第 6 章地下水的非稳定渗流运动
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第 6 章地下水的非稳定渗流运动 随着工农业生产的不断发展，以及人口数量的不断增加，工业、农业及生活用水的需求量的不断增大，地下水作为重要的供水水源其开采量及开采规模迅速扩大，大多数地区普遍出现区域地下水的持续下降，而作为地下水运动要素均不随时间发生变化的稳定流理论及其裘布依（ Dupuit ）水量计算公式，无法解决和预测这一现象，以及未来地下水动态的变化趋势。 本章主要讨论由于抽水而产生的非稳定渗流。 非稳定渗流理论所解决的主要问题 1. 评价地下水的开采量 2. 预报地下水位下降值 3. 确定含水层的水文地质参数. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第 6 章地下水的非稳定渗流运动 随着工农业生产的不断发展，以及人口数量的不断增加，工业、农业及生活用水的需求量的不断增大，地下水作为重要的供水水源其开采量及开采规模迅速扩大，大多数地区普遍出现区域地下水的持续下降，而作为地下水运动要素均不随时间发生变化的稳定流理论及其裘布依（ Dupuit ）水量计算公式，无法解决和预测这一现象，以及未来地下水动态的变化趋势。本章主要讨论由于抽水而产生的非稳定渗流。 非稳定渗流理论所解决的主要问题1. 评价地下水的开采量2. 预报地下水位下降值3. 确定含水层的水文地质参数
• 泰斯以达西定律为基础，利用热传导理论提出了地下水非稳定井流的计算公式，称为泰斯公式。
• 泰斯非稳定流理论认为在抽水过程中地下水的运动状态是随时间而变化的，即动水位不断下降，降落漏斗不断扩大，直至含水层的边缘或补给水体，而且距抽水井越远，漏斗的曲率越小，扩展速度越来越缓慢。
6.1 非稳定渗流基本概念及其基本微分方程侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧
6.1.1 轴对称二维不稳定潜水井流基本微分方程侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧
• 取一以井轴为中心的单元环柱体• 作为均衡地段，以 dt 为均衡时段。• 设断面 r 的流量为 Q ，断面 r+dr 的• 流量为 Q+dQ ，则均衡方程为：
H h
r
Q
h
+dQQ
dr
drr
-(Q+ Q) +2 +Q =2d dt πrdr dt dt πr dr dh×× × × ×m
Q= - 2h
πrh kr
¶××
¶
根据达西定律 V=kJ 可得
上式的负号，是表示 Q 与 h/r 的方向相反，有：Q
Q= -2 [ ( ) ]h h
d dr = πk r h h drr r r r
¶ ¶ ¶ ¶+
¶ ¶ ¶ ¶
2 [ ( ) ] 2h h h
πk r h h dr πrdr πrdrr r r t
m¶ ¶ ¶ ¶
+ + × × ×¶ ¶ ¶ ¶
1[ ( ) ]
h h hk h h
r r r r t
¶ ¶ ¶ ¶+ + ×
¶ ¶ ¶ ¶m 简化为
将上式代入式（ 6.1 ） :
（ 6.2 ）
（ 6.1 ）
• 使式（ 6.2 ）线性化的方法，常用的有下列两种。第一种线性化的方法，是将式（ 6.2 ）左端部分中作为乘数的 h用平均值 hm 代替，并视为常量，则式（ 6.2 ）可改写为
2
2
1[ ]mkh h h h
r r r t
¶ ¶ ¶+ +
¶ ¶ ¶
侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧2
2
1[ ]mkh h h h
r r r t
¶ ¶ ¶+
¶ ¶ ¶
对于水平二维无压流动，令 mkha=
则式（ 6.3 ）和（ 6.4 ）可写成为
（ 6.3 ）
（ 6.4 ）
2
2
1[ ]
h h ha
r r r t
¶ ¶ ¶+ +
¶ ¶ ¶
2
2
1[ ]
h h ha
r r r t
¶ ¶ ¶+
¶ ¶ ¶
式中 a 为水位传导系数， m2/d ；
（ 6.5 ）
• 第二种线性化的方法，是在式（ 6.2 ）的两端均乘以 h ，并令势函数
2 2( )( )
2 2
H h sH s
-= -
2
2
1[ ]kh hr r r t
¶ ¶ ¶+ - ×
¶ ¶ ¶m
得：
再以平均值 hm 代替 h ，，并将式（ 6.5 ）代入上式，得2
2
1[ ] mhar r r t
¶ ¶ ¶+ -
¶ ¶ ¶ 侧侧侧
2
2
1[ ]ar r r t
¶ ¶ ¶+
¶ ¶ ¶
令： T =kh —— 导水系数，表示含水层的导水性能；将 T 、 a 代入上式则得潜水完整井非稳定流的微分方程：
rTrrr
1
2
2 或 rarrr
11
2
2
• 6.1.2 不稳定承压井流基本概念及其基本微分方程 侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧—
—侧侧侧侧——侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧侧
侧侧侧侧侧侧侧
ps
ph=p
测压水头
php=
但是，从承压含水层中抽水，周围形成的降落漏斗并不是对含水层的疏干，而只是构成水头（压力）的降低。
压力降低为什么能释放出水来？物体均具有可压缩性，只是程度不同而已。当作用在物体上的压力增大时，物体的体积缩小，密度增大；反之，当压力减小时，其体积增大，密度减小。
• 对于承压含水层（取一处于平衡状态的地层柱体来研究，见图 6.2 ），含水层上覆岩体外部荷载的重量和大气压力由两部分力与其平衡，一是含水层多孔介质对它的反力 ps ，另一是承压水作用在隔水顶板上的浮托力 p（ p=hp，
• 其中 hp 是承压含水层顶面的测压高度；是水的重率）。• 这是抽水前的平衡状态。• 如果发生水头降低。也即含水层中每点地下水的压力 p减
小，它将引起下列作用：（ 1 ）由于水压的降低，地下水的体积发生膨胀，从而释放出部分地下水；（ 2 ）水的压力 p 的降低，即地下水对上覆岩体的浮托力降低，为了维持平衡，这部分力将转嫁到含水层多孔介质上，从而压缩含水层，其结果使含水层的空隙率 n 变小和含水层厚度变薄，这两个因素均使得从含水层中释放出部分地下水；（ 3 ）由于压力的降低，组成含水层骨架的固体部分将会膨胀，而这又引起含水层厚度和空隙率的变化，其关系比较复杂。考虑到含水层固体部分的压缩性一般比水和含水层要小得多，因此，建立微分方程时可以忽略固体部分的压缩性，将它视为刚体。
• 如果承压含水层测压水头上升，则发生相反的过程。• 上述分析说明：假如水头降低，承压含水层会释放出部分
地下水；如果水头升高，承压含水层也会储存部分地下水，这就是通常所说的“弹性储量”。
• 弹性储量提供承压抽水井水量的概念，是与齐姆稳定井流的设想不相同的。后者假设，承压抽水井全靠“水平补给”。可以想像，如果没有弹性储量，依据水流连续性原理，则在抽水开始的一刹那，各断面 (包括 r→∞) 的流量均等于抽水井的流量 Q 。或者为了把矛盾暴露得更突出些，考虑承压含水层中沟流的情况，则在刚抽水的一瞬间，各断面 (包括 r→∞) 的流速均相等。这显然不符合实际情况。因此，弹性储量必须加以考虑。
• 承压含水层由于水的来源是含水层的弹性压缩与水的弹性膨胀，因此其基本微分方程的建立除根据水均衡原理和渗流基本定律外，还应与水及含水层的状态方程（体积与压力间的关系）有关。
• 2. 水的状态方程假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有• 因为 V 随 p 的增大而减小，即 dV/dp<0 ，而 w 规定为正值，
所以上两式右侧有一负号。 w 的物理意义是：当压力改变一个单位时，单位体积水的
增量。 w 的单位：压力的单位通常采用 kg/cm2 （大气压），故 w
的单位采用 cm2/ kg 。• 对方程（ 6.12 ）进行积分
1
w
dVdp
V=- ×
1 ip V
wp V
dVdp
V- =ò ò
( ) ln iw i
Vp p
V- = 依照马克劳林级数 :
( ) 2 2 3 31 11+ ( ) + ( ) + ( ) +
2! 3!w ip p
w i w i w ie p p p p p p- = - - - ×××
在压力变化不大时上式可近似取头两项 ,
( )w ip p iVeV
- =（ 6.13 ）
式（ 6.13 ）可写成[1+ ( - )]i w iV V p p= ( )i
w i w
V VVp p p
V V
-D= = - =- D （ 6.14 ）
（ 6.12 ）
• 压力 p 的变化引起水的体积 V 的变化，但是水的质量 m 和重量 G 是不变的。由 V =m 和 V=G 的关系可知：若体积 V 增大，则密度和重度相应减小，有( )
Gd
dV dGV
= =-
∴由式（ 6.12 ）得 1
w
ddp= ×
3.岩层（多孔介质）的状态方程 (1+ )i sM M p= D
H h
h
Q
r dr
M
Qr r +d(Q r )
(r )t,
4. 轴对称二维不稳定承压井流基本微分方程
这里讨论均质、各向同性、等厚的承压含水层中完整井的抽水情况。考虑含水层底板（或顶板）为弱透水层，抽水时通过它有越层渗透，其越流强度为。
设断面 r的重量流量为 Qr ，断面 r+dr 的重量流量为 Qr+d（ Q
r ） ，单元环柱体中水的重量为 G ，则其均衡方程为-[ Q ( Q )] 2 Qr r rd dt πrdr dt dt dG+ + ××× + =
H h
h
Q
r dr
M
Qr r +d(Q r )
(r )t,
按达西定律 Q 2r
hπrM K
r
¶=- × ×
¶
则 2
2( Q ) ( Q ) 2 ( )r r
h hd dr πM K r dr
r r r
¶ ¶ ¶= » - × × +¶ ¶ ¶
均衡段内地下水的重量为 2G πrdr M n= × ×
式中 n——空隙率， 1
En
E=
+2π ( )
1
G Erdr M
t t E
¶ ¶\ = × ×¶ ¶ +
1+ 1+
s
a
ss
VM M MM
V VE VVV
= = =Q 2π ( ) = 2 ( )1 1+
G M M Erdr E πrdr E
t E t E t t
¶ ¶ ¶ ¶\ = × +¶ + ¶ ¶ ¶
2
2
1( )
( ) ( )w s w s
kM h h h
M n r r r M n t
¶ ¶ ¶+ × + =
+ ¶ ¶ + ¶
可推得：
此式与潜水井微分方程式（ 6.3 ）对比，从形式上看，承压含水层中的 M (nw+s)起着潜水含水层的给水度的作用。
• 自己看 P84~P86 ，可推出：• （ 6.32 ）
• 当无越流时 =0 时•
• （ 6.33 ）
2
2
1( )
*
h h ha
r r r t
¶ ¶ ¶+ × + =
¶ ¶ ¶
2
2
1( )
h h ha
r r r t
¶ ¶ ¶+ × =
¶ ¶ ¶
上两式就是轴对称二维非稳定承压井流的基本微分方程。对比式（ 6.33 ）和（ 6.10 ），如果令
M(H－ h)=Ms （ 6.34）
则式（ 6.33 ）可写成 （ 6.35 ）
2
2
1( )ar r r t
¶ ¶ ¶+ × =
¶ ¶ ¶
式（ 6.35 ）和（ 6.10 ）的形式完全相同，只是其中的势函数不同。
对非完整井，可推导出均质各向异性介质中地下水三维流动的微分方程为：
tayx
1
z 2
2
2
2
2
2
或 tarrr
1
z
12
2
2
2
• 6.2 无越流含水层中的单个定流量完整井流• 因为无越流故无垂向渗流所以： =0 。• 6.2.1 无限承压含水层中单个定流量完整井流• 含水层均是有限的。如果含水层是如此之大，以致边界对于
含水层研究区段的水头分布没有明显的影响，则可称它为无限含水层。对于压力传导系数小的含水层进行短时间抽水的情况，可视为无限的含水层。
• 1. 承压含水层定流量抽水时的 Theis （泰斯）公式。• 承压含水层中单个井定流量抽水的数学模型是在下列假设条件下建立的：
• （ 1 ）含水层为均质各向同性、等厚、侧向无限延伸，产状水平、导水系数 T 为常数；
• （ 2 ）抽水前地下水的水头面水平；• （ 3 ）定流量抽水井，井径无限小；• （ 4 ）含水层中水流服从达西定律；
（ 5 ）抽水后，水头下降引起地下水从贮存量中的释放是瞬时完成的，储水系数 * 为常数储水系数是常数，故承压含水层的压力传导系数 a=T/* 是常数，其中 * 是释水系数。所以：导水系数 T=kM ，式中 M 为含水层的厚度。
（ 6 ）承压井流要保持承压状态，则水位降深 s 不得大于（ H-M ）。
（ 7 ）承压井按泰斯理论，抽出的水来自含水层储存量的弹性释放，并且是瞬时完成，所以 T=kM 为常数。
抽水井抽水时，抽水量完全是来自含水层中的储存量，随着抽水时间的延续，以井轴为对称的下降漏斗不断的扩展，水流始终是非稳定渗流状态。
在上述假设条件下，将坐标原点放在含水层底板抽水井的井轴处，井轴为 z 轴，如右图所示。
t
H
Q时水面线
M
Z
o
hs
r r0
根据上述假设条件 (1) 和 (5) 可以应用
不稳定承压井流基本微分方程（ 6.6 ）
,(2) 是初始条件 ,(3) 和含水层侧向无限延伸是内外边界条件。令=kMH+C=M1(H－ h)=M1s
• 因此，该定解问题可写成为： 2
2
1[ ]ar r r t
¶ ¶ ¶+ +
¶ ¶ ¶j j j
0( , 0)r r t
2
2
1[ ]ar r r t
¶ ¶ ¶
+¶ ¶ ¶j j j （ =0时）
( ,0) 0r 0( )r r
( , ) 0t ( 0)t
0lim 2 Qr
r kr®
¶- × =
¶j
p （常数） ( 0)t
该定解问题可用积分变换法，分离变量法或博尔兹门变换法求解，它的解是 Q
4
u
u
edu
k up
-¥
= ò 其中 2 2*
4 4
r ru
Tt at= =
m
令 ( )u
u
edu W u
u
-¥
=ò ∵ =M(H－ h)=Ms ( ) ( )Q Q
4 4s W u W u
kM Tp p\ = =
4Q
( )
Ts
W u
p\ =
)Q
4(4 1
2
TsaW
rt
式（ 6.45 ）、式（ 6.46 ）和式（ 6.47 ）称为泰斯公式。
• W（ u ）称为承压水定流量的井函数。
右端为指数积分，将其展成幂级数并逐项积分。 W（ u ）可表示为下列无穷级数的形式
因为 0.577216=ln1.78107 ，当抽水时间 t 较长、抽水井u≤0.01
或观测井 u≤0.05 时，式（ 6.48 ）第二项以后（不包括第二项）可忽略不计，则式（ 6.45 ）、式（ 6.46 ）和式（ 6.47 ）可简化为
见 P89 表 6.1 、 P91[例 6.1] 。2. 对泰斯公式的简要分析见 P91,属于了解的范畴。
duu
euW
u
u
)(
1
1
!)1(ln577216.0)(
n
nn
nn
uuuW
2
25.2ln
4
Q
r
at
Ts
2
25.2ln
4Q
r
atTs
Q
42
445.0Ts
ea
rt
• 6.2.2 无限潜水含水层中单个定流量完整井流• 在潜水含水层中抽水时，潜水面是随时间不断变化的上界面。• 1. 地下水向潜水井的非稳定渗流的主要表现以及与承压井的非
稳定渗流的比较：• （ 1 ）潜水井的导水系数 T=kh 是随时间和距离而变化的，而
承压井的 T=kM 为常数；• （ 2 ）潜水井降深较大时，垂直分速度不可忽略，在井附近为三维流。水平含水层中的承压井可作为二维流处理；
• （ 3 ）潜水井中抽出的水量主要来自含水层的重力疏干。考虑疏干的滞后性时，虽然潜水面下降了，而潜水面以上新形成的饱和带中仍有水继续向下排水，补给潜水层。这时，潜水层的给水度是变化的，故潜水含水层的水位传导系数 a=T/是变化的。给水度是随着抽水时间的增加而逐渐趋向于稳定的最大值，一般提供的给水度值，便是这个最终值。导水系数 ，式中： 。
HkT 2
)( maxsHHH
从实测的水头降深 s和 t 时间的关系曲线分析，潜水含水层存在滞后疏干的现象， s－ t 曲线反映出抽水过程三阶段：抽水初期 s－ t 曲线与承压井的泰斯曲线一致。这时主要为弹性释放，可以储水系数表示。潜水位下降了，重力疏干因滞后反应所引起的作用还很小。所以，含水层的作用相当于贮水系数小的承压含水层。这阶段的时间很短，也许只有几分钟。抽水中期 s－ t 曲线的变化很象有越流补给时半承压含水层的情况，明显偏离泰斯曲线，曲线斜率变小，甚至出现短时间的假稳定。此时，重力疏干的作用逐渐明显，贮存的重力水逐步释放出来，起到连续再补给的作用。弹性释放的作用依然存在，但所占比例已逐渐减弱。此时给水度的数值逐级增大而趋向潜水含水层的最大值。这个阶段，由于潜水层性质的不同，可能是几分钟，也可能是几天。• 抽水后期 s－ t 曲线又与泰斯曲线相一致，水头下降速度增大，降落漏斗扩展，这时主要为重力疏干作用，由于抽水时间的增长，重力排水已跟得上水位的下降，滞后作用可忽略不计，此时的给水度达到最大值。• （ 4 ）当降深不大时，含水层为无限含水层时潜水完整井单井抽水非稳定流运算模型参照承压水完整井的方式进行一系列代换导出时，将式（ 6.5 ）代入式（ 6.43 ），则得计算潜水井流的基本方程：
• 上三式也称为泰斯公式。
)(2
Q2 uWk
HHs
)(
)2(2Q 00
uW
ssHk
]Q
)2(2[4 1
2
ssHkaW
rt
所以泰斯公式有 6个式子，即：公式（ 6.45 ）、式（ 6.46 ）、式（ 6.47 ）、式（ 6.58 ）、式（ 6.59 ）和式（ 5.60 ）。
式中 W（ u ）的求解与承压水完整井非稳定流时相同。
• 当抽水时间 t较长、抽水井 u≤0.01 或观测井 u≤0.05 时，式（ 6.48 ）第二项（不包括第二项）以后可忽略不计，则式（ 6.58 ）、式（ 6.59 ）和式（ 6.60 ）可简化为
22 25..2
ln2
Q
r
at
kHHs
2
00
25.2ln
)2(2Q
r
atssHk
Q
)2(22
445.0ssHk
ea
rt
2.博尔顿法数学模型及其解 *
),(D
ruW ya
aa uD
ruW
1),(
侧侧侧 的数值解在双对数坐标纸上绘得曲线簇 ,
侧侧侧侧侧侧抽水初期；它包括两组曲线， 左边为 A组
• 右边为 B组 曲线，适用于抽水后期。因式• （ 6.63 ）的条件是 →∞，两组曲线的中间部分为一水平
线，可用式（ 6.65 ）表示。当 ≥ 100 时，曲线中间部分仍趋近于一水平线，如 <100 时，曲线中间部分就不是水平线了，而是一条比抽水初期和后期的斜率小得多的曲线，可用两组曲线间它们的共同切线连接。
• 曲线簇说明：抽水初期以弹性释放为主，水头降深与左边的泰斯曲线吻合；中期滞后重力排水的影响曲线簇偏离泰斯曲线，水头下降速度变小，并随不同的 r/D ，以不同方式向水平线趋近；后期滞后重力排水影响逐渐减弱，水头下降速度又由小变大。滞后重力排水影响基本结束时，曲线簇与右边的泰斯曲线趋近。
yy uD
ruW
1),(
Tt
ru y 4
2
Tt
rua 4
*2 ；
• 6.3 有越流补给时承压含水层中的单个定流量完整井流• 如果抽水层的顶板或底板不是隔水层，而是弱透水层或弱含水
层，那么当抽水层抽水时，水位下降，抽出的水除了抽水层本身的弹性释放之外，还得到弱透水层的弹性释放补给和相邻含水层通过弱透水层的补给。这种含水层系统称为越流系统。它包括抽水含水层和相邻含水层。见下图。
• 越流系统可分为三种类型：• （ 1 ）弱透水层的弹性储量很小，可忽略不计，而且在抽水含
水层抽水期间，相邻含水层的水位不变。
h
s
h k
/k /
相邻含水层
抽水含水层
弱透水层M
M
H
• （ 2 ）弱透水层中释放出来的水量相当大，甚至是越流补给的主要来源，相邻含水层的水位保持不变；所以应考虑弱透水层的弹性储量。
• （ 3 ）补给层的水头随主含水层的抽水情况而变化，这种类型的计算很复杂，本书不讨论此类问题。
• 本书只介绍第一类及第二类特定条件下的计算公式。• 越流系统中常用的三个系数• （ 1 ）弱透水层越流系数 b ：其含义为，水头降低一个单位
时，单位时间内，单位水平面积上，相邻含水层通过弱透水层补给抽水含水层的水量。
M
kb
（ 2 ）阻越流系数 Bk
MTB
阻越流系数 B 表示越流补给量大小， B愈大则渗透系数就愈小，故垂直补给量愈小。
k
• （ 3 ）越流补给强度• 越流补给强度是单位时间通过单位水平面积补给抽水含水层的
水量，（ m/d ）• （ 6.68 ）• 式中 s —— 抽水含水层水头降深。
sM
k
一、第一类越流系统地下水流向承压完整井的非稳定运动1.汉土斯假设： （ 1 ）越流系统中每层都均质各向同性、产状水平、等厚、侧向无限延伸；（ 2 ）抽水含水层和相邻含水层初始水位水平且相等，抽水后，抽
水层中水流为平面径向流；（ 3 ）抽水后相邻含水层越流补给抽水层，但其中水位保持不变；（ 4 ）抽水层中水流服从达西定律；（ 5 ）水和含水层均为弹性体，储水量的释放是瞬时完成的；（ 6 ）抽水井以定流量抽水为井径无限小的完整井；（ 7 ）弱透水层的弹性释放水量可忽略不计，通过其中的水流为垂
向一维流。
• 在上述水文地质条件下抽水时，井的抽水量 Q 由二部分组成：一是由于水位降低，抽水含水层本身的弹性释放量；二是在抽水含水层与相邻含水层之间的水位差作用下，来自相邻含水层的越流补给量。随着抽水时间的延续，水位差增大，降落漏斗扩展，使越流补给量在井的抽水量中所占比重也逐渐增大。当井的抽水量与越流补给量相等时，抽水含水层的降落漏斗达到稳定，抽水含水层不再释放储存量。
2.汉土斯数学模型及其解在上述假设条件下，可应用承压二维渗流的微分方程，结合相应
的初始条件和边界条件，构成一个理想的数学模型：
• s（ r， 0） =0
• =0
• 这一数学模型有非稳定流和稳定流的解。• （ 1 ）有越流补给时非稳定流的解• 将上式积分变换，得：•
• 解得：
t
s
at
s
TTr
s
rr
s
11 *
2
2
),( ts
Tr
sr
r 2Q
lim0
dyyB
ry
yTtrs
u
)4
exp(1
4
Q),(
2
2
hHB
ruW
Ttrs ),(
4
Q),(
为不考虑弱透水层弹性释水时越流系统的井函数，其值),(B
ruW
见 P101 表 6.2 。
• （ 2 ）有越流补给时非稳定流的解的分析• ①有越流时的降深比无越流时小• 将有越流时的解式（ 6.71 ）和泰斯的解式（ 6.45 ）对比可看出，当 u 值相同时，因为 恒为正值，故积分
较 为小。因此，该含水层的降深 s比无越流的承压含水层的降深值要小。这是因为在越流时，水井中抽出的水，一部分来自越流补给，抽水含水层可以少释放一些弹性储量造成的。• 当 k/=0 时，弱透水层变为不透水层，越流因素 B→∞ ，没有
越流补给。式中的 → 0 ，则变成泰斯公式。 时，就是泰斯曲线。• ②s—t 曲线的形状按表 6.2 有越流井函数绘制 — 标准曲线，见下图。
at
r
Tt
ru
44
* 22
yB
r2
2
4dy
yB
ry
yu
)4
exp(1
2
2
dueu
u
yB
r2
2
40
B
r
),(B
ruW
u
1
),(B
ruW
B
r
B
r
k
MTB
B
r
此曲线相当于 s—t 曲线。抽水初期，降深较小，越流尚未进入抽水层，井中抽水的水量几乎全部是消耗抽水层的贮存量，可看出这时的降深曲线与泰斯曲线一致。在理论上即越流量等于 0 ，或 B→∞， →W(u) ，降深曲线与泰斯曲线一致。
值时的曲线形状。在其他条件和
越小，与泰斯曲线一致的过程越长，相邻含水层的
分析，
小，即 B 大，则透弱水层的渗透性小，厚度大，
标准曲线中表示了不同
r 相同时 ,
越流量进入抽水含水层的时间越迟。从
所以越流发生得迟。
• 抽水中期，降深曲线变缓，偏离泰斯曲线。这说明越流开始进入抽水层，这时抽水量由两部分组成：一是来自抽水层的弹性释放，二是来自相邻含水层的越流补给。其他条件和 r 相同时 , 大，越流补给量大，消耗抽水层的储 存量小，所以抽水层的降深也小，偏离泰斯曲线早。• 抽水后期，降深曲线趋向水平直线，也就是说水头不再下降，抽水量等于越流补给量，流水由非稳定流变为稳定流。• ③水头下降速度• 当存在越流时，含水层中水头下降速度为•
B
r
)]4
(exp[1
4
Q2
2
B
at
at
r
tπTt
s
• 与泰斯公式的水头下降速度对比看出， 恒为正值，故
有越流时水头下降速度比无越流的承压含水层为小。 t 足够大时，井周围的降落漏斗等速下降。
)(2B
at
2)(05.0B
r
)(2),( 0 B
rk
B
ruW
（ 3 ）有越流补给时的稳定流解当 t足够大时， u便很小。实用上只要
u≤导，井函数部分为：
，经数学推
一般越流含水层的阻越流系数 B都相当大，故 《 1 ，
上式要求 [注：见表 5.5 ， 大，则 小 ] 。稳定时的降深即最大降深，可表示为：
B
r0
)(2
Q0 B
rk
Tsmax
式中 )(0 B
rk 为零阶第二类虚宗量塞尔函数，见 P103 表 6.3 。
能满足
B
r)(0 B
rk
• 当 ≤ 0.05 时，在抽水井附近，则按贝塞尔函数性质：
• 则
• 稳定流中求得的裘布依公式为•
• 对比上两式得 :R=1.12B
• R就是裘布依公式中的影响半径，在一定水文地质条件下B 是常数，因而 R也是定值。此时， R 的意义是在抽水效果不变的条件下，把面积形式补给的越流量转化为具有圆柱形侧向补给时的圆周半径。 见 P104[例 6.2]
B
r
r
B
B
rk
1.12ln)(0
r
B
Tsmax
1.12ln
2
Q
r
R
Ts ln
2
Q
第二类越流系统水流向承压完整井的非稳定运动的计算公式
hHBuHT
trs ),(4
Q),(
dyuyy
uB
y
eBuH
u
y
))(
(erfc),(
at
ru
4
2
当弱透水层上下为两个相邻含水层，抽水时间又很短的第二类越流系统（弱透水层中释放出来的水量相当大，不能忽略时）可用下列公式计算：
erfc (x)——误差函数的补函数。
——井函数自变量；
——第二类越流系统井函数；
k
MTB
k
MTB
22
11
1
BB
B
• 6.4集中开采区定流量完整干扰井群• 在集中开采区，往往在较小范围内布置数量很多的单井，形成相当密切的干扰井群。由于单井的数量很多，用前面讲的叠加方法进行计算是相当繁琐的。为了简化计算，可以把集中开采区的干扰井群近似概化为具有均匀开采（或补给）强度的开采地区，变成假想的连续型干扰井群。若井群的总开采量为 Q ，开采区面积为A ，则开采强度 =Q/A 。• 实际的干扰井群无论怎样密集总是离散型的，概化为连续型只是一种近似，把井群作为一个整体看待。在平面上按井的分布应用较多的连续型开采地区有圆形和矩型。在含水层稳定展布的平原区，各种井群往往不均匀地分布着，难以概化为单一的具有均匀开采强度的圆形或矩型开采地区。因此，可以按井孔的分布和流量的情况、概化成若干个不同开采强度、不同几何形状的开采地区的组合。还可加上若干个难以包括的单井 ,见上图。然后将若干个概化地区和单井叠加起来，就可求解。
3
1
2
• 6.4.1圆形开采区• 右图表示一平面无限延伸的承压含水层，厚度为 M ，压力传导系数a=T/* ，圆形开采地区的半径为 R ，均匀开采强度为，总开采流量为 Q ，开采后区域降落漏斗、概化如图中所示。水流为轴对称的，可列出以降深表示的数学模型：
可推得开采中心区最大降深
M
H
0h
s0
R r
h
s
max 0
Q( )
4 cs W uT
0
0 00
(1 )( ) ( )
u
c
eW u W u
u
2
0 4
Ru
at 当 u0≤0.05 ，即抽水时间较长， 时
0
0
11
ue
u
0 0 2
6.11( ) ( ) 1 lnc
atW u W u
R
1r 时，
0
020
0
Q (1 )[ ( ) ]
4
uue
s W u r eT u
1r 时， 0 0
Q[ ( ) 0.5 ]
4us W u u
T
(1.5 ~ 2)r r 时， 0
Q( )
4s W u
T
• 此式表示在距离比较远处，圆形开采区的作用与单井的作用相同，可以用单井公式计算。• 见 P106[例 6.3] 。
• 6.4.2矩形开采区• 图 6.12 表示一平面无限延伸的承压• 含水层，厚度为 M ，压力传导系数• a=T/* ，矩形开采地区的边长为• 2L 和 2b ，总开采流量为 Q ，开采• 后区域降落漏斗、概化如图中所• 示，均匀开采强度为 =Q/4Lb ，
M
H
0h
s0
L0
x
y
b
s
1[ *( ) *( ) *( ) *( )]
4 2 2 2 2 2 2 2 2
L x b y L x b y L x b y L x b ys s s s s
at at at at at at at at
1
0*( , ) erf ( )erf ( )s
dτ 在开采中心 x =0 ， y =0处降深最大，max *( , )
* 2 2
t L bs s
at at上式简化为：
• 见 P106[例 6.4] 。• 6.4.3 潜水含水层在降深不大时• 可近似应用承压井的公式 （ 6.89 ）• 见 P107[例 6.5] 。• 6.5 无越流含水层中水流向完整干扰井群的非稳定渗流• 6.5.1.1 承压完整干扰井群
2
1
1Q ( )
2
n
n i ii
s H H W uk =
= - -p å
根据叠加原理，若 n个井同时抽水， t 时刻在 A点的水位降深为：)]
4(Q[
4
1
121
n
i i
iAinAAAA Tt
*rW
Tssss
当
0104
2
.Tt
sr
i
iA 时，其近似公式为： ]252
lnQ[4
1
12
n
i iA
iiA *r
Tt.
Ts
6.5.1.2 潜水完整干扰井群对潜水含水层在降深不大时可近似用下式：
)]4
([Q2
1)2(
2
1
20
2
i
iAn
iiAAA Tt
rW
khHssH
• 当 时，其近似公式为：010
4
2
.uTt
sri
i
iA ]2.25
ln[Q2
1)2(
21
20
2
iA
in
iiAAA r
at
khHssH
6.5.2 边界附近地下水向井的非稳定渗流6.5.2.1 直线补给边界 承压含水层一侧为定水位的河流，另一侧无限延伸。有一抽
水井在工作。设以河流边界为镜面，在另一侧对称位置上有一注
水井，以 Q 注 =Q 抽工作。根据叠加原理可写出直线补给边界附近
的单井非稳定抽水时， t 时刻任意一点 A 的降深计算公式：)](-)([
4
Q21 uWuW
TsA
当 u1≤0.01 ， u2≤0.01 时，可用下列近似公式：
1
22
22
1
ln2
Q]
2.25ln-
2.25[ln
4
Q
r
r
Tr
at
r
at
TsA
上式的右端没有时间 t 的变量，说明 sA 不随时间而变化，和稳定流的方程式一样。所以有补给边界存在的条件下，抽水井工作一段时间后，便可达到稳定状态。见 P 109[例 6.6] 。
• 6.5.2.2 直线隔水边界• 如工作井是在承压含水层中的抽水井，虚构井可看成是抽水井，流量同真实的抽水井一样。根据叠加原理可写出直线隔水边界附近的单井非稳定抽水时， t 时刻任意一点 A 的降深计算公式：
)]()([4
Q21 uWuW
TsA
当 u1≤0.01 ， u2≤0.01 时，可用下列近似公式：
212
22
1
252ln
2
Q]
2.25ln
2.25[ln
4
Q
rr
at.
Tr
at
r
at
TsA
6.6 地下水向非完整井的非稳定流渗流运动基本方程式对于承压水非完整井：
),(2)(
)(4Q
r
M
M
LuW
hHkM
对于潜水非完整井：),(2)(
)(2Q
22
r
M
M
LuW
hHk
• 6.7 水文地质参数的确定• 利用稳定流抽水试验计算水文地质参数
一、单井稳定抽水试验计算渗透系数 k
210
3 4Q(m3
s(m
)
2
4
6
000 000 000 000/d)
a型
b型
h2
利用裘布依型稳定流公式进行渗透系数计算时，若没有观测孔而只能根据抽水井的出水量、水位下降等数据，则应消除抽水井附近产生的三维流、紊流的影响；特别是在抽水井水位下降值较大的情况下，最好采用下列消除渗透阻力的方法：
首先根据单井内水位下降值 s与相应的出水量 Q绘制 Q—s关系曲线，如右图所示，再按所得曲线类型选择适当的计算公式。
• 1. 当承压井 Q—s( 或潜水井Q— )呈直线关系时（见右图中的 a型曲线），地下水运动为平面流，可直接采用第五章的公式计算渗透系数 k 。 (注：潜水含水层在自然情况下： ) 。见 P112[例 6.7] 。 2. 当 Q～ s( 或 )关系呈曲线关系时（见图 6.14 中的
b型曲线），抽水井壁及其附近含水层中，已产生三维紊流，不符合裘布依的基本假定条件，因此不能直接用稳定流公式进行计算。为了消除三维流、紊流的影响，在计算时应采用消除阻力法。方法如下：• 首先绘制 或 关系曲线，若根据三次水位下降
210
3 4Q(m3
s(m
)
2
4
6
000 000 000 000/d)
a型
b型
h2
2h
20
22 hHh
2h
sQ
Q
2
h
的 Q 、 s
P113[例 6.8]
sQ
Q
2
h
Q
sQ
2h
值所做的承压水的 或潜水的 则可将直线在纵轴上的截距 a 值代入第五章的公式计算渗透系数，这种方法称为截距法。即用 a 代替承压井公式中的 ；用 a 代替潜水井公式中的 ，然后再求渗透系数 k 。
呈直线时，
/d)3Q(m
)2
s/Q
(d/m
a4.0
2.0
0 0
300.0
200.0
. 1000
00020001
12
3
关系曲线
式中 s0 =H -h0 ； h0—— 井中水深。
• 二、带观测孔的单井稳定抽水试验计算渗透系数 k
为了避免抽水井附近的三维紊流影响，所选的最近观测孔距主井的距离一般为含水层厚度的一倍，而所选的最远观测孔距第一个观测孔的距离也不宜太远，以保证各观测孔内有一定的水位下降值，并使各观测孔的水位下降值在 )( 2hs 或的直线段内。 1. 有一个观测孔
—lgr 曲线
承压水完整井0
1
0
ln)(2
Q
r
r
ssMk
潜水完整井 0
122
ln)(
Q
r
r
hhk
当观测孔距抽水井较近时，易受三维紊流影响，如采用 6.7.1.1 中的方法，则渗透系数偏小；当远离抽水井时，如采用 6.7.1.1 中的方法，则渗透系数偏大。
• 2. 有两个观测孔时• 承压水完整井：
• 潜水完整井：•
• 承压水非完整井（过滤器紧接含水层顶板， L<0.3M ， r1
=0.3r2 ，观测井和抽水井深度相等）：
1
2
211
2
21
lg)(
Q366.0ln
)(2
Q
r
r
ssMr
r
ssMk
1
222
211
222
21
lnQ
733.0ln)(
Q
r
r
hhr
r
hhk
]arsharsh[)(
0.16Q
2121 r
L
r
L
ssLk
潜水非完整井（抽水井过滤器淹没）：
1
2
2121
ln)2)((
Q
r
r
Lsssssk
见 P115[例 6.9]
• 三、影响半径 R 的确定
裘布依公式是在抽水井位于岛状含水层中心位置的条件下建立的，因此公式的特定含意为：
在距抽水井 R 远处有一个实际的定水头补给； R 表示实际的影响范围； R处的水位下降值为零； R 值是一个不受抽水下降值 s 及抽水量 Q影响的常数值。
生产实践表明，抽水的影响范围是随抽水时间 t 的延长、流量 Q 的增加而扩大的，不可能把抽水的影响范围限定在一个“半径”内。同时，在天然条件下，降落漏斗多不对称，边界也不明显，单井抽水影响范围实际上不是一个圆。不能简单地用一个“半径”来确定。
目前确定影响半径的方法主要有如下几种。
• 1. 无观测孔• （ 1 ）不考虑地下水流向• 潜水完整井
• 承压水完整井•
• （ 2 ）考虑地下水流向• ①承压含水层• 地下水上游方向
rssHk
R lgQ
)2(366.1lg 000
00 lg
Q
73.2lg r
kMsR
11
areR
12
areR
areR 3
地下水下游方向
地下水流向垂直方向
q
kMkMsa
2
Q
2 0
• 抽水时井的降落漏斗为椭圆形，三者之间的关系为• R1=7.3R2=2.7R3
• ②潜水含水层
• 式中 • ③经验公式• 承压含水层• （集哈尔特公式）• 潜水含水层 （库萨金公式）
BreR
q
sHkssHkB
)2(
Q
)2( 000
ksR 010ksR 02
• 2. 有一个观测孔• （ 1 ）承压含水层： r0≤r1≤0.178R 时•
• （ 2 ）潜水含水层•
• 式中 r1 —— 抽水井至观测孔之间的距离（ m ）；• s1 ——观测孔内水位下降值（ m ）。• 其它符号同上。
10
0110 lglglg
ss
rsrsR
)2)((
lg)2(lg)2(lg
1010
011100
ssHss
rsHsrsHsR
• 3. 有两个或两个以上观测孔• （ 1 ）承压含水层
• （ 2 ）潜水含水层•
• 式中 s1 、 s2 —— 在 s－ lgr 曲线上任意两点的水位下降值；
• 、 ——在 － lgr 曲线上任意两点的纵坐标值；• r1 、 r2 ——s( )－ lgr 曲线上，纵坐标为 s1 、 s2 或• 、 的两点至抽水井的距离。
21
1221 lglglg
ss
rsrsR
22
21
1222
21 lglg
lghh
rhrhR
21h
22h
2h
2h2
1h22h
• 4.图解法确定影响半径• （ 1 ）浸润曲线外推法• 在制图纸上，将主井抽水时，• 最大一次水位下降稳定后，• 测得的主井及各观测井的• 稳定水位绘在图上，以光• 滑的曲线按自然趋势连接，• 并外推使其与自然水位线• 相交于一点，该点至抽水• 井的距离，即为影响半径。• 如右图所示。
21 观观
s(m
)
抽水井轴
自然水位(m)r
R
• （ 2 ） s—lgr 直线交绘法• 此方法需观测孔不少于三个。在半对数坐标纸上，按抽水井至观测孔距离标出抽水井、观测孔位置，然后根据抽水同一时刻测得的抽水井和观测孔的稳定水位，点在图上。其观测孔各点连线，应为直线，并将各条直线外推，与 lgr 轴交于一点，此点的值即为影响半径。如右图所示。
3s3s
3s
2s2s
2s
1s1s
1s
3观抽水井lg
21 观观
s(m
)抽水井轴
自然水位r
R
• 无越流含水层中利用非稳定流抽水试验计算水文地质参数• 在无越流含水层中进行非稳定流抽水试验，主要是为了确定含水层的导水系数 T 、储水系数 u* 或压力传导系数 a 。• 计算这些参数常用的方法有：试算法、配线法（也叫标准曲线对比法或量板法）、直线图解法、恢复水位法等等。
一、试算法此法的优点为计算简单易懂，缺点为计算结果精度不高。
1. 当有一个抽水井和一个观测井时使抽水过程中流量 Q保持不变，若取两个时段 t1 、 t2 及相应的观测井中的水位下降值 s1 、 s2 ，则有： )
4(
4
Q)(
4
Q
1
2
11 at
rW
TuW
Ts
)
4(
4
Q)(
4
Q
2
2
22 at
rW
TuW
Ts
)4
(
)4
(
2
21
2
2
1
atr
W
atr
W
s
s
；
• 上式中只有压力传导系数 a 是未知数，但由于它居于井函数之中，一般情况下提不出来，不能直接求解。通常采用试算的方法，根据经验给定一个 a 值，代入式上看能否满足，如果不满足就再另选一个 a 值直到满足为止。当给定一个 a
值之后，则 为已知数，即可在表 6.1 中查得
• W （ u ）值，如果 之比值等于 时，则为满足。
)4
(
)4
(
2
21
2
2
1
at
rW
at
rW
s
s
at
ru
4
2
)4
(
)4
(
2
21
2
at
rW
at
rW
2
1
s
s
• 上述试算的过程还可用作图的方法来代替，如下图所示。
实测点. 试算点a
A.
a
1Bs
s
2
1
2
1
s
sB 实
设
以 a 作为横坐标，给以任意的a1 、 a2 、 a3
……an 值代入式（ 6.125 ）可得到相应的 B1 、 B2 、 B3
……Bn 值，把这些数值点在右图上，即可得曲线 1 ，然后再根据实测的
值，在曲线 1 上确定 A点， A点在横坐标上的投影点就是所求的a 值。 a 值确定以后，可按右式计算导水系数 T
：
，以 B 作为纵坐标，
)4
(4
Q
1
2
1 at
rW
sT
如果没有观测井，亦可粗略地把抽水井本身当作观测井。
• 2. 当有两个观测井时• 可取任意同一时间 t 的两个观测井的 s1 、 s2 和 r1 、
r2进行计算，这样得：•
)4
(
)4
(
22
21
2
1
at
rW
at
rW
s
s
)4
(4
Q 21
1 at
rW
sT
• 二、配线法• 这是通过实测（试验）曲线与理论曲线（标准曲线）对比
确定含水层水文地质参数的方法。• 此种方法可分为降深—时间距离、降深—时间及降深—距离共三种配线方法。
• 当只有一个观测井资料时应采用前两种配线法，若有两个以上观测井资料时可采用降深—距离配线法。
• 1.配线法的优缺点• (1)优点：因能充分利用抽水试验的全部资料，故能避免个别资料的偶然误差，所以此法的最大优点是计算精度高。
• (2)缺点：有以下两个缺点
• ①抽水初期实测曲线常与理论曲线不符。其原因主要是推导公式时应用了一些假设，这些假设与实际不符，例如假设贮存量瞬时释放，而实际上总有一个过程。此外抽水初期涌水量不易稳定与理论要求不符合，故非稳定抽水试验时间不宜过短。
②抽水后期曲线比较平缓时，同理论曲线不容易拟合准确，常因个人判断不同引起误差。故在确定抽水延续时间和观测精度时，应考虑所得资料能画出 s—t 或 s— 曲线的弯曲部分，便于拟合。
2r
t
如果后期实测数据偏离标准曲线，则可能是含水层外围边界的影响或含水层岩性发生了变化等。这就需要把试验数据和具体水文地质条件结合起来分析。
• 2. 降深 ~ 时间距离配线法• （ 1 ）原理• 承压完整井的非稳定流公式可表示为
• 对上两式变换形式并取对数得
)(4
QuW
Ts
*
44122 ur
Tt
r
at
u
TuWs
4Q
lg)(lglg
Tur
t
4
*lg
1lglg
2
上两式右端的第二项在同一次抽水试验中都是常数，所以在双对数坐标系内，对于定流量抽水 s— 曲线和标准曲线
2r
t
uuW
1)( 标准曲线在形状上是相同的，只是纵横坐标平移了
（ 2 ）具体步骤 ①从井函数表 6.1 中选 5—6 对以上的 u ~W(u) 的对应值，在双对数坐标纸上绘制 （理论曲线）；
T4Q
和T4
*
记下对应的坐标值，代入承压水完整井的非稳定流公式即可确定有关参数。
的距离。只要将两条曲线重合，任选一匹配点，
uuW
1)(
s W (u)
/o
o r 2
s
W(u)1u
1u
标准曲线
实测点
• ②在与理论曲线 uuW
1)(
张双对数坐标纸上选择适当
的坐标系，根据实测点据绘制s— 曲线，使理论曲线
2r
t
uuW
1)(
s W (u)
/o
o r 2
s
W(u)1u
1u
标准曲线
实测点
2r
t
uuW
1)(
与 s— 曲线重合
理论曲线基本上在实测点据的点群中央 ] 。 [注：
u
1
2r
t ③任选一匹配点（在曲线上或外均可），记录匹配点的对应坐标值 W （ u ）、、 s 和
T 和储水系数。
代入泰斯公式分别计算
为计算方便，尽量取数简易的点作为匹配点；如匹配点选在W （ u ） =1 ， 1
1
u
上。
上。
同一
导水系数
3. 降深 ~ 时间配线法的具体步骤（此时 r 为定值）
TuWs
4Q
lg)(lglg
（ 1 ）由实测点据在双对数坐标纸上绘制 s—t 曲线；在与 s—t 曲线同一张双对数坐标纸上选择适当的坐标系绘理论曲线 ，
T
r
ut
4
*lg
1lglg
2
t
sW (u)
/o
o
W (u)1u 标准曲线
实测点
1u
uuW
1)(
使 s—t 曲线和 u
uW1
)( 曲线基本重合 [注： u
uW1
)(
上在实测点据的点群中央 ]， 曲线基本
T4Q
T
r
4
*2只是纵坐标和横坐标平移了 、
、
的距离。
对承压完整井的非稳定流公式变换形式并取对数得：
• （ 2 ）任选一匹配点，由匹配点读出 W （ u ）、 、 s和 t ；
• （ 3 ）计算出 T 和 u* 。• 见 P122[例 6.10] 。
u
1
4. 降深—距离配线法的思路在实测值中任取一个 t 为定值，利用所有观测孔的降深值
，在双对数坐标纸上将 s—r实际资料曲线与 uuW )(
标准曲线拟合，最后求出水文地质参数。
• 直线图解法 本章只介绍利用一个观测井的资料来确定含水层参数的方法。
tTr
a
Tr
at
Ts lg
Q183.0
25.2lg
Q183.0
25.2lg
4
Q3.222
tmss lg0 20
25.2lg
Q183.0
r
a
Ts
Tm
Q183.0
mT
Q183.0
tmss lg0
将式（ 5.37 ）换算成常用对数
在某一抽水过程中，上式中 T 、 a 、 r 、 Q 均为常数，故 s—lgt 在半对数坐标中呈直线关系，所以上式可变换为如下形式：
故
将直线 延长并与横轴 s =0处交于 t0点，
1. 计算原理 :
（ 1 ）
将坐标（ t0， 0 ）代入（ 1 ）式则可得： 025.2
lgQ
183.02
0 r
at
Ts
； ；
• 则： 故： 125.2
20
r
at
0
2
445.0t
ra
2. 计算步骤（ 1 ）求 s0、 t0 和直线的斜率 m
以 lgt 为横坐标、 s 为纵坐标，在观测井资料的点群中央作一条直线交纵坐标得 s0 ，交横坐标得 t0 。并求出直线的斜率 m ，见右图。
0t
0slgt
（ 2 ）用式（ 6.135 ）计算 T ，用式（ 6.136 ）计算 a 值。见 P124[例 6.11]
• 恢复水位法1. 计算原理假如某井以定流量 Q进行抽水，持
续进行了 tP 时间之后停止抽水测定恢复
水位，则时间 tP之后的剩余水位下降值 s ，可以考虑为该井仍以流量 Q继
续抽水，并从停止抽水的时间起有一个流量 Q 的注水井开始工作，这样正负流量相抵消，得到了停止抽水的效果，如右图所示。根据势的叠加原理，停止抽水后的剩余水位下降值
)]4
*(
)(4
*([
4
Q 22
tT
rW
ttT
rW
Ts
P
t
（ 6.45 ）得到 :
——恢复水位持续时间。tP—— 抽水持续时间；
可按公 式
• 当 时 :
)]4
*(
)(4
*([
4
Q 22
tT
rW
ttT
rW
Ts
P
05.04
*2
tT
r
t
tt
Tt
tt
T
r
tT
ur
ttT
Ts
PP
22P
lg0.183Q
ln4
Q
]*
25.2ln
*
)(25.2[ln
4
Q
从上式可以看出：以实测值 s 为纵坐标， t
ttPlg
点群中央绘制一条 s —
为横坐标，可在
t
ttPlg 直线；则该直线的斜率 m 为：
t
tts
Tm
plg
Q183.0
sttt
T
PlgQ183.0
只适用于抽水的非稳定流过程
2. 计算步骤见 P126 。
[例 6.12]
越流系统中利用非稳定流抽水试验计算水文地质参数 表示越流补给的承压含水层的水文地质参数有：导水系数 T、储水系数 *
用的是标准曲线对比法、拐点法等。下面重点介绍第一越流系统有关参数的几种求法。
、越流系列数 B等。确定参数的方法很多，最常
一、标准（理论）曲线对比法1. 计算原理标准曲线对比法是从式（ 6.71 ）出发，即：
);,(4
Q),(
B
ruW
Ttrs
Tt
ru
4
*2
sT
B
ruW ]
Q
4[),(
2]
*
4[
1
r
tT
u
由上两式可以看出： 与
sT
B
ruW ]
Q
4[),(
2
]*
4[
1
r
tT
u
),(B
ruW
u
1（或 u ）的关系和 s 与 t （或 r2 ）
同的，据此则可将井函数 的关系是一致的，说明两者在双对数坐标系中的曲线形状是相
),(B
ruW 及自变量
数表，并绘制成标准双对数曲线。
各值列成函
u 及 值。
然后用实际观测的资料制成模
数相同的双对数曲线，再用重叠法使两曲线达到最大的吻合，最后从相应的理论曲线上读出所需要的计算数值—— 、),(
B
ruW
B
r
2. 计算步骤（ 1 ）在表 6.3 即 ),(
B
ruW ),(
B
ruW函数表中选择一批 、 u 、 B
r
值制成理论曲线 。
B
ru、
（ 2 ）用试验井所观测的 s 和 t 制成模数相同的双对数曲线。（ 3 ）使上述两曲线达到最大的吻合，并保持纵横坐标轴平行。（ 4 ）在重合的曲线上任取一点，读出相应的 s 、 t 、 及 u
值。),(
B
ruW
（ 5 ）把以上各值代入式（ 6.71 ）和式（ 6.140 ）求出 T 和 * 值。
见 P129[例 6.13]
拐点法
将越流基本公式（ 6.71 ）改变为如下的形式：
]1
)(2[4
Q )4
(
0
2
2
dtetB
rK
Ts B
rt
q
22
2
4:
B
at
uB
rq 其中
)(0 B
rK ——零阶二类虚宗量贝塞尔函数。
• 1. 计算原理• （ 1 ）根据观测数据可• 建立 s—lgt关系曲线，• 如右图所示。按式（ 6.71 ）可求得任意点的斜率为：
)4
(2
2
4
Q3.2
lguB
ru
eTtd
dsm
（ 2 ） s—lgt 曲线上的拐点可通过 s 对 lgt 的二阶导数来确定，根据上式可得：
][ln4
Q)3.2(
)(lg
)4
(2
2
22
2
uB
ru
etd
d
Ttd
sd
)(
4
Q)3.2(2
)4
(22
2
B
atuet
TuB
ru
• 可得： T
rB
a
rBt i 2
*
2
B
r
B
atu ii 22
B
r
i eT
m
Q
183.0
maxi sB
rK
Ts
2
1)(
4
Q0
—拐点处的降深恰好是最大降深的一半。
)()(3.2 0 B
rf
B
rKe
m
sB
r
i
i
• 2. 计算步骤当只有一个观测孔时，可按下列步骤进行计算：（ 1 ）在半对数坐标纸上绘制实测的 s-lgt 曲线（时间 t 取对数尺度）。（ 2 ）用外推法确定最大降深 smax 。（ 3 ）根据式（ 6.145 ）计算拐点的降深值 si 。（ 4 ）根据 si 值确定 s-lgt 曲线上拐点 i 的位置，同时确定拐点处的 ti 。
（ 5 ）作拐点 i处的切线，并直接确定拐点处的斜率 mi ：（ 6 ）按式（ 6.154 ）和表 6.12 计算出 值。（ 7 ）用 和 r 值计算 B 值。
（ 8 ）用式（ 6.149 ）计算 T 值。（ 9 ）用式（ 5.147 ）计算 a 值。
i
ii t
sm
lg
B
r
B
r
见 P134[例 6.14]
• 给水度的确定
1.实验室法砂类土给水度的测定在一定容积的容器中倒入烘干的砂样，注水至饱和，然后让砂样里的重力水自由流出，所流出重力水的体积与饱水时的砂样体积之比即为砂样的给水度值。
2.野外试验法在野外可进行各种试验以确定含水层的给水度，如在观测孔
中投入指示剂，从另一井中进行定量抽水，记录抽水井中指示剂出现的时间，则可用下式求得含水层的给水度；
hr(r
t
)
Q22
1
见 134[例 6.15]
• 降水渗入系数 a 的确定 降水渗入系数是指降水渗入量与降水总量的比值。 值的大小取决于地表土层的岩性和土层结构、地形坡度、植物被覆以及降水量的大小和降水形式等，一般情况下地表土层的岩性对 a 值的影响最显著。 1. 动态观测法以降雨为主要补给的潜水分布区，每次雨后地下水位都有显著的上升，然后由于各种消耗地下水位有逐渐下降。升高的地下水位反映了降雨渗入地层中的水量，即降雨渗入补给量 Q 渗，而 Q 渗和 Q 雨都能通过每次降雨前后的地下水位
的动态观测求得，二者之比值即为渗入系数
雨
渗
Q
Q
平均渗 FhQ而
• 亦可用下式进行计算
Fx雨Q Fx 雨Q
1
1max )(
x
thhh
2.经验数值法在缺少动态观测资料的条件下可以参照经验值确定，见表 6.13 。
• 6.8 承压水变流量井的非稳定渗流 • 图 6.30 承压水变流量井的非稳定渗流• 在实践中抽水随时间而变化的情况是很多的，为便于计算，
可将抽水量变化的情况简化成阶梯流量变化，见图 6.30 所示。
A
1
Q
o
Q
Q2
1t t
C
BD
/t
t
s
• 抽水井在 t1 以前的流量为 Q1 ，而在 t1 以后突然变为 Q2 ，那么当 t<t1 时，降深 s 的计算用泰斯公式；当 t>t1 时，可认为有一口井从 0 至 t 时刻一直以 Q1 流量抽水，对应的 s—t 曲线为OAB 。而在 t1 时刻起加入一口井以（ Q2－ Q1 ）的流量抽水，对应的 s—t 曲线为 AD （此时的 t 轴为 At/ ）。它们的迭加即为阶梯流量曲线 Q2= [Q1+ （ Q2－ Q1 ） ] 。对应于 s—t 曲线上的降深为 OAC 。这样，就将阶梯流量的抽水过程转换为两个位置重合的定流量井，一个井是从零时刻开始工作的，定流量为 Q1 ；另一个井是从 t1 时刻开始工作的，定流量为（ Q2
－ Q1 ）（如 Q2－ Q1<0 则为注水井）。它们均可分别用泰斯公式列出。
• 在 t1 时刻以前，距井 r处的任意一点 A 的水位下降值为：2
1Q *( , ) ( )
4 4
rs r t W
T Τt=
mp
0<t<t1
在 t1 时刻以后为： 2 2
1 2 1
1
Q Q Q* *( , ) ( ) ( )
4 4 4 4 ( - )
r rs r t W W
πT Τt πT Τ t t
-= +
m m t>t1
• 见图 6.31 ，若干个井的流量变化有 n个阶梯，水位下降值为：2 2
1 2 1
1 1
2 23 2 n 1
2 1
Q Q Q* *( , ) ( , ) ( ) + [ ]
4 4 4 4 ( - )
Q Q Q Q* *+ [ ]+ + [ ]
4π 4 ( - ) 4π 4 ( )
n
ii
n
n
r rs r t s r t W W
πT Τt πT Τ t t
r rW W
T Τ t t T T t t
=
-
-
-= =
- -×××
-
å m m
m m
或 2
11 i-1
1 *( , ) (Q Q ) [ ]
4 4 ( - )
n
i ii
rs r t W
πT Τ t t-=
= -å m
式中规定 i=1 时， Q0=0 ， t0
=0当 ui≤0.01 时，可写成
11 2
1
2.25 ( )0.183( , ) [(Q Q ) lg ]
*
ni-
i ii
Τ t - ts r t
T r-=
= -å m
见 P137 [例 6.16]