
23
Для этого мы к функционалу K прибавим величину∫ t1
t0d(w(t)y2(t)),
где w(·) – некоторая (дифференцируемая) функция. Имеем, что∫ t1
t0d(w(t)y2(t)) = w(t)y2(t)
∣∣t1t0= 0.
Таким образом,∫ t1
t0[(D(t) + w(t))y2(t) + C(t)y2(t) + 2w(t)y(t)y(t)]dt.
K[y(·)] =∫ t1
t0(C(t)z2(t)dt.
Выберем функцию w так, чтобы подынтегральное выражение
(D(t) + w(t))y2(t) + C(t)y2 + 2w(t)y(t)y(t)
было полным квадратом. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
C(t)(D(t) + w) = w2. (25)
Если это условие выполнено, то функционал K может быть приведен квиду
K[y(·)] =∫ t1
t0C(t)
[y(t) +
w(t)
P (t)y(t)
]2dt.
Покажем, что уравнение (25) имеет решение. Это уравнение называетсяуравнением Рикатти. Оно приводится к дифференциальному уравнениювторого порядка заменой
w = − b
bC(t).
В результате уравнение (25) принимает вид
D(t)b(t)− d
dt(C(t)b(t)) = 0. (26)
24
Это уравнение Якоби (23). По условию отрезок [t0, t1] не содержит сопря-женных к t0 точек. Можно «сдвинуть» начальную точку на малое ε; т. е.мы ищем решение bε уравнения (26) с начальными условиями bε(t
0−ε) = 0,bε(t
0 − ε) = 1. Так как решение дифференциального уравнения (26) непре-рывно зависит от параметра, мы получаем, что существует функция bε,отличная от нуля на отрезке [t0, t1]. Следовательно, существует функцияw, удовлетворяющая уравнению (25).
Вернемся к изучению функционала K. Функция y(·), обращающая вноль функционал K, удовлетворяет уравнению Якоби (23). Кроме этого,поскольку C(t) > 0, y(·) должно удовлетворять уравнению
y(t) +w(t)
C(t)y(t) = 0.
Отсюда, подставив t = t0, в силу предположения y(t0) = 0 получаем, чтоy(t0) = 0. По теореме существования и единственности решения диффе-ренциального уравнения Якоби (23) мы получаем, что y(·) ≡ 0. Откудаследует, что K[y(·)] > 0 для всех y(·) = 0.
Теорема 5 (Условие Якоби). Если x∗ доставляет слабый локальный ми-нимум функционалу J1 и C(t) > 0, то отрезок [t0, t1] не содержит сопря-женных точек.
Замечание. Фактически будет доказано, что если x∗(·) доставляет слабыйлокальный минимум функционалу J1 и C(t) > 0, то любое решение урав-нения (23) удовлетворяющее условиям y(t0) = 0, y(t0) = 1, не обращаетсяв ноль на полуинтервале (t0, t1]. Это условие может быть взято в качествеопределения сопряженной точки.Замечание. В условиях теоремы минимум может быть заменен на макси-мум, при этом условие C(t) > 0 должно быть заменено на условие C(t) < 0.
Прежде чем мы перейдем к доказательству теоремы, получим вспомо-гательное утверждение.
Лемма 1. Если y(·) является решением уравнения
Q(t)y(t)− d
dt(P (t)y(t)) = 0
25
и удовлетворяет условиям y(t0) = y(t1) = 0, то для этого y(·) выполненоравенство ∫ t1
t0(Q(t)y2 + P (t)y2(t))dt = 0.
Доказательство. В самом деле
0 =
∫ t1
t0
(Q(t)y(t)− d
dt(P (t)y(t))
)y(t)dt = 0.
Также с учетом граничных условий имеем∫ t1
t0(− d
dt(P (t)y(t)))y(t)dt =
∫ t1
t0P (t)y2(t)dt.
Доказательство теоремы 5. Мы докажем, что если функционал K[y(·)]положительно определен, то любое решение уравнения Якоби (23), отлич-ное от тождественного 0, не может обращаться в 0 одновременно в точкеt0 и θ ∈ [t0, t1]. Доказательство будет вестись от противного, т. е. мы пред-полагаем, что существует такая точка θ ∈ (t0, t1], что y(θ) = 0, однако y(·)как функция отлична от 0. Можно считать (умножив y(·) на соответству-ющую константу), что y(t0) = 1. Основная идея доказательства состоит втом, чтобы рассмотреть выпуклую комбинацию функционала K и функци-онала ∫ t1
t0y2dt,
у которого нет сопряженных точек.Если функционал
K[y(·)] =∫ t1
t0(D(t)y2(t) + C(t)y2(t))dt
положительно определен, и C(t) > 0, то K[y(·)] строго положительно опре-делен (т. е. значение K[y(·)] > 0 для всех y(·) отличных от тождественного0). А значит для r = [0, 1] строго положительно определен и функционал
Kr[y(·)] =∫ t1
t0[r(D(t)y2(t) + C(t)y2(t)) + (1− r)y2(t)]dt.
26
Рассмотрим уравнение Эйлера–Лагранжа для функционала Kr. Мы полу-чим, что
− d
dt[(rD(t) + (1− r))y(t)] + C(t)y(t) = 0. (27)
Пусть y(·, r) решение этого уравнения такое, что y(t0, r) = 0, y(t0, r) = 1.Функция y(·, r) зависит от r непрерывным образом. Заметим, что при r = 1y(·, r) является решением уравнения (23), а при r = 0 y(t, 0) равно t− t0.
Также если в некоторой точке τ имеет место равенство y(τ, r) = 0, тоy(τ, r) = 0. В самом деле, если y(τ, r) = 0, то по теореме существова-ния и единственности решения дифференциального уравнения единствен-ное решение уравнения (27), удовлетворяющее этим условиям, – функцияy(·, r) ≡ 0, что противоречит условиям в точке t0.
Рассмотрим множество точек (t, r) таких, что y(t, r) = 0. Это кривая. Всамом деле, если y(t, r) = 0, то поскольку y(t, r) = ∂
∂ty(t, r) = 0, то по тео-реме о неявной функции условие y(t, r) определяет непрерывную функциюr = r(t) локально.
На этой кривой лежит точка (θ, 1), здесь θ – сопряженная точка, суще-ствование которой мы предположили выше. Точка (θ, 1) лежит на границепрямоугольника [t0, t1]× [0, 1].
Заметим, что
1. Кривая y(t, r) = 0 не может закончиться внутри прямоугольника[t0, t1]× [0, 1], иначе мы получили бы противоречие с теоремой о неяв-ной функции.
2. Не может пересечь границу t = t1. Если для некоторого r y(t1, r) =0, то по лемме 1 мы получаем, что функционал Kr[y(·, r)] = 0. Этопротиворечит положительной определенности функционала Kr.
3. Не может пересечь границу r = 1, так как в этом случае существуеттакой момент τ , что r(θ) = r(τ), и по теореме Ролля dr
dt (t) = 0 длянекоторой точки t, а так как
∂y
∂t+
∂y
∂r
dr
dt= 0, (28)
в точке r, t = r(t) y(t, r) = 0.
27
4. Не может пересечь сторону r = 0, так как в этом случае уравнение (27)сводится к уравнению y = 0, единственное решение которого y = t−t0,чья производная в ноль не обращается.
5. Не может пересекать сторону t = t0. В самом деле, мы имеем, что
∂y(t0, r)
∂r= 0.
Поскольку равенство (28) выполнено вдоль кривой y(t, r) = 0, мы по-лучаем, что
y(t0, r) =∂y(t0, r)
∂t= 0
для r такого, что y(t0, r) = 0. Это противоречит выбору условияy(t0, r) = 1.
Суммируя пункты 1–5, мы получаем, что кривая y(t, r) = 0, такая, чтона ней лежит точка (θ, 1), не может оборваться внутри прямоугольника[t0, t1]× [0, 1] и не может пересечь ни одной стороны. Такой кривой простоне существует. Следовательно, не может существовать такого момента θ,что решение уравнения (23) y(·), y(t0) = 0, y(t0) = 1, равно 0 при t = θ.
8. Достаточные условия в задаче с закрепленнымправым концом в скалярном случае
Как и выше, мы предполагаем, что x – скаляр.
Теорема 6. Пусть функция x∗(·), удовлетворяющая следующим услови-ям:
1. x∗(·) – решение уравнение Эйлера–Лагранжа;
2. Если C(t) = Fxx(t, x∗(t), x∗(t)), B(t) = Fxx(t, x∗(t), x∗(t)), A(t) =Fxx(t, x∗(t), x∗(t)), то отрезок [t0, t1] не содержит сопряженных то-чек.
3. C(t) > 0.
28
Тогда x∗(·) доставляет слабый экстремум функционалу J1.
Замечание. Для того чтобы x∗(·) доставляла слабый максимум, достаточновыполнения условий 1 и 2, а также условия C(t) < 0.
Доказательство теоремы 6. Поскольку отрезок [t0, t1] не содержит сопря-женных точек и C(t) > 0, получаем, что существует такое ε > 0, чтоотрезок [t0, t1 + ε] не содержит сопряженных точек.
Немного модифицируем функционал K и рассмотрим задачу минимиза-ции функционала
Kα[y(·)] =∫ t1
t0[D(t)y2(t) + (C(t)− α2)y2(t)]dt.
Напомним, что D определено равенством
D(t) = A(t)− d
dtB(t).
Уравнения Эйлера–Лагранжа для функционала Kα (уравнение Якоби) вэтом случае имеет следующий вид
D(t)y(t)− d
dt[(C(t)− α2)y(t)] = 0. (29)
Поскольку C(t) > 0, то для достаточно малых α C(t) − α2 > 0 дляt ∈ [t0, t1].
Также из непрерывной зависимости решения дифференциального урав-нения (29) следует, что решение этого дифференциального уравнения yα(·),удовлетворяющее условиям yα(t0) = 0, yα(t0) = 1, не пересекает 0 при до-статочно малых α. По теореме 4 мы получаем, что функционал Kα поло-жительно определен, т. е. выполнено неравенство∫ t1
t0[D(t)y2(t) + C(t)y2(t)]dt ≥ α2
∫ t1
t0y2dt. (30)
Используя формулу Тейлора и уравнение Эйлера–Лагранжа, мы получаем,что для любой функции y(·) такой, что y(t0) = y(t1) = 0 справедливо
29
равенство
J1[x∗(·)+y(·)]−J1[x∗(·)] =1
2
∫ t1
t0(A(t)y2(t)+2B(t)y(t)y(t)+C(t)y2(t))dt+
+
∫ t1
t0(ε1(t)y
2(t) + ε2(t)y(t)y(t) + ε3(t)y2(t))dt.
Здесь функции ε1, ε2 и ε3 равномерно ограничены и
maxt∈[t0,t1]
|εi(t)| → 0, при ∥y(·)∥ = maxt∈[t0,t1]
|y(t)|+ maxt∈[t0,t1]
|y(t)| → 0.
Используя интегрирование по частям и условие на функцию y(·), мыполучаем, что
J1[x∗(·) + y(·)]− J1[x∗(·)] =
=1
2
∫ t1
t0(D(t)y2(t) + C(t)y2(t))dt+
∫ t1
t0(ξ(t)y2(t) + η(t)y2(t))dt.
Отметим, что
maxt∈[t0,t1]
|ξ(t)|, maxt∈[t0,t1]
|η(t)| → 0,
при ∥y(·)∥ = maxt∈[t0,t1]
|y(t)|+ maxt∈[t0,t1]
|y(t)| → 0.
Оценим y2(t). Имеем, что
y2(t) =
(∫ t
t0y(τ)dτ
)2
.
Из неравенства Коши–Буняковского следует, что(∫ t1
t0y(τ)dτ
)2
≤∫ t
t0dt ·
∫ t
t0y2(τ)dτ ≤ (t− t0)
∫ t1
t0y2(τ)dτ.
Таким образом, ∫ t1
t0y2(t) ≤ (t1 − t0)2
2
∫ t1
t0y2(t)dt.
30
Если |ξ(t)| ≤ ε, |η(t)| < ε, то∣∣∣∣∣∫ t1
t0(ξ(t)y2(t) + η(t)y2(t))dt
∣∣∣∣∣ < ε
(1 +
(t1 − t0)2
2
)∫ t1
t0y2(t)dt.
Величину ε можно выбрать произвольно малой при соответствующемвыборе ∥y(·)∥. Тогда мы имеем, что
J1[x∗(·) + y(·)]− J1[x∗(·)] =
=1
2
∫ t1
t0(D(t)y2(t) + C(t)y2(t))dt+
∫ t1
t0(ξ(t)y2(t) + η(t)y2(t))dt ≥
≥ 1
2
∫ t1
t0(D(t)y2(t) + C(t)y2(t))dt− ε
(1 +
(t1 − t0)2
2
)∫ t1
t0y2(t)dt > 0.
В заключение данного раздела рассмотрим пример. В разделе 5. первыйпример был такой: найти экстремум функционала
J1(x(·)) =∫ π/2
0
[(x(t))2 − (x(t))2]dt,
при условиях x(0) = 0, x(π/2)=1. Мы нашли, что единственным решени-ем уравнения Эйлера–Лагранжа является функция x∗(t) sin(t). Проверим,выполнены ли достаточные условия. В нашем случае A(t) = −2, B(t) = 0,C(t) = 2. Уравнение Якоби (24) имеет вид
−2y(t)− 2d
dty(t) = 0.
Его решение при условиях y(0) = 0, y(0) = 1 – функция y(t) = sin t. Онаравна 0 на полуинтервале (0, π/2]. Следовательно, условие Якоби выполне-но.
Также C(t) = 2 > 0. По теореме о достаточных условиях в задаче с за-крепленными концами (6) заключаем, что x∗(t) = sin(t) доставляет слабыйминимум.
В качестве упражнения – проверка достаточных условий для других при-меров из раздела 5. – оставляется читателю.
31
9. Элементы теории поля
Этот параграф содержит условие, которое будет использовано при дока-зательстве достаточных условий слабого и сильного экстремума в вектор-ном случае.
Определение 4. Пусть задано семейство функций x(·,κ), κ ∈ A. И пусть∆ – некоторое множество в [t0, t1] × Rn. Будем говорить, что семействоx(·,κ) образует поле в ∆, если через каждую точку (t∗, x∗) ∈ ∆ проходитединственная функция x(·,κ).
Будем говорить, что кривая x∗(·) может быть окружена центральнымполем, если
1. существует такое κ∗, что x∗(·) = x(t,κ∗);
2. можно выбрать ∆ и множество параметров A так, что (t0, x0) ∈ ∆, длявсех остальных t ∈ [t0, t1] сечение ∆ по t телесно, и x(·,κ) при C ∈ A.
Нас будет интересовать поле экстремалей. Мы предполагаем, что x(·,κ)– есть решение задачи Коши для уравнения Эйлера–Лагранжа (см. (4))
Fx(t, x(t), x(t))−d
dtFx(t, x(t), x(t)) = 0, x(t0) = x0, x(t0) = κ. (31)
Пусть x∗(·) является решением уравнения (4) при граничных условияхx(t0) = x0, x(t1) = x1. Существует такое κ∗, что x∗(·) = x(·,κ∗).
Найдем условие, при котором x∗(·) может быть окружено полем. Если t– некоторый момент времени, ξ – некоторый вектор, достаточно близкий кx(t,κ), то по теореме о неявной функции достаточным условием разреши-мости относительно C уравнения
x(t,κ) = ξ
является неравенство
detZ∗(t) ,∂x(t,κ∗)
∂κ= 0. (32)
32
Поскольку κ = (κ1, . . . ,κn)T – вектор, частная производная ∂x(t,κ∗)
∂κ – этоматрица:
∂x(t,κ)∂κ
=
∂x1(t,κ∗)
∂κ1. . . ∂x1(t,κ∗)
∂κn
. . . . . . . . .∂xn(t,κ∗)
∂κ1. . . ∂xn(t,κ∗)
∂κn
.
Заметим, что продифференцировав уравнения и начальное условие в(31) по κ, мы можем получить уравнение на y∗(·). Выше мы уже рассмат-ривали вторые производные функции F для одномерного случая. Сейчасмы рассматриваем многомерный случай. В связи с этим в данном случаевторые производные, вообще говоря, являются тензорами. Однако мы пред-ставим вторые производные в виде матриц.
A(t) =
(∂F (t, x∗(t), x∗(t))
∂xi∂xj
)i,j=1,n
,
B(t) =
(∂F (t, x∗(t), x∗(t))
∂xi∂xj
)i,j=1,n
,
C(t) =
(∂F (t, x∗(t), x∗(t))
∂xi∂xj
)i,j=1,n
.
После дифференцирования по κ задача (31) принимает вид
A(t)Z(t) +B(t)Z∗(t)−d
dt[B(t)Z∗(t) + C(t)Z(t)] = 0,
Z∗(t0) = 0, z∗(t
0) = I. (33)
Здесь
Z∗(t) =∂x(t,κ)
∂κ
∣∣∣∣κ=κ∗
матрица n× n,
I – единичная матрица
I =
1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
.
Уравнение (33) – уравнение на матричную функцию z.Таким образом, нами доказано предложение 3.
33
Предложение 3. Для того чтобы окружить функцию x∗(t) полем,достаточно того, чтобы решение задачи (33) удовлетворяло условиюdetZ∗(t) = 0, t ∈ [t0, t1].
Отметим, что в одномерном случае условие того, что detZ∗(t) = 0 дляZ∗(·) – решение задачи (33), уже появлялось в теореме 5.
10. Достаточные условия в векторном случае
В этом (заключительном) разделе мы изучаем задачу вариационного ис-числения с закрепленными границами, она состоит в минимизации (макси-мизации) функционала J1. В предыдущих разделах мы нашли необходимоеусловие слабого экстремума (условие Эйлера–Лагранжа, см. теорему 2).Для одномерного случая необходимым условием является также условиеЯкоби. В этом разделы мы предполагаем, что
1. x∗(·) – решение уравнения Эйлера–Лагранжа;
2. выполнено условие предложения 3, т. е. если Z∗(·) – решение задачи(33), то detZ∗(t) = 0.
Из второго условия следует, что для каждой позиции (τ, ξ), достаточ-но близкой к позиции (τ, x∗(τ)), существует и единственна характеристикаx(·,κ) такая, что x(τ,κ) = ξ. Соответствующее значение параметра κ обо-значим через κ(τ, ξ).
Имеем, чтоx(τ,κ(τ, ξ)) = ξ. (34)
Кроме этого, большую роль будет играть значение производной по t отфункции x(·,κ) при t = τ , κ = κ(τ, ξ), эта величина еще называется на-клоном поля:
u(τ, ξ) , ∂x(t,κ(τ, ξ))∂t
∣∣∣t=τ
. (35)
Теперь введем функцию S(τ, ξ).
S(τ, ξ) =
∫ τ
t0F (t, x(t,κ(τ, ξ)), x(t,κ(τ, ξ)))dt.
Эту функцию называют S-функций поля x(·,κ).
34
Нам от этой функции потребуется значение ее дифференциала. Напом-ним, что
dS =∂S
∂τdτ +
∂S
∂ξ· dξ. (36)
Найдем частные производные. Ниже функция с нижним индексом озна-чает частную производную по этому индексу, точка означает производнуюx по t .
∂S(τ, ξ)
∂τ= F (τ, ξ, u(τ, ξ))+
+
∫ τ
t0
[Fx(t, x(t,κ(τ, ξ)), x(t,κ(τ, ξ))) · xκ(t,κ(τ, ξ))κτ(τ, ξ)+
+ Fx(t, x(t,κ(τ, ξ)), x(t,κ(τ, ξ))) · xκ(t,κ(τ, ξ))κτ(τ, ξ)]dt.
Проинтегрируем второе слагаемое по частям. Имеем, что
∂S(τ, ξ)
∂τ= F (τ, ξ, u(τ, ξ))+
+
∫ τ
t0Fx(t, x(t,κ(τ, ξ)), x(t,κ(τ, ξ))) · xκ(t,κ(τ, ξ))κτ(τ, ξ)dt−
−∫ τ
t0
d
dtFx(t, x(t,κ(τ, ξ)), x(t,κ(τ, ξ))) · xκ(t,κ(τ, ξ))κτ(τ, ξ)dt+
+ Fx(t, x(t,κ(τ, ξ)), x(t,κ(τ, ξ))) · xκ(t,κ(τ, ξ))κτ(τ, ξ)∣∣∣τt0.
Воспользуемся уравнением Эйлера–Лагранжа. Это позволит нам понять,что интегральные члены равны нулю. В силу того что через (t0, x0) прохо-дят все кривые вида x(·,κ), мы заключаем, что xκ(t
0,κ) = 0 для всех κ.Тогда мы получаем, что
∂S(τ, ξ)
∂τ= F (τ, ξ, u(τ, ξ))+
+ Fx(τ, x(τ,κ(τ, ξ)), x(t,κ(τ, ξ))) · xκ(t,κ(τ, ξ))κτ(τ, ξ). (37)
Выразим xκ(t,κ(τ, ξ))κτ(τ, ξ). Для этого продифференцируем равенство(34) по τ . Получаем, что
x(τ,κ(τ, ξ)) + xκ(τ,κ(τ, ξ))κτ(τ, ξ) = 0.
35
Тогда мы можем упростить равенство (37), особенно если воспользуемсяопределением (35) и равенством (34).
∂S(τ, ξ)
∂τ= F (τ, ξ, u(τ, ξ))− Fx(τ, ξ, u(τ, ξ)) · u(τ, ξ). (38)
Аналогичные рассуждения приводят нас к формуле для частной произ-водной по ξ. При этом используется равенство, получающиеся дифферен-цированием уравнения (34) по ξ,
xκ(τ,κ(τ, ξ)) = I.
Сама формула имеет вид
∂S(τ, ξ)
∂ξ= Fx(τ, ξ, u(τ, ξ)). (39)
Подставляя выражения (38) и (39) в (36), получаем окончательное выра-жение для дифференциала dS:
dS = [F (τ, ξ, u(τ, ξ))− Fx(τ, ξ, u(τ, ξ)) · u(τ, ξ)]dτ + Fx(τ, ξ, u(τ, ξ))dξ. (40)
Рассмотрим функцию E(t, x, u, p), здесь t – момент времени, x, u и p –вектор (переменные u и p являются аналогами производных).
E(t, x, u, p) , F (t, x, p)− F (t, x, u)− Fx(t, x, u) · (p− u).
Теорема 7. Если кроме условий 1 и 2, введенных в начале этого раздела,выполнено условие Вейерштрасса: существует ε > 0, что E(t, x, u, p) ≥ 0для всех x, p, таких, что ∥x− x∗(t)∥ ≤ ε, ∥p− x∗(t)∥ ≤ ε и u = u(t, x).
Доказательство. Выберем некоторую функцию x(·), удовлетворяющуюусловиям x(t0) = x0, x(t1) = x1. Для начала мы покажем чему равна раз-ность между значениями функции S в разных точках S(t1, x1) − S(t0, x0).Мы можем пройти из (t0, x0) в (t1, x1) разными путями, но результат отэтого не изменяется в силу того, что функция S имеет дифференциал. Мырассмотрим два пути: путь вдоль функции x(·) и вдоль экстремали x∗(·).
36
Тогда
S(t1, x1)− S(t0, x0) =
∫ t1
t0dS(t, x(t)) =
∫ t1
t0dS(t, x∗(t)) =
=
∫ t1
t0[F (t, x∗(t), u(t, x∗(t)))− Fx(t, x∗(t), u(t, x∗(t))) · u(t, x∗(t))]dt+
+ Fx(t, x∗(t), u(t, x∗(t)))dx∗(t).
Воспользуемся тем, что u(t, t∗(t)) = x∗(t). Тогда∫ t1
t0dS(t, x(t)) =
∫ t1
t0[F (t, x∗(t), x∗(t))− F ∗
x (t) · x∗(t)]dt+∫ t1
t0F ∗x (t) · dx∗(t).
Напомним, что верхний индекс «звездочка» означает, что в соответству-ющие переменные подставлена экстремаль x∗(·). Вспомнив формулу длядифференциала вдоль экстремали, получаем, что∫ t1
t0dS(t, x(t)) =
∫ t1
t0F (t, x(t), x∗(t))dt = J1[x∗(·)].
Используя эту формулу, мы оценим разницу между значениями J1[x(·)]и J1[x∗(·)]. Имеем, что
J1[x(·)]− J1[x∗(·)] =∫ t1
t0F (t, x(t), x(t))dt−
∫ t1
t0dS(t, x(t)).
Формула для dS нам известна, это формула (40). Тогда
J1[x(·)]− J1[x∗(·)] =
=
∫ t1
t0[F (t, x(t), x(t))− F (t, x, u(t, x(t)))+
+ Fx(t, x(t), u(t, x(t)))(x(t)− u(t, x(t)))]dt =
=
∫ t1
t0E(t, x(t), u(t, x(t)), x(t))dt. (41)
Тогда, если выполнено условие Вейерштрасса, то при малом отклоненииx(t) от x∗(t) и x(t) от x∗(t) верно неравенство E(t, x(t), u(t, x(t)), x(t)) ≥ 0.Что гарантирует, как видно из равенства (41), неравенство
J1[x(·)]− J1[x∗(·)] ≥ 0.
37
А это и есть определение слабого экстремума.
Следствие 1. Если кроме условий 1 и 2 выполнено усиленное условие Ле-жандра: функция z 7→ zTFxx(t, x∗(t), x∗(t))z строго положительно опре-делена, то x∗(·) доставляет слабый локальный минимум.
Отметим, что это следствие обобщает теорему 6 на векторный случай.
Доказательство. Утверждение следствия исходит из разложения функцииВейерштрасса E(t, x, p, u) по третей переменой. Имеем, что
E(t, x, u, p) = F (t, x, p)− F (t, x, u)− Fx′(t, x, u)(p− u).
Разложим F (t, x, p) в ряд Тейлора по третей переменной, считая исходнойточкой p = u. Тогда
F (t, x, p) = F (t, x, u) + Fx(t, x, u)(p− u) +1
2(p− u)TFxx(t, x, q)(p− u).
Здесь q – некоторая точка, лежащая между u и p. Тогда подстановка ввыражение функции Вейерштрасса дает, что
E(t, x, u, p) =1
2(p− u)TFxx(t, x, q)(p− u).
То есть для того чтобы E(t, x, u, p) была положительной, вполне достаточ-но того, что квадратичная форма z 7→ zTFxx(t, x, q)z была строго положи-тельной. Отметим, что мы предполагали следующее: u = u(t, x(t)), p = x(t)причем оба этих вектора недалеки от x∗(t). Тогда и q близко к x∗(t). Так-же нас интересуют только x близкие к x∗(t). Значит, достаточно того, чтоквадратичная форма z 7→ zTFxx(t, x∗(t), x∗(t))z положительно определена.Выбирая весьма маленькое ε мы добьемся того, что квадратичная формаz 7→ zTFxx(t, x, q)z строго положительно определена при ∥x − x∗(t)∥ ≤ ε,∥q − x∗(t)∥ ≤ ε. А этого достаточно для выполнения условия Вейерштрас-са.
Также рассмотрим условия сильного экстремума. Отметим, что сильныйэкстремум учитывает лишь изменения самой функции, игнорируя близостьпроизводных.
38
Теорема 8. Если кроме условий 1 и 2 выполнено усиленное условие Вей-ерштрасса: существует ε > 0, что E(t, x, u, p) ≥ 0 для всех x таких, что∥x − x∗(t)∥ ≤ ε, всех p ∈ Rn и u = u(t, x), то x∗(·) доставляет сильныйминимум функционалу J1.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 7.Также может быть получено следствие 2.
Следствие 2. Если кроме условий 1 и 2 выполнено усиленное условие Ле-жандра: квадратичная форма z 7→ zTFxx(t, x∗(t), p)z строго положитель-но определена для всех t ∈ [t0, t1], p ∈ Rn, то x∗(·) доставляет сильныйлокальный минимум.
39
Библиографический список
1. Арутюнов А. В. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство иприложения / А. В. Арутюнов , Г. Г. Магарил-Ильяев,В. М. Тихомиров. – М. : Факториал Пресс, 2006. – 144 с.
2. Алексеев В. М. Сборник задач по оптимизации / В. М. Алексеев,Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. – М. : Наука, 1984. – 288 с.
3. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление /М. И. Зеликин. – М. : Эдиториал УРСС, 2000. – 160 с.
4. Галеев Э. М. Оптимизация: теория, примеры, задачи / Э. М. Галеев,В. М. Тихомиров. – М. : 2000. – 318 с.
5. Гельфанд И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд,С. В. Фомин. – М. : Физматлит, 1961. – 228 c.
6. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе,В. М.Тихомиров. – М. : Наука, 1974. – 481 с.
7. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчис-ление / Л. Э. Эльсгольц . – М. : Наука, 1969. – 424 с.
40
Учебное изданиеДля заметок
Авербух Юрий ВладимировичСережникова Татьяна Ивановна
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Редактор Л. С. ГудковаКомпьютерный набор Ю. В. Авербуха и Т. В. Сережниковой
Компьютерная верстка Е. В. Суховой
Подписано в печать 14.06.2014. Формат 60x90 1/16.Бумага писчая. Плоская печать. Усл. печ. л. 2,75.
Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 75 экз. Заказ № 1549.
Издательство Уральского университетаРедакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ62000245, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5
Тел.: 8 (343) 375-48-25, 375-46-85, 374-19-41e-mail: [email protected]
Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ620075, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4
Тел.: 8 (343) 350-56-64, 350-90-13Факс: 8 (343) 358-93-06
e-mail: [email protected]
