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Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt des Menschen bewegt; das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so anregend und fruchtbar gewirkt; das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig.

David Hilbert (1862 - 1943)

Es hat aber die Betrachtung über das Unbegrenzte eine Schwierigkeit; denn es ergibt sich viel Unmögliches, mag man aufstellen, daß es nicht existiere oder daß es existiere.

Aristoteles (384 - 322)

I Natürlich unendlichII Gegen UnendlichIII AlogosIV InfinitesimalV UnbegrenztVI MikroskopischVII KosmischVIII EwigIX TheologischX TranszendentXI TransfinitXII Infinit

Die Geschichte des Unendlichen

I

Natürlich unendlich

Vier Kategorien des Seins

endlich

unbegrenzt

potentiell unendlich 1, 2, 3, ...

aktual unendlich ?

Aristoteles (384 - 322)

Das Unendliche existiert potentiell; es gibt kein vollendetes Unendliches.

Es gibt nur endliche Zahlen. Das Endliche würde vom Unendlichen, wenn dieses existierte, aufgehoben und zerstört werden.

Scholastiker: Infinitum actu non datur.

John Wallis (1616 - 1703)

benutzte das Symbol erstmals 1655 in seiner Arithmetica Infinitorum.

lateinisch: 100 Millionen

griechisch: hippopede

Blaise Pascal (1623 - 1662)

Wir erkennen, daß es ein Unendliches gibt, und wissen nichts von seiner Natur.

Es ist falsch, daß es gerade ist, es ist falsch, daß es ungerade ist, denn durch

+1

verändert es sich nicht.

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker (1823 - 1891)

da, deux, , due, duo, dvi, (dve),два, to, tva, twa, two, zwei (zwo)

Leonardo von Pisa (1170 - 1240)

= Fibonacci

Sanft und bescheiden und wohlwollendgegenüber jedem Förderer der Mathematik

aber: "Gib dem Jungen eine Münze!"

Die Elemente (), ca. 1500 gedruckte AuflagenAlle früheren Lehrbücher verschollen, spätere unbekanntEuklidische Form: Definition, Satz, Beweis, Schlußformel Euklid (325 - 275)

Leuchtturm von Alexandria 130 m hoch, 280 v. Chr.eines der sieben Weltwunder

Bücher I-VI: ebene GeometrieBücher VII-X: ArithmetikBücher XI-XIII: räumliche Geometrie

Museion von Alexandria (600.000 Bücher)

Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.

Sei P = P1P2P3...Pn das Produkt aller Primzahlen.

(P ± 1) wird durch keine dieser Primzahlen geteilt.

Also ist es selbst Primzahl oder enthält eine Primzahl Pn+1.

23571113= 30031 = 59509

23571113 = 30029

Ist b > a, so gibt es ein n mit na > b.Euklid (325 - 275)

quod erat demonstrandum.

Archimedes (287 - 212)

Größter Mathematiker, Physiker, Techniker der Antike

Auftrieb (Heureka)HebelgesetzeFlaschenzug "Gebt mir einen festen Punkt ..."SchwerpunktberechnungWasserschraubeExhaustionParabelSpirale

Kriegsmaschinen (Flaschenzüge, Wurfmaschinen, Hohlspiegel)Syracus 2 Jahre lang "fast allein" gegen die Römer verteidigt Niederlage durch Verrat

Archimedes (287 - 212)

Viele Leute glauben, o König Hieron, die Zahl der Sandkörner sei von unbegrenzterGröße. Andere meinen, daß ihreZahl zwar nicht unbegrenzt sei, aber niemals eine so große Zahl genannt werden könne. Aber ich werde versuchen zu zeigen, daß unter den Zahlen, die ich schon angegeben habe, solche sind, welche die Zahl der Sandkörner übertreffen, in einem Sandhaufen nicht nur von der Größe der Erde, sondern auch wenn das ganze Universum mit Sand gefüllt wäre.

Eine Myriade (= 10.000) Sandkörner geht auf die Größe eines Mohnkorns.

Im damals bekannten Kosmos finden 64*1057 Sandkörner Platz.

Es gibt Zahlen bis 1063 "und man kann noch weiter gehen"

Archimedes kam noch weiter, aber ohne Exponenten:

ai myriakismyriostas periodou myriakismyrioston arithmon myriai myriades

= 108*1016

eine 1 mit 80000 Billionen Nullen

Axiom des Archimedes (Unbeschränktheit der Zahlen)

Zu jeder Zahl kann man eine größere natürliche Zahl finden.

Myriade 10.000 = 104

Asankbyeya 10140

Myriade 10.000 = 104

Asankbyeya 10140

Googol 10100

Googolplex 1010100

Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)

"meßbare Unendlichkeit" 9999

9999

999999

S. Skewes (1933): Der erste Wechsel liegt vor eee79,122 10101034

Anzahl der Primzahlen < x:

li(x) = 2xdu/lnu

liefert zu hoher Werte für kleine Zahlen x.

t/s Anzahl

t/s Anzahl

10 Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

t/s Anzahl


11 Sterne in der Milchstraße

t/s Anzahl



14 Bakterien im menschlichen Darm

t/s Anzahl




20 Kombinationen des Rubikwürfels 41019 = 8!12!21137/2

t/s Anzahl





22 Sterne im Weltall

t/s Anzahl






34 Bakterien in den Erdmeeren

t/s Anzahl







38 größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2127-1

t/s Anzahl








59 Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen

t/s Anzahl









80 Protonen im Weltall

t/s Anzahl










43 min 1000! übertroffen

t/s Anzahl











? 999

t/s Anzahl











11 a 263 d 999

t/s Anzahl











11 a 263 d 999

2,5 Mrd a 1081016

t/s Anzahl











11 a 263 d 999

2,5 Mrd a 1081016

31092 a Googolplex 1010100

t/s Anzahl











11 a 263 d 999

2,5 Mrd a 1081016


Million-illion-illion 1000.0001000.0001000.000

t/s Anzahl











11 a 263 d 999

2,5 Mrd a 1081016



meßbare Unendlichkeit 9999

t/s Anzahl











11 a 263 d 999

2,5 Mrd a 1081016



meßbare Unendlichkeit 9999

999! > 9999

lglg 999

! = 369 693 108,2

lglg 9999

= 369 693 099,6

z = 10lgz 100 = 102

z = 1010lglgz 10 000 000 000 = 10101

Im Anfang lebte, wie bekannt,als größter Säuger der Gigant.Wobei gig eine Zahl ist, diees nicht mehr gibt, - so groß war sie!

Christian Morgenstern (1871 -1914)

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