РЕШЕНИ ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ -...
TRANSCRIPT
РЕШЕНИ ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА 1
Разполагаме с данни за месечната изработка (в брой детайли) на 300 работни[r,
представени под формата на интервален статистически ред в таблица 1.
1. Да се изчислят основните средни величини средна аритметична, медиана, мода.
2. Да се изчислят основните показатели за разсейване
3. Да се определи формата на емпиричното разпределение с помощта на
подходящите измерители.
Таблица 1. Интервална групировка на 300 работни[r според тяхната месечна изработка (в
бр. детайли) Месечна
изработка
Брой
работници хi fi xi ci xi- x 2)( xxi
2)( xxi fi 3)( xxi
3)( xxi fi 4)( xxi
4)( xxi fi
Xi fi
41 – 50 10 45 450 10 -32 1024 10240 -32768 -327680 1048576 10485760
51 – 60 20 55 1100 30 -22 484 9680 -10648 -212960 234256 4685120
61 – 70 50 65 3250 80 -12 144 7200 -1728 -86400 20736 1036800
71 – 80 60 75 4500 140 -2 4 240 -8 -480 16 960
81 – 90 130 85 11050 270 8 64 8320 512 66560 4096 532480
91 – 100 30 95 2850 300 18 324 9720 5832 74960 104976 3149280
Σ 300 23200 45400 -386000 19890400
1. Средни величини
Средна аритметична величина
Тъй като изходните данни са групирани, за изчисляване на средната аритметична
се прилага претеглена формула:
773,77300
23200
1
1
k
i
i
k
i
ii
f
fx
x бройки
където xi са средите на съответните интервали на изучавания признак Хi , а k е броят на
интервалите (групите).
Средната аритметична ни показва каква е средната изработка за съвкупността,
която изследваме като цяло.
2
Медиана
За да изчислим медианата е необходимо да определим центъра на предварително
подредената по възходящи значения на признака съвкупност от единици, както и
медианната група, т.е. групата, в която той попада. Номерът на централната единица
може да изчислим по формулата:
(N + 1) / 2 = (300 + 1) /2 = 150,5
Следователно трябва да установим в коя група (интервал) се намират 150-та и 151-
та единици на съвкупността. За целта построяваме прогресивно-комулативния ред ci,
който ни показва номерата на единиците във всяка група. Така установяваме, че
търсените от нас единици са в 5-та група, където се намират единиците с номера от 141
до 270. Това е нашата медианна група.
За да пресметнем точната стойност на медианата трябва да приложим следната
формула:
Me
MeMef
hc
NLMе
1
2
1
където:
LMe – долна граница на медианната група ;
сМе-1 – комулативна честота в предмедианната група (т.е. общия брой на единиците в
групите преди медианната група);
h – ширина на интервала на медианната група;
fMe – брой на единиците (честота) в медианната група;
В задачата имаме: LMe = 81; сМе-1 = 140; h = 10; fMe = 130
Следователно:
81130
101405,15081 0,8 = 81,8 бройки
Мода
За да изчислим модата е необходимо първоначално да определим модалната група,
т.е. групата с най-висока абсолютна честота. В случая това е интервала 81-90, където са
попаднали 130 единици. По отношение на този интервал прилагаме следната формула:
)()(
)(
11
1
MoMoMoMo
MoMoMo
ffff
hffLMo
3
където:
LMo - долна граница на модалната група;
h - ширина на интервала на модалната група;
fMo - брой на единиците в модалната група;
fMo-1 - брой на единиците в предмодалната група;
fMo+1 - брой на единиците в следмодалната група;
В задачата имаме: LMo = 81; fМo-1 = 60; fМo = 130; fМo+1 = 30; h = 10.
)30130()60130(
10)60130(81Mo 81 + 4,12 = 85,12 бройки
2. Показатели за разсейване
Абсолютни показатели
Размах (R)
Абсолютен показател за разсейване:
R = Xmax – Xmin = 100 – 41 = 59 бройки
Средно квадратично (стандартно) отклонение
Този показател е по-точен от предходния, защото тук се вземат в предвид не само
екстремалните стойности на изследвания признак (както в горния случай при размаха), а
всички негови стойности т.е. основава се на обобщаване на индивидуалните различия.
Формулата за изчисляване стандартното отклонение е:
3,12
300
454002
i
ii
f
fxx
Относителни показатели
Относителни показатели за разсейване са дисперсията и коефициенти на вариация,
които може да се определят въз основа на всеки от абсолютните показатели.
Дисперсия
σ2 = 151,3
4
Коефициент на вариация по размаха (VR(%))
%62,7610077
59100.(%)
x
RVR
Коефициент на вариация по стандартното отклонение
10077
3,12100.(%)
xV
=15,97%
3. Показатели за асиметрия
Степента и посоката на асиметрия може да се определи с помощта на различни
коефициенти.
Моментен коефициент на асиметрия - А
3
3
A ,
където
k
i
i
k
i
ii
f
fxx
1
1
3
3
)(
е 3-ти централен момент
Необходимите изчисления за пресмятане на коефициента са представени в табл.1
300
386000)(
1
1
3
3
k
i
i
k
i
ii
f
fxx
= - 1286,67
Следователно:
33
3
3,12
67,1286
A = - 0,6914
Коефициентът на асиметрия показва лява (отрицателна) умерена асиметрия.
Коефициент на асиметрия на Пирсън
5
γПирсън = 3,12
)8,813,77(3)(3
Mex= - 1,0975
Коефициент на асиметрия на Юл
γюл = 3,12
12,853,77)(
Mox= - 0,6358
Както се вижда, и тези коефициенти показват лява умерена асиметрия на
разпределението. Като най-точен за измерване степента на асиметрия обаче се счита
моментния коефициент.
Коефициент на асиметрия на Боули
γБоули = 13
31 )2
MeQQ
където Q1 и Q3 са съответно 1-я и 3-я квартил.
За пресмятане на коефициента е необходимо да се изчислят Q1 и Q3 съответно по
формулите:
1
11 114 Q
QQf
hc
NLQ
и
3
33 134
3
Q
QQf
hc
NLQ
Използвайки прогресивно-кумулативните честоти установяваме, че групата на 1-я
квартил е (61 – 70), а групата на 3-я квартил е съответно (81 – 90). Съответно за двата
квартила имаме:
LQ1 = 61; сQ1-1 = 30; h = 10; fQ1 = 50
LQ3 = 81; сQ3-1 = 140; h = 10; fQ3 = 130
След заместване във формулите, получаваме стойностите на двата квартила:
50
1030
4
300611
Q = 61 + 9 = 70
130
10140
4
300.3813
Q = 81 + 6,54 = 87,54
6
Следователно коефициентът на асиметрия ще бъде:
γБоули = 7054,87
)8,81*254,8770
= -0,3455
И този показател показва лява умераена асиметрия в емпиричното разпределение
на работниците според тяхната месечна изработка.
7
ЗАДАЧА 2
Получени са предварителни резултати от национално изследване на месечния
разход на домакинствата за покупка на мляко и млечни произведения през 2011г. Само
за две области (А и В) са избрани по 15 домакинства измежду тези, имащи по едно дете.
Данните са следните:
Област Средномесечен разход (лв.)
А 28 30 34 35 40
10 15 18 16 20
48 53 68 85 130
В 35 45 50 85 124
20 22 25 30 32
8 10 12 15 17
1) Да се направят квинтилни групировки на домакинствата от двете области
2) Да се построят кривите на Лоренц за двете разпределения.
3) Да се измери подоходното неравенството във всеки ред, като се използват
квинтилния коефициент на диференциация, коефициента на Джини и интегралния
коефициент на неравномерност на структура.
4) Да се направи проверка за условието за сравнимост на двата реда. Ако то е
изпълнено, да се сравни степента на неравенството в двата реда.
РЕШЕНИЕ:
1) Въпреки че броят на единиците в двете групи е еднакъв, провеждането на
квинтилна групировка е необходимо поради факта, че сумите на разходите за двете
групи е различна: А = 630 В = 530
За построяването на квинтилна групировка е необходимо да се образуват по пет
групи домакинства от всяка област. Броят на единиците във всяка група и относителният
им дял ще бъдат:
mn
k
15
53 n
ki
1100%
1
5100% 20%. .
8
Предварително условие за нейното провеждане е единиците да бъдат подредени
ненамаляващо по размера на измерения разход. Пренаредените данни са поместени в
табл.2.1
Таблица 2.1. Работна таблица на квинтилната групировка
Област А Област В
j Разход
(лв)
i i
A
jx A
id Разход
(лв)
i i
B
jx B
id
1 10 8
5 15 10
6 18 1 43 0,068 12 1 30 0,057
10 16 15
11 20 17
12 28 2 64 0,102 20 2 52 0,098
15 30 22
17 34 25
18 35 3 99 0,157 30 3 77 0,145
19 40 32
23 48 35
24 53 4 141 0,224 45 4 112 0,211
28 68 50
29 85 85
30 130 5 283 0,449 124 5 259 0,489
630 630 1,000 530 530 1,000
Изчисляването на относителните дялове на разходите на групите е осъществено
аналогично на относителните честоти при честотните разпределения. Например, за
относителния дял на групата домакинства с най-ниски разходи от област А (първата
група) се получава:
d
x
x
Aj
j
j
1
1
3
43
6300 068
,
В таблица 2.2 са поместени квинтилните разпределения за двете съвкупности,
като относителните дялове са представени в процентната им форма. Изчислени са и
кумулираните дялове на двете разпределения.
9
Таблица 2.2. Квинтилни разпределения на домакинствата
Група
Относите-
лен дял на
единиците
Относителен дял на
сумарните
значения на
признака за
съвкупност
Кумулативен дял
на сумарните
значения на
признака за
съвкупност
Разлика
А В А В
i in (%) A
id B
id A
iCd B
iCd B
i
A
i CdCd
1 20 6,8 5,7 6,8 5,7 1,1
2 20 10,2 9,8 17,0 15,5 1,5
3 20 15,7 14,5 32,7 30,0 2,7
4 20 22,4 21,1 55,1 51,1 4,0
5 20 44,9 48,9 100,0 100,0 0,0
100 100,0 100,0 - - -
2) Графичните образи на разпределенията са представени на фигура 2.1.
Получената наредба на кумулираните дялове предопределя положението на кривата на
реда А, която се явява “вътрешна” за кривата на реда В.
Фигура 2.1. Криви на Лоренц за квинтилните редове А и В.
10
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
0% 20% 40% 60% 80% 100%Cn
Cd
Област А Област В 45гр.
3) Изчислените квинтилни коефициенти на диференциация, показващи
съотношенията между групите домакинства с най-високи и най-ниски разходи в двата
реда, са както следва:
Dd
d
AA
A5 15
1
44 9
6 86 6/
,
,, D
d
d
BB
B5 15
1
48 9
5 78 6/
,
,,
На този етап, чрез прилагането на този критерий се установява, че степента на
“поляризация” на съвкупност В е сравнително по-висока от тази в съвкупността А.
Групата с най-високи разходи в област А изразходва 6,6 пъти повече разходи за мляко и
млечни продукти от тази с най-ниски разходи, докато това съотношение за двете групи
от област В е 8,6 пъти.
За изчисляването на коефициентите на Джини за двете разпределения са
необходими допълнителни изчисления. Междинните резултати са предстaвени в работни
таблици 2.3.А и 2.3.В.
11
Таблица 2.3.А. Изчисляване на коефициента на Джини от ред А
i in A
id
iC
iC ii CC
ii
A
i CCd
1 20 6,8 20 100 -80 -546
2 20 10,2 40 80 -40 -406
3 20 15,7 60 60 0 0
4 20 22,4 80 40 40 895
5 20 44,9 100 20 80 3594
100 100,0 - - - 3537
G
d C C
RA
iA
i i
100
3537
100000 354
2,
Таблица 2.3.В. Изчисляване на коефициента на Джини от ред В.
i in B
id
iC
iC ii CC
ii
B
i CCd
1 20 5,7 20 100 -80 -453
2 20 9,8 40 80 -40 -392
3 20 14,5 60 60 0 0
4 20 21,1 80 40 40 845
5 20 48,9 100 20 80 3909
100 100,0 - - - 3909
G
d C C
RB
iB
i i
100
3909
100000 391
2,
Получена е и мярката за степента на подоходното неравенство, измерено чрез
коефициентите на Джини за всеки един от двата квинтилни реда. Тъй като A
R
B
R GG ,
12
потвърждаваме извода за наличието на по-голяма степен на неравенството в квинтилния
ред, получен за област В. Трябва да се има предвид, че неравенството е измерено по
отношение на груповите характеристики, а не между самите домакинства по размера на
направените разходи.
По данни от квинтилните разпределения са изчислени и интегралните
коефициенти на структурна неравномерност. За целта в работната таблица за всеки
квинтилен ред е добавена допълнителна колона (табл.2.4). Използвана е коефициентната,
а не процентната форма на относителните дялове на квинтилните разпределения.
Таблица 2.4. Изчисляване на интегралните коефициенти
i A
id 2
id B
id 2
id
1 0,068 0,005 0,057 0,003
2 0,102 0,010 0,098 0,010
3 0,157 0,025 0,145 0,021
4 0,224 0,050 0,211 0,044
5 0,449 0,202 0,489 0,239
1,000 0,292 1,000 0,317
Kk d
RA
i
12
11
2
1 50 2921
2
2 4600 187 0 43
2 . , ,, ,
Kk d
RB
i
12
11
2
1 50 3171
2
2 5850 226 0 48
2 . , ,, ,
4) Съпоставянето на двата квинтилни реда в таблица 2.2 дава възможност да се
направи проверка за наличието на условията за тяхната сравнимост. Очевидно първите
две са изпълнени – броят на елементите сумарните значения на двата сравнявани реда са
еднакви (по 5 броя). Изчисляването на кумулираните относителни дялове дава
възможност за проверка и на третото условие. Очевидни са наредбите A
1i
A
i dd и
B
1i
B
i dd за i=1,…,4. Налице е и строго неравенство A
i
B
i CdCd и съответно
13
0CdCd B
i
A
i за всяко i=1,…,4. Тогава можем да твърдим, че разпределението в
квинтилния ред А доминира разпределението в реда В. С други думи, степента на
неравенството по размера на изразходваните от домакинствата суми за мляко и млечни
продукти в област В е по-голямо от неравенството в област А.
Получените коефициенти са представени в таблица 2.5.
Таблица 2.5. Измерители на неравенството в области А и В.
Област 1/5D RG RK
А 6,6 0,35 0,43
В 8,6 0,39 0,48
Макар и с различни числови стойности, трите коефициента показват по-висока
степен на неравенството по размера на разходите в квинтилния ред, получен от област В.
Най-ясен смисъл разбира се има квинтилния коефициент на диференциация –
съотношението между сумарните разходи на групата изразходващи най-много средства
за мляко и млечни продукти, и тази на изразходващите най-малко средства в област А, е
близо 7 пъти, докато това съотношение в областта В е почти 9 пъти.
14
ЗАДАЧА 3:
За изследване на връзката между размера на търговската площ (в кв.м.) и
стокооборота (в хил.лв.) на търговските обекти е проведено представително
статистическо изучаване на 10 магазина. Получените емпирични данни са представени в
табл.3. Да се анализира зависимостта между търговската площ и стокооборота на
търговските обекти.
Таблица 3. Данни за търговска площ и стокооборот на група магазини и работна таблица
№ на
обекта
Търг.
площ
Стокоо
борот fi xi хi2 Ŷi
)( xxi
2)( ii xx
(Yi-Ŷi)2 )( YYi
2)( YYi )( xxi )( YYi
хi Yi
1 20 10 200 400 11,3 -
30 900 1,69 -10 100 300
2 30 10 300 900 14,3 -
20 400 18,49 -10 100 200
3 40 10 400 1600 17,3 -
10 100 53,29 -10 100 100
4 50 18 900 2500 20,3 0 0 5,29 -2 4 0
5 40 20 800 1600 17,3 -
10 100 7,29 0 0 0
6 50 20 1000 2500 20,3 0 0 0,09 0 0 0
7 50 32 1600 2500 20,3 0 0 136,89 12 144 0
8 60 30 1800 3600 23,3 1
0 100 44,89 0 100 100
9 70 22 1540 490 26,3 2
0 400 18,49 2 4 40
10 90 28 2520 81000 32,3 4
0 1600 18,49 8 64 320
Σ 500 200 11060 28600 203 3600 304,9 616 1060
1. Оценка на праволинеен регресионен модел за връзката между търговската площ и
стокооборота на магазините
Регресионен модел: Yi = 0 + 1 *Xi + εi
Регресионно уравнение: Ŷi = b0 + b1 * Xi
Метод за оценка на параметрите – Метод на най-малките квадрати (МНМК):
min1
2
n
i
ii YY
15
За оценка на параметрите на регресионното уравнение съставяме система нормални
уравнения:
ΣYi = nb0 + b1 ΣXi
ΣXi Yi = b0 ΣXi + b1 ΣXi2
След изчисляване на величините съдържащи Х и Y от емпиричните данни и
заместването им в системата, получаваме следната система от две уравнения с две
неизвестни:
200 = 10 b0 + 500 b1
11060 = 500 b0 + 28600 b1
Решаването на системата води до намиране на двата параметъра b0 и b1.
b0 = 5,3 и b1 = 0,3
За получаване на стойностите на двата параметъра може да се използват и следните
формули (формулите са валидни само за еднофакторен линеен модел):
222150028600*10
200*50011060*10
)(
ii
iiii
xxN
YxYxNb = 0,3
50*3,02010
N
xb
N
Yb
ii = 5,0
Параметърът b1 се нарича регресионен коефициент. В разглеждания модел този
коефициент показва какво е средното абсолютно изменение на Y за 1-ца изменение на Х,
т.е. при увеличаване на търговската площ с 1м2, се очаква средно нарастване на
стокооборота с 300 лв.
Оценено Регресионно уравнение:
Ŷi = 5,3 +0.3* xi
Въз основа на оцененто уравнение се изчисляват теоретичните (очаквани)
стойности на стокооборота Ŷi.
2. Оценка на точността и статистическата значимост на регресионния
коефициент
Стандартна грешка на регресионния коефициент b1:
16
2
2
)(
11 xx
Si
Yb
където:
2
2
2
N
YYS
ii
Y
Необходимите изчисления за пресмятане на Sy2 и на стандартната грешка са
представени в табл.2.
1125,388
9,3042 YS
1029,03600
11125,38
1b
Следователно с 95% доверителна вероятност регресионният коефициент ще се
намира в интервала (0,3-1,96*0,1029; 0,3+1,96*0,1029), т.е.:
0,2017 ≤ β1 ≤ 0,5017
Статистическа значимост на регресионния коефициент
Н0: β1 = 0 - параметърът е статистически незначим
Н1: β1 ≠ 0 - параметърът е статистически значим
Проверката извършваме при α = 0,05
Емпиричната характеристика се изчислява по следната формула:
92,21029,0
3,0
1
1
емt
Тук се използвава винаги двустранна критична област по отношение правилото за
вземане на решение. Теоретичната характеристика на теста при α = 0,05 и степени на
свобода df = N-2 = 8 е 2,306
Сравняваме двете стойности на теста:
5010
500
N
xx
i
17
tем > tT
Следователно Но се отхвърля, т.е. регресионният коефициент е статистически
значим.
3. Измерване силата на зависимост – изчисляване на корелационни коефициенти
Коефициент на корелация на Пирсън
2
2
1Y
YYX
SR
За изчисляване на корелационния коефициент е необходимо да бъде пресметната
общата дисперсия на Y – σY2. Остатъчната дисперсия SY
2 беше изчислена по-горе.
Необходимите пресмятания са представени в табл.2.
Y =200/10 = 20
6,6110
616)(
1
2
2
N
YYN
i
i
Y
Следователно:
6175,06,61
11,381 YXR
Корелационният коефициент показва значителна към силна зависимост между
търговската площ и стокооборота на търговските обекти. Този коефициент не може да
покаже посоката на зависимост.
Коефициент на линейна корелация на Браве
YX
iiYX
N
YYXXr
Необходимите пресмятания за изчисляване на корелационния коефициент са
представени в табл.2.
36010
3600)(
1
2
2
N
xxN
i
i
x σx = 18,97 σY = 7,85
18
Следователно:
7118,085,7.97,18.10
1060YXr
Коефициентът на линейна корелация показва също силна зависимост между
търговската площ и стокооборота на търговските обекти. Освен това този коефициент
свидетелства за положителна зависимост тъй като rXY >0.
Различието в стойностите на двата корелационни коефициенти показва, че
зависимостта най-вероятно не е линейна.
Коефициент на детерминация
%44,38100*3844,0100*2
(%) YXRD
Коефициентът на детерминация показва, че 38,44% от увеличението на
стокооборота може да бъде обяснено с увеличаване на търговската площ на магазините.
Коефициент на индетерминация
I(%) = (1 – D)*100 = 100- D(%)) = 100-38,44=61,56%
Коефициентът на индетерминация показва, че 61,56% от увеличението на
стокооборота не се дължи на увеличаване на търговската площ на магазините, а се
обяснява с други фактори и причини невключени в модела.
19
ЗАДАЧА 4 :
Разполагаме с данни за продажбите (в хил.лв.) на един търговски обект по
тримесечия за периода 2008-2010 г. представени в табл.4
Таблица 4. Данни за продажбите (в хил.лв.) на един търговски обект по тримесечия за
периода 2008-2010 г.
период
Продажби
(в хил.лв.)
Абсолюте
н прираст
при
постоянна
основа
Абсолюте
н прираст
при
верижна
основа
Темп на
развитие
при
постоян
на
основа
Темп на
развитие
при
верижна
основа
Темп на
прираст
при
постоянна
основа
Темп на
прираст
при
верижна
основа
Yt Δt/1 Δt/t-1 Тt/1 Тt/t-1 dt/1(%) dt/t-1(%)
2008 - I 6 - - 1 1 - -
II 8 2 2 1,33 1,33 33,33 33,33
III 32 26 24 5,33 4,00 433,33 300,00
IV 24 18 -8 4,00 0,75 300,00 -25,00
2009 - I 10 4 -14 1,67 0,42 66,67 -58,33
II 15 9 5 2,50 1,50 150,00 50,00
III 32 26 17 5,33 2,13 433,33 113,33
IV 23 17 -9 3,83 0,72 283,33 -28,13
2010 - I 10 4 -13 1,67 0,43 66,67 -56,52
II 18 12 8 3,00 1,80 200,00 80,00
III 30 24 12 5,00 1,67 400,00 66,67
IV 32 26 2 5,33 1,07 433,33 6,67
1. Да се изчислят:
а) Среден обем на продажбите за целия изучаван период
б) Абсолютни прирасти при постоянна и верижна основа
в) Среден абслоютен прираст за целия изучаван период
г) Темпове на развитие при постоянна и верижна основа
д) Среден темп на развитие за целия изучаван период
е) Темпове на прираст при постоянна и верижна основа
ж) Среден темп на прираст за целия изучаван период
2. Да се моделира развитието на продажбите за изучавания период с помощта на
праволинеен трендови модел.
3. Да се анализира сезонността в продажбите за изучавания период.
4. Да се състави прогноза за обема на продажбите в търговския обект за 2011 г. по
тримесечия.
20
РЕШЕНИЕ
1.а. Средният обем на продажбите ще изчислим с помощта на средна
хронологична. Тъй като данните са представени в периоден динамичен ред прилагаме
следната формула:
1.б. Абсолютните прирасти при постоянна основа изчисляваме по формулата:
Δt/1 = Yt – Y1
За изчисляване на абсолютните прирасти при верижна основа прилагаме
формулата:
Δt/t-1 = Yt – Yt-1
Изчислените абсолютни прирасти са представени в табл.3.
1.в. Среден абсолютен прираст -
Средният абсолютен прираст показва, че обема на продажбите се увеличава средно
с 2,36 хил.лв. на тримесечие.
1.г. Темповете на развитие при постоянна основа изчисляваме по следната
формула:
1
1/Y
YТ t
t
Темповете на развитие при верижна основа изчисляваме по следната формула:
1
1/
t
ttt
Y
YТ
Изчислените темпове на развитие са представени в табл.3.
1.д. Среден темп на развитие (T ) – за изчисляването му се прилага средна
геометрична величина:
лвхN
Y
Y
N
i
i
.2012
2401
..36,211
26
11
......... 11/2/31/2 лвхN
YY
N
NNN
21
1643,133,5........ 111
1
11/3/42/31/2
NNN
NNY
YTTTTT
Средният темп на развитие показва, че обема на продажбите нараства средно на
тримесечие 1,1643 пъти.
1.е. Темповете на прираст при постоянна основа се изчисляват по следната
формула:
dt/1(%) = (Тt/1 - 1) 100%
Темповете на прираст при верижна основа се изчисляват по следната формула:
dt/t-1(%) = (Тt/t-1 - 1) 100%
Изчислените темпове на прираст са представени в табл.3.
1.ж. Средният темп на прираст ще изчислим по следната формула:
%43,16100).11643,1(%100).1((%) Td
Средният темп на прираст показва, че обема на продажбите нараства средно на
тримесечие с 16,43%.
2. Извеждане и оценка на праволинеен трендови модел
Построяваме графика на развитието на емпиричния временен ред
Определяме формата на тренда и го представяме аналитично.
22
Трендови модел: Ŷi = а + b * ti
Оценка на параметрите на трендовия модел.
За оценка на параметрите прилагаме Метод на най-малките квадрати (МНМК):
min1
2
n
i
ii YY
След последователно диференциране на остатъчната функция получаваме следната
система нормални уравнения:
ΣYi = nа + b Σti
Σti Yi = a Σti + b Σti2
Величините, които включват променливите Yi и ti се изчисляват от емпиричните
данни. За целта построяваме работна таблица (виж табл.5.)
Таблица5. Работна таблица за оценка на трендови модел
период Yi ti ti2 ti Yi Ŷi (Yi – Ŷi)
2
2008 - I 6 1 1 6 12,84 46,7856
II 8 2 4 16 14,14 37,6996
III 32 3 9 96 15,44 274,2336
IV 24 4 16 96 16,74 52,7076
2009 - I 10 5 25 50 18,04 64,6416
II 15 6 36 90 19,34 18,8356
III 32 7 49 224 20,64 129,0496
IV 23 8 64 184 21,94 1,1236
2010 - I 10 9 81 90 23,24 175,2976
II 18 10 100 180 24,54 42,7716
III 30 11 121 330 25,84 17,3056
IV 32 12 144 384 27,14 23,6196
Σ 240 78 650 1746 239,88 884,0712
23
След пресмятане на величините построяваме следната система от уравнения:
240 = 12 а + 78 b
1746 = 78 а + 650 b
След решаване на системата по отношение на a и b, намираме двата параметъра:
a = 11,54
b = 1,3
Параметрите на модела могат да бъдат изчислени и чрез следните формули:
3,178650*12
240*781746*12
)( 222
ii
iiii
ttN
YtYtNb
54,113,0*7820 N
tb
N
Ya
ii
Оцененият трендови модел е:
Ŷi = 11,54 + 1,3* ti
Въз основа на оценения трендови модел може да се изчислят очакваните стойности
на продажбите за изучавания период Ŷ (виж табл.4.)
Стандартната грешка на оценения трендови модел ще бъде:
96,811
07,884
1
)( 2
N
YYS
ii
Y
Коефициентът b в трендовия модел има смисъл на среден абсолютен прираст, т.е.
показва, че обема на продажбите се увеличава средно с 1,3 хил.лв. на тримесечие.
Разликата в стойностите на средния абсолютен прираст, получени по двата метода,
се дължи на факта, че при трендовия модел за пресмятане на показателя се включват
всички стойности на динамичния ред, докато при пряко изчисление на средния
абсолютен прираст участват само стойностите на Y в първия и последния отчетен
период.
24
3. Анализ на сезонност
Сезонните колебания са с относително постоянна амплитуда. Те са породени от
смяната на годишните времена.
Тук ще приложим метода на простите средни за да изчислим индексите на сезонност
в продажбите на изучавания търговски обект. За целта преструктурираме изходните
данни в следната таблица 6.
Таблица 6. Работна таблица за анализ на сезонност
Година/ тримесечие 2008 2009 2010
n
j
ijY1
iY Ii (%) Ŷ2010 Ŷ2010(кор)
I тримесечие 6 10 10 26 8,67 45,16 28,44 12,84
II тримесечие 8 15 18 41 13,67 71,20 29,74 21,17
III тримесечие 32 32 30 94 31,33 163,18 31,04 50,65
IV тримесечие 24 23 32 69 23 119,79 32,34 38,74
Изчисляване на групови средни по едноименни подпериоди (месеци или
тримесечия):
n
Y
Y
n
j
ij
i
1 за i = 1, ..., k – поредност на тримесечия
n – брой години на наблюдение
Пресметнатите величини са представени в табл.6.
Изчисляване на обща средна:
2,1912
230
.
1 1
kn
Y
Y
n
j
ij
k
i
Изчисляване на индекси на сезонност - iI :
%100*Y
YI i
i
Пресметнатите величини са представени в табл.6.
4. Прогноза за обема на продажбите в търговския обект за 2011 г. по
тримесечия
Изчисляване на прогнозен обем на продажбите за 2011 г. по тримесечия въз
основа на екстраполация на трендовия модел