73

النظام المكافئ

Equivalent system

السادسالفصل

74

النظام المكافئ

Equivalent system

مقدمة 1.6فيهذاالفصـــــــلســـــــنقومبالتعرفعلىكيفيةنقلالقوىعلىمطعملها،كماســـــــنقومبالتعرفعلىكيفيةامتزالالقوى

فةأنواعها.والقوىالفراغية.فيالنهايةسنتعرفعلىكيفيةامتزالالحموالتالموزعةبكاوالعزومبالنسبةللقوىالمستوية

على جسم صلب ةنقل القوة المؤثر 2.6ةالعديدمنمســــــائلالســــــتاتيكيتطلبنقلالقوةمننقطةإلىأمرى،ومنالضــــــروريفيحالةالنقلأنيكونتأثيرالقو

نأقابليةالقوةلنقلالجســـمأوتدويره.وفيحالنقلالقوةإلىنقطةأمرىيمكنعلىالجســـمالصـــلبهوذاتهمنحيثنميزالحالتينالتاليتين:

تقع على خط عمل القوة:O النقطة

Fلتكنالقوة

يمكنناO.لنقلهذهالقوةإلىالنقطةAافيالنقطة6-1حتؤثرعلىالجســمالصــلبالموضــحفيالشــكل.Oتشكيلجملةمكافلةبأننضيفقوتينمتساويتينومتعاكستينمحمولتينعلىنفزالحاملوذلكفيالنقطة

1-6الشكل

Fيمكنإلغاءالقوتينح

FوالقوةحAاالمؤثرةفيالنقطة

متســــــــــــــاويتانعلىاعتبارأنهماقوتانOاالمؤثرةفيالنقطة-اهيالجملةالتيتؤثرa-1-6ومتعاكســـــــــــــتانولهمانفزالحامل.نرىبالتاليأنالجملةالمكافلةللجملةفيالشـــــــــــــكلح

75

Fعليهاالقوة

ا،وهومايعيدناإلىتعريفالقوةباعتبارهاشــــــــــعاعمنزلقيمكنc-1-6كمافيالشــــــــــكلحOفيالنقطةبحيثاليتغيراألثرالذيتحدثههذهالقوةفيالجسمالصلب،بحيثيمكنأننقول:زلقهاعلىحاملها

لعحأناألثرالخارجيالذيتحدثههذهالقوةفيالجســـــــــمالصـــــــــلباليتغيرإذاطبقتهذهالقوةعلىنقطةثانيةواقعةمطعملهذهالقوةا.

ليست واقعة على خط عمل القوة:O النقطةFاتالســابقةوذلكبإضــافةالقوتينيمكنإتباعالخطو

،F

التينريدنقلالقوةإليهاكماهوموضــحفيOإلىالنقطة-

ا.2-6الشكلح

2-6الشكل

Fالقوتين

FوAالمؤثرةفي

FتشــــــــــكالنمزدوجةعزمهاعموديعلىالمســــــــــتويالذيتقعفيهالقوةOالمؤثرةفي-

FrMويســــــاويإلىAوالنقطة

وطالماأنعزمالمزدوجةهوشــــــعاعطليقفيمكنأنيطبقفيأيةنقطةعلى،الجسمعلىالجسمالصلب.

اختزال جملة القوة والعزم 3.6ةهوالجسمالصلبواقعتحتتأثيرقوىوعزوممزدوجةفمناألسهلإيجادجملةمكافلةتكونفيهاالقوةالمؤثرإذاكان

محصلةالعزوم،وعزومالقوىالمؤثرةعلىهذهالجملة.O،ســـنحاولتبســـيطهذهالجملةإلىجملةتؤثرفيهاالقوىوالعزومفينقطةا3-6حلتكنالجملةالموضـــحةفيالشـــكل

عشـــعاباالعتمادعلىالتعريفالســـابقللعزمعلىأنهOيمكننقلهببســـاطةإلىالنقطةMيارية.إنعزمالمزدوجةامتمطلق.

القوتين21 F,FيمكننقلهماإلىالنقطةOوذلكبإضــــــــــــــافةالعزمين

222111 FrM,FrM

إلىالجســــــــــــــمتؤثرعليهامحصـــــــــلةالقوىوبالتالييمكنناالوصـــــــــولإلىجملةمكافلة

21 FFR

وذلكفيالنقطةOومحصـــــــــلةالعزوم:

21CROا1ح MMMM

76

يمكنأنيتمهذااالمتزالفيالحالتين:جملالقوىالفراغيةوبالتالييكون:-

ا2ح FR

OCRO MMM

هذهالحالة:جملالقوىالمستوية:في-jRiRRRRا3ح yxyx

3-6الشكل

77

حيث:ا4ح yyxx FR,FR

ROMمحصــــــــلةجملةالعزوم

يكونشــــــــعاعاعمودياعلىالمســــــــتويالذييحتويعلىالقوىوقيمتهتســــــــاويالمجموع

.O الجبريللعزوم،وعزومالقوىحولالنقطة

ا5ح OCRO MMM

تطبيقات أخرى على اختزال جملة القوى والعزوم 4.6 تبسيط الجملة إلى قوة محصلة وحيدة 1.4.6

ا،تؤثرفيهذهالجملةالقوةالمحصــــــــلة6-4لنعتبرأنهتمإيجادجملةمكافلةبســــــــيطةللجملةالموضــــــــحةفيالشــــــــكلح FR لوالعزمالمحصــــ ORO MM

ا،يمكنناتبســــيطهذهالجملةإلىجملةأبســــطتحويb-4-6الشــــكلح

Rالقوةالمحصلة

.Pإلىنقطةأمرى

4-6الشكل

بحيثيكونالبعدOءمنالنقطةايجبأنيقاسابتدPإنموضعالنقطة

ا6حR

Md RO

مختلفالجملعلىجملةتحويمحصلةعامةفقطكماسنرىفيالفقراتالالحقة.ويمكنتبسيط

78

القوى المستوية جمل القوى المتالقية -1

5-6الشكل

يمكنامتزالجملالقوىالمتالقيةوالمتضـــــــــمنةعزوممزدوجاتشـــــــــعاعةبشـــــــــكلعموديعلىمســـــــــتويالقوىكماهوفيOاإلىمحصـــــــلةوحيدة،ألنكلقوةمنهذهالقوىيمكننقلهاإلىالنقطةa-5-6موضـــــــحفيالشـــــــكلالســـــــابقح

kبــإضــــــــــــــــافــةعزممنــاســــــــــــــــبعموديعلىالمســــــــــــــتويأيفياالتجــاهy-xالمســــــــــــــتوي

إنالعزمالمحصــــــــــــــــل، FrMMRO

هوعموديعلىمســـــتويالقوةالمحصـــــلة

RFالشـــــكلحb-5-6اويمكننقل

RFإلى

ROMبحيثتولدعزمايساويالعزمdالمسافةOنقطةتبعدعن

.Oحولالنقطة

القوى الفراغية القوى الفراغية المتوازية

Rإذاكانتمتوازيةفإنالمحصـــلة

تســـاويإلىالمجموعالجبريلهذهالقوىومطعملالمحصــــــــلةيمكنتحديدهباســــــــتخدامنزرية

.ا6-6،الشكلحالعزوما7ح

nn2211O

21

Fr...FrFrRrM

k.Fk.R

nF....FFR

يمكنأنx-yإنتقاطعمطعملالمحصــــــــــلةمعالمســــــــــتوي

يحسببإيجادإحداثياتهذهالنقطة. 6-6الشكل

79

ا8ح

xnn2211R

ynn2211R

MyF......yFyFy.R

MxF......xFxFx.R

:وبالتاليا9ح

R

My

R

Mx

x

R

y

R

وxMتحددإشاراتالعزمين

yM.باستخدامقاعدةاليداليمنى

القوى الفراغية في الحالة العامة 2.4.6Rيمكنتحديد

n321محصلةجملةالقوى F,.....F,F,F

فيالحالةالعامةبنقلكلقوةبشكلموازإلىنقطةماولتكن

نقطةمبدأاإلحداثياتوذلكبإضافةالعزمالالزم،وبالتالييمكنتحويلالجملةإلىجملتين.لهانفزقيمةواتجاهالقوىاألصلية.Oجملةقوىفراغيةمتالقيةفيالنقطة-1

kRjRiRRRRR zyxzyx

zzyyxx FRFRFRا10ح 2

z

2

y

2

x RRRRR

الشعاعالواحديلحاملهذهالمحصلةهو:

kcosjcosicosuا11ح zyx

ا12ح

R

Rcos

R

Rcos

R

Rcos z

z

y

yx

x

جملةعزومفراغية-2ا13ح kMjMiMM zyx

يمكنإيجادالتجيباتالموجهةلهذهالجملة.وبشكلمشابه

80

اختزال الحموالت الموزعة إلى قوة وحيدة 5.6فرضـــــناســـــابقاأنجميعالقوىالمؤثرةعلىاألجســـــامالمدروســـــةهيقوىمركزةعلىمطعملهاوفينقطةتأثيرها،مما

أعطانانموذجامقبوالللقوى.ىواحدةوالتيتعملعلىمطعملواحدليســـــــتموجودةفعلياحيثأنكلالقوولكنفيالواقعالقوىالمركزةفينقطة

المؤثرةعلىاألجسامهيقوىموزعةعلىسطحتماسصغيرأومتناهفيالصغر.فعندتطبيقالقوىعلىمنطقةاليمكنإهمالأبعادهابالنســــــــــــبةلألبعاداألمرىيجبإيجادتأثيرمحصــــــــــــلةهذهالقوى

منهالمنطقةوذلكباســــــــــــــتخداممفهومالتكامل،ولتطبيقهذاالمفهوميمكنأننميزأوالثالثةأنواعالموزعةعلىهذالحموالتالموزعة.

ةعنــدمــاتكونالقوةموزعــةعلىطولمطتعطىقيمــةهــذهالقوةبواحــدةقوةإلىواحــدالحموالت الموزعة على محور:

ا.N/mطولحعندماتكونالقوةموزعةعلىســـــــــــطحكماهوالحالفيقوىالضـــــــــــغطالهيدروليكية:ســـــــط الحموالت الموزعة على

للمحـــاورأوالقوىالمؤثرةمنالريـــاحويعبرعنهـــذهالقوىبقوىالضــــــــــــــغطعنـــدمـــاتكوننـــاتجـــةعنتـــأثيرالموائعا.2N/mوباإلجهاداتعندماتكونقوىدامليةفياألجسامالصلبةوتعطىبواحدةح

احدةكماهوالحالفيقوىالجاذبيةالتيتؤثرعلكلأجزاءكتلةهذاالجســموتعطىبو:زعة على حجمالحموالت المو ا.3N/mح

يتؤثرلنأمذعلىســــــــــــبيلالمثالالحمولةالموزعةكماهوالحالفيقوىالجاذبيةالت:الجوائزالحموالت الموزعة على ا.3N/mعلكلأجزاءكتلةهذاالجسموتعطىبواحدةح

81

قيمة القوة المحصلة: القوة المحصلة: نقطة تأثير

بتطبيقنزريـــةالعزوم ORO MMيمكنتحـــديـــدxنقطةتأثيرالقوة

RF.

Fdبماأن

تولدالعزم dxxwxdF.x حولالنقطةOفعلىطولالجائزيكون:ا.7-6،الشكلحا14ح dxxxwFx,MM

L

RORO

تعطىبالعالقة:xونجدأن

ا15ح

A

A

L

L

dA

xdA

dxxw

dxxxw

x

ويمكنأننستنتج:

اإنمطعملالقوةالمحصلةيمرمنمركزثقلحالمركزأسفلمخططتوزعالقوىةالهندسياللمساحةالمحدد

xw.ا7-6الشكل

ونقطةتأثيرها القيمةالعدديةلمحصلتها يوجدبعضالحاالتالخاصةالبسيطةمنالقوىالموزعةوالتييمكنتحديدبسهولةمنهذهاألنواع:

القوة الموزعة بانتظام على مستقيم: .1

لثابتةعلىامتدادالجسمالمؤثرةعليهكماهوموضحفيالشكqيتميزهذاالنوعمنالقوىالموزعةبأنشدتها.فيهذهالحالةيمكناستبدالهذها8-6الشكلحqلقوىموزعةبانتزامشدتهاAB،حيثيخضعالذراعا8-6ح

القوىبمحصلةقيمتهاالعدديةتساويمساحةالمستطيلأي:aqQا16ح

82

.ABمنصفالذراعCوتؤثرهذهالمحصلةفيالنقطة

8-6الشكل

القوة الموزعة على مستقيم بشكل خطي: .2

الخاضعلقوىموزعةبشكلمطي.وكمثالعلىهذاالنوعمنالقوىالموزعةهوABالذراعا9-6حيبينالشكليمكنعندقاعالخزانويتناقصإلىالصفرعندسطح قوىضغطالماءعلىالسدحيثيكونمقدارأكبرما

.mqمتزايدةمنالصفرحتىالقيمةالعزمىلهاqالخزان.وبالتاليتكونشدةهذهالقوى

9-6الشكل

أيتساوي:ABCبمساحةالمثلثالقائمQويتمتعيينالقوىالمحصلةلهاmaqا17ح

2

1Q

وتؤثرهذهالمحصلةعلىمسافةتبعدبمقدار3

aعنالضلعالقائمللمثلثABC.

a/2

a/3

83

دائرة:القوة الموزعة بانتظام على قوس .3

ة.وكمثالعلىهذاالنوعمنالقوىالموزعqالخاضعلقوىموزعةبانتزامشدتهاABالقوسا10-6حيبينالشكلهذهلهوقوىالضغطالهيدروستاتيكيعلىالجدرانالجانبيةلوعاءأسطواني.وتعطىالقيمةالعدديةللقوةالمحصلة

القوىبالعالقةالتالية:qhQ

.ABطولوترالقوسhحيثيمثل

10-6الشكل

.OالنقطةوتمرمنمركزهذاالقوسABمنتصفالقوسCفيالنقطةQوتؤثرالقوةالمحصلة

للقوىالموزعةمؤلفامنمخططينهندسيينبسيطينأوأكثر.فيهذهالحالة،من أننصادفمخططا يمكنأحياناالعدديةتسالمناسبتفريقالمخططال قوةموزعةقيمتها اويمركبإلىأجزاءعنصريةهندسيةبسيطة.يمثلكلجزءمنها

لىإمساحةهذهالجزءومطعملهايمرمنمركزثقلمساحةهذاالجزء.ونتيجةلذلكيتمتفريقالقوىالموزعةالمركبةمعجحيدةبطريقةالقوىالمركزةبقوةمحصلةوثمتستبدلهذهالمجموعةمنوجملةمؤلفةمنقوتينمتوازيتينأوأكثر

قوتينمتوازيتين.من،حيثنالحظأنهامؤلفةمنمجموعتينABاجملةالقوىالموزعةالمركبةالمؤثرةعلىالذراعa-11-6يبينالشكلح

قوىبقوةتبدالهذهالالقوىالموزعةالبسيطةوالتييمكنبسهولةحسابقيمتهاالعدديةوتحديدنقطةتأثيرها،ومنأجلاسمحصلةوحيدةنلجأإلىتفريقهذهالقوىإلىمخططين.

84

ةالمخططاألولهيعبارةعنقوىموزعةبانتزامعلىمستقيمعلىشكلمستطيلوبالتاليقيمتهاالعدديةتساويمساحالمخططالثانيفهوقوىا،أماb-11-6المستطيلوتؤثرفيمنتصفهحمركزثقلالمستطيلاكماهوموضحفيالشكلح

موزعةبشكلمطيعلىشكلمثلثوبالتاليقيمتهاالعدديةتساويمساحةالمثلثوتؤثرفيثلثالمسافةابتداءمنا.c-11-6الضلعالقائمحمركزثقلالمثلثاكماهوموضـحفيالشكلح

نحصلعلىقوتينمتوازيتيننعينالقوةالمحصلةلهمابالطريقةال زعةالمركبةمعروفةونكونقداستبدلناالقوىالمووأميرابقوةمحصلةوحيدة.

11-6الشكل

85

الطريقة البيانية الستبدال مجموعة قوى مستوية بقوة وحيدة 6. 6ماتستخدمفيالحساباتالهندسيةالطريالبيانيةالستبدالجملةقوىالتيوإنكانتتعطيحلوالأقلدق ةمنكثيرا

تخدامالتحليليةإالأنهاتتيحالحصولعلىالنتائجبشكلأسرعوأكثروضوحا.يمكنإيجادالمحصلةبيانياباسالطريلىطريقةمتوازياألضالععدةمراتمتتالية،لكنهذهالطريقةتكونطويلةإذاكانعددالقوىكبيراوسوفنتعرفع

طريقةأكثرسهولةوبساطة.علىإليجادمحصلةعدةقوىمستويةعلىمضلعالقوىومفهومالمضلعالحبليالذيبدورهيعتمدتعتمدالطريقةالبيانية

أنهلكيتكونجملةقوىمستويةمؤلفةمنثالثقوىمكافلةللصفرحمتوازنةايجبأنتتالقىهذهالقوىفينقطةالقوةالثالثة.ويكونمضلعالقوىفيواحدةوتكونمحصلةأيقوتينمساويةومعاكسةباالتجاهوعلىحاملواحدمع

هذهالحالةمغلقاعلىنفسهحأيمضلعالقوىهنامثلثا.321االجسمالصلبالخاضعلثالثقوىمستويةa-12-6يبينالشكلح F,F,Fغيرمتالقيةفينقطةواحدة،والمطلوب

استبدالهذهالقوىبقوةوحيدة.وبمقياسرسممناسبمضلعالقوىحيثيمثلالضلعالذييغلقمضلعالقوىالقيمةالعدديةنرسمأوالمنهذهالقوى

ا.ويبقىتحديدمكاننقطةتأثيرهذهb-12-6لجملةالقوىالثالثكماهومبينفيالشكلحRواتجاهالقوةالمحصلةواتأثيرهذهالقوةإلىأيمكانعلىمطعملهالذلكنتبعالخطالقوةالمحصلةأومطعملهاألننانستطيعنقلنقطةت

التالية:مثل النقطةمعجميعرؤوسمضلعالقوىOنختارنقطةما القطبونصلهذه منمستويمضلعالقوىونسميها

ا.b-12-6كماهومبينفيالشـكلحVIوIIIوIIوIفنحصلعلىمايسمىبالقوىالمساعدةونرمزلهابـ

12-6الشكل

86

مثل للصفر مكافلة تكون مثلثا وتشكل قوى ثالث من المؤلفة الجملة أن القوى مضلع من نالحظ II,F,I و1 III,F,II و2 IV,F,III معمراعاةاالتجاه.3

مطوطعملهذهالقوىفينقطةواحدة.إنانعدامأيةجملةقوىمؤلفةمنثالثقوىمنالجملالسابقةيتطلبتالقيIالموازيينلمنحنيالقوتينالمساعدتينadوabالمستقيمين1Fعلىمطعملالقوةaلذلكنرسممننقطةمامثل

مثال.وبماأنجملةالقوىbفيالنقطة2FمطعملالقوةIIمنمضلعالقوى،فيقطعمطعملالقوةالمساعدةIIوالمؤلفةمنالقوى III,F,II أيضا.ثمbمنالنقطةIIIمكافلةللصفرلذلكيجبأنيمرمطعملالقوةالمساعدة23Fةمنمضلعالقوى،فيقطعهذهالمستقيممطعملالقوIIIالموازيللقوةالمساعدةbc المستقيم bنرسممنالنقطة

.cفيالنقطةوبماأنجملةالقوىالمؤلفةمنالقوى IV,F,III IVمكافلةللصفرلذلكيجبأنيمرمطعملالقوةالمساعدة3

لىمنمضلعالقوى.فنحصلبذلكعIVمستقيماموازياللقوةالمساعدةcأيضا.لذلكنرسممنالنقطةcمنالنقطةاحيثنالحظأنكلرؤوسالمضلعالحبلييقععلىأحدمطوطa-12-6المبينفيالشكلحabcحبليالمضلعال

321عملقوىالمجموعة F,F,F.بينماتكونأضالعهموازيةللقوىالمساعدةفيمضلعالقوىنالحظاآلنمنمضلعالقوىأنالجملةالمؤلفةمنالقوى IV,R,Iلذلكيجبأنتتالقىمطوط مكافلةللصفرأيضا

مريالتييجبأنdحتىتتالقىفيالنقطةIVوIعملهافينقطةواحدة.نمددالخطينالموازيينللقوتينالمساعدتينمنمضلعالقوىRالمساويةللقوةالمحصلةRالقوةd.لذلكنرسممنالنقطةRمنهامطعملالقوةالمحصلة

القوىفتكونهيالقوةالمحصلةالوحيدةالمطلوبة.وهكذاقدتمتعيينالقيمةالعدديةللقوةالمحصلةوحاملهامنمضلعوتعييننقطةتأثيرهامنالمضلعالحبلي.

ولوتمامتيارOهوالمضلعالموافقللقطبabcالقوىكيفياوالمضلعالحبليفيمضلعOلقدتمامتيارالقطب

ققطباآمرالحصلناعلىمضلعحبليآمر.لذلكيوجدعددالنهائيمنالمضلعاتالحبليةلجملةقوىكلمنهايوافبليةتؤديإلىذاتالنتيجة.قطبامعينامنمستويمضلعالقوىإالأنجميعهذهالمضلعاتالح

ددمنإنالطريقةالبيانيةالمذكورةأعالهالستبدالجملةقوىمؤلفةمنثالثقوىبقوةوحيدةيمكنتعميمهاعلىأيعتعيينردوداألفعالاستناداإلىالمضلعالحبلي.والقوىالمستوية.وأيضايمكندراسةتوازنالجسمالصلب

87

Lecture title: Equivalent system

Lecture syllabus:

-Resultants of a force and couple system

-Further reduction of a force and couple system

-Reduction of a simple distribution loading

Conclusion:

Present methods for determining of a force about a specified axis.

Indicate how to reduce a simple distribution loading to a resultant force having a

specified location.

References:

- Engineering Mechanics Statics, R. C. Hibbeler, 11th edition in SI Units.

- Engineering Mechanics Statics, A. Bedford and W. Fowler, Fifth edition in SI

Units.

2009 -2008د. ياسر حسن، منشورات جامعة تشرين، -الميكانيك الهندسي، د. عهد سليمان -

Name: Dr.Eng. Ahed SULEIMAN

Email: sulahed@yahoo.fr

إضافات مدرس المقرر

88