Дискретный анализ и исследование операций (daor'00):...

217

Upload: lamtram

Post on 08-Dec-2016

235 views

Category:

Documents


14 download

TRANSCRIPT

Page 1: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ �

����� ��������� � ��� ���� ���������� �����

�� �� ������������� �� �� ������ �!

"#�$� %! �&��!��' �� ( ��� #) ��*( +�,�� �% � $�� � % -./� ��00 ����#�0� ,!� +! �� �,��� ���#�� ������ # ) ��'� � �%��#' �! %�������� ��* ���� ,��!/��' �& 1�!�������

� �!���'2 % ,�+�!, &#���,���' #', # 3����!���� &���� ��*( 3! &��� ,�� &'��� � ��!����+!%� � %��!#! 4� �#�' +�,�#��!��'45�6 �� ��� �78� 9��� & # /� �� � &# � �,� � �! &������ 5�%� �$3�#* :;<� =>� ==?8� &��+���+� !���#* ��!����1 �� ��)� &�3�!+�%��� ���!� �' � � %� �!&#!�� ��'%�� &� +���#*% � ,���' ���� /,��!��' ��� #) ��*( +�,�� � ������$�#�+ � 9�� �!&#!�� ��' %�@�� ������� #!3/$��� �! � �*# #!3, �!A % ��, �/+�%&�� ��� �#�&&* !���%�#B�3%�� ��� #) ��*(+�,��� �& +�#!���* ���C���! ��� #) ��*( +�,�� � % �#�� �+!' @ ��+���� +�,��5� �$'3!� ���� ��� #) ��*(8�

�� ����� ���������

����������� ������ ���� ,���* n �!3*�! ��' &�,%��@ ���� C % �#�� �+�/�� &#���#!����! GF n5>8 � % �#�+�C �D%%���!� �$�!,!02 �� ,�02�% ���C����%A����+�&����� )!#�� #!,���! ; � 1 ��#!%� � C �$#!3� � #!3$� �� GF n5>8� "���� C E&#��3�����*C ��� #) ��*C +�, ,���* n � M E � +���#� &�,%��@ ���� �� +�,��*(����� �� ����� ������� %��@ ���! M � �!&#!�� ��� i� �, i � I F f;� >� � � � � ng��!3�� % %��@ ���� M �� &���� ��� �3 M ��� #��#��!�� % i/C +��#,��!�* �� ( ��+�,��*( ����� � �$�3�!��% M � F M � i� 6��@ ���� M �!3�� % i��������� �� +�,!C� ��� K5M8 F K5M � i8� �, K5M8 E �$G ,�� �� )!#�� #!,���! ; � 1 ��#!%� �� +��#!( M � H �+� &��'��� ��� +�, C � F 5C nM8 � 5M � i8 �!+@ '��' ��' ��� #/) ��*% +�,�%� 6* $�, % ����#���� ��� C � &���� � �3 +�,! C �� ������ "����� � I� 6��@ ���� M �!3�� % ���������� �� +�,! C� ��� ,�' �� ( i � � %��@ ����M '��' ��' i/+�%&�� ���C +�,! C� "��'�� �/+�%&�� ��* �+!3!���� &��,����#�*%&#� &���#� ��� ���*( )�#�+�( +�!���� ��� #) ��*( +�,�� � ���� ,��!��� � �#�/��!���*( ���C��� ��� #) ��*( +�,��� � & # � +!02� �' �/+�%&�� ��* %�@�� #!3/$��!�� �! +�%&�� ��* % ��) C %�2����� &� #!3�*% �!&#!�� ��'%� 9�� &�3���' ��,���!�� +�%&�� ��*� �!#��#�' �!&#!�� ��' � &����!' � % �!%*% $���)� #!3��/�$#!3� ���*( ��� #) ��*( +�,��� � �!�������� �,!���� ����)��� ��@�00 �1 �+�,�' ����! ��� #) ��*( +�,��A

��� �� �� 5�� �� ������������ � �� �� ������ �! :-?8 ������ �� �������� ������������ ���� ��� n �� ������ ���

>�n��� �log��n��� � I�

n��� �log��n���

�!��� C) #!3���� % ��, �/+�%&�� �� &������ � #!$�� �� �� 6!�0���! :>>?�3�!��� ���� ����)��) �� �1 �+� �3 � �# %* ;� ! �!+@ �� �� �#����! :;I?� �1 �+!+���#��� '��' ��' # +�#,��CAJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ������������ � #� C ��!,�%�#����� ������ �! �!��! ��!����!��������� %!� %!��+� �%� ��H���$�� �! �� ���&#��& +� ��&�0�! -� ������$�#�+ I=..<.� ����'K� ��A L/=L=>/===LI<� faxA L/=L=>/==>�<L� e/mailA avgustMmath�nsc�ruK solMmath�nsc�ru�

Page 2: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

I ��������� ������

��� �� �� 5�� �� �#���� :;I?8 ������ �� �������� ����������� ���� ��� n�� ������ ���

>�n��� �log��n��� � =�

n��� � >�

n��� �log��n���

�� �� �#����*% :;�E;L? $*�� �!+@ &# ,��@ �* ,#��� �&���$* &���#� ��' ��/� #) ��*( ,�����*( � �#����*( +�,��� � :>=? �� �� 6!�0���*% $*�� & # ���� �*�� ��� #) ��* +�,* ,���* ;�� &����! %* �3 +�,! �D%%���! �,���# % ��*% �,��/��% � & # � +!02�(�' +�%&�� �� #!3����*( �!&#!�� ��C� �!+�( #!3����*( +�,���+!3!���� #���� ;=;>>--=>� "�/��,�%�%�� D�� ��)� %!�!' �!��� �� ( ��� #) ��*(+�,�� ,���* ;�� &��+���+� �� �� � �&� � 6� H �!� :>N? ,�+!3!��� ��� ��2 ����/0� ��� #) ��* +�,* ,���* ;�� +���#* � ��3%�@�� &������� �3 +�,! �D%%���!% ��,�% ��������!�

���C���� �,��3�!���C �&# , � ������ &#��3�������� ��� #) ����� ,�������� +�/,! ,���* n %��@ ����% ����( +�,��*( ���� � �! 5n� ;8�> &�3������ ,�+!3!�� � #(/�00 �1 �+� ,�' ����! �!+�( +�,��A

��� �� �� 5�� �� ������������ :;?8 ������ �� �������� ����������� ������� n �� ������ ���

>�n� �

� log n�log log en

6 ��,�% �,���! � & # � +!02�(�' +�%&�� �� #!3����*( �!&#!�� ��C $*�! �&#�/� #����! ��&�� 3! ��� #� #�! 5;<L; ��8 � ���� %!�������� �� ( ��� #) ��*( +�,��A

��� �� �� 5�� �� ������������ � �� �� ������ �! :=?8 ����� ��� ����� ����� ��� ����� ����������� ������ ���� �� ������ n F >k � ;� k � ;>N�

��' k � ;>N � ���� %!��� �+� +�,* ���� ,��!���� �� �� � �&��% � 6� H �!��%:>I?� ! �!+@ �� 6� �%!���*% :>L?� �� �� 6!�0���*% � :>-? $*� ,!� ��� � �! ��&#���� �� � �&�! � 6� H �!�! :>I? � ��%� +!+� %���%!���� +���� ���� i/+�%&�� ��� �$(�,�%� �,������ � +�, �D%%���! ,���* n ,�' &���#� ��' � ���� %!��� �+���+�,!� ��� � �+!3!��' &!#!,�+�!���*% / �&�%'���� +���� ���� � 3!����� �� n �#!��� N�

� #!$��!( :>� <� ><� =-? ���� ,��!�!�� ��#�+��#! i/+�%&�� �� &#��3�������� ��� #/) ����� +�,!� ��! �+!3!�!�� ���@��C � #!3���$#!3��C� � �!�������� $*�! ,�+!3!�!

��� �� �� 5�� �� ������ �! :=-?8 ����� ��� ����������� ������ ��� ���n � i��������� �� ������ s � >n�s�n �� ���� n F >k� k � > s F >r� ��r F >� � � � � k � ;

�� ,� � ��% ����� ��� �� ,�+!3!� �����! D���� &��+�! +����#�+����*�

�� � �� ����� ����� ���� ������ �����

� :>�? �� �� � �&� ,�+!3!�� ��� +!@,!' +�� ��!' �#�&&! '��' ��' �#�&&�C & /# ��!������*( !���%�#B�3%�� � +���#��� ��� #) ����� +�,!� � % � % � � D������ # ��*C # 3����!� � &#�'��' � ��#� �� &����C �#�&&* !���%�#B�3%�� ��� #/) ����� +�,! ,���* n F >k � ;� k � =� &��+���+� &���!' �#�&&! !���%�#B�3%����, #@�� & # ��!�������0 ����+� � +!� ��� &�,�#�&&*� � #!$��!( :N� >;? �!�!�*���� ,��!��' &����C �#�&&* !���%�#B�3%�� &#��3�������� ��� #) ����� ,��������+�,!A

Page 3: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ N

��� �� �� 5�� �� ������������ � �� �� ������ �! :N?8 ����� ��� ����� ������������ ������ ���� ��� ����� ���� c ����!��� ������� �� ����"����� �� ������ n F >k � ;� k � ;>N�

��� �� �� 5�� �� 6!�0��� :>;?8 ����� ��� ����� ����������� ������ �� ���� ����� ���� c ����!��� ������� �� ����"���� �� ������ n F >k�;� k �=;�

��' +�,�� ,���* ;� ��&#�� ��2 �����!��' �!+�( +�,�� ���! ��' ��+#*�*%��3� ���� 5�%� :>.?8� ��� +�,��* ����! � �! = &#��3�������� ��� #) ����� &#�� /

, ����� 5�� � ��, #@!2 �� ��� ��C � +��#8 ,�������� +�,! �$#!3�0� ���� %� �#� +�� C� #!� "�D��%� &�#',�+ �#�&&* !���%�#B�3%�� ��� #) ����� +�,! �+!3!��' � �/�� ��'3!��*% � &�#',+�% �#�&&* !���%�#B�3%�� �� ���� %* �#� + �� C� #!� ��/�� ,��!�� �#�&& !���%�#B�3%�� �!+�( ���� % 5�%� :=I?8 &�3������ �1 ���� �� #(�&�#',�+ �#�&&* !���%�#B�3%�� &#��3�������� ��� #) ����� +�,!A

��� �� �� 5F� I� SolovQeva� S� T� Topalova :=�?8 #����� ������ �� ����"�����������!���� ������������ ��� C ��� n �� ���!�� ������ ������ �� �����"���� ��� $%����� H �� &� ���

�3� ���� :>.?� ��� �#�&&* & # ��!������*( !���%�#B�3%�� +�,! �D%%���! H,���* n � #!�)�# ����� +�,! �D%%���! ,���* n R ; 5� �,��C &#�� #����C +��#/,��!��C8 �3�%�#B�* �$2 C ��� C��C �#�&& GL5log5n R ;8� >8 � &����C !BB����C�#�&& GA5log5nR ;88 ����� ���� ���� ��' +�,! �D%%���! H ,���* n �&#!� ,����

jAut5H8j F jGL5log5nR;8� >8�Ker5H8j F >n�log�n���n5n�;85n�=85n�N8 � � � 5n�5n�;8�>8�

�!+ �� ,���� � �# %* L &���� �! � #(�'' �1 �+! &�#',+! �#�&&* !���%�#B�3/%�� #!�)�# ����� ��� #) ����� +�,!�

�� ��� �!"��� ���#���� ���� ������ �����

�3� ����� ��� ��� #) ��* +�,* '��'0��' ,���!�1�����/���!#�!���*%� 5�%�:=N?8� ��, �!3*�! ��' ,���!�1�����/# ���'#�*%� ��� ,�' �0$*( +�,��*( ���� �� �� �0$*( ��� � i� j ����� +�,��*( ���� � �!+�(� ��� d5�� �8 F i� d5�� �8 F j � 3!��/��� �� �*$�#! �� � � 3!����� ����+� �� d5�� �8� "��# ,����% ���� ,��!��' � ������#!�&# , � ��' +�,��*( � #)�� � �#!�'( %!�*( #!3% #���� C $*�� &�,�� #@, ��&# ,&���@ �� ����H � �)� C�! � ��2 �����!��� ��� #) ��*( +�,��� +���#* � '��'0��' ,���!�1�����/# ���'#�*%��

��� �� $� 5�� �� ������������ � �� �� ������ �! :�?8 ����������� ��������� � ���� ����� '� �� ��������� ���� $%����� ��� ' (� �� ����� ��� ��)���������������

��!������� ,�+!3*�! ��'� ��� ��� #) ��* #!�)�# ��* +�,* � #!����'�� % -�3! ��+�0� �� % +�,�� �D%%���! ,���* - � L� � '��'0��' ,���!�1�����/# ���'#/�*%�� "#�% �!� ����� ��� �0$�C +�, �D%%���! ,���* $�� N �!+@ � � �3�#!' �! �� �#�&&������� � '��' ��' ,���!�1�����/# ���'#�*%�

� #!$�� :;.? ,�+!3!�� �$�$2 �� �3� ���*( # 3����!��� �� "� H��C,!� 7� �� �!/&�#� � �� H� U�����+!� ! �!+@ �� � ���!#�!� �� �� "��!���!A

Page 4: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

L ��������� ������

��� �� �%� 5��V� �!���� �! :;.?8 *���������� ������ ���� ������������ �������� ��� �� ���� ����� � �������!��� ���� n����� ���� ��! � ���������� ���� � % �� ����

� :;=? �� , �� � ���� ,��!�� &��'�� ��+!������ �& +�#! ,�' ��� #) ����� +�,!+!+ ��+!������ !�!���! � ������ �& +�#!� ��+!3!�!

��� �� ��� 5�� V� �!���� �! :;=?8 +������ ����������� ������������ �������� ��� � ��� �� ������!��� ������ n����� ������ �������� ��� ����

� �#���!���*% �� ,���� % ,!���C � �# %* '��' ��' B!+� ���!#�!������� % @/� ������ �& +�#! ��� #) ����� +�,!� �� V� �!���� ��C :;;� ;>� ;-? &���� � �!+@ #', ,#���( ��� # ��*( �& +�#!���*( � �# % ,�' ��� #) ��*( +�,���

�� ��� �&����' (�������" �����

��&#��* @ ��+���� % �#�� �+�( &�,&#���#!���� � ��%! &�&��'#�* � � �% �#���� ,��+# ���C �$�!��� ��3��+! � #', �& 1�B�� �+�( ���$ ����� C &#� #!��%��# ���!�!������*( &��'��C� "�D��%� 3, �� �% 0��' ��)� �!% �+� $�,�2 C � �#���

��, C �!3*�! ��' �� ����� &�� ��� ��� +!@,!' �3�% �#�' � A C F n &�����) ��0 + % �#�+ �D%%���! #!�)�#' %! ,� �3�% �#�� �� �� &#���#!����! F n

53, �� F n E � +��#�� &#���#!����� �!, &�� % 7!��! GF 5q8 (!#!+� #����+� q � >8�� #!$�� :=.? &# ,��@ � % ��, 5i� �8�star 5�*'�� �� ��+!����/@ ��+�( B#!�% ����+�,��8 ,�' ,�+!3!� �����! �� ,�02 �� ��� #@, ��'

��� �� ��� 5F� SolovQeva� S� Avgustinovich� T� Honold� W� Heise :=.?8 +�� ������������ ��� � ������ ���� ����� ' �� GF 5q8 ����� �� �� ����� &�� �� ����������� ������� ��� $%����� ��� ( ������� ��� $%����� ���� ,

��!������*C # 3����!� 5�%� :=;?8 ,�+!3!� D��%� @ !���#!%� ,�' � +���#*(+�!���� MDS/+�,�� 5+�,�� � &!#!% �#!%�� ,�����!02�%� �#!��1* ��������!8� ��/+!3!�� �!+@ � ��� �0$�C &���*C #!���� ��*C +�, �!, &p��3�����*% !�B!����%'��' ��' % �p�� �+� @ ��+�%�

��' +�,�� � #!���2�% +�,��*% #!����'�� % �,!���� ,�+!3!�� !��%&����� �+�C# 3����!�A

��� �� ��� 5�� �� ������������ � �� �� ������ �! :L?8 #� n � k� �������!������������ ��� ����&��� -�5n� k� �8������� ����� �� �� ����� &�� �� �����

�&# , � �� >/5n� k� �8/�( %* �%� � :>.?���! +�,! C�� C� ����� ���� ����� ��� ��2 ���� � �!+� ���$#!@ ��

J A C� C�� ��� #!� ����� d5�� �8 F =� �� � � C�� �&#!� ,���� ���,! � ����+����,!� +��,! d5J5�8� J5�88 F =� ��+!3!�! ��&�� 3! �� �� � �&�! � 6� H �!�! :>N?� !�% ���

��� �� ��� 5�� �� ������������ :I?8 .���� �� ����� ���� ����� ����������������� ��� %������� ��

����#* $�!��,!#�* V� H� �!���� ��� �� V� �!���� ��C� �� �� 6!�0������� �� �#����� � �� �� "��!&��� 3! &�� 3�* �$��@, ��'�

!$��! �*&��� �! &#� B��!�����C &�,, #@+ ��� 5+�,* &#� +��� <</.;/..�=;�../.;/..L>>8�

Page 5: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ <

H������

;� ������������ �� ��� /� ���� ����� �� ����������� ������� ����� ���+# �/�*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C > 5;8 5;<<�8 -EI�

>� Avgustinovich S�V�� SolovQeva F�I�� On projections of perfect binary codes� Proc�Seventh Joint Swedish/Russian Workshop on Information Theory� St�/Petersburg� Russia�June 5;<<�8 >�E>I�

=� ������������ �� ��� ������ �! �� ��� / ���� ��� ����� ����������� ������� ����� "#�$� %* & # ,!�� ��B�#%!1�� => 5=8 5;<<I8 -NE�.�

-� ������������ �� ��� ������ �! �� ��� #�� ����� ����������� ������� ������������ ��!��� ����� ���������� � "#�$� %* & # ,!�� ��B�#%!1�� == 5=85;<<N8 ;�E>;�

�� ������������ �� ��� ������ �! �� ��� / � ��)����� ���������� ������������ ������ ����� "#�$� %* & # ,!�� ��B�#%!1�� =- 5=8 5;<<L8 -NE-<�

I� ������������ �� ��� � � ����� ���"�� �����!��� ���� ���� ������������������ 5n� =8������ ���+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C ; 5�8 - 5;<<L8=E��

N� Avgustinovich S� V�� SolovQeva F� I�� Perfect binary codes with trivial automorphismgroup� Proc� of ;<<L Inform Theory Workshop� Killarney� Ireland� June 5;<<L8 ;;-E;;��

L� Avgustinovich S� V�� SolovQeva F� I�� On the rigidity of binary codes� Proc� of Int�Conference 4Geometry and applications4� Novosibirsk� Russia� March 5>...8 ;IE;N�

<� �!���� � V� H�� ������ �! �� ��� ������������ "�� ����) n��������������� ���� ����������� ������ ����� "#�$� %* & # ,!�� ��B�#%!1��== 5;8 5;<<N8 I-EN-�

;.� �!���� �! �� V�� ���� ���!��� ����� �� ����������� ������ 5n� =8���������+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C 5>8 > 5;<<�8 ;IE>��

;;� �!���� �! �� V�� / ���� ����� ��&� ����������� ������ ����� ���/+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C ; 5�8 - 5;<<L8 >�E><�

;>� VasilQeva A� Y�� On centered characteristic functions of perfect binary codes� Proc� ofSixth Int� Workshop on Algebraic and Combin� Coding Theory� Pskov� Russia� September5;<<L8 >>-E>>N�

;=� �!���� �! ��V�� .����!��� ���� �� ����������� ������ ����� ���+# ��*C!�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C ; 5I8 ; 5;<<<8 =E;;�

;-� �!���� �! �� V�� ���� ���!��� ����� �� ����������� ������ ����� �!�,�,����� ������$�#�+ 5;<<<8 N< ��

;�� �#���� ���� /� ��������!��� ����������� ���� ����&���� ��� ������������������ ���� ���+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C 5N8 ; 5>...8 -.E-L�

;I� �#���� ����� 0&�� �)��� ���� m���������� ������ - ���� ������������ ������ ����� ���+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C 5N8 > 5>...8 -NE�=�

;N� �#���� ����� Z��������� ����������� ���� �#�,* +��B # �1�� 4���+# ��*C!�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C4� ������$�#�+� �0�� 5>...8 �!���'2�C �*&��+�

;L� Krotov D� S�� Combining construction of perfect binaty codes and of perfect ternaryconstant�weight codes� Proc� Seventh Int� Workshop on Algebraic and Comb� CodingTheory� Bansko� Bulgaria� June 5>...8 to appear�

Page 6: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;. ��������� ������

;<� Cohen G�� Honkala I�� Litsyn S�� Lobstein A� Covering codes� North/HollandA Elsevier�;<<L�

>.� 6!+/����'%� ���@�� ���D� ���@��� 1���� ����� ���������� ����� 6�A��'3�� ;<N<�

>;� Malyugin S� A�� Perfect codes with trivial automorphism group� Proc� of II Int�Workshop on Optimal Codes� Sozopol� Bulgaria� June 5;<<L8 ;I=E;IN�

>>� 6!�0��� �� ��� / �&��� �)���� ���� ����������� ������ ����� ���+# �/�*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C ; 5I8 - 5;<<<8 --E-L�

>=� 6!�0��� �� ��� / ��������� ����������� ������ ���� ��� 23� ���/+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C > 5I8 > 5;<<<8 -LEN=�

>-� 6!�0��� �� ��� / �� �� ���� ��� ���� ����������� ������ ������#�,* +��B # �1�� 4���+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C4� ������$�#�+��0�� 5>...8 �!���'2�C �*&��+�

>�� Phelps K� T�� Every 4nite group is the automorphism group of some perfect code� J�of Combin� Theory� series A -= 5;8 5;<LI8 -�E�;�

>I� Phelps K� T�� LeVan M� J�� Non�systematic perfect codes� SIAM Journal of DiscreteMathematics ;> 5;8 5;<<<8 >NE=-�

>N� Phelps K� T�� LeVan M� J�� Switching equivalence classes of perfect codes� Designs�Codes and Cryptography ;I 5>8 5;<<<8 ;N< E ;L-�

>L� �%!��� � �6�� / ���� ��� ����� ����������� ���� ��� 23� ���+# ��*C!�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C ; 5I8 - 5;<<N8 N�ENL �

><� SolovQeva F� I�� On components of perfect binary codes� Preprint <L/.-;� Universit�atBielefeld� Sonderforschungsbereich =-= Discrete Structuren in der Mathematik 5;<<L8 ;EL�

=.� SolovQeva F� I�� Avgustinovich S� V�� Honold T�� Heise W�� On the extendability ofcode isometries� J� of Geometry I; 5;<<L8 =/;I�

=;� SolovQeva F� I�� Avgustinovich S� V�� Honold T�� Heise W�� Metrically rigid codes�Proc� Sixth Int� Workshop on Algebraic and Comb� Coding Theory� Pskov� Russia�September 5;<<L8 >;�/>;<�

=>� SolovQeva F� I�� Switchings and perfect codes� Numbers� Information and Complexity� I�Althofer� N�Gai� G�Dueck� L�Khachatrian� M�Pinsker� A�Sarkozy� I�Wegener and Z�Zhang5eds�8� Kluwer Academic Publisher 5>...8 =;;/=;-�

==� SolovQeva F� I�� Perfect binary codes5 bounds and properties� Discrete Math� >;=5>...8 >L=/><.�

=-� SolovQeva F� I�� Structure of i�components of perfect binary codes� Discrete Appl� ofMath�� to appear�

=�� SolovQevaF� I�� Topalova S�T� On the automorphism groups of perfect binary codes�Proc� Seventh Int� Workshop on Algebraic and Comb� Coding Theory� Bansko� Bulgaria�June 5>...8 to appear�

=I� SolovQevaF� I�� Topalova S�T� On the automorphism groups of Steiner systems� �#�/,* +��B # �1�� 4���+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C4� ������$�#�+� �0��5>...8 �!���'2�C �*&��+�

=N� �!&�#� 7���� U�����+ ��H�� � �� ��� ������ ��� ���� � ���������������� ��$ #� ��� �+�C �$� 6�A �3,/�� �����#� ����� �*&� � 5;<I.8 NE=>�

Page 7: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ ;;

�������� �U��6����U� �������� 6���6������ �H7��� ��H������� �H7���6��

�� �� �� +� �

!3���� ,��+# ���C %!� %!��+� ,! � �� $���) &#�% #�� &�� 3���� �3!�%�/, C����' ��$��� ��� ,��+# ���C %!� %!��+� � !�� $#�C � ��&���3��!��' !&&!#!�!� # 3����!��� !�� $#* ,�' &���� ��' # 3����!��� � ,��+# ���C %!� %!��+ � �!+� �3!�%�, C���� &#�'��'���� �@ �! & #�*( )!�!( #!3����' ,��+# ���C %!� %!��/+�� �#+�% &#�% #�% %�@ � ���@��� %!�#���!' � �# %! ��#(��B! � ���� ������*(, # �� � � ��'3��% �#!B � �&�$��+��!��!' � ;L-N �� �2 � ;L<� �� �D�� �3��!� ��'3�% @,� �#�&&!%� � �#!B!%�� ! � ;<=L ��,� �#�(� ,�+!3!�� ��� �0$!' �#�&&! �3�/%�#B�! �#�&& !���%�#B�3%�� � +���#��� �#!B!� �# ,� !�� $#!�� �+�( ��&#����� � �#�� �#!B�� %�@�� ��% ���� �3�� �� ��'3 C % @,� ��$��� ��*%� 3�!� ��'%�%!�#�1* �% @����� �#!B�� � ���C���!%� �#!B��� ! �!+@ !�� $#!�� �+� % ��,* ��3�� ��� #!�+#!��+ �#!B��� � �!�������� ��&���3��!�� (#�%!��� �+�( %������ ����

"�� 3�*% �+!3!��' !&&!#!� !�� $#* � &#� �3�� ��� ,��+# ��*( B��+1�C� �2 � ;<>N �� #���+�C %!� %!��+ ���� � �!�+�� ���!������ ��� �0$�0 $�� �� B��+1�0%�@�� &# ,��!���� 5&#�� % ,����� ��*% �$#!3�%8 &�����%�% &� %�,��0 >� �!+�3� ����� � k/3�!���C ����+ &#� k � = ����!1�' $�� ���@�!'� � �% ���� ���#!��%!�#��!�� �& #!1�� �%��@ ��' � ���@ ��' &� %�,��0 k� �� �0$!' B��+1�'&# ,��!��%! &�����%�% ��)� &#� &#����% k� ! ��� ��&���3��!�� �& #!1�� &#��3/�������� +�� ����� &��'� �� !�!������*C # 3����!� �&#!� ,��� &#� k F ph� �, p J&#���� � h J �!��#!���� � ��% ��%� ��� &#� k F ph �,�� �3 I � % C��� &# ,&��/�*( +�!���� 5+�!��* +�!3���� C�*( B��+1�C8 �,�$�� �&��*�!�� �% ��� � &�%�2�0�& #!1�C +�� ����� &��'� "��� ,�� ��,* 3�!��� ���* �����' $*�� �!&#!�� �*�! �3�� �� &���@ ��' 3!%+������ +�!��! &�����%�� &� %�,��0 k � ��#�+��# �� (3!%+���*( +�!���� k/3�!���C ����+�� �# ,� # 3����!��� %�@�� ��% ���� �!@�*C# 3����!� � ��%� ��� %��@ ���� 3!%+���*( +�!����� ��, #@!2�( +�!�� &�����%���$ �+�� ���� ��� k , ����' �! +�$ &#������ ����! :;?�

', #!3, ��� � �#�� !���%!��� �!+@ � ��� ��'3!� � !�� $#�C� �# ,� ��( %�@/�� �*, ���� �3�� �� ��� C�*( !���%!���� � +���#*( B��+1�� & # (�,�� � �*(�/,! '��'0��' ��� C�*%� B��+1�'%�� � � �#�� !���%!��� %�@�� ��% ���� � �!@/�*C # 3����!�� &�+!3*�!02�C� ��� ��3%�@�� � ����+� ��&���3��!�� # 3����!���!�� $#* � ,��+# ���C %!� %!��+ � �� � �!�$�#��� �� �, � �$ �&�$��+��!���%�� �� �� )��*% � ;<N> �� ,�+!3!� ����� � &�%�2�0 !���%!��� � �# %* � #��!C/,! � ��2 �����!��� $ �+�� ���C +�� ��� &�#�@, ���C �#�&&*� � +���#�C +!@,*CD� % �� �% � +�� ��*C &�#',�+ :>?�

"�@!��C� �!�$�� � ��!' ��'3� ,��+# ���C %!� %!��+� � !�� $#�C �!$�0,! ��'� � �#�� +�,�#��!��'� U, �� � ��&���3��!�� ��� C��C !�� $#*� � &#�% � �� +�� �/�*( &�� C� � $�� ���@�* +����#�+1�� � ��&���3��!�� % !�� $#!�� �+�C � �% �#��� ��,� 9�� �3!�%���'3� %���� $*�� &# ,% ��% ��, ������ �$3�#!�

� ��'3� � #!3���� % �*������ ����C � (��+� � � �$(�,�%����0 #!3#!$��+� !�/JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ�� +� � �!� #�C ��#�������6��+���+�C 7���,!#��� ��*C ��� #��� � �%� 6��� H�%������!� B!+���� � �6���;;<L<< 6��+�!� ��#�$� �* 7�#*� 67� B/� �6��K� �� 5.<�8 <=</�=/<>� B!+� 5.<�8 <=</>�/<IK e/mail mathcybMcs�msu�su

Page 8: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;> ��������� ������

��#��%�� ,�' #!3����*( 3!,!� �!�!� #!��� ��� # � + !�!��3� ���@����� !���#��/%��� "��+���+� � ,��+# ���C %!� %!��+ %���� 3!,!�� �+!3*�!0��' NP /&���*%��&# ,��!��' � ��� # � �*, � �� � ( 3!,!�� ,�' +���#*( �% 0��' !���#��%* � &���/��%��!����C ���@�����0 � #!3#!$��+! % ��,�� ��+�# ��' �!+�( !���#��%��� �+!/3*�! ��'� ��� � 3, �� $��3���� + !�� $# �!��� &#���,�� + &�����%�!���*% !���#��/%!%� ��' &#�% #! �&'�� %�@�� �+!3!�� �! %���� !���#��%* � � �#�� +�,�#��!��'��# ,� ,#���( # 3����!��� ��% ��% # 3����!�* %���,�C ���#�,��1* +!B ,#* %!/� %!��� �+�C +�$ #� ��+� B!+���� �! �6�� 67 ���� � � 3� ��C� ���� ,��!�) C3!,!�� #!�&�3�!�!��' ���C��� $�� �*( � k/3�!��*( B��+1�C� &# ,��!�� ��*( &���/��%!%� :=�-?� ��!� � �!�������� &�+!3!�!� ��� &#� �!+�% &# ,��!�� ��� B��+1�C 5������� �� +��G0�+����*( � ,�3G0�+����*( ��#%!���*( B�#%8 ��2 ����0� !���/#��%* �� ���@�����0� &�����%�!���� 3!���'2 C �� ,���* ��(�,�*( &�����%��� ,�'#!�&�3�!�!��' &�����* ���� % $�� �*( B��+1�C� ,�' #!�&�3�!�!��' &#��!,� @��/��� B��+1�C k/3�!���C ����+� +�!��!% �3 � � % C��� &# ,&���*( +�!���� � ,�' �!���+�!���� �3 &��� ,� �� ) ����� � % C���! 53!,!�! %*( 1 ��#!���*%� &# ,�+!�!%�8�! �!+@ ,�' #!�&�3�!�!��' #',! ,#���( ���C����

� !�� $# �!+@ ��3#�� ��� # � + ���� ,��!��0 ���@����� !���#��%�� ,�' #!�/&�3�!�!��' #!3����*( ���C��� � !���#��%�� ,�' �*&��� ��' #!3����*( �& #!1�C��,��C �3 ��� # ��*( � � &�,,!02�(�' &�+! &����%� # ) ��0 3!,!� � D��% �!&#!/�� ��� '��' ��' 3!,!�! � ���@����� �%��@ ��' ,��( &#��3�����*( %!�#�1� ��!�/,!#��*C !���#��% ,�' �%��@ ��' ,��( +�!,#!��*( %!�#�1 #!3% #! n � n �# $� �&�#',+! n� �& #!1�C� " #�*C � �#���!���*C !���#��% �� ���@�����0 O5nlog� �8 $*�&���#� � ��#!�� ��% � ;<IL �� U! &��� ,�02� >. � � $*�! #!3#!$��!�! ��� # �/�!' � (��+! :�?� &�3�����)!' &���3��� ���@����� ,� O5n����8 � (��'� �+�# �� �����2 ���� � !���#��% ,�' �%��@ ��' %!�#�1 &�#',+! n �� ���@�����0 O5n���8 ,�'�0$��� � .� &�+! D�! 3!,!�! � # ) �!�

6��0 $*�� 3!% � ��� ��� ��3%�@�! � �$#!��!' ��'3�� ! �% ���� ��3%�@�! ��� #/&# �!1�' � +���#*( # 3����!���� �����'2�(�' + ���@����� !���#��%��� � &�%�2�0!�� $#*� �3� ����� ��� �%��@ �� ,��( +�%&� +��*( ��� � �# $� � ����+� �# (�%��@ ��C , C����� ���*( ��� �� � #!$�� :I? %��0 $*�� �� , �� &��'�� !�� $#*� &#���*% �%��@ �� % � &�+!3!��� ��� D��� # 3����!� '��' ��' �� ,���� % ����B!+�!� ��� !�� $#� +�%&� +��*( ��� �� #!��%!�#��! %�0 +!+ ,��% #�!' !�� $#!�!, &�� % , C����� ���*( ��� �� %�@�� ���@��� � �# (% #��0 !�� $#� �!, &�� %, C����� ���*( ��� � � &#���*% �%��@ �� %� � D��C #!$�� &���#� �* �� ��3%�@/�* �# (% #�* #!�)�# ��' � &#���*% �%��@ �� % ,�' !�� $#* +�%&� +��*( ��/� �� � #!$�� :N? !�!������*C # 3����!� &���� � %��0 ,�' !�� $#* %!�#�1 &�#',+!>� ��% ��%� ��� �&�%'���*C �*) # 3����!� ��#!�� �! �����!� �! �!C, ���% �%�&���$ �%��@ ��' %!�#�1 &�#',+! > � ��&���3��!�� % N �%��@ ��C 5�% ��� �$*�/�*( L8� �,�!+� &#���(�@, �� � ���C���! �� +����#�+1�� �#�,�� �$G'���%*� ���3!�#�,�' � �$�$2 �� � � :N? %��0 &�+!3!��� ��� # 3����!� ��#!�� �! ,�&��+!/ � &#����0 ��� #&# �!1�0A !�� $#� %!�#�1 &�#',+! > %�@�� ���@��� � N/% #��0!�� $#� � &#���*% �%��@ �� %� �+!3!����� ��� �!+�( N/% #�*( !�� $# ��2 ����/ � #���� =� &#�� % �( �!$��1* �%��@ ��' �% 0� �� �� &#����0 ��#�+��#�� 9��,! � �!, @,� �$�$2��� # 3����!� ��#!�� �! �! %!�#�1* &�#',+! = � �*) 5��% /��%� ��� �3� ���* ��@�'' � � #(�'' �1 �+� ,�' ����! �%��@ ��C D� % ���� &#��*���� ��� &#��3� , ��' %!�#�1 &�#',+! = #!��*� ����� ���� ���� ;N � >=8�

�!�$�� ��� # ��* �� &�/��,�%�%�� �� �� & #�& +����* � ����!� �3!�%���'3�

Page 9: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ ;=

!�� $#*� ,��+# ���C %!� %!��+� � ���@����� !���#��%��� +��,! !�� $#! &�%��! ���#���� ,���!����� $*��#* !���#��%* ,�' ,��+# ��*( 3!,!�� ��� ��� ���� �!+!'����!1�' �% � % ���� +��,! ��&���3� %* %�, �� �!%� !�� $#!���* 5 �!&#�% #�� � �#�� +�,�#��!��'8� �,�!+� ����,! !�� $#� %�@�� ��+����� ��� &#��� ��� �,��+# ���0 3!,!��� "#�% #�% %�@ � ���@��� 3!,!�! &���#� ��' �#!�3��������3!%*+!��' �#!B!� � %�@�� �� ��� + �*���� ��0 �� & � C %!�#�1*� $��3+�C + %!/�#�1 �% @������ � ,!� ��&���3��!�� $*��#* !���#��%* �%��@ ��' %!�#�1 :L?�

����#� � #', #!$�� 5:</;>? � ,#�8 5���� ,��!��' �!���!���� ���% ���� � %��%�� ��+�% ��� �% ��'���*%8 �,!���� &�+!3!��� ��� ,�' &���#� ��' $*��#*( !���/#��%�� #!�&�3�!�!��' ���C��� ,��+# ��*( B��+1�C� 3!,!��*( � +��#!%� 3�!� ��C��!+@ &�� 3�� ��&���3��!�� !�� $#�� ��� ��� ��*C !���#��% ,�' #!�&�3�!�!��'&#��!,� @����� B��+1�� k/3�!���C ����+�� 3!,!���C � +��#�% 3�!� ��C� 3!%+��/��%� +�!��� B��+1�C� ��(#!�'02�( h/% ���*C &# ,�+!�� �% � ���@����� &�#',+!Nh� �, N F kn J ,���! � +��#! 3�!� ��C B��+1�� �� n & # % ��*(� ����,! � �+��,! ��' &���3��� &�+!3!� �� h � ���@������ �!&#�% #� ,�' #!�&�3�!�!��' %���/�������� $�� ��C B��+1�� ,���!����� �#!����!�� 3�!� ��' � �! �� ( �#!���%*(�!$�#!(� ! ����+� �! &!#!( �!$�#��� �����!02�(�' � �,��C +��#,��!� � 9�� �#!/3� ,! � !���#��% �� ���@�����0 O5N logN8� � ,!��� %���,�C ���#�,��+ +!B ,#*%!� %!��� �+�C +�$ #� ��+� B!+���� �! �6�� 67 ���� ��#�� �+� �!) � !���/#��% ,�' #!�&�3�!�!��' %����������� $�� �*( � k/3�!��*( 5������� ���� �0$����!�������� &�#',+!8 B��+1�C �� ���@�����0 O5N

plogN log logN8�

� #!$��!( !���#! :;./;>? &�+!3!��� ��� 3!,!�� &#�� #+� &#��!,� @����� B��+1��+�!��!%� �&��*�! %*% ����) ��'%�� %�@�� �� ��� + !�� $# � ! �% ���� + $*��#�/%� �*���� ��0 &������ C�*( B�#% �!, &���+���1!%�� � �!�������� �!@��0 #���&#� D��% ��#!0� �*, � ��* !���#�% ����� �+� &���+���1! J ��%�%�#B�* &#�/�$#!3* &���+���1! S� F f.� ;g � �& #!1�'%� ,�3G0�+1�� � +��G0�+1��� ������!'�, ' ������� � ��%� ��� &#� #!�&�3�!�!��� ���������� � +���#��� ����� �+��� �*/�+!3*�!��' +�!���#* ��2 �����!��' � �$2����� &� +�� ��*% %��@ ���!% %�@��3!% ����� ����� ���� ���� ,�3G0�+1� C � +��G0�+1� C� & # (�,' + �*���� ��'% �S�� "��� � �� %�@�� #!�)�#��� ��&���3� %�0 %�, ��� & # (�,' + �*���� ��'% ��0$�% ����� �+�% &���+���1 ��� ,!@ � �0$�% �� #!�)�# ���� ��#�)� ���C���!�!+��� #!�)�# ��' %���� &�%��� � &���+ $*��#��� !���#��%!�

� +!� ��� ,���!����� '#+��� &#�% #! &#�% � ��' &������ C�*( B�#% #!��%�/�#�% 3!,!�� #!�&�3�!�!��' &#��!,� @����� �!������C $�� ��C B��+1�� �,��%� �3&# ,&���*( +�!���� / +�!��� B��+1�C� ��(#!�'02�( ����) ��

R5y�� y�� y�� y�8 :5y� F y�8�5y� F y�8 � 5y� F y�8�5y� F y�8?�

�#���!���*C 5& # $�#�*C8 !���#��% ,�' D��C 3!,!�� �% � ���@����� O5N�8� ����#!��%!�#��!�� ����+� �#!���%* �!$�#*� �� ���@����� � �+� &���3��� ,� O5N log� 8��!��� C) &���@ �� ���@����� �+!3*�! ��' �#�,��C 3!,!� C� ����#� :;>? �,!����&���#���� !���#��% ,�' D��C 3!,!�� � �����% O5N log� � logN log logN log log logN8$����*( �& #!1�C� "���#� �� !���#��%! �����!�� �! �!C, ���% !���#�% �� ,�0/2 % ��@, ��� � �, � J +�%&� +��*C +�# �� �#!�� ��' �� R �R ; F .A

5x R x�85y R y�85z R z�85w R w�8 R 5x R �x�85y R ��y�85z R ��z�85w R �w�8R

5x R ��x�85y R �y�85z R �z�85w R ��w�8 FP�

i�j�r�s� tijrsxiyjzrws�

Page 10: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;- ��������� ������

�, tijrs F

�=� ��� R5i� j� r� s8 �*&���' ��'.� ��� R5i� j� r� s8 � �*&���' ��'�

��2 �����!�� !���#��%! � �+!3!���C ���@�����0 ��'3!�� &#���� � � %� ��� &#!�!'�!��� �&# , � ��*% �$#!3�% ����� ����� � ����) ��0 R� ! � � ��C �!��� �� �� =��!�! %*(� ��% ��%� ��� (��' 3, �� ��&���3��!�* +�%&� +��* ����!� ���@������1 � �! � $����*( �& #!1�'(� +!3!��*C # 3����!� &�3���' � &������� �!+�0 @ �1 �+� ���@����� � ,�' #!�&�3�!�!��' &�����* ���� %* �!�����*( $�� �*( B��+/1�C� 3!,!��*( � +��#��� ��� '��' ��' �! ,!��*C %�% �� �!����)�% # 3����!��%,�' ,!���C 3!,!��� ��!������*% �$#!3�% � ,#��� 3!,!�� &���#� ��' $*��#*(!���#��%�� ,�' #!�&�3�!�!��' ���C��� ,��+# ��*( B��+1�C & # (�,�% + !�� $# ���,'��' &#���� + &���+� � +���#*( ��@, ���� � 3!���'2�( �� n�

�!+�% �$#!3�%� ��&���3��!�� !�� $#!�� �+��� !&&!#!�! %�@ � &�%��� � &���/+ $*��#*( !���#��%�� ,�' ,��+# ��*( 3!,!�� � $*�� $* ��� # ��� �!C�� ���* &#�% #* �!+��� ��&���3��!��' !�� $#*�

�!��!' #!$��! �!������ &�,, #@ �! �#!���% ��� ...;/..=�;�

H������

;� %�3�� ���� � �!,��#�+��# 3!%+������ +�!��! &�����%�� &� %�,��0 k �� ���/+# ��!' %!� %!��+!� ;<L<� ��;� �*&�;� �� =/;��>� �� )�� ���� ��� ��* !���%!�* � &#�$� %! � #��!C,! � & #��,�� �+�( �#�&&!(�� 6!� %!��� �+� 3!% �+�� ;<N>� �*&� =� �� =;</=>L�=� � � 3� �! ���� � ���@����� #!�&�3�!�!��' &�����* %��@ ��� $�� �*( B��+1�C�# !��3��!��*( &�����%!%� � �!�+��! �� ���+# ��!' %!� %!��+!� ;<<N� �� <� N -��� >-/=;�-� � � 3� �! ���� "�����%�!���*C !���#��% ,�' #!�&�3�!�!��' &#��!,� @�����# !��3��!���C &�����%�% B��+1�� k/3�!���C ����+� &# ,&���*% +�!��!% �!%�,��C/��� ��*( B��+1�C �� ���+# ��!' %!� %!��+!� ;<<L� �� ;.� N =� �� I-/N>��� �� +� � ���� ���@����� �%��@ ��' %!�#�1� �$3�# �� ��$ #� ��� �+�C �$�#��+����!' � #�'� �*&� >�� ;<LL� 6�A 6�#� �� ;L</>=I�I� �� +� � ���� � � +���#*( !�� $#!(� ��'3!��*( � $*��#*%� !���#��%!%� �����+# ��!' %!� %!��+!� ;<<I� �� L� �*&� ;� �� �>/I-�N� �� +� � ���� 6���%!���* #!�)�# ��' � &#���*% �%��@ �� % ,�' !�� $#*%!�#�1 ���#��� &�#',+! �� ���+# ��!' %!� %!��+!� ;<<N� �� <� �*&� ;� �� N;/L>�L� ��#%!� 6��� � &#�% � ��� % ��,! $*��#��� & # %��@ ��' %!�#�1 � 3!,!� �!(�@, ��' �#!�3�������� 3!%*+!��' �#!B! �� ��� ���� ;<I=� �� ;<-� N =� ���>-�<� �� +� � ����� �% ��'��� ��� 6 ��, &���#� ��' $*��#*( !���#��%�� � k/3�!���C����+ �� 6!� %!���� 3!% �+�� ;<L�� �� =L� �*&� ;� ��;-L/;�I�;.� Alekseev V�B� Recognition of properties in k/valued logic and approximate algorithms�� Lecture Notes in Computer Science� Springer/Verlag� ;<LN� V� >NL� P� ;./;=�;;� �� +� � ���� ���& ��!�* $���� C�* !���#��%* � #!�&�3�!�!�� &�����* �k/3�!��*( ����+!( �� �3� ���' �U��� 6!� %!��+!� ;<LL� N�N� �� ;</>N�;>� �� +� � ���� H���� �+� &���+���1! � �( ��&���3��!�� ,�' &���#� ��' $*/��#*( !���#��%�� �� � ����+ 67� � #�' ;� 6!� %!��+!� % (!��+!� ;<<N� N ;� ��>>/><�

Page 11: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ ;�

���H���������� �H���� 7����

������ +� �

��!�� �#!B�� �!3*�! ��' ������ ������5��!�� ������ ������8� ��� ��'/+�C �#!B� �3�%�#B�*C &�#�@, ���%� &�,�#!B� 5&�,�#!B�8 �#!B! �3 D���� +�!��!��!+@ &#��!,� @�� +�!���� �!@,*C �!�� ,��� ��*C 5� ����+� �!�� ,��� ��*C8+�!�� %�@ � $*�� �&��!� 3!&# 2 ��*%� &�#�@, ��*%� &�,�#!B!%� E %���%!��/�*%� &� ����) ��0 4$*�� &�#�@, ��*% &�,�#!B�%4�#!B!%�� � &#��!,� @!2�%�D��%� +�!���� ��!�� �#!B��� ,�' +���#��� %��@ ���� 3!&# 2 ��*( &�,�#!B�� ���M � �$�3�!�! ��' � # 3 Free5M8K ��� M +�� ���� �� �!3*�! ��' +�� ��� �&# , � �/�*%� "# ,�!�! ��' �$3�# # 3����!���� &���� ��*( &#� �3�� ��� +���� ��� ��*( ����@�����*( (!#!+� #����+ �!�� ,��� ��*( +�!���� �#!B���

�� ������� ��� ���� ���� ������

� :;? $*�� ,�+!3!��� ��� ,�' �0$��� �!�� ,��� ����� +�!��! �#!B�� ��2 ����/ � D��#�&�' / &# , � ����) ��' ���!#�B%! ����! �#!B�� � n � #)��!%� � D��%+�!�� + ���!#�B%� ����! �� ( �#!B�� � n � #)��!%�� � :>? &�������0 �(!#!+� #�/3��!�! �$�!��� 3�!� ��C D��#�&�� �!�� ,��� ��*( +�!���� J ��! ������� �3 ��� ���,! ; � ;�k� k J �0$� �!��#!���� ������ �!% @ $*�� �&��!�* %���%!���* D� % ��* +!@,��� 4D��#�&�C���� ���'4J ��� �$#!3�0� ,��(&!#!% �#�� �+� � % C/����A +�!�� Ei�j ������� �3 �� ( �!+�( �#!B��� � +���#*( %��@ ���� � #)�� %�@��#!3$��� �! i R j �!�� C �!+� ��� i �3 D��( &�,%��@ ��� &�#�@,!0� &���* � ! jJ&���* &�,�#!B*� 6���%!���*%� 5&� �+�0� ��0 %��@ ���8 D� % ��!%� �# ,��!�� ,��� ��*( +�!���� � D��#�&� C ;�;�k '��'0��' +�!��* Ei�j c iRj F k � ����+����� 9�� &�3���' � �� %����( ����!'( � �+� �&# , �'�� D��#�&�0 �!�� ,��� ��*(+�!���� �$*+��� ��*( �#!B���

��' �#� ���#��!��*( �#!B�� ��&#�� � ��3%�@�*( 3�!� ��'( D��#�&�� �+!3*�!/ ��' $�� ���@�*%� ��!���� ��� ��� D��#�&�' +!@,��� $ �+�� ����� �!�� ,��� �/���� +�!��! �#� ���#��!��*( �#!B�� ��$� #!��! .� ��$� � % ��) ;�-� �3� ��/�* %���%!���* D� % ��* � � % C���!( �!�� ,��� ��*( +�!���� � D��#�&� C . �;�-� ��' ��� #�!�! 5;�-�;8 �% 0��' ��#*����* ,!��* � �� %�@�� ��% ���� +!/� ��� ��� ������ �� � �#� ���#��!����� ����!' / � �$�!��� 3�!� ��C D��#�&���!�� ,��� ��*( +�!���� �#� ���#��!��*( �#!B�� �% ��' $ �+�� ��� %���� ��� +���2 ��'� ��!������* # 3����!�* &���� �* ,�' 1� ��*( �#!B���

�� ����� � ��� ��� ������� �

���� +�!�� �#!B�� �% � D��#�&�0 h � .� �� ���!#�B% ����! �#!B�� � n � #/)��!%� � D��% +�!�� !��%&����� �+� #!� � hn�� ���� @ h F .� �� %�@�� ��)�JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ�� +� � ��!,�%�# ��� �� ������@ ��#�,�+�C ����,!#��� ��*C ���� #��� �� B!+���� � �6��&#� 7!�!#��!� >=� +�#&�>� I.=I..� ��@��C �����#�,�� �� I� NL L;� e/mailA aveMuic�nnov�ru

Page 12: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;I ��������� ������

��� #@,!��� ��� D��� ���!#�B% ��� o5n�8� "# ,��!��' � ��� # � �*'�� �� ��3%�@/�*( ��&�� &�� , ��' D��C B��+1�� 5�!3*�! %�C � ,!��� C) % &�#',+���C B��+1� C+�!��!8 ,�' +�!���� � ��� ��C D��#�&� C� � :=? �&��!�* +�!��*� ,�' +���#*( &�#',/+��!' B��+1�' �% � �,�� �3 �� ,�02�( ��&�� &�� , ��'A +����!��!� logn� n� n log n�� +!@,�% �3 D��( � �*# ( � % C��� �% ��' +�� ��� %��@ ���� %���%!���*( &��+�0� ��0 +�!���� � ��� �� �!C, �*� 9�� &�3������ ��#�+��#�� �(!#!+� #�3��!��& #�* �#� � % C���!� ��' � �� #���� �,!���� �(!#!+� #�3��!�� ����+� +�� ����&# , � ��* ������ �!�� ,��� ��* +�!��*A &�#',+��!' B��+1�' �!+��� +�!��! #!/�� � � $*��# � % n log n ���,! � ����+� ���,!� +��,! � � % � ��, #@���' +�!���� ( � ����

��' �0$��� �!�� ,��� ����� +�!��! � ��� ��C D��#�&� C� � �(�,'2 �� �� � �,���3 & # ���� ��*( � % C���� &�#',+��!' B��+1�' #!�� � $*��# � � % n log n� �3� ��/�* ��, ���* +�!��* � &�#',+��*%� B��+1�'%� ��&! nlog�n � n��� &#� � +���#*(� � .� �� � 1 ��% ��&#�� � &����% �&��!��� ��3%�@�*( ��&�� &�� , ��' &�#',+��*(B��+1�C ,�' �!�� ,��� ��*( +�!���� ���! ��' ��+#*�*%�

�� ������ ��� ���������

� :-? $*�� ���!���� ��� ��� 3!,!�! � � 3!����%�% %��@ ��� ���! ��' NP/&����C,�' �0$��� +�� ��� �&# , � ����� �!�� ,��� ����� +�!��!� �+�0�!02 �� +�!�� T�� ( �#!B��� � +���#*( +!@,!' +�%&�� ��! ��'3����� ��% �%�#B�! K� ��� K���� 9��,! � �#� ���# &#� &���+ �$�!�� C DBB +�������� J & #�& +����*%� '��'0��'+�!��*� � +���#*( �# ,� 3!&# 2 ��*( &�,�#!B�� ��� �#!B* �3 T � ���$*C ��� /# � &# ,��!��'0� +�!��*� �&# , �' %* �,��% 3!&# 2 ��*% &�,�#!B�% �3 T � � :�?,�+!3!��� ��� &#� �0$�% m 3!,!�! � � 3!����%�% %��@ ��� ,�' +�!��! Free5mK�8#!3# )�%! 3! &�����%�!���� �# %'� �#�% D���� $ �+�� ����� � % C���! ,� &�/�� ,� �� �# % �� ��)� ,�' ,��( 5 ��� ��+�0���� �#���!���* ����!�8 +�!������&# , �' %*( �,��% 3!&# 2 ��*% &�,�#!B�% �3 T � $*�! ���!���� �! &�����%�!��/�!' #!3# )�%���� 3!,!�� � � 3!����%�% %��@ ��� J ,�' Free5P�8 � ,�' Free5K���8�U!,!�� � � 3!����%�% %��@ ��� ,�' +�!��! Free5K���8 %�@�� #!��%!�#��!�� +!+�$�$2 �� 3!,!�� � �!�$���) % &!#���� �!��� � &#��3������% �#!B 5:N?8� "���/��%�!���* !���#��%* ,�' D���� +�!��! $*�� �!C, �* � #!$��!( :N� L?� � 5:I?8&���#� � &�����%�!���*C !���#��% # ) ��' 3!,!�� � � 3!����%�% %��@ ��� ,�'+�!��! Free5F 8� �, F J �#!B� &����! %*C �3 K��� &�,#!3$� �� % �,���� # $#!�9��� +�!�� �+�0�! � �$! &# ,*,�2�(� ��+#*�*% ���! ��' ��&#�� � ���@������%��!��� +�!��! Free5P�8�

��' +�� ��� �&# , � ��*( ������ �!�� ,��� ��*( +�!���� � :<? &���� �! � �3/� ����% �%*�� ��� #&*�!02!' +�!���B�+!1�'A ��� �!+�C +�!�� �+�0�! � � � $'+�!�� T � �� 3!,!�! � � 3!����%�% %��@ ��� ,�' � �� NP/&���!� ! ��� � �+�0�! ���� ��! &�����%�!���� #!3# )�%!� ��!������* # 3����!�* &���� �* ,�' 3!,!� �,�%���#�02 % %��@ ��� � � ,���� C) % &����

����������

:;? �� +� � ���� �!�� ,��� ��* +�!��* � +�,�#��!�� �#!B���� "#�$� %* +�$ #/� ��+�� 6�A �!�+!� ;<L>� �*&� =<� �� ;�;/;I-�

Page 13: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ ;N

:>? �� +� � ���� �$�!��� 3�!� ��C D��#�&�� �!�� ,��� ��*( +�!���� �#!/B�������+# �� %!� %!��+!� ;<<>� �� - N >� �� ;-L/;�N�

:=? �� +� � ���� � ��@��( '#��!( # ) �+� �!�� ,��� ��*( +�!���� �#!/B�������+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C� � #�' ;� ;<<N� �� -� N ;� ��=/;>�

:-? �� +� � ���� � ���'��� ��+!���*( ��#!��� ��C �! ���@����� �&# , � ��' ��/��! � 3!����%���� �#!B!����%$��!��#��/!�� $#!�� �+� % ��,* � &#�+�!,��C%!� %!��+ � 7�#�+�CA 7�#�+� ���� ��/�� ;<L>� �� =/;=�

:�? �� +� ����� � ���� ��&�+��*( � 3!����%*( %��@ ��� � �#!B!( �3 �!�� ,��� �/�*( +�!��������%$��!��#��/!�� $#!�� �+� % ��,* � ,��+# ���C �&��%�3!1����������#�,A ��@ ��#�,�+�C ���� ��/�� ;<<;� �� �/L�

:I? �� +� � ����"�����%�!���*C !���#��% ,�' �!(�@, ��' �!�$���)�( � 3!����/%*( %��@ ��� � �#!B!( $ 3 ����+�����+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C�� #�' ;� ;<<<� �� I� N -� C� =/;<�

:N? Lov�asz L�� Plummer M�D� Matching Theory� AmsterdamA Norh/Holland� ;<LI� 5Ann�Discrete Math�K V�><8�

:L? Minty G� On maximal independent sets of vertices in claw/free graphs��J� Combin�Theory Ser�B� ;<L.� V� >L� N =� P� >L-/=.-�

:<? �� +� � ����� ��#�$�1*� ���� � ���@����� � +���#*( 3!,!� �! �!�� ,��� ��*(+�!��!( �#!B�������+# �� %!� %!��+!� ;<<>� �� -� N -� �� =-/-.�

Page 14: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;L ��������� ������

7H���H���� �"��6�U���� � 6����� ���������� ���� ����

�����6 ��H��� ��� �H7���������� ������

��"����!���� 7!�(�'�

� :;�>? #!��%��# �! 3!,!�! &���+! �� ( �!+�( ��� + x � R� ���

g5x8 F .� g � En� 5;8

g�5x8� ���� gn5x8 / �*&�+�* � &# #*��� ,�BB # �1�#� %* B��+1��� R �*&�+�� 3!%+���� ��#!��� ��� %��@ �����

��#�� x � R ���� %* 5;8 $�, % �!3*�!�� #!3����*%�� ��� %!�#�1!�g5x8 �% / � #!�� n� � +#!������ k A ; � k n� ��� #!�� �g5x8 ��� n � k�

��!�!� %* ��#!����%�' #!��%��# �� % ��)� ����! � #!3����*( +�#� C�U, �� � ,!� $�, % �!+@ &# ,&��!�!��� ��� ����� +�#� C ���� %* 5;8 �! R +�� �/��� �� � +�#�� ���� %* 5;8 �3���#��!�*�"���+ � +�2 �� +�#�' ���� %* 5;8 �����!� �! ��&���3��!��� �� ,�02 C ��&�%��!/� ����C +����#�+1�� :=?A

minfk x kA x � Rg� 5>8

�, R F fx � En A gi5x8 F .� x � L� i F ;�m� m � ng�

L F fx A fj5x8 � .� j F ;� lg� 5=8

U!,!� 5>8/5=8 ��&���!��% �� ,�02�0A

minf�5x8 Fk x k RNmXi��

gi5x8 A x � Rg� 5-8

�, R F fx A gi5x8 � .� fj5x8 � .� i F ;�m�

j F ;� lg� N � .� 5�8

�� , % �$�3�!� �� �5x8 F fg�x�f�x�g

�, g � Em� f � El� � � Em�l�"���� R �,��� ���#' � ������'% # ���'#����� � X/ ��� %��@ ���� ��� + %�/

��%�%! �5x8 Fk x k �! R� R� / %��@ ���� �&��%�%�� � ,��C��� ���C 3!,!� � ���,!�&#!� ,���! �� ,�02!' � �# %! :;?�

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ���!��� �!� #�'� "!��������������� ,��!%�+� ���� % � � �#�� �&#!�� ��' �� ���II-.== �#+���+� ��� H #%�����!� ;=>e/mailA bulatovMisem�sei�irk�ru

7!�(�'� �!�3!���C�� 6������'� �!�/�!��#� 67

Page 15: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ ;<

��� �� � #�� !2� ����� ��� � . ����� � � x � X� � � R�

k ��5x8T� k� k � k-�k ��5x8 k� c �� 1��� ���� �� N� ����� � � N � N� ����� ���� ������� �5x8 �� R ����� ����� ������ ��� g5x8 F .

� :;�>? &#���,'��' �!+@ ,� ,#��� # ,�+1�� # ) ��' 3!,!�� 5;8 + ��&�%��!� ���*%3!,!�!%� !�!������*% 5-8� 5�8�

��!+� &���� �@ &���#� �! &��� ,��!� ������� fxjg �!+!'� ��� gi5xj8 F .� j F;� k� � ���+ xk �&# , ��% +����A

Lk F fx A�g5xk8Tx � �g5xk8Txkg����,! �#!�� ��' # $ # +����! Lk �% 0� ��,A

xj F xk � �jskj � �j � . 5I8

�, skj / ����$1* %!�#�1* �$#!���C + �g5xk8 5&� ������0 j � g5xk8j �F .8��3 �#!�� ��C

Pi�� gi5xk � �jskj88 F . �!(�,�% �kj � . � ����� �����02�

�% ���+� xkj F xk � �kjskj & # � � ��' ��� C 5I8 � &�� #(�����0Pn

i�� gi5x8 F .�&# , ��% ��� +!02 xk &���&#���#!����� x A �kTx � tk � �� ,�02 # ) �� ���� %* � ��� C�*( �#!�� ��C xk�� �3 # ) ��' 3!,!��

minf�5x8 A x � Rk��g��,

Rk�� F fx A x � Rk� �kTx � tkg"���� Sk �*&�+�� 3!%+���� %��@ ���� �!+� � ��� Sk � R F fx A gj5x8 � .� j F;� ng� &#�� % �� # ) ��' ���� %* 5;8 '��'0��' �#!����*%� ���+!%� Sk� "����,!� ��2 ����0� �kj 5. �kj �8 � ����� �����02� �% ���+� xkj F xk��kjskj

& # � � ��' ��� C 5I8 � �#!��1 C %��@ ���! Sk� � # 3 ���+� xkj &#�� , % &���+����fx A �kTx F tkg � �&# , ��% ��� +!02 xk &���&#���#!����� fx A �kTx �tk�g ���,! �� ,�02 # ) �� ���� %* � ��� C�*( !�� $#!�� �+�( �#!�� ��C xk��

�!C, % �3 # ) ��' 3!,!��minf�5x8 A x � Rk��g�

�, Rk�� F fx A x � Rk� �kTx � tkg

�3 � �% �#�� �+�( ���$#!@ ��C �� ,� �H�66�� " # � � �� +����! Lk � &���&#���#!����! fx A �kTx � tkg � ��, #@��# ) ��C ���� %* � ��� C�*( �#!�� ��C 5;8 ������*( �� xk�

"#�� , % &#�% #* +����#�+������� &���#� ��' %��@ ��� Sk A

S F Sk5�8 F fx AnXi��

�igi5x8 � .� �i � .g�

Page 16: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

>. ��������� ������

��� +!+ � �&��!���% �*) !���#��%

S F Sk5;8 F fx AnXi��

gi5x8 � .g

�3��@ ��* 3, �� +����#�+1�� &���#� ��' ��� � ��C !�!������* &#!���!% &�/��#� ��' &#!�����*( ��� � ��C � 1 ������ ���% &#��#!%%�#��!��� :=? � %���� �!+/@ &#�% �'���' � �� #!1����*( &#�1 ��!( ���$!����C �&��%�3!1�� � ��&���3��!��/ % � �$(�,�%*( ������C �&��%!�������� �!&#�% #� #!��%��#�% 3!,!�� $�� ����&#��#!%%�#��!��'A

minf�5x8 A x � R� xi F . � ;� i F ;� ng� R � En

�&# , ��% e F 5;� ���� ;8 � En� R F fx � En� . � x � ;g gi5x8 F xi � x�i � �� ��,����#!��� ��' gi5x8 F xi�x�i F . D+���!� ���* ������0 xi F .� ;� i F ;� n� x � R���(�,��C 3!,!� ��&���!��% �� ,�02�0 3!,!�� %!� %!��� �+��� &#��#!%%�#��!/��'A

minf�5x8 RNnXi��

gi5x8 A x � R� gi5x8 � .� i F ;� ng� N � .�

���� �5x8� ������!' B��+1�'� R� 3!,!�� ���� %�C ��� C�*( � #!� ����A R F fx AAx � bg� �� &��� ,�00 3!,!�� %�@�� & # &��!�� � ��,

minf�5x8 RNxt5e� x8 A x � R �Rg�9�! 3!,!�! ��� 3!,!�! %���%�3!1�� �������C B�+1�� �! �*&�+��% %�����#!���+ ��3� ����� ��� ��2 ���� � �!+� N�� ��� &#� �� ( N � N� %��@ ���� ���$!���*(%���%�%�� � &��� ,� C 3!,!� ���&!,! � � %��@ ����% �&��%!���*( 1 ������ ��*(# ) ��C ��(�,��C�"���� � & #� �# $� ��' �!C��

globminf�5x8 A fi5x8 F .� j F ;�m� m ng 5N8

��&����%� ��� � �$(�,�%* ������' �&��%!������� � 3!,!� 5N8 �&# , �'0� 3!%+��/��0 ���� %� � ��� C�*( !�� $#!�� �+�( �#!�� ��C � �*&�+�*%� B��+1�'%� � � /�*( �!��'(A g5x� �8 F .� 3, �� � / � +��# ,��C��� ��*( & # % ��*(� U!,!�! 5N8D+���!� ���! &���+� %���%�%! �5x8 �! # ) ��'( ���� %* g5x� �8 F . � �*&�+�*%�B��+1�'%� � � �*( �!��'(� � ����! �������C B��+1�� �5x8 !�!������*C �� #!1�/���*C &#�1 �� # ) ��'5N8 &#���,���' � :=?� ��@ ,!0��' &#�% #* 3!,!� ���,�%*(+ # ) ��0 ���� % � �*&�+�*%� B��+1�'%�;8� "���� 3!,!�! ���� %! �#!�� ��C ��,!

xTAjxR bTjxR cj F .� j F ;� n� 5L8

3, �� %!�#�1* Aj / ���$2 ����#'� � �&# , � �*� ���� %! 5L8 D+���!� ���!A

fxTA�jxR xTA�jxR 5b�j8TxR 5b�j8TxR c�j R c�j F .g� j F ;� n�

�, A�j� � ��#�1!� ����� ! A�j� � &���@�� ���� �&# , � ��* %!�#�1*� ���,'���* & # % ��* yj &�����% ���� %�

xTA�jxR 5b�j8TxR c�j R yj F .

Page 17: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ >;

�xTA�jxR 5b�j8TxR c�j R yj F . 5<8

>n �#!� ��C � �*&�+�*%� B��+1�'%� � � �*( �!��'(�>8 "���� ,!�! ���� %! �#!�� ��C

��j5x8 R ��j5x8 F .� j F ;� n� 5;.8

�, ��j5x8��*&�+�* � ! ��j5x8/ ������* B��+1����� ��,�� 5;.8 D+���!� ���! ���� %

��j5x8 R yj F .� ���j5x8 R yj F .

>n �#!�� ��C � �*&�+�*%� B��+1�'%� � � �*( �!��'(�� �#�,�� �$ ,����'� ��� ���� %* �#!�� ��C� 3!,!��* &�����%!%� %����( & # /% ��*( � � �*( �!��'(� 3!% ��C & # % ��*( %���� $*�� �� , �* + � +���#*% D+��/�!� ���*% #!�)�# ��*% ���� %!% !�� $#!�� �+�( �#!�� ��C ��,! 5<8�

H�� #!��#!

;� ���!��� ��"�� �� +� �! ����� ���� ��* % ��,* &���+! �� ( # ) ��C ���� %� ��� C�*( !�� $#!�� �+�( �#!�� ��C��� �#�,* �I 6 @,��!#�,��C �!C+!���+�C)+��*/ � %��!#! 46 ��,* �&��%�3!1�� � �( &#���@ ��'4� �#+���+ ;<<L� �� ;� �� >;/=>�>� ���!��� ��"�� 7��$!���!' �&��%�3!1�' � ���� ��* % ��,* &���+! �� ( # ) ��C���� % � ��� C�*( !�� $#!�� �+�( �#!�� ��C � �*&�+�*%� B��+1�'%� � � �*( �!/��'(� ����6�6�� >...� ��==� ���!��� ��"�� 6 ��,* &��#�@ ��C � 3!,!�!( �&��%�3!1����� ������$�#�+� �!�/+!� ;<<N-� ���!��� ��"� 6 ��,* !&&#�+��%!1�� ,�' # ) ��' � +���#*( 3!,!� %!� %!��/� �+��� &#��#!%%�#��!��'��� 4"#�+�!,�!' %!� %!��+!4� �#+���+A �9� �� ������ ;<IL� c� ;./;��

Page 18: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

>> ��������� ������

THE MAXIMUM TRAVELING SFLESMAN PROBLEM

E�Kh� Gimadi and A�I� Serdyukov

�� Introduction

In this paper� we give a brief overview of the state of the art of the maximum travelingsalesman problem 5Max TSP8� The problem is NP/hard in general and� furthermore� doesnot admit a polynomial time approximation scheme 5PTAS8� unless P F NP 5Papadim/itriou� Yannakakis :;<<=?8� The general intractability of the Max TSP stimulated a searchfor approximation algorithms with performance guarantees� such as the running time�performance ratio� etc

Polynomial time approximation algorithms with the following performance ratios havebeen found for the Max TSP with non/negative weights 5distances8A ;�> 5Fisher� Nemhaus/er and Wolsey :;<N<?8� -�N 5Kovalev and Kotov :;<LI?8� =L�I= 5 Kosaraju� Park and Stein:;<<-?8�

In this paper� we focus on approximation algorithms for some special classes of theMax TSPA symmetric� semimetric� metric 5symmetric and semimetric8� polyhedral andeuclidean� For problems with randomly generated instances� we present results of theprobabilistic analysis of the two algorithmsA the �rst uses the 4Farthest City4heuristic�the second uses solving of the corresponding Assignment Problem followed by a patchingprocedure�

�� Semimetric and metric Max TSP

Let G F 5V�A8 be a complete directed graph with n vertices� without loops and witha cost function c on the arcs of G� which satis�es the triangle inequality A

c5v�� v�8 R c5v�� v�8 � c5v�� v�8

for each triple v�� v�� v� of distinct vertices in V�If the triangle inequality is satis�ed� the Max TSP is called semimetric� The semimetric

Max TSP is called metric if c5v�� v�8 F c5v�� v�8 for each pair v�� v� � V � A subgraph ofG� F 5V�A�8� A� � A� is called a contour cover or -�matching� if each vertex of G� hasindegree and outdegree of exactly ;�Statement� Let C F fC�� C�� � � � � C�g be a contour cover of G Then there exist

Hamiltonian contours H� and H� in G with costs

c5H�8 ��; � ;

n

����c5C8 5Serdyukov :<;?8� 5;8

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJGimadi Edward Khairutdinovich� Serdyukov Anatoly Ivanovich�Sobolev Institute of Mathematics�pr� Ac� Koptyuga -� Novosibirsk I=..<.� RussiaKphoneA 5L/=L=/>8==/>;/L<� faxA ==/>�/<L�e/mailA gimadiMmath�nsc�ru� aiserdMmath�nsc�ru

Page 19: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ >=

c5H�8 ��;� ;

>

�c5C8 5Kostochka and Serdyukov :L�?8� 5>8

where F minf i j ; � i � �g and i F jCij is the number of vertices in Ci�Moreover� given a -�matching C of G� Hamiltonian contours H� and H� can be con�

structed in O5 n8 time Remark� For some values of � and � �-� is better than �-� For other values of �

and � the relation may be opposite From 5>8 we deduceCorollary� The semimetric Max TSP can be solved in O5n�8 time with the perfor�

mance ratio at least e���� � =�� as n��Note that for � >� the problem of �nding the maximum/cost >/matching is NP /hard

in the semimetric case� and that for � = it is still open in the metric case� From thisand 5>8 we concludeCorollary� The semimetric Max TSP can be solved in O5n�8 time with the perfor�

mance ratio =�-�Corollary� The metric Max TSP can be solved in O5n�8 time with the performance

ratio ; � .��� � ��I�Kovalev and Kotov :;<L�? described an algorithm with the performance ratio 5 R

>8�5 R =8� but only for the metric case� This estimate coincides with 5>8 for F =� andit is worse if � =� The time complexity is the same�

�� Symmetric Max TSP

The Max TSP on an undirected graph G F 5Vn� E8 is called symmetric� In this case�c5v�� v�8 F c5v�� v�8 for every v�� v� � Vn�

Polynomial time algorithms with the performance ratios >�= 5Fisher� Nemhauser andWolsey :;<N<?8� and ;=�;L 5Kovalev and Kotov :;<L>?8 are known for this problem�Statement� )Serdyukov *�$��+,

The symmetric Max TSP can be solved in O5n�8 time with the performance ratio =�- To obtain the approximation� Serdyukov uses solutions of two polynomially solvable

problemsA the maximum cost matching problem and the maximum cost >Ematching prob/lem� The edge union of the two solutions is then divided into two partial tours� The partialtour with the maximum cost is added to a tour�

Note that a slightly modi�ed algorithm with the same performance ratio was describedby Kovalev and Kotov in ;<LI�

In ;<<L� Hassin and Rubinstein described a O5n�8 algorithm with the performanceratio ��N� which is worse than =�-� Thereafter they combined ideas of their algorithmwith SerdyukovQs algorithm to construct a randomized polynomial time algorithm withan improved performance ratio of >��==�

�� Polyhedral Max TSP

Let B be a polyhedron inRk containing the origin� Let us given the Minkovsky functionalf A Rk R� of the set B� i�e� f5x8 F inff� � R j x � �B� � � .g� Suppose thatc5x� y8 F f5y � x8 is the distance from x to y for an ordered pair 5x� y8 � Rk �Rk� Notethat the B is the unit ball which determines pairwise distances c5�� �8 between points in

Page 20: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

>- ��������� ������

Rk� Then the Max TSP on given set points is called polyhedral Max TSP� Notice that wedont really need that the set B is central/symmetric�

Until recently� the complexity status of the polyhedral Max TSP was open�In ;<<I� Barvinok presented a PTAS in the case of �xed number of facets of the unit

ball that de�nes the polyhedral norm�In ;<<L� Fekete� Barvinok� Johnson� Tamir� Woeginger� and Woodroofe established

the following results��� The problem is NP /hard in Rk� k � =� if the number of facets of the unit ball is

allowed to vary��� An O5nm�� log n8 optimal algorithm is presented� where m is the number of facets

of the unit ball that de�nes the polyhedral norm��� An O5n8 optimal algorithm is presented in the case of the rectilinear norm in R��Let G be a complete directed graph with the vertices at given points of Rk�Proposition 5Serdyukov :;<<�?8� Set m� F bm�>c� Let C F fC�� C�� � � � � C�g be

a maximum cost contour cover in G and let � � m� Then there exists a contourcover C � F fC �

�� C��� � � � � C

�m�g in G such that c5C �8 F c5C8 In addition� there exists an

algorithm 4nding C � in O5n�8 time From this and the inequality 5>8� we getCorollary� There exists an algorithm solving the Polyhedral Max TSP in Rk� for

4xed k� in O5n�8 time with the error 5n�m8 � 5bm�>c � ;8 �n�This algorithm is asymptotically optimal if m F o5n8� The main ingredient is to

solve a 5polynomially/solvable8 maximum cost >/matching problem� used to obtain theapproximation� On each phase of the algorithm� two contours are selected in a certainway from the >/matching 5special properties of the distance function are used here8� Thenthey are patched into one contour�Corollary� For m F =� the polyhedral Max TSP in R� is solvable in O5n�8 time Although the problem is NP /hard if the number of facets of unit ball is allowed to

vary� we haveCorollary� For m F O5ln n8� there exists a PTAS for the polyhedral Max TSP with

the running time nO����� Notice that last results do not require that c5v�� v�8 �F . if v� �F v��

�� Euclidean Max TSP

Until recently� the complexity status of the euclidean Max TSP was open� In ;<<L� Feketeestablished that in Rk with k � =� the problem is NP /hard�

Let Rk be space with the Euclidean metric c5x� y8 F kx�ykL�� x� y � Rk� We assumethat we can calculate distances with an arbitrary precision�Statement� 5Serdyukov :;<LN?8 There exists a polynomial time algorithm with the

performance ratio ; �O5cd n����d���8� where cd does not depend on n�Corollary� There exists a PTAS for the euclidean Max TSP with the running time

O5n� R n� > ld��8� where ld�� F 5cd�8�d����� Later� independently� using a di�erent 5polyhedral8 technique� Barvinok 5;<<=8 also

constructed a PTAS for the euclidean Max TSP�

Page 21: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ >�

�� Probabilistic analysis of �Farthest City�algorithm

Suppose that the entries of the distance matrix 5cij8 are chosen independently and atrandom from the segment :an� bn?� where an � .� with the identical distribution function5d�f�8 P 5x8 F Pr f� xg of a random variable � F 5cij � an8�5bn � an8� . � � � ;� LetA be a 4Farthest City4algorithm on the corresponding class of the Max TSP�

First� we consider some cases of non/uniform d�f� 5Gimadi :;<LLEL<?8�

Using a notation �n F����nR

5;� P 5x88��dx� we have

�� The algorithm A is asymptotically optimal if �n F o5n8 and �n � as n� �� For a majorizing type d f �that is� when P 5x8 � x�� the algorithm A is asymptot�

ically optimal if �n F o5n8��� For a minorizing type d f �that is� when P 5x8 � x�� the algorithm A is asymptot�

ically optimal It follows then that the algorithm A is asymptotically optimal for convex d�f�It is remarkable that in contrast to the �earest City4heuristic for the MIN TSP

5Gimadi� Perepelitsa :;<I<�;<N-?8� the 4Farthest city4algorithm for Max TSP with theminorizing type d�f� is asymptotically optimal without any kind of additional conditions��� The case of the uniform d�f�Using Kolmogorov/SmirnovQs statistic� Vohra in ;<LL proved that the algorithm A

guarantees the performance ratio ;�O�q

n�� ln5;��8�with the probability at least 5;��8�

Using PetrovQs inequality for large deviations� we get a much better performance ratio

of ;�O�n�� ln5;��8

�� It implies that for every constant � � .� we get an asymptotically

optimal solution with performance estimates �relative error and the probability of failure�

n F>� ln nn

� �n F;n��

� Probabilistic analysis of patching algorithm for the MAX TSP

In ;<<-� Gimadi� Glebov and Serdyukov presented an O5n�8 algorithm based on trans/forming an optimal Assignment problem solution into some approximate TSP solution byusing a patching procedure�Statement� Suppose that the columns of the distance matrix form a sequence of

symmetrically dependent random variables Then the Max TSP can be solved in O5n�8time with the performance estimates

n F >c� lnn�F �AP � �n F 5e�n8��� �

where c� is the maximum entry of the distance matrix and F �AP is the optimal value of the

objective function in the Maximum Assignment Problem Corollary� Within an � cij � bn� i �F j� ; � i� j � nK an � .� a solution with last

menshioned performance estimates is asymptotically optimal if

bnan

F o�

n

lnn

��

This research was supported by the RFBR grant <</.;/..I.;�

Page 22: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

>I ��������� ������

REFERENCES

;� A� I� Barvinok 5;<<I8 Two algorithmic results for the traveling salesman problem�Math of Oper Res � Vol -2� �� I�EL-�

>� A�I�Barvinok� D�S�Johnson� G�G�Woeginger� and R�Woodroofe 5;<<L8 The maxi/mum traveling salesman problem under polyhedral norms� Proc of the 6th Intern Integer Programming and Combinatorial Optimization Conf �IPCO VI�� SpringerLNCS ;-;>� ;<�E>.;�

=� S�P�Fekete 5;<<L8 Finding Maximum Length Tour under Euclidean Norms� JohnWiley � Sons Inc�� New York/London/Sydney�

-� M�L�Fisher� G�L�Nemhauser� and L�A�Wolsey 5;<N<8 An analysis of approximationsfor �nding a maximum weight Hamiltonian circuit� Oper Res � ��� N<<EL.<�

�� E� Kh� Gimadi and V� A� Perepelitsa 5;<N-8 An asymptotical approach to solvethe traveling salesman problem 5in Russian8� Upravlyaemye Sistemy ��� Novosibirsk�=�E-��

I� E� Kh� Gimadi 5;<LL8 Some mathematical models and methods for planning large/scale projects 5in Russian8� inA Modeli i Metody Optimizatsii� Trudy Inst Mat Vol �%� Novosibirsk� L<E;;��

N� E� Kh� Gimadi 5;<L<8 The maximum traveling salesman problemA the conditionsof asymptotical optimality of 4Farthest city 4algorithm 5in Russian8� Upravlyaemyesistemy �$� Novosibirsk� ;;E;��

L� E� Kh� Gimadi� N� I� Glebov� and A� I� Serdukov 5;<<-8 An approximation algorithmfor the Traveling Salesman Problem and its probabilistic analysis� 5in Russian8�Sibirskii zhurnal issledovaniya operatsii� 2� �� LE;N�

<� R�Hassin and S�Rubinstein 5;<<L8 An approximation algorithm for the maximumtraveling salesman problem� Information Processing Letters� ��� ;>�E;=.�

;.� M�M� Kovalev� V�M� Kotov 5;<L>8 Suboptimal algorithms for solving a travelingsalesman problem� Vestnik Belorusskogo universiteta� �� Ser� Phizika� matematika�mekhanika� ;E=;�

;;� M�M� Kovalev� V�M� Kotov 5;<L-8 An analysis of gradient solving the travelingsalesman problem 5in Russian8� ZhVM i MF� �� ;.=�E;.=L�

;>� M�M� Kovalev� V�M� Kotov 5;<L-8 An analysis of algorithms for �nding the Hamil/tonian maximum/weight circle 5in Russian8� Vesty Akad nauk Belorussii� �� ser��z�/matem� nauk� Minsk� -�E�.�

;=� M�M� Kovalev� V�M� Kotov 5;<L�8 Series of heuristics 5in Russian8� '7 Inter�nationales wissenschaftliches kolloquium� Heft 3� Technische Hochschule Illmenau��=E�I�

;-� M�M� Kovalev� V�M� Kotov 5;<LI8 An estimation of error for series of approximationalgorithms 5in Russian8� Vestnik Belorusskogo universiteta� �� ser 2� --E�.�

Page 23: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ >N

;�� S�R Kosaraju� J�K� Park� C� Stein 5;<<-8 Long tours and short superstrings� In '3stIEEE Symp on Found of Computer Science� ;IIE;NN�

;I� A� V� Kostochka � A�I� Serdyukov 5;<L�8 Polynomial algorithms with estimates =�-� ��I for the maximum traveling salesman problem 5in Russian8 Upravlyaemyesistemy� ��� Novosibirsk� ��E�<�

;N� C�H� Papadimitriu and M� Yannakakis 5;<<=8 The traveling salesman problem withdistance One and Two� Mathem of Oper Res � ��� ;E;;�

;L� V� A� Perepelitsa and E� Kh� Gimadi 5;<I<8 On a problem of �nding a minimum/weight Hamiltonian circuit in a graph with weighted arcs 5in Russian8� DiskretnyAnalyz ��� Novosibirsk� �NEI��

;<� A�I�Serdyukov 5;<L-8 An algorithm with an estimate for the maximum/weight trav/eling salesman problem 5in Russian8� Upravlyaemye sistemy� Novosibirsk� ��� L.ELI�

>.� A�I� Serdyukov 5;<LI8� A polynomial algorithm with an estimate of an accuracy 5IRp>8�L for a problem on the maximum/weight Hamiltonian cycle on the Euclidean

plane 5in Russian8� Diskretny Analyz� ��� Novosibirsk� LNE<I�

>;� A�I�Serdyukov 5;<LN8 An asymptotically optimal algorithm for the maximum/weighttraveling salesman problem in Euclidean spaces 5in Russian8� Upravlyaemye sistemy��� Novosibirsk� N<ELN�

>>� A�I� Serdyukov 5;<<;8� Asymptotic properties of optimal solutions of extremalpermutation problems in �nite/dimensional normed spaces 5in Russian8� MetodyDiskret Analyza� ��� Novosibirsk� ;.�E;;;�

>=� A�I� Serdyukov 5;<<�8 The maximum weight traveling salesman problem in �nite/dimensional real spaces 5in Russian8� Diskretny analyz i issledovanie operatsii� -� ���.E�I�

>-� Rakesh V� Vohra 5;<LL8� Probabilistic Analysis of the Longest Hamiltonian TourProblem Networks� 28� �� ;=E;L�

Page 24: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

>L ��������� ������

� �H������� ��������� "��������

������,�+�%��

� :>? !���#�% ��% �!�!�� 1 � ���$#!3����� #!��%��# ��' #',! 3!,!� ,��+# �/���� !�!��3! � %!� %!��� �+�C +�$ #� ��+� � +��� +�� ���� ,��!��C ���$#!@ /��C ,��+# ��*( &#���#!����� ��(#!�'02�( �&# , � ��* ��#�+��#�* ���C���!� ��!�������� � D��C #!$�� �� , �� &!#!% �#�� �+� � % C���� ���$#!@ ��C ,��+# �/�*( % �#�� �+�( &#���#!����� ��(#!�'02�( ����) ��' $��3���� � ��, ��%����D� % ����� ,!�* +����#�+1�� ���@ ��C � +���#*( &#���#!���� � +�!�� �!+�( ���/$#!@ ��C � �+!3!�* ��'3� � � �# ��� �+�%� � &#�+�!,�*%� 3!,!�!%�� �!#��#�'&!#!% �#* ���$#!@ ��C� %* &#�(�,�% + #!3������� ��&! ���@ ��'% ,��+# ��*(% �#�� �+�( &#��#!���� � �#!B��A �3�% �#�� �+� � ��+!���� �3�% �#�� �+� � ���/$#!@ ��' ��#!��� ����� % �#�� �+��� ��+!@ ��'� ,��+# ��* !�!���� � &# #*��*(� ��% �%�#B�*( ���@ ��C� �������+�% D��( #!��%��# ��C '������ # ) ��' #',!+��+# ��*( 3!,!� ,��+# ����� !�!��3! �3 �$�!��� � �#�� ,�3G0�+����*( ��#%!��/�*( B�#%� +�%$��!��#�+� � +�,�#��!��' ��B�#%!1�� :�?�

@ &#� #!��%��# ��� ��&#���� +�,�#��!��' �� ��� ��� � ��#!�����!���' #!�/�%��# �� % ��)� % �#�� �+�( ���C��� ���@ ��C� (!#!+� #�*(� �!&#�% #� ,�' � /%!��+� &�% (�����C������� &#� & # ,!� ���$2 ��C &� +!�!�!% ��'3�� �!+� &#�+�,�#��!��� ,!��*( � #!3����*( ��B�#%!1����*( � �*������ ���*( ���� %!( �1 ��0 �( (#!� ��' � &��� ,�02 C %!)����C �$#!$��+� ��2 ��� ��*%� �+!3*�!0�/�' ���C���! � �$'3!� ���� % �#�� �+�C &#�#�,*� ! ��(#!� �� ��*( ��#�+��#�*(���C���� ,!02�( ��3%�@����� ,���!����� !, +�!��� ���&#��3� ��� � +�,!( ��#�+/��#� ��(�,��C +�,�#� %�C 3!,!��� �� D���� 3!�!���0 ��2 ��� ��� 3!����� DBB +/�������� �$#!$��+� ,!��*( � $*��#��! # ) ��' 3!,!��� ��% ��%� ��� ��(#!� �� �0$��� DBB +����� &#�� #' %��� ��#�+��#���� ���C���! +�,�#�02�% ���$#!@ ��/ % &�3���' � ���2 ����'�� +���#���� &��+���+� � �*&��� �� � +�,!( ��(#!�' %*(���$#!@ �� % ���C��� %�@�� ��&���3��!�� ,�' �$�!#�@ ��' �)�$�+�

�#���% �������+�% ��� # �! + ��&#��!% ���@ ��C ,��+# ��*( &#���#!���� '��'/ ��' ���� ,��!�� ��&#���� %�, ��#��!��' #!3���$#!3�*( !#(�� +��# �*������ ��/�*( � � C � #!��%��# �� ��3%�@���� C # !��3!1�� �! ��( �*������ ���*( �( %�&# , � ����� ��&!� !��%!�#��!0��' � �������% ���@ ��' �#!B�� ,���!����� # /���'#���� ��#� ��'� �!#',� � #!3����*%� �# $��!��'%�� &# ,G'��' %*%� + �!+�%���$#!@ ��'%� 3, �� � ��%� ��� ,��@�* $*�� ��2 ��� ��*%� ��&#��* ����C����/��� ���$#!@ ��C + %!�*% �3% � ��'% �#!B��� ���� ,��!��' #!3������� ��&! ���$#!/@ ��C� #!�)�#'02�( +�!�� ���@�%*( �$G +��� � &#� D��% ��(#!�'02�( ��@�* ��#�+��#�* ���C���!� �!&#�% #� �$ �& ���!02� ��3%�@����� �$% �! ��B�#%!1�/ C� #!�&!#!�� ���!��' �*���� ��C � �� &� 5�,�� &#�% # &�,�$���� ���@ ��' $�, �&#�� , � ��@ 8�

��,��� &#���#!������ ���@ �� � +���#� %* #!��%!�#��! %� E D�� �$*��� %��/@ ���� ����� +���#� %�@�� �!, �'�� #!3����*%� ��#�+��#!%� % �#�� �+���� &�/#',+������ !�� $#!�� �+��� ��� ����� ��&!A � %%�����* &#���#!����!� 1 ������ �/JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ��,�+�%�� �� +�!�,# ��,# ������������ %!� %!��+� �%� ��H���$�� �! �� ���&#��+!, %�+! ��&�0�! -� ������$�#�+� I=..<.� ����'�� �� 5L/=L=/>8 ==/=L/I<� B!+� 5L/=L=/>8 =>/>�/<L� e/mailA evdokMmath�nsc�ru

Page 25: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ ><

�* # ) �+�� , # ��' ����� ��#�+��#! ��� !�!� � +��#�* &#���#!����!� �#�&&��!'��#�+��#!� +���1! &�����%�� � �� ,� ��% ��%� ��� � &��� ,� �# %' ��3#�� ��/� # � + � �% �#�� n/% #���� +�$! � ��&#��!% ���@ ��C �#!B�� � ��& #+�$*� 9���$G'��' ��' � %� ��� ��& #+�$��!' !#(�� +��#! 9�6 # !��3��!�! �@ ,�' #!3% #/���� C n F L� n F ;. � n F ;I� ! ����� � #)��/%�+#�&#�1 ���#�� ,�����! � �� C I� �*�'�� �� ,�� �� 4D� % ��!#�*(4�*������ ���*( %!)�� � ��& #+�$���0��#�+��#� �$�!,! � �&# , � ��*%� ,���������!%� �#�!��3!1�� �( ��B�#%!1�����/�� �3!�%�, C����'� "���,�%�%�� �,��C �3 & #�*( #!$��� �, D�� $*�� ��% � ���'��' ��' &�$��+!1�' :N?� "�3@ %����%� !���#!%� ��% �!�!�� ��3%�@����� DBB +/������� # ) ��' �! &�,�$��C ��#�+��# 3!,!�� �!&#�% #� ,�&��+!02�( , +�%&�3�/1�0 �! &�,3!,!��� ��'3!��* % @,� ��$�C �! ��+!����% �#��� � ��#�)� �3� ���!���� #�!������� ��& #+�$! � � � �#�� +�,�#��!��'� ,�&��+!02 �� �� , �� �! � %+!+ +�,���% &#���#!���� #!3������� ��&! % �#�� �+�( � !�� $#!�� �+�( ��#�+��#�!, +�!��� ��#!@!02�( ��@�* ���C���! +�,���

!3�% ��'� #!��%��# �� +�,�#�02�( ���$#!@ ��C� ��(#!�'02�( #!3����* ��#�+��#�* ���C���! +!+ ���@ ��C ,��+# ��*( &#���#!���� ���� ��� ����� ��&!E �� �� )�#�+�C +#�� ��&#����� (!#!+� #�*( ,�' %����( #!3, ��� %!� %!��+�� ��� �#�' +�,�#��!��' � &#���@ ��' &#�����'� � D�� &#�$� %!��+� ���� (!#!+� #/�* �# $��!��' + ���$#!@ ��'% E �!, @����� � &�% (�����C�������� #!��%��# �� ��&#���� DBB +��������� �+�0�!' �1 �+� ���@����� # !��3!1�� +�,�#�02�( ���/$#!@ ��C� ��3%�@����� �@!��' ��B�#%!1�� � �� ,�

"#�� , % ������* �&# , � ��' � #!��%��#�% � +���#* 3!,!��� ��#!�����)������@ ��'%�� ��(#!�'02�%� % �#�� �+� ���C���!��� -���#&���� ���. �(���' �/ ���&����/� ����(���'� "���� X J +�/

� ��� %��@ ���� ��X A X �X Z�

B��+1�' #!����'��' �! X� +���#!' �,��� ���#' � �$*��*% !+���%!% #!����'��'�fX� �xg �!3*�! % ���� ��� �� ������ ���� ���� ����

"���� p � . � q � . � +���#* ����! �3 �$�!��� 3�!� ��' % �#�+� �X � 9� % ��*x� � x� %��@ ���! X �!3*�! % ��� ,��%�� ��� �X5x�� x�8 F ;� p/$��3+�%�� ����X5x�� x�8 � p� q/��, ��%*%�� ��� �X5x�� x�8 � q�

"���� f A X Y �,��3�!��� ���$#!@ �� X � Y � �, fY� �Y g J � +���#� ,��/+# ��� % �#�� �+� &#���#!������ �� ,�02� �&# , � ��' ,!�* � � �+���+� $�� �$2 C B�#% � � % � :>?� &�3���'' #!�)�#��� &!#!% �#�� �+� � % C���� ���$#!@ /��C�

���$#!@ �� f �!3*�! ��'J ��(#!�'02�% p/$��3����� ��� ,�' �0$*( p/$��3+�( D� % ���� x� � x� �3 X

�&#!� ,���� � #!� ����� �Y 5f5x�8� f5x�88 � pJ ��(#!�'02�% q/��, ��%����� ��� ,�' �0$*( q/��, ��%*( D� % ���� x� � x�

�3 X �*&���' ��' � #!� ����� �Y 5f5x�8� f5x�88 � q�J k/�3�% �#�� �+�%� k � .� ��� f ��(#!�' � �� #!����'��'� � &# ���(�,'2�

k� �� ��X5x�� x�8 F �Y 5f5x�8� f5x�88

,�' �0$*( x�� x�� ,�' +���#*( �X5x�8� x�8 � k�"��+���+� k � .� �� k/�3�% �#�� �+� ���$#!@ �� ��� ,�� � X D� % ��* & /

# ��,�� � ��� ,�� @ � Y � ��(#!� �� ;/��, ��%���� ���$#!@ �� % �3�!�! � ��

Page 26: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

=. ��������� ������

�$#!��%����� ! ��(#!� �� >/��, ��%���� �3�!�! �� ��� ;/$��3+�%� � Y �$#!3!%�'��'0��' ����+� �$#!3* ��� ,��( � X D� % �����

�$#!��%� ���$#!@ �� f A X Y �!3*�! ��' hp� qi/���@ �� % &#���#!����!fX� �Xg � fY� �Y g� ��� f ��(#!�' � p/$��3���� � q/��, ��%�����

"#� p F ;� q F ; &����! % +�!�� �$#!��%*( ���$#!@ ��C� ��(#!�'02�( ���C����D� % ���� $*�� ��� ,��%�� ��% ��%� ��� hp� qi/���$#!@ �� &#� p � ; � q F >��'3�* �!��� 5� �%*�� 1 ������ ���C % �#�+�8 � #!3#*�! �� ! #!3, � ��* � �$#!2! � � ��'3�* � %�@ � #!��%!�#��!���' +!+ ,��+# ��*C !�!��� � &# #*��������$#!@ ��'� "#� p F q F D5X8� �, D5X8 J ,�!% �# %��@ ���!X �D5X8 � D5Y 8���@ �� f A X Y '��' ��' �3�% �#�� �+�%� ��(#!�'' �� #!����'��'� � �$2 %����! ,�' ,��+# ��*( % �#�� �+�( &#���#!���� ��2 ����0� hp� qi/���$#!@ ��' +!+� $���)�% p � %!� ��+�% q� �!&#�% #� q F ;� �!+ � �� 3�!� �� % p F ; � �0$*%�!& # , 3!,!��*% 3�!� �� % q� �!3�� % �3$*��������0 hp� qi/���@ ��' f A X Y� ������

I5X�Y 8 F log�jY jjXj �

���,! I5X�Y 8 � . � I5X�Y 8 F . ��)� ��� jXj F jY j��� 0�� �1�� ����&��� �!�� � ����� �&����� ���� ������ ���� �!"�

��� &���!� "���� X F f.� ;� � � � � l � ;g� �X F ji � jj� ! &#���#!�����% fY� �Y g'��' ��' %��@ ���� �� ( ,�����*( ���� ,���* n � % �#�+�C � %%���!� �� � Y Ff.� ;gn� �Y 5x� y8 F jfi� xi �F yigj J #!����'�� % @,� ����!%� x � y #!��� ��/��� &�3�1�C� � +���#*( D�� ����! #!3���!0��'� ���,! hp� ;i/���@ �� f A X Y�&# , �' � p/���� ������� �������� �!��#!���*( ��� � ��# 3+! :.� l � ;? ��*&���' ��' #!� �����

�Y 5f5i8� f5j88 F ji� jj,�' �� ( ��� � i� j � :.� l � ;?� ,�' +���#*( ji � jj � p� "#� l F >n �% % jXj F jY j� hp� ;i/���@ �� f A :.� >n � ;? f.� ;gn �% � ��� ��0 �3$*��������� U!,!�! � ��/2 �����!��� � &���#� ��� �3�% �#�� �+�( +�,�#��!��C �!��#!���*( ��� � �& #�* #!��%��# �! � #!$�� :;?� �, hp� ;i/���@ ��' $*�� �!3�!�* hp� ni/������)�� ,����/�*( ���� ,���* n ��� ����� �����02�( �% &�,%��@ ��� n/D� % ������ %��@ ���!�! ���@ ��' � ��� ��C �3$*��������0 &#� l F >n �!3*�!���� ������� ��+!3!��� ���,�' �0$��� n � � � p � dn��� e ��2 ���� � hp� ;i/���@ �� f A :.� >n � ;? f.� ;gn� ��� ��C �3$*��������0� ! ,�' � +���#*( &�,&��� ,��!� ������ C 3�!� ��C n &�/��#� �* hp� ;i/���@ ��' � ,�' $����)�( 3�!� ��C ������ ���� ����� p�

� �$2 % ����! 3!,!�! � �!�$���) % ��3%�@��% 3�!� ��� &�#��! �3�% �#����/��� p� ,�' +���#��� ��2 ���� � hp� ;i/���@ �� f A :.� >n � ;? f.� ;gn� ���! ��'� # ) ���C� ��+#*� � ��&#�� � ��2 �����!��� hn� ;� ;i/���@ ��' ,�' $ �+�� ���C&�,&��� ,��!� ������� 3�!� ��C n 5�%�� �!&#�% #� :I?8�

U!% ��%� ��� ��&���3��!�� ,�����*( &# ,��!�� ��C 1 �*( ��� � � +!� ��� �(+�,�� � ��(#!�' � �@ ,�����* #!����'��'� "#�% #�% >/�3�% �#�� �+��� +�,�/#��!��' � ��� ��C �3$*��������0 '��'0��' )�#�+� ��&���3� %* +�,* 7# '� ,�'+���#*( �,�!+� � �*&���' ��' �@ ���C���� =/�3�% �#��������

3����!�* � ��+!���� �3�% �#�� �+�% +�,�#��!��� �!��#!���*( ��� � �$�$/2!0��' �! hp� ;i/���@ ��' 1 ������ ���C # ) �+� X�

l F X �X � � %%�����* &#�/��#!����!� �!&#�% #� �3�* # ) �+� X�

�� %�@�� 3!+�,�#��!�� ,�����*%� �!$�#!%�,���* ;. �!+� ��� �0$!' &�,# ) �+! X�

� �+!3*�! ��' 3!+�,�#��!���C �3�% �#�/

Page 27: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ =;

� �+�� �� ��� ��@ �� f �! X�� ��� &���!' �3�% �#�'� &#�� % �� � E �!�$���)�C

#!3% # &�,# ) �+� � D��% ���C����%��� 2��� ��� 3��' � '4���3� �( ������ �� +�,�� 7# ' ������� � ��%� ���

+�,�#�02 ���$#!@ �� f A f.� ;� � � � � l � ;g f.� ;gn� +���#� �&# , �' � 1 &��C+�, ,���* l � #!����'�� % d� ,��@�� ��(#!�'�� d/��, ��%����� � d � >� �3 D������ ,� �� ��� f '��' ��' hdR;� di/���@ �� % 1 &� ,���* l � n/% #�*C +�$� �3� ����:-?� ��� ,�' �0$��� n � d F >t R ; � = ��2 ���� � hd R ;� di/���@ �� f 1 &� ,���*l F �>n�nt���o����� �3$*�������� If +���#��� �,��� ���#' � � #!� �����

If � t log� nR ; log� log� nR ���

�, � � �� E +����!��*� � 3!���'2� �� n� 9�� ���@ �� !��%&����� �+� �&��%!��/��� �!+ +!+ �3$*�������� �0$��� hd R ;� di/���@ ��' 1 &� � % ��) � � % t log� n Rconst��� 5!�(���' / ����� "���� G � H &#���* ��'3�* +�� ��* �#!B* � �$*�/

�*% #!����'�� %�G5u� v8 F min

CjC5u� v8j�

�, %���%�% $ # ��' &� �� ��3%�@�*% &#���*% 1 &'% C5u� v8 % @,� � #)��!%� u �v� ! jCjJ ,���! 1 &� C� ��' �#!B��� +!+ ,�' ,��+# ��*( % �#�� �+�( &#���#!������&# , � �� hp� qi/���@ �� f A V 5G8 V 5H8� +���#� ,�' +#!�+���� 3!&�) % f AG H� U!% ��%� ��� hp� qi/���@ �� f A G H &#� p F q $�, � p/�3�% �#�� �+�%� �$ ���#��* ���@ �� % �#!B��� ��� &�, f�� �% �� � ��,� ���$#!@ �� f�� AImf G �$�!��� 3�!� ��C Imf � V 5H8 ���$#!@ ��' f �! %��@ ���� V 5G8� �% �#�+�� ��,�1�#��!���0 �! Imf ���@ �� % :=?�

�����% �&# , � �� ��(#!� ��' $��3���� ���$#!@ �� % f A G H ��! '3*+ � �4 � � �+���+� $�� �$2 C B�#% �

���$#!@ �� f A G H �!3�� % h� �i/� &# #*��*%� ��� � #!� ������G5x�� x�8 � � �� � � � #!� ����� �H5f5x�8f5x�88 � � �, � � J �!��#!���* ����! �3 �$�!��� �&# , � ��' % �#�+ �G � �H �

���� Sk5x8 J )!# � 1 ��#�% � ���+ x � V 5G8 � #!,����%� #!��*% k� �� ���C������#!��� ������ ��+!@ ��' $��3+�( #!����'��C %�@�� 3!&��!�� �� ,�02�% �$#!3�%A

f5S�5x88 � S�5f5x88� 5;8

! ���C���� ��(#!� ��' ���$#!@ �� % ��, ��%���� � &�#��!%� � � 3!&�) ��'

S�5f5x88 � f5S�5x88� 5>8

"#� p F F � �3 5;8 � 5>8 &����! % ���C���� ��+!����C �3�% �#������� ���@ ��'f A G H � &�#���% p

f5Sp5x88 F Sp5f5x88�

� ���+� 3# ��' hp� qi/���@ ��C 5� �!#��#�' &!#!% �#* p � q8 %�@�� #!��%!�#�/�!�� %���� 3!,!�� � �#�� �#!B��� +!+ � &��# ,��� ��� ��'3!��* � ���@ ��'%���!&#�% #� �3�%�#B�3% &�,�#!B� ��� &�#�@, ���%� &�,�#!B�� ��2 �����!�� �!/%��������*( 1�+��� � �� &�� �!+ � 3!,!�� #!��+#!�+� �#!B��� D+��# %!���* 3!,!��� � 3!����%*( %��@ ���!( � ,#�

Page 28: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

=> ��������� ������

�!� � ,�+�!, #!��%!�#��! ��' #', �$2�( ���C��� hp� qi/���@ ��C �#!B�� � � /+���#* &�,(�,* + +�!���B�+!1�� �#!B�� �! ����� D��( ���C��� � 1 ��0 �*, � ��'�#!B�� 4,���!����� # ���'#���� � �� ��� �����4% �#�� �+��� ��#� ��'�

!$��! &�,, #@!�! ��� 5&#� +� N <</.;/..�=;8 � &#��#!%%�C 4��� �#!1�'45&#� +� -N=8�

H������;� ������,�+�%��� � ��% #!1�� &�,%��@ ��� +�� ����� %��@ ���! �� 6 ��,*,��+# ����� !�!��3! � # ) ��� +�%$��!��#�*( 3!,!�A �$� �!��� �#� ������$�#�+A��/� %!� %!��+� �� �� ���� ;<L.� �*&� =-� �� L/>I�>� ������,�+�%��� 6 �#�� �+� ���C���! ���@ ��C � +�,*� ��(#!�'02� #!����'/��' �� 6�, �� � % ��,* �&��%�3!1��� ������$�#�+A �!�+!� ;<LL� �� ;;I/;=> 5�#� ��� ���� ��$� ��,/� � ��/� %!� %!��+�K �� ;.8�=� ������,�+�%��� H�+!���� �3�% �#�� �+� ���@ ��' �#!B�� � ���C���� &#�,��/@ ��' % �#�+� �� ��$� @�#�� ���� ,� �& #!1�C� ;<<-� �� ;� N ;� C� �/;>�-� ������,�+�%��� � &�* +�,* � &#��3�����*% #!����'�� % �� ��� ���� ;<NI��� >>L� N I� �� ;>N=/;>NI��� ������,�+�%��� ��,�#��!�� ��#�+��#�#��!���C ��B�#%!1�� � ���@ ��' ,��/+# ��*( % �#�� �+�( &#���#!���� �� ��� � �6 �� �� 46 ��,* ,��+# ���C %!/� %!��+� ,�' ���*( ��B�#%!1����*( � (������C4� &#� +� 4��� �#!1�'� -N=� ;<<N��� ;/N�I� ��H�" # @����� � ��+!���� �3�% �#�� �+�% +�,�#��!��� �!��#!���*( ��� � �����+# ��*C !�!��3 � ���� ,��!�� �& #!1�C� ;<<I� �� =� N -� �� I</NI�N� V�7� ) ��'+� � 3!,!� �� ,�� ��' D� % ���� �*������ ����C ���� %* ���*������ ���* ���� %*� ������$�#�+A �6 �� �� ���� ;<I>� �*&� =� �� ;N/=.�

Page 29: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ ==

��� ������� � �7H��U���� �������� U������H����H����7� H��� ��7� "�7�66�������

�����% ��� �� ��"�"�,+�&! �

���C������� 3!,!� 1 ������ ����� ��� C���� &#��#!%%�#��!��' 5�H"8 �3��!/ ��' �#!���� ���� � ,!���� �!�$�� 3�!��� ���* # 3����!�* &���� �* +� ��+�C�#�&&�C %!� %!��+�� &�, #�+���,����% ����� #�� �+� 5�%�� �!&#�% #� %����#!B�0:;?� ! �!+@ �$3�# :>?8� 9�� # 3����!�* $!3�#�0��' �! �3�� ��� ��!���# ����#�&������� �� � ������C� &#� +���#*( 4%!�* 4� 3!����%* ��3%�2 ��' &!#!% �#��� +��#��C 3!,!�� � &#���,'� + ��+!@ ��0 %��@ ���! & #���!�!���*( # ) ��C�

�#���C &�,(�, + ���� ,��!��0 ����C������� ��'3!� � &���� �� % B�#%�� � �1 /��+ ������ ����#&������ +!+ &# , ���� ,�&����%��� �#���' ��3%�2 ��C� ��/(#!�'02�( %��@ ���� & #���!�!���*( # ) ��C� "��'�� #!,���! ����C�������,��+# ���C 3!,!�� �&��%�3!1�� �& #�* �� , �� � ���� ,��!�� ����H ���� �*% :=?��! ����� D���� &�,(�,! � #!$��!( ����H ���� �!� 9���7�#, �!� V�������+��! �,#���( 5�%�� �!&#�% #� �$3�# :-?8 �3�� �* +���� ��� ��* (!#!+� #����+� ����C��/����� #!3���$#!3�*( �,��+#�� #�!���*( 3!,!� ,��+# ���C �&��%�3!1���

!��%��#�% �� ,�02�0 &���!���+� � +��#��C 3!,!�� �H"� "���� n E ����� & /# % ��*( 5#!3% #����� 3!,!��8� k E ����� +#�� #� �� C F :cij?k�n � Rk�n E %!/�#�1! +�DBB�1� ����� Zn � X E %��@ ���� ,�&����%*( # ) ��C 56�8� &#�� %; j X j �� �! %��@ ��� X 3!,!,�% ��� C�*C � +��#�*C +#�� #�C Cx� +�%&�/� ��* +���#��� 5�!���* +#�� #��8� � ��#!�����!' �$2������ $�, % ����!�� %�/��%�3�#� %*%�A

Cix minx�X

� i � Nk AF f;� >� � � � � kg�U, �� ��@��C ��, +� � %!�#�1* �+!3*�! � �! ����� �����02�0 ��#�+��"�, # ) �� % �!+�C 3!,!�� �$*��� &���%!0� �!(�@, �� � +���#��� %��@ ���!

DBB +����*( # ) ��C� �� � �*$�# �3 6�X � ( !��� #�!���� +���#* �,��� ���#'/0� 3!,!���%� &#��1�&� �&��%!�������� � ����! � +��,! �!���* +#�� #�� 3!,!��#!����!@�*� � +!� ��� �!+��� &#��1�&! �!2 �� �� #!��%!�#��!0� �&��%!�������&� "!# ��� ���� �� �!���* +#�� #�� �&�#',�� �* &� �!@����� �!+�% �$#!3�%���� +!@,*C �3 ��( �!@� �� ( &��� ,�02�(� �� ��&���3�0� &#��1�& � +��+��#!/B�� �+�C �&��%!��������

) �� x � X �!3*�! ��' �&��%!���*% &� "!# ��� ��� %��@ ����

�5x�C8 F fx� � X A Cx � Cx�� Cx �F Cx�g

q&����� 6��@ ���� # ) ��C� �&��%!���*( &� "!# ��� $�, % �$�3�!�!�� � # 3Xk

� 5C8� ! 3!,!�� &���+! D���� %��@ ���! E � # 3 Zk� 5C8�

"#� &���!���+ 3!,!�� � +��+��#!B�� �+�C �&��%�3!1�� ��@�� ,�&����� ����

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ�% ��� � ��!,�%�# �� +� ���� "�,+�&! � �%��#�C " �#����� ��#���+�C 7���,!#��� ��*C ��� #��� �� 6 (%!��&#� ���+�#��*� -� >>..�. 6���+� � �!#����e/mailA evaMmmf�bsu�unibel�by� pdpMmmf�bsu�unibel�by

Page 30: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

=- ��������� ������

�&# , ���� &�#',�+ �!@����� �!���*( +#�� #� �� ��, % #!��%!�#��!�� �$G ,�� �/�� %��@ ���� � +��+��#!B�� �+�( �&��%�%�� ,�' �� ( k� & # ��!����+� 3!,!02�(&�#',�+ �!@������ 9�� %��@ ���� $�, % �$�3�!�!�� � # 3 Xk

� 5C8� ! 3!,!�� �� &�/��+! E � # 3 Zk

� 5C8�"#�� , % �&# , � ��' #!,���! � �+���+�( ��&�� ����C������� � +��#��C 3!,!��

�H"� � +!@,�% �3 �&# , � ��C ��3%�2 ��' &!#!% �#�� 3!,!�� %�, ��#�0��' &�� %&#�$!�� ��' + %!�#�1 C ��3%�2!02 C %!�#�1* B �!+�C @ #!3% #������ � ��/���� ��3%�2 ��C �� ��� ��� �3% #'�� � &�%�2�0 ��#%*� 3!,!���C � &#���#!���� ��3%�2!02�( %!�#�1� �!2 �� �� #!��%!�#��! ��' ����!C� +��,! D� % ��* %!�#�/1* ��3%�2!0��' � 3!����%� ,#�� �� ,#��!� "#� D��% �,�$�� ��&���3��!�� ��#%�k B kF maxfbij A i � Nk� j � Nng� ���,! %��@ ����

B58 F fB � Rk�n A k B k g3!,! � � 3!����%* ��3%�2 ��' D� % ���� %!�#�1* C� % ��)� ����! � .�6 ���!���� �� 7������ ����#&������ � +��#��C 3!,!�� �H" Zk

j 5C8� j �f;� >g� �!3*�! ��' �����

�� F supf � . A B � B58 5Xkj 5C RB8 � Xk

j 5C88g�U, �� � � ,!��� C) % &# ,&��!�! %� ��� ��� %��@ ����� &� +���#�%� $ # ��' ��/&# %�%� &����� �� #!,��� #!� � ���0�

U!,!�! �H" �!3*�! ��' ����C����C� ��� #!,��� ����C������� &���@�� � ���� � ��� &#� 4%!�*(4��3%�2 ��'( &!#!% �#�� � +��#���� +#�� #�' � &�'��'0��'���* DBB +����* # ) ��'� 9��� ��& ����C������� '��' ��' ,��+# ��*% !�!/����% &���� &# #*������ �� #(� &� �!��,�#B� � ���+ C � Rk�n �&��%!���������$#!@ ��'

Xkj A Rk�n >X �

�� � ��� ���/%��@ ��� ����� ���$#!@ ��'� +���#� +!@,�%� �!$�#� &!#!% �#�� 3!/,!�� �H" 5D� % ���� %!�#�1* C8 ��!��� � ����� ����� %��@ ���� DBB +����*(# ) ��C Xk

j 5C8���� ��� ��� #!��%��# �� � �!+� &��'�� ����C�������� +���#� ����� ����� �

&���� &# #*������ ���3�� 9��� ��& ����C������� �!3*�! ��' +�!3�����C�������0� &# ,&��!�! � ��(#!� �� �� ( DBB +����*( # ) ��C &#� 4%!�*(4��3%�2 ��'(&!#!% �#�� 3!,!���6 ���!���� �� 7������ ���������#&������ � +��#��C 3!,!�� �H"

Zkj 5C8� j � f;� >g� �!3*�! ��' �����

�� F supf � . A B � B58 5Xkj 5C8 � Xk

j 5C RB88g���' �0$��� q � N � &#���#!���� Rq 3!,!,�% ��#%�

k z k�F Xi�Nq

j zi j �

� #!$�� :�? ,�' 3!,!�� Zk� 5C8 &���+! %��@ ���! "!# �� �!C, �* ��@�'' � � #(/

�'' ,����@�%* �1 �+� #!,���! ����C�������A

minx� Xk

� �C�max

x����x�C�mini�Nk

�5x� x�� Ci8 � �� �k C k �

Page 31: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ =�

U, �� �Xk� 5C8 F X nXk

� 5C8� �5x� x�� Ci8 FCi�x�x

��kx�x�k�

� �� ��,��� ��� #!,��� ����C�������3!,!�� Zk

� 5C8 $ �+�� � �� ��� �Xk� 5C8 F ��

�!% @ &���� �! B�#%��! #!,���! +�!3�����C�������

�� F minx��Xk

� �C�min

x�Xnfx�gmaxi�Nk

�5x� x�� Ci8�

�3 +���#�C �*� +! � �3� ���� :I? ������ A 3!,!�! �H" &���+! %��@ ���! "!# ��+�!3�����C���! ���,! � ����+� ���,!� +��,! %��@ ���� "!# �� ���&!,! � � %��@ /����% �% C�! 5�� � %��@ ����% ��#��� DBB +����*( # ) ��C8�

��!������* # 3����!�*� +!�!02� �' #!,����� ����C������� � +�!3�����C����/��� 3!,!�� � +��+��#!B�� �+�C �&��%�3!1�� Zk

� 5C8� &���� �* � :N?����!$�'' �&# , � �� ����C�������� &#�(�,�% + &��'��0 ������C ����C��������6 ���!���� �� 7������ ��!"��# ����#&������ � +��#��C 3!,!�� �H"

Zkj 5C8� j � f;� >g� �!3*�! ��' �����

�� F supf � . A B � B58 5Xkj 5C8 �Xk

j 5C RB8 �F �8g�U, �� &#� ��3%�2 ��� &!#!% �#�� 3!,!�� (��� � ,�&��+! ��' &�'�� �� ���*(

DBB +����*( # ) ��C� �� ,�' +!@,��� ��3%�2 ��' ,��@�� ��2 �����!�� (��' $*�,�� # ) �� 5� �$'3!� ���� �,�� � ��@ 8� ��(#!�'02 DBB +���������

���!$�� �&# , � �� >� �� , % &��'�� #!,���! ������C +�!3�����C��������9��� ��& ����C������� &# ,&��!�! � ��(#!� �� (��' $* �,���� DBB +������� # /) ��' &#� ��3%�2 ��'( 3!,!���6 ���!���� �� 7������ ��!"��# ���������#&������ � +��#��C 3!,!��

�H" Zkj 5C8� j � f;� >g� �!3*�! ��' �����

�� F supf � . A �x � Xkj 5C8 B � B58 5x � Xk

j 5C RB88g�� #!$�� :L? �+!3!�* �� ,�02� �1 �+� #!,���! ������C ����C������� 3!,!��

Zk� 5C8 &���+! %��@ ���! "!# ��A

�� � maxx��Xk

� �C�min

x� Xk� �C�

maxi�Nk

�5x� x�� Ci8 � .K

�� � minx� Xk

� �C�max

x��Xk� �C�

maxi�Nk

�5x� x�� Ci8� ��� X � f.� ;gn�

�!% @ �!C, �! B�#%��! #!,���! ������C +�!3�����C������� 3!,!�� Zk� 5C8A

�� F maxx��Xk

� �C�min

x�Xnfx�gmaxi�Nk

�i5x� x�� Ci8�

��2 �����!�� � ����C���*( � +��#�*( 3!,!� �H" &#���,�� + � �$(�,�%������3,!��' # ���'#�3�#�02 �� �& #!��#!� " #�*C # 3����!� � D��% �!&#!�� ���$*� &���� � � #!$�� :<? 5�%� �!+@ :;?8� �, �! ����� !&&!#!�! �*&�+�*( +���/��� &# ,��@ �* # ���'#�3!1�� � &� � +��#��%� +#�� #�0� � &� ��#!��� ��'% � +/��#��C 3!,!�� �H"� � #!$��!( :;.?� :;;? D��� # 3����!� �$�$2! ��' � ��% �%*�� ���� �+!3!��* �& #!��#* & # ��,'� ��3%�@�� � ����C����0 ��(�,��0 3!,!�� �H"Zkj 5C8� j � f;� >g� � � #�0 � ����+� ����C���*(� �� �,���# % ��� � D+���!� ���*(

3!,!�� �� � 3!,!� � & #���!�!���*% %��@ ����% DBB +����*( # ) ��C� ��!��/����*C &�,(�, ���2 ���� � � ,�' # ���'#�3!1�� � +��#��C 1 ������ ���C 3!,!��&��� ,��!� ����C �&��%�3!1��� "# ,��@ � �!+@ &#� % /# ���'#�3!1�� 3!,!��

Page 32: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

=I ��������� ������

����������

:;? � #�� �+� ����� ��3 #!1+!' H���� H $ , �! ���� ���� ,��!�� ����C������� �&!#!% �#�� �+�C !�!��3 ,��+# ��*( �&��%�3!1����*( 3!,!�� �� �A �!��+��!,�%+!� ;<<�� ;I< ��

:>? ��3 #!1+!' H���� H $ , �! ����� � #�� �+� ���� ���� ,��!�� ����C�������3!,!� ,��+# ���C �&��%�3!1�� �� ��$ #� ��+! � ���� %�*C !�!��3� E;<<=� EN=� E�� NL/<=�

:=? H ���� � ���� ���C������� 3!,!�� +�%%���'@ #! �� ��#�� �*����� %!� %!/��+� � %!� %� B�3�+�� E;<N�� E��;�� N �� E�� ;><=/;=.<�

:-? Sotskov Yu�N�� Leontev V�K�� Gordeev E�N� Some concepts of stability analysis incombinatorial optimization �� Discrete Applied Mathematics� E;<<�� EV� �L� EP�;I</;<.�

:�? �% ��� � ����� "�,+�&! � ��"� � +���� ��� ���C % # ����C������� � +��#��C3!,!�� 1 ������ ����� &#��#!%%�#��!��' �� ��#�!� �*����� %!� %!��+� �%!� %� B�3�+�� E;<<L� E��=L� N ;;� E�� ;L.;/;L.�� 5" # ��, �! !���� '3*+A Comp�Math and Math� Phys� EV� =L� N ;;� EP� ;N>N/;N=;�8

:I? ��3 #!1+!' H���� H $ , �! ����� � #�� �+� ���� U!,!�� 1 ������ ����� &#�/�#!%%�#��!��'A &!#!% �#�� �+�C !�!��3 � ���� ,��!�� ����C������� ����+�� �� ���� E;<L<� E��=.N� N =� E�� �>N/�><�

:N? �% ��� � ����� � #,*) �! ��� � % # ����C������� 3!,!�� 1 ������ ���C� +��#��C �&��%�3!1�� �� � �1i ��� � �!#��i� � #� Bi3�/%!�� �!��+� E;<<<�EN -� E�� ;;</;>-�

:L? Emelichev V�A�� Nikulin Yu�V� Numerical measure of strong stability and strongquasistability in the vector problem of integer linear programming �� ComputerScience Journal of Moldova� E;<<<� EV� N� N ;� EP�;.�/;;N�

:<? ��3 p!1+!' H���� H $ , �! ����� � p�� �+� ���� � # ���'#�3!1�� 3!,!� 1 ��/���� ���C � +��#��C �&��%�3!1�� �� ��$ #� ��+!� E;<<=� EN =� E�� ;N>/;NI�

:;.? �% ��� � ����� ���)+ ��� ���� � # ���'#�3!1�� %����+#�� #�!����C 3!,!��1 ������ ����� ��� C���� &#��#!%%�#��!��' �� �3� ���' ��3��� 6!� %!��+!�E;<<<� EN ;>� E�� =L/->�

:;;? �% ��� � ����� ���)+ ��� ���� � # ���'#�3!1�� � +��+��#!B�� �+�C 3!,!��1 ������ ����� &#��#!%%�#��!��' �� ��$ #� ��+! � ���� %�*C !�!��3� E;<<<�EN I� E�� ;>�/;=.�

Page 33: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ =N

U����� � "������ 6��������A�H�������� �H7���6�� 9��"��6����H���� ���H��������

�����# % �� H���U!�3 #�+!'� ��������+����

U!,!�! � �!�% ��) % &�+#*��� %��@ ���! ��������' + ����� )�#�+� �3� ���*(3!,!� ,��+# ���C �&��%�3!1�� � �% � %�������� ��* &#���@ ��'� � ,!���C #!$�/� ���,� ��#!��� ������ �$G %! ��, #@���' ��)� +#!�+!' ��B�#%!1�' � �!�$�� ��2 ��� ��*(� �! �!) �3��',� # 3����!�!( � �!&#!�� ��'( ���� ,��!��C� ��'3!��*(� D��C 3!,!� C� ���$� ���%!�� �, �' ��' &��� ,��% ,����@ ��'%��� 8��������� ����& � �� ���#����� "#�� , % +�%$��!��#��0 &���!���/

+� 3!,!�� � �!�% ��) % &�+#*��� %��@ ���! 5U�"8� "���� ,!�* %��@ ���� M Ff;� ����mg � �!$�# �� &�,%��@ ��� Mj � M � �, j � N F f;� ���� ng� ����+�&�����fMjg� j � J � N �!3*�! ��' ����� �� M � ���

Sj�J Mj F M � �!@,�%� Mj &#�&�/

�!� � � cj � .� �# $� ��' �!C�� &�+#*�� %���%!������ ��%%!#���� � �!� U!,!��$�, % �!3*�!�� ������������� ��� �� &�,%��@ ���! Mj �% 0� �,��!+��* � �!�

�!��� U�" B�#%���#� ��' +!+ 3!,!�! 1 ������ ����� &#��#!%%�#��!��' 5�"8A

minf5c� x8jAx � e� x � f.� ;gng�U, �� A / 5m�n8/ %!�#�1!� &#�� % aij F ;� ��� i �Mj � � aij F . � &#������% ����! Ke �$�3�!�! � m/� +��# �3 ,���1K x F 5x�� x�� ���� xn8T � �, xj F ;� ��� Mj �(�,�� �&�+#*�� � ��!� xj F .� �#�% ����� � ��� #!��# #!��%!�#��!0��' �$�$2 ��* 3!,!�� � &�+#*���� � +���#*( �% ��� e ��&���3� ��' � +��# �!��#!���*( ��� � :-�=>� =L?� � �& 1�!���* +�!��* 3!,!� 5�%�� �!&#�% #� :;>� ;-� ><?8�

U�!��� ���� ���%!�� �, �' ��' 3!,!�!% � &�+#*��� �! �#!B!(� � �!��������3!,!� � � #)����% &�+#*��� # $ # 5U�"8� +���#!' %�@ � $*�� �B�#%���#��!�!�� ,�02�% �$#!3�%� "���� G F 5V�E8 / �#!B � %��@ ����% � #)�� V � %��@ ����%# $ # E� ��' +!@,�C v � V �&# , � � � � wv � .� "�,%��@ ���� C � V �!3*�! ��'�������� ����� ��� ��� +!@,� # $#� �3 E ��1�, ���� (��' $* �,��C � #)�� �3 C� �# $� ��' �!C�� � #)���� &�+#*�� %���%!������ � �!� !��%!�#��!0��'�!+@ 3!,!�� � &�+#*��� � #)�� �#!B! �� � #)��!%� ��� # $#!%� :;.?�

U�" ��������' + ����� NP /�#�,�*( 3!,!�� � �!�������� NP /�#�,��C '��' ��',!@ � �3� ) ��!' U�"� +��,! G / &�!�!#�*C �#!B � �� & �� �� ( � #)�� #!��*�# % :�?� � U�" ���,'��' %���� �3� ���* 3!,!�� ,��+# ���C �&��%�3!1��A 3!,!�!��!�,!#��3!1�� :=-? 5� :>? &�+!3!�! � �$#!��!' ���,�%����8� 3!,!�� �&!+��+� � #!3/$� ��' %��@ ���! :=-?� 3!,!�! � �!�$���) C +��+ :�?� 3!,!�! %���%�3!1�� &�����%!�� $�� �*( & # % ��*( :;? � ,#�

U�" ��3��+! � &#� #!3% 2 ��� &��+��� �$���@��!��'� � ���� %!( ��B�#%!1�/������ &���+!� �!3�!� ��� D+�&!@ C �! �#!��&�#� � &#� +��#��!��� +��� C #�*(����C � ��,� :;.� >-?� U�" %�@ � ��&���3��!���' &#� #!3#!$��+ ���� % +���#��' ��!$�0, ��'� � &���#� ��� &�% (�����C���*( !���#��%�� & # ,!�� ��B�#%!1�� :=?�&#� ����!�� ��� #!�&��!��C � � ,#���( �$�!��'(�JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ�# % � ����� �!� ��������� U!�3 #�+!' H�,�' ��!���� ��!�����+���� �� +�!�,# �� +�!�,#������%�+�C B���!� ��������! %!� %!��+� �% ��H���$�� �! �� ������ " �1��! ;=� �%�+� I--.<<� ����'� � �� 5=L;>8 >=IN=<� B!+� 5=L;>8 >=-�L-�e/mailA eremeevMiitam�omsk�net�ru� zaozerMiitam�omsk�net�ru� koloMiitam�omsk�net�ru

Page 34: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

=L ��������� ������

6���� #!$��* &���'2 �* ���� ,��!��0 # �!+�!1������� %�����#!���+!� F fxjAx � e�% � x � eg 3!,!�� � &�+#*���� �3� ����� ��� �� � #)��* %��/���#!���+! � �% 0� 1 ������ ��* +��#,��!�* � ����! � +��,! A '��' ��' �#!�/��� ) ���C %!�#�1 C� �� � � ��, #@�� +�!,#!��*( &�,%!�#�1� � +���#*( ��%%!D� % ���� � +!@,�C ��#�+ � +!@,�% ����$1 #!��! > 5�%�� �!&#�% #� :I?8� � �!����/���� �0$!' !$���0��� ���%�,��'#�!' 5.�;8/%!�#�1! '��' ��' �#!���� ) ���C� ��/�� ,��!�� $�� )�#�+��� +�!��! �� ( %!�#�1� �&# , �'02�( # �!+�!1����*C %��/���#!���+ U�" � 1 ������ ��*%� � #)��!%� 5�!3*�! %*( �, !���*%� %!�#�1!%�8&#���,����� � :=�?� �, !������� %!�#�1* A �$ �& ���! � &�����%�!����0 #!3# /)�%���� U�"� �!&#�% #� U�" �! ,��,�����% �#!B DBB +����� ���,���' + &���+�%!+��%!������ &���+! :=>?� � �$2 % ����! :=>? � H"/# �!+�!1�� U�" ��2 ���� ��&��%!���� # ) �� � +�%&�� ��!%� .� �

�� ;�

9��!�!) % :;N? ,�' � �3� ) ���C U�" &���� �! 3!���'2!' �� n � #(�'' �1 �+!����) ��' � �! �&��%!������ &�+#*��' + �&��%!����%� 3�!� ��0 1 � ��C B��+1��H"/# �!+�!1��� � :=I? �!C, �! � #(�'' �1 �+! D���� ����) ��' +!+ B��+1�' �� m���' �$2 �� ����!' U�" !�!������*C # 3����!� �� ,� � �3 �1 �+� ����!�!�! :=>?�

� ,���' ���� ,��!��' %�����#!���+! conv5��Zn8� � �!�������� � :>.� >�? �&��!�*� +���#* +�!��* B!� ��*( � #!� ���� � �&���$* �( &���� ��'�

� &��� ,�� ��,* ,�' ���� ,��!��' 3!,!� �"� !�!��3! � &���#� ��' !���#��/%�� �( # ) ��' #!3���! ��' % ��, # ���'#�*( #!3$� ��C :<?� 6���� # 3����!/�*� � ��% ���� ,�' U�"� &���� �* �! ����� L��������� D� % ��* +���#����!3*�!0��' L�������� ��!���� ��� ��� %�����#!���+ � �$�!,! � ��! ���������� L�� ��� ����� �� � ,�&����%* 1 ������ ��* ���+� � ,#�$�* L/+�!��*� # ,�0��' &#� �( � +��+��#!B�� �+�% �&�#',�� ���� &#�� % lexmin � � Zn �lexmax � � Zn� � D��% % ��, #!��%!�#��! ��' �!+@ # �!+�!1����*C %�����#!�/��+ � F f5x� x�� ���� xn8T jx � 5c� x8 F .� x � �g � ���,���' �& 1�!���� %��@ ����L/+�!���� 5L������ �8� +���#� ����� ����� � �!��� %�����#!���+! �� &��� ,��!/� ���� ��+�0�! %�C � #!3����*( % ��,!( # ) ��' 3!,!� �"�6�2����� L/�!+#*��'%�@ � #!��%!�#��!���' +!+ �$�$2 �� #!3#*�! ,��C��� ������� � :;=? &���#� �*3!,!�� $�����/,�!���!����C ��#�+��#*� � +���#*( %�2����� L/�!+#*��C #!�� �D+�&�� �1�!���� � �� ��� �� % n� �!% @ &�+!3!��� ��� � � % C��� 3!,!� �!�!/)! :;N? �% 0��' 3!,!�� � !�!������*% ���C����%� ��!���� ��� ��� ,!��* 3!,!��'��'0��' �#�,�*%� ,�' % ��,! HD�, � ��C��

���* ��� # ��* # 3����!�* &� ���@����� &#�$��@ ����� # ) ��' 3!,!� �&�+#*��� &���� �* � ��&���3��!�� % � #�'������*( % ��,��� � �!�������� ,�'U�" ���!���� ��� ��� ��2 �����!�� &�����%�!������ !���#��%!� +���#*C �!#!�/��#��!��� �!(�,�� # ) �� � $�� � � % � +����!��� #!3 &# �*)!02 �&��%�%��� � � P F NP :;I?� �#�% ����� � :>L? ,�+!3!��A ��� �&#!� ,���! ��&�� 3!NP �F DTIME5nO�log logn�8� �� � ��2 ���� � &�����%�!������ !���#��%! � �!#!�/��#��!���C �1 �+�C �������� 5; � 8 ln5m8 ,�' �0$��� B�+��#��!����� � .�

�!+ &�+!3!�� � :=;?� ,�' U�" � ��2 ���� � &�����%�!������ &#�$��@ �����!���#��%! � �1 �+�C �������� � N�I &#� �������� ��� NP �F P � ��@�� �#!��1*�������� &#�$��@ ����� # ) ��' &���� �* � ,�' � +���#*( �!���*( ����! � D��C3!,!��� �!&#�% #� � :>N? ���!���� ��� ��� �! ��0,� /&�����% �#!B # ) �� U�" ��1 �+�C �������� � ���

��� '��' ��' �!+@ NP /�#�,��C 3!,!� C 5&#� � 5.� ;8 �#!B�!3*�! ��' ���� ���� ���� ��� minv�V deg v � jV j8�

� � �3� ) ���% ����! � ��� +!@,*C ����$ 1 %!�#�1* A ��, #@�� #���� ,�

Page 35: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ =<

,���1*� U�" %�@�� #!��%!�#��!�� +!+ 3!,!�� # $ #���� &�+#*��' �#!B!� ��! DB/B +����� ���,���' + &���+� %!+��%!������ &!#���� �!��' :;.?� �#�% ����� � :==?���!���� �! &�����%�!���!' #!3# )�%���� �!+ �!3*�! %*( �� #(&����*( U�"��� 9!/� ���� ��' # ) ��' 3!,!� � &�+#*��� &# ,��@ �� $���)� �����

����*( !���#��%��� �����!��*( �! % ��,!( � �� C � �#!��1 :-� ;.� ;L� ;<?� ��� � ��C:;<� =.?� & # $�#! L/+�!���� :L� <? � ,#� U�!��� ���� ���%!�� �, �' ��' #!3#!$��+ ��$#�,�*( !���#��%�� :N� ;L� ;<� >=?�

"# ,��!��' � ��� # � !���#��% � �� C � �#!��1 :;L?� ���$ ������0 +���#���'��' ��' % ��, ,��!%�� �+��� ��$�#!,� ��!� ��&���3� %*C &#� # ) ��� &�,3!,!��!�#!�@ ��C # �!+�!1��� � &�%�2�0 ,!����� !���#��%! ��& )�� # )!���� � ���/�* 3!,!�� �� ����!C�*%� ,!��*%� :>;? ,� -... & # % ��*(� ! �!+@ 3!,!�� �!3�!/� ��' D+�&!@ C &#� n� $��3+�( + ;.��

����#��%* & # $�#! L/+�!���� �����!�* �! � +��+��#!B�� �+�% �&�#',�� ���D� % ���� L/#!3$� ��' # �!+�!1������� %�����#!���+! :L� <?� � ��$#�,��% !���#��/% :N? ,�' U�" & # $�# L/+�!���� +�%$���#� ��' � � � ��� �+�% !���#��%�% :>I? ��!�#!�@ ��C D�#����+�C�

��' 3!,!� � &�+#*��� #!3#!$��!�� 3�!��� ���� ����� &#�$��@ ��*( !���#��/%�� � !&#��#�*%� �1 �+!%� �������� &����! %*( # ) ��C� �,��% �3 & #�*( &#�/$��@ ��*( !���#��%��� &# ,��@ ��*( ,�' U�"� '��' ��' @!,�*C !���#��% H�H��!/�! � ���@�����! ,�' � �3� ) ���C 3!,!�� :=I? � �1 �+�C �������� ;Rln5maxj�N jMjj8�"�3,� �! @ �1 �+! $*�! ���!���� �! ����!�!��% ,�' %�,�B�+!1�� @!,���� !���/#��%! � �$2 % ����! U�" 5�%�� �!&#�% #� :=>?8� ����#��% � ����C �1 �+�C ��������:=L? #!3#!$��!� � &�%�2�0 � (��+� #!�,�%�3�#��!����� �+#��� ��' ,�' �$�$2 ���C3!,!�� � &�+#*���� �!+ &�+!3!�� � #!$�� :=N?� � � �3� ) ���% ����! ,�' @!,����!���#��%! :=I? �&#!� ,���! �1 �+! �������� lnm� ln lnmR.�NL� $��3+!' + �3� ����C��@� C �#!��1 :>L?� ���%&����� �+� &�� , �� @!,���� !���#��%! �! 3!,!�!( ������!C�*%� ,!��*%� �3��!���� � :;;?�

�3� ���* &�����%�!���* !���#��%* � �1 �+�C �������� �� +��,! ����� ,�/��1 � +!@,�C ��#�+ %!�#�1* A ��#!��� �� �� #(� +����!���C � :=>?� ��&#�� ���2 �����!��� &�����%�!������ !���#��%!� ,���!��'02 �� # ) �� &#��3������C3!,!�� � � #)����% &�+#*��� � &# �*) �� % �&��%�%! % ��) � � % � > #!3!� ,���( &�# ��+#*�� �,�!+�� ,�' %����( �!���*( ����! � U�" &# ,��@ �* !���#��%*� !&#��#�*%� �1 �+!%� % ��) >� �!&#�% #� &#� �������� ��� maxv�V deg v � d�&# ,��@ � DBB +����*C !���#��% � �1 �+�C �������� >� �

dK ,�' � �3� ) ���C U�"

�! &�!�!#��% �#!B ��2 ���� � &�����%�!���!' &#�$��@ ��!' �( %!� ! �! ��0,�/&�����% �#!B ,�' � �3� ) ���C 3!,!�� �3� �� � DBB +����*C !���#��% :==? ��1 �+�C �

��� � "�,#�$�*C �$3�# &� &#�$��@ ��*% !���#��%!% ��, #@���' � :=>?���' &���+! &#�$��@ ��*( # ) ��C 3!,!� $���)�C #!3% #����� )�#�+� #!�&#�/

��#!� �� &������� D�#����� �+� !���#��%*� � �!�������� % ��,* �!�#!�@ ��C# �!+�!1�� :;L� >-?� � � ��� �+� !���#��%* :>>� >I?� &���+ � 3!&# �!%�� !���#��%*%�#!�����C +������ :;�? � ,#��� ��� :��� �����!"��� ���!�������'� � �!���'2 �# %' �% ��' ,���!���/

�� $���)�C �$G % � ����*( 3!,!� ,�' D+�& #�% ��!������ ���� ,��!��' � �#!�� ��'!���#��%��� 6��@ ���� � ����*( 3!,!� %�@�� #!3$��� �! �#� ������* �#�&&*A 3!/,!�� �& 1�!����C ��#�+��#* :;=� ;N� >I� ><?� &#�+�!,�* 3!,!�� 5�%�� �!&#�% #� :;L�>-?8 � 3!,!�� �� ����!C�*%� ��(�,�*%� ,!��*%� :;�� ;<� >;?� U�!��� ���!' �!���D��( 3!,!� ,����&�! � � �� ��� #� � � ��&���3� ��' %����%� !���#!%�� � ���6

Page 36: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

-. ��������� ������

�� �� � �%7 �!+@ #!3#!$!�*�! ��' D� +�#���!' $�$���� +! 3!,!� � !���#��/%�� ,��+# ���C �&��%�3!1��� �+�0�!02!' 3!,!�� � &�+#*����

"� # 3����!�!% D+�& #�% ���� %�@�� �, �!�� �*��, � ��%� ��� � �!���'2 �# /%' ,���!����� ����C���� # )!0��' U�" � � 3!����%*% #!�&# , � �� % D� % ����%!�#�1* A� �% �� � � % �% 0��' 3!,!�� �& 1�!����C ��#�+��#* ������� ����� $���)�C #!3% #������ # ) �� +���#*( &# ,��!��' � 3�!��� ����0 �#�,������

� ����! 3!,!� $���)�C #!3% #����� & #�& +�����C� �! �!) �3��',� '��' ��'#!3#!$��+! � � ��� �+�( !���#��%��� �!�#!�@ �*( D�#����+� !���#��%�� &���+! �3!&# �!%�� ! �!+@ ��$#�,�*( !���#��%��� 3����!�* D+�& #�% ��!���*( ���� /,��!��C &#���,'��' � :;�� ;L� ;<� >>� >=� >-� >I?�

!$��! �*&��� �! &#� B��!�����C &�,, #@+ INTAS 5&#� +� <I/.L>.8�

H������

;� �� � ���� / ���&��� ���� �����) �������� � ������� ���������� &#!��' %* ���� %*� / ;<L=� / �*&� >=� / ��=/;;�>� � # �� � ��H�� 7�%!,� 9���� � % ���� � ���� 9�� �����!��� ���� � ����� ��) / ������$�#�+A �!�+!� ;<NL� / =L� ��=� � #@ �� 1���� ���"�� �� ����&��� / 6�A �H� ;<I>� / =;I ��-� 7 #%!� ����� �B# %�� ���� :���� � ������ ���������� ���� � ����� 9+���%�+! � %!� %!��� �+� % ��,*� / ;<<L� / �� =-� N -� / ��;=-/;-.��� 7D#� 6�� �@����� �� +���� ��!��� ����� ������������ ���� /6�A6�#� ;<L>� / -;I ��I� �% ��� � ����� ���!� � 6�6�� �#!�1�� 6��� ;����������� ���"�� �� ����)� /6�A �!�+!� ;<L;� / =-- ��N� �# % � ����� U!�3 #�+!' H���� ����+���� ���� /� ���� ������ ����� �������� ���� � ����� ���&�� �� �!���'2�C �$�#��+�L� U!�3 #�+!' H��� /� ���� ����� �� �������� L�������� �� ������ ���� ������ ���&�� �� XI % @,��!#� �!C+!���+!' )+��!/� %��!# 46 ��,* �&��/%�3!1�� � �( &#���@ ��'4A �#�,*� ��;� / �#+���+� ;<<L� / ��;=</;->�<� ����+���� ���� *��������� ������� � ������ � )����������� �������������� ��$� @�#�� ���� ,� �& #!1�C� / ������$�#�+� / ;<<-� / ��;� N >� /��;L/=<�;.� �#����B�, � �� 1���� ���"�� :���� ������ ���� / 6�A 6�#� ;<NL�/ -=>��;;� ��30#�� ���� :��� � ������ ��������� ���� � ����� "#�$� %*+�$ #� ��+�� / ;<L.� / �*&� =N� / �� ;</�N�;>� ��30#�� ���� / ���&��� ��� ����� ���� � ���� �� ���!��� ������ � �������� ��+�!,* ��� / ;<<L� / �� =I=� N ;� / �� ;;/;=�;=� �!C+� H��� <��������� ������ L������ � ���� ���� ���� � ����� ���+# ��!' �&��%�3!1�' � !�!��3 ���@�*( ���� %� / ������$�#�+A �� �� ������/ ;<L<� / C� NI/<N�;-� �!&�@ �+� ����� ��#!�'� ����� ��30#�� ���� /���� ���� ���� �����! � ���� ������ � ����� 6 ��,* ,��+# ����� !�!��3! � # ) ��� +�%$��!��#�*(3!,!�� / ������$�#�+� / ;<NN� / �*&� =.� / C�-I/N��;�� Alexandrov D�� Kochetov Y� Behavior of the Ant Colony Algorithm for the Set Cover�ing Problem Proc� of Symp� on Oper� Res� 5SORQ<<8� / Springer Verlag� >...� /P�>��/>I.�

Page 37: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ -;

;I� Arora S�� Lund C� Hardness of Approximations Approximation Algorithms for NP/Hard Problems� Ed� by S�D�Hochbaum� / PWS Publishing Company� ;<<�� / P�=<</--I�;N� Balas E� A sharp bound on the ratio between optimal integer and fractional covers Math� Oper� Res� / ;<L-� / Vol�<� N;� / P�;/��;L� Balas E�� Carrera M�C� A Dynamic Subgradient�Based Branch and Bound Procedurefor Set Covering Oper� Res� / ;<<I� / Vol� --� N I� / P�LN�/L<.�;<� Balas E�� Ho A� Set Covering Algorithms Using Cutting Planes� Heuristics and Subgra�dient Optimization5 A Computational Study Math� Prog� St� / ;<L.�/Vol� ;>�/P�=N/I.�>.� Balas E� and Ng S�M� On the Set Covering Polytope5 II Lifting the Facets WithCoe=cients in f7�2�-g Math� Prog� / ;<L<� / N -��/ P�;/>.�>;� Beasley J�E� OR�Library5 Distributing Test Problems by Electronic Mail J� Oper�Res� Soc� / ;<<.� / Vol� -;� N ;;� / P�;.I</;.N>�>>� Beasley J�E�� Chu P�C� A Genetic Algorithm for the Set Covering Problem EuropeanJ� Oper� Res� / ;<<I� / Vol� <-� N >� / P�=<-/-.-�>=� Beasley J�E�� J�ornsten K� Enhancing an Algorithm for Set Covering Problems Euro/pean J� Oper� Res� / ;<<>� / Vol� �L� / P�><=/=..�>-� Caprara A�� Fischetti M�� Toth P� Algorithms for the Set Covering Problem ReportNo� OR/<L/=� / BolognaA DEIS� University of Bologna� ;<<L�>�� Cornuejols G�� Sassano A� On the 7�2 Facets of the Set Covering Polytope Math�Prog� / ;<L<� / Vol� -=� / P�-�/���>I� Eremeev A�V� A Genetic Algorithm with a Non�Binary Representation for the SetCovering Problem Proc� of Oper� Res� 5ORQ<L8� / Springer Verlag� ;<<<�/P�;N�/;L;�>N� Eremeev A�V� On Some Approximation Algorithms for Dense Vertex Cover Problem Proc� of Symp� on Oper� Research 5SORQ<<8� / Springer Verlag� >...� / P��L/I>�>L� Feige U� A Threshold of lnn for Approximating Set Cover Proc� >Lth Ann� ACMSymp� on Theory of Comp�� / ACM� ;<<I� / P�=;-/=;L�><� Fulkerson D�R�� Nemhauser G�L�� Trotter L�E� Two Computationally Di=cult SetCovering Problems that Arise in Computing the 2�Width of Incidence Matrices of SteinerTriple Systems Math� Programming Study� / ;<N-� / Vol� >� / P�N>/L;�=.� Gar�nkel R�S�� Nemhauser G�L� Integer programming / Wiley� N�Y�� ;<N>� ->Ip�=;� H�astad J� Some Optimal Inapproximability Results Report No� TR/<N/.=N� / TrierAElectronic Colloquium on Computational Complexity� ;<<N�=>� Hochbaum D�S� Approximating Covering and Packing Problems5 Set Cover� VertexCover� Independent Set� and Related Problems Approximation Algorithms for NP/HardProblems� Ed� by S�D�Hochbaum� / PWS Publishing Company� ;<<�� / P�<-/;-=�==� Karpinski M�� Zelikovsky A� Approximating Dense Cases of Covering Problems Proc�of the DIMACS Workshop on Network DesignA Connectivity and Facilities Location� /Princeton� ;<<L� / P� ;I</;NL�=-� Krarup J�� Pruzan P�M� The Simple Plant Location Problem5 Survey and Synthesis European J� Oper� Res� / ;<L=� / Vol� ;>� N ;� / P�=I/L;�=�� Lehman A� On the Width�Length Inequality Math� Prog� / ;<N<�/Vol� ;N�/P�-.=/-;N�=I� Lov�asz L� On the Ratio of Optimal Integral and Fractional Covers Discrete Math� /;<N�� / Vol� ;=� / P�=L=/=<.�=N� Slavik P� A Tight Analysis of the Greedy Algorithm for Set Cover Journ� of Algo/rithms� / ;<<N� / Vol� >�� / P�>=N/>�-�=L� Srinivasan A� Improved Approximation Guarantees for Packing and Covering IntegerPrograms SIAM Journ� on Computing� / ;<<<� / Vol� ><� / P�I-L/IN.�

Page 38: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

-> ��������� ������

"��H�6� ��� ����������

� 6���6��������6 "�7�66�������

�����# %��

!��%!�#��!0��' �( %*� B�#%�#�02� ,��C��� ������ +!+ ,�' �$2�( 3!,!� %!/� %!��� �+��� &#��#!%%�#��!��'� �!+ � ,�' �& 1�!���*( +�!���� 3!,!�� � �( ���� 3!,!��A

;8 � ��$��� ��* �>8 � +��+��#!B�� �+� �=8 ,�3G0�+����* �

�� ;��#���������" �!' ����.�������� ����& !���#��/� �/ �� ������' *�+

"���� ���� %* ��#!��� ��C &#'%�C L A supf5c� x8 j Ax � b� x � .g � ,��C/��� ���C L� A inf f5b� u8 j ATu � c� u � .g 3!,!� H" &#��3�����*% �$#!3�%#!3$��* �! &�,���� %* ��,! Ajx � bj� j F .� � � � �m � BT

i u � ci� i F .� � � � � n����� ���� ���� &#� D��% &# ,&��!�! ��'� ��� M AF fx � . j Ax � bg �F � �M�

AF fu � . j BT u � cg �F �� "���#��% 3!,!��

P A sup fF 5x8 AF 5c� x8�m�Xj��

Rj k5Ajx� bj8�kj j

j x �M� kxiki � ri� i F ;� � � � � ng�

P� A inf fF�5u8 AF 5b� u8 Rn�Xi��

ri k5ci �BTi u8

�k�i j

j u �M� � kujk�j � Rj� j F ;� � � � �mgK

3, �� fujg � fxig� ! �!+@ fbjg � fcig J #!3# 3* � +��#�� u � x� ! �!+@ b � c� �!&�,� +��#*� ����� �����02� #!3# 3� %!�#�1* A �! ��#�3���!���* � � #��+!��/�* &�,%!�#�1* Aj � BiK fk � kjgm�

� � fk � kign�� J �!$�#* ��#% � &#���#!����!(����� �����02 C #!3% #������ %�������*( �% �� �� ����%� ��&#'@ ��*%� ��#%!/%� fk � k�jg� fk � k�i gK fRj� rigm�� n�

� J � ��#�1!� ���* &!#!% �#*�

-��� (����� �� #�� ! L > �������!��� ����� .# 5��� �������&��� ���������� 8� ri Rj ������� � ������ M5r�R8 AF fx � M j kxiki ri� i F;� � � � � ng �F � M�5r�R8 AF fu �M�

j kujk�j Rj � j F ;� � � � �mg �F � 1���A;8 ?�� 5�8 > ������ ������� � P � P�� � 5P�8� F P 5������� ���� ������� !8K>8 x �M5r�R8 � u �M�5r�R8 � F 5x8 � F�5u8K=8 opt P F opt P�K-8 ?�� sup � P �� ��� ��� � inf � P� ��&� �� ��� ��

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ�# %�� ��!� ��!�������� �+!� #��$�#�� �������� %!� %!��+� � % (!��+� #� ���e/mailA ermiiMimm�uran�ru

Page 39: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ -=

�� ��� �&��' ���#���������" �!' ����& ��!�������!"��/� !���#��/� �/ �� �����' *�+

"����

Lp A maxp

��CTx5c� x8

�j Ax � b RBr� x � .

�K

3, �� C F : c�� � � � � ck ?� ci � Rn� B F : b�� � � � � bl ?� bj � Rm� r � Rl�� p J � +���#!'

& # ��!���+! ��, +��� fsgk &#� �,��% ��)� ,�&�2 ���� ��� . ����� �! &��� ,� %% �� � ��%��� p � 3!&��� 3!,!�� Lp 3!,! � &�#',�+ B��+1�C � &��� ,��!� ����C�&��%�3!1��A p F 5i�� � � � � ik� .8� U!,!� Lp ��!����' � ����� ����� ��%% �#����,��C��� ��!' 3!,!�!

L�q A minq

��BTu5b� u8

�j ATu � c R CR� u � .

��

�, R �Rk�� q F 5j�� � � � � jl� .8� U!,!�!% Lp � L�

q &���!��% � ����� ����� �+!�'#�3�/�!��* 3!,!��A

Lp� scal A maxf5c� x8 R 5C �R�x8 j Ax � b RBr� x � .g�L�q� scal A minf5b� u8 R 5B�r� u8 j ATu � c R CR� u � .g

5� +��#* �R � �r �% 0� #!3% #����� � +��#�� R � r8�

-��� (����� �� #�� ! ���� Li j A maxf5ci� x8 j Ax � bj� x � .g 5i F.� � � � � kK j F .� � � � � l8 �������� ����� ��� ����� �� ����� ! ���� ��� �������������� ������� ������ ��� r � . R � . ���� � �

Arg Lp F Arg Lp� scal j R�R �F ��Arg L�

q F Arg L�q� scal j r�r �F ��

U!,!�� Lp� scal � L�q� scal �3!�%�� ,��C��� ��* � +�!���� �+�% �%*�� � &�D��%� �( �&��/

%!���* 3�!� ��' ���&!,!0��

�� ;��#���������" � ���<=������� �/ �� ������ *�+

"���� F J B�+��#��!��� ��� C�� &#���#!����� � &# #*��*( � 2 ��� ��*(B��+1�C� �&# , � ��*( �! Rn� � F J �� %���%!���� #!�)�# �� � ������ ��������� ���� �����) ���� ���� ��������� �� �

ffj5x8gj�J � F � maxj�J

fj5x8 � F � jJ j R�� 5;8

"#��3�����!' B��+1�' �3 F ,�&��+! � +!����� �+� &# ,��!�� �� minj�I

jFj5x8jmax�

�, Fj5x8 J � +��#/B��+1�'� +��#,��!�* +���#�C J B��+1�� �3 F� jIj R��jzjmax AF max

�i�zi 5zT F :z�� � � � � zm?8� ����

maxff5x8 j fj5x8 � .� j F ;� � � � �m� x � .g 5>8

J &#��3�����!' 3!,!�! %!� %!��� �+��� &#��#!%%�#��!��' � B��+1�'%� ffk5x8gmk� �F � �� &�� % D� % ��!#�*( &# �$#!3��!��C ��! %�@ � $*�� &#�� , �! + ��,�

maxf5c� x8 j minj�J

jFj5x8jmax � .� x � .g� 5=8

Page 40: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

-- ��������� ������

�, F Tj 5x8 F :fj�5x8� � � � � fjmj

5x8?� &#�� % ffji5x8gmji�� � F� ���� F J &#���#!�����

!BB���*( B��+1�C� �� 5=8 J 3!,!�! +������/��� C���� &#��#!%%�#��!��' � +!��/��� �+�C B�#% � U!,!� 5=8 &���!��% � ����� ����� %�,�B�1�#��!���0 B��+1�0H!�#!�@!

F 5x� u8 F 5c� x8�minj�J

5uj� Fj5x88� 5-8

uj � .� uj � Rmj �

-��� (����� �� ?�� :�x� �u? > ���� "���) 5-8� � �x � Arg 5=8� �� % ��minj�j

5�uj� Fj5�x88 F .

-��� (����� �� ?�� ����� 5=8 ��������� Fj5x8 F Ajx� bj� Mj AF fx � . jAjx � bjg �F �� j� � "���)� 5-8 ������ �����

�&# , ��% 3!,!��supx�

:5c� x8�min�j�

5Rj � F�j 5x88?� 5�8

3, �� Rj � .� j� FjA Rn Rnj �

-��� (����� �� #�� ! ��&�� � ���� maxf5c� x8 j Fj5x8 � .� x � .g ������� ����� :�xj� �uj? 1��� �� Rj � R �uj� R � ; ���� 5=8 5�8 %������� ��� ������ �������� � �� ���!��� ������� �� ���!��� ���&�� �

"���!��% 3!,!� 5=8 � ����� ����� 3!,!��

minff�5u8 j u �mYj��

M�j g� 5=8�

�, f�5u8 F max�j�

5bj� uj8� M�j AF fuj � . j AT

j uj � cg� U!,!�! 5=8� �*���&! � &�

����) ��0 + ��(�,��C 5=8 � +!� ��� ���� ������� ���� m F ;� �� 3!,!�� 5=8 � 5=8�

'��'0��' �3!�%�� ,��C��� ��*%� � +�!���� �+�% �%*�� �

-��� (����� �� ?�� ����� 5=8 ��������� �� % �� Mj �F �� j� � 5=8�

��&� ��������� �� % �� opt 5=8 F opt 5=8�

!$��! �*&��� �! &#� B��!�����C &�,, #@+ ����C�+��� B��,! B��,!% �/�!���*( ���� ,��!��C 5&#� +�* ..E;�E<I.-;� <<E.;E..;=I8�

H�� #!��#!

;� �����# %��� #�� �������� ���� �� ���!���� ����������� E6�A �!�/+!� ;<LL� E;I. ��

>� �����# %��� @���� ������ ! �� ������ ������ ���� ���� ������ ����������"������ ������� �� ���) ���#�,* �66� �+!� #��$�#�A #���� ;<<I� E� -� EC� =>>E==I�

=� �����# %��� 1���� ������� �� ���)� E �+!� #��$�#�A �3,/�� 4�+!� /#��$�#�4� ;<<<� E=;> c�

Page 41: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ -�

6����� ��6�������� �"��6�U���� / "�������� � �����6

������#$��

�!+ �3� ����� &#!+��� �+� �� 3!,!�� +�%$��!��#��C �&��%�3!1�� '��'0��' NP /�#�,�*%�� ��� � &#��1�& ��+�0�! � ��3%�@����� &���#� ��' ����*( !���#��%��� &�����%�!����C �#�,� %+����0� �,�!+� &#� # ) ��� +��+# ��*( &#!+��� �+�(3!,!� ���� ,��!� �� �$*��� $ 3 #!3,�%�C &���3�0��' % ��,!%�� +���#* 3!� ,�%��% 0� �*��+�0 �#�,� %+���� 5�!�$�� ��&���*% &#�% #�% '��' ��' % ��, � �� C� �#!��18� � �# ��� �+�% �&#!�,!�� % D���� %�@�� ����!�� 3�!% ����0 � �# %�5H�W�Lenstra� ;<L=8 � &�����%�!������� 3!,!� ��� C���� 1 ������ ����� &#��#!%/%�#��!��' � B�+��#��!��*% �����% & # % ��*(�

�*(�, �3 � �# ��� �+��� ��&�+!� �$������ ����� 4&#�+�'�� % �#�,�����43!,!�+�%$��!��#��C �&��%�3!1��� �#!,�1����� �2 ��' �! &��� ��+!3! �� ����*( % ��,��� &���3� %!���#�,� %+�( &#�$��@ ��*( % ��,��� ���@����� +���#*( �$*��� �1 /���! ��' &�����%�% � �*��+�C �� & ��� �# ,� D��( &#�$��@ ��*( % ��,�� ���$ �/�� &#��� +!� ���* �!+ �!3*�! %* &�����%�!���* &#�$��@ ��* �( %*� ,!02� # ) ��' � �0$*% �!& # , 3!,!��*% ������� ���*% ��+��� �� % � �� �&��%�%!�"�,�$�* �( %* �,�!+� ��2 ����0� ,!� +� � ,�' �� ( 3!,!��

��' $���)�����! &#�$��@ ��*( % ��,�� +�%$��!��#��C �&��%�3!1�� �,! ��'&������� �1 �+� ��+��� ��' �� �&��%�%! � �!�(�,) % ����! � �!� +� � �� �,! D���1 �+� '��'0��' �,��� ���#�� ���*%� � &#!+��� �+�C ���+� 3# ��'K $�� ����� �*/������ ���!' &#!+��+! �$*��� , %����#�#� � ��#!3,� ���) +!� ���� &����! %*(# ) ��C &� �#!�� ��0 � � �# ��� �+�%� �1 �+!%�� 9�� �!��,�� �! %*��� �$ !�!/��3 &�� , ��' ����� �����02�( &#�$��@ ��*( % ��,�� � � �!�(�,)�( ����!'(�! � �# ,� %� ��� �# $� � �� , ��' � +���#�C � #�'�������C ��#�+��#* �! ��(�,�*(,!��*( 3!,!��� �!+�C &�,(�, ,! � ��3%�@����� &������� ����� �����02� � #�'�/�����* (!#!+� #����+� # ) ��C� � ,#���C ���#��*� �� @ �, 0 %�@�� &#�% ����� + !�!��3� ����*( % ��,�� E 3, �� # �� �@ $�, � �,�� � � +!� ��� &����! %*(# ) ��C� ! � �# ,� C �#�,� %+���� % ��,!� ��!���� �+�C &#�% # ,!0� &�'���/)� �' � �!�!� L./( ��,�� # 3����!�* � &�� , ��� � �# ,� % ,�' ��%&� +�/% ��,!5K�/H�BorgwardtK ��6�� #)�+ � "����&�#*) �K S�Smale8�

�� %�������� ��* &���� ��* + �!���2 %� �# % �� # 3����!�* %�@�� # 30/%�#��!�� � ��, �� ,�02 �� � B�#%!������ � 3��!A &�� , �� % ��,�� +�%$��!��#/��C �&��%�3!1�� � �# ,� % ��2 ��� ��� ���) �( &�� , ��' � �!�(�,)�( ����!'(�

� ,�+�!, &# ,&��!�! ��' ,!�� �$3�# � +���#*( ��!#*( � � +���#*( ���*( # /3����!��� � �+!3!���% �!&#!�� ���� �+1 �� $�, � �, �!� �! &#�$��@ ��*( % ��/,!(� %���� �3 +���#*( &# ,��!��'0� ��$�C �!#�!��* �!+ �!3*�! %*( @!,�*(� ���&�@�#!02�( 5greedy8 % ��,��� �$��@, �� $�, � � ����� � �������% &#�% ��� ��/�� + ,��% +�!���� �+�% %�, ���*% �$G +�!% +�%$��!��#��C �&��%�3!1�� / 3!,!� +�%%���'@ #! � 3!,!� � #!�1 � ! �!+@ + #�,��� ��*� �% %�, �'%�

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ��#$�� �� +�!�,# �����������"$ 96� �������!C+���+��� ;� ;<;;LN ��/" � #$�#��� ��B!+� 5L;>8>N=N<�=�e/mailA korbutMemi�spb�su

Page 42: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

-I ��������� ������

��,�� 3!�#����* �� ,�02� ��&#��*�;� U!,!�! � �!3�!� ��'( � �#!��&�#��!' 3!,!�! 59���7�%!,� � ����" # & ��1!�

;<I</;<N-K 6����#!�1�� � ��"��#!�+���+�C� ;<<<8�>� U!,!�! +�%%���'@ #! 5������#��+��� ;<I>K 9���7�%!,� � ����" # & ��1!�

;<N./;<N=K J�Beardwood� J�Halton� J�Hammersley� ;<�<K R�Karp� ;<NNK R�Chandra� H�Kar/lo�� C�Tovey� ;<<-8�

=� �#��� 3!,!�� � �#�� �#!B���=�;� U!,!�! � +��+ 5B�Bollobas� ;<<L8�=�>� � # ��' �� C� #! 5F�Chapeau/Blondeau� F�Janez� J�/L�Ferrier� ;<<N8�

-� U!,!�! � #!�1 5V�Lifschitz� ;<L.K G�dQAtri� A� di Rende� ;<L.K 7����0$�� �������#$��� ;<<<8�

�� U!,!�! � ��%% &� &�,%��@ ���!% 5G� dQAtri� C�Puech� ;<L>K K�/H�Borgwardt�B�Tremel� ;<<;K U�Pferschy� ;<<L8�

I� U!,!�! �$ �&!+��+ � +��� C� #* 5G�Frederickson� ;<L.K W�Kn�odel� ;<L;K J�Ben/tley� D�S�Johnson� ;<L-8�

N� � +���#* �$2� �( %* 5R�Burkard� U�Fincke� ;<L�K J�Steele� ;<<.8�

Page 43: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ -N

ON GRAPHS WITH SMALL RAMSEY NUMBERS

A� V� Kostochka� V� R�odl

For arbitrary graphs G and H� de�ne the Ramsey number R5G�H8 to be the minimumpositive integer N such that in every bicoloring of edges of the complete graph KN with�say� red and blue colors� there is either a red copy of G or a blue copy of H� The classicalRamsey number r5k� l8 is in our terminology R5Kk�Kl8�

Call a family F of graphs linear Ramsey if there exists a constant C F C5F8 suchthat for every G � F �

R5G�G8 � CjV 5G8j�Burr and Erd�os :>? conjectured that for every d�

5a8 the family of graphs with maximum degree at most d is linear RamseyK5b8 the family Dd of d/degenerate graphs is linear Ramsey�

Recall that that a graph is d/degenerate if every its subgraph has a vertex of degree5in this subgraph8 at most d�

The �rst conjecture was proved by Chv�atal� R�odl� Szemer�edi� and Trotter :-?� TheC5d8 in their proof grows with d very rapidly� Recently� Eaton :�? improved the upperbound for C5d8 to a function of the form >�

cdand Graham� R�odl and Ruci�nskir :I? reduced

it to cd log� d� On the other hand� they showed in :I? that C5d8 grows exponentially�

The second conjecture 5which is much stronger8 is still wide open� In recent years�some subfamilies of the family Dd were shown to be linear Ramsey�

Let Wd denote the family of graphs in which the vertices of degree greater than d forman independent set� Alon :;? proved that W� is linear Ramsey�

A graph G is called p/arrangeable� if there exists an ordering v�� � � � � vn of its verticeswith the following propertyA for every i� ; i n� the number of vj with j i havinga common neighbor vs for some s � i with vi is less than p� Let Ad denote the family ofd/arrangeable graphs� Observe that Ad � Dd for d � >� On the other hand� A� containsall planar graphs and Ap contains all graphs with no Kp/subdivisions 5see :N?8� Chen andSchelp :=? proved that Ad is linear Ramsey for every d�

A 5d� n8/crown is the bipartite graph G5d� n8 F 5U�W KE8 where U F f;� � � � � ng�W F fS � U j jSj F dg� and fi� Sg � E i� i � S� Trotter asked if the family Cd FfG5d� n8 j n F d� dR ;� d R >� � � �g is linear Ramsey�

Our �rst result answers this question in the a�rmative�

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJA� V� Kostochka�Institute of Mathematics Siberian Branch of the RAS�Novosibirsk/<.� I=..<.� Russiaand Dept of Mathematics University of Illinois at Urbana/Champaign�Urbana� IL I;L.;� USA

V� R�odl�Dept of Mathematics and Computer Science Emory University�Atlanta� GA =.=>>� USA

Page 44: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

-L ��������� ������

Theorem � Let a real . � ; and a positive integer d � = be 4xed and let k Fk5d� �8 F d> expf d

��ge Let n be su=ciently large and let G F 5W�U KE8 be a bipartite

graph with the bipartition 5W�U8 and such that jW j F n� jU j � n� and

deg5w8 � d for every w � W� 5;8

If n is su=ciently large� then for any bicoloring of the edges of Kkn�kn� there exists amonochromatic copy of G

Our second result shows that the family Wd is �almost4 linear Ramsey�

Theorem � Let a positive integer d be 4xed and n be su=ciently large Let G F 5V�E8be a graph with jV j � n� and such that the set U of vertices of degree at least d R ; in Gis an independent set Let k F k5d� n8 F expfId R Id�

plnng Then R5G�G8 � kn In

particular� for every � � .� there exists C F C5d� �8 such that for every graph G F 5V�E8with the independent set of vertices of degree at least d R ;�

R5G�G8 � CjV 5G8j���

Our next result yields that even if Dd were not linear Ramsey� it is at least �polyno/mially Ramsey4�

Theorem � Let C F C5d8 F 5>.d8�d���d Then for every d�degenerate graphs G� and

G� on n vertices�R5G�� G�8 � Cn�5G�8�

Corollary � Let C F C5d8 F 5>.d8�d���d Then for every d�degenerate graph G�

R5G�G8 � CjV 5G8j�5G8 � CjV 5G8j��

For n � d� we say that a graph H possesses 5d� n8/property if

v�� � � � � vd � V 5H8� jNH5v�8 � � � � �NH5vd8j � n� d� 5>8

It is easy to observe that each graph with 5d� n8/property contains every d/degenerategraph on n vertices� In view of this� the following conjecture due to Frieze and Reedimplies the Burr/Erd�os conjectureA

For every positive integer d� there exists a constant C F C5d8 such that for every graph

H� either H or H contains a subgraph with 5d� jV �H�jC

8�property

The following is a much weaker 5�polynomial48 result in this spirit�

Theorem � For every positive integer d� there exists a positive constant C F C5d8 suchthat for every graph H on N vertices� either H or H contains a subgraph G possessing5d� n8�property� where n � N��d

C

The work of the �rst author was supported by the grants <</.;/..�L; and ../.;/..<;Iof the Russian Foundation for Fundamental Research�

The work of the second author was supported by the NSF grant DMS/<N.-;;-�

Page 45: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ -<

REFERENCES

;� N� Alon� Subdivided graphs have linear Ramsey numbers� J Graph Theory ��5;<L-8� No� -� =-=/=-N�

>� S� A� Burr and P� Erd�os� On the magnitude of generalized Ramsey numbers forgraphs� inA �In�nite and �nite sets4� Vol�;� Colloquia Mathematica Soc� JanosBolyai� ;.� North/Holland� Amsterdam/London� ;<N�� >;-/>-.�

=� G� Chen and R� H� Schelp� Graphs with linearly bounded Ramsey numbers� J Comb Theory� Ser B �� 5;<<=8� ;=LE;-<�

-� C� Chvatal� V� R�odl� E� Szemer�edi� and W� T� Trotter� The Ramsey number ofa graph with bounded maximum degree� J Comb Theory� Ser B �� 5;<L=8�>=<E>-=�

�� N� Eaton� Ramsey numbers for sparse graphs� Discrete Math� ;L� 5;<<L8� no� ;/=�I=EN��

I� R� L� Graham� V� R�odl and A� Ruci�nski� On graphs with linear Ramsey numbers�to appear in J� Graph Theory�

N� V� R�odl and R� Thomas� Arrangeability and clique subdivisions� inA �The Mathe/matics of Paul Erd�os4 5R� Graham and J� Ne�set�ril Eds8� Springer� Berlin� ;<<N� Vol�>� >=I/>=<�

Page 46: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�. ��������� ������

APPROXIMATION ALGORITHMS IN LINEARAND INTEGER PROGRAMMING

N�N� Kuzjurin

We intend to survey the progress which was achieved in development of randomizedand deterministic approximation algorithms for integer linear programming 5ILP8 basedon randomized rounding technique :;?� For packing and covering integer programs thistechnique round solutions of the natural LP relaxation to integral feasible solutions withbest known approximation guarantees :>?�

We consider also new results about approximation algorithms for PLP 5positive lin/ear programs where all data are non/negative8� These algorithms were developed afterinterior/point algorithms and are more e�cient for PLP� Such algorithms �nd feasible so/lutions with prescribed accuracy and have complexity close to lower bounds :=�-?� Thesealgorithms 5or their modi�cations8 have a remarkable property to be communication/e�cient�

This research was supported by RFBR grant <</.;/..>;.�

REFERENCES

;� Raghavan P�� Tompson C�D�� Randomized roundingA a technique for provably goodalgorithms and algorithmic proofs� Combinatorica� �� 5;<LN8 =I�/=N-�>� Srinivasan A�� Improved approximations for packing and covering problems� Proc ACM STOC� ;<<�� >IL/>NI�=� Plotkin S�� Shmoys D�B�� Tardos E� Fast approximation algorithms for fractional pack/ing and covering problems� Proc '-nd IEEE FOCS� ;<<;� -<�/�.-�-� Bartal Y�� Byers J�W�� Raz D� Global optimization using local information with appli/cations to �ow control� '8th IEEE FOCS� ;<<N� =.=/=;>�

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJKuzjurin Nikolai Nikolaevich�Institute for System Programming�B� Kommunisticheskaya >�� Moscow� ;.<..-� Russia�phoneA 5L/.<�8 <;>/�I/�<� faxA 5L/.<�8 <;>/;�/>-� e/mailA nnkuzMispras�ru

Page 47: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ �;

TOPOLOGICAL SUBGRAPHS IN GRAPHS OF GIVEN AVERAGE DEGREE

W� Mader

It is well known that for every positive integer n there is a least integer f5n8 such thatevery �nite graph of minimum degree f5n8 contains a subdivision of the complete graphKn� We survey recent results on this function f and related results� imposing furtherconditions on the graphs or the subdivisions� and compare them to results on minors Kn�

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJWolfgang Mader�Institute of Mathematics�University of Hannover�D =.;IN Hannover Germany�e/mailA maderMmath�uni/hannover�de

Page 48: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�> ��������� ������

� �6������ 7���� J ��U�

H� �� 6 ����+��

�� � ��

� #)����C ������)�� 5labeling� valuation� numbering8 �#!B! G ��G +1�' f � #/)�� V 5G8 �� %��@ ���� ��% #�� N � +���#� ���,�� ��% #!1�0 f� �! %��@ ��� # $ # E5G8 &#�� % ,�' +!@,��� # $#! 5x� y8 � E5G8 ��% # # $#! 3!����� ��)� ����% #�� � #)��� �� � f�5x� y8 F F 5f5x8� f5y88� ����)������ % ��,�� ��% #!1�� �#!/B�� ��� �,�(��� �� � #&!�� � �#!1��3�*( � �!#%���� �+�( ��% #!1�'(� �� , ��*(������ ���� ���� ��! :>�? � ;<IN ��,� � 7#D( %�% � ���!��% :;L? � ;<L. ��,��

��� # � + &#�$� %!% �#!1��3��C ��% #!1�� �#!B�� ��3��+ � � # ,�� ) ���/, �'�*(� �% ' � +!� ��� �������+! ��&�� 3� 7� ��� �' :>-? � ������&��!�!02�0��!��0 �� ��! :>�?� K��)����� ������)�� �#!B! G � e #�$#!%� �!3*�! ��' ��G/ +1�' f A V 5G8 f.� ;� >� ���� eg �!+!'� ��� ��,�1�#��!��� ���$#!@ �� f�5x� y8 Fjf5x8� f5y8j &# ,��!��' � ��$�C $� +1�0 �! %��@ ��� #�$ # E5G8� 7#!B� ,�&��+!/02�C �#!1��3��0 ��% #!1�0 �!3*� ��' ���)������ ��% ��%� ��� & #���!�!�����% ��� � #%��! ���)����� ��&���3��!��' � #%�� �E������)� 5�Evaluation8� U!&#�) ,)� ��,* ��� #,���' &# ,��@ ��*C 7���%$�% :;<? � ;<N> ��,� � #%�� ����)������ ��! �� � �E������) �!+@ +!+ � %��@ ���� ,#���( ��% #!1�C� +!+&�,��$�*C ����#�% �� ,�' &���#� ��' #!3��@ ��C &������ �#!B! �! �3�%�#B�* &�,�#!B*� � �!������� �E������) $*�� &# ,�!3�!� �* ,�' &�&*�+� # ) ��'��&�� 3* ��� �' :>-? � ��%� ��� K�n�� %�@ � $*�� #!3$�� �! >n R ; &�,�#!B���+!@,*C �3 +���#*( �3�%�#B � 3!,!���%� , # �� � n #�$#!%��

7!#%���� �+� �#!B* ��3��+�� ��� #) ��� �� ��� ��� � ���� ,��!��� 7#D( %!� ���!�! :;L? %�,��'#�*( � #��C &#�$� % !,,�����*( $!3� &#���(�,'2�( �3 +�#/# +��#�02�( �)�$+� +�,��� ��� &# ,��@��� �#!B G � e #�$#!%� �!3*�!�� ������������� ��� ��2 ���� � ��G +1�' f �3 %��@ ���! � #)�� V 5G8 � �#�&&� 1 �*(��� � &� %�,��0 e �!+!'� ��� ��,�1�#��!��� ���$#!@ �� f�5x� y8 F f5x8 R f5y8

5mod e8 ��� $� +1�' �! %��@ ��� # $ # E5G8� ���� jE5G8j F jV 5G8j � ;� �� ���/�� �,�! % �+! %�@ � $*�� ��&���3��!�! �! ,��( � #)��!(� ��� � ����! ��' � +�!�� , # �� �� U! �#�,1!�� &'�� � � &�'������ $�� � % >�. ��!� C �! � %� �$3�#!� ��� �%��#' �! ��#�%�� �( ����� ���� % � %���� $*�� ,���!����� �$2�( # 3����!/��� &� ��% #!1�'% �#!B��� � C����� ���� $���)������ ��!� C �B�+���#��!�� �!�& 1�!���*( +�!��!( �#!B�� �� $*�� %�@ �� �% ��� &�D��%� ��&���3� � �( �& 1�B�/� �+� ���$ ������� �(�,' �� �$2�( % ��,�� � �$2�( (��' � ��!$*( # 3����!���� �D��% �$3�# !���# &*�! ��' �$�3# �� %���� �!#�!1�� �#!1��3�*(� �!#%���� �+�(� ,#���( ��% #!1�C� ���,' � ��%%�#�' %���� �3 ����� ��� �3� ���� ,�' +!@,�C��% #!1�� +!@,��� ��&!� ��� #!��� �$3�#*� ��#!�����!02� �' �,��% ��� ,#�/��% % ��,�% %�@�� �!C�� � :-?� :L?� :;-?� :;I?� :;N?� :;<?� :>>?� !�)�# ��' �#!1��3�*(��% #!1�C �! �#� ���#��!��* �#!B* ��3��+�� � ��'3� � (!#!+� #�3!1� C +�� �/�*( � �&�� C� &#�� , ��� ��� � ��,� ���% :>.?� :>;?� ��'3� % @,� �#!1��3�*%�

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ6 ����+�� H ���, � #� ������������ %!� %!��+� �%� ��H���$�� �! �� ���&#� �+� ��&�0�!� -� ������$�#�+� I=..<.� ����'� e/mailA omelnMmath�nsc�ru

Page 49: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ �=

�#!B!%� � %�����$#!3� % !�� $#!�� �+�( ��#�+��#� �+�0�!02�( 1�+��� �+� #!3/�����* %��@ ���!� &��� ,��!� ���* �#�&&*� �$�$2 ��* &���* ���$#!@ ��' �� �&��' �$��@,!0��' � :;;? ���%�% � ���� ��'3� % @,� �#!1��3�*%� ��% #!1�'%�� ��� #) ��*%� ���� %!%� #!3�����*( %��@ ��� �$�!#�@ �! � :�? � #%��,�%� ��/1���% � ��#,@ ���%� � +���#* ,#��� &#���@ ��' � �( , �!����% #!��%��# ����%� :N?� :<?� :;.?� � #%��* � �$�3�!� ��'� � �&# , � ��* 3, �� �3'�* �3 :=?� :;�?� :;>?�

�� !��"�� #�"��$��� ��% �"��

���' ����!��� � �&�$��+��!���%� # 3����!��9#, )! 5�%� :;L?� ��#�-..8 &���� �� �#!B* � '��'0��' �#!1��3�*%�� � % � % � &���� �� �#!B* �% 02� � +���#�0�� & �� �( ��#�+��#��C # ���'#����� �+!3*�!0��' �#!1��3�*%�� � ��%! ��� # �/�*C # 3����!� &#��!,� @�� � &&!#,� :>N?� ,�+!3!�) %�� ��� ��2 ���� � #���� e��#!1��3�� 3!��% #��!��*( �#!B�� � e #�$#!%�� ��! :>I? �*, ��� �#� ��2 ��� �/�*( &#����*� &� +���#*% �#!B � %�@ � $*�� �#!1��3�*%A 5;8 G �% � 4���)+�%%���� � #)��4 � 4� ,���!����� # $ #4� 5>8 G �% � 4���)+�% %���� # $ #4 � 5=8 G�% � 4� &#!������0 � ������4� ���0��#�#�' �# ��0 &#������ ��! :>�? &�+!3!����� ��� +!@,!' � #)��! �#!B! �% � � ���0 �� & �� 5�� � �!+�C ��'3�*C �#!BDC� #��8 � ����� # $ # �#!���%� � ; ��� > &� %�,��0 -� �� �!+�C �#!B � �#!1��/3 �� � �+�� ��*C +�!�� �#!B��� +���#* � �#!1��3�* &� ���#�C &#���� &���#� ��(!�E�!'+ � 7�+(DC��% :I?�

���� �������� �� �������

��! :>�? �� � &��'�� �#!1��3��C �E��% #!1�� +!+ �#!1��3��0 ��% #!1�0 �,�$!����*% ������ %� ��� ��2 ���� � �!+� 1 �� ����� �� ��� ,�' +!@,��� # $#!5x� y8 � E5G8� � #�� ��$� f5x8 � � f5y8� ��$� f5y8 � � f5x8� ���� �!+!'�#!1��3�!' �E��% #!1�' ��2 ���� �� �� �!C�� ����� � � �+� J ,���!����� �3'��# $#� 5x� y8 � ��,�1�#��!���*% ��% #�% ; � �*$#!�� %���%!���*C ��% # � #)��*��,��% �3 & #�*( # 3����!��� � �#!1��3��C �E��% #!1�� $*� # 3����!� ��! :>�?� ���%� ��� 1�+� Cn �% � �#!1��3��0 �E��% #!1�0 ���,! � ����+� ���,!� +��,! n .

5mod -8� � �� �# %' +!+ nE� #)���*C &��� Pn �% � �#!1��3��0 �E��% #!1�0� ����+� ,�' �0$��� n� �� � &���� ,�' �0$��� ��% #! k� . � k n ,�' �,���� �3+��1�� x &��� f5x8 F k� �$#!(!% � ��1�� :;? &�+!3!��� ��� ,�' k F . ��2 ���� � ,����� ��!' �#!1��3�!' �E��% #!1�' � ! ,�' k F ;� > ��2 ���� � D+�&�� �1�!���� ����� �#!1��3�*( �E��% #!1�C �� n�

�!@,�C �#!1��3��C �E��% #!1�� %�@ � $*�� �,��3�!��� ��&���!�� �! �!+ �!3*/�! %!' 4&��� ,��!� ����E&!#!�� ���!' �( %!4 5+�#��+�� &&/�( %!8� ��! ������� �31 ������ ��*( ��� + �! ,��( &!#!�� ���*( &#'%*(� ����� �����02�( � #)��!%� ��# ,� C ����� �, %!�)�!$ 1 ������ ��*( ��� + �,�� % ��) � � % �! ,��( &!#!�/� ���*( &#'%*(� �!@,�%� # $#� 5x� y8 � E5G8 ����� ����� � &#'%!'� �� ,��'02!'1 ������ ��* ���+�� 7#�&&! 1 ������ ��*( ��� + �# ,� C ������ � # 3 +���#* &#�(�,'� ������ ����� �����02� # $#!%� �$#!3�0� �&��)�� $ 3 #!3#*��� %��/@ ����� &#�� % +#!C� � �!' ���+! D���� %��@ ���! 3!�'�! &#'%�C� �� ,��'02 C,� +#!C� � �* 1 ������ ��* ���+� �! ,��( &!#!�� ���*( &#'%*(� �� @ �!/%� � #�� � ,�' +#!C� &#!��C ���+�� � +���#* 1 ������ ��* ���+� �! ,��(

Page 50: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�- ��������� ������

&!#!�� ���*( &#'%*( � ��&���3�0��' � �3�$#!@!0��' �! &&E�( % � 3!���*%�+#�@+!%�� �( ����� #!��� 1�+��%!��� �+�%� ����� �#!B!� "#�% # �!+�C &&E�( %*�%��#� �! #��� ;�

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q

t t t t t d t t t t d t t t t d d t t

t t d d t t t t t d t t t t t t t t

7����� "#�% # &&E�( %* ,�' �#!B! � +�!���!����C 1 &� HC��

��� ��� # ��*% B!+��% '��' ��' ��� ��� +!@,�C &&E�( % ����� ����� � � /�*# �#!1��3�*( �E��% #!1��� ��3��+!02�( &��� �*$�#! �,��C �3 +#!C��( 1 /������ ��*( ��� + �! �,��C �3 ,��( &!#!�� ���*( &#'%*(� "��� %* ��% #� %1 ������ ��* ���+� �! ,��( &!#!�� ���*( &#'%*( ����!%� �� . ,� e� �!���!'�� �*$#!���C &� ��C &#'%�C �, � @�� �*$#!��!' ���+!� &���%� & # (�,' �! ,#�/��0 &!#!�� ����0 &#'%�0 � ��(#!�'' 1�+��� �+�C �$(�, �� ( 3!���*( +#�@+��&&E�( %*� "#�% # �!+�C �#!1��3��C �E��% #!1�� �%��#� �! #���>� "#���* � �� /��� ��* �& #!1�� �+� C+�� �3% � ��' %!�)�!$! � #', ,#���( &�3���'0� ��#�������* &&E�( %*� ���� � ���0 �� # ,�� &�3���' � ,�+!3*�!�� ��2 �����!�� �#!1��3/�*( �E��% #!1�C ���*( �#!B���

q

�q

�q

�q

$q

��

q��

q��

q��

q��

q��

q

��

q

��q

��q

�%q

�$q

��q

��

q%

q�

q�

q�

q�

q

��

q

��q��

q

�%q��

q��

q��

q�$

'6 '' -( -- 2( 2-'3 '2 -, -7 2,', -6 -' 26 2'

'- -Q -3 2Q 2327

'7 -8 -2 28 22

- (

6 Q

2 3

8' ,

7����� 7#!1��3�!' �E��% #!1�' �#!B! � +�!���!����C 1 &� HC��

���� �������� �������������

�!+ �!3*�! %!' ��&�� 3! ��� �'E��1��! � ��%� ��� �� , # ��' �#!1��3�*� � /@�� � ����� %����( �$3�#�� 5�%� :-?� :L?� :;=?� :;-?� :>>?8� � +#��� �!+ �!3*�! %*(4���� ��*(4# 3����!��� ��������' � ,!���C # 3����!� ��,# ,! � 6!+� ' :>? � ��%���� �� , # ��' � � $�� � % >N � #)��!%� �% 0� �#!1��3��0 ��% #!1�0� 5�!�!%�% , � ��� �� :>-? &# ,&���@��� ��� K�n�� %�@ � $*�� #!3$�� �! >n R ; &�,/�#!B��� +!@,*C �3 +���#*( �3�%�#B � 3!,!���%� , # �� � n #�$#!%�� ��1�� &# ,/&���@��� ��� K�n�� %�@ � $*�� 1�+��� �+� #!3��@ � �! >nR ; &�,�#!B��� +!@,*C�3 +���#*( �3�%�#B � 3!,!���%� , # �� � n #�$#!%�� � ��! :>�? ,�+!3!�� ��� ����� , # ��' �#!1��3�*� �� ��&�� 3! ��� �'E��1��! � #�!�8 ��, #@!�� D���� &�,/#!3, �! ������� � �3��@ ��� ���# % ����� �����'��' D��C +�0� ��C ��&�� 3*�

Page 51: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ ��

����� ������ ��� ��� ���� ��������� ������� � ���������� ������������ ����� ���������� ��� ������ � !����� ���������� � ������� ���"� k����#������� � ������� ����� �$��������������� � ������� ���%� &�'�(��� �������#��� � ������� ���)� *����������������� � ������� ���+� �����'��� � k� �� ��# ������ � ������� ���,� -.���� ������������ � �������/� 0������� ������'�!$�� � ������� �/��� 1�!���� �(������ � ������'�!$��� ������� �/�/� 2�����(��� � ������� �/��� 3��'��� � ��������� 0������� (�(������ � ������� ����� 4�(���������������� � ������� ���/� k���!���� �(������ � ������� ����� 1�!���� �(����� ����(� ��� � ������� ���"�5���'�!$�� � �������"� ������� � ������� �"��� 1��!(�� � ����������!(�� � ������� �"�/�6����������������� � ������� �"��� � �� ��� � ��(���������! �� ������7��

����������

8�9 Jaromir Abrham and Anton Kotzig: Exponential lower bounds for the number ofgraceful numbering of snakes� Congressus Numerantium: �� � �,,;�: �%���)"�

8/9 R� E� L� Aldred and Brendan D� McKay: Gracefull and harmonious labelings oftrees� Bulletin of the ICA: �� ��,,+�: %,�)/�

8�9 M� Behzad: G� Chartrand and L� Lesniak�Foster: Graphs and digraphs�Wadsworth:Belmont: CA ��,),��

8"9 J� C� Bermond: Graceful graphs� radio antennae and French windmills� Res� NotesMath�: �� ��,),�: �+��)�

8�9 J� C� Bermond: A� Kotzig and J� Turgeon: On combinatorial problem of antennasin radioastronomy� Combinatorics: Keszthely �Hungary�: �,)%: Coll� Math� Soc�J�Bolyai �� ��,)+�: �����",�

8%9 V� N� Bhat�Nayak and S� K� Gokhale: Validity of Hebbare�s conjecture� Utilit�Math�:�� ��,+%�: ",��,�

8)9 G� S� Bloom: Numbered undirected graphs and their uses� A survey of a unifyingscienti�c and ingineering consept and its use in developing a theory of non�redundant� homometric sets relating to some ambiguities in X�ray di�ractionanalysis� Ph�D� Dissertation: Univ� Southern California ��,)���

8+9 G� S� Bloom: A chronology of the Ringel�Kotzig conjecture and the continuing questto call all trees graceful� Topics in Graph Theory� Annals of the New York Acad�Sci�: ��� ��,),�: �/����

8,9 G� S� Bloom and S� W� Golomb: Applications of numbered undirected graphs� Proc�of the IEEE: �� ��,))�: no� ": �%/��);�

8�;9 G� S� Bloom and S� W� Golomb: Numbered complete graphs� unusual rules� andassorted applications� Lect� Notes Math�: ��� ��,)+�: ���%��

Page 52: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�% ��������� ������

8��9 G� S� Bloom and D� F� Hsu: On graceful directed graphs� SIAM J� Algebr� DiscreteMethods� � ��,+��: no�": ��,���%�

8�/9 J� A� Bondy and U� S� R� Murty: Graph Theory with Applications� North�Holland:New York: Amsterdam: Oxford ��,)%��

8��9 H� J� Broersma and C� Hoede: Another equivalent of the graceful tree conjecture�ARS Combinatoria: �� ��,,,�: �+���,/�

8�"9 I� Cahit: Status of graceful tree conjecture in ���� Topics in Combinatorics andGraph Theory �ed� R�Bodendiek and R�Henn� Physica�Verlag: Heidelberg�� �,,;:�)���+"�

8��9 R� W� Frucht: Graceful numbering of wheels and related graphs� Annals of the NewYork Acad� Sci�: ��� ��,),�: /�,�//,�

8�%9 J� A� Gallian: A survey� recent results� conjectures and open problems in labelinggraphs� J� Graph Theory: �� ��,+"�: no� : ",���;"�

8�)9 J� A� Gallian: A guide to the graph labelings zoo� Discrete Appl� Math�: �� ��,,"�:no�/: /���//,�

8�+9 R� L� Graham and N� J �A� Sloane: On addittive bases and harmonious graphs�SIAM J� Algebr� Discrete Methods� � ��,+;�: no��: �+/�";"�

8�,9 S� W� Golomb: How to number a graph� Graph Theory and Computing� �ed�R� C� Read� Academic Press: New�York ��,)/�: /���)�

8/;9 D� F�Hsu and A� D� Keedwell:Generalised complete mapping� neo�elds� sequenceablegroups and block designs� I� Paci<c J� Math�: ��� ��,+"�: ��)���/�

8/�9 D� F�Hsu and A� D� Keedwell:Generalised complete mapping� neo�elds� sequenceablegroups and block designs� II� Paci<c J� Math�: ��� ��,+��: /,����/�

8//9 K� M� Koh: D� G� Rogers and T� Tan: A graceful aboretum� a survey of gracefultrees� Proc� of Franco�Southeast Asian Conference: Singapore ��,),�: /)+�/+)�

8/�9 K� M� Koh: D� G� Rogers: H� K� Teo and K� J� Yap: Graceful graphs� Some furtherresults and problems� Proc� ��th S� E� Conference on combinatorics: Graph theoryand Computing: Congressus Numerantium: �� ��,+;�: ��,��)��

8/"9 Gerhard Ringel: Problem �� Theory of graphs and its application: Proc� SymposiumSmolenice: �,%� �M� Fiedler: ed�� �Prague �,%"�: �%/�

8/�9 A� Rosa: On certain valuations of a graph� Th=eorie des graphes� Journeesinternationales d>etude: Rome: julet �,%%: Paris: Dunod? New�York: Gordon andBreach� ��,%)�: ��,��"��

8/%9 A� Rosa: Cyclic Steiner triple systems and labeling of triangular cacti� Scentia: ���,++�: +)�,��

8/)9 David A� Sheppard: The factorial representation of balanced labeled graphs� DiscreteMath�: �� ��,)%�: no� ": �),��++�

Page 53: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ �)

COMBINATORICS OF MAPPINGS

J� Ne@set@ril

We survey the recent research related to the combinatorial properties of the categoryof <nite graphs and all its homomorphisms �and: more generally: of <nite models of agiven type�� Particularly this includes extension properties and universality problems�We also consider concreteness as a combinatorial obstacle and its solution�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQJaroslav Ne@set@ril:Department of Applied Mathematics and DIMATIA Centre:Charles University: ��+ ;; Praha:nesetrilXkam�ms�mZ�cuni�cz

Page 54: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�+ ��������� ������

�-[5\ 0 ]04^5]4&\- _]`q�]-: �^13�{]|}q[4[�4q6^0]&q[ � -^6^~[� �^{]�q`]�q[� &[q�16]0&^�4[�

0�&�&�!$�

6�!!�(�� ��(!� ����!(� ����� $���'���� � (��(� !���� ����!�: !�!(������ !����� ! ����� � (��(� 5���: $����� �� $�(���� ���( �� ����� k � (������!�!(������ 0����� ��7� �(� ��� ����!��� � (��(� !� ��( ����!( � � �� ��r#��������� �$(��� �k � r � ����� ������ ��( ������� '�!���� ^��!��� �������#�� ���� ����� !��� S !�� S�� 1�� .(�� ��������� ����� ����� ������ ��������'�!(� B !��� S �������� �(!� !�� C: � �!(� ��!� '�!(� !��� �� ����(!������ S� ���( ����� ���� � ����� : '� !��� S �!� ��! ��$�� 1�������� ������� ���(!� ! ����� ��� '�(� !�� S�: ��� $�(���� ���� ����(� .77�$(� ��� ���#��� �� ������!(�$� ���!��� ��!(��: ����(�!� �������� ����(� !���: ���!��'�(� ������!(� ��!(���� �������� �� ������ !�!(����� �� ����

����� A

� �

x� xn

x� xn�w� � �

� �

h��

a� a� aq

� � �

� �

� �

����� C�

����� S�

����� A

� �

x� xn

� �

h��

a� a� aq

� � �

� �

� �

����� B

����� S

g �� g ��

� �b� bp

q!��� ��� !��� S�: ��� ������� ���������� !�!(�����: ��� ����'� $��!(��( ; ���������(������ ���� xn��� � � � � xn�w �� ������ a�� � � � � aq ������ �( ( �� � (��(#� � 7 �$��� �( ! ��� �!�� ��� ���� : '(� � !��� S� 0����� b�� � � � � bp !��� S �

�!����� �(!� ��� (�!(��� ���� !����^��� $��!! ��� !(��� ���!��� ��!(�� !��� S�� ] (��(� ! ����!( ����

� (����� !�!(����� � �� ���� �(� (�� ������� .����(�� � 1���������:'(� � ����� ������ ����!��� .����( !��� S��

1 !(� � Q(�� ������� .����( ! r ����� � � !(� v�� � � � � vr Q ������ ����!�.����(� �: �� $�(���� !��� �� ( ��!( ��(� ; � �� 1���!� v�� � � � � vr � �� �(�#���!( ��(� ! ���������� � �� �� ���������� 0 !��� S� �� ����� .����(�� ������ �(!� � �� � 7 �$��� ��v�� � � � � vr�: � ��� ��� ����� !��� ���!��� ��!(��.����( � ���( ��� ��(�(�!� .����( ��: ������ ���� ����� ���� � � �� 7 �$��� ���v�� � � � � vr��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ&�!$� 0�$(�� &�$���� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� �/#/�#,+: e#mail� noskovXmath�nsc�ru

Page 55: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ �,

1 !(� � Q ��(�� ������� � (��( ! r ����� � '�!�� !�!(����� k���� 0���!��� ��� !��� � (��( � ���( ��� ��(�(�!� ����� ������ � (��( �� ! (���� ����� � ������ ��7� �(��: '(� � � (��(� �: � �� ����� '� ! k���!�!(�������

1������: '(� '�!�� ���!��� ��� .����(� !��� C �� ����� ����� �������������� ��( �������� '�!�� m�

0 ��$���� ��!!�(�� ��(!� (�� �(��� ��������� ���� !��� S !�� S���a� 1��������(!� �(�� ��������� ����: ��� ������� ���!��'�(� ���� � $��#

(������������!(� '�!(� C !��� S�� &������ ��!���� �(�����!(� �Q �����d% � "rk��k� ln�/k�e: ���� �� $�(�� � �� ���� !��� S� � �������� ���$��� !��#�: ���(!� !(��� �(� �!��� �� �� !��� C� [!�� !��� C ���!��� ��: (� ������!(�(�'�� ��(����� $���(� ��� �!(� ! ���!��� ��� .����(���0 !� '�� �a� '�!�� ���� S� �� �� n� ��

�b� 1��������(!� ���7�$���� ��!!�(������� �a� �(��� ��������� ����: ��#���� �(�� ��!(������ !��� S�� 1�� .(� ��������� ���� '�!(� B d#$��(��� ����� ���� � ���� ����� ��$�(���� ��� ������ '�!(� ��� �����(!� !�� C� ��� S � ! ������ ��!���� �(�����!(� �Q ����: $�$ � !� '�� �a�: ���!��'�(���(���� � ������!(�$ '�!(� C� {��� (���: �!�� C ����$�� ���!��� ��!(� ��#������� $��!!�: (� ���� ����(�!� �!!(��� ����� ��� ������ ����(� '�!(� C ! ��#���� 7�$!��� ���� ���������� ���'���� �� ��$�(���� ������ ����!�� !��� S��2(� ���'���� ���������(!� �� ��� ��(�(� (�!(��� ���� !��� ! ������ ��!����# �(�����!(� �Q� 0 !� '�� �b� '�!�� ���� S� �� �� n�m�dlog� de�dlog� L�B�e���:��� L�B� Q '�!�� .����(� !��� B�

�c� 1 !(� S !��� N ��(�� ������� .����(� � 1���������: '(� '�!(� B!������( !� ��(�� ������� .����(� !��� S � �� ���� ����!� ��$���� ��(!�!��� ���� �������(������ ������'����� [!�� ����� ��(�� ������� .����( � ������!� ������(!� ����� ����� !�!(����� � �� ��� ���� �����(!� r#��������� �$(�� ! � �� �� $������(��: (� � !�������( ! �� !�!(������ 1�������� �(����������� ���� !��� S (�$ � !�� S�: '(� ! ������ ��!���� �(�����!(� �Q����� d%�"rk��k� ln�/k�e ���� �� (���$� ����� ��(� � ��$����� �(� ���!��� ��!(� '�!(� C: �� � ����(�!�: '(��� !��� S� �������� !��� ���� ! ��!( ���

� S� � ���(!� !����� ! ���� � (��(� ! n� " �����?� S� (�$� �: '(� �!�� �� '�!(� C �!��� ��: (��

�� ���$��� !��� S� �� ���� � ��!���� �(�����!(� �Q ���� $���(� ��!��#�� �(�����!(� �J ����� �� ������ kN : ��� ����� $�(���� �� ���� !���S� !��� �� �Q ���� ���( !�� S� ����� ������ ������� �������� � (������!�!(�����?

��� ����� ������'����� ���� ���� ��� !�!(����� !��� C �����(!� ������!�� � �R ����� �� ������ kN : ��� ��!( ������ $�(����� �� ���� !��� S�

!��� C ��������( �� !�!(����� �� !�!(����� ���

^(�(�: '(� ����� ��!���� �(�����!(�� �R � �J : �� ��� kN : Q �(��!�(������������� ���'���� ��� !�� ����� ��� ��� (�$�� �� ��� ���� C ���( ��(�kN !�!(������ � ��!( �( � (��(� ! kN !�!(������: !���� $�(���� �!(� (�$������ !�!(����� ���� ���: '(� ����� ����� ��!���� �(�����!(�: ���� ������ C ��!�!(����� �� !�!(����� ��: �� ���� kN � ��

Page 56: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

%; ��������� ������

0����� ����$�� $�'�!( � ������!(�$� � ���(!� ��(�����!(� ���!���� �!(� !��#�: ��� ��!������� �� ���!��� ��� .����(� ��� !��� S�: ��� '����� �����(���a�: �b� � �c�: �� ���$��� !��� S� �� ��!���� �(�����!(� �Q ���� $���(� !� �$ �#��!(� D (�$�� ������ .����(� !��� C: '(� $����� ����� !������( �� �����r � / .����(� !��� � !���� .(�� .����(� �!(� ���!��� ��� .����(� [!�� .��#��( � �� C ���!��� ��: (� D �!(� �����: !��������� �� 4�$� ������: ���'���r � / ���������( ��(�����!(� ������!(�$� ���!��� ��!(�� C�

0 �!�� � ��������� ����: ���!��'� ����� ������!(�$ !��: ����( !(��� $�!���������� $� (�(��� !���� {����� $� (�(�� ����(��( � � �������0 ��� � ����� $� (�(��� ��� ���( ��� �������� !������ �( ��$�(���� ! �#�� ���� $ ������ 2(�( ���� �!����� �(!� ��� 7 �$������� ���� !��� S�

��� ���!��'���� ������� ���� ����(� !��� S� 0� (��� ����� $� (�(����������( ���'���� ! ������ ����!� !��� S� ���� �� ���� ��$�(���� �� .��#��(� � 2(�( ���� �!����� �(!� ��� ������!(�$� !���� ^� ��� ����( ����(�!��� ������ !�� .����(� !��� C !����� �� �!��!(� ���'���� �� � �( �� ��:'(� ! �� �'����� ���!��'� ��( ������� �� ��� ��$�������� ���!��� ��!(�� $��(����� ��� '�!(� !����

^��!����� ��� ��(�(� '�!(�'�� �� ���$� ��� 8": �9� 0 8� � �9 �� ���$� ������ ��(�(�: ! ������� ! �������� ������!(�$� !�� �� 7 �$���������� .����#(� � ^�� ������� ��� ��(�(� �a� � �b��

6���(� ���������� 6��q �����$( N ,,#;�#;;�,�� � �������� �q�(�������������$( ")���

�q4[6]436]�� 0�&�&�!$� � ������!(�$� '�!(�� !�� �� 7 �$���������� .����(� �� ����� ��� �!!���� ��������� �,,"� 4: �: N �� C� %;#,%�/� 0�&�&�!$� � ^ ��������� ����� $������������ !��: �� ������ �������!(��� '�!(�� �� ��!$��(� ������ � �!!���� ��������� �,,%� 4� �: N /� �� �� # %���� 0�&�&�!$� � ^ �!!(��� ����� ��� ������ ����(� ���!��� ��� '�!(�� $�����#������� !�� �� ��!$��(� ������ � �!!���� ��������� ����� �� �,,)� 4� ": N"� ��")#)"�"� 0�&�&�!$� � ������!(�$� '�!(�� !�� � (��(��� ����!�� �� ��!$��(� ������� �!!���� ��������� ����� �� �,,,� 4� %: � �� �� ""#%"��� 0�&�&�!$� � ^ ��������� �����: �� ������ �������!(� '�!(�� !�� � (�#�(��� ����!�� �� ��!$��(��� ������ � �!!���� ���� ��������� ����� �� �,,,� 4�%: � �� �� �;#"��

Page 57: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ %�

5&^*^1]6]5[46q�[�{q� ]&]�q` ��^�&^�4q�q�{6[4&\- `]�]�

��0� �� �!(����

4���������� ������ !�����!(� ��!$��(��� ����' �! ��!( ���(!� �� !��� ����!���� 0������(!� ���� �� �����(�� : ����$(���� ���� ! $�$��#(� !(����� ���#� ����!� �!������ ��7������� �&������: ��� ����'� ���������� ��(����������!��!���� ��������� n ����( �� m ����� ������(!� '�!�� ����� 2(�( ��#���(� �������(!� �� ��� ���: � ����� ��� ���(!� ������ �� �!��!(� !�����!(�����'� �( ���'���� .(��� �����(��� �&������� ��� m � / ����'� ����������#�� �������: � ��� ���� m � � Q NP#(� ����� �� ��� �!!���� �(��� ��� ���(������ �� �!��!(� !�����!(� .(�� �� ����'� �( �� ���� �����(�� ��������: �('�!�� ����(�: (��(�� Q �( (��(����� 0 (� �� ��� �'� ����: '(� ������!( � ��!#!�(�� ���� ����' ���( �� ���� � �� � � �����(��: ! ��!( ���� ������� �� ����� � !�����!(� ������ ����'�� �(� �� �� ����!(� ��(� !���� ������ ���#��� !�����!(� ����'�: $���� '�!�� ���'��� �����(�� !(��� �(!� ����� � ��

5� ��������� !��� �� � !�� ���!( ��� 1 !(� x�� � � � � xn Q �����(�� ��#��'�: �������� $�'�!( � ���'���: xI � �x�� � � � � xn� Q ����$(���!(�'�!$�� �$(�� ����'� ��� ���� I� ��� ����� ������� �$(��� y � Rn ��������� $��!! ���� ����'� I�y� � fI jxI � yg � ����!(� D��y� � fx � Rn j ; � x � yg �D��y� � fx � Rn jx � yg� *� ���: '(� $��!! ���� I�y� � ��� ������ ������������ �������(: � ���(!� NP�� �����: �!�� ! ��!( �( ������������� ������(������ ����'� ��� ������ ���� I �� $��!!� I�y� ���� �� �� ! ��!( � ���� (�$���������(� !��� �( P � NP �� �!��: '(� �!�� $��!! I�y� ������������ ������:(� I�y�� ������������ ������ ��� ������ y� � D��y�� ���(��'��: �!�� I�y�� ���(!� NP�� ����: (� I�y�� � ���(!� NP�� ���� ��� ������ y� � D��y�� �!��(�$��: '(� �!�� �$(��� y� y� � Rn ��!�� ���: (� �� !�����!(� $��!!� I�y� ������!����(� � �� � !�����!(� $��!!� I�y��� � ���� n���������������� ������ � ��#��'� � ���� �� ���������� ������ !�!(�� �$(��� Y � fy�� � � � � yKg � Rn

���� ����!��� !�!(�� $��!!� fI�yi� j yi � Y g�: (�$�� '(� �������� !��� ����! ��!( ��

Q ��� $������ �$(��� yi � Y ���������� �����������!(� $��!!� I�yi� $ P ���NP �������'� YP � fyi � Y j I�yi� � Pg� YNP � fyi � Y j I�yi� � NPg�?

Q ! ��!( � � �� �� !�!(�� Y �����!( � !�� �$(��� y � Rn ��$�� ��(!� ����������� ����!( fD��yi� j yi �YP g � fD��yi� j yi � YNPg? (�$� ������: ��� ������ �$(��� y � Rn !�����!(�$��!!� I�y� ���$� ���������(!� �� !�����!(� ����!��� $��!!� I�yi�?

Q ! ��!( � ����!���� ��������� � � �$(��� yi� yj � YP ��!�� ���? ����� � � �$(��� yi� yj � YNP ��!�� ��#�?

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�� �!(���� ������ 0�!���� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� �:���!�� �$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;:(���� �+#�+�#/� ��#/�#+,: 7�$!� �+#�+�#/� ��#/�#,+: e#mail� sevaXmath�nsc�ru

Page 58: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

%/ ��������� ������

Q ! ��!( � ���� ��! ����! ����!��(������ yi � yj �� �������� �� ��� $�$�� yi � YNP � yj � YP �����'�� (�$���!��(������ !$���� ! ���(���!( �( �� ���$� ��$���(���!( �: '� � �(�$�����(!��� �� ��!( � P�NP��

�!��: '(� ����� 7�$!��� ����� ����� �����(�� ���������( �� ����������!� � !�!(� $��!!� : � '(� (�$�� !�!(�� !������( ��������� '�!�� ����!#��� $��!!� : ��!(�(�'��� ��� ����������� !�����!(� ������ $��!!� I�y�� y � Rn�

0 $�'�!( � ����!(����� (�$��� ������� ������� "#�����(��'�!$�� ������!�����!(� ��!$���$�� ��!$��(��� ����'� 0 '�!(��!(�: ��!!�(���� ����'� ����#������ ! ����� ������!����� ��!$��!$� ���� ���7� � ����'� ���������� $��(#'����� ��!��!���� ��������� n ����( �� m ����� !�!(�� open shop�

��� ��� �� ����'� $�'�!( � ���'��� �����(�� ������� (�� ���7� G ���#����� x� � ;: �!�� G Q ��!: � x� � � Q ���(� �� !� '���: �$!������� !(����� ����� ���7�: �$!������� ����!(� ������!���� ����� � �$!�����������!(� � �(� ������!������ &������ ����!��� !�!(��: !�!(����� �� + $��!!� �

��� (���� ����'� ������� ���'(�� ������ "#�����(��'�!$�� ������ �� �!�� � ����� !��� ���� �����(�� � '�!�� ����(: �$!������� '�!�� �������� ����(�:'�!�� ���: �$!������� '�!�� �������� �� ����� &������ ����!( � �� �%$��!!� : ��� $�(���� �� �!(��: '(� ��� !������( ����!� � !�!(� � ��� �" $��!!� !(��� ���� �� !�����!(�� ��� � � �!(� ��!� �!��(��'��� �� � �� � � ���" $��!!� � ����! �� �� !�����!(� �!(��!� �($��(�: ����$� ��$�����: '(� �!����� �$�� (!� ������������ ��������: (� ����!��� !�!(�� !������( !� �%��������� $��!!� : � �!�� � ��( ��$����� NP#�����(� �!���� $��!!� : (� ����!���!�!(�� !�!(��( �� �/ $��!!� � .(� !� '�� " NP#������ $��!!� ��� �% ���(�����(� �� ����!� � � ( ������� �(�!� � � �� � ��������� NP#������ $��!!��: �!���� �(�����: �� ��� ( ����!� � !�!(� �

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6��q �$�� ����$(� ,,#;�#;;%;���

Page 59: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��������� ������ %�

DEGENERATE EXTREMAL PROBLEMS

R� Faudree: M� Simonovits

Tur=an type degenerate extremal problems are considered �i�e� the determination ofthe Tur=an type extremal number ext�n�L� for a bipartite graph L�� For a bipartite graphL with a <xed /#coloring � and a positive integer k: let Lk�L��� denote the bipartitegraph obtained from L by adding a new vertex v along with vertex disjoint paths withk � � edges from v to each vertex in one of the color classes of L� Bounds �which canbe shown to be exact in some cases� on the extremal number ext�Lk�L���� in terms ofthe extremal number ext�n�L� are given� When the graph L is a tree: these bounds areshown to imply some classical results in Tur=an type degenerate extremal theory� Also:these bounds are applied to the asymmetric degenerate extremal problem ext�m�n�F �:which is the maximum number of edges in a bipartite graph with m and n vertices in thetwo parts respectively that contains no copy of F �

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQRalph Faudree:University of Memphis: Department of Math� Sci�:Memphis: TN �+��/:e#mail� rfaudreeXmemphis�edu

Mikl=os Simonovits:Mathematical Institute Hungarian Academy of Sciences:Budapest: Re=altanoda u� ��#��: H#�;�� Hungary

Page 60: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

%" ������ ���� ��� ������

^ 0^��4]&^0�[&qq �[&46q6^0]&&^� �3&{�qq

��0� ] � !(��� �': ]�|� 0�!���� �

6�!!�(�� ��(!� ���!( �(��������'��� 7 �$��� �� ������ n#������ ���#��'���� $ �� En� � �$��� ���� ��(!� ���(���� �����: �!�� ! � �� ���'���� �� ������ $������ ��� ���� !� � �� �� �������� ���(���� ����� 7 �$��� F (��# ������: �!�� F � ���n � ���

������� �� &�(�� ������� ���(���� ����� 7 �$��� ! ��!( �( ������ ��'�(��� n�

������� �� 1 !(� n ��'�(�� � v � En� � � ���'���� ���(���� �����7 �$��� F �� ������ En: �������� �( v �� ��!!(����� d: �� �� �!�( �( �����F � v: � �� �!�( ��� �( d � ���'���� F �v��

������� �� 1 !(� n ��'�(��� 0!� ���'���� ���(���� ����� 7 �$��� F�� ( ��(� �������'�� �!!(��� ���� �� �� ���'���� �� ������ � � !������!��� n#$ �� �!�!(����� �� ���� �!� �n� ���/ � �n� ���/��

���(���� ����� 7 �$��� � ���(!� �!(�!( ���� ��������� ����(�� !� ��#������ �n� ��#$���: � .(� ���������(!� ��(���! $ �� �� '�����

������� �� 1 !(� n ��'�(��: n ;: A Q ����!( � !�� ���� En �!��n � ���/: F Q ����� ������ ���(���� ����� 7 �$��� En � R� 4���� ��� ��������� x �� En �������(!�

F �x� �n����Xr��

krX

a�A �a�x�rF �x��

��� w Q �! x � kr� ; � r � �n� ���/ Q $�.77�����(�: �� �!���� (���$� �( n�w� ��!!(����� r�

] (���� ������ � ��� �� $�.77�����(� kr� ; � r � �n � ���/�6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� INTAS ����� ����(� ,)#�;;�� �

6��q ����� ����(� ;;#;�#;;+//��

�q4[6]436]

�� ] � !(��� �' ��0� ��,,�� #� $� � �! ��!� � !�������" $! ����" � $ ! ��!#$��(��� ������ � �!!���� ���� ��������� 4� /� N� ��: "�%�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ] � !(��� �' ������ 0������� �': 0�!���� � ]��!(�!�� |��� ��:q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� ��#/�#,+: e#mail� favgust:vasilangXmath�nsc�ru

Page 61: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ %�

WORDS AVOIDING ABELIAN INCLUSIONS

S� V� Avgustinovich: A� E� Frid

Let � � fa�� � � � � aqg be an alphabet and v � �� be a word� For each a � �: we denotethe number of occurrences of a to v by jvja� The vector P �v� � �jvja�� � � � � jvjaq� is calledthe commutative image of v? we say that P �u� � P �v� if juja � jvja for all a � ��

We call a word w � �� a f�l��abelian inclusion if w � uv: where P �u� � P �v� andjvj � juj� f�juj�� We call a function f �N � R avoidable if there exists an in<nite wordon a <nite alphabet which do not contain f�l�#abelian inclusions�

A ;#abelian inclusion is an abelian square? the problem of avoiding such squares wascompletely solved by V� Ker�anen 8/9 who found an in<nite word on the "#letter alphabetavoiding abelian squares� Abelian inclusions are just one of possible generalizations ofabelian squares? another generalization �commutative fractional powers� was studied byJ� Cassaigne and J� Currie 8�9�

Our <rst result is negative: and the second one is more optimistic�

Theorem � For any constant c� the function f�l� � cl is not avoidable�

Theorem � Every constant n is avoidable on the "�n� ���letter alphabet�

This research was supported by RFBR grant ,,#;�#;;��� and Federal Aim Program�Integration��

REFERENCES

�� J� Cassaigne: J� Currie ��,,,�: Words strongly avoiding fractional powers� Europ� J�of Combinatorics ��: no� +: )/��)�)�/� V� Ker�anen ��,,/�: Abelian squares are avoidable on % letters� In� ICALP>,/: Lect�Notes Comput� Sci� ���: Springer#Verlag: "���/�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQAvgustinovich Sergei V�: Frid Anna E�Sobolev Institute of Mathematics:pr� Academica Koptyuga ": Novosibirsk: %�;;,;: Russia:phone� �+#�+�#/� ��#/�#+,: fax� �+#�+�#/� ��#/�#,+: e#mail� favgust:fridgXmath�nsc�ru

Page 62: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

%% ������ ���� ��� ������

^ 1^�&^4[ �q�4[5 �3&{�q� &] {^&[�&\- 1^�36[~[4{]-

*�1�]������ : &�*�1�� �(�

����� ������� !�������� � ���(!� 7�� ���� $� ���������� � ��!(�(�'��� !�� ��: ��� $�(���� !�!(�� ���(����� 7 �$���: $��'����� !� �����!(������������ 7 �$���: � ���(!� ������ $��!!� $ ������(����� 7 �$��� �� ���#�� ������ $���'��� ������ ��� ���($�� &���!(����� ����������� !� 8�9�

1 !(� L �!(� $���'��� ������ ��� ���($�: Ln # �� n#� ��$��(� � !(�����: QL #����!( � !�� $ ������(����� 7 �$��� �� L� 0�!(� ! �(������ ������������� ����!( � QL !�� � ���(!� ������ ��� ���($��� 1������!( � G � QL

���� ��(!� � �� ������ : �!�� $����� 7 �$��� QL ������ �(!� 7�� ��� ���G�

��� �������!( � V � L !�� �!� ��!�(� inf V � : �!�� V ���( L (�'� ������� �����: � inf V � ���(� �� !� '��� [!�� � � a�a� � � � an� i � f�� � � � � ng �I � f�� � � � � ng: (� � !(� �8i9 � ai � �8I9 � fai � i � Ig� ��� $������ .����(� � Ln

'���� QL��� ������'� ����!( � !�� 7 �$��� QL: $�(���� !�������( n#�!(��������$�( p� � Ln � f;� �g: ������������ $�$

p���� � � � I � f�� � � � � ng�inf �8I9 � � inf �8I9 � � ��J � f�� � � � � ng�inf �8J 9 � � inf �8J 9 � �

1������!( � V � L ���� ��(!� � ���: �!�� �a � V v � V �inffa� vg � �? ������� ��(!� �&'���!�����: �!�� V � � inf V � � 0 ! ��!( ���� �������!( �V ���(!� .����( b: ���� ���� ��� �&'���!����� (������ �: ��� $�(����� �A �V �inf A � � inf�A � fbg� � �� 5����!( � !�� ! ��!( ����� V .����(� ������'��(!� E�V �� 1������!( � V ����� �&'���!��� �: �!�� �b� c � V �A �V �b � c � infA � � inf�A� fbg� � inf�A�fcg� � �� � ��!( ����� �������!( �:�� � ������!� !����� ! ��!( ����: ���� ��(!� ���� �&'���!������ 5����!( � !�� �!���� !����� � !���� ! ��!( ����� �������!( ��� ���($� L ������'��(!�S�L� � W �L� !��( �(!( �����

`�7�$!�� � �� L ��$�(���� �������� ������$ � ��� ������ �������!( � V �L '���� �V � ������'� ����� .����(� V : ��(�� �� ���� ��� � ����!����� .(� �����$�� 1 !(� �L � fQL��V �� � V � S�L�g � fQL��V �b� � V � W �L� � b �

E�V �g� 1 !(� ��$���� ML � T�L ! (� ����!( � !�� !��( �(!( ���� ���(����� �

�����!(��� ��������� 7 �$��� QL � F �ML�

����� � )������ F � T�L � ���� ���� � � ��� ���� H � �L�F �H � ��

6���(� ���������� ����(� 6��q ,+#;�#;;/++�

�q4[6]436]

�� *���+,���� !� ��!$��(��� � (��(� �� ��� ���($��� � 4�!$� q��# � 4�� �#(�: �,,�� � //) c�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ]������ *������� 1�(�� �': 4�!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:�15{: ��� ������ �%: 4�!$ %�";�;: 6�!!��:(���7�� ��+//�"�/+,�: e#mail� agibalovXfpmk�tsu�ru1�� �(� &�$���� *������ �': 4�!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:6��: ��� ������ �%: 4�!$ %�";�;: 6�!!��: (���7�� ��+//�"���;/

Page 63: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ %)

6]`�^�[&q� �1[�q]��&^*^ 0q�] _3�[0\- �3&{�q�

��*� ]��$!�����

0 (����� � �� �� 7 �$��� ������ ��(���! ����!(� ���( !��!��� ��!(�����������'��� (��� ��� ������� ����!( � 7 �$���: ������ ���� $��$��(� �� �� 7 �$���� 0 .(� !� '�� �$��� ��(!� �������� �� �!(��� (����� � ����# � 8�9: $�(���� ( ������(: '(� ����� ������ � �� � 7 �$��� !���� ���( ��(�����!(� ���� (���: ����� $�'�!( � ����� 7 �$��� ��� � ! ��!( ��� �� �� 7 �$���� q� �!(��� ���������� $�'�!( � ����� 7 �$��� �!����� �(���'�� ���� $�����$���: ���� ������$���: ���� ! �� �� �� /� 6���������:�!����� ���� �� ��� � �� � 7 �$���: (� '�!�� !��(��'�!$��: ����!(�(�'���� '���� 1�.(� �!(�!( ���� ���� �� �����(� $ ���������� �� �� �� � �� �7 �$���: �!����� �� !��(��'�!$��

1 !(� �x � �x�� ���� xk�: �y � �y�� ���� yt�: E � f;� �g: �� � ���� ���� �k�� �i � E�&������ !� ������� ���������� ����� ������ � �� �� 7 �$��� f��x� �y� ��

����� !��(��'�!$�� � �� �� 7 �$��� s��m� m � /k: ���������� ���'���� ���� �� ������� �; � ���

s��m�u�� u�� ���� um� � u�u����um � �u��u�����um�

������ 1���� ������ � �� � 7 �$��� f��x� �y� ����!(� �� ���

f��x� �y� � s��m�g����x� f��;� �y��� ���� g����x� f���� �y���

(���� � (���$� (����: $���� ��� ��$�(���� � �� �� 7 �$��� q��x� � ��� ������ �� � Ek

�������(!��g����x�w� � �w � x��� � x��� � ��� � x�kk � q��x��

���� �( �(�(�(�: '(� ����!(� ���( ��(���! ���!���� !�� ���������� �� !�!��(��'�!$� 7 �$����

�q4[6]436]

�� � ���� ^�_� +����� �������- .���� �� /� ��� &���!�-0'�" �������5�� q��# � 5*3: �,+��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ]��$!����� ������ *������� �':q�$ (!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(: �� _� ���: ��/�� $ ��"�: q�$ (!$: %%";�/: 6�!!��:(��� �+#�,�#/� /"#//#�;: 7�$! �+#�,�#/� /"#//#;�: e#mail� nikXmath�isu�ru

Page 64: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

%+ ������ ���� ��� ������

1^��[�^0]4[��&^�4q � ^*6]&q�[&q�5q &] ��q&\5]{�q5]��&\- �[6q�

0�]�]���$��

1�!���� �(�����!(�: !�!(� ������ �� !���� ���� ��(!� !������� ��!���� �(���#��!(�� ��1�� ����� �1 ���� ��(!� �$!������� �5��: �!�� .(�� �1 ��( ������������ !����� `���'� ���������� �!!��(�(�'�!$�� 7�� � ��� ����������� '�#!�� �1: !��������� 5� �������� ����� ��!!�(�� ���!� 0���*��'��� �: �,""?]��� {�� �� �: �,,)? ������ ���� �: �,,,�

0 ��!(����� ����(� ����(!� ����'� (�'���� ����������� '�!�� � ��'��� �1����� m: !���������� �� ���� ����� 5� � ��� ��� ��� ������ ����� s � ��m? ������ ����� 5� ������ ����� s � ��m? �� ���� ����� 5� ������ ����� s� � ��m� 5� � ��� ����� s� � ��m ����� �������: s� � s� � m�

1�� '��� ������ � ��� �����'��� ��� n#�'��� �1� 1��������(!� ������(� ����������� $����� ���� � �������� ���� � ��'��� �1 ! �������� ������ 5��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ]���$�� 0������ ]��$!�� �':q�!(�( ( �'�!��(������ �(��(�$� � �(��(�'�!$�� ���7���$� �^ 6]&�&� �!����!$: ����� ���(�� �:%: (����,#%�#/): fax��+�/��/#"/#�,

Page 65: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ %,

^ 5^}&^�4q 1[6[�[�[&q� �^0[6~[&&^*^ �0^q�&^*^ {^�]� k#5[6&^� *6]&�|

]�|� 0�!���� �

�� ������ � ��'�� $��� C ����� n ���� ��(!� (�$�� �������!( � ��#��!( � En !�� n#����� � ��'��� �$(��� : '(� ����!( � En ����� ��(!� ����� ���� !� � � �(��$� -������ ! ���(��� �� C� 5����!( � !�� ���� ��En: $�(���� 7�$!��� ��� ������ n� k $�������(: ���� ��(!� k#����� �������

[!�� �������!(� k ����� (�$� �: '(� k � �n � ���/: (� ����� !� �������$�� ����!�$��(!� ! ��� �� �� �� /k��n � �� ����� 8�: "9� ��� ������ ������������!(�� ������ ����(� !(��� �� ��(!� �(����$ ��( �������� ����: !� '�!���� $�(����� ������ �(!� $�$ ����!(� ����!�'���� ����� ������ �������!(� !��$�(��� !� ������ $����

��� ������ ��( �������� k ������'� '���� nk ������� � $��� � �����#��!(� �!� ������� $��� ! ��!( �( (���$� ��� n � /s � ��: $�(���� �� ����'� k�

nk � minf/s � �jk � /s � �g�

������ 1 !(� k � �n � ���/ � v � f;� �� � � � � /k��nk � ��g� 4���� ! ��!( �((�$�� !� ������� $�� ����� n: '(� ��$�(���� k#����� ����� n#$ �� !������(!��� �� v ���� .(��� $����

q!$��� !� ������� $�� !(���(!� ��� ����� $��!(� $��� 0�!���� � 8�9�6���� ����(�� 8/: �9 �!!���� ��!� ����! �(�!$���� ��� ������� $��� ������

�� n � � '�!��: ��������� �$!������� ����!(� ��� ����!�'���� ! ����������� ������ 7�$!��� ����� �������!(� k� ; � k � n� ��� $��� -����� .(�(����� ������: (�$�� �� ������ ��� ��$�(����� $��!!� !� ������� $��� � ^���$���� ����� ������� !� �������� $��� �!(��(!� �($��(� ���� .(�( ����!�

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6�!!��!$��� 7���� 7 �����(���#��� �!!���� ���� ����� ����(� ;;#;�#;;+//��

�q4[6]436]

�� 0�!���� |��� ��,%/� # ��,�&�� !�" �� �� &��� !����" � $�" 1������ $�#�����(�$�� 5�� &� $�� 0��� +: ��)#��,�/� Etzion T�: Vardy A� ��,,+� On Perfect Codes and Tilings� Problems and SolutionsSIAM J� Discrete Math� ��: no� /: /;�#//���� 1 ��(� ]�{� ��,)%� 1 ���&��&�� �� �� &��� !����" �n� ���� $ ! 5�(��� ��!#$��(���� ������� (����� $��� � !��� ��� �� '� (�� &� �!����!$� q�#( �(��#(�$� �^ ]& ���6: 0��� /,: ��#%;�"� Delsarte P� ��,)/� Bounds for unrestricted codes by linear programming Philips Res�Reports� V� /): /)/#/+,��� Wei V�K� Generalized Hamming weights for linear codes IEEE Trans� Inform� Theory��: �"�/#�"�+�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ0�!���� � ]��!(�!�� |��� ��:q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� �/#/�#,+: e#mail� vasilanXmath�nsc�ru

Page 66: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

); ������ ���� ��� ������

^ 6]`�^�[&qq _3�[0\- �3&{�q� 0 �3553 16^q`0[�[&q�^�4]4^�&\- �3&{�q�

����0���$ �� : 0�q�1��(����

1 !(�E � f;� �g: f�x�� ���� xn� Q � �� � 7 �$���: X�� ����Xs Q��$�(���� �������������!( � ��������� fx�� ���� xng: ��i � ��i�� ���� �is�: �ij � E: is � jXij: i � �� ���� s: f ��i

Xi

Q 7 �$���: ��� '����� �� f ���!(��� $�� $��!(��( ������ ��i �!(� �������������!( � Xi !��( �(!( �����

_ �� ��!!�(�� �(� ����!(� ����� � �� �� 7 �$��� ��� ! � ����� ���#��� �!(�(�'��� 7 �$����

f�X�� ����Xs� �X

���������s

a��������sf���X�� ��� � f ��s

Xsa��������s � E� ���

0 8�9 ��$�����: '(� ��� s � / .(� ���������� ������ ��� ����� 7 �$��� f �&�� ��$�����: '(� (�$�� ���������� � ���(!� ����!( ���� !�!�� $���'�!( ��������!( ����������

����� �� 6��������� ��� ��� 7�$!��� ���� s ���( �!(� ��� ����� � �� ��7 �$��� f�x�� ���� xn�: (���� � (���$� (����: $���� s � /�

{��� (���: ���������� �� 8�9 � ���(!� ����!( ���� � !��� ��� ���������� �� ��� ����� � �� �� 7 �$��� f�x�� ���� xn� ���( �!(� ����������

f�X��X�� �X

�������

a������g�f���X�

� f ���X��

(���� � (���$� (����: $���� g�y�� y�� � y� � y�: a������ � E�

�q4[6]436]

�� 0���$ �� ����: 1����� &�]� 2��� /���� �&��!�" 3&��.� ! �&��& �� ��!�$��� � ���!����" � $3&��.� � �� ��!$��(��� �(��(�$��� �,,��� �: � ��� ���/���/��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ0���$ �� ������ ������ �':q�$ (!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(: �� {�5��$!�: �: q�$ (!$: %%";;;: 6�!!��:(��� �+#�,�#/� /"#//#�;: 7�$! �+#�,�#/� /"#//#;�: e#mail� vinXmath�isu�ru

1��(���� 0������ q���$��(�� �':q�$ (!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(: �� {�5��$!�: �: q�$ (!$: %%";;;: 6�!!��:(��� �+#�,�#/� /"#//#�;: 7�$! �+#�,�#/� /"#//#;�: e#mail� vpXmath�isu�ru

Page 67: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ )�

^ �463{436[ 1^�&\- 5&^�[�40 ��^0

]�]�[ ��$�� : 0�&�

1 !(� S � A������!( � !�� ��7� �(� A � M�����!( � !�� : �� !������������!�� �� S� 5����!( � S ���� ��(!� ����� 8�9: �!�� M $���'��� 1����� S���� ��(!� ����� ����: �!�� S n X ������� ��� ������ X � S� ����� ����'� �����(� ����!( � !�� 8�9: ����� ����' ���!���� !(� $( �� !�� $���'��������� ����!( � ����$����� ! ��� ! .(� ����!� ��!$���$� ���$� ���(��(� �����'�� ����!(�� ������ ����� ����� ����!( � 0 '�!(��!(�: ���� ��:'(� f�k� n� � max�j S� j���j S� j� � const: ��� k �j A j: � �$!� ����(!� �� !������ ����� ���� S� � An � S� � An� ���� ��� f�/� n� ���( �!(�

4������ f�/� n� � ��" � �n: ��� �n � ; ��� n���{�$ �(�'��� 8�:/9: ����' ����� �� '�(� �� ���7�� ����$��(�� !�� : ��� (�$���� ���� ���7�� �� _������ 0 ����(��'�!$�� (���������� ����� ����!( ��( �'��( ������� $��( �� .(�� ���7��� 0 8�9 ������� ��������� ����!(������� ����!( S � An: � ��� ������� �� (����� !��� �( �� ������ ����$��$!�������� ����� ������ ������� ���7� �� _������6���(� ���������� ����(� 6��q ,,#;�#;;����

�q4[6]436]

�� ]�]�[ ��$�� ��,+�� � ���� �� /���!� �� ! � �" ���� !�� "��������������0 $��� 5�(��� ��!$��(���� ������� �!!���� ���� .$!(�������� !(� $( �� &� �#!����!$: �,+�: ��� �,: !� )#�,�/� ]�]�[ ��$�� : 0�]�{����� ��,),� 4�$��� � �� �� �� /���!� �� ! //#� ������ '��#(���� $��7� �� ]���1��� �� 4��� ��$�� &� �!����!$: �;�#�;)��� J�Mykkeltveit ��,)/� A Proof of Golomb�s Conjecture for the de Bruijn Graph� J� ofCombin� T� Ser� B: v� ��: N� �: ";#"��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ[ ��$�� ]��$!���� ]����� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� �/#/�#,+: e#mail� evdok Xmath�nsc�ru

&� 0������:q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� �/#/�#,+: e#mail� nyu Xmath�nsc�ru

Page 68: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

)/ ������ ���� ��� ������

AN ALGORITHM FOR GENERATING ALL EXTENSIONS OF AN ORDERED SET

R� C� Correa: J� L� Szwarc<ter

Let E be a set of elements and E� � E � E� An order on E is a relation P � E�:which is re�exive: anti#symmetric and transitive� An extension of P is an order P � on Esatisfying P � � P � In special: if every pair of elements of E is related in P � then P � isa linear extension of P� Algorithms for generating the linear extensions of an order havebeen described in 8�#"9� In the present work: we consider the problem of enumerating allthe extensions: of any kind: of an order� We describe an algorithm which enumerates allthe extensions of P in amortized time O�jP j�: per extension�

This research has been partially supported by the Conselho Nacional de Desenvolvi#mento Cient=�<co e Tecnol=ogico �CNPq� and by the Funda�c�ao de Amparo �a Pesquisa doEstado do Rio de Janeiro �FAPERJ�: Brasil�

REFERENCES

�� A� D� Kalvin and Y� L� Varol: On the generation of topological sortings: Journal ofAlgorithms � ��,+��: ��;#�%/�/� D� E� Knuth and J� L� Szwarc<ter: A structured program to generate all topologicalsorting arrangements: Information Processing Letters � ��,)"�: ���#��)��� G� Pruesse and F� Ruskey: Generating linear extensions fast: SIAM Journal on Com�puting �� ��,,"�: �)�#�+%�"� Y� L� Varol and D� Rotem: An algorithm to generate all topological sorting arrange#ments: Computer Journal �� ��,+��: +�#+"�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQCorr�ea Ricardo C�: Universidade Federal do Cear=a:Campus do Pici: Bloco ,�;: CEP %;"��#)%;: Fortaleza: CE: Brasilphone ���#+�� /++,""": fax ���#+�� /++,+"�: e#mail� correaXlia�ufc�br

Szwarc<ter Jayme Luiz: Universidade Federal do Rio de Janeiro:Caixa postal /�/": CEP /;;;�#,);: Rio de Janeiro: RJ: Brasilphone ���#/�� �,+�/"): fax ���#/�� �,+���%: e#mail� jaymeXnce�ufrj�br

Page 69: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ )�

�q��^ �1[�q]��&\- 5^&^4^&&\- _3�[0\-�3&{�q� q �4[{^0\[ �q��46\

]���{�� �� : q�~ �� �'

1 !(� M �n� ������'��( ����!( � ���(����� � �� �� 7 �$��� �( n ������#��� � En�k� ; � k � n: �!(� !� �$ ���!(� ���� ������� � n#���� �����'��$ �� En: ������ �! k� �����: !� '�� '�(��� n ����!( � 7 �$��� �� M �n�: !������� ������� $�(���� ������(!� En�n����� En�� � En�n����: ������'��(!� '����M� �n�� 0 8�9 ��$�����: '(� jM��n�j �M�n�j�

5� ��!!�(�� �� (���$� (�$�� 7 �$��� f � M� �n�: '(� ����!( � ������������ 7 �$��� f En�n���� � ����!( � ������ � ��� En�n���� ��!�����(!��� ����.����(��� � � �.����(��� ! ��$� �.(� ����(�� ����� 8�9� � '�!��� �.����(��� ! ���$ $���� (�$� ����!( � �� ��� �!����( n�� 5����!( �(�$�� 7 �$��� ������'��(!� '���� M�

� �n��1 !(�M�

� �n� r� z� v� ������'��( ����!( � 7 �$��� f �M�� �n� (�$��: '(� f ���(

r ������ ������ En�n����: v ������ � ��� En�n���� � 7 �$��� f �� �� � �� r������� �� En�n���

4[^6[5]� �&��� n ���� � r � r� � k� z � z� � u� v � v� � t� ,$�

r� � v� �

��n

n�/ � �

�/�n����

�� z� �

��/

�n

n�/

���

5 ,$� ��� �0��" k� u� t� ,$� jkj � n/n��� juj � n/n��� jtj � n/n��� � n��

���M�� �n� r� z� v�

��� �vuuuuut

/n��

���

nn�/

�� jM �n�j exp

�BBBB�� /n���n

n�/ � �

� �k� � t���

/u��n

n�/

�CCCCA �

]������'��� �!��(�(�$� !(��� ���� ��� '�!�� 7 �$��� !� '�� ��'�(��� n�1�� '����� �!��(�(�$� �!����� �(!� ��� �� ����� !(�(�!(�'�!$�� ! ��!( !(�#$� �� 7���(�� 8/9� 6���(� ���������� 6��q �����$( N ,,#;�#;;���� � ��������

�q�(�������������$( ")���

�q4[6]436]�� ]���{�� �� � ^ '�!�� ���(����� � �� �� 7 �$���� 1������ $������(�$�:5�!$ �� &� $�: �,+�: ��� �+� �� �#�;+�/� P� Wendt: E� Coyle: and N� Gallagher� Stack Filters� IEEE Transactions on Acoustics:Speech: and Signal Processing: �,+%: Vol� �"� P� +,+#,���QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{�� �� ]��$!�� ��(��� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� �/#/�#,+: e#mail� korshunXmath�nsc�ru

Shmulevich Ilya:P�O� Box ���: Tampere University of Technology: ���;� Tampere: Finland:e#mail� ilyaXcs�tut�<

Page 70: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

)" ������ ���� ��� ������

Z�#�q&[�&\[ �^0[6~[&&\[ {^�\

����{��(�

������� $��� ����� m ��� Z� ���� ��(!� ����!( � C � Zm� !�� �����

m ��7� �(� f;� �� /� �g: ��$� (�� �(��!�(����� �������� !������� �� �� �� "�`���� !� ��� ;: �: /: � �� � ��'��� !�� � ;;: ;�: ��: �; !��( �(!( ����: $�� C !�#��!(� � � ��'��� $�� g�C� ����� /m� {�� g�C�: � (�$�� ����� $��: $�(���� ������� '�(� �� ���� ����!(��� $�� $�������(: ���� ��(!� Z�#�������� 6�!������!� ������ � ��'�� $��� ����� /k ! ��!!(����� ": ��� �/k� /�

k�k��� "�#$������� ��(!� ����!( � C � ��'��� !�� ����� /k (�$��: '(� jCj � /�

k�k�� � ������ � �����'��� !�� � �� C �����'��(!� �� $������ ��� '�(���� $�������(��� 0 8�9��$�����: '(� �������� �/k� /�

k�k��� "�#$�� -����� � ���(!� Z�#������� (���$���� k � " � ��� ���� ��( ������ k ! ��!( �( Z�#�������� �/k� /�

k�k��� "�#$���1 !(� k�: k� � ���(����(������ ����� '�!��: Ak��k� � �(���� ������ �k�� k��

���/�k��k� : !�!(� ������ �� !� ������� !(����� : $�(���� ��� �� .����( �� ���: ��!������ k� .����(� ����������( f;� /g: �!(������ k� .����(� ����������(f;� �� /� �g� 1 !(� Ck� �k� � fx � Z��k��k�

� � Ak��k�xT � ; mod "g: ��� ; � !(����� ��� ����

������ a6 7! ���� � $ g�Ck��k�� -!�-���- Z������ ����/k� /�

k�k��� "��� $ �� ,$� k � /k� � k� � �8b6 ���� /k�� k� � /l�� l� � � � �k�� k�� � �l�� l��� � � $� g�Ck��k��� g�Cl��l�� ��(�!�!��������8c6 �0� Z������ �� �/k� /�

k�k��� "��� $ (�!�!������� ��� � � �& � $& g�Ck��k���,$� /k� � k� � � � k�

�� ���� ��� �0� � .�� � k � " �&'���!&�� � !� 8�k � ���/9 ��(�!�!��������" Z������ ��" �/k� /�

k�k��� "��� $ !�6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6��q �$�� ����$(� ;;#;�#;;+//��

�q4[6]436]

�� A�R� Hammons: Jr: P�V� Kumar: A�R� Calderbank: N� J�A� Sloane: P� Sol=e ��,,"�The Z��linearity of Kerdock� Preparata� Goethals� and related codes� IEEE Trans� Inform�Theory� V� ";: N /� P� �;�#��,�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{��(� ����! �(���!�� � �':q�!(�( ( 5�(��(�$� �� ���������� �:��#$( {��(��� ": &� �!����!$ %�;;,;: 6�!!���e#mail� dkrotovXmail�ru

Page 71: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ )�

{^5_q&]4^6&\[ 1^�q&^5\ 6]`_q[&q�0 ^_^_}[&&^� 1q6]5q�[ 1]�{]��

^�0�{ ����

0 ����(� ��!!�(�� ��(!� ���������� ������� 1�!$��� 8�9 Q (���������� ����#�������� �!!� : .����(� $�(����� �� ��( ����( ��$ ����(�� !��(������

V �n� k� l� � �n�k���lV �n � �� k � �� l� � �n�k�l��V �n� �� k� l� �� � n�k�lV �n � �� k� l�

��� V �;� ;� ;� � V�?V �n� k� l� � ;� �!�� min�n� k� l� n� k � l� � ;�1�� �����'��� !��!���� ������� '�!������ ���'���� �n�k�l� �n�k�l� � n�k�l: !����:

�� !����(�� � ������ ������� ��� '�� (�� ������$� '�!�� �����'���� $���#��(������ (��$� �����

[!�� ��� �n�k�l� �n�k�l� � n�k�l �����(� �� (���$� '�!��: �� � �����(���: ���!( �#��� �� .����(� ��������� ���!(���!( � ������� �( ��������� t ! ���!( �(���#��� $�.77�����(��: (� !�'����� ������� ��� '�� (�� ������$� �����'���$�����(����� 7 �$��� ��������� t�

1��������� ��'�(�� � (��� 8/#"9 �� '���� ������� _����: 1��(��� �: 4 #���: ���� ��� � � ���: $�(���� �� ( ��(� ���������� ��� ����� �����������( ������� '�!��� &������ �����'��� ��$ ����(��� !��(������ � �������(���������(� ��!(������ � ������� ��������� ���� .����(� : !�!(� ������ (��# ������$� ��!!�(�� ���� ������� : � (�$�� ��������� ��� ����'�!��(��������(�����(���� �����'�!����� ! �!��� � ��! ����(!� ��$�(���� ����(��!(��������������

�q4[6]436]

�� ^�0�{ ���� ��,,)� 9�� � ��� � ������ ���� ����� ! � �'��� ������$�������-� ]!��(�(�'�!$�� � ����'�!��(������ ����'� $�����(������ ��������q�$ (!$� q�$ (� �#(: ,;��;;�/� O�V�Kuzmin ��,,"� Recurrence relations and enumerative interpretations of somecombinatorial numbers and polynomials� Discrete Mathematics and Applications� �: �": �/,���,��� ^�0�{ ���� ��,,/� � ��� ���� � �'����" +� � :�� ��� � ! ! �� �������!� � ���/��� � 5�(��� ��!$��(���� ������� (����� ���7� � !�����!(�� ��: %%�)%�"� ^�0�{ ����: ^�0������ � ��,,,� � ��� �� 5&���� � �� �!��� �� , ��������^�(�������: ��� �����: ��(����$(�� q�$ (!$� q��43 �^ 6]&� �: /�+�//)�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{ ���� ^��� 0�$(��� �':q�!(�( ( �(��(�$� � .$����$� q*3: ��{�5��$!� �: q�$ (!$: %%";;�: 6�!!��:(��� �+#�,�#/� /"#//#/+: 7�$! �+#�,�#/� /"#�,#%�: e#mail� quzXirk�ru

Page 72: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

)% ������ ���� ��� ������

5[4^� 1^�46^[&q� {^&46^��&^*^ 2{�1[6q5[&4] ���&[�[4[65q&q6^0]&&^*^ ]04^5]4]

q�_� { 7��� �

0 (����� .$!������(� ! $���'��� � (��(�� (���������� ��!!�(�� ��(!�����'� ��!(������ ����!( � ������ ��!���� �(�����!(��: �����'������ �����#��� ��(������� ����� � (��( �( !�� ��.$ � ����(��� � ��(������� ������ (��(� ! ������� '�!�� !�!(����� 8�9� 0 ��!������ ��� ����! ��(���! $����(������� ���� � (��(� � ��!(������ �������� ����!( ��� ����

1�� � ������ ���.������� ��$��������� !����� �!� ��� � ������(!� ��#(��$� A � �S�X� Y� h� s��: ��� S � ����!( � !�!(�����: s� � ��'������ !�!(��#���: X � Y � ������ � ������� ��7� �(�: h � �(������ �������� # ����� :h � S � X � S � Y� ] (��( A ���� ��(!� $��������� !�����: �!�� ��� !���s� x� � S�X �������(!� j�s�� y� � �s� x� s�� y� � hj � �� ;��� � � (��(� ���� ��(!�����!( � !�� ������ ��� � ����# ������� ��!���� �(�����!(��� ] (��(�(�!�!�������: �!�� �� ���$� �� ��� A (��( B � ���(!� ��$&�.�� � (��(� A:�!�� ���$ B � ���(!� �������!( � ���$� A� ] (��(� A � B s���� !�������:�!�� �� ���� ��(������� ����� � (��( �� � ���(!� ��� $���� � (��(� A � B���� �������

����� 8/9� 1 !(� A � �S�X� Y� h� s�� � ����(������� ����� ����������� (��( ! ������� s#��!� �!(��� !�!(������: V � X� � ����!( � ��!���� �#(�����!(��: ���� ������ � (��( A ������� ������!�$�����!� ����!( � !�!(�#����: � W � ����������� ����$(���!(�'�!$�� ����!( ��� !�!(����� � (��(� A�4���� ����!( � V Pref�Xm�jV j���W �(��'��( �( � (��(� A !� � (��(� �������'� ! m !�!(������: �� � ������!� ��� $���� A�

������ (����� � ���(!� ��������� �� �!(���� �(��� 8�9 ��!(������ $��(����#���� .$!������(� ��� ��(������� ������ � (��(� �� !� '�� ����(������� ��#���� � (��(��

�q4[6]436]

�� 0�!��� !$�� 5�1� ^ ��!����� ���� ���!��� ��!(� � (��(� �� {������(�$�� ��,)�: N "� � �� ,�#�;+�/� { 7��� � q�_� 1�������� ����(������� ����� � (��(� ����'�� !��(������ ������� (�!(� ��� !�!(� ����'�!$��� ��� ������ ] (���7���( ��!!��(������ !��!$���� '���� !(����� $������(� (����'�!$�� �� $� � 4�!$: /;;;� � /� !�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{ 7��� � q���� _���!� ��:4�!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:%�";�;: 4�!$: ��� ������ �%:(���� ��+//� "�#�,#+": e#mail� ireneXmolsoft�gpb�tomsknet�ru�

Page 73: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ ))

^ {6q4[6qq &[�q�4[5]4q�&^�4q �^0[6~[&&\- �0^q�&\- {^�^0

�� ]� 5������

�� ������� $�� C � f;� �gn ����� n � /k � � ���� ��(!� ���������������:�!�� ! ��!( �( k#.����(��� �������!( � K � f�� � � � � ng (�$��: '(� ����� � ����� ��� �$(��� u�v � C �����'��(!� ��(� �� ����� $�������(� ! ����� �������������� K� 0 ���(� �� !� '��: $�� C ���� ��(!� ������������������q� �!(��: '(� $�� -����� Hn Q !�!(��(�'�!$��: �� �� ����� ����� !(��� �#���! � ! ��!( � ���� ��!�!(��(�'�!$�� ���������� !� ������� $��� � 4�$��$��� ����� n � /�� ���� ��� �� ��!(����� 8�9 !� ���� i#$������( $��� Hn

��� i: ���������� !� ���'���� �� f�� � � � � ng� 0 8/9 ���������� ���7�$���� $��#!(� $��� 8�9: ��� ������� !(���(� (�$�� $��� ��� !�� n � %�� ��� n � ��� ����!�!(��(�'�!$�� $��� ���� ������� ! ������ $���(��� 8/:�9�

0 ��!(����� ����(� ��� '�� $��(����: ! ������ $�(����� ���� !(��� ��# �(� !�!(��(�'��!(� ��� ��!�!(��(�'��!(� ���$��� $��!!� ���������� $��� ��� ��������� $����(����� �'�!������ `���'� ��!(������ ��!�!(��(�'�!$��$��� ! ���(!� $ ����'� ����'�!����� ��!�!(��(�'�!$�� ����( ���!(���!( � f;� �gn

�(��!�(����� �� ��� !�� ����!(��� �'��� � (���7��� $��� -������ ^(!���!��� �( '�!(��!(�: '(� ��������� '�!�� $������(: $�(���� ��������� !� �#� (� $��� Hn ��� ��!(������ ��!�!(��(�'�!$��� $���: �� �� !��� 2(� ��� ��(�#(� ���( �( �(� �� ��� ����!� : ��!(� ������ 8/9�

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6�!!��!$��� 7���� 7 �����(���#��� �!!���� ���� �$�� ����$(� ,,#;�#;;���� � ����������� ���� �� ������� �q�#(�������� �$�� ����$(� ,)#")���

�q4[6]436]

�� ] � !(��� �' �� 0�: ���� �� � �� q� ��,,%� # ����������������" � !�������"$! ����" � $�" �� 1������ ������'� ��7������: (� �/: ��� �: ")��;�

/� Phelps K� T�: LeVan M� J� ��,,,� Nonsystematic perfect codes �� SIAM J� DiscreteMath: v� �/: no� �: /)��"�

�� 6���� ]� 5� ��,,)� # ����������������" � !�������" � $�" $���� �� ����!$��(� ������ � �!!���� ��������� ���� �: (� ": N ": )��)+�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ5������ ������ ]�(��� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� �� �� ������ � �^ 6]&:��� ]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� ��#;%#�/: e#mail malXmath�nsc�ru

Page 74: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

)+ ������ ���� ��� ������

{6q4[6q� &[1[6[�[{][5^�4q {^51^&[&4 �q&[�&^*^�^0[6~[&&^*^ �0^q�&^*^ {^�]

��]�5������: ]�5�6����

0 n#���� �$���� ���!(���!( � En ��� ���� *�� � GF �/� ��!!�(�� ��#������ !� ������� $�� H ����� n: ��� .(� n � /k � �� k � "� 1 !(� Ri Q������!(���!( �: ����������� �$(���� �!� � $��� H ! �����'��� i#$�������(��������� $��!!� Ri � u �u � H� ���� ��(!� � �� ������� $��� H� {������(���� ���($� $��� ���� �($��(� |��� 0�!���� � � ���( ���$�� ������������ ��!(������ �� �� !� ������� $��� : �!��� ������ ��� ���$ � 0 $��� H��!!�(�� �$(�� h: ��� $�(����� ��!�(��� supp�h� �!(� �k � /�#����� ���!$�!(�PGk���/�� ����� H�h� ������'� ����!( � !�� �$(��� u � H: ��� $�(����supp�u� � supp�h�: � '���� STS�H� Q !�!(� (���$ ~(������: !��( �(!( �� � �$(��� �!� � $��� H�

����� � 7�- �0��" i� j �� supp�h� � u�v � H�h� � �� ����� Ri � u� Rj � v ����������0��- � ,$� � � ��� � ,$�� � ,$� u� v �� Rk �H�h�� ,$� k ���$��-���-�� &�� !�- fi� j� kg � STS�H��

q� ��� �������� �� $��(���� !��� �( ��!(�(�'��� ������$ ������!�$���!(�$������(: ��� '����� 8�9: � $�(����: $�$ !(��� ���� 8/9: � ���(!� $��(���#� ��� ��� n � ���

�q4[6]436]

�� ]�5�6���� ��,,)� # � ��� ���� � !�������" ������ ��" $! ����" � $ ! ���!����� ���! � !� ��!$��(� ������ � �!!���� ��������� ����� �� �: N �: "%#�/�/� ��]�5������ ��,,,� # ������������ � !�������" $! ����" � $ ! $���� ��� ��!#$��(� ������ � �!!���� ��������� ����� /� �: N /: "+#)��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�5������ ������ ]�(��� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(����+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� ��#/�#,+: e#mail� malXmath�nsc�ru

6���� ]��$!���� 5������ �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(����+#�+/#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� ��#/�#,+: e#mail� romXmath�nsc�ru

Page 75: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ ),

�q&4[` �]5^16^0[6�[5^*^ {^5_q&]�q^&&^*^�[4[{4^6] �m�n� � {^�^0

]� |� 5�(��!� �: {� 0� &�$�(��

1�� ���!��'���� !����� �����!(� ��!$��(��� !(���!( ����� ���� �( �#��(!� ��(�$(���: ���������� �� ������ !(���!( � 0 �(��'�� �( ��(�$(��� :������ ��� ��!���� �(������ !����: $������������ ��(�$(��� !��������� #�( � ���!��� ��!(� ���( �� ���� ����� �� ������ ��!$��(���� !(���!( ��

1��������(!� ���������� !����� ������� $������������� ��(�$(���: !���#��!(� $�(����� �� �!�( �( ����� n �� �� �!���� $���� 6��������� �����(��� ����� FPGA �Field of Programmable Gate Arrays� (��������� 8Xilinx: �The ProgrammableLogic�: Data Book: �,,%9� ��(�$(�� ������ �( !� �m�n� � $���: ���� �� �������#!( �: ��!(������ �� ������ ��� ������� !(���!( ��

1���!(� � 7 �$��� f : ������ � � ��(�$(���: ��� �&�� ^�����'� ��'���� Dm

n � k� � k� � � � � � kCmn� ����� � � $�����$��� ki� kj �� Dm

n �� ��!�� ��(�#�������� �� ���� '� �� � ���������

1���!(� � .( 7 �$��� f 7�� ��� A ��� ����!( � 7 �$��� ����Dgp�X

r�:���'� p � k� r � n�Xr � X� `��!� k � '�!�� ���� CLB#!��: �!����� ��� FPGA#(���������� ��� .(��� ������� ��������� ����!( � X �&� Dm

n �� � ��������!( � X� � fx�� � � � � xkg�X� � fxk��� � � � � xng�

������ Dmn �

i�j�m

Dik�X

��Djn�k�X

��� i � f;� �� � � � � kg� j � f;� �� � � � � n� kg�

5����$��(�� ������� (���� $ $�.77�����(� ����������: �� �!��� �����'� �( k ���������: ��� '� 7�� � A�

0 !��� ��(�$(��� � �� ��!!�(�� �(� ���!��� ��!(� !��� ����� ���� 0�#��� ��: �����'��� $��!(��(��� ���!��� ��!(� �� ����� ����!�� CLB: ��(������'��� $��!(��(��� ���!��� ��!(� �� ����� !��� �: ��$����: ���!��� ��!(�:! ������� ! �������� ������ ������ 7 �$���: ������ ��� ���� �� CLB !����[!�� CLB ������ �( � � 7 �$���: (� (���� 7 �$��� �!��� ��� 0!� .(� ���!��� #��!(� ����� �( ����!( � V �

6���'�� ����!(�� 7 �$������� ���� !��� ��(�$(��� � ���(!� �������!( �M �n�m�#$��� : ��!(������ �� ������ ��� ������� ��!$��(���� ��� ������� !(���!( �� &� !� ���!��� ��!(� �� V �� ( ���� ��(�!� M � ��� !$��(!� ��$��#����� �� ����� ����� ������� ���� ���!��� ��!(� �� V � 1����� !����� �����!(�!��� ��� ������ !(���!( �#��(�$(�� ��!(����(!� ���!(� � ����� ���� !��#� C: ������ ���� A�

��$��� ��(!�: '(� ����� ���!��� ��!(� �� V ����� ��� ����'�� ����!(� ���# ������� ��!$��(���� !(���!( ��

1��������(!� ����$� ����������� '�!�� CLB �������������: '(� m � n� � n

k

� ����� '�!���QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ5�(��!� � ]����� |��� ��:4�!$�� *�! ���!( ����� 3�� ��!�(�(:%�";�; �� 4�!$: ������ �%: e#mail� mauXfpmk�tsu�ru&�$�(�� {��!(��(�� 0������� �':4�!$�� *�! ���!( ����� 3�� ��!�(�(:e#mail� nikitinXfpmk�tsu�ru

Page 76: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

+; ������ ���� ��� ������

�6]0&[&q[ ��^�&^�4q 5[4^�^0 1^�3�[&q� 6]0&^0[6^�4&\- q&[`]0q�q5\- _q4 q` ��3�]�&\- 1^��[�^0]4[��&^�4[�

[� 1� M�'�$���

1������ ��� '���� �� �� ����(��� � ���� �!��� ������ ��( �� !� '�������!���� �(�����!(�� ! ����� ����� ���$�� ����(�'��!(�� !(��( ���(�� ���#��� ����� �(�'�!( ����� � ��� ������ �!!���� �(����� 0��� �� ������ .(������'� ���� ���������� ��� 7�� &����� �,�� �� 0!� ��!!�(�� ���� �#(��� �������� �( ���$ x�� � � � � xn �!������ � ��'��� ��!���� �(�����!(�: �������#��� ��$�(��� ���� ���� !$� �!(�'��$�: !(��$ � ��'��� !� ��� �����

k� q���(�'��!(�� �(��� ���� ��(!� ���'��� r � sup��p��

�h�p�� Ex������xn

kn

�� ���

h�p� � ��p log p� ��� p� log��� p�� � .�(����� �!������ ��!���� �(�����!(�� _ ������� �(� !�����!(� �(��� � � ����$(���!(�$��: �� �!���� �( ����(�'��#!(�� ����� �!����� ��� ���(� � ��(��� � �����: ��(��'� ��� �� $���#�� ���� ������ !� ��� �!������ ��!���� �(�����!(�: ������� ��������� ���������(� �� !�� ���

0 �,)/ �� 1� 2����! ��������� ���'��� �(�� ��� '���� ���� ���'��: $�(����

� ���(!� ��������� �(��� 7�� &�����: ! ����(�'��!(�� rn � O� �n�� ^���$�:

(��� ��� ����� ���(� ��!(�( $�$ /n: n Q ����� ���$�� 0 8/9 ����!(� ���� .7#7�$(� ��� !��� ��(�� �� ��� ���������� �(��� 2����!�: �!�� ����� �� � �����#���� $����� ����� �� ��� �(�� ��(�� /� ��� '���� ���� ��( ��!!�(�� ��(!� 8�9� 5�(�� ����!(� ���( !���� ����$��(��� �(����� ���� ������ �� 7�� &�������� ���$� !� ��� �!������ ��!���� �(�����!(�� { !��������: 8�9 �� ��� ���������$� ����(�'��!(� � !�����!(� ������������� �(���� ��� ��(������ ����$(�#��!(�$� �(��� ���� (������ �n Q ����� ���$��

�(��� ^��� ���(� � ��(��� ������� ��� q���(�'��!(�

�(�� � O��rlog� �

r� O�log� �

rlog log �

r� O� �

n�

�(�� / O� �r�� O�log �

r� O� �

n�

{�$ ���� �� (������: (� ���$�!(� �(��� � ��: '� �(��� /� ^���$�: �(��� �������( ����� ���$� ����� ���(� �� !�� ����� ! �(��� /�

�� 6��$� _���: 5�'�$��� [�1� 277�$(� ��� ��������� ���� !� '����� ��!����# �(�����!(�� �� �� ����(��!(��� � ���� �!��� �� �� ��� ���� ��3 ���� ��<�� !��� � �� <�� ����

/� Peres Y� Iterating von Neumann>s procedure for extracting random bits: �� Ann�Math� Statist�� vol� =� no� �� pp� ��=���>� ���

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ5�'�$��� [���� 1� �� ��:�����!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�( (���$� ��$���� � ��7���(�$�:%�;�;/: &� �!����!$: �� {��� � +%:e#mail� e matchXiname�com (��� ��+�/�%��/;%

Page 77: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ +�

5q&q5q`]�q� {^&[�&\- ]04^5]4^0

_� �� 5�����$�

6�!!�(�� ��(!� ����(������� ����� $���'��� � (��(� 6�����#�$�((�� ������ ���!� ��(!� !���������� 7 �$��� ����($� !�!(�����: ��$��� ��(!� ! ��!( �.(�� 7 �$���� &� �!�� � .(�� ! ��!( ���!� ��(!� ������( ����������� !�!(��#��� ����(������� ������ � (��(�� ����� �� !���������� ��!(��$(��� ����$(��:� ������!� ����� ���'���� 7 �$��� ����($� � �!( ������ ����� !� '�� $�'�!( � �����: ���������(!� � �� $���'���� � (��(�? ��� '����� !(� $( � 7�$(�'�!$� ��!!�(�� ��(!� $�$ ��$�(���� ����(������� ����� � (��(� ��$�#�� ��(!�: '(� ����� � �� ������ ����(������� ������ $���'���� � (��(�: ������#������� �������� ��� ������ ���$: ���( ��(� ��� '��� (�$� ������� 1�$���#��: $�$ ��� '����� � (��(��������� !(� $( �� ���( ��(� �������� �����'�������'�� .$ � ����(��� ��������� ���� ����(������� ����� � (��(� �

{��� .(���: ����(� ����(!� ����'� � �� �� ��������� (�$�� � (��(� �(� �� ����'� ��!(������ � (��(�: ������������� �������� ��� ������ ���$ � ��#����� �������� ������� '�!�� � �� 1�� ���(!� � � ������(� ������ .(������'�� 6���� �� �� ������ ����'� ������� ��������� $���'��� � (��(� ���� �� ���$� ��� � (��� 8�:/9: � ������ ��!�� ������ ����(� � ! ������(�#� � �� �� ��������� � ����!(� ���� ��� � ���$���� � ����� ���!$��(����(��(�$��� {��� (���: 8�9 ��!!�(��� ����� ����!( ������ �! (�'��!(�� ������������'���� !�!(�����: ������ �� �� � $ ��7� �( �(� �� ��������� � (�#�(�: ������� �� ����� � !�!(�����: ��� $�(����� ��� $�����'�!$�� � (��(� ������������� ���$�: � (�$�� ��� �� ��!���� $ �� � ���( $�$ ������ '�!�� !�!(��#���: (�$ � ������ '�!�� � ��

6���(� �������� ��� '�!(�'��� �������$� ����(� 6��q � ,,#;�#;;,;) �� ;;#��#,,/���

����������

8�9 B�Melnikov A new algorithm of the state#minimization for the nondeterministic <niteautomata� � The Korean Journal of Computational and Applied Mathematics: Vol� %: No�/ ��,,,� /))�/,;�8/9 B�Melnikov Once more about the state#minimization of the nondeterministic <niteautomata� � The Korean Journal of Computational and Applied Mathematics: �����(���� � ���$���� � Vol� ): No� � �/;;;��8�9 _���5�����$� 0����� ����� $ ����'� ��������� ����(������� �����$���'��� � (��(� � � 5����� $ ���$ ! XII ?�/$&��� $� � �3����.�� @�� ������ �� �������� �����������@: 5�: ���# � 5*3: �,,,: !� ����

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ5�����$� _���! ����$!� �':3����� !$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:"�/);;: 3����� !$: ����4��!(���: "/:4��� ���� �+"//��/#,/#/�: e#mail� boris�mmf�ulsu�ru

Page 78: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

+/ ������ ���� ��� ������

^�[&{q ��^�&^�4q �_^6{q ��^0: ^16[�[��[5\-�q55[46q�[�{q5q _3�[0\5q �3&{�q�5q

|�0�5���$��

6�!!�(�� ��(!� $��!! � ��'��� !�� ����� /n: ����������� !(������ ���#'���� (����� �!(����!(� !��(��'�!$�� � �� �� 7 �$��� �������������: '(������� ���'���� ��������� ����'�!���(!� ��$!�$����7�'�!$� �����$��

0 $��!!� !�� $��$�(������ !�� ��� '��� ������ ����$� !�����!(�

L�z�b��� � �n�m�b��� �

/

��

��� b� � ���� � � � � �n� Q ����$(���!(�'�!$�� ��!���� �(�����!(� !��(��'�!$�� � #�� �� 7 �$��� f�x�� � � � � xn�? z�b�� Q !(����� ���'���� .(�� 7 �$���? L�z�b��� Q !���#��!(� !���$� !�� � z�b��? m�b�� � k Q ��������� ��( ������� '�!�� (�$��: '(� !������!���� �(�����!(� ��i� � � � � �i�k�: ; � i � n�k: ��!���� �(�����!(� b� �����'���

1�� '����� ����$� !�����!(� !���$� !�� : ����������� !��(��'�!$�� � ��# �� 7 �$����: ��� ���'(� !��� !�� �!��(�(�'�!$� !� �����( ! ������ ����#$��: ��� '����� 8�9�

n� c log� n� �/

�� L�z�b��� � �

n � �/

�� c /�

6���� ]� ]� [ ��$�� �!$���� �������������: '(� !���� !�� : �����������!��(��'�!$�� � �� �� 7 �$����: ����$(���!(�'�!$�� ��!���� �(�����!(�#� $�(���� � ���(!� ��!���� �(�����!(� �� _�����: !������(!� !�� � ! �$!����#��� !�����!(��� 1�� '����� ����$� �� ���( �( �(� �� .( ����(�� : �� ��� �������!���� �(�����!(� �� _����� ���( ������ ����$

L�z�b��� � �n� log� n� �

/

� n���� o�����/�

6���(� ���������� ����(� 6��q ,,#;�#;;����

�q4[6]436]

�� ?������ D�:� 0������ ����$� !�����!(� !� ������ ��!���� �(�����!(��: ��#�������� !��(��'�!$�� � �� �� 7 �$���� �� ��!$��(� ������ � �!!������������� ����� �� �,,+� 4� �: N �� C� �+#"��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ5���$�� |��� 0������� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���� ������ � �^ 6]&:��� ]$����$� {��(���: ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(���� ��+�/� ��/ ��+: 7�$!� ��+�/� ��/ �,+: e#mail� merekinXmath�nsc�ru

Page 79: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ +�

^�[&{q ��q&\ 3&q0[6�]��&^� 1^��[�^0]4[��&^�4q ���1[6[�4]&^0^{

0�&�: �����#���#����!!

1�!���� �(�����!(� W ���� ��(!� �� ��!������ ��� ����!( � !�� S: �!��$����� !�� � �� S !(��'��(!� W $�$ ���!�� �: (��� W � W�sW� ��� ������s � S� 3�� ��!���� � ��!���� �(�����!(� �������� ����� � �� ���� �(� �#��������� q� �!(�� 8�9: '(� ��� ����� ������� ����!( � S ����'� ��!(��������������� �� ��!������ ��!���� �(�����!(� � ���(!� NP #�������1 !(� P �n�Q����!( � !�� ����!(��� �$ !� ��� f�� /� � � � � ng: � L�n� # ����� �#�������� �� ��!������ ��!���� �(�����!(� ��� P �n�� 0 8/9 ����!��� ��� ����$�L�n� � /n : � ��!����� ��$��� ��(!�: '(� L�n� � n  � �n � ��  � n � /� ���� ���� �

4������ ��� ������ n � �

n  � �n� ��  �n � �/n � �

�n� /�  � n� � � L�n� � n  � �n� ��  � � � �� �  �

��� ������ ����$� ������� � � �����'��� $��!(� $��� ����� � (�� �� �� ��!���#��� ��!���� �(�����!(��6���(� ���������� ����(�� 6��q ,,#;�#;;���: ,,#;�#;;�+� � INTAS ,)#�;;��

�q4[6]436]

�� D�Maier: J�A�Storer ��,,)� A note on the complexity of the superstring problem� Report�/��: Computer Science Laboratory: Princeton University: Princeton: NJ�/� C�Savage A survey of combinatorial Gray codes� SIAM Rev� V� �,: N� ": %;�#%/,�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ&� 0������:q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� �/#/�#,+: e#mail� nyu Xmath�nsc�ru

���#���#����!! ��(��� *����� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#/�#+,: 7�$! �+#�+�#/� �/#/�#,+: e#mail� �aass Xmath�nsc�ru

Page 80: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

+" ������ ���� ��� ������

�q&4[` �]5^16^0[6�[5\- �q&-6^&&\- 1^��[�^0]4[��&^�4&\-3�46^��40 0 3��^0q�- &]_�|�[&q� q- 0\-^�^0

��]� ^!(����: ]�|� 5�(��!� �

� ��!( �( ��!$���$� ������� $ !��(�� !����� ������ !��������� !(���!( $��!!� �����'��� $��!(��(��� ���!��� ��!(�� �� ����!�� ������ ���� !(���!( �����'�!$�� .����(� � ��(���� � (������� �� ^��� �� (�$�� ������� �����������(���������� !�� ����� $������������ '�!(�: ������ ���� ��!���� �(�����!(#��� !(���!( � : ��� ���!��'���� ��������� ������� ���� ����� ���!��� ��!(�� ����!!�(������� $��!!� �� ������ $������������ '�!(� � (� ������ �������#(������ ������ ��������� !�!(� : ���!� ��� � 7 �$������� ���� !(���#!( � 8�9� �� ��� ������ �����������( ���������� (���$� ����� ��!���� �(�����#�� !(���!( �: ��� ���!��'���� ��������� ������� ���� ����� ���!��� ��!(�� ��.(�� ������ 8/9� ^�������� ������ ���� ����� ���!��� ��!(�� ���!��'� ��(!� !��#������� ������� �� !��(�� ��!���� �(������� !(���!( � ��� !�!(�� ���#(����� 7 �$���: ��� '����� �� �!������� ������� � (� ������ �������(������ ������ ���������� 0 ������ ����(� ���������(!� ����� ������ $ !��(�� !�#���� ������ ��!���� �(�����!(��� !(���!( ! ���������� (���$� �� ����� �q!������ ���� $�'�!( � ������� �� !��(�� !(���!( � !�!(�� '�!(�'�� ���(��#��� � �� �� 7 �$��� �� �������!( � (������ ��������� !�!(�� ��� ���#�( ���!��'�(� ��������� ������ ���� ����� ���!��� ��!(�� �� ��������� $��!!� �� ������ ��!���� �(�����!(���� !(���!( �� 1����������(!�: '(� !�!(�� � �� ��7 �$��� ������ �(!� ���� �� �� � 7�$(����������� �(��� !��(����

�q4[6]436]

�� Matrosova A� Yu�: Ostanin S�A� Self#Checking Synchronous FSM Network Design��Compendium of papers� "th IEEE International On#Line Testing Workshop: July %#+:�,,+: Capri: Italy�/� Matrosova A� Yu�: Levin I�: Ostanin S� A� Self#Checking Synchronous FSM NetworkDesign with Low Overhead�� Journal of VLSI Design�#Overseas Publishers Assocoation�#vol;;�#�;;: /;;;: L#L/p�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ5�(��!� � ]����� |��� ��: ^!(���� ������ ]��$!����� �':4�!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:1�� ������ �%: 4�!$: %�";�;: 6�!!��:e#mail� mauXfpmk�tsu�ru: ostaninXfpmk�tsu�ru�

Page 81: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ +�

5q&q5q`]�q� _3�[0\- �3&{�q� 0 {�]��[ 4[65^0&]� _]`q�^5 q` _[�1^04^6&\- �3&{�q�

|�0� 1����� �

^'� ����: '(� ��� � � �� 7 �$��� f ���� ����!(� �(� ����

f � ¡�g�� � � � � gk� ���

��� gi Q ��!�� (����� 7 �$��� ��� ����!� � ������� : � ¡�x�� � � � � xk�� (����� � ������� �

1�� !�����!(�� ����!(� ����� ¡�g�� � � � � gk� � �� �����(� '�!�� !�� �����#��� 7 �$��� gi ¡�

1�� �������� ��������� � �� �� 7 �$��� $��!!� (��� ��� ����!�: !�#!(���� �� ��!�� (����� 7 �$���: ������ ���������� ����!(� ����� 7 �$��� ��� ��� �������� !�����!(��

6������(�� �(�� ��� ������ .(�� ������� ���������� 5�(�� �!�� �� ��������(� ���������� ��!�� (����� ����!(� ����� � �� �� 7 �$��� 8�9 � �� ����#��(� �������� ��������� � �� �� 7 �$��� 8/9 $��!!� �������� (��� �

�q4[6]436]

�� 1����� &�]� 2������.�- �&��!�" 3&��.� ���� !� ����� 3 ��&����� �� ��!#$��(��� �(��(�$�� � �,,�� � 4�): � �� � �� %��%+�/� 5���� ��� |�0� +�, ���� ���� � ��������.�� �&��!�" 3&��.� � �, �� �,������- �������.�-� � q�$ (!$�� �� ��!�(�(� ������ ��!$��(��� �(��(�$� ���7���(�$�� 0���,� � q�$ (!$: �,,,� � /� !�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ1����� � |��� 0������ ��:q�$ (!$�� ��! ���!( ����� ��������'�!$�� �� ��!�(�(: �� _������: �: $ � �/: %%";;;: 6�!!��:(��� �+#�,�#/� ��#�,#�%: 7�$! �+#�,�#/� /"#//#;�: e#mail� nikXmath�isu�ru

Page 82: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

+% ������ ���� ��� ������

2��[{4q0&]� &35[6]�q� �[�^�q��[&&^*^ �q51�[{�]

0�&�1�(���

& ������� ����!( � S ���� ��(!� ����$(� ��� 7 �$��� f � S � N � q�#��(�'��!(�� R�f� S� � ������ f ����!( � S ���� ��(!� ���'��� R�f� S� �log��maxx�S f�x�� � log� jSj� 6�!!�(�� ��(!� ����'� � ������ ����'�!������� k#������ !����$!� S�n� k� � Nk: (� �� ����!( �: !�!(������ �� �$(��� x ��x�� � � � � xk�: ��� xi � � �

Pki�� xi � n� 1��� ����(�'��!(� .77�$(� ��!(� � #

������ f �� �!�( �( ������� !�����!(� T �f� S�: $�(���� ���������(!� $�$ �#�������� '�!�� ���7�(�'�!$�� �������� ��� '�!��� ����� n: ��!(�(�'��� ��� �'�!����� 7 �$��� f�x� � ����(��� 7 �$��� f���f�x��: $���� x � S�

0 ����(� 8�9 ���� ���������� ������������'��� � ������ f� !����$!� S�n� k�� !��!�� �� �'�!����� ����� '� ! $ ����(�'��� �(��!�(����� k ������� !�����#!(��: � 8/9 ��������� ������( �'�!����� 7 �$��� f� ! ��'(� �������� �(��!�#(����� n ������� !�����!(��: (� �� T �f�� S�n� k�� � O�min�k� log�� k� n log

�� n�� ���

k � �� 0 ����(� 8�9 ���������� � ������ f� !����$!� S�n� k� ! ����(�'��!(��R�f�� S�n� k�� � �� � �� ln / � o����k � �������� �(��!�(����� k ������� !�����#!(�� T �f�� S�n� k�� � O�k� ��� k � � � k�n � ;� 0 8"9 ���������� ���7�$����f� � ������ f� ! ����(�'��!(�� R�f�� S�n� k�� � �/ � �� ln / � o����k � �������!�����!(�� T �f�� S�n� k�� � O�k log� k� ��� k �� � k�n � ;�

0 ��!(����� ����(� ���������(!� � ������ f� !����$!� S�n� k� ! ����(�'��#!(�� R�f�� S�n� k�� � o�k� � ������� !�����!(�� T �f�� S�n� k�� � O�k log� k� ���k � �� 1�� ��!(������ � ������ f� �!����� �(!� � ������ f� � f�: � (�$���(���: ��� �(�� ����(�� 8/:"9�

6���(� ���������� ����(�� 6��q ,,#;�#;;��� � ��1 �q�(�������� �,,)#")��

�q4[6]436]

�� 0���_��$�� ��,)�� ?�� $ &��!������� , � $�� !���- ����!�����" � �'��� ��(��� ���.����� ��&$ ��� ���� 1������ ������'� ��7������� �: �": ��#/��/� _���6��$� ��,,+� Q�����- �&����.�- � ������ ���" �U��� !� ��!$��(����(��(�$�� ��: �/: �;�#��,��� R�E�Krichevskiy: V�N�Potapov ��,,,� Encoding of run lengths and pyramid cubiclattices� IEEE Trans� Inform� Theory� ��: �": ��")#���;�"� 0�&�1�(��� ��,,,� 9&����.�- .�� ������� , ���������� 4���!� ��$���� XII5��� �������� $��7������� �� ����� �� �������� �����������: 5�� q��# �5*3: '�!(� �: �+,�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ1�(��� 0������ &�$���� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:�p� ]$����$� 0�]�{��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� �/#/�#,+: e#mail� vpotapovXmath�nsc�ru

Page 83: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ +)

^ 6[]�q`]�qq �3&{�q� �-[5]5qq` q&4[*6]4^6^0 q �355]4^6^0

]�q�1��!$ ��$�

0 ����(� �!!��� �(!� ����! � !�����!(� ���������� 7 �$��� ���!( �(����������������� ! ������ !�� �� ��(����(��� � ! �(��� : ��!!�(������ ��#��(� {� ~������ 8�9� ���� �� ��(����(��� � ! �(��� ���!� ��(!� !�!(��� ��$���'���� '�!�� �� ����� ��� uk �

R x� ui duj � uk � ui � uj: ��� uk ������'��(

��� �� 7 �$���������� ��������� y�� y�� � � � � yn : � ui � uj Q ��� �� ���������y�� y�� � � � � yn� x ��� ���!( �(������ $��!(��( ������(�� � ��� ��� � � � � �m: ���'�� ��#������� y�� y�� � � � � yn ����( �� �� '�!(� �� ����� �� �� �� ���� ��� � �������� ��(!� ���!���� : �!�� ��� ������ ������ ���'���� �����(�� !��( �(!( #���� !�!(�� �� ����� ���� ���������: ���� ���( ����!( ����� ���������#������ ������ y��x�: y��x�� � � � � yn�x�� � �$��� ������ ���������� y � f�x� �������&���: �!�� ! ��!( �( ��� ������ !��� �� ��(����(��� � ! �(��� (�$��:'(� ��� ��$�(��� ������ ���'���� �����(�� ������ !��( �(!( ���� !�!(�#� �� ����� yn�x� � f�x� !�� ����!(� ����������� 7 �$��� f � {� ~������������ $��(���� (���: '(� 7 �$��� ������ �� !���� �� ��(����(��� � ! �(�#�� Q ��� �� ������ ��(� �����(���!������(��� �!� 8�9�� ^������� �� /� ����"��� $�$ '�!�� �!������ ����� ��� ��(����(��� : � �� /� ��� ������ 3&��.� $�$ ������ � !�����!(� !���: ������ ���� ��� ���������� ���'����� ����#�(�� $��� � 7 �$��� �� .(��� $��!!��

4[^6[5] �� ��� !�$��� n � � !�����!(� $��!!� ������ �������� ��77�#����������� �� ����� �����$� n �(� �� ��� yn � an��yn�� � � � � � a�y � b� !����� ������ ���!( �(������ $�.77�����(�� ai� b � ����� ������ ���!( �#(������ ��'������ !�� ��� y�;� � b�� y

��;� � b�� � � � � yn���;� � bn��: �� ��

/n�

4[^6[5] /� ��� !�$��� n � � !�����!(� $��!!� ������ !�$��� �����������77������������� �� ����� �����$� n ! ������������ $�.77�����(�� ai� b ������ ������ ���!( �(������ ��'������ !�� ��� y�;� � b�� y

��;� � b�� � � �:yn���;� � bn��: �� �� n: �!�� a� � ;: � �� ������ ����: �!�� a� � ;�

^(!���: '�!(��!(�: !��� �(: '(� !�����!(� $��!!� ����'���� !(����� �� ��n �� �� n� ���!( �(�����: .(�( $��!! !� �����( ! $��!!� ������ �� ����� yn�� �;�

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6��q �����$( ,,�;��;��)��: ��1�q�(�������� �����$( ")�� � ������� �3�� ��!�(�(� 6�!!��� �����$( ,,//;%��

�q4[6]436]

�� Shannon C� Mathematical theory of the diZerential analyzer� J� Math� and Phys�: V� /;:N"� �,"�� P� ��)���"� q��(!� ���� ��� 5�(��(�'�!$�� (����� ��77��������������������(��� �� 0 $��� ~����� {� 6���(� �� (����� ��7������ � $������(�$��5�� q�: �,%�� �� );,�)�;�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ1��!$ ��$� ]��$!�� q ��� �':5�!$� !$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�( �� 5�0������!� �:��,+,,: 5�!$ �: 0������ � ����: 5*3: ���#�(� 7#(: $�7� ��!$��(��� �(��(�$�:(��� �;,�� ,�,#"/%+: e#mail� aprXmac�com

Page 84: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

++ ������ ���� ��� ������

�^0[6~[&&\[ �0^q�&\[ {^�\ � 46q0q]��&\5 ��6^5

]�5�6����

1 !(� En Q �$(����� ���!(���!( � �������!(� n ��� ���� *�� � GF �/��{�� C ����� n ��!!�(�� ��(!� $�$ �������!( � �$(��� �� En� 1������!( �K � En ���� ��(!� -$� � $��� C �������'��(!� '���� kerC�: �!�� C�x � C ��� ��#���� �$(��� x � K� ����� dimK ������'� �������!(� ���� K� [!�� dimK � �:(� ���� K ���� ��(!� ���!�������� 1 !(� � Q �������� � ��'��� $�� -���#��� ����� Ri ������'� ������!(���!( �: ����������� �$(���� �!� � $��� H !�����'��� i#� $�������(��� q� �!(�� 8�9: '(� �� ��!�� !�� �$(��� �� Ri � x �x����������( H� �� i#� $�������(� ���� ���( $�� H ���������� !� �������� ��'��� $��: �!��� ������ ��� ���$ � 0 8/9 ���������� !� ������� � ��'#��� $��� ! (�� ������ ���� ����� ��� 0 8�9 ��$����� ! ��c( � ���� (�$�� $��� ��� n � ��� 0 ����(� ���������(!� $��!(� $��� !� ������� � ��'��� $��� !(�� ������ ���� ��� !�� ��� !(��� ���� ��'���� ! n � ���

��� $��� H ����� n � /k � �: k � " � �� ��� ������� (�$�� $�������(�i�� � � � � ik � �$(��� x�� � � � �xk: '(� ����!( �

H � �

��H n

�� k q��

Riq � xq

AA ��� k q��

Riq � xq � eiq

A� ���(!� !� ������ � ��'�� $��� � dim kerH � � �� ������ eiq ������'�� ��#��!��� �$(��: $�(��� iq#� $�������(� �� �� ���

�q4[6]436]

�� ]�5�6���� ��,,)� # � ��� ���� � !�������" ������ ��" $! ����" � $ ! ���!����� ���! � !� ��!$��(� ������ � �!!���� ��������� ������ �: N �: "%#�/�/� O�Heden ��,,"� A binary perfect code of length �� and codimension =� Designs: Codesand Cryptography �: /��#//;��� K�T�Phelps: M�LeVan ��,,�� Kernels of nonlinear Hamming codes� Desigens: Codesand Cryptography �: /")#/�)�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ6���� ]��$!���� 5������ �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���� ������ � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#�+#%,: 7�$! �+#�+�#/� ��#/�#,+: e#mail� romXmath�nsc�ru

Page 85: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ +,

ON THE NUMBER OF INDEPENDENT SETS IN GRAPHS AND THE NUMBEROF SUM#FREE SETS IN ABELIAN GROUPS

A�A�Sapozhenko

For a graph ¢: let I�¢� denote the number of independent sets of ¢� A subset A inan additively written group G is called sum�free: if a� b �� A for all a� b � A� Let F �G�denote the number of sum#free sets in a group G�

N�Alon in 8�9 showed that for any k#regular graph ¢ � �V ?E� the inequality I�¢� �/����Ok

����jV j holds� The similar upper bound was found for almost regular bipartitegraphs� Using these bounds: the upper estimate of the form S�G� � /��o�jGj�� wasobtained in 8�9� The bound is the best possible �in logarithm� for any abelian groupcontaining a subgroup of index /� Alon asked for the sharp form of o��� term in upperbound for S�G��

Here we give the asymtotics for I�¢� and S�G� under some restrictions on ¢ and G�For a graph ¢ � �V ?E� and a subset of its vertices A: we call the set ��A� � fv �

V nA � �u � A s�t� �u� v� � Eg a boundary of A� Let ¢ � �X�Z?E� be a bipartite graphwith X�Z as the parts of vertex set and edge set E� A graph ¢ � �X�Z?E� will be saidto be an Y�� �6�expander: if jAj � j��A�j��� �� for any A � X such that jAj � d�jXje andfor any A � Z such that jAj � d�jZje�Theorem � Let a bipartite graph G � �X�Z?E� be an Y��/� �6�expander of n verticeswith minimum degree of vertex equal to k� and maximum degree not exceeding k � �� Letk � cn for some absolute constant c and � � ��n�k� where limn�� ��n� � ;� Then forsome constant ; � d � � and for suZciently large n

/jZj � /jXj � � � I�G� � /jZj � /jXj � /dmaxjX j�jZj�

We use the following statement from 8/9�Theorem � Let G be an abelian group with �nite subsets A and B� Then there exists asubgroup H of G such that A�B�H � A�B and jA�Bj � jA�Hj� jB�Hj� jHj�

As a consequence of this assertions: we deduce the followingTheorem � Let G be an abelian group of order n with q subgroups of index � Then forsome absolute constant c � ��/ and for suZciently large n

�q

/

�/n�� � S�G�� q/n�� � /cn�

Research supported by Novosibirsk Grant Center

REFERENCES

�� N�Alon� Independent sets in regular graphs and sum#free subsets of <nite groups�Israel J� of Math� Vol� )�: No /: �,,��/� M�Knezer: Ein Satz �uber abelischen Gruppen mit Anwendungen auf die Geometrie derZahlen: Math� Zeit� %� ��,���: "/,�"�"�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQSapozhenko Alexander Antonovich:Moscow State University: FCMC: Vorobjovy Gory: Moscow: ��,+,,:e#mail mathcybXcs�msu�su

Page 86: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

,; ������ ���� ��� ������

ON THE AUTOMORPHISM GROUPS OF STEINER SYSTEMS

F� I� Solov>eva: S�T� Topalova

A Steiner system S�t� k� n� over the set N � f�� /� � � � � ng is a collection of k#elementsubsets �blocks� of N : such that each nonordered t#element subset of N is contained inexactly one block� A Steiner triple system STS�n� of order n is an S�/� �� n�� ASteiner quadruple system SQS�n� of order n is an S��� "� n�� It is known that STS�n�and SQS�n� exist iZ n � �� ��mod %� and n � /� "�mod %�� respectively�

The automorphism group Aut�S�t� k� n�� of any S�t� k� n� consists of all the permu#tations of the set N : which transform S�t� k� n� into itself �i�e� blocks of the system aretransformed into blocks of the same system��

We consider the automorphism group of Steiner systems with k � t��: and of Steinertriple and quadruple systems in particular�

Proposition� If an S�t� t � �� n� has an automorphism with f �xed elements andt � f � n� then it contains a subsystem S�t� t� �� f� and f � �n� t� ���/�

Theorem �� The order of the automorphism group of a Steiner triple system of ordern is not greater than the order of the linear group GL�blog�n� ��c� /��

Theorem �� For any Steiner system S�t� k� n� it holdsjAut�S�t� k� n��j � n�n� ���n � /�����n� t� ��jAut�S�/� k � t� /� n � t� /��j�

Corollary� For any Steiner system S�t� t� �� n� it is truejAut�S�t� t� �� n��j � n�n � ���n � /�����n� t� ��jGL�blog�n� t� ��c� /�j�

Theorem �� The order of the automorphism group of a Steiner quadruple system oforder n is not greater than the order of the full aZne group GA�blog nc��

The investigation of the automorphism group of Steiner systems is interesting not onlyby itself but also for the estimation of the automorphism groups of some codes containingSteiner systems� Theorems � and � allow us to <nd an upper bound on the order of theautomorphism groups of perfect and extended perfect codes: respectively: see 8�9�

This work was partially supported by the UVO#ROSTE: contract No +)��%�;�,: andby the RFBR ;;#;�#;;+//�

References

�� Solov>evaF� I�: Topalova S�T� On the automorphism groups of perfect binary codes:Proc� Seventh Int� Workshop on Algebraic and Comb� Coding Theory: Bansko: Bulgaria:June �/;;;�: to appear�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQSolov>eva Faina Ivanovna: Sobolev Institute of Mathematics:pr� Ac� Koptyuga ": Novosibirsk %�;;,;: Russia?phone� +#�+�/#���+%,: fax� +#�+�/#��/�,+: Xmail� solXmath�nsc�ru�

Topalova Svetlana Todorova: Institute of Mathematics and Informatics: BAS:P�O� Box �/�: �;;; V�Turnovo: Bulgaria?phone� ��,#;%/#�;��/: Xmail� lpmivtXvt�bia#bg�com

Page 87: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� ������ ,�

�q�{6[4&]� 5^�[�� 5&^�[�40[&&^*^ ]��^�q]4q0&^*^ {2~]

5� �� � ���$�: �� 1� � ���$�

0 ��!(����� ��� ��� �������($� �$�������!!����� ����(�$( �: ��!(������ �'�!��(������ !�!(� � !�(��: !������� ��!����������� ���$������ !�!(� ������!��'���� ��!(���� ��!( �� $ �������� '�!(� �!����� �� ����� ���$� ���#����(!� $.��� ����� 0������ 7�$(���: ����������� '�!(�( ��������� $. �!!����(� ��!(� A �: � ���(!� !(��(���� �(�!����� ���$� �� �� ��� $.���� ����$�� ���� $��7��$(� ����!� � ^'� ����: '(� �������� ������'(�(������� ���(!� !(��(���� �(�!����� !���� ���!����� ���� ���$� �� ���: ������������� � ����(��!(� f�m�� m � ;�M � � ��(� �!(���� ����� `��!� M�$���'�!( � ���$� ���(�: �(��������� �� �� �� $.�� 0 �������������: '(� ����(��!(� f�m� ������'��� �� �� ���� ���'���� � ������� �� �!(�� ������# �(�!����� ���$� $.� 7 �$������� ���� �� ��� $.� ���� ���!�(� 5��$� #!$� �����!!� A#���� ���!(���!( � fm��m�� � � � �mAg: ��� ma � ���� ���$����(�: ����������!� a# ���$� �� ��� $.�� 1��������� ����(��!(� ���� 5��#$� �: ���!� ����� �����$ �����!!� �������� ���$� ������ $.� ���( ������������ ���� $�������(��� �!� ! �$!������ ���'���� $�������(�� ���$.� ����� ������ �!!����(� ��!(� A ����(��� !�!(����� !��(��'�� � ��#����(!� �� �(���$�� �����: ������������ �����'�� $�������(�� �!�: �����$���'�!( � $�(���� �� �� '�!� ����!(��� �$ A $�������(�

Pm����mA� ;� ma � A� ��M � �� a � �� A? Pk����ka��mka�����kA �

f�m�

A ���A��Xl��

f�l��

ka � ;� A� /� ki � kj � i� j � �� A� �� m � A� ��M � ��

4�$� ������: ���� 5��$� �: ���!� ����� �����$ �(�!����� ���$� $.�: ��!#�����(!� �� !� �$ ���!(� ��$� (�� ����!( !�!(�����: ����� ���� A  �����# ����� �������� 5��$� �� ��� ����(��!(�� ����� ����� ���$� ���(� $.� !�� !��(��'��!(� ����(��!(�� !�!(����� ���� 5��$� � !��� ���� ��

�m �M��Xm���

M��Xm��m���

� � �M��X

mA���mA����

A Pmm����mA���

1�� .(� �k � �� k � ;� A� /� ^(!��� !��� �(: '(� $.� �!!����(� ��!(�A ! �������� �(�!����� ��� ���� ������ ��!���������� ���������� A� ����$� �� ��� !������( !��� �!(���� ����� ���$� ���(�� 0 !�� !��(��'#��!(� ����(��!(�� !�!(����� !�� ��� !������ '�!�� !�� ����� ������$� ��� ����$.� ! ������$�: �������� �� ����!� ����$(�: �� �����(�� $ ��!�������������������� ���(� � ��� ������ m �� �� �Am � �A� ���/�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ� ���$� 5�$!� ������ �':� ���$� ������ 1�(�� �':4�!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(: ��� ������: �%: 4�!$: %�";�;: 6�!!��:(��� ��+/#/� "/%;,%: e#mail� sspXinf�tsu�ru

Page 88: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

,/ ������ ������ ������

A STRUCTURAL PROPERTY OF PLANE GRAPHS

V�A� Aksenov: O�V� Borodin: A�N� Glebov

An edge in a plane graph is called weak if it is incident with two triangular faces:and semiweak if it is incident with only one triangular face� The weight of an edge is thedegree sum of its end vertices�

Borodin 8�9 proved that every nonempty plane graph has either a weak edge of weightat most ��: or a semiweak edge of weight at most �;: or else an edge of weight at most +:all three bounds being precise� Another similar fact was proved in 8/9� every plane graphwith at least two vertices has either two vertices with the degree sum at most �: or twovertices at distance two with the degree sum at most ): or a weak edge of weight at most��: or a semiweak edge of weight at most ,: or else an edge of weight at most )� Themotivation of the result in 8/9 is to show that removing at most <ve edges from each planegraph yields a subgraph having a nontrivial automorphism� We improve the structuralresult of 8/9 by proving the following

Theorem� Every plane graph with at least two vertices contains one of the followingcon�gurations� a6 two vertices with the degree sum at most %8 b6 two vertices of degree <at distance two from each other8 c6 a weak edge of weight at most ��8 d6 a semiweak edgeof weight at most �8 e6 an edge of weight at most >� All above bounds are precise�

The proof is based on the techniques of discharging� To verify that each of the boundsis attained: we consider the following plane graphs�for a� the complete graph K��n: where n � %? for b� the triangulationobtained from the icosahedron by putting a vertex of degree � into eachof its faces? for c� the graph obtained from the icosahedron by addinga triangular lattice to each of its faces? for d� the graph obtained fromthe octahedron by replacing each of its faces with the con<guration

p r r r p

r r r r

r r r

r r

TT��TT����AATT��AA

��AA��p p p r p p ppppp

p�pp

p

ppp

ppp

p p p

ppp

ppp

Figure �

shown in Fig� �? for e� the quadrangulation obtained from the cube by adding a quad#rangular lattice to each of its faces�

This research was supported by RFBR grant ;;#;�#;;,�% and grant �),/ of the Uni#versities of Russia Q Fundamental Research Program�

REFERENCES

�� O�V� Borodin ��,,/� Joint extension of two Kotzig�s theorems on <�polytopes� Com#binatorica: ��: �/���/��

/� V�A� Aksenov: O�V� Borodin: L�S� Mel>nikov: G� Sabidussi: M� Stiebitz: B� Toft��,,,� Deeply asymmetric planar graphs� Journal of Combinatorial Theory B: sub#mitted�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQAksenov Valerii Anatol>evich:Novosibirsk State University:Pirogova str� ": Novosibirsk: %�;;,;: Russia�Borodin Oleg Veniaminovich: Glebov Aleksey Nikolaevich:Sobolev Institute of Mathematics:prospekt Koptyuga: ": Novosibirsk: %�;;,;: Russia:tel� �+#�+�#/� ��#/+#+/: fax �+#�+�#/� ��#/�#,+: e#mail� brdnolegXmath�nsc�ru

Page 89: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ������ ,�

^ ��6]�{6]�{[ 1�^�{^*^ *6]�] � ^4^��[�40�[&&^� 1]6^�0[6~q&

0�]� ]$!��� : ^�0� _������: ]�&� *����

0 �,%� �� *����� 8�9 !7�� ���� �� !��� �� � �!�� � � (���� � �#��!#$��� ���!(� ���!$�� ���7� � !�$�� ���!$�� ���7: !��������� �� ����� (����#��$�� : � ���(!� �#��!$��� ���� 1����� ��$���(���!( � .(��� 7�$(� �������� ]$!��� � 8/9� 1�� ��$���(���!( � �!������ ���!� (����$� �������������!$��!$�: �������� �� �����: �� �!� ���7� 0 �,,) �� _������ 8�9 ��� �� ��: ��������!(��: ��$���(���!( � (�����*����� �: �!�� � �����!� �� ������!���������������� ���!$� ���7� � (�$ ���� ���� ���������� ��!$��!$�: ��� �!������ ��������������� ��!$��!$� �������

^!�� � ��!� �� ����� � �(����: ��� �(�� 8/9 � 8�9: � ��$����� !��� ����7�$(: �(��!����!� �� $ �#��!$��!$� �����!$�� ���7� � ���� G �� ��� ,��3 ���<�.��� !� � ,��3� � �&��0'� �- �� G � /$���!������ �0� ���� �����/��"!������ -!�-���- <���������!����� ����'� �� ���: ! ��!( �( �#��!$��!$� ����G $�(���� �������� � � ����� ���( ���� � �(�� ������ (����� � ���(!��� � '���� (� !�!��: '(� ��� ����!(��( ��(� ����� ��� ����'�� G ��(��� ������ �#��$��? .(� ���( ������(!� !��( �(!( ��� �������

1�� ��$���(���!( � (����� !��'��� ��!!�(�� ��(!� !� '��: $���� ������#������ $��(������� G �(! (!( �( ����������� "# � �#��$��? .(� !� '��������!����������� ������ G ��� ���( $ ���(� ���'�� ! 7�� ��� 2������ 1������'�� G ����������� "# ��� �#��$�� ��!!�(����� ������!�(!� !� !��� ���7�G �� !��������� �������� ������7: ������'����� ���� �� (�$�� ��$�� �

6���(� ���������� ����(� 6��q �N ;;#;�#;;,�%� � (�$�� ����(� 3�� ��!�#(�(� 6�!!�� �N �),/� Q ������� 7 �����(������ �!!���� �����

����������

8�9 Gr�unbaum ��,%�� Gr\otzsch�s theorem on <�coloring� Michigan Math� J�: ��: �;����;�8/9 0�]� ]$!��� ��,)"� # �� $ �/���� <���������� ��������" ,��3 !� ��!$��(���

������: ��: ���,�8�9 O�V� Borodin ��,,)� A new proof of Gr\unbaum�s <�color theorem� Discrete Math�:

���: �))��+��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ]$!��� 0������ ]��(���� �':&� �!����!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(: �� 1����� � ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!���

_������ ^��� 0������� �': *���� ]��$!�� &�$���� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���� ������ � �^ 6]&:��� ]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� ��#/+#+/: 7�$! �+#�+�#/� ��#/�#,+: e#mail� brdnolegXmath�nsc�ru

Page 90: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

," ������ ������ ������

^ �k� l�#6]�{6]�{[ qH�q�[H4^6^0

0� *� 0�����: �� �� 5�����$� : ]� 0� 1�($��

]�.�$��� p �p���(�p� ���� ��(��p�7�Q .(� ��p���'����� ��p� �� �p�#�� � �������(��� �� � ��� 6�!$p�!$ �������(�p� � �� ���� �(� �k� l��p���p��� :�!�� ����� � � �������(�p�: ������ ��� � �p�� : �$p���� p����� � �(�:� �!�� ��� $����� � �� p����!(� ���p� � �(� $���'���� � ��'������� �������#(�p� ����� ��� p� �� k: �� ���� ��� p� �� l� H������� '�!�� � �(� : ���$�(�p��� ���� ��!(p��(� �k� l�#p�!$p�!$ �������(�p� ������ ��(��p�7� !(�#���� s ������'� �k�l�s�� ��p �� ��� �k���s� ��� '��� 8�9�0^16^�� � ��!( �( �� (�$�� l: '(� �k�l�s� � �k���s� ��� ������ s�

1�� '��� !��� ���� p�� ��(�(���� �k�k�s� � /�����s� � k � r� ��� r Q .(� �!(�(�$ �( ������� �����s� �� k�/� �����s� � �ds�/e� �p�'� ������� � ���� ^��p�$(�p��� ��� !� ����p����� ��(��p�7� ! �����s� � s�"� ������� � ��

6���(� �������� �p� �����p�$� �p��(� INTAS ,)#�;;�: 6��q ,,#;�#;;�+� ��p��(� �^ 6]H�

�q4[6]436]

�� ]� 0� 1�($��: 4�$��� p���p���� ��.�$��� p ! � �" �p�� /���-� ��!!�p(���� ��!��!$� '� !(����� $�7�#��� H� �!���p!$: �,,,�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ0����� 0��� *��p��� �'^��!!$�� ��! ���!( ����� �$����� ���� �� (��������� �� {���(��� ��/: ^��!!�: /);;�,: 3$p����email� vizingXosaft�odessa�ua5�����$� ������ ��p��� �': 1�($�� ]p(� 0���p�� �'q�!(�( ( �(��(�$� �� �� �� ������ � �^ 6]H�p� ]$� {��(���: ": H� �!���p!$: %�;;,;: 6�!!��(��� ��+�#/�#��#/�#+,: ��+�#/�#��#�)#++: 7�$! ��+�#/�#��#/�#,+email� omelnXmath�nsc�ru : orlabXmath�nsc�ru

Page 91: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ������ ,�

�q�46q_34q0&]� 6[~[4{] 5q&q5]��&\- 6]`6[`^0&[^6q[&4q6^0]&&^*^ *6]�]

]�]�*��$� �'

1 !(� G�V�U� �!(� ! ����� �������(��� ����� ���7 ��� ��(��� � $��(��� � �:E�A�B� � f�i� j� � �i� j� � U� A�B � V� i � A� j � Bg� 6������: ���������� ����� s� t � V : ���� � !� �$ ���!(� � � E�R�R�� ��� R�R � V� R�R � � s � R�t � R� _ �� �!������ �(� !� �� �¤���� 7��������� �����'�� ������� $�$ ��#��!( � � � r � E�R�R� � ��� ������'���� ��� !��( �(!( ����� ��������� ��#��!( � ���� r� � �R�R�� {���� ���� u � U ���7� G ��!(� � !��( �(!( ��'�!�� c�u� ;: $�(���� ���� � �!� ������ 0 ����!( � ������� ���7� G ���(��(� ������� �������!( � ������� ���������� �!� M�

^������� �� ����!( � M � fm�i � �Mi�M i�g �������� �������� ���� 1���#

�� m� � m� �m�� m� � m� �m�� ��� M� � M� �M�: M� � M� �M������� �� ������� ��� ������ �������� M �������� � �� �� ������

��� � ��� ������� ������������� ���������5��������� ������ p � M ���� ��(!� ����� ���� ��#����� �����: �!��

��� m��m� �� !��(������ p � m� �m� �(�$��( p � m� ��� p � m�� ^�����'�P ����!( � ����� ����� ������� ���($� �M?����

5����!( � ��������� ������� ���7� ��!(��� (� ��� ���($� ������#��� ������� ���( ��(� ���!��� �����(�'�!$�

M �S

� � a � �A � A�P� a � A

��� A�P� Q ����!( � ��(������ ����!( � P�2(� ��� ����( ��� '�(� ����!(� ����� !��� ����!( � ��������� �������

'���� ��!���!( � (���$� �������!( � ����� ����� ������� ��!(��� (� ������($� ��������� ������� �jPj � jMj�� 4��� ��� ����'�!����� !��� ����!( ���������� ������� ��!(�(�'�� ���(� !�!(� � '�!(�'��� ������$ ����!( ������ ����� ������� �

����� �� ���� c � V� Mc � fm� � �M�M � � m � M� c � Mg� ����� ���Mc � � ��

p � � mm � Mc

������� ��������� � ������� �

4�$� ������ ���!�� � ��(!� ������!(� ��� ����'�!����� !�� ���������������� ������'�(� ���!$ ���7� (���$� ���������� ����������� ������#��� ������� ���7�� 1�� .(� !��� ���� � ����$� jPj � jV j�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ*��$� �' ]����� ]��$!����� �':|���#3����!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:��������� )%: �������!$: "�";+;: 6�!!��: (��� �+#���#/� �,#,"#�,:7�$! �+#���#/� �,#,"#%�: e#mail� grishkevXmath�tu#chel�ac�ru

Page 92: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

,% ������ ������ ������

SIGNED GRAPH EMBEDDINGS

Jin Ho Kwak and Sangho Shim

J� @Sir=a@n 8�9showed that Duke>s theorem does not extend to unbalanced signed graphembeddings and that the gaps cannot be consecutive� He conjectured that the gaps areattracted to minimum crosscap� In this paper we give an a¥rmative answer of his conjec#ture under some condition and prove that one less �resp� more� crosscap than each gaphas an orientation embedding with a vertex meeting at least � regions �resp� meeting a re#gion at least � times�� We conjecture that the su¥cient condition for the conjecture holdsgenerally and introduce a new method: named step surgery: for signed graph embeddings:by which we brie�y reprove a theorem in 8"9� We characterize all the step surgeries and:by the characterization: <nd some forbidden pairs of step surgeries to restrict a negationof our conjecture�

This research was supported by Com� MaC�

REFERENCES

�� D�S� Archdeacon: Problems in topological graph theory: www�emba�uvm�edu�� archdeac�/� R�A� Duke ��,,%� The genus� regional number� and Betti number of a graph� Canad�J� Math� ��: +�)#+//��� J�L� Gross and T�W� Tucker ��,+)� Topological Graph Theory� Wiley#Interscience:New York�"� J�H� Kwak and S�H� Shim ��,,�� Total Embedding Distributions for Bouquets of Cir�cles: submitted��� J� @Sir=a@n: Duke�s theorem does not extend to signed graph embeddings� Discrete mathe#matics ��: /��#/�+�%� S� Stahl ��,)%� A Counting Theorem for Topological Graph Theory� Lecture Notes inMath� ���: Springer: Berlin: ���#�""�)� S� Stahl: ��,)+� Generalized Embedding Schemes� J� Graph Theory �: "�#�/�+� T� Zaslavsky ��,,/� Orientation Embedding of Signed Graphs J� Graph Theory ��:�,,#"//�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQSangho Shim: Department of Mathematics: POSTECHSan �� Hyoja#dong: Nam#gu: Pohang: Kyoungbuk: South Koreaphone� �+/ �%/ /), +;/�: fax� �+/ �%/ /), ����:e#mail� sharksimXpostech�ac�kr

Page 93: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ������ ,)

A CONSTRUCTIVE ENUMERATION OF SQUARE ANIMALS

E�V� Konstantinova

A constructive enumeration of polycyclic graphs is one of the directions in mathemat#ical chemistry 8�9� In combinatorica this problem corresponds to the cell#growth problemthat stated as follows� An animal is made up of cells �each can be as a square or a hexagonor an equilateral triangle�� It starts as a single cell: and grows by adding cells one at thetime in such a way that the new cell has at least one side in contact with a side of the cellalready present in the animal� The problem is to <nd the number of diZerent animals withup to n cell� The present contribution deals with the enumeration of square animals� Twoclasses of square animals are considered� The <rst class consists the simply�connected an#imals embedded to the square plane R�� The second class consists the multiply#connectedanimals embedded to the R�� This kind of animals contains the �holes� and have two ormore boundaries� One of them is external boundary� Other boundaries are internal anddescribe the �holes� of multiply�connected animals� The necessary and su¥cient con#ditions for characterization of simply� and multiply�connected animals were formulated�The simple algorithm for enumeration of these animals have been realized on the base ofreceived conditions� The numerical results of animals with the number of cells h � �" aregiven� Some combinatorial results 8/9 are de<ned more exactly�

REFERENCES

�� J�V�Knop: W�R�M�uller: K�Szymanski: N�Trinajsti=c ��,+�� Computer Generation ofCertain Classes of Molecules: SKTN�Zagreb�/� W�F�Lunnon ��,)/� Counting hexagonal and trigonal polyominoes� In Graph Theoryand Computing: pp�+)#�;;: Academic Press: New York � London: ��,)/��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQKonstantinova Elena Valentinovna:Sobolev Institute of Mathematics:pr� Academica Koptyuga ": Novosibirsk: %�;;,;: Russia:phone� �+#�+�#/� ��#/�#,": fax� �+#�+�#/� ��#/�#,+: e konstaXmath�nsc�ru

Page 94: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

,+ ������ ������ ������

1^�46^[&q[ 46[-�0�`&\- *6]�^0 ��^01]�]|}q5q �[1&\5q 5]46q�]5q ��^[0

���� 5�����$� : ]�]� ��������

������ �(����� !��� ! ������ �������(��� ������ ���7� G �� p ������ ��#�� ��(!� �(���� � �G� � k�ijk: ��� �ij �!(� '�!�� !�� ���!(�� ����� ����� j: �������� �� ����� vi ���7� G: i � �� /� ���� p � j � �� /� ���� p � �� ����� !(��#$� � �G� ���������(!� $�$ ���� �� ��!������ ��� �� �� $������(�� {�����'�!$�� �� �(���� �����(!� ������'���� !(��$ �� ������� �� ����? !(��$� �����#$� �� ����� ������'� ��(!� ��$!�$����7�'�!$�� 5�(���� � �G� �� '���!� (�$����� ��� ����� §§path degree sequence¨¨ � §§path atomic code¨¨ � �!������ ���!� $�$!(� $( ���� ��!$���(�� ��� !(��� ����� ������� ���$ ������ ���7� 8�: /9�

0 ��$���� ���(!� �( �( �� ��� ����!� : !7�� ���� ����� 8�: �9� q����:���������� ����� !��� ���!(������ ���7� ��� (�'�$ !�'������� ! !� �������������� �(����� !��� � 1 !(� ���7 G �!� ��!�� �������( !��� ���� ! ��#!( ��� ��� �� ��� � (���7��� G !������( ��$��'�!$ � ����� �� : ���� ���#� � ����� a: b � c �� � �� ��: a� b� c� a? ��� �� ! ��!( �( � (���7���:�!(� ������� ���� a ����� ����� � ����!(� ������� ����� b � c� ������� � � $���� ���7� G $�$ ��$����� �� ��!�: ��� '� �� �� ���7� G� � G��

������ ��!� G� � G� ����� ��!�� � � �G�� � � �G���

&� �!�� � .(��� ��� ��(�(� ��!(����� ���7�: ������ �������� �� �!(���������$ � ���������� �����'��� ! ��!( �� ���� �����!(�: ��������!(�: ���#'��� ��� �(�: (���! ����!(��� 4�$: ��� ������ p � /% ! ��!( �( (���! �����$ ��'�!$�� ���7� �����$� p ! !� �������� ������ �(����� !��� �

����

G

uau

buc ����ubuc

ua ����ubuc

uaG�

����ubuc

ua ����ucub

uaG�

�q4[6]436]

�� Bloom G� S�: Kennedy J�W�: Quintas L�V� ��,+�� Some problems concerning distanceand path degree sequences� Lecture Notes Math� Vol� �;�+� P� �),��,;�/� Randi=cM� ��,,;� Design of molecules with desired properties� Concepts and Applicationof Molecular Similarity� John Wiley � Sons: New York� P� ))��"���� Dobrynin A�A� ��,,;� Regular graphs having the same path layer matrix� J� GraphTheory� Vol� �"� P� �"���"+�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ5�����$� ������ ������ �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:��� ]$� {��(���: ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��: e#mail� omelnXmath�nsc�ru�������� ]����� ]��$!�� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:��� ]$� {��(���: ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��: e#mail� dobrXmath�nsc�ru

Page 95: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ������ ,,

6[_[6&\[ *6]�\ �q&[�&\- �#3&q�^65&\- *q1[6*6]�^0��4[1[&&\[ ^*6]&q�[&q� �&q`3 q 1^�q&^5q]��&]�

6]�1^`&]0][5^�4�

|�5�5�(���!$��: ��0�� �����: 6�q�4�$� �'

2������ ,��3 L�H� ��������7� H ���������(!� !�� ���� ����� L�H� ��#�$(� �� !��( �(!( �( ����� H? � � ����� !���� L�H� (���� � (���$�(����: $���� !��( �(!( ���� ����� ����!�$��(!� H� *�������7 ���� ��(!� k�&��3 �����: �!�� ����!(� !�� ��� ����� �� �� k: � ���� ���: �!�� ��$�$�� � ������ �� ���( ����� ����� ����� ������

1 !(� Llk Q $��!! �������� ���7� �������� k# ��7����� ��������7� �

{��!! Ll� �������� ���7� ���!(�� ���7� �� '��(!� �� ��� ��� ������ ����'�

��!����� ���� G � Ll� ���(!� .77�$(� ��� ������(��

1�� �������� $ k � � !�( ���� ����(!�� 0 8�9 ��$�����: '(� ����'� ��!����� ����G � Ll

k ��� ����� $��!(��(� k � � � ���(!� NP#������� ^���$� !� '�� k �� (����� � ������ $��$� 8/9 � �� �!(��� (����� 6�!�� ��$ ( ! ��!( � ������������������ ������(� ������ ����'� ��!����� ���� G � Ll

� ��� ��!(�(�'�������� !(������ ���� ���7� G�

1 !(� �� (�$�� ��������� �����: '(� ����'� ��!����� ���� G � Ll� ��� ���#

�� ������� ���7� ! ��������� !(������ ���� ��G� � �� ������� �� ������#������� ���� `��(�: '(� ��� k � " � ���� � ����'� ��!����� ���� G � Ll

k

��� ���7� ! ��G� � � �!(��(!� NP#������ 8�9� 4�$� ������: ������'���� !��� �� !(����� ���� ���7� ������� ��� !� '�� k � ��

1�� �� ��� ��(�( .(� ����� ������ �� � )� 8�9� 0 8": �9 !(��� ����: '(��� � �,� &�� ��$�����: '(� � � �� � ���

6���(� ���������� INTAS � 1�� �(���!( � 6�!� ���$� _���� !�: ����$(INTAS#BELARUS ,)#;;,��

�q4[6]436]

�� P� Hlin@en=y: J� Kratochvil: Computational complexity of the Krausz dimension of graphs:Lecture Notes in Computer Science ���� ��,,)� /�"�//+�/� ]�*� �� ��: 6�q� 4�$� �': 2������� ,����,��3�: ��!$��(��� �(��(�$� ���,,�� ��/��/,��� R�N� Naik: S�B� Rao: S�S� Shrikhande: N�M� Singhi: Intersection graphs of k�uniformlinear hypergraphs: Annals of Discrete Math� % ��,+;� /)��/),�"� Yu� Metelsky: R� Tyshkevich: Line graphs of linear <�uniform hypergraphs: Journal ofGraph Theory /� ��,,)� /"��/����� M�S� Jacobson: A�E� Kezdy: J� Lehel: Recognizing intersection graphs of linear uniformhypergraphs: Graphs and Combinatorics ��,,)�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ#5�(���!$�� |��� 5������ �':� ����� �(���!�� 0������ �':4�$� �' 6����� q�!�7� ��:_���� !!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:��� ���$����� ": 5��!$: //;;�;: _���� !�:(��� �;�)� /%+#);#",: e#mail� fmetelsky:suzdal:reginagXmmf�bsu�unibel�by

Page 96: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�;; ������ ������ ������

^_ ^�&^5 {�]��[ �0�`&\- �#6[*3��6&\-�^{]��&^�0�`&\- *6]�^0

|���^��� �'

1������ ! ��!( � ���� � ����!( ����!(� ���7� G ! ������� ���'���� ��$�#(����� �� �����(� I�G� ������( (����� ���7� ����� �!(�� { �� �(��!�(!�: '�!(��!(�: �� �!(��� ������� �$� ������ ! ��!( �( �� ���7 G� �$� ����� $�#���� ����� $�(����� ��������( ������7: �����7��� ����� ���7 H�

����� ��� ���7� � �� �����(� ��$�����#$���'��� �������(��� ����� ���7��� ��(��� � $��(��� ������ 5����!( � !�� ���� ���7� G� !����� ! ��$�(�#��� ������ v� ���� ��(!� �$� ����� ����� v� ^�����'� '���� N�G� !��!�$������7� : ���������� �$� ������ ���� ���7� G� *��7 G ���� ��(!� ��$���#��! ����: �!�� N�G� !������( (���$� ! ����� ���7�� 1 !(� (����� H Q $���'�������!( � $���'��� ���7� � 0����$��( !��� ���� (�� ����'��

�� )&'���! !����� 1�� $�$� !�� �� N�G� � H ��� ��$�(����� ���7� G��� ��� !�� ��: $���� ! ��!( �( G� ������ ���� !��!�$ H�

/� ^$����!��� ���� 1 !(� N�G�� � N�G�� ��� ��$�(���� ���7� G�� G�� 1��$�$� !�� �� �(!��� �(�$��( �����7�� G�

�� G���� 1 ���� ���� 0��!��(� ! ��!( �( �� $���'��� ���7 G� ������ ���� H�6���� ��� ��� '��� � ��� ���!���� ��$�����! ����� ���7� : �$!�������

!(����� ���� $�(���� �� ����� "� 0 '�!(��!(�: .(�( ��� ��(�( !������( ���#��� ������ �� Q �� ��� !�� H� !�!(����� �� ! ����� ���7� �����$� " � �����

s

s

s s s

��HH

A

s

s

s

s

sHH��

B

s

s

s

s

sHH��

C

s

s

s

s

s

���HHH

D

s

s

s

s

sHH����

E

s

s

s

s

s

����HH����

F

s

s

s

s

s��HH

G

s

s

s

s

s

��HH

��

H

s

s

s

s

s

��HH

����XXX ���

I

1 !(� (����� M Q $��!! !�� ! ����� ���7� �����$� �: $�(���� �� �����7�����!(�� ���� P�� &�� !(��� ����: '(� $��!!�M ! ��!( �( (�'�� �!(�����(����$��!!� Mi ��� $�(���� ������� �� ���( �������

M� � fCg� M� � fDg� M� � fEg� M� � fIg� M� � fC�Fg� M� � fA�B�Eg�M� � fA�E�Gg� M� � fA�G�Hg� M� � fA�B�D�Eg� M�� � fA�B�E�Gg�

M�� � fA�D�E�Gg� M�� � fA�E�G�Hg� M�� � fA�B�D�E�Gg�M�� � fA�B�E�G�Hg� M�� � fA�D�E�G�Hg� M�� � fA�B�D�E�G�Hg�

��� $������ (�$��� !��!$� Mi �i � �� �%� ����� ������� ����!( ����!(� � $�#��'��!(�� {��� (���: !� '��: $���� ����!( ����!(� ��� ��(!�: ���� ����! ������ ������ !�� ! ����� ���7� G� $�(���� N�G� �Mi� 0 '�!(��!(�: ��� '���� ��� ���!���� ! ����� �#��� ������ ���7� : �$� ����� $����� ����� $�(������������( ������7: �����7��� ��$�(��� .����( ����!( � M�

6���(� ���������� ����(�� _���� !!$��� ��!� ���$��!$��� 7���� 7 �����#(������ �!!���� ���� ��,+M#;��� � 7���� INTAS �INTAS#Belarus#,)#;;,���QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ^��� �' |��� ������� �':q�!(�( ( �(��(�$� &]& _���� !�: �� � ����� � ��: 5��!$: //;;)/: 6�!� ���$� _���� !�:(��� �;�)� /+"#�)#%/: 7�$! �;�)� /+"#;,#��: e#mail� orlovichXim�bas#net�by

Page 97: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ������ �;�

�^*q�[�{]� 5^�[�� `]�]�q1^q�{] *]5q��4^&^0] �q{�]

]��� 1��(��$�

0 ��������: ��� $����� NP#������ ����'� ���( ��(� ��!(����� � �� � 7 �$#��� f 8�9� ^��'��: '(��� ��� '�(� � �� 7 �$���: ��� � ����' ���� ! �!(� $����'� 0\1^�&q5^�4� �0\1�� { !��������: $�$ ��� ���: ��������� ������������'� 0\1 � ���(!� 7��������� ���!( �(�����: ��� ���!� ��( ��$�(�� � ��#��(������� ��� � ��� 4������� ��� �'�!����� ������ ����'�� &������:�� �!(�� !��!��� ��!(������ ����'� 0\1 ��� ����'� ���!$� �����(��� � ��$��8/9� ^'� ����: ��������� .(�� 0\1 � ���(!� 7��������: (���: .(� ������#�� �� !���!(� ���� ��$�$�� ���7� �� .����(��

5� $��!(� �� � ����'�!$�� ��������: $�(���� ���������( ! ��!( � ���� ��#���(��� � ��$�� ����� ����� �������(��� ���� ���7�� _ �� � ���������.(��� �������� !��( �(!( �( ���7� � .����(�� ��� ��!(������ ��������� �!����� � � � ��������������

1�� �� �������������: �� $�(����� � �!����: !�!(��( (�: '(� deg�x� � /��� !�� x � X ���7� G � �X�E��

0(���� ������������� !�!(��( (�: '(� ��� ������ ��$�� C�S� ���7� G ��#��!( � R�S� �� � !(�: �!�� S � X: ��� S �!(� ����!( � ���� ��$��: � R�S��!(� ����!( � ��� ����� �� E�S� (�$��: '(� $����� ����� ���� ���( (���$� ��� ���� S � .(� ����� �� ���( ����� ����� S�

1�� '����� ����� �!(� ����'�!$�� 7�� ���� $� !�� �� ! ��!( � ���� ��#���(��� � ��$�� � �!����� �( m � �� �� ���������: ��� m �!(� '�!�� ��������7�� 2(� � �� � �������� �!(����: �!�� � (���$� �!�� �!������ ���7 �����#(��� �

0 ���� !� '��: ��� '����� � �� � �������� ���( ��(� .$!����������� ����� �'�!�� � �� �� ��(����� � � ���( ��(� �!������ ��� ��� ��!(������ ���#����� ������(��

����������

8�9 P� Crescenzi and V� Kann� A compendium of NPoptimization problems� Technicalreport: Royal Institute of Technology: Stocholm: �,,+� This is the catalog ofNP optimization problems� Also available at ftp���ftp�nada�kth�se�Theory�Viggo#Kann�compendium�ps�

8/9 K� Iwama and S� Miyazaki� Sat#variable complexity of hard combinatorial problems�In Proc� �<th IFIP World Computer Congress: pages /���/�+� Hamburg: August �,,"�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ1��(��$� ]��(���� ��(��� �':0�����$�� ��!(�( ( ������������ .$����$� � ��� �����: �� {����$��: %;: $ � //: 0������: /+%;/�: 3$�����:(���� �;"�/� "�+,��: e#mail� aplot�tom�vinnica�ua

Page 98: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�;/ ������ �������� ������ � ������� �������

]�*^6q45 0\�q��[&q� 4^�&^� {^&�4]&4\ �q1~q�]

[� *� _��� !�

6�!!�(�� ��(!� (�'�'��#����!( ����� �(���������: ���� ���� $���'��� !�#!(��� �������� ���� ��!(

A�� � fx � En j aix � i� i � I � f�� � � � �mgg� � © ���

��� ai � En� © � f � Em j A�� � g�1 !(� g��� � ����� ���(����(������ �� Em 7 �$��� �

��X�Y � � supx�X infy�Y jx� yj � $������� ����!( � X �( ����!( � Y �*� ���(: '(� '�!�� Lg �!(� (�'��� $��!(��(� ������ ��� !�!(�� ��� �(��!�#

(����� 7 �$��� g: �!�� �������(!� � � !�� ��

�� ��A��� A���� � Lg � g� � �� � � � ©

/� �� � � © � ��A��� A���� � Lg � g�� ���

1 !(�fai� i � Jg� ��� J � I� � ������� ���� �!��� !�!(�� �$(��� : AJ ��aij�i�j�J � �aiaj�i�j�J � �(���� *���: ��!(������� �� .(�� !�!(�� �$(��� ? BJ ��bJij�i�j�J � �(���� �� ����(���� ^������� � � '�!�� �� ����!( �

¢� � f � ��bJjj j �J � I� j � J � bJij ; i � Jg�

¢� � f � E� j �J � I� � � AJ� � �� �i ; i � Jg�

[!�� !���� �$(��� fai� i � Ig �!(� ��� �� ��: (�: �'� ����: ����!( � ¢� � ¢�� ��� !(�� � $���'���: ��!$���$ !���� a�i � ¢� � ¢� ��� ai � ;� [!�� ��� .(�m � �� �� ¢� � ¢� � fa��g� q��( �!(� !��� ���� ( �������� �!�8/9��

4[^6[5]� ��� !�!(�� �������� ���� ��!( ��� (�'��� $��!(��(� ������Lg� � Lg� �(��!�(����� 7 �$��� g���� �

Pmi�� j�ij � g���� � j�j � �

Pmi�� �i

����� �� ��

Lgi � ���min¢i����� i � �� /�

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6��q: ����$( ,+#;�#;;�/%�

�q4[6]436]

�� _��� !� [� *�: ]������ 0� *� 6������!(� � !(��'� �!(� ����' �������#������� ��������� ���� � 5�� q��# � 5*3: �,,��/� _��� !� [�*�: ]������ 0�*� ^ (�'��� $��!(��(�� ������ � -�77��� ��� !�#!(�� �������� ���� ��!( �� 0�!(��5�!$� �#(�� ������: 0�'�!�� �(�� � $�������,,,� No�"� ��/+#�/�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ_��� !� [ ����� *������� �':���7�!!�� 2$����'�!$��� 7�$ ��(�(� 5*3 �� 5�0������!� �?5�!$ � ��,+,,: 0������ � ����: 2$����'�!$�� 7�$ ��(�( 5*3?(��� �;,��,��/%�+: 7�$! �;,��,�,;+)): e#mail� begXbelousov�pvt�msu�su

Page 99: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ �������� ������ � ������� ������� �;�

1^�q&^5q]��&\[ ]�*^6q45\ ��� 6[~[&q� �q�4[5 �q&[�&\-36]0&[&q� q &[6]0[&�40

^�&�0��(� : 0�q�`��$����� : ]�|�����(�

6�!!�(�� ��(!� !�!(�� �������� �� ����� � ���� ��!( �(��!�(����� ����#����� x � Rn � y � Rm !��� ����� ����

Ax� y � ;� x � 8;? /e9� y � 8;? /e9� ���

`��!� ������ �$(�� b � Rm � �(���� A � Rm�n: e # �$(�� �� ������ !��( �(!( #���� �������!(�� &�������� ���� ��$���(�: '(� !�!(�� ��� ��!� �!(��: �������(� �� ��� !(��� �������

��� ������ ����'� ���������(!� �!������ �(� ��� ������(� ��(������� $�� !� ���(�������� � (�: � ������!� ����(����� ������(� �� 8�9 $ ������� ��#���� !�!(� �������� �� ����� � ���� ��!( � ^�� �������( �������������(����(�'�!$�� ����$�� �� �!��!(� ����� �'�!����� �( �������!(� ����'��{��� (��� .$!������(������ �!!���� ���� ��$����� �� .77�$(� ��!(� �� ���$(�#'�!$�� ����'��� 2(�( ��� ��(�( �� !�� ���: '�!(��!(�: ����'�� ������ !(��(�# �� (�'$�: � (�$�� .77�$(� ��� ������ �� �� ������ �'�!��(������� �����!!� !� '�� !� �!(��!(� ������'���� ����'� � $��(����: ��� �������� ��� ������#!( � ��!� �!(��� ����' ����(�7����� �(� ��!� �!(��!(� �� ��� �� �� �(�������� ��!( ����� .77�$( (�$�� ���� ��������� �����(������� � ����� ���$�� ��#���$!����� $�� !� ���(�������� � (��

q!!���� ���� �������(!� ��� �������$� 6��q �����$( ;;#;�#;;��;��

�q4[6]436]

�� `��$����� 0�q�: ����(� ]�|� �&� �� ������(� ��(������� $�� !� ���#(�������� � (���� ���!$��(��� ������ � �!!���� ���� ���������: �,,,: !���� /:(� %: ��: !���#"/�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ0��(� ^��� &�$���� �': `��$����� 0������ q ��� �':����(� ]��$!���� |��� �':q�!(�( ( !�!(� .�����(�$� ����]�5����(�� � �^ 6]&: �������(� �: ��;: q�$ (!$: %%";��: 6�!!��:(���� �+#�,�/�"%#�)#%": 7�$!� �+#�,�/�"%#/)#,%: e#mail� <alXisem�sei�irk�ru

Page 100: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�;" ������ �������� ������ � ������� �������

^4\�{]&q[ &^65]��&^*^ 6[~[&q� 0`]�]�[ �q&[�&^*^ 16^*6]55q6^0]&q� � 1^5^}�|

_[`3��^0&^� ^14q5q`]�qq

]�q�*���$� : |�*�[ ( ��$�

^���� ����'� ��������� ��������� ���� ��1�: �������� $�����'�!$� 7��#�: (��� ! ������'����� (��� �� ��!( �� ������(����� ��(��(�: ����!� ��(!� ��$�(��� ��(����������� ���: '(� �!(�!( ���� ������ ��� ���( $ ��������#� � ��!(�(�'�� !�� �� ��(������!(�: �(��'�� �( !�� �� { ��#4�$$����2(� �� �� 7�� ���� $� ��(������!(� ��� ����( ���� ������ ������(� ���#��� ����� ����'� �1 � �$(�� �� ���$ � ��!( ����� ����'� �1 ! ���������� $���� �� ����� ���������� �������� 2(�( ������ ��� ���( $ ����'� $ ����#(�'���� ��������� ����: '�!�� ��������� $�(���� �� �� � ����� '�!� ��#������� �!������ ����� ����'� �1� � ��!( ����� $ ��� �!(� ����'� ��� !�� ����$!������� $ !�'��#$ ����(�'��� ��� (�� ��77������� ��� 7 �$��� ! '�!����������� �� ������ ����� '�!�� ��������� �!������ ����� ����'� �1� 1���� ��(�(� ������ ����'� ��� !�� ��� �$!������� ��������� ������ ���#�� � � ��!( ����� ����' �1 ���$� �'�!���(!� �� ���!(� 7�� ��� 0 ��������#��� �(���� ����'� ��� !�� ��� ��(������� �� !������( �����(�� � ����(!�����$��(�� �(��'�� �( �(��� $ ����(�'��� (��7��� 7 �$��� ��� ��� ������#���: ! ��� ! $�(���� ��$��� ��(!��6���(� ���������� ����(� 6��q ,,#;�#;��+% � �������� ��! ���!( ����� ���#����$� �� ��� �� '��� $��: ����( ;;#��#,%;+;�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ*���$� ]��$!���� q���':0�'�!��(������ ���(� 6]&: ��0� ��� � ";: 5�!$ � ��),%):6�!!��:(����+#;,�����#"/#�;: e#mail� golXccas�ru

[ ( ��$� |��� *� ���� �':0�'�!��(������ ���(� 6]&: ��0� ��� � ";: 5�!$ � ��),%):6�!!��:(����+#;,�����#;;#/;: e#mail� evtXccas�ru

Page 101: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ �������� ������ � ������� ������� �;�

16�5^� �[{^51^`q�q^&&\� ]�*^6q45 6[~[&q�`]�]� �q&[�&^*^ 16^*6]55q6^0]&q� &] ^�&^0[

^_^_}[&&^*^ 5[4^�] 36^0&[�

[�*� *���(���: &�]���$���

1 !(� f Q !��!( ����� �� $��� 7 �$���: �������� �� �� $�� ����������$�G � Rn: ������������� $���'��� ���'����� � ������ � �� �� $�� $���$(�G� � G� 5����������$ G ����� �����(�'�!$� ��� !�!(�� �������� ������'�#���? ����!( � G� � 7 �$��� f �����������(!� �������� ! ������ ���&�� ���#$�(����� ������(��� ��� ����� ������ (�'$� x � G ���$ � ��!���(: ����������(�� ��� G� ��� ��(� �!�� x � G�: (� ���$ � �'�!���( f�x� � ��$�(���� ! ��������(lx � �xf�x�? !� '�� x � G� ���$ � ����( ��������!$�!(�: �(������ � x �( G��

0 ��$���� ��� ���(!� ���$#!��� �(���: ����������� �(�� �� ��� 8�9�8/9 �������'� ��������� f �� G� � ������ ���$ �� !(���(!� �(���(� ��� ��!���� �(�#����!(� (�'�$ xl � G: l � �� /� � � � � [!�� G� ���( ��� !( � � (�����!(� �!������(�� ���� !� r ;�: (� 8�9 ! ��!( �( (�$�� l: ��'���� ! $�(�����

; � f�xl�� minx�G�

f�x� � cl����� l � l�

��� l Q '�!�� ��������� $ ���$ � : � l � c �� �!�( �( L �$��!(��(� �������: d�����(� G� � r�

1�������� ����������� �(��� �� ��� $ ����'� ��������� ��������� ����:�����(�� �� � � ��(�$������ ���$�: ��� ���( $ !������� ������ ��$���������#���� ������(�: ��� ���� �����( ��!(������ ���$ ��� ^(������ ��!!�(��� '�!(#��� !� '��: $���� ���� �� ��(�$������ ���$� ���( ���'��#���������� � !(� $#( � � ������� �������: ������ ���� ���������� �(�� �� ��� � ����� ��$�#����������� ������(� 1�� ����� ��$���� ��� ��(�(� (�!(��� ���� ������(�� ������� ����!(��� �( �� �!�$ � �'�!��(���� � .77�$(� ��!(��

6���(� ���������� ����(� 6��q ,,#;�#;��/��

�q4[6]436]

�� C� Lemar=echal: A�Nemirovskii: Yu� E�Nesterov ��,,�� New variants of bundle methods�Mathematical programming �: �����")�/� [� *� *���(���: ]���&���� !$��: |�[�&�!(��� ��,,�� ?�� $ &� !�� � �, � �'���- � ���� /���-� 2$����$� � �(��(�'�!$�� �(��� �: �%"��+;��� K�Beer: E�G�Gol>stejn: N�A� Sokolov Minimization of a nondi�erentiable convexfunction de�ned not everywhere� Optimization � ��'�(���

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ*���(��� [ ����� *������� �': ���(������� .$����$�#�(��(�'�!$����!(�( ( 6]&: &���� !$�� ���!��$( "): 5�!$ �: ��)"�+(��� �;,����/#"/#�): 7�$! �;,����;#);#��: e#mail�golshtnXcemi�rssi�ru

��$��� &�$���� ]��$!����� �': ���(������� .$����$�#�(��(�'�!$����!(�( ( 6]&: &���� !$�� ���!��$( "): 5�!$ �: ��)"�+(��� �;,����/#"%#��: 7�$! �;,����;#);#��: e#mail�sokolovXcemi�rssi�ru

Page 102: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�;% ������ �������� ������ � ������� �������

2��[{4q0&\[ ]�*^6q45\ 6[~[&q� `]�]��^ �1[�q]��&^� �463{436^�

M�0�1 �� �

0 ����(� ���������(!� �(���������� �(��� ������ ����' ��������� � $ �#���(�'���� ��������� ���� ��� (�� !� '�� : $���� �(���� ������'���� � $ �#���(�'���� 7 �$������� ���( ���'� � ! �$������� ��� ���(�'� � !(� $( � �6�!!�(������ ������(� � ���(!� ���7�$����� �(��� !����$!��� ���� ��#���: �(��� {����$���: �(��� 6������� � �(��� ��$���� ��� (���: '(��� ���#��(� .77�$(� ��!(� (��� ��� ����� ������(�: ����(� 8�9 ���� ����� ����(��{�.77�����(� 3������� 4� ���$�!(� �{34�: �� ���� �(������ (� ���$�!(����7����� ������ ������(� $ (� ���$�!(� ������(�: �� '�(� ������ !(� $#( � ����'�� 0 ��$���� 8/9 ���� ��� ����� ����$� �������������� ��� {34 ���$������ ������(��

q!!��� �(!� �����(��� ����� ����$� (�'��!(� ��!!�(������ ������(� ������������� �� $��$��(��� ����� 1�� .(� �!������ ��!� ������(: ��������������{� *�� �� � ��� ����$� !(��'� �!(� ��$�(����� ������(� ������ !�!(��������� �� ����� �!� 8�9: 8"9��

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6��q: ����$(� ;;#;�#;;+;" � ;;#��#,+++" � ��1 �q�(��������: $�� /)"�

�q4[6]436]

�� ]���� ��5�: 1 �� � 5�0� 5�(��� � (������ (�'$� ��� ������ ����' !� !��#�������� !(� $( ���� �� q���(���!( � q5 �� �� �� ������ � �^ 6]&� �,,)��1������(�/� 1 �� � 5�0� ^ $�.77�����(� ������� (� ���$�!(� ��� ����' !� !����������!(� $( ���� �� 5��� �������� �����!$�� {��7������� �� q!!���� ���� ^����#���� �,,+ �� �(��"%��� *�� �� ��{� 6����� !�!(� �������� �� ������ �� &� �!����!$� &� $�� �,+;�"� *�� �� ��{� � ��� *����(��� ����� (�'��!(� ������ !�!(� �������� �� ��#��� � $���� �� ���!(���!( ��� �� &� �!����!$� &� $�� �,++�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ1 �� � 5����� 0������� ��: &*3:%�;��/ ��&� �!����!$: �� ���������������: %��#�%�:(��� /�#��#,,: e#mail� pudovXssd�sscc�ru�

Page 103: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ �������� ������ � ������� ������� �;)

^_ ^�&^5 ]�*^6q45[ &]-^��[&q� ^_}[*^ 6[~[&q�1]6]5[46q�[�{^� `]�]�q �q&[�&^*^ 16^*6]55q6^0]&q��

6� �� -��� ����

{�$ �� �!(��: ������ ����'� ��������� 1�������� ���� ��1� ���� !� #'�� ����!(� ���( !���� �� $��� ����������$: � ������!� ����� �� ������ ��#��������$� ������'���� .(�� ����'�� q� �!(��� �(��� ������ ����'� �1: (�$��$�$ !����$!#�(��: �(�� {����$��� � �� ���: $�'�!( � ������ ����'� �1���������( ��� '�!(��� ������: �� ���!� �� ��� .(� !��� ����!( � ����������'��

0 ������ ����(� ��!!�(�� ��(!� ����'� �1 ���� ���: $�(���� $�'�!( ������(�� �!( ���( �$(�� ��� �� '�!(�� ������'����� 3$���� ������( ����#�(��'�!$��� ����������� !��� ����!( � ������ ������ ����'� �1 �( �$(������ �� '�!(�� ������'�����

1�� ���!���� ������� ������(� ���$� �!����� �(!� ������� � ��!( ����#!(� ��� !�!(� ���������� �������� ���� ��!( � 4�$�� �!����� �(!� ������(5��$���#_ ����� �� ������ ���!����� �!�8�9� ���������� ������ ������ !�!(��������� ���������� ���� ��!( �

�(��( (�$�� �(�(�(�: '(� �����!!� ��������� ������������� ������(� �!#������ ����'� �1 �� ����'� ��������� ��(������� ! ���(!� $ ����'� �����������(��������

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6��q: ����$(� ;;#;�#;;+;" � ;;#��#,+++" � ��1 �q�(��������: $�� /)"�

�q4[6]436]

�� �����$� ��&� �������� ���� ��!( �� �� 5�!$ � � &� $�� �,%+�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ-��� ���� 6���� ������ �':&*3: %�;;,; ��&� �!����!$: �� 1����� �: �%�e#mail� railXsibproject�siberia�net

Page 104: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�;+ ������ ���������� ����������������

^_6]4&\[ `]�]�q 5]4[5]4q�[�{^*^ 16^*6]55q6^0]&q�

0�1� _ ��(� : 0�0� � �� ����: ]�q� -��( �

6�!!�(�� ��(!� �����(��'�!$�� !���!( � ����' �(��(�'�!$��� �������#�� ����

minf��x� u� � g�x� u� � ;� x � Rxg� ���

��� Rx � En # $���$(: u � Em # �$(����� �����(�: ��x� u� # ������� ��� !$����#��� 7 �$��� ! ��� ��� ��(� : g�x� u� # ������� ��� �$(��#7 �$���: �g � Em���

4��� �(!� ���(� ��� �$(��� x�� u� :

x�� u� � Rx�u � fx� u � f�x� u� � ;� w�x� u� � ;� u � Rug� �/�

��� f � Em�� w � Em� # ������� ��� �$(��#7 �$���: Ru � Em� $���$(: (�$��:'(�

x� � Argminf��x� u��� g�x� u�� � ;� x � Rxg ���

`���' �/�#��� � �� ���� �(�: !��� � 8�9: ����(��� ����'�� �(��(�'�!$��� ���#������ ����� 0 �������� � �� ����������(�: '(� ���� �� 7 �$��� ��x� u�:� (�$�� �$(��#7 �$��� ������'���� g�x� u� �� $�� �� !� �$ ���!(� ���������x� u�: Rx � Ru # �� $��� ��$� (�� ������'����� ����!( �: f�x�u� # �� $�#�� �$(��#7 �$��� �� !� �$ ���!(� ��������� x� u� w�x� u� # �77����� �$(��#7 �$���� 0 ��$���� ���������(!� '�!������ �(��� ������ ����'� �/�#���� ��#$��� ��(!� �� !�����!(� � ����� ��(!� !�����!(� �'�!��(������ ������ � 8/9�q!!��� �(!� �������'��� ����(��� ����'� ��(�������� ��� ����� �������� !�#!(��� ���$�� ����� ��77������������ �� ����� � ���������� ����(��� ����':! ������� ! ������� ���� � ���������� ���� ����� ��!( � !���!$������!( ��������� $����

�q4[6]436]

�� ]�(���� ]��� ^���(��� ����'� ��(�������� ��!(��� $� ����'� � ������� $������� �� ��� ^���(��� ����'� �(��(�'�!$��� ��������� ����: 5�!$ �:0� 6]&: �,,/ ��/� _ ��(� 0�1� 5�(��� ������ ����.$!(�������� ����' ����������� ���!$���0 $�� 5�(��� '�!������� ������� � ��(�������: &� $�: &� �!����!$: !� ���#��):�,+) ��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ_ ��(� 0������� 1� �� �': � �� ���� 0�$(���� 0������� ��:-��( � ]��$!���� q ��� �':q�!(�( ( �����$� !�!(� � (����� ��� �����:q�$ (!$: �� �����(� �: ��/:e#mail� bulatovXisem�sei�irk�ru

Page 105: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���������� ���������������� �;,

5[4^� ^4\�{]&q� �[��^0^� 4^�{q0\13{�^#0^*&34^� �3&{�qq:

^_�]�4� ^16[�[�[&q� {^4^6^��^�[6�q4�� 0 5&^*^*6]&&q{[

[�*� *���(���

1 !(� Gx � Gy Q �� $��� ����������$� $���'������ ���!(���!( �: G�x �

Gx � G�y � Gy Q �� $��� $���$(�: G � Gx � Gy: G� � G�

x � G�y : f Q 7 �$���:

������������ $���'��� ���'����� �� G�� 1����������(!�: '(� f�z� � f�x� y� Q �� $��# ��� (�� 7 �$���: �� ��( ������� !�� �� ������ �� x � G�

x � y � G�y

! ��!(������ L� 5����������$� Gx � Gy ������ �����(�'�!$� ��� � � !�!(��������� ���� ��!( � {���$(� G�

x: G�y � 7 �$��� f �����������(!� ��������

������(�'�!$�: (� �� ! ������ ��$�(����� ������(�: ���� ����� ���&� �� �������� ������ (�'$� z� � G ���$ � ��!���(: ����������( �� ��� G� ��� ��(� 1��.(�: �!�� z� � G�: (� ���$ � �'�!���( f�z��: � (�$�� ��$�(���� ! ��������(lx � �xf�z�� � ! ����������( ly � �yf�z��: � !� '�� z� � G� ���$ � ����( �����#���!$�!(�: �(������ � z� �( G�� 0 ��$���� ���(!� ���!���� � ������ ���������#���� �(���(� ���� �(��� �(�!$���� !���� �� (�'$� f �� G�� q!����� � ��7���#���: ��� '��� � �( ���$ ��: �(�� !(���( ��!���� �(�����!(� (�'�$ z�� z�� � � � �� G� 7���� �( �� ��� �� k �� '���� (�'$ z�k: � ���� �!� ����������� ��� �!$�#�� !���� �� (�'$�� 1�$�����: '(� !� '��: �!�� G� ���( ��� !( � � (�����!(�:! ��!( �( (�$�� k: ��'���� ! $�(����� z�k � G�: ���'�

maxy�G�

y

f�x�k� y�� minx�G�

x

f�x� y�k� � ck����� k � k�

��� k Q '�!�� ��������� $ ���$ � : k � c �� �!�( �( L: ����(�� G � ���� !� ���:!����������!� G�� `���'� �(�!$���� !���� �� (�'$�: ��!!�(�� ���� ��$����: ����$��(: �������: ��� ���������� ��$������������� ������� ������� � �#� $�� ��������� �����

6���(� ���������� ����(� 6��q ,,#;�#;��/��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ*���(��� [ ����� *������� �':���(������� .$����$�#�(��(�'�!$�� ��!(�( ( 6]&:&���� !$�� ���!��$( "): 5�!$ �: ��)"�+(��� �;,����/#"/#�): 7�$! �;,����;#);#��: e#mail�golshtnXcemi�rssi�ru

Page 106: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��; ������ ���������� ����������������

^_ ]�*^6q45]- � 1]6]5[46q`^0]&&\5q &]16]0�[&q�5q0 1�[0�^0\13{�^5 16^*6]55q6^0]&qq

q���`���(��

1��������(!� ������(� ������ ����'� �!� �� �� $���� ��������� ����: $�(���� ����� ����� �(����������� �������� ���( �� �������� $�������� ���#����(� �$(� ��� ������'���� � ���� �� 7 �$���� ��� �(�!$���� $�.77�����(� $�������� ������� �(!� ��$�(���� !�����(������ 7 �$��� �� !��������������� ��!(������ ����!( �� ^��� �� ������(� (�$��� (��� ��� ��!(���� 8�9 ��� ���������� .$!(�� � !����� �� $��� � ���� ������� �� ��77������#� ��� 7 �$����

6���(!� ����'�minx�D

f��x�� ���

��� D � fx � Rn � fj�x� � ;� j � Jg � f��x�� fj�x�� j � J� # �!� �� �� $��� ������� ����77������� ��� n # ���� � $���� � ���!(���!( � Rn 7 �$���: ����!( �D �� ��( ����( !�� �� ����(����

1���������� ������(� ���������� !��� ���� ����� !����� 1 !(� ��!(���#�� (�'$� xk � D� k � ;� �� ��� ^(�!$� ��(!� yk # (�'$� ��� � ��$�(���� !�����#(������ 7 �$��� Fk�x� �� ����!( �

Dk �

���x � Rn � x � xk �Xi�Ik

�ifi��xk�� fj�x� � ; j � Jk� �i � R�

��� �

��� Jk � fj � J � fj�xk� � � kg � Ik � fi � JkSf;g � fi ��x� � ;g � k ;� ����� ������#

�(!� xk�� � xk��k�yk �xk�� ��� ��� �k ������(!� ����� !��!���� ! !�� ��xk�� � D� ]�����(� �����'��(!� ��� 7 �$��� Fk�x�� &������: ���� ��#����(� Fk�x� � kx� xk � kf�

��xk�k � k ;� ��� Fk�x� � hf���xk�� xi � ��� $�����

7 �$��� Fk�x� ��� '�� $��(���� ��(������!(� (�'$� xk: ��$����� !�����!(� ��#����(� : ��!(����� �����������

`��(�: '(� ��� ���������� yk ������� �(!� !�����(������ 7 �$��� �(��������� �i� i � Ik: ��� ������'����� fj�xk �

Pi�Ik

�ifi��xk�� � ;� j � Jk� 1�.(�

�������!(� ����'� ���!$� ����������� ����� ����� ����������� ������(���� �!�( �( $���'�!( � ����$!� ����!( � Jk: � �� �( '�!�� ��������� � ����#��'���� ����'� ���: $�$ �������'��� �� �!(��� �(���� �� $���� ���������# �����

�q4[6]436]

�� `���(�� q�����,,)� +�, ���� !� � , � �-$�� � ���������� !������ ������!����-�� $�- ��$�� &�� !� �������.��� q� � �� �5�(��(�$� ��: �)#/,�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ`���(�� q���� ���!�� �':{����!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:{���� !$��: �+: {�����: "/;;;+: 6�!!��:(��� �+#"�/� ��#�"#��: e#mail� igor�zabotinXksu�ru

Page 107: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���������� ���������������� ���

53��4q�4]�q�&\� 5[4^� 16q0[�[&&\- &]16]0�[&q� 4q1]�[&46^0 ��� `]�]�q &[�q&[�&^*^ 16^*6]55q6^0]&q�

0��� q� ($��

6�!!�(�� ��(!� ����'� ����������� ��������� ���� ! ������'����� # ����# ��!( �� n#���� � $���� � ���!(���!( �� ��� �� ������ ����� �������(��������� !��� ��!(������ �(��� ��� ������� ����� �����: ��$�� $�(���� ��#�� (����(�'�!$� ���!�� ��� � �������� ������� ��� ���$(�'�!$� !� �� �!(����� ��� �(��� ��(�������� 1�!(������ �(��� ��$�� ������ !��� ��� ���#�( !������(� �(��� ������ (��� � �����$� ���� �'�!��(����� ������(�:$�(���� !�'�(��( !��� �������� � !�����!(� � !�� ��(����� ���$�� �'�!��#(������ ��(��(� ���� �( ��(������� (�'$� ! �!�$�� !$���!(�� !�����!(� �$��!(��!(� �������

1��������(!� !��� ���� ��(�!(������� ������( ������ ����'� ����Q �� ��� �� !(���� �'�!��(������� �����!!� ��� ������ �!������ ����'� ���#����(!� �(�� ����� ���(�� 8�9: ����(�����: $�$ ! � (������ (�'$��: (�$� ! (�'$��: ������� �� ��� !(���� ����!( ��Q �� (���� !(����: $�$ (���$� (�'$� �������( � (�� ��� !(��� ����!(�: ����#���(!� �(�� � (������ ���(�� 8/9 ! �������� (���$(����� � ������?Q �!�� �!������ ���� �������� (���$(���� �� ���( ��!(�(�'���� $�'�!( � ������#�����: (� ��� (�'����� ������ �� (��(��� !(���� �!����� �(!� �(�� � (���������(�� ! $�� ��������� (���$(����� � ������ 8�9�

5 ��(�!(��������(�� $��'�� ��(��������� � ������� � !�!(� ^���:! �!������ ���� $�(���� ���� ��� ����� '�!������ .$!������(� ��� !�� �������!(�������� �(��� ! ���� ��� 6���(� ���������� ����(� 6��q ,,#;�#;;)�,

�q4[6]436]

�� q� ($�� 0���: _���� ]�0� 5�(�� ����� ���(�� ! �!������ ���� ���# �������� �������(� ��� ����'� ����������� ��������� ���� �� q� �!(�� �� � 5�(��(�$��#�,,+�#N �/�# C� ",#�)�

/� q� ($�� 0���: 1�(���� �� !$�� 5�0�: _���� ]�0� 5�(��� ���(�� � ����#����� 7 �$��� ��� ����'� ����������� ��������� ���� �� q� �!(�� �� �5�(��(�$��#�,,%�#N �/�# C� �/#"��

�� Izhutkin V�S�:Petropavlovskii M�V� The Hybrid Methods of the Reduced Directionwith DiZerent Cost Functions for Solving Nonlinear Extremal Problems ��Proceed#ings of the �)#th International Conference �Mathematical Methods in Economics�:Jindrichuv Hradec: Czech Republic: �,,,: P� �/)#��/�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQq� ($�� 0�$(�� ������ �':5����!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:��$��#^��: ���������:�: (���7�� �+�%/���%/,�:7�$! �+�%/���"�+�: e#mail izhutkinXmargu�mari�ru

Page 108: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��/ ������ ���������� ����������������

{^66[{�q� 1[60^*^ 1^6��{] 6[~[&q�0^`53}[&&^� `]�]�q 5]4[5]4q�[�{^*^ 16^*6]55q6^0]&q�

&] ^�&^0[ 16q0[�[&&^*^ *6]�q[&4]

0��� q� ($��: 5�0� 1�(���� �� !$��

0 ������!( � ����' ��(������� �!������ ��7������ �� �!(�� ! ��$�(�����������!(��: ������� $���� �����!!� �(��(�'�!$��� ������� ���� �����#��(!� �����$!���� �(� ����� ���!(�� 7 �$���� !������ �� �!��!(�: ������$�(���� ��������� ��� ��!(������ $��(���� ��(������!(� � ������'����� 1�#������ �� �����$!����� �!����� �(!� ��� ��!(������ � ���������� '�!�������(��� ��(�������� 0!� .(� ��� ���( $ (� : '(� 7�$(�'�!$� ����(!� �� ���# ���'������ ����'�: � ��$�(���� ����$�� $ ���: $�(�� � ���� ��!!�(�� �(� $�$ �� ����� ��� ���'������ ����'��

� ��!( �( ���������!(� ��(� �(��� ��!(��� $����$��� ������ ��(��#��������� ����'� ��� ���� ��������� � �� ������� �� ������� 1�� $����$����������(!� ��!(������ ������������� ������ �� ������ ����'� ! ������ ��#�� ����� $ �� �!(�� ������ �� �� ������ ����'� ���� ��� $�: ���'� .(���� $� ������ ������(�!� �� ��(������� ! ��!( ���� ����� ���!(�� ����� ���#�����: ��������� ��� $ ����(�'���� ��������� �����: '� �!�������

4����� �� ����� �(��(�'�!$� ��������� ���� � �(��� $����$��������� �� ������ ����' �������� �������� 8�9� 0 ������ ����(� ���������(#!� ���7�$���� �(��� $����$��� ��� ��� �����$� 8�9 ������ �� ������ ����'��(��(�'�!$��� ��������� ����: �!�� ����� �� ����� ������� 8/9 $ ��!(�������(��� ������ �!������: �� �� ������ ����'� : ! �!������ ���� ��� ���������������(�� q!������ ���� ��� ��� '���� ������ �� ������ ����'� (�� �� �'�#!��(������ ������ �: '(� � ��� ������ �!������ ����'�: ��� ����( ���$� ��� '�(��� � ��� $ $ ������ �� �� ������ ����'�� 6�� ��(�(� '�!������ .$!����#��(� �� $����$��� ������ ���������� �(��� ��$�$���� ��� .77�$(� ��!(��

�q4[6]436]

��_�!���� ^�)� 4����� �� ����� �(��(�'�!$� ��������� ���� � �� ���#�������� 5� �&� $���#�,,/�#�%; ��/�Izhutkin V�S�� Petropavlovskii M�V� Methods of Reduced Directions with DiZerentialMerit Function for Nonlinear Programming �� Operations Research >�,,/� Physica#Verlag�# Heidelberg�#�,,��#P��++#�+,

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQq� ($�� 0�$(�� ������ �': 1�(���� �� !$�� 5����� 0�'�!�� � �':5����!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(: ��$��#^��: ���������:�:(���7�� �+�%/���%/,�: 7�$! �+�%/���"�+�: e#mail izhutkinXmargu�mari�ru

Page 109: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���������� ���������������� ���

&^0\� {0]`q&�|4^&^0�{q� 5[4^�

0�&� {� (�$�

{ ������(��� !$�� �(��� �{&5� � ���(!� .77�$(� �� !���!( � ����������$�� ����' ���������� ^��� �� ! ��!( {&5: !�!(��( (�: '(� ����� .77�$#(� ��� �� ���� '�!� �'�!����� 7 �$��� � �������(� � ���(!� ������������� (�'���� ���������� !� !$�� 1��'���� .(��� � ���(!� ���$(�'�!$� �������� ��# �!��!(� ���� ��������� '�!�� �$(��� !� !$� �� 7��� �������!� ��$������$ ����(�'��� ����!(� ����� 7 �$���: '(� �����( �� ������ ��� '���� !�!(��!���������� �$(��� � � ���(!� 7�$(��� �� !(��'� �!(� ������(� �� ����� ��������� � ������(� : $�(���� !����(!� �� $���'��� '�!�� �(������ �� $ ����#(�'��� 7 �$���� ��� ��(�'�� �������� !� !$��0 ����(� ��$�����: '(� �������!(� ����'� ��������� !�$�����(!� �� ��� ��#!(� �������!(� ������!(���!( � ��������� $ ������(��� !$��� !��(������ �������������� ��!!���� {5&: '(� �������!(� ��!������� �����!!� ����(� �(����� �� ��( � ��� ����� !��!��� ���� ��� �� ����� �������!(� ������!(���!( �$ ������(��� !$��� !��(������: ���� �� $�(���� � ���(!�: �������: �(������! (�'�� �������� !� !$�� &� �!�� � .(��� �������(�� �(��: $�(��� �� !'�(��������� ���� �(���� ��� ��� !���������� �$(��� : ��!(������� �� ! ��!( ��#�� ������� ���� �!��� ��� �$(��� !� !$�: ���(!� ������ �(� �������!(� ���#���!(���!( � ��������� $ ������(��� !$��� !��(������ ��� ����������� ��!!�#��� ��� ����� ������ (�'��!(� ���������� !� !$����� �� ��� �(��� ��$����� !�����!(� �� $���'��� '�!�� ��� �� $ ����(�'���7 �$����� 6�� ��(�(� �'�!��(������� .$!������(� ���( ������( ���� ��#!( � �� ��� �(���: $�(���� ���� ���(!� (� �('�(�� ��: '� !������ � ���(!�������� ��� 7 �$����

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{� (�$� 0������ &�$���� �':{���� !$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(: �� 4���$� �� ";: {���� �: %�;;�%: 6�!!��:(��� �+#�+"#/� ��#/�#;,

Page 110: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��" ������ ���������� ����������������

&^0\� 6[�]{�]�q^&&\� �3_*6]�q[&4&\� 5[4^�

0�&� {� (�$� : 4�0� 1�(�� �

0 ����(� ���!�� ��: ������������ 8�9 ������( ������ ����!( � ���� ��!( �s� g� ;: ��� ����� g �� G: $�(���� ���� ��(�����(��� �(� $�$ ������( {�'#��� !�� ��� ����$ ����������� ��$�����: '(� ����������� �(�� ��� �����# ����� ��'����� ����������� ��� ����( ���(� �����(�� ����������� �� ���#��!(� �� $���'��� '�!�� ��� : � ��� '��� ������ ����$� ����������� '�!�� ��� �� �!��!(� �( ����$(���!(�$ �(�������� ����!( �� &� �!�� � ��������������(��� �������(�� ������( ������ ������$�� ����' ���������: ��$����� ���!�����!(� �� !(���� �� $��� 7 �$���� � .$ � ����(��!(� �(�� !�����������������(� ��� ��������� ����$�� 7 �$���� 0 �(��'�� �( �(��� ���������$��!!� # ����$!��������� �(��� ����������� �������(���� !� !$� 8/9: �� �� �(��!������( ! �� !�!(� � ������( ��!(������ ����������� �� �����!(�: !(��'�# �� $ ���� ��'������� �����������: '(� ��� !$��( .77�$(� � � ����( ����#��(� ��� '�!(�� ���� ������0 ����(� ��� ����� '�!������ �!!���� ���� �� ��� �(��� ���������� 1�� '��#��� ��� ��(�(� ! ���(���!( �( � ��� .77�$(� ��!(� ��� ��������� ����$�� �������$�� 7 �$����

�q4[6]436]

�� {� (�$� 0� & 5�(��� ��������� �� �!�� � '�!(��� ����� ! ��������(�������!( � # ?�� $� �������.�� � �" ���� /���-: (� �: q�$ (!$ ��,,+� c��;�/� ������ 0� ��: 0�!���� ��0� ��,+�� 9�$�33����.��&���- �������.�-� # 5��&� $�: #�+" !�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{� (�$� 0������ &�$���� �':1�(�� � 4�(���� 0������� ��:{���� !$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(: �� 4���$� �� ";: {���� �: %�;;�%: 6�!!��: (��� �+#�+"#/� ��#/�#;,

Page 111: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���������� ���������������� ���

^ &[{^4^6\- 0]6q]&4]- ^_&^0�[&q�5[4^�] ]&]�q4q�[�{q- _]6�[6^0

0�]��$�$� : [����� ��$�

6�!!�(�� ��(!� ����'�

minff�x� � x � S�g�

��� S� � fx � Rn� l � x � ug: � f � S� � R Q �� $���: ����� �� ���: ����7#7������� ��� 7 �$���� 0 8�9: 8/9 ��� �!!���� �� �(�� �����(�'�!$�� ������� �5]_�: �(��!����!� $ $��!! �(��� �(!�$����� ���!$�!(��: (�$�� $�$ �(��{����: �� ��� �53�: � '$� � #! ��������(���� �51�: �� ������ ���� (� ��#�$ � ���� � �(������� 0 5]_ �'������� (�'$� � ���(!� ����������� �����#(�'�!$� ���(�� �1]�� !�!(�� �������� ������'����� `���'� ����������� 1]�����(!� �(��� &��(��� ! �!������ ���� !����!� ����� �(����: ����!'�(� �#��� (���$� ��� !����� �������� �� ���$ �(!�$����� ������'����� ^���$� � 5]_ ! ��!(� '�!�� �(������ ��!(�( (� ���$�!(� .(�� �(������� 0 ������ ��#��(� ���������(!� '�(��� �����(� ���� ����� 5]_ ! �!������ ���� .$�����������!'�(� ������� ����(��� �(���� (���� ����� ����� !�����(������ ������#��� 7 �$���� 0 ��� ��(�(� '�!������� ������� �����(� ���� ����� 5]_ � '����� ��(�(� ��� '��� ! �����(�: $�(��� ��!�� ������ ������������� '�!�� �(#!�'���� ����� ���(!� �� �� ��� ������'���� �!(� !(�����: �������� ����������( ��!!�(�� ���� (�'$�� 6�!!(����� ��� .(� ������(!� �(��$� ! �(����� (���� ����� ����� �( ��������� 7 �$���� &���� ! .(� ���� ��� ����� !�� ��#��� 5]_ ! ���� ����� �� � � ������� ����' ! 53 � 51� 1�� ������ �(�������� ��$�������� //; ����' �1 ! '�!�� ! �� ���� ��������� n � 8�� �;;9 !(�'��!(�� � �;�� ���� ��(��'��� �(������ � ����� !�$ ���� Pentium��%%!��( �(!( ���� 51 �,%/�/? "+%%,�: 53 �%�/+�? ""/�"� ���� �!(����� ���� ����#��'�����: 5]_ �/�;;+? "+"%�� 0 (� �� ��� ��� ��������� 7 �$��� �� ����(�!(� ��� ������ �� /�% ����' ! � �;�� ���� ��(��'���� 51 �";)�/? )�%��: 53��)�,"? ",�%�: 5]_ �+%/%,? ���+��

6���(� ���������� ����(� 6��q ,,#;�#;��/��

�q4[6]436]

�� Nesterov Yu�E� ��,,�� Complexity Estimates of Some Cutting Plane Methods Basedon the Analytic Barrier� �� Mathematical Programming: Series B: �: ��/+�/� Beer K�: Skokov V�A� ��,,,� Cutting plane methods based on the analytic barrier forminimization of a convex function subject to box�constraints� � Preprint ,,��� Chemnitz�Technische Universit�at�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�$�$� 0�$(�� ]��$!����� �':���(������� .$����$�#�(��(�'�!$�� ��!(�( ( 6]&:&���� !$�� ���!��$( "): 5�!$ �: ��)"�+(��� �;,����/#"�#�,: 7�$! �;,����;#);#��: e#mail�skokovXcemi�rssi�ru�� ��$� [���� ����7�� ��:���(������� .$����$�#�(��(�'�!$�� ��!(�( ( 6]&:&���� !$�� ���!��$( "): 5�!$ �: ��)"�+(��� �;,����/#";#;": 7�$! �;,����;#);#��: e#mail�elevXcemi�rssi�ru

Page 112: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��% ������ ���������� ����������������

^ *]6]&4q6^0]&&^5 6[~[&qq `]�]� &[0\13{�^� {0]�6]4q�&^�^14q5q`]�qq 5[4^�]5q &[�q&[�&\- ^1^6&\- �3&{�q�

^�0� -��!�

0 ��$���� ��!!�(�� ��(!� !��� ���� ����'�

xTQ�x� �c��Tx� min� ���

xTQix� �ci�Tx� ri � ;� i � �� � � � �m� �/�

� � x � �� ���

��� Qi � 8n � n9 �(����: ������ $�$ ������(������: (�$ � �(����(������ !��#!( ����� '�!��: ci � En� i � ;� � � � �m�� � � � En� � � En� � ���0 ��$���� �� $��� � ��� (�� $ ����(�'��� ������� 7 �$��� 8�9 �!����� �(!���� ������ ����'� ���#��� ��$�� ����� �(���$� �( �� � ������� 1�� ���(!�!�� ����� ! �� ��� �(���� 8/9 � ��� ��(�(� '�!������� .$!������(�� ^�! ���#�(!� �� ���� ���� � �������� �� �!��!(� �( �������!(� ����'��6���(� ���������� ����(� 6��q N ;;#;�#;;//;�

�q4[6]436]

�� O�Khamisov: On Optimization Properties of Functions: with a Concave Minorant���Journal of Globaln Optimization: �,,,: v��": pp�),#�;��/� C�A�Floudas: V�Visweswaran� Quadratic Optimization: Handbook of Global Optimiza#tion �Eds� R� Horst ans P�M� Paradalos��� Kluwer Academic Publishers: pp�/�)#/);: �,,�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ-��!� ^��� 0������ �':q�!(�( ( !�!(� .�����(�$� �� ��]� 5����(�� � �^ 6]&:%%";��: q�$ (!$: �� �����(� � ��;:(��� ��,�#/� "%#�"#�,: 7�$! ��,�#/� "%#/)#,%:e#mail�khamisovXisem�sei�irk�ru

Page 113: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ������ ��)

5[4^�\ ^4�[�[&q� 0 *�^_]��&^� ^14q5q`]�qq q q-16q5[&[&q[ 1^q�3 0�[- 6[~[&q� �q�4[5 &[�q&[�&\-

]�*[_6]q�[�q- 36]0&[&

4� �� ]��$!�� �

0 ����(� ��!!�(�� ��(!�: ����� ��� ����� ����������: ����'� ���������� !�� ������� ����� $����� !�!(�� ���������� �� ����� ! ! �� �� $��� � ��� (�� 7 �$��� �� �� '�!(��� ^!�� ��� ���� �(��� ������ ����'� !�!(��( �� ��� ���������: (� �� ��!(������ (�$�� !�����(������ ����'�: $�(���� ��$�(��� !�!�� .$ � ����(�� �!������� ��� ���������� !�� ������ ��� ����#�� ����� ����'�: !� '�� �����'��� $�����: �!����� �(!� (����$� �(��� �(!�'�������������� 8�9� 1� .(�� �(���$� ���� ��� (�!(� �� ����' �������!(� n � %�6������(����� ������(� ���� ����������� ��� �� ���$� GAMS� 6����!� (�#!(� �� ����'� ���!$� !�� $����� !�!(� ���������� $ ����(�'��� �� ����� !���(����(����� ������������ $ ����(�'��� 7����� ��!������ .$!������(��$���� ������!(� ���������� !�� $����� �!����� � ���!����� 8�9 ������(#�� 0 �����!!� �!!���� ���� � '�!������� .$!������(� �!������ ���!� �����'������ $��� ������������ ����'�� 0 '�!(��!(�: ��� !� '��: $���� !�!(�� ���($��(��� $���� �!������ ��!� ������( ��� ������� ������(� $����� ��!��� �#��� ������ !�!(��: $�$ �$!������ �������� �( ��������� ������ 1�� '�������� ��(�(� '�!������ .$!������(� ��� ����( ����(� ��� �� ��$��'���� � !�� #��(������ .77�$(� ��!(� ������������ 8�9 ������(� ������ ��!(� ������ ��#��'��

�q4[6]436]

�� _ ��(� 0� 1�: ]��$!�� � 4� �� ��!������ �(��� ���!$� !�� ���!( ����� $��#��� !�!(� ��������'�!$�� �� ����� � �� ����������� # 4� �� XI ��� ��������_��$���!$�� $���#!������ �5�(��� ��(������� � �� �����������: q�$ (!$:�,,+: c�/�#���/� ]���7��� [� *�: ]���$� �� 4�: _ ��(� 0� 1� 5�(��� ��(������� � �� ���#�������� 4� �� 5�(��(�'�!$�� ��������� ����� &� �!����!$� &� $�: �,,;�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ]��$!�� � 4�(���� ������� ��:q*�-]: e#mail� rectorXishi�baikal�ru

Page 114: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��+ ������ ��������� ������

SOME NUMERICAL ASPECTS OF LINEAR PROGRAM PROBLEMGENERATED BY PARABOLIC OPTIMIZING SYSTEM

A�V� Borzenkov: O�L� Konovalov

In previous conference we considered LP problem generated by elliptic system 8�9�more detail see 8/9�� Now we investigate the parabolic system with unknown disturbancesfunction !�t� �more detail see 8�9��

��n�t � �n�x�A�����x��B�����x�C���!�t�� �� ��t� x�?x � �x�� x��� t � T � �t�� t�9?���

��t�� x� � ;� x � 8x�� x�9?��t� x�� � A � �n�x���t� x��� � u�t�� t � �t�� t�9? �/�

The parameters of system are also constrained�

d� � u�t� � d��!��t� � !�t� � !��t�?���t� � ��t� x�� � ���t�? t � T ? ���

So: now we consider an optimal control problem

�P � � maximizeZT��t� x��dt� subject to ���� �/�� ����

Optimal control problem �P� generate LP problem in pulse and measurable functions classin terms of conjugate to ���#�/� system � We intend to discuss some aspects of numericalsolution� We also intend to present an optimality constructive conditions in maximumprinciple form� All of results are based on approach 8"9: that has been initially developedto ODE�

REFERENCES

��Borzenkov A�V� Numerical experiences to linear programming problem generated ellipticoptimal control problem� Thesis�s of SCOR#,+� Novosibirsk: �,,+�/� Borzenkov A�V�: Konovalov O�L� Numerical results of the program solution for theelliptic optimal control problem� Best issue of MS#,+: France: Lion: �,,,��� Borzenkov A�V�: Konovalov O�L�Program and feedback numerical controls to parabolicoptimization system with uncertain disturbances� Proceedings of MS#,, Spain:�,,,�"�Gabasov R�: Kirillova F�M�: Prichepova S�V� Feedback optimal controls� Springer#Verlag�Berlin: Heidelberg: New York: London: Paris: Tokyo: Hong Kong� �,,��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQBorzenkov Aleksey Vladimirovich: Byelorus State University of Informatics and Radio#electronics: P�Brovki str�: %: Minsk: //;%;;: Buelorus: phone �home�� /")#)�#��:e#mail�bmsXkolas�bas#net�byKonovalov Oleg Leonidovich: Byelorus State University:F� Skorina av�: ": Minsk: //;;";:Buelorus: phone�work�� //%#��#";: e#mail�KonovalovOXfpm�bsu�unibel�by :bmsXkolas�bas#net�by

Page 115: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ������ ��,

^14q5q`]�q� &] �]�4q�&^#0\13{�\- 5&^�[�40]-

0�*�&�����$�

0 ����(� ��!!�(�� ��(!� ������� ��(������� �������� 7�� ��� ������'�#����: �������� ��� OC# �� $��� �����'�$: ����������� ����!�'����� C#!��#���!(���!( 8�9� {�$ ���'��: '���� �x� y� � �� ������'�(� !$������� ����� ������ �$(��� x� y � Rn� 1 !(� A Q ��$�(���� OC# �� $��� $���$( Rn � ����!( ������ ����� O '�!(�'��� �� $��!(� $���'��� 6�!!�(�� !��� �� � ��(����#����� � ����' �(��!�(����� ���������� �$(��� x � Rn�

�a� x�� maxx � A�

���

��� a 7�$!��� ����0 !� '��: $���� ����!( � A $��!!�'�!$� �� $��: �$!� ����'� ��� ��#

!(����(!� .$!(�������� (�'$��� 1�$���: '(� �������'��� ( �������� ���(�!(� � ��� OC# �� $��!(��

4�'$ a � A ���� � OC#.$!(�������� (�'$�� $���$(� A: �!�� a �� !�#�����(!� convoc8Anfag9� �� �$ ���!(� !�� OC#.$!(�������� (�'�$ ����!( �A ������'� $�$ extoc8A9� ����� �(�����: OC# �� $� � �����'$ convoc8A9 ������������(� '���� OC#.$!(�������� (�'$� !��� ��� ������� ��� ����� (�'#$� x � Rn �������(!� ( ��������� x � convoc8A9 (���� � (���$� (����: $����x � extoc8A � fxg9� ��� ����!( � A � Rn (�'$� x � A � ��( OC#.$!(����������� A (���$� (� !� '��: $���� �����(!� (�'$� x (�$�� C#!�����!(���!( � Sc

x:'(� Anfxg � Sc

x� ��� $���'���� ����!( � ����� ����� O !��� ���� � ( ��#������: �������'��� (����� {�����#5������� �!�� A � Rn Q $���$(: (�convoc8A9 � convoc8extoc8A99�

0����!� (����� $ ����'� ���� `�7�$!�� � (�'$ x�: �� $�(���� ��!(����(!��$!� � 6�!!�(�� ����!( � A� � fx � �a� x� � �a� x��g � A� ^(�(�: '(�A� (�$�� � ��( $���$(�� `��(�: '(� ����!( � extoc8A�9 �� � !(�� `�7�$!�#� � ����� ���� � OC#.$!(������ � (�'$ v� � extoc8A�9� ^$��� ��(!�: ������!(���(� (�$�� C#!�����!(���!( � Sc

v�: '(� Rn n Scv� ����( ��� ���!(���!( �

fx � �a� x� � �a� x��g � A� �Scv� � A� n fv�g� ����� �(�����: A�Sc

v� � A n fv�g� 4����A � Sc

v� � A n fv�g � v� � extoc8A9�4�$� ������: ����'� ��� �$!� ��!(����(!� OC#.$!(�������� (�'$��

����!( � A�6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� _���� !!$��� ��!� ���$��!$��� 7��#

�� 7 �����(������ �!!���� ���� �����$( �,+M#;����

�q4[6]436]

�� &�&�5�(���!$��: 0�&�5��(��'�$ ��,,%� `�������- !��&�� ���� 5�(��(�'�#!$�� ���($� ��: ";%#"���QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ&�����$� 0������ *������� �':q�!(�( ( �(��(�$� &]& _���� !�: �� � ����� � ��: 5��!$: //;;)/: 6�!� ���$� _���� !�:(��� �+#;�)� /+"#�)#%/: 7�$! �+#;�)� /+"#;,#��: e#mail� naidenkoXim�bas#net�by

Page 116: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�/; ������ ��������� ������

]�*^6q45 6[~[&q� &[0\13{�^� {0]�6]4q�&^� `]�]�q:q�1^��`3|}q� 1^�q&^5q]��&3| ^14q5q`]�q|

&] 2��q1�^q�[

5��� &�'�� �

6�!!�(�� ��(!� ����'� ��������� �� �� $��� $ ����(�'��� 7 �$��� ������������ ����!( � D� ��� �� ������ ���������(!� �����( �(��� �( �� ��������

q� �!(�� 8�9: '(� ������( ������ ����'� �� �� $���� ��������� ����: �!��# ����� �� ��������� �( �� � ������: ���������(!� !��!��� ��������� ��� !(��������!( � � !��!��� �(�!$���� ������ � ������ �����$ ���'���� ���� �� 7 �$����� .����(�� ����������

0 ���������� ������(� .����( ��������� Dk ����!(� ���( !���� ��������#��� ����!( �: $�(���� ���( ��(� �����$!���� ��� $�$ ��� (��: (�$ � �� �� �������� �� ����������� .����!����� q����: ����!( � E� � Dk ��!(��� $�$.����!��� ���������� �����: ��!����� ����������$� � �� ��� !(�����: �!#����� �!� ������!(�� ������� ����������$� $�$ ����!�'���� $���'���� '�!�� ���������� .����!���� � ���� $�'�!( � E� � Dk ������ � �� ���� ������ � $�������� ��$�(����� �� ����������� .����!����: !���������� D: �.����!���� : ������������ Dk� ^�� ����'� ������������ ������� 8/: �9� 0$�'�!( � ������ � ������ �����$ ���'���� ���� �� 7 �$��� �� Dk �������(!��� ��(������� ���'���� �� E� � E�� ]�����( �������������� ������ (�$������'� ��������� 8"9�

6�������� �! ��!( ���(!� ��������!$�!(��: $�(���� �������( '���� ���(� ��#���$!��� ����� .����!���� ��(��������� ��� ��������� �!�� 4�$�� ������ ��������� �$��� ��(!� �!'���� �����: '(� ����'��( !�����!(� 7���� ��� ��!��#�� �(�����!(� (�'�$ $ (�'$� ����������� ��(� � 8�9�

��!�� ��� ����� �( � ���� � �(��� �( �� � ������ �� ��� �!����(

�q � ln � ln �n� ��� # (��� ��� (�'��!(�: �n ��

nn��

� nn���

nn��

� nn�� � ��� �����#

��!(� ���!(���!( � �: �������: .(� ����$� !�!(� ���( �( ��" �� �+" ��� ��������(�'��!(� �( �;�� �� �;���

6���(� ���������� ����(� 6��q N ;;#;�#;;//;�

�q4[6]436]

�� R�Horst and H�Tuy: Global Optimization: Springer�Verlag" �,,��/� L�Khachiyan and M�Todd: On the Complexity of Approximating theMaximal InscribedEllipsoid for a Polytope: Tech� Rep� No #$%" NY" �,,;��� [�*�]���7��� � { �(�� .����!���� �� $�� ��������� ���� � ��!���#��� �(��� ������� � �� ����������� � q�$ (!$� �2q �^ ]& ���6: �,+)�"� Y�Ye: On the A¥ne Scaling Algorithm for Nonconvex Quadratic Programming:Mathe�matical Programming" �%: �,,/�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ&�'�� � 5���� �(���!�� � ��:q�!(�( ( !�!(� .�����(�$� �� ��]� 5����(�� �:q�$ (!$: �� �����(� �: ��;:(� ��,�/�"%")��: 7�$! ��,�/�"%/),%: e#mail� nechaevaXisem�sei�irk�ru

Page 117: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ������ �/�

1^q�{ *�^_]��&^*^ 6[~[&q� 0 `]�]�[ 6]`5[}[&q�

]��� �(��$��� !$��: ]�5� 0�!���� �

0 ��$���� ��!!�(�� ��(!� ��������� ��!(��� $� ����'� ���������: �� �!(#��� ��� ��� ���� ����'� 0����� 8�9

mXi��

pi��Pi� x��nXj��

qj��Qj� x�� min� x � D� ���

��� x � D � R�: Pi � (�'$� ���(������: Qj � (�'$� �((��$� ����� ��X�Y � �7 �$��� ��!!(����� ��� (�'$��X � Y ������� ���!(���!( �: pi ; i � ��m:qj ; j � �� n � ���� �� $�.77�����(� ���(������ � �((��$� ���� (�'�$ Pi: Qj

!��( �(!( �����6�!!�(�� ��(!� !��� ���� �����(� ������ ����'��

�� D � R�� 0 .(� !� '�� ����'� ��� � ���(!� ����'�� d�c�#��������� ��� ����#��'�����

/� [!�� D � fx � R� � Ax � bg: (� ��� '�� ����' d�c�#��������� �� �#� $�� ����������$��

�� [!�� D � fx � R� � g�x� � ;g: ��� 7 �$��� g��� � �� $��� 7 �$���� 0 .(�!� '�� ��� '�� ����' d�c�#��������� ! ����(�� �� $�� ������'�����

"� [!�� D � fx � R� � Ax � b� g�x� � ;g: ��� 7 �$��� g��� � �� $��� 7 �$#���� 0 .(� !� '�� ��� '�� ����' d�c�#��������� ! ����(�� �� $��������'���� �� �� $�� ����������$��

^!�� ��� �!������!(�� ������ ����' � ���(!� �� �� $��!(�: $�$ ���� �� 7 �$#���: (�$ � ������'������ 1�.(� ����$��( (� ���!(� ! ������ .(�� ����':��!�(�� �� �� �� � �������!(��

��� ������ ������ ����' �������!� �(�� �!�� ����� �� ���������� � ��#!(�(�'��� !�� ��� ���������� ��(������!(� ��� ����' d�c�#��������� ���� �����(��# �� $��� ����' 8/9�

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� ����(� 6��q � ,+#;�#;;;"�

�� Hoang Tuy: Faiz Al#Khayyal and Fangjun Zhou: A D�C� Optimization Method forSingle Facility Location Problems�� Journal of Global Optimization )� /;,#//): �,,��/� �(��$��� !$�� ]���: 3!�� �� ���������� ��(������!(� ��� ����' d�c� ������#��� ����: !���� �^�(������� � ��(������� ��� ������: �,,): ��%/�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�(��$��� !$�� ]��$!���� ������ �':0�!���� � ]��� 5������ ��:q�!(�( ( �����$� ��!(� � 4����� 3��� ����� �^ 6]&:�����(� � ��": q�$ (!$: %%";��: 6�!!��:4��� ��,�/� "%;/"�: ����,+: ��$!� ��,�/� ���%�%:e#mail� strekalXicc�ru: vamXmail�icc�ru

Page 118: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�// ������ ��������� ������

^_ ^�&^5 1^�-^�[ { `]�]�]5 D�C� 5q&q5q`]�qq

]��� �(��$��� !$��: 4�0� �$� �� �

6�!!�(�� ��(!� !��� ���� �� �� $��� ����'��

f�x� � �n�n� ��nXi��

xi �n��Xi��

xi � nXi��j

xixj � min� xi � f;� �g? ���

f�x� �nXi��

aijxixj � min� xi � f��� �g? �/�

f�x� � jjxjj� � ;��nXi��

cos��ªxi� � min� xi � 8��� �9? ���

f�x� ��Xi��

ci exp�nXj��

aij�xj � pij��� � min� xi � 8;� �9? �"�

f�x�� x�� � �;����Xs��

s�xs � as�� � ;����X

s���

"s�xs � as�� � min� x � D� ���

��� D � fx�� x� � A�x� �A�x

� � b� x�� x� � ;� x�� x� � R��g�2(� ����'� ���� $��!!�7����� �(� ���� $�$ ����'� �� $��� �$!�������

F �x� � hx�Axi� hb� xi � max� x � D�

���� $�$ ����'� d�c�������!(� � � �� $��� 7 �$���� ���������

F �x� � g�x�� h�x� � min� x � D�

0!� ��� ����$(���� �(!� (�: '(� ���( ���� ��$������ ������: $�(���� ��#��$� �( ������������ 4�$ ����'� ��� ����� (�'$� ! n�/ �������� � ���(!� (�'$����!$��(���� ��$������� ��� �: � ����'� ���: �������: /� (�'�$ ��$���������� � ��� n � /: � ��� n � " (�$�� (�'�$ �� %/��

q!����� � !��( �(!( ���� ����$(�������� ����������� ������ ����'�� �#� $��� �$!������� 8�9 � d�c� ��������� 8/9: ���� ��!(����� ������(� ���#�������� ���!$�: $�(���� !���� �������� ��� ������ ����' ���#���� 1��'�:��!$���$ ����'� ��� �$�����!� ! �'�!��(������ (�'$� ������ ��!(�(�'�� ���!(��:���� ���������(� ����($� ��������� ���� �� 7 �$��� .(�� ����'� �� �� ����� !(�� ����!( � D � fx � � � xi � n� i � �� ���� ng�

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� ����(� 6��q � ,+#;�#;;;"��

�� �(��$��� !$�� ]���: ^ ���!$� ����������� �$!� � �� $���� 7 �$��������� ��� !(�� ����!( �: � ��� �'�!�� �(�� � �(�� 7���: �,,�: 4���: � �:c��",#�%"�/� �(��$��� !$�� ]���: 3!�� �� ���������� ��(������!(� ��� ����' d�c� ���������� ����: !���� �^�(������� � ��(������� ��� ������: q��# � q�$ (!$�#�� ��! �� ��!�(�(�: �,,): !�%/�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�(��$��� !$�� ]��$!���� ������ �': �$� �� � 4�(���� 0������� ��:q�!(�( ( �����$� ��!(� � 4����� 3��� ����� �^ 6]&:�����(� � ��": q�$ (!$: %%";��: 6�!!��:4��� ��,�/� "%;/"�: ����,+: ��$!� ��,�/� ���%�%:e#mail� strekalXicc�ru: yakXicc�ru

Page 119: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ������ �/�

{ 6[~[&q| `]�]�q *�^_]��&^� 5q&q5q`]�qq 6]`&^�4q �03-0\13{�\- �3&{�q� �1[�q]��&^*^ 0q�]

[�0� 4���� �: ^�0� -��!�

6�!!�(�� ��(!� � � ����'� ����������

��f��x� � h�x��pXi��

ix�i � min� ���

x � R� �/�

���!� i ;: i � �� p: p � n: h�x� # �� $��� 7 �$���: R # �� $��� ����!( ��

/�f�x� �pXi��

ix�i � h�x�� min� ���

x � R� �"�

��� i ;: i � �� p: p � n: h�x� # ������'����� �� $��� 7 �$���: R # �� $�������!( ��

��� ����'� ���#�/� ��� ���(!� ��� $��� �� �������!(� ! �!������ ���� �#� $��� ������� 7 �$��� 8�9�

��� ����'� ���#�"� �������(!� ���7�$���� �(��� �( �� � ������ 8/9 ! �( ��#��� �� �� $�� ���������

1�� ���(!� ��� ��(�(� '�!������ .$!������(� �6���(� ���������� ����(� 6��q N ;;#;�#;;//;�

�q4[6]436]

�� O�Khamisov: On Optimization Properties of Functions: with a Concave Minorant���Journal of Global Optimization: �,,,: v��": pp�),#�;��/� R�Horst: H�Tuy: Global Optimization� Deterministic Approaches�# Springer#Verlag:Second: Revised Edition: �,,�: %,+ p�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ4���� � [���� 0�$(��� ��:q�!(�( ( !�!(� .�����(�$� �� ��]� 5����(�� � �^ 6]&:%%";��: q�$ (!$: �� �����(� � ��;:(��� ��,�#/� "%#")#��: 7�$! ��,�#/� "%#/)#,%: e#mail�bulatovXisem�sei�irk�ru

-��!� ^��� 0������ �':q�!(�( ( !�!(� .�����(�$� �� ��]� 5����(�� � �^ 6]&:%%";��: q�$ (!$: �� �����(� � ��;:(��� ��,�#/� "%#�"#�,: 7�$! ��,�#/� "%#/)#,%: e#mail�khamisovXisem�sei�irk�ru

Page 120: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�/" ������ ��������� ������

GLOBAL OPTIMALITY CONDITIONS ANDSOME NONMONOTONE VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEMS

Ider Tsevendorj

Let D be a nonempty: compact: and convex subset of Rn: T � Rn � Rn and F �Rn � R be continuous� A function F � Rn � R is called a piecewise convex#function if itdecomposes as

F �x� � minffj�x� j j �M � f�� /����mgg�

where fj � Rn � R is convex for all j �M �The purpose of this article is twofold�

�� to extend necessary and su¥cient optimality conditions for convex maximizationproblem 8�9 to piecewise convex maximization problem�

maximize F �x�� subject to x � D �PCMP �

/� to apply �PCMP� to a class of nonmonotone variational inequality problem: i�e� <nda vector z � D such that

hT �z�� x� zi � ;� for all x � D� V IP �T�D�

This problem has many practical and theoretical applications and its solution hasbeen considered extensively in the literature �see in 8/9� under monotonicity or quasi#monotonicity of the operator �T ���� Here: we study the nonmonotone case�

This research was supported by Direction des transports terrestres: Minist�ere del>Equipement des Transports et du Logement �projet N //% )� ;� %�#"� �;��

REFERENCES

�� Tsevendorj Ider ��,,+� On the Conditions for Global Optimality: Journal of theMongolian Mathematical Society: v��: n�/: pp��+�%��

/� Luo: Zhi#Quan? Pang: Jong#Shi? Ralph: Daniel ��,,%� Mathematical programs withequilibrium constraints� Cambridge University Press: Cambridge�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQTsevendorj Ider:Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique:Domaine de Voluceau: Rocquencourt: BP �;�: )+��� LE CHESNAY Cedex �France�phone� ���#�� �,%����/: fax� ���#�� �,%��",�: e#mail� Ider�TsevendorjXinria�fr

Page 121: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������� ������ �/�

q*6] � 0\�q4]&q[5

��0�0����'��$�

0 ����(� ��� '��� ������ !��� ���� ����� 1 !(� ������ ���!( ����� '�#!�� m � M (�$��: '(� ; � m � M � �� �� ����� 7 �$��� g�x�� ������������ ���x � m� � �� ��( ������� !�� �� g�m� � m� � �� ����$� ���'������ �'�(��(������(������ '�!�� �� X � ;� &� ��� � ��� ����$ ���( �'�!(� ����� '�!��x� �� ��( ������� ������'���� m � x � M� &� $���� !��� ��� ��� ����$���( �'�!(� ����� '�!�� x�� �� ��( ������� ������'���� m � x� � g�x��� ���x� '�!��: $�(���� �'�� ���(� ��$ �� ������ �� ��� � q��� ���������(!� (�#$� ������ �� (�� ���: ��$� '�!�� �� !(���( �(����(������ q���$ !���� �� .(�:!(��� �(!� ������(����

�q4[6]436]

�� Robert J�Epp: Thomas S�Ferguson� A Note on Take�away Games� The FibonacciQuarterly ��: �+��,+;� "� �;;#�;��/� S�V�Vinnichenko ��,,+� Continuous Take�away Games� Game Theory and ApplicationsIV: Nova Science Publishers Inc�: ��/#��"��� S�V�Vinnichenko ��,,,� Take�away Games with a Constant Lower Restriction� GameTheory and Applications V: Nova Science Publishers Inc�: ��%#�%��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ0����'��$� ������ 0�$(��� �':��(��!$�� q�!(�( ( ��������� ��! �!� �^ 6]&: ��_ (��� /%: ��(�: %)/;,;: 6�!!��:(��� �+# �;/#/� /�#�)#/,: 7�$! �+#�;/#/� /�#/�#+/: e#mail� matXcinr�chita�su

Page 122: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�/% ������ ������� ������

2{�46[5]��&\[ `]�]�q �q&4[`] 3�4^��q0\- 6[~[&q� 05^�[��- &[�6^_q5^*^ ^_5[&] � 16[�1^�4[&q�5q 3�]�4&q{^0

��q�{����

6�!!�(�� ��(!� ����� �����: $�(���� $����� '�!(��$: ������� � � � '�!��!���� ������(� (���$� ���� �����(�: ���( !��!( ��� � ������ � !�!(�# �����$ �� ����!( � �������� ��� ���� �����(� � ����� ������ ����!(� ��#�(!� $�$ !� �$ ���!(� ������� ������!�$�����!� ��� ������ ����� '�!(��$� ���$�� ������ 6����� ��� � k#������: �!�� '�!�� '�!(��$� $���� ��!�!(� ������ ��� ��$�� �� ��� ���( $��!(��(� k�

6����� ���� �� !(������� �k#!(��������: �!�� ��!�� ��� ���������� ����#����� ����� ��� '�!(��$�� ���������� ����� ��$��� ����� �� �� k��� ������� 6����� p ���� �� ��$�����(�� �� �k#��$�����(�� ���:�!�� �� ! ��!( �( $������� ��� ����� '� k#.����(��� $�������� S '�!(��$� :!��!����� ������!�������(� ��� !���� !� �$ ���!(� ����'����� �������������� �����(� (�$: '(� $����� '��� $������� ��� '�( ��� ��(�(� � '�� ���!��� �����( !�� ����� ! �����(�: ��� '��� ��� ���������� ������ p� ^(#�(�: '(� ����'�� ����� �� ( ��(�!� !(�������� $�����(�� ��� ���#��� � ��$�����(�� ���: �� ��!(�������� ������� 6����� ���� �� !(��#'� � �k# !(��'� ��: �!�� ��� !(������� � ��$�����(�� �� �k#!(������� �k#��$�����(�� ��� ���� �������

��$��� ��(!�: '(� $����� ����'� ����� ��!!�(�� ����� (��� �������( !(��#'� �� �������: ��� .(� ������� !��(��� !(��'� ��� � k# !(��'� ��� ���#��� ! �$!������ '�!�� ����� �����!� '�!(��$� �$��� ��(!� NP#(� �����

����� ��!!�(�� ��(!� ����'� ����� �� ��� �� !(� $( ��: ��� $����� '�!(#��$ ����������( ����� �� (��� �� �� ��� � � '�!(��$� ����(���� � ����( ��� �� �� �: �!�� ����!( � �������� ��� ��� �����(� � ����� �� �������� !�#!(�� �����$ !� �����(: � ����'����� ������������� .(� '�!(��$� �����(��� ������� ��� $������ �� �!(������ '�!(��$� � 1�� 7�$!��� ����� �� ��� ��!(� $( �� $��$��(��� ����'� ����� ���������(!� '�!�� '�!(��$� $����� ���� ��� 3!(��� �� ��(!�: '(� ������� !��(��� !(��'� ��� � k# !(��'� ��� ���#��� ! �$!������ '�!�� ����� �����!� '�!(��$� ����� !� '�� ! ���(!�$ ������ ����' �(�!$���� ��(������� �� !(���!(� �$!������� ��(�$� !��������� ������ ��!(������� !�(��� 6������!(� � '�!�� ������ ��(�$�# �� ����' ���������(!� !����7�$�� ����� (��� �� �� �� � �� �� �!�( �( ������'�!�� '�!(��$� �

6���(� �������� ��� �������$� 6�!!��!$��� 7���� 7 �����(������ �!!����# ���� �;;#;�#;;�+"��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{���� ��(��� q������ �':&��������!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�( �� &�q�����'� !$���:%;���,: &����� &� �����: {#��,: ��{���� 5��$!�: ����: $ ��":(����+��/� "� ;) ;�: e#mail� fdsXaqua�sci#nnov�ru�

Page 123: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������� ������ �/)

5[-]&q`5\ 0\_^6] 6[~[&q� 0 5&^*^{6q4[6q]��&^�`]�]�[ ^ &]`&]�[&q�-

q�0�{����

^���� �� $��'� �� ������ (����� �����(�� ������ � ���(!� ������� ����#(� �( ���� ���� ����� ���� ��� ��� ( � ��!(��� $ .(�� ������� ��� ��#��'� ����� !� ����� $��(������ `����� ����!( � ��� !(��� !(��(����X� {����� !(��(���� x � X ����� ��(!� �$(����� ���� �� 7 �$���� F �x� ��F��x�� F��x�� ���Fn�x��: ��� '�!(�'��� $��(���� Fk�x� � X � R� ��!!�(�� ��(!�$�$ 7 �$��� �������!(� .$����'�!$�� ����(� Ak� k � �� ���n� `���'� �����(�� ��#���� !�!(��( ��!(������ 7 �$��� Phi�x� � X � R�: $�(���� $����� !(��(����# !���!(� ���( �� $����$(� ��� �������!(� ��� $������� ����(� � � ��!( �( ��#!(�(�'�� ���� ��� �� �������� � ��!(������ $����$(� ��� 7 �$��� �������!(��� �!�� � ���� �� ������ 7 �$��� �������!(� ����(� 8�:/9� 0 ���� !� '��: � ����!!�(�� �(� 7 �$��� Phi: $�$ ! ���������� 7 �$��� Fk�x�� k � �� ���n: � ����' �����(�� ������: $�$ ����' �(�!$���� ���������� ��$!��������� ���'����7 �$��� Phi�x� �� ���� �������!( � ����!( � X�0 �������� .$����'�!$�� ����'�� ��7������ � ������'(����� .$����'�!$�������(� ��'�!( � ��!( ���( �( !���� ����(�� 1�� .(� ����( ��� � !�����(� ��# ��� � ��7������ � ! ��� ������'(����� ������(� ���� �� ���� � 7 �$����������!(�� ! ����� ��� '���� ������� ���� �� ������� ������ ��� �������#��� ��(� � 7 �$��� $����$(� ��� �������!(��^�����'� '���� x��fk� B� ��(����� � !(��(����: $�(���� ��� '��� ! ������7 �$��� $����$(� ��� �������!(� Phi�x�: ��!(������� �� ���� ���� �� ������ 7 �$#��� �������!(� F�� ���Fk��� fk� Fk��� ���� Fn� 1 !(� ��� ����� 7 �$��� fk�x� �� ����#!( � X: �(��'��� �( Fk�x�: � ��� ������ �������!( � B � X !(��(���� x��fk� B��� �&��� $�- �,���� Ak ��(�������� ������ x�: ��� '������: �� (� �� ��� �#� �����(�� ������ �� �!�� � 7 �$��� F�� F�� ���Fn �(��� Fk�x���leqFk�x���� 0 .(�!� '�� �� ���(: '(� ��� ��� �����(�� ������: �������� �( ���� ���� ���� !�!(����� ����(� ! ����� k� 0 ���(� �� !� '�� ��� ��� �����(�� ������ ��� !#$��( ���� ���� ���� !� !(����� ����(� Ak�0 ����(� ��!!�(�� ��(!� � �������� �(!� �����'��� ��� ��� �����(�� �������� �(������ $ ����(� �( ���� ���� ����� 0 '�!(��!(�: ��� ��� ����!� ����������!( � ����!� : ����'� �� ���� ������� � ������ $��'� �� ����(� *��# ��� 6�!!�(�� ��(!� ����'� � �����'�����: $�$ ����'� �����(�� ������ �� �!�� ����� �� ������ 7 �$��� �������!(�� 1�$�����: '(� $��!!�'�!$�� ������ $ ���#��� .(�� ����'� �� ������� �( ���� ���� �����

�q4[6]436]

�� 2�5 ��� ��,,�� 1 ������!� � ����-��� ������ � +��� �� � � $���� 5�� 5���"%"c�/� ]�_� |��� ��,+,� :������������� ��� $� �� ��� ����-��- ������ � 5�&� $�� /�%!�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{���� q���� 0�$(��� �': `������!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(: ��� $� !$��� %%: `��������: %,;%�: 3$�����:(��� �+#;%�#/� %"#��#�/: e#mail� ainsXcomint�net

Page 124: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�/+ ������ ������� ������

^ 16q5[&[&qq 16q_�q�[&&^#^14q5]��&\- ]�*^6q45^0 1^q�{]2{�46[535] 0 `]�]�]- 6]&�q6^0]&q� ^_«[{4^0

]�*�{���('��$�

6�!!�(�� ��(!� ����!� ��������� �����������#��(������� ������(� ���!$� .$!(�� � $ ������ ����'� ������� ���� ����$(� !� '�� ������� ��#������� �(������ ������'(���� ��� ���� 0 ��$�� ����� ����� ��!(���#��� ��(������� ������(� : �!�� ����� �� �������� �����(��� ������ ��� ��#(�(�: ������ !��( �(!( ���� $��!! 7 �$���: ��� $�(����� ���7����� ��������������#��(������� ������(� ���!$� .$!(�� �: ��!(������� 8�9� q!#������ ���� �����������#��(������� ������(� � ���(!� ���� !� '�� ������$��(���� �!������ ����: $���� �!������ ����'�: ��� �� ������: �� ( ���#��(�!� �(������ ������'(���� ��� ����$(���

6�!!�(�� ���� ������(� �����(��� ��� �� ������ ����'� �(��$�#���������� ���� � (�� $������ $��!!�: !�!(������ �� (�� ����$(� : $�(���� ������������ �� �������� ��� ��� ���������� ����� �4��$���������� ���� �! #��!( ���(!� �� $������(� ����������� �$(���: � �������!� ������ ���� !��#!( ���� �$(���: !��( �(!( ��� '�!� 1������#������� !� ��������� �����(����(������ !��!( ����� ���'����� �(���� ��������� �(������� 4������#����� �(��� �(�!$���� $������( !��!( ������ �$(��� �� ( �� ��(� � �������� ��(�(� ������'���� ��� $������( !�� �����(������ ����$(��� !�����#!(� !��( �(!( ����� �(����������� �����!!��

6�!!�(�� ���� ������(� ����� ��( ! ��� � !��� $��� � $������( ���#�������� �$(���: '(� ���( ������!(� ������'�(� �� !��( �(!( �� ! ���������(��$����������� �����

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6��q� *���( ;;#;�#;;�+"�

�q4[6]436]

�� {���('��$� ]�*� 1����������#��(������� ������( ���!$� .$!(�� � ��������� $��!!� 7 �$������� 0�'�!�� 5�(�� � 5�(�� ����: (� �%: � �: �,,%:!��;#�,�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{���('��$� ]��(���� *������� �':&��������!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:%;���% &�&� �����: ��0���� �: ��%#/:(���� �+��/� %�))��: �+��/� %�++//: e#mail� dibatXliso�sandy�nnov�su

Page 125: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������� ������ �/,

^ �q43]�qq 6]0&^0[�q� 0 ]&4]*^&q�4q�[�{^� q*6[� ^*6]&q�[&&^� 1�]4^�

0�0�{ �����

0 8�9 �(�'���: '(� ��� ��$�(���� �!(�!( ����� �������������� ���( �!(��� ��!( �

maxx�X

rooty�R�

f�x� y� � rooty�R�

maxx�X

f�x� y�� ���

���� root� f�$� �!(� ������ �� ����� f�$� � ;�: ���'� ! ��!( �( ����!( � ����x�� y��: ���� ���� (�'$�� �� �� �!��: $����� �� $�(���� �!(� ������ $�$ �� ��� ����� ����'�: (�$ � ��� �� � ����� ����'� �� ��!( � �¤��

0 ����� !�������� ��$��� ��(!�: '(� ����� !�( ���� �� �� �!�� �¤� ����#$��( ��(�����!(�'�!$�� ���� � � ��� A � B ! � �� �� ! ��: �!�� ������'�(�'�!�� � ���( ���� J�x� y� ��� ����$� A� q���$ A � ��������� !(��(���� x�!(���(!� ����(� ���( ����: ����$ B � ��������� !(��(���� y � R�� !(��#�(!� ���'�(� ���( ����� 1�� .(� ��� B ��!�( �������(������ ��(��(� ������������ !(��(���� y� ]�(������ ��� '��( �� �� ��������� ����$ B !(���(!� � �!(� ���( ���� �� ������'����: (��� �������(������$� A ��� ��������� ��#(��(�� �� !(��(���� y� q���$ A !(���(!� ��!(� �(� !(���� B �����(�(� �� ! ��������������$!����� � ��� � ���� ���������(!� ���

y�x � rooty�R�

f�x� y�� ����

��� f�x� y� � �� J�x� y����� !� '��: $���� !(��(���� v ����$� 0 �!(� .����( ��$�(����� ���!(���!( �:

���� �!(� �� $��� 7 �$������ ��v� � ��� ������ !$�� ����!( � V �y� �fv j ��v� � y� y � R�g� (���� ���� �!(� ���'��� �¤¤�: ��� f�x� y� � � �supy�V yfJ�x� v� j v � V �y�g�

1�� ����� �������

�q4[6]436]

�� V�V� Kulagin ��,,+� Balance point method of design under some kind of uncertainty�Intrnational Conference Dedicated to the ,;#th Anniversary of L�S� Pontryagin� OptimalControl� Abstracts� Moscow: pp� ��,:�/;

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{ ����� 0�$(�� 0�!���� �':q�!(�( ( ������ ���� ������ 6]&:_����� ��� 0�^�: %�: �#1�(��� ��: �,,�)+: 6�!!��:(��� �+�/� �/�#")#+�: 7�$! �+�/� �/�#")#)�: e#mail� kulaginXensure�ipme�ru

Page 126: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��; ������ ��������� ����� � � ������ ������ ������

REDUCTION OF PAIRS OF COMPACT CONVEX SETSFOR THE �#DIMENSIONAL CASE

Aban>kin A�E�

Pairs of compact convex sets naturally arise in quasidiZerentiable calculus as quasidif#ferentials �sub# and superdiZerentials� of the directional derivative of a quasidiZerentiablefunction� A problem of a minimal representation �or at least of some reduction� of aquasi<Zerential became very important since a quasidiZerential at a given point is notuniquely determined�

Denote by M�IRn� the set of all nonempty compact convex sets in IRn and by M��IRn�the set of all pairs of nonempty compact convex sets in IRn� Let 8A�B9: 8C�D9 �M��IRn�be two arbitrary sets� We say that pairs 8A�B9 and 8C�D9 are equivalent iZ A�D � B�Cwhere >�> is the Minkovski sum� A partial order is usually given as 8A�B9 � 8C�D9 iZ8A�B9 � 8C�D9 and A � C: B � D� We consider the problem of <nding minimal pairsby inclusion with respect to this order�

A constructive method of reducing of pairs of compact convex sets of a general frustumtype in IR� are proposed� The method is based on the same idea which was used in 8�9�As in 8/9: we say that a general frustum is a convex hull of two convex sets that lie indiZerent parallel hyperplanes� A compact convex set A � M�IR�� is called a set of thegeneral frustum type if there exist E: F : Q �M�IR�� and a linear functional f such thatthere is some q � Q for which f�q� � ;: E: F � f���;� and A � cofE�F �Qg�

If Q � fqg then A is just a general frustum and A � cofE�F � qg� When a pairconsists of sets of the general frustum type we say that the pair is one of the generalfrustum type�

Let 8A�B9 �M��IR�� be an arbitrary pair of the general frustum type�Theorem is proven that the proposed method constructs a new pair 8A�� B�9 of the generalfrustum type and compact convex sets C� and C� such that

i� 8A�� B�9 � 8A�B9ii� A� C� � A� � C� and B � C� � B� � C��

Some examples show we cannot get: in general: a minimal pair using the method�But if an initial pair of the general frustum type satis<es some necessary and su¥cientcondition then the method guarantees a reduction of the pair�

REFERENCES

�� Demyanov V�F�: Aban>kin A�E� Conically equivalent pairs of convex sets� Lecturenotes in economics and mathematical systems? Vol� "�/� Springer#Verlag� �,,)�/� Pallaschke D�: Urbanski R� A continuum of minimal pairs of compact convex sets whichare not connected by translations� Jour� Convex Anal� Vol� �� No �� �,,%� pp�+�#,��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQAlexander Aban>kin:St�Petersburg Institute for Economics and Mathematics: RAS?Saint#Petersburg: Serpuchovskaya str�: �+?e#mail� alexanderXabankin�spb�ru

Page 127: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ����� � � ������ ������ ������ ���

PSEUDOMONOTONE OPERATORS AND COMPLEMENTARITY

V�A� Bulavsky: V�V� Kalashnikov

Generally: it is not evident that the solution set for a given complementarity prob#lem is non#empty� Consequently the proof of existence of solutions to complementarityproblems is very important� In this sense: a special subject is existence of solutions to com#plementarity problems de<ned by an arbitrary cone and a monotone or pseudo#monotoneoperator� Now: in complementarity theory: many authors studied the complementarityproblem de<ned by a single#valued or set#valued monotone or pseudomonotone mappings�

Recently: we introduced a new method for solving complementarity problems� Thismethod is based upon the notion of exceptional family of elements YEFE6 for a continuousfunction� By this method we studied several problems in complementarity theory andwe obtained interesting results� Now: in this paper we will study the complementarityproblem de<ned by a pseudomonotone operator: using the notion of exceptional family ofelements and some Leray�Schauder�type alternatives�

The property of a function to be without exceptional family of elements is a kind of avery general coercivity condition� We will show that for a pseudomonotone operator: thesolvability of complementarity problem is equivalent to the above#mentioned property ofthe function to be without EFE�

We also use the strict feasibility to obtain an existence theorem for complementarityproblems generated by pseudomonotone operators and general cones in Hilbert spaces�

Finally: we study the strict feasibility of a complementarity problem making use of aLeray#Schauder alternative and the notion of EFE�

Let �H� h � i� be a Hilbert space: K � H a closed pointed convex cone and f � H � Ha nonlinear mapping� The nonlinear complementarity problem de<ned by f and K is�

NCP�f�K� ��<nd x� � K such thatf�x�� � K� and hx�� f�x��i � ;�

If f � H � H is a set#valued mapping: the multi�valued complementarity problem gener#ated by f and K is�

MCP�f�K� ��<nd x� � K and y� � f�x�� �K�

such that hx�� y�i � ;�

De�nition �� We say that a family of elements fxrgr�� � K is an exceptional familyof elements YEFE6 for a set#valued mapping f � H � H: with respect to K: if and only if:for every real number r ; there exists a real number "r ; and an element yr � f�xr�such that the following conditions are satis<ed�

���� ur � "rxr � yr � K�: �/�� hur� xri � ;:���� kxrk � �� as r � ���Theorem �� Let �H� h � i� be a Hilbert space and K � H a closed pointed convex

cone� Suppose that f � H � H is a set�valued pseudomonotone mapping on K� Theproblem MCP�f�K� has a solution if and only if f is without EFE with respect to K�

This research was supported by the Russian Foundation for Basic Research �RFBR�:grant � ;;#;�#;;";"�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQBulavsky Vladimir Akexandrovich: Kalashnikov Vyacheslav Vitalievich: CentralEconomics and Mathematics Institute RAS: Nakhimovsky pr� "): Moscow ��)"�+:Russia: phone� �+#;,����/#"%#�): fax� �+#;,����;#);#��: e#mail� kalashXserv/�cemi�rssi�ru

Page 128: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��/ ������ ��������� ����� � � ������ ������ ������

OPTIMUM CORRECTION FOR MATRIX OF PARAMETERS OF IMPROPERLINEAR PROGRAMMING PROBLEM

V�I� Erokhin

Consider the linear programming problem with incompatible system restrictions oftype Ax � b� x � ;� b � ; � Matrix of system parameters is modi<ed by the correction oftype �A � A�H: which does system compatible� The problem of building the matrix Hwith minimum of spectral norm is researching� The results includes the formula for thebuilding matrixesH: as well as the evaluation of ensemble of solvings the updated systemand the evaluation of matrix H norm�

�� Objects�Let¬�A� b� � fxjAx � b� x � ;g � ? ��A� b� � fHj¬�A � H� b� � g? �H�A� b� y� �

�b �Ay�y�? �¬�A� b� y� � fx � ;j�A� �H�A� b� y��x � bg� Let F �x� � x�A��I � bb��Ax?�y � arg min

x��kxk���b�Ax��fF �x�g? @y � argmin

x��kxk���b�Ax�fx�A�Axg? �x � A�b? � b�b�b�A�y?

k � / kb�A�xk� ��x�gradF ��y����� Symbol k�k means Euclidean vector norm or spectralmatrix norm depending on the context: A� # More#Penrose generalized inverse matrix formatrix A� y� � y��y�y: b� � b��b�b�

�� Problem� kHk � inf�H � ��A� b���� Results� As shown in work 8�9: �H�A� b� y� � ��A� b� for any y � ;� y �

;� In not yet published work these authors is shown that if ��y then infH��A�b

kHk �

minf��� �H�A� b� �y�

��� � lim����

��� �H�A� b� �@y����g : else inf

H��A�bkHk � lim

����

��� �H�A� b� �@y���� �

In this work possible prove fairness of following statement�Theorem ��If ��y then inf

H��A�bkHk �

��� �H�A� b� k�y���� : else inf

H��A�bkHk � lim

����

��� �H�A� b� �@y���� �

Moreover k � � ; ���� �H�A� b� k�y�

���� � ���"min�"max� : where "min and "max is minimal and

maximal eigenvalues of matrix A��I � bb��A? ; � lim����

��� �H�A� b� �@y����� � �

��min� max��

where min and max is minimal and maximal eigenvalues of matrixA�A� Besides ifA@y � ;then x j kxk � ��� lim

����

��� �H�A� b� �@y���� � lim

����

��� �H�A� b� x� �@y��� � ;�

Theorem �� x � �¬�A� b� y��

�����y�x � y�y�

A�y � x� � ;�x � ;�

moreover y � arg infx���A�b�y

kxk�

The corresponding numerical algorithms are at present research�

REFERENCES

�� Gorelik V�A�: Kondratieva V�A� ��,,,�Parametric programming and improper prob�lems of linear optimization� Modeling: optimization and decomposition complex dynamicprocesses� Moscow � CC RAS: �)#+/�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQErokhin Vladimir Ivanovich:State Teacher Training Institute of Borisoglebsk:Narodnaya str� "�: Borisoglebsk: Voronezhskaya obl�: �,)�";: Russia:tel� �+#;)"���%/%#;�: fax �+#;)"���%/%#;�: e#mail� bgpiXmail�ru

Page 129: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ����� � � ������ ������ ������ ���

NUMERICAL METHOD OF OPTIMUM CORRECTION FOR MATRIX OFPARAMETERS OF IMPROPER LINEAR PROGRAMMING PROBLEM

V�I� Erokhin

Consider the linear programming problem with incompatible system restrictions oftype Ax � b� x � ;� b � ; � Matrix of system parameters is modi<ed by the correction oftype �A � A � H: which does system compatible� The numerical algorithms of buildingthe matrix H with minimum of spectral norm is researching� Thesises contain methoddescriptions: in the report is expected to demonstrate results of computer experiments�

As it was shown in work 8�9: problem kHk � inf is reduced to problems x�A��I �bb��Ax � min� x � ;� kxk � �� b�Ax ; and x�A�Ax � min� x � ;� kxk � �� b�Ax �;�Computing experiments have shown that faster convergence to optimum �at the be#ginning initially linear: but then # square#law� deciding is reached when deciding twoequivalent problems�

x�A��I � bb��Ax

x�x� min� x � ;� b�Ax ;

andx�AAx

x�x� min� x � ;� b�Ax � ;

For deciding these problems was designed computing algorithm: expecting executionon each iterations of two test steps # on the direction of projecting antigradient and onprojected a Newton direction� Comparatively simple type of minimizing functions andconstraints has allowed exactly to calculate gradients: Hesse matrix and produce to decidea problem of univariate searching along of the chosen direction exactly�

Computing experiments con<rm evaluations maximum in values inf kHk: done in work8�9:and show that in many events by satisfactory initial value turns out to be a vectorx � �p

n��Herewith on initial steps an Newtons points is a worse case in contrast with a

gradients points and convergence is linear and comparatively lingered� On terminatingphase of calculations works a projected method of Newton: and convergence square#lawand very quick �on model examples was �#/ iterations��

It is necessary however to notice that as criterion of terminating the calculations wereused necessary conditions of existence of minimum and convergence to global minimumnot guaranteed �though on model examples it reached��

REFERENCES

�� Erokhin V�I� �/;;;�Optimum correction for matrix of parameters of improper linearprogramming problem� # to be appear�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQErokhin Vladimir Ivanovich:State Teacher Training Institute of Borisoglebsk:Narodnaya str� "�: Borisoglebsk: Voronezhskaya obl�: �,)�";: Russia:tel� �+#;)"���%/%#;�: fax �+#;)"���%/%#;�: e#mail� bgpiXmail�ru

Page 130: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��" ������ ��������� ����� � � ������ ������ ������

SOLVABILITY OF IMPLICIT COMPLEMENTARITY PROBLEMS

V�V� Kalashnikov

Generally: the Implicit Complementarity Problem ICP has been studied by making useof variational or quasi#variational inequalities: the <xed point theory: iterative methods:zero#epi mappings: or some algebraic methods� Recently: a new method has been intro#duced in the study of complementarity problems�This method is based upon the conceptof an exceptional family of elements YEFE6 for a continuous function� This notion hasbeen introduced in order to use the topological degree theory when proving existence ofsolutions to the complementarity problems�

In this paper: we will show that by a little modi<cation of the notion of exceptionalfamily of elements YEFE6 for a couple of functions and replacing the topological degreeresults by the Leray# Schauder Alternative: we can obtain a general alternative: whichimplies a more general existence theorem for implicit complementarity problems�

Let �H� h � i� be a Hilbert space and K � H a closed pointed convex cone� Given twomappings f� g � H � H: the implicit complementarity problem de<ned by the couple ofmappings �f� g� and the cone K is

ICP�f� g�K� �

�����<nd x� � H such thatf�x�� � K�� g�x�� � K�and hg�x��� f�x��i � ;?

here K� is the cone dual to K�In this paper: we will study the existence of solution to the problem ICP�f� g�K�

making use of the Leray#Schauder Alternative�De�nition �� We say that a family of elements fxrgr�� � H is an exceptional family

of elements YEFE6 for the couple �f� g� of completely continuous <elds: with respect K:if the following conditions are satis<ed����� kxrk � �� as r � ��?�/�� for any r ;: there exists "r ; such that sr � "rxr�f�xr� � K�: vr � "rxr�g�xr� �K and hvr� sri � ;�

We have the following results�Theorem �� Let �H� h � i� be a Hilbert space� K � H a closed pointed convex cone and

f� g � H � H completely continuous �elds such that f�x� � x�T �x� and g�x� � x�S�x��where T� S � H � H are completely continuous mappings�

Then there exists either a solution to the problem ICP�f� g�K�: or an exceptionalfamily of elements fxrgr�� for the couple �f� g�� Moreover� if S�K� � K� we have thatthe problem ICP�f� g�K� has either a solution in K� or an exceptional family of elementsfxrgr�� � K�

Corollary �� Let �H� h � i� be a Hilbert space� K � H a closed pointed convex coneand f� g � H � H completely continuous �elds�If the couple �f� g� is without EFEs Yin thesense of De�nition 6� then the problem ICP�f� g�K� has a solution�

This research was supported by the Russian Foundation for Basic Research �RFBR�:grant � ;;#;�#;;";"�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQKalashnikov Vyacheslav Vitalievich: Central Economics and Mathematics Institute RAS:Nakhimovsky pr� "): Moscow ��)"�+: Russia: phone� �+#;,�� ��/#"%#�): fax� �+#;,����;#);#��:e#mail� kalashXserv/�cemi�rssi�ru

Page 131: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ��������� �� �����!�� ���

5[6] 3�4^��q0^�4q �[{�q{^*6]�q�[�{^� `]�]�q�[�^�q��[&&^*^ �q&[�&^*^ 16^*6]55q6^0]&q�

6�]� _����� �

1 !(� C � 8cij9 � Rm�n�m � �� n � /� %i � �ci�� ci�� � � � � cin�� x �

�x�� x�� � � � � xn�T � X � Zn� j X j �� 6�!!�(�� ��(!� �$(����� ����'� Zm�X�C�

��$!�$����7�'�!$�� ��(�������: !�!(����� ���!$� ��$!�$����7�'�!$��� ����#

!( �

Lm�X�C� � �s�Sm Lm�X�C� s��

��� Sm � ����!( � !�� ����!(��� �$ '�!�� �� /� ����m: Lm�X�C� s� � fx � X � Cx �s

Cx� x� � Xg� s � �s�� s�� � � � � sm� � Sm:

Cx �s Cx� �� Cskx � Cskx�� ��� k � minfi � Nm � Csix � Csix

�g�

6��� !� !(��'� �!(� ����'� Zm�X�C�: $�$ ���'�� 8�9: ���� � '�!��

�m�X�C� ��sup��X�C�� �!�� ��X�C� � :

; ���(� �� !� '��:

��� ��X�C� � f ; � Lm�X�C �B� � Lm�X�C� B � B� �g� B� � � fB � Rm�n � k

B k� g� k B k� maxfj bij j� �i� j� � � Nm �Nng�

4 � � � � � �� �&��� �Lm�X�C� � X nLm�X�C� � � 7�- ��$�&�� &�� ��! ���

��$��� Zm�X�C�: m � �: ����!�$��!� ���$&0'�� $ ���/���� .����

minx��LmX�C

mini�Nm

maxx��Xnfxg

%i�x� x��k x� x� k�

� �m�X�C� �k C k �

`��!� k z k��Pi�Nn

j zi j� z � Rn�

6���(� ���������� ����(� _���� !!$��� ��!� ���$��!$��� ����� 7 �����#

(������ �!!���� ���� N �,)#/%%�

�q4[6]436]

�� [���'� 0�]�: _����� � 6�]� ��,,+� O ��$�&��" &�� ��! ���� �!���&�� ���

! ��� � �������� ��� !��� �� ������ �� ��$��� ������ ,��3����� ����

����.��� ��!$��(��� �(��(�$� ��: /;�/)�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ_����� � 6�(� ]��(���� ��:_���� !!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:��� �$�����: ": 5��!$: //;;�;: _���� !�:(��� �;�)�/#%/#�)#�;: 7�$! �;�)�/#/%#�,#";�

Page 132: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��% ������ ������ ��������� �� �����!��

^_^_}[&&^[ 6[~[&q[ ��� `]�]�q�[�[0^*^ 16^*6]55q6^0]&q�

]�0� `�$���

���� �� ��������� ���� ��1�: � ������!� ���������� ��������� ������#��� ���� ��� ������ �������� ����$��(��������� ����'�

f��x�� min� ���� fk�x�� min� x �M�M � Rn

��$��'��(!� !(��� ����� ��$�(���� ������ �� �� ��� t�� ���� tk ��!(������ ������� $���� $��(���� 8�9�

]������ ������ $ ������ ����'� �1 !�!(��( ������ ����'�

��d� � ���� �kdk � min�

f��x�� t� � d�� ���� fk�x�� tk � dk� d� � ;� ���� dk � ;� x �M�

`��!� d�� ���� dk # ���������: ��� ���� �k # ������(������ (��7��� �!��&���!(�($� ������� � ������� $ ������ ����'� �1 � ���(!� �(! (!( �� ��#

����!(� ��� ��(� �������� ������ ! ������ ������ ���� �!� ��� ���� �k�0 $�'�!( � ������ ����'� �1 ���������(!� ���������� ������ 8/9 !�!(��

���� ��!( f��x�� t� � ;� ���� fk�x�� tk � ;� x �M� ���

^��������� ������ !�!(�� ��� !� �����( ! ������ ������� � �1: $�(�#�� (��7��� �!� �i� i � �� ���� k ���������(!� $�$ ������ ����� ��� �($����#��� !��( �(!( ���� $��(���� �( �����'����� ������ �� �� ����

�q4[6]436]

�� 6� ~(���� ��,)�� ?� , ������������- �������.�-� 5� ��-� !��������- � ����� /���-� 5�� 6���� � ! ���� �;" !�/� 0�]�_ �� !$�� ��,+�� ?�� $� �������.�� $�- ������ ����!����!� # &� �!�#���!$� &*3� +/ !�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ`�$��� ]��� 0������� ��:^!$�� ��! ���!( ����� (����'�!$�� �� ��!�(�(:���!��$( 5��� ��: ^!$: %"";�;: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� %�#/;#+": e#mail� zykinXiitam�omsk�net�ru

Page 133: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ��������� �� �����!�� ��)

3�4^��q0^�4� 5&^�[�40] 1]6[4^ 0[{4^6&^� 2{�46[5]��&^�`]�]�q &] 5&^�[�40[ 1^��4]&^0^{

0�]� [���'� : 0�*� 1�����$�

1 !(� A � 8aij9n�m � Rn�m: B � 8bij9n�m � Rn�m: n � �: m � /: Sm � !��#(��'�!$�� �� ��� ���!(��� �$: ���!( ���� �� ����!( � Nm � f�� /� ����mg� &������ ����� ����!( � T � Sm: j T j �: ������ �$(��� � 7 �$���

f�t� A�B� � �f��t� A�� B��� f��t� A�� B��� ���� fn�t� An� Bn��� t � T�

c '�!(��� $��(�����: ����!(� ������ !���� �������� 7���

fi�t� Ai� Bi� �mXj��

aijbitj � mint�T

� i � Nn�

`��!� Ai �Bi� � i#�� !(��$� �(���� A �B��6��� !� !(��'� �!(� ����!( � 1���(� P n�A�B� ���� ��(!� ���'���

�n�A�B� �

�sup �� �!�� � � �

;� �!�� � � �

��� � � f ; � A� � A� � �P n�A � A�� B� � P n�A�B��g� A� � � fA� � Rn�m �kA�k � g� kA�k � maxfja�ijj � �i� j� � Nn �Nmg� A� � 8a�ij9n�m � Rn�m�

1�����

­i�t� t�� Bi� �mXj��

jbitj � bit�jj�

I�t� t�� B� � fi � Nn � ­i�t� t�� Bi� ;g� �P n�A�B� � T n P n�A�B��

&n�A�B� � mint� �PnA�B

maxt��PnA�B

mini�It�t��B

fi�t� Ai� Bi� � fi�t�� Ai� Bi�­i�t� t�� Bi�

������ �&��� �P n�A�B� � � 7�- ��$�&�� &�� ��! ��� �n�A�B�: n � �:����!�$��!� .����

&n�A�B� � �n�A�B� � kAk�

������ �n�A�B� � &n�A�B�: ���� B � 8bij9n�m � En�m: ���� bij � f;� �g �i� j� �Nn �Nm�

�� ���� 2�$�&� &�� ��! ��� �� /���!� ���������" � $���� ! �P ��A�B� $� ����������� �A�B � Rm� ��$��� ��������.�� ���� � 3 ����� �� /���!� � $���� ! � T � Sm !��,$� -!�-���- � � /�������� ���� ��

6���(� ���������� ����(� _���� !!$��� ��!� ���$��!$��� 7���� 7 �����(���#��� �!!���� ���� ��,)#/%%�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ[���'� 0������ ]��$!�� �':_����! �� ��!�(�(: ��� ���$�����: ": 5��!$: //;;�;: _���� !�:7�$! �;�)�//%�,";: (��� /%/�)�;: e#mail� evaXmmf�bsu�unibel�by1�����$� 0�'�!�� *������� �':_����! �� ��!�(�(: (��� /")#;�#/": e#mail� blussonXnewman�bas#net�by

Page 134: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��+ ������ ������ ��������� �� �����!��

6]�q3� 3�4^��q0^�4q 6[~[&q� 0[{4^6&^� �q&[�&^�46][{4^6&^� `]�]�q 5]�^6q4]6&^� ^14q5q`]�qq

0�]� [���'� : |�0� �(��������

1 !(� E � fe�� e�� ���� emg� m �� A � 8aij9n�m � Rnm� n � �� &� ����#!( � (���$(���� T � /E n fg� jT j �� ������ �$(����� $��(���� f�t� A� ��f��t� A�� f��t� A�� ���� fn�t� A�� ! �������� '�!(��� $��(�����

fi�t� A� �X

j�Nt

aij �� mint�T

� i � Nn�

��� Nn � f�� /� � � � � ng� N�t� � fj � Nm � ej � tg�5����!( � �����(���� .77�$(� ��� ���(������� �� 2��� � (���$(���� ��#

���(!� �� ��!( � �!�: �������: 8�9��

Mn�A� � ft � T � "�t� � g�

��� "�t� � ft� � T �nPi��

sign �fi�t� A� � fi�t�� A�� ;g� ^'� ����: '(� !�$�� (�$��

(���$(���� � ���(!� .77�$(� ��� ���(������� �� 1���(���4���$(���� t �Mn�A� ���� � !(��'� ��: �!��

� ; B � B� � �t �Mn�A�B���

��� B� � � fB � Rnm � k B k� g� k B k� max fj bij j� �i� j� � Nn � Nmg�B � 8bij9� 6��� !� !(��'� �!(� (�$�� (���$(���� ���� ��(!� �$!����������'���� '�!�� �

������ ��� ���� !� !(��'� �!(� �n�t� A� !(��'� �� (���$(����t �Mn�A�� n � �� !��� ���� � !��� ���� ��!(����� ����$��

mint��ftg

mini�N�t�t�

i�t� t�� A� � �n�t� A� � mint��ftg

maxi�Nn

i�t� t�� A��

��� N��t� t�� � fi � Nn � �i�t� t�� A� � ;g� i�t� t�� A� � � i t�t��A

j tnt� � t�nt j �

�i�t� t�� A� � fi�t� A�� fi�t�� A�� ftg � T n ftg�

1�� '��� ���������� � ��!(�(�'��� !�� �� !(��'� �!(� (���$(����t �Mn�A��

6���(� ���������� ����(� _���� !!$��� ��!� ���$��!$��� ����� 7 �����#(������ �!!���� ���� N �,)#/%%�

�q4[6]436]

�� ��]�~���� � ��,+,� _ ,������� ��� $� �����$ !���- $��������" � $��� !��� ��� 5�� &� $�� /++ !�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ[���'� 0������ ]��$!�� �':�(�������� |��� 0!� ����� ��:_���� !!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:��� �$�����: ": 5��!$: //;;�;: _���� !�:(��� �;�)�/#%/#�)#�;: 7�$! �;�)�/#/%#�,#";: e#mail� evaXmmf�bsu�unibel�by

Page 135: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ��������� �� �����!�� ��,

6]�q3� 3�4^��q0^�4q 2��[{4q0&\- 6[~[&q�0[{4^6&^� {0]�6]4q�&^� `]�]�q _3�[0] 16^*6]55q6^0]&q�

|�0� &�$ ���: 0� ]� [���'� �

1 !(� A � �A�� A�� ���� Am�� b � �b�� b�� ���� bm�� m � N� ��� �(���� Ai � Rn�n: �$(��#!(����� bi � Rn� n � N� 4�$� ������: A � Rn�n�m� b � Rn�m� &� ����#!( � ������ X � En � f;� �gn� jXj �: ������ �$(����� $��(����

f�x� � �f��x�� f��x�� ���� fm�x�� �� minx�X

! $������(��

fi�x� � hAix� xi� hbi� xi� i � Nm � f�� /� ����mg�

��� h�� �i � !$������� ����� ������ �$(��� : x � �x�� ���� xn� �1 !(� Qm

� �A� b�� Qm� �A� b� � Qm

� �A� b� � !��( �(!( ���� ����!( � !(���� .77�$#(� ��� ���(������� �� ���� �: �!(���� .77�$(� ��� ���(������� �� 1���(��� !���� .77�$(� ��� ���(������� �� ����(�� � ������ 8�9�

1 !(� k � k� � '���� !$�� ���� !��( �(!( ��� ���!(���!( �: k � k� �!���������� ! ��� �����

��� ������ '�!�� r � N� ���� !� !(��'� �!(� ������ x � Qmr �A� b� ���� �#

�(!� '�!��

�mr �x�A� b� ��sup®� �!�� ® � �;� �!�� ® � :

���® � f ; � x � Qm

r �A�A�� b� b�� �A�� b�� � �� �g�

�� � � f�A�� b�� � Rn�n�m �Rn�m � k A� k�� � k b� k�� g�

������ ��� �0��" �����" r � N� � m � N $�- ��$�&�� &�� ��! ��� !�-� , (33����!� , ������- x � Qm

r �A� b� !���� 3 ��&��

�mr �x�A� b� � minx��Xnfxg

maxk�Nm

fi�x��� fi�x�jjxjj�� � jjx�jj�� � jjx� x�jj� � /hx� x�i�

6���(� ���������� _���� !!$� ��!� ���$��!$� 7���� 7 �����(������ �!#!���� ���� �����$( �,)#/%%��

�q4[6]436]

8�9 1����� !$�� 0�0�: &���� 0��� ��,+/� ����� � ���������� ������- �� , �������������" ��$��� 5�� &� $�� /�" !�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ[���'� 0������ ]��$!�� �': &�$ ��� |��� 0�(���� �':_���� !!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:��� �$�����: ": 5��!$: //;;�;: _���� !�:(��� �;�)� /#%/#�)#�;: 7�$! �;�)� /#/%#�,#";: e#mail� evaXmmf�bsu�unibel�by

Page 136: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�"; ������ ������ ��������� �� �����!��

^ 6]�q3�[ 3�4^��q0^�4q 0[{4^6&^� `]�]�q�q&[�&^*^ _3�[0] 16^*6]55q6^0]&q�

0�&� {��'$�: ��1� 1��$���� : 0�]� [���'�

1 !(� A � Rn�m� C � Rk�n� b � Rm� k � �� n � /� m � �� En � f;� �gn�6�!!�(�� ��(!� k#$��(��������� ����'� Zk ��������� � �� � ��������� ���� !��� !(� ����!( � ��� !(��� ������

Cx �� max�

Ax � b� x � En�

$�(���� �� ����� ��� �����(!� !� �����(�� �C�A� b��1� �������� ! 8�9 ���� !� !(��'� �!(� �k ����'� Zk ���� � ��7� ��!!(�#

���� ��� '���� !$�� ���� l�� �( .(�� ����'� �� �� ������ ����': $����� ��$�(���� ��� �� ���( ������: ��� ���( ��(� �� ���� ����(� !$�� ��(� : ��� ������!� ����(� !$� ��(� � �!������ ����'� Zk�

1 !(� P � ����!( � 1���(� ����'� Zk: �P � En n P�

��x� x�� � mini���k

Ci�x� x��k x� x� k�

� ��x� � maxi���m

Aix� bik x k� ��

`��!� ������ ����$! �(���� $��� ��( �� !��( �(!( �� � !(��$ .(���(�����

����� �� 1 !(� �P � � 4���� ��� ���� !� !(��'� �!(� ����'� Zk� k � ��!��� ���� � !��� ���� ��!(����� ����$�

minx�� �P

maxx�Ennfx�g

minf��x� x������x�g � �k � minx�� �P

maxx�Ennfx�g

maxf��x� x��� ��x��g�

����� �� 1 !(� �P � � 4���� ���� ! !(��'� �!(� ����'� Zk� k � �� ���#���(!� 7�� ���

�k � maxf���x� � x � Eng�

`��(�: '(� 8�9 ���� ��� '��� 7�� �� ���� !� !(��'� �!(� ����!( ��������(� � !$������� �����$��(���������� ����'� ��������� � �� � ��������� �#����

6���(� �������� ��� �������$� _���� !!$��� ��!� ���$��!$��� 7���� 7 ���#��(������ �!!���� ����: ����$( �,)#/%%�

�q4[6]436]

�� 0�{� ����(�� : {�-� 5� (� ��,++� {�� ��! ��� ������ ! ��$���" ���� � , �&��!� �� ,������ !���-� � ���� �'�!�� �(��(�$� � �(�� 7���$�� 4� /+: N�;: !� �")�#�"+��QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ[���'� 0������ ]��$!�� �' �evaXmmf�bsu�unibel�by�:{��'$� 0�(���� &�$���� �':1��$���� ��(��� 1�(�� �' �pdpXmmf�bsu�unibel�by�_���� !!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:��� ���$����� ": //;;�; 5��!$: _���� !�

Page 137: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ��������� �� �����!�� �"�

�q&[�&]� �0[64{] {6q4[6q[0 0 0[{4^6&\- �q�{6[4&\-`]�]�]- � 5]�^6q4]6&\5 16q&�q1^5 ^14q5]��&^�4q

]�0�1�$� �'

q!!��� �(!� ! ��� ��� �����(���� .77�$(� ��� ������� ����$��(�#�������� ����'� ! $���'�� ����!( � �$(����� �����$ � ������� !$�����������'� ! ���� �� 7 �$����: � ������!� �������� ! ��($�� $��(���� ��� �����#������� $��(���� � 0!� ��!!�(����� �� (!� $��(�������� ��!(���!( ��

1 !(� �� ����!( � ���(����(� ����� ������ ������� X ������ �$(��#7 �$��� y � �y�� y�� ���� yn� � X � Rn� n � /� 1 !(� ����!( � Y � fy � y�x� �x � Xg � Rn $���'�� � !������( j Y j� / .����(� � 5����!( � �����(����.77�$(� ��� ������ �����(!� �� ��!( �

M�Y � � fy � Y � y� � Y �nXi��

sign�yi � y�i� � ;�g�

^'� ����: '(� ����� (�$�� ������ � ���(!� .77�$(� �������(�#��(��������

0 ��� ������'�����

Y c � ��

Y ��� Y �� � argminfXi�Nn

iyi � y � Y g� Nn � f�� /� ���� ng�

© � f � Rn �Xi�Nn

i � �� i ;� i � Nng� '�y� � fy� � convY � y� � y� y� � yg�

��� convY # �� $��� �����'$� ����!( � Y Rn�&���!���!( ���� �� 8�:/9 �(�$��(� M�Y � � Y c �� y �M�Y � �'�y� � �������� �&��� Y � Rn

�� ^��� ����!�$��!� 3 ��&��

y� y� � Y i � Nn �yi y�i �� yi � /y�i��

� M�Y � � Y c� ���� ��$��� � ���� �� /���!� M�Y � ��������� � � � '�0 ��, ������ ���� � �!����� ��������!�

1�� '��� (�$�� �������'��� ��� ��(�(� (������ �������� ! ��($� �����#������� $��(���� �$(����� 7 �$����

�q4[6]436]

�� 5����� q�q�: ����� q�-� ��,,�� ]����$ !���� ���� � �!����� ��������! !�� , ����������� � $������� � �� ,������ !����: �05�5� �: �/%;#�/);�/� [���'� 0�]�: *���$�� ]�]�: �� $� �' ^�]� ��,,%� # �� , ������������"��$���" ��" /$���- ������ ,��3������" ����&� !� q� � ]& _���� !�� ���� 7���#�(� �� $ �: +/#+%�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ1�$� �' ]����� 0�!���� �':_����! �� ��!�(�(: ����$�����:": 5��!$: //;;�;: 6�!� ���$� _���� !�:(��� /%+);",: e#mail� APashkevichXmmf�bsu�unibel�by�

Page 138: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�"/ ������ ������ ��������� �� �����!��

^ �3}[�40^0]&qq 6[~[&q� 0 `]�]�]- 0[{4^6&^��[�^�q��[&&^� ^14q5q`]�qq

q�0��������$�: 4�4������� �: &�0������ �

6�!!�(�� ��(!� ����'� �$(����� ����'�!������ ��(������� !��� ����� ����

�C�X� � maxfCxjx � Xg� ���

��� X � D � Zn: D # �� $��� ��$� (�� ��������'����� ����!( � �� Rn: C �Rl�n # �(���� $�.77�����(� '�!(��� �������� $��(���� .77�$(� ��!(�: Zn #����!( � ����'�!������ �$(��� �� Rn�

1�� ������� .(�� ����'� � �� �����(� (�'$� �� ����!( � � �)�| � 1���(�#��(������� ������� &�����: '(� (�'$� x� � X ���� ��(!� .77�$(� �� ��#���� ����'� �C�X� �x� � ��C�X��: �!�� � x � X � Cx � Cx�� Cx � Cx�? !(����.77�$(� �� ������ �x� � S�C�X��: �!�� � x � X � x � x�� Cx � Cx�� 0�� $���$�� ! K � fx � Rnj Cx � ;g ���!��$(� ��� ����� ����� ���� ����!(� �(� ���1 � 1��1��1�: ��� 1� � fx � RnjCx � ;g: K� � fx � RnjCx ;g: K� � Kn�K��K���

1 !(�O�D � ����!!� ��� $�� ! ����!( �D� ���� ���� � !��� ���� $��(�����������!(� ����'� �)�| ������� �� ��C�X� � �� �K� �K� � � O�D�Zn � ������ �� S�C�X� � �� K �O�D � Zn � f;g�

6�!!�(���� ����!� �������!(� ����'� ��� !�� ��� �� ����� �!������������ � !(��� ���� ���������� � ��!(�(�'��� !�� �� !(��'� �� � �� !(��'�# �� �������!(� ��� ���������!(� ����'���

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�������$� q �� 0�!���� �': ������ � 4�(���� 4���!� ��:����� � &�(���� 0������� ��:q�!(�( (� $������(�$� �� 0� 5� *� $� � &]& 3$������3$�����: ;�%+;: *�1: {�� #�+): 1��!��$( �$����$� *� $� �: ";:(��;""� /%%#��#+,: �;""� /%%#��#��: �;""� /%%#/;#;+e#mail� shyloXpublic�ua�net

Page 139: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� �� �����!�� �"�

5&^*^q&�[{�&\[ `]�]�q ^ &]`&]�[&q�-&] ^�&^�q{�q�[�{q- 1^��4]&^0{]-

2�-�*����: &�5�{��$�$�: ]�q������$�

6�!!�(�� ��(!� ��������$!��� ����'� � �����'����� �� ������$��'�!$�� ���#!(��� $��� �������� �(� ������ � 7��

nXi��

ci���i����i������mi ���

�� ����!( � ���!(��� �$ f�k j � � k � mg (�$��: '(�

�lk � Pn ��� !�$�� ���� � � l � k � m�

��� Pn Q ����!( � !�� ������$��'�!$�� ���!(��� �$ �� !��(��'�!$�� �� ���Sn �����$� n?�lk ����'��( ���!(��� $ �k�� � � ��l���l: � � l � k � m?ci�i����im Q �������� ���!( ����� '�!��: � � ik � n: k � �� � � � �m�

0 ���� !� '�� ����'� ��� MAXSNP #(� ���: ��!$���$ '�!(�� !� '�� '�!������$!� m: �� ���� � : ��� ����!(� ���( �� !��� $��!!�'�!$ � ����' $�� �#������

1�� m / ����'� ��� �� ��� !�� n ���( ��(� �������0 !� '��: $���� '�!�� ����$!� m �������( ���'���� �( � �� % $��'�(�����:

����!(� ��� $��(���� �������!(� m�����$!��� ����'� � �����'����� �� ����#��$��'�!$�� ���!(��� $��� ����'� ��� ������� (���� � (���$� (����: $���� n��'�(���

^��!� ��(!� ������������ ������������� ������( ��� ������ (�������$!#��� ����'� � �����'����� �� ������$��'�!$�� ���!(��� $���

1�� ���(!� ����(��!(��� ������ ����(� .(��� ������(� �� ������ �(�����!� !� '����� ���� �!��� �����$� � ��!����������� .����(�� �� ��(�� ���8an� bn9� an ;� ��$��� ��(!� ����$� �(��!�(������ �������!(� � ����(��!(���!����(� ���� ������(� � !(��� �� ��(!� !�� �� �!��(�(�'�!$�� (�'��!(���� '������ �������

6���(� ���������� ����(� 6�!!��!$� 7���� 7 �����(������ �!!���� ���������( ,,#;�#;;%;�� � 7���������� ���� �� �������� �q�(���������$�� ����$(�/)"�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ*���� 2� ��� -��� (���� �': �����$� ]��(���� q ��� �':q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� �:��� ]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��:(��� ��#�+�#/� ��#/�#+,: 7�$!� ��#�+�#/� ��#/�#,+:e#mail� gimadiXmath�nsc�ru � aiserdXmath�nsc�ru�

{��$�$� &�(���� 5������ ��: &� �!����!$�� ��! �� ��!�(�(: �� 1����� �: /: &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!���

Page 140: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�"" ������ ���� ��� �� �����!��

^ 16q5[&q5^�4q �]�&^*^ ]�*^6q45] { &[{^4^6\5`]�]�]5 �[�^�q��[&&^*^ 16^*6]55q6^0]&q�

&�q� *���� : 0�0� ~������

q!!��� �(!� ����! � ������!(� ��������� ������(� ��$�������(���� ����#�� �������� ������(�� ��� ������ ����'� � �$!������ �$(��� !� '�� �#�� (�� !������������ ���� �� 7 �$����

6�!!�(�� ���� ����'� ���( ���

maxff�x� j x � eQg ���

��� x � �x�� � � � xn�:f�x� �

nXj��

fj�xj�� �/�

eQ Q ����!( � �$!������� �(��!�(����� '�!(�'���� �����$� � (�'�$ �� Q?Q Q $���'��� ����!( � ����'�!������ (�'�$ ���(����(������� ��(��(�?fj��� Q ��� (�� �(��� �� $��� ���� 7 �$����

1�!���!( � ej ����� ������'��(!� j�� ��( ���!(���!( �: E�x� � fj j x�ej � Qg�1����������(!�: '(� E�x� � !� '�� x � Q n eQ � ��� ����� (�'$� x � Q n f;g

! ��!( �( (�'$� y � Q� (�$��: '(� �$(�� x� y �!(� ��( ���!(���!( �������!�� ������(� ��$�������(���� ������ �11� �����!! �'�!����� ��'�#

���(!� ! (�'$� ;� 1� ��!(������ ��$�(���� (�'$� x � Q n eQ �� �'������ ��������!!� ����!����( ������� $ (�$�� (�'$� x� � x� ej � Q: ��� $�(���� ����������7 �$��� f�x� � ���(!� �$!������ � ������ � �(����(������� ^'� ����: '(������!! ��$��'�(!� ��$�(���� (�'$� �x � eQ�

3!(��� ��� $��(���� �������!(� ����'� �����/� ��!���!( � ������(� 11������� 7�- � , �� �� ��, ���� �� ���! $�� � � ��� �x� -!�-0'� �-

�������� ��$��� Y�6�Y6 ��� �0��" f�x� !�$� Y6� �� �" $�� � $ ���� �� � �� ���� /���! Q ���$�� �! ��! �� ���� x � Q� y � eQ� x � y� xi � yi� i � E�x�� � �&'���!&�� j � E�x�� ��� � �� yj xj � y � ei � ej � Q�

��$����� (�$�� ��$�(����: ����� ���!(��� ���: ��!(�(�'��� !�� �� �������#!(� ����'� �����/� ��!���!( � ������(� 11�

^(�(�: '(� 8�9 ��� ��� '�� $��(���� �������!(� ��!���!( � �������������(� ����'�: �(��'�����!� �( ��!!�(�� ���� �(! (!( �� (���� ���� �$#!������!(� �x �(��� �$!������� f�x� ����� ���(!� �� Q� � �� �� eQ�� ��!(���!� '�� ����'� �����/�: $���� Q �!(� ����!( � � �� �� �$(��� : ��!!�(��� 8/9�

6���(� ���������� ����(�� 6��q ,,�;��;;��; � ��1 �q�(��������/)"

�q4[6]436]

8�9 &�q�*���� ��,)�� #� $� � ������ ��$�� !��&�� , .�� ������� , �� ,������� !���-� �� 3��� ����� !�!(�� ��: &� �!����!$: !��+#"/�

8/9 O�Goecke: B�Korte: L�Lovasz ��,+%� Examples and algorithmic properties of greedoids��� Lecture Notes in Mathematics �";�: Springer�Verlag: p���,��%��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ*���� &�$���� q ��� �': q�!(�( ( �(��(�$� �� ���������� � �^ 6]&:���]$����$� {��(��� ": &� �!����!$: %�;;,;: 6�!!��? e#mail� niglebXmath�nsc�ru~������ 0������ 0������� �': &*3

Page 141: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� �� �����!�� �"�

^_ 3�4^��q0^�4q L#&]{6\4q� `]�]� _3�[0]16^*6]55q6^0]&q�

5�0��� �(���$� �

5����� ��� ��(�(� ����!(� ��!$��(��� ��(������� ��� '��� �� �!�� � �#(��� ��� ������ ��������� 8�9� 0 ��!������ ��� $������� �(�� �������(!� ����!�� !(��'� �!(� ����' ����'�!������� ��������� ���� 8/9� 0 ������ ��#��(� �!!��� �(!� !(��'� �!(� ������� ��$��(�� ����' � �� � ��������� �����_1�: '�!(��!(�: ����'� � ��$��$�: �� �!�� � L#���������� ^!�� ��� ������'����� ����������� !��( �(!( �( 8�:/9�

1 !(� Bn � fx � ; � xi � �� i � �� ���� ng � � � Bn� 6�!!�(�� ��(!� ����'� _1 ��$!�$����7�'�!$�� ��!(��� $��

���(� z� � lexmax��� Zn��

0��� � ���� �!!���� ���� .(�� ����'� � ������(� �� ������ �����( ��#��!( �

�� � fx � � � x � z ��� !�� z � �� � Zn�g:

$�(���� ���� ��(!� ������ ��$��(�� ����'�: � ��� ��������� �� L#$��!!�: ���#���'���� ���L: # L#��$��(���

1����� � � ;� �!�� ��Zn � �: � � � �� �!�� ��Zn � �� ����� �� � ������'� #��!������ ����!( � ��

������ 1 !(� � # ��$� (�� ����!( � Bn� 4���� ! ��!( �( ; (�#$��: '(� ��� ������ �

: �� ��( �������� !�� �� � � ��

� �� �: ���( �!(�!��(������

j ���L j�j ��

��L j� �n� �� j ���L j ���n � �� � ��

]������'��� ����$� ������� ��� ����� ������� �������� ��(�� ����1���!(� ���( ��(���! ��� '���� �����$ ���'��� ��� �����'��� $��!!� ����'

����'�!������� ��������� ����� &�� !(��� ����: '(� ��� ��������� � �� ������'� � ��$��$� ���'���� �� �� ��!!(����� ��� ����$!������� ��������#��$� ����'� � ����!( � ��!���������!� �� ����'�!������ (�'�$�

�q4[6]436]

�� {���$��� ]�]� 6�� ������ ��������� � �(!�'���� ����'�!����� �������#�� ������ ���� � ���� �!!���� ���� ���������# �,,": N/�# �� �+#�,�/� {���$��� ]�]�: �� �(���$� � 5�0� 6�� ������ ��������� � !(��'� �!(� ����'����'�!������� ��������� ������ {��7������� �5�(��(�'�!$�� ���������# ���� � ������������ q�7���������� �����(��� ]!!������� �(��(�'�!$������������ ����� [$�(����� ��� 3�^ 6]&: �,,,�# �� �%�#�%/�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ�� �(���$� � 5����� 0������� ��:^!$�� 7����� q�!(�( (� �(��(�$� �� �� �� ������ � �^ 6]&: �� 1� �� � ��: ^!$: %"";,,: 6�!!��:(��� �+#�+�#/� /�#%)#�,: 7�$! �+#�+�#/� /�#"�#+"�

Page 142: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�"% ������ ���� ��� �� �����!��

MIN#SKEW CLOCK TREE DETAILED ROUTING

A� I� Erzin

As the demand for high#speed VLSI chips grows: the design of their timing systemsis becoming a major concern� The timing system is responsible for the synchronizationof the system� The clock signal is generated external to the chip and provided to thechip though the clock entry point �source or root�� Each functional element which needsthe clock is interconnected to the clock entry point by the clock net� Each functionalelement performs a series of logic functions and waits for the clock signal to pass itsresults to another element before the next processing cycle� The clock controls the �owof information within the system� Clock skew is the time diZerence for a clock signalto reach two circuit components� Increasing clock skew in synchronous systems leads toa degradation in circuit speed� In deep sub#micron technology clock skew is one of thedominant factors which determine system performance� Clock skew reduces the clockfrequency since clock period must be increased to account to late arrival of clock signal atcertain circuit elements� The clock skew must be less than �¯ of the critical path delaytime to build high performance systems�

At present clock routing has gained very much attention and extensive research onclock skew optimization has led to signi<cant development 8�#"9�

In this paper we present a new detailed routing scheme which permits to route bothplanar and two#layer min#skewminimumtotal wirelength clock trees� This novel approachapplicable for <xed sinks and root location and routes the links along the chip grid usesunoccupied die area�

In 8"9 for zero#skew minimum critical delay wire#sizing problem in certain clock tree amulti#iteration exponential algorithm is proposed� Finally: we presents an exact pseudo#polynomial dynamic programming based algorithm for more general problem than in 8"9�

This research was supported in part by RFBR grant ,,#;�#;;"+/ and FSP �Integration#/)"��

REFERENCES

�� K�D�Boese: A�B�Kahng ��,,/� Zero�skew clock routing with minimum wire�length� InProc� of the �st Annual IEEE Int� ASIC Conf� and Exhibit: IEEE: �)#/��/� J� Cong: A�B� Kahng: C�K� Koh: C�#W�A� Tsao ��,,+� Bounded�Skew Clock and Stein�er Routing� ACM Trans� on Design Automation of Electronic Systems: � �!: �"�#�++��� A�B� Kahng: C�#W�A� Tsao ��,,%� Planar�DME� A Single�Layer Zero�Skew Clock TreeRouter� IEEE Trans� on CAD: �� �!: +#�,�"� Z� Xing: P� Banerjee ��,,+� A Parallel Algorithm for Zero Skew Clock Tree Routing�ISPD>,+: Monterey: CA: USA: ��+#�/��

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQErzin Adil I�: Sobolev Institute of Mathematics:pr� Academica Koptyuga ": Novosibirsk: %�;;,;: Russia:phone� �+#�+�#/� ��#�)#++: fax� �+#�+�#/� ��#/�#,+: e#mail� adilXmath�nsc�ru

Page 143: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� �� �����!�� �")

^6]{3��&]� ��^�&^�4� `]�]� �[�^�q��[&&^*^ �q&[�&^*^16^*6]55q6^0]&q�

&�|�`���(��

6�!!�(�� ��(!� ����'� � ��$��$�� max cTx ��� !�� ��� aTx � a�: x � f;� �� � � � �k � �gn: ��� a� � Z: a� c � Zn� 1����������(!�: '(� n� k� c �� �!(��: � ���� ��!( �aTx � a� ������ ! ������ ���$ ��: �( �'������ �� ����!: �������(!� �� ������ �$(��� x: $�(���� ���� �����(� �� ����!( � f;� �� � � � � k � �gn� 0 8�9 ������$�����: '(� ��� ���� 7�$!��� ���� n ��� ������ ����'� ! ��!( �( ������#������� ������( �� �������

��� ������(� A: �������� ��!(� ���� � ����' : ������'� '���� � �A� n� k� a�a�� c� '�!�� ��������� $ ���$ � � ��� ���'���

� �n� k� � minA

maxa�a��c

� �A� n� k� a� a�� c��

��� ��� ����(!� �� !� ������(�: ��� '��� !��� ���� ����$���� c�n log

n�� k � � �n� k� � cn logn k �cn: c�n Q ��$�(���� �� �!���� (���$� �( n������(������ ���'����?

/� � �n� /� � /n�q!����� ��� ������� $ ��� '���� �����$ ��� � �n� k� ����$� $ �(��� �� 8/9�6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� 6��q� {�� ����$(� ;;;�#;;�,,�

�q4[6]436]

�� ~� '��$� 0�&� {�'�!( ����� ����!� ����'�!������� ��������� ����� � 5������(��(: �,,�� � �,/ !�/� ~� '��$� 0�&�: `���(�� &�|� ^ !�����!(� ��!�7�� $� ������ �� 7 �$���k#���'��� ����$� �� ��$���� ]$����� �� $� � �,,+� � 4� �%/: ��� � C� %;%�%;+�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ`���(�� &�$���� |��� �':&��������!$�� ��! �� ��!�(�(:%;�%;;: &����� &� �����: ��� *�������: /�:4��� �+��/� %��)+�+�: e#mail� znyXuic�nnov�ru

Page 144: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�"+ ������ ���� ��� �� �����!��

^�q& ]�*^6q45 6[~[&q� `]�]�q5q&q5q`]�qq &] &]��[��40[&&^� �q�4[5[

0�1�q���

1 !(� V � $���'��� ����!( �: jV j � n� )����� ����!���� ��� �� ����!( �V ���� ��(!� !���!( � A � /V : �� ��( ������� !��� ���� �$!����

�A � A� A� � A�� A� � A�

5����!( � !���!( � A ���� ��(!� ����!������� �� /���!���� 1� �������� ���� ��!!�(��(� ������& ��!���� ��� �� V $�$ !���!( � D � /V : ����������! ��!( � ���!���!( ����!(� �����

�D � D� D � D��� D� � D�

5����!( � D � D ���� ��(!� ��!��������^'� ����: �!�� A � /V � !�!(�� ���� �!��!(�: (� D � /V n A � !�!(�� �� �#

!��!(�: � �������(� 4�$� ������: !�!(�� ���� �!��!(� A � !��( �(!( ����!�!(�� �� �!��!(� D � /V n A �� ( ��(� ��!!�(���� $�$ �����'��� ���� ��#��� ��$�(����� �� ��!������� $�����(������ ����$(�: ��!���!( ����� !�!(���^������� �����$��!���&0 ������& S �� $���'�� ����!( � V $�$ ��������� !�#��!( � !�� �������!( ����!( � V �� � � $��!!� A � D: ��� A � /V � !�!(������ �!��!(�: � D � /V n A � !�!(�� �� �!��!(�� �(��� ���'��$� (� �� ���!(�( ! !���!( A � D .(� �����������: � �� ����!� �(� S � �V ?A�D��

Q��� ��!���!( ����� !�!(�� S ! (� �$!������� �� $��'���� ���� �!�������!( ��

6�!!�(�� ��(!� ����'� $�����(����� ��(������� ����

min fc�X� � X � Dg� ���

��� D � !���!( � !�� �� �!��� ����!( ��$�(���� ��!���!( ����� !�!(�� S ��V ?A�D�: � c � V � R� � ����(� ��� 7 �$���� _����� '�!(� ���$(�'�!$�� ����':��� !$����� ��!(��� $ ���: �(��!�(!� $ $�(������ NP #(� �����

1�������� ������������ ������( ������ ����'� ���: $�(���� ����!(� ���(!���� �����( ������� ������(� � ���( �����(��� ��� � ����$ �������!(�H�m� �

Pmi�����i�: ��� m � $���'�!( � ��� ��!���!( ����� !�!(�� S � �V ?A�D��

{�$ !���!( �� !� '��: $���� '�!�� m ������'��� ! ��� ������� �( n �(�$� ��(: �������: �!�� D � !���!( � ������� ��$��(�� ��������7� ! ������������'����� ����!(��: ��� '�� .77�$(� ��� ������������ ������( ! ����$���������!(� O�log n��

6���(� �������� ��� 7����!� �� �������$� q&4]�: $�� ����$(� ,%#;+/;�

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQq��� 0�$(�� 1�(�� �':^!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:��� "���: ^!$: %"";;�: 6�!!��: (��� ��+�/� �%#);#++:7�$! ��+�/� /�#"�#+": e#mail� iljevXiitam�omsk�net�ru

Page 145: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ���� ��� �� �����!�� �",

^_ ]116^{�q5]�qq �q�4[5 &[`]0q�q5^�4q5]46^q�]5q 6]`_q[&q�

0�1�q���

)����� ����!���� ��� ���� ��(!� ���� S � �V�A�: ��� V � $���'��� ����#!( �: � A � ��� !(�� !���!( � ��� �������!( : �� ��( ������� �$!����

�� �!�� A � A � A� � A: (� A� � A�5����!( � !���!( � A ���� ��(!� ����!�������� ��!(�� ���� �!��!(� S ��V�A� ���� ��(!� ���� �$ �: $���� ��� �� ��( ����( !�� ���

/� �!�� A�A� � A � jA�j � jAj��: (� ! ��!( �( (�$�� v � A� nA: '(� A�fvg � A�^'� ����: '(� �!�� � � �V�� ���� Vp� � ��������� ����!( � V : ki � f;� �g � ��������'�!��: i � �� ���� p: � A� � fA � V � jA � Vij � ki� i � �� ���� pg: (� S� � �V�A�� ��(����� ^� ���� ��(!� ���� �$ � ��������-�

6�!!�(�� ��(!� ��$��� ���� �$� ���� �����.��: !��� ����� ��!(��� $� $�#(���� (�$� �� 1 !(�M � ��$�(���� $��!! �(����� �� ����!( � V � ��� ��������!�!(�� ���� �!��!(� S � �V�A� ���(� �(���� M � M: $�(���� $�$�#(� !�#!�� � ���(!� !�� ����$� $ !�!(�� S� 1��'� ��� �����!(� d�S�M� !�!(�� S� �(����� M ���( ��������(�!� ��#����� �����'��� ��!(��� $���

q!!���� �� �����( ����'� �(������� �����$!�����: $�(���M � $��!! !���(����� ��������� �� V : d�S�M� � jc�OptS��c�OptM�j�c�OptS�: ��� c � V � R� ��������� ����(� ��� 7 �$���: OptS � ��(������� ������ ����'� $�����(�������(������� �� !�!(�� ���� �!��!(� S � �V ?A�

maxfc�X� � X � Ag� ���

� OptM � ��(������� ������ �������'��� ����'� ! (�� �� ���� �� 7 �$���� c ���(����� M � 1�� '��� !��� ���� ��� ��(�(��

�� ��� !�$�� !�!(�� ���� �!��!(� S ! ��!( �( (�$�� �(���� ��������� M :'(� OptM � OptS: (��� d�S�M� � ;�

/� ��� ����� !�!(�� ���� �!��!(� S � �V�A� ��������� .77�$(� ��� �(���(�!$���� �����$!��� ����� �(����� ��������� M : ��� $�(����� OptM � A:(��� OptM � ���(!� ��� !(�� ������ ����'� ��� �� !�!(�� S ! �(��!�(�������������!(�� d�S�M��

�� 0 '�!(��!(�: ��� ����'� ���: $�(���� A � !���!( � ���� �!��� ����!( ���� ����� ������� ���7�: ��� '��� ����$� d�S�M� � �­� ����­� /�: ��� ­ �� �$!������� !(����� ���� ���7�� �� ��� !�� ��: ������( ���!$� �����$#!��� ����� �(����� ��������� ���( ��!!�(�� �(�!� $�$ ������������ �(�������� ����'� � ���� �!�� ����!( � ���� �$!�������� �!� ! �����(���# ����� ����$�� �������!(� �­ � ����­ � /�: '(� � ���(!� �� (������ �� �!(�������$� ��� ���7� ! ������'����� !(������ ���� 8�9�

�q4[6]436]

�� Hald=orsson M� and Lau H�C� Low�degree graph partitioning via local seach with applica�tions to constraint satisfaction� max cut� and <�coloring �� Journal of Graph Algorithmsand Applications� �,,)� V��� P��#���QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQq��� 0�$(�� 1�(�� �': ^!$�� ��! ���!( ����� �� ��!�(�(:��� "���: ^!$: %"";;�: 6�!!��: (��� ��+�/� �%#);#++:7�$! ��+�/� /�#"�#+": e#mail� iljevXiitam�omsk�net�ru

Page 146: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��; ������ ���� ��� �� �����!��

q���[�^0]&q[ q 6[~[&q[ `]�]�q ^ 0\1^�&q5^�4q� q�1^��`^0]&q[5 L # 6]`_q[&q�

]�]� {���$��� : |�&������� �

`��'�(������ '�!�� �!!���� ���� ����!(� ��!$��(��� ��(������� ��! ���#�� ����'� � �������!(�: $�(���� (��� �(!� ��������(� �!(����!(� ����'�!$��7�� �� 8�9� 0 ������ ����(� .(� ����'� �� '��(!� �� �!�� � �(��� ��� ���������������: '�!(��!(�: L # ��������� 8/9�

1���������: '(� 7�� �� ������(!� $�����$(� ��� ��������� 7���: ��#�( n ��������� � m !$���$� 0 ��� � �� �� ��������� xj � �(����!( � �� ���#'���� � ��� ; ! ��!(�������� �������: !��( �(!( ����� 4���� !�� �� �!(����!(�7�� �� � ��( .$ � ����(�� ! ��!( � ���� ������ !�!(���

Xj�C�

i

xj �Xj�C�

i

xj � � � jC�i j� i � �� ����m� ���

; � xj � �� j � �� ���� n� �/�

xj � Z� j � �� ���� n� ���

��� C�i # ����!( � ����� ���������: !��( �(!( ���� ��(����� ! �(�������#

�: C�i # ����!( � ����� ��������� ��� �(�������� 0�� $��� ����������$:

����������� !�!(��� �������� ���� ��!( ���#�/�: ������'� '���� 5�q!!��� �(!� ����'� ����'�!������� ��������� ����: !�!(����� ���!$� ��$#

!�$����7�'�!$� �$!�������� ������ !�!(�� ���#���� 1�������� ������( �� ��#����: �!�� ����� �� �(��� �������� L # $��!!� 8/9� 0 .(� ������(� ! ��!( ��#�� �!����� �(!� �!������!(� !7�� ���� ����� ����'�: '�!(��!(�: ( ��������� (�: '(� ����� ������� L # $��!! ����!( � ( !������( (�'$ ! $�������(���� ����!( � f;: ��/: �g� _�������� .(� ! ��!( �� (��� �(!� ���(� ����'���������� ��������� ���� ��� ���!$� ����!(� �(���� L # $��!!� : '(� ���(���� ���( .77�$(� ��!(� �����!!� �������� .����(� L # ���������� {��� (���:��!(����� ������ ����' ! $����$!�� ������� L # $��!!� : ����!(� $�(������!(�( .$!������������ �!(� ! n�

������ ������( ������� �� !���� Delphi ��;: ��� ����� �'�!��(������ .$!#������(� �� !���� !� '����� ����': � (�$�� �� ����'�� �� ������(�$� DIMACS:$�(���� ��$����� ���!��$(� ��!(� ������������� ��������

�q4[6]436]

�� Jaumard B�: Stan M�: Desrosiers J� Tabu Search and Quadratic Relaxation for Satis<a#bility Problem: DIMACS Series in Discrete Mathematics Theoretical Computer Science:Vol� /%: �,,%�#P�"�)#"))�/� {���$��� ]�]� 6�� ������ ��������� � �(!�'���� ����'�!����� �������#�� ������ ���� � ���� �!!���� ���� ���������#�,,": N/�#C��+#�,�QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ{���$��� ]��$!���� ]��$!����� �': ������ � |��� &�$���� ��^!$�� 7����� q�!(�( (� �� ���������� � �^ 6]& �� 1� �� � ��: ^!$: %"";,,: 6�!!���(��� �+#�+�#/� /�#%)#�,: 7�$! �+#�+�#/� /�#"�#+"�e#mail� koloXiitam�omsk�net�ru: cheredXiitam�omsk�net�ru

Page 147: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ����� ��� ���

������� ������ ������ ������� ���������������� ������ ���

�� �� ������ �� �� !"#$%&

�'()!% !* !*&%��+," #-.�$!�/�& 0$!1-!2%++�.� $%)%+!3 /%�$!(%���4 *#5#(!��//!&�32%$# �-%5'�6!%7

�8 #-.�$!�/ 5%$%&# 9�8 � 0�.$%)+���:� ; ! &$%/%+%/ O9n�8<;8 #-.�$!�/ �$!���=!5%�# 9�8 � 0�.$%)+���:� ��� ! &$%/%+%/ O9n�8��-3 %&�-!5�&�.� 5&'/%$+�.� 0$���$#+��&# &$%/3 $#1��, #-.�$!�/�& O9n log n8

! O9n��� log� n8 ����&%���&%++�� �'5%/ �(!�#�: (�� 0���$�%++,4 /#$)$'� 5�0�-+!>�%-:+� -��#-:+� �0�!/!*!$'%��3 & �#25�4 !* n ��(%� & �.$#+!(%++�/ ��+% k +# (���$#�!��3 &$%/3 O9n8�

� ?�@ #&��$#/! 0$%5-�2%+, /�5!=!�#A!! #-.�$!�/# 5%$%&# 9�8 ! #-.�$!�/#�$!���=!5%�# 9�8 & ����$," -��#-:+#3 �0�!/!*#A!3 0$!/%+3%��3 +# 0$�/%2'>��(+," )#.#" $#1��, #-.�$!�/�&�

� 5��-#5% 0$%5-#.#%��3 #-.�$!�/ *#A!�-%++�.� 5%$%&# 9��8 ��-!(#�6!4�3 ��� �%/ (�� & +%/ 0��-% 0���$�%+!3 /!+!/#-:+�.� ����&# � &!�3(!/ &%$)!+#/0$!��%5!+3���3 &��$,% �$#�(#4)!% $%1$#� ���-% B��.� 0$��/��$�/ .$#=# & .-'1!+'!-! & )!$!+' &,3&-3���3 A!�-, ����$,% 5#-%% �1C%5!+3���3� �.� &$%/3 $#1��,0$#��!(%��! �#��% 2% (�� ! ' ��

�#��/��$%+ �#�2% #-.�$!�/ 0�&��$+�.� 0#$���(%�#+!3 9��8 � &$%/%+%/ O9n�8�� +%/ �+#(#-# &,(!�-3%��3 0�-+�% 0#$#��(%�#+!% +# &�%" !�"�5+," ��(�#" # *#�%/�#��% 2% 0#$���(%�#+!% +� � 1%���+%(+,/ $#����3+!%/ 5-3 �%" 0#$ ��(%� ����$,%&�)-! & 0%$&�% 0#$���(%�#+!%� ���-% B��.� 0�-'(%++,% A!�-, ��-%!&#���3 & �5!+/#$)$'��

�#� 0��#*,&#%� ��#�!��!(%���% /�5%-!$�&#+!% 9$#&+�/%$+� $#�0$%5%-%++,% ��(>�! & %5!+!(+�/ �&#5$#�%8 ��+�)%+!3 5-!+ /#$)$'��& � 5-!+% /!+!/#-:+�.� ����&#5-3 B�!" #-.�$!�/�& �-%5'�6!% 90$! n D EFF k D ��87

�-.�$!�/ � � �� � � ���-!+# /#$)$'�# ��E� ��;� ���G ���G ���� ���H

�#1��# 0�55%$2#+# .$#+��/ �II� JGKFLKFE�JH�

�������M��

�� !"#$%& �� �� ������ �� �� 9�JJG8 ��������� ��� � ��������� �������� �������� NN �%�!+=�$/#�!�#7 �%�$!3 ! 0$#��!�#� �,0� �� O ��/��7 �*5>&���/� '+>�# GH>J��

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO������ �$!4 �%�+!5�&!( !"#$%& �%$.%4 �-%��#+5$�&!( ��/��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� 0$� �%+!+# EP ��/�� PEHF�F ����!3 �%-� 9EG;>;8 H;PFJP e>mail7 kostQinf�tsu�ru

Page 148: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��; ������ ��������� ����� ���

������ ����� ��������� ������R��� ������M��S��

�� �� ������ �� �� I'��

�-���'� �$!#+.'-3A!� � /!+!/#-:+�4 �'//�4 5-!+ $%1%$ +#*,&#�� �0�!/#-:>+�4� � $35% �-'(#%& �#�#3 �$!#+.'-3A!3 0$%50�(�!�%-:+%% �1,(+� 0$!/%+3%/�4�$!#+.'-3A!! �%-�+%� �$�/% ��.� �0�!/#-:+'� �$!#+.'-3A!� & ��-!(!% �� �$!>#+.'-3A!! �%-�+% -%.�� �1�16!�: +# &#2+,4 �$%"/%$+,4 �-'(#4 O �5+�*+#(+'�0�&%$"+���:� �#�#3 0�&%$"+���: !�0�-:*'%��3 & (#��+���! �#� /�5%-: $%-:%=#/%��+���!�

�#� �#� �0�!/#-:+'� �$!#+.'-3A!� /�2+� &,(!�-!�: *# B��0�+%+A!#-:+�% &$%>/3 �� +# 0$#��!�% &/%��� +%% +%$%5�� !�0�-:*'�� 2#5+'� �$!#+.'-3A!� &,(!�-3>%/'� *# &$%/3 O9n� log n8�

� ?�@ #&��$#/! 0$%5-�2%+# -��#-:+� 2#5+#3 �$!#+.'-3A!3 5#�6#3 /%+:)!4&%� (%/ 2#5+#3 +� &,(!�-3%/#3 *# �$%5+%% &$%/3 O9n8 0$#&5# � 5�&�-:+� 1�-:)�4��+��#+��4 0$�0�$A!�+#-:+���!�

� 5��-#5% 0$%5-#.#%��3 $35 +�&," -��#-:+," #-.�$!�/�& /+�.!% !* ����$,"��$�3� �$!#+.'-3A!� � /%+:)!/ &%��/ (%/ 2#5+#3� �" �$%5+%% &$%/3 O O9n8 �$#*-!(+,/! ��+��#+�#/! 0$�0�$A!�+#-:+���!� � B�!" #-.�$!�/#" & �#(%��&% +#>(#-:+�4 !�0�-:*'%��3 �$!#+.'-3A!3 �%-�+% ����$#3 *#�%/ 0%$%��$#!&#%��3� �%$%>��$�%+!% &%5%��3 & -��#-:+," .$'00#" �/%2+," �$%'.�-:+!��& 0� �$!�%$!� /!+!>/'/# 5-!+, &+'�$%++!" & .$'00% �$%'.�-:+!��& $%1%$� �-.�$!�/, �1�16%+, 5-3��(%� $#�0�-�2%++," +# �5+�*+#(+�4 0�&%$"+���! z D F 9x� y8�

� 5��-#5% $#��/#�$!&#%��3 %6% �5!+ �$!�%$!4 �0�!/#-:+���! 0$���$#+��&%++�4�$!#+.'-3A!! ��(%� $#�0�-�2%++," +# �5+�*+#(+�4 0�&%$"+���! z D F 9x� y87 /!+!>/'/ 0-�6#5! �$%'.�-:+!��&� �$%5-�2%++,% #-.�$!�/, -%.�� /�5!=!A!$'���3 5-3B��.� �$!�%$!3�

�$#&+%+!% #-.�$!�/�& 0$�&%5%+� ��#�!��!(%��!/ /�5%-!$�&#+!%/ +# $#*+��1$#*>+," $#�0$%5%-%+!3"� �#1��# 0�55%$2#+# .$#+��/ �II� JGKFLKFE�JH�

�������M��

�� ������ ���� I'�� ���� 9�JJG8 ���������� �������� �� ������ ����������� NN �%�!+=�$/#�!�#7 �%�$!3 ! 0$#��!�#� �,0� �� ��/��7 �*5>&� ��/���'+>�# P�>PP�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO������ �$!4 �%�+!5�&!( I'�� �-%��#+5$ �:&�&!( ��/��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� 0$� �%+!+# EP ��/�� PEHF�F ����!3 �%-� 9EG;>;8 H;PFJP e>mail7 kostQinf�tsu�ru

Page 149: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ����� ��� ��E

���� �������� ��S����������T ������ ���������������T��������� ������R��� ������ � ����������T

����$#&A�& ����$#&A�& �����'�)!+

�*&%��+� ?�@ (�� /+�.�.$#++!� M9E� n8 D fx D jjxijtjjn 7Pn

i��

Pnj�� xijt D � �t �

Nn�Pn

i��

Pnt�� xijt D � �j � Nn�

Pnj��

Pnt�� xijt D � �i � Nn� xijt � F �9i� j� t8 �

N�ng .5% N�

n D Nn � Nn � Nn� Nn D f�� ;� ���� ng� n � ; �$%"!+5%��+�4 #��!#-:+�4*#5#(! � +#*+#(%+!3" +% 3&-3%��3 A%-�(!�-%++,/ ��%� !/%%� ! &%$)!+, � 5$�1+,/!���$5!+#�#/!�

�'��: r � N�n��� �%$)!+' /+�.�.$#++!�# M9E� n8 1'5%/ +#*,&#�: r>+%A%-�(!>�-%++�4 %�-! �+# ��5%$2!� $�&+� r 5$�1+," ��/0�+%+�� �'��: �9n� r8 O (!�-�&�%" r>+%A%-�(!�-%++," &%$)!+ /+�.�.$#++!�# M9E� n8� �%.�� &!5%�: (�� �9n� r8 DF� r D �� ;� E� ��

�������� �-3 -�1�.� (!�-# r � fH� P� L� ���� q9n8g .5% (!�-� q9n8 &,(!�-3%��30� =�$/'-%

q9n8 D

�������������

En � ;� %�-! ; � n � L ;n U H� %�-! n D G ;n U �� %�-! n D J ;n U P� %�-! n D �F ;n U L� %�-! n � ��

' /+�.�.$#++!�# M9E� n8 �'6%��&'�� r>+%A%-�(!�-%++,% &%$)!+,��#45%+ $35 +�&," �&�4��& �#�#�6!"�3 ��$�%+!3 ! 0�5�(%�# r>+%A%-�(!�-%++,"

&%$)!+ /+�.�.$#++!�# M9E� n8� � (#��+���! &,&%5%+, 3&+,% =�$/'-,7

�9n� H8 Dn9n � �8

H9nV8�� n � ;�

�9n� P8 D ;n9n � �89n � ;89nV8�� n � E�

�9n� L8 D En9n � �89n � ;89nV8�� n � E�

�%/ �#/,/ 0�-'(%+� �0$�&%$2%+!% .!0��%*, �G !* ?;@�

�������M��

�� �����/%-!(%& ����&#-e& ����$#&A�& ������������ ������ �� ������7 �#'�# �JG��;� �����/%-!(%& ����$#&A�& 9�JJ�8 ��� �������� ������ �����������! ���������! ����������! ������ �!��$%�+#3 /#�%/#�!�# � N ; E K ;H�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�$#&A�& !"#!- ��+��#+�!+�&!( ��X� !+B��+�/!�! �%-#$'�! '-� �-#&!+���.� � �� � !+�� ;;FFFF �%-#$'�: �%-� 9G>F�L8 ;PH>E�>;H

�$#&A�& �!���$ !"#4-�&!( �'�)!+ �&.%+!4 �#-%+�!+�&!( �%-.��'+!&%$�!�%� 0$� I����$!+, H !+�� ;;FF�F �%-#$'�: �%-� 9G>F�L8 ;LF>E�>EL e>mail7 LukshinQfpm�bsu�unibel�by

Page 150: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��H ������ ��������� ����� ���

������� ������R���� ������ ��� ������� ������R��� �����

���� �'*+%A�&#

�#��/#�$!&#%��3 !*&%��+#3 ��/1!+#��$+#3 *#5#(# � /#��!/#-:+�4 �-!�% ?�@ 5-3����$�4 0$%5-#.#%��3 +�&,4 /%��5 $%)%+!3 ��+�&#++,4 +# +%�1"�5!/," ! 5���#>��(+," .-�1#-:+�4 �0�!/#-:+���! 5-3 *#5#(! d�c�/!+!/!*#A!! ?H@�

�'��: 5#+ +%�$!%+�!$�&#++,4 0$����4 .$#= G D 9V�E8 $#*/%$+���! n� �1�>*+#(!/ (%$%* AG /#�$!A' �/%2+���! 5#++�.� .$#=#� �'5%/ +#*,&#�: 0�5/+�2%��&�&%$)!+ C �-!��4 %�-! �#25#3 0#$# &%$)!+ !* C ��%5!+%+# $%1$�/� �$%1'%��3 +#4�!�-!�' � +#!1�-:)!/ ��-!(%��&�/ &%$)!+ +#*,&#%/'� & 5#-:+%4)%/ /#��!/#-:+�4�

�#5#(# 0�!��# /#��!/#-:+�4 �-!�! /�2%� 1,�: �&%5%+# � $%)%+!� �-%5'�6%4*#5#(! /#��!/!*#A!! �&#5$#�!(+�4 ='+�A!! +# �#+�+!(%���/ �!/0-%��%

F 9x8 D�;hx�Axi � max� x � S� 9�8

.5% S D fx�xi � F� i D �� � � � � n�Pn

� xi D �g A �D AG U �

�In O $%.'-3$!*!$�&#++#3/#�$!A# �/%2+���! In O %5!+!(+#3 /#�$!A#�

�,-� 0��#*#+� ?;@ (�� /#��!/#-:+#3 �-!�# /�2%� 1,�: +%0��$%5��&%++� +#45%+#!* .-�1#-:+�.� $%)%+!3 x� *#5#(! 9�8 0� =�$/'-% C D fi � V 7 x�i � Fg�

�2+� 0��#*#�: (�� A%-%&#3 ='+�A!3 *#5#(! 9�8 0$%5��#&!/# & &!5% $#*+���!5&'" &,0'�-," ='+�A!4� �-%5�&#�%-:+� *#5#(# 9�8 3&-3%��3 *#5#(%4 d�c� /!+!/!>*#A!!7

F 9x8 D g9x8� h9x8 � min� x � D� 9;8

�-3 *#5#(! 9;8 ���� ��$%�#-�&��!/ 1,-# 0�-'(%+# "#$#��%$!*#A!3 .-�1#-:+�.�$%)%+!3 & &!5% +%�1"�5!/," ! 5���#��(+," '�-�&!4 .-�1#-:+�4 �0�!/#-:+���! ?E@�

�# ��+�&% B�!" '�-�&!4 0���$�%+ #-.�$!�/ ����$,4 1,- *#0$�.$#//!$�&#+ !���%��!$�&#+ +# $35% 0$!/%$�& 5� $#*/%$+���! GFF &*3�," !* 1!1-!��%�! DIMACS��%*'-:�#�, �%��!$�&#+!3 #-.�$!�/# 5-3 *#5#(! � /#��!/#-:+�4 �-!�% +% '��'0#��$%*'-:�#�#/ 0�-'(%++,/ +%����$,/! 5$'.!/! #-.�$!�/#/! �#� 2% !�0�-:*'�6!"�&%5%+!% *#5#(! � +%0$%$,&+�4�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! =!+#+��&�4 0�55%$2�% .$#+�# �II� ` JG>F�>FFFHE

�� Pardalos P� Xue J� The maximum clique problem Journal of Global Optimization Kluwer Academic Publishers �JJH H EF�KE;G�;� Bomze I�M� Evolution towards the Maximum Clique Journal of Global Optimization Kluwer Academic Publishers �JJL Vol� �F ` ; �HE>�PH�E� ��$%�#-�&��!4 ���� M�-�&!3 .-�1#-:+�4 �0�!/#-:+���! 5-3 *#5#( d�c� 0$�.$#/>/!$�&#+!3 �%$!3 ��0�!/!*#A!3 ! �0�!/#-:+�% '0$#&-%+!%� �JJL ��P;�H� Strekalovsky A�S� �ne way to Construct a Global Search Algorithm for d�c� Minimiza>tion Problems Nonlinear Optimization and Related Topics Kluwer Academic Publisher ;FFF 9in press8�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�'*+%A�&# �+��+!+# �-%��#+5$�&+#�+��!�'� �!+#/!�! �!��%/ ! �%�$!! M0$#&-%+!3 �� ��� �%$/�+��&# �EH �$�'��� PPHFEE ����!3 �%-� 9EJ�;8 ���EJG I#��7 9EJ�;8 ���P�P e>mail7 kuznetQicc�ru

Page 151: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ����� ��� ���

�������S�� ������ ����������� ������� ������ ������������ ������������

�����%$&#"

�#��/#�$!&#%��3 *#5#(# �#-%+5#$+�.� 0-#+!$�&#+!3 +%����$�.� !+&%��!A!�++�.�0$�%��# �����36%.� !* /+�2%��&# V &*#!/��&3*#++," $#1��� �*#!/��&3*: *#5#%��3�%�%&,/ .$#=�/ G D 9V�E8 .5% 9i� j8 � E ��.5# $#1��# i 5�-2+# 1,�: *#&%$)%+# 5�+#(#-# $#1��, j� �#25#3 $#1��# n "#$#��%$!*'%��3 5-!�%-:+���:� &,0�-+%+!3 �n !0�����/ 0-#�%2%4 Pn D 9pn9F8� pn9�8� � � � � pn9t8� � � �8 9n � V 8� �-#�%2! ��'6%��&-3��>�3 � /�/%+�# +#(#-# $#1��, & 5!��$%�+,% /�/%+�, &$%/%+!� �$!(%/ pt � F �*+#(#%�*#�$#�, # pt � F > 5�"�5 & /�/%+� &$%/%+! t� �#�!/ �1$#*�/ �#25#3 $#1��# �#�0��$%1-3%� �#� ! .%+%$!$'%� =!+#+��&,% $%�'$�, !�0�-:*'%/,% & �&�� �(%$%5: 5-3 +�&," &-�2%+!4� �$%$,&#+!3 $#1�� +% 5�0'��#���3�

��+�&+�4 A%-:� $%#-!*#A!! !+&%��!A!�++," 0$�%���& 3&-3%��3 /#��!/!*#A!3(!���4 0$!&%5%++�4 0$!1,-! > NPV 9Net Present Value8� �-3 0����# 0-#�%2%4 P D9p9F8� p9�8� � � � � p9t8� � � �8 �+# &,(!�-3%��3 0� =�$/'-%

NPV D�Xt��

p9t89� U r�8t

.5% r� > $,+�(+#3 ��#&�# �#0!�#-#��'��: !/%%��3 +#(#-:+,4 �#0!�#- !-! �$%5!�+#3 -!+!3 5-3 $%#-!*#A!! B��.�

0$�%��#� �%�1"�5!/� +#4�! �#-%+5#$+,% �$��! &,0�-+%+!3 $#1�� 0$! ����$," &-�1�4 /�/%+� &$%/%+! $#�"�5, +% 0$%&,)#-! 1, !/%�6!%�3 =!+#+��&,% $%�'$�,! (!��#3 0$!&%5%++#3 0$!1,-: 0$�%��# 1,-# 1, /#��!/#-:+#�

X�# *#5#(# 3&-3%��3 NP>�$'5+�4 & �!-:+�/ �/,�-%� �$! 0$�!*&�-:+�/ 0����%0-#�%2%4 �#��4 2% �-�2+�4 ���#%��3 ! *#5#(# 0�!��# 5�0'��!/�.� $%)%+!3� ��>B��/' �1,(+� $#��/#�$!&#�� 1�-%% �-#1,% 0���#+�&�!� � (#��+���! �-'(#4 ��.5#=!+#+�!$�&#+!% �#25�4 $#1��, ��'6%��&-3���3 ��-:�� & /�/%+� +#(#-# %% &,0�->+%+!3�

� +#���36%4 ��#�:% $%#-!*�&#+� +%���-:�� ��#+5#$�+," �"%/ 0���$�%+!3 0$!>1-!2%++�.� $%)%+!3 $#��/#�$!&#%/�4 *#5#(! � #0���%$!�$+,/! �A%+�#/! ��(+���!0�-'(%++�.� $%)%+!3� �$�&%5%+ ����&%���&'�6!4 (!�-%++,4 B��0%$!/%+�� ���-%>5�&#+# &�*/�2+���: !�0�-:*�&#+!3 �"%/, 5!+#/!(%���.� 0$�.$#//!$�&#+!3 5-3 0�>��$�%+!3 ��(+�.� $%)%+!3� �,5%-%+, 0�%&5�0�-!+�/!#-:+� $#*$%)!/,% 0�5�-'(#!*#5#(!�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�%$&#" �-#5!/!$ �!A%+�:%&!( �/��!4 =!-!#- �+��!�'�# /#�%/#�!�! !/� ������1�-%&# �� ��� '-� �%&A�&# �E �/�� PHHFJJ ����!3 �%-7 9EG�>;8 EF>�J>JL =#��7 9EG�>;8 ;E>H�>GH e>mail7 svvQiitam�omsk�net�ru

Page 152: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��P ������ ��������� ����� ���

� ������M � �� ����� ������������������ k>I�������

���� �!/#+(�%&�

� 5��-#5% $#��/#�$!&#%��3 0�-!B5$ Mk�n D fx � RE j Ax D k� F � x � �g�.5% A K $%1%$+�>&%$)!++#3 /#�$!A# !+A!5%+A!4 .$#=# Kn k K &%���$>���-1%A � n��/0�+%+�#/! $#&+,/! k F ! � #+#-�.!(+��

�$! k D ; 0�-!B5$ Mk�n ��5%$2!� /+�.�.$#++!� .#/!-:��+�&," A!�-�& 1�-%% ��>.� 3&-3%��3 �5+�4 !* %.� +#!1�-%% $#�0$���$#+%++," $%-#��#A!4� , $#��/#�$!&#%/&�0$�� � �/%2+���! &%$)!+ 0�-!B5$# Mk�n�

� $#1��% ?�@ 1,-� 0��#*#+� (�� Mk�n !/%%� +%A%-�(!�-%++,% &%$)!+,� �'��:�x � Mk�n� � ��(��4 �x �&32%/ 0�5.$#=,7

C�x K ���� �������� ��(�! �x K !+5'A!$�&#+ /+�2%��&�/ $%1%$ EC�x D fe � E jF � �xe � �g<

T�x K ���� ���� ��(�! �x K !+5'A!$�&#+ /+�2%��&�/ $%1%$ ET�x D fe � E j �xe D�g�

�-3 0#$, $#*-!(+," ��(%� x�� x� �Mk�n &&%5%/ �-%5'�6!% �1�*+#(%+!37R9x�� x�8 D fe � E j x�e� x�e � fF� �g� x�e U x�e D �g��R9x�� x�8 D E n fR9x�� x�8 � E9Cx� � Cx�8g�U9x�� x�8 D fu � V n V 9Cx� � Cx�8 j �Tx� 9u8 D �T

x�9u8g�

Gx��x� K ��/0�+%+�, �&3*+���! .$#=# !+5'A!$�&#++�.� /+�2%��&�/ $%1%$ R9x�� x�8 +% ��5%$2#6!% &%$)!+ !* V 9Cx� � Cx�8�

�$�/% ��.� 5-3 -�1," W V ! R E 0�-�2!/ �W D V nW ���-'(%+, �-%5'�6!% $%*'-:�#�,�������� �� �'��: x�� x� �Mk�n K &%$)!+, R9x�� x�8 D � ��.5# x� ! x� �/%2+,

& Mk�n %�-! ! ��-:�� %�-! jV 9Cx� � Cx�8j D jE9Cx� � Cx�8j � ��������� � �'��: x�� x� �Mk�n K &%$)!+, ! R9x�� x�8 �D � ��-! x� ! x� �/%2+,

& Mk�n �� j�V 9Cx� � Cx�8j � jR9x�� x�8j U jU9x�� x�8j � j�V 9Cx� � Cx�8j U � ! Cx� � Cx�

3&-3%��3 +#1�$�/ 0$���," &%$)!++�> +%0%$%�%�#�6!"�3 A!�-�&�������� �� �'��: x�� x� �Mk�n K &%$)!+, R9x�� x�8 �D Cx� �Cx� K +#1�$ 0$�>

��," &%$)!++�>+%0%$%�%�#�6!"�3 A!�-�&� �0$#&%5-!&, �-%5'�6!% '�&%$25%+!37�8 %�-! jR9x�� x�8j U jU9x�� x�8j D j�V 9Cx� � Cx�8j U � �� &%$)!+, x� ! x� �/%2+,

& Mk�n ��.5# ! ��-:�� ��.5# ��.5# Gx��x� -!1� 0'�� -!1� 3&-3%��3 0#$�4 0$���,"+%(%�+," A!�-�& � �5+�4 �16%4 &%$)!+�4<

;8 %�-! jR9x�� x�8jU jU9x�� x�8j D j�V 9Cx� �Cx�8j �� &%$)!+, x� ! x� �/%2+, & Mk�n

��.5# ! ��-:�� ��.5# ��.5# Gx��x� K (%�+,4 A!�-�

�������M��

�� �!/#+(�%& ���� ��$'��'$# +%A%-�(!�-%++," &%$)!+ $%-#��#A!! /+�.�.$#++!�#k> =#���$�& NN #�%/#�!(%��!% ��$'��'$, ! /�5%-!$�&#+!% 9�/��8� �JJG� �,0�����;F> ;P�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�!/#+(�%& �'�-#+ �$:%&!( �/��!4 .��'+!&%$�!�%� PHHFLL .��/�� 0$�!$# ��># �/�M /#�� =>� 9EG�;8>PHH;EG e>mail7 simanQuniver�omsk�su

Page 153: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ����� ��� ��L

AN EXACT ALGORITHM TO SOLVE THE LINEAR ORDERINGPROBLEM FOR WEIGHTED TOURNAMENTS

Ir�ene Charon and Olivier Hudry

A tournament 9see ?E@ for basic de�nitions and results8 T D 9X�A8 is a directed graphsuch that for any vertex x � X and any vertex y � X with x �D y there is one and onlyone arc 9x� y8 or 9y� x8 in A< a tournament is transitive if and only if it is a linear order�We consider here tournaments whose arcs are weighted by non>negative integers� Thelinear ordering problem consists in computing a subset B of A such that the weight of Bis minimum and reversing the arcs of B in T makes T transitive that is transforms Tinto a linear order de�ned on X and sometimes called a median order of T�

As the computation of a median order is NP>hard we design a branch and boundmethod to solve it exactly 9see ?;@ for more details upon this problem8� The main featuresof this method are the following7�� The separation principle is based on the one designed in ?�@7 each node N of the BB>treeis associated with a set of linear orders beginning with a given sequence x� � ��� � xp�N

for some p9N8 with xi � X for � � i � p9N8< then the parent of N in the BB>tree isx� � x� � ��� � xp�N�� and its potential children are x� � x� � ��� � xp9N8 � x forx �� fx�� x�� ���� xp9N8g�;� The evaluation function is given by the Lagrangean relaxation of the transitivityconstraints of the associated F>� LP problem�E� In order to save CPU time we design also several pruning rules allowing to cut extrabranches of the BB>tree�

Experimental results got from this method and the interest of the above rules arediscussed according to di�erent types of weighted tournament�

REFERENCES

�� J�>P� Barth�elemy A� Gu�enoche O� Hudry 9�JGJ8 Median linear orders" heuristics anda branch and bound algorithm� European Journal of Operational Research � E�E>E;��;� I� Charon A� Gu�enoche O� Hudry F� Woirgard 9�JJL8 New results on the computationof median orders� Discrete Mathematics ��� ��� �EJ>��E�E� J�W� Moon 9�JPG8 Topics on tournaments� Holt Rinehart and Winston New York�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOlivier Hudry National Center of Scienti�c Reseach ENSTHP Rue Barrault L�PEH Paris cedex �E Francee>mail7 hudryQinfres�enst�fr

Page 154: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

��G ������ ��������� ����� ���

�� ���� ������ ��������T X�������R�T �����

�����#/#$5!+

�'��: G D 9V�E8 O 0$�!*&�-:+,4 +%�$!%+�!$�&#++,4 .$#= � /+�2%��&�/ &%$>)!+ V D f�� � � � � ng ! /+�2%��&�/ $%1%$ E� �#25�4 &%$)!+% i � V 0���#&!/ &����&%���&!% 0%$%/%++'� xi 0$!+!/#�6'� *+#(%+!3 & *#5#++�/ ��+%(+�/ /+�2%>��&% Xi ! (!�-�&'� ='+�A!� fi9xi8� �#25�/' $%1$' fi� jg � E ��0���#&!/ (!�-�&'�='+�A!� fij9xi� xj8� �#��/��$!/ *#5#('7 +#4�!

min�xi

nXi�V

fi9xi8 UX

fi�jg�E

fij9xi� xj8o

0$! �.$#+!(%+!3" xi � Xi i � V � ��-�2!/ m D maxi�V jXij������������� ���� �� G � ������ � ����� ��� �� �������� ����� ������

������� ������� ������������ ������� ���� �� ��� O9m�n8 �� ������

������ O9m�n8��+#-�.!(+,4 $%*'-:�#� & �-'(#% *#5#(! /!+!/!*#A!! �&#5$#�!(+�.� 0�-!+�/#

�� 1'-%&," 0%$%/%++," 0�-'(%+ & ?�@��#1��# 0�55%$2#+# .$#+��/ �II� JJ>F�>FFHG;�

�������M��

�� F�Barahona 9�JGP8 A solvable case of quadratic #�$ programming� Discrete AppliedMathematics �� ;EK;P�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#/#$5!+ �$!4 �-#5!�-#&�&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! !/� ������1�-%&# �� ��� 0$� ��#5%/!�# ��0��.# H ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3 �%-� 9G>EGE>;8 EE>EL>GG =#�� 9G>EGE>;8 EE>;�>JG e>mail7 orlabQmath�nsc�ru

Page 155: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ����� ��� ��J

� ������R�T ������M��S��T ��M��T ���������

���� �%&(%+��

�'��: A D fa�� ���� ang /+�2%��&� �#�!" ��(%� aj � Rd (�� !" &,0'�-#3 �1�>-�(�# 9�1�*+#(#%/#3 5#-%% ?A@8 %��: d>/%$+,4 &,0'�-,4 0�-!��0� %��������������� P D ?A@ � ���� � �������� A +#*�&%/ /+�2%��&� TA D fS�� ���� Stg�#�!" Si A (�� ?Si@ O d>/%$+,4 �!/0-%�� jSij D d U �

Sti��?Si@ D P ! 0$! i �D k

?Si � Sk@ D ?Si@ � ?Sk@� �$! j D F� ���� d +#*�&%/ 9j U �8>B-%/%+�+�% 0�5/+�2%��&�F A j>�����& TA %�-! �'6%��&'%� i �#��% (�� F Si� �1�*+#(!/ (%$%* fj9TA8(!�-� j>.$#+%4 ! 0�-�2!/ f9�� TA8 D

Pd�j�� fj��9TA8�j .5% f��9TA8 D �� �#��/��$!/

/+�2%��&� &�%&�*/�2+," �$!#+.'-3A!4 TA �� &�%&�*/�2+,/! /#�$!A#/! A ! �1�>*+#(!/ /+�2%��&� ����&%���&'�6!" /+�.�(-%+�& f9�� TA8 (%$%* F 9d� n8� �0$%5%-!/(#��!(+� '0�$35�(%++�% /+�2%��&� fF 9d� n8��g 0�-�2!& b9�8 � c9�8 5-3 /+�.�>(-%+�& b9�8 D

Pd�j�� bj�

j ! c9�8 DPd�

j�� cj�j ��.5# ! ��-:�� ��.5# ��.5# bj � cj

9j D F� ���� dU �8�������� �� +�2%��&� fF 9d� n8��g !/%%� /!+!/#-:+,4 B-%/%+� fmin D 9� U

�8d� ! /#��!/#-:+,4 B-%/%+�

fmax D ��d� Ub�d���cX

j��

�n� d U j � E

j

���j9� U �8d��j � �d��j 9� U �8j

��

���$%1'%/ �%0%$: (��1, A 1,-� &,0'�-� +%*#&!�!/,/ /+�2%��&�/ 9��%� (��1,A +% ��5%$2#-� ��(%� aj 3&-3�6!"�3 &,0'�-,/! ��/1!+#A!3/! ���#-:+," ��(%� !*A8 ! $#��/��$!/ 0�5/+�2%��&� G9d� n8 /+�2%��&# F 9d� n8 0�-'(#�6%%�3 0$! B��/�

������� � +�2%��&� fG9d� n8��g !/%%� /!+!/#-:+,4 B-%/%+� gmin D 9� U�8d�U9n�d��8�9�U�8d ! /#��!/#-:+,4 B-%/%+� gmax D fmax�9n�d��8�d9�U�8�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! =!+#+��&�4 0�55%$2�% �II�� ��5 0$�%��# FFF�>FF�JJ�

�������M��

�� Ziegler G� Lectures on Polytopes� Springer>Verlag N>Y �JJ��

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�%&(%+�� �#-%$!4 �!��-#%&!( �!2%.�$�5��!4 .��'+!&%$�!�%� PFEFFP �!2+!4 ��&.�$�5 '-���-�5#$���.� 5�H �&�JG �%-�9GE�;8EE>PL>J� e>mail7 shevQuic�nnov�ru

Page 156: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�PF ������ ��������� ����� ���

��������� ������� �������� IM��S�� �������

�� �� �%+/#4%$

�#��/��$!/ �-%5'�6'� *#5#('� �'��: F ;I > +%����$�% �%/%4��&� 0�5/+�>2%��& ��+%(+�.� /+�2%��&# I� �'��: �#25,4 B-%/%+� i � I !/%%� &%� w9i8 � F !�#25�% /+�2%��&� F I !/%%� &%� w9F 8 D

Pi�F w9i8� �$%1'%��3 �$%5! /+�2%��& !*

F +#4�! /+�2%��&� /#��!/#-:+�.� &%�#��-3 $%)%+!3 B��4 *#5#(! 0$%5-#.#%��3 !�0�-:*�&#�: 2#5+,4 #-.�$!�/ ����$,4

+#(!+#%� �&�� $#1��' � 0'���.� /+�2%��&# ! +# �#25�/ )#.% � !/%�6%/'�3 /+�>2%��&' F 5�1#&-3%� �5!+ B-%/%+� /#��!/#-:+�.� &%�# !* /+�2%��&# J9F 8 D fi �I � F j F � i � Fg� �'��: 9F8 > ��(+���: #-.�$!�/# ��%� 9F8 D inf9 w��wmax 8 .5%w� > $%)%+!% 0�-'(%++�% 2#5+,/ #-.�$!�/�/ wmax > �0�!/#-:+�% $%)%+!%�

�*&%��%+ �-%5'�6!4 $%*'-:�#� ?�@� �'��: F > �!��%/# +%*#&!�!/���! ��%� %�-!A B � F �� A � F � ��-�2!/

r9A8 D maxfjF j 7 F � F F Ag<r�9A8 D minfjF j 7 F � F F A J9F 8 D g�������� �� 9F8 D minfr

�9A8r9A8

j A I r9A8 � Fg��#++,4 $%*'-:�#� �1�16%+ �-%5'�6!/ �1$#*�/� �'��: �%/%4��&�F 0$�!*&�-:+��

�&%5%/ �-%5'�6!% 0�+3�!3� �'��: S D 9i9�8� ���� i9k88 > +%����$#3 0��-%5�&#�%-:+���:+%0�&��$3�6!"�3 B-%/%+��& I�

��&�$!/ (�� S 5�0'��!/# %�-! fi9�8� ��� � i9j8g � F j D �� ��� � k���&�$!/ (�� S ��.-#��&#+# � /+�2%��&�/ A %�-! 0$! &�%" j D �� ��� � k -!1�

i9j8 � A -!1� J9 fi9�8� ��� � i9j � �8g 8 �A D ���&�$!/ (�� /+�2%��&� B ��.-#��&#+� � /+�2%��&�/ A %�-! B D fi9�8� ��� � i9k8g

.5% 0��-%5�&#�%-:+���: i9�8� ��� � i9k8 5�0'��!/# ! ��.-#��&#+# � A� ��-�2!/9A8 D maxfjA � F j 7 F � Fg<�9A8 D minfjA � F j 7 F � F F ��.-#��&#+� � A J9F 8 D g�

� �-'(#% �!��%/ +%*#&!�!/���! � r ! � � r��

������� � 9F8 D minf�9A89A8

j A I 9A8 � Fg�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! 0�55%$2�% 0$�.$#//, ��+�%.$#A!3�

�������M��

�� Hausmann D� Korte B� Jenkyns T�A� Worst case analysis of greedy type algorithmsfor independence systems NN Math� Programming Study� �JGF� V� �;� P� �;F>�E��

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�%+/#4%$ �-#5!/!$ �-#5!/!$�&!( ��&��!1!$��!4 ���'5#$��&%++,4 M+!&%$�!�%� � �� ��� 0$� ��#5� ��0��.# H ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3e>mail7 deplabQmath�nsc�ru

Page 157: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ��������� ����� ��� �P�

����� ������� ������� ������ ���������� �����I� ��� ����M���

�����%$1#��&#

� $#1��% $#��/#�$!&#���3 5&# �-'(#3 0$�1-%/, ��%4+%$# +# �$.$#=#" 1%* ��+>�'$�&� �$#5!A!�++,4 �-'(#4 =�$/'-!$'%��3 �-%5'�6!/ �1$#*�/7�#+�7 G D 9V�E8 K �$!%+�!$�&#++,4 .$#= 1%* ��+�'$�& ������� � ����& r 9��%�5-3 �#25�4 %.� &%$)!+, v �'6%��&'%� 0'�: !* r & v8<='+�A!3 � 7 E � R *#5#�6#3 &%�# +# 5'.#" .$#=#<H K 0�5/+�2%��&� &%$)!+ .$#=# G +#*,&#%/," � ������ ��#4�!7 T D 9V �� E�8 K ������ '������� ��%� 0�5.$#= .$#=# G �&3*+,4 0� ��$+� r ��5%$2#6!4 &�% &%$)!+, !* H �#��4 (�� �'//# &%��& 5'.

Xe�E�

�9e8 /!+!/#-:+#�

�-:�%$+#�!&+,4 �-'(#4 0$�1-%/, ��-!(#%��3 �� 0%$&�.� �%/ (�� &%�# *#5#+,+# &%$)!+#" .$#=# # +% +# 5'.#"� �+ =�$/'-!$'%��3 �-%5'�6!/ �1$#*�/7�#+�7 G D 9V�E8 K �$!%+�!$�&#++,4 .$#= 1%* ��+�'$�& �&3*+,4 0� ��$+� r<='+�A!3 � 7 V � R *#5#�6#3 &%�# +# &%$)!+#" .$#=#<H K 0�5/+�2%��&� 0�/%(%++," &%$)!+ .$#=# G��#4�!7 T D 9V �� E�8 K 5%$%&� ��%4+%$# ��%� 0�5.$#= .$#=# G �&3*+,4 0� ��$+� r ��5%$2#6!4 &�% &%$)!+, !* H �#��4 (�� �'//# &%��& &%$)!+

Xv�V �

�9v8 /!+!/#-:+#�

�-'(#4 *#5#(! ��%4+%$# +# �$.$#=% � /!+!/!*#A!%4 ='+�A!! ���!/���%4 &%$>)!+ 3&-3%��3 (#��+,/ �-'(#%/ 0$�1-%/, ��%4+%$# +# �$.$#=#" � &%�#/! +# 5'.#" �5+#�� !�0�-:*�&#+!% &%��& +# &%$)!+#" 5%-#%� #-.�$!�/, 1�-%% 0$���,/!� ���-%>5'%/,% *#5#(! 3&-3���3 (#��+,/! �-'(#3/! 0$�1-%/, ��%4+%$# +# �$!%+�!$�&#+>+�/ .$#=% +� ���#���3 NP>0�-+,/!�

�$%5-#.#���3 �$! ��(+," #-.�$!�/# 5-3 $#��/#�$!&#%/," *#5#(7 �5!+ #-.�>$!�/ !�0�-:*'%� /%��5 &%�&%4 ! .$#+!A 5&# 5$'.!% K /%��5 5!+#/!(%���.� 0$�.$#/>/!$�&#+!3 � $#*+,/! $%�'$$%+�+,/! ����+�)%+!3/!� �� &�%" #-.�$!�/#" !�0�-:>*'%��3 0$%�1$#*�&#+!% .$#=�& 1%* ��+�'$�& & .$#5'!$�&#++,% �$.$#=, ��%� �#�!% (�� 5-3 �#25�4 &%$)!+, v 5-!+# &�%" 0'�%4 !* ��$+3 r & v �5!+#��&#� �-.�$!�/,0� �-�2+���! 5�0�-+3�� 5$'. 5$'.#�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�%$1#��&# �#-%+�!+# �-%��#+5$�&+# M$#-:��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� 0$��%+!+# �� ��#�%$!+1'$. P;FFGE ����!3 �%-� 9G>EHE;8 ��>L�>LJ e>mail7 Valentina�ShcherbakovaQusu�ru

Page 158: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�P; ������ ������ �� ������

������ ���� ���������� ������ ��������� �� ����M

� ����������� ������ ������������ � ��������

������*+��

�#��/#�$!&#%��3 �-%5'�6#3 *#5#(# $#*/%6%+!3 +# /#��!/'/� �'��: 5#+, /+�>2%��&� I &�*/�2+," 0'+���& $#*/%6%+!3 0$%50$!3�!4 ! /+�2%��&� J 0'+���& 0�>�$%1-%+!3 .5% jIj D n jJ j D m� �#5#+# �-%5'�6#3 !+=�$/#A!3 +# &"�5+,% 5#++,%*#5#(!7 g�i K )�$#= *# $#*/%6%+!% 0$%50$!3�!3 i< bj K �1C%/ 0��$%1-%+!3 0$�5'��#& 0'+��% j< gij K 0$!1,-: 0�-'(#%/#3 0$! 5���#&�% %5!+!A, 0$�5'��# !* i & j< di K�.$#+!(%+!% +# �1C%/ 0$�!*&�5��&# & 0'+��% i< aij K �.$#+!(%+!% +# /#��!/#-:+,4�1C%/ 0���#&�! 0$�5'��# !* i & j i � I j � J � �$%1'%��3 /#��!/!*!$�&#�: 0� &�%/S I �-%5'�6'� ='+�A!�7

Z9S8 D max�xij

Xi�S

Xj�J

gijxij �Xi�S

g�i

0$! &,0�-+%+!! '�-�&!4P

i�S xij D bj j � J <P

j�J xij � di i � S< xij A%-�%� F �xij � aij� i � S� j � J �

� 0�/�6:� 2#5+�.� #-.�$!�/# ��$�!��3 0$!1-!2%++�% $%)%+!% #0$!�$+,% �A%+>�! �#(%��&# ����$�.� 0�-'(%+, � !�0�-:*�&#+!%/ �%�$!! �'1/�5'-3$+," ='+�A!4 ?E@�

������� � (�� ��)��� ����� ��� �*��� �� ��� � � ���������� ��+�� � ���������� ������� ��*������� ���� ������ ������ � ���������!��� ��������� ��)��� ZA �� �����&*�� ������� �������"

Z� � ZA

Z� � Z��

�e�

��� Z� , ������ ��)���� Z� DP

j�J bj mini�I gij �m9maxi�I fi8 , ������������������� ������ ������� ������ e , �������� ������������ ������ ��

�+#-�.!(+#3 �A%+�# ��(+���! 1,-# 0�-'(%+# & $#1��% ?;@ 5-3 *#5#(! $#*/%6%+!31%* '(%�# �.$#+!(%+!4 +# �1C%/, 0$�!*&�5��&# ! 0���#&��� �-3 0��-%5+%4 *#5#(!B�# �A%+�# 1,-# '-'()%+# & ��#�:% ?�@�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! =!+#+��&�4 0�55%$2�% 0$�.$#//, ��+�%.$#A!3�9��5 ;LH8�

�������M��

�� A�A�Ageev M�I�Sviridenko 9�JJJ8 An #�-.-�approximation algorithm for the uncapaci�tated facility location problem� Discrete Applied Mathematics �� �HJK��P�;� G�Cornuejols M�L�Fisher G�L�Nemhauser 9�JLL8 Location of bank accounts to opti�mize /out" an analytic study of exact and approximate algorithms� Management Science� LGJKG�F�E� G�L�Nemhauser L�A�Wolsey M�L�Fisher 9�JLG8 An analysis of approximations forsubmodular set functions , I� Mathematical Programming � ;P�K;JH�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��*+�� �&#+ �%�$�&!( �+��!�'� #�%/#�!�! !/� ������1�-%&# �� ��� 0$���#5%/!�# ��0��.# H ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3 �%-� 9G>EGE>;8 EE>;�>GJ =#��� 9G>EGE>;8 E;>;�>JG e>mail7 deplabQmath�nsc�ru

Page 159: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ �� ������ �PE

���������� ������ ��� ��������T ����� ���������

�� �� ��+(#$�& �� �� ��$1#(%&��#3 �� �� ��(%��& �� �� ��(%��&# � �� �#6%+��

�#*$#1���# (!�-%++," /%��5�& 5!��$%�+�4 �0�!/!*#A!! #0$�1#A!3 +�&," !5%4 �$#&+%+!% $#*-!(+," 0�5"�5�& ! ��+A%0A!4 �$%1'�� ��*5#+!3 '+!=!A!$�&#++," !-%.��5���'0+," 1!1-!��%� �%���&," *#5#(� I�$/!$�&#+!% �-�2+," & &,(!�-!�%-:>+�/ ��+�)%+!! 0$!/%$�& !" �-#��!=!�#A!3 ! !��-%5�&#+!% � $#*+," ��(%� *$%+!30�*&�-3%� -'()% 0�+3�: 0$!$�5' NP>�$'5+," *#5#( 0�5�1$#�: �-�(! � !" $%)%>+!� +#4�! +#!1�-%% B==%��!&+,% /%��5,� �# �%.�5+3)+!4 5%+: '2% ��*5#+, �0%A!>#-!*!$�&#++,% 1!1-!��%�! 5-3 *#5#( �#-%+5#$+�.� 0-#+!$�&#+!3 ?�@ *#5#(! ��//!>&�32%$# ?;@ �&#5$#�!(+�4 *#5#(! � +#*+#(%+!! ?E@ ! 1!1-!��%�! �16%.� +#*+#(%+!3?H �@� � +#)%4 ��$#+% $#1��, & B��/ +#0$#&-%+!! ��-:�� +#(!+#���3� �5+# !* �#�!"�0%A!#-!*!$�&#++," 1!1-!��%� ��*5#%��3 & +#���36%% &$%/3 +# �%$&%$% �+��!�'�#/#�%/#�!�! �� ����

�!1-!��%�# �%���& 5-3 5!��$%�+," *#5#( $#*/%6%+!3 �����!� !* (%�,$%" $#*>5%-�&7 0$���%4)#3 *#5#(# $#*/%6%+!3 /+�.���#5!4+#3 *#5#(# $#*/%6%+!3 *#5#(#$#*/%6%+!3 � �.$#+!(%+!3/! +# /�6+���! 0$%50$!3�!4 ! 5&'"'$�&+%&#3 *#5#(# $#*>/%6%+!3 0$�!*&�5��&#� �-3 �#25�.� $#*5%-# �=�$/!$�&#+, �%$!! 0$!/%$�& +%1�-:>)�4 $#*/%$+���! 9�FF 0$%50$!3�!4 �FF 0��$%1!�%-%48 +#45%+, ��(+,% !-! 0$!>1-!2%++,% $%)%+!3 ! 5#+, �A%+�! +# $#*$,& 5&�4��&%++���!� �#25#3 �%$!3 !/%%��&�� �& ��� "#$#��%$+'� ���1%++���:� �$�/% �%���&," 0$!/%$�& 1!1-!��%�# ��>5%$2!� /#�%/#�!(%��!% ! ��5%$2#�%-:+,% =�$/'-!$�&�! *#5#( �0!�#+!3 #-.�$!�>/�& �1*�$ -!�%$#�'$, ! 5%/�+��$#A!�++,% &%$�!! 0$�.$#//+�.� �1%�0%(%+!3� �!>1-!��%�# 5���'0+# & !+�%$+%� 0� #5$%�'7 http7NNwww�math�nsc�ruNAPNbenchmarks��#1��# 0�55%p2#+# .p#+��/ �II� JG>FL>JF;�J�

�������M��

�� R� Kolisch A� Sprecher and A� Drexl Characterization and generation of a generalclass of resource�constrained project scheduling problems" easy and hard instances� Mana>gement Science H� 9�JJ�8 �PJE>�LFE http7NNwww�bwl�uni>kiel�deNProdNpsplibNindex�html�;� http7NNwww�ing�unlp�edu�arNcetadNmosNTSPBIB home�htmlE� http7NNfmatbhp��tu>graz�ac�atNH� J� E� Beasley OR�Library" distributing test problems by electronic mail� Journal of theOperational Research Society H� 9�JJF8 �FPJ>�FL; http7NNmscmga�ms�ic�ac�ukNinfo�html�� http7NNplato�la�asu�eduNbench�html

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��+(#$�& �&.%+!4 �!��-#%&!( ��$1#(%&��#3 ��5/!-# �&.%+:%&+# ��(%��& �$!4 �+5$%%&!( ��(%��&# �!+# �$+�-:5�&+# �#6%+�� !"#!- �%�$.!%&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! !/� �� �� ��1�-%&# �� ��H 0p� ��#5%/!�# ��0��.# H H�&��!1!p�� PEFFJF ����!3 �%-� 9EGE>;8>EE>;F>GJ =#�� 9EGE>;8>EE>;�>JG email7 jkochetQmath�nsc�ru

Page 160: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�PH ������ ������ �� ������

������� ������������ �������������� ��� �������������������� ���I� �� ������

�����#1'5��!4 �������&!-�&

�#5#+, +%�$!%+�!$�&#++,% $%1%$+�>&*&%)%++,% .$#=, L9N�E8 ! M9V�U8 1%*0%�%-: �$#�+," $%1%$ � +%����$�4 +'/%$#A!%4 &%$)!+� �$!(%/ jN j D jV j D n 9.5%jXj /�6+���: /+�2%��&# X8� �#*/%6%+!%/ L +# M +#*�&%/ &*#!/+�>�5+�*+#(+�%���1$#2%+!% 7 V � N ��%� 9i8 > +�/%$ &%$)!+, .$#=# L $#*/%6%++�4 & &%$)!+'i .$#=# M � �%�1"�5!/� +#4�! 0�5��#+�&�' /!+!/!*!$'�6'� ='+�A!�+#-7

F 9 8 Dn��Xi��

nXj�i�

w��i��j�9i� j8� 9�8

.5% �9i� j8 > B�� �$#�(#4)%% $#����3+!% & .$#=% M /%25' &%$)!+#/! i ! j # wkl >&%� $%1$# 9k� l8 � E�

X�� (#��+,4 �-'(#4 !*&%��+�4 NP>�$'5+�4 �&#5$#�!(+�4 *#5#(! � +#*+#(%+!3"��#5#(# 9�8 ���#%��3 NP>�$'5+�4 5#2% %�-! M > +%&*&%)%++#3 A%0: # L > 0$�!*&�-:>+,4 +%&*&%)%++,4 .$#=� �%����$,% 0�-!+�/!#-:+� $#*$%)!/,% �-'(#! *#5#(! 9�80$%5-�2%+, & ?�@�

� 5#++�4 $#1��% $#��/#�$!&#%��3 �-'(#4 ��.5# L > 0$�!*&�-:+,4 &*&%)%++,4.$#= # M > 5%$%&� � �5!+#��&,/! &%�#/!� �#*$#1��#+ #-.�$!�/ 5!+#/!(%���.� 0$�>.$#//!$�&#+!3 9��8 ����$,4 3&-3%��3 �1�16%+!%/ 5!+#/!(%���4 �"%/, 0$%5-�>2%++�4 & $#1��% ?;@� �-3 $#*+," ��$'��'$ 5%$%&# M &�*/�2+, $#*-!(+,% &#$!#+�,#-.�$!�/# �� ����$,% /�2+� &,1!$#�: & *#&!�!/���! �� !/%�6!"�3 &,(!�-!>�%-:+," $%�'$��&� �5!+ &#$!#+� 0$%50�(�!�%-:+%% 5$'.�.� 0� �$%1'%/�4 0#/3�! #5$'.�4 > 0� ��-!(%��&' &,0�-+3%/," �0%$#A!4�

�$!/%+%+!% �� ��#*#-��: &�*/�2+,/ &&!5' ��.� (�� ='+�A!�+#- F 9 8 $#*1!>&#%��3 +# �'//' 0� 0�5/+�2%��&#/ &%$)!+ .$#=# M ! *#&!�!� ��-:�� �� +�/%$�&&%$)!+ & 0�5/+�2%��&#" ! +% *#&!�!� �� !" 0�$35�#�

�������M��

�� �#1'5��!4 ���� 0 ��������! ������! ��� �*��� �� �����! NN �$'5, XI /%25��#4�#-:���4 )��-,>�%/!+#$# �$�'����>�JJG�> �� �E�>�EG�;� Picard J�C� Queyranne M� On the One�Dimensional Space Allocation Problem NNOper�Res�>�JG��>Vol�;J ;� > P� EL�>EJ��

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#1'5��!4 �%++#5!4 �$!.�$:%&!( �/��!4 =!-!#- �+��!�'�# /#�%/#�!�! !/ ������1�-%&# �� ���'-� �%&A�&# �E �/�� PHHFJJ ����!3 �%-� 9G>EG�>;8 ;EPLEJ=#�� 9G>EG�>;8 ;EH�GH� e>mail7 zabudskyQiitam�omsk�net�ru

���&!-�& �3(%�-#& �-%��#+5$�&!( �/��!4 .��'+!&%$�!�%� 0$� !$# ��>� �/�� PHHFLL ����!3 9G>EG�>;8 PHH;EG�e>mail7 motovilovQmath�omsu�omskreg�ru

Page 161: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ �� ������ �P�

������� ������� ����� ��������� �� �����R�T� ������������ �� ������R�� ����������

�����#1'5��!4 ����I!-!/�+�&

�#��/#�$!&#���3 *#5#(! $#*/%6%+!3 &*#!/��&3*#++," �1C%���& +# 5%$%&:3"� �1C>%��, /�.'� $#*/%6#�:�3 �#� & &%$)!+#" �#� ! +# $%1$#" 5%$%&#� �#*/%6#%/,%�1C%��, !/%�� �&3*! �#� /%25' ��1�4 �#� ! � =!��!$�&#++,/! �1C%��#/! ����$,%+#"�53��3 & &%$)!+#" 5%$%&#� �#5#+, /#��!/#-:+� 5�0'��!/,% $#����3+!3 $#*>/%6#%/," �1C%���& /%25' ��1�4 ! � =!��!$�&#++,/!� �#��/#�$!&#���3 *#5#(! �/!+!�'//+,/ ! /!+!/#��+,/ �$!�%$!3/!�

�'��: =!��!$�&#++,% �1C%��, $#�0�-�2%+, & &%$)!+#" 5%$%&# v�� ���� vn # +�&,%�1C%��, $#*/%6#���3 & ��(�#" x�� ���� xm� �1�*+#(!/ (%$%* wij ! vjk ���!/���! �&3*%4/%25' =!��!$�&#++,/ �1C%���/ i ! $#*/%6#%/,/ j # �#�2% $#*/%6#%/," �1C%���&j ! k /%25' ��1�4 ����&%���&%++�� �%�1"�5!/� +#4�! $#*/%6%+!% '5�&-%�&�$3�6%%�.$#+!(%+!3/ ! !/%�6%% /!+!/#-:+'� �'//#$+'� ���!/���: �&3*%4 -!1� /!+!/'//#��!/#-:+�4 �&3*! �� %��: /!+!/!*!$'���3 ='+�A!!7X

��j�k�m

vjkd9xj� xk8 UX

��i�n

X��j�m

wijd9vi� xj8 � min 9�8

max9 max��j�k�m

vjkd9xj� xk8� max��i�n���j�m

wijd9vi� xj88 � min� 9;8

.5% d9�� �8 K $#����3+!% +# 5%$%&% /%25' ����&%���&'�6!/! �1C%��#/!� �$! B��/5�-2+, &,0�-+3�:�3 �.$#+!(%+!37

d9xj � xk8 � bjk � � � j � k � m 9E8

d9vi� xj8 � cij � � � i � n� � � j � m� 9H8

.5% bjk ! cij K /#��!/#-:+,% $#����3+!3 /%25' ����&%���&'�6!/! �1C%��#/!�� $#1��% ?�@ 0$%5-�2%+ #-.�$!�/ $%)%+!3 *#5#(! 9�8 & �-'(#% ��.5# �1C%��,

$#*/%6#���3 +# 0-������! # d K 0$3/�'.�-:+#3 /%�$!�#� � ?;@ 0$!&%5%+ #-.�$!�/5-3 $%)%+!3 *#5#(! 9;8 +# 5%$%&%�

� 5#++�4 $#1��% 0$%5-�2%+, #-.�$!�/, $%)%+!3 *#5#( 9�8 9E8>9H8 ! 9;8 9E8>9H8� �0%$&�4 *#5#(% 0$%50�-#.#%��3 (�� �1C%��, /�.'� $#*/%6#�:�3 ��-:�� & &%$)!+#"5%$%&#� �-.�$!�/, $%)%+!3 &��$�4 *#5#(! !/%�� 0�-!+�/!#-:+'� !-! B��0�+%+A!>#-:+'� �$'5�%/����: & *#&!�!/���! �� '�-�&!4 +# ���!/���! �&3*%4�

�������M��

�� J�C�Picard D�H�Ratli�� A cut approach to the rectilinear distance facility locationproblemNN Oper�Res�K ;P9E8�K �JLG�K P�H;;>HEE�;� R�L�Francis T�J�Lowe D�H�Ratli�� Distance constrains for tree network multifacilitylocation problemsNN Oper�Res�K ;P9H8�K �JLG�K P��LF>�J��OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#1'5��!4 �%++#5!4 �$!.�$:%&!( I!-!/�+�& �/!�$!4 �#-%$:%&!( �/��!4 =!-!#- �+��!�'�# /#�%/#�!�! !/ ������1�-%&# �� ���'-� �%&A�&# �E �/�� PHHFJJ ����!3 �%-� 9G>EG�>;8 ;EPLEJ=#�� 9G>EG�>;8 ;EH�GH� e>mail7 zabudskyQiitam�omsk�net�ru fdvQiitam�omsk�net�ru

Page 162: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�PP ������ ������ �� ������

MATHEMATICAL MODELS FOR DETERMINATION OF OPTIMUM SERIESIN INDUSTRIAL ENTERPRISES WITH SERIAL PRODUCTION

M� Janeska S� Taleska

Determination of the optimum size and number of production�s series is an actual andimportant issue in the contemporary serial production� Production�s series should be ofoptimum size both from the aspect of the expenses made per unit product and from theaspect of demand of that product which should be satis�ed in a determined deadline�Various mathematical methods and models can be applied in quantitative determinationof optimum size of the production�s series� Because of the nature of the problem it isimpossible to make investigations in only one direction i�e� in direction of formulationof a general model which will include all possible cases� Methodological aspect of theproblem is presented in a form of a greater number of models each of them solvingspeci�c issues depending on the circumstances of consideration� This paper will considerproduction�s models of optimum series in a case of production of a greater number ofproduct in an industrial enterprise and existence of certain limiting factors� Mathematicalmethods of optimization will be applied in these models by using partial derivatives linear and nonlinear programming and the function of criterion will be considered as anuninterrupted variable from the size of the production�s series�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOMargarita Janeska Suzana Taleska University �St� Kliment Ohridski�>Bitola Faculty of Economics JL �FF Prilep Marksova bb MACEDONIA phone7 UEGJ JG ;L F;F< ;L F;�< ;L F;;< ;E �JF fax7 UEGJ JG ;P J;L

Page 163: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ �� ������ �PL

������ ���������T ��������� ������� ������� � >������ �� ������ ��M���� S������ IM��S��

���� !&%�:%&# ���� �%&#+�&#

P#��/#�$!&#%��3 *#5#(# � pK/%5!#+% & �-%5'�6%4 ��/1!+#��$+�4 0���#+�&�%7

minX�I�

jX j�p

ff9X8 DXj�J

mini�X

cijg� 9�8

.5% 9cij8 K +%��$!A#�%-:+#3 m � n /#�$!A# � /+�2%��&�/ +�/%$�& ��$�� I ! /+�>2%��&�/ +�/%$�& ���-1A�& J < F � p � m� p � Z� ! f9�8 $#&+� 5���#��(+� 1�-:)�/'(!�-'� ��-�2!/

dx9X8 D f9X n fxg8� f9X8�X I� x � X�

� ?�@ ! ?;@ 1,-! &&%5%+, �-%5'�6!% &%-!(!+, "#$#��%$!*'�6!% *#/%5-%+!%'1,&#+!3 ='+�A!!

s� D maxx�I�

dx�fxg��

dx9fxg8� dx9I8dx9fxg8 � s� D max

x�y�I�

dx�fxg��

dx9fxg8� dy9I8dx9fxg8 �

� B�!" 2% $#1��#" & �%$/!+#" s� ! s� 0�-'(%+, .#$#+�!$�&#++,% �A%+�! ��(+���!�5+�.� &#$!#+�# .$#5!%+�+�.� #-.�$!�/# $%)%+!3 *#5#(! 9�8�

� 5#++�4 $#1��% 5-3 $%)%+!3 *#5#(! 9�8 0$%5-�2%+, 5&# $#+5�/!*!$�&#++,"&#$!#+�# '�#*#++�.� .$#5!%+�+�.� #-.�$!�/#� �$�&%5%+� B��0%$!/%+�#-:+�% �$#&>+%+!% B�!" #-.�$!�/�& � 5%�%$/!+!$�&#++,/ 0$! $#*-!(+," *+#(%+!3" "#$#��%$!>��!� s� ! s�� �#�(%�, &,0�-+3-!�: +# *#5#(#" �� �-'(#4+,/! !�"�5+,/! 5#++,/! # �#�2% +# /#�$!A#" C �0%A!#-:+�4 ��$'��'$, $#*/%$+���! 5� �FF� �FF� �$! B��/'(!�,&#-!�: �#�!% 0#$#/%�$, �#� &$%/3 �(%�# ! ��(+���: $%)%+!3� �,(!�-!�%-:>+,4 B��0%$!/%+� 0��#*#- & (#��+���! A%-%���1$#*+���: 0$!/%+%+!3 $#+5�/!*!$�>&#++," �"%/ 0$! s� D ��

�#1��# &,0�-+%+# 0$! =!+#+��&�4 0�55%$2�% ����!4���.� =�+5# ='+5#/%+�#-:>+," !��-%5�&#+!4 0$�%�� JL>F�>FFLL��

�������M��

�� �-:%& ���� 0����� ������� ������ � ������� ����� ��� ����� � ���� ���� ��������� ������ �!��$%�+,4 #+#-!* ! !��-%5�&#+!% �0%$#A!4�K �%$!3��K �JJG�K ����K NH�K ��H�KPF�;� �%&#+�&# ���� (����������� ������ ������ ��� ����� � p, ����� ������*���� �$%0$!+� JGKH� �/��7 �/��!4 .��'+!&%$�!�%� �JJGK �E ��OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�%&#+�&# �#�:3+# �#-%+�!+�&+# �/��!4 =!-!#- �+��!�'�# /#�%/#�!�! !/ ������1�-%&# �� ���'-� �%&A�&# �E �/�� PHHFJJ ����!3 �%-� 9G>EG�>;8 ;E>PL>EJ=#�� 9G>EG�>;8 ;EH�GH� e>mail7 levanovaQiitam�omsk�net�ru

!&%�:%&# �++# �-%��#+5$�&+# �/��!4 .��'+!&%$�!�%� 0$� !$# ��>� �/�� PHHFLL ����!3 9G>EG�>;8 PH>H;>EG�

Page 164: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�PG ������ ������ �� ������

TRACING SOLUTIONS TO THE BI>CRITERIA PROBLEM OF LOCATION OFSEMI>DESIRABLE FACILITIES

N�I� Kalashnikova

We consider the problem of locating a facility in the plane� Customers want the facilityto be close to obtain cheaply the service o�ered by it� But customers also want the facilityto be far away to avoid the pollution from it� We model the situation using two criteria7one is the well>known minisum criterion< in the other we want to minimize the weightedsum of Euclidean distances raised to a negative power�

In this paper we extend the procedure of construction of the e�cient trajectory for thetwo criteria W�9x8 and W�9x8 and we construct not a single curve but a whole strip thatcontains the e�cient trajectory and all the close trajectories as well� The closedness canbe understood in several ways including the one with respect to the functional W 9x8 orto the angle between the gradients of the criteria etc� Moreover one can construct simul>taneously several strips containing each other consequently� The aim of this constructionis two>fold7

1i2 when the e�cient trajectory approaches the region of discontinuity 9which occursdue to degeneracy of the Hessian matrix i�e� non>uniqueness of solutions8 then the stripmust become wider and wider� This is one of the indicators of the jump and possiblebreak in the trajectory<

1ii2 the strip can deliver a possibility to consider some additional criterion which is ofinterest for decision>makers� Moreover since we can supply each strip with the estimate ofits �distance� from the solution trajectory then the precision of the approximate solutionscan be evaluated e�ciently�

A standard procedure in multi>criteria decision>making problems is to construct anobjective function which is a weighted sum of the individual criteria� The weights shouldre�ect the relative importance of each criterion as perceived by management� Applyingthis approach on criteria � and ; we obtain the following model7

minx

W 9x<�8 D 9�� �8W�9x8 U �W�9x8� 9�8

where the parameter � � 9F� �8 may be speci�ed by the manager or decision>maker�Now the strip of the quasi>e�cient trajectories x�9l8 of 9�8 may be de�ned either by

solving optimization problem 9�8 for each � inexactly 9up to the precision � F statedbeforehand8 or by �nding solutions to the following system of di�erential equations7

��W 9x�< l8�x��

dx��dl

U��W 9x�< l8�x��x�

dx��dl

D ���W 9x�< l8�l�x�

� < 9;8

��W 9x�< l8�x��x�

dx��dl

U��W 9x�< l8

�x��

dx��dl

D ���W 9x�< l8�l�x�

� � 9E8

A Runge>Kutta method may be employed to solve 9;8 and 9E8 numerically to obtainthe strip of quasi>e�cient trajectories as l varies continuously from F to ��

This research was supported by the Russian Foundation for Basic Research 9RFBR8 grant ` FF>F�>FFHFH�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOKalashnikova Natalia Ivanovna Sumy State University Rimsky>Korstakov St� ; Sumy;HHFFL Ukraine phone7 ��������������� fax7 ���������������� e>mail7 kalashQssu�sumy�ua

Page 165: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ �� ������ �PJ

������ ��� X�������� ��� ������ ��������� ������������� �� ������� �����������

�� �� ��(%��& � �� �#6%+��

�#��/#�$!&#%��3 *#5#(# $#*/%6%+!3 0$�!*&�5��&# � �.$#+!(%+!3/! +# /�6+���!0$%50$!3�!4 & �-%5'�6%4 0���#+�&�%7

minXi�I

fiyi UXi�I

Xj�J

cijxij 9�8

Xi�I

xij D �� j � J < 9;8

Xj�J

pijxij � Viyi� i � I< 9E8

xij� yi � fF� �g� j � J� i � I� 9H8

.5% I > /+�2%��&� 0$%50$!3�!4 J > /+�2%��&� 0��$%1!�%-%4 fi � F K *#�$#�, +#���$,�!% 0$%50$!3�!3 cij � F K *#�$#�, +# 0$�!*&�5��&� ! 5���#&�' 0$�5'�A!!i>.� 0$%50$!3�!3 j>/' 0��$%1!�%-� Vi � F K /�6+���: i>.� 0$%50$!3�!3 pij � F K��-!(%��&� 0$�5'�A!! i>.� 0$%50$!3�!3 5���#��(+�% 5-3 '5�&-%�&�$%+!3 0��$%1+�>��%4 j>.� 0��$%1!�%-3� �%�1"�5!/� &,1$#�: 0�5/+�2%��&� 0$%50$!3�!4 ! *#�$%0!�:*# +!/! 0��$%1!�%-%4 �#�!/ �1$#*�/ (��1, �'//#$+,% *#�$#�, +# 0$�!*&�5��&� !5���#&�' 0$�5'�A!! 1,-! /!+!/#-:+,�

� +#���36%4 $#1��% 0$%5-#.#%��3 #-.�$!�/ $%)%+!3 *#5#(! 9�8K9H8 ��+�&#++,4+# �#.$#+2%&," $%-#��#A!3"� ���1%++���:� #-.�$!�/# 3&-3%��3 B&$!��!�# 0$!>/%+3%/#3 5-3 0�!��# 5�0'��!/�.� $%)%+!3� �$���%4)!4 �0���1 0���$�%+!3 5�0'>��!/�.� $%)%+!3 *#5#(! 9�8K9H8 ��+�&#+ +# !�0�-:*�&#+!! �0�!/#-:+�.� $%)%+!3$%-#��!$�&#++�4 *#5#(!� X�� $%)%+!% '5�&-%�&�$3%� &�%/ �.$#+!(%+!3/ !�"�5+�4*#5#(! �$�/% $%-#��!$�&#++," �.$#+!(%+!4 ! %.� /�2+� 0�0,�#�:�3 5���$�!�: 5��0�!/#-:+�.� $%)%+!3 !�"�5+�4 *#5#(! � 0�/�6:� 2#5+�4 0$�A%5'$,� � ��2#>-%+!� & "�5% �'1.$#5!%+�+�4 �0�!/!*#A!! &,5%-3%��3 /+�2%��&� 0%$�0%��!&+,"0$%50$!3�!4 B-%/%+�, ����$�.� &"�53� & �0�!/#-:+,% $%)%+!3 $%-#��!$�&#++,"*#5#( & 5���#��(+�4 /%$% �-'(#4+� ! &%$�3�+���: 0�-'(%+!3 �0�!/#-:+�.� +#1�$#5-3 !�"�5+�4 *#5#(! /#-#� �#/! 0$%5-�2%+ #-.�$!�/ ����$,4 $#��/#�$!&#%� &�%/+�2%��&� 0%$�0%��!&+," 0$%50$!3�!4 ! 0��-%5�&#�%-:+� &,1!$#%� 0$%50$!3�!3 ��$%/3�: +# �#25�/ )#.% +#!-'()!/ �1$#*�/ 5�0�-+!�: '2% &,1$#++�% /+�2%��&��

�-.�$!�/ �%��!$�&#-�3 +# !*&%��+," *#5#(#" !* 1!1-!��%�! OR>Library ?�@ # �#�2% +# *#5#(#" !/%�6!" 1�-:)�4 $#*$,& 5&�4��&%++���!� �$�&%5%++,% !��-%5�&#>+!3 0�5�&%$5!-! %.� 0$%&��"�5��&� +#5 �$#5!A!�++,/ 0�5"�5�/�

�#1��# 0�55%p2#+# .p#+�#/! �II� JG>FL>JF;�J ! JJ>F�>FF��F�

�������M��

�� J� E� Beasley OR�Library" distributing test problems by electronic mail� Journal of theOperational Research Society H� 9�JJF8 �FPJ>�FL; http7NNmscmga�ms�ic�ac�ukNinfo�html

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��(%��& �$!4 �+5$%%&!( �#6%+�� !"#!- �%�$.!%&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! !/� �� �� ��1�-%&# �� ��H 0p� ��#5%/!�# ��0��.# H H�&��!1!p�� PEFFJF ����!3 email7 jkochetQmath�nsc�ru pashchQmath�nsc�ru

Page 166: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�LF ������ ������ �� ������

T����������S�� S������ IM��S�������� � P >������

�����!+�%$

�#��/��$!/ �-%5'�6'� �0�!/!*#A!�++'� *#5#(' !*&%��+'� �#� *#5#(# � p� ����� +# /!+!/'/� �'��: 5#+, I D f�� ;� � � � �mg O /+�2%��&� 0'+���& &�*/�2>+�.� $#*/%6%+!3 0$�!*&�5��&# �5+�$�5+�.� 0$�5'��# � +%�.$#+!(%++,/! �1C�/#/!0$�!*&�5��&# ! J D f�� ;� � � � � ng O /+�2%��&� 0'+���& 0��$%1-%+!3 B��.� 0$�5'��# *#5#+# 9m � n8>/#�$!A# C D 9cij8 .5% cij � F O ���!/���: �1�-'2!&#+!3 j>.� 0�>�$%1!�%-3 0���#&6!��/ $#�0�-�2%++,/ & i>/ 0'+��%� �#5#+� (!�-� 0���#&6!��&p F � p � m� �$%1'%��3 +#4�! /!+!/'/ ='+�A!!

f9X8 DXj�J

mini�X

cij� X I 9�8

0� &�%/ X I �#�!/ (�� jXj D p� �'5%/ �(!�#�: (�� m D n� �*&%��+� (�� B�#*#5#(# NP>�$'5+# ?�@�

S%-%&#3 ='+�A!3 �0$%5%-%+# +# &�%" 0�5/+�2%��&#" I �$�/% � �%�-�2+� 0��#>*#�: (�� %�-! %� 5��0$%5%-!�:

f98 D maxa�b�I

ff9fag8 U f9fbg8� f9fagU fbg8g�

�� ='+�A!3 ��#+�&!��3 +%&�*$#��#�6%4 ! �'0%$/�5'-3$+�4 �� %��: '5�&-%�&�$3%��-%5'�6!/ 5&'/ '�-�&!3/7

�X�Y X Y� f9X8 � f9Y 8�

�X�Y f9X � Y 8 U f9X � Y 8 � f9X8 U f9Y 8�

��-! ='+�A!3 f 0$%5��#&!/# & &!5% 9�8 5-3 +%����$�4 �&#5$#�+�4 /#�$!A, C �� 1'5%/ +#*,&#�: f ������� ! .�&�$!�: (�� C �0$%5%-3%� ='+�A!� f �

�1�*+#(!/ (%$%* Mm /+�2%��&� /#�$!(+," ='+�A!4 # (%$%* Sm /+�2%��&��'0%$/�5'-3$+," +%&�*$#��#�6!" ='+�A!4 �0$%5%-�++," +# 0�5/+�2%��&#" /+�>2%��&# I D f�� ;� � � � �mg� ���#*#+� (�� Mm D Sm 5-3 jIj D ;� E ! Mm Sm 5-3jIj � E� �#45%+� +%�1"�5!/�% ! 5���#��(+�% '�-�&!% ��.� (�� �'//# /#�$!(+,"='+�A!4 3&-3%��3 /#�$!(+�4� �#�2% 0�-'(%+ �$!�%$!4 /#�$!(+���! 0$�!*&�-:+�4='+�A!!�

�������M��

�� Kariv O� Hakimi S�L� An algorithmic approach to network location problems� II� Thep>medians NN SIAM J� Applied Math� �JLJ� V�EL N E� P� �EJ>�PF�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�!+�%$ �!��-#4 �#-%$:%&!( �/��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� �/�� PHHFLL 0$� !$# ��# e>mail7 xlcrQmail�ru

Page 167: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ �� ������ �L�

������������ ������ � ���������� ��� ����������� ����

�� �� �#+���&

�#��/#�$!&#%��3 B���$%/#-:+#3 *#5#(# �9G�V� b� c��8

F 9�8 DXj�J

c9j� �9j88 UX

�i�j��E

b9?i� j@� �9i8� �9j88� min��

9�8

5-3 5#++," 5%$%&# G D 9J�E8 ��������� /+�2%��&# V �!//%�$!(+�.� ���1$#2%+!3b 7 E�V � � Z ���1$#2%+!3 c 7 J�V � Z ! /+�2%��&# � 5�0'��!/," $#*/%6%+!4B-%/%+��& /+�2%��&# J & ��(�#" /+�2%��&# V �

� �-'(#% � D �V D f� 7 J � V g 9��%� 0$%5��#&-3%� &�% �5+�*+#(+,% ���1$#2%>+!38 *#5#(# � D �V !*&%��+# �#� ������ 3����� 5-3 5$%&�&!5+�4 �&3*,&#�6%4 �%�!��-3 %% $%)%+!3 !*&%��%+ 0�-!+�/!#-:+,4 #-.�$!�/ � &,(!�-!�%-:+�4 �-�2+���:�O9jJ jjV j�8 ?�@� �#+%% #&��$�/ 1,-# 0$!&%5%+# 0���#+�&�# *#5#(! �%1%$# & &!5% *#5#(!A%-�(!�-%++�.� -!+%4+�.� 0$�.$#//!$�&#+!3 ! 5��#*#+� (�� & �-'(#% 5$%&�&!5+�4�%�! /+�2%��&� �0�!/#-:+," $%)%+!4 ����&%���&'�6%4 $%-#��!$�&#++�4 *#5#(!�%1%$# ��5%$2!� A%-�(!�-%++�% $%)%+!% ?;@� �#++,4 =#�� 0�*&�-3%� '��#+�&!�: �'>6%��&�&#+!% �%5-�&�4 ��(�! 0$! 5��#*#�%-:��&% $%*'-:�#�!&+���! 5%��/0�*!A!�+>+," #-.�$!�/�& 5-3 *#5#( ��-!(#�6!"�3 �� *#5#(! �V +#-!(!%/ 5�0�-+!�%-:+,"�.$#+!(%+!4�

��-! & 9�8 !/%%� /%���

� D �Q D f� 7 J � V j �i� j � J 9i �D j � �9i8 �D �9j88g9��%� �Q K &�% !+C%��!&+,% �5+�*+#(+,% ���1$#2%+!38 �� *#5#(# � D �Q 0$%5��#>&-3%� ����������& ������ � �������� � 5$%&�&!5+�4 �&3*,&#�6%4 �%�:�� �-30�!��# �0�!/#-:+�.� $%)%+!3 *#5#(! �Q /�2%� 1,�: !�0�-:*�&#+# �"%/# 5%��/0�>*!A!! 0� �.$#+!(%+!3/ & ����$�4 &+'�$%++33 *#5#(# 0$%5��#&-3%� *#5#(' �%1%$# # &+%)+33 K *#5#(' &,0'�-�.� 0$�.$#//!$�&#+!3�

�#5#(# �Q 3&-3%��3 �1�16%+!%/ !*&%��+�4 NP>�$'5+�4 & �!-:+�/ �/,�-% *#5#>(! � .#/!-:��+�&�/ A!�-%� � 0$%5-#.#%/�/ #-.�$!�/% �-�2+���: !�"�5+�4 *#5#(!�$#+�=�$/!$'%��3 & &,$�25%++���: $%)#%/," *#5#( �%1%$# ! +%�1"�5!/���: !�>�-�(%+!3 *#A!�-!&#+!3

�������M��

�� Panyukov A� V� Pelzwerger B� V� 9�JJ�8 Polynomial Algorithms to 4nite Veber problemfor a tree network� NN Journal of computational and Applied Mathematics� K V� E� K P�;J�>;JP�;� �#+���& ���� 9�JJJ8 5����� 3����� ��� ���������� ���� NN �+=�$/#A!�++,41�--%�%+: #���A!#A!! /#�%/#�!(%���.� 0$�.$#//!$�&#+!3� K No G� K C� ;�P>;�L�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#+���& �+#��-!4 �#�!-:%&!( �2+�>M$#-:��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� 0$��%+!+# LP �%-31!+�� H�HFGF ����!3 �%-� 9E��;8EJ>J�>;; =#�� 9E��;8EJ>J�>;; e>mail7 panyukovQinf�tu>chel�ac�ru

Page 168: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�L; ������ ������ �� ������

������ ���� ������� ������� ������� ������R�� ��������� �� ����� ������

���� �%$&3��&

�#��/#�$!&#%��3 �-%5'�6#3 *#5#(# +#*,&#%/#3 *#5#(%4 � +#!1�-:)%/ +%*#&!�!>/�/ /+�2%��&% &%$)!+� �#+ +%�$!%+�!$�&#++,4 .$#= G D 9V�E8� �#25�4 &%$)!+%s ��0���#&-%+ &%� vs K 5%4��&!�%-:+�% 0�-�2!�%-:+�% (!�-�� +�2%��&� &%$)!+I V .$#=# G +#*,&#%��3 ������ � %�-! -�1�% $%1$� .$#=# G !+A!5%+�+�+% 1�-%% �5+�4 &%$)!+% !* I� �$%1'%��3 +#4�! +%*#&!�!/�% /+�2%��&� &%$)!+ �+#!1�-:)%4 �'//�4 &%��&�

� $#1��% 0$%5-�2%+ �-%5'�6!4 0$!1-!2%++,4 #-.�$!�/ $%)%+!3 5#++�4 *#5#(!7

�������� PR9G D 9V�E88 � I%�-! G D �� I D 0$�A%�� *#&%$)%+<&,1%$%/ &%$)!+' q � V <5-3 �#25�4 &%$)!+, s � V n fqg &,0�-+!/7

vs ��vs � vq� %�-! 9s� q8 � E<vs� %�-! 9s� q8 �� E<

V � V n 9fs j vs � Fg � fqg8<I� � PR9G D 9V�E88<

I ��I� � fqg� %�-! I� � fqg � +%*#&!�!/�%<

I�� & 0$��!&+�/ �-'(#%<0$�A%�� *#&%$)%+�

�A%+�# ��(+���! #-.�$!�/# PR $#&+# 9p � �8 .5% p K /#��!/#-:+�% /+�2%��&�&%$)!+ .$#=# G !+5'A!$'�6!" *&%*5'� T��3 B�# �A%+�# $#&+# �A%+�% ��(+���!2#5+�.� #-.�$!�/# ?�@ &,(!�-!�%-:+,4 B��0%$!/%+� 0��#*#- (�� #-.�$!�/ PR &�$%5+%/ 5#%� /%+:)'� 0�.$%)+���: (%/ 2#5+,4 #-.�$!�/�

� $#1��% 0$%5-�2%+ $35 #-.�$!�/�& ��-!(#�6!"�3 �� #-.�$!�/# PR 5���#��(>+� 2%���!/! �$%1�&#+!3/! 0� &,1�$' &%$)!+, q� X��0%$!/%+�#-:+� &,3�+%+� (��+#!/%+:)%% �$%5+%% ���-�+%+!% �� �0�!/'/# 0$�!�"�5!� 0$! &,1�$% &%$)!+, � +#!>/%+:)%4 ��%0%+:�� ���#*#+� (�� %�-! & #-.�$!�/% PR &,1!$#%��3 &%$)!+# q '5�>&-%�&�$3�6#3 '�-�&!�7

N9q8 !+5'A!$'%� �-!�'� 9�8

�� $%)%+!% &,5#++�% #-.�$!�/�/ PR 1'5%� ��(+,/� � $#1��% 0$!&%5%+, �!0,.$#=�& & ����$," & 0$�A%��% $#1��, #-.�$!�/# PR &�%.5# !/%%��3 &%$)!+# '5�>&-%�&�$3�6#3 '�-�&!� 9�8� � �#�!/ .$#=#/ ��+��3��3 +#0$!/%$ k>5%$%&:3�

�������M��

�� Halld�orsson M�M� Approximation of independents sets in graphs� K A survey paper from APPROX� �JJG�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�%$&3��& �-%. �-#5!/!$�&!( �/��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%�PHHFLL �/�� 0$� !$# ��>� �/�M �#=%5$# /#��/�5%-!$�&#+!3 �%-�7 9EG�;8 PH>H;>EG e>mail7 chervQuniver�omsk�ru

Page 169: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ����� ���������� �LE

THROUGHPUT RATE OPTIMIZATION INHIGH MULTIPLICITY SEQUENCING PROBLEMS

Grigoriev A� van de Klundert J�

In mixed model assembly systems products 9or parts8 of di�erent types are beingassembled in certain ratios� A minimal part set is a smallest possible set of product typequantities to be called the multiplicities in which the numbers of assembled products ofthe various types are in the desired ratios� It is common practice to repeatedly input theminimal part set into the assembly system where the products of each of the minimalpart set are fed into the system in the same sequence� Such a sequencing strategy isexpected to yield a good line balance and low inventories� Very little is known howeverregarding the resulting throughput rate in particular in comparison to the throughputrates attainable by other input strategies� In general other strategies can be describedby considering the same problem with modi�ed multiplicities yielding the same ratios as they can be obtained by multiplying the multiplicities by the same number� In thispaper we investigate the relationship between throughput rates and the multiplicitiesfor two basic sequencing problems namely the no>wait �owshop scheduling problem andthe traveling salesman problem� We investigate and answer questions such as7 What isthe possible loss of throughput that results from inputing minimal part sets� What arethe smallest multiplicities for which the minimal throughput rate is the lowest possible�What are the smallest multiplicities for which the optimal input sequence has the samestructure as an overall optimal but possibly in�nitely long input sequence� Our analysisuses well known concepts from scheduling theory and combinatorial optimization�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOAlexander Grigoriev University of Maastricht Faculty of Economics and Business Administration Departmentof Quantitative Economy P�O�Box P�P P;FF MD Maastricht The Netherlands phone7 9E�>FHE8 EGG>EG>�E fax7 9E�>FHE8 EGG>HG>LH e>mail7 A�GrigorievQKE�unimaas�nl

Joris van de Klundert University of Maastricht Facutly of General Sciences Department of Mathematics P�O�Box P�P P;FF MD Maastricht The Netherlands phone7 9E�>FHE8 EGG>;P>LH fax7 9E�>FHE8 EGG>HJ>�F e>mail7 J�vandeKlundertQMATH�unimaas�nl

Page 170: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�LH ������ ������ ����� ����������

POLYNOMIALLY SOLVABLE CLASS OF INSTANCESOF THE ;>STAGE E>MACHINE OPEN SHOP PROBLEM

K�N� Kashyrskikh A�V� Kononov S�V� Sevastianov and I�D� Tchernykh

We consider the makespan minimization open shop problem with three machines andeach job having at most two operations� In the standard classi�cation ?�@ the problemcan be denoted by OEjop D ;jCmax where op is the maximum number of operations perjob� The interest in this special case of the open shop problem results from the fact thatit represents the only basis class 9from among at most �P basis classes of instances of theopen shop problem in the H>parameter classi�cation developed by the authors ?H@8 whosecomplexity status remains open� In fact the question about its complexity was raisedby Gonzalez and Sahni in �JLP ?E@ who proved that the problems OHjop D ;jCmax andOEjop D EjCmax are NP>hard while O;jop D ;jCmax is polynomially solvable�

Let A�B and C denote the machines J be the set of jobs n D jJ j and JXY standfor the subset of jobs having one operation on machine X and another O on machineY � Then J D JAB � JAC � JBC� As shown by Drobouchevitch and Strusevich ?;@ theproblem is polynomially solvable if one of the subsets JAB� JAC � JBC is empty� In thepresent paper another polynomially solvable case of the problem is found� Namely it isproved that the class of instances de�ned by the relation

Lmax � Epmax 9�8

9where Lmax is the maximum machine load and pmax is the maximum processing time ofan operation8 is e6ciently normal which means that it admits polynomial time solutionand the optimum makespan of any instance in the class is exactly Lmax� It is also shownthat the factor E in 9�8 is the minimal possible 9for any � F the class de�ned by therelation Lmax � 9E � 8pmax is not normal8�

Supported by the Russian Foundation for Fundamental Research 9Grants JJ>F�>FFPF�and JJ>F�>FF�G�8 and FCP �Integracia� 9Grant ;LH8�

REFERENCES

�� B� Chen C�N� Potts G�J� Woeginger A Review of Machine Scheduling7 Complexity Algorithms and Approximability in7 HAND�book of Combinatorial Optimization D�>Z�Du and P�M� Pardalos 9Eds�8 Kluwer �JJJ ;�K�PJ�;� I�G� Drobouchevitch and V�A� Strusevich A polynomial algorithm for the three>machine open shop with a bottleneck machineNN Annals of Operations research � 9�JJJ8�G�K;�H�E� T� Gonzalez and S� Sahni Open shop scheduling to minimize �nish timeNN Journal ofthe Association for Computing Machinery � 9�JLP8 PP�KPLJ�H� K�N� Kashyrskikh S�V� Sevastianov and I�D� Tchernykh Four>parameter complexityanalysis of the open shop problemNN Diskret� Analiz i Issled� Oper� submitted�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOKonstantin Kashyrskikh Novosibirsk State University Alexander Kononov 9alvenkoQmath�nsc�ru8 Sergey Sevastianov 9sevaQmath�nsc�ru8 Ilya Tchernykh 9tchernykhQhotmail�com8 Sobolev Institute of Mathematics Prosp� Koptjuga H Novosibirsk PEFFJF Russia

Page 171: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ����� ���������� �L�

H>PARAMETER COMPLEXITY ANALYSISOF THE OPEN SHOP PROBLEM

I�D� Tchernykh K�N� Kashyrskikh and S�V� Sevastianov

We consider the generalized open shop problem with the minimum makespan objec>tive in which each job may have an arbitrary number of operations per machine� Thecomplexity analysis of the problem is presented based on the analysis of values of fourkey parameters 9the number of jobs n the maximum number � of operations of a job the number of machines m and the maximum number � of operations on a machine8combined into a H>dimensional characteristic vector xI for a given instance I� For anyx � Z� we can de�ne the class I9x8 of all instances I with xI � x� It is shown that in thein�nite set of classes I9x8 there exists a �nite system of the so called basis classes thatenables one to determine the complexity of any class I9x8 9provided that the complexitystatus of every basis class is known8�

In the table below a family of �P classes is presented� It is shown that the familycontains the desired basis system� 9The letter �c� stands there for an arbitrary constant�8The classes I9xi8� i D �� � � � � L� are shown to be polynomially solvable while I9xi8� i D�F� � � � � �P� are proved to be NP>hard� The question about the complexity of the class I9x�89as well as the symmetrical class I9x�88 remains open since �JLP when it was raised byGonzalez and Sahni� Is this class polynomially solvable� Depending on the positive ornegative answer to this question we can conclude that the basis system contains either�P or �; classes� 9In the latter case classes I9xi8� i D �E� � � � � �P� will not be included inthe basis system�8

Class I9xi8� i D � � � n � m � Complexity� c c � � P; � � c c PE � � � � PH � � � � P� ; � � � PP � � ; � PL � ; � ; PG � ; E � ��J E � � ; ���F � ; � E NPH�� � E � ; NPH�; E � E � NPH�E E � � E NPH�H � E E � NPH�� H � � ; NPH�P � ; H � NPH

Supported by the Russian Foundation for Fundamental Research9Grants JJ>F�>FFPF� and JJ>F�>FF�G�8 and FCP �Integracia� 9Grant ;LH8�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOKonstantin Kashyrskikh Novosibirsk State University Sergey Sevastianov 9sevaQmath�nsc�ru8 Ilya Tchernykh 9tchernykhQhotmail�com8 Sobolev Institute of Mathematics Prosp� Koptjuga H Novosibirsk PEFFJF Russia

Page 172: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�LP ������ ������ ����� ����������

PREEMPTIVE SCHEDULING OF TASKS ON DEDICATED PROCESSORS

Aleksei V�Fishkin and Klaus Jansen

We consider the problem of scheduling a set of independent multiprocessor jobs withprespeci�ed processor allocations on a �xed number of processors in the following formu>lation� Given a set of tasks 9jobs8 J D fJ�� � � � � Jng and a set of identical processors 9ma>chines8 M D f�� � � � �mg� Each job Jj has a speci�ed set of required processors Mj M a speci�ed processing time pj a release date rj and a weight wj� A job Jj � J has to beprocessed by all processors from Mj in parallel during the processing time pj and startednot earlier than the release date rj< ones started it can be preempted and restarted laterat no cost� A machine i � M is allowed to execute at most one job Jj with i � Mj atany time step� The goal is to schedull the jobs from J so as to minimize the averageweighted completion time

Pnj��wjCj where Cj is the completion time of a job Jj � J �

This problem can be denoted by Pmjfixj� rj� pmtnjPwjCj 9see ?E@8 and it is known tobe strongly NP>hard even in the case of one machine ?H@�In this paper combining some results from ?�@ ?;@ and using new techniques we have ob>tained a PTAS 9polynomial time approximation scheme8 for Pmjfixj� rj� pmtnjPwjCj

that runs in O9n8 time�

The work was supported by the DFG > Graduiertenkolleg �E�ziente Algorithmen undMehrskalenmethoden��

REFERENCES

�� A�K� Amoura E� Bampis C� Kenyon and Y� Manoussakis7 Scheduling independentmultiprocessor tasks Proceedings of the 7th European Symposium on Algorithms 9�JJL8 LNCS �;GH �>�;�;� F� Afrati E� Bampis C� Chekuri D� Karger C� Kenyon S� Khanna I� Millis M�Queyranne M� Skutella C� Stein and M� Sviridenko7 Approximation schemes for mini>mizing average weighted completion time with release dates Proceedings of the 8#th IEEESymposium on Foundations of Computer Science 9�JJJ8 E;>HE�E� R�L� Graham E�L� Lawler J�K� Lenstra and A�H�G� Rinnooy Kan7 Optimizationand approximation in deterministic sequencing and scheduling7 a servey Ann� DiscreteMath� �7 ;GL>E;P �JLJH� J� Labetoulle E�L� Lawler J�K� Lenstra A�H�G� Rinnooy Kan7 Preemptive schedulingof uniform machines subject to release dates in7 W� R� Pulleyblank 9ed�8 Progress inCombinatorial Optimization Academic Press New York �JGH ;H�>;P��

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOKlaus Jansen Aleksei V�Fishkin Christian>Albrechts>University of Kiel Institute for Computer Science and Applied Mathematics Olshausenstrasse HF ;HFJG Kiel Germany phone7 UU HJ 9F8HE�>GGF>L�FF fax7 UU HJ 9F8HE�>GGF>LP�H e>mail7 kj avfQinformatik�uni>kiel�de

Page 173: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ����� ���������� �LL

APPROXIMATION ALGORITHMS FOR PERMUTATIONFLOW SHOP PROBLEM

M�Sviridenko

In the permutation �ow shop problem the goal is to �nd a permutation schedule thatminimizes the makespan Cmax where a permutation schedule for a �ow shop instance isa schedule in which each machine processes the jobs in the same order� In this paperwe prove that there exists a polynomial time algorithm which always delivers a feasiblepermutation schedule with makespan

Cmax � 9� U 8Lmax U K�m 9logm8 pmax

where Lmax is the maximum machine load m is the number of machines pmax is themaximum operation processing time � F is an arbitrary positive number and K� is afunction depending on only� This result is analogous to the well known approximationalgorithm with absolute performance guarantee by Sevastianov for the permutation �owshop problem� We also show that our result implies that there exists a polynomial timealgorithm which always delivers a feasible permutation schedule with makespan Cmax �O9pm logm8 maxfLmax� lmaxg where lmax is a maximum job length� This result is almost

best possible since Potts Shmoys and Williamson present a class of instances with optimalmakespan �9

pm8 and with maxfLmax� lmaxg D ;�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOSviridenko Maxim Ivanovich University of Aarhus Department of Computer Science Ny Munkengade Bldg� �HF DK>GFFF Aarhus C Denmark phone7 GJ>H;>EHLH fax7 GJ>H;>E;�� e>mail7 sviriQbrics�dk

Page 174: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�LG ������ ������ ����� ����������

AN EXPERIMENTAL ANALYSIS OF APPROXIMATION ALGORITHMS TOMINIMIZE WEIGHTED COMPLETION TIME

R�R�Siraev

We consider the scheduling problem �jprec� rj jPwjCj� This problem is strongly NP>hard even if wj D � for all jobs j and the precedence graph is empty� To solve theproblem we study the following approximation algorithms� We assign priorities to thejobs as their completion times in a preemptive schedule and then use list scheduling�The �rst algorithm constructs a preemptive schedule which is the solution of a linearprogramming relaxation based on a time>indexed formulation ?;@ the second algorithmyields an LP schedule constructed by an O9n log n8 algorithm ?�@�

The algorithms have been tested on a large collection of instances� Instances range insize from n D �F to n D EF� The release dates and the processing times are uniformlydistributed in ?� �@ and the weights are uniformly distributed in ?� �F@� Average relativeerrors of approximate solutions to corresponding lower bounds 9in percent8 are presentedin the table below7

Precedence graph empty intree outtree chainFirst algorithm F �J � ;; �E �J EF GFSecond algorithm � �H � �J �� HH H; JF

REFERENCES�

�� M� Goemans M� Queyranne A� Schulz M� Scutella and Y� Wang 9�JJL8 Singlemachine scheduling with release dates� Preprint�;� J�M� Van den Akker C�P�M� Van Hoesel and M�W�P� Savelsbergh 9�JJL8 A polyhedralapproach to single�machine scheduling problems� Mathematical Programming�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOSiraev Rustem Robertovitch Kazan State University Kremlevskaya str� �G Kazan H;FFFG Russia phone 9GHE;8 E�>��>LP e>mail7 Rustem�SiraevQksu�ru

Page 175: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������ ����� ���������� �LJ

���������� ���M������ ���������� ���������R�� ���������S���� �������� S������ IM��S��

�� �� �'-:.!+#

�#��/#�$!&#%��3 NP >�$'5+#3 *#5#(# �%�$!! $#�0!�#+!4 5-3 �5+�.� 0$!1�$# O*#5#(# /!+!/!*#A!! /#��!/#-:+�.� &$%/%++�.� �/%6%+!3 � j rj j Lmax ?�@� �$%1�&#>+!3 /+�2%��&# N D f�� ;� ���� ng +%�1"�5!/� �1�-'2!�: +# �5+�/ 0$!1�$% � /�/%+�#&$%/%+! t� �#0$%6%+, 0$%$,&#+!3 ! �5+�&$%/%++�% �1�-'2!&#+!% �$%1�&#+!4� �$%>1�&#+!% j j � N +#(!+#%� �1�-'2!&#�:�3 +% $#+%% /�/%+�# &$%/%+! rj � F 0$�5�->2!�%-:+���: �1�-'2!&#+!3 pj � F 2%-#�%-:+,4 9 5!$%��!&+,48 �$�� *#&%$)%+!3�1�-'2!&#+!3 dj � F� �$%/%++,/ �/%6%+!%/ �$%1�&#+!3 j j � N 0$! $#�0!�#+!! +#*,&#%��3 &%-!(!+# Lj9 8 D ftj9 8� djg .5% tj9 8 K /�/%+� *#&%$)%+!3 �1�-'2!>&#+!3 �$%1�&#+!3 j 0$! $#�0!�#+!! � �#5#(# *#�-�(#%��3 & /!+!/!*#A!! A%-%&�4='+�A!!

Lmax9 8 D maxj�N

Lj9 8� 9�8

�'��: +# 0#$#/%�$, �$%1�&#+!4 /+�2%��&# N +#�-#5,&#���3 �.$#+!(%+!3

r� � r� � ��� � rn� d� � d� � ��� � dn� 9;8

�$%5-#.#%��3 0�%&5�0�-!+�/!#-:+#3 0$�A%5'$# h h D h9N� t� y8 0���$�%+!3 $#�>0!�#+!3 h h D h9N� t8 ����$#3 0$! �.$#+!(%+!3" 9;8 -!1� ��$�!� �0�!/#-:+�%0� 1,��$�5%4��&!� $#�0!�#+!% �$%5! &�%" $#�0!�#+!4 �� *+#(%+!%/ A%-%&�4 ='+�A!!9�8 +% 0$%&,)#�6!/ y7 T 9 h8 D minfT 9 8 7 Lmax9 8 � y� D 9N� t8g .5% T 9 8 K/�/%+� *#&%$)%+!3 �1�-'2!&#+!3 &�%" �$%1�&#+!4 $#�0!�#+!3 -!1� �0$%5%-3%� (�� 5�0'��!/�.� $#�0!�#+!3 ��+��!�%-:+� *#5#++�.� y +% �'6%��&'%�� �-�2+���:0$�A%5'$, +% 0$%&,)#%� O9n log n U nP 8 �0%$#A!4 .5% P � rn U

Pj�N

pj � t�

� ��+�&' 0$�A%5'$, h 0�-#.#%��3 !5%3 /%��5# 5!+#/!(%���.� 0$�.$#//!$�&#+!3��$�A%5'$# �����!� !* n )#.�&� �+'�$! )#.# 5-3 �#25�4 A%-�(!�-%++�4 ��(�! !*!+�%$&#-# ?t� P @ $#�0!�#+!% 1�-:)%4 $#*/%$+���! 0�-'(#%��3 5���$#!&#+!%/ $#�0!>�#+!3 0$%5,5'6%.� )#.# �$%1�&#+!%/ � /%+:)!/ /�/%+��/ 0���'0-%+!3 0$! �.$#>+!(%+!! +# /#��!/#-:+�% &$%/%++�% �/%6%+!%� � $%*'-:�#�% $#1��, 0$�A%5'$, h1'5%� 0���$�%+� $#�0!�#+!% h D 9N� t8 -!1� h D ��

�������M��

�� Lenstra J� K� Rinnooy Kan A� H� G� Brucker P� Complexity of machine schedulingproblems�> Ann� Discrete Math� �JLL N � p� EHE> EP;�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�'-:.!+# ���#+# �!��-#%&+# �#*#+��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� '-� �$%/-%&��#3 �G �#*#+: H;FFFG �#�#$��#+ ����!3 �%-� 9G>GHE;8 E�>�H>�E e>mail7 Oksana�ShulginaQksu�ru

Page 176: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�GF ������ ������������ ���������� ��������

NEW RANDOMIZED ALGORITHMSFOR THE CLUSTERING PROBLEMS

D� Alexandrov

Clustering problems is a very large area in the �eld of combinatorial optimization� Inthe clustering problems we are given a set of points in the plane or some other metricspace and we seek the �best� partition of this set into subsets or clusters� To measurethe quality of partition di�erent criteria can be applied to each cluster and then they arecombined into an overall criterion�

Some of the clustering problems can be solved in polynomial time some of them areNP > complete and also there are problems for which the complexity question is open�

We present new randomized algorithms based on the following Gonzalez�s ?�@ farthest�point clustering algorithm� First an arbitrary point s� is chosen to be the representativefor the �rst cluster� Then the point s� farthest from s� is picked to represent the secondcluster� We continue the process for necessary number of steps picking at each step si tomaximize minimal distance to the all previously selected points� After the representativesfor each cluster are chosen we de�ne the partition� We present and discuss computa>tional results for di�erent clustering problems� This research was supported by RussianFoundation for Basic Research grant JJ>F�>FF��F�

REFERENCES

�� T�Gonzalez� Clustering to minimize the maximum intercluster distance� TheoreticalComputer Science �� ;JE>EFP �JG��

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOAlexandrov Dmitri Alexandrovich Sobolev Institute of Mathematics pr� Academica Koptyuga H Novosibirsk PEFFJF Russia phone7 9G>EGE>;8 EE>;F>GP fax7 9G>EGE>;8 EE>;�>JG e>mail7 dalexQmath�nsc�ru

Page 177: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������������ ���������� �������� �G�

������� ��������T ��������T ����� �������S�� �����R� �����������T ���������

�����#�!6%& ������#%&

� $#1��% 0$%5-#.#%��3 %5!+,4 B&�-�A!�++�>.%+%�!(%��!4 0�5"�5 5-3 0$!+3�!3$%)%+!4 & +%-!+%4+," *#5#(#" �0�!/!*#A!!� � $#/�#" B&�-�A!�++�>.%+%�!(%���.�0�5"�5# $#*$#1��#+ ! $%#-!*�&#+ & &!5% 0$�.$#//+�.� 0$�5'��# .%+%�!(%��!4 #-.�>$!�/ 9��8 ����$,4 & ��-!(!% �� �$#5!A!�++," !/%%� �-%5'�6!% ���1%++���!7

> !*/%+%+# ��$#�%.!3 =�$/!$�&#+!3 +�&�.� 0���-%+!3 !* $%)%+!4 0���-%+!3 0$%>5,5'6%.� *# �(%� ��*5#+!3 $%0$�5'�A!�++�.� /+�2%��&# #��'/'-!$'�6%.� & �%1%&�% $%)%+!3 &�-�(#3 �#� ��#$,% �#� ! &+�&: =�$/!$'%/,% & 0$�A%��% 0�!��# !0$!/%+%+!3 �0%$#��$# ��1�$# � B��/' $%0$�5'�A!�++�/' /+�2%��&'<

> 5-3 '(%�# �.$#+!(%+!4 !�0�-:*�&#+, )�$#=+,% ='+�A!!<> �=�$/!$�&#+# 1!1-!��%�# ��+�&+," .%+%�!(%��!" �0%$#��$�& 0�*&�-3�6#3 &,>

1!$#�: & 0$�A%��% 0�!��# �5!+ !* +%���-:�!" &#$!#+��& �$����&%$# /'�#A!! ! %��%>��&%++�.� ��1�$#�

�$%5-#.#%��3 �0���1 ����$,4 5���#��(+� -%.�� /�5!=!A!$'%��3 5-3 +%���-:>�!" �!��%/ �.$#+!(%+!4 0����-:�' 0$! $%)%+!! $%#-:+," *#5#( (#��� &�*+!�#%��!�'#A!3 ��.5# 5�0'��!/#3 �1-#��: *#5#(! 3&-3%��3 �1C%5!+%+!%/ +%���-:�!" B-%>/%+�#$+," �1-#��%4 .5% �#25#3 *#5#%��3 �&�%4 �!��%/�4 �.$#+!(%+!4�

�1�'25#%��3 &�*/�2+���: �&%5%+!3 $35# *#5#( 5�0'��!/#3 �1-#��: ����$," >��=%$#� � �.$#+!(%+!3/! � *#5#(% 1%*'�-�&+�4 �0�!/!*#A!! 0'�%/ *#/%+, 0%$%/%+>+,"�

���-%5�&#+, &�*/�2+���! 0$%5-�2%++�.� /%��5# & �$#&+%+!! � 5$'.!/! �� 0�5>"�5#/! & *#5#(% $#�(%�# 2%������! 0$'2!+,� �#5#(# !/%%� �$! &#$:!$'%/," 0#>$#/%�$# > ��-!(%��&� &!���& 0$'2!+, N 5!#/%�$ 0$�&�-��! d ! 5!#/%�$ &!��# D��!�-� &!���& N > A%-�(!�-%++#3 0%$%/%++#3 !*/%+3%/#3 �� � 5� E; 5!#/%�$ 0$'>2!+, d > �5+� !* H; *+#(%+!4 9*#5#+, �#1-!(+�8 & 5!#0#*�+% �� F�FFJF 5� F�� 9&5�4/#"8 5!#/%�$ &!��# 0$'2!+, D > +%0$%$,&+#3 &%-!(!+#� �1�'25#���3 &�0$�>�, #5#0�#A!! �� 5-3 $%)%+!3 5!��$%�+," ! �/%)#++," 5!��$%�+�>+%0$%$,&+,"*#5#( �0�!/!*#A!!�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#�!6%& �/!�$!4 �&#+�&!( ��#%& �%$.%4 �-%��#+5$�&!( �!2%.�$�5��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� PFEPFF ����&.�$�5 0$��#.#$!+# ;E �%-�7 9GE�;8 P�LL�� e>mail7 dibatQliso�sandy�nnov�su

Page 178: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�G; ������ ������������ ���������� ��������

X������������ ������� M������� ��I��� �� �����T

���� �#�!-:%&# ��� �#$�#�

���� O B�� =!.'$# �����36#3 !* ��+%(+�.� (!�-# �5+�+#0$#&-%++," +%0%$%�%>�#�6!"�3 0$3/�'.�-:+!��&� �$%1'%��3 $#*/%��!�: n .�=$�& *#5#++�4 0��$%1+���!bi� i D �� ���� n +# -!��#" 5-!+, L ! )!$!+, D �#� (��1, $#�"�5 -!���& 1,- /!+!>/#-:+,/�

��=$ *#5#%��3 $#*/%$#/! ! ���$5!+#�#/! -%&�.� +!2+%.� '.-# 9��+��!�%-:+�+#(#-# .�=$#8 �#25�.� &"�536%.� 0$3/�'.�-:+!�#� �#*/%6%+!% .�=$# +# -!��%�*+#(#%� &,0�-+%+!% �-%5'�6!" '�-�&!47 0#$#--%-:+���: ���$�+ .�=$# ���$�+#/-!��# +#"�25%+!% .�=$# & 0$%5%-#" .$#+!A $#��$#!&#%/�.� -!��# +%0%$%�%(%+!%.�=$�&� �#++#3 *#5#(# �&�5!��3 � �-#��!(%���4 *#5#(% -!+%4+�.� 0$�.$#//!$�&#>+!3 � 0$%50�-�2%+!%/ (�� +%����$�% /+�2%��&� !* &�%&�*/�2+," '0#��&�� !*&%��>+� ! bi� i D �� ���� n +#���-:�� &%-!�! (�� '�-�&!%/ A%-�(!�-%++���! !+�%+�!&+���%40$!/%+%+!3 '0#��&�� /�2+� 0$%+%1$%(:�

� 5��-#5% 0$%5-#.#%��3 /%��5 +#"�25%+!3 $%)%+!3 0���#&-%++�4 *#5#(! � !�>0�-:*�&#+!%/ �!/0-%��>/%��5#� �$%5&#$!�%-:+#3 .%+%$#A!3 �#$� $#��$�3>'0#��&�!��'6%��&-3%��3 � 0�/�6:� B&$!��!(%���.� #-.�$!�/# �-'(#4+�4 &,1�$�!�

�-3 0���$�%+!3 �#$� $#��$�3>'0#��&�! 0$%5-#.#%��3 �+#(#-# �.%+%$!$�&#�: 0�>�-%5�&#�%-:+���! !* .�=$�& � A%-:� 1�-%% $#&+�/%$+�.� $#�0$%5%-%+!3 *#.���&���#25�.� �!0# +# -!��#"� �* �#25�4 0�-'(%++�4 0��-%5�&#�%-:+���! .�=$�& =�$/!>$'%��3 �5+# �#$�# $#��$�3 9'0#��&�# +# -!��%8�

�-3 ��'6%��&-%+!3 '0#��&�! .�=$�& �+#(#-# 0$�!*&�5!��3 $#*1!%+!% �#25�.�.�=$# &%$�!�#-:+,/! ! .�$!*�+�#-:+,/! �%(%+!3/! +# 0$3/�'.�-:+,% 1-��!� �%>(%+!3 0$�&�53��3 0� ���$5!+#�#/ ����&%���&'�6!/ +#(#-#/ ! ��+A#/ 0$3/�'.�-:>+!��& !* ����$," �����!� .�=$ 0� 5#++�/' +#0$#&-%+!�� � $%*'-:�#�% �#25�/'.�=$' ��0���#&-3%��3 5&% 0��-%5�&#�%-:+���! 1-���& ! 0$�A%5'$# 0�-'(%+!3 �#$�,$#��$�3>'0#��&�! .�=$�& �&�5!��3 � '0#��&�% �#�!" 0��-%5�&#�%-:+���%4�

M0#��&�# .�=$# +# -!��% �*+#(#%� $#*/%6%+!% �#25�4 0��-%5�&#�%-:+���! 1-�>��& 0� ����&%���&'�6%4 ���$5!+#�+�4 ��! � &,0�-+%+!%/ &�%" '�-�&!4 $#*/%6%+!3���-! '5#%��3 $#*/%��!�: .�=$ +# -!��% �� �#25�4 '.-�&�4 ��(�% B��.� .�=$# 0$!�&#>!&#���3 ���$5!+#�, 0$!(%/ $#*/%6%+!% i>�4 0��-%5�&#�%-:+���! 1-���& $#1��#%�+# �0$%5%-%+!% i>�4 ���$5!+#�, i D �� ;� �#�%/ !* 0��-%5�&#�%-:+���! .�=$�& 1%$%�>�3 �-%5'�6#3 *#.���&�# ! !6%��3 %% $#*/%6%+!%� �$! '5#(+�/ *#&%$)%+!! 0$�A%>5'$, �� %��: %�-! $#*/%6%+, �1% 0��-%5�&#�%-:+���! 1-���& 0$�&%$3%��3 '�-�&!%+%0%$%�%(%+!3 .�=$# � '2% +#"�536!/!�3 -!��% *#.���&�#/!�

�%+%$#A!3 �#$�, $#��$�3 &,0�-+3%��3 *#5#++�% ��-!(%��&� $#*< 0$! B��/ 0��-%>5�&#�%-:+���: .�=$�& 0%$%'0�$35�(!&#%��3 �-'(#4+,/ �1$#*�/ +#0$!/%$ � 0�/�>6:� +%����$," /%�#B&$!��!�� �* &�*/�2+," �#$� $#��$�3 �#25�4 0��-%5�&#�%-:>+���! .�=$�& &,1!$#%��3 �# �#$�# & ����$�4 �'//#$+#3 0-�6#5: $#*/%6%++," +#-!��% *#.���&�� /#��!/#-:+#�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#�!-:%&# �!5!3 �-:3��&+# H�FFJL .� M=# �#&�5��#3 G>J�< e>mail7 lidavQmail�ru �#$�#� �#5!/ !"#4-�&!( H�FFFF .� M=# ��#$��# �; e>mail7 kvmailQyahoo�com �#=� �!� M=!/���.� .��'5#$��&%++�.� #&!#A!�++�.� �%"+!(%���.� '+!&%$�!�%�#

Page 179: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������������ ���������� �������� �GE

����� �������I>�������������T ��������� �����R���������� ��� ������� ICSP

����%$"��'$�&

�#��/#�$!&#%��3 *#5#(# +%$%.'-3$+�.� $#*/%6%+!3 0-���!" .%�/%�$!(%��!" �1C>%���& ICSP1Irregular Cutting Stock Problem2 ����$#3 3&-3%��3 NP >�$'5+�4 ?�@� �+#=�$/'-!$'%��3 �-%5'�6!/ �1$#*�/7 !/%%��3 n .%�/%�$!(%��!" �1C%���&9��8 ����>$,% +%�1"�5!/� '-�2!�: & 0�-'1%���+%(+'� 0�-��' �#�!/ �1$#*�/ (��1, �1C%��,+% 0%$%�%�#-!�: /%25' ��1�4 ! � .$#+!A%4 �1-#��! $#*/%6%+!3 # 5-!+# 0�-��, l *#+3��4 �� 1,-# /!+!/#-:+�4�

� �-'(#% !�0�-:*�&#+!3 0$!+A!0# 0��1C%��+�.� $#*/%6%+!3 5-3 $%)%+!3 ICSP&�*/�2+� 0$!/%+%+!% /%��5�& 5!��$%�+�4 �0�!/!*#A!!� �*&%��%+ $35 #5#0�#A!4/%��5�& 9Simulated Annealing91SA2 ?;@ 9Tabu Search91TS2 ?E@ 5-3 %% $%)%+!3� �"+%5���#���/ 3&-3%��3 0$!/%+%+!% +%5���#��(+� B==%��!&+," /%"#+!*/�& /�5%-!$�>&#+!3 .%�/%�$!(%��!" 0$%�1$#*�&#+!4� �#� & #5#0�#A!3" SA !�0�-:*'%��3 #00#$#�/�5%-!$�&#+!3 0$�!*&�-:+," 5&!2%+!4 �� 9�5&!.�& ! 0�&�$���&8 0$%50�-#.#�6!4&*#!/+�% 0%$%�%(%+!% �� # & #5#0�#A!! /%��5# TS 0$!/%+3%��3 0$�A%5'$# *#+%�%+!3�� & +%����$'� �.$#+!(%++'� (#��: �1-#��! $#*/%6%+!3 ����$#3 +% $#��/#�$!&#>%� &�% &�*/�2+,% ��(�! $#*/%6%+!3 �� � '(%��/ &,0�-+%+!3 '�-�&!4 &*#!/+�.�+%0%$%�%(%+!3�

�&��$�/ � A%-:� 1�-%% B==%��!&+�.� $%)%+!3 !��-%5'%/�4 *#5#(! 1,- $#*$#>1��#+ �-#�� .�5�.$#=>�$!%+�!$�&#++," #-.�$!�/�& ��+�&#++," +# #5#0�#A!3" /%>�#B&$!��!(%��!" /%��5�& -��#-:+�.� 0�!��#� X��� �-#�� &�-�(#�6!4 & �%13 #5#>0�#A!! /%��5�& 9Tabu Search9� 9Simulated Annealing9� 9Genetic Algorithm9 ! 9AntColonies9 1#*!$'%��3 +# 0���$�%+!! .�5�.$#=# ='+�A!! 0-��+�.� $#*/%6%+!3 ! !�>0�-:*�&#+!! �0���1# 0��-%5�&#�%-:+� > �5!+�(+�.� $#*/%6%+!3� � $#1��% $#��/#>�$!&#���3 ���1%++���! $%#-!*#A!! �#25�.� !* B�!" /%��5�&�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! 0�55%$2�% IS� ����'5#$��&%++#3 0�55%$2�# !+�%.$#A!!&,�)%.� �1$#*�&#+!3 ! ='+5#/%+�#-:+�4 +#'�! +# �JJL>;FFF .����$�%�� LP

����������

?�@ Fowler R�J� Paterson M�S� Tanimoto S�L� Optimal packing and covering in the planeare NP>complete� IPL� �JG�� Vol��; No�E7 pp��EE>�EL�

?;@ Heckmann R� Lengauer T� A simulated annealing approach to the nesting problemin the textile manufacturing industry�> Annals of OR �L pp��FE>�EE �JJ��

?E@ Blazewicz J� Hawryluk P� Walkowiak R� Using a tabu search approach for solvingthe two>dimensional irregular cutting problem� > Annals of OR H�9�>H8 pp�E�E>E;� �JJE�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�%$"��'$�& !"#!- �-%��#+5$�&!( M=!/��!4 .��'5#$��&%++,4 #&!#A!�++,4 �%"+!(%��!4 '+!&%$�!�%� H�FFFF .�M=# '-� ��#$��# �; 9EHL;8>;ELJPL 9EHL;8>;;;J�G e>mail7 verhoturQvmk�ugatu�ac�ru

Page 180: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�GH ������ ������������ ���������� ��������

������������ ������� ������ � ����������� ������������� ������ ���������

�� �� ��+(#$�& �� �� ��(%��&

� $#1��% $#��/#�$!&#%��3 /+�.���#5!4+#3 *#5#(# $#*/%6%+!3 ?�@ & �-%5'�6%40���#+�&�%� �#+, /+�2%��&# 0��$%1!�%-%4 0$%50$!3�!4 ! #���A!#A!4 & ����$,%/�.'� �1C%5!+3�:�3 0$%50$!3�!3 (��1, &,0'��#�: 0$�5'�A!� 5-3 0��$%1!�%-%4��*&%��+, ���!/���! ���$,�!3 0$%50$!3�!4 #���A!#A!4 ! ���!/���! '5�&-%�&�$%>+!3 �0$��# 0��$%1!�%-%4 �#25�4 #���A!#A!%4� �$%1'%��3 +#4�! �#��4 +#1�$ 0$%5>0$!3�!4 ! #���A!#A!4 (��1, � /!+!/#-:+,/! �'//#$+,/! *#�$#�#/! '5�&-%�&�>$!�: *#0$��, 0��$%1!�%-%4� � ����#& #���A!#A!! /�2%� &"�5!�: 0$�!*&�-:+�% (!�-�0$%50$!3�!4� �$�5'�A!3 0$�"�5!� �1$#1���' +# &�%" 0$%50$!3�!3" #���A!#A!! �� %�!/%%� /+�.� ��#5!4 �1$#1���!� X�# *#5#(# B�&!&#-%+�+# *#5#(% /!+!/!*#A!! 0�>-!+�/# � 1'-%&,/! 0%$%/%++,/! ! 0$�!*&�-:+,/! ��B==!A!%+�#/! *#5#(% &,1�$#�0�!/#-:+�.� +#1�$# ��$�� 0#$, /#�$!A ! 5&'"'$�&+%&�4 *#5#(% $#*/%6%+!3� �#��#� ��+��!�%-:+#3 0�.$%)+���: -�1�.� 0�-!+�/!#-:+�.� #-.�$!�/# 5-3 �#25�4 !*B�!" *#5#( +% /�2%� 1,�: �.$#+!(%+# �&%$"' ��+��#+��4 & 0$%50�-�2%+!! P �D NP �� 0$%5��#&-3%��3 A%-%���1$#*+,/ $#*$#1���# !�%$#A!�++," /%��5�& ! & (#��+���! &%$�3�+���+," /%�#B&$!��!��

� $#1��% 0$%5��#&-%+ +�&,4 &%$�3�+���+,4 #-.�$!�/ 0�!��# � *#0$%�#/!� � �#>(%��&% ��$%��+���! #-.�$!�/ !�0�-:*'%� )#$ & 1'-%&�/ �'1% � $#5!'��/ ; 0� /%�$!�%TB//!+.#� �5#0�!&+�% 0$#&!-� '0$#&-%+!3 �0!���/ *#0$%��& 0�*&�-3%� 5��#*#�: (�� #-.�$!�/ 0�$�25#%� +%0%$!�5!(%��'� +%$#*-�2!/'� A%0: #$��&# +# ��+%(+�//+�2%��&% �����3+!4� X�� �&�4��&� #-.�$!�/# .#$#+�!$'%� (�� &%$�3�+���: +%+#>"�25%+!3 ��(+�.� $%)%+!3 *#5#(! ��$%/!��3 � +'-� � $����/ (!�-# )#.�& #-.�$!�/#�� ���$���:� .%�/%�$!(%���4 0$�.$%��!!� �1�'25#���3 $%*'-:�#�, (!�-%++," B��>0%$!/%+��& & ����$," !��-%5�&#-��: &-!3+!% ��%0%+! $#+5�/!*#A!! ��$%��+���! 5-!+, �0!��# *#0$%��& 0$#&!- !+�%+�!=!�#A!! 0�!��#� �$%5-�2%+ +�&,4 &#$!#+�&%�&-%+!3 5-3 #-.�$!�/�& 0�!��# � *#0$%�#/!� � ��-!(!% �� �!��%/#�!(%���4 �"%>/, &%�&-%+!3 /%��5# &%�&%4 ! .$#+!A +�&,4 0�5"�5 !�0�-:*'%� !5%! /'$#&:!+�4��-�+!! ?;@ 5-3 &,1�$# +#!1�-%% 0%$�0%��!&+," �1-#��%4 & /+�2%��&% 5�0'��!/,"$%)%+!4 *#5#(!� �#1��# 0�55%$2#+# .$#+�#/! �II� JJ>F�>FFPF� JG>FL>JF;�J�

�������M��

�� ��+(#$�& �� �� ��(%��& �� �� �������� ������������! �����! ������ ����� ������������ ����� ��� �*���� �!��$%�+,4 #+#-!* ! !��-%5�&#+!% �0%$#>A!4� ��&��!1!$��7 �+>� /#�%/#�!�! �� ��� �JJJ �%$!3 ; ��/ P ` � �;>E;�;� �-%��#+5$�& �� �� :����� �������� ����� ��� ����� � � ����� ������� �$'5, XI>4 /%25'+#$�5+�4 �#4�#-:���4 )��-,>�%/!+#$# �JJG ��/ E �L>;��

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��+(#$�& �&.%+!4 �!��-#%&!( ��(%��& �$!4 �+5$%%&!(�+��!�'� /#�%/#�!�! !/� �� �� ��1�-%&# �� ��H 0p� ��#5%/!�# ��0��.# H H�&��!1!p�� PEFFJF ����!3 �%-� 9EGE>;8>EE>;F>GJ =#�� 9EGE>;8>EE>;�>JG email7 gonQmath�nsc�ru jkochetQmath�nsc�ru

Page 181: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������������ ���������� �������� �G�

�� ���� �������� �������� ������� ������ � ��������� �����

�����$%/%%& �����#�*%$��#3 ������-���-�&

+�.!% !��-%5�&#+!3 & �1-#��! 5!��$%�+�4 �0�!/!*#A!! 0��&36%+, *#5#(% � 0�>�$,�!! /+�2%��&# ! %% 0$!-�2%+!3/� �%/#�!�# B�!" !��-%5�&#+!4 &�-�(#%� #+#-!*��$'��'$, ! �-�2+���! *#5#(! $#*$#1���' ��(+," ! 0$!1-!2%++," #-.�$!�/�& 0���$�%+!% �A%+�� �#(%��&# 0�-'(#%/," $%)%+!4 ! $35 5$'.!" &�0$���&� � 5#+>+�4 $#1��% 0$%5-#.#%��3 .!1$!5+,4 #-.�$!�/ $%)%+!3 '�#*#++�4 *#5#(! & ����$�/& ��-!(!% �� ?;@ +#$35' � /%��5�/ 0%$%1�$# L>�-#���& ! .%+%�!(%��!/ #-.�$!�/�/9��8 0$!/%+3%��3 B&$!��!�# -#.$#+2%&�4 $%-#��#A!!�

�#��/#�$!&#%/,4 .!1$!5+,4 #-.�$!�/ $%)#%� *#5#(' � 0��$,�!! /+�2%��&# &A%-�(!�-%++�4 0���#+�&�%� � /%��5% 0%$%1�$# L>�-#���& $%)%+!% *#5#(! A%-�(!�-%+>+�.� -!+%4+�.� 0$�.$#//!$�&#+!3 �1,(+� �&�5!��3 � #+#-!*' ! $%)%+!� 0��-%5�>&#�%-:+���! *#5#( -!+%4+�.� 0$�.$#//!$�&#+!3� �$! B��/ ��'6%��&-3%��3 -%��!>��.$#=!(%��!4 0%$%1�$ B-%/%+��& L>$#*1!%+!3 $%-#��#A!�++�.� /+�2%��&# *#5#(!��#++,4 0�5"�5 � $%)%+!� *#5#(! � 0��$,�!! /+�2%��&# +%0-�"� *#$%��/%+5�&#-�%13 & &,(!�-!�%-:+�/ B��0%$!/%+�%�

� 0�/�6:� /%��5# -#.$#+2%&�4 $%-#��#A!! ��$�3��3 +!2+!% ! &%$"+!% �A%+>�! A%-%&�4 ='+�A!! +# +#(#-:+�/ B�#0% ! +# 0�5*#5#(#" &�*+!�#�6!" & 0$�A%��%0%$%1�$# L>�-#���&�

�$%5! ���1%++���%4 0$!/%+3%/�.� .%+%�!(%���.� #-.�$!�/# +%�1"�5!/� ��/%�!�:+%5&�!(+�% 0$%5��#&-%+!% $%)%+!4 ! �0%$#��$ �$���!+.�&%$# ��+�&#++,4 +# $%)%>+!! &�0�/�.#�%-:+," *#5#( -!+%4+�.� 0$�.$#//!$�&#+!3� � 0�/�6:� B��.� #->.�$!�/# 1,-! +#45%+, $%)%+!3 !*&%��+," �%���&," *#5#( � 0��$,�!! /+�2%��&#1�-:)�4 $#*/%$+���!� � $#*$#1��#++�/ +#/! .!1$!5+�/ #-.�$!�/% �� 0$!/%+3%��35-3 0�!��# +#(#-:+�.� A%-�(!�-%++�.� $%)%+!3�

�$!&�53��3 $%*'-:�#�, &,(!�-!�%-:+�.� B��0%$!/%+�# � !*&%��+,/! �%���&,/!*#5#(#/! & ��/ (!�-% � *#5#(#/! !* B-%��$�++�4 1!1-!��%�! OR>Library ?�@ # �#�2%� �%$!3/! *#5#( �� �-'(#4+,/! !�"�5+,/! 5#++,/!� �$�&%5%++,% $#�(%�, +# X�0��#*#-! 0%$�0%��!&+���: 0$%5-�2%++�.� #-.�$!�/#�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! =!+#+��&�4 0�55%$2�% �II� 90$�%�� JL>F�>FFLL�8 ! INTAS90$�%�� JP>FG;F8�

�������M��

�� Beasley J�E� OR�Library" Distributing Test Problems by Electronic Mail� J� Oper�Res� Soc� > �JJF� > Vol� H� N ��� > P��FPJ>�FL;�;� Kolokolov A�A� Eremeev A�V� Zaozerskaya L�A� On Hybrid L�class Enumerationand Genetic Algorithm for Set Covering Problem� The ��th Triennial Conference ofthe Internetional Federation of Operational Research Societies� Final program� Beijing China August �P>;F �JJJ� > P� ��L�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�$%/%%& �+��+ �#-%+�!+�&!( �#�*%$��#3 �!5!3 �+#��-:%&+# ��-���-�& �-%��#+5$ �-%��#+5$�&!( �/��!4 =!-!#- �+��!�'�# /#�%/#�!�! !/ ������1�-%&# �� ��� '-� �%&A�&# �E �/�� PHHFJJ ����!3 �%-� 9G>EG�>;8 ;E>PL>EJ =#�� 9G>EG�>;8 ;E>H�>GH e>mail7 eremeevQiitam�omsk�net�ru zaozerQiitam�omsk�net�ru koloQiitam�omsk�net�ru

Page 182: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�GP ������ ������������ ���������� ��������

� ������� ������� XII������T ��������� ��� ������������������� ����M ������ ������� ������

������.#+ ����I%5��%+��

�#��/#�$!&#���3 &�0$��, 0���$�%+!3 �0�!/#-:+," $#�0!�#+!4 �1�-'2!&#+!3��+%(+," 5%�%$/!+!$�&#++," 0�����& *#3&�� & �!��%/% � �5+!/ !-! +%���-:�!/!0#$#--%-:+,/! 0$�A%���$#/!� I�$/'-!$'%/,% *#5#(! 9� #55!�!&+,/ !-! /!+!>/#��+,/ �$!�%$!%/8 & �&�!" �#+�+!(%��!" 0���#+�&�#" 3&-3���3 NP>�$'5+,/! ��>��&%���&'�6!% #-.�$!�/, ��+�&,&#���3 +# 0$!+A!0% 5!+#/!(%���.� 0$�.$#//!$�>&#+!3 9��8 !-! +# �"%/% &%�&%4 ! .$#+!A 9�!�8� � $%#-:+," 0$�A%��#" '0$#&-%+!30$�!*&�5��&%++�>�$#+�0�$�+,/! �!��%/#/! 0$!+3�!% $%)%+!4 5�-2+� $%#-!*�&,>&#�:�3 & 5���#��(+� 2%���!" &$%/%++," $#/�#"� � �&3*! � B�!/ !��-%5'���3 5&#&�*/�2+," +#0$#&-%+!3 5%4��&!4 > &,5%-%+!% 0�-!+�/!#-:+� $#*$%)!/," 0�5�-#�>��& *#5#( ! $#*$#1���# B&$!��!(%��!" #-.�$!�/�&�

���#*,&#%��3 (�� +%����$,% �!0, �.$#+!(%+!4 +# ��&��'0+���: $#��/#�$!&#%>/," /�5%-%4 !-! 5�0'��!/," $#�0!�#+!4 �1�-'2!&#+!3 9&�% �+! !/%�� %��%��&%+>+,% � ��(�! *$%+!3 0$!-�2%+!4 !+�%$0$%�#A!!8 �1%�0%(!&#�� &�*/�2+���: 0���$�>%+!3 5-3 &�*+!�#�6!" (#��+," *#5#( 0�-!+�/!#-:+," 0� &%$"+%4 �A%+�% &$%/%++�4&,(!�-!�%-:+�4 �-�2+���! #-.�$!�/�&< B==%��!&+,% $%)#�6!% 0$�A%5'$, /�.'�1#*!$�&#�:�3 �#� +# ����&%���&'�6!" /�5!=!�#A!3" �16!" $%�'$$%+�+," ����+�>)%+!4 �� �#� ! +# �"%/% �!��

�*-#.#%��3 �#�2% $35 B&$!��!(%��!" #-.�$!�/�& 9� 0$!/%+%+!%/ &%��&," ='+�>A!4 !-! $%)#�6!" 0$#&!- !�0�-:*'�6!" �.$#+!(%++,% &#$!#+�, �"%/, �!� �"%/' %�$�0�-!�# !-! B&�-�A!�++�>.%+%�!(%��!4 0�5"�58 0$!&�53��3 $%*'-:�#�,�$#&+!�%-:+�.� �%��!$�&#+!3�

���#*,&#%��3 (�� !*-�2%++,% 0$!+A!0, 0���$�%+!3 B==%��!&+," #-.�$!�/�&�!+�%*# $#�0!�#+!4 /�.'� 1,�: #5#0�!$�&#+, � $35' /�5!=!�#A!4 �#+�+!(%��!"/�5%-%4� � (!�-% $#��/��$%++," /�5!=!�#A!4 ��/%�!/ 5&%7 *#5#(' 0-#�+�.� �1�-'>2!&#+!3 ! *#5#(' �1�-'2!&#+!3 mobil>0$�A%���$�/� � 0%$&�4 *#5#(% �1�-'2!&#+!%&�%" *#3&�� 0����# +%�13*#�%-:+�< $%#-:+#3 0-#�# 0� �#25�4 �1�-'2%++�4 *#3&�%0�-'(#%��3 &,(!�#+!%/ !* +�/!+#-:+�.� *+#(%+!3 �0-#�, !+5!&!5'#-:+�.� *#&!>�36%.� �� 0$�5�-2!�%-:+���! 0$����3 )�$#=#< /#��!/!*#A!! 0�5-%2!� &%-!(!+#�'//#$+�4 0-#�,� �� &��$�4 *#5#(% 9�+# &�*+!�#%� & &�5+��$#+�0�$�+," �!��%/#"8�(!�#%��3 (�� �1�-'2!&#+!% *#3&�� $%#-!*'%��3 & 0$%5%-#" �5+�/%$+�4 $#1�(%4 *�>+,< 0$�A%���$ $%#-!*'�6!4 �1�-'2!&#+!% /�2%� 0%$%/%6#�:�3 �#� & 0#$% � -�1�4*#3&��4 9& 0$�A%��% %% �1�-'2!&#+!38 �#� ! & #&��+�/+�/ $%2!/%�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! 0�55%$2�% ����!4���.� =�+5# ='+5#/%+�#-:+," !��-%5�>&#+!4 9FF>F�>FFEGH8�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��.#+ �/!�$!4 �*$#!-%&!( �!2%.�$�5��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� !/� ������1#(%&���.� PFE��J �!2+!4 ��&.�$�5 �>��J '-��#$-# #$��# 5��E �&��H �%-�9GE�;8 HE FL F� e>mail7 fdsQaqua�sci>nnov�ru�

I%5��%+�� �$!4 �%/%+�&!( ��-2��#3 .��'5#$��&%++#3 #�#5%/!3 &�5+�.� �$#+�0�$�# PFEPFF �!2+!4 ��&.�$�5 �>� '-��%��%$�&# 5�� ����� �%-�9GE�;8 EL PP �; e>mail7 fdsQaqua�sci>nnov�ru�

Page 183: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������������ ���������� �������� �GL

������������ ������� ������ � �������� ��� ������������������ ������������ � ����������� ���M����

�� �� ��(%��& �� �� ���-3$

� $#1��% $#��/#�$!&#%��3 *#5#(# �#-%+5#$+�.� 0-#+!$�&#+!3 � �.$#+!(%++,/!$%�'$�#/! & �-%5'�6%4 0���#+�&�%� �#5#+ 0$�%�� �����36!4 !* /+�2%��&# $#1��=!��!$�&#++�4 5-!�%-:+���!� �# B��/ /+�2%��&% �0$%5%-%+� ��+�)%+!% (#��!(+�.�0�$35�# ����$�% ��$#2#%� �%"+�-�.!� &,0�-+%+!3 0$�%��#� �#25#3 $#1��# �$%>1'%� �0$%5%-%++," $%�'$��&� �1C%/, $%�'$��& &,5%-3%/," & �#25,4 /�/%+� &$%>/%+! �(!�#���3 !*&%��+,/!� �%�'$�, 3&-3���3 +%��-#5!$'%/,/! ��%� �� �5+�.�/�/%+�# &$%/%+! � 5$'.�/' +% 0%$%5#���3� �%!�0�-:*�&#++,% $%�'$�, �����&���$%1'%��3 +#4�! $#�0!�#+!% 90�$35�� &,0�-+%+!3 $#1��8 ����$�% '5�&-%�&�$3-� 1,'�-�&!3/ 0$%5)%��&�&#+!3 �.$#+!(%+!3/ 0� $%�'$�#/ ! 0$! ����$�/ &$%/3 *#&%$>)%+!3 &�%.� 0$�%��# 1,-� 1, /!+!/#-:+,/�

�=�$/'-!$�&#++#3 *#5#(# ��+��!��3 � (!�-' NP>�$'5+," *#5#( 5!��$%�+�4 �0�!>/!*#A!!� �-3 %% $%)%+!3 $#*$#1��#+, ��(+,% #-.�$!�/, �!0# &%�&%4 ! .$#+!A !0$!1-!2%++,% #-.�$!�/, �$%5! ����$," +#!1�-:)%4 B==%��!&+���:� ��-!(#���3/%�#B&$!��!�!� � $#1��% 0$%5-#.#%��3 +�&,4 &#$!#+� &%$�3�+���+�.� #-.�$!�/#0�!��# � *#0$%�#/!� �-.�$!�/ !�0�-:*'%� $#+5�/!*!$�&#++'� ��$%��+���: 0$!0���$�%+!! ����$�4 A%+�$#-:+'� $�-: !.$#%� �$!�!(%��!4 0'�: & +%����$�/ &�0�>/�.#�%-:+�/ .$#=% ?�@� ���#*#+� (�� 5-3 -�1�.� +#(#-:+�.� $%)%+!3 �'6%��&'%�0�-�2!�%-:+#3 &%$�3�+���: 5���!(: �0�!/#-:+�% $%)%+!% *#5#(! *# ��+%(+�% (!�-�)#.�&� X�� �&�4��&� #-.�$!�/# .#$#+�!$'%� �"�5!/���: 0� &%$�3�+���! +#!-'()%.�+#45%++�.� $%)%+!3 � .-�1#-:+�/' �0�!/'/'� �-3 !��-%5�&#+!3 $%#-:+�4 ���$���!�"�5!/���! 0$�&%5%+, B��0%$!/%+�#-:+,% !��-%5�&#+!3 +# 0$!/%$#" !* B-%��$�+>+�4 1!1-!��%�! PSPLIB ?;@� �%*'-:�#�, (!�-%++," !��-%5�&#+!4 0��#*#-! 0$%&��>"�5��&� $#*$#1��#++�4 &%$�3�+���+�4 &%$�!! #-.�$!�/# +#5 !*&%��+,/! #+#-�.#/!�#� 0� (#����% 0�-'(%+!3 ��(+�.� $%)%+!3 �#� ! 0� �$%5+%/' (!�-' !�%$#A!4�

�#1��# 0�55%p2#+# .p#+��/ �II� JG>FL>JF;�J�

�������M��

�� T� Baar P� Brucker S� Knust 9�JJG8 Tabu�search algorithms and lower bounds for theresource�constrained project scheduling problem� in7 S� Voss et al� 9eds�87 Meta>heuristics7Advances and Trends in Local Search Paradigms for Optimization Kluwer �>�G�;� http7NNwww�ing�unlp�edu�arNcetadNmosNTSPBIB home�html

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��(%��& �$!4 �+5$%%&!( ���-3$ �$�%/ �-%��#+5$�&!(�+��!�'� /#�%/#�!�! !/� �� �� ��1�-%&# �� ��H0p� ��#5%/!�# ��0��.# H H�&��!1!p�� PEFFJF ����!3�%-� 9EGE>;8>EE>;F>GJ =#�� 9EGE>;8>EE>;�>JG email7 jkochetQmath�nsc�ru

Page 184: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�GG ������ ������������ ���������� ��������

����� ������T ���������T ���������� ������������������ ������R��� �������S��

�� �� ��(%��& �� � ���&-%&

���-%5�&#+!3 �&�4��& ��+%(+," 0$�%��!&+," 0-������%4 9���8 !" ��$'��'$, !&�0$��, �'6%��&�&#+!3 ��+��3��3 � �-#��!(%��!/ $#*5%-#/ �%�$!! ��+%(+," .%�/%>�$!4� �*&%��+� ?� ;@ (�� ��� 0�$35�# n �'6%��&'%� +% 5-3 &�%" n��� ��-! n K ��%0%+: 0$����.� (!�-# �� ��� 0�$35�# n �'6%��&'���;� ��-! n D HkU� !-! n D HkU; k D F� �� ;� � � � ! n +%-:*3 0$%5��#&!�: & &!5% �'//,�&#5$#��& 5&'" A%-," (!�%- �� ��� 0�$35�# n +% �'6%��&'%��X�! $%*'-:�#�, +% 0��$,&#�� &�% /+�2%��&� +#�'$#-:+," (!�%-� ���#%��3 ���$,>�,/ &�0$�� � �'6%��&�&#+!! ��� 0�$35�# �; �� �G ! 5$�

� $#1��% &�0$�� � �'6%��&�&#+!! ��� �&�5!��3 � $%)%+!� +%����$�4 5!��$%�+�4�0�!/!*#A!�++�4 *#5#(! � +%-!+%4+�4 A%-%&�4 ='+�A!%4� �# /+�2%��&% 5�0'��!/,"$%)%+!4 *#5#(! A%-%&#3 ='+�A!3 +%��$!A#�%-:+#� ��-! %% .-�1#-:+,4 /!+!/'/ $#>&%+ +'-� �� ��� �'6%��&'%� ! -%.�� ��$�!��3 0� 0�-'(%++�/' $%)%+!�� ��-! 2%.-�1#-:+,4 /!+!/'/ ��$�.� 1�-:)% +'-3 �� 5%*#$.�&," ��� 5#++�.� 0�$35�# +%�'6%��&'%�� �-3 $%)%+!3 �0�!/!*#A!�++�4 *#5#(! 0$%5-�2%+ &%$�3�+���+,4 /%��50�!��# � *#0$%�#/! ?E@ ! 5��#*#+� (�� � $����/ (!�-# !�%$#A!4 &%$�3�+���: +#4�!�0�!/#-:+�% $%)%+!% *#5#(! ��$%/!��3 � �� �#*$#1��#++,4 /%��5 0�*&�-!- 0���$�>!�: ��� 0�$35�# E H � L G J �� �E �P �L �J� � ?H@ 0$!&%5%+, $%*'-:�#�,(!�-%++," !��-%5�&#+!4 � A%-:� 0���$�%+!3 /#�$!A, !+A!5%+A!4 0�$35�# �F� �#�>(%�, ���#-!�: +%*#&%$)%++,/! !*>*# 1�-:)�.� �1C%/, &,(!�-%+!4� �$�&%5%++,%+#/! $#�(%�, 5-3 n D �F ! n D �; 0�*&�-3�� '�&%$25#�: (�� � &,����4 &%$�3�+�>��:� 0� �$#4+%4 /%$% 5%*#$.�&," ��� B�!" 0�$35��& +% �'6%��&'%��

�#1��# 0�55%p2#+# .p#+�#/! �II� JJ>F�>FF��F JG>FL>JF;�J�

�������M��

�� I��#$�%�!� �&%5%+!% & ��+%(+,% .%�/%�$!!� �7 �#'�# �JGF�;� �����!$)�& �����!�!�!+� �-.%1$#!(%��#3 �%�$!3 0$�%��!&+," 0-������%4�M(%1+�% 0���1!% ��&��!1!$�� �*5>&� ��M �JGL�E� F�Glover M�Laguna� Tabu Search Kluwer Academic Publishers Dordrecht �JJL�H� C�W�Lam The Search for Finite Projective Plan of Oder �F� Am� Math� Mon�JG9�JJ�8 H EF�>E�G

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��(%��& �$!4 �+5$%%&!( ���&-%& �-#5!/!$ !"#4-�&!(�+��!�'� /#�%/#�!�! !/� �� �� ��1�-%&# �� ��H0p� ��� ��0��.# H H�&��!1!p�� PEFFJF ����!3�%-� 9EGE>;8>EE>;F>GJ =#�� 9EGE>;8>EE>;�>JGemail7 jkochetQmath�nsc�ru yakQmath�nsc�ru

Page 185: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������������ ���������� �������� �GJ

������� ����S�� �� ��� � ������ � ����������� ������ � �������

���� �!*'+�& �����%/(%+��

� +#���36%% &$%/3 5-3 $%)%+!3 *#5#( 5!��$%�+�4 �0�!/!*#A!! #��!&+� $#*$#>1#�,&#���3 $#*-!(+,% B&$!��!�! ! 0$!1-!2%++,% /%��5,7 #-.�$!�/, � *#0$%�#/!9Tabu Search8 !/!�#A!! ��2!.# 9Simulated Annealing8 /'$#&:!+�4 ��-�+!! .%+%�!>(%��!% #-.�$!�/, ! 5$� ?;@ � 5#++�4 $#1��% 0$%5-#.#���3 #-.�$!�/, ��+�&#++,%+# !5%3" !/!�#A!! ��2!.# ! 0�!��# � *#0$%�#/! 5-3 $%)%+!3 �-%5'�6%4 *#5#(! �$��*#�%7

F 9x8 DnXj��

cjxj � max

nXj��

aijxj � bi� i D �� ����m�

xj � fF� �g� j D �� ���� n�

�-.�$!�/ 0�!��# � *#0$%�#/! ��5%$2!� ��+�&+,% B-%/%+�, "#$#��%$+,% 5-3 �#>�!" #-.�$!�/�&� �$�/% ��.� & +%/ !�0�-:*'%��3 $35 B&$!��!� '(!�,&#�6!" �0%>A!=!�' *#5#(! & ��/ (!�-% �2#5+,"� 5-3 &,"�5# & 1�-%% 0%$�0%��!&+,% �1-#��!0$���$#+��&# $%)%+!4� � (#��+���! $#*$%)#%��3 0�-'(%+!% +%5�0'��!/," $%)%>+!4 ����$,% 0���/ 5�&�53��3 5� 5�0'��!/,"� ��-! $%)%+!% 0$!+#5-%2!� �0!��'*#0$%6%++," ��(%� �� �+� +% ��1$#�,&#%��3 # ���1,/ �1$#*�/ !*/%+3%��3 �#� (��0�-'(#%��3 5�0'��!/�% $%)%+!% +% 0$��/��$%++�% $#+%%�

� $#*$#1��#++," +#/! &#$!#+�#" #-.�$!�/# !/!�#A!! ��2!.# 0$%5'�/��$%+�!�0�-:*�&#+!% �B-!�+�.��+#1�$# 0%$%/%++," ! �2#5+�4�B&$!��!�! 0$! &,1�$%+#0$#&-%+!4 5&!2%+!3 $#*-!(+," �"%/ 0�+!2%+!3 �%/0%$#�'$, �0!��#*#0$%��& ! 5$�

�-.�$!�/, $%#-!*�&#+, +# X� ! �0$�1�&#+, +# �%���&," *#5#(#" !* B-%��$�+>+�4 1!1-!��%�! OR>Library ?�@ ! �� �-'(#4+,/! !�"�5+,/! 5#++,/!� �$#&+%+!% �+%����$,/! #-.�$!�/#/! �2#5+�.���!0# 0��#*#-� 0%$�0%��!&+���: 0$%5-�2%++,"#-.�$!�/�&�

�������M��

�� J�E�Beasley� OR>Library7 Distributing test problems by electronic mail� Journal ofthe Operational Research Society �JJF� >Vol�H�� >N���� >P��FPJ>�FL;�;� Local Search In Combinatorial Optimization N Ed� by Aarts E� Lenstra J�K� JohnWiley and Sons �JJE�>P�J�>�;F�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�!*'+�& �%$.%4 �-#5!/!$�&!( �/��!4 =!-!#- �+��!�'�# !/� ������1�-%&# �� ���'-� �%&A�&# �E �/�� PHHFJJ ����!3 �%-� 9G>EG�>;8 ;E>PL>EJ =#�� 9G>EG�>;8 ;E>H�>GH e>mail7 lizunovQiitam�omsk�net�ru�%/(%+�� �#�#-:3 �$:%&+# �/��!4 .��'+!&%$�!�%� 0$� !$# ��>� �/�� PHHFLL ����!3 �%-� 9G>EG�>;8 PH>H;>EG e>mail7 semchenokQmath�omsu�omskreg�ru

Page 186: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�JF ������ ������������ ���������� ��������

X������������ ������� � ���S���R�T ������T���������� �������S��

�� I� %-:+!��& �� �� �#5!�+�&

� $#1��% $#��/#�$!&#���3 0$!/%$, 0$!/%+%+!3 $#*+," .$'00 B&$!��!(%��!" #->.�$!�/�& K &#$!#+��& /%��5# �&%�&!>!>.$#+!A,� .%+%�!(%��!" /�5!=!�#A!4 +%4>$��%�%&," #-.�$!�/�& ! 5$� K & +%���-:�!" $�5��&%++," *#5#(#" 5!��$%�+�4 �0�!>/!*#A!!� �#��/#�$!&#���3 +%����$,% &�*/�2+,% B&$!��!�!�

�$%5! $#��/#�$!&#%/," *#5#( K $#*-!(+,% &#$!#+�, /!+!/!*#A!! +%5%�%$/!>+!$�&#++," ��+%(+," #&��/#��& �#1!+#>�����# 9�� %� K /!+!/!*#A!3 0� $#*-!(+,/�$!�%$!3/ �/� ?�@ ! 5$�8 *#5#(! 0���$�%+!3 /!+!/#-:+," 5!*C�+��!&+�4 ! ��+C>�+��!&+�4 +�$/#-:+," =�$/ *#5#++�4 ='+�A!! ;>*+#(+�4 -�.!�! +%����$,% *#5#>(! B�&!&#-%+�+,% *#5#(% ��//!&�32�$# # �#�2% *#5#(! �0�!/!*#A!! �A%+�(+,"�$!�%$!%& & +%5%�%$/!+!$�&#++," !.$#" 9�/� ?;@ ! 5$�8� �&��$, +% $#�0�-#.#��!+=�$/#A!%4 � +#-!(!! 0'1-!�#A!4 � /%��5#" $%)%+!3 1�-:)!+��&# !* B�!" *#5#(� 0�/�6:� .%+%�!(%��!" #-.�$!�/�& & ��/ (!�-% K � +#-!(!! 0'1-!�#A!4 & �+�%$>+%�%� 9�$�/% *#5#(! ��//!&�32�$# 5-3 ����$�4 �0!�#+, $#*-!(+,% #-.�$!�/,�8

�#*-!(+,% #-.�$!�/, $%)%+!3 �5+�4 *#5#(! �$#&+!&#���3 � 0�/�6:� 0$���,"B/0!$!(%��!" �$!�%$!%&� � ��2#-%+!� �1C�/ 5#++�4 *#/%��! +% 0�*&�-3%� 5#2%�$#��� �0!�#�: �#/! #-.�$!�/, �$!�%$!! �$#&+!�: !" ! �� 5� K #&��$, 0$%50�-#.#>�� �0'1-!��&#�: &�� B�� & �5+�4 !-! +%���-:�!" ��#�:3" & 1'5'6%/� �$�5%-#++#3$#1��# +% 0$%�%+5'%� +# �%�$%�!(%���% �1��+�&#+!% 0�&%5%+!3 B&$!��!(%��!" #-.�>$!�/�& �0!�#+!% '�-�&!4 !" �"�5!/���! �5+#�� 0$! +%�1"�5!/���! 1,��$� $%)!�:+%����$'� *#5#(' & �-'(#% ��.5# ��(+,% 90%$%1�$+,%8 #-.�$!�/, �$#4+% �-�2+,K !-! 0$! /!+!/'/% !�"�5+�4 !+=�$/#A!! K '0�/3+'�,% B&$!��!(%��!% #-.�$!�/,�$#4+% 0�-%*+,�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! (#��!(+�4 0�55%$2�% .$#+��& �II� ` JJ>F�>FFJFL !` FF>��>JJ;�E�

�������M��

?�@ B� Melnikov 7 A new algorithm of the state>minimization for the nondeterministic �niteautomata� K The Korean Journal of Computational and Applied Mathematics Vol� P No�; 9�JJJ8 ;LLK;JF�?;@ �� I� %-:+!��& �� �� �#5!�+�& 7 � &,1�$% ��$#�%.!! & +%5%�%$/!+!$�&#++,"#+�#.�+!��!(%��!" !.$#"� K ������ ������ 1;:<2 ` � 9�JJG8 ��KP;�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO%-:+!��& ��$!� I%-!���&!( M-:3+�&��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� HE;LFF M-:3+�&�� '-� ����-���.� H; �%-� 9GH;;8E;>J;>;� e>mail7 borisQmmf�ulsu�ru��#5!�+�& �-%��%4 �!��-#%&!( M-:3+�&��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� HE;LFF M-:3+�&�� '-� ����-���.� H; �%-� 9GH;;8E;>J;>;H e>mail7 alx;Qnewmail�ru�

Page 187: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������������ ���������� �������� �J�

��������� ����� ������������ ��������� ������� ����� �������>M�������

X���'"#(%&# ��I��#-%%&# �����#$%%&

�#��/#�$!&#���3 *#5#(! �5+�/%$+�4 9�D Bin Packing Problem �DBPP8 0$3/�>'.�-:+�4 9;D Bin Packing Problem ;DBPP8 ! 0#$#--%-%0!0%5+�4 9ED Bin PackingProblem EDBPP8 '0#��&�! 0$!+#5-%2#6!% �-#��' NP>�$'5+," 0$�1-%/� �-3 $%)%>+!3 0%$%(!�-%++," *#5#( $#*$#1��#+ B&$!��!(%��!4 /%��5 5!+#/!(%���.� 0%$%1�$#� B-%/%+�#/! ���"#��!�! 9DSS8 ?�@ ��+�&#++,4 +# 0�%&5�0�-!+�/!#-:+�/ #-.�$!�/%$%)%+!3 *#5#(! F>� $��*#� ! 0�*&�-3�6!4 0�-'(!�: /+�2%��&� �&#*!�0�!/#-:+,"$%)%+!4 � �5!+#��&,/! *+#(%+!3/! �$!�%$!3 �0�!/#-:+���!� �-3 �A%+�! B==%�>�!&+���! DSS 0$!/%+%++�.� � �DBPP ;DBPP EDBPP 1,- 0$�&%5%+ &,(!�-!�%-:>+,4 B��0%$!/%+� 0� /%��5!�% �� �%)%$# 5-3 �d>�$'5+," ! �d>�(%+: �$'5+," *#5#(-!+%4+�.� $#��$�3 ?;@� �%*'-:�#�, B��0%$!/%+�# �$#&+!&#-!�: �� *+#(%+!%/ B�#-�+#+!2+%4 .$#+!A, ����$#3 �0$%5%-3-#�: 5-3 0%$%(!�-%++," *#5#( ��.-#�+� $%)%+!�����&%���&'�6%4 *#5#(! -!+%4+�.� $#��$�3 � 5�0�-+!�%-:+,/! �.$#+!(%+!3/! �0�/�6:� B&$!��!(%���.� /%��5# 0��-%5�&#�%-:+�.� '��(+%+!3 �A%+�� 9SVC8�

�#1��# 0�55%$2#+# �II� > 0$�%�� JJ>F�>FFJEL

�������M��

�� '"#(%&# X��� �#-%%&# ��I� %��5 5!+#/!(%���.� 0%$%1�$# & *#5#(% 5&'/%$+�4'0#��&�!NN�+=�$/#A!�++,% �%"+�-�.!! `E ;FFF�;� Schwerin P� Wascher G� The Bin>Packing Problem7A problem Generator and SomeNumerical Experiments with FFd PackingNNInternational Transactions in OperationalResearch��JJL�V�H��NP�P�EEL>EGJ�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO'"#(%&# X-!�# �-%��#+5$�&+# �#-%%&# �!5# I#$!��&+# �#$%%& �-:.!* �!=.#��&!(M=!/��!4 .��'5#$��&%++,4 #&!#A!�++,4 �%"+!(%��!4 '+!&%$�!�%�e>mail7 elitaQvmk�ugatu�ac�ru

Page 188: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�J; ������ ������������ ���������� ��������

������R��� M������� N >���T ����M���R�T�������� � ���M���������M� ������R

X��� '"#(%&# ��� �#$�#�

�#5#(# '0#��&�! n>/%$+," 0#$#--%-%0!0%5�& & �16%/ &!5% =�$/'-!$'%��3 �-%>5'�6!/ �1$#*�/7 5#+ +#1�$ !* m n>/%$+," 0#$#--%-%0!0%5�& ! 0�-'1%���+%(+,40� n>4 ���$5!+#�% n>/%$+,4 0#$#--%-%0!0%5 O� �$%1'%��3 '0#��&#�: �1C%��, & O�#� (��1, n >3 ���$5!+#�# *#0�-+%++�4 (#��! 0�-'1%���+%(+�.� 0#$#--%-%0!0%5#O 0$!+3-# +#!/%+:)%% *+#(%+!%� ��5 0$3/�'.�-:+�4 *5%�: 0�+!/#%��3 '0#��&�# & ����$�4 +! �5!+ !* �1C%���& +% &,"�5!� *# 0$%5%-, �1-#��! O .$#+! �1C%���&$#�0�-�2%+, 0#$#--%-:+� .$#+3/ O ! /%25' ��1�4 +% 0%$%�%�#���3�

�&�5!��3 �0$%5%-%+!% *#5#(! *#0�-+%+!3 1!+#$+�4 /#�$!A, � +%0$%$,&+,/ $#�>0�-�2%+!%/ %5!+!A 0� ��$��#/�

���#*#+� (�� *#5#(# *#0�-+%+!3 ��&%(#%� 0�!��' -!+%4+�.� $#��$�3 � 5�0�-+!>�%-:+,/! �.$#+!(%+!3/!�

�#-%% $#��/#�$!&#%��3 �&3*#++�% /+�2%��&� *#5#( *#0�-+%+!3� ���#*#+, �%�>$%/, '��#+#&-!&#�6!% �&3*: /%25' �&3*#++,/ /+�2%��&�/ *#5#( *#0�-+%+!3 !'0#��&��4 n>/%$+," 0#$#--%-%0!0%5�& & O� � �#(%��&% �-%5��&!3 !* �%�$%/ !/%%/7$#�(%� �0�!/#-:+�4 '0#��&�! �&�5!��3 � +#"�25%+!� �&3*#++," /+�2%��& *#5#(*#0�-+%+!3�

�#5#(# � +#"�25%+!! �0�!/#-:+�4 '0#��&�! n>/%$+," 0#$#--%-%0!0%5�& & 0�-'>1%���+%(+'� �1-#��: �&�5!��3 � $%)%+!� n *#5#( -!+%4+�.� $#��$�3 � 5�0�-+!�%-:>+,/! �.$#+!(%+!3/! !/%+'%/,/! *#5#(#/! *#0�-+%+!3�

�#++,4 #-.�$!�/ $%#-!*�&#+ 5-3 �-'(#3 n D ;� �$#&+!�%-:+,4 #+#-!* 0�-'(%+>+," $%*'-:�#��& 0��#*,&#%� 3&+�% 0$%!/'6%��&� �#��.� 0�5"�5#�

�#1��# 0�55%$2#+# �II� 0$�%�� JJ>F�>FFJEL

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO'"#(%&# X-!�# �-%��#+5$�&+# �#$�#� �#5!/ !"#4-�&!( �#=� �!� M=!/���.� .��'5#$��&%++�.� #&!#A!�++�.� �%"+!(%���.� '+!&%$�!�%�# H�FFFF M=# '-� �� #$��# �; e>mail7 kvmailQyahoo�com�

Page 189: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������������ ���������� �������� �JE

�������� ���� ������� ������������ ���������������� �������

'"#(%&# X� �� �#$�#� �� � ����$!.!+ �� ��

�-#��!(%��#3 *#5#(# �5+�/%$+�.� $#��$�3 �����!� & �-%5'�6%/7 *#5#+, 5-!+#L $#��$#!&#%/�.� /#�%$!#-# ! 5-!+, li 0�-'(#%/," !* +%.� *#.���&�� m +#!/%+�&#>+!4 # �#�2% +%�1"�5!/�% ��-!(%��&� bi �#25�4 *#.���&�! i D ��m� �$%1'%��3 $#�(!>�#�: �0�!/#-:+,4 0-#+ $#��$�3 �1%�0%(!&#�6!4 /!+!/#-:+,4 $#�"�5 /#�%$!#-#���.-#�+� Dyckho��s �!0�-�.!! $#��$�3 ! '0#��&�! > B�� 0$�1-%/# �!0# ��V���M Dyckho� 9�JJF8� �#5#(# �5+�/%$+�4 '0#��&�! 9L�m� l8 9Bin>Packing Problem BPP8 �l D 9l�� l�� ���� lm8 3&-3%��3 (#��+,/ �-'(#%/ *#5#(! �5+�/%$+�.� $#��$�3 9L�m� l� b89Cutting Stock Problem CSP8 � b D 9b�� ���� bm8 ! b� D �� i D ��m�

�$%5-#.#%��3 $%)#�: 5#++'� *#5#(' � 0�/�6:� .!1$!5+�.� /%��5#7 /�5!=!A!>$�&#++�.� B&$!��!(%���.� #-.�$!�/# SVCR 90��-%5�&#�%-:+�.� '-'()%+!3 �A%+�� ���-'(#4+,/ ��B==!A!%+��/8 '"#(%&# X� �� '"#(%&# �� �� �%-�& �� �� 9;FFF8 !/�5!=!�#A!3 ��(+�.� /%��5# &%�&%4 ! .$#+!A 9MBB8 �#$�#� �� � 9�JJJ8�

�# 0%$&�/ B�#0% � 0�/�6:� 0$%5&#$!�%-:+�.� .$'00!$�&#+!3 B-%/%+��& 9Group8'/%+:)#%��3 ��-!(%��&� �!0�& *#.���&��� �$'00!$�&�# 0$%5��&$#6#%� *#A!�-!&#>+!% 5#-:+%4)!" 0$�A%5'$ # �#�2% $#�)!$3%� 0$!/%+%+!% /%��5�& +# �-#��, *#5#(1�-:)�4 $#*/%$+���!�

��*/�2+, 5&# �-'(#37�� �-!+, li $#*-!(#���3 +# +%*+#(!�%-:+,% &%-!(!+,� ��.5# &�*/�2+� 0$!/%>

+%+!% .$'00!$�&�! 0$%5-�2%++�4 �#$�#��/ �� �;� �-!+, li $#*-!(#���3 +# 5���#��(+� 1�-:)!% &%-!(!+,� ��.5# & 0$%50�-�>

2%+!! � ��/ (�� &�% m *#.���&�� '0�$35�(%+, 0� +%'1,&#+!� 5-!+ li 0$%5-#.#%��3.$'00!$�&#�: *#.���&�! �-%5'�6!/ �1$#*�/7 l� � lm� l� � lm��� ���

�# &��$�/ B�#0% � 0�/�):� �!/0-%��>/%��5# +#"�5!��3 +!2+33 .$#+!A# A%-%&�4='+�A!! N� D d� 9x8e� �#-%% � 0�/�6:� SVCR !6%��3 +#!-'()%% $%)%+!% NSV CR���-! NSV CR D N� �� �0�!/#-:+�% $%)%+!% 5���!.+'�� ! 5#-:+%4)!4 0�!�� 0$%�$#>6#%��3� � 0$��!&+�/ �-'(#% 0%$%"�53� � ��(+�/' /%��5' MBB .#$#+�!$'�6%/'0�-'(%+!% �0�!/#-:+�.� $%)%+!3�

� 5��-#5% 0$!&%5%+, �$#&+!�%-:+,% $%*'-:�#�, .!1$!5+," #-.�$!�/�& � .$'0>0!$�&��4 ! 1%* +%%�

�#1��# 0�55%$2#+# �II� .$#+� JJ>F�>FFJEL

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO'"#(%&# X-!�# �-%��#+5$�&+# �#$�#� �#5!/ !"#4-�&!( ����$!.!+ �&.%+!4 �3(%�-#&�&!( M=!/��!4 .��'5#$��&%++,4 #&!#A!�++,4 �%"+!(%��!4 '+!&%$�!�%�

Page 190: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�JH ������ ������������ ���������� ��������

������������ ������� ��� ������� ����� ����M���R�����������>M�������

X���'"#(%&# ����'"#(%&# �����!.-!+A%&

�#��/#�$!&#���3 /�5%-! .!-:��!++�.� 0$3/�'.�-:+�.� $#��$�3 9;D GCP8 ! 0$3>/�'.�-:+�4 '0#��&�! 9;D BPP8� �#��$#!&#%��3 9'0#��&,&#%��38 0�-��# *#5#++�4 )!>$!+, W ! +%�.$#+!(%++�4 5-!+, +# 0$3/�'.�-:+,% *#.���&�! *#5#++," $#*/%$�&9wi� li8 i D ��m� �-3 0�-'(%+!3 $#A!�+#-:+�.� $#��$�3>'0#��&�! 0$!/%+3���3 .%+%>�!(%��!% #-.�$!�/, ����&%���&%++� .!-:��!++,4 9GG8 ! 1-�(+,4 9GB8 #-.�$!�/,�

�$! $%)%+!! *#5#(! ;D GCP #-.�$!�/�/ GG & �#(%��&% .%+�& =!.'$!$'�� 0$3>/�'.�-:+!�! �� ��$#�%.!3/! ��0���#&-%+!3 !/ 0�5"�536%4 ��$*!+,� �--%-! �0$%5%>-3���3 +#1�$�/ 0$���," B&$!��!� -!+%4+�4 '0#��&�! 9�D BPP8 & ��$*!+, =�$/!$'>%/," %/����%4� T$�/���/# K 0��-%5�&#�%-:+���: .%+�& 9#--%-%48 '0�$35�(%++," 0�+% '1,&#+!� %/����%4 ����&%���&'�6!" *#.���&��� �#��% ��-��&#+!% 0$%5-�2%+����� ��$%+��&,/ & ?�@ 5-3 �-'(#3 ;D BPP� � �#(%��&% 0$���," B&$!��!� 0$%5-#.#>���3 �-%5'�6!% ��$#�%.!! ��0���#&-%+!37 ��������� ��� ������ 9NFD8 �� !���� ������ 9FFD8 ������ ��� ������ 9BFD8 ������"��� ��� ������ 9WFD8��#25#3 !* +!" /�2%� 1,�: $%#-!*�&#+# � $#*$%)%+!%/ !-! *#0$%��/ +# !*/%+%+!%�$!%+�#A!! *#.���&�!� �%$&�4 ��$*!+�4 3&-3%��3 0$3/�'.�-:+#3 0�-��# )!$!+, W

! 5-!+, li�� ���-% %% *#0�-+%+!3 *#.���&�#/! 9wi��li�8 =�$/!$'%��3 &+'�$%++33 ��$>*!+# !-! %�-! B�� +%&�*/�2+� �-%5'�6#3 ��$*!+# )!$!+, W� �-!+# L *#0�-+%++�4(#��! 0�-��, &�%/! *#.���&�#/! K 0��#*#�%-: �#(%��&# $#��$�3� ���-% .%+%$#A!! ��

������� 0$!/%+3���3 ��#+5#$�+,% 0$�A%5'$, ������ ����� ! �����������$! $%)%+!! *#5#(! ;D BPP #-.�$!�/�/ GB & �#(%��&% .%+�& !�0�-:*'���3 1-�>

�! 0$%5��#&-3�6!% -!+%4+,4 $#��$�4 # & �#(%��&% #--%-%4 > &�*/�2+,% 0%$%��#>+�&�! B-%/%+��& & 1-��#"� T$�/���/# > 0��-%5�&#�%-:+���: 1-���& �+# �0$%5%-3%�0$!�$!�%�+,4 �0!��� PL ! 0$3/�'.�-:+'� '0#��&�' RP� � #-.�$!�/% !�0�-:*'���3��#+5#$�+,% 0$�A%5'$, ������ ����� ! ����������

� *#�-�(%+!% ��/%�!/ (�� & 0$!&%5%++," #-.�$!�/#" & �#(%��&% 1#*�&," !�>0�-:*'���3 0$�A%5'$, -!+%4+�.� $#��$�3 � 5�0�-+!�%-:+,/! �.$#+!(%+!3/!� �5��-#5% 0$!&%5%+, $%*'-:�#�, �%���&," !�0,�#+!4�

�#1��# 0�55%$2#+# �II� 0$�%�� JJ>F�>FFFJEL

�!�%$#�'$#

�� ��$%+��& �� �� X&$!��!�! ! !" ��/1!+#A!! & .%+%�!(%��!" /%��5#" 5!��$%�+�4�0> �!/!*#A!!� NN �+=�$/#A!�++,% �%"+�-�.!! �JJJ ` � �� ;>L�;� '"#(%&# X� �� '"#(%&# �� �� �!.-!+A%& �� �� �%+%�!(%��!4 #-.�$!�/ 1-�(+�4��$'��'$, & *#5#(#" 5&'/%$+�4 '0#��&�!� NN �+=�$/#A!�++,% �%"+�-�.!! �JJJ `�� �� �E>�G�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO'"#(%&# X-!�# �-%��#+5$�&+# M���M H�FFLL .� M=# #N3 LLLE 9EHL;8 ;;>�H>�E elitaQvmk�ugatu�ac�ru'"#(%&# �++# �%$.%%&+# M���M H�FFLP .�M=# '-��&%$5-�&# 5�HJ �&�;L 9EHL;8 �F>JG>JE annaQvmk�ugatu�ac�ru�!.-!+A%& �$�%/ �-#5!/!$�&!( M���M H�FFFF .� M=# '-� !+.#2%&# 5��FJ �&� LF 9EHL;8 �;>HL>�L ChiglintsevAVQmail�ru

Page 191: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ������������ ���������� �������� �J�

������������ ������� ����������� ����������

X����$%"�&

� $#1��% $#��/#�$!&#%��3 *#5#(# $#�0$%5%-%+!3 $#1�� 0� +%*#&!�!/,/ !�0�-+!>�%-3/ 9RkCmax8 ?�@� ����#+�&�# *#5#(!7

f9w8 D maxi���m

Xj�wj�i

Tij � minw�M

.5% m K (!�-� !�0�-+!�%-%4 Tij K &$%/3 &,0�-+%+!3 !�0�-+!�%-%/ i $#1��, j w K $#�0!�#+!% &,0�-+%+!3 $#1�� wj K +�/%$ !�0�-+!�%-3 &,0�-+3�6%.� $#1��' j M K /+�2%��&� 5�0'��!/," $#�0!�#+!4�

�-3 $%)%+!3 *#5#(! 9RkCmax8 0$%5-#.#%��3 !�0�-:*�&#�: &%$�3�+���+,% #-.�>$!�/, 3&-3�6!%�3 ���"#��!(%��!/! /�5!=!�#A!3/! 0$���," 5%�%$/!+!$�&#++,"#-.�$!�/�&� �5%3 ���"#��!(%���4 /�5!=!�#A!! *#�-�(#%��3 & �-%5'�6%/� � 1#*�>&�/ 5%�%$/!+!$�&#++�/ #-.�$!�/% &,5%-3%��3 )#. k +# ����$�/ 0$�!�"�5!� &,1�$#-:�%$+#�!&, !* +%����$�.� /+�2%��&# Hk� �#1��# &%$�3�+���+�.� #-.�$!�/# *#>�-�(#%��3 & /+�.��$#�+�/ *#0'��% 1#*�&�.� #-.�$!�/# 0$!(%/ +# )#.% k 1#*�&,4 #->.�$!�/ $#1��#%� +% � /+�2%��&�/ Hk # � %.� �-'(#4+� �0$%5%-%++,/ 0�5/+�2%��&�/H�k � ���-% �#25�.� *#0'��# *#0�/!+#%��3 +#!-'()%% !* 0�-'(%++," $%)%+!4� � 5�>

�-#5% & �#(%��&% 1#*�&�.� #-.�$!�/# $#��/#�$!&#%��3 ��/1!+#A!3 0$����.� 2#5+�.�#-.�$!�/# � 0$�A%5'$�4 ��'6%��&-3�6%4 '-'()%+!% 0�-'(%++�.� $#�0!�#+!3 0'>�%/ 0�!��# +# ��$'��'$% ���%5��&# *#5#++�4 �$!�!(%���4 0%$%��#+�&��4 5&'" $#1��! �$!�!(%��!/ 0%$%+#*+#(%+!%/ $#1��,� ���-%5'%��3 *#&!�!/���: B==%��!&+���!$#1��, &%$�3�+���+," #-.�$!�/�& �� ��-!(%��&# !�%$#A!4 ! 0#$#/%�$�& �-'(#4+�>.� &,1�$# �&�4��& 1#*�&�.� #-.�$!�/# # �#�2% �� $#*/%$# *#5#(!� �A%+%+, 5�-!�0�!/#-:+," ! *#&%5�/� +%�0�!/#-:+," $#�0!�#+!4 & /+�2%��&% &�%" $#�0!�#+!4 !+#45%+, '�-�&!3 0$! ����$," '�#*#++,% &%-!(!+, ��$%/3��3 � +'-� 0$! +%�.$#+!>(%++�/ '&%-!(%+!! (!�-# $#1��� �#�!/ �1$#*�/ +#45%+# &�*/�2+���: �'6%��&%++�0�&,�!�: & +%����$," �-'(#3" B==%��!&+���: 0�!��# �0�!/#-:+�.� $#�0!�#+!3 5-3*#5#( 1�-:)�4 $#*/%$+���! *# �(%� $%*��.� �.$#+!(%+!3 �1-#��! 0�!��# /+�2%��&�/� B-%/%+�#/! �0$%5%-%++�4 ��$'��'$,�

�������M��

�� Anderson E� J� Glass C� A� Potts C� N� Machine scheduling� NNLocal Search inCombinatorial Optimization� NEdited by E� Aarts and J� K� Lenstra� 9c8 �JJL JohnWiley   Sons Ltd�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�$%"�& X/!-: �$:%&!( M=!/��!4 .��'5#$��&%++,4 #&!#A!�++,4 �%"+!(%��!4 '+!&%$�!�%� H�FFGE .� M=# '-� �� ��$.% 5� HEN� �&� �F �%-� 9EHL;8 ;H>F;>;L =#�� 9EHL;8 ;H>F;>;L e>mail orekhovQugatu�ac�ru

Page 192: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�JP ������ ����������� ��������������

��MTM�������� ������ ����� ������� �����������������R������� � M������ ������������� �����

�����������

�� �� ��$1#(%&��#3

� $#1��% !��-%5'%��3 A%-�(!�-%++#3 +%-!+%4+#3 *#5#(# 5&'"'$�&+%&�.� 0$�.$#/>/!$�&#+!3� �#+, /+�2%��&� &!5�& !*5%-!4 I D f�� � � � � ng ! /+�2%��&� $#1�� J Df�� � � � �mg� �*&%��+, *#�$#�, ci +# $#*$#1���' ! 0�5.���&�' 0$�!*&�5��&# i>.� &!5#!*5%-!4< *#�$#�, gi +# 0$�!*&�5��&� %5!+!A, !*5%-!4 i>.� &!5#< ��-!(%��&� !*5%-!4i>.� &!5# pij +%�1"�5!/," 5-3 &,0�-+%+!3 j>4 $#1��,� �$%50�-#.#%��3 (�� !*5%-!%�#25�.� &!5# /�2+� !�0�-:*�&#�: 5-3 &,0�-+%+!3 -�1�.� ��-!(%��&# $#1��� �*>&%��+, �#�2% B��0-'#�#A!�++,% *#�$#�, dij �&3*#++,% � &,0�-+%+!%/ j>4 $#1��,!*5%-!3/! i>.� &!5# � �$%50�-#.#%��3 (�� dij �D dkj 0$! i �D k� �$%1'%��3 +#4�!

minxi�f���g

Xi�I

9cixi U gi maxj�J

pijy�ij8�

.5% 9y�ij8 K �0�!/#-:+�% $%)%+!% &�0�/�.#�%-:+�4 *#5#(!7

minyij�f���g

Xi�I

Xj�J

dijyij

Xi�I

yij D �� yij � xi� i � I� j � J�

� $#1��% 5��#*,&#%��3 (�� $#��/#�$!&#%/#3 *#5#(# 3&-3%��3 NP>�$'5+�4� ��>�#*#+� (�� %�-! /#�$!A# 9dij8 �&#*!&�.+'�#3 �&#*!&,0'�-#3 !-! �&3*+#3 ?� ;@ ��*#5#(# $%)#%��3 B==%��!&+��

�#1��# &,0�-+%+# 0$! 0�55%$2�% �II� JJ>F�>FFHG; ! IS� �+�%.$#A!3>;LH�

�������M��

�� ���� �%$%�+%& X�T��!/#5! ���� �%/%+�:%& 9�JLG8 =����� ������ ����� ������������� ��&��!1!$��7 �#'�#� EEE ��;� ���� ��$1#(%&��#3 ���� �%/%+�:%& ���� �#/#$5!+ 9�JJJ8 (��!��������� ������� ����������� � ������ ������������ �� ������� ��������������������� NN �!��$%�� #+#-!* ! !��-%5� �0%$#A!4� �%$�;� ��P N ;� �� EK��

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��$1#(%&��#3 ��5/!-# �&.%+:%&+# �+��!�'� /#�%/#�!�! !/� ������1�-%&# �� ��� 0$� ��#5%/!�# ��0��.# H ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3 �%-� 9G>EGE>;8EE>EL>GG =#�� 9G>EGE>;8E;>;�>JG e>mail7 orlabQmath�nsc�ru

Page 193: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ����������� �������������� �JL

�� ����� ��MTM�������� ������ ������������� ���M����

���� �%/%+�:%&

�#��/#�$!&#%��3 �-%5'�6#3 5&'"'$�&+%&#3 *#5#(#7

maxy��Y

mXj��

fj9xj8yj � maxfxjg

mXj��

cijxj � ci� i D �� n� xj � F� j D ��m�

.5% Y > /+�2%��&� �0�!/#-:+," $%)%+!4 y� D 9y��� y��� � � � � y

�m8 *#5#(!7

mXj��

hj9xj8yj � minfyjg

mXj��

yj D p� yj � fF� �g� � � p � m�

�5%�: fj9x8� hj9x8� j D ��m > +%0$%$,&+,% &�*$#��#�6!% ='+�A!! 9fj9F8 D hj9F8 DF� j D ��m8�

���#*#+� (���8 �0�!/#-:+�% $%)%+!% 0� 0%$%/%++,/ xj 5���!.#%��3 +# $#&%+��&#" hk9x�k8 D hl9x�l 8 k �D l 0$! x�k� x

�l � F # ��-!(%��&� +'-%&," *+#(%+!4 9x�j D F8 +% 1�-%% (%/ p� �<

;8 $#��/#�$!&#%/#3 *#5#(# �&�5!��3 � �5+�'$�&+%&�4 *#5#(%7

maxq

maxzj

maxwq

maxt

Xj�wq

fj9h��j 9t88zj�

t � F�mXj��

cijh��j 9t8zj � ci� i D �� n�

wq f�� ;� � � � �mg� jwqj D q� � � q � p�

zj � fF� �g�mXj��

zj D m� p U q�

.5% h��j 9t8 > �1$#�+#3 ='+�A!3 � hj9x8 j D ��m��1�'25#%��3 �-�2+���: $%)%+!3 B��4 *#5#(!� M�#*,&#���3 �-'(#! %� B==%��!&>

+�.� $%)%+!3��+#-�.!(+,% !��-%5�&#+!3 0$�&�53��3 5-3 *#5#(! � A%-%&�4 ='+�A!%4 &%$"+%.�

'$�&+3 &!5#mXj��

ffj9xj8yj U gj9xj89�� yj8g�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! 0�55%$2�% �II� JJ>F�>FFHG; ! IS� �+�%.$#A!3>;LH�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�%/%+�:%& �-#5!/!$ �!"�+�&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! !/� ������1�-%&# �� ��� 0$� ��#5%/!�# ��0��.# H ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3 �%-� 9G>EGE>;8EE>EL>GG =#�� 9G>EGE>;8E;>;�>JG e>mail7 orlabQmath�nsc�ru

Page 194: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

�JG ������ ����������� ��������������

�� ����� ��MTM�������� ������ ��������������R�T S�� �� ����M�S��

���� �%/%+�:%& ���� ��%0#+�&

�#��/#�$!&#%��3 �-%5'�6#3 5&'"'$�&+%&#3 *#5#(#7

maxx��X

Xi�I

Xj�J

vixij � max�vi

vi � F� i � I�

mini�I

9dij U vi8 � dj � j � J�

.5% X> /+�2%��&� �0�!/#-:+," $%)%+!4 x� D 9x�ij8 *#5#(!7Xi�I

Xj�J

9dij U vi8xij � min�xijX

i�I

xij D �� xij � fF� �g� i � I� j � J�

�5%�:7I D f�� � � � � ng > /+�2%��&� &!5�& 0$�5'�A!!<J D f�� � � � �mg > /+�2%��&� 0��$%1!�%-%4<vi > 0$!1#&�(+#3 ���!/���: +# i>� 0$�5'�A!� i � I<9dij U vi8 > *#�'0�(+�>�$#+�0�$�+,% *#�$#�, ����$,% �����3� !* �$#+�0�$�+," *#>�$#� d�ij j>.� 0��$%1!�%-3 ! *#�'0�(+�4 9��0'��+�48 A%+, 9ci U vi8 +# i>� 0$�5'�A!� .5% ci > %� �%1%���!/���: i � I� j � J <dj > 0$%5%-:+,% *#�'0�(+�>�$#+�0�$�+,% *#�$#�, j>.� 0��$%1!�%-3 j � J �

�1�*+#(!/ (%$%* Ji D fj j dij D mink�I dkjg i � I����#*#+� (�� %�-!

maxj�J

maxi�I

9dj � dij8 � ; minj�J

maxi�I

9dj � dij8

! /+�2%��&# Ji �D i � I Jk � Jl D k �D l k� l � I �� ��,��#+!% �0�!/#-:+," vi i � I �&�5!��3 � $%)%+!� �-%5'�)%4 *#5#(! ��7X

i�I

vijJij � max�vi

F � vi � minj�Ji

maxf9dj � dij8� Fg� i � I�

vk � vl � minj�Jk

9dlj � dkj8� k �D l� k� l�� I�

M��#+�&-%+, �&�4��&# B��4 *#5#(! 0�*&�-3�6!% 0$%5-�2!�: 5-3 %� $%)%+!3#-.�$!�/ � �$'5�%/����:� O9nm8�

��/%(#���3 ! 5$'.!% B==%��!&+� $#*$%)!/,% �-'(#! !�"�5+�4 *#5#(!��#1��# &,0�-+%+# 0$! 0�55%$2�% �II� JJ>F�>FFHG; ! IS� �+�%.$#A!3>;LH�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�%/%+�:%& �-#5!/!$ �!"�+�&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! !/� ������1�-%&# �� ��� 0$� ��#5%/!�# ��0��.# H ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3 �%-� 9G>EGE>;8EE>EL>GG =#�� 9G>EGE>;8E;>;�>JG e>mail7 orlabQmath�nsc�ru

��%0#+�& �-%��#+5$ �$:%&!( ��&��!1!$�!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� '-� �!$�.�&# ; ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3�

Page 195: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ����������� �������������� �JJ

��MTM�������� ������ � ����������

��� �#$!+

� 0��-%5+!% .�5, &+!/#+!% !��-%5�&#�%-%4 0$!&-%�#�� 5&'"'$�&+%&,% *#5#(!/#�%/#�!(%���.� 0$�.$#//!$�&#+!3� � ��+�&+�/ !��-%5�&#+!3 0��&36%+, +%0$%>$,&+,/ *#5#(#/� � $#1��% ?�@ $#��/#�$!&#%��3 5!��$%�+#3 5&'"'$�&+%&#3 *#5#(#��-!*�#3 � +%4 *#5#(# 0���#&-%+# ! !��-%5'%��3 *5%�:�

�'��: I D f�� ���� ng J D f�� ����mg x D 9x�� ���� xn8 y D 9yij8i�I�j�J� �-3 �0$%5%>-%++���! �(!�#%��3 (�� n � m�

�&'"'$�&+%&#3 *#5#(# � +#*+#(%+!! =�$/'-!$'%��3 & �#��/ &!5%7

miny�Y ��x

Xi�I

Xj�J

aijyij �� maxx�X

� 9�8

.5% X D fx 7 xi � fF� �g 9i � I8�Pi�I

xi D mg # Y �9x8 K /+�2%��&� �0�!/#-:+,"

$%)%+!4 *#5#(! Xi�I

Xj�J

bijyij �� maxy�Y �x

� 9;8

�5%�: Y 9x8 D fy 7 yij � fF� �g�Pi�I

yij D ��Pj�J

yij D xi 9i � I� j � J8g� �# &��$�/ '$�&+%

$#��/#�$!&#%��3 �-#��!(%��#3 *#5#(# � +#*+#(%+!!� �$%5-�2%+ ! $%#-!*�&#+ /%��5&%�&%4 ! .$#+!A 0�*&�-3�6!4 0�-'(#�: $%)%+!% & �-'(#% +%%5!+��&%++���! $%)%>+!4 �#� *#5#(! +!2+%.� �#� ! &%$"+%.� '$�&+3� �!�-%++,4 B��0%$!/%+� 0��#*#- %.�&,���'� B==%��!&+���:�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! 0�55%$2�% �II� 9��5 0$�%��# JJ>F�>FFHG;8�

�������M��

�� ��$1#(%&��#3 �� �� �%/%+�:%& �� �� �#/#$5!+ �� �� �&'"'$�&+%&#3 B���$%/#-:>+#3 *#5#(# &,1�$# +�/%+�-#�'$, !*5%-!4� K ��&��!1!$��7 �JJL� K ;P �� 9�$%0$!+�N ���� �!1� ��5>+!%� �+>� /#�%/#�!�!< N H�8�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#$!+ �'5�-:= !"#4-�&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! �� ��� �5$%�7 PEF FJF ��&��!1!$�� 0$��0� ��0��.# H �%-%=�+7 9EGE>;8EE>EH>JL e>mail7 orlabQmath�nsc�ru

Page 196: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;FF ������ ����������� ��������������

��MTM�������� ���������� ����� ���M�������� ������

��� �#$!+ ���� �3��!+

�'��: I D f�� ���� ng J D f�� ����mg x D 9x�� ���� xn8 y D 9y�� ���� ym8 u D 9uij8i�I�j�J ��#5#+, 5&% /#�$!A,7 C D 9cij8i�I�j�J ! D D 9dij8i�I�j�J �

�#��/#�$!&#%��3 �-%5'�6#3 5&'"'$�&+%&#3 *#5#(#7

maxy�Y ��x

Xi�I

Xj�J

9cij � uij8xiyj �� max�x�u�X

� 9�8

.5% X D f9x� u8 7 x � F�Pi�I

xi D �g # Y �9x8 K /+�2%��&� �0�!/#-:+," $%)%+!4*#5#(! +!2+%.� '$�&+3 X

i�I

Xj�J

9dij U uij8xiyj �� maxy�Y

� 9;8

�5%�: Y D fy 7 y � F�Pj�J

yj D �g��$%5-�2%+ ��(+,4 /%��5 $%)%+!3 �=�$/'-!$�&#++�4 ���0%$#�!&+�4 *#5#(! 9$#�>

�/#�$!&#%��3 /#��!/'/ 0� y & 9�88 �&�536!4�3 � $%)%+!� m �0%A!=!(%��!" *#5#(-!+%4+�.� 0$�.$#//!$�&#+!3� � #+�!���0%$#�!&+�/ �-'(#% 9!/%%/ /!+!/'/ 0� y &9�88 $%)%+!% /�2%� +% �'6%��&�&#�: +� .#$#+�!$�&#+� 0���$�%+!% >�0�!/#-:+�.�$%)%+!3� �=�$/'-!$�&#+, +%����$,% �1�16%+!3 *#5#(! 9�8K9;8 5-3 ����$," $%)%>+!% ��$�!��3 #+#-�.!(+��

�#1��# &,0�-+%+# 0$! 0�55%$2�% �II� 9��5 0$�%��# JJ>F�>FFHG;8 ! 0$�.$#//,��+�%.$#A!3�90$�%�� ;LH8�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#$!+ �'5�-:= !"#4-�&!( �3��!+ �$�%/ �#-%$:%&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! �� ��� �5$%�7 PEF FJF ��&��!1!$�� 0$��0� ��0��.# H �%-%=�+7 9EGE>;8EE>EH>JL 9EGE>;8EE>EL>GG e>mail7 orlabQmath�nsc�ru

Page 197: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ����������� �������������� ;F�

���������R�� K ��������� ��������MTM��������� ������������� ��������������

�����-3�'+�&

� �JG� .�5' 1,-� 0��#*#+� (�� *#5#(! 5&'"'$�&+%&�.� -!+%4+�.� 0$�.$#//!$�>&#+!3 ��+��3��3 � �-#��' NP > �$'5+," *#5#( ?�@� ��*2% 1,-� '��#+�&-%+� (�� B����-#�� *#5#( 3&-3%��3 NP > �$'5+,/ & �!-:+�/ �/,�-% ?�@� ��-%% ��.� NP > �$'5+�4��#*#-#�: *#5#(# ��,��#+!3 -��#-:+�.� B���$%/'/# ?�@� � ?;@ 1,-� 0��#*#+� (��*#5#(# ��,��#+!3 5�0'��!/�.� $%)%+!3 ��+��!��3 � �-#��' NP > �$'5+," & �!-:+�/�/,�-% *#5#(�

�5!+ !* 0%$&," 0�-!+�/!#-:+� > $#*$%)!/," �-#���& *#5#( 5&'"'$�&+%&�.� -!>+%4+�.� 0$�.$#//!$�&#+!3 1,- 0$%5-�2%+ & ?;@� � 0��-%5��&!! #+#-�.!(+,% $%*'-:>�#�, 1,-! 0�-'(%+, 5-3 *#5#( 5&'"'$�&+%&�.� &�.+'��.� ! �&#5$#�!(+�.� 0$�.$#/>/!$�&#+!3�

� 5#++�/ ���16%+!! '��#+#&-!&#%��3 0�-!+�/!#-:+#3 $#*$%)!/���: �-%5'�6%4*#5#(!

minx�y

cx U dy 9�8

CxU D9z8y � b� 9;8

x� y � F� 9E8

.5% z O �0�!/#-:+�% $%)%+!% +%-!+%4+�4 *#5#(! � $��*#�%7

maxz

yQ9z8 9H8

yz � w� 9�8

z � F� 9P8

�$%50�-#.#%��3 (�� y� z � Rm� w � F Q9z8 D 9Q�9z�8� ���� Qm9zm88� D9z8 D 9d�si Ud�siQi9zi88 s � �� I'+�A!! Qi9zi8 3&-3���3 &�.+'�,/! �'��(+�>-!+%4+,/! ='+�>A!3/! �0$%5%-%++,/! 5-3 &�%" zi � F ! Qi9F8 D F� �#25#3 ='+�A!3 Qi ��5%$2!���+%(+�% (!�-� -!+%4+," �%./%+��& � +%��$!A#�%-:+,/! '.-�&,/! ��B==!A!%+�#>/!� ��"�5+,% 5#++,% *#5#(! 3&-3���3 $#A!�+#-:+,/! (!�-#/!��������� (�� ����� 1$2,1>2 ��*������� ���� ������ ������ � ���������� ��!��� �� ������ ��)���� ��� �������� ���������� ��� ������ ������������ � �� ��� ����� �! ��)����

�������M��

�� L�N�Vicente P�H�Calamai 9�JJH8Bilevel and Multilevel Programming" A Bibliographyreview� Journal of Global Optimization v� � ;J�>EFP�;� ��(%��& ���� �-3�'+�& ����9�JJL8 ����� ����� �����) �� ����� ����� ���!����������� �������� ����� ������� �!��$%�+,4 #+#-!* ! !��-%5�&#+!% �0%$#>A!4 �%$!3 ; ��/ H N ; ;E>EE�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�-3�'+�& �-%��#+5$ �-#5!/!$�&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! !/� ������1�-%&# ����� 0$���#5%/!�# ��0��.# H ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3 �%-� 9G>EGE>;8 EE>;F>GP =#�� 9G>EGE>;8 EE>;�>JG e>mail7 apljasQmath�nsc�ru

Page 198: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;F; ������ ����������� ��������������

��������������� ������������� ���M��� � �����T������T���������T ���M��M��T

�T��$!-'A�!4

�#��/#�$!&#%��3 /+�.�'$�&+%&#3 !%$#$"!(%��#3 �!��%/# ��$+%&�4 5$%&�&!5+�4��$'��'$, & ����$�4 $#�0$%5%-3%��3 �5+�$�5+,4 $%�'$� 0$! B��/ A%+�$ �!��%/,9$#�0$%5%-!�%-: $%�'$�#8 ����&%���&'%� ��$+� 5%$%&# 0��$%1!�%-! $%�'$�# > -!>��:3/ # ���#-:+,% &%$)!+, > 0%$%5#��(+,/ B-%/%+�#/� �$%5! B-%/%+��& &,5%-3>���3 ���+�$�-!$'%/,%� ����$,% �0$%5%-3�� '�-�&!3 B==%��!&+�.� ='+�A!�+!$�>&#+!3 $#��/#�$!&#%/�4 �!��%/,� �#5#(# $#�0$%5%-%+!3 $%�'$��& ��#&!��3 �#� /+�>.��$!�%$!#-:+#3 *#5#(# � -!+%4+,/! 5&'���$�++!/! �.$#+!(%+!3/! �$#+�0�$�+�.��!0# ! �$!�%$!3/! ����$,% �0$%5%-3���3 &!5�/ &,1$#++," ='+�A!4 0$%50�(�%>+!3� � �-'(#% 0$�!*&�-:+�4 ��$'��'$, !%$#$"!(%���4 �!��%/, 91%* 0$%50�-�2%+!4'�-�&!4 5$%&�&!5+���!8 0�5�1+,% *#5#(! 0�5$�1+� $#��/#�$!&#-!�: & ?�@� ��+�&>+#3 0$�1-%/# �16%.� �-'(#3 "#$#��%$!*'%��3 ���'���&!%/ B==%��!&+," 0$�A%5'$�0$%5%-%+!3 ��&/%��+���! �!��%/, �.$#+!(%+!4 *#5#(!�

� $#/�#" �16%4 /�5%-! $#��/#�$!&#%��3 *#5#(# .#$#+�!$�&#++�.� $#�0$%5%-%+!3$%�'$�# ��.5# 0��$%1!�%-! $%�'$�# $#*1!&#���3 +# 5&# �-#��#7 ��+�$�-!$'%/,% !+%��+�$�-!$'%/,%� ��+�$�-!$'%/,4 B-%/%+� !/%%� &�*/�2+���: 0�-'(#�: -�1�%��-!(%��&� $%�'$�# & 0$%5%-#" 0$%5���#&-%++�.� %/' .#$#+�!$�&#++�.� !+�%$&#-#��$%5-�2%+# B==%��!&+#3 0$�A%5'$# $%)%+!3 *#5#(! �0$%5%-%+!3 �0�!/#-:+�4 ��&�>�'0+���! .#$#+�!$�&#++," !+�%$&#-�& ����$#3 ��#&!��3 �#� &*#!/�*#&!�!/#3 0�>�-%5�&#�%-:+���: *#5#( -!+%4+�.� 0$�.$#//!$�&#+!3 �0%A!=!�# ����$," 95&'���>$�++!% -!+%4+,% +%$#&%+��&# �$#+�0�$�+�.� �!0#8 0�*&�-3%� +#"�5!�: !" $%)%+!3� !�0�-:*�&#+!%/ 0���$�%++," $%�'$$%+�+," ����+�)%+!4�

�#1��# &,0�-+%+# 0$! 0�55%$2�% �II� .$#+� FF>F�>FFEGH�

�������M��

�� �$!-'A�!4 �T� +�.��$!�%$!#-:+�% $#�0$%5%-%+!% �5+�$�5+�.� $%�'$�# & !%>$#$"!(%��!" �!��%/#"� NN �&��/#�!�# ! �%-%/%"#+!�#� ���&# �JJP� N; ��;H>;J�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�$!-'A�!4 !"#!- T#!/�&!( �!2%.�$�5��!4 .��'+!&%$�!�%� ����&.�$�5 PFEF;H '-� �#*#+��#3 +#1%$%2+#3 5� �E �&�E 9GE�;8 EP>G;>J� prilQliso�sandy�nnov�su

Page 199: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ ����������� �������������� ;FE

� ��MTM�������� ������ ������������ �����������T �� ���� ������������

�����#/#$5!+

�#��/#�$!&#%��3 *#5#(# �-%5'�6%.� ��5%$2#+!3� �/%���3 +%���-:�� 0'+���&0$�!*&�5��&# ! 0��$%1-%+!3 +%����$�.� 0$�5'��#� �1C%/, 0$�!*&�5��&# &,1!$#>%� 0$�!*&�5!�%-: +� 0%$%&�*�' 0$�5'��# ��'6%��&-3%� 0��$%1!�%-: /!+!/!*!$'3�$#+�0�$�+,% $#�"�5,� �$%1'%��3 +#4�! /!+!/'/ 0$�!*&�5��&%++," *#�$#� � '(%>��/ $%#�A!! 0��$%1!�%-:���4 ���$�+,� I�$/#-:+#3 0���#+�&�# *#5#(! *#�-�(#%��3& /!+!/!*#A!! �'//,

nXi��

gi9vi8 UnXi��

mXj��

cijx�ij � min

�vi�x�ij�

0$! �.$#+!(%+!3" vi � ?F� ai@ i � ?�� n@ ! '�-�&!! (�� &%���$ 9x�ij8 3&-3%��3 �0�!>/#-:+,/ $%)%+!%/ �-%5'�6%4 *#5#(!7

nXi��

mXj��

dijxij � min�xij

�mXj��

xij D vi�nXi��

xij D bj� xij � F� i � ?�� n@� j � ?��m@�

�%$%/%++,% vi xij �1�*+#(#�� �1C%/, 0$�!*&�5��&# ! 0���#&�� 0$�5'��#� �+#-�>.!(+#3 *#5#(# 1%* '(%�# �.$#+!(%+!4 +# �1C%/ 0$�!*&�5��&# !��-%5�&#-#�: & ?;@�#�$!A# 9dij8 +#*,&#%��3 ����� ������� ?�@ %�-! dij � dkj � dil � dkl 0$! -�1,"i � k ! j � l�

������������ ���� ������ 9dij8 � ������ ���"�� � ������ �� �������� ���

��� � � �� �� �� ������ � ������ � ������ � ���#����� ������ ��������� ���7

nXi��

fi9wi��� wi8 � min�wi

F D w� � w� � � � � � wn DmXj��

bj� wi � wi�� � ?F� ai@� i � ?�� n@�

���-%5+33 *#5#(# $%)#%��3 /%��5�/ 5!+#/!(%���.� 0$�.$#//!$�&#+!3��#1��# 0�55%$2#+# .$#+��/ �II� JJ>F�>FFHG;�

�������M��

�� �����%$%�+%& X�T��!/#5! �����%/%+�:%& 9�JLG8 =����� ������ ����� ������������� ��&��!1!$��7 �#'�#� EE� ��;� ������$1#(%&��#3 �����%/%+�:%& �����#/#$5!+ 9�JJJ8 (��!��������� ����������������� � ������ ������������ �� ������� �������������� �������� �!��$%�� #+#-!* ! !��-%5� �0%$#A!4� �%$� ;� ��P ` ;� �� EK���OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#/#$5!+ �$!4 �-#5!�-#&�&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! !/� ������1�-%&# �� ��� 0$� ��#5%/!�# ��0��.# H ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3 �%-� 9G>EGE>;8 EE>EL>GG =#�� 9G>EGE>;8 EE>;�>JG E>mail7 orlabQmath�nsc�ru

Page 200: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;FH ������ �������� ����� ���������� �������

��������������� ��T�������T T������������ ����S����T������� �� ������ ������������� ������������

��#0!+ ���� ��$&#��&# ����

� $#1��% $#��/#�$!&#���3 &�0$��, �0�!/!*#A!! �%"+!(%��!" "#$#��%$!��!� �3>2%-�.� /+�.�A%-%&�.� ��#+�#� �# ��#5!! 0$�%��!$�&#+!3 & ��+�&' &�%" $#�(%��&0#$#/%�$, *#�-#5,&#���3 5���#��(+� 0$�!*&�-:+� 1%* '(%�# �%+5%+A!4 $#*&!�!3 (�� & ��+%(+�/ �(%�% ��$#2#%��3 +# �#(%��&% !*5%-!3� ��B��/' +# +#(#-:+�/ B�#>0% 0$�%��!$�&#+!3 �'6%��&'%� 0$�1-%/# �0$%5%-%+!3 �0�!/#-:+," "#$#��%$!��!���$�&%5%++,4 #+#-!* �%"+!(%��!" "#$#��%$!��!� $35# ��#+��& 0��#*#- (�� B�! 0#>$#/%�$, 0�5(!+3���3 +�$/#-:+�/' *#��+' $#�0$%5%-%+!3 /%25' +!/! �'6%��&'%���$$%-3A!�++#3 *#&!�!/���: ! 0$! !" /�5%-!$�&#+!! &�*/�2+� 0$!/%+%+!% /%��5�&/#�%/#�!(%���4 ��#�!��!�!��-3 $%)%+!3 0���#&-%++�4 *#5#(! $#*$#1��#+# /#�%/#�!(%��#3 /�5%-: 0� �0�!/!>*#A!! "#$#��%$!��!� � '(%��/ $#1�� &,0�-+3%/," � /#��!/#-:+�4 0$�!*&�5!�%-:>+���:�� �#�2% ����#&-%+ �%���&,4 0$!/%$ 0� ��+�&+,/ �!0#/ �1$#1���!7 ��(%+!3 �&%$-%+!3 ! =$%*%$�&#+!3� �0�!/!*#A!3 &%5%��3 !�0�-:*'3 &��$'� 0$�!*&�5+'�$#�0$%5%-%+!3 B��0-'#�#A!�++," 0#$#/%�$�&� �0$%5%-33 0%$&,4 ! 0��-%5+!4 /#�>�!/'/ �!��%/# &,1!$#%� $%��/%+5'%/,% "#$#��%$!��!�!� �#-%% & �!��%/% 5!#-�.# 0$! /�5%-!$�&#+!! +# ��/0:��%$% �0$%5%-3���3 '2% �0�!/#-:+,% "#$#��%$!��!>�!� ��+�&+,/! 0%$%/%++,/! 5-3 $#�(%�# 3&-3���37 5!#/%�$ �1$#1���! ���$���: �!-# $%*#+!3 ! 5$� ����$,% /�.'� 1,�: �0$%5%-%+, 0� =�$/'-#/ �%�$!! $%*#+!3��!��%/# 0$%5-#.#%� �#�!% ��+�&+,% �%"+!(%��!% "#$#��%$!��!�! �#� (#����' $%*#>+!3 /�/%+� $%*#+!3 B==%��!&+'� /�6+���:� ��-'(%++,% �0�!/#-:+,% 0#$#/%�$,!�0�-:*'���3 0$! $#�(%�% ! 0$�%��!$�&#+!! �32%-�.� /+�.�A%-%&�.� ��#+�#�� $%*'-:�#�% 0$�5%-#++�4 $#1��, 1,-# $#*$#1��#+# ! +#0!�#+# 0$�.$#//# /�5%-!>$�&#+!3 �%"+!(%��!" "#$#��%$!��!� /%�#--�$%2'6%.� ��#+�# 0�*&�-3�6#3 �0$%>5%-!�: �0�!/#-:+,% .$#+!A, &#$:!$�&#+!3 B��0-'#�#A!�++," 0#$#/%�$�& ! �#��-%5��&!% '&%-!(!�: 0$�!*&�5!�%-:+���: �+!*!�: /%�#--�%/����: '/%+:)!�: &$%>/3 +# 0$�%��!$�&#+!% ��#+�# ! & ��+%(+�/ �(%�% 0�&,�!�: ��+�'$%+���0���1+���:!*5%-!3�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��#0!+ �-#5!/!$ �$!.�$:%&!( ��$&#��&# �#5%25# �%++#5:%&+# ��&��!1!$��!4 ���'5#$��&%++,4 �%"+!(%��!4 M+!&%$�!�%� 0$� �#$-# #$��# ;F ��&��!1!$�� PEFFJ; ����!3 �%-� 9G>EGE>;8 HP>�L>LL

Page 201: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ �������� ����� ���������� ������� ;F�

�� ����� ����� IM��S����������� � �������� �������

����-5!+#

� 5��-#5% $#��/#�$!&#%��3 B��-�.�>B��+�/!��>/#�%/#�!(%��#3 /�5%-: ='+�A!�>+!$�&#+!3 ! $#*&!�!3 $%.!�+# �%-:���"�*34��&%++,% ! 0$�/,)-%++,% *�+, ����$�.�$#�0�-�2%+, &5�-: /#.!��$#-:+�4 $%�! &,�%�#�6%4 !* �*%$# ! &0#5#�6%4 & /�>$%� �%�# *#$%.'-!$�&#+# 0-��!+#/! .!5$�B-%��$���#+A!4 ! &�5�*#1�$#/! �$'0+,".�$�5�& $#�0�-�2%++," &5�-: $%�!�

�.$#+!(%+!3 0� 0$�!*&�5��&' 0$�5'�A!! ! !�0�-:*�&#+!� $%�'$��& !/%�� &!5

P 9Ax � B�8 � p� 9�8

.5% A B >*#5#++,% /#�$!A, ����&%���&'�6!" $#*/%$�& � > �-'(#4+,4 &%���$ ���>��& $%� *#��+' $#�0$%5%-%+!3 �!$��+# �$%�:%.� $�5# p > *#5#++#3 &%$�3�+���:&,0�-+%+!3 '$�&+3 9�8�

S%-: .!5$�B+%$.%�!�! �����!� & /#��!/!*#A!! �2!5#%/," 5�"�5�& �� 0$�!*&�5>��&# B-%��$�B+%$.!! $%.'-!$'%/�.� 0-��!+#/! .!5$�B-%��$���#+A!4� M�-�&!3 0�&�5�*#1�$' !* /#.!��$#-:+�4 $%�! ! 0$!����& +# 0$�/,)-%++,% �%-:���"�*34��&%+>+,% ! 1,��&,% +'25,< �1C%/, &�5, & �*%$% ! &�5�"$#+!-!6%< '$�&%+: *#.$3*+%+!3&�5, �0!�,&#���3 �#�2% -!+%4+,/! '$#&+%+!3/! ! +%$#&%+��&#/!�

�#*-!(+,% A%-! 0$%�-%5'%/,% 0$�!*&�5!�%-3/! ! 0��$%1!�%-3/! 0$!&�53� �/+�.��$!�%$!#-:+�4 /�5%-! ���"#��!(%���.� 0$�.$#//!$�&#+!3 � �.$#+!(%+!3/!�!0# 9�8� X�# *#5#(# $%5'A!$'%��3 � +%����$�4 �0%A!#-:+�4 +%3&+� *#5#++�4 5%>�%$/!+!$�&#++�4 *#5#(% /#�%/#�!(%���.� 0$�.$#//!$�&#+!3�

X�&!&#-%+�+#3 5%�%$/!+!$�&#++#3 *#5#(# +��!� 1-�(+�>5!#.�+#-:+,4 "#$#��%$ 0$!(%/ 5-3 5&'" > �$%" 5%�3���& 0$�!*&�5!�%-%4 ! 5&'" .!5$���#+A!4 /#�$!A# �.$#>+!(%+!4 ��5%$2!� 1�-%% �F�� ��%0%+! B-%/%+��&�

���$5!+!$'�6#3 *#5#(# ����&%���&'%� �&3*,&#�6!/ �.$#+!(%+!3/ 0� &�5+,/$%�'$�#/ ����$,% 3&-3���3 �16!/! 5-3 &�%" '(#��+!��& &�5�"�*34��&%++�.� ��/>0-%��#�

�-3 $%)%+!3 B��4 *#5#(! 1,- $#*$#1��#+ �0%A!#-:+,4 /%��5 5%��/0�*!A!! ��+�>&#+,4 +# /%��5#" 0�.$'2%+!3>���%(%+!3�

�$�&%5%+, 0%$&,% B��0%$!/%+�#-:+,% $#�(%�, +# 0$!/%$% $%.!�+# �$!#+.#$:3 .5% /#.!��$#-:+�4 $%��4 1,-# �+.#$# ! $#�0�-�2%++,% +# +%4 �$�'���#3 ! �$#���#3.!5$�B-%��$���#+A!!�

�������M��

�� �'-#��& ���� %��5, 0�.$'2%+!3 & *#5#(#" �0�!/!*#A!!�> ��&��!1!$���7 ��#'>�#� �JLL�;� �'�%& ���� ��-5!+# ���� �5%-: �0�!/!*#A!! �%-:���"�*34��&%++�.� 0$�!*&�5>��&# & 1#��%4+% $%�! �+.#$#NN�%*!�, 5��-#5�& ��+=%$%+A!! 0��&36%++�4 P�>-%�!��$��T� �����!2%+!3 #.$#$+�4 +#'�! > 0$�!*&�5��&'�> �$�'���7 �$��T� �JJJ�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��-5!+# �#�#-:3 �-#5!/!$�&+#�$��T� �#=%5$# B��+�/!(%���4 �!1%$+%�!�!PPHFEG �$�'��� 0��-�5%2+,4e>mail7 rectorQishi�baikal�ru

Page 202: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;FP ������ �������� ����� ���������� �������

�������>��������������� ��T������� �����M�������������� ��� �T �����

������+5#$: ��X��'$!+��!4 ������(#$�&# �����%2#%&#

��� &�*$#��#�6!4 !+�%$%� � �%/#�!�% �1C%��+�>�$!%+�!$�&#++�.� ��+��$'!$�&#>+!3 0$�.$#//+," �!��%/ 3&!-�3 ��!/'-�/ 5-3 0$%5��#&-%+!3 $%*'-:�#��& 0$�%��#7�!��%/, �1C%��+�>�%"+�-�.!(%���4 �$!%+�#A!! 9����8�

��*5#+!% 0$!�-#5+," �!��%/ !�0�-:*'�6!" �1C%��+�% &��0$!3�!% 5#++," ��+�>&,&#%��3 +# +%����$�/ ��+��$'��!&% > �1C%��+�4 /�5%-!� �5%-: 5�-2+# �1%�0%(!>&#�: +%�1"�5!/,4 ! 5���#��(+,4 5���'0 �!��%/#/ � /!$' �1C%���& �#� & (#��!��$'��'$, �#� ! & ='+�A!�+#-:+," &�*/�2+���3"�

����$�%+!% /�5%-! 1#*!$'%��3 +# 0�+3�!! �-#�� �1C%���& �0$%5%-3�6!/ �1C%�>�, �5+�4 ��$'��'$, ! %5!+�4 ='+�A!�+#-:+�4 +#0$#&-%++���!� �-#�� �1C%���& !/%>%� ��1��&%++'� #�$!1'�!�' ��5%$2#6'� .$'00�&,% "#$#��%$!��!�! ! ��1��&%++,%�&3*! 0�*&�-3�6!% .$'00!$�&#�: �1C%��, /�5%-!� � ������� ��� /�5%-: 5�-2>+# �1%�0%(!&#�: 0#$#--%-:+�% ='+�A!�+!$�&#+!% /+�2%��&# 0$!�-#5+," �!��%/ �#�& $#/�#" -��#-:+�4 ��/0:��%$+�4 �%�! �#� ! &�*/�2+� & .-�1#-:+," �%�3"� �$!>�-#5+,% �!��%/, 5�-2+, 0$%5���#&-3�: 0�-:*�&#�%-� ��&$%/%++,4 /+�.����++,4!+�%$=%4� ! & 0�-+�/ �1C�/% ��&�1�25#�: %.� �� +%�1"�5!/���! ����� ������� ��������� �� &$%/3 2!*+%++�.� A!�-# 5�-2+, 0�55%$2!&#�:�3 �#� ='+�A!�+#-:+,% �#� ! ��$'��'$+,% /�5!=!�#A!! � ��$$%��+,/ +% +#$')#�6!/ A%-���+���: 0%$%>"�5�/ /�5%-! !* �5+�.� �����3+!3 & 5$'.�%� � $%#-!*#A!! 0���#&-%++�4 *#5#(! 1,-!$#*-!(+,% &#$!#+�,� � $%*'-:�#�% 1,-� 0$!+3�� $%)%+!% � ��*5#+!! �%"+�-�.!>(%���.� !+��$'/%+�# ��+��$'!$�&#+!3 �1C%��+," /�5%-%4 O �%+%$#��$# /�5%-%4�� ��+�&% $%#-!*#A!! 1,-# *#-�2%+# !+�%$0$%�#A!�++#3 �"%/#7 .%+%$#��$ /�5%-%4��+��$'!$'%� +%�'� ��$'��'$' O ������� ���� ����$#3 & �&�� �(%$%5: !+�%$>0$%�!$'%��3 ������������ ������� �+�%$0$%�#��$ �$!%+�!$�&#+ +# $#1��' &/�+�0�-:+�/ $%2!/% ! & -��#-:+�4 �%�!� �%�%&#3 &%$�!3 0$�.$#//+�.� �1%�0%(%+!3��������+�&#+# +# #$"!�%��'$% ��-!%+�>�%$&%$�� !�0�-:*�&#+!%/ �0%A!=!�#A!4DCOM ! �%/%4��&# 0$�����-�& Internet 9TCPNIP8� %"#+!*/, !/0�$�# ! B��0�$�#0�*&�-3�� 0%$%&%��! ��#+5#$�+,% =�$/#�, 5#++," 9ODBC DXF8 & ��1��&%++,%�$!.!+#-:+,% =�$/#�, (�� 5#%� &�*/�2+���: ��$�!�: �%"+�-�.!(%��!% /�5%-! &%5!+�4 !+�%.$!$�&#++�4 �$%5%� �#*�&�% 0$�.$#//+�% �1%�0%(%+!% ��/0-%��# $%#-!>*�&#+� +# 3*,�% Visial CUU ��F 0�5 WINDOWS 9J� JG NT8� �# ��+�&% $#*$#1��#++�4�%"+�-�.!! ��*5#+# ��&��'0+���: 0$!�-#5+," �!��%/ $#*-!(+�.� +#*+#(%+!3 9��0�>.%�5%*!3 !+2%+%$+,% �%�! /�5%-!$�&#+!% ($%*&,(#4+," �!�'#A!4 ! 5$�8

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��+5#$: �$!4 �#�!-:%&!( �'$!+��!4 �-#5!/!$ X5'#$5�&!( ��(#$�&# �-:.# �!��-#%&+# �%2#%&# �-%+# ��$!��&+# ��� ��#1�$#��$!3 ����� ��&��!1!$�� JF 0$>� ��#5%/!�# �#&$%+�:%&# P# 9EGE>;8E;>H�>PG bebQnips�riss>telecom�ru

Page 203: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ �������� ����� ���������� ������� ;FL

OPTIMAL ADVERTISING POLICIES FOR SEASONAL PRODUCTS7A GENERAL LINEAR MODEL

I�A� Bykadorov A� Ellero E� Moretti

We consider a �rm that seeks the minimum of total expenditure in advertising duringthe time interval ?t�� t�@ given that some previously �xed levels of goodwill and inventorymust be reached at time t�� The only control allowed to the �rm is on the advertisingexpenditure level a9t8� Goodwill 9A9t88 and sales 9x9t88 levels at time t are the statevariables� More precisely we consider the optimal control problem

P 7 minimize J9a8 DZ t�

t�a9t8 dt�

subject to ¡x9t8 D ��x9t8 U �xA9t8 U �x9� � �8a9t8� t � ?t�� t�@�

x9t�8 D F� x9t�8 D m�¡A9t8 D x9t8� �AA9t8 U �A�a9t8� t � ?t�� t�@�

A9t�8 D A� A9t�8 D ¢A�

a9t8 � ?F� a@� t � ?t�� t�@�

where � and 9� � �8 are respectively the advertising and promotion weights of the totalcommunication expenditure 9� � ?F� �@8 �A is the advertising productivity 9in terms ofgoodwill8 �A � F �x is the promotion productivity 9in terms of sales8 �x � F �x isthe goodwill productivity 9in terms of sales8 �x D �x9p8 � F �A is the goodwill decayparameter �A � F � is the saturation adversion parameter � � F and is the word>of>mouth communication productivity 9in terms of goodwill8 � ��

The model generalizes the Nerlove and Arrow model ?;@ and into account some othergeneralizations of that model 9see e�g� ?�@8� A parametric analysis of problem P allows todetermine all types of optimal advertising policies�

This research was supported by University of Venice and in part by CNR�

REFERENCES

�� D�Favaretto B�Viscolani 9;FFF8 A single production and advertising control problemwith bounded 4nal goodwill� Journal of Information and Optimization Sciences to appear�;� M�Nerlove K�J�Arrow 9�JP;8 Optimal advertising policy under dynamic conditions�Economica � �;J>�H;�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOBykadorov Igor Aleksandrovich Sobolev Institute of Mathematics pr� Academica Koptyuga H Novosibirsk PEFFJF Russia phone7 9G>EGE>;8 EE>FF>JH fax7 9G>EGE>;8 EE>;�>JG e>mail7 bykadQmath�nsc�ruAND Universit�a di Venezia e>mail7 bykadoroQunive�it

Andrea Ellero Elena Moretti Universit�a di Venezia Dorsoduro EG;�NE EF�;E Venezia Italy phone7 9EJ>H�8 LJFJEFNLJFJ;L fax7 9EJ>H�8 �;;�L�P e>mail7 elleroQunive�it

Page 204: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;FG ������ �������� ����� ���������� �������

������ ������������������� � �������������� ����������� ����������R�T IM��S��

���� �!�!+ ��� ��0�&#

M*-�&,% 5#&-%+!3 ! $#�"�5, +# &%�&3" & �$'1�0$�&�5+�4 �!��%/% �0$%5%-3���3� 0�/�6:� B���$%/#-:+�.� 0�5"�5#� �$!/%+3%��3 1#*�&,4 #-.�$!�/ /%��5# &�0�>/�.#�%-:+," ='+�A!4 !*&%��+,4 +%/+�.!/ �0%A!#-!��#/� �#��/#�$!&#%��3 �$!.!>+#-:+#3 �&#5$#�!(+#3 #00$���!/#A!3 A%-%&�4 ='+�A!!�

�#*$#1��#+# 0$�.$#//# & !+��$'/%+�#-:+�4 �$%5% Delphi� �"�5!/���: #-.�$!�>/# !--���$!$'%��3 +# 0$!/%$#"�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�!�!+ �-:3 ���!=�&!( �+��!�'� �!��%/ B+%$.%�!�! !/� ����%-%+�:%&# �� ��� '-� �%$/�+��&# �EF �$�'��� PPHFEE ����!3 phone9EJ�;8HP;EGF e>mail7 idikinQisem�sei�irk�ru

��0�&# �-:.# !"#4-�&+# �+��!�'� �!��%/ B+%$.%�!�! !/� ����%-%+�:%&# �� ��� '-� �%$/�+��&# �EF �$�'��� PPHFEE ����!3 phone9EJ�;8HP;EGF e>mail7 pomQisem�sei�irk�ru

Page 205: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ �������� ����� ���������� ������� ;FJ

M��������� ������� ��� ��M����� ������� ������ ������� �T ����������T

������/1$�&��!4 �����#'��&#

�$�1-%/# '0$#&-%+!3 *#0#�#/! 3&-3%��3 �5+�4 !* +#!1�-%% &#2+," & �$.#+!*#A!>�++�/ '0$#&-%+!!� �#� 0$#&!-� +% �'6%��&'%� �!0�&," $%)%+!4 �#� �#� '�-�&!3+# �#25�/ 0$%50$!3�!! !-! =!$/% '+!�#-:+, ! &�-�(#�� /+�2%��&� �.$#+!(%+!4! $#*-!(+," ���1%++���%4�

� 5#++�4 $#1��% +# 0$!/%$% =!$/, ����$#3 *#+!/#%��3 *#&�*#/! �#/%++�.� '.-3& $#4�+, ��/���4 �1-#��! ��$�!��3 /#�%/#�!(%��#3 /�5%-: '0$#&-%+!3 *#0#�#/!! ��'6%��&-3%��3 0�!�� �0�!/#-:+�4 ��$#�%.!! 0�&%5%+!3 /!+!/!*!$'�6%4 �16!%�2!5#%/,% *#�$#�, 0$! *#5#++�/ '$�&+% �1�-'2!&#+!3� �$! B��/ '(!�,&#%��3�'6%��&'�6!4 $35 �.$#+!(%+!4 +# �1C%/, �=�$/-3%/," *#�#*�& ����$,% �&3*#+,� &�*/�2+���3/! ! +#5%2+���:� 0���#&6!��& �0%A!=!��4 �$#+�0�$�!$�&�! .$'*# 0$�0'��+�4 �0���1+���:� $%(+�.� 0�$�# ! �1C%/�/ 0-�6#5�! #$%+5'%/�4 ' $%(+�.�0�$�# 5-3 "$#+%+!3 '.-3�

�#++#3 �!��%/# '0$#&-%+!3 *#0#�#/! 3&-3%��3 ���"#��!(%���4 � 0%$!�5!(%��!/��+�$�-%/ '$�&+3 *#0#��& �-'(#4+,/ +%��#A!�+#$+,/ �0$���/ ! 0���#&�#/! $#�>0$%5%-%+!% ����$," *#&!�!� �� &%-!(!+, 0�5#++�.� *#�#*# & ����&%���&'�6!4 !�>��(+!� 0�0�-+%+!3 *#0#�#�

�-3 0$�.+�*# �0$��# +# '.�-: 0$%5-#.#%��3 ���"#��!(%��#3 �$%+5�&#3 /�5%-: 0�*&�-3�6#3 '(!�,&#�: �%*�++,4 "#$#��%$ �0$��#�

� $#1��% 0$%5��#&-%+, $%*'-:�#�, (!�-%++�.� !��-%5�&#+!3 ����$,% 0�*&�-3���5%-#�: &,&�5 � ��/ (�� +#45%++#3 +# 1#*% 0���$�%++�4 /�5%-! �0�!/#-:+#3 ��$#�%>.!3 '0$#&-%+!3 *#0#�#/! 3&-3%��3 1�-%% B==%��!&+�4 0� �$#&+%+!� � �'6%��&'�6%4+# =!$/%�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�-#5!/!$ �#-%+�!+�&!( ��/1$�&��!4 ��/��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� PEHF�F .���/�� �+!"# ;; �&� LG �%-� LL>FP>GH e>mail DombrovsQef�tsu�ru

�-%+# �-#5!/!$�&+# �#'��&# ��/��!4 .��'5#$��&%++,4 '+!&%$�!�%� PEHFP� .���/�� �%1%5%&# H� �&� �EJ �%-� ;P>HF>PF�

Page 206: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;�F ������ �������� ����� ���������� �������

������ ����M��� ������������ ��M�� � ������������������ �����R���� ������

�����#A%0!+

�#5#(# 0�.$'*�! $#*+�$�5+�.� .$'*# & 0#$� #&���$#+�0�$�# /!+!/#-:+�.� $#*>/%$# & A%-�/ /�2%� $#��/#�$!&#�:�3 & ����&%���&!! � �!0�-�.!%4 �!�"�=# ?�@ �#���V�D�M ��%� �5+�/%$+#3 *#5#(# 0�.$'*�! ?;@ $%)#�: ����$'� 0$%5-#.#%��3 0'>�%/ 0��-%5�&#�%-:+�.� $%)%+!3 5&'" *#5#( �/%)#++�.� A%-�(!�-%++�.� -!+%4+�.�0$�.$#//!$�&#+!3�

�%$&#3 !* +!" K ������ ������ � ��� ������������� � ������� ���� ��� 5-3 ����$�4 �0$%5%-%+, /+�2%��&# /#$�� #&���$#+�0�$�# A �#$+," .$'*�&I ! $#*5%-:+� $#*/%6#%/," !" .$'00 G� �#�2% !*&%��+, ��-!(%��&� .$'*�& Si !+�$/, 0�.$'*�! Cai� �%�1"�5!/�% ��-!(%��&� #&���$#+�0�$�# 0� .$'00#/ Nag ! %.�0��$%1+���: 5-3 ��+�$%�+," .$'*�& xai �0$%5%-3���3 !* $%)%+!3 *#5#(! Z�7

Z� D minXa

Xg

Nag�

Xa

Caixai � Si �a� i�Xi

xai � Nag �a� g� i � g�

Nag� xai � F �a� g� i�Nag � F 9mod �8 �a� g�

���-�(!& &,$�25%++,% �-'(#! �!0# Nag D � ! A%-,% (#��! bxaic !* $%)%+!3 0%$&�4*#5#(! # �#�2% '/%+:)!& Si +#

PaCaibxaic 0�-'(#%/ G ����� ������ ���������

���� ����� Z� �0$%5%-3�6!" & ��+%(+�/ !��.% (!�-� %5!+!A .$'*# yij 0�.$'2%++,"& j>e �$#+�0�$�+�% �$%5��&� .$'00, g�

�$%5-�2%++,4 0�5"�5 +��36!4 &�-%5��&!% �5+�/%$+���! #00$���!/#A!�++,4"#$#��%$ 0$! &0�-+% '5�&-%�&�$!�%-:+�4 ��(+���! �'6%��&%+� '0$�6#%� $%)%+!%*#5#( 0�.$'*�! 0� �$#&+%+!� � ��(+,/! =�$/'-!$�&�#/! �!0# ?E@�

�������M��

�� H�Dyckho� 9�JJF8 A typology of cutting and packing problems� European Journal ofOperational Research �H�>��J�;� S�Eilon N�Christo�des 9�JL�8 The loading problem� Management Science �� ;�J>;PG�E� C�S�Chen S�M�Lee Q�S�Shen 9�JJ�8 An analytical model for the container loadingproblem� European Journal of Operational Research �� PG>LP�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO�#A%0!+ �#�!-!4 ��$!��&!( ������ "!//���-�.!! � �I '-��-�5�.&#$5%4��#3 �F ���&# �;�E�� ����!3 �%-�9FJ�8 �H�>JL>�L =#�� 9FJ�8 �HF>��>HP e>mail7 zwbQglas�apc�org

Page 207: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ �������� ����� ���������� ������� ;��

������ ������ ������ ����� ���������������� ��� � �� ��� �

�� �� ��$�#-:A%& �� I� ��&#-%& �� � �%1%5%&#

��*5#++,4 & ��X &,(!�-!�%-:+,4 ��/0-%�� #+#-!*# +#5%2+���! XX� ?�@ 1#*!>$'%��3 +# /+�.��$#�+," $#�(%�#" /�5%-! �A%+�! 5%=!A!�# /�6+���! 9��8 & =�$>/!$'%/," �-'(#4+,/ �1$#*�/ �����3+!3" ='+�A!�+!$�&#+!3 XX�� �$%5-#.#���3$%*'-:�#�, �%�$%�!(%��!" ! B��0%$!/%+�#-:+," !��-%5�&#+!4 &#$!#+��& /�5%-! !0$!/%+3%/," 5-3 !" $%#-!*#A!! #-.�$!�/�& /%��5# &+'�$%++!" ��(%� ?;@ 5-3 0�-'(%>+!3 �5+�*+#(+�.� $%)%+!3 ! 0�&,)%+!3 #5%�&#�+���! �-�2+,/ =!*!��>�%"+!(%��!/0$�A%��#/ $%#-:+," XX�� �%$&,4 &#$!#+� 3&-3%��3 $#*&!�!%/ !�"�5+�4 /�5%-!�� $#*$#1��#++�4 & LF>" .�5#" ?E@� ���#*#+� (�� 0$%5-#.#%/#3 0���#+�&�# *#>5#(! +% ��-:�� +% 0$��!&�$%(!� !�"�5+�4 +� ! !/%%��3 B==%�� 0$! %% $%)%+!!��� &��$�/ &#$!#+�% +#"�536%/�3 & ��#5!! !��-%5�&#+!3 &&�5!��3 �&#5$#�!(+#3='+�A!3 0��%$: 0%$%5#&#%/�4 /�6+���! 0� �X�� �$!&%5%/ B�' /�5%-:� �#5#+, +%�>�$!A#�%-:+,% (!�-# �xij �ji � F K 0$�0'��+,% �0���1+���! �X� !* '*-# i & '*%- j! ��B==!A!%+� ='+�A!! 0��%$: �yi �zi K +#.$'*�# ! $#�0�-#.#%/#3 /�6+���: '*-�&XX� i D ��m� j D ��m� ����/,% &%-!(!+, yi zi xij K 0��$,&#%/#3 +#.$'*�# !�>0�-:*'%/#3 /�6+���: & '*-% i 0%$%���! /�6+���! /%25' '*-#/!� �#��/#�$!&#%��3*#5#(# /!+!/!*#A!! 5%=!A!�# /�6+���!X

i

9�yi � yi8 � min 9�8

0$! �.$#+!(%+!3"

zi � yi UXj

9� � �jixji8xji �Xj

xij D F< i D ��m� j D ��m� i �D j� 9;8

�zi � zi � F� �yi � yi � F� i D ��m�

�xij � xij � F� i D ��m� j D ��m� i �D j� 9E8

�&#5$#�!(+#3 ����#&-3�6#3 & �.$#+!(%+!! 9;8 �1'�-#&-!&#%� +%&,0'�-���: /+�2%>��&# 5�0'��!/," $%)%+!4� ���#*#+� (�� /+�2%��&� 5�0'��!/," &%���$�& y � Rm 5-3 ����$," �'6%��&'�� x� z '5�&-%�&�$3�6!" 9;8 ! 9E8 3&-3%��3 &,0'�-,/� �#��+�&% B��.� �&�4��&# ��$�3��3 B==%��!&+,% #-.�$!�/, /%��5# &+'�$%++!" ��(%��

���-%5�&#+!3 &,0�-+3���3 & $#/�#" 0$�%��# �II� `FF�KFF�EF�

�������M��

�� ��&#-%& �� I� �5%-: �A%+�! +#5%2+���! �-�2+," XX� 0$! 5�-.��$�(+�/ 0-#>+!$�&#+!! !" $#1��,�NN X-%��$�++�% /�5%-!$�&#+!%� �JGL `� ��P�KL;�;� �!�!+ �� �� ��$�#-:A%& �� �� ��%$#�!&+�% $%)%+!% *#5#( /#�%/#�!(%���.� 0$�>.$#//!$�&#+!3 9#-.�$!�/, /%��5# &+'�$%++!" ��(%�8�K ��&��!1!$��7 �#'�#�K �HH c�E� �$�)!+# ��� �1 �5+�/ 0�5"�5% � $%)%+!� *#5#(! /!+!/!*#A!! 5%=!A!�# /�6>+���! & B-%��$�B+%$.%�!(%��!" �!��%/#" 9XX�8� � �1�7 %��5!(%��!% &�0$��, !��-%>5�&#+!3 +#5%2+���! 1�-:)!" �!��%/ B+%$.%�!�!� �,0� �� �$�'��� �JLG �� EHKHE�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO��$�#-:A%& �#-%$!4 �&#+�&!( ��&#-%& �%++#5!4 I%5�$�&!( �%1%5%&# ��5/!-# !"#4-�&+# �+��!�'� �!��%/ B+%$.%�!�! !/� ���� %-%+�:%&# �� ��� '-� �%$/�+��&# �EF PPHFEE �$�'��� ����!3��%-� 9EJ�8HP;EG; e>mail 9lebedevaQisem�sei�irk�ru8

Page 208: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;�; ������ �������� ����� ���������� �������

���I��� ����� �������T ������ ���� � ���������������S��

�� �� ������ �� �� ��&!��&

�#5#(# &%���$!*#A!! �1,(+� $%)#%��3 & 5&# B�#0#7 �8 0%$&!(+#3 &%���$!*#A!3 O0���$�%+!% .$#=# !* /+�2%��&# $#�0�*+#++," +# $#��$% 0$3/�-!+%4+," ��$%*��&<;8 �1C%��+#3 &%���$!*#A!3 O &,5%-%+!% -�/#+," -!+!4 ��+�'$�& ! 5$�

�*&%��+,% .$#=�&,% /�5%-! +#0$!/%$ ?�@ 3&-3���3 0-#+#$+,/! .$#=#/! -!+!49���8 & ����$," &�% &%$)!+, �'�: ��(�! 0-������! # $%1$# O 0$3/�-!+%4+,%��$%*�!� �$! B��/ !�"�5+�% !*�1$#2%+!% 5�-2+� �����3�: !* -!+!4 5���#��(+�/#-�4 ��-6!+,�

� 5��-#5% 0$%5-#.#%��3 $#�)!$%++#3 .$#=�&#3 /�5%-: 9��8 ����$#3 0�*&�-3>%� 0$%5��#&!�: +% ��-:�� -!+!! +� ! 0-�6#5+,% �1C%��, ����$,% +# !�"�5+�/!*�1$#2%+!! &,.-353� �#� *#�$#)%++,% �1-#��! !-! *#/�+'�,% ��+�'$,� � ��&"�53� +% ��-:�� &%$)!+, ! $%1$# 9�#� & ���8 +� ! �0!�#+!3 /+�.�'.�-:+!��& ����$,% *#5#���3 .$#+!A#/! 1%* �#/�0%$%�%(%+!4� �+'�$! /+�.�'.�-:+!�# /�.'�1,�: �5,$,� ����$,% �#�2% 3&-3���3 /+�.�'.�-:+!�#/!� �$%5-#.#%��3 �#�2% �$!>#+.'-!$�&#++#3 $#�)!$%++#3 .$#=�&#3 /�5%-: 9���8 ����$#3 0�-'(#%��3 !* ��5�1#&-%+!%/ $%1%$ �#� (��1, 0�-'(!-#�: �$!#+.'-3A!3� � B�!" /�5%-3" &%$)!+, $%1$# ! /+�.�'.�-:+!�! �+#12#���3 5�0�-+!�%-:+,/ #�$!1'�+,/ �0!�#+!%/� �-3/+�.�'.�-:+!�# O B�� A&%� *#�$#��# # �#�2% ��,-�! +# .$#+!(+,% $%1$#� �-3$%1%$ O B�� ��-6!+# A&%� 0$!*+#� ��.� (�� $%1$� .$#+!(+�% !-! &+'�$%++%% &/+�.�'.�-:+!�% ! 5$�

�0!�,&#%��3 #-.�$!�/ 0���$�%+!3 �� 1!+#$+�.� $#��$# � �$'5�%/����:�O9MN8 .5% M N O )!$!+# ! &,���# $#��$#� �-.�$!�/ $#�0�*+#%� �1C%��, �0�0%$%(+,/ $#*/%$�/ /%+:)% £ �#� -!+!! # � 1�-:)!/ $#*/%$�/ O �#� /+�.�>'.�-:+!�!� �-3 0���$�%+!3 ��� 0$%5-#.#%��3 !�0�-:*�&#�: #-.�$!�/ �$!#+.'-3>A!! � �.$#+!(%+!3/! +#0$!/%$ �0!�#++,4 & ?;@ �$%5+33 �$'5�%/����: ����$�.� OO9L8 .5% L O ��-!(%��&� -!+!4 & ���

�$%5-�2%++,% $#�)!$%+!3 .$#=�&," /�5%-%4 0�*&�-3�� $%)#�: *#5#(! 0�-'#&>��/#�!(%���.� 0���$�%+!3 0-�6#5+," ! 0$��32%++," �1C%���& !�0�-:*'3 #-.�$!�>/, 0�!��# +# .$#=#" ! !" /�5!=!�#A!!� ��0�-:*�&#+!% �$!#+.'-3A!! 0�*&�-3%� $35*#5#( $%)#�: � /%+:)%4 �$'5�%/����:�� �$�/% ��.� 0$! B��/ '5#%��3 ��$$%��+��1$#1#�,&#�: $#��$, � 0�/%"#/! ��.5# !�"�5+,% -!+!! !/%�� ��$���!% $#*$,&,�

�#1��# 0�55%$2#+# .$#+��/ �II� JGKFLKFE�JH�

�������M��

�� �%/%+��& �� �� ! 5$� 9�JGP8 ������ �������� ��� ������ ��������! ����������� !+��7 ��� �� ����� JP c�;� ��&�$A�& �� �� ������ �� �� 9�JJG8 �� ����� ��������� ��� ��)��� ������ ������������ ��� ���� NN �%�!+=�$/#�!�#7 �%�$!3 ! 0$#��!�#� �,0� �� O��/��7 �*5>&� ��/� '+>�# �;L>�EG�OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO������ �$!4 �%�+!5�&!( ��&!��& �$!4 �%�+!5�&!( ��/��!4 ���'5#$��&%++,4 M+!&%$�!�%� 0$� �%+!+# EP ��/�� PEHF�F ����!3 �%-� 9EG;>;8 H;PFJP H�F�FE e>mail7 kostQinf�tsu�ru lgitQiom�tsc�ru

Page 209: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ �������� ����� ���������� ������� ;�E

��������� ���������S�� �� ������ ���I���� �����

�� �� ������ �� �� ��&!��&

�# B�#0% 0%$&!(+�4 &%���$!*#A!! $#��$�&�.� !*�1$#2%+!3 $#�0�*+#���3 0$3/�>-!+%4+,% ��$%*�! *#�$#)%++,% �1-#��! ! +# !" ��+�&% ��$�!��3 .$#=�&#3 /�5%-:$#��$#� �1C%��+#3 &%���$!*#A!3 3&-3%��3 &��$,/ B�#0�/ +# +%/ &,5%-3���3 0$�>�32%++,% -�/#+,% -!+!! ��+�'$, ! 5$'.!% �1C%��, ?�@� �1,(+� B�! 5%4��&!3&,0�-+3���3 & !+�%$#��!&+�/ $%2!/% ��.5# 0�-:*�&#�%-: *#5#%� �5+'K5&% ��(�!�1C%��# # ��/0:��%$ &����#+#&-!&#%� 0�-+�% �0!�#+!% �1C%��#� � 5��-#5% $#��/�>�$%+, �-%5'�6!% *#5#(!�

�� �+�%$0�-3A!3 -!+%4+," �1C%���& �����36#3 & #&��/#�!(%���/ 0���$�%+!!0$�/%2'��(+," ��(%�� �#6% &�%.� *#5#(# �&�5!��3 � 0�!��' �$#�(#4)%.� 0'�! +#.$#=%�

;� X���$#0�-3A!3 ��+�'$+," �1C%���& O 0���$�%+!% ��+�'$# &1-!*! ��(�! '�#>*#++�4 0�-:*�&#�%-%/�

�%0��$%5��&%++�% 0$!/%+%+!% #-.�$!�/# �%4���$, 5-3 $%)%+!3 0%$&�4 *#5#(!/#-�B==%��!&+� !*>*# 1�-:)�4 �$'5�%/����!� ��B��/' +# %.� ��+�&% $#*$#1��#+ &#>$!#+� #-.�$!�/# !+=�$/!$�&#++�.� 0�!��# +# .$#=% # �#�2% #-.�$!�/ .$#5!%+�+�>.� 0�!��# & .-'1!+'� T��3 &��$�4 #-.�$!�/ +% .#$#+�!$'%� +#"�25%+!3 /!+!/'/#0'�! +� %.� !�0�-:*�&#+!% 5�0'��!/� 0$! !+�%$#��!&+�4 $#1��%� �$�/% ��.� 0$%5>-�2%+# �#�#3 /�5!=!�#A!3 #-.�$!�/# �%4���$, ����$#3 +#"�5!� �$#�(#4)!4 0'�:+# 0-#+#$+�/ .$#=% !* n &%$)!+ *# &$%/3 O9n log n8�

���$#3 *#5#(# $#��/#�$!&#%��3 & 5&'" &#$!#+�#" O 0$! *#5#+!! 0�-:*�&#�%-%/5&'" ��(%� 9�5+�4 &+'�$! ��+�'$# �5+�4 +# ��+�'$%8 -!1� 0$! *#5#+!! �5+�4 ��(�!&+'�$! ��+�'$#� �-.�$!�/ $%)%+!3 *#5#(! 5-3 5&'" ��(%� ��+�&#+ +# #-.�$!�/%�%4���$, # #-.�$!�/ 5-3 �5+�4 ��(�! 3&-3%��3 /�5!=!�#A!%4 0�!��# & .-'1!+'�

�$#=�&'� /�5%-: $#��$# /�2+� 5���$�!�: 5� 0�-+�4 �$!#+.'-3A!! 0�0'�+� 0�>-'(!& 0$! B��/ &�0�/�.#�%-:+'� �#1-!A' 5-3 '���$%+!3 0�!��# 0$! -��#-!*#A!!��(�!� � B��/ �-'(#% *#5#(# B���$#0�-3A!! ��+�'$+," �1C%���& $%)#%��3 ���1%++�B==%��!&+�7 �$%1'%��3 +#4�! ��� �$%'.�-:+!� & ����$,4 0�0#-# ��(�# '�#*#++#30�-:*�&#�%-%/ 9# B�� /�2+� �5%-#�: & �$%5+%/ *# ��+��#+�+�% &$%/38 0��-% (%.�0$��/��$%�: ���%5+!% �$%'.�-:+!�!�

�$! !�0�-:*�&#+!! �$!#+.'-3A!! ��#*,&#%��3 &�*/�2+,/ �1$#1���# $#��$# � 0�>/%"#/! ��.5# +%����$,% -!+!! !/%�� ��$���!% $#*$,&,� �1,(+� +# /%��% $#*$,&#1'5%� $#�0�-#.#�:�3 $%1$� �$!#+.'-3A!! ! B�' �!�'#A!� -%.�� ���-%5!�:�

�#1��# 0�55%$2#+# .$#+��/ �II� JGKFLKFE�JH�

�������M��

�� �%/%+��& ���� ! 5$� 9�JGP8 ������ �������� ��� ������ ��������! ����������� !+��7 ��� �� ����� JP c�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO������ �$!4 �%�+!5�&!( ��&!��& �$!4 �%�+!5�&!( ��/��!4 ���'5#$��&%++,4 M+!&%$�!�%� 0$� �%+!+# EP ��/�� PEHF�F ����!3 �%-� 9EG;>;8 H;PFJP H�F�FE e>mail7 kostQinf�tsu�ru lgitQiom�tsc�ru

Page 210: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;�H ������ �������� ����� ���������� �������

����R ������ �����

��I�I%=%-�&

�$�.$#//�4 $#1�� I +#*,&#%��3 +#1�$ 0$�%���& i � I� �$�%��, 3&-3���3 A%>-%&,/! ��/0-%��#/! $#1�� ?�@� �-3 0$�.$#//, �0$%5%-%+ 0%$!�5 0-#+!$�&#+!3 T ��# T �0$%5%-%+� $#*1!%+!% PN 7 T D t� � t� � ��� � tj � ��� � tN D T � ��$%*>�#/! %5!+!(+�4 5-!+, 9tj��� tj@� +#(#-�/ T � ��+A�/ T � �0$%5%-%+ 0%$!�5 T� T>��(+�.� ��.-#��&#+!3 �1C%/�& B� =!+#+�!$�&#+!3 0$�.$#//, ! �1C%/�& 0$�%���&��#5#+# �'��(+�>0����3++#3 &�.+'�#3 ='+�A!3 �� *+#(%+!3/! Bt +# 9tj��� tj@ 0$! B��/B� D

Pt�T�

Bt� W �i > �1C%/ 0$�%��# i� W �

i D W �izr U

Pt��T�

i�T�i�vi9t8� vi9t8 � F� B� � P

i�IW �

i �

Bt DP

t��tj���tj�vi9t8� �-3 i � I� I *#5#+, �.$#+!(%+!3 W �

i DP

t��T�i��T

�i��vi9t8 .5%

T i� � T

i � �'��(+�>0����3++#3 ='+�A!3 +# ?T i � T

i @ �� *+#(%+!3/! vi9t8 +# ����&%�>

��&'�6!" 0$�/%2'��#" 0%$!�5# &,0�-+%+!3 0$�%��# 5�-2+# 1,�: &�.+'��4� �#1�$fB� fvi9t8� t � ?T

i � Ti @g 7 i � Ig +#*,&#�� $#�0$%5%-%+!%/ �1C%/# B�

��*+!�#�� 5&% *#5#(!7 *#5#(# 0���$�%+!3 $#�0$%5%-%+!3 �1C%/# W �i 0� 0%$!�5'

?T i�� T

i�@ ! %.� 0$�5�-2%+!3 +# ?T

i�� Ti @ ����$,% 3&-3���3 &�.+'�,/! ='+�A!3/! !

*#5#(# 0���$�%+!3 $#�0$%5%-%+!4 �1C%/�& 0$�%���& '5�&-%�&�$3�6!" �=�$/'-!$�>&#++,/ &,)% '�-�&!3/� �$! $%)%+!! �1%!" *#5#( 0$!/%+3���3 ='+�A!! ?�@

�9Wi� Ti� t� �i9t88 D Wi9t�Tie��t�Ti8 i�t�

.5% t � ?T i � T

i @� Ti > 5-!�%-:+���: 0$�%��# i �i9t8> 0�-�2!�%-:+#3 /�+���++#3 +%>

&�*$#��#�6#3 ='+�A!3� � *#5#(% 0���$�%+!3 $#�0$%5%-%+!4 �1C%/�& 0$�%���& 0�0%$!�5' T '5�&-%�&�$3�6!" �=�$/'-!$�&#++,/ &,)% '�-�&!3/ 0$%5'�/#�$!&#>%��3 &,5%-%+!% 0$�%��' i *#5#++�.� �1C%/# Wi *# 0%$!�5 Ti U di� di � F� �#*$#1��#+B==%��!&+,4 #-.�$!�/ $%)%+!3 B��4 *#5#(!�

�������M��

�� I%=%-�& �� I� S%-%&�4 ��/0-%�� $#1���>��&��!1!$�� �JJJ� >9�$%0$!+� N �����!1� ��5>+!%� �+>� /#�%/#�!�!< ` P� 8

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOI%=%-�& �!�#-!4 I%5�$�&!( �+��!�'� /#�%/#�!�! !/� ������1�-%&# �� ��� 0$���#5%/!�# ��0��.# H ��&��!1!$�� PEFFJF ����!3 �%-� 9G>EGE>;8 EE> FF>JH =#�� 9G>EGE>;8 E;>;�>JG e>mail7 fvfQmath�nsc�ru

Page 211: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

������ �������� ����� ���������� ������� ;��

�� ����� ����� ������������ � ��������������� ��������

���� T#$�'%&

��0'��!/ (�� 5�1,(# 5$%&%�!+, 0$�!*&�5!��3 +# m > -%���%�#" $#*1!�," +#P '(#����& & �1C�/#" Vil9

Pl Vil D bi� i D ��m� l D �� p8 ����&%���&%++�< *#5#+,

0-�6#5! '(#����& Sil� 0$�!*&�5!�%-:+���: akl 5�1,(! +# l>/ '(#���% 5$%&%�!+,R> �,/ �%"+�-�.!(%��!/ �0���1�/� �#5#+, ���!/���: cil 0%$%&�*�! %5!+!A, 5$%>&%�!+, � i>��4 -%���%�! 5� j>��4 /#.!��$#-! !-! 0��$%1!�%-3 ���!/���: %5!+!A, %�0$�!*&�5��&# ! ��5� �*&%��+, �#�2% 0��$%1+���! aj & 5$%&%�!+% j>��.� 0��$%1!�%-3�

�#5#(# �(%&!5+� *#�-�(#%��3 & /!+!/!*#A!! ��&��'0+," *#�$#� +# 0$�!*&�5��&�! �$#+�0�$�!$�&�' 0$�5'�A!!� X�# *#5#(# ��-�2+3%��3 �%/ (�� A%-%&#3 ='+�A!3!/%%� ��+%(+�% (!�-� ��(%� $#*$,&# 0%$&�.� $�5# ����&%���&'�6!" =!��!$�&#++,/*#�$#�#/ +# &�*/�2+'� 0$��-#5�' &$%/%++," 5�$�. � /#.!��$#-3/ ! &%��#/� I!�>�!$�&#++,% *#�$#�, 5!��$%�+� *#&!�3� �� �1C�/�& �$#+�0�$�!$'%/�4 0$�5'�A!!��.$%.!$�&#++#3 *#5#(# !/%%� &!57

minfXij

�ij9xij8 7Xi

xij � aj<Xj

xij � ai< x � R� i D ��m� j D �� ng� 9�8

.5%

�ij9xij8 D fF� ���� xij D F � fij9xij8 U �ij� ���� F � xij � x�ij< ���< fij9xk��ij 8�

���� xij D xk��ij � fij9xij8 U �kij� ���� xk��ij � xkijg� �kij � F�

�&�53 5�0�-+!�%-:+'� 0%$%/%++'� ylij D F � �� i D ��m� j D �� n� l D �� k *#5#('9�8 /�2+� 0%$%0!�#�: & &!5%7

minfXij

?fij9xij8 UkXl��

�lijylij@ 7 x � R� F � xij �

kXl��

xlijylij�

kXl��

ylij D �� ylij D F � �� i D ��m� j D �� n� l D �� ko

9;8

�-3 $%)%+!3 (#��!(+� 1'-%&�4 -!+%4+�4 *#5#(! 9;8 0$�&%5%+, B��0%$!/%+�#-:+,%$#�(%�, 0$! !�0�-:*�&#+!! �!��%/, �GAMS��

�������M��

�� I��� �#$#�!+ ���� ��'0+%&� ��+�&+,% +#0$#&-%+!3 �%"+!(%���.� 0$�.$%��# -%�>+�4 ! 5%$%&��1$#1#�,&#�6%4 0$�/,)-%++���!� ���&# �JLH�;� ���� �'-#��&� %��5, 0�.$'2%+!3 & *#5#(#" �0�!/!*#A!!� ��&��!1!$��� �#'�# �JLL�

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOT#$�'%& �-%��#+5$ �&#+�&!( �$�'���#3 ���'5#$��&%++#3 X��+�/!(%��#3 ��#5%/!3e>mail7 bulatovQisem�sei�irk�ru

Page 212: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;�P

������ �������

�&.'��!+�&!( �%$.%4 �-#5!/!$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PH P��.!1#-�& �%++#5!4 �%�$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PP���%+�& �#-%$!4 �+#��-:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � J; JE�-%��#+5$�& �%$.%4 �%++#5:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PL�-%��%%& �#-%$!4 ��$!��&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���-%��%%& �-#5!/!$ �&.%+:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����-%��%%&# �#�:3+# �%�+!5�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��L�/%-:�!+ �#-%$!4 �-%��%%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PG��#0!+ �-#5!/!$ �$!.�$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;FH�#�!6%& �/!�$!4 �&#+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �G��%2#%&# �-%+# ��$!��&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;FP�%-�'��& �&.%+!4 �$!.�$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �F;�%$5,)%&# �!�# �+#��-:%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �E���-5!+# �#�#-:3 �-#5!/!$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;F���+5#$: �$!4 �#�!-:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;FP��$�5!+ �-%. �%+!#/!+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �J; JE��(#$�&# �-:.# �!��-#%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;FP�'-#��& �#-%$:3+ �#&-�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �G �FG�#-%%&# �!5# I#$!��&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �J��#�!-:%&# �+#��#�!3 �$:%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PH PJ�#�!-:%&# �++# !"#4-�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;��#�!-:%&# �!5!3 �-:3��&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��G;�%$"��'$�& !"#!- �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �GE�!*!+. �#5!/ �%�p.!%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � JH�!++!(%+�� �%$.%4 �!���$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;��!+��'$�& �%$.%4 I%5�$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LF��*+�� �&#+ �%�$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��P;��4��& �-%. �!��-#%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �FE�#+"'3. �#+*#+.!4+ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �G�#$%%& �-:.!* �!=.#��&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �J��!/#5! X5'#$5 T#4$'�5!+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;; �HE�-%1�& �-%��%4 �!��-#%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �J; JE�-%1�& �!��-#4 �&#+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �HH��-!��& �-%��#+5$ �-:!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��FH��-:)�%4+ �&.%+!4 �$!.�$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �F� �FJ��+(#$�& �&.%+!4 �!��-#%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��PE �GH��$1#(%&��#3 ��5/!-# �&.%+:%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PE �JP�$!)�%&!( �+5$%4 �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � J��%&3�%$!��&# #$!+# �-#5!/!$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��H��%/%+�:%& �-#5!/!$ �!"�+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��JL �JG�!�!+ �-:3 ���!=�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;FG��1$,+!+ �+5$%4 �-%��%%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � JG��/1$�&��!4 �-#5!/!$ �#-%+�!+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;FJ�&5��!/�& �-%��#+5$ �+5$%%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;G L�

Page 213: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;�L

�&�')%+�� �$!4 �#&$!-�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �FH�/%-!(%& �-#5!/!$ �-%��%%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � EE �EL �EG �EJ �HF�$%/%%& �+��+ �#-%+�!+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �EL �G��$%/!+ �&#+ �&#+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � H; !&%�:%&# �++# �-%��#+5$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PL !"#$%& �%$.%4 �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����#1'5��!4 �%++#5!4 �$!.�$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PH �P��#1��!+ �.�$: �$��-#&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��F�#�*%$��#3 �!5!3 �+#��-:%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � EL �G��#A%0!+ �#�!-!4 ��$!��&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;�F��-��," �!��-#4 �$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �HL��$�#-:A%& �#-%$!4 �&#+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��FE ;���,�!+# �++# �-#5!/!$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �EP�2'��!+ �!���$ �%$.%%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��;�-:%& �!���$ �%�$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �HG �HJ��#%& �%$.%4 �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �G��#$�#� �#5!/ !"#4-�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �G; �J; �JE��&#-%& �%++#5!4 I%5�$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;����.#+ �/!�$!4 �*$#!-%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;P �GP��*!+ �.�$: �!���$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;L��-���-�& �-%��#+5$ �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � EL ��F �G���$1'� �-%��#+5$ �+��+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � H���$��(%+�� �+#��-!4 �$!.�$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;G����$!.!+ �&.%+!4 �3(%�-#&�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �JE������ �$!4 �%�+!5�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��; ;�; ;�E��$�!)�� �#�#-:3 !"#4-�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��HE��$)'+�& �-%��%4 �/!�$!%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LE��(%��& �$!4 �+5$%%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PE �PJ �GH �GL �GG��(%��&# �!+# �$+�-:5�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PE�$#&A�& �!���$ !"#4-�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���E�$#&A�& !"#!- ��+��#+�!+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��E�$!(�� �!�#-!4 �!��-#%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��HF�$���& �%+!� ��#+!�-#&�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LH�$'�!��& �-#5!/!$ �!��-#%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��E ��H�'*:/!+ �-%. �!���$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L��'-#.!+ �!���$ �#�!-:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;J�'*+%A�&# �+��+!+# �-%��#+5$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���H�'$!+��!4 �-#5!/!$ X5'#$5�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;FP�'=#$%&# �$!+# ��$!��&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LP�#$!+ �'5�-:= !"#4-�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��JJ ;FF�%1%5%&# ��5/!-# !"#4-�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;���%1%5%&# �#�:3+# �#$#��&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �H;�%&#+�&# �#�:3+# �#-%+�!+�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PL�%&%+�� �-%+# �%$#=!/�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����!*'+�& �%$.%4 �-#5!/!$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �GJ�!+�%$ �!��-#4 �#-%$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �LF�'.�&+!+# �!���$!3 �-#5!/!$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �FG

Page 214: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;�G

�'�)!+ �&.%+!4 �#-%+�!+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��E#-�.!+ �%$.%4 �$�%/:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LL LG#�$���&# �+2%-# �$:%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �LJ GH#(!�!+# �-%+# �#&-�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �GF%-:+!��& ��$!� I%-!���&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �G� �JF%-:+!��& �%�+!5 �%p.%%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �; JH JG%$%�!+ �$!4 �-#5!/!$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � G;%�%-:��!4 �$!4 !"#4-�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � JJ���&!-�& �3(%�-#& �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PH'"#(%&# �++# �%$.%%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �JH'"#(%&# X-!�# �-%��#+5$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��J� �J; �JE �JH�#45%+�� �-#5!/!$ �$!.�$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��J�%(#%&# #$!3 ��#+!�-#&�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;F�!�!�!+ ��+��#+�!+ �-#5!/!$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LJ�!�'-!+ �$!4 �!�#-:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �EJ��&!��& �$!4 �%�+!5�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;�; ;�E�����& �!���$ �!��-#%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �G�� �-#5!/!$ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L� GE���#+!+ �%$.%4 �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � GH�$%"�& X/!-: �$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �J��$-�&!( �$!4 �%�+!5�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �FF�#+�%-%%& �-#5!/!$ �++��%+�:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LF�#+���& �+#��-!4 �#�!-:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �L��#$&#��& �!��-#4 �%�$.!%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PP�#)�%&!( �+5$%4 �#�!-:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��H��#6%+�� !"#!- �%�$.!%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PE �PJ�%$3*%&# �-!3 �#-%$:%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �G��%�$�&# �#�:3+# �-#5!/!$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��H�%�$�0#&-�&��!4 !"#!- �3(%�-#&�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���;�-��+!��& �+#��-!4 �/!�$!%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��F��-3�'+�& �-%��#+5$ �-#5!/!$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;F���5��0#%& �/!�$!4 �%�$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � EE �HF��0�&# �-:.# !"#4-�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;FG��$&#��&# �#5%25# �%++#5:%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;FH���#0�& �-#5!/!$ �!��-#%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � GP��"!-:�� �3(%�-#& �%++#5:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �EL�$!-'A�!4 !"#!- T#!/�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;F;�$���'$3��& �-%��%4 �&#+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �GL�'5�&# #$!+# �-#5!/!$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �FP�3��!+ �$�%/ �#-%$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �JH ;FF�#5!�+�& �-%��%4 �!��-#%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��JF��/#+�& �-%��#+5$ !"#4-�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LG GG�%&#��:3+�& �%$.%4 �#�!-:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �P� �LH �L��%/%+�&# �#�#-!3 �-#5!/!$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �H;�%/(%+�� �#�#-:3 �$:%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��GJ�%$&#" �-#5!/!$ �!A%+�:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����%$.!%+�� �&#+ �#�!-:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��H;

Page 215: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;�J

�%$5���& �+#��-!4 �&#+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;; �HE�!/#+(�%& �'�-#+ �$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���P�����& �!���$ �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������-�& �!��-#4 �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �F���-�&:%&# I#!+# �&#+�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� JF��%0#+!)!+# �-!3 ��%&�-�5�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �EG��%0#+�& �-%��#+5$ �$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��JG���-3$ �$�%/ �-%��#+5$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �GL��$%�#-�&��!4 �-%��#+5$ �%$.%%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;� �;;�'*5#-: ��#+!�-#& �#-%$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � JJ�'6%+�� #��!/ �%$.%%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � J��'6%+�� �%$.%4 �%�$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �J��#!$�&# �-%+# �!���$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;E�,)�%&!( �%.!+# ���!=�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �JJI%5��%+�� �$!4 �%/%+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �GPI%=%-�& �!�#-!4 I%5�$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;�HI!-#��& �-%��#+5$ �$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �FEI!-!/�+�& �/!�$!4 �#-%$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �P�I�+>�%$>I-##�� �/!�$!4 �%$/#+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � GEI'�� �-%��#+5$ �:&�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��;T#/!5'--!+ �#!-: I#$!5�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �FLT#/!��& �-%. �#-%$:%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��P �;ET#$�'%& �-%��#+5$ �&#+�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��FG ;���#'��&# �-%+# �-#5!/!$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;FJ�%$&3��& �-%. �-#5!/!$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �L;�%$%5�&# �-!3 �!��-#%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��F�!.-!+A%& �$�%/ �-#5!/!$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��JH�#/#$5!+ �$!4 �-#5!�-#&�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��G ;FE�%&(%+�� �#-%$!4 �!��-#%&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���J�%+/#4%$ �-#5!/!$ �-#5!/!$�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��HH �PF�/'-%&!( �-:3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LE�'-:.!+# ���#+# �!��-#%&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��LJ�%$1#��&# �#-%+�!+# �-%��#+5$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �P����&-%& �-#5!/!$ !"#4-�&!( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �GG���&-%&# �#�:3+# �-#5!/!$�&+# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��;;Aban�kin Alexander � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �EFAlexandrov Dmitri Alexandrovich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��GFBorzenkov Aleksey Vladimirovich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��GBulavsky Vladimir Akexandrovich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �E�Bykadorov Igor Aleksandrovich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;FLCharon Ir�ene � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��LCorr¤ea Ricardo C� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L;Ellero Andrea � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;FLErokhin Vladimir Ivanovich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �E; �EEErzin Adil I� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��HPFaudree Ralph � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PEFishkin Aleksei V� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �LP

Page 216: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;;F

Frid Anna E� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P�Grigoriev Alexander � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �LEHudry Olivier � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��LJaneska Margarita � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PPJansen Klaus � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �LPKalashnikov Vyacheslav Vitalievich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �E� �EHKalashnikova Natalia Ivanovna � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��PGKashyrskikh Konstantin � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��LH �L�van de Klundert Joris � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��LEKononov Alexander � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��LHKonovalov Oleg Leonidovich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��GKonstantinova Elena Valentinovna � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � JLKostochka Alexander Vasilievich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � HLKuzjurin Nikolai Nikolaevich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��FMader Wolfgang � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Moretti Elena � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;FLNe¥set¥ril Jaroslav � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��LR�odl V� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �HLSangho Shim � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � JPSapozhenko Alexander Antonovich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � GJSimonovits Mikl�os � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PESiraev Rustem Robertovitch � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �LGSviridenko Maxim Ivanovich � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �LLSzwarc�ter Jayme Luiz � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L;Taleska Suzana � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �PPTchernykh Ilya � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �LH �L�Topalova Svetlana Todorova � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � JFTsevendorj Ider � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��;H

Page 217: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'00): Материалы конференции (Новосибирск, 26 июня - 1 июля

;;�

����� ����

��������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �H

�%�A!3 �� ������! �����" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PH

�%�A!3 �����# ���$�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � J;

�%�A!3 %���!��� "���&� � ������ ��'�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��F;

�%�A!3 (�����!��� '��������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �FG

�%�A!3 (���')���� "���&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��L

�%�A!3 *������ "���&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;�

�%�A!3 +��'���������� �, � �� �- ������� "���&� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �EF

�%�A!3 .�������������,��# �'����"�/�# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �E�

�%�A!3 �� ������# �'����"�/�# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �HE

�%�A!3 0���&� ��"��1���# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �P;

�%�A!3 0���&� ������ �� '� ���! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��LE

�%�A!3 ���-�������� ����#��� ���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �GF

�%�A!3 ��)2)�������� '��������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��JP

�%�A!3 ���������# ������� � ��������# �'���/�! � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �;FH

3'� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ;�P