Г.Полиа, Г.Сеге ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ИЗ АНАЛИЗА

ЧАСТЬ ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ (специальная часть). РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ.

ПОЛИНОМЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Содержание Обозначения и сокращения 6

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Глава 1. Максимальный член и центральный индекс, максимум модуля и число нулей задачи решения

1 (1-40). Аналогия между µ(r) и М(r), ν(r) и N(r) 10 183 2 (41-47). Дальнейшие свойства функций µ(r) и ν(r) 15 188 3 (48-66). Связь между µ(r), ν(r), M(r), N(r) 16 191 4 (67-76). µ(r) и М(r) при специальных предположениях

правильности роста 19 197

Глава 2. Однолистные конформные отображения задачи решения

1 (77-83). Задачи подготовительного характера 22 201 2 (84-87). Теоремы единственности 23 203 3 (88-96). Существование отображающей функции 24 204 4 (97-120). Внутренний и внешний радиусы. Нормированная

отображающая функция 25 207

5 (121-135). Связи между отображениями различных областей 30 211 6 (136-163). Теорема Кебе об искажении 33 214 Глава 3. Смешанные задачи задачи решения

1 (164-174). Varia 39 222 2 (175-179). Об одном приеме Э. Ландау 41 227 3 (180-187). Прямолинейное приближение к существенно особой

точке 42 228

4 (188-194). Асимптотические значения целых функций 43 229 5 (195-205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена-

Линделёфа 44 232

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ Глава 1. Теорема Ролля и правило Декарта задачи решения

1 (1-21). Нули функций, перемены знака последовательностей 46 238 2 (22-27). Изменения знака функции 49 241

3 (28-41). Первое доказательство правила Декарта 50 242 4 (42-52). Применения правила Декарта 53 245 5 (53-76). Применения теоремы Ролля 55 248 6 (77-86). Доказательство правила Декарта, принадлежащее

Лагерру 58 253

7 (87-91). На чем основывается правило Декарта? 61 256 8 (92-100). Обобщения теоремы Ролля 63 258 Глава 2. Геометрические свойства нулей полиномов задачи решения

1 (101-110). Центр тяжести системы точек относительно некоторой точки 65 260

2 (111-127). Центр тяжести полинома относительно некоторой точки. Теорема Лагерра 67 262

3 (128-156). Производная полинома относительно некоторой точки. Теорема Грэйса 71 265

Глава 3. Смешанные задачи задачи решения

1 (157-182). Приближение нулей трансцендентных функций нулями рациональных 76 272

2 (183-189). Точное определение числа нулей при помощи правила Декарта 81 282

3 (190-196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов 83 284 ОТДЕЛ ШЕСТОЙ. ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

ПОЛИНОМЫ задачи решения

1 (1-7). Полиномы Чебышева 85 286 2 (8-15). Общие сведения о тригонометрических полиномах 86 287 3 (16-28). Специальные тригонометрические полиномы 88 289 4 (29-38). Из теории рядов Фурье 90 292 5 (39-43). Неотрицательные тригонометрические полиномы 92 294 6 (44-49). Неотрицательные полиномы 93 295 7 (50-61). Максимумы и минимумы тригонометрических

полиномов 94 297

8 (62-66). Максимумы и минимумы полиномов 96 301 9 (67-76). Интерполяционная формула Лагранжа 98 304 10 (77-83). Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова 101 306 11 (84-102). Полиномы Лежандра и родственные им 102 307 12 (103-113). Прочие задачи на максимумы и минимумы

полиномов 106 316

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ задачи решения

1 (1-16). Вычисление определителей. Решение линейных уравнений 110 320

2 (17-34). Разложение рациональных функций в степенные ряды 114 325 3 (35-43). Положительные квадратичные формы 119 328 4 (44-54). Смешанные задачи 122 331 5 (55-72). Определители систем функций 125 337

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Глава 1. Теоретико-числовые функции задачи решения

1 (1-11). Задачи на целые части чисел 130 345 2 (12-20). Подсчет целых точек 131 346 3 (21-27). Одна теорема формальной логики и ее применения 132 348 4 (28-37). Части и делители 133 351 5 (38-42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и ряды

Дирихле 137 353

6 (43-64). Мультипликативные теоретико-числовые функции 139 353 7 (65-78). Ряды Ламберта и родственные им 143 358 8 (79-83). Дальнейшие задачи на подсчет целых точек 145 360 Глава 2. Целочисленные полиномы и целозначные функции задачи решения

1 (84-93). Целочисленность и целозначность полиномов 146 361 2 (94-115). Целозначные функции и их простые делители 147 364 3 (116-129). Неприводимость полиномов 150 368 Глава 3. Теоретико-числовые свойства степенных рядов задачи решения

1 (130-137). Подготовительные задачи о биномиальных кооэффициентах 152 375

2 (138-148). К теореме Эйзенштейна 153 376 3 (149-154). К доказательству теоремы Эйзенштейна 155 378 4 (155-164). Целочисленные степенные ряды рациональных

функций 157 381

5 (165-173). Теоретико-функциональные свойства целочисленных степенных рядов 158 383

6 (174-187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица 159 385 7 (188-193). Значения степенных рядов, сходящихся в

окрестности точки ∞=z , в целочисленных точках 162 388

Глава 4. Об алгебраических целых числах задачи решения

1 (194-203). Алгебраические целые числа. Поля 163 391 2 (204-220). Наибольший общий делитель 165 393 3 (221-227). Сравнения 168 398 4 (228-237). Теоретико-числовые свойства степенных рядов 169 399 Глава 5. Смешанные задачи задачи решения

1 (238-244). Плоская квадратная целая решетка 171 401 2 (245-266). Смешанные задачи 173 404

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ(приложение). НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ задачи решения

(1-25) 177 413 Предметный указатель 428

Предметный указатель Алгебраическая функция 119, 153 Алгебраические числа n-й степени

164 - - сопряженные 164, 167 Алгебраическое поле 164 - число 163 - - целое 163, 165 Аполярности условие 74 Аполярность пар точек 268 - полиномов 73, 74 - точек 268 Асимптотическое значение функции

43 Бернуллиевы числа 161 Бернштейна теорема о

тригонометрических полиномах 41, 42, 101

Бесселевы функции 77 Брутто-ранг 116 Вандермонда определитель 54 Взаимно аполярные системы 74 Вронского определитель 125 Ганкеля матрица 116 - определитель 114 Гаусса теорема о нулях производной

полинома 69 Гипергеометрическии ряд 155 Главная хорда области 36 Гурвица условие 156

Делители несобственные 134 Делитель 134, 165 Дзета-функция 138 Дирихле правило перемножения

рядов 138 Дирихле ряды 138 - теорема 149 Дискретная область целости 165 Единицы 165 Закон излучения Планка 246 Иенсена неравенство 187 Изменение знака 49 Интерполяционная формула

Лагранжа 98 Исключительное значение (в смысле

Пикара) 43 Кебе область 24 - теорема о линейном искажении 36 Константы Лебега 91 Конформный радиус внешний,

внутренний 26 - центр тяжести области 34 Коши правило перемножения рядов

138 Коэффициенты Фурье 90 Кристоффеля формула 309, 313, 314 Круговая область 65, 66 Лагерра обобщенные полиномы 55,

105

Лагранжа интерполяционная формула 98

Ламберта ряд 143 Лапласа формула 103 Лебега константы 91 Лежандра полиномы 55, 102, 104 Лиувилля функция 137 Максимальный член 9 Максимум модуля 9 Мангольдта функция 137 Матрица Ганкеля 116 - ортогональная бесконечная 125 Мёбиуса функция 137 Место перемены знака 46 Моменты функции 60 Наибольшая общая часть 134 Наибольший общий делитель 134,

165 Наименьшая "выпуклая" область 66 Наименьшее общее кратное 135 Неприводимая целая рациональная

функция двух переменных 170 Неприводимый полином 150 Неравенство Иенсена 187 Несобственные делители 134 - части 133 Нетто-ранг 116, 118 Норма 167 Нули полинома 68 Область "выпуклая" 66 - Кебе 24 - рациональности 164 - целости 164, 165 Овал 71 "Окружность" 65 Опорная плоскость 179 - прямая 15 - функция 179 Определители рекуррентные 114 Определитель Вандермонда 54 - Вронского 125 - Ганкеля (рекуррентный) 114 Ортогональная бесконечная матрица

125

Ортогональное преобразование 124 Ортогональные функции 103 Перемена знака 46 Перемножение рядов, правило

Дирихле 138 - - - Коши 138 Планка закон излучения 246 Полином деления круга 137 - неприводимый 150 - приводимый 150 - целозначный 146 - целочисленный 146 Полиномы аполярные 73, 74 - Лагерра обобщенные 55, 105 - Лежандра 55, 102, 104 - - производящий ряд 104 - сопровождающие 81 - Чебышева 85 - Эрмита 55, 106 - Якоби 105 Поляра первая 71 Порядок целой функции 17 Постоянная Эйлера-Маскеронй 175 Преобразование ортогональное 124 Примитивная точка 401 Производная относительно точки 71 - система точек 72 Производящий ряд полиномов

Лежандра 104 Простой делитель целоэначной

функции 148 Ранг бесконечной матрицы 116 Рекуррентные определители 114 Родрига формула 103 Ролля теорема 47, 48 Ряд гипергеометрический 155 - Ламберта 143 - Фурье 90 Ряды Дирихле 138 Символ Лежандра 175 Средняя область 69, 70 Степенной ряд рационально-

численный 153 - - целочисленный 153

- - - (Н) 159, 160 Степенные ряды квазилинейно

зависимые 118 - - линейно зависимые 118 Степень поля 164, 165 Сумма делителей 137 Сферическая индикатриса 180 Теорема Бернштейна о

тригонометрических полиномах 41, 42, 101

- Гаусса о нулях производной полинома 69

Теорема Дирихле 149 - Кебе о линейном искажении 36 - Ролля 47, 48 - Эйзенштейна 153, 154 - - обобщение 171 Теоретико-числовая функция 137 Теплица форма 128 Тригонометрический полином 86 Условие аполярности 74 - Гурвица 156 - Чебышева 156 - Эйзенштейна 154, 155 Фибоначчи числа 125 Форма Теплица 128 Формула Кристоффеля 309, 313, 314 - Лапласа 103 - Родрига 103 Фундаментальные полиномы

интерполяции 98 Функции Бесселя 77 - ортогональные 103 - целые рода нуль 18 Функция, асимптотическое значение

43 - Лиувилля 137 - Мангольдта 137 - Мёбиуса 137

- мультипликативная теоретико-числовая 139

- нормированная отображающая 26 - опорная 179 - рода нуль 18 - теоретико-числовая 137 - целая 9 - целозначная 148 - Эйлера 137 Фурье коэффициенты 90 - ряд 90 Целая функция 9 - часть числа 130 Целое алгебраическое число 163, 165 Целозначная функция 148 Целозначныи полином 146 Целочисленный полином 146 - степенной ряд 153 - (Н) степенной ряд 159, 160 Целые алгебраические числа взаимно

простые 165 - точки 132 - - сравнимые по модулю 172 - функции рода нуль 18 Центр тяжести системы

относительно точки 66 - - целой рациональной функции 68 Центральный индекс 9 Часть (числа) 134 Чебышева полиномы 85 - условие 156 Числа Бернулли 161 - Фибоначчи 125 Число делителей 137 - нулей 10 Эйзенштейна теорема 153, 154, 171 - условие 154, 155 Эйлера функция 137 Эрмита полиномы 55, 106 Якоби полиномы 105