usp...e ao meu filho andrei. agradeÇo, em especial ao prof.sylvio goulart rosa jr. pela agradi vel...
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-
"COMPORTAMENTO CRITICO
DE UM GÂS DE BOSE -
, -EINSTEIN MAGNETIZADO"
Melquisedech Soares Silva
Dissertação apresentada ao Insti-
tuto de Fisica e Quimica de são
Carlos, da Universidade de são
Paulo, para obtenção do titulo de
Mestre em Fisica Básica".
Orientador:
Prof.Dr. Sylvio Goulart Rosa Jr.
·DEPARTAMENTO DE FíSICA E CI~NCIA DOS MATERIAIS
são Carlos
1 9 8 4
------...-BIBLIOTECA DO INSTlTúTO DE FIslCA E QulMICA DE SÃO CARLOS. USP
FI S I C A
1II
-
MEMBROS DA COMISSAO JULGADORA DA DISSERTACAO DE MESTRADO DE
MELQUISEDECH SOARES SILVA
APRESENTADA AO INSTITUTO DE FTsICA E nuTMICA DE SAO CARLOS, DA
UNIVERSIDADE DE SAO PAULO, EM ~ DE março DE 198 4.
COMISSAO JULGADORA:
,/ J
Or. SYLVIO GOULART ROSA JUNIOR - Orientador
Or. JOsE ROBERTO DRUGOWICH DE FELICIO
. C'/k~_- --'--) _O r. GILMAR EUG:t:NWMA.RQUES
--------.-------BIBLIOTECA 00 INSTITUTO DE FISICA ,[ QUlM1CA DE SAO CARLOS • USP
FI S IC A
-
Dedico,
Aos meus pais
José Deque e Leonice,
a minha esposa Nenen
e ao meu filho Andrei.
-
AGRADEÇO,
Em especial ao Prof.Sylvio Goulart Rosa Jr. pela agradi
vel orientação e colaboração para minha formação profissional.
Ao amigo Hidembergue por suas muitas e valiosas suges
tões.
à Nenen pelo companheirismo e palavras de estímulo.
à Loreni pelo excelente trabalho de datilografia.
Ao Departamento de Física do Instituto de Física e Químl
ca de São Carlos,USP,pela acolhida e à Universidade do Amazonas pe
10 apoio financeiro.
-
íNDICE
LISTA DE ILUSTRAÇOES E TABELAS 1
I{ESU~10 11
I\BSTRACT 111
CAP 1TULO I - INTRODUÇÃO 1
CAPITULO 11- APRESENTAÇÃO DAS FUNÇOES TERMODINÂMICAS 6
2.1. As funç6es termodin~rnicas a volume constan
te 6
2.2. As funções termodinâmicas à pressão cons -
t an te 12
CAPITULO III-OS EXPOENTES CRITICOS 16
3.1. Cálculo dos expoentes críticos a volume
constante 16
3.2. Cálculo dos expoentes criticos à pressão
cons tan te 25
3.3. Comportamento das funções termodinâmicas
nas linhas de transição 29
CAPITULO IV -CONCLUSÕES 42
APtNDICE I - AS FUNÇÕES DE BOSE-EINSTEIN 45
APtNDICE 11- O LOGARfTMO DA FUNÇÃO DE GRAND PARTIÇÃO ~ 47
APtNDICE III-COMPORTAMENTOS DAS FUNÇÕES TERMODINÂMICAS NA VI-
ZINHANÇA DO PONTO CRITICO 52
APtNDICE IV- AS PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DO GÁS IDEAL DE
BOSE-EINSTEIN 57
REFERtNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 60
·.~
. ,....•
-
41
i
LISTA DE ILUSTRAÇOES
Figura I - Linhas de tran~ição L1T, L2T e L3T no plano campo
magnético contra temperatura 9
Figura 2 - Temperatura critica como função da dimension~lid!
de para a condensação do GIBE nos casos de pres -
sao constante e de volume constante 26
Figura 3 - Contorno para o cálculo da Eq. (II. 7) 49
LISTA DE TABELAS
Tabela I - Expoentes críticos no caso de volume constante .. 25
Tabela 11- Expoentes críticos no caso de pressão constante. 28
Tabela 111- Comportamentos de várias grandezas termodinâmi -
cas nas linhas de transição LIT e L3T .
Tabela IV - Valores dos expoentes críticos obtidos por G.B.
para o GIBE como função da dimensionalidade d do
sistema e do parâmetro a 59
Tabela V - Relaç6es entre os expoentes críticos 59
-
ii
RESUMO
Investigamos neste trabalho o comportamento critico de
um gás de bósons neutros com spin S na presença de um campo magné
tico uniforme. Os expoentes criticas são calculados como função da
dimensionalidade d do sistema e do parâmetro ° do espectro E(K)_Kode urna partlcula. O comportamento critico é examinado nas condi
ções de volume constante e de pressão constante. Estabelecemos as
relações entre os novos expoentes crlticos e os calculados por
Gunton e Buckingharn para o gás ideal de Bose-Einstein sem spin.
'---~- -~ ~_.. -...--- ...-BIBLIOTECA DO INSTITUTO DE fi31CA E OUIMICA DE SÃO CARLOS. USP
F r SI (A
-
iii
ABSTRACT
The critical behavior of a d-dimensional ideal gas of
uncharged bosons with spin S and spectrum of a single particle
given by E(K) - KO in a uniform magnetic field is examined. The
critical exponents are calculated as a function of the dmensionality
of the systems and the parameter o for both constant volume and
constant pressure. We establish the relationship between the new
critical exponents with those calculated by Gunton and BuCkingham
for a spinless Bose-Einstein gas.
, '~
-
1
CAPíTULO I
INTRODUÇÃO
Em 1924 o físico indiano S.N.Bose(l), considerado um dos
fundadores da mecânica estatística quântica, submeteu à aprecia -
çao de Einstein um trabalho pioneiro onde demonstrava que a lei
de radiação de P1anck poderia ser deduzida independentemente da e-
1etrodinâmica clássica. Nessa demonstração ele admitiu que o espa-
ço de fase de um quantum de luz num dado volume é subdividido em
regiões elementares de volume h3.
As partículas (fótons) com dois estados de polarização e
cujo número não é conservado obedecem a uma estatística diferente
da de Boltzmann. Einstein não só endossou o trabalho de Bose como
o generalizou para qualquer gás de bósons com potencial químico
não nulo. Essa estatística tornou-se conhecida como estatística de
Bose-Einstein e o sistema de partículas não interagentes que obed~
ce a essa estatística é chamado gás ideal de Bose-Einstein, denomi
nado daqui por diante como GIBE.
o interesse no estudo das propriedades termodinâmicas do
GIBE foi posteriormente estimulado fortemente por London(2) que u-
sou-o como modelo para explicar a transição À do 4 1'"He lqUl -
do. O fato da temperatura crítica do GIBE, calculada usando a den-
sidade e massa atômica do 4He, e a temperatura de transição do hé-
lio líquido serem da mesma ordem de grandeza, levou London a suge-
rir que as propriedades anômalas do 4He são essencialmente uma ma-
nifestação da condensação(*) de Bose-Einstein. Essa condensação é
(*) Essa condensação também é conhecida como condensação no espaço
dos momenta para enfatizar que sua causa está na simetria da
função de onda e não em qualquer interação entre as partícu
las.
-
2
a ocupação macroscópica do estado quântico particular (K=O) abai-
xo da temperatura crítica.
o tratamento da condensação de Bose-Einstein como mode-
10 para transição de fase em geral foi outra motivação para o es-
tudo do GIBE. Finalmente devemos acrescentar uma outra razão para
o interesse continuado no estudo de bósons ideais. Estes sistemas
constituem uma classe especial por exibirem transição de fase•.a
temperatura finita e terem suas propriedades termodinâmicas calcu
ladas exatamente em qualquer dimensão.
As propriedades termodinâmicas do GIBE na vizinhança de
seu ponto crítico foram estudadas em detalhes por Gunton e
Buckingham(3) que fizeram um paralelo entre a condensação do GIBE
e a transição no hélio lIquido com o modelo esférico e um ferro
magneto real, já que o GIBE e o modelo esférico pertencem à mesma
classe de universalidade. A condensação do GIBE como uma transi -
ção de fase cooperativa em dimensão arbitrária também foi estuda-
da por Lacour-Gayet e Toulouse(4) que examinaram os casos: o gas
ideal homogêneo à densidade constante (primeiramente estudado por
Gunton e Buckingham), o gás homogêneo à pressão constante e o nao
homogêneo. Neste último caso, foram estudados os efeitos criados
pela ação de campos aleatórios nas propriedades termodinâmicas do
GIBE.
Um sistema de bósons à baixa temperatura que recentemen
te tem despertado muito interesse é o gás de hidrogênio atômico
com spin do elétron polarizado (H~). Este sistema foi estabiliza-
do contra a recombinação para a forma molecular por Silvera e
Walraven(5) em 1980. Hecht(6) em 1959, foi o primeiro investiga -
dor a propor que um campo magnético poderia ser utilizado para e~
tabilizar o hidrogênio atômico e usou o teorema dos estados cor -
respondentes para discutir o seu possível comportamento superflui
do à baixa temperatura. Como consequência da fraca interação in -
-
3
teratômica e da energia de ponto zero muito grande, espera-se que
este sistema (H~) permaneça gasoso mesmo à temperatura zero abso-
luto. Espera-se também a ocorrência da condensação de Bose-Einstein
bem como da superfluidez de modo semelhante ao que acontece com
o 4He líquido. Estas são algumas das notáveis propriedades asso -
ciadas a este novo fluido quântico e que constitui provavelmente
o mais promissor sistema físico para a observação experimental da
condensação de Bose-Einstein. Hã evidências experimentais com ba-
se na série de trabalhos de Silvera e Walraven que o hidrogênio a
tômico quando colocado em condições especiais deverá apresentar as
propriedades citadas acima já previstas teoricamente.
Desde que o hidrogênio atômico com spin do elétron pola-
rizado foi inicialmente estabilizado por Silvera e walraveJ5) gra~
des esforços, por vários grupos de pesquisa no mundo inteiro, es-
tão sendo feitos para se obter densidade suficientemente alta
(- 1019 átomos/cm3) e baixa temperatura (- 50 mK) para que sejam
observadas as propriedades degeneradas
Walraven e Silvera(7) em agosto de 1983
densidade da ordem de 1018 átomos/cm3,
deste gás de bósons. Sprik,
relataram ter observado
mas ainda nao se conseguiu
obter experimentalmente a ocorrência da condensação de Bose-
Einstein.
o gas de hidrogênio atômico com spin polarizado é um sis
tema fracamente interagente e os efeitos de interação no seu com -
portamento termodinâmico pode ser desprezado em primeira aproxima-
ção, de modo que este sistema tem sido frequentemente tratado co-
mo um GIBE(8). Motivado pelo interesse crescente neste importante
sistema quântico investigaremos neste trabalho as propriedades te~
modinâmicas de um gás de bósons neutros de massa m e spin S, conti
dos num recipiente hiper-cúbico de volume V=Ld à temperatura T na~
presença de um campo magnético uniforme H=Hz. Examinaremos os ca -
sos de densidade de partícula constante e de pressão constante.
-
4
Apesar das várias simplificações do modelo comparado com
~ ~ ~a situaçao experimental, a saber- a homogeneidade de H, a nao inte
~ .•. -raçao entre as partlculas, a suposiçao de nenhuma estrutura inter-
na das particulas e acima de tudo, a hipótese do equilibrio termo-
dinâmico do sistema- o estudo do modelo é justificável desde que
seu comportamento peculiar pode ser indispensável para a melhor
compreensão qualitativa do hidrogênio atômico com spin polarizado.
o caso tridimensional do modelo acima foi estudado em detalhes por
Yamada(9) que considerou as partículas com spin 5=1.
A ocorrência da condensação de Bose-Einstein é responsá-
vel pelo notável comportamento magnético do sistema que exibe uma
magnetização espontânea e uma suscetibilidade divergente (d
-
5
são constantel foi estudado por London(2) que mostrou a existência
de uma transição de fase de primeira ordem a uma temperatura crit!
- .,. ... -ca TC dependente da pressao. Os calores especIficos a pressao cons
tante Cp e a volume constante Cv têm comportamentos completamente
diferentes. Cv permanece finito para qualquer temperatura e Cp tor
na-se infinito quando T~TC(P).
No Capítulo 11 deste trabalho apresentaremos o formalis-
mo(l2) usado para obtenção do grand potencial termodinâmico ~. A
principal vantagem desse formalismo é a separação completa da dinâ
mica do problema das consequências da estatística de Bose-Einstein
ou Fermi-Dirac no comportamento termodinâmico do sistema. Calcula-
remos também numa forma fechada as funções termodinâmicas nos ca -
sos de volume constante e de pressão constante.
Finalmente no Capítulo 111 analisaremos o comportamento
termodinâmico do sistema de bósons ideais na região de transição
calculando os expoentes críticos nos casos de volume constante e
de pressão constante. Também são analisados os comportamentos de
várias grandezas termodinâmicas nas linhas de transição.
~.
-
6
CAPíTULO II
APRESENTAÇÃO DAS FUNCÕES TERMODINÂMICAS- ;
2.1. As funções termodinâmicas a volume constante
Calculamos neste capítulo as funções termodinâmicas de
um sistema de bósons não interagentes cuja descrição foi feita noo
capítulo I. Para este cálculo usamos o formalismo grand canônico
em que o potencial termodinâmico Q é representado por uma transfoE
mada integral da função de partição Z(S,H) de uma partícula. Os de
talhes desse formalismo são apresentados no apêndice lI.
o sistema é definido pelo seguinte hamiltoniano
~=+
a-+ 8K, Z
(2.1)
onde wB = en/2mC é o magneton de Bohr, g é o fator de Landé, ai 8, Z
e aK 8 são os operadores criação e aniquilação de uma partícula, Z
com espectro E(K)=a0KO. Os casos particulares al=hC e a2=n2/2m dão
as relações de dispersão ultrarelativística e não relativística
respectivamente.
A expressão para a função de partição Z de uma partícula,
onde separamos as contribuições dos graus de liberdade de spin e de
translação, é dada por
8L:
8 =-8Z
l,-+K
-+-BE(K)e (2.2)
-1onde B =KBT, KB é a constante de Boltzmann e T a temperatura abs~
luta. A parte magnética da função de partição acima é urna progres-
são geométrica finita cujo somatório é facilmente obtida. Transfor
mando a soma sobre K na Eq. (2.2) numa integral e usando a densida-
-
7
de de estados
D(E) =
d/2 d -d/a ª - 1d L a E aTI a
(2TIh) d a (d/2) ~
(2.3)
Obtemos a seguinte expressão para a função de partição de uma par
tícula
onde
Z(S,H) = senh [(S+ J! 2JBh] A asenh(Sh/2) Sd/a'
(2.4)
dd- -d/2 d Ld
aCJ
CJr (-)h=gp H
CJ
--, . R
TI
A == ~-d (d/2) ~o (2n11) CJ (2.5)
Combinando a Eq. (2.4) com a representação integral do
grand potencial ~ apresentada no apêndice lI, encontramos a se
guinte expressão:
S 2 i
C+ioo
-1J t cotg(nt)
C-ioo~ÜS+l/2) SthJese'tdt.senh(Sth/2)
(2.6)
o cálculo da integral acima pode ser efetuado com o au-
xílio do teorema do residuo, cujos detalhes são feitos no apêndi-
ce lI, resultando em
~= -ACJ
d + 1
00
L:
n=l
1d-
n -O + 1senh [(S+1/2) SnhJ
senh (Snh/2)
Se'ne
(2.7)
onde o sinal negativo vem do fato de nosso contorno ser orientado
no sentido horário e no teorema do residuo a integral é calculada
no sentido anti-horário.
-
8
A Eq. (i..7) pode ser reescrita usando as funções de Base
Einstein (veja Eq.l do apêndice I) como
A(J~= - ª +B (J
1(2.8)
onde fizemos urna mudança de variável 8=e'+hS e adicionamos a con-
tribuição
~o
1B
2SL:
9,=0(2.9)
que vem dos estados de momentum nulo, que foi perdida quando trans
-+ .formamos a sorna sobre K na Eq. (2.2) numa lntegral.
Iniciamos o estudo do comportamento termodinâmico do sis
terna calculando o número médio de partículas. Isto nos permite de-
terminar o diagrama de fase do sistema. O número total N de partí-
culas pode ser calculado tornando-se a derivada parcial de Q com re
çao a e I
N =d e I
=2S
L:
9-=0
2S
l: Fd[s (e-9-h)]9-=0
a(2.10 )
Sendo No e N1 os números de partículas nos estados de momentum nu-+
10 e excitados (KfO) respectivamente.
Na condição de densidade de partícula constante a tempe
ratura crítica T (H,N/V) pode ser obtida da Eq. (2.10) fazendo 8=0c
na contribuição dos estados excitados
-
n = N1=
Aa
B d/ac
28l:
9,=0a
9
(2.11 )
o sistema sofrerá uma condensação a uma temperatura fi-
nita se d>a, visto que se mantemos a densidade de particu1a cons-
tante e baixamos a temperatura, Fd (a) deve crescer, atingindoa
seu valor máximo quando a=O. Como Fd(O) é função finita se d>a, ao
igualdade (Eq.(2.11)) não mais se verifica e consequentemente te-
mos uma fração das particulas do sistema no estado de momentum nu
10.
Como consequência de Fd/o(a) sermonotonicamente decres -
cente, a temperatura crítica é uma função côncava e monotonicame~
te crescente de IHI , resultando para qualquer d>cr um diagrama de
fase semelhante ao obtido primeiramente por Yamada(9) para o caso
especial d=3, cr=2 e 5=1
g~eH 5r
AI
Ke Te 1:L3T i
Rc1
!RNt2f-
!
I
I~ç/ ,iL2T 9o o LIT 2T3 -3-I f- " Tco99 Te T/TI e-2f- ~.j' \ .I-3f- RC+\1RN~-41- -5L B,I
Fig.l- Linhas de transição LIT, L2T e L3T no plano cam-
po magnético contra temperatura. RC e RN repre -
sentam as regiões de condensação e normal com os
spins para cima (t) ou para baixo (~), respectiv~
mente.
-
10
As temperaturas críticas T (O) e T (00) são obtidas quando fazemosc c
H=O e H=oo respectivamente na Eq. (7..11) e estão relacionadas ?or
T (00) = (2Stl)o/d T (O)c c (2.12)
As outras quantidades de interesse tais como magnetiza-
çao M, suscetibilidade X e energia interna U são também obtidas
diretamente do potencial termodinâmico Q por derivadas parciais:
M = Nm = d Q )aH T,V,e'
(2.13)
onde tomamos no termo n (Eq.2.9) só a contribuição de ~=O, poiso+
na fase condensada apenas o estado fundamental (K=O, ~=O) contri-
bui para a magnetização. A suscetibilidade X é obtida da Eq. (2.13)
3MX= -) 3H
T,V,N
A
28cr [j3(8-~h)J
3e= -g]J d
L:~ Fd (- - ~g]J )B
,- - 1
~=O - - 1 3H B
S a
a
(2.14)28
ondeL:9, Fd[s (e-9,h)]
38
9,=0- - 1ag]JB
(2.15 )
3H
28
L: Fd
[s (e-~h)J9,=0 - - 1
a
e determinado anulando a derivada de Nl com relação ao campo mag-
-
11
nético H.
Para a energia interna obtemos a seguinte expressao:
u = Nu =Q + N8' - T ~ )
aT
V,H,O'
d
A28
o- - L: Fd [s(8-2h)]o- dp a + 1 9,=0 - + 1f50
2s
L: 2 Fd [s (8- 2h)] }2=0
o-
(2.16)
A expressao para o calor específico é obtida tornando a
derivada de U com relação à temperatura T
c = ~ ) ,H aT V,H,8
(2.17)
8e a temperatura está acima da temperatura crítica T ,c
o calor específico c~ (T>Tc) é dado por
c+ = d(d+o)H 2
o
28
l: Fd [J3 (S-9-h)] + Nd 3 (136)9-=0 - + 1o 013 3T
A282d
oL: 9- Fd[J3(S-9-h)]
+ - d hKBo - - 19-=0 -
B oo
A
28
9-[3(SS)- 9- a (Sh) JFd [s (S-9-h)],o L:+h~ ,o9-=0
aT aT - - 113 ' o
(2.18)28
Aonde Nd (_0_) -1 +Sh L: 9- Fd [13(S-9-h)]T a (Ss)
o Sd/o 9-=0 a-I- 28aT L:Fd [s(S-9-h)] (2.19)9-=0- - 1
o
-
12
obtido anulando a derivada de Nl com relação à temperatura T.
Se a temperatura estã abaixo de Tc' o calor especifico
C~(T~Tc) é determinado fazendo primeiro 6=0 na Eq. (2.16) e em se
guida efetuando a derivada com relação à temperatura:
_ A (C = K _0'_ [d d+a)H B sd/a 02
2S
L: Fd (-S2h)9,=0 - + 1
a
+ 2d ShO"
2S
L: 2 Fd (-S2h)2=0 -
(J
28 L: 51,2Fd (-iHh)](2.20)9,=0 - - I
O"
Foi mostrado inicialmente por P.Landsberg e J.Dunning-
Davies(13) que existe uma descontinuidade no calor específico à
temperatura crítica T no GIBE. No caso do sistema investigadoc
neste trabalho aparecerá uma descontinuidade ~d finita na temper~
tura critica se a dimensionalidade do sistema for maior que 20 .
Sua expressão é obtida combinando as Eqs. (2.18) e (2.20)
Aa
[Nd + h d/a- S Sca c
2S
l: 51, Fd (-ScQ,h)]51,=0 - - 1
a
3 (S8) )3T T=T c
(2.21)
2.2. As funções termodinâmicas ã pressao constante
Nosso ponto de partida para o cálculo das funções termo
dinâmicas à pressão constante é novamente o potencial ~ , tendo a~d
tes o cuidado de deixar explicitamente a dependência do volume V=L
que aparece na expressão (2.5) A = AI V.a a
-
13
A pressão é dada por
arGp = - -)
av T,81,H
AIo
d --60"+1
28
L Fd [s(S-Zh)]9,=0 - + 1
a
(2.22)
~ - -onde as partlculas no condensado nao contribuem para a pressao
porque ~ não depende explicitamente do volume.o
Observamos na Eq. (2.22) que mantendo a pressão constan-
te haverá urna condensação para qualquer dimensão maior que zero
(d>O) pelos mesmos argumentos apresentados para o caso de densida
de de partícula constante na seção (2.1).
A densidade de partícula "n" e a energia interna por
partícula "u" são determinadas das Eqs. (2.10) e (2.16) resultando
nas expressões abaixo
AI28n=_o_ L Fd
[s(e-9-h)] (2.23)Sd/o
9-=0 -oe d
AII
28o L Fd [B(e-9-h)]
u = - Q + I
-o n9-=0 - + I
B oo
(2.24)
o
28
L ~Fd[s(e-~h)]}9-=0
IAIo- 8h{1 - --alo nss
o calor específico à pressão constante é obtido derivan
do a entalpia com relação à temperatura. Para isto usaremos a se-
guinte expressão para a entalpia por partícula" "
E
I hE= U + P - - -- m • (2.25)
n
-
14
Usando as equações
p
N n
para o potencial termodinâmico e
(2.26)
m = ow )3H P
P 3n=---)n2 aH P
(2.27)
para a magnetização por particula à pressão constante, podemos re
escrever E: como
d+oE:=
a
AI Ia _P 8h{1 - d/a n- 8Sn
28
L. 2 Fd[s(e-2h)]}2=0
a
+ h p2"nan )aH P
(2.28)
Finalmente para o calor especifico a pressao constante obtemos
Cp = aE )aT p
d+o
P an d hKBAI28= --
a
2" - )p + -- l: 2 Fd[s(e-2hnan aT a n d- - I ~=o - -B a a
+ ~
AI28a~ ~ Fd [s(e-~h)] [a(Se)
Sd/o
) _~ a(Sh) ]
n~-o a - 1 aTp aT
hAI28
a L:~ FdÚ3(O-~h)J ~)-2 Sd/on ~=o - aT pa+ ~ P
[_ ~ an~ + 12 -ª- (~) ] (2.29)g~B
n3 aTaH n aT aH p
-
com
15
AI 28
P d+o ( o ) -1 + Bh L Q, Fd [B ( 8- Q,h) ]o K ~ + 1 2=0-
. (í 0 _= - ----
(2.30 )
determinado da Eq. (2.22) tomando a derivada com relação à temper~
~ d . d 3n) 3n)tura. Por outro lado, os calculas das erlva as 3T p e 3H p
obtidos da Eq. (2.23) cujos resultados expressamos abaixo:
-sao
an )aT P
= d
CJ
AIO"
1
28
L: Fd[B(e-,Q,h)] +9,=0
CJ
e
28
L Fd9,=0 0-
[s(S-9,h)] [a(SS) ) -9, a(Sh.LJ1 aT P aT
(2.31)
3n )3H P
(2 .32 )
- as -
A expressao para 3H )p tambem pode ser determinada da
Eq. (7..22) que resulta em
28 IS (S-9,h)]
(2.33)
l, 9, Fd~
-9,=0_~_3 S ) = gWB2SF [S (S-9,h)]
pLd
3H
9,=0
-CJ
A suscetibilidade magnética à pressão constante é obti-
da da Eq. (2.27) tornando sua derivada com relação ao campo magnét~
co3m
x= -3H l?
2= p [~n
3n
3H
3n
3H
12n
(2.34)
-
16
CAPITULO rrr
OS EXPOENTES CRíTICOS
3.1. Cálculo dos expoentes críticos a volume constante
O estudo de um sistema físico na vizinhança de seu pon-
to crítico é um dos problemas fundamentais na teoria de transição
de fase e um dos mais interessantes na mecânica estatística do e-
quilíbrio.
As funções termodinâmicas de um sistema físico (em ge -
ral não conhecemos sua forma funcional completa) apresentam sing~
laridades na região de transição que podem ser descritas por um
conjunto de índices chamados de expoentes de ponto crítico. Estes
expoentes são universais no sentido de serem independentes das
características específicas dos sistemas em questão, dependendo a
penas da dimensionalidade e das propriedades de simetria.
Antes de calcularmos os expoentes críticos que descre -
vem o comportamento das funções termodinâmicas do capítulo ante -
rior, apresentaremos suas definições.
Associados ao calor específico temos os expoentes críti
cos a e aI
2
C = - T .~H d T2
-a
C -
E E >0,H=O
H-a I( - i:~) c-..:O,H=O (3.1)
(3.2)
T-T
onde F é a energia livre, E = ~~ é a variável de temperatura r~cduzida e a notação X - Y significa que X/Y tende a um limite nao
nulo. Sabemos que há dificuldades nas leis de escala para o GIBE
quando a dimensionalidade do sistema é maior que 4 . Dada a sua im
-
17
portância, esse problema será discutido posteriormente em maiores
detalhes.
A magnetização espontânea é uma função da temperatura e
e definida por
M (T) = lim M(H,T) , onde M é obtido de M =oaF
ClH
(3.3)
o comportamento crítico da magnetização espontânea é ca
racterizado pelo expoente S definido como
MO(T) _ (_c)S sO, H=O
c
-
18
onde "n" é um expoente crítico e "d" é a dimensionalidade do sis
tema. No espaço de momentum a função de correlação se comporta da
seguinte maneira:
E =0, K-+O (3.9)
o comprimento de correlação é uma função do campo magn~
tico e da temperatura. Seu comportamento em torno da temperatura
crítica é descrito pelos expoentes v e Vi
-v E>O, H=O
~(O,T) - (_E)-v' E
-
no
= l_td/a .
19
(3.12)
Comparando esta equação com a expressão para m , verificamos queo
a magnetização espontânea é causada somente pelas partículas no
condensado. Esta relação importante permite considerar mo como um
indicador magnético da transição. Por outro lado sabendo que
ljJ o_ N 1/2
o como foi mostrado no apêndice IV, poderíamos em pri~
cipio usar a magnetização espontânea como um parâmetro de ordem
da condensação de Bose-Einstein. Acontece que a condensação de
Bose-Einstein ocorre mesmo quando o campo magnético é diferente
de zero e neste caso a magnetização é uma função bem comportada na
linha crítica T=T (H). Portanto podemos considerar m como um pa-c o
râmetro de ordem apenas no caso particular em que o campo é nulo.
o comportamento singular da magnetização como função do
campo externo quando T=Tc e H~O é descrito pelo expoente 8M defi-
nido pela Eq. (3.7). Para calcular 8M fazemos T=Tc na Eq. (2.13), ~
samos a expansão das funções de Bose-Einstein (FBE) dada pela Eq.
(6) do apêndice I e mantemos somente os termos dominantes nessa
expansão. Encontramos os seguintes valores para 8M
aa
-
20
Com a definição do expoente crítico 0M podemos reescrever a ex -
pressão (3.14) como
mm
-1Q,n m
(3.15)
donde 0M=lL onde L indica divergências logarítmicas(*).
Para dar prosseguimento ao cálculo dos expoentes críti-
cos vamos obter primeiramente o potencial químico como função da
temperatura na vizinhança da temperatura crítica Te. Para isto
procedemos da seguinte maneira: fazemos a expansão das FBE na e -
quação do número de partículas dos estados excitados e mantemos
nessas expansoes apenas os termos cujas contribuições são dominan
teso Verificamos que se tem o seguinte comportamento
ad-a
E a
-
21
Quando d=2o encontramos novamente urna divergência loga-
rítmica yM=OL' Isto pode ser verificado fazendo h=O nas Eqs. ( 2.14)
e (7..15) e na equação que dá o número de partículas nos estados
excitados.
Vamos agora discutir o comportamento crítico do calor
específico para o GIBE. Algumas dificuldades nas leis de escala fo
ram observadas quando a dimensionalidade "d" do sistema é maior
que 4. Várias tentativas foram feitas para resolverem este probl~
ma e uma das quais (com sucesso) explicaremos a seguir:
Hall (14), através da hipótese de homogeneidade da ener-
gia livre na região de transição, mostrou que o comportamento do
calor especifico (do GIBE com spin 5=0 e relação de dispersão
E_k2) em torno do ponto critico é descrito por dois eXDoentes
e a , que estão associados às contribuições de dois termos compe-stitivos na energia livre.
o expoente critico ah (h lembra homogeneidade) é defini
do por
(H, [) --ah[
+[+0 , H=O (3.18)
onde F é a parte singular da energia livre. Lembramos neste con-stexto que urna função é singular quando urna das derivadas com rela
çao a temperatura ou ao campo (ou a ambos) divergem.
Examinando as Eqs. (2.18) e (2.20) podemos verificar que+
o calor especifico permanece finito quando E+O- e exibe urna des -
continuidade finita se d>20. Isto sugere a definição de um outro
expoente crítico a (que dá a singularidade dominante na equaçãosdo calor especifico) que é determinado calculando a derivada do
calor especifico de mais baixa ordem que diverge
_ [-(a +m)s (3.19)
-
22
Foi verificado por Hall (14) que a dimensionalidade do
sistema é um parâmetro que seleciona entre dois termos na energia
livre qual a contribuição dominante na vizinhança do ponto críti-
co. A energia livre obtida tem o seguinte comportamento perto da
temneratura criticaL
F-Fns (3.20)
onde Fns é a parte não singular da energia livre, fl e f2 são fun
ções finitas no infinito.
Verificou-se que o expoente crítico a está sempre assos -
ciado ao segundo termo t4v f2(t) da energia livre independente da
dimensão do sistema, enquanto ah está associado ao mesmo termo
que a somente se d
-
23
d-2 O"O"2 o- , o
No apêndice IV também apresentaremos as relações entre os expoen-
tes críticos calculados neste trabalho e os obtidos por G.B ..
A representação no espaço de momentum da função de cor-
relação gK S pode ser obtida observando que o termo (Zeeman) que, z
quebra a simetria no hamiltoniano na Eq.(2.l) é proporcional ao ~
perador número de partícula e que a flutuação no número de partí-
culas é dada por
< (n~K S, z
2- =
K,S z(l+ denota média térmica. Reescrevendo a equação acima obte-
mos que
onde
2
K,S z
K,S z
(1+2K,S K,Sz z
1i-I-l
(3.25)
(3.26)
e a função distribuição de Bose-Einstein.
-
24
Usando as Eqs. (3.25) e (3.26) para T=T , S=S e IKI~o obc z -
ternos que gK S se comporta corno,
2=
K,S(3.27)
o expoente critico nM pode agora ser determinado com o
auxílio da definição da função de correlação. Portanto
(3.28)
A expressão para o comprimento de correlação é obtida fa
zendo a transformada de Fourier do espaço de coordenadas da Eq.
(3.25) como foi feito por G.B. ou de uma forma mais direta pela a-
nálise dimensional da Eq. (3.26)
E,= (- f3 8 ) -1/ a . (3.29)
o comportamento crítico do comprimento de correlação p~
de ser determinado combinando o comportamento do potencial quími-
co na vizinhança da temperatura crítica com a Eq. (3.29). Usando a
definição do expoente crítico vM' determinamos o seguinte resulta
do
1d-a
1a
, a
-
25
TABELA I - Expoentes críticos no caso de volume constan
te.
exp.crít.
h S
dim.
C\M
C\M8MYM °MT)MvM
o
-
26
d/d'54
, VOLUMECONSTANTE
2
PRESSÃOCONSTANTE
~
Fig.2. Temperatura critica como função da dimensionali-
dade (esquemática) para a condensação do GIBE
nos casos de pressão constante e de volume cons-
tante. A escala de temperatura é arbitrária.
+ 1p =
AIod
fi a
(2 S+ 1) F d ( B8)+ 1o
(3.31)
Combinando a equação acima com a equação para a temper~
tura crítica, que é obtida da Eq. (3.31) quando 8=0, resulta na se
guinte expressão:
T -ª
Fd
_ + 1(88)1 = (-) 0 + 1
0
TFdc
(O) (3.32)
O" + 1
o comportamento de S8 na vizinhança da temperatura crí-
tica é obtido da Eq.(3.32) usando a expansão dada pela Eq. (6) do
apêndice I.
-
27
o
ddo.
Sabendo que o calor específico à pressão constante é da
do por
328C = -TN -
P aT2
Obtemos então para o seu comportamento critico
(3.34)
cp
o
0-2dd do,(3.35)
Com a definição do expoente critico a feita na seção (3.1) tere-
mos para o expoente critico uh os seguintes valores:
odo,
Os expoentes críticos ~ e v são calculados da função de
correlação gK,S (para K e e pequenos) como no caso de volume cons
tante
~= 2-20 (3.37)
Usando a expressao para o comprimento de correlação dis
cutido anteriormente
-
~ = (_S8)-1/0
28
(3.38)
e o comportamento de se dado por (3.33) teremos para o comprimen-
to de correlação
1d , do[
Consequente~ente o expoente crítico v é dado por
1do
- ,o
Um resumo desses expoentes críticos é feito na tabela
11.
TABELA 11 - Expoentes críticos no caso de pressao cons
tante.
exp.crít. C(
nvdim.
----do
O2-01
o
-
29
3.3. Comportamentos de várias funções termodinâmicas nas linhas
Examinamos nesta seção como se comportam várias funções
termodinâmicas nas linhas de transição LlT e L3T. Os comportamen-
tos de algumas funções termodinâmicas nas linhas de transição são
de interesse puramente teórico, enquanto outras como o da magneti
zação, da suscetibilidade, da derivada do calor especIfico em re-
lação ao campo magnético, por exemplo, podem servir para interpr~
tação de dados experimentais.
Para maior conveniência de leitura desta seçao repetir~
mos o diagrama de fase, Fig.l do capítulo lI, corno também as gra~
dezas termodinâmicas que estamos interessados para nossas análi -
ses.
gPBHq
AIKSTC 4
L3T i3
Rcf!RNt21-
I
II~ ~.
oLIT ~ !L2T ~O . !J -3-I,~.~: ." ." TIl,I ~T I c-2
-3,
Rct\ !RNt
-4 -5
Fig.l- Linhas de transição LIT ,L2T e L3T no plano cam-po magnético contra temperatura.
o diagrama de fase acima está dividido em quatro regiões
-
30
distintas: As regiões de condensação (RC) com os spins apontando
no sentido do campo (t) ou no sentido contrário (t) são caracte-
rizadas por n ta eo 8=0. As outras regiões onde n =0 eo
-sao
chamadas regioes normais (RN).N
Como vimos anteriormente, a soma das frações n = ~ eN o N
nl = ~ define o número total de partículas (veja Eq. (2.10))N
onde
(3.41)
e
no
28= L:
Q,=o
r-S(6-Q,h) J-lLe - 1 (3.42)
28
L: F d [s (6-Q,h)] •Q,=o
o
(3.43)
A fração de partículas no condensado no e o potencial
químico 6 são nulos nas linhas de transição L1T e L3T. A linha de
transição L3T ~ definida pela equação da temperatura crítica com~
função do campo magn~tico
A o
NSd70
28
L: Fd (-SQ,h) = 1Q,=O
o
(3.44)
Combinando as Eqs. (3.41) e (3.43) teremos para n naso
regiões de condensação
noAo
= 1 - ----ci/oNS
8=0 . (3.45)
Nas regioes normais obtemos que
-
n = Oo
eA
o
NSd70
2S
L: Fd [s(6-9.h)] = l.9.=0
o
31
(3.46)
Analisando o comportamento da Eq. (3.46) constatamos sua
continuidade através das linhas de transição L1T e L3T corno mos -
trado a seguir. Na linha de transição 11T
lim n = lim no o
+H-+O H-+O
Na linha de transição L3T
A
= 1 - .•~ (2 S+ 1) Fd (O) •
o
(3.47)
lim n = lim n = Oo o (3.48)
T-+T+C
T-+Tc
Por conveniência tomaremos os limites das funções term~
dinâmicas na linha de transição L3T apenas na variável de temper~
tura T. Dando prosseguimento ao cálculo dos limites verificamos3n
que T ~ é contínua na linha LIT3T
lim 'l'3n o
ClT= lim T
H-+O
3n o
3T
d Aocr d/o (28+1) F (O)NB ' do (3.49)
e descontínua na linha L3T
28
Cln
I9,F'd (- B
lim T ~ -
dc9,h)
- -
- -S h9,=00-1ClT
oc
T-+T
28
c
IFd(-s 9,h)
9,=0
-co
(3.50)
lim T
+T-+Tc
3n o
ClT= O visto que n = O para T?T .o c
......--- __ ~. _. _. ""...,.....•••~~,~ .•7"'"~ •..".,~,~"""•• ~- ~-.. ,..,.~-c_~.,."~-,-.-,,..,.,..-,__,-_-..-~
BIBLIOTECA N) INSTITUTO DE FlslCA E OL;!MICA DE sAO (ARLOS· y::'i'
F1SICA
-
A função T
3no
3Hé descontinua tanto na linha L1T como
32
em L3T. Vejamos como são essas descontinuidades
Em LIT
3n A8(28+1) (0)-+ +00
a
Fd
o _
NSd/a
lim T - -
KB
- - 1élHa+ H-+O
se d::;20
ean
A(3.51)
lim T ~ = -
a8 (28+1)
aH
NSd/a Fd (0)-+-00
-
KB 0 - 1
H-+O
Em L3T28
an
I 9,Fd (-Sc9,h)
gjJB
- - 1lim T ~ =
9,=0 (J
aHKB
28- L Fd(-S 9,h)T-+T cc9,=0 -
ae(3.52)
dn
lim T ~ = O onde n =0 para T~TaH O· c+T+T c
o potencial químico 8 pode ser obtido da Eq. (3.46) ex -
pandindo as FBE. Podemos verificar sua continuidade nas linhas de
transição L1T observando que 8=0 nas regiões de condensação ou se
1, T de l' T de1m - = 1m O . (3.53)
H-TO +
aH
H+OaH
-
de -
Fazendo a derivada de ãH com relaçao ao campo e de2
- , d 2 d erelaçao a temperatura, po emos mostrar que T ---2
aR
são contínuas na linha LIT e descontínuas em L3T.
Corno a magnetização é função ímpar da variável campo
e
34
magnético m(H,T)=-m(-H,T), podemos reescrever a Eq. (2.13) para
que seja válida para campo magnético menor que zero,
AO"
m = -g~ S{l - d/oB NSB
2S
L: Q, F d [J3 (8+Q,h)] }.Q,=Q
o
(3.57)
Verificamos que a magnetização é descontínua na linha LIT e contí
nua na linha L3T conforme mostram as expressões abaixo
Em LIT
lim m
e
a
(3.58)
lim m
H-rO
onde d>2a.
A
= -g~ 8[1 - a (28+1) F (0)1B NSd/a -ª -J
a
lim m
+T->-T c
lim m
T->-T c
Aa8n - -d -/agp L- Q
B 8Nf-'c
28
L: Fd(-B 9,h)J.9,=0 c
a
(3.59)
Analisamos em seguida os comportamentos das derivadas
da magnetização com relação ao campo magnético. As expressões pa-
3m - 'dra T 3H sao obtl as como:
-
(gtl )2
A
2836
B
a28 l~ 9, F
NK
Sd/aL ~ F d (- S ih)
B
i=O d (- e ih) i=O - - 1 c
__ 1 c aa 2SL: F9,=0 d (-S 9,h)__ 1 ca
(3.63)
o comportamento da função T am nas linhas de transiçãoaT
e analisado a seguir:
Se H>O
ondeA
B1=g]JB
~ Kd/(} d
N B 0A
B2=g]JB
~ Kd/(}
N B
(3.64)
(3.65)
A 2Se ~d ( d/(})-l + Sh L Q, Fd [s(8-Q,h)]T 3 (S8) = _ S Q,=O n - 13T
2SL
Fd [s(8-Q,h)] (3.66)Q,=O
- - 1()
Se H
-
37
(3.67)
é obtido da Eq.( 2.19) trocando H por -H. Fazendo osd T 3(S8)on e --aT
limites das Eqs. (3.64) e (3.67) obtemos que na linha L1T
l' T 3m = -B Td/aS(2S+1)F (O)+B Td/oSNd Ao·-llm -- 3T
1 d 2 - (--)
+o o ed/o
H-+O(3.68)
A
lim T 3m = B Td/oS(2S+1)F (O)-B Td/oSNd (___0_)-1-
óT 1 ~ 2 --0-- Sd/a
H-+O
()
am ~ - d'" 1 d' ~T -- e funçao escont1nua. Por outro a o na 11nha L3T ela e con
aT
tinua corno mostramos a seguir:
l' T 3m l' T 3m1m -- = 1m
T-+T+
3TaT-T-+Tc c
2S= -B Td/o I t F (-8 th)1 c t=O ~ C°2S- B2 Td/o I t Fd (-6 th)T 3(68) )T=T
c t=O __ 1 c c ° 3Tc
25
- B Td/o I t2 F (-6 th) 6 h(3.69)
2 c t=O ª - 1c c
°
223m - d ' d
As expressoes para T ---2 sao eterm1nadas as Eqs.3T
(3.64) e (3.67).
-
38
Se H>O temos que
2 a2m d-o d/o 2S
T -2 = - (-0-) Bl T L: ~Fd [6(8-,~h)J3T ~=o -a
d
28- B Ta + 1 I. 9Fd
[s(8-~h)J (8 ~ _ ~ + Sth ) -1
9-=0 - - 1aTT T
ad
28
ª B T a + 1L: R,Fd[s (8-9-h)] (S ~ - ~)
CJ 22=0
- - 1aTóT
CJ
28~ - ~ + S2h) (B ~ +~) +- B Td/0 L: 9-Fd [s(8-th)] (6
2 - - 2
3TT T3TT~=o 0
dI 2S 2
~)+ B2 T a Z 9.Fd Cf3 ( 8-~h)] (B 3 2°- ~ ~ + ~ + ~ ~=O - - 1 3T T 3T T2 TaTa
d 1 ~ - 32S
h{(- - 2)B -- T aZ ~2 Fd [B(e-~h)J +
a 2 K~=O - - 1B
a
d2S
3 (S~h)+ B T a - 2 ~ Z ~2 F [s(e-2h)l (}(S6) _)}2 Kd -
~=O - - 2 3TaTB
a
(3.70)
Mas, H
-
39
Examinaremos em seguida o comportamento da função
Se H>O
2 02 2S 2 ae 2T ~ = O l: Q, Fd [s(e-Q,h)](S - -Sg].1BQ,)T3H2 1
Q,=Q - - 2 aHa
2S G 1 a e a e 2
- D
l: Q, F S(8-Q,h) (S - -Sg].1 Q,)- T -2 9"=0 ª - 2 - aR B aR
a
2S
- DL: 9,Fd [s (8- 9,h)] ()2 8 T2
29,=0 - - I 2a aR
2 (gt1B)A
DI::
0
NKB
Sd/0
gt1B
AD ::-0
2 NK Sd/0B
( 3. 72)
(3.73)
Se H
-
40
2S 3 F (O)
1: 9, d _ 29,=0 0
H-+O
Portanto a função é descontinua se d>3a e descontinua
esta função é descontinua visto que ose d~3a. Na2
3 9 b~ ~ d ~ l' h---2 tam em e escontlnuo nesta ln a.3H
O calor especifico dado pela Eq. (2.20) é função conti -
(+ 00)
termo
nua na linha de transição L1T onde
(2 S+ 1) Fd ( O) •+ 1lim CH = lim CH+H-+O H-+O
O"
(3.76)
Examinando as Eqs. (2.18), (2.19) e (7..20)veremos que o calor es-
pecifico na linha L3T é função descontinua.aeA grandeza termodinâmica T aTH é continua na linha LIT
e descontinua na linha L3T. Isto pode ser verificado das Eqs.
(2.18) ou (2.20).ae
- H ~ ~Finalmente a funçao T --- e descontlnua em ambas as li
3H
nhas de transição.
Apresentaremos a seguir um resumo dos comportamentos das
funções termodinâmicas discutidos nesta seção.
-
TABELA rrr - Comportamentos de várias grandezas termo-
dinâmicas nas linhas de transição L1T e
L3T. C e D significam contínua e descontí
nua respectivamente.
41
GrandezasLinhas de transiçãol
GrandezasLinhas de transição
Te:nrodinâmicas
Te:nrodinâmicasL1T L} L1TL3T
n I
C CmID CoI
I jT an jaT
COT óm/óT DCo I
,
ID ± 00 I D ± 00iTéln /ClH IH = D±In IT Clm/óH
H = D±CI
od :S 20I
d < 20
I
_ .._---I
D ( d > ,')-D + 00(3
CICT2(l2m/ClT2
IH = D± D
I
d ~ 0
\
D ( d>3r;)I
D+ooT 3:-,/3T
I222 H = O±C
I
C T 3 m/3H D
cl
-
42
CAPíTULO IV
CONCLUSÕES
Estudamos neste trabalho um sistema de bósons não inter
agentes, num espaço de dimensão arbitrária, com spin S qualquer,
submetidos a um campo magnético uniforme. As funções termodinâmi-
cas foram obtidas numa forma fechada para os casos de densidade de
~ -;partlculas constante e de pressao constante atraves de um procedi-
mento matemático simples. Usamos uma formulação em que o grand po
tencial termodinâmico $t é escrito corno urna transformada integral
da função de partição de urna partícula Z(S,H).
Exploramos de urnamaneira detalhada as consequencias ter
modinâmicas da presença do termo Zeeman no hamiltoniano usada pa-
ra definir o GIBE magnetizado. Vimos que este sistema a volume
constante sofre condensação de Bose-Einstein se d>o e tem urna ma~
netização espontânea que é causada pelas partículas no condensa -
do. Esse fenômeno foi chamado por Yarnada(9) de ferromagnetismo de
Bose-Einstein. Vimos também que a magnetização espontânea m e oo
troduzido por G.B)
momento de Bose ~o
o termo
no, usada por G.B
(que é um parâmetro de ordem da condensação in
- 1/2estao relacionados por ~ - m .o o
(v a +v*a+) que quebra a simetria do hamiltonia-o o o o
corno por Lacour-Gayet e Toulouse(4) , representa
fonte e sumidouro de bósons. Corno consequência os expoentes críti
cos que eles calcularam não podem ser medidos diretamente em labo
ratório, visto que o parâmetro de ordem de condensação ~o* + -; ;
(~ - ou ~ -
-
43
trada no estudo das propriedades do 4He e supercondutores na re -
gião de transição.
Os expoentes críticos do GIBE magnetizado, que em prin-
cípio podem ser medidos diretamente, estão relacionados com aque-
les obtidos por G.B para o GIBE sem spin. A razão para que esses
dois conjuntos de expoentes críticos sejam relacionados é que a
harniltoniana (Eq.2.l) com H=O é invariante pelas transformações
de gauge (eiN8) e SZ~- Sz. No ponto crítico arnbas as simetrias são
simultaneamente quebradas conduzindo a proporcionalidade entre a
. -... ....•.magnetlzaçao espontanea e as partlculas no condensado.
Podemos verificar da tabela I que os expoentes críticos
obedecem às leis de escala de Rushbrooke (ah+2S+y=2), Widom (0=1+
+y/S) e Josephson (dv=2-aS). A lei de escala de Fisher y=(2-n)v e
violada no GIBE para qualquer dimensão. Como foi chamada a aten -
ção por Lacour-Gayet e Toulouse(4), a definição do parâmetro de
ordem desempenha um papel decisivo não somente na determinação da
natureza da transição de fase e expoentes criticos, mas também na
violação das leis de escala. A violação das leis de escala de
Josephson e Fisher também ocorre no GIBE sem spin na condição de
pressão constante ou sob a influência de campos aleatórios
(Lacour-Gayet e Toulouse).
o gás de hidrogênio atômico com as interações Zeeman e
hiperfina foi estudado por Mullin(8) que usou o seguinte hamilto-
niano para cada átomo de hidrogênio
-7- -r __ o _ ..-onde w e w sao os momentos magnetlcos do eletron e do proton, ae pé a constante de interação hiperfina, S e I são os spins do elé -
tron e do próton respectivamente. Levando-se em consideração a i~
teração hiperfina dos bósons, teremos a função de partição de uma
particula fatorada nas contribuições dos graus de liberdade de
-
44
spin e de translação. Como visto no Capítulo 11, a parte de spin
- - - ~na Eq. (2.2) pao tem influencia na determinaçao dos expoentes crl-
ticos apresentados na tabela r, de forma que a inclusão da intera
ção hiperfina não afeta o comportamento do GIBE magnetizado na re
gião de transição.
Além do comportamento na vizinhança da temperatura crí-
tica, analisamos os comportamentos das funções termodinâmicas nas
linhas de transição L1T e L3T (veja Fig.l) quando o volume é man-
tido constante. Uma motivação para o estudo do GrBE na condição
de pressão constante é que recentemente foi desenvolvido por Sprik,
VJalravene Silvera (7) um novo tipo de "cela" de estabilização que
permite estudar amostras do gás de hidrogênio atômico polarizado
de altas densidades e por periodos da ordem de minutos, quando a
pressao e a temperatura são mantidos constantes. Por este motivo
pretendemos fazer urna análise detalhada do comportamento das fun-
ções termodinâmicas nas linhas de transição quando mantemos a
pressão constante, semelhante ao caso de volume constante feito
na seção 3.3.
Dando continuidade ao estudo do GIBE, um outro problema
interessante é estudar a influência de desordens na transição cau
sadas pela ação de campos aleatórios nos casos de volume constan-
te e de pressão constante.
-
45
APt:NDICE I
AS FUNÇÕES DE BOSE-EINSTEIN
Neste apêndice fazemos uma apresentação suscinta das fun -
ções de Bose-Einstein (FBE) e de algumas de suas propriedades u-
sadas com frequência nos capitulos 11 e 111. Estas funções são de
f' 'd (2)lnl as por
F (a) =a
1f(a)
CXJ
J
o
a-I dY y
y+a_ 1e
00
= 2:n=l
-o -ann e (1.1)
onde r(o) 00 -y 0-1= J e y dyo
(1.2)
e a função gama.
As FBE são funções monótonas decrescentes em a convergin-
do na origem se 0>1 e divergindo se 01 (1.5)
onde r,( o) é a função Z eta de Riemann.
-
o comportamento das FBE em torno de a=O
Ias seguintes expressões primeiramente obtidas
é determinado pe-
. (16)por Roblnson :
46
0-1F (a) =r(l-o)a +o
00
I:
n=O(-lX)n (,~::-n)
n'(1.6)
se o é positivo e não inteiro
e0-1
= l-a) (1 + l + 1(0-1)~ 2 3
00
+ ~ (_a)n 1(o-n)n=O In.
10-1
+ .•. +1
0-1- 9.n a)
(1.7)
se a e um inteiro maior ou igual a 2.
-
47
AP~NDICE 11
o LOGAR1TMO DA FUNÇÃO DE GRAND PARTIÇÃO H
Mostramos aqui o uso da transformada de Mellin para re-
presentar a função logarítmo(12) e corno determinar toda termodinâ
mica do sistema através do comportamento analítico do integrando
da integral de contorno que define o logarítmo da função de grand
partição. Esta formulação é extremamente interessante, poderosa e
simples, sendo aplicável tanto a sistemas de bósons corno de fér -
mions.
A transformada de Mellin G(t) da função g(x) e sua res-
pectiva transformada inversa são definidas pelas integrais
00t-lG (t) = f g(x)x dx
o1
o+ioo
g(x)
- --fG(t)x-t dt::'ni
o-ioo
usando a Eq. (II.l) com
0>0 , x>Oo
(I1.1)
(I1.2)
g(x)
Podemos obter(17)
~n!1 + xl ou g(x) ~n11 - xl (II.3)
G (t)
onde -l
-
onde E torna os valores +1 para b6sons e -1 nara f~rmions. Combi -
nando as Eqs. (11.2.), (11.3), (11.4) e (11.5), encontramos a se
guinte expressão para Y,n;~
2i
c+iw- 1 Y B 8t - S tE .~ f t (cosnt) cosec(nt)e e J dt
J c-iw
(11.6)
O
-
49
do e o auxílio do teorema do resíduo. Este contorno, ilustrado na
figura abaixo,
e: t=n
I: t=-n
ImtI
8
c oRet
Fig.3. Contorno para o cálculo da Eq. (11.7).
consiste de um segmento de reta de comprimento 2R distante C da
origem, paralelo ao eixo imaginário, sendo fechado à direita por
um semi-círculo de raio R. Escolhemos este raio de forma que o
contorno não passe por nenhum dos polos simples do integrando que
estão localizados nos pontos t=n, n=1,2,3, ... devido ao fator
cotg(nt) na Eq. (11.7). A integral original é recuperada no limite
de R+oo, impondo a condição 8
-
S 2i
50
cos (nt) 1 senh D S+ 1/2) Sth] e se' t dtd/0
sen(nt) (Bt) senhCBth/2)(11.8)
Identificando ~(t)=sen(TIt),~(t) com a parte restante do inte
grando e aplicando o teorema do resíduo obtemos para o GIBE mag-
netizado a seguinte expressão para D
CXJ
A0L:
D= -
~ + 1n=lO B 1~ + 1o
n
senh [(S+1/2) Bnh]
senh (Snh/2 )
(11.9)
Mostraremos a seguir como algumas funções termodinâmi
cas sao obtidas diretamente do potencial ~ . Sabemos que ~ e a
função de grand partição ~ estão relacionados pela equação
~(V,T,8,H)-1
= - B 9,n ~ (V, T, 8, H) (11.10)
que contém toda informação termodinâmica do sistema. Usando a re-
lação de Euler
u = TS-PV+8N+HM (11.11)
para definir ~ como a seguinte transformada de Legendre de U
~= U-TS-8N-HM (11.12)
Diferenciando a Eq.(I1.12) e combinando com a relação de Gibbs
dU = TdS-PdV+8dN+HdM
obtemos a seguinte expressao:
(11.13)
-
d~ = -SdT-PdV-Nd8-MdH
A diferencial total de D(T,V,8,H) é dada por
51
(11.14)
dn = ao3T
V,G,H T,G,H
dV + 3nde
'r,V,H
de + dn3H
dH
'r,v,e
Comparando (II.14) com (II.15) temos que
(11.15)
an(Entropia)
s=--) (11.16)aT
V,8,H
an
(pressão)(11.17)p = - - )
avT,8,H
an
(número de partículas)(11.18)N = - - )
aeT,V,H
art
(magneti zação)(11.19)M=--)
aHT,V,G
-
52
APÊNDICE 111
COMPORTAMENTOS DAS FUNÇÕES TERMODINÂMICAS NA VIZINHANÇA
DO PONTO CRíTICO
Procuramos fazer neste apêndice os detalhes de cálculo
para uma melhor compreensão do comportamento das funções termodinâ
micas na regiao do ponto critico apresentado na seção (3.1).
a) Começaremos com a magnetização espontânea m •o
Usando a Eq. (2.13) com 8=0 e H=O
m A28o o= 1 -8Nl3d/o
l: Q, Fd(O)
g].1B8
Q,=O -o
e a expressão para a temperatura crítica
(111.1)
1 =A
o
NI3 d/o (28+1) Fd(O)c -o(111.2)
Combinando (111.1) com (111.2) obtemos para a magnetização espont~
nea
(111.3)
b)A fração de partíCUlasno condensado né obtida dao.•.••• - - '
-
53
e
A28
oL Fd[S(O-kh)].
(111.6)n =1 NSd/o 9,=0 -O
Quando 8=no=O, então n1=1 e a Eq. (111.6) torna-seAo
25
NSd/o
I Fd (-B9,h)= 1 (111.7)9,=0 -
O
Fazendo em (111.7) S=S e h=O temosC
ASd/O
a=
c
N
28
9-:0 F-ª(O)a
Combinando as Eqs. (111.4), (111.6) e(111.8)28 L
Fd(-9-h t)c
= 1_td/a
9-=O-
an o 28L Fd(O)
9-=0 -a
onde _ gflBHh = KTc B c
Fazendo H=O na Eq. (111.9) encontramos finalmente que
(111.8)
(111.9)
(111.10)
no (111.11)
c) A equação de estado na região de transição e o cá1cu
10 de 0M:
Na equaçao para a magnetização (Eq.2.13) fazemos T=T ecobtemos
-
54
A2Sm = 1 -
o~Fd (-Bc,º,h). (111.12)
SNSd/o gllB S
9,=0--'c o
Recorrendo à expressão d
--1do (111.13)Fd(a) ~ Ç(d/o)-Ç(~ - l)a+r(l-d/o)a· + ...- o
onde Ç(d/o)=Fd(O) e observando que os termos dominantes na expan -__ o
sao acima sao:d--1
[(~ - l)a se ª >2 e [(l-d/o)ao'o oEq. (111.12) como
se 0
-
55
Com a definição do expoente crítico 0M obtemos a Eq. (3.15).
Quando d=20 combinamos a equação para a magnetização
(Eq.2.13) com a expansão para as FBE dada na Eq. (7) do apêndice I.
m= 1 -
28
L: G'2(0)-CSQ,h)+(SQ,h)Q,n(SQ,h)+ ••• ]9,=0
(111.17)
Mantendo o termo dominante desta expansão
mA
~l 0_-NSS2c
2S
Q;(28+1)F2(ü)+Bh L i in(Bih}]9.=1
(111.18)
Substituindo a Eq. (111.2) na Eq. (111.18) encontramos que
-1m -H 9.n H
ou
m __ tn H.H
(II1.19a)
(III.19b)
~ -1Tomando-se o logarltmo de (II1.19a), desprezando o termo 9.n(tn H )
e usando (1II.19b) podemos escrever
H mtn m-l
(111.20)
Com a definição do expoente crítico 0M determinamos que 0M=IL.
d) O comportamento do potencial químico e em torno da
temperatura crítica.
Fazendo h=O na expressão que dá o número de partículas
nos estados excitados
...J
-
56
A25
N = N =
0LFd(SG)1 d/O'9,=0s
-oA
o (IIL 21)= Sd/o (25+1) F-ª(SO)
,o
e combinando com a expansão
c1
F d ( se) = r (l-d/ a) (6 e) O' - 1+ F d ( O) - F d (O) (S 8) + ...- - - - 1o o o
(111.22)
Obtemos
AN = (25+1) d/o [Fd (O) - Fd (O) (S8)]S - - - 1
o o
se d>20 e
dA - - 1
N = (25+1) Sd/Ol}'-ª.(0)+[ (l-d/o) ((38)0
]o
(IIL23)
(III.24)
se 0
-
57
APt:NDICE IV
AS PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DO GÁS IDEAL DE BOSE-EINSTEIN (GIBE)
Apresentamos um resumo das propriedades termodinâmicas
do GIBE na vizinhança de sua transição que foram estudadas em de-
talhes por Gunton e Buckingham(3) (G.B.). Eles introduziram um pa-
râmetro de ordem chamado de momento de Base ~ , que é igualO
..a
raiz quadrada da densidade de partículas no condensado, e uma va-
riável intensiva v , chamada campo de Bose, conjugada ao momentoo
de Base. Por conveniência mantemos a mesma notação usada por G.B.
O sistema é definido pelo seguinte hamiltoniano
= 7 + +I E(K)a7K aK~-V(v ~ +v ~ )R o o o o
(IV. 1)
- + - -onde V e o volume do sistema, aK e aR sao os operadores criaçao e
_ .•. 7 7 272aniquilaçao de uma partlcula no estado K com energia E(K)=h K 12m.
o par de variáveis dinâmicas é dado por
+
-
58
momento de Base é nulo para qualquer temperatura. Para contornar
essa dificuldade introduziu-se o termo~l que quebra a simetria
de gauge de Ho .
A pressão para o GIBE obtida por G.B. é dada como
P("fl,V ,T) =o
*V \lo o
(IV. 3)
sendo "fl o potencial quimico, À=(2nn2/mKBT)1/2 o comprimento de on
da térmico de de Broglie, d a dimensionalidade do sistema e
n=l
O momento de Bose (~ ) e a densidade de partícula (p =o -
F (x) =(}
OJ
-a -nxn e , x~O sao as FBE.
=N/V) são obtidas da Eq. (IV.3)
*vdP
o~ = -----=o dV
]1o *v v d (-6]1)
dP - ~~ + À- F
p= -- - 2 ~d]1]1
2(IV. 4)
(IV. 5)
combinando a Eq. (IV.4) com a equação de conservaçao para a densi-
dade (Eq.IV.5) obtemos que
*P- ~)- o (IV. 6)
2
O primeiro termo no lado direito da Eq.(IV.6) é a densidade de~
partículas no estado K=O. Usando a Eq. (IV.4) podemos verificar
que a energia livre do sistema (Eq.IV.3) depende de l~oI2. porta~
to podemos escolher sem perda de generalidade v e ~ reais, istoo o*
e v =v =v e ~, o o o
mos da Eq. (IV.6)
*= 1~o =~ • Com as
que ~ _ Nl/2o o·
observações feitas acima conclui
Mostramos na tabela IV os expoentes críticos obtidos por
G.B. para o GIBE em dimensão arbitrária, sem spin e com o espec -
-
59
tro de urna partícula dado por E(K)-Ko.
TABELA IV - Valores dos expoentes críticos obtidos por
G.B. para o GIBE corno função da dimension~
lidade d do sistema e do parâmetro ° da relação de disDersão E(K)-Ko no caso de volu
me constante.
---~~
exp. 1I
..
crit as
B6Tl\J
lim.
I
d-20
II-q- d+o I-I
o
-
60
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