Логарифмическая функция

Выполнила: Салобуто Анастасияученица 11-А класса

Определение логарифмической функции

Функция , где ,

называется логарифмической

функцией с основанием a.

y = loga x

Логарифмическая функция непрерывна и строго

возрастает (если основание a > 1) или строго

убывает (если 0 < a < 1) на всей области определения.

Множество ее значений – все действительные числа.

Так как логарифмическая и показательная функции взаимно обратны, то при a > 0, a ≠ 1,

График логарифмической функции y = log2 x.

Основное логарифмическое тождество Пусть числа у, a и x связаны соотношением   , причем  Тогда верно тождество  . Подставим в равенство   вместо числа x его

значение  . Получим тождество  . Это тождество называется основным

логарифмическим тождеством, так как оно в точности передает определение логарифма: логарифмом числа y при основании aназывается показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число y.

Ниже приведены некоторые свойства логарифмов (x > 0,   

 a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1,  ).

loga (x1*x2) = loga x1 + loga x2,

loga xα = α loga x,

Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается ln x. Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lg x.Сравнивая рост степенной, показательной и

логарифмической функции при больших x, можно прийти к следующим выводам: 

Показательная функция растет быстрее степенной, а степенная – быстрее

логарифмической.Отметим также еще два важных предела: 

Логарифмическая функция при основании, меньше 1

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой  .

• Поэтому мы можем построить график логарифмической функции без ее исследования, а только опираясь на определение.

• Получилась кривая, проходящая через точки (1;0) и (а;1). По этому графику мы можем установить следующие свойства логарифмической функции с основанием, меньшим единицы:

• область определения - та же, что и область значений показательной функции - множество всех положительных чисел;

• область значений - та же, что и область определения показательной функции - множество всех действительных чисел;

• нулем функции является число 1, так как логарифм единицы равен нулю;

• интервалы знакопостоянства (0;1) и (1;  ) на первом функция положительна, на втором отрицательна;

• функция убывает на всей области определения, так же, как и показательная функция с основанием, меньшим единицы;

• функция стремится к  , когда аргумент стремится к нулю. Функция стремится к  , когда аргумент стремится к  .

График логарифмической функции при основании меньше 1

Логарифмическая функция при основании больше 1

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой  . Поэтому мы можем построить график

логарифмической функции без ее исследования, а только опираясь на определение. Получилась кривая,

проходящая через точки (1;0)и (а;1). По этому графику мы можем установить

следующие свойства логарифмической функции с основанием, большим единицы:

1.область определения - та же, что и область значений показательной функции - множество всех положительных чисел;2.область значений - та же, что и область определения показательной функции - множество всех действительных чисел;3.нулем функции является число 1, так как логарифм единицы равен нулю;4.интервалы знакопостоянства (0;1) и (1;        ); на первом функция отрицательна, на втором положительна;5.функция возрастает на всей области определения, так же, как и показательная функция с основанием, большим единицы;6.функция стремится к        , когда аргумент стремится к нулю. Функция стремится к       , когда аргумент стремится к +0.

Графики логарифмических функций.

Вы можете прослушать и просмотреть видео урок на тему

«Логарифмическая функция»

Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.mp4.mp4

Задания для практической части урока

Задания для практической части урока