القسم العلمى

الصف الثانى الثانوى

تطبيقاتدليل

المعلم

ت�أليف�أ/ كم�ل يون�س كب�شة

�أ.م.د/ �شمر عبد �لفت�ح ال�شني د/ �أمل �ل�شح�ت ح�فظ

ب

الطبعــة األولى 2016/2015رقم اإليــداع 10562 / 2015

الرقم الدولى 6 - 019 - 706 - 977 - 978

ت دليل املعلم - املقدمة

�لمحتوي�ت....................................................................................................................................................................................................................... ث-ظ مقدمة المعلم

مقدمة عن تطور علم الميكانيكا................................................................................................................................................................................... 2

الوحدة األولى االستــاتيكــا ............................................................................................................................................................................................ 8

1 - 1 القــوى. ................................................................................................................................................................................................................................ 10

1 - 2 تحليل القوى. ................................................................................................................................................................................................................... 16

1 - 3 محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. ............................................................................................................... 19

23 ...................... 1 - 4 اتزان جسيم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة.

الوحدة الثانية الديناميكا ....................................................................................................................................................................................................... 34

36 ............................................................................................................................................................................................... 2 - 1 الحركة المستقيمة.

2 - 2 الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة. ........................................................................................................................... 46

2 - 3 السقوط الحر. ................................................................................................................................................................................................................ 52

2 - 4 قانون الجذب العام. ................................................................................................................................................................................................ 56

الوحدة الثالثة الهندسة والقياس ........................................................................................................................................................................... 62

3 - 1 المستقيمات والمستويات فى الفراغ. .......................................................................................................................................... 64

3 - 2 الهرم والمخروط. ....................................................................................................................................................................................................... 68

3 - 3 المساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط. .......................................................................................................................... 73

3 - 4 حجم الهرم والمخروط القائم. ................................................................................................................................................................ 77

3 - 5 معادلة الدائرة. ............................................................................................................................................................................................................... 81

الوحدة الرابعة االحتمال ........................................................................................................................................................................................................... 90

4 - 1 حساب االحتمال. ........................................................................................................................................................................................................ 92

قائمة المراجع والمواقع اإللكترونية ............................................................................................................................................................. 106 قاموس المصطلحات التربوية والعلمية ................................................................................................................................................... 107 خريطة المنهج ............................................................................................................................................................................................................................. 108 نماذج من أساليب التقويم ............................................................................................................................................................................................ 112

تطبيقات الرياضيات - علمى - الصف الثاني الثانوي ث

بسم اهلل الرحمن الرحيممقدمة

الزميل الفاضل المعلم / المعلمة:نأمل أن يساعدك هذا الدليل فى تنفيذ منهج الرياضيات للصف الثانى الثانوى، وهو يقدم نظريات تعلم حديثة بحيث يكون دورك ميسرا لعملية التعلم، كما يقدم أنشطة متنوعة تنمى مهارات حل المشكالت واالستنتاج والتعليل ممتزجة بالمتعة والتشويق.

وتقوم فلسفة الدليل على تنمية طرائق التفكير وبناء المهارات العلمية والبعد عن التفاصيل والحشو والتركيز على مهارات التعلم الذاتى، وعلى جمع المعلومات من مصادر مختلفة ومعالجتها وربطها بحياة الطالب ومجتمعهم.

ويهدف هذا الدليل إلى مساعدتك على تطبيق التعلم النشط، التأمل، التعلم الذاتى بما يحقق متعة تعلم الرياضيات ومساعدة جزءين الدليل تضمن ولذلك التفكير؛ ومهارات األساسية العلمية المفاهيم اكتساب ثم ومن والتأمل؛ البحث على الطالب

أساسيين.

�لجزء �الأول: �الإط�ر �لنظرى للدليل وي�شمل:استخدام دليل المعلم . ✍نماذج لطرق التدريس . ✍تنظيم محتوى الرياضيات )تطبيقات الرياضيات(. ✍المعايير والمؤشرات للصف الثانى الثانوى لكتاب تطبيقات الرياضيات. ✍االتجاهات الحديثة فى تعلم تطبيقات الرياضيات. ✍خصائص نمو طالب المرحلة الثانوية. ✍إدارة وتنظيم بيئة التعلم النشط. ✍بناء جدول مواصفات االختبار التحصيلى. ✍

�لجزء �لث�نى: �الإط�ر �لتنفيذى للدليل وي�شمل:مقدمة الوحدة. ✍مخرجات التعلم. ✍مفردات أساسية. ✍األدوات والوسائل. ✍زمن التدريس. ✍مصادر التعلم. ✍طرق التدريس المقترحة. ✍التهيئة. ✍اجراءات الدرس. ✍التقييم المستمر . ✍

هذا ونسأل الله العظيم أن ينفع به زمالءنا المعلمين والمعلمات فى مجال تدريس الرياضيات والله ولى التوفيق المؤلفون

جدليل املعلم - املقدمة

�لمقدمةكيف ت�شتخدم هذ� �لدليل؟

من صورة أمامك وسيكون المقرر، هذا لتدريس تحتاجها قد التى العناصر بجميع وافيا الدليل هذا يكون أن حاولنا لقد صفحات كتاب الطالب فى كل درس؛ مما يساعدك على ربط توجيهات الدليل مع ما يراه الطالب فى كتابه، ومما ال شك فيه أن هذا يزيد فائدة الدليل بالنسبة لك، إلى جانب الصورة المصغرة من صفحة كتاب الطالب، وتتضمن صفحة المعلم العناصر التالية

بالنسبة لكل وحدة وكل درس:مقدمة الوحدة: وتوضح عددا من المعلومات المرتبطة بالوحدة ودروسها، ومن هذه المعلومات مخرجات التعلم وزمن 1 ))

ومكان التدريس والمصطلحات األساسية ومهارات التفكير، كما توضح المقدمة وسائل ومصادر التعلم وطرق التدريس المقترح استخدامها، وأخيرا طرق التقويم.

دروس الوحدة: فى هذا الجزء يتم تناول تفاصيل كل درس من دروس الوحدة وتشمل هذه التفاصيل :1 ))خلفية : حيث يتم خاللها الربط بين المعلومات السابقة لدى الطالب والمعلومات الجديدة فى الدروس.��مخرجات الدرس: حيث يتم خاللها استعراض مخرجات التعلم المرجو تحقيقها فى الدرس، وهى مصوغة بصورة إجرائية ��

قابلة للمالحظة والقياس.المفردات األساسية: حيث يتم توضيح عدد من المصطلحات التى سيتم تناولها فى الدرس.��المواد التعليمية المستخدمة: حيث يتم اإلشارة إلى الوسائل المعنية التى يمكن للمعلم استخدامها فى شرح وتحقيق أهدافه ��

أثناء عملية التعليم والتعلم.طرق التدريس المقترحة : يوضح هذا الجزء مسميات عدد من طرق التدريس التى يمكن للمعلم توظيفها أثناء الحصة وتتنوع ��

هذه الطرق من درس آلخر، فهناك العديد من طرق التدريس التى يمكن للمعلم استخدامها أثناء عرض المحتوى، ومن هذه الطرق: المحاضرة أو الطريقة التلقينية - التعلم التعاونى - العصف الذهنى - الحوار والمناقشة - حل المشكالت - االكتشاف

.م� �لو�جب معرفته عن طرق �لتدري�س؟

المفهوم - خطوات التنفيذ - متطلبات التنفيذ- المميزات - العيوب أو صعوبات التنفيذ.��كيف يتم �ختي�ر طريقة �لتدري�س �لمن��شبة؟

العمرية �� للمرحلة وفقا الطالب وخصائص والمحتوى المستهدفة التعلم مخرجات ضوء فى التدريس طريقة اختيار يتم والتعليمية والوقت المتاح.

�أى طرق �لتدري�س �ف�شل؟فى �� وتساعد التعليمى والموقف الطالب تناسب التى هى الطرق أفضل ولكن األفضل. هى بعينها تدريس طريقة توجد ال

تحقيق األهداف المرجو تحقيقها.

نم�ذج طرق �لتدري�س: التعلم التعاونى :

أسلوب تعلم يتم فيه تقسيم الطالب إلى مجموعات صغيرة متجانسة أو غير متجانسة وفقا للهدف أو المهمة التى سيكلف بها ��أفراد المجموعة، ويقوم أفراد المجموعة بالتعاون فيما بينهم إلنجاز المهمة المكلفين بها، وتهدف هذه الطريقة إلى تنمية روح

التعاون بدال من التنافس وتشجيع روح الفريق.العصف الذهنى:

يتم خالل الموقف التعليمى تحديد موضوع أو قضية أو سؤال، ويطلب من الطالب استدعاء أكبر قدر من المعلومات واألفكار ��أو اإلجابات أو الحلول المرتبطة بتلك القضية أو هذا الموضوع؛ وذلك وفق قواعد متفق عليها، وتتمثل فى تسجيل األفكار كافة وعدم النقد أو التقييم ألى فكرة لتشجيع الجميع على المشاركة اإليجابية؛ وبالتالى توليد اكبر قدر من األفكار العادية أو المبتكرة، وبعد االنتهاء من عملية استدعاء األفكار يتم مناقشتها للوصول إلى أفضل حل أو إجابة أو فكرة وذلك باستبعاد

تطبيقات الرياضيات - علمى - الصف الثاني الثانوي ح

األفكار غير المرتبطة أو المكررة دون اإلشارة التى صاحب تلك الفكرة، ويمكن تلخيص خطوات العصف الذهنى فى أربع خطوات أساسية هى:

اإلعداد والتهيئة : للموضوع الذى سيتم استدعاء األفكار بشأنه. ✍طرح الموضوع : التأكد من وضوح الموضوع بالنسبة للجميع. ✍توليد األفكار: بمشاركة كافة الطالب. ✍تقويم األفكار: حذف المكرر أو غير المرتبط واالتفاق على افضل األفكار أو اإلجابات. ✍

حل المشكالت:هي إحدى الطرق العلمية التى تهدف إلى الوصول إلى نتائج او اقتراح حلول لمشكلة محددة تمثل عائقا أو تحديا للطالب، ��

تهدف هذه الطريقة إلى تدريب الطالب على اتباع الخطوات العلمية أو التفكير العلمى لمواجهة مشكلة معينة، تعتمد تلك االستراتيجية على تنفيذ عدد من الخطوات منها تحديد المشكلة تحديدا دقيقا وكامال، والبدء فى جمع معلومات عن تلك المشكلة والحقائق المرتبطة بها، فرض فروض تمثل الحلول الممكنة لتلك المشكلة، ويتم اختبار تلك الفروض الختيار أيها ساهم فى حل المشكلة، وفى الختام استخالص النتائج وتقديم الحلول الممكنة؛ ومن ثم يمكن تعميم تلك النتائج فى مواقف

أخرى مشابهة للمشكلة التى تم دراستها.الحوار والمناقشة:

تمثل تلك الطريقة إحدى الطرق اللفظية، ويمكن تعريف طريقة المناقشة بأنها حوار منظم يعتمد على تبادل اآلراء واألفكار ��بين المعلم والطالب أو بين الطالب بعضهم البعض، وتهدف هذه الطريقة إلى تنمية مهارات التفكير لدى الطالب والتدريب على عرض األفكار مدعومة بالدليل على صحتها، فضال عن االلتزام بآداب الحوار والمناقشة كإحدى المهارات االجتماعية

الواجب تنميتها لدى الطالب.تتمثل خطوات المناقشة فى تحديد المعلم للهدف من المناقشة، وتقسيم هذا الهدف إلى عدة أفكار فرعية أو عدد من األسئلة ��

المطلوب االجابة عنها، ويتم وضع قواعد إلدارة وتنظيم المناقشات، ومن أمثلة تلك القواعد إتاحة الفرصة للطالب لعرض التزام على المعلم ويحرص وهكذا الفكرة، صاحب شأن من التقليل أو اإلساءة دون الفكرة ونقد ومناقشة كاملة الفكرة الطالب بتلك القواعد ليساعدهم على التوصل إلى األفكار وربط المفاهيم واستخالص االستنتاجات والتوصيات المرتبطة

بالهدف الذى تم تحديده، ومن خالل تحديد نتيجة لكل فكرة فرعية يتم التوصل إلى نتيجة للقضية أو المشكلة األساسية.التعلم باالكتشاف :

ن من �� يمك لديه وإعادة صياغتها بشكل السابقة المعلومات باسترجاع وتنظيم الطالب يقوم أن تعتمد على تفكير هى عملية استخدامها فى مواقف جديدة، ويعرف التعلم باالكتشاف بأنه التعلم الذى يحدث نتيجة لمعالجة الطالب لمعلومات وتركيبها وتحويلها للوصول إلى معلومات جديدة من خالل اكتشاف أفكار أو حلول يصل إليها الطالب بأنفسهم؛ مما يشجعهم على

مواصلة عملية التعلم .التعلم باالكتشاف له أنواع تعتمد على درجة التوجيه الذى يقدمه المعلم ومن تلك األنواع:

االكتشاف الموجه: والذى يوفر فيه المعلم بعض التعليمات التى تضمن مساعدة الطالب على النجاح فى المهمة. ✍االكتشاف شبه الموجه: وفيه يقدم المعلم بعض التوجيهات العامة دون أن يتقيد بها الطالب. ✍الحل ✍ إلى الوصول منه ويطلب المعلم، من توجيهات أى دون بنفسه المشكلة الطالب يواجه فيه الحر: االكتشاف

وصياغة الفروض وتصميم التجارب وتنفيذها.�جر�ء�ت �لدر�س:

أ 1 التهيئة: وذلك من خالل مناقشة العمل التعاونى أو بند "فكر وناقش" الوارد فى بداية الدرس، ومن المعروف أن توافر الدافعية فى التعلم لدى الطالب أمر الزم بل حتمى لضمان حسن سير الدرس وإيجابية الطالب، وبالتالى تتحقق األهداف المنشودة. ويجب أال يطغى زمن تهيئة الطالب على الزمن المخصص لباقى أنشطة الدرس، وعادة ال

يزيد زمن تهيئة الدرس عن عشر دقائق.

خدليل املعلم - املقدمة

�لمقدمةب 1 تعلم: بعد التهيئة - وفى ترابط وسالسة - يدخل المعلم إلى خطوات عرض الدرس، فيبدأ فى تنفيذ األنشطة الواردة فى هذا الجزء من الدليل وهى ترتبط ارتباطا وثيقا بصفحة كتاب الطالب، وأن الربط بين ما يحدث فى مرحلة تهيئة

ا، حتى ال تفقد التهيئة أهميتها ودورها فى نجاح الدرس وتحقيق أهدافه. الطالب وبين بداية الدرس أمر مهم جد ويتخلل هذا الجزء استعراض لألمثلة والتدريبات كافة وكذلك األنشطة الموضحة ، ويتاح لك فى هذا الجزء مزيد من الطرق الستنتاج القوانين او العالقات وعدد من التمارين اإلثرائية التى يمكن استخدامها فى حالة توافر

زمن متاح أو للطالب المتفوقين، علما بأن هذه التمارين مجاب عنها.جـ 1 التقييم والتدريب: ويشمل هذا البند جوانب مهمة هى "التقييم المستمر" ويشمل إجابات لما ورد فى بند "حاول أن تحل" أو يشمل أسئلة شفهية أو تحريرية خالل عرض الدرس، الجانب اآلخر هو" التقييم و التدريب"، ويشمل هذا البند إجابات ما ورد فى بند "تمارين" و الجانب الثالث هو "التقييم"، ويشمل أسئلة شفهية أو تحريرية تساعدك على التأكد من تحقيق أهداف الدرس، ومدى استفادة طالبك مما تعلموه، وذلك جنبا إلى التمارين العامة واالختبارات

الواردة فى نهاية كل وحدة.د 1 تمارين إثرائية: يقدم الدليل فى نهاية كل درس أنشطة إثرائية للطالب المتفوقين، ولكن حذار أن تعلن أن هذا النشاط خاص بالطالب المتفوقين وال تقسم الطالب فى الفصل إلى مجموعات وفقا لمستوياتهم، فهذا النشاط خاص بالمعلم ليواجه الفروق الفردية بين طالبه، يمكنك أن تستقطع وقتا فى ذات الدرس للقيام بهذه األنشطة اإلثرائية، وأحيانا يكلف خارج األنشطة هذه فى أنجزوه ما عليك يعرضون وقد الدرس، بعد به يقومون خارجيا نشاطا بوصفها الطالب بها وقت الحصة، أو قد تراجع معهم إنجازاتهم فى بداية الحصة التالية، وقبل التهيئة الجديدة )يتوقف ذلك على نوع تلك األنشطة، وما تحتاجه من زمن لمتابعتها(، ونشير هنا إلى أنه عند تكليف أى طالب بنشاط ما يجب أن تتابع إنجازه فيه،

حيث إن عدم توفر ذلك يؤدى إلى تكاسلهم بل إهمالهم القيام بأى نشاط إثرائى.هـ 1 األخطاء الشائعة: يتم استعراض عدد من الصعوبات التى تواجه الطالب نتيجة بعض األخطاء المتوقع منهم الوقوع بها،

وتختلف هذه األخطاء باختالف الموضوع والوسائل المستخدمة وكذلك المستوى األكاديمي للطالب.و 1 ملخص الوحدة واالختبار التراكمى: تنتهي الوحدة بعرض ملخص لدروس الوحدة وتمارين عامة، وكذا اختبار تراكمى

للوحدة علما بأن الدليل يوفر لك إجابات لكل منهما.ا موجزا عن النقاط التالية: والآن عزيزى المعلم كى تقوم بدورك على اأكمل وجه �ضوف نتناول عر�ض

تنظيم محتوى مادة الرياضيات فى الصف الثانى الثانوى.��تطبيقات الرياضيات .��إستراتيجيات عامة للتدريس الناجح.��تصنيف أهداف تدريس الرياضيات.��االتجاهات الحديثة في تعليم الرياضيات.��معايير ومؤشرات الصف الثانى الثانوى.��إدارة وتنظيم بنية التعلم النشط.��خصائص النمو لطالب المرحلة الثانوية.��بناء جدول مواصفات االختبار التحصيلى.��

تطبيقات الرياضيات:

ينبغى أن يعى المعلم التطبيقات الخاصة بطبيعة الرياضيات ، فعلم الميكانيكا )الديناميكا واالستاتيكا( من فروع الرياضيات التى تشتمل على العديد من التطبيقات الحياتية المرتبطة بحياة الطالب والبيئة التى يعيشون فيها.

فمقرر " الديناميكا - االستاتيكا" يعتمد فى دراسته على مادرسه المتعلم من المهارات األساسية للرياضيات، ومن الواضح أن ما بين الرياضيات عموما- والميكانيكا عالقة تبادلية فيما يتعلق بالتطبيقات.

تطبيقات الرياضيات - علمى - الصف الثاني الثانوي د

تنظيم محتوى الرياضيات فى الصف الثانى الثانوى )علمى(" تطبيقات الرياضيات ":يجرى تدريس الرياضيات فى الصف الثانى الثانوى )علمى( فى شكل وحدات دراسية موزعة مصفوفيا بين صفوف المرحلة الثانوية، وبين المجاالت الميكانيكا - الهندسة والقياس ، اإلحصاء. ومن ناحية أخرى فإن المحتوى ينمو رأسيا )عبر الصفوف( وحلزونيا فى كل فرع، ويتوزع أفقيا )فى كل صف(، بحيث يتضمن وحدات من فروع مختلفة تعكس- إلى حد ما- وحدة الفكر

الرياضى.

تصنيف مخرجات تعلم تدريس الرياضيات:

ياضيات؟« أو ما الهدف منها؟ إن تدريس الرياضيات يهدف إلى تزويد الطالب يواجه المعلم دائما بالسؤال اآلتى: »لماذا نعلم الربالمعارف الرياضية واكتساب المهارات المرتبطة بتلك المعارف؛ ومن ثم توظيف واستخدام تلك المعارف والمهارات من خالل

تكوين اتجاهات إيجابية نحو دراستها ، ومن ثم يمكن تلخيص أهداف تدريس الرياضيات إلى أهداف تتعلق: بمعرفة وفهم أساسيات مادة الرياضيات.�� بالتدريب على أساليب تفكير سليمة وتنميتها.�� باكتساب المهارات الرياضية )العقلية والنفس حركية(.�� باكتساب اتجاهات موجبة وتنمية ميول واوجه التقدير نحو الرياضيات وعلمائها.��

هناك أكثر من طريقة للتعريف بتصنيف نواتج تعليم الرياضيات، كمايلي:Cognitive تتمثل األهداف المعرفية فى معرفة أساسيات المادة وفهم بنيتها وتركيبها واألسس النظرية 1 )) نواتج تعلم معرفية

لبعض النواحى التطبيقية، حيث يساعد ذلك على إكساب الطالب القدرة على تطبيق القواعد والنظريات فى المادة الدراسية أو فى مواقف حياتية، كما تسهم معرفة تلك األساسيات فى فهم أساسيات مواد دراسية أخرى.

نواتج تعلم وجدانية Affective تتعلق بتقدير appreciation الرياضيات كعلم ومجال وأسلوب تفكير بشرى، وتقدير الرياضيين 1 ))م ونحو أساليبها فى التفكير وإسهاماتهم، وتكوين ميول واتجاهات إيجابية نحو دراسة الرياضيات، ونحو دورها فى التقد

ودقة لغتها فى االتصال سواء بالرمز أو بالشكل البيانى.واستخدام 1 )) الهندسية، اإلنشاءات مثل والعقلية، العملية المهارات تنمية بها يقصد Psychomotor نفسحركية تعلم نواتج

أدوات ذات طابع رياضى هندسى أو حسابى أو حوسبى، المهارات العملية فى الرياضيات يغلب عليها الناحية األدائية، وتسهم الناحية المعرفية بقدر أقل من الناحية اليدوية، بينما المهارات العقلية المتمثلة فى استخدام المفاهيم والمعارف فى

حل المشكالت فيغلب عليها الناحية المعرفية التى تترجم بالمهارة اليدوية إلى خطوات وخورازميات للحل.

إستراتيجيات عامة للتدريس الناجحإستراتيجية التدريس: هى خطة تحركات المعلم فى تحقيق أهداف الدرس، مع مالحظة أن الهدف األساسى للتدريس والتعليم هو أن يتعلم الطالب. ويقاس نجاح االستراتيجية بمدى كفاءتها فى أن يتعلم الطالب ما يراد لهم أن يتعلموه، بغرض مساعدة الطالب فى أن يبنوا بأنفسهم ويكتشفوا المعارف التى يتعلمونها فى ضوء النظرية البنائية Constructivism، وتتضمن إستراتيجية

التدريس الناجحة أن يقوم المعلم باآلتى:م بمشكلة أو سؤال يثير انتباه الطالب )وقد يكون قصة تاريخية(.�� التقدإعطاء فرصة للطالب للمناقشة.��وأعمال �� بنفسه، طالب كل فيها يفكر فردية وأعمال تعاونيا، تعمل صغيرة مجموعات فى تعاونية أعمال بين العمل توزيع

جماعية يحدث فيها تفاعالت بين المعلم والطالب وبين الطالب أنفسهم.فى نهاية كل مناقشة أو عمل تعاونى أو عروض من جانب بعض الطالب يقوم المعلم بتلخيص واضح لما تم مناقشته أو حله ��

متضمنا األساسيات: تعريفات، عالقات، منطوق نظريات لها براهين، إلخ.إعطاء الطالب فرصا داخل الفصل أو المنزل )واجبات( الكتشاف بعض الخواص أو العالقات بأنفسهم.��تشجيع الطالب على إعطاء حلول أو براهين بديلة.��

ذدليل املعلم - املقدمة

�لمقدمةعند تدريس مفهوم أو عالقة ضمن عدة مفاهيم يعطى المعلم مثاال وال مثال على المفهوم أو العالقة الجديدة .��البعد عن التلقين أو سرد الحقائق وعرض االجابات الجاهزة دون مشاركة فعالة من الطالب. ��تنويع السلوكيات )أى طرق التدريس( فى الحصة الواحدة.��الحرص على إعطاء رعاية خاصة فى فترة العمل الفردى أو فى المجموعات التعاونية للطالب بطيئى التعلم أو من هم دون ��

المستوى فى قدراتهم على التعلم، وكذلك الحال بالنسبة إلى الطالب المتفوقين.تنويع الواجبات سواء داخل الفصل أو فى المنزل مع مراعاة الفروق الفردية- ليس من الضرورة أن يحل كل الطالب جميع ��

إلى يصلوا حتى تقدمهم ويالحظ األدنى، الحد لهم م فيقد »الضعاف«، الطالب إلى بالنسبة خاصة الكتاب فى التمارين جين فى الواجبات. مستويات أفضل متدر

تحديد بعض الساعات للمساعدة خارج الفصل فى مكتب المعلم أو فى المكتبة.��مساعدة الطالب على أن يشعر بأنه يمكنه النجاح والتفوق فى هذا المقرر.��

المعايير والمؤشرات للصف الثاني الثانوي )القسم العلمي - تطبيقات الرياضيات(

المعيار األول: تعرف تطور علم الميكانيكا، ودور علماء الرياضيات في تطوير فهم الظواهر الفيزيائية.

المؤشرات:ا وتطوره من النظرية الكالسيكية إلى النظرية النسبية، ويتعرف أنواعا أخرى حديثة من ✍ يتعرف تطور علم الميكانيكا تاريخي

علم الميكانيكا في صورة أنشطة.يتعرف أن علم الميكانيكا هو علم دراسة الظواهر المتعلقة بالحركة )الديناميكا(، والظواهر المتعلقة بالسكون )اإلستاتيكا( ✍ الحياتية، ✍ الظواهر التي أسهمت في فهم كثير من الميكانيكا، وقوانينه الرياضيات في تطور علم يتعرف، ويقدر دور علماء

وحل العديد من المشكالت الرياضية والحياتية.)1 يتعرف وحدات القياس اآلتية، عند دراسة الموضوعات المتعلقة بها:

لقياس ✍ تستخدم والتي والميل، الكيلومتر مثل: الكبيرة األطوال قياس في تستخدم التي اإلزاحة المسافة/ قياس وحدات األطوال المتناهية في الصغر مثل: النانومتر، ودراسة العالقة بينها.

وحدات قياس الزمن ) ....... - الساعة - الدقيقة - الثاني - ........ - الفيمتوثانية(، ودراسة العالقة بينها. ✍ وحدات قياس الكتلة )...... - ثقل كيلوجرام - ثقل جرام - ........ (، ودراسة العالقة بينها. ✍ وحدات قياس السرعة، والعجلة، والقوة. ✍

المعيار الثاني: تعرف علم السكون )اإلستاتيكا1 وقوانينه، ومفاهيمه المختلفة، وتطبيقاته في مواقف حياتية.

المؤشرات:)1 يتعرف مفهوم القوة، والقوة كمتجه، ووحدات قياس مقدار القوة في ضوء وحدات القياس السابقة.

)1 يوجد محصلة قوتين مقدارا واتجاها )القوتان تؤثران في نفس النقطة(.)1 يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين.

14 يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين.15 يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية في نقطة.

16 يبحث اتزان نقطة مادية )جسيم( تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية في نقطة في الحاالت اآلتية:إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان في نقطة. ✍إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية في نقطة. ✍إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية في نقطة. ✍

ا مستخدما تكنولوجيا المعلومات في صورة أنشطة. 17 يوجد محصلة قوتين هندسيا وجبري

تطبيقات الرياضيات - علمى - الصف الثاني الثانوي ر

18 يتعرف تطبيقات ما درسه في اإلستاتيكا في مواقف فيزيائية وحياتية.

المعيار الثالث: تعرف علم الحركة )الديناميكا1، وقوانينه، ومفاهيمه المختلفة، وتطبيقاته في مواقف فيزيائية وحياتية.

المؤشرات:)1 يتعرف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية.

)1 يتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر.)1 يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك في خطوط موازية لبعضها البعض أثناء الحركة.

14 يميز بين اإلزاحة والمسافة. - اللحظية السرعة متجه - المتوسطة السرعة متجه - المنتظمة الحركة - السرعة )متجه المنتظمة السرعة مفهوم 15 يتعرف

السرعة النسبية - وحدات قياس السرعة(.16 يميز بينم مفهومى السرعة المتوسطة )Average vebcity( ومقدار السرعة المتوسطة )Average speed( فى حالة الحركة الخطية

فى اتجاه متجه وحدة ثابت.17 يتعرف مفهوم السرعة النسبية.

18 يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة )العجلة المنتظمة - وحدات قياس العجلة(.2 + 2 جـ ن

ع2 = ع0 1جـ ن2 ف = ع0 ن + 2 19 يستنتج قوانين الحركة بعجلة منتظمة: فإن: ع = ع0 + جـ ن

0)1 يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة بعجلة منتظمة.))1 يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية.

))1 يتعرف قوانين الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية في حالة صعود الجسم أو هبوطه.))1 يتعرف الجاذبية األرضية )قانون نيوتن للجذب العام - ثابت الجذب العام(.

4)1 يتعرف التمثيل البياني لمنحنى اإلزاحة والزمن، ومنحنى السرعة والزمن.5)1 يستخدم اآللة الحاسبة البيانية في تمثيل العالقة بين اإلزاحة والزمن، والسرعة والزمن في صورة أنشطة.

حركة ( مثل: األجسام حركة تشمل وحياتية فيزيائية مواقف نمذجة في والعجلة النسبية والسرعة السرعة مفاهيم 6)1 يطبق الصواريخ - حركة الطيران - األقمار الصناعية( في صورة أنشطة.

المعيار الرابع: تعرف الهندسة والقياس، وتطبيقاتهما في مواقف رياضية وحياتية.

المؤشرات:)1 يتعرف النقطة والمستقيم والمستوى فى الفراغ.

)1 يتعرف بعض المجسمات )الهرم - الهرم المنتظم - الهرم القائم - المخروط - المخروط القائم(.)1 يستنتج المساحة الجانبية، والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم - المخروط القائم.

14 يستنتج حجم كل من الهرم القائم - المخروط القائم.15 يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها، وطول نصف قطرها.

16 يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة.17 يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة، وطول نصف قطرها بمعلومية الصورة العامة لمعادلة الدائرة.

18 يطبق ما درسه بالهندسة والقياس في نمذجة مواقف رياضية وحياتية.

المعيار الخامس: استكمال دراسة االحتمال وتطبيقات عليهما.

المؤشرات:)1 يتعرف التجربة العشوائية، ويستنتج بعض التجارب العشوائية الشهيرة مثل: رمي العملة المعدنية مرة واحدة أو مرتين أو ثالث

مرات، رمي حجر النرد مرة واحدة أو مرتين.ا ويمثلها )1 يتعرف العمليات اآلتية على األحداث أو ما يعرف باألحداث المركبة )قوانين دى مورجان( ويعبر عنها لفظيا ورمزي

زدليل املعلم - املقدمة

�لمقدمةبأشكال فن:

عدم وقوع أي من الحدثين )عدم وقوع C أو عدم وقوع ب(. ✍عدم وقوع الحدثين معا )عدم وقوع C أو عدم وقوع ب(. ✍

)1 يتعرف تطبيقات رياضية وحياتية بسيطة على اإلحصاء واالحتمال.

االتجاهات الحديثة فى تعليم الرياضيات هناك عدة اتجاهات حديثة لتعليم وتعلم الرياضات نورد منها ما يلى:

تعليم المفضلة فى يعد هذا االتجاه من االتجاهات المشكالت: التفكير وأسلوب حل أنماط تنمية الرياضيات من أجل تعليم الرياضيات، وقد نبع هذا االتجاه نتيجة للتغير السريع فى المعارف واألساليب التكنولوجية واستخداماتها، ولذا أصبحت المعرفة حل وأسلوب المختلفة التفكير أنماط فى يتمثل ما وهو عليها، الحصول طرق بل األسمى الهدف هى ليست ذاتها حد فى

المشكالت والتى يمكن تنميتها من خالل تعليم وتعلم الرياضيات.تعليم الرياضيات من أجل تنمية اإلبداع: للرياضيات دور مهم فى تنمية اإلبداع لدى المتعلمين لما لها من طبيعة تساعد على ذلك، ألن الرياضيات بمضمونها تعتمد على إدراك العالقات للوصول إلى النتائج والنظريات وغيرها من اإلبداعات، وجوهر اإلبداع هو إدراك عالقات جديدة تؤدى إلى تنوع من الحلول للمشكلة الرياضية المطروحة. لهذا اعتبر التربويون أن تنمية اإلبداع هدف

أساسى من أهداف تعليم الرياضيات.نتيجة للتقدم الهائل فى تكنولوجيا االتصال، لم يعد للبعد الجغرافى تأثير فى عزل تعليم الرياضيات فى ضوء مفهوم العولمة: الدول عن بعضها البعض، وأصبح العالم كقرية صغيرة متشابكة األطراف، وأصبح للمشكالت بمختلف مجاالتها صفة العالمية، حيث لم تعد دولة واحدة بإمكاناتها قادرة على مواجهة هذه المشكالت، ومن ثم لم يعد مبدأ االكتفاء الذاتى صالحا للتطبيق في البعض، لنعيش فى سالم العالم على بعضها إنفتاح دول إلى الذى يدعو المتبادل الظروف فحل محله مبدأ االعتماد ظل هذه عالمى وتعاون مشترك من أجل خير اإلنسان، وهذا ما يؤدى إلى اتساع بيئة اإلنسان من المحلية إلى العالمية. وهذا ما يدعو إلى

أن تكون مناهج الرياضيات التى يدرسها المتعلم تساعد فى إعداده لذلك.تعلم الرياضيات ذاتيا : ادى االنفجار المعرفى إلى ظهور الحاجة إلى التعلم الذاتى وظهرت عدة أساليب للتعلم الذاتى من أهمها

التعلم بالمراسلة والموديوالت التعليمية وباستخدام الحاسب اآللى.

خصائص نمو طالب المرحلة الثانوية

إن معرفة خصائص النمو لطالب المرحلة الثانوية يساعدنا على معرفة حاجاته، وتعرف مدى نمو الطالب بالنسبة لمتوسط أقرانه، ويعيش طالب المرحلة الثانوية فى مرحلة عمرية تسمى مرحلة المراهقة، ويقصد بالمراهقة أنها مرحلة النمو الذى يصل ا جسميا واجتماعيا ونفسيا، وتبدأ فيها الطفل إلى مرحلة البلوغ، وعند استخدام مصطلح المراهقة فإن هذا المصطلح يتضمن نمومرحلة المراهقة عند البنين عند شن الثالثة عشرة فأكثر تقريبا، وتبدأ عند البنات فى سن الثانية عشرة فأكثر تقريبا، ويختلف سن بداية المراهقة من مجتمع إلى مجتمع وغالبا ما تبدأ مبكرة فى المناطق الحارة عنها فى المناطق الباردة، ومرحلة المراهقة المبكرة التى تبدأ مع بداية البلوغ وتنتهى عند سن السادسة عشرة أو السابعة عشرة ، وقد تم تحديد هذا السن بطريقة قسرية تختلف من مجتمع آلخر، وهناك اتفاق على أن تنقسم فترة المراهقة إلى مرحلتين هما، المراهقة المبكرة، المراهقة المتأخرة، وتبدأ مرحلة المراهقة المبكرة مع سن البلوغ وتنتهى فى سن 16 أو 17 سنة أو عند التحاق المراهق بالصف الثانى أو الثالث الثانوى، أما مرحلة يستعد التى وهى األخيرة المرحلة وفى الجامعى، التعليم مرحلة إلى وتمتد الثانوى التعليم نهاية فى فتبدأ المتأخرة المراهقة

فيهاالمراهق لدخول مرحلة الرشد فيستعد لذلك مهنيا ويتعرف بشكل أكثر نضجا وقد تمتد هذه المرحلة إلى 20 سنة أو أكثر.

تطبيقات الرياضيات - علمى - الصف الثاني الثانوي س

وفيما يلى عرض لخصائص طالب المرحلة الثانوية من حيث:

�لنمو �لج�شمىتعد »مرحلة المراهقة« طفرة فى النمو الجسمى، فهى مرحلة نمو جسمى سريع، وهذه التغيرات السريعة التى تصاحب النمو الجسمى- ومنها الجنسى - تجعله غير واثق بنفسه وبقدراته واهتماماته، وتكون لدية مشاعر قوية تعكس شعوره بعدم االستقرار، ومن أهم المشكالت المصاحبة للنمو الجنسى للمراهق ظهور حب الشباب والتهيجات الجلدية للمراهق والمراهقة، وكذلك

المعاناة الجسمية المصاحبة عند المراهقه مثل: الصداع، وآالم الظهر ونوبات تغير المزاج واالكتئاب.

التطبيقات التربوية لخصائص النمو الجسمى:بأبعادها ✍ الجسمى النمو جوانب تنمية على تعمل التى العملية وتطبيقاتها والعلوم الرياضيات مادة من االستفادة

المختلفة .التدخين ✍ االهتمام باألهداف المعرفية فى المواد المختلفة لتعريف الطالب وتبصيرهم ببعض المشكالت كممارسة

واختيار األصدقاء.

�لنمو �لحركىينتج عن النمو الجسمى السريع ميل الطالب إلى الكسل والخمول، ويكون قليل النشاط والحركة، والمراهق فى بداية هذه من تسقط أو تعترضه التى باألجسام يصطدم ما وكثيرا االتزان بعدم حركاته وتتسم دقيق غير الحركى توافقه يكون المرحلة بين يديه األشياء التى يمسك بها، ومما يساعده على عدم استقراره الحركى تعرضه لنقد الكبار وتعليقاتهم وتحميله العديد من

المسئوليات االجتماعية، مما قد يسبب له االرتباك وفقدان االتزان.

التطبيقات التر بوية لخصائص النمو الحركي:تشجيع ورعاية النمو الحركى عن طريق األنشطة المختلفة . ✍تضمين بعض موضوعات الرياضيات باألنشطة الحركية بالتعاون مع معلم التربية الرياضية . ✍

�لنمو �لعقلى القدرات العقلية مثل القدرة اللغوية والقدرة العددية والقدرة المكانية والقدرة الميكانيكية والقدرة الموسيقية تظل فى نموها المضطرد خالل فترة المراهقة ، حيث يميل المراهق إلى القراءة واالطالع والرحالت الخارجية وقراءة القصص والمجالت فى الخاصة المذكرات ذاته ونقدها عن طريق مذكراته، وكتابه التعبير عن المراهق الدراسية، ويحاول المناهج للبعد عن محاولة

عالمة من عالمات النمو العقلى والنمو االجتماعى، وقد تكون وسيلة لتفريغ االنفعاالت والهروب من القلق والضيق النفسى.

التطبيقات التربوية لخصائص النمو العقلي :تدريب الطالب على استخدام األسلوب العلمى فى التفكير . ✍مراعاة الفروق الفردية بين الطالب وإشراكهم فى بعض المهام والتكليفات فى ضوء قدراتهم. ✍

�لقدر�ت و�لعملي�ت �لمعرفيةبما المعرفية العملية تتعلق بينما به، القيام أو الفرد عمله فالقدرة هى ما يستطيع المعرفية، العمليات القدرات عن تختلف يحدث فى العقل ذاته أو بما يدور فى العقل وهو يستجيب للمتغيرات المختلفة؛ وعليه فإنه يمكن القول بأن القدرة تشمل على مثل البحته العقلية الناحية تؤكد على القدرة فإن المختلفة الستجاباتها؛ ولذلك مثيراتها واألشكال وأنواع المعرفية العمليات القدرات االستقرائية، والعمليات المعرفية التى تعتمد على القدرات العقلية هى االنتباه الذى ينمو فى شدته ومستواه وطول مدته، يستطيع المراهق استيعاب مشكالت طويلة معقدة فى سهولة ويسر، واإلدراك الذى يتأثر بنمو الفرد الجسمى والعقلى واالنفعالى

شدليل املعلم - املقدمة

�لمقدمةواالجتماعى، فينمو من المستوى الحسى المباشر عند الطفل إلى المستوى المعنوى المجرد عند المراهق، وتنمو عملية التذكر وتنمو معها القدرة على الحفظ واالسترجاع والتعرف، والتذكر عند المراهق يعتمد على الفهم واستنتاج العالقات بين العناصر التى يتم تذكرها ويتأثر تذكر الفرد للموضوعات المختلفة بدرجة ميله نحوها واستمتاعه بها وبانفعاالته وخبراته المختلفة وأيضا

بنمو القدرة على االنتباه.أما عملية التفكير فإنها تتأثر عند المراهق بالبيئة المحيطة وبما تتضمنه من متغيرات تحفزه إلى ألوان مختلفة من االستدالل وحل المشكالت، تزداد قدرة المراهق على التخيل المجرد المبنى على الصورة اللفظية، كما تظهر القدرة المكانية لدى المراهق فى قدرته على فهم األشكال الهندسية المختلفة وإدراك العالقات المكانية فى سهولة تصور حركات األشكال والمجسمات، أما القدرة العددية فتوضح فى القدرة على إجراء العمليات بسهولة وسرعة، وتظل القدرات مطردة فى نموها خالل فترة المراهقة

وفترة الرشد، ما عدا قدرة السرعة اإلدراكية فإنها تضعف فى أواخر مرحلة المراهقة .

�لنمو �النفع�لىترتبط انفعاالت الفرد بتغييرات عضوية داخلية يصاحبها مشاعر وجدانية وتغيرات فسيولوجية وكيميائية داخل الجسم، وتؤثر بيئة الفرد فى تلك االنفعاالت، فهى بمثابة متغير لها، وللنمو أثر فى تغير وتطور االستجابات للمثيرات، ولكن المظاهر الداخلية تكون أقرب للثبات واالستقرار منها إلى التغير، وتتسم مرحلة المراهقة أنها عنيفة فى حدة االنفعاالت، حيث نجد المراهق دائم الثورة على األوضاع متمردا على الكبار، كثير النقد، ويشعر المراهق بأن األسرة والمدرسة والمجتمع ال تقدر موقفه، وال تحس

بإحساسه الجديد، لذا فهو يسعى دون قصد ألن يؤكد نفسه بثورته وتمرده وعناده.

التطبيقات التربوية لخصائص النمو االنفعالى: تنمية الثقة واالستقاللية لدى الطالب من خالل مشاركة المعلم للطالب فى عرض أفكارهم ومشاركتهم لمشكالتهم ✍

الشخصية .اجتناب المعلم ألساليب العقاب غير التربوية )كالعقاب البدنى أو السخرية أو االستهزاء ... إلخ. ✍

�لنمو �الجتم�عى مع بداية مرحلة المراهقة تزداد مجاالت النشاط االجتماعى، ويتنوع االتصال الشخصى بالمعلمين والقادة والرفاق وغيرهم، وباتساع دائرة العالقات والتفاعل االجتماعى يتخلص المراهق من بعض جوانب األنانية التى تطبع سلوكه فى مرحلة الطفولة فيحاول أن يأخذ ويعطى ويتعاون مع اآلخرين، وأثناء تفاعل المراهق وتعامله مع اآلخرين تتأكد لديه مظاهر الثقة بالنفس وتأكيد الذات، ومحاولته إشعار اآلخرين بأهميته كفرد له كيان مستقل، هذا ما يؤكد ميل المراهق للعناية بمظهره ومالبسه وطريقة حديثة

فنجده يتحدث كثيرا عن نفسه وعن قدراته وتفوقه وفى مجاالت التحصيل أو فى مجاالت الرياضة.

التطبيقات التربوية لخصائص النمو االجتماعي:استثمار ميول الطالب فى تنمية شخصيته. ✍تنمية التفاعل االجتماعي بين الطالب والمعلمين. ✍

تطبيقات الرياضيات - علمى - الصف الثاني الثانوي ص

إدراة وتنظيم بيئة التعلم النشط

ا تتمثل اإلدارة الجيدة للمعلم لبيئة التعلم والتى تعتمد على مشاركة الطالب فى التخطيط والتنفيذ للعملية التعليمية عامال مهما فى تحقيق األهداف التعليمية المنشودة. على توفير الجهد واالستغالل األمثل لموقف التعليم، وعنصرا مهم

ومع ظهور األساليب التربوية الحديثة التى تؤكد على ضرورة أن يكون الطالب هو محور العملية التعليمية وأن يكون له دور إيجابي فى العملية التعليمية ولهذا من المفضل إشتراكه فى إدارة هذه العملية، ومع التأكيد على دور التعلم النشط وهو ما أدى فى جملته إلى إدارة بيئة التعلم بتلك التغيرات التربوية، ومع مراعاة خصائص طالب المرحلة الثانوية، حيث تختلف إدارة بيئة التعلم التى يتمركز فيها التعليم حول المتعلم، أو مما يسمح له القيام ببعض األعمال اإلدارية داخل الفصل الدراسى، ويتطلب ذلك منح الطالب بعض الحرية فى إدارة بيئة التعلم ذاتيا تحت توجية وإشراف المعلم، األمر الذى يتطلب وضع مجموعة من القواعد العامة

للتعامل داخل بيئة التعلم يتوفر بها الشروط التالية:ان تكون متوافقة مع قواعد وسياسات المدرسة وداعمة لها��

)مثل: االهتمام بنظافة المكان - احترام المعلم - احترام اإلدارة المدرسية - احترام الزمالء.....(أن تحدد مجموعة من األسس التى يجب توافرها فى السلوك السوى للطالب، وأن يدعم كل سلوك بمبررات عقالنية، بشكل ��

يبين ضرورة هذا السلوك وفائدته لسير العمل فى الفصل بشكل إيجابى.أن تكون مقبولة من المعلم والطالب، وهذا يستلزم أن يتعاونا فى وضعها.��

مكونات اإدارة بيئة التعلم حين تكون إدارة بيئة التعلم عملية مشتركة بين المعلم والطالب، فإن هذا يعنى ضرورة إعادة صياغة المعلم ألدواره، حيث

يقوم بتعظيم دور المتعلم، وأن يصبح المعلم عضوا فى جماعة أو قائدا فى فريق أكثر من كونه المصدر الوحيد للسلطة.إن بيئة التعلم قد تكون حجرة الدراسة أو المعمل أو المكتبة أو حجرة الوسائط المتعددة أو غير ذلك، حيث يوجد الطالب مع

معلمهم يخططون وينفذون معا عددا من األنشطة التربوية، ومن ثم فإن مكونات بيئة التعلم تتمثل فيما يلى:التخطيط الجيد لتحديد خطوات وطريقة تنفيذ العملية التعليمية ��التنظيم المادى للفصل لمجابهة احتياجات العملية التعليمية��تحديد أساليب أو طرق التفاعل بين المعلم والطالب.��تهيئة مناخ الفصل لمجابهة احتياجات الطالب لتحقيق األهداف المنشودة ��ضبط سلوك الطالب.��استغالل البيئة المحيطة أفضل استغالل إلحداث عملية التعليم / التعلم الجيد.��االستغالل األمثل للوقت لتحقيق اكبر وقت ممكن للتعليم. ��

وتحدد هذه المكونات الجوانب التى يجب أن يركز عليها المعلم عند وضعه تصورا إلدارة فصله بما يضمن له النجاح فى مهمته.

ال�ضمات والمهارات الالزمة لإدارة بيئة التعلم الن�ضطيتطلب نجاح المعلم فى قيادته التربوية لبيئة التعلم إلى توافر مجموعة من السمات والمهارات األساسية، وهى كلها الزمة

لنجاح المعلم بدرجات متفاوته ومنها:السمات الشخصية: وتشمل المبادأة، الثقة بالنفس، والقدرة على االبتكار، وتحمل المسئولية، ضبط النفس، الحزم والسرعة فى

اختيار البدائلالمهارات الفنية: وهى المعرفة المتخصصة فى فرع من فروع العلم والكفاءة فى استخدام هذا الفرع بما يحقق الهدف المنشود،

وتكتسب هذه المهارات بالدراسة والخبرة والتدريب

ضدليل املعلم - املقدمة

�لمقدمةمهارات اجتماعية وتعنى قدرة المعلم على التعامل مع طالبه وتنسيق جهودهم، وخلق روح العمل الجماعى بينهم، وايضا قدرته

على االرتفاع والتأيثر ومواجهة المشاكل والتصدى لها بأسلوب ناجح.

تنظيم بيئة التعلم الن�ضطتحتاج إدارة بيئة التعلم إلى عناية فائقة من المعلم للتنظيم والتخطيط والترتيب، ويعد الفصل وترتيبه أحد العوامل الرئيسية

لنجاح عمل المعلم لتحقيق أهداف التعلم النشط، ولذلك يجب على المعلم أن يراعى عدد من النقاط المهمة وهى:المرونة: وتعد حجر الزاوية فى تنظيم الفصل؛ ألنه مهما نظم المعلم فصله فسوف يتم تعديله عند التطبيق ليناسب احتياجات 1 ))

الطالب واستراتيجيات التدريس المستخدمة.نوع األنشطة: يجب أن يضع المعلم فى اعتباره أن النشاط الذى سوف يقوم به الطالب هو الذى يحدد شكل الفصل وترتيب 1 ))

مقاعد الطالب وحركاتهم مثل: التعلم الفردى - التعلم التعاونى - تعلم األقران وهكذا.تنظيم األثاث والمواد واألدوات: تنظيم الفصل للتعلم النشط يعنى تنظيم المكان حتى يمكن للطالب العمل بمفردهم أو 1 ))

فى مجموعات كبيرة، و إن أمكن يستخدم أثاثا سهل الحركة حتى يمكن إعادة ترتيبه.المصادر التعليمية: يجب أن يحتوى جزء من الحجرة على المصادر التعليمية، وتكون مناسبة للطالب من حيث المستوى 1 4)

العمرى وتحدى قدراتهم.مراعاة الفروق الفردية بين الطالب.1 5)

اإدارة وقت التعلم بفاعلية ا فى التعليم داخل الفصل وهنا التخطيط يمر بالخطوات التالية: إن التخطيط إلدارة الوقت بمثل عامال مهم

دراسة استطالعية للوقوف على كيفية استغالل الوقت ويدخل فيها دراسة السجالت المختلفة الخاصة بالتدريس واألنشطة. ✍تحديد األهداف المرجو تحقيقها بدقة. ✍تحديد األولويات والمهام الالزم تنفيذها. ✍وضع خطة للعمل يحدد فيها الوقت الالزم لكل مهمة من المهام فى ضوء األهداف واألولويات . ✍تنفيذ هذه الخطة وفق جدول زمن محدد. ✍متابعة تنفيذ الخطة وتقويم األداء. ✍تبنى أساليب وحلول لمواجهة مشكالت الوقت. ✍

وتشير هنا إلى أن التخطيط لدرس ما ال بد أن يرافقه زمن كل مرحلة من مراحل التدريس، وعلى المعلم أن ينجز خطته تبعا للزمن المحدد، ولكى يحسن المعلم من إدارة وقته داخل الصف ينبغى عليه أن يقوم باآلتى:

االلتزام بوقت الحصة من حيث توقيت بدايتها وتوقيت نهايتها. ✍تحليل المشكالت التى يمكن أن تواجهه أثناء الحصة وتستنفد وقتها وأسبابها وكيفية عالجها. ✍التخطيط الجيد لدرسه حيث يساعده ذلك على إدارة الفصل بفاعلية واستثمار وقت الحصة. ✍

بناء جدول موا�ضفات الختبار التح�ضيلىيهدف االختبار التحصيلى إلى تحديد مقدار ما اكتسبه أو تعلمه المتعلم، األمر الذى يسمح بمقارنه مستوى تحصيل الطالب

بمستوى تحصيل غيره من الطالب الذين طبق عليهم نفس االختبار ولبناء االختبار التحصيلى عدة خطوات:تحديد األهداف )النواتج( التى يهدف المقرر إلى تحقيقها.��تحديد محتوى االختبار )أى الموضوعات التى يغطيها االختبار( فى ضوء األهداف التى يسعى االختبار إلى تحقيقها، ومن ��

التى يجب الموضوعات يتضمن ثنائى المواصفات، وهو جدول ثنائى يطلق عليه جدول وسائل تحقيق ذلك عمل جدول للموضوعات النسبى )الوزن النسبية واألهمية التعلم(، )نواتج الدراسى للمقرر التعليمية واألهداف االختبار، يغطيها ان ونسب الدراسى، للمقرر المهمة للجوانب االختبار تمثيل احتمالية من يزيد المواصفات جدول واستخدام واألهداف(.

تطبيقات الرياضيات - علمى - الصف الثاني الثانوي ط

تمثيلها لألهداف المنشودة، األمر الذى يرفع من صدق هذا االختبار، كما أن استخدام هذا الجدول يعد موجها للمعلم فى اختيار األفكار التى يجب ان يتضمنها االختبار.

خطوات إعداد جدول المواصفاتتحديد نواتج التعلم للمقرر الدراسى واألوزان النسبية لكل منها والتى تعكس االهتمام الذى تحظى به فى عملية التدريس، ��

وتكتب أعلى أعمدة جدول المواصفات.تحديد موضوعات المقرر الدراسى، ونسبة تمثيل كل منها، ولكى يتسنى للمعلم أو معد االختبار تحديد األوزان النسبية أو ��

نسبة تمثيل موضوعات المقرر الدراسى يمكنه االستعانة بالموجهات التالية:الزمن المخصص لتدريس كل موضوع من موضوعات المقرر الدراسى.��

أفقيا على الموضوعات تكتب هذه منها النسبية لكل الدراسى، واألوزان المقرر يتضمنها التى الموضوعات وبعد تحديد الموضوعات عدد معين من خاليا التى تمثل التعلم، والصفوف نواتج التى تمثل صفوف الجدول، وينشأ عن تقاطع األعمدة عدد أو األسئلة نسبة بدورها تحدد التى المحتوى موضوعات من موضوع كل تمثيل درجة وتعكس تحدد التى )الخانات( األسئلة التى يجب أن يتضمنها االختبار بالنسبة لكل موضوع من موضوعات المحتوى، والوزن النسبى المحدد لكل موضوع من

موضوعات المحتوى، ولتحديد األهمية النسبية لكل خلية من خاليا جدول المواصفات يتم اتباع الخطوات التالية: تحديد وضع الخلية.�� تحديد )الموضوع( الذى يتقاطع مع الخلية.�� تحديد النسبة المئوية الكلية للصف. �� تحديد النسبة المئوية الكلية للعمود )الهدف( الذى يتقاطع مع الخلية.�� تحديد النسبة المئوية الكلية للعمود .��

ظدليل املعلم - املقدمة

�لمقدمة وفيما يلى نموذج مقترح لجدول مواصفات اختبار تحصيلى للصف الثانى الثانوى

حل م�ضكالت 25 ٪تطبيقفهممعرفه

عدد جة�الأ�شئلة

درعدد �ل

جة�الأ�شئلةدر

عدد �لجة�الأ�شئلة

درعدد �ل

جة�الأ�شئلةدر

�ل�لمجموع

1 سؤال)) مفردةديناميكا 2

مقال(

) مفردة1 سؤال

2

((

(

1 سؤال )) مفردةاستاتيكا2

مقال1 سؤال)

4مقال

() مفردةسؤالمقال

(4

5

1 سؤال ) مفردة)هندسة وقياس2

مقال1 سؤال)

4() مفردةسؤالمقال

(4

5

1 سؤال )) مفردةإحصاء2

مقال(

) مفردة1 سؤال

2مقال

((

(

4) سؤال8) سؤال)) مفردة)) مفردة�لمجموع4 مفردات

) سؤالمقال

(6

00)٪25٪50٪٫5))٪٫5))٪�لن�شبة

ويالحظ أنه بعد تحديد جدول مواصفات االختبار، تكتب مفردات االختبار فى ضوء كل من الموضوع والمستوى المعرفى فى كل خلية من خاليا الجدول مع اختيار أنماط األسئلة المالئمة لقياس هذه المستويات، وذلك كما هو موضح باالختبارات

المرفقة فى نهاية كل فصل دراسى.

ثانيا : الطار التنفيذى للدليل

ى المعرفيالمستو

المحتوى

الميكانيكا

الميكانيكا بالمفهوم العام هو العلم الذى يقوم بدراسة حركة أو اتزان األجسام المادية، وذلك باستخدام القوانين

إطالق الصواريخ أو قذيفة المدفع أو الخاصة بها، فمثالا هناك قوانين تسري على دوران األرض حول الشمس و

غير ذلك. ويقصد بها التغير الذى يحدث بمرور الزمن لمواضع األجسام المادية فى الفراغ، والتأثير الميكانيكى

ا لتأثيرات القوى المختلفة عليها ، لذلك فإن المتبادل بين األجسام هو التأثير الذى تتغير له حركة هذه األجسام، طبقا

المسألة األساسية فى الميكانيكا هى دراسة القوانين العامة لحركة واتزان األجسام المادية تحت تأثير القوى عليها.

ويمكن تقسيم الميكانيكا إلى قسمين هما:

Statics 1الإ�ستاتيكا

)علم توازن األجسام( يبحث فى سكون األجسام تحت تأثير مجموعة من المؤثرات تسمى القوى ، وتوصف القوى

التى ال تغير من حالة الجسم بأنها متزنة، ويقال للجسم: إنه فى حالة توازن تحت تأثير هذه القوى.

وقد بدأت الدراسة العامة التزان األجسام )اإلستاتيكا( فى العصور القديمة نتيجة لمتطلبات اإلنتاج البسيطة فى هذا الوقت

)كالرافعة والبوابة والمستوى المائل وغيرها( وكان لمؤلفات أرشميدس دور مهم فى هذا الوقت لترسيخ علم اإلستاتيكا.

Dynamics 2 الديناميكا

إلى: الديناميكا ، وتنقسم القوى تأثير المادية تحت قوانين حركة األجسام تتضمن )علم حركة األجسام( والتى

ا دون ا مجردا الكينماتيكا Kinematics وهى تبحث فى خصائص الحركة من الوجهة الهندسية )وصف الحركة وصفاالتعرض للقوى المسببة لها(، والكيناتيكا Kinetics وهى تبحث فى تأثير القوى المسببة أو المغيرة للحركة، وقد

تلت الديناميكا فى دراستها اإلستاتيكا بأمد طويل؛ نتيجة النهضة فى مجاالت النقل والتجارة والصناعة واإلنتاج

وصناعة األسلحة واالكتشافات الفلكية.

وهناك:

ميكانيكا النقطة المادية )أى الجسم الذى يمكن إهمال أبعاده عند بحث حركته أو اتزانه(.

ا من الجسيمات المترابطة مع بعضها ميكانيكا الجسم الجاسئ Rigid Body )أى الجسم المكون من عدد كبير جدالبعض؛ بحيث إن المسافة بين أي جسيمين منها تكون ثابتة وال تتأثر بأي مؤثر خارجي(.

1 سوف ندرس فى هذه الوحدة مفهوم القوة وخواصها ووحدات قياسها وتحليل القوة إلى مركبتين، وإيجاد محصلة عدة قوى متالقية فى نقطة ، ثم دراسة اتزان نقطة مادية تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة، وتطبيقات عليها.

2 سوف ندرس فى هذه الوحدة )الكينماتيكا( وهى التى تختص بوصف حركة األجسام دون التعرض للقوى المسببة لها، وتتناول هذه الدراسة حركة األجسام، والظواهر المصاحبة لهذه الحركة، ومسببات الحركة وقوانينها، وتطبيقات على الحركة األفقية والرأسية بعجلة منتظمة، وقانون الجذب

العام لنيوتن.

مقدمة عن تطور علم الميكانيكا

تطبيقات الرياضيات - علمى 2

مقدمة الوحدة ستتناول هذه المقدمة التعريف بمفهوم علم الميكانيكا و تطوره

ميكانيكا ثم الكم بميكانيكا مرورا الكالسيكسة النظرية من

النسبية النظرية أخيرا و الحيوية الميكانيكا ثم الموائع

علم تطور عن: األنشطة بعض أيضا تناولت كما ألينشتاين،

الميكانيكا تاريخيا من النظرية الكالسيكية إلى النظرية النسبية

، و أنواع اخرى حديثة فى علم الميكانيكا.

التى وقوانينه الميكانيكا علم تطور فى الرياضيات علماء دور

أسهمت فى فهم كثير من الظواهر الحياتية.

األساسية القياس بوحدات التعريف المقدمة هذه تناولت كما

والوحدات المشتقة كمقدمة قبلية لدراسة اإلستاتيكا والديناميكا.

مخرجات التعلممن يتوقع فيها، األنشطة وتنفيذ المقدمه، هذه دراسة بعد

الطالب أن:

يتعرف تطور علم الميكانيكا تاريخيا و تطوره من النظرية الكالسيكية �إلى النظرية النسبية، و يتعرف أنواع أخرى حديثة من علم الميكانيكا

فى صورة أنشطة.يتعرف أن علم الميكانيكا هو علم دراسة الظواهر المتعلقة بالحركة �

)الديناميكا(، والظواهر المتعلقة بالسكون )االستاتيكا(.الميكانيكا، � علم تطور فى الرياضيات علماء دور ويقدر يتعرف

حل و الحياتية، الظواهر من كثير فهم فى أسهمت التى وقوانينة العديد من مشكالت الرياضية الحياتية.

يتعرف وحدات القياس اآلتية عند دراسة الموضوعات المتعلقة بها: �األطوال � قياس فى تستخدم التى المسافة/اإلزاحة قياس وحدات

الكبيرة مثل: الكيلومتر، والتى تستخدم لقياس األطوال المتناهية فى الصغر مثل النانومتر، و دراسة العالقة بينهما.

).....-الساعة-الدقيقة-الثانية-.....- � الزمن قياس وحدات الفيمتوثانية(، و دراسة العالقة بينهما.

� ،).....- جرام كيلوجرام- - )طن الكتلة قياس وحدات ودراسة العالقة بينهما.

وحدات قياس السرعة ، و العجلة ، و القوة. �

مفرادات اساسية:� Mechanics ميكانيكا � statics استاتيكا � Dynamics ديناميكا � Kinematics الكينامتيكا � Kinetics الكيناتيكا � Rigid bodies جسم جاسئ � Elasticity املرونة � Plasticity اللدونة امليكانيكا الكالسيكية �

Classical mechanics النظام الدوىل للواحدات �

International system of units SI

الكميات املشتقة �Derived quontities

� Fluid mechanics ميكانيكا املوائع � QBiomechanics امليكانيكا احليوية � femtosecon الفيتمو ثانية � Mesaure units وحدة قياس � Length الطول � Mass الكتلة � Time الزمن � Velocity الرسعة � Acceleration العجلة � Force القوة

االدوات و الوسائل آله حاسبة علمية �

الشبكة الدولية للمعلومات �

مقدمة عن تطور علم الميكانيكا

تطبيقات الرياضيات - علمى2

دروس الوحدة

الكتلة فيها تتغير عليها تطرأ تغيرات واألجسام األنظمة لبعض )توجد المتغيرة الكتل ذات األجسام ميكانيكا بتغير الزمن كأن ينفصل عنها أو يتحد بها جسيمات تنقص أو تزيد من كتلتها فى أثناء الحركة، ومن هذه األجسام

الصواريخ النفاثة وعربات المناجم التى تتغير كتلتها نتيجة استهالك الوقود وغيرها من األنظمة المختلفة(.

ميكانيكا األجسام القابلة للتشكيل )المرونة Elasticity( هى خاصية األجسام التى لها القدرة على الرجوع إلى شكلها و أبعادها األصلية بعد تشكيلها، أما اللدونة Plasticity وهي عند تعرض األجسام إلى مؤثرات خارجيةتتغير أشكالها

وال تعود إلى حالتها الطبيعية عند زوال المؤثر الخارجي.

تطور علم الميكانيكا:

Classical machanics الميكانيكا الكال�سيكيةتعد أقدم فروع الميكانيكا حيث تهتم بدراسة القوى التى تؤثر على األجسام ، كما تهتم بتفسير حركة الكواكب

وتساعد كذلك فى العديد من التقنيات الحديثة )الهندسة اإلنشائية والهندسة المدنية والمالحظة الفضائية ...(.

Quantum mechanics ميكانيكا الكمهي مجموعة من النظريات الفيزيائية التي ظهرت فى القرن العشرين، وذلك لتفسير الظواهر على مستوى الذرة

والجسيمات، وقد دمجت بين الخاصية الجسيمية والخاصية الموجية ليظهر مصطلح ازدواجية )الموجة – الجسيم(

، وبهذا تصبح ميكانيكا الكم مسئولة عن التفسير الفيزيائي على المستوى الذري، لذلك ميكانيكا الكم هي تعميم

للفيزياء الكالسيكية إلمكانية تطبيقها على المستويين الذري والعادي، وسبب تسميتها بميكانيكا الكم يعود إلى

أهمية الكم فى بنائها )وهو مصطلح فيزيائي يستخدم لوصف أصغر كمية من الطاقة يمكن تبادلها بين الجسيمات،

ويستخدم لإلشارة إلى كميات الطاقة المحددة التي تنبعث بشكل متقطع، وليس بشكل مستمر(.

Fluid Mechanics ميكانيكا الموائعا الموائع )السوائل والغازات (، ويدرس هذا التخصص السلوك هى أحد فروع ميكانيكا الكم وهي تدرس أساسا

الفيزيائى لهذه المواد، وتنقسم إلى إستاتيكا الموائع ودراستها فى حالة عدم الحركة وديناميكا الموائع ودراستها فى

حالة الحركة

:Biomechanics الميكانيكا الحيوية

علم الميكانيكا الحيوية )البيوميكانيك( هو علم دراسة القوانين العامة فى حركة أى كائن حى والتحليل الميكانيكي

لحركة األجسام الحية من جميع النواحى ) التشريحية - الفسيولوجية - البدنية - الميكانيكية ...(، والذى يتعامل مع

القوة على األجسام الحية سواء كانت فى حالة السكون أو الحركة، ومن أمثلة ذلك : حركة األمعاء، وتدفق الدم

فى الشرايين، وانتقال البويضة فى قناة فالوب، وانتقال السوائل فى الحالب من الكلية إلى المثانة، وعملية هضم

الطعام وحركته، ومن خالل التحليل الميكانيكي يمكن التوصل إلى حاالت جديدة ومالئمة لتطوير مستوى األداء.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اكيملكيمل

3

زمن التدريس2 حصة

مكان التدريس:الفصل الدراسي.

مصادر التعليم:كتاب الطالب من صفحة )2( إلى صفحة )9( �

الشبكة الدولية للمعلومات. �

طرق التدريس المقترحة:الشبكة الذهني-استخدام المباشر-المناقشة-العصف العرض

الدولية للمعلومات.

التهيئة المادية-الجسم � النقطة التالية: المفاهيم للطالب وضح

الجاسئ- األجسام ذات الكتل المتغيرة و اطلب اليهم اعطاء

أمثلة لكل مفهوم منها.

بين � الفرق توضح مختصرة نبذة بإعطاء الطالب إلى أشر

بعض سرد مع الكيناتيكا( )الكينماتيكا، الديناميكا فرعى

الموضوعات التى سوف نتناولها لدراسة كل منها.

إجراءات الدرسفى � للمعلومات الدولية الشبكة استخدام الطالب إلى اطلب

الكالسيكية النظرية الميكانيكا من البحث عن تطور علم

إلى النظرية النسبية ويمكنك أن تضيف بعض البحوث اآلتية:

Ñ التخصصات بعض الموائع ميكانيكا تحت يندرج

)أيروديناميك( الهوائية الديناميكيات فهناك األخرى

ظهرت وقد المائية)الهيدوديناميك(، والدينامكيات

المتصلة للمسائل تطبيقات حسابية حديثة إليجاد حلول

بذلك المعنى التخصص ويسمى ، الموائع بمكانيكا

omputatuinal FluidC( الحسابية الموائع ديناميكيات

)Dynamics

3 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

General relativity theory النظرية الن�سبية العامةالمكان، الفيزياء: فى األساسية بالمصطلحات يتعلق فيما المفاهيم من الكثير غيرت ألينشتاين النسبية النظرية

الزمان الكتلة والطاقة؛ حيث أحدثت نقلة نوعية فى الفيزياء النظرية وفيزياء الفضاء فى القرن العشرين.

ت بأن كل الحركة نسبية. ومفهوم الوقت تغير من كونه قامت نظرية النسبية بتحويل مفهوم الحركة، حيث نص

ا بعد أن كان يتم التعامل معهما ا آخر غير مكاني. وجعلت الزمان والمكان شيئاا موحدا ا، إلى كونه بعدا ثابتاا ومحددا

ا مفهوما الزمن د وتمد البعد تقلص يتوقف على سرعة األجسام، وأصبح الوقت مفهوم كشيئين مختلفين. وجعلت

أساسيا لفهم الكون.وبذلك تغيرت كل الفيزياء الكالسيكية النيوتونية.

نشاط

1 - استخدم الشبكة الدولية للمعلومات )اإلنترنت( فى البحث عن دور علماء الرياضيات فى تطور علم الميكانيكا وإليك بعض نتائج البحث:

كان للعالم اإلنجليزى إسحق نيوتن Isaac Newton الفضل فى تمهيد الطريق لعلم الميكانيكا الكالسكية عن طريق

johannes قوانين الحركة التى فسرت الكثير من الظواهر الطبيعية والفلكية، كما كان للعالم األلماني يوهانز كيبلر

Kepler وجاليليوجاليلي اإليطالى Galileo Galilei دور عظيم فى وضع قوانين تصف حركة الكواكب؛ حيث بينت

ا حركة الكواكب حول الشمس وفق المنظور الجديد الذي قوانين كيبلر أن هناك قوة تجاذب بينها، وبينت أيضا

يعتمد على مركزية الشمس بشكل أصبحت فيه الحسابات تطابق األرصاد الفلكية إلى درجة كبيرة، وقد ظلت هذه

القوانين سائدة منذ القرن السابع عشر حتى ظهور النظرية النسبية التى صاغها أينشاتين Einstein خالل السنوات

1905 - 1916 وميكانيكا الكم التى اشترك فى صياغتها ماكس بالنك Max plank وهينزبرج Heyznberg وشرودنجر

Schrodinger وديراك Dirac فى بداية القرن العشرين.

ا للغاية، يعمل باستخدام الليزر، له القدرة كما ابتكر الدكتور أحمد زويل Dr. Ahmed Zewail نظام تصوير سريعا

على رصد حركة الجزيئات عند نشوئها وعند التحام بعضها ببعض، وقد سجل أحمد زويل فى قائمة الشرف بالواليات

المتحدة األمريكية والتى تضم إلبرت أينشتاين وألكسندر جراهام بيل.

http: //ar.wikipedia.org ولمزيد من المعلومات ابحث فى الموسوعة الحرة )ويكبيديا( على الموقع:

Measuring Units وحدات القيا�س: الطول، قياس الطبية مثل الفحوصات بإجراء بعض فإنه يقوم العسكرية الكليات إلى الطالب يتقدم أحد عندما

والوزن ، وضغط الدم، ومعدل ضربات القلب، ... فعملية القياس هى مقارنة مقدار بمقدار آخر من نفس النوع،

وذلك لمعرفة عدد مرات احتواء المقدار األول إلى المقدار الثانى، والنظام المستخدم فى معظم أنحاء العالم هو

International system of units (SI) .النظام الدولى للوحدات

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى:

4

Ñ ،فى الميكانيكا الحيوية توجد أبحاث أكثر فى مجال نمو

المرتفع الدم ضغط تأثير مثل األعضاء تشكيل إعادة و

الخاليا وسلوك الشرايين، جدران ميكانيكية على

العظام ونمو القلب، عضلة احتشاء مع القلبية العضلية

كاستجابة لممارسات معينة ، و نمو النباتات التأقلمى مع

الحية األنسجة أن على كشاهد تعتبر و الريح، حركة

المطبقة، لألحمال مباشرة كنتيجة جديد من تتشكل

توظف علوم الرياضيات المختلفة لحل المشاكل الحياتية

وتشمل الجبر الخطي، والمعادالت التفاضلية، و التكامل،

والهندسة، والميكانيكا والتوبولوجى واإلحصاء وغيرها.

نشاط

فى � للمعلومات الدولية الشبكة استخدام الطالب إلى اطلب

البحث عن دور علماء الرياضيات فى تطور علم الميكانيكا

ثم ناقشهم فى األبحاث التى توصلوا إليها.

أسئلة يمكن للمعلم االستعانة بها: �

أكمل ما يأتي:

خصائص فى يبحث الذى األجسام حركة علم يسمى 1الحركة من الوجهة الهندسية فقط بـ ........................................

القوى تأثير فى يبحث الذى األجسام حركة علم يسمى 2المسببة أو المغيرة للحركة بـ........................................

للسوائل الفيزيائى السلوك تتناول التى الميكانيكا تسمى 3والغازات بـ........................................

الكائنات تحليل و دراسة تتناول التى الميكانيكا تعرف 4الحية بالميكانيكا ........................................

الفيمتو ثانية يساوى ........................................ 5

أعط ثم المتغيرة، الكتل ذات األجسام ميكانيكا عرف 6بعض األمثلة على ذلك.

اذكر الفرق بين المرونة و اللدونة. 7

اكتب نبذة مختصرة عن كل من: 8ب- ميكانيكا الكم. أ-  الميكانيكا الكالسيكية.

د-  الميكانيكا الحيوية. ج - ميكانيكا الموائع.

عرف الفيمتو ثانية ثم بين أهم المجاالت التى يستخدم فيها. 9

تطبيقات الرياضيات - علمى4

ايناك رل ملع روط ندقممدقم

ويتضمن هذا النظام الدولى للوحدات (SI) سبع وحدات أساسية، وقد حددت وحدات هذه الكميات األساسية باستخدام

المباشر معتمدة على وحدات معيارية لكل من الطول والزمن والكتلة المحفوظة بدائرة األوزان والمقاييس القياس

بفرنسا، أما الوحدات األخرى فيمكن اشتقاقها من الوحدات األساسية، وسنختص فى دراستنا بالكميات اآلتية:

Fundamental quantities )SI( الكميات الأ�سا�سية ووحدات قيا�سها فى نظام : اأولا

الرمزالوحدة األساسية الكمية األساسية length meterالطول )m(متر م

mass kilogramالكتلة )kg(كيلو جرام كجم

time secondالزمن )s(ثانية ث

ومن مميزات استخدام وحدات النظام الدولي هو سهولة التحويل بين الوحدات

اأ�سف اإلى معلوماتك

Femtosecond 1- الفيمتو ثانيةالفيمتو ثانية: هو جزء من مليون مليار جزء من الثانية، أي )عشرة مرفوعة للقوة )-15(( من الثانية والنسبة بين الثانية

والفيمتو ثانية هي النسبة بين الثانية و32 مليون سنة.

فى عام1990م تمكن العالم المصرى أحمد زويل من تثبيت اختراعه المعروف بكيمياء الفيمتو، وذلك بعد جهد

ص اختراعه فى اختراع وحدة مضن مع فريق بحثه القابع فى معهد كاليفورنيا للتقنية امتد منذ عام 1979، ويتلخ

ل هذا العالم إلى اكتشافه العلمي باستخدام زمنية تخطت حاجز الزمن العادي إلى وحدة زمن الفيمتو ثانية، وتوص

نبضات ليزر قصيرة المدى وشعاع جزيئي داخل أمبوب مفرغ ، وكاميرا رقمية ذات مواصفات فريدة، وذلك لتصوير

التحاقها بباقي الجزيئات األخرى، وأصبح باإلمكان التدخل السريع ومباغتة حركة الجزيئات منذ والدتها وقبل

التفاعالت الكيميائية عند حدوثها باستخدام نبضات الليزر كتليسكوب للمشاهدة، ومتابعة عمليات الهدم والبناء

ا الستخدام هذا االكتشاف العلمي فى مجال الطب، فى الخلية، وقد جعل هذا العالم العربي العمالق الباب مفتوحا

لت باسمه مدرسة علمية جديدة عرفت باسم كيمياء الفيمتو. والفيزياء، وأبحاث الفضاء وغيرها الكثير، وسج

كسور الوحدات 2- مضاعفات الوحدات

القياسالرمز الوحدةالقياسالرمزالوحدةtera T1210deciتيرا d1-10ديسي giga G910centiجيجا c2-10سنتي mega M610milliميجا m3-10مللي kilo K310microكيلو u6-10ميكرو

nano n9-10نانو pico p12-10بيكو femto f15-10فمتو

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اكيملكيمل

5

وعلى ذلك يمكن تحويل كل من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها: 2٫75 كم إلى م. 1

635 مم إلى ديسم. 2

750 كيلو هرتز إلى ميجا هرتز. 3

1970 جم إلى كجم. 4 على النحو التالى:

= 2750 م 1000 * 2٫75 = 2٫75 كم 1

= 6٫35 ديسم 2 - 10 * 635 = 635 مم 2

= 0٫75 ميجا هرتز 3 - 10 * 750 = 750 كيلو هرتز 3

= 1٫97 كيلو جرام. 3- 10 * 1970 = 1970 جم 4

Derived quantities ثانياا: الكميات الم�ستقة

1 وحدة قيا�س ال�سرعة تعرف السرعة بأنها معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن.

وحدة قياس السرعة = وحدة قياس المسافة ÷ وحدة قياس الزمن

فإن السرعة تقاس بوحدة: متر / ثانية )م/ث(.

2 العجلة تعرف العجلة بأنها معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن ويكون:

ا / ثانية مربعة )م/ث2(. وحدة قياس العجلة : مترا

وعلى ذلك يمكن تحويل كل من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها: 1كم/س إلى سم/ ث. 1 كم/س إلى م/ث. 2 1

كم /س/ث إلى سم/ث2 1 كم /س /ث إلى م /ث2 4 3

على النحو التالى:

5 م/ث18 =

1 * 1000م60*60 ث

= 1كم/س 1

تذكر اأن

كم = 1000م م = 10 ديسم

ديسم = 10 سمسم = 10 مم

هل تعلم

الفترة هى العيارية: الثانية ذرة تستغرقها التى الزمنية بمقدار لتتذبذب السيزيوم

دورة كاملة.

لحظ اأن

الكميات قياس وحدات العجلة، )السرعة، المتجهة حيث من تعامل القوة( النظر بصرف فقط مقاديرها

عن االتجاه.

تذكر اأن

اليوم الشمسى المتوسط =24 ساعة .

الساعة = 60 دقيقة.الدقيقة = 60 ثانية.

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى:

6

فى بند وحدات القيا�س:الموحد )SI( تستخدم � الدولى النظام إلى الطالب أن فى أشر

ذلك و الطول،الكتلة،الزمن( ( للقياس األساسية الكميات

للطول بالنسبة عشرة على بالقسمة أو عشرة فى بالضرب

والكتلة، وبالتالى تستطيع أن تحول من كمية ألخرى بسهولة

كما هو موضح بالجداول المرفقة من صفحة )5(.

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة (:

إجابة تدريب )1(

*1000*10=7500 ديسيمتر.34 كيلومتر =

34 أ

0٫245 ميكروجرام = 0٫245*10-3 =24٫5*10-5ميلى جرام ب

1250 كيلوهرتز=1250*10-3 =12٫5*10-5 ميجا هرتز ج

12 مللى أمبير= 12*310 ميكرو أمبير د

نشاط

فى � للمعلومات الدولية الشبكة استخدام الطالب إلى اطلب

البحث عن تعريفات أخرى للطول العيارى، وناقشهم فى هذه

بين المسافة تقدير يمكن أنه الطالب إلى وضح األبحاث،

كم وكذلك المسافة 8 التى تبلغ 1495*10 األرض و الشمس

بين األرض والقمر التى تبلغ 2844*10 5 كم وذلك بمعلومية

من وصوله وزمن م/ث 8 10*2998 تبلغ التى الضوء سرعة

الشمس إلى األرض الذى يقدر بـ500 ثانية.

أسئلة إثرائية :

حول كال من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها :

460 كيلو هرتز إلى ميجا هرتز. أ

4560 سنتيمتر إلى كيلو متر . ب

كم ثانية فى السنة الكبيسة )السنة الكبيسة تساوى 366 يوما( ج

إرشادات للدراسة:

عن بدقة واألرض القمر بين المسافة قياس من العلماء تمكن

طريق إرسال أشعة الليزر باتجاه القمر من خالل مناظير فلكية

الليزر عن سطح عاكس وضع على أشعة تنعكس حزمة بحيث

سطح القمر، وترتد عائدة إلى األرض، مما مكن العلماء من قياس

متوسط المسافة بين القمر واألرض وهى 385000كم بضبط يزيد

عن واحد بالمليار، وباستخدام تقنية الليزر هذه اكتشف العلماء

أن القمر يبتعد عن األرض سنويا بمعدل 3٫8 سم/سنة تقريبا.

5 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

250 سم/ث9 =

1 * 1000 * 100سم60 * 60 ث

= 1 كم/س 2

5 م/ث218 =

1000 م

60*60 ث * ث = كم /س/ث 3

250 سم/ث29 =

1000 * 100سم60 * 60 ث * ث

= كم/س/ث 4

تدريب

حول كال من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها: 1 36 كم/س/ث إلى سم/ث2 ج 1000سم/ث إلى كم /س ب 72 كم/س إلى م/ث أ

Force 3 القوةتعرف القوة بأنها حاصل ضرب الكتلة )ك( فى عجلة الحركة )جـ(

فإذا رمزنا للقوة بالرمز )ق( فإن ق = ك * جـ

وحدات قيا�س مقدار القوةالوحدات المطلقة: مثل الداين والنيوتن حيث 1 نيوتن = 510 داين ويعرف النيوتن والداين على النحو التالي:

النيوتن: هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى 1 كيلو جرام أكسبتها عجلة مقدارها 1متر/ث2

الداين: هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى 1 جرام أكسبتها عجلة مقدارها 1 سم/ث2

الوحدات التثاقلية:مثل: ثقل الجرام )ث جم( ، ثقل الكيلو جرام )ث كجم( حيث 1 ث كجم = 310 ث.جم

ويعرف ثقل الكيلو جرام وثقل الجرام على النحو التالى:

جرام كيلو 1 تساوى كتلة على أثرت إذا التى القوة مقدار هو جرام: الكيلو ثقل أكسبتها عجلة مقدار 9٫8 متر/ث2

ثقل الجرام: هو مقدار القوة التى إذا أثرت على كتلة تساوى 1 جرام أكسبتها عجلة مقدارها 980 سم/ث2

وتربط الوحدات التثاقلية بالوحدات المطلقة بالعالقة: 1ث كجم = 9٫8 نيوتن، 1 ث جم = 980 داين

اأ�سف اإلى معلوماتك

النظر )بغض األجسام جميع سطح على تسقط كتلتها( عن )عجلة( بتسارع األرض منتظم يقع بين 9٫78، 9٫82دائرة على اعتمادا م/ث2 العرض ولكننا سنعتبرها 9٫8 ما االستخدام لسهولة م/ث2

لم تحدد قيم أخرى لها.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اكيملكيمل

7

وعلى ذلك يمكن تحويل كل من الوحدات اآلتية إلى الوحدات المناظرة لها:3٫14 نيوتن إلى داين 1

6٫75 * 710 داين إلى نيوتن 2

على النحو التالى:3٫14 نيوتن = 3٫14 * 510 = 314000 داين 1

6٫75 * 710 داين = 6٫75 * 710 ÷ 510= 675 نيوتن 2

تدريب

حول كال من الوحدات التالية إلى الوحدات المناظرة لها: 2

1 ث جم إلى داين7 أ

5٫36 * 1250 داين إلى نيوتن ب

2٫50 نيوتن إلى داين ج

يمكن وضع الكميات المشتقة فى جدول على النحو التالي:

وحدة القياسعالقتها بالكميات األخرىالكمية المشتقة

)V()المسافة ÷ الزمنالسرعة )عm/s م/ث

)a()السرعة ÷ الزمنالعجلة )جـm/s2 2م/ث

)F()الكتلة * العجلةالقوة )قN نيوتن

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى:

8

فى بند الكميات المشتقة:

عنها � التعبير يمكن المشتقة الكميات بأن الطالب إلى أشر

بداللة الكميات األساسية مثل الطول ، الكتلة، الزمن، وغيرها

والسرعة، والحجم، ، المساحة : المشتقة الكميات ومن

بمعادلة يسمى ما وهناك ،.......وغيرها، والطاقة والعجلة

األبعاد التى تعتمد أساسا على كل من )الطول، الكتلة،الزمن(

فعلى سبيل المثال، أبعاد السرعة هى مسافة/زمن، العجلة هى

مسافة/مربع الزمن ، الحجم )مسافة(3 و هكذا ..............

التقييم المستمر )الحوار والمناقشة(:

اأ�صئلة تدريب �صـ)8(

=20 م/ث5

18 72 كم/س=72 * أ

1000 * 9 = 36 كم/ث2 250

1000سم/ث = ب

=1000 سم/ث2510 * 3660 * 60

36كم/س/ث = ج

اأ�صئلة اإثرائية:اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجايات المعطاة:

ليس من الكميات األساسية: 1د الكتلة ج الزمن  ب الثقل  أ الطول 

الوحدة الدولية للكتلة هي: 2د الملليجرام ج الكيلو جرام ب الطن  أ الجرام  

الوحدات األقل من الواحد الصحيح هي: 3د ميكرو ج ديسكا   ب كيلو  أ هيكتو  

ماذا يقصد بكل من: 2

ب الكتلة العيارية. أ الطول العيارى.

ج الزمن العيارى.

إذا أعطيت المسافة بوحدة كم و السرعة بوحدة م/ث أى 3من العمليات اآلتية تعبر عن إيجاد الزمن بالثانية؟

أ ضرب المسافة فى السرعة ثم ضرب الناتج فى 1000

ب قسمة المسافة على السرعة ، ثم ضرب الناتج فى 1000

ج قسمة المسافة على السرعة ثم قسمة الناتج على 1000

د ضرب المسافة بالسرعة ثم قسمة الناتج على 1000

تطبيقات الرياضيات - علمى6

ايناك رل ملع روط ندقممدقم

تحقق من فهمك

اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة:

تقاس الكتلة بوحدة: 1 ثقل الكيلو جرام د الكيلو جرام ج النيوتن ب الداين أ

من الكميات األساسية فى النظام الدولى: 2 القوة د العجلة ج السرعة ب الكتلة أ

الملليمتر وحدة تعادل: 3 10-4 ديسميتر د 10-2 سنتيمتر ج 10-3 متر مكعب ب 10-3 متر أ

اأجب عن الأ�سئلة الآتية:

ماذا يطلق على القيم التالية: 4 1000 متر ج 10-3 متر ب 10-2 متر أ

حول كال ممايأتى إلى متر: 5 0٫534 ديسيمتير ج 512٫6 ملليمتر ب 63٫4 سنتيمتر أ

تفكير ناقد: احسب بوحدة الكيلوجرام كتلة الماء الالزمة لملء وعاء على شكل متوازى مستطيالت طوله 6 ا بأن كثافة الماء تساوى 1جم/سم3 مقرباا الناتج ألقرب عدد 1٫6م وعرضه 0٫650 م وارتفاعه 36 سنتيمتر, علما

صحيح .

]إرشاد: الكتلة = الحجم * الكثافة[

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اكيملكيمل

9

التقييم المستمر: )تعلم ذاتى(

اإجابة تدريب )3( *980=140 داين

17 ث جم =

17 أ

5٫36 * 1250 = 6٫7*10-4 نيوتن510 * 2٫5

ب 5٫36 * 1250 داين =

ج 2٫5 نيوتن = 2٫5 * 510 داين

اإجابة تحقق من فهمك3 أ           2 أ جـ    

ج الكيلومتر ب الملليمتر   أ السنتيمتر   4أ 63٫4 سنتيمتر = 0٫634 متر 5

ب 512٫6 ملليمتر = 0٫5126 متر

ج 0٫534 ديسيمتر = 0٫0534 كيلومتر

الكتلة = الحجم * الكثافة 6 = الطول * العرض * االرتفاع

1 * 36 * 65 * 160 =

= 374400 جم

= 374 كيلوجرام

أخطاء شائعة:

أشر إلى الطالب أنه يمكن استخدام وحدات القياس للتحقق �

من صحة إجابة معادلة أو مجموعة معادالت بشكل صحيح

أو ث/م بوحدة السرعة حساب عند المثال سبيل فعلى

م/ ث2، فاعرف أن هناك خطأ فى حل المسألة، هذه الطريقة

تسمى جبرية كميات باعتبارها الوحدات مع التعامل فى

تحليل الوحدات.

)هو � التحويل معامل إيجاد فى الوحدات تحليل يستخدم

معامل ضرب يساوى الواحد الصحيح( فعلى سبيل المثال:

1كجم = 1000جم

و من هنا نستطيع بناء معامل التحويل التالى:

1 = 1000جم1 كجم

= 1كجم

1000 جم

حيث يمكن اختيار معامل التحويل الذى يجعل الوحدات تشطب

بالوحدة الصحيحة فمثال مع بعضها، بحيث نحصل على اإلجابة

لتحويل 3٫42 كجم من الحديد إلى الجرامات فإننا نقوم باآلتى:

( = 3420 جم.1000جم1 كجم

3٫42 كجم )

و قد نحتاج إلى سلسلة من التحويالت كاآلتى:

مثال: لتحويل 72كم/س إلى م/ث فإننا نقوم باآلتي:

( = 20 م/ث1دقيقة60 ثانية

( )1ساعة

60 دقيقة( )

1000م

1 كم( )

72 كم1 ساعة

(

نشاط:

البحث � فى الدولية الشبكة استخدام الطالب الى اطلب

ثم االنجليزى النظام ومنها للقياس أخرى أنظمة عن

األنظمة لتلك والقوة والكتلة الطول قياس وحدات تحديد

تحديد ثم )SI( الدولى النظام مع القياس بوحدات وعالقتها

القدم كرة مالعب فى االنجليزى النظام استخدامات بعض

فى االستخدامات وبعض والجوية البحرية والمالحة

األراضى الزراعية وغيرها.

7 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

دةالوحدة األولىوحال

األولى

فى نهاية الوحدة، وبعد تنفيذ األنشطة فيها، يتوقع من الطالب أن:

يتعرف مفهوم القوة ، والقوة كمتجه ، ووحدات قياس مقدار �القوة فى ضوء وحدات القياس السابقة.

فى � تؤثران )القوتان واتجاها مقدارا قوتين محصلة يوجد نفس النقطة(.

يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين فى اتجاهين معلومين. �يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين. �يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. �

يبحث اتزان جسيم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية �المتالقية فى نقطة فى الحاالت اآلتية:

إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان فى نقطة. ×إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة. ×إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. ×تكنولوجيا � مستخدما ا وجبري هندسيا قوتين محصلة يوجد

المعلومات فى صورة أنشطة. يتعرف تطبيقات ما درسه فى اإلستاتيكا فى مواقف فيزيائية �

وحياتية.

االستــاتيكــا Statics

يختص علم اإلستاتيكا بحل جميع المشاكل الهندسية المتعلقة بدراسة توازن األجسام المادية، وعمليات تحليل وتحصيل القوى المؤثرة عليها،

والتأثير المتبادل الناشئ عنها ، وتطبيقاته المختلفة فى بناء المنازل والمبانى والجسور وتصميم اآلالت والمحركات. وقد كان لنيوتن أبحاث

ومؤلفات فى هذا المجال منها كتاب المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية الذى يتكون من ثالثة أجزاء، ويعتبر أساس علم الميكانيكا الكالسيكى.

ومن أقوال نيوتن المشهورة عن نفسه »لست أعلم كيف أبدو للعالم، ولكننى أبدو لنفسى، وكأننى صبى يلعب على شاطئ البحر، ألهو بين الحين

والحين بالعثور على حصاة ملساء أو صدفة أجمل من العادة، بينما ينبسط محيط الحقيقة العظيم مغلق األسرار أمامى«.

مقدمة الوحدة

مخرجات التعلم

10

مقدمة الوحدةالمتعلقة الهندسية المشاكل جميع بحل االستاتيكا علم يختص

عنها، الناشئ المتبادل والتأثير المادية األجسام توازن بدراسة

وحيث إن تطور التقنية الحديثة يصادف مشاكل عديدة لتحليل

وتصميم والمنازل، والجسور، كالمبانى، المختلفة المنشآت

المدنية، والهندسة الطيران، وهندسة والمحركات، اآلالت،

والميكانيكية، وذلك لتعدد اختالف هذه المشاكل، وعلى الرغم

من هذا فإن جزء من حلها يعتمد على بعض المبادئ العامة التى لها

قاعدة علمية مشتركة، وبالتالى فإن دراسة االستاتيكا يعنى دراسة

عمليات تحصيل وتحليل القوى وشروط االتزان.

وتنقسم وحدة االستاتيكا إلى أربعة دروس هى:

الدرس األول : القوى.

الدرس الثانى : تحليل قوة .

الدرس الثالث: محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.

القوى من مجموعة تأثير تحت جسم اتزان الدرس الرابع:

المستوية المتالقية فى نقطة.

أهداف الوحدة

من يتوقع فيها، األنشطة وتنفيذ ، الوحدة نهاية فى

الطالب أن :

يتعرف مفهوم القوة ، والقوة كمتجه ، ووحدات قياس مقدار القوة �فى ضوء وحدات القياس السابقة.

نفس � فى تؤثران )القوتان واتجاها مقدارا قوتين محصلة يوجد النقطة(.

يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين فى اتجاهين معلومين. �يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين. �يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. �القوى � تأثير مجموعة من اتزان نقطة مادية )جسيم( تحت يبحث

المستوية المتالقية فى نقطة فى الحاالت اآلتية:إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان فى نقطة. ×إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة. ×إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة. ×

االستاتيكاStatics

تكنولوجيا � مستخدما ا وجبري هندسيا قوتين محصلة يوجد المعلومات .

فيزيائية � مواقف فى االستاتيكا فى درسه ما تطبيقات يستخدم وحياتية.

تطبيقات الرياضيات - علمى8

دروس الوحدة

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائل دروس الوحدة

مخطط تنظيمى للوحدة

Ñ Scientific calculator آلة حاسبة علميةÑ Graphical computer programs برامج رسومية للحاسوب

القوى. الدرس )1 - 1(:

تحليل قوة إلى مركبتين. الدرس )1 - 2(:

محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة الدرس )1 - 3(:

تأثير مجموعة من الدرس )1 - 4(: اتزان جسم جاسئ تحت

القوى المستوية المتالقية فى نقطة.

Ñ Statics استاتيكا Ñ Force قوة Ñ Rigid body جسم جاسئ Ñ Gravitation force قوة التثاقل Ñ acceleration of gravity عجلة السقوط الحر Ñ Newton نيوتن Ñ Dyne داين Ñ Kilogram weight ثقل كيلو جرام Ñ Gram weight ثقل جرام Ñ Line of action of the force خط عمل قوة

Ñ Resolving force تحليل قوة Ñ force Component مركبة قوة Ñ equilibrium of a body اتزان جسم Ñ triangle of forces قاعدة مثلث القوى Ñ lami's rule قاعدة المى Ñ Equilibrium of rigid body اتزان جسم جاسئ Ñ smooth plane مستوى أملس Ñ inclined smooth plane مستوى مائل أملس Ñ centre of gravity مركز ثقل

اتزان جسيم تحت تأثيرالقوى

تطبيقات فيزيائية وحياتية

استخدام التكنولوجيا

إيجاد محصلة القوى

مفاهيم

تحليلياهندسيا

عدة قوىثالث قوىقوتين خواص

قاعدة مثلث القوى

مضلع القوىالتحليل فى اتجاهين متعامدينالتحليل فى اتجاهين معلومين

قاعدة المى

تحليل القوى إلى مركبتين متعامدتين ووضع س = 0 ، ص = 0

االستاتيكا

عدة قوىثالث قوىقوتين

11

زمن تدريس الوحدة18 حصة.

مهارات التفكير التى تنميها الوحدةالتفكير الناقد- التفكير اإلبداعى- التفكير الشفهى- التعبير

التحليلى - حل المشكالت.

الوسائل التعليمية المستخدمةالسبورة التعليمية - طباشير ملون - آلة حاسبة علمية- آلة حاسبة

رسومية- برامج رسومية للحاسوب - ورق مربعات- أقالم رصاص

ملونة.

طريقة التدريس المقترحة:الطريقة الذهنى- العصف المناقشة- المباشر- العرض

االستنباطية- التعلم التعاونى- حل المشكالت.

طرق التقييم المقترحة:قبل والجماعية الفردية والتحريرية الشفهية األسئلة فى تتمثل

الخاص التقييم وسلم المقترحة، واألنشطة الدرس، وأثناء وبعد

الوحدة واختبار والفردية، الجماعية والتكاليف منها، بكل

واالختبار التراكمى فى نهاية الوحدة.

المخطط التنظيمى للوحدةيتناول المخطط التنظيمى المفهوم األساسى لالستاتيكا والمفاهيم

المرتبطة بها، وهى القوى بما يشمله من مفاهيم وخواص ويتناول

اتزان الجسم تحت تأثير )قوتين - ثالث قوى - عدة قوى ( وكذلك

ثم تحليليا( - )هندسيا بطريقتين القوى محصلة إيجاد يوضح

نتطرق إلى التطبيقات الحياتية والفيزيائية باستخدام التكنولوجيا.

9 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

القوى - Forces1 - 1

آلة حاسبة علمية �Scientific calculator

برامج رسومية �Graphical programs

األدوات والوسائل

� Force قوة � Resultant حمصلة � Rigid body جسم جاسئ � Gravitation force قوة التثاقلعجلة السقوط احلر �

Acceleration of gravity � Newton نيوتن� Dyne داين � Kilogram weight ثقل كيلو جرام � Gram weight ثقل جرام

المصطلحات األساسية

بعض املفاهيم األساسية ىف �اإلستاتيكا.

خواص القوة �حمصلة قوتني متالقيتني ىف نقطة. �إجياد حمصلة قوتني متالقيتني ىف �

نقطة حتليليا.

سوف تتعلمتمهيد:

علمت أن اإلستاتيكا هى فرع الميكانيكا الذى يدرس

القوى وشروط اتزان األجسام المادية التى تؤثر عليها القوى , وستكون دراستنا فى هذه الوحدة على اتزان

األجسام الجاسئة )1( فقط.

الكمية بين الفرق المتجهات علمت فى دراستك ومن

القياسية والكمية المتجهة.

Force القوة: تتوقف حالة اتزان أو حركة الجسم على طبيعة التأثير أى األخرى، األجسام وبين بينه المتبادل الميكانيكى على حاالت الضغط أو الشد أو التجاذب أو التنافر التى

تحدث للجسم نتيجةا لهذا التأثير.

تعرف القوة بأنها تأثير أحد االجسام على ×

ف1 جسم آخر.عري

ت

خوا�س القوة:يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية:

أوال: مقدار القوة.يتعين مقدار القوة بمقارنتها بوحدة القوى وقد سبق لك الميكانيكا فى القوة لقياس األساسية الوحدة دراسة

وهى النيوتن )N( أو ثقل الكيلوجرام )kg.wt( حيث:1 نيوتن = 510 داين × 1 ث كجم = 1000 ث جم ،

1 ث جم = 980 داين × 1 ث كجم = 9٫8 نيوتن ، ) مالم يذكر خالف ذلك( )2(

1- الجسم الجاسئ هو الجسم الذى يحتفظ بشكله دون تشوه إذا وقع تحت تأثير عوامل خارجية.التثاقل )أو الوزن( هى مقدار جذب األرض للجسم ، حيث إن األرض تجذب األجسام الساقطة 2- قوة نحوها، وتختلف قيمة عجلة السقوط الحر لألجسام من مكان آلخر على سطح األرض والقيمة التقريبية لها تساوى 9٫8 م/ث2 ما لم يذكر خالف ذلك، وسيعرض هذا الموضوع بالتفصيل فى مواضع أخرى

فى الميكانيكا.

تذكر اأن

Scalor الكمية القياسيةبقيمتها ا تام تحديدا تتحدد العددية مثل المسافة ، الكتلة ،

الزمن ، المساحة ، الحجم...Vector الكمية المتجهة

إلى باإلضافة باتجاهها وتتحدد قيمتها العددية مثل القوة واإلزاحة

والسرعة ، والوزن ...إلخ.

اأ�سف اإلى معلوماتك

تنقسم األجسام الطبيعية إلى:- أجسام جاسئة اليتغير شكلها المؤثرة القوى كانت مهما

عليها.- أجسام قابلة للتشكيل فيتغير القوى تأثير تحت شكلها والغازات السوائل مثل والمطاط والصلصال ...إلخ

القــوىForces

تطبيقات الرياضيات - علمى 12

خلفية

القياسية الكميات بين وفرق المتجهات الطالب درس أن سبق

جبريا المتجه تمثيل كيفية درس كما منها المتجهة والكميات

الدرس هذا وفى وغيرها، المتجهات وطرح وجمع وهندسيا،

التى المادية األجسام اتزان وشروط القوى، دراسة يتم سوف

تؤثر عليها.

أهداف الدرس

فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:

يتعرف بعض املفاهيم األساسية ىف االستاتيكا. �يتعرف خواص القوة. �يوجد حمصلة قوتني متالقيتني ىف نقطة حتليليا. �حيل مسائل عىل إجياد حمصلة قوتني متالقيتني ىف نقطة بيانيا وحتليليا. �

مفردات أساسية

قوة- محصلة- جسم جاسئ - قوة التثاقل- عجلة السقوط الحر-

نيوتن- داين- ثقل كيلو جرام - ثقل جرام.

المواد التعليمية المستخدمة

آلة حاسبة علمية- برامج رسومية للحاسوب- ورق مربعات.

طرق التدريس المقترحة

المشكالت- حل الذهنى- العصف المناقشة- المباشر- العرض

استخدام البرامج الرسومية للحاسب اآللى.

مكان التدريس

الفصل الدراسى.

مصادر التعلم

الشبكة � )19( صفحة إلى )12( صفحة من الطالب كتاب

الدولية للمعلومات )اإلنترنت(.

� Geogebra استخدام برنامج

التهيئةوأمثلة � القياسية، للكميات أمثلة إعطاء الطالب إلى اطلب

أخرى للكميات المتجهة.

الكتلة، � لقياس )Si(الموحد العالمى بالنظام الطالب ذكر

والوزن، والمسافة، والزمن.

إجراءات الدرسالتثاقل � أكد على طالبك مفهوم الوزن على أنه قوة وأن قوة

)الوزن( هى مقدار جذب األرض للجسم، فإذا كانت كتلة

الجسم ك فإن قوة وزنه = ك E وحيث إن ) E( تعرف بعجلة

لها هى 9٫8م/ث2 فتكون التقريبية الحر والقيمة السقوط

قوة الوزن للجسم الذى كتلته ك هى 9٫8ك نيوتن.

وضح للطالب وحدات قياس الوزن المختلفة والعالقة بينها �

وكيفية التحويل من وحدة إلى أخرى مع إعطاء أمثلة تتطلب

فيها عمليات التحويل من وحدة إلى أخرى.

للمعلومات � الدولية الشبكة استخدام الطالب إلى اطلب

إليك بعض للبحث عن المفهوم الفيزيائى للجسم الجاسئ، و

لجسم المثالية الحالة هو الجاسئ الجسم البحث، نتائج

صلب متناهى األبعاد بحيث تكون المسافة بين أى نقط فيه

المطبقة الخارجية القوى عن النظر بغض الزمن عبر ثابتة

الكالسيكية الميكانيكا فى الجاسئ الجسم ويعتبر عليه،

على أنه توزيع مستمر للكتلة بينما فى ميكانيكا الكم يعتبر

مجموعة من كتل النقاط.

تطبيقات الرياضيات - علمى0

ثانيا: اتجاه القوةق ويمكن يمثل شكل )1( المجاور متجه القوة

C حيث C ب الموجهة المستقيمة بالقطعة تمثيله

نقطة البداية، ب نقطة النهاية للقطعة المستقيمة

الموجهة، ويعبر عن مقدار القوة بمعيار المتجه

|| )طوله( )بمقياس رسم مناسب( ويناظر ||C ب

i ، وتسمى زاوية ق اتجاه السهم اتجاه القوة

ق القوة للمتجه فى مستوى القطبية بالزاوية

.)i ، وتكتب على الصورة القطبية كاآلتى )ق

ثالثا: نقطة تأثير القوة وخط عملهاق ، ويمكن نقل نقطة C عادة على نقطة تاثير القوة فى شكل )1(: تنطبق نقطة

ق دون أن ق إلى أى نقطة أخرى، بحيث تقع على خط عمل تأثير القوة

C ب فى يغير ذلك من تأثيرها على الجسم كما فى شكل )2( خط عمل القوة يسمى

ق شكل )1( بخط عمل القوة    أى أن خط عمل القوة هو الخط المستقيم المار بنقطة تأثيرها والموازى التجاهها.

مح�سلة قوتين متالقيتين فى نقطة:نفس فى تؤثر محصلة قوة واحدة، نقطة فى جسم على مؤثرتين قوتين لكل

متوازى بقطر هندسيا وتمثل القوتان به تقوم الذي التأثير بنفس تقوم النقطة،

األضالع المرسوم بهاتين القوتين كضلعين متجاورين فيه.

و جـ I الممثل لقطر متوازى األضالع : ففى الشكل المقابل نجد أنق2 ق1 + = I : أى أن ق2 ق1 ، يمثل محصلة القوتين

نشاط)GeoGebra( استخدام برنامج

ق2 قوتان تؤثران فى نقطة من جسم جاسئ ،حيث ق1 = 300 نيوتن تعمل فى اتجاه الشرق، ق1 ،

ق2= 400 نيوتن وتعمل فى اتجاه c60 شمال الغرب. أوجد محصلة القوتين.

اختر مقياس رسم مناسباا )ليكن 1 سم لكل 100 نيوتن(. ×

|| = 3 سم فى االتجاه × Cو ق1 حيث || وC تمثل القوة ارسم

الموجب لمحورالسينات.

× c120 = )و ب C c( X و ب القطبية حيث C c ارسم

|| = 4 سم. × وب ق2 حيث || وب تمثل القوة ثم ارسم

أكمل رسم متوازى األضالع و C جـ ب. ×

Cشكل )1( سi

ب

صق

اأ�سف اإلى معلوماتك

polar angle الزاوية القطبيةالتى الموجبة الزاوية هى االتجاه مع المتجه يصنعها

الموجب لمحور السينات.

ق

::

::

Cب

جـ

شكل )2(

ق 2 I

Cق 1

ب جـ

و

C

بشمال

غرب شرق

جـ

00 14- 23- 32- 41-

1234

وc120

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اوـققلا

13

1 1

× . ق2 ممثلة بالقطعة المستقيمة الموجهة و جـ ق1 ، الحظ أن محصلة القوتين

أى أن ح - 3٫6 * 100 = 360 نيوتن. × حدد باستخدام البرنامج ||و جـ || - 3٫6 سم.

× c73 /53 / /53 زاوية قياسها C و الحظ أن و جـ يصنع مع

.c73 /53 //53 ق1 زاوية قياسها ق2 مقدارها 360 نيوتن تقريباا وتصنع مع ق1 ، أى أن محصلة القوتين تطبيق عىل النشاط

حيث مادية نقطة فى تؤثران اللتين ق2 ، ق1 القوتين محصلة إيجاد فى )GeoGebra( برنامج استخدم 1 ق1 = 400 نيوتن وتعمل فى اتجاه الشرق ، ق2 = 500 نيوتن وتعمل فى اتجاه c80 شمال الشرق.

The resultant of two force meeting at apoint analytically اإيجاد مح�سلة قوتين متالقيتين فى نقطة تحليليا:

ق 2

ق 1

I

C

ب جـ

وى

هـ

ب جـ

ق 2

وهـ

ىI

ق 1 C

ق2 قوتان متالقيتان فى نقطة )و( وأن قياس الزاوية بين اتجاهى ق1 ، نفرض أن

و جـ تمثل المحصلة ق2 فإن ق1 ، و ب تمثالن ، C و القوتين )ى( فإذا كان

ق1 فإنه كما سبق فى I مع I وبفرض أن هـ هو قياس الزاوية التى تصنعها

من العالقات: ق2 ق1 ، دراسة قاعدة جيب التمام يمكن إيجاد مقدار واتجاه محصلة القوتين

ق2 جا ى ق1 + ق2 جتا ى

+ 2 ق1 ق2 جتا ى   ،  ظاهـ = 2ق2 +

2ق1 = I

I على الترتيب ق2 ، ق1 ، حيث: ق1 ، قI ، 2 مقادير القوى

فكر: كيف يمكن االستدالل على صحة العالقات السابقة .

مثال

2 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية والزاوية بين اتجاهيهما c45. أوجد مقدار محصلتهما قوتان مقدارهما 3 ، 3 7 وقياس زاوية ميلها مع القوة األولى.

الحل c45 = ى ، 2 ق2 = 3 ، بوضع: ق1 = 3

+ 2 ق1 ق2 جتا ى 2ق2 +

2ق1 = I a

3( + 2)3(2c45 2 جتا 3 * 3 * 2 + 2) = I `

5 نيوتن 3 = 45  =  12

* 2 18 + 18 + 9 =

12 = c45 2 * جا 3

c45 2 جتا 3 + 3` ظاهـ = ق2 جا ى

ق1 + ق2 جتا ىa ظاهـ =

تذكر اأن

قاعدة جيب التمام:

فى المثلث C ب جـ يكون:

جـ

جـ

ب

بC

C

C جـ -2ب جـ جتا2

ب +2

= C2

3نيوتن =

ق 1

2 نيوتن ق 2 = 3

c45

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

14

جسم � على قوة تأثير عوامل تحديد الطالب إلى اطلب

بالزاوية وتتعين القوة اتجاه معنى لهم ووضح جاسئ،

القطبية )أى الزاوية الموجهة التى يصنعها المتجه مع االتجاه

القوة متجه أن لهم السينات(، كما توضح لمحور الموجب

تمثله الذى المتجه واتجاه المتجه، )مقدار( بمعيار يتعين

، X( الزاوية القطبية؛ أى يكتب على صورة الزوج المرتب

. || X i( حيث X هى معيار متجه القوة ||

نشاط

آليات تنفيذ النشاط

� )Geo Gebra( برنامج استخدام كيفية على طالبك درب

بمقياس رسم محدد، وذلك قطعة مستقيمة موجهة فى رسم

القطبية مع البرنامج وقياس زاويتها باستخدام بتعيين طولها

اآلخر المتجه ارسم ثم السينات، لمحور الموجب االتجاه

القوتين، هاتين محصلة أوجد ثم الثانية، القوة يمثل الذى

وذلك بإيجاد طول قطر متوازى األضالع الذى طوال ضلعيه

هو معيار هاتين القوتين كما هو موضح بالمثال.

إيجاد محصلة قوتين متالقيتين فى نقطة هندسيا:

2X بالمتجهين � ، 1X أكد إلى الطالب أنه إذا مثلت القوتان

فإن ؛ C جـ بـ ممثلة ح المحصلة ب جـ وكانت ، C ب

هى الزاوية )c180 - ى( كما يوضح 2X ، 1X الزاوية بين

ميل زاوية هى هـ زاوية وتكون المجاور، الشكل ذلك

1X المحصلة مع

معلومات إثرائية:

يمكن استنتاج القانون كاآلتى :

بتربيع الطرفين. 2X + 1X ح = a

2|| 2X + 1X || = || ح ||  

) 2X ⊙ 1X ( 2 + 22X + 1

2X = 2I  

2 + 2ق1ق2جتاى2X + 1

2X = 2I  

2X 1X2 + 2 جتاى2X + 1

2X = I `

C ب

جـ

هـ ىق 1

Iق 2

c180 - ى

ىيلل

دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 1

c26 / 33 / /54 = )هـc(X :وباستخدام اآللة الحاسبة فإن

حل آخر للجزء الثانى من المثال :ق2 ق1 ، الحظ أن: فى الشكل المقابل المثلث و C ب يمثل القوتين ، I المحصلة مع ق2 عمل خط ميل زاوية هى cهـ1 حيث

I باستخدام ق1 مع المحصلة cهـ2 هى زاوية ميل خط عمل

قاعدة جيب الزاوية.

الحظ أن: جا )c180 – ى( = جاى

حيث ى = هـ1 + هـ 2ح

جا ىق2 =

جا هـ2ق1 =

جا هـ1فإن:

ق2 ق1 ، وتستخدم هذه القاعدة إليجاد قياس زاوية ميل المحصلة على أى من

ح

جا ىق2 =

جا هـ 2ق1 نستخدم العالقة: ففى المثال السابق: إليجاد قياس زاوية ميل المحصلة مع

5 3جا 45

= 2 3جا هـ2

`

c452 * جا 3 5 3

أى أن جا هـ2 =

ق1 تساوى c26 / 33 / /54 وهو نفس الجواب السابق. ومنها فإن قياس زاوية ميل المحصلة مع

مالحظة : يمكن استخدام هذه الطريقة فى حل التمارين.

حاول أن تحلقوتان مقدارهما 10 ، 6 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية, وقياس الزاوية بين اتجاهيهما يساوي c60. أوجد مقدار 2

محصلتهما، وزاوية ميلها على القوة األولى.

ق2 فى الحاالت اآلتية: ق1 ، تفكير ناقد: أوجد مقدار واتجاه محصلة القوتين

2- إذا كانت القوتان متساويتين فى المقدار . 1- إذا كانت القوتان متعامدتين.

مثال

ق2 فى كل حالة من الحاالت اآلتية: ق1 ، أوجد مقدار واتجاه المحصلة لكل من 8 c90 ق1 = 5 نيوتن ، ق2 = 12 نيوتن وقياس الزاوية بينهما أ

c120 ق1 = ق2 = 16 نيوتن وقياس الزاوية بينهما ب

الحلق2 متعامدتان أى c(Xى( = c90 فتكون جا ى = 1 ، جتاى = 0 ق1 ، a أ

)5(2 + )12(2 = 13 نيوتن = I :ق1 2 + ق2 2  ،  لذلك فإن = I `

C

ب

و

هـ1

هـ2 ى

ق 1

ق 2I

c180- ى

لحظ اأن

ق2 = ق1 كانت إذا 2ق2 +

1ق2 = I فإنق2ق1

، ظاهـ =

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اوـققلا

15

1 1

125 : ظاهـ =   أى أن 2

ق

ق1ق1 هو: ظاهـ = ويكون اتجاه المحصلة مع

c67 / 22 / /49 ق1 هى ` قياس زاوية ميل المحصلة مع

  وبالتعويض عن ق1 = ق2 = 16 + 2 ق1 ق2 جتا ى 2ق2 +

2ق1 = I a ب

)16(2 + )16(2 + 2 * 16 * 16 جتا 120 = 16 نيوتن = I `

وأن نيوتن، 16 = I = ق2 = ق1 أن: المرسوم الشكل من ونالحظ

قياس أن أى المتساويتين، القوتين بين الزاوية تنصف المحصلة

c60 = زاوية ميل المحصلة على أى من القوتين

الحظ أن : من هندسة الشكل:ى

2` X 2 = I جتا

I 12

X ى =

2a جتا

حاول أن تحلق2 فى كل حالة من الحاالت اآلتية: ق1 ، أوجد مقدار واتجاه المحصلة لكل من 3

c90 ق1 = 4٫5 نيوتن ، ق2 = 6 نيوتن وقياس الزاوية بينهما أ

c60 ق1 = ق2 = 12 نيوتن وقياس الزاوية بينهما ب

حاالت خاصة:1- إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل وفى نفس االتجاه:

فى هذه الحالة فإن c( Xى( = صفرc و يكون جتاى = 1 وبالتعويض فى ×

: I = ق1 + ق2 ويكون اتجاه المحصلة فى قانون إيجاد المحصلة نجد أن

نفس اتجاه القوتين ، وتسمى I فى هذه الحالة بالقيمة العظمى للمحصلة.

2- إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل، وفى اتجاهين متضادين:فى هذه الحالةفإن c( Xى( = c180 ويكون جتاى = - 1 وبالتعويض فى قانون ×

: I = |ق1 - ق2| ويكون اتجاه المحصلة يعمل فى اتجاه إيجاد المحصلة نجد أن

ا ، وتسمى I فى هذه الحالة بالقيمة الصغرى للمحصلة. القوة األكبر مقدارا

مثال: أوجد القيمتين العظمى والصغرى لمحصلة القوتين 4 ، 7 نيوتن.وتعمل فى اتجاه القوتين. × القيمة العظمى = 4 + 7 = 11 نيوتن

وتعمل فى اتجاه القوة 7 نيوتن. × القيمة الصغرى = |4 – 7| = 3 نيوتن

مثال

قوتان مقدارهما ق ، 4 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية، وقياس الزاوية بينهما c120 فإذا كان مقدار محصلتهما 9 . ق ق وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع 3 نيوتن فأوجد: مقدار يساوى 4

ق

ى

I

ق

:C

ق2 ق1

:C

c180ق2 ق1

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

16

فى مثال )2( : ص )15(

ميل زاوية إليجاد 2X جاى

2X + 1X جتاى = هـ ظا القانون: استخدمنا

ويمكن ، 1X مع المحصلة زاوية هـ حيث 1X مع المحصلة

أو 1X مع المحصلة ميل زاوية إليجاد الجيب قانون استخدام

استخداما أسهل وهو ،)15( صفحة فى موضح هو كما 2X مع

، وعلى المعلم أن يترك الحرية لحساب قياس زاوية هـ1 ، هـ2

للطالب فى استخدام أحد القانونين.

التقييم المستمر : )الحوار والمناقشة(: حاول أن تحل ص )15(

2X 1X2 + 2 جتاى 2X + 1

2X = I a

c60100 + 36 + 2 * 10 * 6جتا = I `ح

جاى = 1X

جاهـ1 a 196 = 14 نيوتن. = I `

14

c60جا = 10

جاهـ1 `

.c21/

` )cهـ1( = 47 5314 = c6010 * جا

14` جا هـ1 =

3313 = c606جا

10+6جتا60` ظاهـ = 2Xجاى

2X+1Xجتاىحل آخر: ظاهـ =

.c21 c47 = )هـc( X `

تفكير ناقد ص)15(

إذا كانت: 2X ،1X متعامدتين -1

2X

1X ، ظاهـ =

22X + 1

2X = I

X = 2X = 1X :إذا كانت القوتان متساويتين: تكون -2

2X2 + 2X + 2X جتاى = I `

2X 2 + 2X 2جتاى = I  

2X 2 )1 + جتاى( = I  

ى 2

2X 2 * 2 جتا2 =  

ى2 ، هـ =

ى2   = X2جتا

حاول أن تحل ص )16(:

نيوتن152 = 2)6( + 2)4٫5( = I أ 3

c53 /

7 //

` )cهـ( = 48 43 =

64٫5   a ظاهـ =

3 نيوتن 12 = 602 ب I = 2 * 12 جتا

.c30= c602   هـ =

في مثال )8(: وضح إلى الطالب بأن الشكل المرسوم معين ومن

اآلخر منهما كل وينصف متعامدان القطران أن خواصه

ومن ذلك نجد أن :

ى2

، لذلك فإن: ح = X2 جتا ح 1

2 X

ى = 2

جتا

ق2

ق1

I

ىهـ

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى2

الحل c120 = ى ،  3 4 = I ، 4 = 2بالتعويض عن: ق1 = ق ، ق

2 + 2 ق1 ق2 جتا ىق2 + 2

ق1 = 2I : فى القانون

(2 = ق2 + )4(2 + 2 * ق * 4 جتا c120 أى أن : 48 = ق2 + 16 - 4 ق 3 4( `

: )ق + 4( )ق – 8( = 0  ومنها ق = 8 نيوتن، ق = -4 مرفوض  أى أن ` ق2 – 4ق – 32 = 0

ق2 جا ى ق1 + ق2 جتا ى

I نستخدم القانون: ظاهـ = ق ، إليجاد قياس الزاوية بين

13

4 * جا 120 = 8 + 4 * جتا 120

` ظاهـ =

c30 = 1ق أى أن قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع

حل آخر للجزء الثاني:ح

جا ى ق2 = جا هـ 2

I نستخدم قانون الجيب: ق ، إليجاد قياس الزاوية بين

3 4جا 120

= 4جا هـ 2

`

باالختصار والتبسيط 12  جا هـ2 =

c30 ق تساوى أى أن قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع

حاول أن تحلقوتان مقدارهما 6 ، ق ث كجم تؤثران فى نقطة مادية، وقياس الزاوية بينهما c135. أوجد مقدار المحصلة 4

إذا كان خط عمل المحصلة يميل بزاوية قياسها c45على خط عمل القوة التى مقدارها ق.

تعبير شفهى: أوجد محصلة قوتين متساويتين فى المقدار، ولهما نفس خط العمل ويعمالن فى اتجاهين متضادين.

تمــــاريــن )1 - 1(

اأكمل ماياأتى:يتحدد تأثير قوة على جسم باآلتى .................................................................................................................................................................................................. 1

ق2 يساوى ...................................................................................................................................................................... ق1 ، متجه محصلة القوتين 2

القيمة العظمى لمحصلة قوتين مقدارهما 4 ، 6 نيوتن متالقيتين فى نقطة يساوى .............................................................. 3

القيمة الصغرى لمحصلة قوتين مقدارهما 5 ، 9 نيوتن متالقيتين فى نقطة يساوى ............................................................. 4

2 ، 3 نيوتن قوتان فإذا كان قياس الزاوية بينهما c60 فإن مقدار محصلتهما يساوى ....................................................... 5

اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة:مقدار محصلة القوتين 3 ، 5 نيوتن وقياس الزاوية بينهما c60 تساوى. 6

8 نيوتن د 7 نيوتن ج 6 نيوتن ب 2 نيوتن أ

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اوـققلا

17

1 1يمكن تنزيل نسخة من برنامج )Geogebra( من الموقع :

http://www.geogebra.org

وهذا البرنامج يدعم اللغة العربية ويخدم الرياضيات الديناميكية

للمتعلم والتعلم، ويمكن تنزيل نسخة مجانية من البرنامج لكل من

أنظمة macintosh ,windows أو نظام andriod التابلت أو الموبيل.

من العربية باللغة البرنامج لهذا المساعدة دليل تحميل يمكنك

نفس الموقع وبه شرح تفصيلى للبرنامج وكيفية استخدامه لجميع

أفرع الرياضيات حيث يحتوى على ثالث نوافذ هي:

1- نافذة األكسيل. 2- النافذة الرسومية. 3- النافذة الجبرية.

سلم تقييم النشاط )تقييم مهاري(:

أداء الطالبالتقدير

يحل الطالب المسألة ،ويجيب إجابة نموذجية على جميع البنود.ممتاز

ا يحتاج الطالب لمساعدة طفيفة لكتابة الحل ثم يحل جميع األسئلة.جيد جد

يحتاج الطالب لمساعدة لكتابة الحل ويفهم العالقة بوضوح.جيد

يحتاج إلى مساعدة كبيرة لحل المسألة.مقبول

ضعيف

ال يستطيع حل المسألة، ويحتاج للمساعدة والتوجيه.

تمارين إثرائية:

وقياس نيوتن 6 نيوتن، 6 مقدارهما نقطة فى متالقيتان قوتان

الزاوية بينهما 60 أوجد محصلتهما مقدارا واتجاها .

الحل

+ 2X1X 2 جتاى22X + 12X = 2I

= 36 +36 + 2 * 36 جتا 60

3 6 = 108 = I` 108 =

3 = 3

2* 6

12 * 6+ 6

2 جا ى =

2X + 1 X + جتا ىظا هـ1 =

30 =

c30 = 2ويالحظ أن هـ1 = هـ

أى أن المحصلة تنصف الزاوية بين القوتين فى هذه الحالة كما

يالحظ فى حالة تساوى مقدار ى القوتين أن :

ى 2

ح = 2ق حنا

إجابات تمارين )1-1(

4 4نيوتن 10 نيوتن   3

6 جـ 19 نيوتن  5

حاول أن تحل ص )17(:

c1356جاX + 6جتا135

= c45 ظا 2X جاى

2X + 1X جتاىa ظا هـ =

2 نيوتن 6 = X ` 1

2 * 6 - X = 1

2 * 6 `

تعبير شفهى: X - X = I = صفر

اإلثرائى النشاط هذا إعطاء يمكنك التكنولوجيا: استخدام

لطالبك .

باستخدام برنامج )چيوجبرا( .

مناسب رسم بمقياس نيوتن 15 ،15 قدراهما قوتين مثل -1.c120 ويحصران بينهما زاوية قياسها

عين مقدار محصلة القوتين . -2قس زاوية ميل المحصلة على كل من القوتين، ماذا تالحظ -3

وماذا تستنتج؟

ى وأن خط عمل المحصلة �2

أكد لطالبك أن ح = 2 ق جتا

ينصف الزاوية بين القوتين.

ىيلل

3 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 1

قوتان مقدارهما 3 ، 4 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ومقدار محصلتهما 5 نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما تساوى 7

c90 د c60 ج c45 ب c30 أ

قوتان متساويتان متالقيتان فى نقطة، مقدار كل منهما 6 نيوتن ومقدار محصلتهما 6 نيوتن فإن قياس الزاوية 8 بينهما يساوى:

c150 د c120 ج c60 ب c30 أ

قوتان متالقيتان فى نقطة مقدارهما 3 ، ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120 ، فإذا كانت محصلتهما عمودية 9 على القوة األولى فإن قيمة ق بالنيوتن تساوى:

6 د 3 3 ج 3 ب 1٫5 أ

إذا كانت القوتان 6 ، 8 نيوتن متعامدتين فإن جيب زاوية ميل محصلتهما على القوة األولى تساوى: 10

43 د 34 ج 45 ب 35 أ

اأجب عن الأ�سئلة الآتية:مقدار أوجد .c120 قياسها زاوية بينهما وتحصران مادية نقطة فى تؤثران نيوتن 10 ، 5 مقدارهما قوتان 11

المحصلة وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع القوة األولى.

بينهما c45 أوجد مقدار واتجاه الزاوية تؤثران فى نقطة مادية وقياس 2 ث.كجم 3 ، قوتان مقدارهما 3 12 محصلتهما.

قوتان مقدارهما 15 ، 8 ث. كجم تؤثران فى نقطة مادية ، إذا كان مقدار محصلتهما 13 ث. كجم. فأوجد قياس 13 الزاوية بين هاتين القوتين.

قوتان مقدارهما 8 ، ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c120 ، فإذا كان مقدار محصلتهما 14 3 نيوتن فأوجد مقدار ق. ق

قوتان مقدارهما 4 ، ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c135 فإذا كان اتجاه محصلتهما يميل 15 بزاوية c45 على ق. أوجد مقدار ق.

قوتان مقدارهما 4 ، ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c120 ، إذا كانت محصلتهما عمودية 16 على القوة األولى. أوجد مقدار ق.

3 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية فإذا كان مقدار محصلتهما يساوى 2ق نيوتن. فأوجد قوتان مقدارهما ق ، ق 17 قياس الزاوية بين هاتين القوتين.

- 4 أوجد مقدار 5 قوتان مقدارهما 12 ، 15 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وجيب تمام الزاوية بينهما يساوى 18

محصلتهما وقياس زاوية ميلها على القوة األولى.

إذا تضاعفت القوتان و c120 قوتان متساويتان مقدار كل منهما ق ث.كجم تحصران بينهما زاوية قياسها 19

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

18

45 0   6 9 8 جـ 7 د    

3 نيوتن 25 + 100 + 2 * 5 * 10جتا120 = 5 = I

1X مع c90 تصنع

+ 2X1X 2 جتاى22X + 12X = 2I a 2

5 نيوتن جتا45 = 3 2 3 * 3 * 2 + 18 + 9 = I  

c26 /33 //54 = )هـc(X ، 12 ظا هـ =

` 169 = 225 + 64 + 2 * 15 * 8 جتاى 3c120 = )ىc(X ،

12 جتاى = -

+ 2X1X 2 جتاى 22X + 12X = 2I 4

c120 جتا X * 8 * 2 + 2X + 64 = 2X3

X 4 - 2X - 32 =صفر  

` X = 4 نيوتن أو X = -8 مرفوض

ناقش مع الطالب هل يمكن حل التمرين السابق عن طريق �

باستخدام قانون الجيب فى الشكل المقابل

3 X

c 60 جا = X

جا هـ2 =

8

جا هـ2

c 60 جاX

3 ` جا هـ 1 =

c90 = 2 هـ ، c30 = 1 هـ 12 ` جا هـ 1 =

` X = 4 نيوتن X

جا 30 = 8

جا 90 `

وهى نفس النتيجة فى الحل السابق .

المحصلة تميل بزاوية c45 على القوة الثانية 5` المحصلة عمودية على القوة األولى

` 2X + 1X جتاى = صفر

X+ 4 جتا c135 = صفر

2 نيوتن 4 = X `

حل آخر

من الشكل المقابل نجد أن :

4جا 45

= X

جا 90

2 نيوتن 4 = 4جا 45

=X `

XX

هـ18 نيوتن

هـ2

c45X

I

4 نيوتن

+ 2X1X 2 جتاى22X + 12X = 2I a 7

3 جتا ى X *X 2 + 2X3+ 2X = 2X4

2X 3 جتا ى 2 + 2X 4 = 2X4  

`   جتا ى = صفر

` القوتان متعامدتان ` ى = 90

ناقش مع طالبك إيجاد طريقة أخرى لحل السؤال هندسيا �

ناقش مع طالبك فى نوع الزاوية بين القوتين 8I = جا نيوتن  

و عمودية على القوة األولى

I = 15 نيوتن وعمودية على القوة األولى

3 نيوتن 2+1 = X 9

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى4

وأصبح قياس الزاوية بينهما c60 زادت محصلتهما بمقدار 11 ث.كجم عن الحالة األولى. أوجد مقدار ق.

c60 قوتان مقدارهما 12 ، ق ث.كجم تؤثران فى نقطة ، تعمل األولى فى اتجاه الشرق، وتعمل الثانية فى اتجاه 20 علم أن خط عمل المحصلة يؤثر فى اتجاه c30 جنوب إذا جنوب الغرب. أوجد مقدار ق ومقدار المحصلة

الشرق.

19 نيوتن. ق1 ، ق2 قوتان تؤثران فى نقطة مادية، وتحصران بينهما زاوية قياسها c120 ومقدار محصلتهما 21 إذا أصبح قياس الزاوية بينهما c60 فإن مقدار المحصلة يساوى 7 نيوتن. أوجد قيمة كل من ق1 ، ق2. و

قوتان مقدارهما ق ، 2ق ث.كجم تؤثران فى نقطة ما ، إذا ضوعف مقدار الثانية وزيد مقدار األولى 22 15 ث.كجم ال يتغير اتجاه محصلتها. أوجد مقدار ق.

تفكير إبداعى:

إذا عكس اتجاه قوتان متساويتان فى المقدار ومتالقيتان فى نقطة ومقدار محصلتهما يساوى 12 ث.كجم. و 23 إحداهما فإن مقدار المحصلة يساوى 6 ث.كجم. أوجد مقدار كل من القوتين.

الزاوية إذا تغير قياس ، و بينهما هـ الزاوية إذا كان قياس ، ق ومقدار محصلتهما 2ك قوتان مقدارهما ك 24 وأصبحت ) c180 – هـ( فإن مقدار محصلتهما ينقص إلى النصف. أوجد النسبة بين ك ، ق.

ق ، 2ق قوتان تؤثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها ى ومقدار محصلتهما يساوى 25

5 ق )م - 1(. إذا أصبح قياس الزاوية بينهما )c90 – ى( فإن مقدار المحصلة يساوى 5 ق )م + 1( و

م - 2

م + 2أثبت أن ظا ى =

نشاط

تصبح المحصلة فإن 2X اتجاه عكس إذا ، نيوتن I محصلتها ومقدار نقطة فى متالقيتان قوتان 2X ، 1X

3 نيوتن وفى اتجاه عمودى على المحصلة األولى. أوجد قياس الزاوية بين القوتين. I

1- اعتبر أن قياس الزاوية بين القوتين ى وزاوية ميل المحصلة مع 1X قياسها هـ.

2X 2- أوجد ظا هـ ثم أوجد ظا )90 - هـ( عند عكس اتجاه

3- أثبت أن 2X = 1X = ق من الخطوة السابقة.

.2X 2 قبل وبعد عكس اتجاهX ،1X 4- أوجد باستخدام قانون مقدار المحصلة محصلة القوتين

1 إليجاد قياس الزاوية بين القوتين؟ استنتج ذلك من العالقات السابقة.5- هل يمكنك استنتاج أن جتا ى = - 2

6- هل لديك طرق أخرى للحل؟ اذكر إحدى هذه الطرق.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اوـققلا

19

1 1

شمال

جنوب

شرق

I

12غرب c30c60

c30

20من الشكل نجد أن :

I

c60 جا = 12

c90 جا = X

c30 جا

3 ث.كجم 6 = c3012حاc90جا

= X `

+ 2X1X 2 جتاى22X + 12X = 2I 2

+ 2X1X 2 جتا12022X + 12X = 19

)1( 2X1X 2 + 22X + 12X = 19

بالمثل :

)1( 2X1X - 22X + 12X = 49

بجمع )1( ، )2( ينتج أن:

)3( 34 = 22X + 12X  

2X1X - 34 = 19 `

15 = 2X1X  

15 بالتعويض فى )3( 2X

= 1X  

34 = 22X + 225 2X

25 =22X 2= 9 أو

2X `

5 = 2X `2 = 3 نيوتنX `

` 1X = 5 نيوتن `1X = 3 نيوتن

22

I

I

ب

تننيو

2 ن5

هـ1

1X2X

هـ2

Eجـ

C

من الشكل نجد أن:

)1( I

جا ى = X 2

جا هـ2 = X

جا هـ1

`2جاهـ1 = جاهـ2 )2(

)3( I

جا ى = X 4

جا هـ2X+جا =

جا هـ1

)4( ` X+ 15 جا هـ X 4 = 2جا هـ1 15 = X بحل )2(، )4( ينتج أن

حل آخر:

من هندسة الشكل:

، C جـ C ب تصل بين منتصفى الضلعين م ن

1 ب جـ 2 ` م ن =

` X = ) ق + 15(

` X = 15 نيوتن

3 : 2 24 ث كجم 5 3 = X 23

إثبات 25

ىيلل

5 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 1

2 -

آلة حاسبة علمية �برامج رسومية للحاسوب �

األدوات والوسائل

� force Component مركبة قوة

� triangle of forces مثلث قوى

� centre of gravity مركز ثقل

المصطلحات األساسية

حتليل قوة ىف اجتاهني معلومني. �حتليل قوة ىف اجتاهني متعامدين. �

سوف تتعلم

2 - 1تمهيد:

ة ة مركبات بوجه عام يعنى إيجاد مجموعة مؤلفة من عد إن تحليل قوة معلومة إلى عد

فى قوة تحليل دراسة على وسنقتصر محصلتها، هى المعلومة القوة تكون ، قوى

اتجاهين معلومين.

تحليل قوة فى اتجاهين معلومينResolution of a force into two components

تحليلها المراد I المحصلة متجه :)1( شكل يبين و C ، و ب واللتين تصنعان إلى مركبتين فى االتجاهين

I مع الترتيب على هـ2 ، هـ1 قياسيهما زاويتين

ق2 ق1 ، ولتكن المركبتان هما:

يبين شكل )2(: مثلث القوى مع مالحظة أنوب C جـ =

)من خواص متوازى األضالع(وبتطبيق قاعدة الجيب نجد أن:

× ح

جا )هـ1 + هـ2(ق2 =

جا هـ 1ق1 =

جا هـ 2

)الحظ أن : جا ]c180 - ) هـ1 + هـ 2 ( [ = جا ) هـ 1 + هـ 2( ×

مثال

، c60 حلل قوة مقدارها 12 نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين 1 c45 فى اتجاهين مختلفين منها مقرباا الناتج ألربعة أرقام عشرية.

الحلبتطبيق قاعدة الجيب:

12

c105 جاق2 =

c60 جاق1 =

c45 جا

  - 8٫7846 نيوتن 12

c105 جا * c45 ق1 = جا `

ق 2

ق1

I

C

ب جـ

و هـ2هـ1

شكل )1(

ق 2

ق1

I

C

جـهـ2

وهـ1 هـ1 + هـ2

شكل )2(

ق2I

ق1c60

c45

تحليل القوى Forces resolution

تطبيقات الرياضيات - علمى 20

خلفية

2X،1Xمعلومتين قوتين محصلة إيجاد الطالب درس أن سبق

أضالع متوازى قاعدة باستخدام وذلك نقطة، فى متالقيتين

القوى، ورأينا كذلك أنه ال توجد سوى محصلة واحدة للقوتين؛

يكون واحد، أضالع متوازى سوى رسم يمكن ال إنه حيث

مناسب رسم بمقياس للقوتين ممثلين المتجاوران الضلعان فيه

القوة لتحليل العكسية العملية الدرس هذا فى ندرس وسوف ،

نهائى بعدد ال العملية يمكن إجراؤها إلى مركبتين، وهذه I

متوازيات من نهائى ال عدد رسم يمكن إنه حيث الطرق؛ من

إلى القوة تحليل عملية أن أى معلوم؛ قطر لها يكون األضالع

مركبتين ال تعطى نتيجة وحيدة، ولكن إذا علم اتجاها المركبتين

لدينا طريقة التحليل تكون وحيدة، وتكون نتيجة فإن 2X،1X

تعين المركبتين بيانيا أو تعين المركبتين جبريا.

مخرجات الدرس

فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:

حيلل قوة إىل مركبتني ىف اجتاهني معلومني. �حيلل قوة إىل مركبتني ىف اجتاهني متعامدين. �

مفردات أساسية

مركبة قوة - مثلث قوى - مركز ثقل.

المواد التعليمية المستخدمة

السبورة التعليمية - طباشير ملون - آلة حاسبة علمية.

طرق التدريس المقترحة:

العرض المباشر - المناقشة - العصف الذهنى - حل المشكالت.

مكان التدريس

الفصل الدراسى.

مصادر التعلم

الدولية الشبكة ، )24( إلى ص الطالب من صفحة )20( كتاب

للمعلومات )اإلنترنت(.

تحليل القوى Forces resolution

التهيئةاطلب إلى طالبك عمل عصف ذهنى؛ لتحليل قوة إلى مركبتين �

فى أوضاع مختلفة مثل القوة المبينة فى األشكال التالية:

1X

2X

c30

3 6

1X

2X

c30

c30

12

1X

2X

c45

18

c601X2X

10

c60c60

إجراءات الدرسوذلك � القوة، تحليل صحة من التحقق طالبك إلى اطلب

بإيجاد محصلة المركبتين اللتين ،تم تحليلهما جبريا.

بأ

دج

تطبيقات الرياضيات - علمى6

  - 10٫7589 نيوتن 12

c105 جا * c60 ق2 = جا  

حاول أن تحلحلل قوة مقدارها 36 نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين قياسيهما c45 ، c30فى اتجاهين 1

مختلفين منها.

تطبيقات حياتيةمثال

، C جـ معدنيين بحبلين معلق نيوتن 20 وزنه مصباح 2 قياس متساويتين بزاويتين األفقى على يميالن ب جـ

.c5 كل منهما

مقرباا × ،ب جـ C جـ االتجاهين فى المصباح وزن حلل

الناتج ألقرب نيوتن.

الحلنمثل قوة الوزن )20 نيوتن( بمتجه يعمل رأسيا ألسفل نقطة بدايته هى النقطة جـ.

نحلل متجه الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين كما يلى:

   أى أن:20

c170 جا = و2

c85 جا = و1

c85 جا

 ومن ذلك تكون: c85 جاc170 جا

 و1 = و2  = 20 ×

 و1 = و2  = 114٫73713 - 115 نيوتن.

تفكير ناقد: ماذا يحدث لمقدار مركبة الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين إذا نقص قياس زاويته مع األفقى عن ر إجابتك. c5؟ وماذا تتوقع لمقدار مركبة الوزن عندما يصبح الحبل المعدنى أفقيا؟ فس

حاول أن تحلالشكل المقابل: 2

فى إحداهما مركبتين إلى 120ث.جم الرأسية القوة حلل

االتجاه األفقي، واألخرى فى اتجاه يصنع مع خط عمل القوة

.c48 زاوية قياسها

Resolution of a force into two perpendicular components تحليل قوة فى اتجاهين متعامدين

I فى نقطة مادية )و( كما فى الشكل المجاور، وكانت إذا أثرت القوة

ق1 يميل على اتجاه ق2 حيث اتجاه ق1 ، مركبتيهما المتعامدتين

I بزاوية قياسها هـ ، فإن متوازى األضالع يؤول فى هذه الحالة إلى

المستطيل Cجـ ب و ، وبتطبيق قانون الجيب على المثلث وC جـ فإن:

120

C

الرأسي

c48

ب

جـ

ق2

ق1

ق2

ق1

I

C

ب جـ

و هـc90 - هـ

20

جـ

Cc5

و1 و2

بc5

وc85 c85

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

وقيا اوـلا

21

1 1

ق2 = ح ×جا هـ

ق1 = جتا هـ

:  أى أن ح

جا 90ق2 =

جا هـق1 =

جا )90 - هـ(

: ومن ذلك نسنتنتج أنق1 )مقدار المركبة فى اتجاه معلوم( = I جتا هـ ×

ق2 )مقدار المركبة فى االتجاه العمودى على االتجاه المعلوم( = I جا هـ ×

مثال

حلل قوة مقدارها 18 نيوتن فى اتجاهين متعامدين، إحداهما يصنع مع 3 القوة زاوية قياسها 60

الحل1 = 9 نيوتن

2 * 18 = c60 ق1 = 18 جتا

3 نيوتن. 9 = 32

ق2 = 18 جا 60 = 18 *

حاول أن تحل2 نيوتن والتى تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى إلى مركبتين إحداهما فى اتجاه الشرق حلل قوة مقدارها 6 3

واألخرى فى اتجاه الشمال.

Inclined Plane الم�ستوى المائل r2 ، وخط أكبر ميل للمستوى هو الخط فى هو سطح يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث 0 > هـ >

تقاطع خط على العمودى المائل المستوى

هذا المستوى مع المستوى األفقى والموضح

بالشكل باللون األزرق ويكون

   حيث:ع

فجاهـ =

ع تمثل بعد النقطة C عن المستوى األفقى،

ف تمثل بعد النقطة C عن خط تقاطع

المستوى المائل مع المستوى األفقى.

مثال

.c30وضع جسم مقدار وزنه 6 نيوتن على مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها 4 أوجد مركبتى وزن الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه.

الحلالشكل المقابل يبين وزن الجسم 6 نيوتن، ويؤثر رأسيا إلى أسفل، مركبة

وألسفل، للمستوى ميل أكبر خط اتجاه فى تعمل ق1 الجسم وزن

ق2 وتعمل فى االتجاه العمودى للمستوى وألسفل. والمركبة األخرى

c60ق1

ق2

18 نيوتن

ف ع

هـ

ع

هـ

ف

C C

ق1

6ق2

c30

c30

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

22

التقييم المستمر )المناقشة والحوار(� )22( ص ص)21(، تحل أن حاول بنود طالبك مع ناقش

وتوصل معهم إلى اإلجابة الصحيحة .

إجابة حاول أن تحل ص )21(

36

c75جا

= 2X

c30جا

= 1X

c45جا

36 * جا45 - 26٫354 نيوتنc75 جا

= 1X

36 * جا30 - 18٫635 نيوتنc75 جا

= 2X

إجابة تفكير ناقد ص )21(:

إذا نقص قياس الزاوية مع األفقى عن c5 فإن مقدار المركبة يزداد

حتى تصل إلى قيمتها العظمى عندما تصبح الحبال أفقية.

إجابة حاول أن تحل ص )21(:

36

c138 جا = 2X

c90 جا = 1X

c48 جا

120 * جاc48 - 133٫274 ث جمc138 جا

=1X

120 * جاc90 - 179٫337 ث جمc138 جا

= 2X

إجابة حاول أن تحل ص )22(:

2 جتا c45 = 6 نيوتن إحدى المركبتين = 6

2 جا c45 = 6 نيوتن المركبة األخرى = 6

فى بند المستوى المائل: تسمى الزاوية المحصورة بين خط أكبر

ميل للمستوى ومسقطه على المستوى اآلخر بزاوية ميل مستقيم

على ومسقطه للمستوى ميل أكبر خط إن حيث مستو على

المستوى عمودين على خط التقاطع.

فإن مشترك حد مستويين لنصفى كان إذا إثرائية: معلومات

زوجية، زاوية يسمى الحد ذلك مع المستويين نصفى اتحاد

الحادثة الزاوية بأنها لزاوية زوجية المستوية الزاوية وتعرف

من تقاطع هذه الزاوية الزوجية مع أى مستو عمودى على حرفها.

ففى الشكل المرسوم تكون cهـ هى الزاوية المستوية للزاوية

الزوجية المحصورة بين المستويين.

ىودل ىيلل

7 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 1

.) ق1 مركبة وزن الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ) حيث ق1 = 6 جا هـ

1 = 3 نيوتن2 * 6 = c30 6 جا =

) ق2 مركبة وزن الجسم فى االتجاه العمودى على المستوى )

حيث ق2 = 6 جتا هـ

3 نيوتن 3 = 32 * 6 = c306 جتا =

نفسها؟ ق أقل من مقدار القوة ق تعبير شفهى: هل مقدار كل من مركبتى القوة

فسر إجابتك.

حاول أن تحلجسم جاسئ مقدار وزنه 36 نيوتن موضوع على مستو يميل على األفقى بزاوية 4 ألسفل للمستوى ميل أكبر خط اتجاه فى الوزن مركبتى أوجد .c60 قياسها

واالتجاه العمودى عليه.

تمــــاريــن )1 - 2(

اأكمل ماياأتى:

قوة مقدارها 6 نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال تم تحليلها إلى مركبتين متعامدتين فإن مركبتها فى اتجاه الشرق 1 تساوى ............................... نيوتن.

اتجاه فى مركبتها فإن متعامدتين مركبتين إلى تحليلها تم الشرق اتجاه فى تعمل نيوتن 2 4 مقدارها قوة 2 الشمال الشرقى تساوى ............................... نيوتن.

فى شكل )1(: 3

معها تصنعان اللتين ق2 ، ق1 مركبتين إلى I القوة حللت أ إذا

، || = 12 نيوتن I زاويتين قياسيهما c45 ، c30 من جهتيها وكان ||

فإن: ق1 = ............................................... نيوتن ، ق2 = ............................................... نيوتن.

فى شكل )2(: 4 ق2 اللتين تصنعان ق1 ، I إلى مركبتين أ إذا حللت القوة

معها زاويتين قياساهما c90 ، c45 من كلتا جهتيها وكان

I || = 18 نيوتن ، فإن: ق1 = ............ نيوتن ، ق2 = ............ نيوتن ||

اأ�سف اإلى معلوماتك

مركز ثقل الجسم الجاسئدائما بها يمر التى النقطة هى الخط الرأسى المار بنقطة التعليق عندما يعلق الجسم من أى نقطة

عليه فعلى سبيل المثال.كروى جسم ثقل مركز )1(النقطة هى ومتجانس منتظم الهندسى المركز التى يقع فيها

لهذا الجسم.منتظم قضيب ثقل مركز )2(منتصف هو والكثافة السمك

هذا القضيب.

c45

ق2

ق1

I

شكل )1(

c30

c45

ق2

ق1

I

شكل )2(

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

وقيا اوـلا

23

1 1

فى شكل )3(: 5

ق2 وكان متجه القوة ق1 ، ق إلى مركبتين متعامدتين أ إذا حللت القوة

2 ث 6 = || ق ق2 وكان || ق1 ، ق ينصف الزاوية بين اتجاهى

|| =................................................ ث كجم ، ق1 كجم فإن: ||

|| =................................................ ث كجم. ق2 ||  

فى شكل )4(: 6

2 نيوتن تعمل فى اتجاه c30 شمال الغرب. قوة مقدارها 12 أ

مقدار مركبة القوة فى اتجاه الغرب =.................................................. نيوتن. ×

مقدار مركبة القوة فى اتجاه الشمال =............................................... نيوتن. ×

،c30 قوة مقدارها 600 ث جم تؤثر فى نقطة مادية. أوجد مركبتيها فى اتجاهين يصنعان معها زاويتين قياسيهما 7 .c45

قوة مقدارها 120 نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى. أوجد مركبتيها فى اتجاه الشرق واتجاه الشمال. 8

حلل قوة أفقية مقدارها 160 ث جم فى اتجاهين متعامدين، أحدهما يميل على األفقى بزاوية قياسها c30 إلى أعلى. 9 قوة مقدارها 18 نيوتن تعمل فى اتجاه الجنوب. أوجد مركبتيها فى اتجاهى c60 شرق الجنوب، واألخرى فى 10

اتجاه c30 غرب الجنوب.

جسم جاسئ وزنه 42 نيوتن موضوع على مستو يميل على األفقى بزاوية قياسها c60. أوجد مركبتى وزن هذا 11 الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه.

تفكير إبداعى:مستوى مائل طوله 130 سم وارتفاعه 50 سم وضع عليه جسم جاسئ وزنه 390 ث جم. أوجد مركبتى الوزن فى 12

اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه.

الربط بالمالحة البحرية:فى مثبتين بحبلين تتصالن جـ ، ب قاطرتين بواسطة بارجة سحب يراد 13 خطاف فى نقطة C من البارجة وقياس الزاوية بينهما c75، فإذا كان زاوية

E C يساوى c45 وكانت محصلة القوى المبذولة ميل أحد الحبلين على

E C . أوجد الشد فى لسحب البارجة تساوى 5000 نيوتن وتعمل فى اتجاه

كل من الحبلين .

ق2

ق1

ق

شكل )3(

ق2

ق1 c30

شكل )4(

2 نيوتن 12

5000c45 نيوتنc30C

ب

جـ

E

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

24

إجابة: تعبير شفهى ص)23(

Xنفسها؛ ألن القوة X كل منهما أقل من القوةX نعم: مركبتا القوة

مضروبة فى جيب الزاوية أو جيب تمام الزاوية وكالهما.

0>جا هـ> 1، 0>جتا هـ >1.

إجابة حاول أن تحل ص )23(

c60 1 = 36 جاX

3 نيوتن 18 =

2X= 36 جتا c60 = 18 نيوتن

إجابات تمارين )2-1(:

صفر    2 4   3 8٫78 ، 6٫212 نيوتن

نيوتن  ،  2X = 18 نيوتن 2 18 = 1X 4

1 = 6 ث كجم.

2 * 2 6 = 2X = 1X 5

نيوتن. 6 2 جتا 30 = 6 12 أ 6 2 نيوتن. 2 جا 30  = 6 12 ب

600جا45 - 439٫231 ث جمc75 جا

= 1X 7

600جاc30 -310٫583 ث جمc75 جا

= 2X  

2 نيوتن المركبة فى اتجاه الشرق = 120 جتا45  = 60 8 نيوتن 2 المركبة فى اتجاه الشمال = 120 جا 45 =60

ث جم 3 إحدى المركبتين = 160 جتا 30 = 80 9 المركبة األخرى = 160 جا 30 = 80 ث جم

إحدى المركبتين= 18 جتا 60 = 9 نيوتن 0

3 نيوتن المركبة األخرى = 18 جا 60 = 9

المركبة فى االتجاه العمودى = 12 جتا 60 = 21 نيوتن

المركبة فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى 2 = 150 ث جم

513 = 390 جا هـ = 390 *

المركبة فى االتجاه العمودى = 390 جتا هـ

 = 360 ث جم1213 * 390 =       

بعض القضايا المتضمنة فى الدرس: )الربط بالمالحة( ص24

هناك بعض المشكالت المتصلة بالمالحة البحرية، والنستطيع إيجاد

حلها إال عن طريق استخدام محصلة القوة كما بالتمرين التالي: 5000 جا 75

ش 2 = جا 45

= ش 1جا 30

3

ش 1 - 2588٫19 نيوتن ، ش2 - 3535٫53 نيوتن

1X2X

36

c60

c60

12

513

هـ

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى8

مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة The resultion of coplaner forces meeting at point3 -

سوف تتعلم

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائل

فكر و ناقش

سبق أن درست إيجاد محصلة قوتين مؤثرتين على جسم جاسئ فى نقطة واحدة، حيث

مثلت هندسيا بقطر متوازى األضالع المرسوم بهاتين القوتين كضلعين متجاورين فيه.

ة قوى مستوية متالقية فى نقطة واحدة هندسيا؟ فهل يمكنك إيجاد محصلة عد

تعلم

ا: مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة هند�سي

قن ، .... ، ق3 ، ق2 ق1 ، إذا أثرت مجموعة القوى

فى نقطة مادية كما فى شكل )1(

فباستخدام مقياس رسم مناسب

ق1 و C الذى يمثل نرسم المتجه

ق2 C ب الذى يمثل ثم نرسم

ق3 وهكذا..... ب جـ الذى يمثل ثم نرسم

وذلك قن المتجه نهاية إلى نصل حتى

. E هـ برسم

و هـ الذى يعمل فى االتجاه الدورى المتجه

المضاد يمثل محصلة القوى المعطاة، حيث:

قن ق3 + ... + ق2 + ق1 + = I

ومن القوى بمضلع المضلع هذا ويسمى

ما قوى مضلع تكوين أن مالحظة السهل

هو إال تطبيق لقاعدة مثلث قوى عدة مرات

متتالية.

ق2ق3

Kق

ق1

C

ب

جـ

و

هـI

E

شكل )2(

ق2

ق3

Kق

ق1

I

شكل )1(

حمصلة عدة قوى مستوية متالقية �ىف نقطة هندسية.

حمصلة عدة قوى مستوية �متالقية ىف نقطة حتليليا.

� Resultant حمصلة. مركبة جربية. �

Algebraic component � Unit vector متجه وحدة.

آلة حاسبة علمية . � Scientific calculator

برامج رسومية للحاسوب. �

25كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطةThe resultant of coplanar forces meeting at a point3 - 1

خلفية

نقطة فى متالقيتين قوتين محصلة إيجاد الطالب درس أن سبق

القوتين بهاتين المرسوم متوازى األضالع بقطر ومثلت هندسيا

إليجاد الخاصة الحاالت بعض ثم فيه، متجاورين كضلعين

محصلة هاتين القوتين.

إيجاد محصلة عدة قوى الطالب الدرس سوف يدرس وفى هذا

الهندسى(، الرسم )باستخدام نقطة هندسيا فى متالقية مستوية

ثم متعامدين اتجاهين فى قوة كل تحليل باستخدام وتحليليا

إيجاد مقدار واتجاه المحصلة .

مخرجات الدرس

فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:

يوجد حمصلة عدة قوى مستوية متالقية ىف نقطة هندسيا. �يوجد حمصلة عدة قوى مستوية متالقية ىف نقطة حتليليا. �حيل مسائل عىل إجياد حمصلة عدة قوى متالقية ىف نقطة. �

مفردات الدرس:

محصلة - مركبة جبرية - متجه وحدة.

المواد التعليمية المستخدمة:

آلة حاسبة علمية - برامج رسومية - ورق مربعات.

طرق التدريس المقترحة:

العرض المباشر - المناقشة - العصف الذهنى - حل المشكالت -

استخدام البرامج الرسومية للحاسوب.

مكان الدرس:

الفصل الدراسى- معمل الوسائط بالمدرسة .

مصادر التعلم:

الدولية الشبكة )30( صفحة إلى )25( ص من الطالب كتاب

للمعلومات )اإلنترنت(.

9 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

)GeoGebra( استخدام برنامج نشاط

ق4 أربع قوى مستوية تؤثر فى نقطة من جسم جاسئ ، حيث ق1 = 400 نيوتن وتعمل ق3 ، ق2 ، ق1 ،

فى اتجاه الشرق ، ق2 = 300 نيوتن وتعمل فى اتجاه الشمال ، ق3 = 500 نيوتن وتعمل فى اتجاه الشمال الغربى ،

ق4 = 200 نيوتن وتعمل بزاوية قياسها c30 جنوب الغرب. أوجد محصلة هذه القوى.

ارسم القطع المستقيمة الموجهة التى تمثل القوى بمقياس رسم 1: 100 1

C ب الذي طوله 4 وحدات فى اتجاه الشرق. ارسم من نقطة األصل المتجه 2

ارسم من نقطة ب المتجه ب جـ الذي طوله 3 وحدات فى اتجاه الشمال. 3

جـ E الذي طوله 5 وحدات فى اتجاه ارسم من نقطة جـ المتجه 4 الشمال الغربى.

c30 اتجاه فى وحدة 2 طوله الذي E هـ المتجه E من ارسم 5 جنوب الغرب.

C هـ بما تسميه؟ الحظ المتجه من الرسم السابق نجد أن:

|| = 5٫68 وحدة طول. C هـ ||

مقدار المحصلة = 5٫68 * 100 = 568 نيوتن، وتصنع المحصلة

مع الشرق زاوية قياسها c103تقريباا.

ا مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة تحليليThe resultant of coplanar forces meeting at apoint analytically

قن المستوية والمتالقية فى نقطة وفى نظام إحداثى متعامد، وكانت ق3 ،..... ، ق2 ، ق1 ، إذا أثرت القوى

N هما متجها الوحدة فى اتجاه ، M تصنع الزوايا القطبية التى قياساتها هـ1 ، هـ2 ، هـ3 ، ......... ، هـن وكانت

قن ق3 + ..... + ق2 + ق1 + = I و س ، و ص فإن: 

و س ، و ص المتعامدين فإن: وبتحليل كل قوة فى اتجاهى

I = )ق1 جتا هـ1 ، ق1 جا هـ1(

+ )ق2 جتا هـ2 ، ق2 جا هـ2 (

   + ................. + )قن جتا هـن ، قن جا هـن(

M I = )ق1 جتا هـ1 + ق2 جتا هـ2 + ....... + قن جتا هـن(

N + )ق1 جا هـ1 + ق2 جا هـ2 + ....... + قن جا هـن(

N )Sجا هـ Sق ن

1 = S( + M )SجتاهـSق

ن

1 = S( = I

C ب

جـ

E

هـ

المحصلة

شمال

غربشرق

c45

c30

c102٫89

س

ص

هـمهـ

هـ2

Kهـ

س

ص

ق2

ق3Kق

ق1

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

26

القوى × لمركبات الجبرى بالمجموع SجتاهـSق ن

1 = Sالمقدار: يسمى

و س ويرمز له بالرمز س. فى اتجاه

قSجاهـS بالمجموع الجبرى لمركبات القوى فى ×ن

1 = Sيسمى المقدار:

اتجاه و ص ويرمز له بالرمز ص.

N M + ص I = س ومن ذلك نكتب

وتكون ح معيار المحصلة ، هـ هى قياس الزاوية القطبية لها صس

س2 + ص2 ، ظا هـ = = I : أى أن

مثال

أربع قوى مستوية تؤثر فى نقطة مادية، األولى مقدارها 4 نيوتن وتؤثر فى اتجاه الشرق، والثانية مقدارها 2 1 نيوتن وتؤثر فى اتجاه c60 شمال الشرق، والثالثة مقدارها 5 نيوتن وتؤثر فى اتجاه c60 شمال الغرب والرابعة 3

3 نيوتن وتؤثر فى اتجاه c60 غرب الجنوب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

الحل3 نيوتن قياس زواياها القطبية هى c210 ، c120 ، c60 ، c0 على الترتيب نوجد المجموع القوى 4 ، 2 ، 5 ، 3

و س الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه

c210 3جتا 3 + c120 5 جتا + c60 2 جتا + c0س = 4 جتا

2 - = 92 - 5

2 - 1 + 4 = 32 * 3 3 - 12 * 5 - 1

2 * 2 + 4 =   

c2103 جا 3 + c120 5 جا + c60 2 جا + c0ص = 4 جا 12 * 3 3 - 32 * 5 + 32 * 2 + 0 =   

3 2 = 3 32 - 3 5

2 + 3 =   

16 = 4 نيوتن = 12 + 4 س2 + ص2 = = I ويكون   ص 3 س + 2 2 - = I `

     3 - = 232- ص =

سظا هـ =

a س > 0 ، ص < 0

   c120 = هـ `

c120 أى أن مقدار محصلة القوى يساوى 4 نيوتن، وتصنع زاوية قطبية قياسها

حاول أن تحل3, 40 نيوتن فى نقطة، بحيث كانت الزاوية بين اتجاهى تؤثر القوى المستوية التى مقاديرها 10 ، 20 ، 30 1 والرابعة الثالثة القوتين اتجاهى c90 وبين والثالثة الثانية القوتين اتجاهى والثانية c60 وبين األولى القوتين

c150. أوجد مقدار واتجاه المحصلة.

3 3

س

ص

س

ص

c60c60c30

25

4و

س

ص

I

هـ

و

اأ�سف اإلى معلوماتك

)سيجما( الرمز يسمى

ن

1 = Sوالعبارة التجميع برمز

من بدأ عنصرا ن مجموع العنصر األول.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

ةطـقم ف ة قلا ـكلتم كوقيم ع كـحم

27

1 1

التهيئةإذا � أنه الطالب إلى وضح

فى 2X ،

1X أثرت قوتان

الشكل فى كما ب نقطة

محصلتهما فإن المقابل

واتجاها مقدارا تمثلها

المضاد الدورى االتجاه فى المثلث إغالق )قاعدة C جـ

E التجاه القوتين( ويتفق هذا مع قاعدة متوازى األضالع ب

ب جـ C ب + ب جـ = +E ب = ب هـ هـ جـ بحيث :

إجراءات الدرسبين إلى الطالب اآلن الحالة التى تؤثر فيها مجموعة من القوى �

المستوية فى نقطة، وبين لهم أنه فى هذه الحالة أيضا يمكن

االستعاضة عن هذه المجموعة بقوة واحدة تكافئها وتؤثر فى

نفس النقطة وتسمى بمحصلة المجموعة .

بين إلى الطالب بأن مضلع القوى ماهو إلى تطبيق لقاعدة مثلث �

قوى عدة مرات متتالية.

.)Geo Gebra( نشاط: باستخدام برنامج

وضح إلى طالبك أن للمحصلة مركبتين جبريتين متعامدتين �

الترتيب، على ، وص الشعاعين وس اتجاهى فى ص س،

حيث بالمركبةالصادية السينية،ص بالمركبة س وتسمى

إذا كان I هو مقدار المحصلة، N ، و M + ص I = س س2 + ص2 = I فإن المحصلة، لمتجه القطبية الزاوية هـ

، ويجب توضيح النقاط اآلتية إلى الطالب:صس ، ظا هـ =

X على محور السينات أو الصادات � إذا انطبق خط عمل

فإن مركبتها فى هذا االتجاه تساوى مقدار القوة نفسها.

)ألن X جتاX = c0( أو مركبتها فى االتجاه العمودى تساوى �

)0=c0حا X صفرا )ألن

I = ص وفى اتجاه محور الصادات؛ أى إذا � إذا كان س = 0 فإن

كان مجموع المركبات الجبرية للقوى فى اتجاه محور السينات

وفى لها الصادية المركبة تساوى المحصلة فإن صفرا؛ يساوى

اتجاه محور الصادات، وكذلك إذا كان ص =0 فإن I = س وفى

اتجاه محور السينات.

التقييم المستمر )المناقشة والحوار(إجابة حاول أن تحل ص )27(:

c33040جتا + c150جتا 3 30 + c6020 جتا + c0س = 10جتا12 * 40 + 3

2 * 3 30 -

12 * 20 + 10 = 

س = 10 + 10 - 45 + 20 = -5 ،

c300 40 جا + c1503 حا 30 + c6020حا + c0ص = 10حا

2X

1X

I I

1XC Eب

جـ هـ

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى20

مثال

3 ، 4 ث كجم فى نقطة C فى 2 ، 8 ، 3 C ب جـ E هـ و شكل سداسى منتظم تؤثر القوى التى مقاديرها 2 ، 4 2 C و على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C هـ ، ، E C C جـ ، C ب ، االتجاهات

الحلC ب هو اتجاه القوة األولى فتكون الزوايا القطبية للقوى هى: c120 ، c90 ، c60 ، c30 ، c0 على باعتبار

الترتيب.

c120 4 جتا + c90 3 جتا 2 + c60 8 جتا + c30 3 جتا 4 + c0 س = 2 جتا `

12 * 4 - 0 * 3 2 + 1

2 * 8 + 32

* 3 4 + 2 =

= 2 + 6 + 4 - 2 = 10 نيوتن

c60 8 جا + c30 3 جا 4 + c0 ص = 2 جا  

c120 4 جا + c90 3 جا 2 +   32

* 4 + 3 2 + 32

* 8 + 12 * 3 4 + 0 =   

3 نيوتن 10 = 3 2 + 3 2 + 3 4 + 3 2 =   

N 3 10 + M 10 = I `

3(2 = 20 نيوتن 10( + 2)10( س2 + ص2 = = I `

3 = 3 1010

ص = س

ظا هـ =

c60 = )هـc(X ` a س < 0 ، ص < 0

EC أي أن المحصلة تعمل فى اتجاه

تمــــاريــن )1 - 3(

اأكمل ماياأتى:

N فإن: ق3 = 6 ، N 2 - M ق2 = ، M ق1 = 2 إذا كانت القوى 1 مقدار محصلة القوى = ......................................... واتجاهها = .........................................

N M - 3ب C 2 = I ، N 8 - M ق2 = 4 ، N 2 - M ق1 = 2 إذا كانت القوى 2 فإن: C = ......................................... , ب = .........................................

N 4 - M 6 = I ، N M - ب ق3 = 4 ، N - M C = 2ق ، N 2 - M ق1 = 3 إذا كان 3 فإن: C = ......................................... , ب = .........................................

Cس

ب

ص

وجـ

Eهـ

3 2

3 4

8

2

4c30

c30

c30c30

ص

سهـ

I

و

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

28

أوجد مقدار واتجاه محصلة القوى المبينة فى كل شكل من األشكال اآلتية: 4

شكل )2(

س

ص

و

ص

c30c45

3 4

2 3

3 2

س

شكل )3(

سc30

ص

1

2

ص

c60

3 3

3 4

س

شكل )1(

سc45

ص

و

2

4

ص

2 4

س

شكل )5(مستطيل بعداه 6سم ، 8سم

C ب

Eجـ

7

5

10

6 سم

8 سم

شكل )6(

C ب

وجـ

Eهـ4

8

6

سداسى منتظم

3 4

3 2

شكل )4(

C

جـب

3 6

4

4

مثلث متساوى الساقين

c120c30c60

3 ، 12 ث كجم فى نقطة مادية، وكان قياس الزاوية بين األولى والثانية c60 وبين أثرت القوى 3 ، 6 ، 9 5 الثانية والثالثة c90 وبين الثالثة والرابعة c150. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

c30 ثالث قوى مقاديرها 10 ، 20 ، 30 نيوتن تؤثر فى نقطة مادية، األولى نحو الشرق، والثانية تصنع زاوية 6 غرب الشمال، والثالثة تصنع c60 جنوب الغرب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

3 ، 40 ث جم تؤثر فى نقطة مادية، األولى تؤثر فى اتجاه الشرق، والثانية أربع قوى مقاديرها 10 ، 20 ، 30 7 c60 شمال الغرب، والرابعة تؤثر فى اتجاه يصنع c30 شمال الشرق، والثالثة تؤثر فى اتجاه c60 تؤثر فى اتجاه

جنوب الشرق. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

C ب جـ مثلث متساوى األضالع ، م نقطة تالقى متوسطاته أثرت القوى التى مقاديرها 15 ، 20 ، 25 نيوتن فى 8 . أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C م م ب ، م جـ ، نقطة مادية فى االتجاهات

، 2 ب جـ بحيث ب هـ = 5سم. أثرت قوى مقاديرها 2 ، 13 ، 4 C ب جـ E مربع طول ضلعه 12سم ، هـ ∋ 9 E C على الترتيب. أوجد محصلة هذه القوى. ، C جـ C هـ ، C ب ، 9ث جم فى االتجاهات

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

ةطـقم ف ة قلا ـكلتم كوقيم ع كـحم

29

1 1

32

40 - 12 * 3 30 + 3

2ص = 0 + 20 * 6

3 5 = 3 20 - 3 15 + 3 10 =  

25 + 75 = 10 نيوتن = I

3 = 3 55 ظا هـ =

c120 =c60 -c180 = )هـc( X

تمارين إثرائية:

، 11 ، 4 ، 3 م نقطة مادية تؤثر فيها القوى التى مقاديرها 6 ،

3 نيوتن فى اتجاهات c60 شمال الشرق، الشمال، c 60شمال 4

الغرب، c 30جنوب الشرق على الترتيب.

أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

]اإلجابة : I = 8 نيوتن، وتعمل فى اتجاه c 60شمال الغرب[

إجابات تمارين )3-1(:103 C = 3 ، ب = 2

43 I = 5 وحدة قوة ، ظا-1هـ =

C = -1 ، ب = 1  4 س = 8 ، ص = 6 ، ح = 10، 3 .

34

شكل 1  ظا-1

شكل 2  س = 4 - 3 = 1 ، ص = 4 + 3 - 2 = 5

  ، ظا-1 5 26 = 25 + 1 = I

شكل 3  س = 1 + 2 - 4 = -1 ،

3 3 - 12 * 3 4+

32

ص = 2 * وس/  = صفر   I = 1 وتعمل فى اتجاه

 ، ص = 0 3 شكل 4 س = 2

ب جـ 3 وتعمل فى االتجاه العمودى على المحصلة = 2

شكل 5  س = -7 ، ص = -3 37

 ، ظا-1 58 = 9 + 49 = I

3 شكل 6   س = 10 ، ص = 10

3 I = 20 ، ظا-1

c60س = 3 + 6جتا 5 c30جتا 3 9-

c6012 جتا + 32 س = 3 + 3 - 9 *

32 = 6+

32

* 12 - 12 * 3 9 +

32

ص = 6 *

3 32 = 3 6 - 3

92 + 3 3 =  

3 = 274 + 9

4 ح =

س

ص

و

هـ

I

س

ص

c60c60

c30

3 96

12

3

ةتوك رن ولل امتالوك ااىودك دع ميمك

دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى 2

1 1

من بيانات الشكل . أوجد مقدار واتجاه المحصلة . 10

c40

c30

c35

80 نيوتن

120 نيوتن

150 نيوتن

بأ

c35

c30

c35 100 نيوتن

150 نيوتن

200 نيوتن

N ثالث قوى مستوية M + ب ق3 = -14 ، N 6 + M C = 2ق ، N 3 + M ق1 = 5 إذا كانت 11 c135 ، 2(. أوجد قيمتي C ، ب. 10( = I ومتالقية فى نقطة وكانت المحصلة

2 3 تساوى القوى محصلة مقدار كان إذا المقابل: الشكل فى 12 المحصلة عمل خط بين الزاوية قياس ق، قيمة فأوجد نيوتن،

وخط عمل القوة األولى .

: إذا كانت محصلة القوى تساوى 20 ث كجم، المقابل فى الشكل 13 E C أوجد قيمتى ق ، ك . وتعمل فى اتجاه

تفكير إبداعى:الشكل المقابل: يبين أربع قوى مستوية ومتالقية فى نقطة )و( فى 14 4 ، وكانت محصلة هذه القوى

5 االتجاهات الموضحة حيث جا هـ =

و س 2 نيوتن وتصنع زاوية قياسها c135 مع تساوى 8

أوجد قيمتى X ، ك.

c45c30

ص

س

3 22 3

3

ق

C

سب

وجـ

Eهـ

3 2

ق

ك

3 2

ص

س

ص2ك

س

ص

ك

هـ

هـ وهـ

هـ

X2

X4

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

30

3 أى أن المحصلة تعمل فى اتجاه القوة الثانية. ظا-1

c15- =c 240 30 جتا + c120 10 + 20 جتا =M 6

3 5 - =c 240 30 جا +c 120 20 جا = N  

3 نيوتن 10 = 75 + 225 = I  

c210 =c 30 + c180 = هـ

5- = c300 40 جتا +c150 1جتا 3 30 +c6020 جتا + c010 جتا =M 7

3 5 = c300 40 جا + c150 3 جا 30 +c6020 حا +c 010 جتا = N  

c120 = 25 + 75 = ث مم ، هـ = I  

3 52 = c330 20 جتا +c 210 15 جتا + c90 25 جتا =M 8

I 3 152 = c330 20 جا +c 210 15 جا +c 90 25 جا = N

c 60 و س زاوية قياسها 3 نيوتن واتجاهها يصنع مع 5=

C جـ = 10 سم من فيثاغورث 9 35 ، جا )c ب C جـ( =

45 جتا )c ب C جـ( =

2 2جتا c45= 14 نيوتن 5 + c0 3 جتا =M  

جا c45= 14 نيوتن 2 5 +c0 3 جا = N  

c45 ب قياسها C 2 نيوتن   وتصنع زاوية مع 14= I  

ص س + ) 3 + 6 + ب ( )14 - C + 5 ( = I

ص )1( س + ) ب + 9 ( ) 9 - C ( =

س + 10 جتا 135 2 10 = )135 ، 2 10( = I a

ص )2( 10 + س ص = - 10 2 جا 135

من )C `  )2( ، )1 = -1 ، ب = 1

+ c150 جتا 3 2 + c45 جتا 2 3 + c. M = ق جتا 2

جتا c270 = ق 3

3 + c150 جا 3 2 + c45 جا 2 3 + c. ق جا = N  

3 = c270 جا

(2 = ق2 + 4 2 ص ` )3 3 + س = ق I `

c45 = ظا هـ =1 أى هـ ، ص 3 + س 3 = I ` ق = 3 نيوتن أى أن

جتا 3 2 +c60 ق جتا + c30 جتا 3 2 + c. 4 جتا =M 3

1 ك ،2 1 ق -

2 + 7 = c120 ك جتا+ c90

c90 جا 3 2 + c60 ق جا + c30 جا 3 2 + c. 4 جا = N  

ك 3

23 ق +

2+ 3 3 = c 120 ك جا +

E C Ia = 20 ث كجم وتعمل فى اتجاه

، ومن ذلك فإن : ص 3 10 + س 10 = I `

ق = 10 ث كجم ، ك = 4 ث كجم

تفكير إبداعي:

خطوات � وتحديد المسألة فى التفكير الطالب من يطلب

الحل وكيف يمكن إيجاد قيمتى ق،ك؟

نجد أن المحصلة معطاة بطرفين غير مباشرة )مقدار زاوية الميل(. �

اتجاه القوى �

2 ك5 ق +

45 = N ، 2 ق - ك =M 4

ص )1( ك( 25 ق +

45 س + ) I = )2 ق - ك(

ص 2 جا 135 س + 8 c135 2 جتا 8= I a

ص )2( س + 8 8 =

من )1( ، )2(

ق = 3 نيوتن ، ك = 14 نيوتن.

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى22

اتزان ج�سيم تحت ت�أثير مجموعة من القوى الم�ستوية المتالقية فى نقطة

Equilibrium of aparticle under the action of copla-nar forces meeting at a point

4 -

آلة حاسبة علمية � Scientific calculator

برامج رسومية للحاسوب. �

األدوات والوسائل

قاعدة مثلث القوى. �Triangle of forces rule

� Lami`s rule قاعدة المى. � Polygon of forces مضلع القوى.

المصطلحات األساسية

اتزان جسم حتت تأثري قوتني. �اتزان جسم حتت تأثري ثالث �

قوى مستوية ومتالقية ىف نقطة.قاعدة مثلث القوى. �قاعدة المى. �نظرية القوى الثالث. �اتزان جمموعة من القوى �

املستوية املتالقية ىف نقطة.

سوف تتعلمإذا أثرت قوتان أو أكثر فى جسم جاسئ، ولم يتغير وضع الجسم قيل إن هاتين القوتين

أو هذه القوى متزنة، وأن الجسم متزن ، ويعد أبسط أنواع االتزان هوالناتج عن تأثير

قوتين فى جسم جاسئ.

اتزان ج�سم جا�سئ تحت تاأثير قوتينEquilibrium of a rigid body under the action of two forces

عمل تعاونى

ا وزنه 20 ث كجم على كفة ملساء 1- ضع جسماالميزان قراءة والحظ أفقى، ضغط لميزان

حينئذ. كما فى الشكل )1(.

الجسم نفس يربط أن زميلك من اطلب -2بخيط خفيف أملس، ويربط نهاية الخيط

قراءة ميزان زنبركى، ويالحظ فى خطاف

الميزان فى وضع السكون.

3- قارن بين النتائج فى كل من التجربتين، ماذا تالحظ؟نالحظ أن:

كل من قوتى رد الفعل S فى التجربة األولى ×

الثانية التجربة الخيط ش فى الشد فى وقوة

تساوى 20 ث كجم وهو وزن الجسم.

تعلم

�سروط اتزان ج�سم ج��سئ تحت ت�أثير قوتين

يتزن الج�سم الجا�سئ تحت تاأثير قوتين فقط اإذا كانت القوتان:1- متساويتين فى المقدار.

2- متضادتين فى االتجاه.3- خطى عملهما على استقامة واحدة.

رد فعل الميزان

الشد فى الخيط

S = 20 ث كجم

و = 20 ث كجم

ش = 20 ث كجم

و = 20 ث كجم

وزن الجسم 20 ث كجم

وزن الجسم 20 ث كجم

)1ل )

شك)2

ل )شك

31كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

4 - 1 اتزان ج�سيم تحت تاأثير مجموعة من القوى الم�ستوية المتالقية فى نقطة

Equilibrium of a particle under the action of coplanar forces meeting at a point

خلفية

إيجاد محصلة عدة سبق أن درس الطالب إيجاد محصلة قوتين و

سوف الدرس هذا وفى التحليلية(، بطريقتين)الهندسية، قوى

يدرس الطالب اتزان مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى

نقطة بالطريقتين الهندسية والتحليلية، ثم ينتقل إلى اتزان جسم

مستخدما نقطة؛ فى ومتالقية مستوية قوى ثالث تأثير تحت

قاعدة مثلث القوى وقاعدة المى والتحليل فى اتجاهين متعامدين.

أهداف الدرس

فى نهاية هذا الدرس، وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:

يدرس رشوط اتزان جسم حتت تأثري قوتني. �يدرس رشوط اتزان جسم حتت تأثري ثالث قوى مستوية ومتالقية �

ىف نقطة.يستخدم قاعدة مثلث القوى وقاعدة المى حلل مسائل عىل اتزان �

جسم حتت تأثري ثالث قوى مستوية.يتعرف عىل نظرية القوى الثالث. �يدرس رشوط اتزان جمموعة من القوى املستوية املتالقية ىف نقطة. �

مفردات أساسية:

قاعدة مثلث القوى - قاعدة المى - مضلع القوى.

المواد التعليمية المستخدمة:

ورق - علمية حاسبة آلة - ملون طباشير التعليمية- السبورة

مربعات - برامج رسومية )Geo Gebra( للحاسوب.

مكان التدريس:

الفصل الدراسى.

مصادر التعلم:

الدولية الشبكة -)42( ص إلى )31( صفحة من الطالب كتاب

للمعلومات .

استراتچيات التدريس

العمل التعاونى - العصف الذهنى - الحوار والمناقشة

23 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

مثال

إذا كانت القوة التى مقدارها ق تتزن مع قوتان مقدارهما 5 ، 3 نيوتن واللتان 3 تحصران بينهما زاوية قياسها c60 فأوجد قيمة ق؟

الحلنوجد محصلة القوتين 5 ، 3 نيوتن من القانون:

c60 25 + 9 + 2 * 5 * 3 جتا = I `    + 2 ق1 ق2 جتا ى2ق2 +

2ق1 = I

49 = 7 نيوتن = 15 + 9 + 25 = I `

 ` ق = 7 نيوتن a القوة )ق( ومحصلة القوتان 5 ، 3 نيوتن فى حالة اتزان.

حاول أن تحلإذا كانت القوة التى مقدارها ق تتزن مع القوتين المتعامدتين التى مقدار كل منها 5 ، 12 نيوتن فأوجد قيمة ق. 1

نقل نقطة تاأثير القوة اإلى اأى نقطة على خط عملها

نشاط

أحضر األدوات اآلتية: 1 ا من المعدن - خيطاا - ميزاناا مائيا - مسطرة. ا رقيقا ميزاناا زنبركيا - قرصا

اضبط النضد أفقيا باستخدام الميزان المائى. 2

صل القرص بخيطين عند الثقبين C ، ب ثم اربط الطرفين اآلخرين للخيطين بميزان الزنبرك. 3

ثبت حلقة أحد الميزانين فى مسمار مثبت فى النضد عند نقطة )جـ( واجذب الميزان اآلخر ثم ثبته عند نقطة 4 )E( فى مسمار آخر يبعد عن المسمار األول بحيث يكون الخيطان مشدودين كما بالشكل .

أوجد مقدار الشد المؤثر فى الخيط وسجل النتائج. 5

للخيط من الطرف اآلخر تغيير ... وكذلك ،2C ،1C النقاط إلى ،C النقطة الخيط من تثبيت طرف غير موضع 6 النقطة ب إلى النقاط ب1، ب2، ... والحظ قراءة ميزان الزنبرك فى كل حالة وسجل النتائج - ماذا تالحظ؟

ا . نالحظ أنه عند حدوث التوازن تتساوى القراءتان تماما

من النشاط السابق نستنتج أن :

إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير قوتين، فإنه يمكن نقل نقطة تأثير أى من القوتين إلى نقطة أخرى على خط عملها دون أن يؤثر ذلك فى اتزان الجسم.

c60

X

3 نيوتن

5 نيوتن

ب CEجـ ب1 ب2 1C2C

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

32

التهيئةابدأ مع طالبك السؤال التالي: كيف يكون الجسم متزنا تحت �

تأثير قوتين؟

ناقش ذلك من خالل نشاط )عمل تعاوني(. �

اجراءات الدرسوضح لطالبك أن الجسم الجاسئ الخاضع لتأثير قوتين يكون �

متزنا، إذا كانت القوتان متساويتين مقدارا ومتضادتين اتجاها

ولهما فى نفس خط العمل.

اطلب إلى طالبك عمل عصف ذهنى لمواقف حياتية أخرى �

قوتين تأثير تحت جاسئ جسم لتوازن عنها التعبير يمكن

مثل: كتاب على منضدة ، مروحة معلقة فى سقف غرفة.

متزنا � الجاسئ الجسم يكون عندما أنه الطالب إلى أشر

تساوى صفرا، وهنا يضمن عليه المؤثرة القوى فإن محصلة

االتزان االنتقالى للجسم .

معلومات إثرائية: توجد لالتزان ثالث حاالت من الثبات وهى :

االتزان المستقر: وفيه إذا وضع جسم ألبعاده فإنه يعود إلى وضعه

سطح على طرفيه أحد من كتاب رفع مثل أخرى، مرة األصلى

منضدة، ثم تركه ليعود مرة أخرى إلى حالته األولى.

االتزان الغير مستقر: وفيه إذا رفع جسم ألبعاده فإنه يبتعد نهائيا

مثل دفع كرسى؛ ليستقر على رجلين فقط فإنه ينقلب عند دفعه.

االتزان المحايد : وفيه إذا رفع الجسم ألبعاده عن حالة االتزان فإنه

ينتقل لحالة اتزان جديدة ، مثل أسطوانة موضوعة على منضدة.

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(

إجابة حاول أن تحل ص )32(:

اطلب من الطالب أن يقوموا بالتفكير فى المسألة، ومحاولة �

حلها فرديا ثم مناقشتها جماعيا.

نوجد محصلة القوتين 5 ، 12 نيوتن من القانون

144 + 25 = I أى أن 22X + 21X

= I

I = 13 نيوتن.

aالقوة )X( ومحصلة القوتين 5 ، 12 نيوتن فى حالة اتزان

` X = 13 نيوتن.

فى بند نشاط ص )32(

جهز األدوات الالزمة لعمل النشاط. �

قسم طالبك إلى مجموعات مختلفة. �

اطلب من طالبك تسجيل النتائج بعد عرض خطوات النشاط �

المرفق صفحة 32 .

تسجيل النتائج فى الجدول التالي: �

تسجيل النتائج ) مقدار الشد(قراءة الميزان الزنبركي

مناقشة النتائج �

تأثير � نقطة نقل يمكن السابق النشاط من أنه للطالب بين

القوة إلى أى نقطة أخرى على خط عملها دون أن يؤثر ذلك

فى اتزان الجسم.

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى24

مثال

القوى 3، 5، 4 نيوتن متوازنة كما فى الشكل المقابل. 1 أوجد قياس الزاوية بين القوتين 3، 5 نيوتن.

الحلÖ مجموعة القوى متزنة.

نيوتن 4 القوة مع تتزن نيوتن 5 ،3 القوتين محصلة `

ويفرض أن قياس الزاوية بين القوتين 3، 5 نيوتن ى فإن :

2X 1X2 + 22X + 21X = 2 Iجتا ى

5 = 2X ، 3 = 1X ، 4 = I : بالتعويض عن

30 جتا ى = -18 16 = 9 + 25 + 2 * 3* 5 جتا ى

3-5 أى أن جتا ى =

c126  52 11ا = c53 7 49ا - c180 = )ىc(ق `

حاول أن تحل

إذا كانت القوى 7، 8، 13 نيوتن متوازنة فأوجد قياس الزاوية بين القوتين األولى والثانية. 2

اتزان ج�سم جا�سئ تحت تاأثير ثالث قوى م�ستوية ومتالقية فى نقطة Equilibrium of arigid body under the action of three coplanar forces meeting at apoint سبق أن درست شروط اتزان جسم جاسئ تحت تأثير قوتين ، وسوف ندرس توازن ثالث قوى تقع خطوط عملها فى مستوى واحد وتتالقى فى نقطة واحدة ، وهذه القوى إما أن تؤثر فى نقطة مادية )أوجسيم ( أو تؤثر على جسم

بحيث تتالقى خطوط عملها فى نقطة واحدة.

تعلم إذا أمكن تمثيل ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة بأضالع مثلث مأخوذة فى

ترتيب دورى واحد فإن هذه القوى تكون متزنة.ففى الشكل المقابل :

أطوال تكون ألن تصلح مقاديرها تكون أن يجب الثالث القوى تتزن لكى أضالع مثلث .

تعبير شفهى :بين أيا من القوى التى لها المقادير اآلتية يمكن أن تكون متزنة ؟ فسر إجابتك.

على اعتبار أن القوى تؤثر فى نقطة واحدة و فى اتجاهات مختلفة.

4، 10، 6 نيوتن. ج 3، 5، 7 نيوتن ب 3، 5، 9 نيوتن أ

ىC

ب

5 نيوتن3 نيوتن

4 نيوتن

ق1

ق2

ق3

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم

33

1 1

Triangle of forces قاعدة مثلث القوى ق2 تؤثران على جسم جاسئ ق1 ، شكل )1(: يمثل القوتان

و ب ، C و  تعمالن فى

تعمل فى والتى ) ق2 + ق1 القوتين هي ) وتكون محصلة هاتين

القطر و جـ من متوازى األضالع و C جـ ب.

( فى المقدار وتضادهها فى االتجاه ق2 ق1 + ق3 تساوى )

ق3 مجموعة متزنة. ق2 , ق1 , Ñ 0 ق3 = ق2 + ق1 + : أى أنتحقق من فهمك

ق3 مجموعة متزنة حيث : ق2 ، ق1 ، بين أن مجموعة القوى

N 2 - M 3 - = ق3 ، N 3 + M = ق2 ، N - M 2 = ق1

ق3 ق2 , ق1 , شكل )2(: يمثل مثلث القوى للمجموعة المتزنة حيث إن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المتناظرة.

ق3جـ و

 =  ق2C جـ

 =  ق1C و

 : أى أن

أى أن: إذا اتزنت ثالث قوى متالقية فى نقطة، ورسم مثلث أضالعه توازى خطوط عمل القوى، فإن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المناظرة.

فكر: استخدم قاعدة الجيب إلثبات قاعدة مثلث القوى.مثال

علق ثقل مقداره 12 نيوتن فى أحد طرفى خيط خفيف طوله 130سم، والطرف اآلخر للخيط مثبت فى نقطة 2 على حائط رأسي، جذب الجسم بتأثير قوة أفقية حتى اتزن وهو على بعد 50سم من الحائط. أوجد مقدار كل

من القوة والشد فى الخيط.

الحلالثقل متزن تحت تاأثير القوى الثالث:

قوة الوزن )12 نيوتن( وتعمل رأسيا ألسفل. ×

القوة األفقية ق. ×× Cب الشد فى الخيط ش ويعمل فى

C جـ من فيثاغورث. نوجد طول

)130(2 - )50(2 = 120 سم C جـ =

المثلث ب C جـ مثلث القوى: ق50

= 12120

ش = 130

ش = 13 نيوتن ، ق = 5 نيوتن

شكل )1(C

ب

و

جـ

+

ق1

ق2

ق1

ق2

ق3

شكل )2(Cو

جـ

ق1

ق2

ق3

Xب

12

C

جـ

ش

120 سم 130 سم

50 سم

C

جـب

ش

12

X

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

34

معلومات اإثرائية:

القوتان المتكافئتان

2X1X

C Eب جـ

2X فى جسم جاسئ وكان خطا عملهما على ، 1X أثرت إذا

E 1 ، جـX C ب تمثل استقامة واحدة وفى اتجاه واحد وكان

2X وكان C ب = جـ E فإنه يقال إنهما قوتان متكافئتان؛ ألن تمثل

تأثيرهما على الجسم واحد.

التقييم المستمر )الحوار والمناقشة(إجابة حاول أن تحل ص )33(

)13(2 = )7(2 + )8(2 + 2 * 7 * 8 جتا ى

c60 = ومنها ى

فى بند تعلم ص )33(: )معلومات إثرائية(

ذكر الطالب بمتباينة المثلث التى تنص بأن مجموع طولى ضلعين

حل يمكن ذلك وعلى الثالث، الضلع طول من أكبر مثلث فى

التعبير الشفهى بتمثيل القوى بأطوال واستخدام متباينة المثلث.

أ - 3 ، 5 ، 9 ال تكون مثلث ألن 3 + 5 > 9

ب - 3 ، 5 ، 7 تمثل أطوال أضالع فى مثلث حيث أن : 3 + 5< 7

جـ - 4، 6، 10 ا تمثل مثلث ألن : 4 + 6 =10

حيث إن القوى فى اتجاهات مختلفة .

اتزان جسم جاسئ تحت تأثير ثالث قوى مستوية ومتالقية فى

نقطة.

أشر إلى الطالب بأنه سبق لهم دراسة اتزان جسيم تحت تأثير �

جسم أو مادية نقطة أو جسيم اتزان دراسة وعند قوتين،

جاسئ )بحيث تتالقى خطوط عمل القوى فى نقطة واحدة(

تحت تأثير ثالث قوى؛ فإنه يمكن تمثيل هذه القوى المتزنة

ويمكن واحد، دورى ترتيب فى مأخوذة مثلث بأضالع

دراسة هذا االتزان باستخدام:

1- قاعدة مثلث القوى.

2- قاعدة المى.

0 =N ، 0 =M 3- دراسة شروط االتزان حيث

ف ةمتدط ىل ميوت مللرك ال ىيلل نمتالوك ناىودك دع ميمك

25 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 1

حاول أن تحلعلق ثقل مقداره 16 نيوتن فى أحد طرفى خيط خفيف طوله 50سم، مثبت طرفه اآلخر فى نقطة فى سقف الحجرة 3

أزيح الثقل بقوة أفقية، حتى اتزن وهو على بعد 40سم من السقف ، أوجد مقدار القوة األفقية والشد فى الخيط.

lami''s theorem قاعدة لمى

تمثيلها بأضالع ق3 فى نقطة مادية كما فى الشكل )1( وكانت متزنه فإنه يمكن , ق2 , ق1 إذا أثرت القوى

المثلث مأخوذة فى ترتيب دوري واحد كما فى الشكل )2(

C

بجـ

هـ2

هـ1

هـ3

ق2

3X

شكل )2(1X2هـ

هـ3هـ1

3X

2X

1X)1( شكل

باستخدام قاعدة الجيب نجد أن:ق3

جا هـ3ق2 =

جا هـ2ق1 =

جا هـ1أى أن C ب

جا )180 - هـ3( = C جـ

جا )180 - هـ2(ب جـ =

جا )180 - هـ1(

إذا أتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع جيب الزاوية المحصورة بين القوتين األخرتين.

مثال

ثالث قوى مقاديرها 60 ، ق ، ك نيوتن متزنة ومتالقية فى نقطة فإذا كان قياس الزاوية بين القوتين األولى 3 والثانية c120 وبين الثانية والثالثة c90. فأوجد مقدار كل من ق ، ك.

الحلالمجموعة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث الآتية:

القوة 60 نيوتن ، القوة ق نيوتن ، القوة ك نيوتن بتطبيق قاعدة المى: ك

c120 جاق =

c150 جا = 60

c90 جا

3 نيوتن : ق = 30 نيوتن ، ك = 30 أى أن 2ك 3

60 = 2ق = 1

حاول أن تحلفى الشكل المقابل ثقل مقداره 10 نيوتن معلق بخيطين يميل األول على 4 .c40 ويميل اآلخر على األفقى بزاوية قياسها c30 األفقى بزاوية قياسها

أوجد ق1 ، ق2 فى حالة االتزان.

c150c120

60

X

ك

c40 c301X نيوتن

10 نيوتن

2X نيوتن

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم

35

1 1

قاعدة:إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية

فإن خطوط عمل هذه القوى تتالقى فى نقطة واحدة.

مثال توضيحى: إذا اتزن قضيب منتظم السمك والكثافة وزنه )و( على

حائط رأسى أملس وأرض أفقية خشنة فإن:

مركز ثقل وزن القضيب يعمل فى منتصفه واتجاهه رأسيا ألسفل. ×

رد فعل الحائط الرأسي )1S( يكون عموديا على الحائط ويعمل ×

. E ب فى اتجاه

رد فعل األرض األفقية الخشنة )2S( غير محدد االتجاه ولتحديد ×

( كما فى الشكل. 1S ، و E C الذى يمر بالنقطة E )نقطة تالقى خطى عمل اتجاهه نرسم

مثال

كرة معدنية منتظمة ملساء وزنها 1٫5 ث كجم وطول نصف قطرها 25سم ، ربطت من إحدى نقط سطحها 4 ب بخيط طوله 25سم ومربوط طرفه اآلخر C من نقطة فى حائط رأسى أملس فاتزنت الكرة وهى مستندة على

الحائط. أوجد مقدار الشد فى الخيط ومقدار رد فعل الحائط.

الحل

الكرة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث:وزن الكرة 1٫5 ث كجم ويؤثر رأسيا ألسفل. ×

رد فعل الحائط على الكرة )S( ويؤثر عند نقطة تماس الكرة مع الحائط، ويعمل فى اتجاه عمودى على الحائط ×

ا بالمركز )م(. مار

ويمر × C ب اتجاه فى ويعمل )ش( الخيط فى الشد

فعل ورد الكرة وزن قوتي تالقى نقطة )م( بالمركز

الحائط.)نظرية(

المثلث م C جـ هو مثلث القوى، حيث

م C = 25 + 25 = 50سم 2)25( - 2)50( ومن نظرية فيثاغورث: C جـ =

3سم 25 =

وبتطبيق قاعدة مثلث القوى: S25

= 1٫5253

ش = 50

3 ث كجم.2

= S ، 3ث كجم : ش = أى أن

C

2S

1Sب

جـ

و

E

تذكر اأن

مركز ثقل الكرة المتجانسة يقع فى مركزها الهندسي.

1٫5

C

ب

ش

Sجـم ش

50 سم

251٫5 سم

C

جـمS

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

36

3- إجابة حاول أن تحل ص 35:

بتطبيق قاعدة مثلث القوى.

16 ومنها40

ش = 50

= X 30

ش = 20 نيوتن. ` X = 12 نيوتن .

4- إجابة حاول أن تحل ص 35

بتطبيق قاعدة المى:

10

c110 جا = 2X

c120 جا = 1X

c130 جا

جا c130 - 8٫152 نيوتنc110 جا

* 10 = 1X

جا c120 - 9٫216 نيوتن.c110 جا

* 10 = 2X

تمارين إثرائية:

مصباح وزنه 10 نيوتن معلق رأسيا من سقف حجرة بواسطة -1

X أفقية مقدارها بقوة المصباح سلك طوله 75سم، جذب

حتى أصبح على بعد 60سم من سقف الحجرة.

أوجد مقدار X وكذلك الشد فى السلك.

اإلجابة : ]X = 7٫5 نيوتن ، R= 12٫5 نيوتن[

جسم وزنه 15 نيوتن معلق فى خيط مثبت طرفه الخالص -2

أفقية جعلت قوة أثرت عليه نقطة على حائط رأسى، فى

فى الشد أوجد .c60 بزاوية الحائط على يميل الخيط

الخيط ومقدار القوة.

نيوتن[ 3 15 = X ،30 نيوتن = R [ :اإلجابة

فى بند قاعدة على )نظرية القوى الثالث(:

أشر إلى الطالب أنه يمكن إثبات هذه النظرية على النحو اآلتى:

3X ، 2X ، 1X نفرض أن:

ثالث قوى مستوية تؤثر

فى جسم

جاسئ عند

النقط C ، ب ، جـ كما هو مبين فى الشكل المرسوم.

2X تالقيا فى نقطة )و( ، 1X نفرض أن خطى عمل القوتين

I تمر بنفس نقطة )و(. ` محصلتهما

2X متزنتان ، I 3X متزنة   ` ، 2X ، 1X a

االتجاه فى ومتضادتان المقدار فى متساويتان 3X ، I `

وخط عملهما على استقامة واحدة.

3X يمر بنقطة )و(. ` خط عمل

C

ب

جـ 1X

2X I

3X

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى26

فكر: هل يمكنك حل المسألة السابقة بطرق أخرى؟ اذكر هذه الطرق ثم حل المسألة بإحدى هذه الطرق.

حاول أن تحلكرة منتظمة ملساء وزنها 100 ث جم وطول نصف قطرها 30سم معلقة من نقطة على سطحها بأحد طرفى 5 خيط خفيف طوله 20سم، ومثبت طرفه اآلخر فى نقطة من حائط رأسى أملس. أوجد فى وضع التوازن كال

من الشد فى الخيط ورد فعل الحائط.

مثال

فإذا كان ، خطاف فى ثبت طرفاهما بحبلين نيوتن من طرفيه 30 منتظم طوله 100سم ووزنه علق قضيب 5 ا الحبالن متعامدين، وطول أحدهما 50سم. فأوجد مقدار الشد فى كل من الحبلين عندما يكون القضيب معلقا

ا وفى حالة اتزان. ا مطلقا ا حر تعليقا

الحل

الق�سيب متزن تحت تاأثير القوى الثالث:الشد ، نيوتن، ويعمل رأسيا ألسفل ويؤثر عند منتصفه وزنه 30

C جـ ، ب جـ على فى الحبلين ش1 ، ش2 ويعمالن فى االتجاهين

الترتيب ويتقاطعان على التعامد عند نقطة جـ.

جـ E مرسومة من رأس القائمة إلى منتصف الوتر a

C 1 ب = 50سم2 = E جـ `

` C جـ E مثلث متساوى األضالع

c30 = )E ب جـc(X ، c60 = )E جـ Cc(X `

بتطبيق قاعدة لمى:

3 نيوتن ومنها ش1 = 15 نيوتن ، ش2 = 15 30

c90 جاش2 =

c120 جاش1 =

c150 جا

فكر: استخدم طرق أخرى لحل المسألة السابقة.

مثال

خيط طرف فى معلق ك مقداره ثقل المقابل: الشكل فى 6 وينتهى طرف الخيط بخيطين يمران على بكرتين ملساوتين

عند ب ، جـ ويحمالن ثقلين مقدار كل منهما 30 ، 20 ث جم.

أوجد مقدار الثقل ك ، قياس زاوية هـ فى وضع االتزان

C

ش1ش2

50 سم

50 سم

50c60 سم

c30

ب

جـ

E

30 نيوتن

اأ�سف اإلى معلوماتك

ملساء، بكرة على خيط مر إذا فإن مشدودا الخيط وكان البكرة جانبى على الشدين

متساوى.

1 ش

ش2

ش1ش2

C

30 ث كجم 20 ث كجم

ك ث كجم

األفقيc60

ب جـ

هـ

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم

37

1 1

الحلفى الشكل السابق: نفرض أن ش1 ، ش2 هما الشدان فى الخيطين

C جـ C ب ، ويعمالن فى اتجاهى

ش1 = 30 ث كجم ، ش2 = 20ث كجم البكرتان ملساوتان لذلك فإن:

الجسم الذى ثقله ك متزن تحت تأثير القوى الثالث:

وزن الجسم ك ث كجم والشد فى الخيطين ش1 ، ش2

بتطبيق قاعدة لمى: وبالتبسيط ك

])c60 + هـ( - c180[ جا = 20

)c90 + c60( جا = 30

جا )c90 + هـ(

ك

)c60 + جا )هـ = 40 =

30جتا هـ

c41 /24 / /35 = )هـc( X 3 أي أن جتا هـ = 4 أى أن

)c60 + c41 /24 / /5( ك = 40 * جا

 ك - 39٫2107 ث كجم أى أن

حاول أن تحل 6 أزيحت كرة بندول وزنها 600ث جم؛ حتى صار الخيط يصنع زاوية قياسها c30 مع الرأس تحت تأثير قوة

على الكرة فى اتجاه عمودى على الخيط. أوجد مقدار القوة ومقدار الشد فى الخيط.

اتزان ج�سم تحت تاأثير مجموعة من القوى الم�ستوية والمتالقية فى نقطة

نشاط

Polygon of forces م�سلع القوى: :)Geo Gebra( با�ستخدام برنامج

، c120 ، c0 :مثل القوى التى مقاديرها 400 ، 100 ، 300 ، 100 داين والتى تعمل بزوايا قطبية قياساتها كاآلتى

c240 ، c180 على الترتيب. ماذا تالحظ؟

نالحظ ان:بداية × نقطة على ينطبق األخيرة القوة عمل خط نهاية نقطة

خط عمل القوة األولى فى مضلع القوى الموضح بالشكل.

ن مضلع القوى المقفل و C ب جـ. أى أنه قد تكو: نستنتج من هذا النشاط أن

الشرط الالزم والكافى التزان مجموعة من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة هو أن تمثل هذه القوى بأضالع

مضلع مقفل مأخوذة فى اتجاه دورى واحد.

لحظ اأن

شش

بكرة ملساء

الشد متساو فى طرفي الخيط.

تذكر اأن

جا)c90 + هـ( = جتا هـ

جا )c180 - هـ( = جا هـ

300

100100

400 C

c120

c180c240 جـب

ص

وس

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

38

` خطوط عمل القوى الثالث تتالقى فى نقطة واحدة.

إرشادات للدراسة

يمكن تلخيص قواعد اتزان جسم جاسئ كاآلتى:

إذا اتزن جسم تحت تأثير قوتين، فإنهما تكونان متساويتين -1

على عملهما وخط االتجاه فى ومتضادتين المقدار، فى

استقامة واحدة.

إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير ثالث قوى مستوية غير -2

متوازية، فإن خطوط عملها تتالقى جميعا فى نقطة واحدة.

إذا اتزن جسم متماسك تحت تأثير عدد محدود من القوى -3

المجموع هى االتزان شروط فإن نقطة، فى المتالقية

اتجاه أى فى القوى لهذه الجبرية للمركبات الجبرى

تتالشى.

التقييم المستمر: )المناقشة والحوار(

� )38( ص ، )37( ص تحل أن حاول بنود طالبك مع ناقش

وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة .

االجابات:

Rجا90

= 100 جا ) 180- هـ(

= Sجا )90 + هـ(

)5(

R = 5 * 100 4 = S53 R = 100

جا هـ = S جتا هـ

S = 75 ث جم R = 125 ث جم  

600جا 90

= Rجا 120

= Xجا 150

)6(

= 300 ث كجم12 * 600 = X  

ث كجم 3 300 = 3

2 * 600 = R  

استخدام التكنولوجيا

تمثيل � )Geo Gebra( فى برنامج استخدام الطالب إلى اطلب

نقطة فى والمتالقية المستوية القوى من أخرى مجموعات

عندما القوى من المجموعات هذه أن والمالحظ والمتزنة،

مضلع تكون فإنها واحد؛ دورى ترتيب فى مأخوذة تكون

هذه التزان التحليلية الطريقة استخدمنا إذا و مقفال، قوى

المجموعة نجد أن.

= صفر.   - المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه وس

= صفر. وص   - المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه

ف ةمتدط ىل ميوت مللرك ال ىيلل نمتالوك ناىودك دع ميمك

27 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 1

الطريقة التحليلية لدرا�سة اتزان مجموعة من القوى الم�ستوية المتالقية فى نقطة.فى النشاط السابق يمكن إيجاد المركبتين السينية والصادية لمجموعة القوى كاآلتى:

c240 100 جتا + c180 300 جتا + c120 100 جتا + c0س = 400 جتا

1 = صفر2 * 100 - 300 - 1

2 * 100 - 400 =  

c240 100 جا + c180 300 جا + c120 100 جا + c0ص = 400 جا

3 = صفر 50 - 0 + 3 50 + 0 =  

نستنتج من ذلك أنه لكى تكون مجموعة القوى المستوية والمتالقية فى نقطة متزنه يجب أن تكون:و س = صفر × المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه

المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و ص = صفر ×

 س = صفر ، ص = صفر أى أن

ويمكن التعبير عن شرط توازن مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة كما يأتى : إذا اتزن جسم تحت

تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة فإن المجموع الجبرى للمركبات الجبرية لهذه القوى فى كل

ا. من اتجاهين متعامدين يساوى صفرا

مثال

N فأثبت أن مجموعة القوى + M ق3 = 2 ، N 2 + M ق2 = - 7 ، N 3 - M ق1 = 5 إذا كانت 1 ق3 متوازنة. ق2 ، ق1 ،

الحل

ق3 ق2 + ق1 + = I a

 أى أن مجموعة القوى متزنة. 0 = N )1 + 2 + 3 - ( + M )2 + 7 - 5( = I `

حاول أن تحلN متالقية فى نقطة M + ب ق3 = - 6 ، N 2 - M C - = 2ق ، N 3 - M ق1 = 4 إذا كانت القوى 7

ومتزنة فأوجد قيمة كل من C ، ب.

مثال

5 نيوتن ،والتى توثر 4 ، 2 الشكل المقابل: يمثل القوى 16 ، 20 ، 12 2 هـ C على ، C جـ ، E C C ب ، E فى االتجاهات C ب جـ فى المربع

الترتيب حيث هـ منتصف جـ E. أثبت أن مجموعة القوى متزنة.

الحل5 نيوتن 4 ، 2 من الشكل المقابل نجد أن القوى 16 ، 20 ، 12

)i + c180( ، c225 ، c90 ، c0 :زواياها القطبية هي

c90 20جتا + c0 س = 16 جتا `

C

20

16 ب

Eجـ هـ

54

2 12

1-

2- 5

i + c180

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم

39

1 1

)i + c180( جتا 5 4 + c225 2 جتا 12 + 

i 5 * جتا 4 - 12

* 2 12 - 0 + 16 =

1 = صفر5

* 5 4 - 12 - 16 =

c225 2 جا 12 + c90 20جا + c0 ص = 16 جا  

)i + c180( جا 5 4 + 

i 5 جا 4 - 12

* 2 12 - 20 + 0 =

2 = صفر5

* 5 4 - 12 - 20 =

 س = صفر  ،  ص = صفر

` المجموعة متزنة.

حاول أن تحل 10 الشكل المقابل: يمثل القوى التى مقاديرها ق ، 5 ، ك ، 6 8 نيوتن والمتزنة، والتى تؤثر فى المستطيل C ب جـ E فى االتجاهات

هـ جـ حيث C ب = 6سم ، ب جـ = 8سم ، ,E جـ ، C جـ جـ ب ،

C هـ = 6سم. أوجد قيمة ق ، ك.

تمــــاريــن )1 - 4(

اأكمل ماياأتى:

الشرط الالزم والكافى التزان مجموعة من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة هو أن تمثل هندسيا بـ ................ 1

شرط اتزان مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة هى أن تكون ........................... ، ........................... 2

N متزنة فإن: 3 - M C = 3ق ، N 2 - M ق2 = - 7 ، N M + ب ق1 = 4 إذا كانت 3 C = .................................................... ، ب = ....................................................

إذا كانت القوة التى مقدارها ق متزنة مع قوتين متعامدتين مقدارهما 3 ، 4 نيوتن فإن مقدار ق = ................................... 4

إذا مثلت ثالث قوى مستوية ومتزنة ومأخوذة فى اتجاه دورى واحد بأضالع مثلث فإن أطوال أضالع المثلث 5 تكون متناسبة مع ....................................................................................................................................................

c225i + c180 i

ص

سC

20

16ب

جـE

2 12

ص

54

هـ

س

لحظ اأن

i جتا - = )i + c180( جتا

1-

2- 5

i + c180

C5

جـب

E

ك

هـ

10 6

6 سم

6 سم

8 سم X

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

40

برنامج من مجانية نسخة أحدث تحميل يمكن مالحظة:

الرياضيات لرسم المنحنيات والهندسة )geogebra( من الشبكة

)جافا( بلغة مكتوب وهو العربية اللغة يدعم وهو العنكبوتية،

ويفيد فى جميع أفرع الرياضيات.

حاول أن تحل ص )39(:

3X + 2X + 1X = I a )7(

ص = 0 س + )- 3 - 2 + ب( )6 - C - 4( = I `

` -C - 2 = 0 أى C = -2 ، - 5 + ب =0  أى ب = 5

معلومات اإثرائية:

اتزان مجموعة من القوى بوجه عام :( وانعدم عزم المجموعة 0 = I إذا انعدم مجموع القوى )

القوى مجموعة إن قيل ) 0 = ج ( نقطة لكل بالنسبة

إذا أثرت مثل هذه المجموعة من القوى على جسم ما متوازنة، و

قيل إن هذا الجسم متزن .

أى أن الشروط الكافية والالزمة التزان مجموعة من القوى هى :

متجه مجموع القوى = 0 -1ينعدم عزم المجموعة بالنسبة لنقطة واحدة . وتكتب رمزيا -2

كاآلتى: N ، 0 = M = 0 ، ج = 0

القوى مجموعة لتوازن والالزمة الكافية الشروط تظل حيث

غير ص ، س الوحدة متجها يكون أن حالة فى صحيحة

متوازيين )ولكن ليس متعامدين بالضرورة(.

حاول أن تحل ص )40( رقم )8(

103

34

5

1

س

ص

س

ص

ص

6 سم

6 سم

2 سمC

جـب

E هـ

X

5ك

10 6

10 جتاص = 0 X + 5 جتاى - 6

0 = 1

10 * 10 * 6 -

45 * 5 + X

، 2 = X 0 = 6 - 4 + X35 a جا س = 10 حاص = 0 5حاس + ك - 6

` ك = 15 3

10، جا ص =

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى28

إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع ................................... 6

إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية فإن خطوط عمل 7 هذه القوى .............................................................................................................................................................

ثالث قوى متساوية فى المقدار ومتالقية فى نقطة ومتزنة فإن قياس الزاوية بين 8 أى قوتين يساوي .................................................................................................................................................

فى الشكل المقابل: مجموعة القوى متزنة ومتالقية فى نقطة 9 ش1 = ................................ نيوتن ، ش2 = ................................نيوتن.

القيمة المتزنة والمتالقية فى نقطة. أوجد المستوية القوى يمثل كل شكل من األشكال اآلتية مجموعة من 10 المجهولة سواء كانت قوة أو قياس زاوية:

شكل )1(

60 نيوتن

c150

ك

X

شكل )2(

ش2ش1

12 نيوتن

c120 c150

شكل )3( 100 نيوتن

40 سم

20 سم X

ك

حلقة ملساء

شكل )5(40 ث جم

هـهـش ش

شكل )4(

150 سم

90 سم120 سم

30 نيوتن

ش2 ش1

شكل )6(

ش2ش1

c30

8و

هـ

3 8

ا من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة و. يمثل الشكل المقابل أربعا 11

أثبت تحليليا أن مجموعة القوى متزنة . أ

نشاط: استخدم برنامج )Geo gebra( لتمثيل هذه القوى بمضلع قوى مقفل ب

باستخدام مقياس رسم مناسب.

ش1ش2

6 نيوتن

c120

c30

c30

و

400

300

200 173٫2

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اـىا ي ـيت وا ـلوتس لالفم ا اوـلا اك ـكلتم اككوقيم ع كـحم

41

1 1بفرض أن C ، ب ، جـ نقطتى ارتكاز الكرة على القضيبين.

رد الفعل عند C عمودى على القضيب وكذلك عند ب ويلتقيان مع

قوة الوزن فى مركز الكرة

10

جا 60 ى1 =

جا 150 ى1 =

جا 150 `

10 جا 150 جا 60

ى1 = ى2 =

3 نيوتن 103 =

إجابات بعض تمارين )4-1(:

مضلع مقفل

س = 0 ، ص = 0 2

5 ، 3 3

c120 8

3 نيوتن 3 = 2R ، 1 = 3 نيوتنR 9

نيوتن 3 40 = X ، 3 نيوتن شكل )1(: ك = 20 0

3 نيوتن، 2R = 6 نيوتن. 6 = 1R :)2( شكل

5 نيوتن، X = 50 نيوتن شكل )3(: ك = 50

شكل )1R :)4 = 18 نيوتن ، 2R = 24 نيوتن.

2 ث جم 20 = R :)5( شكل

وجا )30 + هـ(

= 8

c150 جا =

3 8شكل )6(: جا)180 - هـ(

c( Xهـ(= c60 ، و = 16 وحدة قوة  

M = 300 + 400 جتا c120 + 200 جتا M 0 + c240 = صفر، 173٫2 - c240 200 جا +c120 0 + 400 جا = N  

N - صفر  

` المجموعة متزنة.

عمل تعاونى :

فى بند شروط اتزان جسم جاسئ تحت تأثير قوتين:

اطلب إلى طالبك عمل عصف ذهنى لمواقف حياتية أخرى �

يمكن التعبير عنها لتوازن جسم جاسئ تحت تأثير قوتين.

تمرين إثرائى :

مستوى فى يقعان متوازيين قضيبين علي ترتكز مصممة كرة

أفقى واحد، البعد بينهما يساوى طول نصف قطر الدائرة . أوجد

الضغط على كل من القضيبين إذا كان وزن الكرة 10 نيوتن .

الحل:

من الشكل المقابل

1S2S

Cب

10

c60 c60

c30c30

ف ةمتدط ىل ميوت مللرك ال ىيلل نمتالوك ناىودك دع ميمك

29 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 1

نقطة فى سقف فى مثبت طرفه اآلخر أحد طرفى خيط طوله 28سم، مقدار وزنه 60 ث جم من ثقل علق 12 حجرة، أثرت على الجسم قوة فاتزن الجسم وهو على بعد 14سم رأسيا أسفل السقف ، فإذا كانت القوة فى

وضع االتزان عمودية على الخيط فأوجد مقدار كل من القوة والشد فى الخيط.

علق ثقل مقداره 200 ث جم بخيطين طوالهما 60سم ، 80سم من نقطتين على خط أفقى واحد البعد بينهما 13 100سم. أوجد مقدار الشد فى كل من الخيطين.

قياسها هـ ويميل الرأسى بزاوية علق جسيم وزنه 200 ث جم بواسطة خيطين خفيفين يميل أحدهما على 14 الخيط اآلخر على الرأسى بزاوية قياسها c30 ، فإذا كان مقدار الشد فى الخيط األول يساوى 100 ث جم.

فأوجد هـ ومقدار الشد فى الخيط الثاني.

وضع جسم وزنه 800 ث جم على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث جا هـ = 0٫6 وحفظ 15 الجسم فى حالة توازن بواسطة قوة أفقية أوجد مقدار هذه القوة ورد فعل المستوى على الجسم.

وضع جسم وزنه )و( نيوتن على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها c30 وحفظ الجسم فى حالة 16 توازن بتأثير قوة مقدارها 36 نيوتن تعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى. احسب مقدار وزن الجسم

ومقدار رد فعل المستوى.

كرة معدنية ملساء وزنها 3 نيوتن مستقرة بين حائط رأسى أملس ومستوى أملس يميل على الحائط الرأسى 17 بزاوية قياسها c30. أوجد الضغط على كل من الحائط الرأسى والمستوى المائل.

علق قضيب منتظم طوله 50سم ووزنه 20 نيوتن من طرفيه بواسطة خيطين ثبت طرفاهما فى نقطة واحدة. فإذا 18 كان طوال الخيطين 30سم ، 40سم على الترتيب فأوجد الشد فى كل من الخيطين.

2 ، ك ث كجم متزنة وتؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات 5 ، 2 خمس قوى مستوية مقاديرها ق ، 6 ، 4 19 الشرق والشمال والشمال الغربى والجنوب الغربى والجنوب على الترتيب. أوجد مقدار كل من ق ، ك.

أثرت القوى المستوية 5 ، 4 ، ق ، 3 ، ك ، 7 ث كجم فى نقطة مادية والزاوية بين كل قوتين متتاليتين منها 20 c60. أوجد مقدار كل من ق ، ك حتى تكون المجموعة فى حالة اتزان.

تفكير إبداعى:مستوى على موضوع كجم ث 6 وزنه جسم المقابل الشكل فى 21 بواسطة توازنه قياسها 30 وحفظ بزاوية األفقى يميل على أملس

3 ث كجم تعمل فى خيط مثبت أحد طرفيه قوة شد ش مقدارها 2

بالجسم واآلخر فى حائط رأسى. أوجد قياس الزاوية التى يصنعها

c30الخيط مع المستوى ومقدار رد فعل المستوى على الجسم.

3 ث كجم2

6 ث كجم

S

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

42

60

c90جا = ش

c150جا = X

c120جا 2

3 ث جم ، 30 = X : ومنها

س = 30 ث جم.

1R

جا)c180-هـ( = 1R

جا)c180-س( 3

200

c90جا =    

= 160 ث جم.45 * 200= 1R  

= 120 ث. جم35 * 200= 2R

Rجا)c180- هـ(

= 100

c150جا 4

200

جا)c30- هـ( = 

200 = 200

جا)c30- هـ( = 

` جا )c 30+ هـ( = 90

ث جم 3 هـ = c60 ، س = 100 3

X

جا)c180 - هـ( =

S

c90جا 5

800

جا)c90 + هـ( =     

800جتا هـ = X

جا هـ = S  

ومنها12 = X

800 ظا هـ =

X = 600 ث.جم ، S = 1000 ث جم  

36

c150 جا =

S

c90 جا =

S

c120 جا 6

3 نيوتن، و = 72 نيوتن 36 = S

2S ، 1S عموديان على الحائط ويمران بمركز الكرة 7

3 ومنها

c120 جا = 2

S

c90 جا =

S

c120 جا

3 نيوتن ، ر2 = 6 نيوتن 3 = 1S

c3014سم

28سمX

60

2Rهـ

200

1R

ىهـ

ى100سم

c30هـ

200

100R

3

4

5

هـ

S

Xهـ

800

c30c30

S

و

20

c90 جا = 2R

جا )c90+ هـ(= 1R

جا )c90+ ى( 8

ومنها:

1R =12 نيوتن ، 2R =16 نيوتن

2 جتا 5 + c135 2 جتا 4 + c90 6 جتا + c0 جتا X 90 = c270 ك جتا + c225

ق = 9 ث كجم. 0 = 5 - 4 - X

c225 2 جا 5 + c135 2 جا 4 + c90 جا 0 + 6 جا X

0 = c270 ك جا +

ك = 5 ث كجم 6 + 4 - 5 - ك = 0

5 جتا c0 +4 جتا c60+ ق جتا c120 + 3 جتا c180 + ك جتا 200 = c300 7 جتا + c240

)1( ومنها: ك + ق = 15

+ c180 جا 3 + c120 جا ق +c 60 جا 4 + c0 جا 5

0 =c 300 7 جا + c 240 ك جا

)2( ومنها : X - ك = 3

من )1( ، )2( ق = 9 ث كجم ، ك = 6 ث كجم

2R1R

25سم25Cسم

ب

جـ

25سم40سم

هـ

هـ

ى

ى 30سم

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى30

تمارين عامة )الوحدة األولى(

اأكمل ما ياأتى:

قوتان مقدارهما 4 ، ق داين وقياس الزاوية بينهما ∋ [r ،0]، محصلتها تنصف الزاوية بينهما فإن ق = ..... داين. 1

قوتان تؤثران فى نقطة مادية مقدارهما 5 ، 8 نيوتن فإن أكبر قيمة للمحصلة = ........................................... نيوتن ، أصغر 2 قيمة للمحصلة = .................................. نيوتن.

اتجاه فى فإن مركبة وزنه هـ قياسها بزاوية األفقى يميل على أملس )و( على مستوى إذا وضع جسم وزنه 3 المستوى تساوى ..................................................

مع قوتين متعامدتين مقدارهما 6 ، 8 ث كجم فإن مقدار القوة ق يساوى ..................... ث كجم. ق إذا اتزنت القوة 4

N متزنة فإن M + ب ق3 = 9 ، N 4 + M ق2 = - 3 ، N 6 - M C = 1ق إذا كانت القوى 5 C = .............................. ، ب = ..............................

كل شكل مما يأتى مكون من ثالث قوى متزنة ومتالقية فى نقطة. أكمل ما يأتى: 6

ق = ........................

ك = ........................

X

ك

6

شكل )1(

ق = ........................

ك = ........................

ش

سم 6

8 سم

12

جـ

شكل )3(

X

ق = ........................

ك = ........................

ك

c135

شكل )2(

X

2 4

C ب قضيب متزن تحت تأثير ثالث قوى مستوية كما هو موضح فى كل شكل. أكمل: 7

4 ث جم

ش2

Cب

جـ

8 سم6 سم ش

20 ث جم

C

Sش

30 سم

20 سم 20 سم ب

جـ

Eش2

ب

ش1

39 ث جمC

65 سم

65 سم

50 سم

120 سم

جـ

ش1 = ........................... ث جم. ج ش = ........................... ث جم. ب ش1 = ........................... ث جم. أ

ش1 = ........................... ث جم. و S = ............................... ث جم. ه ش2 = ........................... ث جم. د

45كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

متلرتا فل م1 1

تفكير إبداعي:

، المستوى مع ى قياسها زاوية يصنع الخيط أن بفرض 2 وبتطبيق قاعدة المى:

Sجا)c120 + ى(

= 6

جا)c90 - ى( = 3 2c150جا

`

c30 = ى ` 3

2` جتا ى =

ث كجم 3 2 = 12 * 3 ى = 4

إجابة التمارين العامة على الوحدة

4 * 2جاهـ جتاهـ X + 4)2جتا2هـ - 1(

جاهـ = جتاهـ 4جا2هـ `

X + 4جتا2هـa ظا هـ =

` X = 4 داين  8 جتا2 هـ = X + 8 جتا2هـ - 4

و جا هـ 13 ، 3 نيوتن 3 2

أ = -6 ، ب = 2 10 ث كجم 5 4

3 شكل )X :)1 = 3، ك = 3 6 16 = X ، 20 = R :)3( ك = 4  شكل = X :)2( شكل

ث جم125 = 2R  ، 

165 = 1R :)1( شكل 7

شكل )2(: ب جـ = 50سم من فيثاغورث

E C9جـ مثلث القوى.

2030 = 2R

25 = 1R25

ث جم503 = 2R = 1R

3965 = 2R

25 = 1R60 شكل )3(:

1R = 36ث جم ، 2R = 15 ث جم

64 + 225 + 2 * 8 * 15جتا 90 = 17 نيوتن. = I أ 8

c30 = 602 داين  هـ = 3 ب I = 2 * 60جتا30 = 60

12 6 جا ى 6 جتا ى = -3 أى جتا ى = -

3 + 6 جتا ىج ظا90 =

.c120 = )ىc(X    

c120 36 + 9 + 2 * 6 * 3جتا = I

3 نيوتن 3 = I    3

2جتا ى = - 6 جتا ى ،

+ 6 جتا ى 3 3 = c90د ظا

c150 =c 30 - c180 = )ىc(X    

c150 3 * 6جتا 3 * 2 + 36 + 27 = I

I = 3 نيوتن    

جتا 150 3 12 * X * 2 + 432 + 21X = 144 ه

0 = 288 + 1X 36 - 21X    

1X= 12 نيوتن ، 1X ، 1 = 24 نيوتن    

شكل )1( 00 =c60 ك جتا - c30 جتا X - 3 6

ك = 012 - X

32

- 3 6

1 # 3 X 3 + ك = 12

c60 ك جا = c30 جا X  

# 2 ) من 1 ، 2( 3 ك = X  

9 = X ، 3 ك = 3

ك - 90 جتا 2 + 60 جتا 12 - 30 جتا 3 4 +  X ج

0=c60جتا

1 #  X 2 = ومنها ك

3 + ك جا 60 = 0 3 جا 30 - 12 جا 60 + 2 4

ومنها ك = 4 وحدة قوة

ومن X 1 = 2 وحدة قوة.

ف ةمتدط ىل ميوت مللرك ال ىيلل نمتالوك ناىودك دع ميمك

دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى 3

1 1

ق2 اللذين يحصران بينهما زاوية قياسها ى وكان قياس زاوية ق1 ، I هى محصلة القوتين إذا كانت 8 ق1 يساوى هـ فأوجد: ميل المحصلة على

.c90 = عندما ق1 = 8 نيوتن ، ق2 = 15 نيوتن ، ى ، I مقدار أ

c60 = وقياس زاوية هـ عندما ق1 = ق2 = 60 داين ، ى I مقدار ب

I وقياس زاوية هـ عندما ق1 = 6 نيوتن ، ق2 = 3 نيوتن والمحصلة عمودية على ق2. مقدار ج

3 نيوتن ، ق2 = 6 نيوتن والمحصلة عمودية على ق1. I وقياس زاوية ى إذا كان ق1 = 3 مقدار د

c150 = 3 نيوتن ، ى قيمة ق1 عندما I = 12 نيوتن ، ق2 = 12 ه

أوجد مقدار المحصلة وزاوية ميلها مع محور السينات فى كل شكل من األشكال اآلتية: 9

شكل )3(

سc30

ص

3

2

ص

c60

3 3

3 2

س

شكل )1(

س

ص

و

ص

c30

3

س

2 32 3

2c45س

ص

س

ص

شكل )2(

و

3 4

3 12

16

36

c60c60

c30

أوجد مقدار كل من ق ، ك بحيث تصبح كل مجموعة مما يأتى متزنة. 10

C

25

ب

Eجـ

ك2 8

6 سم

6 سم 2 سم

8 سم X

شكل )2(C ب

جـ

ك

3 6

شكل )1(

c120

X

شكل )3(

C ب

وجـ

ك

Eهـ

3 4

32

12

X

نيوتن، 500 مقدارها جـ نقطة عند ق قوة أثرت 11 وتصنع مع األفقى زاوية قياسها c60 وربط حبالن عند

زاويتين األفقى مع ويصنعان ب ، C عند مثبتان جـ

وضع فى أوجد . الترتيب على c25 ،c45 قياسيهما

االتزان الشد فى أجزاء الخيطين ألقرب نيوتن .

c25c45

c60

C ب

جـ

ق

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

46

ق عند جـ مقدارها 500 نيوتن من نقطة فى حبل ثبت طرفاه أثرت قوة أفقية 12 الحبلين ألقرب الشد فى كل من أوجد C، ب من حائط رأسى، النقطتين عند

نيوتن.

اختبار تراكمىاأ�سئلة ذات اإجابات ق�سيرة:

اكمل مايأتى: 1

ا معرفة .................................................. ا تام الكمية القياسية يلزم لتعريفها تعريفا أ

ا معرفة . .................................................. ، .................................................. ا تام الكمية المتجهة يلزم لتعريفها تعريفا ب

القطعة المستقيمة الموجهة هى قطعة مستقيمة لها ................................................، ................................................، ................................................ ج

تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان لهما .................................................. د

N هى .................................................. 4 + M م = 3 الصورة القطبية للمتجه ه

و المتجه الذى يعبر عن قوة مقدارها 20 ث كجم فى اتجاه c30 جنوب الشرق يكتب على الصورة اإلحداثية كاآلتى .................................................

فى الشكل المقابل : C ب جـ E متوازى أضالع م نقطة تالقى قطريه. أكمل: 2

ب ج = .................................................. C ب + أ

Eج = ................................................. + CE ب

................................................. = ج م C م + ج

................................................. = ب م C ب + 2 د

C م = ................................................. C ب - ه

c50

c30

C

ب

جـ ق

C

جـب

E

م

47كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1 1 اخكبلر ـراكا

c45

c25c45c60

c25

X

بتطبيق قاعدة المى :500

c110 جا = 2R

c145 جا = 1R

c105 جا

500 * جا c 105- 514 نيوتن

c110 جا = 1R

500 * جا c 145 - 305 نيوتن

c110 جا = 2R

500c100 جا

= 2R

c140 جا= 1R

c120 جا 2

500 * جا c 120- 425 نيوتن

c100 جا = 1R

500 * جا c 140- 790 نيوتن

c100 جا = 2R

إجابات تمارين االختبار التراكمى

المقدار ، االتجاه. ب مقدارها فقط. أ

نقطة بداية ، نقطة نهاية ، اتجاه. ج

نفس الطول ونفس االتجاه. د

)c53 7 49 ، 5( ه

)10- ، 3 10- ،10( = )c330 20حا ،c330 20 جتا( و

ج 0 E ب    ب    C جـ أ 2

ه م ب    E C د

50 ى ج   ب 45 ى   18 ى أ 3

25 نيوتن فى إتجاه الغرب. أ 4

2 فى اتجاه الشمال 34 ب

I - 13٫1 داين وتميل بزاوية c52٫5 مع الشرق ج

60 نيوتن وتعمل فى نفس اتجاه القوتين. د

C + 3 = 4 ومنها C = 1 ، ب - 5 = -3 ومنها ب = 2 أ 5

C + 3 = 0 ومنها C = -3 ، ب - 5 = 0 ومنها ب = 5 ب

c 30 = 8 نيوتن ، هـ = I 6)26(2 = )30(2 + )16(2 + 2 * 30 * 16 جتاى 7

c 120 = 1 ، ى2 ومنها جتا ى = -

c30

c501R

2R

500C

ب

جـ

الوحدة األولى: كيتام دقم

تطبيقات الرياضيات - علمى32

ى محصلة القوى الموضحة بكل شكل: اكتب بداللة متجه الوحدة 3

ى

80 ث جم

30 ث جم

ى

20 ث كجم

25 ث كجم

ى12 نيوتن30 نيوتن

ق2 تؤثران فى نقطة مادية ، وضح مقدار واتجاه محصلة كل قوتين منها . ق1 ، 4 فى كل ممايأتى القوتان

ق1= 15 نيوتن فى اتجاه الشرق ، ق2 = 40 نيوتن فى اتجاه الغرب. أ

ق1 = 34 ث جم فى اتجاه الشمال الشرقى ، ق2 = 34 ث جم فى اتجاه الجنوب الغربى. ب

ج ق1 = 50 داين تعمل فى اتجاه غرب الشمال، ق2 = 50 داين تعمل فى اتجاه c30 جنوب الشرق .

د ق1 = 30 نيوتن تعمل فى اتجاه c20 شرق الشمال، ق2 = 30 نيوتن تعمل فى اتجاه c70 شمال الشرق .

N تؤثر فى نقطة مادية أوجد M + ) ب - 3( 4- = ق3 ، N 3 + M C = ق2 ، N 5 - M 7 = 5 ق1قيمتى C ، ب إذا كانت:

ب مجموعة القوى متزنة N 7 - M محصلة مجموعة القوى تساوى 4 أ

اأ�سئلة ذات اإجابات طويلة

قياسها c150. أوجد مقدار بينهما زاوية نيوتن توثران فى نقطة مادية وتحصران 8 ، 3 6 قوتان مقدارهما 8محصلتهما وقياس الزاوية التى تصنعها مع القوة األولى.

قياس نيوتن. أوجد إذا كان مقدار محصلتهما 26 ، مادية نقطة تؤثران فى نيوتن 16 ، قوتان مقدارهما 30 7 الزاوية بين هاتين القوتين.

قوتان مقدارهما 2 ، ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120 أوجد ق عندما: 8 اتجاه المحصلة عمودى على القوة الثانية. ب مقدار المحصلة يساوى ق. أ

المحصلة تنصف الزاوية بين القوتين. ج

.c60 حلل قوة مقدارها 60 إلى قوتين متساويتين فى المقدار وقياس الزاوية بين اتجاهيهما 9

أن علم إذا نيوتن 80 ومقداره أفقي مستوى على موضوع جسم لوزن المتعامدتين، المركبتين مقدار أوجد 10 إحداهما تميل على األفقى بزاوية قياسها c30 إلى أسفل.

ثالث قوى مقاديرها 2ق ، 4ق ، 6ق نيوتن تؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات موازية ألضالع مثلث متساوى 11 األضالع مأخوذة فى ترتيب دورى واحد، أوجد مقدار واتجاه المحصلة.

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة األولى: ااــكققلـيمققل

48

C ب جـ E مستطيل فيه C ب = 8سم ، ب جـ = 6سم ، و ∋ جـ E بحيث و E = 6سم. أثرت قوى مقاديرها 6 ، 20، 12 E C على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C و ، ، C جـ C ب ، 3 ، 2 نيوتن فى 13

علق ثقل مقداره 80 ث جم فى طرف خيط مثبت طرفه اآلخر فى حائط رأسى، أزيح الثقل بقوة عمودية على 13 الخيط حتى أصبح الخيط مائالا على الحائط بزاوية قياسها c30. أوجد فى وضع االتزان مقدار القوة، وكذلك

الشد فى الخيط.

4 ومنع من 5 وضع ثقل قدره 20 ث كجم على مستو مائل أملس يميل على األفقى بزاوية ى، حيث جتا ى = 14

االنزالق بتأثير قوة أفقية مقدارها )ق( أوجد ق وكذلك رد فعل المستوى.

.c30 ، c60 قضيب منتظم يرتكز بطرفيه على مستويين أملسين مائلين يصنعان مع األفقى زاويتين قياساهما 15 إذا كان مقدار وزن القضيب يساوى أوجد قياس الزاوية التى يصنعها القضيب مع األفقى فى وضع االتزان ، و

24 نيوتن. عين مقدار رد الفعل لكل من المستويين.

16 الشكل المقابل يبين ثقل مقداره 200 نيوتن معلق ، ب جـ رأسيا من نقطة جـ ومثبت بواسطة حبلين

c60، c20جـ يصنعان مع األفقى زاويتين قياسيهما C

فى كل الشد أوجد ، متزنة المجموعة فإذا كانت

من الحبلين ألقرب نيوتن.

الربط بالمالحة البحرية: يجرى إنقاذ بحار باستخدام 17 عليها يمر بكرة فى بتعليقه وذلك القبطان كرسى

كما فى الشكل المجاور فإذا كان C جـ ، C ب حبالن

على c15 ، c25 األفقى مع b ، aزاويتى قياسا

C ب يساوى 80 نيوتن . الترتيب وكان الشد فى الخيط

ا ، وكذلك الشد فى فأوجد وزنى البحار والكرسى معا

الخيطC جـ فى وضع االتزان.

إن لم تستطع اإلجابة على هذه األسئلة يمكنك االستعانة

بالجدول التالى :

إذا لم تستطع حل السؤال رقم

1234567891011121314151617

ارجع إلى

ث1

تها

جمت

ال

ث1

تها

جمت

ال

ث1

تها

جمت

ال

ث1

تها

جمت

ال

ث1

تها

جمت

ال

ث2

)1س )

درال

ث2

)1س )

درال

ث2

)1س )

درال

ث2

)2س )

درال

ث2

)2س )

درال

ث2

)3س )

درال

ث2

)3س )

درال

ث2

)4س )

درال

ث2

)4س )

درال

ث2

)4س )

درال

ث2

)4س )

درال

ث2

)4س )

درال

c20c60C ب

جـ

200

C

ب aجـ b

49كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

اخكبلر ـراكا 1 1

c120 ق2 = )2(2 + )ق(2 + 2 * 2 * ق جتا أ 8` ق = 2 نيوتن

ق + 2 جتا c120 = 0 ومنها ق = 1 نيوتن. ب

ق = 2 نيوتن والمحصلة تنصف الزاوية بين القوتين. ج

3 نيوتن 60 ومنها ق = 20

جا 60 ق =

جا 30 9

ق2 ومنها

c120 جاق1 =

c150 جا = 80

c90 جا 0

3 نيوتن ق1 = 40 نيوتن ، ق2 = 40

س = 2 ق جتا c0 + 4 ق جتا c120 + 6 ق جتا c 240= - 3 ق c 240 6 ق جا + c120 4 ق جا + c0 ص = 2 ق جا

3 ق 3 ق = - ق - 3 3 2 =  

c210 ق نيوتن ، تضع زاوية قطبية 3 2 = I  

2

هـ ىC

E ى

ب

وجـ

2 32

3 =c 90 جتا ى + جتا 2 M = 6 جتا c0 + 20 جتا )c180 + هـ( + 13

N = 6 جا c 0+ 20 جا )c180 +هـ(

3 = c90 جا ى + 2 جا 2 13 = 

C و نيوتن واتجاهها ينصف 2 3 = I `

80 ومنها

c90 جاش =

c120 جاق =

c150 جا 3

3 ث جم ق = 40 ث. جم ، ش = 40

80

جا )c90- س( س =

c90 جاق =

جا )c180- س( 4

20 ومنهاجتا ى ر =

1 ق = جا ى أى أن :

ق = 15 ث كجم، ى = 25 ث كجم

ف ةمتدط ىل ميوت مللرك ال ىيلل نمتالوك ناىودك دع ميمك

33 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 1

50

بعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها، يتوقع من الطالب أن:

ف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية. � يتعريتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر. �نقاط � جميع كانت إذا تحدث االنتقالية الحركة أن يدرك

الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.يميز بين اإلزاحة والمسافة. �الحركة � - السرعة )متجه المنتظمة السرعة مفهوم يتعرف

السرعة متجه - المتوسطة السرعة متجه - المنتظمة اللحظية- السرعة النسبية - وحدات قياس السرعة(.

� ،)Average velocity( يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطةومقدار السرعة المتوسطة)Average speed( فى حالة الحركة

الخطية فى اتجاه متجه ثابت.نمذجة � فى والعجلة النسبية السرعة ، السرعة مفاهيم يطبق

حركة - الصواريخ )حركة تشمل: وحياتية فيزيائية مواقف الطيران - األقمار الصناعية ( فى صورة أنشطة .

يتعرف مفهوم السرعة النسبية. �

يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة - وحدات �، ن2 جـ 12 + ن ع0 = ف ، ن جـ + ع0 = ع العجلة قياس

2ع + 2جـ ف0

ع2 = يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. �يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة �

المنتظمة.تأثير الجاذبية األرضية � الرأسية تحت يتعرف قوانين الحركة

فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.يتعرف الجاذبية األرضية )قانون نيوتن للجذب العام (. ثابت �

الجذب العام.منحنى � ، الزمن مع اإلزاحة لمنحنى البياني التمثيل يتعرف

السرعة مع الزمن.يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة �

مع الزمن والسرعة مع الزمن فى صورة أنشطة.

يختص علم الديناميكا بدراسة حركة األجسام والقوى المسببة لهذه الحركة حيث ينقسم إلى الكينماتيكا والكيناتيكا وسوف نقتصر فى هذه

الوحدة على دراسة الكينماتيكا kinematics ذلك العلم الذى يصف حركة األجسام دون األخذ فى االعتبار للقوى المؤثرة عليها، وجدير بالذكر

أن الكينماتيكا لها أهميتها التطبيقية فى حياتنا العملية مثل حساب خسوف الشمس وكسوف القمر قبل حدوثهما - إمكانية توجيه قذيفة إلى

هدف ما بدقة كافية - تحديد مسار مركبة فضائية أو قمر صناعى وتحديد نقطة نزوله على األرض- تصميم جميع اآلالت الميكانيكية، ومن هنا

سنتناول فى هذه الوحدة دراسة حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسبباتها.

مقدمة الوحدة

مخرجات التعلم

الديناميكا Dynamics

دةوحال

الثانية

مقدمة الوحدةسبق أن درس الطالب علم االستاتيكا، وهو علم دراسة األجسام

وهو الديناميكا، علم يدرس سوف الوحدة هذه وفى الساكنة،

إلى ينقسم حيث األجسام؛ حركة بدراسة يختص الذى العلم

من الحركة خصائص تبحث وهى ،Kincmatics الكينماتيكا

الوجهة الهندسية والكيناتيكا Kinetics وهى تبحث تأثير القوى

)الكينماتيكا( الوحدة هذه فى ندرس وسوف للحركة، المسببة

للقوى التعرض دون األجسام حركة بوصف تختص التى وهى

لهذه المصاحبة والظواهر األجسام حركة وتتناول لها، المسببة

الحركة على وتطبيقات وقوانينها الحركة ومسببات الحركة

األفقية والرأسية بعجلة منتظمة وقانون الجذب العام لنيوتن.

وذلك من خالل أربعة دروس:

الدرس األول: الحركة المستقيمة.

الدرس الثانى: الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.

الدرس الثالث: السقوط الحر.

الدرس الرابع: قانون الجذب العام.

مخرجات التعلممن يتوقع فيها، األنشطة تنفيذ و الوحدة هذه دراسة بعد

الطالب أن:

ف مفهوم الجسيم. � يتعريتعرف المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر. �الجسم � نقاط جميع كانت إذا تحدث االنتقالية الحركة أن يدرك

تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.يميز بين اإلزاحة والمسافة. �يتعرف مفهوم السرعة المنتظمة )متجه السرعة - الحركة المنتظمة �

السرعة - اللحظية السرعة متجه - المتوسطة السرعة متجه -النسبية - وحدات قياس السرعة(.

� ،)Average velocity( المتوسطة السرعة متجه مفهومى بين يميز الحركة حالة في )Average speed( المتوسطة السرعة ومقدار

الخطية في اتجاه متجه ثابت.يطبق مفاهيم السرعة ، السرعة النسبية والعجلة في نمذجة مواقف �

- الطيران حركة - الصواريخ )حركة تشمل: وحياتية فيزيائية األقمار الصناعية( في صورة أنشطة .

يتعرف مفهوم السرعة النسبية. �وحدات � - المنتظمة العجلة ذات المستقيمة الحركة يتعرف

ن2، جـ 12 + ن ع = ف ن، جـ + ع0 = ع العجلة( قياس

ع2 = ع2 + 2جـ فيتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. �العجلة � ذات المستقيمة الحركة قوانين على تطبيقات يوظف

المنتظمة.فى � األرضية الجاذبية تأثير تحت الرأسية الحركة قوانين يتعرف

حالة صعود الجسم أو هبوطه.ثابت � .) العام للجذب نيوتن )قانون األرضية الجاذبية يتعرف

الجذب العام.يمثل بيانيا منحنى اإلزاحة مع الزمن ، منحنى السرعة مع الزمن. �مع � اإلزاحة بين العالقة تمثيل فى البيانية الحاسبة اآللة يستخدم

الزمن والسرعة مع الزمن.

الوحدة الثانية

الديناميكاDynamics

تطبيقات الرياضيات - علمى34

51

المصطلحات األساسية

دروس الوحدة

األدوات والوسائل

مخطط تنظيمى للوحدة

Ñ Scientific calculator آلة حاسبة علمية Ñ Graphical calculator آلة حاسبة رسومية

Ñ Graphical programs برامج رسومية للحاسوب

الحركة المستقيمة. الدرس )2 - 1(:

الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة. الدرس )2 - 2(:

الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. الدرس )2 - 3(:

قانون الجذب العام لنيوتن . الدرس )2 - 4(:

Ñ Rectilinear Motion حركة مستقيمة Ñ Distance مسافة Ñ Vector Velocity متجه سرعة Ñ Average Velocity السرعة المتوسطة Ñ Average Speed مقدار السرعة المتوسطة Ñ Relative Velocity السرعة النسبية Ñ Vertical Motion حركة رأسية Ñ Universal Gravitation جذب عام

Ñ Displacement إزاحة Ñ Uniform Velocity سرعة منتظمة Ñ Instantaneous Velocity سرعة لحظية Ñ Position Vector متجه موضع Ñ Uniform Acceleration عجلة منتظمة Ñ Free fall سقوط حر Ñ Gravity جاذبية أرضية

الديناميكا

مفا هيم أساسية

منحنى اإلزاحة - الزمن

الحركة األفقية

منحنى السرعة - الزمن متجه السرعة

السرعة اللحظية

حركة الطيران

متجه الموضع

السرعة المتوسطة

حركة الصواريخ

مقدارالسرعة المتوسطة

المسافةمتجه العجلة

العجلة السرعة حركة تقصيريةحركة متسارعةالمسافة الزمن

السرعة النسبية

األقمار الصناعية

متجه اإلزاحة

الحركة الرأسية

تمثيالت بيانية

الحركة ذات العجلة المنتظمة

الحركة المستقيمة

وحدات القياس

قوانين الحركة

ثابت الجذب العام

قانون الجذب العام لنيوتن

نمذجة مواقف فيزيائية وحياتية

زمن تدريس الوحدة18 حصة.

مهارات التفكير التى تنميها الوحدةحل - التحليلى التفكير - اإلبداعى التفكير - الناقد التفكير

المشكالت.

الوسائل التعليمية المستخدمةبرامج - علمية حاسبة آلة - ملون طباشير - التعليمية السبورة

ورق - آلى حاسب جهاز )Geo Gebra( جيوجبرا مثل رسومية

مربعات، جهاز عرض فوق رأسى - شفافيات - أقالم ألوان رصاص.

طريقة التدريس المقترحة:الطريقة - الذهنى العصف - المناقشة - المباشر العرض

االستنباطية - التعلم التعاونى - حل المشكالت.

طريقة التقويم المقترحة:قبل والجماعية الفردية والتحريرية الشفهية األسئلة فى تتمثل

وفى أثناء وبعد الدرس، واألنشطة المقترحة، وسلم التقييم الخاص

بكل منها، والتكاليف الجماعية والفردية، وتمارين متنوعة على

عامة واختبارات الوحدة نهاية فى التراكمى واالختبار الوحدة

للربط بين جميع أجزاء الوحدة فى نهاية الكتاب.

حول المخطط التنظيمى للوحدة:التنظيمى لهذه الوحدة مفاهيم أساسية: وتتناول يتناول المخطط

العجلة السرعة، اإلزاحة، الموضع، متجهات على التعرف

ووحدات قياس كل منها.

والتمثيالت البيانية: لكل منها منحنيات )اإلزاحة- الزمن، السرعة

مفاهيم تناول حيث المستقيمة: الحركة وكذلك الزمنية(. -

النسبية.والحركة السرعة اللحظية، السرعة المتوسطة، السرعة

ذات العجلة المنتظمة: الحركة األفقية والحركة الرأسية وقوانينها.

ونتطرق إلى قانون الجذب العام لنيوتن: لدراسة تجاذب األجسام

فى الكون تحت تأثير القوى وتعريف ثابت للجذب العام.

وأيضا نمذجه بعض المواقف الفيزيائية والحياتية: حيث تتناول

حركة الصواريخ والطيران واألقمار الصناعية.

35 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

ورق مربعات. �آلة حاسبة علمية . �برامج رسومية للحاسوب. �

األدوات والوسائل

حركة مستقيمة �Rectilinear Motion

� IS نظام مرتى متجه إزاحة �

Displacement Vector � Position Vector متجه موضع � Velocity Vector متجه رسعة � Uniform motion حركة منتظمة. � Average Velocity رسعة متوسطة

رسعة حلظية Instantaneous Velocity

� Relative Velocity الرسعة النسبية

المصطلحات األساسية

العالقة بني متجه املوضع ومتجه �اإلزاحة.

الرسعة املتوسطة. �الرسعة اللحظية. �الرسعة النسبية. �

سوف تتعلم

1 - 2تقديم:

سبق أن تعرفت على بعض أنظمة القياس إلى أن تم اعتماد النظام العشرى الذي ابتكره

الفرنسيون عام 1790م ، واستمر حتى جاء النظام العالمي الموحد SI وهو مشتق من

الكلمة International System Of Units ويتشكل هذا النظام من الكميات األساسية

فى علم الميكانيكا ) الكتلة ، الطول ، الزمن (، وكذلك من الوحدات المشتقة التى

الجبرية العالقات لبعض وفقا األساسية الوحدات قوى ضرب كحاصل تتشكل

)كالسرعة ، العجلة ، القوة(.

Motion الحركة

ال�سكون والحركة : عندما يغير جسم ما موقعه بالنسبة لجسم آخر بمرور الزمن فإنه يقال إن الجسم األول

اليتغير النسبى الجسمين موقع كان إذا أما الثانى، للجسم بالنسبة حركة حالة فى

بمرور الزمن فإن كالا منهما يكون فى حالة سكون بالنسبة لآلخر.

فى تبدو ولكنها ساكنة والمنازل فاألشجار نسبيان، مفهومان الحركة أو فالسكون

حالة حركة بالنسبة لقطار يتحرك بسرعة ما.

Motion and its Types الحركة واأنواعها هناك أنواع عديدة للحركة كالحركة االنتقالية، والدورانية، واالهتزازية، فمثال: كرة

إذن فهى نفسها حول تدور وقد آخر، موضع إلى موضع من تنتقل المقذوفة القدم

الماء بينما نجد أن قطرات الوقت نفسه، انتقالية وأخرى دورانية فى تتحرك حركة

اهتزازية نفسه تكون فى حالة حركة الوقت انتقالية وفى المتساقط تتحرك حركة

وسوف نقوم بدراسة الحركة االنتقالية بصورة منفردة، ويتم ذلك بافتراض حركة جسم

متناه فى الصغر يسمى الجسيم، ويعامل الجسيم كنقطة هندسية من دون أبعاد تماشيا

للتعقيدات النظرية الناتجة عن الحركة الدورانية أو االهتزازية والتى سنسجلها فى

هذه الدراسة .

نقطة البداية نقطة النهاية

الحركة الم�ستقيمةRectilinear motion

تطبيقات الرياضيات - علمى 52

خلفية

سبق أن درس الطالب الحركة المستقيمة فى الفيزياء، وتعرف على mass والكتلة Length الطول من لكل المترى النظام وحدات متجه على تعرف كما ،displacement واإلزاحة time والزمن الحركة على الدرس هذا فى يتعرف وسوف عام، بوجه السرعة المنتظمة والسرعة المتوسطة، والسرعة اللحظية ، ثم حساب قيمة

السرعة المتوسطة، ثم يتعرف على مفهوم السرعة النسبية.

مخرجات التعلم

فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

يسرتجع وحدات النظام املرتى. �يوجد العالقة بني متجه املوضع ومتجه اإلزاحة. �يتعرف عىل الرسعة املتوسطة - الرسعة اللحظية - الرسعة النسبية. �يمثل بيانيا العالقة بني املسافة والزمن. �يفرق بني مقدار الرسعة ومتجه الرسعة. �

مفردات أساسية

حركة مستقيمة - نظام مترى - متجه إزاحة - متجه موضع -

متجه سرعة - حركة منتظمة - سرعة متوسطة - سرعة لحظية -

سرعة نسبية.

المواد التعليمية المستخدمة

السبورة التعليمية - طباشير ملون - جهاز عرض فوق رأسى - ورق

مربعات - شفافيات - آلة حاسبة علمية - أقالم ألوان رصاص.

طرق التدريس المقترحة

العرض المباشر - المناقشة - العصف الذهنى - حل المشكالت -

التفكير الناقد - أنشطة.

مصادر التعلم

كتاب الطالب من صفحة )52( إلى صفحة )63(. �

الشبكة الدولية للمعلومات )اإلنترنت(. �

التهيئة

وضح لطالبك أن السكون والحركة مفهومان نسبيان. �

أشر إلى طالبك األوضاع المختلفة للحركة، فمثال: إذا تأملت �

من حولك وجدت كل شيء فى حالة حركة، فالشمس تتحرك

فى الفضاء، األشجار وهى تتحرك بفصل الرياح، كرة القدم

وهى تتأرجح من العب إلى آخر، ... إلخ.

الحركة الم�ستقيمة Rectilimear motion

1 - 2

أكد على طالبك أن فى دراستنا لحركة الجسم اليهمنا كثيرا �

موضع الجسم بقدر ما نهتم بالتغير فى موضعه وهو ما نعبر

عنه بمصطلح »اإلزاحة«.

إجراءات الدرسإلى طالبك عمل عصف ذهنى ألمثلة حياتية ألنواع � اطلب

مختلفة من الحركة االنتقالية والدورانية واالهتزازية.

مثال: إذا وقفت فى مكان ما ودرت حول نفسك )حركة دورانية(.

حركة المرواح والعجالت والبكرات واألسطوانات )حركة �

دورانية(.

حركت رأسك يمينا ويسارا بسرعة )حركة اهتزازية(. �

ثم � ومن الصامتين، الطالب من واآلراء األفكار استخرج

أعطهم تعزيزا إيجابيا.

نوعية األفكار أقل أهمية من كميتها، غير أن ذلك ال يعفى �

أعضاء المجموعة من التفكير بإبداع.

أكد إلى الطالب أن المتر )م(، والكيلوجرام )كجم( والثانية �

)ث( هى الوحدات األساسية المستخدمة فى النظام المترى،

هذه من واألقل األكبر األخرى الوحدات على دربهم ثم

تطبيقات الرياضيات - علمى36

Translational Motion الحركة االنتقالية الحركة االنتقالية يتحرك فيها الجسم بين نقطتين، تسمى األولى نقطة البداية والثانية نقطة النهاية ومن أمثلتها

حركة جسم فى خط مستقيم.

Distance الم�سافة المسافة المنصورة، فإنه سوف يقطع مسافة قدرها 126 كم، وتعتبر إلى مدينة القاهرة إذا تحرك قطار من مدينة

يمثل الرقم 126 فإن المدينتين 126كم بين المسافة فإذا كان مقدار إذ يجب معرفة مقدارها فقط، قياسية كمية

القيمة العددية ، )كم( هى وحدة قياس المسافة.

Displacement vector متجه االإزاحة C ب الموجهة المستقيمة القطعة تمثله الذى المتجه هو

لمتجه ويرمز )ب( نهايتها ونقطة )C( بدايتها نقطة التى

C ب بالرمز ف ، ويرمز لمعيار متجه اإلزاحة اإلزاحة

المسار طول بالضرورة يساوى ال وهو || C ب || بالرمز

الذى قطعه الجسيم فى أثناء الحركة.

Position vector متجه المو�سع نهايته )و( ونقطة المشاهد بدايته مع موضع نقطة تنطبق الذى المتجه هو

N ص + M س = S S حيث مع موضع الجسيم، ويرمز له بالرمز

متجها وحدة متعامدين . N ، M

العالقة بين متجه المو�سع ومتجه االإزاحة: Relation between position vector and displacement vector

هما ص2( )س2، ب ، ص1( C)س1، المشاهد، موضع هى )و( كانت إذا

C ب هو متجه اإلزاحة للجسيم موضعا الجسيم عند لحظتين متتاليتين فإن

. ف وليكن

0S ، متجه الموضع عند فإذا رمزنا لمتجه الموضع عند اللحظة ن بالرمز

S فإن: 0Sاللحظة )ن + هـ( بالرمز – S ف =

) N 1ص + M 1س( - ) N 2ص + M 2ف = ) س

)س2 – س1(2 +)ص2 – ص1(2 ف || = ||  ،   N )1ص2 – ص( + M )1س2 – س ( =   

)اتجاه الحركة( || ى ، ى متجه وحدة فى اتجاه ف ف = || ف `

نقطة البدايةالمسار

نقطة النهاية

ف

C

ب

موضع الجسم

موضع المشاهدس

)س، ص(

س صو

ص

صس

S

موضع المشاهدوس

ص

صس

S

0S

C

ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا لا ةكرحلا

53

مثال

تحرك عداء 80 مترا شرقا، ثم تحرك بعد ذلك 60 مترا شماال . احسب المسافة واإلزاحة التى قطعها العداء . 1 ماذا تالحظ ؟

الحلالمسافة الكلية التى قطعها العداء هو مجموع المسافتين من C إلى

ب ثم من ب إلى جـ.

المسافة = C ب + ب جـ = 80 +60 = 140 م

اإلزاحة ممثلة بالقطعة المستقيمة الموجهة Cجـ

من فيثاغورث :

c36 /

60 ومنها هـ = 12 // 5210000 = 100 , طا هـ = 80 = 2)60( + 2)80( C جـ =

/ c36 شمال الشرق.

أى أن مقدار اإلزاحة = 100 م وتعمل فى اتجاه 12 // 52

نالحظ أن:المسافة المقطوعة كمية قياسية )تتحدد بمعلومية مقدارها فقط( بينما اإلزاحة كمية متجهة )تتحدد بمعلومية ½

المقدار واالتجاه(.

معيار متجه اإلزاحة H المسافة المقطوعة. ½

حاول أن تحل

تحرك راكب دراجة 6 كم غربا، ثم تحرك بعد ذلك 8 كم بزاوية قياسها c 60جنوب الغرب ، احسب المسافة 1 ...

و اإلزاحة التي قطعها راكب الدراجة

تفكير ناقد: عندما تصعد نملة جدارا ارتفاعه 3 أمتار، ثم تعود إلى نفس نقطة البداية، أوجد المسافة المقطوعة 2 واإلزاحة المقطوعة.

مثال

األساسيين الوحدة متجهى بداللة الزمن فى كدالة يعطى S موضعه متجه كان بحيث جسيم يتحرك 2 أوجد معيار متجه اإلزاحة حتى اللحظة ن = 4 N )1- 4ن( + M )2 + ن( = )3ن( S N بالعالقة: ، M

الحل

N 15 + M 14 = N )1- 4 * 4( + M ) 2+ 4 * 3 ( = )4( S ، N - M 2 = )0( S

)0( S - )4( S ف = `

N 16 + M 12 = N )1 + 15( + M )2 - 14( =  

, ف = 20 وحدة طول 256 + 144 ف || = || ،

هـ

شمال

غربCشرق ب

جـ

60 م

80 م

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

54

الوحدات، وذلك باالسترشاد بجدول التحويالت فى الدروس

التمهيدية، الواردة فى أول الكتاب.

الحركة وأنواعها:

النقطة � ترسمه الذى المتصل الخط بأن الطالب إلى وضح أثناء حركتها بالنسبة لمجموعة القياس المعطاة يسمى مسار إذا كان المسار خطا مستقيما، فإن الحركة تسمى النقطة، وإذا كان منحنيا سميت بالحركة بالحركة فى خط مستقيم، ومسار على مادية نقطة حركة ولتحديد ، منحنى خط فى

معلوم يجب معرفة اآلتى:

نقطة بدء القياس. ب - مسار النقطة. أ -

نقطة نهاية القياس. ج -

النقطة لحركة اإلزاحة متجه مفهوم األوسط الشكل ويبين

الجسم، وعلى الذى يسلكه المسار يعتمد على الذى ال المادية

ذلك فإن معيار متجه اإلزاحة يكون دائما H طول المسار الذى

يسلكه الجسم فى الحركة.

المسافة واإلزاحة مفهومى بين الطالب يخلط قد خطأ شائع:

تأكد من استيعاب الطالب للمفهومين بطريقة سليمة من خالل

عرض مثال ص53.

التقييم المستمر )الحوار والمناقشة(:اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ص )54(

معيار متجه اإلزاحة 1

36 + 64 - 2 * 6 * 8 جتا 120 =

- 12 كم.

المسافة الكلية = 6 + 8 = 14 كم.

فى بند تفكير ناقد:

فى � الطالب دقة مدى على التفكير من النوع هذا يهدف

التفرقة بين المسافة واإلزاحة واإلزاحة تساوى صفرا عندما

يكون نقطة البداية هى نقطة النهاية.

النقطة ب إلى C النقطة الجدار من تسلق النملة بدأت إذا 2

ى فى اتجاه Cب فإن: حيث Cب = 3 م وبأخذ

0 = ) ى ى + ) -3 متجه اإلزاحة = 3

�شرق�شمال

6كم

8كم جنوب

غربc120

مميقل ملا ةكرحل

37 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

حاول أن تحل

فى المثال السابق : أوجد معيار متجه اإلزاحة من ن = 1 إلى ن = 3. 3

نشاط

منحنى )الم�سافة - الزمن(:اء الجدول التالى يبين العالقة بين الزمن بالثوانى والمسافة باألمتار لعد

246810صفرالزمن بالثانية1020304050صفرالمسافة بالمتر

فى ورقة الرسم البيانى حدد الزمن على محور السينات والمسافة على محور الصادات . 1

مثل بيانياا مواقع إحداثيات النقاط المبينة فى الجدول. 2

3 استخدم المسطرة فى رسم أفضل خط مستقيم يمر بأغلب النقاط الموقعة فى الرسم.

باستخدام الخط البياني الذي يبين العالقة بين المسافة والزمن فى األزمنة المبينة بالجدول، هل يمكنك إيجاد 4كل من :

المسافة التى يقطعها العداء بعد مضى 3 ثوان؟ أ

الزمن الذى يستغرقه العداء فى قطع مسافة 45 مترا؟ ب

هل يمكنك إيجاد ميل الخط البياني المبين لنوع حركة العداء؟ وضح ذلك. 5

3 54 6 7 8 9 10

1020

30

40

50

1 2الزمن )ن( بالثانية

متر بال

ف(ة )

سافالم

Speed ال�سرعة إذا تسابق عداءان فى فترة زمنية محددة فإن العداء الذى يقطع مسافة أطول يكون

أسرع من العداء الذى يقطع مسافة أقل، ويمكن قياس السرعة بالمسافة المقطوعة

سائق أمام الموجود فالعداد ؛ حركتها اتجاه تحديد دون محددة زمنية فترة خالل

السيارة يحدد مقدار سرعة السيارة فقط دون تحديد اتجاه مسار هذه السيارة .

تذكر اأن

5 م / ث1كم / س = 18

18 كم / س5 1م / ث =

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا لا ةكرحلا

55

التقييم المستمر:

اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل ص )55( �

وتابع إجاباتهم:

N )1 - 1 * 4( + M )2 + 1 * 3( = )1( S

، N 3 + M 5 = )1( S

N 11 + M 11 = )3( S

)1( S - )3( S = ف `

N 8 + M 6 =     

64 + 36 = || ف ||

      = 10 وحدة مسافة.

نشاط فردى )آليات تنفيذ النشاط(

وضح للطالب الهدف من التمثيل البيانى بين المسافة والزمن �

وذلك النقاط هذه بأغلب يمر مستقيم خط أفضل ورسم

إليجاد مقدار السرعة الممثلة بميل هذا الخط المستقيم.

واطلب � والمسافة، الزمن بين العالقة تبين أخرى جداول أعط

إليهم إيجاد السرعة فى كل جدول باستخدام ميل الخط المستقيم.

3 54 6 7 8 9 10

1020304050

1 2الزمن )ن( بالثانية

متر بال

ف(ة )

سافالم

من الشكل البياني نجد أن:

بعد 3 ثوان يقطع العداء 15 م . �

العداء يقطع 45 م في 9 ثوان . �

الخط المستقيم )3، 15( ، )9، 45( . �

نحدد سرعة العداء، وذلك بإيجاد ميل الخط المستقيم. �

= سرعة العداء. ميل الخط المستقيم

= 5م/ث30م6ث

= )45 - 15( بالمتر)9 - 3( بالثانية

=

نشاط )اليات تنفيذ النشاط( :

وجه طالبك إلى ملعب المدرسة إلجراء سباق للجرى. �المسافة � وحدد المسافات لقياس شريط - إيقاف بساعة استعن

التى يجب أن ينتهى بها السباق؟

دون النتائج كالتالى

الزمن بالثانيةالمسافة المقطوعة )م(اسم المتسابق

اعرض على طالبك األسئلة التالية:

من الفائز فى السباق؟ 1ما الوصف الذى تطلقه على الفائز فى السباق؟ 2

ما العالقة بين المسافة والزمن؟ 3إذا قطع أحد المتسابقين مسافة 30م فى زمن قدره 5 ثوان: 4

فما هى سرعته؟

مكيماايرلا

تطبيقات الرياضيات - علمى38

حاول أن تحل

حول 15م / ث إلى كم / س ب حول 90كم / س إلى م / ث أ 4

5 أكمل الجدول اآلتي:

518 *

18018كم / س...كم / س90كم / س....كم / س54كم / س18كم / س5 *

...م / ث30م / ث...م / ث20م / ث...م / ث5 م / ث

Velocity vector متجه ال�سرعة متجه سرعة جسيم هو المتجه الذى معياره يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على اتجاه الحركة.

تعبير شفهى:قارن بين السرعة ، متجه السرعة من حيث : -1

نوع الكمية )قياسية أو متجهة( . ب التعريف. أ

Uniform Volocity and variable Velocity ال�سرعة المنتظمة: وال�سرعة المتغيرة

الحركة المنتظمة: هى الحالة التى يكون فيها كل من معيار واتجاه متجه السرعة ثابتا وهنا نورد مالحظتين هامتين على الحركة المنتظمة.

ثبات اتجاه متجه السرعة : وهذا يعنى ان الجسم يتحرك فى اتجاه ثابت. - 1ثبات معيار متجه السرعة : وهذا يعنى ان الجسم يقطع في اتجاه حركته مسافات متساوية خالل فترات زمنية - 2

متساوية.

الحركة المتغيرة: إذا لم تكن الحركة منتظمة فإننا نسميها متغيرة. والحركة المتغيرة يتغير فيها متجه سرعة الجسم فى المقدار أو االتجاه أو كليهما من لحظة إلى أخرى.

average speed ال�سرعة المتو�سطةيبلغ السيارة لمسار طبقا المدينتين بين المسافة فإن الغردقة مدينة إلى القاهرة مدينة من برحلة سيارة قامت إذا

510كم، فإذا كانت السيارة تتحرك بسرعات متفاوتة بين المدينتين، وكان الزمن الكلى لتلك الرحلة 6 ساعات فإنه

لحساب السرعة المتوسطة للسيارة خالل هذه الرحلة نجد أن:

510 = 85 كم / س6 المسافة الكلية =

الزمن الكلىالسرعة المتوسطة ع م =

وعليه فإن :السرعة المتوسطة هى المسافة الكلية المقطوعة خالل الرحلة ، مقسوما على الزمن الكلي الذي استغرقته الرحلة.

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

56

متجه السرعة ومقدار السرعة:

لخواص � يخضع السرعة متجه قيمة بأن لطالبك وضح

المتجهات من حيث المقدار )قيمة السرعة( واالتجاه ينطبق

على اتجاه حركة الجسيم أما السرعة فتتعين بمقدارها فقط

لذلك فإن السرعة كمية قياسية موجبة دائما.

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(

اطلب إلى طالبك حل ما جاء فى بند حاول أن تحل وتوصل �

معهم إلى اإلجابات الصحيحة.

إجابات: 90كم/س = 25م/ث ، 15م/ث = 54كم/س

1854729010818051520253050

سلم تقييم النشاط:

آداء الطالبالتقدير

البيانات، ممتاز ويمثل النشاط، بنود جميع الطالب ينفذ

ويوجد ميل الخط المستقيم بكل دقة.

ا ويحتاج جيد جد الجدول، فى الموجودة البيانات الطالب يمثل

إلى مساعدة طفيفة إليجاد ميل الخط المستقيم.

البيانات جيد تمثيل فى طفيفة لمساعدة الطالب يحتاج

إيجاد ميل الخط المستقيم. و

يحتاج الطالب لمساعدة كبيرة فى تمثيل البيانات ورسم مقبول

إيجاد ميله. الخط المستقيم و

مساعدة ضعيف إلى ويحتاج النشاط تنفيذ الطالب اليستطيع

كبيرة وتوجيه.

أخطاء شائعة

الخطأ: عدم قدرة الطالب على التفرقة بين السرعة ومتجه السرعة.

دائما موجبة قياسية كمية السرعة بأن الطالب تذكرة العالج:

تعتمد على المقدار فقط مثل قراءة عداد سرعة السيارة.متجه السرعة كمية متجهة تعتمد على المقدار واالتجاه وتخضع

إلى مفاهيم المتجهات.ذكر طالبك بالفرق بين الكمية القياسية والكمية المتجهة. �

مميقل ملا ةكرحل

39 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

Vector of the average velocity متجه ال�سرعة المتو�سطة إذا تحرك جسيم وتواجد عند لحظتين زمنيتين ن1 ، ن2 عند الموضعين C ، ب

على الترتيب وكان ف هو متجه اإلزاحة فى الفترة الزمنية )ن2 - ن1( فإن ع م

يعرف بمتجه السرعة المتوسطة لهذا الجسيم خالل تلك الفترة الزمنية ويكون:

ف

ن2 - ن1 =

1S - 2S

ن2 - ن1 ع م =

مثال

يبين الشكل المقابل العالقة بين المسافة والزمن لحركة راكب دراجة ، فى 3 خط مستقيم من نقطة) و( أوجد:

السرعة المتوسطة. ب متجه السرعة المتوسطة. أ

الحلنوجد متجه السرعة المتوسطة باستخدام نقطتين على الخط البياني.

ى ومعيارها 4 م/ث 4 = ى 40

10أ ع م =

100 + 60 = 16 م/ث ب ع م = 10

حاول أن تحليبين الشكل التالى رسما بيانياا لمنحنى )المسافة - الزمن( لفأر يهرب من قط. 6

أعد رسم هذا الشكل إذا هرب الفأر من القط بضعف سرعته.

حساب الرسعة املتوسطة ومتجه الرسعة املتوسطةمثال

قطع راكب دراجة 30كم على طريق مستقيم بسرعة 18كم / س، ثم عاد على 4 نفس الطريق فقطع 20كم فى االتجاه المضاد بسرعة 15كم / س أوجد متجه سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها،

ثم أوجد سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها.

الحلإذا بدأ راكب الدراجة الحركة من الموضع C إلى الموضع ب فى

المرحلة األولى، ثم عاد من ب إلى جـ فى المرحلة الثانية وبفرض

. C ب ى هو متجه الوحدة فى اتجاه أن

5 ساعة،3 = 30

ف أى ن1 = 18

ع1زمن المرحلة األولى =

4 ساعة.3 = 20

زمن المرحلة الثانية ن2 = 15

9 = 3 ساعات3 = 4

3 + 5الزمن الكلى للرحلة = 3

و 1S

2S

C

ب

ن

ف

ف

6050

10203040

8070

10090

65 8721 10943الزمن )ن( بالثانية

و

متر بال

ف(ة )

سافالم

1234

3 54 61 2الزمن )ن( بالثانية

متر بال

ف(ة )

سافالم

30 كم

20 كم

C جـب

ى

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا لا ةكرحلا

57

متجه السرعة المتوسطة:

المواقع)المسافة(

الزمن

الجسم األول

الجسم الثانى

الجسم الثالث

اعرض على طالبك الشكل السابق الذى يوضح حركة ثالثة �

أجسام.

من � جسم كل حركة وصف مجموعات( )فى منهم اطلب

ثبات أو الحركة أو السكون حيث من الثالثة األجسام

السرعة وتغيرها وكذلك اتجاهها.

ناقش الطالب فى إجاباتهم. �

نجد أن الجسم األول يتحرك لألمام بسرعة ثابتة، والجسم الثانى

فى حالة سكون، أما الجسم الثالث فيتحرك للخلف بسرعة ثابتة.

أشر إلى طالبك بأن الشكل العلوى المرسوم ص )57( يوضح �

2K ، 1Kمفهوم متجه السرعة المتوسطة عند لحظتين زمنيتين

ف

1K - 2Kع م = حيث

يبين مثال )2( أن قيمة السرعة . كما ف متجه اإلزاحة حيث

المتوسطة هو ميل الخط المستقيم للشكل البيانى المقابل.

                                          

0S - S

1K - 2Kعم = أى أن:

كما أن السرعة اللحظية لجسم يتحرك بسرعة متغيرة تساوى ميل

المماس عند لحظة زمنية ما.

اإر�سادات للدرا�سة: السرعة: هى المسافة المقطوعة خالل فترة زمنية محددة، وهى �

كمية قياسية، إشارتها ) + (

متجه السرعة: معيار يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على �

اتجاه الحركة، وهو كمية متجهة إشارته + أ ، - 0

اإلشارة الموجبة لمتجه السرعة المتوسطة تعنى أن المسافة تزداد �

بتزايد الزمن.

بالنسبة � تزداد المسافة كانت إذا )+( المتوسطة السرعة اتجاه

للزمن ويكون )-( إذا كانت المسافة تقل بالنسبة للزمن.

مكيماايرلا

تطبيقات الرياضيات - علمى40

ى ى = 10 ى - 20 ف = 30 اإلزاحة

ى 31ى = 3 10

3 ع م = ` ف ن ع م = a

31 كم / س.C ب ومعياره يساوى 3 ى أى فى اتجاه أى أن متجه السرعة المتوسطة له نفس اتجاه

50 كم/س3 = 20 + 30

3=

المسافة الكليةالزمن الكلى

السرعة المتوسطة =

حاول أن تحل

قطع راكب دراجة مسافة 25 كم على طريق مستقيم بسرعة 15كم / س، ثم قطع مسافة 7كم فى نفس االتجاه 7 بسرعة 7كم / س. أوجد متجه السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها، سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها.

مثال

تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين 3، 7 ثوان عند الموضعين C )5 ، 2( ، ب )9 ، 10( على الترتيب، أوجد متجه 5 السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية، ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة.

الحلالشكل المقابل يمثل:

، ) 1S ( C متجه الموضع االبتدائى و

، ) 2S ( متجه الموضع النهائى و ب

) ف C ب ) متجه اإلزاحة

1S - 2S = ف حيث:

ف = )9 ، 10( - )5 ، 2(  

ف = )4 ، 8(  

ف ن2 - ن1 ع م = a

) N 8 + M 4( 1)3 - 7( ع م = `

)الصورة المتجهة للسرعة المتوسطة( N 2 + M ع م =  

5 وحدة سرعة = 2)2( + 2)1( ع م || = ||  

. c63 /

و س ظلها 2 أي 6 // 26 وتصنع زاوية قطبية مع

حاول أن تحلالترتيب أوجد متجه تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين 3، 8 ثوان عند الموضعينC)7، 2( ، ب )4، 6( على

السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية، ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة.

2468

10

6 1082 4س

ص

وC

ب

1S

2S ف

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

5

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(

فى � جاء ما طالبك مع ناقش

،)57( ص تحل أن حاول بند

اإلجابة إلى معهم وتوصل )58(

الصحيحة.

اإجابات:الرسم المقابل الشكل يبين -6

البيانى للفأر يضعف سرعته األولى.

a -7 راكب الدراجة تحرك إزاحتين متتاليين فى نفس االتجاه.

. ى ى = 32 ى + 7 ف = 25

ساعة 83 =

77 +

25الزمن الكلى للرحلة = 15

ى ى = 12 3283

عم = ` ف K

عم = a

ومعياره 12كم/س. ى أى أن متجه السرعة المتوسطة له نفس اتجاه

)25+7( * 3 = 12كم/س.8 ، مقدار السرعة المتوسطة =

أخطاء شائعة:

أكد على الطالب على التفرقة بين السرعة المتوسطة )كمية �

السرعة واتجاه معيار وبين ف الكليةن الكلى عم حيث قياسية(

متجهة كمية باعتبارها )5( مثال فى وردت كما المتوسطة

وعدم الخلط بين الحالتين.

� )59( ص تحل9 أن حاول نبد فى ورد ما طالبك مع ناقش

وتوصل معهم إلى اإلجابة الصحيحة.

إجابات:

)4 ، 3 - ( = 1S - 2S ف = a

) N 4 + M 3-( 1

3 - 8 عم =  

N 45 + M

35 - =     

= 1 وحدة سرعة1625 +

925

= || عم ||

)43 -(

1 -وتصنع زاوية قطبية ظا

.c126 /

52 //

أى: 11

زمن السرعة اللحظية متناه فى الصغر فإذا اعتبرنا أن السرعة �

9 فK 9

نهـــا0 !K9

9 ف فإن السرعة اللحظية K 9

المتوسطة =

لذلك قراءة عداد السيارة يشير إلى السرعة اللحظية : �

1234567

3 4 5 61 2الزمن )ن( بالثانية

متر بال

ف(ة )

سافالم

Instantaneous Velocity متجه ال�سرعة اللحظية فى الشكل المقابل

1S - 2S ن2 - ن1 ف =

ن2 - ن1 ع م = a

إذا كانت الفترة الزمنية )ن2 - ن1( صغيرة جدا تتوسطها اللحظة ن فإن متجه و

السرعة فى هذه الحالة يعرف بمتجه السرعة اللحظية عند اللحظة ن ويرمز لها

ع بالرمز

فكر و ناقش

Relative velocity ال�سرعة الن�سبية ماذا تالحظ؟

إذا جلست فى قطار يتحرك وأنت تشاهد من النافذة أعمدة اإلنارة واألشجار على جانب الطريق. ½

إذا ركبت سيارة تتحرك بسرعة فى اتجاه ما، وأنت تشاهد السيارات األخرى التى تتحرك فى نفس اتجاه سيارتك. ½

إذا كانت السيارات األخرى تتحرك عكس اتجاه سيارتك. ½

نالحظ مما سبق أن الحركة مفهوم نسبى يختلف من مشاهد آلخر فى موضع آخر، وفى جميع الحاالت فإن المشاهد

يرصد حركات األجسام األخرى باعتباره ساكنا حتى ولو كان غير ذلك، فيرى هذه األجسام تتحرك بسرعات ليست

هى السرعات الفعلية لها، ولكنها سرعات نسبية.

مفهوم ال�سرعة الن�سبية:السرعة النسبية لجسيم )ب( بالنسبة لجسيم آخر ) C ( هى السرعة التى يبدو أن الجسيم )ب ( يتحرك بها لو اعتبرنا

الجسيم )C( فى حالة سكون.

متجه ال�سرعة الن�سبية:ع ب هما متجها سرعة لجسمين C ، ب بالنسبة ،

Cع باعتبار أن

.C هو متجه سرعة ب بالنسبة إلى Cب

للمشاهد )و( وأنع

، Cع ب للجسمين ، Cع ( إلى كل من المتجهين

Cع بإضافة )-

ب حيث يصبح C ساكنا ويصبح متجه سرعة ب بالنسبة إلى C هى

: ( أى أنCع ع ب - (C

ع ع ب - = C ب

ع

C بالنسبة إلى سرعة ب فاكتب Cب متجه سرعة ع ، C هو متجه سرعة ب بالنسبة إلى

Cبع تفكير ناقد: إذا كان

Cب ، ع

Cبالعالقة بين ع

1S

ف

2Sو

1C

2C

المشاهد

ع ب

C- ع

C- ع

Cع

Cبع

و

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا لا ةكرحلا

59

مميقل ملا ةكرحل

41 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

مثال

تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 80كم/س. فإذا تحركت فى نفس اللحظة على نفس الطريق دراجة 6 بخارية بسرعة 50كم / س. أوجد السرعة النسبية للدراجة البخارية بالنسبة للسيارة عندما تكون:

الدراجة تتحرك فى نفس اتجاه حركة السيارة. أ

الدراجة تتحرك عكس اتجاه حركة السيارة. ب

الحلى نرمز للسيارة بالرمز C وللدراجة بالرمز ب وبفرض أن

متجه وحدة فى اتجاه حركة السيارة.

أ عندما تتحرك الدراجة فى نفس اتجاه حركة السيارة تكون:

= ؟Cب

ى ، سرعة الدراجة بالنسبة للسيارةع 80 = Cع ى ، ع ب = 50

ى ى = - 30 ى - 80 50 = Cب

    `ع Cع ع ب - =

Cبع a

أى أن الدراجة تبدو لراكب السيارة وكأنها متحركة مبتعدة عن السيارة بسرعة مقدارها 30كم / س فى

. ى عكس اتجاه

عندما تتحرك الدراجة فى عكس اتجاه السيارة: ب

ى ، 80 = Cع ى ، ع ب =- 50

Cع ع ب - =

Cبع a

ى ى = - 130 ى - 80 50 - = Cب

`ع

أى أن الدراجة تبدو لراكب السيارة وكأنها متحركة نحوه بسرعة 130 كم/ س.

حاول أن تحل

تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 72 كم/ س. فإذا تحركت على الطريق نفسه دراجة بخارية بسرعة 9 28 كم / س. فأوجد السرعه النسبية للدراجة البخارية بالنسبة للسيارة عندما:

الدراجة تتحرك فى نفس اتجاه حركة السيارة. أ

الدراجة تتحرك فى عكس اتجاه حركة السيارة. ب

مثال

تتحرك باخرة فى مسار مستقيم نحو ميناء، ولما صارت على مسافة 100كم منه مرت فوقها طائرة حراسة فى 7 س، / كم 300 بسرعة متحركة لها فبدت الباخرة، حركة ورصدت س، / كم 250 بسرعة المضاد االتجاه

احسب الزمن الذى يمضى من لحظة الرصد حتى وصول الباخرة إلى الميناء.

السيارةC

80 كم / سالدراجة

50 كم / سب

ىى

السيارة الدراجةC

80 كم / س 50 كم / سب

ىى

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

60

الحلنرمز للباخرة بالرمز ب وللطائرة بالرمز C ونفرض أن

ى متجه وحدة له نفس اتجاه حركة الطائرة.

مضاد اتجاه )فى ع ب للباخرة الفعلية السرعة وأن

لحركة الطائرة (.

ى 300 - = Cب

ى ، ع 250 = Cع `

ى ع ب - 250 ى = 300 - ` Cع ع ب - =

Cبa ع

ى ع ب = - 50 أى أن

أى أن السرعة الفعلية للباخرة مقدارها 50كم / س وتعمل فى االتجاه المضاد لحركة الطائرة.

` 100 = 50 ن ع ن ف = a

أى أن ن = 2 ساعة

حاول أن تحل

تتحرك سيارة رادار لمراقبة السرعة على الطريق الصحراوى بسرعة 40كم / س، راقبت هذه السيارة حركة 10 سيارة نقل قادمة فى االتجاه المضاد، فبدت وكأنها تتحرك بسرعة 120كم / س فما هى السرعة الفعلية لسيارة

النقل؟

تمــــاريــن )2 - 1(

اأكمل ماياأتى:90 كم / س = ...................... م / ث 20م / ث = ...................... كم / س 2 1

تتحرك سيارة بسرعة منتظمة مقدارها 72 كم / س لمدة ربع ساعة فإن المسافة المقطوعة = ...................... كم. 3

...................... = Cب

ع M فإن ع ب = 22 ، M 15 = Cع إذا كان 4

عب = ...................... ى فإن 50 = Cع ى ، Cب = 65

ع إذا كان 5

ب آخر راكب االتجاه نفس فى ويتحرك س / 15كم بسرعة مستقيم طريق على C دراجة راكب يتحرك 6 بسرعة 12كم / س فإن سرعة ب بالنسبة إلى C تساوى ...................... كم / س.

اختر الإجابة ال�سحيحة من بين الإجابات المعطاة:إذا تحركت سيارة بسرعة منتظمة مقدارها 75 كم / س لمدة 20 دقيقة فإن المسافة المقطوعة بـ كم تساوى: 7

30 د 25 ج 20 ب 15 أ

الطائرة

الباخرةC

250 كم / س

ب

ىى

ع ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا لا ةكرحلا

61

C بع - = C ع ب حسب خواص المتجهات:

ال�سرعة الن�سبيةوضح إلى الطالب الفرق بين السرعة الفعلية والسرعة النسبية �

بأمثلة ملموسة من واقع حياة الطالب كاآلتى:

فأنك نافذته من ونظرت حركته، بدأ قطار فى جلست إذا -1

تبدو الطريق جانب على واألشجار اإلنارة أعمدة ترى

هذه تسمى القطار، حركة اتجاه عكس تتحرك وكأنها

بالسرعة النسبية لهذه األجسام بالنسبة للقطار.

إذا ركبت سيارة تتحرك بسرعة ما فى اتجاه معين، فإنك تشاهد -2

تتحرك وكأنها المضاد، االتجاه فى تتحرك التى السيارات

بسرعة كبيرة. هذه السرعات سرعة نسبية بالنسبة لسيارتك.

إذا ركبت سيارة تتحرك بسرعة ما وأمامك سيارة تسير بنفس -3

السرعة وفى نفس االتجاه فتبدو لك هذه السيارة وكأنها ساكنة

وهذه هى السرعة النسبية للسيارة التى أمامك بالنسبة لسيارتك.

اطلب إلى الطالب عمل عصف ذهنى ألمثلة حياتية أخرى. -4

ويمكن القول بأن السرعة اللحظية لجسم ما عند لحظة معينة تساوى

ا حول هذه اللحظة. سرعته المتوسطة خالل فترة صغيرة جد

التقييم المستمر : )الحوار والمناقشة(

ص)61(، تحل أن حاول بخصوص جاء ما طالبك مع ناقش

ص)62( وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.

إجابات:

الدراجة ومتجه سرعة Cع السيارة 10- بفرض أن متجه سرعة

ع ب C فإن. عب ومتجه سرعة الدراجة بالنسبة للسيارة

Cع عب - = C ع ب أ -

ى ى = - 44 ى - 72 28 = C ع ب أى أن

أى أن الدراجة تبدو لقائد السيارة وكأنها تتقهقر بسرعة

44كم/س.

عندما تتحرك الدراجة عكس اتجاه السيارة: ب -

ى ى = - 100 ى - 72 28 - = C ع ب a

أى أن الدراجة تبدو لقائد السيارة، وكأنها متحركة نحوه بسرعة

100كم/س

النقل = ، سرعة سيارة Cع نفرض أن سرعة سيارة الرادار = -11

M 120 - = C ع ب ، M 40 = C ع عب ،

C ع ب + C ع عب = a

M 80 - = N 120 - M عب = 40 `

مكيماايرلا

تطبيقات الرياضيات - علمى42

الزمن بالساعة الذي تستغرقه سيارة تتحرك بسرعة منتظمة 20 متر / ث فى قطع مسافة 180كم يساوى: 3 د 21

2 ج 2 - ب 1 12 أ

عب تساوى: M فإن 35 = Cع ، M Cب = 15

ع إذا كان 9

M 50 د M 20 ج M 20 - ب M 50 - أ

إذا كان متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة و يعطى كدالة فى الزمن ن )ثانية( بالعالقة: 10

S بالمتر يساوى: ف بعد 2 ثانية حيث معيار ى فإن معيار متجه اإلزاحة S = )2 ن2 + 3(

11 متر د 8 متر ج 6 متر ب 4 متر أ

الشمس عن األرض بعد وكان دقيقة، 8٫3 فى األرض إلى الشمس من يصل الضوء كان إذا بالفلك: الربط 11 1٫494 *1110 متر فأوجد سرعة الضوء.

تحركت سيارتان فى وقت واحد من بنها متجهتان إلى القاهرة بسرعة ثابتة لكل منهما، فإذا كانت سرعة األولى 12 70كم/س، وسرعة الثانية 84 كم/س . ما الزمن الذى سينتظره قائد السيارة الثانية حتى يلحق به قائد السيارة

األولى فى نهاية الرحلة التى يبلغ طولها 49كم؟

دخل قطار طوله 150 مترا نفقا مستقيما طوله ف متر، فاستغرق عبوره بالكامل من 13 منتظمة القطار سرعة كانت إذا النفق طول أوجد ثانية، 15 قدره زمن فى النفق

وتساوى 90 كم / س.

قطع راكب دراجة 30كم على طريق مستقيم بسرعة 15 كم / س ثم عاد فقطع 10كم فى االتجاه المعاكس 14 بسرعة 10كم / س، أوجد متجه سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها.

سار رجل على طريق مستقيم فقطع 800 متر بسرعة 9كم / س ، وقطع مسافة مساوية لها فى نفس االتجاه 15 بسرعة 4٫5 كم / س، أوجد السرعة المتوسطة للرجل خالل الرحلة كلها.

مدينتان C ،ب على الطريق الساحلى المسافة بينهما 120كم، تحركت سيارة من المدينة C متجهة إلى المدينة ب 16 بسرعة منتظمة 88كم / س، وفى نفس اللحظة قامت سيارة أخرى من المدينة ب متجهة إلى المدينة C بسرعة

منتظمة 72 كم / س أوجد متى وأين تتقابل السيارتان؟

الطريق بسرعة نفس منتظمة 60 كم / س وتتحرك سيارة ب على C على طريق مستقيم بسرعة تتحرك سيارة 17 منتظمة 90 كم / س. أوجد سرعة السيارة C بالنسبة للسيارة ب إذا كانت:

السيارتان تتحركان فى اتجاه واحد. ب السيارتان تتحركان فى اتجاهين متضادين. أ

أمامها تتحرك لشاحنة النسبية السرعة بقياس أفقى منتظمة على طريق بسرعة قامت سيارة شرطة متحركة 1 وفى نفس االتجاه فوجدتها 60كم / س، ولما زيدت سرعة سيارة الشرطة إلى الضعف، وأعادت القياس فبدت

أوجد السرعة الفعلية لكل من سيارة الشرطة والشاحنة. الشاحنة وكأنها ساكنة.

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

62

` السرعة الفعلية لسيارة النقل = 80كم / س.

مثال )ص 61(:

اعرض على طالبك المثال، ووضح لهم ما يلى:

نفرض أن موضع الطائرة ) أ ( وتتحرك بسرعة 250كم/س

نفرض موضع الباخرة )ب( على مسافة 100كم

حركة اتجاه عكس فى تتحرك الباخرة أن طالبك على أكد

الطائرة.

ناقش مع طالبك إيجاد السرعة الفعلية للباخرة وفى أى اتجاه.

تمارين إثرائية تتحرك باخرة فى مسار مستقيم نحو ميناء، ولما صارت على - 1

بعد 45كم منه مرت فوقها طائرة حراسة تطير فى االتجاه

الباخرة، حركة ورصدت 250كم/س، بسرعة المضاد

فبدت لها وكأنها تتحرك بسرعة 265كم/س. احسب الزمن

الذى يمضى من لحظة الرصد حتى تصل الباخرة إلى الميناء

)اإلجابة:3 ساعات(

السرعة بقياس C متحركة على طريق مستقيم قامت سيارة - 2

فوجدتها المضاد، االتجاه فى قادمة ب لسيارة النسبية

النصف إلى سرعتها C السيارة خفضت ولما /س، 120كم

ب للسيارة النسبية السرعة أن وجدت القياس وأعادت

من لكل الفعلية السرعة أوجد 100كم/س. أصبحت

]اإلجابة: 40كم/س،80كم/س[ السيارتين؟

التقييم المستمر: إجابات بعض تمارين )1-2(

72كم/س  1

2 25م/ث

3 18كم

ى 7 4

ى 15- 5

ى 3 - 6

10 جميع البدائل هى جـ. 7 إلى من

ع = 1.494 * 1110 ÷ 8.3 * 60 = 90.24 * 710 م/ث 11

مميقل ملا ةكرحل

43 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

نشاط )1(

بالكيلو متر والزمن المسافة بين العالقة المقابل يمثل الشكل 19 بالساعة لمسار دراجة بخارية تتحرك بين مدينتين. أجب عما

يلى :

أ أوجد السرعة المتوسطة للدراجة فى أثناء الذهاب؟

ب أوجد السرعة المتوسطة للدراجة فى أثناء العودة؟

ما داللة القطعة المستقيمة األفقية فى الشكل؟ ج

دقيقة بعد أنها منتظمة فوجد بخارية بسرعة تحركت دراجة 20 دقائق 3 وبعد ،C نقطة من كم 2 بعد على أصبحت واحدة

أصبحت على بعد 5كم من نفس النقطة. ارسم شكال بيانياا يمثل العالقة بين المسافة والزمن لهذه الدراجة ومن

الرسم:

أوجد سرعة الدراجة. أ

اكتب العالقة الرياضية بين الزمن )ن( والمسافة )ف(. ب

نشاط )2(

فى وعمرو أحمد من كل حركة مسار المقابل الشكل يوضح 21 قطع المسافة بين قريتين، أحدهما فى القرية األولى، واآلخر فى

القرية الثانية.

ر إجابتك. أ هل بدأ أحمد وعمرو الحركة فى توقيت واحد؟ فس

بعد كم دقيقة التقى أحمد وعمرو؟ ب

ما الزمن الذى استغرقه أحمد فى قطع المسافة؟ ج

أوجد سرعة عمرو. د

ه إذا بدأ عمرو التحرك الساعة 30ق:9س صباحا فمتى يصل إلى القرية األخرى؟

بالعالقة: ن الزمن فى كدالة يعطى و نقطة من مستقيم خط فى يتحرك S جسيم موضع متجه كان إذا 22 M متجه وحدة ثابت. أوجد متجه اإلزاحة بعد 4 ثوان. M حيث S = )ن2 + 3ن - 2(

C)4، 3( ، ب )12 ، 9( على الترتيب. تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين مقدارهما 3، 8 ثوان عند الموضعين 23 أوجد متجه السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية، ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة.

تفكير إبداعى: يتحرك رجل على كوبرى C ب ، وعندما قطع 38 طول الكوبرى من جهة C سمع صوت صفير 24 القطار القطار فإن Cفإذا تحرك الرجل نحو قطار يتحرك خلفه بسرعة منتظمة مقدارها 60كم/ س نحو نقطة

سيصدمه عند نقطة Cمباشرة أوجد أقل سرعة منتظمة يتحرك بها الرجل قبل أن يصدمه القطار مباشرة عند نقطة

ب.

10

6050

20

70

30

80

40

90

3 5 74 6 81 2الزمن بالساعة

صفر

متريلو

لكة با

سافالم

1

65

2

7

3

8

4

9

30 50 7040 60 8010 20الزمن بالدقيقة

صفر

متريلو

لكة با

سافالم

أحمد

عمرو

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا لا ةكرحلا

63

1K = 42 دقيقة، 2K = 35 دقيقة، زمن االنتظار = 7 دقائق 12

ف = 225 مترا 5 * 9018

150 + ف = 15

13

وضح لطالبك أن هناك فرقا بين مقدار السرعة المتوسطة ومتجه

السرعة.

تمرين أما المتوسطة السرعة متجه على يركز )14( فالتمرين

)15( يركز على مقدار السرعة المتوسطة.

10 = 1س10

= 2K ،30 = 2س15

= 1K 14

ى 203

= ى

10 - 303

ع =

8 = دقيقة45

= 2K ،16 دقيقة3

= 1K 15

ن الكلية = 16 دقيقة

عم = 1600 ÷ 16 = 100 م/ق

K 72 + K 88 = 120 ومنها K = 45 دقيقة 16

ف لألولى = 66كم

تمرين )17(، )18( تطبيقا على السرعة النسبية والسرعة الفعلية

لسيارة.

يمكن استخدام تمرين )17(، )18( لتطبيق مباشر على موضوع

السرعة النسبية.

ى ع ب = - 90 ى ، 60 = C ع 17

) ى ى - )- 90 60 = ع ب - C ع Cب = ع `

ى ى = - 30 ى - 90 Cب = 60ع `

1 # ى 60 = Cع ع ب - 18

2 # 0 = C ع ع ب - 2

من 1 ، 2 ` ع C = 60كم/س ، ع ب = 120كم/س.

ناقش مع طالبك المطلوب من النشاط. �

تأكد من فهم طالبك لقراءة الرسم البيانى وداللته. �

مكيماايرلا

تطبيقات الرياضيات - علمى44

2 - 2

ورق مربعات �آلة حاسبة علمية �برامج رسومية للحاسوب �

األدوات والوسائل

� Acceleration تسارع حركة منتظمة التغري �

Uniform variable motion عجلة منتظمة �

Uniform acceleration تقصري منتظم �

Uniform deceleration

المصطلحات األساسية

التسارع. �منحنى الرسعة - الزمن. �احلركة منتظمة التغري. �العالقة بني الرسعة - الزمن. �العالقة بني املسافة - الزمن. �العالقة بني الرسعة - املسافة. �

سوف تتعلم

الحركة منتظمة التغير فى خط م�ستقيمRectilinear motion with Uniform accelerated

تمهيد:قليال عددا أن المالحظ ومن مستقيم، خط فى المنتظمة الحركة درست أن سبق من األجسام يتحرك بهذه الطريقة لوقت طويل، فمن المالحظ أن كل سيارة يوجد بها ثالث أدوات تتحكم فى سرعتها، وهى دواسة الوقود ودواسة الفرامل، ثم عجلة التغير فى سرعة األجسام فى اتجاه حركتها، كذلك نالحظ التى تتحكم فى القيادة

أثناء سقوطها وفى أثناء قذفها إلى أعلى.

تعلم

:)Rectilinem variable motion- non variable motion( الحركة منتظمة التغير فى خط مستقيم الزمن، بمرور بانتظام السرعة مقدار تغير فيها يحدث التى الحركة هى

ويسمى بالتسارع )العجلة( حيث:

السرعة النهائية - السرعة االبتدائيةالزمن العجلة )جـ( =

ووحدات قياسه = م / ث2 أو سم / ث2 أو كم / س2

يفعرت

1كما يالحظ أن:

إذا كان التغير فى السرعة عند لحظة زمنية محددة فيسمى التسارع اللحظي.

Velocity-Time curve منحنى )ال�سرعة - الزمن( إن نقول: الزمن مع السرعة قيمة ازدادت فإذا السرعة بتغير التسارع مفهوم يرتبط

كما موجبة( السرعة )باعتبار موجبا )العجلة( التسارع ويكون متسارعة، الحركة

فى شكل )1(.

إذا تناقص مقدار السرعة مع الزمن فنقول: إن الحركة تقصيرية، ويكون التسارع و

)العجلة( سالبا كما فى شكل )2(.

إذا بقيت السرعة ثابتة مع الزمن نقول: إن الحركة منتظمة. و

20406080

6 82 4الزمن بالثانية

ثم/

ة رع

لسا

شكل )1(

20406080

6 82 4الزمن بالثانية

ثم/

ة رع

لسا

شكل )2(

تطبيقات الرياضيات - علمى 64

ف = )12، 9( - )4، 3( = )8، 6( 23

) N 6 + M 8( 13-8

ع م =

N 65

+ M 85

=

(2 = 2 وحدة سرعة65 ( + 2)

85 ( =

34

، تصنع زاوية ظا -1

تفكير إبداعى:

تحتاج هذه المسألة إلى مهارات عالية من التفكير اإلبداعى حيث

تقيس مدى ذكاء الطالب وتخيله أن ينجو من االصطدام بالقطار،

جـ ب وخطوات الحل وذلك بالسير بسرعة منتظمة فى اتجاه

التفصيلية التالية توضح هذه المفاهيم.

24اتجاه القطار

بداية الكوبرى نهاية الكوبرى

60 كم/س

C جـ /ب

C

ف38 ف

38 ف

28

الرجل إذا تحرك C ب = ف كم. الكوبرى نفرض أن طول

فى اتجاه القطار عند C )أى أن الرجل تحركه عكس اتجاه

ف(.38 حركة مسافة

ف فى 38 الرجل يتحرك فإن لذلك أمر غير منطقى؛ وهذا

اتجاه حركته األصلية حتى يصل إلى نقطة ب.

' على C يصل الرجل إلى نقطة ،C عند وصول القطار إلى نقطة

ف.68 بعد

القطار إلى زمن وصول الرجل إلى نقطة ب = زمن وصول

نقطة ب ف

ع للقطار6 ف =

8ع للرجل

* 60 = 15كم/س28 ع للرجل =

وهى أقل سرعة منتظمة للرجل يتحرك بها؛ حتى يصل إلى

ب.

ب 45 كم/س أ 30كم/س 19

ج تحرك بسرعة منتظمة 90كم/س لمدة 3 ساعات

نشاط )1( ، نشاط )2( صـ 64

سلم تقييم النشاط:

آداء الطالبالتقدير

يحل الطالب المسألة ويجيب إجابة كاملة على جميع البنود.ممتاز

ا يحتاج الطالب لمساعدة طفيفة لكتابة المسألة ثم يحل جميع األسئلة.جيد جد

يحتاج الطالب لمساعدة لكتابة الحل ويفهم العالقة بوضوح.جيد

يحتاج إلى مساعدة كبيرة لحل المسألة.مقبول

ضعيف

ال يستطيع حل المسألة ويحتاج للمساعدة والتوجيه.

3 كم/ق = 25م/ث2

= 2 - 51 - 3

20 ع =

العالقة هى: ف = 25ن

ناقش مع طالبك مسار حركة أحمد وعمرو من على الرسم البيانى

من المطلوب ومعرفه البيانى الرسم قراءة كيفية لطالبك وضح

الرسم.

ى ف4 = 28 M ف = )2K + 3ن( 22

مميقل ملا ةكرحل

45 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

2 - 2Uniformly accelerated motion الحركة منتظمة التغير: يقال إن الجسيم يتحرك حركة منتظمة التغير أو بتسارع )عجلة( منتظم إذا كان متجه العجلة ثابتا مقدارا واتجاها

لجميع األزمنة.

تعبير شفهى: ماذا تعنى كل من العبارات اآلتية:مقدار سرعة جسيم يزداد فى أثناء حركته زيادة منتظمة بمعدل 4م / ث2. أ

مقدار سرعة جسيم يتناقص فى أثناء حركته تناقص منتظم بمعدل 24كم / س2. ب

مثال

إذا تغيرت بانتظام سرعة سيارة تتحرك فى خط مستقيم من 50كم / س إلى 68 كم / س خالل عشر ثوان، 1 وتحركت سيارة نقل من السكون؛ حتى أصبحت سرعتها 18كم / س خالل هذه المدة. أيهما يتحرك بتسارع

أكبر ؟ فسر إجابتك.

الحليتضح من بيانات المسألة أن كالا من السيارة ، سيارة النقل قد حدث لهما زيادة فى السرعة بمقدار 18كم / س

) أى 5م / ث( خالل فترة زمنية قدرها 10 ثوان؛ لذلك يكون التسارع متساويا لكل منهما .

أى أن التسارع الذى تتحرك به كل منهما هو: 1 م / ث2

2 = 510 =

التغير فى السرعة

الفترة الزمنيةa جـ =

حاول أن تحل

إذا تغيرت بانتظام سرعة سيارة )C( تتحرك فى خط مستقيم من 24كم / س إلى 36 كم / س خالل 5 ثوان، 1 وتغيرت بانتظام سرعة سيارة )ب( تتحرك فى نفس الخط المستقيم من 12كم / س إلى 30كم / س خالل نفس

ر إجابتك. المدة الزمنية. أيهما يتحرك بتسارع أكبر ؟ فس

Equations of the uniform variable motion معادالت الحركة منتظمة التغير في خط م�ستقيم توجد ثالث معادالت أساسية تربط بين القياسات الجبرية لمتجهات االزاحة ، والسرعة، والعجلة، والزمن فى حالة

الحركة بتسارع منتظم وهى:

: العالقة بين ال�سرعة والزمن: اأولاع جـ وأصبح متجه سرعته ع0 ومتجه عجلة ثابتة إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بمتجه سرعة ابتدائية

بعد فترة زمنية )ن( فإن:

: ع0 أى أن ع - ن

جـ = جـ ن ع0 + ع =

بأخذ القياس الجبري تكون. ع = ع0 + جـ ن

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا

65

خلفية

المستقيمة، وتعرف على كل من الحركة الطالب أن درس سبق

العالقة إيجاد و الموضع، ومتجه اإلزاحة، ومتجه المسافة،

بينهما، كذلك تعرف على مقدار السرعة وقيمة السرعة، السرعة

ذات المستقيمة الحركة يدرس سوف الدرس هذا وفى النسبية

العجلة المنتظمة، ويتعرف على معادالت الحركة منتظمة التغير.

مخرجات التعلم

أن المتوقع من فيه لألنشطة وتنفيذا الدرس، هذا نهاية فى

يكون الطالب قادرا على أن:

يتعرف احلركة املستقيمة املتغرية، احلركة منتظمة التغري. �يستنتج املعادالت اجلربية للحركة منتظمة التغري. �يمثل بيانيا منحنى )الرسعة - الزمن( �

مفردات أساسية

حركة منتظم، تقصير منتظمة، عجلة تسارع، متغيرة، حركة

منتظمة التغير.

المواد التعليمية المستخدمة

ورق مربعات، آلة حاسبة علمية، برامج رسومية للحاسوب.

طرق التدريس المقترحة:

العرض المباشر - المناقشة - العصف الذهنى - حل المشكالت -

التفكير الناقد - أنشطة.

مكان التدريس

الفصل الدراسى.

مصادر التعلم

كتاب الطالب من صفحة )65( إلى ص )74(.

التهيئةوقد 300كم/ساعة حوالى إلى السريع القطار سرعة تصل قد

يتوقف؛ ليحمل أفرادا وقد يضغط السائق على فرامل القطار حين

من مثال سرعته( تتناقص الحالة هذه )وفى المحطة من يقترب

9.0م/ث إلى صفر م/ث خالل 5 ثوان.

وفى حاالت أخرى قد يضطر إلى الوقوف مرة واحدة تفاديا ألى

تصادم فتكون سرعته من 9م/ث إلى صفر م/ث خالل 1.5ثانية

الحركة الم�ستقيمة ذات العجلة المنتظمة

مختلفان الموقفين أن إال الوقوف حركتى تشابه من وبالرغم

وبذلك للتباطؤ أو للوقوف الزمنية الفترة فى يمكن واالختالف

نالحظ أهمية عامل الزمن فى وصف الحركة وهذا يظهر مفهوم

العجلة Acceleratio بأنها معدل التغير فى السرعة بالنسبة للقطار.

إجراءات الدرسالحركة � هى المتغيرة المستقيمة الحركة بأن للطالب وضح

بينما الزمن، بمرور السرعة قيمة فى تغيير فيها يحدث التى

فى الحركة المنتظمة يقطع الجسم إزاحات متساوية فى أزمنة

متساوية أى أن الجسم يتحرك بسرعة ثابتة وفى اتجاه ثابت.

ووحدات � العجلة قياس وحدات بين الفرق للطالب وضح قياس السرعة من خالل المناقشات باستخدام القوانين.

الزمن، � - السرعة لمنحنى البيانى التمثيل على الطالب درب وذلك الستنتاج متى تكون عجلة الحركة موجبة أو سالبة أو

مساوية للصفر.وضح للطالب بأن الحركة منتظمة التغير هى حالة خاصة من �

ثابتا العجلة المتغيرة حيث يكون متجه المستقيمة الحركة مقدارا واتجاها لجميع األزمنة فى الحركة منتظمة التغير.

فى بند تعلم:

يبين منحنى السرعة - الزمن مفهوم العجلة حيث تكون متسارعة إذا

زادت السرعة مع الزمن، تقصيرية إذا تناقصت السرعة مع الزمن.

تطبيقات الرياضيات - علمى46

الحظ أن:العالقة تربط بين أربعة مجاهيل يمكن إيجاد إحداها بمعلومية الثالثة اآلخرين. ½

إذا بدأ الجسم حركته من سكون فإن ع0 = 0 وتكون ع = جـ ن ½

إذا كان جـ = 0 فإن ع = ع0 أى أن الجسم يتحرك بسرعة منتظمة. ½

مثال

بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 9سم / ث وبعجلة منتظمة قدرها 3سم / ث2 تعمل فى نفس اتجاه 2 السرعة االبتدائية. أوجد:

سرعة الجسيم بعد 5 ثوان من بدء الحركة. أ

الزمن الذى يمضى من بدء الحركة حتى تصبح سرعته 54 سم / ث. ب

الحلنفرض أن االتجاه الموجب هو اتجاه حركة الجسيم. أ

من بيانات المسألة: ع0 = 9سم / ث ، جـ = 3سم / ث2 ، ن = 5 ثوان.

` ع = 24 سم / ث. `ع = 9 + 3 * 5 aع = ع0 + جـ ن

` ن = 15 ثانية. ` 54 = 9 + 3 ن aع = ع0 + جـ ن ب

حاول أن تحل

بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 20سم / ث وبعجلة منتظمة 5سم / ث2 تعمل فى نفس اتجاه متجه 2 السرعة االبتدائية. أوجد:

سرعته فى نهاية دقيقة واحدة من بدء الحركة. أ

الزمن الذى يمضى من بدء الحركة حتى تصبح سرعته 18كم / س. ب

مثال

يتحرك جسيم فى خط مستقيم فتغيرت سرعته من 54 كم / س الى 3 م / ث فى زمن قدره نصف دقيقة. أوجد 3 ر إجابتك. مقدار عجلة الحركة. هل يمكن لهذا الجسيم أن يسكن لحظياا؟ فس

الحل5 = 15 م / ث

18 لتحويل سرعة الجسم من كم/س إلى م/ث : 54 كم / س = 54 *

"من بيانات المسألة" ع0 = 15 م / ث ، ع = 3م / ث ، ن = 30 ثانية .

` 3 = 15 + 30 جـ aع = ع0 + جـ ن

` جـ = - 0٫4 م / ث2 : 30 جـ = - 12 أى أن

a جـ > 0 يمكن لهذا الجسيم أن يسكن لحظياا؛ ألنه يتحرك حركة تقصيرية.

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

66

 التقييم املستمر )الحوار واملناقشة(

فى بند تعبير شفهى ص )66(:

الجسيم يتحرك حركة متسارعة )عجلة تزايدية، أى أ

جـ < 0( ألن السرعة تزداد بالنسبة للزمن.

الجسم يتحرك بتقصير منتظم، حيث ) جـ >0( ب

إجابة حاول أن تحل )1( ص )66(:

م/ث2 ،23 =

203

- 10

5 = التغير فى السرعة

الفترة الزمنيةجـ1 = 1

= 1م/ث2

103 -

253

5 جـ2 =

.)C( تتحرك بتسارع أكبر من السيارة )أى أن السيارة )ب

أشر إلى الطالب بأن الحركة ذات العجلة المنتظمة فى خط �

الحركة فيما عدا العملية، الحياة الحدوث فى نادرة مستقيم

الجاذبية األرضية تأثير التى تسقط تحت الرأسية لألجسام

)بفرض إهمال مقاومة الهواء لها(. أما حركة الكواكب حول

الكواكب هذه حول الصناعية األقمار وحركة الشمس

وحركة اإللكترونات حول النواة داخل الذرة فهى جميعا من

نوع الحركة المتغيرة.

العجلة � ذات المستقيمة الحركة قوانين بأن الطالب إلى أشر

والسرعة، اإلزاحة، بين تربط مستقيم خط فى المنتظمة

بينهم من مجاهيل أربعة به قانون كل وأن والزمن، والعجلة،

الثالثة بمعلومية المجاهيل أحد إيجاد يمكن حيث جـ ع0،

إذا علم منه اثنان فقط فالبد من تكوين معادلتين فى اآلخرين، و

المجهولين اآلخرين وبحلهما معا يمكن إيجاد هذين المجهولين.

إجابة حاول أن تحل)2( ص )67(

أى أن ع = 20 + 5 * 60 = 320سم/ث، K أ ع = ع0 + جـ

ب K 5 + 20 = 500 ومنها K = 96 ثانية.

معالجة بعض القضايا المتضمنة في البيئة:

ناقش مع طالبك إجابات األسئلة التالية؛ للتأكد من استيعابهم �

للمفاهيم الواردة فى الدرس.

فهل � معينة لحظة فى صفرا الطائرة الكرة سرعة كانت إذا

أمثلة إعطاء على اشرح صفر؟ عجلتها أن بالضرورة يعنى

لحظيا أعلى إلى رأسيا والمقذوفه الكرة سرعة تنعدم )ال؛

عند أقصى ارتفاع وال تنعدم عجلتها(.

يسير قطار ركاب بسرعة سالبة وبعجلة موجبة فهل سرعة �

القطار فى ازدياد أم فى تناقص؟ )تناقص(.

يخفض محمد سرعته أثناء القياده لسبب ما، وضح كيف يمكن �

أن تكون عجلة السيارة موجبة برغم من أن سرعتها سالبة؟

تتناقص � وعندما سالبة، سرعته تكون محمد يتحرك عندما

سرعته تكون العجلة موجبة فى اتجاه معاكس.

حاول أن تحل

تتحرك سيارة فى خط مستقيم فتناقصت سرعتها من 63 كم / س إلى 36 كم / س فى زمن قدره نصف دقيقة. 3 أوجد العجلة التى تتحرك بها السيارة والزمن الذى يمضى بعد ذلك؛ حتى تسكن لحظياا.

The relation between displacement and time ثانياا: العالقة بين الم�سافة والزمن المساحة تحت منحنى )السرعة - الزمن( تساوى إزاحة الجسم.

فى الشكل المقابل الجسم يتحرك بعجلة منتظمة مبتدئا بسرعة ع النهائية سرعته أصبحت ثانية ن زمن وبعد ع0 ابتدائية

المساحة تحت المنحنى يمكن حسابها عن طريق تقسيمها إلى

مستطيل ومثلث.

المساحة )ف( = مساحة المستطيل + مساحة المثلث

1 ن )ع - ع0(2    = ع0ن +

)وذلك بالتعويض من القانون األول: ع = ع0 + جـ ن( 1 ن )ع0 + جـ ن - ع0( 2   ف = ع0 ن +

1 جـ ن22 ف = ع0 ن +

حيث ف ، ع ، جـ هى القياسات الجبرية لإلزاحة والسرعة والعجلة.

تعبير شفهى:اكتب صيغة قانون )المسافة - الزمن( عندما يبدأ الجسم حركته من سكون. -1

اكتب صيغة القانون السابق عندما جـ = 0 ، وبم تفسر نوع الحركة فى هذه الحالة؟ -2

مثال

على السائق ضغط ، س / 90كم بسرعة تتحرك سيارة 4 ثابت بمعدل السرعة تناقصت بحيث الفرامل، دواسة

حتى توقفت السيارة بعد مرور 5 ثوان. احسب:

عجلة السيارة خالل تناقص السرعة. أ

المسافة التى قطعتها السيارة؛ حتى توقفت حركتها تماما. ب

الحل5 = 25 م / ث

18 لتحويل السرعة من كم/س إلى متر / ث : 90كم / س = 90 * أ

بالتطبيق فى القانون: ع = ع0 + جـ ن حيث ع0 = 25 م / ث ، ع = 0 ، ن = 5 ثوان

أى أن جـ = - 5 م / ث2 ـ ` 0 = 25 + 5 ج

أى أن السيارة تتحرك بتقصير منتظم مقداره 5م / ث2.

الزمن بالثانية0

ث(م/

ة )رع

لسا

ن

ع0ع0

ع

ع0 ع

اتجاه الحركة

لحظ اأن

عندما يقف الجسم فإن ع = 0

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا

67

مميقل ملا ةكرحل ام مكقتسل ملاةرحل

47 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

بالتعويض عن : ع0= 25م/ث، ن = 5ث ، جـ = - 5م/ن2 1 جـ ن2 2 a ف = ع0ن + ب

1 )- 5( * 25 = 62٫5 مترا.2 ` ف = 25 * 5 +

حاول أن تحل

1 م/ث2. 2 قذفت كرة صغيرة بسرعة 20م/ث أفقياا، فتحركت فى خط مستقيم حركة تقصيرية بعجلة منتظمة 4

عين موضع الكرة، وسرعتها بعد مرور 2 ثانية من بدء الحركة.

The relation between the displacement and velocity ا: العالقة بين ال�سرعة والإزاحة ثالثا)2( 1 جـ ن2

2 ف = ع0 ن + )1( نعلم أن: ع = ع0 + جـ ن ع2 + 2ع0 جـ ن + جـ 2 ن2

0بتربيع المعادلة األولى: ع2 =

1 جـ ن2( بالتعويض من المعادلة )2( عن قيمة ف2 ع2 + 2 جـ )ع0 ن +

0` ع2 =

ع2 + 2 جـ ف0

ع2 =

مثال

بسرعة منه اتجاه عمودى على حائط رأسى سمكه 14سم، فخرجت فى 200م/ث بسرعة أطلقت رصاصة 5 إذا أطلقت الرصاصة بنفس السرعة على حائط رأسى آخر له 150م/ث. أوجد مقدار العجلة التقصيرية ، و

نفس المقاومة، فأوجد المسافة التى تغوصها حتى تسكن، علما بأن العجلة التى تتحرك بها الرصاصة واحدة

فى الحالتين.

الحلحركة اتجاه هو الموجب االتجاه أن نفرض

الرصاصة.

الحالة األولى: ع0 = 200م / ث، ع = 150 م / ث ، ف = 0٫14 م ` )150(2 = )200(2 + 2 * جـ * 0٫14 ع2 + 2 جـ ف

0a ع2 =

وبالتبسيط: جـ = - 62500 م / ث2

الحالة الثانية: جـ = - 62500 م / ث2 ع0 = 200م / ث ، ع = 0

` 0 = )200(2 - 2 * 62500 ف ع2 + 2 جـ ف 0

a ع2 =

أى أن الرصاصة تغوص فى الحائط مسافة 32 سم حتى تسكن. ` ف = 0٫32 متر

حاول أن تحل

نقصت سرعة سيارة بانتظام من 45كم / س إلى 18كم / س بعد أن قطعت مسافة 625 مترا. أوجد المسافة التى 5 تقطعها بعد ذلك حتى تسكن.

أطلقت رصاصة أفقياا على كتلة خشبية بسرعة 100م / ث فغاصت فيها مسافة 50سم. أوجد العجلة التى تتحرك 6

14 سمع0 = 200 م/ثع = 150 م/ث

جـ

ف ع = 0ع0 = 20 م/ث

جـ

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

6

تمارين إثرائية :

شرطة بسيارة مرت كم/س. 72 منتظمة بسرعة سيارة تتحرك

ساكنة فبدأت سيارة الشرطة فى متابعتها بعد 10 ثوان من مرورها

سرعتها بلغت حتى 100متر مسافة منتظمة بعجلة متحركة

بالسيارة األولى. السرعة حتى لحقت بهذه 90كم/س، ثم سارت

أوجد الزمن الذى استغرقته عملية المطاردة منذ لحظة تحرك سيارة

الشرطة والمسافة التى قطعتها هذه السيارة.

م/ثK   ، 2 = 8 + 52 = 60 ثانية625]جـ = 200

، ف = 20 )60 + 10( = 1400 م

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(إجابة حاول أن تحل )3( ص 68

م/ث2،14 ـ ` جـ = - + 30ج

352 = 10 ` K ع = ع0 + جـ a

K ومنها K = 70 ثانية14 -

352 = 0

فى بند تعبير شفهى ص )68(:

إستجاباتهم � وناقش األسئلة على اإلجابة طالبك من اطلب

وأكد على:

عندما يبدأ الجسم من سكون تكون ع0 = 0 وتصبح العالقة أ

K بين السرعة والزمن فى هذه الحالةهى : ع = جـ

عندما جـ = 0 فإن ع = ع0 أى أن الجسم يتحرك بسرعة منتظمة. ب

إرشادات للدراسة:

أشر إلى الطالب بأنه:

متجه � فإن مستقيم خط فى منتظمة بعجلة جسيم تحرك إذا

نصف يساوى معينة زمنية فترة خالل المتوسطة سرعته

مجموع متجهى سرعته عند بداية ونهاية هذه الفترة، أى أن:

K ع0 + ع وبالتعويض فى القانون ع = ع0 + جـ2

ع م =

K جـ12 تكون:عم = ع0 +

أى أن: السرعة المتوسطة = السرعة عند لحظة منتصف الفترة الزمنية.

التقييم المستمر )الحوار والمناقشة(:إجابة حاول أن تحل ص )69(:

إذاالحظت صعوبة فى أداء بعض الطالب فى حل تمرين )4( �

راجع معهم مثال ص68

* 4 = 39 متر12 *

12 ف = 20 * 2 - 4

* 2 = 19 م/ث12 ع = 20 -

إذا تم إطالقها على كتلة خشبية أخرى مماثلة لألولى سمكها 18سم. بها الرصاصة إذا علم أن العجلة منتظمة ، و

فما هى السرعة التى تخرج بها الرصاصة من الكتلة الخشبية؟

The average velocity within nth second الرسعة املتوسطة خالل الثانية النونية: مثال

بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 10سم/ث وعجلة منتظمة 4سم/ث2 فى اتجاه سرعته . احسب: 6 أوال: المسافة التى يكون الجسيم قد قطعها خالل الثانية الخامسة فقط.

ثانيا: المسافة التى يكون الجسيم قد قطعها خالل الثانيتين الثامنة والتاسعة معا.

الحلنعتبر االتجاه الموجب هو اتجاه السرعة

` ع0 = 10 سم/ث ، جـ = 4سم/ث2

أوال: نوجد السرعة الثانية خالل عم المتوسطة

1 4 ثانية.الخامسة = السرعة فى منتصف هذه الفترة الزمنية أى تساوى السرعة بعد 2

1 4 = 28سم/ث.2 ` ع م =10 + 4 * a ع م = ع 0 + جـ ن

المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة = السرعة المتوسطة * الزمن = 28 * 1 = 28 سم.

م خالل الثانيتين الثامنة والتاسعة = السرعة فى منتصف الفترة الزمنية أى تساوى ثانيا: نوجد السرعة المتوسطة ع/

السرعة بعد مضى 8 ثوان من بدء الحركة .

م = 10 + 4 * 8 = 42 سم/ث` ع/ م = ع 0 + جـ ن

a ع/

المسافة المقطوعة فى الثانيتين الثامنة والتاسعة = السرعة المتوسطة * الزمن = 42 * 2 = 84 سم

فكر:حاول حل المثال السابق بطرق أخرى.

حاول أن تحل

بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 30سم / ث، وعجلة منتظمة 6سم / ث2 فى نفس اتجاه سرعته. احسب: 7 المسافة المقطوعة بعد 5 ثوان من بدء الحركة. أ

المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة فقط. ب

تحرك جسيم بسرعة ابتدائية ما فى اتجاه ثابت وبعجلة منتظمة، فإذا قطع فى الثانية الثالثة من حركته مسافة 20مترا ، ثم قطع فى الثانيتين الخامسة والسادسة معا مسافة 60 مترا. احسب العجلة التى تحرك بها الجسيم

وسرعته االبتدائية.

C C ، ب المسافة بينهما 700 متر، حيث يبدأ من المحطة يتحرك مترو األنفاق فى خط مستقيم بين محطتين 9 من السكون بعجلة منتظمة 2م/ث2 لمدة 10 ثوان، ثم يسير بعد ذلك بسرعة منتظمة فترة من الزمن، ثم يقطع

مسافة 60 مترا األخيرة من حركته بتقصير منتظم؛ حتى يقف فى المحطة ب. أوجد الزمن الذى يستغرقه فى

قطع المسافة بين المحطتين.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

و

/عم

عم

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا

69

مكيماايرلا

تطبيقات الرياضيات - علمى48

تطبيقات عىل قوانني الحركة بعجلة منتظمةمثال

تتحرك سيارة بسرعة منتظمة 72كم / س. مرت بسيارة شرطة ساكنة فبدأت سيارة الشرطة فى متابعتها بعد 10 7 ثوان من مرورها متحركة بعجلة منتظمة مسافة 100 متر حتى بلغت سرعتها 90كم / س ، ثم سارت بهذه

السرعة حتى لحقت بالسيارة األولى. أوجد الزمن الذى استغرقته عملية المطاردة منذ لحظة تحرك سيارة الشرطة

والمسافة التى قطعتها هذه السيارة.

الحلوأن الحركة، اتجاه هو الموجب االتجاه نعتبر

ثم ، و نقطة عند ساكنة كانت الشرطة سيارة

قطعت مسافة 100 متر، حتى وصلت إلى C حيث

أصبحت سرعتها 90كم / س ثم سارت بها بانتظام

حتى لحقت بالسيارة األولى عند ب.

5 = 25 متر/ث18 5 = 20 متر/ث ، 90كم/س = 90 *

18 72 كم/س = 72 *

بالنسبة لسيارة الشرطة فى الفترة من و أ

+ 2 حـ ف0ع2 =ع2 ع0 = 0 , ع = 25 م / ث  ، ف = 100 متر

25 م / ث28 ` حـ = 25 * 25 = 2 * حـ * 100

` ن = 8 ثوان 25 ن 8 = 25 ` + حـ ن

0ع =ع

` المسافة التي تتحركها سيارة الشرطة بسرعة منتظمة = 25 )ن - 8( متر

، تكون السيارة المطاردة قطعت المسافة و ب فى زمن قدره = )ن + 10( ثانية

، تكون سيارة الشرطة قطعت نفس المسافة و ب فى زمن قدره = ن ثانية

` 20 ) ن + 10( = 100 + 25 ) ن - 8(   أى أن  ن = 60 ثانية

المسافة المقطوعة = 20 * 70 = 1400 متر

حاول أن تحلتتحرك سيارة بسرعة 54 كم/س، مرت على سيارة شرطة ساكنة فبدأت سيارة الشرطة فى متابعتها بعد 30 ثانية 10 من مرورها متحركة بعجلة منتظمة مسافة 200 متر؛ حتى بلغت سرعتها 72 كم/س ثم سارت بهذه السرعة

و الشرطة سيارة تحرك لحظة من المطاردة عملية استغرقته الذي الزمن أوجد األولى. بالسيارة لحقت حتى

المسافة التي قطعتها هذه السيارة.

يسرعة منتظمة 72 كم/س

و

و

ب

ب

هـ

أ ع0 = 0ع = 90كم / س

K ثانية

K ثانية

10 ثانية

100 مترسرعة منتظمة

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

70

فى بند ثالثا صـ 70: العالقة بين السرعة واإلزاحة

ع - ع0

حـ = K أى أن K من القانون ع = ع0 + جـ K يمكن إيجاد

جـ 2K ثم التبسيط12 + K0وبالتعويض بها فى القانون: ف = ع

وذلك إلثبات القانون: ع2 = ع20 + 2جـ ف

تمرين إثرائى :

مصعد ساكن بقاع منجم أخذ المصعد فى االرتفاع بعجلة منتظمة

بتقصير ثم م منتظمة مسافة 24 ثم بسرعة 8 م/ث2 مسافة 36م

الزمن المنجم. احسب منتظم مسافة 12م حتى سكن عند فوهة

حتى المنجم قاع من الصعود فى المصعد استغرقة الذى الكلى

)الجواب : 5 ثوان( فوهته.

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة (

ص)70(، � تحل أن حاول بند فى ورد ما طالبك مع ناقش

ص)71( وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.

إجابات:

+ 2جـ * 625625

4 = 25 ` aع2 = ع20 + 2 جـ ف 6

م/ث2. ، باستخدام نفس القانون 21

ومنها جـ = - 200

ف ومنها ف - 744 مترا21

200 * 2 - 625

4 = 0

12 ` 0 = )100(2 + 2جـ * aع2 = ع20 + 2جـ ف 7

ومنها جـ = - 1000م /ث2

وباستخدام نفس القانون `ع2 = 10000 - 2 * 10000 * 18 ومنها ع = ! 80م/ث2

سرعة فتكون الموجب االتجاه فى مأخوذة a السرعة

خروج الرصاصة من الكتلة الخشبية الثانية = 80م /ث

K جـ 12 + K0ف = ع a 8

* 6 * 25 = 225سم12 ` ف = 30 * 5 +

= 57سم.92 المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة = 30 + 6 *

جـ ، 30 = ع0 + 5 جـ بحل المعادلتين:52 20 = ع0 + 9

جـ = 4م/ث2 ، 0.4 = 10م/ث.

` ع = 2 * 10 = 20م/ث ، K ع = ع0 + جـa :أول 10

* 2 * 100 = 100م12 ف1 =

تمــــاريــن )2 - 2(

أكمل مايأتى: 1 أ يتحرك جسيم فى خط مستقيم من السكون بعجلة منتظمة مقدارها 4م / ث2 فإن سرعته بعد 6 ثوان من

بدء الحركة = .......................... م / ث.

ب المسافة التى يقطعها جسيم يتحرك فى اتجاه ثابت من السكون بعجلة مقدارها 5سم / ث2 فى زمن قدره

4 ثوان = .......................... سم.

ج السرعة المتوسطة لجسيم يتحرك بسرعة ابتدائية ع0 وعجلة منتظمة جـ خالل الثانية السادسة من حركته = ..........

د السرعة المتوسطة لجسيم يتحرك بسرعة ابتدائية ع0 وعجلة منتظمة جـ خالل الثوانى السابعة والثامنة

والتاسعة = ..........................

ه يتحرك جسيم من السكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فقطع 24 مترا فى الثوانى األربع األولى من

حركته ، فإن مقدار عجلته = ..........................

و بدأ جسيم حركته من السكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة مقدارها 2سم / ث2 فقطع مسافة 25سم ،

فإن سرعته فى نهاية تلك المسافة = .......................... سم / ث.

انطلقت سيارة من السكون بتسارع مقداره 4م / ث2. ما المسافة التى تقطعها السيارة عندما تصبح سرعتها 24م / ث؟ 2

تسير سيارة سباق فى الحلبة بسرعة 44م / ث ثم تناقصت سرعتها بمعدل ثابت، حتى أصبحت 22م / ث خالل 3 11 ثانية. أوجد المسافة التى قطعتها السيارة خالل هذا الزمن.

يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فزادت سرعته من 15م / ث إلى 25م / ث بعد أن قطع مسافة 125 4 مترا ، أوجد الزمن الالزم لذلك.

إزاحة كانت فإذا ثانية. 4٫5 خالل ث / م 7٫5 سرعته صارت حتى منتظمة بعجلة دراجة راكب يتحرك 5 الدراجة خالل فترة التسارع تساوى 19 مترا. أوجد السرعة االبتدائية للدراجة.

1م / ث2 لمدة 6 ثوان، وبعد ذلك يقود يتدرب كريم على ركوب الدراجة، يدفعه والده فيكتسب تسارعا ثابتا مقداره 2 6

كريم الدراجة بمفرده بالسرعة التى اكتسبها لمدة 6 ثوان أخرى قبل أن يسقط أرضا. أوجد مقدار المسافة التى يقطعها

كريم.

بلغت التل قاعدة إلى ثابتة مقدارها 2م / ث2 وعندما وصل بعجلة منحدرا تل قمة هبط راكب دراجة من 7 سرعته 18م / ث ثم استخدم الفرامل؛ حتى يحافظ على هذه السرعة لمدة دقيقة واحدة. أوجد المسافة الكلية

التى قطعها راكب الدراجة.

قائد سيارة يتحرك بسرعة ثابتة مقدارها 24م / ث ، شاهد فجأة طفال يمر فى الشارع ، فإذا كان الزمن الالزم 1 ثانية ثم تحركت السيارة بتقصير منتظم مقداره 9٫6م / ث2 حتى وقفت. أوجد المسافة

الستجابة الفرامل هو2

الكلية التى تحركتها السيارة قبل أن تقف مباشرة.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2ليقتا نمكىلا لاكلا ةم تن ن ةكرحا

71

مميقل ملا ةكرحل ام مكقتسل ملاةرحل

49 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

بدأ جسم حركته من السكون فى خط مستقيم أفقى بعجلة منتظمة مقدارها 4سم / ث2 لمدة 30 ثانية، ثم تحرك 9 بالسرعة التى اكتسبها لمدة 40 ثانية أخرى فى نفس االتجاه. أوجد مقدار سرعته المتوسطة.

يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة على مستوى أفقى أملس فقطع 26 مترا خالل الثانية الرابعة من 10 بدء الحركة ، 56 مترا خالل الثانية التاسعة، أوجد سرعته االبتدائية ومقدار عجلته.

س ، ص نقطتان على طريق مستقيم أفقى بدأت سيارة C الحركة من س نحو ص من السكون وبعجلة منتظمة 11 10م / ث2 وفى نفس اللحظة كانت تتحرك سيارة أخرى ب من ص نحو س بسرعة منتظمة مقدارها 54 كم / س ،

فإذا كانت السرعة النسبية للسيارة C بالنسبة للسيارة ب لحظة التقائهما تساوى 162 كم / س. أوجد الزمن الذى

تأخذه كل من السيارتين من لحظة تحركهما معا حتى لحظة التقائهما.

نشاط

الشكل المقابل يمثل منحنى )السرعة - الزمن( لجسم 12 بدأ التحرك بسرعة ابتدائية مقدارها 10م / ث وحتى

سكن بعد زمن قدره 110 ثانية. أوجد:

عجلة التسارع. أ

مقدار التقصير المنتظم للجسم حتى يسكن. ب

المسافة الكلية التى تحركها الجسم. ج

تفكير إبداعى:مصعد ساكن بقاع منجم ، أخذ المصعد فى االرتفاع بعجلة مقدارها 120سم/ث2 مسافة 540سم، ثم بسرعة 13 منتظمة مسافة 360 سم، ثم بتقصير منتظم مسافة 720سم؛ حتى سكن عند فوهة المنجم. احسب الزمن الذى

استغرقه المصعد فى الصعود من قاع المنجم إلى فوهته.

تفكير إبداعى:الشكل المقابل يمثل منحنى )السرعة - الزمن( لحركة سيارتين 14 س ، ص أوجد الزمن الذى تتقابل فيه السيارتان )فسر إجابتك(.

60

40

20

0

70

50

30

10

30 50 70 10040 60 9080 11010 20الزمن بالثانية

ث(م/

ة )رع

لسا

)س(

السرعة

الزمنص(

(

0 20 4010 30

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

72

3 - 2 ال�سقوط الحرFree Fall

األدوات والوسائل

المصطلحات األساسية

سوف تتعلم

قوانني احلركة الرأسية. �دراسة حركة األجسام الساقطة �

أو املقذوفة ألسفل.دراسة حركة األجسام املقذوفة �

ألعىل.

� Free fall سقوط حر عجلة اجلاذبية األرضية �

Acceleration of gravity

آلة حاسبة علمية. �

تمهيدما الذى يحدث عندما تسقط برتقالة من شجرة؟

سقوطا ½ سقوطها أثناء فى سرعة تكتسب ثم ، سكون من البرتقالة تتحرك

ا نتيجة تأثير جاذبية األرض عليها فبعد 1 ثانية ستكون سرعتها 9٫8 م/ث حرا

ألسفل، وبعد ثانية أخرى ستصبح سرعتها 19٫6 م/ث ألسفل وهكذا...

الحظ أن: سرعة البرتقالة تتناسب طردياا مع الزمن.

ا )مع إهمال مقاومة الهواء( يساوى إن التسارع الذى تسقط به األجسام سقوطا حرا

العرض فيقل عند بالرمز )E( ويختلف باختالف خط له 9٫8 م/ث2 تقريبا ويرمز

خط االستواء ويزداد قليال كلما اتجهنا نحو القطبين ، ويعتبر التسارع موجبا أو سالبا

نحو مقذوفا أو ساقطا الجسيم كان فإذا ، اتخاذه يتم الذي اإلحداثي النظام حسب

سطح األرض فنعتبر )E( ، موجبة ، أما إذا كان مقذوفا إلى أعلى فتعتبر )E( سالبة.

قوانين الحركة الراأ�سية لالأج�سام:مع المنتظمة العجلة ذات المستقيمة الحركة قوانين لنفس الرأسية الحركة تخضع

ا بدال من استخدام الرمز )E( الدالة على التسارع الذى تسقط به األجسام سقوطا حر

الرمز )جـ( وبذلك تأخذ القوانين الصورة اآلتية:

E 1 ن2 ، ع2 = عE2 + 2ف 2 ع = عE + 0 ن ، ف = ع0 ن +

حيث ع، E ، ف هى القياسات الجبرية لمتجهات السرعة والعجلة واالزاحة

ولذلك عند تطبيق القوانين بالصورة السابقة يجب مراعاة ع ، عE ، 0 ، ف

تبعا لما يأتى.

ا نحو �سطح الأر�ض ا اأو مقذوفا : اإذا كان الج�سم �ساقطا اأولايعتبر االتجاه الموجب هو االتجاه الرأسى إلى أسفل فتكون كل من

ع0 ، ع ، E ، ف موجبة.

مثال

أسقط عامل بناء قطعة خرسانية من سقالة )منصة( عالية. 1 ما سرعة قطعة البناء بعد نصف ثانية؟ أ

73كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

ثانيا: المسافة المقطوعة بسرعة منتظمة = 700 - )100 + 60(

  = 540 مترا

= 27ث54020 =

فع = 2 K `

ثالثا: ع2 = ع - 2 + 2جـ ف

` صفر = 400 + 2جـ' * ف

K ع = ع/ + جـ a م/ث2 100

3 ` جـ' =

//

6 = 3K ` 3K103 - 20 = 0 

الزمن الكلى = 10 + 27 + 6 = 43ث

أخطاء شائعة:

الخطأ: عدم إدراك الطالب الفرق بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية.

العالج: راجع المفاهيم ص)57(، ص)59(

إلى � معهم وتوصل الثانى الدرس تمارين طالبك مع ناقش

اإلجابات الصحيحة ص )73(، ص)74(

التقييم المستمر: الحوار والمناقشة ص73

بعض إجابات تمارين )2-2( :

* 36 = 9م ،12 *

12 ` ف1 = 2K جـ

12 + K0ف = ع a 6

ف2 = 3 * 6= 18م ` المسافة الكلية = 9 + 18 = 27م

` )18(2 = 2 * 2 * ف1 ع2 = ع20 + 2جـ ف 7 K * ف = ع a ف1 =81 م `

` ف2 = 18 * 60 = 1080م.

= 12م.12 ` ف1 = 24 * K ف = ع a 8

` 0 = )24(2 - 2 * 9.6ف2 ، ع2 = ع20 + 2 جـ ف

` ف2 = 30 مترا

` ف الكلية = 12 + 30 = 42 مترا.

ع = 4 * 30 = 120م/ث K ع = ع + جـa 9

* 4 * 900 = 1800م12 ف1 =

ف2 = 120 * 40 = 4800م ، ف الكلية = 6600 م

6600 - 94.29 مترا.40 + 30

عم =

مكيماايرلا

تطبيقات الرياضيات - علمى50

ما المسافة التى تقطعها كتلة البناء خالل هذا الزمن؟ ب

الحل + E ن

0صيغة القانون: ع = ع أ

1 ثانية. = E ، 0 = 9٫8 م/ث2 ، ن = 2

0بالتعويض عن ع

1 = 4٫9 م/ث2      ع = 0 + 9٫8 *

E 1 ن22 ن +

0صيغة القانون: ف = ع ب

1 ثانية. = E ، 0 = 9٫8 م/ث2 ، ن = 2

0بالتعويض عن ع

1 متر. 940 = 1

4 * 9٫8 * 12       ف = 0 +

حاول أن تحلسقطت تفاحة من شجرة، وبعد ثانية واحدة ارتطمت باألرض. 1

أ احسب سرعة التفاحة لحظة ارتطامها بسطح األرض ، ثم احسب السرعة المتوسطة خالل زمن سقوطها.

ما بعد التفاحة عن سطح األرض لحظة بداية سقوطها؟ ب

ا اإلى اأعلى ا: اإذا كان الج�سم مقذوفا ثانيا

نشاط

قذفت كرة رأسياا إلى أعلى بسرعة ابتدائية مقدارها 19٫6م/ث2،

فتكون الموجب االتجاه الرأسى ألعلى هو االتجاه أن باعتبار

السرعة االبتدائية موجبة تبعا لذلك ، أما التسارع فيكون سالبا -

لماذا؟)السرعة- ½ بين العالقة رسم فى )geogebra( برنامج استخدم

ع = 19٫6 - 9٫8ن عندما ن ∋ ]0 ، 4[    الزمن( حيث

ماذا تالحظ؟استخدم نفس البرنامج فى رسم العالقة بين )المسافة - الزمن(: ½

حيث ف = 19٫6 ن - 4٫9 ن2 , ماذا تالحظ؟

االتجاه الموجب

وطلهب

كة احر

ودصع

ة الرك

ح

ع = 0

+

الزمن بالثانية

شكل )1(

منحنىالسرعة - الزمن

ث(م/

ة )رع

لسا

1 2 3 4

20-15-10-

5-

5101520

أقصي ارتفاع

شكل )2(الزمن بالثانية

منحنىالمسافة - الزمن

متر بال

افةمس

ال

0 1 2 3 4

19٫6

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

74

12 نشاط

اعرض على طالبك فكره النشاط )عمل تعاونى(. �

اسأل الطالب عن تفسير الشكل. �

ناقش الطالب فى كيفية الحصول على عجلة التسارع. �

ناقش إجابات الطالب المختلفة للفقرتين )ب(، )جـ( للوصول �

إلى الحل الصحيح.

سلم تقييم النشاط:

أداء الطالبالتقدير

يحل الطالب المسألة ويجيب إجابة صحيحة على جميع البنود.ممتاز

ا يحتاج الطالب لمساعدة طفيفة لكتابة المسألة ثم يحل جميع األسئلة.جيد جد

يحتاج الطالب لمساعدة لكتابة الحل ويفهم العالقة بوضوح.جيد

يحتاج إلى مساعدة كبيرة لحل المسألة.مقبول

ضعيف

ال يستطيع حل المسألة ويحتاج للمساعدة والتوجيه.

2K جـ 12 + K0ف = ع a :أوال 13

12K120 *

12 + 0 = 540 `

K ع = ع0 + جـa ، 1 = 3 ثوانK `

`ع = 0 + 120 * 3 = 360سم/ث

= 1ث360360 = 2K :ثانيا

ثالثا: ع2 = ع.2 + 2 جـ ف

720 * /

` صفر = )360(2 + 2 جـ

= - 90سم/ث2/

جـ

K ع0 = ع0 + جـ a

3K )90 -( + 360 = 0 `

` 3K = 4ث

الزمن الكلى = 3 + 1 + 4 = 8ث

مميقل ملا ةكرحل ام مكقتسل ملاةرحل

51 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

ال�سقوط الحر 2 - 3Free Fall

نالحظ من الشكل البيانى أن:سرعة الجسم فى أثناء الصعود تكون موجبة، وفى أثناء الهبوط تكون سالبة. ½

فمثال: عندما ن ∋ ]0 ، 2] نالحظ أن سرعة ع < 0 ، عندما ن ∋ [2 ، 4[ فان ع > 0

سرعة الجسم عند أقصى ارتفاع تساوى صفرا. ½

زمن الصعود للجسم يساوى زمن الهبوط. ½

سرعة ½ مقدار تساوى القذف نقطة إلى بها يعود التى الجسم سرعة مقدار

القذف بإشارة مخالفة.

إزاحة الجسم خالل فترة زمنية ما ليست بالضرورة أن تكون مساوية للمسافة التى قطعها الجسم خالل هذه الفترة. ½

تفكير ناقد:1- إذا قذف جسم رأسياا ألعلى بسرعة ابتدائية )ع0( فبلغت سرعته النهائية )ع( فى زمن قدره )ن( فأوجد.

زمن وصول الجسم إلى أقصى ارتفاع. أ

مسافة أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم. ب

مثال

قذف جسيم رأسياا إلى أعلى بسرعة 49م/ث. أوجد زمن وصوله إلى أقصى ارتفاع والمسافة التى وصل إليها. 2

الحلباعتبار أن االتجاه الرأسى ألعلى هو االتجاه الموجب فإن :

= 49م/ث ، E = -9٫8 م/ث2 ، ع = 0 )عند أقصى ارتفاع(0ع

إليجاد زمن أقصى ارتفاع: أ

` ن = 5ثوان. ` 0 = 49 - 9٫8 ن. + E ن 0a ع = ع

إليجاد مسافة أقصى ارتفاع: ب

` ف = 122٫5 مترا عE 2 + 2ف   ` 0 = )49(2 - 2 * 9٫8 * ف 0

a ع2 =

فكر:ح ذلك. هل يمكنك استخدام قوانين أخرى إليجاد مسافة أقصى ارتفاع؟ وض -1

حاول أن تحلقذف جسيم رأسياا إلى أعلى بسرعة 39٫2 م/ث. أوجد زمن أقصى ارتفاع والمسافة التى وصل إليها. 2

مثال

قذف جسم رأسياا إلى أعلى بسرعة 16م/ث. أوجد الزمن الذى يأخذه الجسم؛ حتى يصل إلى 330 مترا أسفل 3 نقطة القذف.

لحظ اأن

ع0

Eزمن أقصى ارتفاع =

2ع0E 2 أقصى ارتفاع =

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2سحلا طوقسلا

75

خلفية

عندما يسقط جسم رأسيا نحو األرض فإن سرعته تزداد تدريجيا

سطح إلى الجسم يصل عندما أقصاها وتبلغ سقوطه، أثناء فى

األرض. أى أن الجسم يتحرك فى أثناء سقوطه بعجلة تعمل على

زيادة سرعته، وهذه العجلة التى يسقط بها الجسم سقوطا حرا

تسمى »عجلة الجاذبية األرضية« أو »عجلة التثاقل« وتعمل دائما

المعيار ثابتة وتكون الواحد المكان فى وتختلف األرض نحو

للعمليات وتسهيال حجمها أو وزنها كان مهما األجسام لجميع

لم يذكر خالف ذلك فى ما 9.8 م/ث2 = E أن نعتبر الحسابية

المسألة.

ويتناول هذا الدرس قوانين الحركة الرأسية لألجسام التى تسقط

سقوطا حرا )مع أهمال مقاومة الهواء( فى حالتين:

األجسام التى تسقط أو تقذف نحو سطح األرض. �

األجسام التى تقذف رأسيا إلى أعلى. �

مخرجات التعلم

فى نهاية هذا الدرس من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

يتذكر قوانني احلركة الرأسية حتت تأثري عجلة اجلاذبية األرضية. �يدرس حركة األجسام الساقطة أو املقذوفة ألسفل. �يدرس حركة األجسام املقذوفة إىل أعىل. �

مفردات أساسية:

سقوط حر، عجلة الجاذبية األرضية.

المواد التعليمية المستخدمة:

آلة حاسبة علمية - حاسب - - طباشير ملون التعليمية السبورة

آلى أو تابلت 0 برنامج )geogebra( الرسومى.

مصادر التعلم:

كتاب الطالب من ص )73( إلى صفحة )77(.

التهيئة: نشاط تعاونى

كره يسقط وأن زمالئه أمام يقف أن طالبك أحد من اطلب

اطرح برتقالة( )أو الكره. حركة زمالئه يالحظ بينما معدنية

األسئلة التالية:

ما سرعة الكرة االبتدائية؟ �

ما شكل مسار حركة الكرة؟ �

صف حركة الكرة من حيث سرعتها أثناء الحركة؟ �

ما القوى المؤثرة فى الكرة أثناء سقوطها؟ �

الكرة � أن إلى توصلوا الطالب أن النقاش خالل من تأكد

الزمن تحت بمرور تتزايد تتحرك فى خط مستقيم بسرعة

تأثير قوة الجاذبية ومقاومة الهواء.

تطبيقات الرياضيات - علمى52

الحل

نعتبر االتجاه الرأسى إلى أعلى هو االتجاه الموجب

= 16م/ث ألنها نفس اتجاه القذف.0ع

E = - 9٫8 ألنها عكس اتجاه عملية الجاذبية األرضية.

ف = - 330 ألنها أسفل نقطة القذف.

E 1 ن22 ف = ع0 ن +

1 * 9٫8ن2 بالتبسيط 49ن2 - 16ن - 330 = 0- 330 = 16ن - 2

بالتحليل المقدار الثالثى: )ن - 10( )49ن + 330( = 0 )مرفوض( 330

49 ن = 10 ، ن = -

فكر:ح ذلك. هل توجد لديك حلول أخرى؟ وض -1

حاول أن تحلقذفت كرة صغيرة رأسياا إلى أعلى من نافذة أحد المنازل، وشوهدت الكرة وهى هابطة أمام النافذة بعد 3 ثوان 3 من قذفها ، ثم وصلت إلى سطح األرض بعد 4ثوان من لحظة القذف. أوجد ارتفاع هذه النافذة عن سطح األرض.

تمــــاريــن )2 - 3(

طفل يسقط كرة من نافذة ترتفع 3٫6م عن الرصيف. ما سرعتها لحظة مالمستها الرصيف؟ 1

سقطت كرة رأسياا إلى أسفل. ما سرعتها بعد 6 ثوان من لحظة سقوطها؟ 2

سقط جسم رأسياا ألسفل من ارتفاع 490م عن سطح األرض أوجد: 3

زمن الوصول إلى سطح األرض. أ

سرعته بعد 5 ثوان من بدء الحركة. ب

21متر. 2 مسافة أعلى إلى رأسياا وارتدت باألرض فاصطدمت أمتار، 10 ارتفاع من المطاط من كرة سقطت 4

احسب سرعة الكرة قبل وبعد اصطدامها باألرض مباشرة.

يتدرب طالب على ركل كرة القدم رأسياا إلى أعلى فى الهواء، ثم تعود الكرة أثر كل ركلة فتصدم بقدمه، فإذا 5 استغرقت الكرة من لحظة ركلها وحتى اصطدامها بقدمه 0٫3 ثانية. أوجد :

أ السرعة االبتدائية.

االرتفاع الذى وصلت إليه الكرة بعد أن ركلها الطالب. ب

بوج

المجاه

التا

0ع

نقطة القذف

أقصى ارتفاع

ف سالبة

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

76

تفكير ناقد: اسأل طالبك السؤال التحفيزى التالى: لو أسقطت �

اللحظة نفس فى نفسه ارتفاع من ثقيلة وورقة معدنية كرة

فإى الجسمين تتوقع وصوله لألرض أوال: فسر إجابتك؟

جميع � تسقط الهواء مقلوبة باحمال أنه طالبك على أكد

مفهوم وهذه تكلفتها اعتبار دون نفسها بعجلة األجسام

السقوط الحر.

وزنها � تأثير تحت األجسام سقوط عند أنه طالبك إلى بين

فقط ودون أى مؤثرات )قوى خارجية( فإنها تصل إلى سطح

األرض فى نفس اللحظة.

التقييم المستمر:)الحوار والمناقشة( ناقش مع طالبك ما ورد فى فقرة حاول أن تحل وتابع إجاباتهم. �

إجابات

KE + 0ع = ع 

 ع = 0 + 9.8 * 1 = 9.8م/ث

)ع0 + ع(12 a عم =

)0 + 9.8( = 4.9م.12 ` ع =

2KE 12 + K0ف = ع a

* 9.8 * 1 = 4.9م.12 ` ف = 0 +

ثانيا: إذا كان الجسم مقذوفا ألعلى:

نشاط )عمل تعاونى(

دع أحد الطالب يقف أمام زمالئه، واطلب إليه أن يقذف كرة �

معدنية رأسيا إلى أعلى، ويالحظ باقى الطالب حركة الكرة.

اطرح األسئلة التالية: �

ما سرعة الكرة االبتدائية، وما اتجاهها؟ �

ما شكل مسار حركة الكرة؟ �

صف حركة الكرة من حيث سرعتها أثناء حركتها؟ �

ناقش طالبك وتأكد من أنهم توصلوا إلى أن الكرة تتحرك فى �

تنعدم عند الصعود حتى أثناء تتناقص مسار مستقيم بسرعة

أعلى نقطة فى مسارها، ثم تتزايد من الصفر أثناء سقوطها.

اجراءات الدرسوضح للطالب أن مقدار الزيادة فى سرعة الجسم الساقط ال �

يتوقف على وزنه أو كتلته، ولكن يتوقف فقط على األرتفاع

سرعة زادت االرتفاع زاد فكلما الجسم؛ منه سقط الذى

الجسم الساقط.

أو � الجسم ساقطا ما كان إذا أنه فى حالة الطالب إلى أشر

مقذوفا تحت سطح األرض فنعتبر الرأسى إلى أسفل موجبا،

األرض نحو مركز دائما تعمل األرضية الجاذبية إن وحيث

فنعتبر E موجبة، وكذلك اإلزاحة ف موجبة، وكذلك تكون

كل من ع النهائية، ع0 موجبة.

هى � لألجسام الرأسية الحركة قوانين أن الطالب إلى بين E ، ع0 ، ع عالقات بين القياسات الجبرية للمتجهات

يجب السابقة بالصورة القوانين هذه تطبيق وعند ف ،

E والسرعتين ع، ع0 الجاذبية إشارة كل من عجلة مراعاة

كما هو موضح فى كتاب الطالب.

قرحلا طاقسلا

53 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

6 من أعلى تل ارتفاعه 9٫8 أمتار قذف جسم رأسياا إلى أعلى بسرعة 4٫9 م/ث أوجد:سرعة الجسم عند لحظة وصوله إلى أسفل التل. أ

الزمن الذى استغرقه للوصول إلى أسفل التل. ب

قذف حجر فى بئر بسرعة 4 م/ث رأسياا ألسفل فوصل إلى قاع البئر بعد 2 ثانية. أوجد: 7 عمق البئر. أ

سرعة الحجر عند تصادمه بقاع البئر. ب

قذف جسيم رأسياا إلى أعلى بسرعة 14 م/ث من نقطة على ارتفاع 350م عن سطح األرض. أوجد الزمن الذى يأخذه الجسم؛ حتى يصل إلى سطح األرض.

قذفت كرة رأسياا إلى أعلى من نافذة فوصلت إليها بعد 4 ثوان من لحظة القذف ووصلت إلى سطح األرض بعد 9 5 ثوان من لحظة القذف. أوجد

سرعة قذف الكرة. أ

أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة من نقطة القذف. ب

ارتفاع النافذة عن سطح األرض. ج

من قمة برج ارتفاعه 80٫5 مترا قذف جسم رأسياا ألعلى بسرعة 8٫4 م/ث. أوجد : 10 أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم من نقطة القذف. أ

الزمن الذى يستغرقه الجسم وهو هابط حتى تصبح سرعته 11٫2م/ث. ب

زمن وصول الجسم إلى نقطة القذف. ج

زمن وصول الجسم إلى سطح األرض. د

11 من أعلى تل ارتفاعه 140م قذفت كرة رأسياا إلى أعلى ، فوجد أنها قطعت فى الثانية الثالثة مسافة 10٫5 أمتار. أوجد:

السرعة التى قذفت بها الكرة. أ

أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة. ب

الزمن الذى استغرقته الكرة فى الوصول إلى سطح األرض. ج

تفكير ابداعى:

سقط جسم من ارتفاع 60 مترا من سطح األرض، وفى نفس اللحظة قذف جسم آخر رأسياا ألعلى من سطح 12 األرض بسرعة 20م / ث فتقابل الجسمان بعد فترة زمنية. أوجد هذا الزمن، ثم أوجد المسافة التى قطعها كل

من الجسمين خالل هذه الفترة الزمنية، ثم اذكر هل الجسمان لحظة التقابل متحركان فى اتجاهين متضادين أم

فى نفس االتجاه؟

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2سحلا طوقسلا

77

4 - 2

آلة حاسبة علمية �Scientific calculator

األدوات والوسائل

جذب عام �Universal gravitation

ثابت اجلذب العام �Gravitational constant

قوة اجلذب. �Attraction force

المصطلحات األساسية

قانون اجلذب لنيوتن. �تعريف ثابت اجلذب العام. �املقارنة بني عجلتى اجلاذبية عىل �

سطحى كوكبني.

فكر و ناقشسوف تتعلم

ا ماذا يحدث لحركة القمر لو فقدت األرض قوة جاذبيتها للقمر؟ بالتأكيد سيسلك مسارا

آخر بدال من أن يكون مساره شبه دائرى حول األرض.

الشمس وجاذبية للقمر األرض جاذبية عن المسئولة القوى أن نيوتن أدرك لقد

للكواكب إنما هى حالة خاصة من الجذب العام بين األجسام.

الرياضى بحثه فى نشره الذى لنيوتن العام الجذب قانون على اآلن تتعرف وسوف

مبادئ الفلسفة الطبيعية عام 1687م حيث ذكر نيوتن أن:

تتناسب مباشرة قوة بتأثير األخرى األجسام مع تتجاذب الكون فى األجسام كل

طردياا مع كتلتها وعكسياا مع مربع المسافة بين مركزيهما.

فإذا كان لدينا كتلتان ك1 ، ك2 وتفصل بين مركزيهما مسافة ف فإن مقدار قوة الجذب

ك1 ك2بينهما تعطى بالعالقة:ف2

حيث X = ث *

ك1 ، ك2 مقاستان بالكيلوجرام ، ف مقاسة بالمتر ، ث هو ثابت الجذب العام.

gravitational constant تعريف ثابت الجذب العام: هو قوة الجذب المتبادلة بين كتلتين، مقدار كل منهما 1 كيلو جرام، والمسافة بين

مركزيهما 1 متر ويساوى تقريبا 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . متر2 / كجم2.

تعبير شفهى:اذكر العوامل التى تتوقف عليها قوة التجاذب بين جسمين. -1

فكر:ماذا يحدث لقوة الجذب المتبادلة بين جسمين إذا ازدادت المسافة بينهما؟ -1

لماذا ال تظهر قوى التجاذب المادى بين األجرام السماوية بوضوح؟ -2

مثال

كرتان كتلة األولى 5٫2 كجم وكتلة الثانية 0٫25 كجم، وضعت الكرتان، بحيث 1 بأن علما ، بينهما التجاذب قوة احسب 50سم. مركزيهما بين المسافة كانت

ثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2.

قانون الجذب العامUniversal gravitation law

تطبيقات الرياضيات - علمى 7

فى بند تفكير ناقد: ص )77( �

إلى الجسم يصل عندما أن نالحظ KE + ع0 = ع العالقة أ

. E - = أقصى ارتفاع فإن: ع = 0 ، عجلة السقوط الحر

KE - 00 = ع `

ع0E

ومنها K )زمن أقصى ارتفاع( =

لحساب مسافة أقصى ارتفاع يصل إليها الجسم نضع ع = 0 ب

E 2 + 0 ففى العالقة ع2 = ع2

E 2 - 0 ف` صفر = ع2

2ع0E2

وبالتالى تكون مسافة أقصى ارتفاع هى : ف =

فى بند فكر ص 77

يمكن استخدام العالقات المستنتجة فى تفكير ناقد كاآلتى:

ع0 E

زمن أقصى ارتفاع =

49 = 5 ثوان9.8 =   

= 122.5م.2)49(

9.8 * 2 = 0

ع2E2 مسافة أقصى ارتفاع =

فى بند فكر ص )78(

ناقش طالبك فى الوصول إلى طرق أخرى للحل:

K E + 0نوجد زمن أقصى ارتفاع من القانون ع = ع

K 9.8 - 16 = صفر `

160 ث49 = 80

49 الزمن الكلى حتى يصل الجسم لنقطة القذف = 2 *

من 330م مسافة قطع فى الجسم استغرقه الذى الزمن نوجد 2KE

12 + K0القانون: ف = ع

2K * 9.8 * 12 - K 16 - = 330 `

33049 = K ومنها 0 = 330 - K16 + 2K4.9 `

330 = 10 ثوان.49 + 160

49 `الزمن الكلى =

اإلزاحة متجه مفهوم باستخدام األول الحل أن بالطبع واضح

أسهل من هذا الحل.

التقييم المستمر: حاول أن تحل ص )78(

ثانية.32 a الكرة صعدت من النافذة إلى أقصى ارتفاع فى زمن قدره

`ع0 = 14.7م/ث 32 ` صفر = ع0 - 9.8 *

 وهى سرعة الكرة عند مرورها بالنافذة وهى هابطة.

2KE 12 + K0ف  = ع `

1 * 9.8 * 12 + 1 * 14.7 =   

   = 19.6 مترا.

مكيماايرلا

تطبيقات الرياضيات - علمى54

الحل1 م ، ث = 6٫67 * 10 - 11 نيوتن.م2 / كجم2

ك1 = 5٫2 كجم ، ك2 = 0٫25 كجم ، ف = 2

11 - 10 * 6٫67 * 0٫25 * 5٫214

= X ` ك1 ك2 ف2

X a = ث *

ا(. X = 3٫4684 * 10 - 10 نيوتن )وهى قوة صغيرة جدا

حاول أن تحل

إذا علمت أن كتلة األرض 6 * 10 24 كجم وكتلة القمر 7 * 10 22 والمسافة بين مركزيهما 3 * 10 6 متر وثابت 1 الجذب العام 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2. أوجد قوة جذب األرض للقمر.

مثال

قمر صناعى كتلته ك كجم يدور على ارتفاع 440 كم من سطح األرض التى كتلتها 6 * 10 24 كجم ونصف 2 قطرها 6360 كم أوجد ك ألقرب كجم علما بأن ثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 - 11 نيوتن.م2 / كجم2،

قوة جذب األرض للقمر هى 17310 نيوتن.

الحلك1 ك2ف2

ك1 = ك ، ك2 = 6 * 2410 ، ف = )6360 + 440( * 1000 م  وبالتعويض فى القانون: ق = ث * ك * 6 * 10 24

2)1000 * 6800( * 11 - 10 * 6٫67 = 17310

ك = 2000٫035982 - 2000 كجم 2)1000 * 6800( * 17310

24 10 * 6 * 11 - 10 * 6٫67: ك = أى أن

) 1 7 3 1 0 × ) 6 8 0 0 × 1 0 0 0 ( χ2 ( ÷ ) 6 . 6 7 × 1 0 χ − 1 1 × 6 × 1

0 χ 2 4 ( =

حاول أن تحل

قمر صناعى كتلته 1500 كجم يدور على ارتفاع 540 كم من سطح األرض التى كتلتها 6 * 10 24 2 كجم ونصف قطرها 6360 كم.

أوجد قوة جذب األرض للقمر بالنيوتن علما بأن ثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2

حساب كتلة األرضمثال

احسب كتلة األرض بوحدة كجم بفرض أن جسما كتلته 1 كجم وضع فوق سطحها. علما بأن طول نصف قطر 3 األرض 6360 كم، ث = 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2

الحلقوة جذب األرض للجسم = ك E )حيث ك = 1كجم ، E = 9٫8 م / ث2(

X = 1 * 9٫8 = 9٫8 نيوتن.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2االط قسجلاقسحناق

79

أخطاء شائعة:

الخطأ: وضع إشارات E ، ع، ع0، ف أثناء تطبيق القوانين

العالج:

إذا كان الجسم ساقطا أو مقذوفا نحو سطح األرض يفضل اتخاذ

الرأس ألسفل اتجاها موجبا.

ألعلى الرأسى االتجاه نأخذ أعلى إلى مقذوفا الجسم كان إذا

موجبا.

كالتالى � المسائل بعض تفسير فى الطالب بعض يخطىء قد

فى وجودها أثناء أعلى. إلى رأسيا معدنية قطعه قذف عند

الهواء ماذا يحدث لسرعتها وهل تزاد عجلتها أم تنقص

تصبح � حتى النقود قطعة سرعة تتناقص الصحيح: التفسير

أن إلى السالب االتجاه فى تزداد ثم ارتفاع. أعلى فى صفرا

تصطدم باألرض وتبقى عجلة القطعة المعدنية ثابتة.

إجابة بعض تمارين )3-2(

58.8 م/ث 2 8.4 م/ث 1

49 م/ث ب أ 10 ث 3

14 م/ث، 7 م/ث 4

10ث 8 14.7م/ث، 2ث 6

ج 24.5 متر ب 19.6م أ 19.6 م/ث2 9

د 5 ث ب 2 ث أ 3.6 م 10

ج 10 ث ب 62.5 م أ 35 م/ث 11

فى بند تفكير إبداعى صـ 79 12نفرض أن الجسيمين يتقابالن عند نقطة جـ حيث ف1 + ف2

60 =

60 = 2K 9.8 * 12 - K20 + 2K 9.8 *

12

60 = K20

` K = 3 ثوان

9 * 9.8 * 12 ف1 =

  = 44.1م

9 * 9.8 * 12 ف2 = 20 * 3 -

  = 15.9م

C

ب

جـ

ف1

ف2

نقطة التقابل

ع0 = 0

ع0 = 20م/ث

0 > E

0 < E

قرحلا طاقسلا

55 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

نصف قطر األرض = 6360 * 1000 متر ، ث = 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم22 - 4

ك1 ك2ف2

بتطبيق قانون الجذب العام: X = ث *

1 * ك لألرض2)1000 * 6360(

* 11 -10 * 6٫67 = 9٫8

- 6 * 2410 كجم2)1000 * 6360( * 9٫8

11 - 10 * 6٫67كتلة األرض )ك( =

يساوى سطحها فوق الموضوع الجسم كتلة كانت إذا السابق المثال فى األرض كتلة تتغير هل ناقد: تفكير ر ذلك. 1000 كجم؟ فس

حاول أن تحل

احسب نصف قطر األرض بفرض أن جسما كتلته 1 كجم وضع فوق سطحها علما بأن كتلة األرض تساوى 3 6 * 10 24 كجم وثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2

مثال

)E( تعيين عجلة الجاذبية األرضيةاحسب عجلة الجاذبية األرضية بوحدة م / ث2 لجسم كتلة 1كجم وضع فوق سطحها. علما بأن كتلة األرض 4

تساوى 6 * 10 24 كجم، نصف قطر األرض يساوى 6360كم

الحلE = X أى أن E * 1 = X ` E قوة جذب األرض للجسم = ك a

E - 9٫89379 م / ث2 24 10 * 6 * 1

2)1000 * 6360( * 11 - 10 * 6٫67 = E ` ك1 ك2

ف2 X a = ث *

حاول أن تحلفى المثال السابق احسب عجلة الجاذبية األرضية بوحدة م/ث2 إذا كانت كتلة الجسم الموضوع على سطحها 4

100كجم - ماذا تالحظ؟

نشاط

المقارنة بين عجلتى الجاذبية على �سطحى كوكبين:

إذا كانت 2E ، 1E عجلتا الجاذبية لكوكبين كتلتيهما بالكجم ، ك1 ، ك2H ، 1H ، 2 نصفى قطريهما بالمتر على الترتيب.

فيمكن استنتاج العالقة اآلتية:22 H21 H

ك1 *

ك2 = 1E

2E

مثال

إذا كانت كتلة األرض قدر كتلة القمر 81 مرة وقطراهما 12756 كم ، 3476 كم على الترتيب فإذا كانت عجلة 5 الجاذبية األرضية 9٫8 م / ث2 فكم يكون تسارع الجاذبية على سطح القمر؟

اأ�سف اإلى معلوماتك

قوة جذب األرض لجسم كتلته ك كجم = ك E = 9٫8 ك

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

0

خلفية

المشهورة الرواية بعد العام الجذب قانون نيوتن العالم وضع

تحت نائما كان بينما رأسه، التفاحةعلى سقوط وهى عنه،

شجرة، فتوصل إلى أن القوة التى أثرت على التفاحة؛ لتسقط على

ويتبين األرض، إلى القمر تجذب التى القوة نفس هى األرض

أيضا أن قانون الجذب العام لنيوتن ينطبق على القوة المتبادلة بين

الكواكب واألجسام المادية على حد سواء.

مخرجات التعلم

فى نهاية هذا لدرس من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

يتعرف قانون اجلذب العام لنيوتن. �يعرف ثابت اجلذب العام. �يقارن بني عجلتى اجلاذبية عىل سطحى كوكبني. �

مفردات أساسية:

جذب عام - ثابت جذب عام - قوة الجذب.

المواد التعليمة المستخدمة:

السبورة التعليمية - طباشير ملون - آلة حاسبة علمية.

مكان التدريس:

الفصل الدراسى.

مصادر التعلم:

الدولية الشبكة )82( ص إلى )78( صفحة من الطالب كتاب

للمعلومات )اإلنترنت(.

طرق التدريس المقترحة:

العرض المباشر - المناقشة - العصف الذهنى - حل المشكالت.

التهيئة :لو � القمر ماذا يتحدث لحركة الحصة عن بداية ناقش طالبك فى

فقدت األرض قوة جاذبيتها للقمر؟

تابع اإلجابات المختلفة، وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة. �

قانون الجذب العام

اجراءات الدرساطلب إلى طالبك عمل عصف ذهنى لمواقف حياتية يمكن �

التعبير عنها عن التغير الطردى والتغير العكسى، وتعيين الثابت

بمعلومية إحدى القيم للمتغيرين، ثم اطلب إيجاد قيمة إحدى

المتغيرين بمعلومية األخرى، ثم وضح لهم داللة ثابت التغير.

التربيع � قانون لنيوتن العام الجذب قانون أحيانا يسمى

العكسى نظرا ألن القوة X تتناسب عكسيا مع مربع المسافة

بين مركزى الكتلتين الثابتتين ك1 ، ك2.

وهو � X * ف2

ك1ك2 = ث العالقة من يتعين العام الجذب ثابت

مقدار ثابت، ولكن له وحدة قياس كاآلتى:

أى � كتلة(2 )وحدة / مسافة(2 )وحدة * قوة وحدة نيوتن. متر2/كجم2

التقييم المستمرفى بند تعبير شفهى ص )67(:

هى � الجسمين بين التجاذب قوة عليها تتوقف التى العوامل

ك1، ك2 ، ف.

فى بند فكر: 1 - تقل قوة الجذب العام كلما ازدادت المسافة بين

الجسمين.

تطبيقات الرياضيات - علمى56

الحلنفرض أن كتلة القمر ك كجم فتكون كتلة األرض = 81 ك كجم

1H = 6378 كم ، 2H = 1738 كم ، 1E = 9٫8 م / ث2E ، 2 = ؟

2) 17386378

80 ك * )ك

= 9٫8 2E

` 22 H21 H

ك1 *

ك2 = 1E

2E a

` E للقمر - 1٫63 م / ث2 وبالتبسيط:

حاول أن تحل

إذا علمت أن كتلة األرض 5٫97 * 10 24 كجم ونصف قطرها 6٫34 * 10 6 م وكتلة القمر 7٫36 * 10 22 ونصف 5 قطره 1٫74 * 10 6 م فأوجد النسبة بين الجاذبية على سطح القمر إلى سطح األرض.

تمــــاريــن الدرس الرابع

تنبيه: اعتبر ثابت الجذب العام لنيوتن: ث = 6٫67 * 10 - 11 نيوتن.متر2 / كجم2

ماذا يحدث لوزنك كلما ابتعدت أكثر عن سطح األرض؟ 1

لماذا ال تظهر قوة الجاذبية بين األجسام التى نشاهدها يومياا؟ 2

ماذا يحدث لقوة الجذب العام بين جسمين عند مضاعفة المسافة بين مركزيهما؟ 3

أى من المدارات الموضحة بالشكل التالى يعتبر مدارا ممكنا لكوكب ما؟ 4

اختيار من متعدد: كوكب لديه قمران متساويا الكتلة، القمر األول فى مدار دائرى نصف قطره H، القمر 5 الثانى فى مدار دائرى نصف قطره H2. إن مقدار قوة الجاذبية التى يؤثر بها الكوكب على القمر الثانى هى:

أكبر أربع مرات من القوة المؤثرة على القمر األول. أ

تساوى القوة المؤثرة على القمر األول. ج أكبر مرتين من القوة المؤثرة على القمر األول. ب

ربع القوة المؤثرة على القمر األول. ه نصف القوة المؤثرة على القمر األول. د

فى الشكل المقابل: 6 بين مركزى كرتين 2م وكانت كتلة البعد إذا كان

إحداهما 0٫8 كجم، وكتلة األخرى 0٫6 كجم فما

قوة التجاذب بينهما؟

2 متر

0٫8 كجم0٫6 كجم

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 2االط قسجلاقسحناق

1

2 - ال تظهر قوى التجاذب المادى بين األجرام السماوية بوضوح

نظرا للبعد الهائل بين هذه األجسام.

التقييم المستمر:)الحوار والمناقشة(

ناقش مع طالبك ما ورد فى بند حاول أن تحل ص)81(، )82( �

وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.

إجابات:

ك1 = 6 * 2410  ،   ك2 = 7 * 2210، 1 ف = 3 * 610  ،   ث = 6.67 * 10 -11

ك1ك2 ف2 X a = ث *

2210 * 7 * 2410 * 62)610 * 3(

* 11 - 10 * 6.67 = X `

` X = 3.11267 * 2410 نيوتن.

ك1 = 1500   ،   ك2 = 6 * 2410 ، 2 ف = 6900كم ،   ث = 6.67 * 10 - 11

2410 * 6 * 15002)6900(

ك1ك2 = 6.67 * 10 - 11 * ف2

X a = ث *

X = 12609 نيوتن )6900 * 1000( 2 .

فى بند تفكير ناقد:

الجسم ك1، كتلة أن كتلة بفرض األرض؛ ألنه تختلف كتلة ال

األرض = ك2، المسافة بينهما ف فإن قوة جذب األرض للجسم=

كE1 وبتطبيق قانون الجذب العام فإن:

ك1ك2ف2

كE 1 = ث *

على تتوقف ال ك2 األرض كتلة أن أى ك2 ف2

* ث = E أن: أى

قيمةك1.

إجابة حاول أن تحل

ك1 = 1  ،   ك2 = 6 * 2410 3

ث = H   ،  11 - 10 * 6.67 = ف ؟

ك1ك2ف2

X a = ث *

2410 * 6 * 1

2H * 11 - 10 * 6.67 = 9.8 * 1 `

1310 * 4.08367 = 2H

H - 6390363 مترا.

H - 6390 كم.

كرتان متماثلتان كتلة كل منهما 6٫8 كجم والبعد بين مركزيهما 21٫8 سم، ما قوة التجاذب بينهما؟ 7

احسب قوة التجاذب بين جسمين كتلتيهما 10 كجم ، 15 كجم والمسافة بينهما 2 أمتار.

قمر صناعى كتلته 2000 كجم يدور على ارتفاع 440 كم من سطح األرض التى كتلتها 6 * 2410 كجم . أوجد 9 قوة جذب األرض للقمر علما بأن نصف قطر األرض 6360 كم.

إذا كانت عجلة الجاذبية األرضية )E( هى 10 م / ث2 ونصف قطر األرض يساوى 6٫36 * 10 6 متر . احسب 10 كتلة األرض.

حول دائرى شبه مدار فى تسير األرض أن علمت إذا واألرض الشمس بين المتبادلة التجاذب قوة احسب 11 بين والمسافة كجم، 29 10 * 9 تساوى الشمس وكتلة كجم، 24 10 * 6 تساوى األرض كتلة وأن الشمس

مركزيهما تساوى 1٫5 * 10 11 متر.

إذا علمت أن كتلة األرض تساوى 5٫97 * 10 24 كجم ونصف قطرها 6٫34 * 10 6 متر وكتلة القمر تساوى 12

7٫36 * 10 22 كجم فأوجد طول نصف قطر القمر إذا كانت الجاذبية على سطح األرض ستة أمثالها على سطح

القمر.

6 متر فأوجد شدة مجال الجاذبية 24 كجم ونصف قطرها 6٫36 * 10 إذا علمت أن كتلة األرض 6٫06 * 10 13 األرضية .

كوكب كتلته مساوية ثالث مرات كتلة األرض، وقطره يساوى ثالث مرات قدر قطر األرض. احسب النسبة 14 بين عجلة الجاذبية على سطح هذا الكوكب وسطح األرض.

أوجد قوة الجذب العام بين كوكبين كتلة األول 2110 * 2 طن وكتلة الثاني = 2510 * 4 طن، والمسافة بين مركزيهما 15 610 * 2كم.

وضعت قطعة من الحديد على بعد 50سم من أخرى من النيكل كتلتها 25 كجم فكانت قوى التجاذب بينهما 16 10 - 8 * 6 نيوتن ، فكم تكون كتلة الكرة الحديد مقربا الناتج ألقرب عدد صحيح؟

جسم كتلته ك كجم يقع على ارتفاع ف متراعن سطح األرض التي طول نصف قطرها نق مترا وكتلتها ك كجم. 17 أوجد مقدار قوة الجاذبية التي تؤثر على هذا الجسم.

الربط بالفضاء: محطة فضائية دولية وزنها على سطح األرض 421997٫6 نيوتن. أوجد وزنها عندما تكون فى 1 المدار الخارجي على ارتفاع 350 كم من سطح األرض علما بأن طول نصف قطر األرض يساوي 6٫37*310 كم

و كتلتها 5٫6*2410 كجم. )إرشاد : القوة بالنيوتن = الكتلة بكجم * عجلة الجاذبية األرضية 9٫8 م/ث2(

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

2

اال اقجلااقرناق

57 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

ملخ�ص الوحدة

متجه اإلزاحة

C ب التى نقطة هو المتجه الذى تمثله القطعة المستقيمة الموجهة

C ب بالرمز بدايتها )C( ونقطة نهايتها )ب( ويرمز لمتجه اإلزاحة

C ب || ف ، ويرمز لمعيار متجه اإلزاحة بالرمز ||

متجه الموضع

S هو المتجه الذى تنطبق بدايته مع موضع المشاهد )و( ونقطة نهايته مع موضع الجسيم ويرمز له بالرمز

العالقة بين متجه الموضع ومتجه اإلزحة:

0S - S ف =

متجه السرعة

متجه سرعة جسيم هو المتجه الذى معياره يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على اتجاه الحركة.

الحركة المنتظمة

: الجسيم يتحرك فى اتجاه ثابت، حيث هى الحالة التى يكون فيها كل من معيار واتجاه متجه السرعة ثابتا، أى أن

يقطع مسافات متساوية خالل فترات زمنية متساوية.

ف = ع نوتكون العالقة بين القياسيين الجبريين للمتجهين ف ، ع فى الحركة المنتظمة هى:

متجه السرعة المتوسطة

إذا تحرك جسيم عند لحظتين زمنيتين ن1 ، ن2 عند الموضعين C ، ب على الترتيب وكان ف هو متجه اإلزاحة فى

الفترة الزمنية )ن2 - ن1( فإن ع م يعرف بمتجه السرعة المتوسطة لهذا الجسيم خالل تلك الفترة الزمنية ويكون:

ف

ن 2 - ن1 =

1S - 2S

ن 2 - ن1 ع م =

نقطة البدايةالمسار

نقطة النهاية

ف

C

ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

�����قسحط���

3

ك1 = 6 * 2410  ،   ك2 = 7.36 * 2210 4610 * 1.74 =2 H   ،   610 * 6 =1H

2H2H

ك1 * ك2 = 1E

2E a

2)610 * 1.74

610 * 6( *

2410 * 62210 * 7.36

= 1E

2E `

2523368 = 1E

2E `

إجابات بعض تمارين )4-2(

لزيادة نظرا األرض؛ سطح عن ابتعدنا كلما الوزن يقل 1المسافة بين الجسم وبين مركز األرض.

لصغر كتلة هذه األجسام . 2تقل قوة الجذب العام بمقدار الربع. 3

مركز فى تكون الشمس ألن اليمين؛ من الثالث الشكل 4المسار.

االختبار )هـ( 512 - 10 * 8.112 6

6.8 * 6.82)0.218( * 11 - 10 * 6.67 = X 7

8 - 10 * 6.4898 = X

15 * 104 * 11 - 10 * 6.67 = X 8

9 - 10 * 2.50125 = X

2410 * 6 * 2000

2)6800( * 11 - 10 * 6.76 = X 9X - 1.7543 * 1010 نيوتن

ك 2)610 * 6.36(

* 11 - 10 * 6.76 = 10 10ك - 6 * 2410

2910 * 9 * 2410 * 6

2)1110 * 1.5( * 11 - 10 * 6.67 = X 11X = 1.6008 * 2210 نيوتن

13 9.99م/ث2 12 1724 كم

- ك1 = 3ك ، ك2 = ك 14H=2H ،H3 = 1H

13 = 2)

H

H3 ( * 3 كك = 1E

2E

9كجم 16

ك ك2)H + ف(

X = ث * 17

6.56 * 1210 نيوتن 18

السرعة اللحظية:

إذا تحرك جسيم بسرعة متغيرة من خالل منحنى المسافة - الزمن فإن ميل المماس عند نقطة ما على المنحنى عند

لحظة زمنية يعرف بالسرعة اللحظية.

السرعة النسبية:

السرعة النسبية لجسيم )ب( بالنسبة لجسيم آخر )C( هى السرعة التى يبدو أن الجسيم )ب( يتحرك بها لو اعتبرنا

، ع ب هما متجها سرعة لجسمين C، ب وأن متجه سرعة ب بالنسبة C الجسيم )C( فى حالة سكون، باعتبار أن ع

فإنCهى ع ب C C

= عب - عCع ب

الحركة منتظمة التغير:

هى الحركة التى يحدث فيها تغير قيمة السرعة بمرور الزمن و يسمى بالتسارع )العجلة( ووحدة قياسه هى م / ث2.

السرعة النهائية - السرعة االبتدائيةالزمن العجلة )جـ( =

الحركة منتظمة التغير:

يقال إن الجسيم يتحرك حركة منتظمة التغير أو بتسارع )عجلة( منتظم إذا كان متجه العجلة ثابتا مقدارا واتجاها

لجميع األزمنة.

إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية )ع( وعجلة ثابتة )جـ( وأصبحت سرعته )ع( بعد فترة زمنية )ن(

قطع خاللها مسافة )ف( فإن:

ع = ع0 + جـ ن ½ العالقة بين السرعة والزمن:

1جـ ن2 ½2 ف = ع0 ن + العالقة بين المسافة والزمن:

2 + 2جـ ف ½ع2 = ع0 العالقة بين السرعة والمسافة:

ويالحظ أن هذه العالقات تربط بين أربعة مجاهيل يمكن إيجاد إحداهما بمعلومية الثالثة اآلخرين.

المساحة تحت منحنى السرعة - الزمن تساوى إزاحة الجسم المتحرك. ½

السرعة المتوسطة لجسيم خالل فترة زمنية ما تساوى سرعته اللحظية فى منتصف هذه الفترة. ½

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

4

مكيماايرلا

تطبيقات الرياضيات - علمى58

قوانين الحركة الرأسية لألجسام:

تخضع قوانين الحركة الرأسية لنفس قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة مع استخدام الرمز )E( الدالة

ا بدال من الرمز )جـ( وبذلك تأخذ القوانين الصورة اآلتية: على التسارع الذى يسقط به األجسام سقوطا حر

E1 ن2 ، ع2 = عE2 + 2ف2 ع = عE + 0 ن ، ف = ع0 ن +

إذا قذف جسم رأسياا إلى أعلى تحت تأثير الجاذبية األرضية وعاد إلى نقطة القذف فإن:

سرعة الجسم فى أثناء الصعود تكون موجبة وفى أثناء الهبوط تكون سالبة. ½

سرعة الجسم عند أقصى ارتفاع تساوى صفرا. ½

زمن الصعود للجسم يساوى زمن الهبوط. ½

ع0 ½

Eزمن أقصى ارتفاع )ن( =

½ 2ع

0E 2 أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم )ف( =

مقدار سرعة الجسم التى يعود بها إلى نقطة القذف تساوى مقدار سرعة القذف بإشارة مخالفة. ½

إزاحة الجسم خالل فترة زمنية ما ليست بالضرورة أن تكون مساوية للمسافة التى قطعها الجسم خالل ½

هذه الفترة.

قانون الجذب العام لنيوتن

ك1 ك2ف2

إذا كان المسافة )ف( بين كتلتين ك1، ك2 فإن مقدار قوة الجذب بينهما )X( تعطى بالعالقة : X = ث *

حيث ك1 ، ك2 مقاستان بالكيلو جرام ، ف بالمتر.

ثابت الجذب العام:

تقريبا ويساوى متر 1 مركزيها بين والمسافة 1كجم منها كل مقدار كتلتين بين المتبادلة الجذب قوة هو 6٫67 * 10 -11 نيوتن . متر2/كجم2

5 كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

�����قسحط���

وسطه � من محفور الخشب أو األلومنيوم من لوحا احضر

أمتار، وكرة صغيرة حفرة طولية بحيث يكون طوله طولى 3

من الصلب، وليكن قطرها 2سم أو )بلية( وساعة إيقاف، قسم

هي ثم 20سم، منها كل طول متساوية مسافات إلى اللوح

الجهاز كما فى الشكل

ف4ف3

ف2ب

C

ف1

اإلجراءات:

ساعة � وباستخدام ، أ نقطة من حركتها لتبدأ الكرة اترك

اإليقاف احسب الزمن الالزم؛ لتحرك الكرة مسافة ف1. كرر

ن1، القراءات لديك ليكون أخريتين؛ مرتين الزمن حساب

ن2، ن3 لزمن قطع المسافة ف1 واحسب من ذلك متوسط زمن

قطع هذه المسافة.

مسافات � تتحرك الكرة تدع أن بعد السابقة الخطوات كرر

تكون أن مراعاة مع وهكذا ف3 ف2، مثل أكبر مختلفة

الزيادة متساوية في كل حالة.

سجل نتائجك في جدول كالتالي: �

قراءات المسافة والزمن للنشاط

الرقم الم�شافة

�شم

متو�شط الزمن )ثانية(

الزمن بالثانية

ف1

ف2

ف3

ف4

بين � العالقة بيانيا مثل عليها، حصلت التي بالنتائج مستعينا

المسافة والزمن.

بعد دراستك لهذه العالقة البيانية: �

هل العالقة البيانية للمسافة والزمن تمثل بخط مستقيم؟ �

الكرة � أن عليه حصلت الذي البياني المنحنى يدل هل

تتحرك بسرعة منتظمة؟

هل تقطع الكرة أثناء حركتها مسافات متساوية في أزمنة متساوية؟ �

هل تتزايد سرعة الكرة أثناء هبوطها أم تتناقص؟ ولماذا؟ �

تمارين عامة )الوحدة الثانية(

اأكمل ما ياأتي:

Cب = ..............................ع س فإن عب = -3 س ، 7 =

Cع إذا كان 1

.............................. = Eع ى فإن عحـ = 50 ى ، 70 = Eإذا كان عحـ 2

إذا تحركت سيارتان C ، ب بالسرعتين 65كم/س ، 75 كم/س فإن 3 Cب = .............................. إذا كانتا فى اتجاه واحد.

ع أ

Cب = .............................. إذا كانتا فى اتجاهين متضادين.ع ب

بدأت سيارة الحركة من سكون بعجلة منتظمة 20سم/ث لمدة 10 ثوان. 4 السرعة النهائية للسيارة = .............................. م/ث. أ

المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = .............................. متر. ب

بدأ جسم حركته بسرعة 72كم/س بعجلة تقصيرية 2م/ث2. 5 الزمن الذي يستغرقه الجسم حتى يقف = .............................. ثانية. أ

المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = .............................. متر. ب

استخدمت سيارة فراملها فتوقفت خالل 10 ثوان بعد أن قطعت 25 مترا. 6 عجلة الحركة فى أثناء استخدام الفرامل = .............................. م/ث2. أ

سرعة السيارة عند بدء استخدام الفرامل = .............................. م/ث. ب

سقط جسم من قمة برج رأسي فوصل إلى سطح األرض بعد 5 ثوان: 7 سرعة الجسم عند وصوله إلى سطح األرض = .............................. م/ث. أ

ارتفاع البرج = .............................. متر. ب

قذف جسم رأسياا ألعلى من نقطة على سطح األرض فعاد إليها بعد 4 ثوان: سرعة قذف الجسم = .............................. م/ث. أ

أقصى ارتفاع وصل إليه الجسم = .............................. متر. ب

من قمة برج ارتفاعه 20 مترا قذف جسم ألعلى بسرعة 7م/ث: 9 سرعة الوصول إلى سطح األرض = .............................. م/ث. أ

زمن الوصول إلى سطح األرض = .............................. ثانية. ب

كوكب كتلته مساوية ثالث مرات كتلة األرض، وقطره يساوي ثالث مرات قدر قطر األرض، فإن النسبة بين 10 عجلة الجاذبية على سطح الكوكب إلى سطح األرض كنسبة .................. : ..................

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

6

اال اقجلااقرناق

59 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

اختبار تراكمي

اختياربين متعددقوتان مقدارايهما 8٫16 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية أوجد: 1

مقدار أكبر محصلة لهما. أ

مقدار أصغر محصلة لهما. ب

.c120 مقدار واتجاه محصلتهما عندما يكون قياس الزاوية بينهما ج

2 ، 8 ث جم تؤثر فى نقطة مادية نحو الشرق ، الشمال الغربي والجنوبي الغربي 2 ، 2 القوى 12 ، 5 2 والجنوب على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

علق جسم وزنه )و( نيوتن بواسطة خيطين يميالن على الرأس بزاوتين قياسيهما هـc30 ،c فاتزن الجسم عندما 3 3 نيوتن . أوجد هـc و مقدار كان مقدار الشد فى الخيط األول 12 نيوتن ، مقدار الشد فى الخيط الثاني 12

الوزن و.

جسم وزنه 90ث كجم موضوع على مستوى يميل على األفقي بزاوية قياسها c30. حفظ الجسم فى حالة توازن بواسطة قوة 4 ق تؤثر على الجسم إلى أعلى فى اتجاه يميل على المستوى بزاوية قياسها c30. أوجد مقدار ق ورد فعل المستوى.

C ب يتصل طرف C بمفصل مثبت فى حائط رأسي. اثرت فى الطرف اآلخر ب قوة أفقية فاتزن قضيب منتظم 5 القضيب 4ث كجم و يؤثر فى فإذا كان وزن ،c45 الحائط بزاوية قياسها القضيب عندما كان يميل على

منتصفه . أوجد مقدار القوة و رد فعل المفصل على القضيب.

تتحرك سيارة شرطة )C( على طريق مستقيم بسرعة 25كم/س. شاهدت سيارة أخرى )ب( تتحرك على نفس 6 الطريق بسرعة 75كم/س. أوجد سرعة السيارة )ب( بالنسبة للسيارة )C( عندما:

السيارتان تتحركان فى نفس االتجاه. أ

.)C( تتحرك فى اتجاه مضاد للسيارة )السيارة )ب ب

لهذا االبتدائية السرعة اتجاه نفس ، وفى منتظمة مقدارها 5سم/ث2 بعجلة يتحرك جسيم فى خط مستقيم 7 الجسيم وقدرها 40سم/ث. أوجد:

إزاحته فى نهاية 24 ثانية من بدء الحركة. سرعة الجسم و أ

سرعة الجسم بعد أن قطع مسافة 56 مترا من البداية. ب

تتحرك سيارة فى طريق مستقيم بتقصير منتظم مقداره 14 سم/ث2 ، فتوقفت عن الحركة بعد مرور 20 ثانية من لحظة البداية. أوجد:

مقدار سرعتها االبتدائية. أ

المسافة التي قطعتها خالل نصف دقيقة. ب

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثانية: لاكيملنحدل

المسافة التي قطعتها حتى سكنت. ج

سقط جسم رأسياا إلى أسفل من ارتفاع ما نحو أرض رخوة فغاص فيها مسافة 14سم قبل أن يسكن فإذا كان 9 الجسم يتحرك داخل األرض بتقصير منتظم مقداره 63م/ث2 فما هو االرتفاع الذي سقط منه الجسيم.

قذف جسيم من قمة برج رأسياا إلى أعلى بسرعة مقدارها 24٫5 م/ث فوصل إلى سطح األرض بعد 8 ثوان. 10 أوجد:

أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم عن سطح األرض. ب ارتفاع البرج. أ

المسافة التي يقطعها الجسم خالل هذه المدة. ج

أى من األشكال اآلتية تمثل حركة جسم بسرعة منتظمة 11 المسافة

الزمن

المسافة

الزمن

المسافة

الزمن

شكل )3( شكل )2( شكل )1(

تتساقط قطرات الزيت من إحدى السيارات المتحركة من اليسار إلى اليمين كما بالشكل 12

بمالحظة قطرات الزيت فإن السيارة تتحرك:

4 - بعجلة سالبة ثم سرعة منتظمة. 3 - بعجلة سالبة. 2 - بعجلة موجبة. 1 - بسرعة منتظمة.

إن لم تستطع اإلجابة على أحد هذه األسئلة يمكنك األستعانة بالجدول التالي :

إذا لم تستطع حل السؤال رقم

12345678910111213

80162634373760667076775666ارجع إلى

9 كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

سختبارقتاسكمي

إجابات بعض التمارين العامة

2 ع E = - 20 ى M 10 = بC ع 1

10ث، 5 2م/ث ، 10م 4ع = 49م/ث ،  ف = 122.5 مترا 7

20 ثانية7 = K  ،  ع0 = 21م/ث 9

100 = 20ث ،  ف2 = 8 * 10 = 80م5 = 1K 11

100 + 80 = 6م/ث10 + 20

` عم =

K 1003  ،  ف2 = 1000

60 ف1 = 12 ساعة ، ف1 = 30كم

12 = K ف2 - ف1 = 30000 ومنها

عCب = 130 = عC + ع ب  ،  C42 = 180 + ع ب 13بحل المعادلتين عC = 50كم /س  ،  ع ب = 80كم/س

110 = عC + 30  أى أن عC = 80كم/س 14ع = 7 + 4 * 6 = 31م/ث، 15

* 4 * 36 = 114م.12 ف = 7 * 6 +

112 * /

ثانية، 0 = 8 + جـ25 = K `  K20 + 0 = 8 16

م/ث21

14 - = /

` جـ

م،85 =

425 * 20 *

12 ف1 =

)112(2 = 528م1

14 * 12 ف2 = 8 * 122 -

بالنسبة للحركة المتسارعة: 17a ع2 = ع20 + 2 جـ ف ،

= 15م/ث5

18   ع = 24 *

` )15(2 = 0 + 2جـ * -15

` جـ = 0.75م/ث2

K ع = ع0 + جـ a

` K = 20 ثانية K 0.75 + 0 = 15 `

بالنسبة للحركة ذات السرعة المنتظمة

= 20 ثانية ، 30015 =

فع =K

بالنسبة للحركة التقصيرية : ع2 = ع20 + 2جـ ف

( ف 3 - 2 ` صفر = )15(2 + 2 )

` ف = 75م،

K ع = ع0 + جـ a

` K= 10 ثوان. K) 3 - 2 ` صفر = 15 + )

150 + 300 + 75 = 10.5م/ث.10 + 20 + 20

السرعة المتوسطة =

مكيماايرلا

تطبيقات الرياضيات - علمى60

50

بعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها، يتوقع من الطالب أن:

ف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية. � يتعريتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر. �نقاط � جميع كانت إذا تحدث االنتقالية الحركة أن يدرك

الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.يميز بين اإلزاحة والمسافة. �الحركة � - السرعة )متجه المنتظمة السرعة مفهوم يتعرف

السرعة متجه - المتوسطة السرعة متجه - المنتظمة اللحظية- السرعة النسبية - وحدات قياس السرعة(.

� ،)Average velocity( يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطةومقدار السرعة المتوسطة)Average speed( فى حالة الحركة

الخطية فى اتجاه متجه ثابت.نمذجة � فى والعجلة النسبية السرعة ، السرعة مفاهيم يطبق

حركة - الصواريخ )حركة تشمل: وحياتية فيزيائية مواقف الطيران - األقمار الصناعية ( فى صورة أنشطة .

يتعرف مفهوم السرعة النسبية. �

يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة - وحدات �، ن2 جـ 12 + ن ع0 = ف ، ن جـ + ع0 = ع العجلة قياس

2ع + 2جـ ف0

ع2 = يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. �يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة �

المنتظمة.تأثير الجاذبية األرضية � الرأسية تحت يتعرف قوانين الحركة

فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.يتعرف الجاذبية األرضية )قانون نيوتن للجذب العام (. ثابت �

الجذب العام.منحنى � ، الزمن مع اإلزاحة لمنحنى البياني التمثيل يتعرف

السرعة مع الزمن.يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة �

مع الزمن والسرعة مع الزمن فى صورة أنشطة.

يختص علم الديناميكا بدراسة حركة األجسام والقوى المسببة لهذه الحركة حيث ينقسم إلى الكينماتيكا والكيناتيكا وسوف نقتصر فى هذه

الوحدة على دراسة الكينماتيكا kinematics ذلك العلم الذى يصف حركة األجسام دون األخذ فى االعتبار للقوى المؤثرة عليها، وجدير بالذكر

أن الكينماتيكا لها أهميتها التطبيقية فى حياتنا العملية مثل حساب خسوف الشمس وكسوف القمر قبل حدوثهما - إمكانية توجيه قذيفة إلى

هدف ما بدقة كافية - تحديد مسار مركبة فضائية أو قمر صناعى وتحديد نقطة نزوله على األرض- تصميم جميع اآلالت الميكانيكية، ومن هنا

سنتناول فى هذه الوحدة دراسة حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسبباتها.

مقدمة الوحدة

مخرجات التعلم

الديناميكا Dynamics

دةوحال

الثانية

50

بعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها، يتوقع من الطالب أن:

ف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية. � يتعريتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر. �نقاط � جميع كانت إذا تحدث االنتقالية الحركة أن يدرك

الجسم تتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.يميز بين اإلزاحة والمسافة. �الحركة � - السرعة )متجه المنتظمة السرعة مفهوم يتعرف

السرعة متجه - المتوسطة السرعة متجه - المنتظمة اللحظية- السرعة النسبية - وحدات قياس السرعة(.

� ،)Average velocity( يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطةومقدار السرعة المتوسطة)Average speed( فى حالة الحركة

الخطية فى اتجاه متجه ثابت.نمذجة � فى والعجلة النسبية السرعة ، السرعة مفاهيم يطبق

حركة - الصواريخ )حركة تشمل: وحياتية فيزيائية مواقف الطيران - األقمار الصناعية ( فى صورة أنشطة .

يتعرف مفهوم السرعة النسبية. �

يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة - وحدات �، ن2 جـ 12 + ن ع0 = ف ، ن جـ + ع0 = ع العجلة قياس

2ع + 2جـ ف0

ع2 = يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. �يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة �

المنتظمة.تأثير الجاذبية األرضية � الرأسية تحت يتعرف قوانين الحركة

فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.يتعرف الجاذبية األرضية )قانون نيوتن للجذب العام (. ثابت �

الجذب العام.منحنى � ، الزمن مع اإلزاحة لمنحنى البياني التمثيل يتعرف

السرعة مع الزمن.يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة �

مع الزمن والسرعة مع الزمن فى صورة أنشطة.

يختص علم الديناميكا بدراسة حركة األجسام والقوى المسببة لهذه الحركة حيث ينقسم إلى الكينماتيكا والكيناتيكا وسوف نقتصر فى هذه

الوحدة على دراسة الكينماتيكا kinematics ذلك العلم الذى يصف حركة األجسام دون األخذ فى االعتبار للقوى المؤثرة عليها، وجدير بالذكر

أن الكينماتيكا لها أهميتها التطبيقية فى حياتنا العملية مثل حساب خسوف الشمس وكسوف القمر قبل حدوثهما - إمكانية توجيه قذيفة إلى

هدف ما بدقة كافية - تحديد مسار مركبة فضائية أو قمر صناعى وتحديد نقطة نزوله على األرض- تصميم جميع اآلالت الميكانيكية، ومن هنا

سنتناول فى هذه الوحدة دراسة حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسبباتها.

مقدمة الوحدة

مخرجات التعلم

الديناميكا Dynamics

دةوحال

الثانية

إجابة الختبار التراكمى

أكبر محصلة = 24 نيوتن أ 1أصغر محصلة = 8 نيوتن ب

256 + 64 + 2 * 16 * 8 جتا 120 = ج = جـ

3 نيوتن، وتصنع c30 مع القوة 16 نيوتن 8 =

2 جتا c225 = 5 نيوتن، 2 + c135 2 جتا 5 + 12 = M 2

2 جتا c225 - 8 = -5 نيوتن 2 جا 135 + 2 5 N

c315 2 نيوتن، وتعمل مع القوة األولى زاوية قياسها ح = 5

و

جا )c30+ هـ( 3 12

جا )180 - هـ( = 12

c150 جا 3

c60 = ومنها ق = 24 نيوتن ، هـ

90

c60 جا =

X

c150 جا =

S

c150 جا 4

3 نيوتن 30 = X = S ومنها

بفرض أن طول القضيب 2ل ورد الفعل S ، والقوة X فإن: 5

ومنها X = 2 ف كجم،Xل =

S

ل 5 = 4

2ل

5 ف كجم 2 = S

ب ع ب C = 100كم/س ع ب C = 50كم/س أ 6

ع = 40 + 5 * 24 = 160سم ث، أ 7 * 5 * )24( = 2400سم

12 ف = 40 * 24 +

ع2 = )40(2 + 2 * 5 * 5600 ومنها ع = 240 سم/ث ب

0 = ع0 - 14 * 20 ومنها ع0 = 280سم/ث أ 8

* 14 * )30(2 = 2100سم12 ف = 280 * 30 - ب

0 = )280(2 - 2 * 14ف ومنها ف = 2800سم جـ

الحركة داخل األرض: 0 = ع2 - 2 * 3600 * 14 9ومنها ع2 = 176400

السقوط الحر: 17600 = 0 + 2 * 980 ف ومنها ف = 90سم

* 9.8 * 64 = -117.6م12 ف = 24.5 * 8 - أ 10

أرتفاع البرج = 117.6 متر

K 9.8 - 24.5 = 0 ومنها K = 2.5 ثابتة ب

30 متر58 0 = )24.5(2 - 2 * 9.8 ف ومنها ف = جـ

اال اقجلااقرناق

61 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 2

بعد دراسة هذه الوحدة وتنفذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن:

يعرف النقطة والمستقيم والمستوى فى الفراغ. �الهرم � - المنتظم الهرم - )الهرم المجسمات بعض يتعرف

القائم - المخروط - المخروط القائم( ، وخواص كل منها.الهرم � من لكل الكلية والمساحة الجانبية المساحة يستنتج

القائم - المخروط القائم.يستنتج حجم كل من الهرم القائم - المخروط القائم. �

يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها، وطول �نصف قطرها.

يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة. �قطرها � نصف وطول الدائرة، مركز من كل إحداثيات يعين

بمعلومية الصورة العامة لمعادلة الدائرة.ينمذج مواقف رياضية باستخدام قوانين الهندسة. �

والمعابد األهرامات وبناء األراضى تحديد مساحات فى المصريين قدماء فاستخدمها العملية، بالناحية مرتبطة بدايتها فى الهندسة نشأت

فأوجدوا مساحات بعض األشكال وحجوم بعض المجسمات. وعندما زار طاليس )640 - 546 ق.م( اإلسكندرية راقت له طرق المصريين فى

قياس األرض وأطلق عليها كلمة Geo-metron المأخوذة عن اللغة اليونانية والمكونة من كلمتى Geo وتعنى األرض، metron وتعنى قياس

واهتم بدراسة الهندسة على أنها تعبيرات صريحة مجردة خاضعة للبرهان.

تطورت الهندسة على يد اإلغريق )طاليس - فيثاغورث- إقليدس( بظهور سلسلة من النظريات المبنية على بضع مسلمات وتعاريف مرتبة فى

نظام منطقى دقيق ضمنه إقليدس فى كتابه األصول المكون من 13 جزءا، واستمرت اإلسكندرية منارة المعرفة إلى أن جاء العرب، وحفظوا

ذلك التراث بترجمته إلى اللغة العربية وأضافوا إليه إضافات كثيرة ونقلوه إلى أوربا فى القرن الثانى عشر.

فى القرن السادس عشر بدأ عصر النهضة فى الرياضيات وميالد علوم جديدة فقدم ديكارت )1596-1650( أسس الهندسة التحليلية وقام

Euler بتمثيل المعادالت بأشكال بيانية وهندسية والتعبير عن األشكال بمعادالت، واستخلص معادلة الدائرة س2 + ص2 = نق2 كما توصل أويلر

إلى وجود عالقة بين عدد األوجه وعدد الرؤوس وعدد األحرف ألى مجسم قاعدته منطقة مضلعة وهى:

عدد األوجه + عدد الرؤوس = عدد األحرف + 2.

مقدمة الوحدة

مخرجات التعلم

الهندسة و القياسGeometry and Measurement

دةوحال

الثالثة

90

مقدمة الوحدةسبق أن درس الطالب األشكال الهندسية فى بعدين )المضلعات -

الدائرة - القطاع الدائرى - القطعة الدائرية( وعرف خواص كل

متوازى مثل )مجسمات( البعد ثالثية أشكالا درس كما منها،

فى دراسته الطالب يستكمل وسوف والمكعب، المستطيالت

والمخروط المنتظم، الهرم مثل أخرى لمجسمات الوحدة هذه

منهما، لكل والحجم الكلية المساحة ويتعرف القائم، الدائرى

لمعادلة العامة الصورة ويتعرف الدائرة، معادلة يدرس كما

الدائرة؛ ليطبق كل مادرسه بالهندسة والقياس فى نمذجة مواقف

رياضية وحياتية واستخدامها فى حل المشكالت.

وتتضمن هذه الوحدة أربعة دروس هى:

الدرس األول: المستقيمات والمستويات فى الفراغ.

الدرس الثاني: الهرم والمخروط.

الدرس الثالث: المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم

والمخروط.

الدرس الرابع: حجم الهرم والمخروط القائم.

الدرس الخامس: معادلة الدائرة.

أهداف الوحدةبعد دراسة هذه الوحدة و تنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن:

يعرف النقطة و المستقيم و المستوى. �يتعرف بعض المجسمات )الهرم - الهرم المنتظم - الهرم القائم - �

المخروط - المخروط القائم( ، وخواص كل منها.� - القائم الهرم لكل من الكلية والمساحة الجانبية المساحة يستنتج

المخروط القائم.يستنتج حجم كل من الهرم القائم - المخروط القائم. �وطول � مركزها، من كل إحداثيات بداللة الدائرة معادلة يوجد

نصف قطرها.يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة. �يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة، وطول نصف قطرها بمعلومية �

الصورة العامة لمعادلة الدائرة.ينمذج مواقف رياضية باستخدام قوانين الهندسة �

الوحدة الثالثة

الهندسة والقياس Geometry and Measurement

تطبيقات الرياضيات - علمى62

دروس الوحدة

المصطلحات األساسية

دروس الوحدة

األدوات والوسائل

مخطط تنظيمى للوحدة

Ñ أدوات هندسيةÑ آلة حاسبة علميةÑ برامج رسومية للحاسوب

المستقيمات والمستوى الدرس )3 - 1(:

الهرم والمخروط. الدرس )3 - 2(:

المساحة الجانبية والمساحة الكلية للهرم والمخروط. الدرس )3 - 3(:

حجم الهرم والمخروط الدرس )3 - 4(:

معادلة الدائرة. الدرس )3 - 5(:

Ñ The point النقطة Ñ Straight line المستقيم Ñ plane المستوى Ñ Space الفراغ Ñ Vertex رأس Ñ Base قاعدة Ñ Axis محور Ñ Circle دائرة Ñ Center مركز

Ñ Radius نصف قطر Ñ Diameter قطر Ñ Pyramid هرم Ñ Cone مخروط Ñ Lateral face وجه جانبى Ñ Lateral edge حرف جانبى Ñ Height ارتفاع Ñ Slant height ارتفاع جانبى Ñ Regular pyramid هرم منتظم

Ñ Right pyramid هرم قائم Ñ Net of a pyramid شبكة هرم Ñ مخروط دائرى قائم

Right circular cone Ñ Lateral area مساحة جانبية Ñ )مساحة كلية )سطحية

Surface area

المستقيمات والمستويات

مفاهيم ومسلمات

المستقيمات والمستويات فى الفراغ

عالقة مستقيم بمستقيم

عالقة مستقيمبمستوى

عالقة مستوىبمستوي أخر

أشكال ثنائية البعدأشكال ثالثية األبعاد )المجسمات(

المضلعاتالهرم الدائرةالمخروط

الحجم

القطاع الدائرى

معادلة الدائرةتطبيقات حياتية

المساحة السطحية )الكلية(

91

زمن تدريس الوحدة8 حصص

مهارات التفكير التى تنميها الوحدةالتفكير الستدللى - التفكير الناقد - التفكير المنطقى

-حل المشكالت - التفكير اإلبداعى فى الرياضيات.

الوسائل التعليمية المستخدمة:سبورة تعليمية - طباشير ملون )أقالم ملونة( - حاسب آلى - جهاز

آلة حاسبة - - برامج رسومية - مجسمات هندسية بيانات عرض

علمية. أدوات هندسية

طرق التدريس المقترحة - الذهنى العصف - المناقشة - المحاضرة - التعاونى التعليم

الطريقة الستقرائية - الطريقة الستنتاجية - الكتشاف الموجه

- حل المشكالت.

طرق التقييم المقترحةوبعد أثناء وفى قبل وجماعية فردية وتحريرية شفهية أسئلة

الدرس أو األنشطة المقترحة - تمارين عامة واختبار تراكمى فى

نهاية الوحدة.

المخطط التنظيمى للوحدة:المفاهيم بعض الوحدة لهذه التنظيمى المخطط يتناول

البعد ثنائية األشكال سواء والمستويات للمستقيمات األساسية

والمخروط، كالهرم البعد ثالثية أو والدائرة المضلعات مثل

الموضوعات بعض خالل من والمستويات المستقيمات ونتناول

الفراغ وعالقة مستقيم بمستقيم كالمستقيمات والمستويات فى

حياتية بتطبيقات ونختمها آخر بمستوى مستوى وعالقة آخر

متنوعة.

63 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

الوحدةالثالثة

1 سدرال

سوف تتعلم

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائل

الم�ستقيمات والم�ستويات فى الفراغ3 - 1The lines and the planes in a space

فكر و ناقش

سبق أن درست بعض المفاهيم الرياضية حول كل من النقطة، والمستقيم، والمستوى

فهل يمكنك اإلجابة عن األسئلة اآلتية:

بم تمثل مدينتك على خريطة جمهورية مصر العربية؟ ½

كم عدد النقاط التى تكفى لرسم خط مستقيم؟ ½

ماذا يمثل لك كل من: أرضية الفصل الدراسى - سطح المنضدة - سطح الحائط. ½

ماذا يمثل لك كل من: سطح الكرة - سطح قبة المسجد - سطح أسطوانة الغاز. ½

نشاط

ارسم نقطتين مختلفتين على ورق مقواة مثل C ، ب.

استخدم المسطرة؛ لتصل النقطتين C، ب ومدهما على نفس االستقامة.

حاول أن ترسم مستقيما آخر يمر بنفس النقطتين C، ب هل يمكنك ذلك؟

ماذا نستنتج من هذا النشاط؟

نشاط

على ليست جـ ب، ،C نقاط ثالث ارسم

استقامة واحدة كما فى الشكل الجانبي

شكل على المقوى الورق من قطعة ضع

C ب مستطيل بحيث ينطبق أحد أبعادها على

C ب حتى ينطبق على النقطة جـ. حرك مستوى الورقة؛ لتدور حول

كم وضعا تنطبق فيه النقطة جـ على مستوى الورقة خالل دوران الورقة دورة كاملة؟ ½

Cب

C

بجـ

مفاهيم ومسلامت هندسية �العالقة بني مستقيمني ىف الفراغ �العالقة بني مستقيم ومستوى �

ىف الفراغاألوضاع املختلفة ملستويني. �

� Point النقطة � Straight line املستقيم � Plane املستوى � Space الفراغ

آلة حاسبة علمية �برامج رسومية للحاسوب �أدوات هندسية �

تطبيقات الرياضيات - علمى 92

مسلمات هندسية:ا إذا علم عليه نقطتان مختلفتان. ½ يتحدد الخط المستقيم تحديدا تام

ا بإحدى الحاالت اآلتية: ½ يتحدد المستوى تحديدا تام

C

ب

M

جـ

ثالث نقط ليست على استقامة واحدة

CبM

جـ

مستقيم ونقطة التنتمى إليه

M

C

ب جـ

د

مستقيمان متقاطعان

Cبدجـ

M

مستقيمان متوازيان

أى نقطة فى الفراغ يمر بها عدد النهائى من المستويات. ½

المستوى Plane: هو سطح الحدود له بحيث إن المستقيم المار بأى نقطتين M فيه يقع بأكمله على ذلك السطح. ففى الشكل الجانبي يرمز للمستوى بالرمز

أو N أو ع أو.. أو يرمز له بثالثة أحرف على األقل مثل C ب جـ ،.... وهو بال

حدود من جميع جهاته ويمثل على شكل مثلث أو مربع أو مستطيل أو متوازى

أضالع أو دائرة أو...

والمستويات األشكال جميع يحتوى الذى وهو النقاط، من منتهية غير مجموعة هو :Space )الفضاء( الفراغ والمجسمات محل الدراسة.

مثال

تأمل الشكل المقابل، ثم أجب عن األسئلة اآلتية: 1

.C اكتب ثالثة مستقيمات تمر بالنقطة أ

اكتب المستقيمات التى تمر بالنقطتين C ، ب معا. ب

.C اكتب ثالثة مستويات تمر بالنقطة ج

اكتب ثالثة مستويات تمر بالنقطتين C ، ب معا. د

الحل

C ب ب E C ، /

C C C ب ، أ

E ـ C ب ب, C ب جـ ، C ب ج د EE C ، ب جـ C ، ب ب C ج

C

بMج

E

C

جـب

E

جـ/E

ب/

/

C

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لوتسما ىو الوتسملاو ام لتسملا

93

3 3

خلفية

من كل حول الرياضية المفاهيم بعض الطالب درس أن سبق

النقطة والمستقيم والمستوى، واآلن سوف يتعلم كيف يمكن

و مستقيم بين و مستقيين بين والعالقة المستوى يتعين أن

مستوى وبين مستويين فى الفراغ.

 مخرجات التعلم

فى نهاية هذا الدرس وتنفيذا لألنشطة فيه، من المتوقع أن يكون

الطالب قادرا على أن:

يتعرف كيفية تعني املستوى . �يوجد العالقة من مستقيمني ىف الفراغ. �يوجد العالقة بني مستقيم و مستوى ىف الفراغ. �يوجد العالقة بني مستويني ىف الفراغ. �حيل مسائل متعلقة باملستقيامت و املستويات ىف الفراغ . �

 الوسائل التعليمية المستخدمة:

السبورة التعليمية - طباشير ملون - ادوات هندسية - آله حاسبة

علمية.

 مصادر التعلم:

الدولية الشبكة ،99 صفحة إلى 94 صفحة من الطالب كتاب

للمعلومات )النترنت(.

التهيئة

إلى � للوصول إجاباتهم اآلتية وناقش السئلة اطرح على طالبك

مفاهيم أساسية:

ماذا يمثل لك احد حوائط الغرفة ؟ )مستوى ( �

ماهو تقاطع حائطين متجاورين )مستقيم( �

ما هو تقاطع حائطين متجاورين مع سقف الحجرة )نقطة( �

إجراءات الدرسالنقطة � عن األساسية المفاهيم بعض طالبك إلى وضح

والمستقيم والمستوى من خالل نشاط )1( و نشاط )2(.

النقطة � ناقش مع طالبك مثال )1( الذى يوضح العالقة بين

والمستقيم و المستوى من خالل المفاهيم التى تعرف عليها

الطالب )األنشطة السابقة(.

الم�ستقيمات و الم�ستويات فى الفراغ The line and the plane in a space

تطبيقات الرياضيات - علمى64

حاول أن تحلتأمل الشكل المقابل ثم أجب عن األسئلة اآلتية: 1

.Cكم عدد المستقيمات بالشكل؟ اذكر المستقيمات التى تمر بنقطة أ

.Cكم عدد المستويات بالشكل؟ اذكر ثالثة منها تمر بالنقطة ب

العالقة بين م�ستقيمين فى الفراغتأمل األشكال اآلتية ثم أكمل:

M)1(

ل1

ل2C

M)2(

ل1

ل2

M)3(

ل1

ل2

1- المستقيمان المتقاطعان: هما مستقيمان يقعان فى نفس ....................... ويشتركان فى .......................

2- المستقيمان المتوازيان: هما مستقيمان يقعان فى نفس ....................... واليشتركان فى .......................3- المستقيمان المتخالفان: هما مستقيمان اليمكن أن يحتويهما .......................

تفكير ناقد: المستقيمان المتخالفان غير متقاطعين وغير متوازيين. فسر ذلك.

العالقة بين م�ستقيم وم�ستوى فى الفراغ تأمل األشكال اآلتية ثم أكمل:

M)2(

ل

M)1(

لC

ب

M)3(

ل

C

المستقيم مواز للمستوى كما فى شكل ....................... ½

المستقيم قاطع للمستوى كما فى شكل ....................... ½

المستقيم محتوى فى المستوى كما فى شكل ....................... ½

C

جـب

E

م

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

94

� )1( تحل أن حاول بند فى ورد ما حل طالبك إلى اطلب

صفحة )96( و ناقش معهم الحلول التى توصلوا إليها.

إجابات

عدد المستقيمات بالشكل 8 أ

3 C عدد المستقيمات التى تمر بالنقطة

عدد المستويات بالشكل 5 ب

E ج C ، E C ب ، م C هى م C المستويات التى تمر بالنقطة

تمارين إثرائية :

أكمل ما يأتى:

أى نقطة فى الفراغ يمر بها عدد ................. من المستقيمات -1

أى نقطة فى الفراغ يمر بها عدد ................. من المستويات -2

عدد المستقيمات التى تمر بنقطتين C , ب ................. -3

عدد المستويات التى تمر بنقطتين C , ب ................. -4

عدد المستويات التى تمر بثالث فقط -5

أ-  على استقامة واحدة .................

ب- ليست على استقامة واحدة .................

ليست فى مستوى نقاط بأربع تمر التى المستويات عدد -6

واحد ............

العالقة بين مستقيمين فى الفراغ

ناقش مع طالبك الموضوعات التالية من خالل عمل عصف ذهني

لديهم.

تحديد مستقيمين متقاطعين ويشكالن مستوى. �

تحديد مستقيمين متوازيين ويشكالن مستوى. �

تحديد مستقيمين متخالفين و )ل يجمعهما مستوى واحد(. �

فى بند تفكير ناقد أشر إلى اآلتى:

إن لم يكن المستقيمان متوازيين أو متقاطعين )أى ل يجمعهما �

مستوى واحد( فهما متخالفان.

العالقة بين مستقيم و مستوى فى الفراغ

ناقش مع طالبك اآلتي: �

تحديد مستقيم واقع فى جدار من جدران الحجرة. -1

تحديد مستقيم مواز لجدار الحجرة. -2

تحديد مستقيم قاطع لجدار الحجرة. -3

موتسملا و ت موتسملا و تا مقتسمل

65 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

س درال

الأو�ساع المختلفة لم�ستويينتأمل األشكال اآلتية ثم أكمل:

M

N

)1(N

C

بN

)2(

N

M

)3(

المستويان متوازيان كما فى الشكل .................... ½

المستويان منطبقان كما فى الشكل .................... ½

المستويان متقاطعان كما فى الشكل .................... ½

مثال

تأمل الشكل المقابل ثم أكمل مايأتى: 2

المستوى م C ب ∩ المستوى م ب جـ = ................... أ

المستوى م ب جـ ∩ المستوى C ب جـ = ............... ب

م ب ∩ المستوى C ب جـ = ....................... ج

C ب = ............... ∩ د م جـ

المستوى م C ب ∩ المستوى م ب جـ ∩ المستوى م C جـ = ....................... ه

الحل

} ب{ ج ـ ب ج ب م ب أ

}م{ ه z ألنهما مستقيمان متخالفان د

حاول أن تحلتأمل الشكل المقابل ثم أكمل مايأتى: 2

∩ المستوى ب جـ جـ/ ب/ = ......................./

C /ب ب C المستوى أ

ب/ جـ/ = ......................./

C ب جـ ∩ المستوى C المستوى ب

/جـ/ = .......................

C ∩ جـ C ج

ب ب/ ∩ المستوى C ب جـ = ....................... د

C

ب

جـ

م

C

ب

جـ

جـ/

ب/

/

C

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لوتسما ىو الوتسملاو ام لتسملا

95

3 3

تمـــاريــن )3 - 1(

أكمل مايأتى:....................... = M ∩فإن ل ، M إذا كان المستقيم ل // المستوى 1

....................... = M ∩ فإن ل M إذا كان المستقيم ل ⊂ المستوى 2

إذا كان المستقيم ل1 // المستقيم ل2 فإن ل1 ∩ ل2 = ....................... 3

N ............M فإن z = N ∩M مستويان حيث N ، M إذا كان 4

المستقيمان المتخالفان هما مستقيمان ليسا ....................... أو ....................... 5

اذكر عدد المستويات التى تمر بكل من: نقطتين مختلفتين . ب نقطة واحدة معلومة. أ

ثالث نقط ليست على استقامة واحدة. د ثالث نقط على استقامة واحدة. ج

أربع نقط ليست فى مستوى واحد ه

تأمل الشكل المقابل ثم أكمل باستخدام أحد الرموز ) ∋ أو ∌ أو ⊂ أو ⊅( M ............ C ب M ............ ل أ

N ............ ب جـ د N ............ جـ ج

فى الشكل المقابل: ، N∉ ب ، M∈ ل ، ب ∈ C ، مستويان متقاطعان فى المستقيم ل N ، M

جـ∋ N ، جـ∌ M أكمل مايأتى:

المستوى M ∩ المستوى C ب جـ = ........................... أ

المستوى N ∩ المستوى C ب جـ = ........................... ب

المستوى M ∩ المستوى N ∩المستوى C ب جـ = ........................... ج

تأمل الشكل المقابل ثم أكمل مايأتى: 9 المستوى C ب جـ E // المستوى ........................... أ

ـ ب // المستوى ........................... المستوى ب جـ ج ب

........................... = E ب جـ C المستوى∩ C ب ب Cالمستوى ج

........................... = E جـ جـ E المستوى ∩ C ب ب C المستوى د

............ = C E E C المستوى ∩ E ب جـ C المستوى ∩E جـ جـ E المستوى ه

C

N M

ب

ل

جـ

C

لب

جـN

M

C

جـب

E

جـ//

E

ب/

/

C

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

9

حدد مع طالبك داخل الحجرة الدراسية:

مستويين متوازيين. �

مستويين متطبقين )السبورة، مستواها( �

مستويين متقاطعين. �

ناقش مع طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل )2( و تابع �

إجابتهم.

إجابات:

z ب ب ب أ

}ب{ د z ج

اجابات تمارين )1-3(

z = M ∩ فان ل M إذا كان المستقيم ل // لمستوى 1

إذا كان المستقيم ل ⊂ المستوى M فان ل ∩ M = المستقيم ل 2

z = 2إذا كان المستقيم ل1 // المستقيم ل2 فان ل1 ∩ ل 3

z = N ∩ M حيث مستويان ص ،M كان إذا 4

N // M فان

المستقيمان المتخالفان هما مستقيمان ليسا متقاطعين و ليسا 5

متوازيين ول يجمعهما مستوى واحد

6

عدد لنهائي ب عدد لنهائي أ

مستوى واحد فقط د عدد لنهائي ج

أربع مستويات ه

د ⊅ ج ∌   ب ∋     ⊃ أ 7

}C{ ج     C جـ ب     C ب أ 8

C ب ج    E E C C ب     

E ب جـ C أ 9

}E{ ه z د

د ✗ ج ✓   ب ✓     ✓ أ 10

و ✓    ✓ ه

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى66

ضع عالمة )�( أمام العبارة الصحيحة و عالمة )�( أمام العبارات الخاطئةفيما يلي بفرض أن ل1 ، ل2 مستقيمان، 10 N،M مستويان:

إذا كان ل1 ∩ لz =2  فإن ل1 // ل2 أو ل1 ، ل2 متخالفان أ

M ⊃ 2ل2 فإن ل = M ∩ 2إذا كان ل ج M // 1فإن  ل z = M ∩ 1إذا كان ل ب

N // M فإن z = N ∩ M إذا كان ه z = N ∩ 2فإن ل N ⊃ 2إذا كان ل د

إذا كان N = M فإن N ، M منطبقان و

اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي:

أى أربع نقط ليست فى مستوى واحد تعين لنا: 11 ال تعين مستو د اربع مستويات ج ثالث مستويات ب مستويان أ

إذا اشترك مستويان فى نقطتين C ، ب فإنهما: 12 C ب متقاطعان فى ب متطابقان أ

C ب يشتركان فى نقطة ثالثة ال تقع على د C ب متقاطعان فى مستقيم مواز ج

C ب توازي المستوى M إذا كان 13

M ب تقعان فى جهتين مختلفتين من ، C ب z = M ∩ ب C أ

z = M ∩ ب C د M ب على بعدين مختلفين من المستوى ، C ج

المستقيمان ل1 ، ل2 متوازيان إذا كان 14 ل1 ∪ ل2 يقعان من مستوى واحد ب z =2ل1 ∩ ل أ

إذا كان ل1 ∩ لz =2 ، ل1 ، ل2 يجمعهما مستوى واحد. ج

إذا كان ل1 ∩ لz =2 ، ل1 ، ل2 ال يجمعهما مستوى واحد. د

يكون المستقيمان متخالفين إذا كانا 15 غير منطبقين. ب غير متوازيين. أ

يقعان فى مستوى واحد. د اليجمعهما مستوى واحد. ج

تفكير ابداعىبين بالرسم أنه إذا تقاطعت ثالثة مستويات مثنى مثنى فإن مستقيمات تقاطعها إما أن تتوازى أو تتالقى فى 1

نقطة واحدة:

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لوتسما ىو الوتسملاو ام لتسملا

9

3 3فى بند )التفكير اإلبداعى(

الطالب على قدرة تنمية اإلبداعى هو التفكير من الهدف 16

فإن مثنى، مثنى مستويات ثالثة تقاطعت إذا بأنه التخيل

تتقاطع أو )1( تتوازى كما فى شكل أما تقاطعها خطوط

ا كما فى شكل)2(. فى نقطة واحدة و تكون هرما

شكل )2(شكل )1(

ألن األرض؛ سطح على أرجل بثالثة الطاولة تستقر أ 17

أطراف األرجل تمثل ثالث نقاط ليست على استقامة

واحدة.

ب الطاولة ذات األربع أرجل ل تستقر على سطح األرض بالضرورة، ألن األربع نقاط ليس بالضرورة أن تكون

مستوى )المستوى يتحدد بثالث نقاط فقط(.

ب أسئلة إثرائية للطالب:.

أمام )✗( وعالمة الصحيحة، العبارة أمام )✓( عالمة ضع

العبارة الخطأ :

)✗( أى ثالث نقط تعين مستوى. 1

أربعة تحدد واحد مستوى فى ليست نقاط أربع أى 2

)✓( مستويات.

ب E= } م { إذا كان C ب جـ E شكل رباعى فيه C جـ ∩ 3

)✓( فإن اضالع الشكل تقع فى مستوى واحد.

)✓( تنطبق المستويات إذا اشتركت فى ثالث نقاط. 4

)✗( أى نقطتين يمر بها مستوى واحد فقط. 5

)✓( جميع المستقيمات الرأسية متوازية. 6

)✓( جميع المستقيمات األفقية متوازية. 7

إذا اشترك مستقيم ومستوى فى نقطتين مختلفين، 8

)✓( فإن المستقيم يقع بتمامه فى المستوى.

أربعة مستويات أ 7

C ب متقاطعان فى ب

z= M ∩ ب C ج

z ، ل1، ل2 يجمعهما مستوى ∩ ل2 = د إذا كان ل1 واحد.

ل يجمعهما مستوى واحد. ه

موتسملا و ت موتسملا و تا مقتسمل

67 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

س درال

الوحدةالثالثة

2 سدرال

سوف تتعلم

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائل

2 - 3تصنع العديد من العبوات بطى ورق الكرتون

لتعبئة البعد ثالثية أشكال إلى المسطح

فتشغل تسويقها قبل المصانع منتجات

متوازى ، المكعب مثل ، الفراغ من حيزا

المستطيالت ، ...

كم وجها للمكعب؟ وكم رأسا له؟ ½

كم حرفا لمتوازى المستطيالت؟ ½

هل جميع أوجه المكعب متطابقة؟ ½

فسرإجابتك.

نسمى الشكل الذى يمكن طيه لتكوين مجسم

بشبكة المجسم، ومنها نستنتج خواص المجسم.

دائرية أسطوانة شبكة المقابل الشكل يبين قائمة ، الحظ:

قاعدتى األسطوانة متطابقتين، وكل منهما - 1على شكل دائرة.

قبل طيه هو لألسطوانة الجانبى السطح - 2فيكون 10سم ، 44سم بعداه مستطيل

ارتفاع األسطوانة 10سم.

ما طول نصف قطر قاعدة األسطوانة؟

فكر:هل يمكنك معرفة اسم المجسم الذى يمكن تكوينه من

طى الشبكة المقابلة؟ استنتج بعض خواصه.

هل يمكن رسم أكثر من شبكة للمجسم الواحد؟

فسر إجابتك.

10 سم

44 سم

الهرم والمخروطPyramid and Cone

وجه

حرف رأس

خواص بعض املجسامت �اهلرم- اهلرم املنتظم - اهلرم القائم

- املخروط - املخروط القائم.مفهوم شبكة املجسم واستنتاج �

خواص املجسم من شبكته - رسم شبكة جمسم.

نمذجة و حل مشكالت رياضية �و حياتية باستخدام خواص اهلرم

و املخروط القائم.

� Pyramid هرم � Cone خمروط � Lateral face وجه جانبى � Lateral edge حرف جانبى � Height ارتفاع � Slant hieght ارتفاع جانبى � Regular pyramid هرم منتظم � Right pyramid هرم قائم � Net شبكة خمروط دائرى قائم �

Right circular cone

أدوات هندسية �آلة حاسبة علمية �برامج رسومية �

تطبيقات الرياضيات - علمى 9

الهرم والمخروط Pyramid and Cone

خلفية

المستطيل، منها البعد، ثنائية أشكالا الطالب درس أن سبق

وبعض والدائرة، الساقين، المتساوى والمثلث والمربع،

المضلعات المنتظمة، كما درس بعض األشكال ثالثية البعد مثل

الستة أوجهه جميع مجسم أنه وعرف المستطيالت، متوازى

مستطيلة الشكل ، كل وجهين متقابلين منها متطابقان، ويمكن

تعبئة العديد من منتجات المصانع قبل تسويقها فى عبوات على

الكرتون شكل متوازى مستطيالت، تصنع بطى شكل من ورق

سيتعرف الدرس هذا وفى المجسم، بشبكة يعرف المسطح

شبكة طى من صنعها يمكن أخرى، مجسمات على الطالب

مجسم تحوى مثلثات متساوية الساقين ومضلع منتظم أو قطاع

ا على الترتيب. ا أو مخروطاا قائما ا منتظما دائرى ودائرة لتكون هرما

مخرجات الدرس

أن المتوقع من فيه لألنشطة وتنفيذا الدرس هذا نهاية فى

يكون الطالب قادرا على أن:

يتعرف بعض املجسامت)اهلرم - اهلرم املنتظم - اهلرم القائم - �املخروط القائم (وخواص كل منها.

يتعرف مفهوم شبكة املجسم واستنتاج خواص املجسم من شبكته، �ورسم شبكة املجسم.

ينمذج وحيل مشكالت رياضية وحياتية باستخدام خواص اهلرم �املنتظم واملخروط القائم.

مفردات أساسية

هرم - مخروط - وجه جانبى - حرف جانبى - ارتفاع - ارتفاع

جانبى - هرم منتظم - هرم قائم - شبكة مجسم - مخروط قائم.

المواد التعليمية المستخدمة:

عرض جهاز - ملونة( )أقالم ملون طباشير - التعليمية السبورة

بيانات - حاسب آلى- مجسمات هندسية ، أدوات هندسية .

مصادر التعلم:

كتاب الطالب من صفحة 98 إلى صفحة 102 - الشبكة الدولية

للمعلومات )اإلنترنت(.

التهيئة:اسأل طالبك: هل رأيتم أهرامات الجيزة؟ �

ما أكبر هذه األهرامات؟ �

وأوجهه � خوفو هرم لقاعدة التى الهندسية األشكال ما

ا جانبيا لهرم خوفو؟ الجانبية؟ كم وجها

 بعض شبكات الهرم الرباعى

إجابة بند فكر ص 100

المجسم الناتج من طي الشبكة هو الهرم الرباعى، وخواصه �

قاعدته على شكل مربع وأوجهه الجانبية مثلثات متساوية

الساقين، يمكن رسم أكثر من شبكة للهرم موجودة بكتاب

الطالب ص 102

تطبيقات الرياضيات - علمى68

Pyramid الهرم هو مجسم له قاعدة واحدة، وجميع أوجهه األخرى مثلثات تشترك فى رأس واحدة ويسمى هرما ثالثيا أو رباعيا

أو خماسيا... حسب عدد أضالع مضلع قاعدته.

الحظ: فى الشكل المقابل م C ب جـ E هـ هرم خماسى ، رأسه م وقاعدته المضلع C ب جـ E هـ ، أوجهه الجانبية Lateral faces سطوح المثلثات م C ب،

، C م Lateral edges وأحرفه الجانبية ، C هـ ، م هـ E م ، E م ب جـ ، م جـ

. م هـ , E م م جـ ، م ب ،

ارتفاع الهرم height )م ن( هو بعد رأس الهرم عن مستوى قاعدته. االرتفاع الجانبى Slant height )م س( هو بعد رأس الهرم عن أحد أضالع قاعدته.

Regular pyramid الهرم المنتظم هو الهرم الذى قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع العمود المرسوم من رأس الهرم عليها. ف

ريعت

خوا�ص الهرم المنتظم1 - أحرفه الجانبية متساوية الطول.

2 - أوجهه الجانبية سطوح مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة .3 - االرتفاعات الجانبية متساوية.

مالحظة هامة:ا على أى المستقيم العمودى من رأس الهرم على مستوى قاعدته يكون عمودي

مستقيم فيها.م ن عمودى على مستوى القاعدة فإن: ففى الشكل المقابل إذا كان

ن س م ن = ، E ب م ن = C جـ ، م ن =

ويكون المثلث م س ن قائم الزاوية فى ن.

مثال

وارتفاعه 10سم، يساوى قاعدته ضلع طول منتظم رباعى هرم E جـ ب C م 1 12سم ، أوجد ارتفاعه الجانبى .

الحل E ب جـC م ن = المستوى a الهرم رباعى منتظم  `

 حيث ن نقطة تقاطع قطرى المربعCب جـ E ، م ن = 12سم

ب جـ )لماذا؟( م س =  بفرض س منتصف ب جـ   `

 ويكون م س ارتفاع جانبى للهرم المنتظم.

C

جـب

Eنس

هـ

م

تذكر اأن

مضلع هو المنتظم المضلع أضالعه متساوية الطول وزواياه متساوية القياس مركزه هو مركز أو داخله المرسومة الدائرة

خارجه.

C

نس

جـب

E

م

C

س ن

ب

جـ E

م

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

رخهلال مرهلا

99

3 3

إجراءات الدرس هو � الهرم أن لطالبك وضح خوفو لهرم ا نموذجا ا مستخدما

مثلثات األخرى أوجهه وجميع واحدة، قاعدة له مجسم

الهرم ويسمى . الهرم رأس تسمى واحدة رأس فى تشترك

ثالثيا او رباعيا أو ..... حسب عدد أضالع مضلع قاعدته:

استنتج مع طالبك خواص الهرم المنتظم سواء كان ثالثيا أو �

رباعيا أو .......

اترك لهم الفرصة لستنتاج خواص الهرم المنتظم. �

وضح لطالبك أن المستقيم العمودى على مستوى هو عمودى �

األعمدة خالل من المستوى على واقع مستقيم أى على

المقامة داخل الفصل، وبذلك يكون المستقيم العمودى من

رأس الهرم على مستوى قاعدته عموديا على أى مستقيم فيه.

الرتفاع � إليجاد 101 ص مثال)1( حل طالبك مع ناقش

ا فى ذلك العصف الذهنى الجانبى للهرم المنتظم مستخدما

أخطاء شائعة:

قد يخطئ الطالب فى كلمة هرم منتظم، وذكرهم بأن الهرم الذى

قاعدته مضلع له فى ضلع متساوية يوجد به ن مستو للتماثل.

تمارين إثرائية:

1-الشكل المجاور م C ب جـ

هرم ثالثى منتظم طول ضلع

وارتفاع 3 12 قاعدته

الهرم = 6 سم

اوجد:

طول حرفه الجانبي. أ

ارتفاعه الجانبي. ب

اإلجابة

5 سم 6 أ

2 سم 6 ب

)2(

الشكل التالى م C ب جـ هرم منتظم طول حرفه 12 سم.م

12 سم

ن

ب

جـ C

أوجد:

ارتفاع الهرم الجانبى. -1

ارتفاع الهرم. -2

اإلجابة

3 سم ارتفاع الهرم الجانبى = 6

6 سم ارتفاع الهرم = 4

ملحوظة: أن الرتفاع الجانبى للهرم هو أكبر من ارتفاع

الهرم.

م

6 سم

ن

ب

جـ C

2 12

ووررماهو مرهلا

69 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 سدرال

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(أن تحل )1( صفحة بند حاول إلى طالبك حل ماورد فى اطلب

)102( وتابع إجاباتهم:

a م C ب جـ E رباعى منتظم

` قاعدته مربعة الشكل ،

9 مC ب متساوى الساقين.

C ب بفرض س منتصف

C ب م س = `

  ويكون م س = 25سم )ارتفاع جانبى للهرم(

a ارتفاع الهرم المنتظم يمر بمركز قاعدته الهندسية؟

E ب جـ C م ن = المستوى `

حيث ن مركز المربع

فى9 م س ن القائم فى ن

)س ن(2 = )25(2 - )20(2 = 225

` ن س = 15سم

C ب a ن منتصف C جـ ، س منتصف

` ب جـ = 2 س ن = 30سم

أى أن طول ضلع قاعدة الهرم = 30 سم.

.E ب جـ C الشكل التالى يوضح إحدى شبكات الهرم م

الهرم القائموضح لطالبك مفهوم الهرم القائم الوارد فى صفحة 102 �

إجابات بند فكر ص 102

خوا�ص المخروط القائم �ص 102المخروط مشابه للهرم مع فرق واحد وهو أن قاعدته دائرية. �

الدائرة � مركز نقطة وفى الرأس فى يمر الذى المستقيم أن

يسمى محور المخروط.

جـ

نس

ب

CE

م

20 سم

نس

م

2520

2525

25

25

30

30

3030

30

 ، س منتصف ب جـ E ب فى E 9 ب جـ : ن منتصف

1 * 10 = 5سمE 1جـ = 2

` ن س = 2

E ب جـC م ن = المستوى a

` 9 م ن س قائم الزاوية فى ن

  ويكون: )م س(2 = )م ن(2 + )ن س(2 = )12(2 + )5(2 = 169

` االرتفاع الجانبى للهرم = 13سم

.E ب جـ C ويوضح الشكل المقابل إحدى شبكات الهرم م  

حاول أن تحلم C ب جـ E هرم رباعى منتظم ارتفاعه 20سم، وارتفاعه الجانبى 25سم. أوجد طول ضلع قاعدة الهرم. 1

Right pyramid الهرم القائم يكون الهرم قائما إذا كان موقع العمود المرسوم من رأس الهرم على قاعدته يمر بمركزها الهندسى.

فكر:1 - هل الهرم المنتظم هو هرم قائم؟ فسر إجابتك.

2 - هل االرتفاعات الجانبية للهرم القائم متساوية؟مالحظة هامة: يسمى الهرم الثالثى المنتظم، هرما ثالثيا منتظم الوجوه؛ إذا كانت جميع أوجهه مثلثات متساوية

األضالع، ويكون أى منها قاعدة له.

Cone المخروط ، واحدة مغلق ورأس منحنى واحدة على شكل قاعدة له هو مجسم من المرسومة المستقيمة القطع جميع من الجانبى سطحه ويتكون

رأسه إلى منحنى قاعدته، والتى يعرف كل منها براسم المخروط.

Right circular cone المخروط الدائرى القائمهو الجسم الذى ينشأ من دوران مثلث قائم الزاوية دورة كاملة حول أحد ضلعى القائمة كمحور.

خوا�ص المخروط الدائرى القائم.المثلث دوران من ناشئ قائما، دائريا مخروطا المقابل الشكل يوضح

C ب كمحور فنجد: القائم الزاوية فى ب دورة كاملة حول

أثناء ترسم النقطة جـ ، المخروط C رأس ، المخروط راسم C جـ -1طول يساوى قطرها نصف وطول ب نقطة مركزها دائرة الدوران

ب جـ وسطح الدائرة هو قاعدة المخروط.

12 سم

س5 سم ن

م

10

10

10

10

13

13

13

13

رأس المخروط

راسم المخروط

القاعدة

م

C

جـب

نصف قطر دائرة المخروط قاعدة المخروط

رأس المخروط

راسم المخروط

محور المخروط

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

100

القطعة المستقيمة التى تصل رأس المخروط بأى نقطة على �

الدائرة تسمى بإسم المخروط

تمارين إثرائية:

جـ ب C م المقابل: الشكل فى -1

قاعدته قائم، رباعى هرم E

نقطة ن ، E جـ ب C المستطيل

تقاطع قطريه ، م ن = 10سم.

أوجد:

1ـ أطوال ألحرف الجانبية؟ ماذا تالحظ

2ـ ارتفاعته الجانبية.

اإلجابة:

5 1ـ أطوال ألحرف الجانبية = 5

109 , 116 2ـ

C

ن

جـب

E

6 سم

سم 10

8 سم

م

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى70

القائم ومثالى )2( ، )3( � ناقش مع طالبك خواص المخروط

ا شبكة المخروط القائم. صفحة 103 موضحا

التقييم المستمر:)الحوار والمناقشة(

اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل )2( صفحة

)103( وبند حاول أن تحل )3( ص 104 وتابع إجاباتهم.

إجابات حاول أن تحل:

طول ع، = المخروط ارتفاع ، ل = الراسم طول باعتبار 2H = نصف قطر دائرة قاعدته

a ع = 24 سم ، ل = 26سم

` 2H = ل2 - ع2

100 = 2)24( - 2)26( = 

` H = 10سم

محيط قاعدة المخروط = r20 = Hr2 سم 2 Hr = مساحة سطح قاعدة المخروط

= r 100سم2

من شبكة المخروط: 3م C = ل = 21 سم

ارتفاع المخروط = م ن

بفرض أن طول نصف قطر

قاعدة المخروط = H سم

C ب = محيط دائرة قاعدة المخروط ` طول

r18 = Hr2 ويكون

` H = 7سم

2H - 2ع2 = ل a` ع2 = )21(2 - )7(2

16 * 100 = 32 * 50 =

` ع = 40سم

أخطاء شائعة:

تأكد له، الجانبى الهرم والرتفاع ارتفاع بين الطالب قد يخلط

من وضوح المفاهيم فى أذهان الطالب.

لع

H

C

r18 سمب

41 سمم

جـ

ن

ع ل

H

. C ب C ب محور المخروط عمودى على مستوى القاعدة ، ارتفاع المخروط يساوى طول -2

مثال

مخروط دائرى قائم، طول راسمه 17سم، وارتفاعه 15سم، أوجد طول نصف قطر دائرته. 2

الحلباعتبار طول الراسم = ل ، ارتفاع المخروط = ع ،

H = طول نصف قطر دائرة المخروط 2H a = ل2 - ع2

64 = 2)15( - 2)17( = 2H `

` H = 8 سم

حاول أن تحلأوجد بداللة r محيط ومساحة قاعدة مخروط دائرى قائم ارتفاعه 24 سم وطول راسمه 26سم. 2

E C كمحور. . إذا دار المثلث C ب جـ نصف دورة كاملة حول فكر: C ب جـ مثلث ، Cب = Cجـ ، Eمنتصف ب جـهل ينشأ مخروط دائرى قائم؟ فسر إجابتك.

�شبكة المخروط القائم:يمكن طى شبكة المخروط القائم؛ لتكوين عبوات

مخروطية الشكل كما فى الشكل المقابل حيث:

C ب = Cجـ = ل  )طول راسم المخروط(. - 1

القطاع الدائرى Cب جـ يمثل السطح الجانبى - 2H r 2 = ب جـ للمخروط ، طول

)H طول نصف قطر قاعدة المخروط(.

. C ن ارتفاع المخروط = طول - 3

مثال

يوضح الشكل المقابل شبكة مخروط قائم، 3 )22

7 = r( .مستعينا بالبيانات المعطاة، أوجد ارتفاعه

الحلمن شبكة المخروط نالحظ أن:

م C = 21سم طول راسم المخروط  = طول

C ب = 44سم. محيط قاعدة المخروط = طول

.H = جـ ن طول نصف قطر قاعدة المخروط = طول

لع

H

CC

C

ب

ب

جـ

جـ

E

E

ن

ن

ب / جـ

السطح الجانبي

راسم المخروط

رأس المخروط

C

ن

ب

جـ

م

21 سم

21 سم

44 سم

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

رخهلال مرهلا

101

3 3

E جـ ب C م المقابل الشكل فى -2

هرم رباعى قائم قاعدته المعين

ن 16سم 12سم، قطره طول E جـ ب C

نقطة تقاطع قطريه

م ن = 10سم.

أوجد:

1ـ أطوال األحرف الجانبية؟ ماذا تالحظ

2ـ ارتفاعاته الجانبية

اإلجابة:

41 2 ، 34 1ـ أطوال لحرف الجانبية 2

2ـ أطوال الرتفاعات - 11٫1سم

C

ن

جـب

E

سم 10

6 سم

6 سم

8 سم

8 سم

م

ووررماهو مرهلا

71 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

2 سدرال

عند طى شبكة المخروط نحصل على الشكل المقابل فيكون:

م ن = ع ارتفاع المخروط = طول

   أى أن H = 7 سم 44 = H * 227 * 2 ` 44 = H r 2 a

2H - 2ع2 = ل a

2 سم ` ع2 = )21(2 - )7(2 = 14 * 28  أى أن ع = 14

2 سم. ` ارتفاع المخروط الدائرى القائم = 14

حاول أن تحلC ب = r 18 سم أوجد ارتفاع المخروط. فى الشبكة السابقة للمخروط القائم، إذا كان م C = 41سم ، طول 3

تفكير ناقد: هل العبارة التالية صحيحة: "ارتفاع المخروط القائم < طول راسمه"؟ فسر إجابتك.

تمـــاريــن )3 - 2(

فى الهرم الخماسى المنتظم: 1 ما عدد األوجه. ب ما عدد أوجهه الجانبية. أ

ما عدد أحرفه. د ما عدد أحرف الجانبية. ج

ه للهرم رأس واحدة خالف رؤوس القاعدة. ما عدد جميع رؤوس الهرم الخماسى؟ هل تحقق إجابتك عالقة

أويلر ألى مجسم قاعدته منطقة مضلعه. "عدد األوجه + عدد الرؤوس= عدد األحرف + 2"

فى الهرم المنتظم ، رتب األطوال التالية من األصغر إلى األكبر 2 ارتفاع الهرم. ب طول الحرف الجانبى. أ

االرتفاع الجانبى. ج

هندسة مدنية: يوضح الشكل المقابل خزان مياه على شكل هرم رباعى منتظم مستعينا 3 بالبيانات المعطاة أوجد كال من ارتفاع الوجه الجانبى وارتفاع الخزان .

الربط بالجوالة: خيمة على شكل مخروط دائرى قائم ارتفاعها 160سم 4 ومحيط قاعدتها 753٫6سم احسب طول راسم مخروط الخيمة.

قاعدته ضلع طول خوفو( )هرم األكبر الجيزة هرم بالسياحة: الربط 5 232 مترا، وارتفاعه الجانبى 186 مترا، أوجد ارتفاع الهرم.

الربط بالصناعة: تغلف األلبان المثلجة فى مخروط دائرى قائم بطى قطعة من العازل للحرارة على شكل قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 12سم الورق

. أوجد ارتفاع C جـ ، C ب ومساحته 150سم2 بحيث يتالمس نصفا قطرى دائرته

1 طول قوسه * طول نصف قطر دائرته[.المخروط. ]تذكر: مساحة القطاع = 2

جـ

ع

م

ن

H

130 سم

100 سم

100 سم

160 سم

150 سم2

12 سم

C ب

جـ

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

102

إجابات بعض تمارين )2-3(

ج 5 ب 6    أ 5    1

هـ نعم تحقق د 10  

ارتفاع الهرم، الرتفاع الجانبى، طول الحرف الجانبى 2

الرتفاع الجانبى = 120سم 3ارتفاع الخزان - 109 سم

الشكل المقابل يوضح إحدى

شبكات الخزان الهرمى الشكل.

معالجة بع�ص الق�ضايا المرتبطة بالبيئة للطالب ويقوم المحيطة بالبيئة إلى )6( مرتبطة األسئلة من )4(

الطالب بنمذجة بعض المسائل لحلها.

طول راسم مخروط الخيمة = 200سم 4

نمذجة المسألة 5الهرم األكبر هرم رباعى منتظم

` قاعدته مربعة الشكل ويكون

 ب جـ = 232 متر

ب جـ = 116 متر12   س ن =

ا a ارتفاع الهرم الجانبى = م س = 186 مترا

` فى 9 م س ن القائم الزاوية فى ن يكون:

)م ن(2 = )م س(2 - )س ن (2

` م ن = 145٫4 2)116( - 2)186( = 

ا تقريباا. أى أن ارتفاع الهرم األكبر يساوى 145 مترا

نمذجة المسألة 6عند طى القطاع الدائرى C ب جـ بحيث يتالمسC ب ،C جـ

يتولد مخروط دائرى قائم طول راسمه يساوى 12سم

نصف طول * القطاع قوس طول 12 a مساحة القطاع =

قطر دائرته.

ب جـ * 12 * طول12 ` مساحة القطاع C ب جـ =

150 =       

ب جـ = 25 سم ` طول

بفرض أن طول نصف قطر دائرة المخروط = H سم

120

120

120

120

100

100

جـ

نس

ب

CE

م

` Hr2 = 25 ويكون H - 4سم 2H - 2ع2 = ل a

2)4( - 2)12( =

8 * 16 =

2 - 11٫3سم ` ع = 8

أى أن ارتفاع المخروط يساوى 11٫3 سم تقريباا.

معلومات إثرائية

قطاع ب C م المقابل الشكل فى 1Eدائرى قياس زاويته المركزية هـ

محيط القطاع = H 2 + ل

2H Eهـ 12 مساحة القطاع =

H ل 12

=

م

Cبل

E هـH

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى72

الوحدةالثالثة

3 سدرال

سوف تتعلم

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائل

3 - 3 الم�شاحة الكلية لكل من الهرم والمخروطSurface area of pyramids and cones

بعضها باستنتاج وقمت القائم، الدائرى والمخروط الهرم خواص تعلمت أن سبق

من خالل شبكة كل منهما. هل يمكنك حساب المساحة الجانبية والمساحة الكلية

فسر شبكتيهما؟ من القائم الدائرى والمخروط المنتظم الهرم من لكل )السطحية(

إجابتك.

الم�شاحة الكلية للهرم المنتظمإحدى شبكاته. يوضح الشكل التالى هرما رباعيا منتظما، و

س س

س

سس

ل ل ل لل

الحظ أن: األوجه الجانبية مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة االرتفاعات الجانبية متساوية وكل منها = ل

قاعدة الهرم مضلع منتظم طول ضلعه = س ويكون:

المساحة الجانبية للهرم  = مجموع مساحات أوجهه الجانبية

1 س * ل2 1 س * ل +

2 1 س * ل + 2 1 س * ل +

2 =   

1 )س + س + س + س( ل2 =   

1 محيط قاعدة الهرم * االرتفاع الجانبى.2 =   

المساحة الكلية للهرم    = المساحة الجانبية له + مساحة قاعدته.

تعلم

1 محيط قاعدته * ارتفاعه الجانبى.2 المساحة الجانبية للهرم المنتظم =

المساحة الكلية للهرم = مساحته الجانبية + مساحة قاعدته.

آله حاسبة علمية - برامج �رسومية للحاسوب

املساحة اجلانبية �Lateral surface area (L.S.A(

املساحة الكلية )السطحية) �Total surface area (T.S.A(

إجياد املساحة اجلانبية واملساحة �الكلية )السطحية) لكل من

اهلرم املنتظم واملخروط القائم.نمذجة وحل مشكالت رياضية �

وحياتية تتضمن املساحة السطحية لكل من اهلرم

واملخروط القائم.

103كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

الم�ساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط Surface area of pyramids and cones

المواد التعليمية المستخدمة:

عرض جهاز - ملونة( )أقالم ملون طباشير - التعليمية السبورة

بيانات - حاسب آلى - مجسمات هندسية.

طرق التدريس المقترحة

اكتشاف موجه - مناقشة - عصف ذهنى - حل مشكالت.

مصادر التعلم:

كتاب الطالب من صفحة 103 إلى صفحة 106

التهيئة:اسأل الطالب عن طرق إيجاد مساحة سطح المثلث وراجع �

معهم المهارات األساسية لحساب مساحة، ومحيط كل من

الدائرة والقطاع الدائرى.

إرشادات للدراسة

يمكنك إعطاء بعض الصيغ و العالقات الرياضية التى تفيد فى

حل التمارين عند الحاجة إليها و منها على سبيل المثال:

محيط أى شكل مستو = مجموع أطوال أضالعه 1ـ Hr2 = محيط الدائرة 2ـ

محيط القطاع الدائرى = H2 + ل -3قطريه ضرب حاصل نصف = رباعى شكل أى مساحة -4

مضروباا فى جيب الزاوية المحصوره بينها

مساحة المربع = ل2 حيث ل طول ضلع المربع

حاصل ضرب طول القطرين12 مساحة المعين =

مساحة المستطيل = حاصل ضرب بعديه

جـ ب C المقابل الشكل فى

فيه الزاوية قائم مثلث

ب جـ = E C

ب E * Eجـ C ب * C جـ = ب جـ

= E C

E ب جـ * ب C ب =

Eب

C

جـ

خلفية

جميع توضح أنها كما المجسم، خواص المجسم شبكة تبين

مساوية المجسم شبكة مساحة تكون وبذلك المجسم، أوجه

الدرس هذا وفى الكلية. مساحته أى أوجهه، جميع لمساحة

والمساحة الجانبية المساحة حساب كيفية الطالب سيتعلم

الكلية لكل من الهرم المنتظم والمخروط القائم.

مخرجات الدرس

أن المتوقع من الدرس وتنفيذ مافيه من انشطة هذا نهاية فى

يكون الطالب قادرا على أن:

يوجد املساحة اجلانبية واملساحة الكلية )السطحية( لكل من اهلرم �املنتظم واملخروط القائم.

ينمذج وحيل مشكالت رياضية وحياتية تتضمن املساحة السطحية �لكل من اهلرم املنتظم واملخروط القائم.

مفردات اساسية:

المساحة الجانبية - المساحة الكلية.

73 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

مثال

باستخدام الشبكة التى أمامك. صف المجسم وأوجد مساحته الكلية. 1

الحلالشبكة لهرم رباعى منتظم.

قاعدته مربعة الشكل طول ضلعها 10سم ، طول حرفه الجانبى = 13سم.

م هـ ارتفاع جانبى. a الوجه الجانبى م C ب مثلث متساوى الساقين ،

C ب أى أن C هـ = 5سم ` هـ منتصف

فى 9 م هـ C القائم الزاوية فى هـ نجد أن )م هـC( = 2)مC( - 2)هـ(2

)م هـ(2 = )13(2 - )5(2 = 144

` م هـ = 12سم

1 محيط القاعدة * االرتفاع الجانبىa المساحة الجانبية للهرم المنتظم = 2

1 * )10 * 4( * 12 = 240 سم2` المساحة الجانبية = 2

a مساحة قاعدة الهرم = )10(2 = 100سم2

` المساحة الكلية للهرم = 240 + 100 = 340سم2

حاول أن تحلباستخدام الشبكة التى أمامك صف المجسم وأوجد مساحته الكلية. 1

الم�شاحة الكلية للمخروط القائممن شبكة المخروط القائم فى الشكل المقابل

ب جـ C 1 ب * طول مساحة القطاع C ب جـ = 2

1 ل * محيط قاعدة المخروط2 =   

H ل r = H r 2 * 1 ل2 =   

   = المساحة الجانبية للمخروط القائم

المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية له + مساحة قاعدته

تعلم

H ل r = المساحة الجانبية للمخروط القائم)H + ل( H r = 2H r + H ل r = المساحة الكلية للمخروط القائم

حيث ل طول راسمه ، H طول نصف قطر دائرته.

10 سم

10 سم

13 سم

13 سم

C

ب

جـ

E

هـ

م

18 سم

18 سم18 سم

C

ب

جـE

ل

ل

HH

تذكر اأن

لنق = E القطاع الدائرى هـ

محيط القطاع = 2 نق+ل

H 1 ل2 مساحة القطاع =

2H E هـ 12 =

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

104

إجراءات الدرس:

استنتج مع طالبك المساحة الجانبية والمساحة الكلية للهرم �

المنتظم ودع الطالب يالحظوا أن المضلع المنتظم الذى عدد

أضالعه ن، ينقسم إلى ن من المثلثات المتطابقة والمتساوية

الدائرة أو الداخلة الدائرة مركز منها كل ورأس الساقين

K الخارجة للمضلع المنتظم، كما أن قياس زاوية رأس حيثc180*)2-K(

Kعدد اضالعه المضلع المنتظم =

فى مثال )1( صفحة )106( اطلب إلى طالبك استنتاج خواص �

المجسم من شبكته المعطاة وحساب مساحته الكلية.

نشاط:

وتابع � المجسم لهذا أخرى شبكات رسم طالبك إلى اطلب

رسم كل منها.

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(� )1( تحل أن حاول بند فى ورد ما حل طالبك إلى اطلب

صفحة )106( ومتابعة إجاباتهم.

حل حاول أن تحل )1( صفحة )106(

بفرض أن: ب و = ل

ب جـ = ل12 ` E هـ =

C جـ = ل12  E و =

C ب = ل12  هـ و =

` E 9 هـ و متساوى األضالع طول ضلعه ل.

متساوية مثلثات أوجهه جميع منتظم ثالثى لهرم ` الشبكة

األضالع ارتفاع كل منها 18 سم. ويكون

18 = جا 60ل

 

3 سم ` ل = 12

المساحة الكلية للهرم = 4 مساحة EC 9 هـ

3 جا 60 12 * 3 12 * 12 * 4 =    

3 سم2 432 =    

تعريف � لطالبك قدم )1( تحل أن حاول حل من انطالقاا

الهرم الثالثى منتظم الوجوه، ثم اطلب إليهم حساب المساحة

10سم األول حرف طول الوجوه منتظمى لهرمين الكلية

إيجاد النسبة بين مساحتهما. وطول حرف اآلخر 20سم و

18 سم

18 سمل

لل

ل

ل ل

18 سم

C

جـب و

Eهـ

طول � كان إذا مساحتيهما بين النسبة حساب إليهم اطلب

حرف األول 12سم وطول حرف اآلخر 24سم، هل تتغير هذه

النسبة؟ لماذا؟

تعلم: اإيجاد الم�ضاحة الكلية للمخروط القائم.الدائرى � القطاع مساحة حساب طرق طالبك مع ناقش

بدللة طول نصف قطر دائرته وطول قوسه أو قياس زاويته

والمساحة الجانبية المساحة يستنتجوا دعهم ثم المركزية،

الكلية للمخروط القائم كما ورد فى صفحة )106(.

أخطاء شائعة:

بالدرجات الدائرى القطاع زاوية قياس الطالب يستخدم قد

التحويل يجب أنه لهم وضح ، مساحته حساب عند الستينية

حيث الراديان( ( قطرية نصف درجات إلى ستينه درجات من

.E2هـH 12 مساحة القطاع =

لحظ ان شبكة المخروط الدائرى القائم هى قطاع دائرى �

طول قوسه يمثل محيط قاعدة المخروط وطول نصف قطر

القطاع هو طول راسم المخروط.

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى74

مثال

أوجد المساحة الجانبية لمخروط قائم طول نصف قطر قاعدته 15سم ، وارتفاعه 20سم. 2 الحل

إليجاد طول راسم المخروط ل

a ل2 = )20(2 + )15(2 = 625

` ل = 25سم

a المساحة الجانبية للمخروط القائم = r ل H ، H = 15سم

` المساحة الجانبية للمخروط القائم = r 375 = r 15 * 25 سم2

حاول أن تحلأوجد المساحة الكلية لمخروط قائم طول راسمه 17سم وارتفاعه 15سم. 2

مثال

3 مالحة بحرية: يوضح الشكل المقابل عالمة إرشادية )شمندورة( لتحديد المجرى المالحى، وهى على هيئة مخروطين قائمين لهما قاعدة مشتركة.

أوجد تكاليف طالئه بمادة مقاومة لعوامل التعرية، علما بأن تكاليف المتر المربع

الواحد منها 300 جنيه.

الحلمساحة سطح العالمة اإلرشادية = المساحة الجانبية للمخروط األول

  + المساحة الجانبية للمخروط الثانى.

المخروط األول:  ل = 80سم  ،  H = 50سم

r80 * 50 = المساحة الجانبية `

   = r4000 سم2

)120(2 +)50(2 = 130سم المخروط الثانى:  ع = 120سم،H = 50 سم ` ل2 =

r130 * 50 = المساحة الجانبية `

   = r 6500 سم2 مساحة سطح العالمة اإلرشادية = )r 10500 = r)6500 + 4000 سم2

   - 3٫299 متر مربع

تكاليف الطالء = 3٫299 * 300 = 989٫7 جنيها

حاول أن تحلغطاء مصباح على شكل مخروط قائم محيط دائرته 88سم وارتفاعه 20سم، 3

احسب مساحته ألقرب سنتيمتر مربع.

20 سم

15 سم

ل

سم 80

سم 12

0

50 سم

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

مخملا ا ر لا ار لال ا رخهلال مرهلا

105

3 3

التقييم المستمر )الحوار والمناقشة(اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل )2( صفحة �

)107( ومتابعة إجاباتهم.

حل حاول أن تحل )2( صفحة )107(

بفرض أن طول نصف قطر

دائرة المخروط = H سم

`2H = ل2 - ع2

2)15( - 2)17( =  

2 * 32 =  

` H = 8سم

المساحة الكلية للمخروط = H r + 2Hrل

17 * 8 * r + 64 * r =     = r200 سم2

تمرين إثرائى :

أ مخروط دائرى قائم مساحته الكلية 50سم2. أوجد المساحة

قطر إذا كان طول نصف له مشابه آخر لمخروط الكلية

دائرة قطر نصف طول أمثال ثالثة مساوياا قاعدته دائرة

قاعدة المخروط األول.

H

17 سم

15 سم

الحل:

a المخروطان متشابهان

3 = ل/ل

= /H

H  

/ = H 3 ، ل/ = 3 لH  

H( Hr + ل( / + ل/(

H( /Hr

= المساحة الكلية للمخروط األولالمساحة الكلية للمخروط اآلخر

H( H + ل(H(3 * H3 + ل(

= 50

المساحة الكلية للمخروط اآلخر

` المساحة الكلية للمخروط اآلخر = 50 * 9 = 450سم2

ب مخروطان قائمان متشابهان، المساحة الجانبية لهما 75سم2،

كل قاعدة قطر نصف طول بين النسبة أوجد 1200سم2.

منهما بنفس الترتيب.

حاول أن تحل )3( ص 107

88 = Hr 2= محيط دائرة المخروط

88 = H 227 * 2 `

` H = 14سم220 + 214 `ل )طول الراسم( =

149 2 =     

)H + ل ( Hr = المساحة الكلية للمخروط

)14 + 149 2( = 14 * 227 =    

1690٫2 -

إجابات تمارين )3-3(

Eجـ ج    ب جـ ب     C جـ أ 1

 }جـ{ و   ⊂ ، ⊂  هـ     C ب د

المساحة الكلية المساحة الجانبية 23 = 105٫6سم2 9 + 90 90سم2 أ

360 + 144 = 504سم2 360سم2 ب 960 + 400 = 1360سم2 ج 960سم2

المساحة الكلية المساحة الجانبية 3r108 = r36 + r72سم2 r72 أ

897٫3= r 80 + r 58 27 r 58 27 ب

528٫6 = r 56 + r 14 30 r 14 ج 30

المساحة الجانبية 4

H

لل/

/H

عل

H

و رخملااوومهلااوم اكلاووررماهو مرهلا

75 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

3 سدرال

تمـــاريــن )3 - 3(

الشكل المقابل يمثل هرم ثالثى ، N ، M، ع ثالث مستويات أكمل مايأتى : 1

ب M∩ ع = ........................... ........................... = N ∩ M أ

........................... = M ∩ ب C د ج N ∩ ع = ..................................

ب جـ ........................ M ، ب جـ ........................ ع هـ

و N ∩ M ∩ ع = ..............................

أوجد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل هرم منتظم حسب البيانات المعطاة. 2

أ10 سم

6 سم

ب

15 سم

12 سم

ج

20 سم

24 سم

أوجد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل مخروط قائم حسب البيانات المعطاة. 3

أ

6 سم

12 سمب

9 سم21 سم

ج

13 سم15 سم

3 سم. أوجد: هرم سداسى منتظم طول ضلع قاعدته 12سم وارتفاعه الجانبى 10 4

مساحته الكلية ب مساحته الجانبية أ

المقوى الورق من المصانع أحد منتجات عبوات تصنع بالصناعة: الربط 5 بطى شبكة المجسم المقابلة.

أوجد مساحة الورق المقوى المستخدم إلنتاج 1000 عبوة. أ

ب احسب تكاليف الورق المقوى المستخدم إذا كان تكلفة المتر المربع الواحد منه 15 جنيها.

c210 طويت قطعة من الورق المقوى على شكل قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 36سم وقياس زاويته لتصنع مخروطا دائريا قائما. أوجد ارتفاع المخروط.

2H 1 هـ H ، E طول نصف قطر دائرة القطاع ، هـ E قياس زاويته المركزية بالراديان(.)مساحة القطاع = 2

أوجد طول نصف قطر دائرة مخروط قائم، إذا كان طول راسمه 15سم، ومساحته الكلية r154 سم2.

MN

C

ب

جـع

E

10 سم

13 سم

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

10

3 360 = 3 10 * 12 * 6 * 12

المساحة الكلية

3 + 6 * مساحة 9 م C ب 360

* 12 * 12 * جا 6012 * 6 + 3 360 =

3 سم2 576 = 3 216 + 3 360 =

* 4 * 10 * الرتفاع الجانبى12 المساحة الجانبية = 5

       = 20 * 12 = 240سم2

المساحة الكلية = 240 + 100 = 340

مساحة الورق المقوى المستخدم لنتاج 1000 عبوة

=1000 * 340سم2 = 410 * 34سم2 = 34م2

ا تكاليف الورق المقوى = 34 * 15 = 510 جنيها

الدرس � تمارين من مختارة تمارين حل طالبك إلى اطلب

مستعيناا إجاباتهم وتابع الطالب كتاب 108 صفحة الثالث

بالمخطط التالى فى حل المشكالت.

وضع النموذج

الرياضى المناسبالمشكلة

تفسير حل النموذج حل النموذج الرياضى

اختبار الحل

نمذجة المسألة: 6الورق من الدائرى القطاع مساحة = الجانبية المساحه

المقوى.

c210 = زاوية القطاع a

210180 =

E هـr

`

r 76 = E هـ `

H* ب E C طول 12 = E2 هـH

12 a مساحة القطاع =

r42 = r 76 * 36 = Eهـ H = ب E C ` طول

a محيط دائرة المخروط = طول قوس القطاع الدائرى.

r42 = Hr2 `

` H = 21سم

15* 57 =  ع2 = )36(2 - )21(2

95 - 29٫24سم ع = 3

C

Eهـ = c210 36

ب

E

م

ع36

21

طول نصف قطر دائرة المخروط = 7 سم. 7

تمرين إثرائى

قاعدتاه مصباح غطاء المقابل الشكل يبين

دائرتان متوازيتان. أوجد مساحة سطحه.

اإلجابة :

الشكل المقابل يوضح مساحة سطح غطاء

المصباح وتكون المساحة الكلية = م2 - م1

حيث:

م1 = المساحة الجانبية للمخروط األكبر.

م2 = المساحة الجانبية للمخروط األصغر.` المساحة المطلوبة = r 1755 سم2

15 سم

36 سم

30 سم

15 سم

36 سم

30 سم

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى76

الوحدةالثالثة

4 سدرال

سوف تتعلم

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائل

فكر و ناقش

سبق أن تعلمت كيفية حساب حجم المنشور القائم

وحجم األسطوانة الدائرية القائمة.

هل تستطيع تقدير حجم الهرم بداللة حجم المنشور

القائم الذى له نفس مساحة قاعدته ونفس ارتفاعه؟

هل تستطيع تقدير حجم المخروط القائم بداللة حجم

أسطوانة لها نفس مساحة قاعدته ونفس ارتفاعه؟

نشاط

المقارنة بين حجمى هرم ومنشور لهما نفس مساحة القاعدة ونفس االرتفاع.

والمنشور الهرم شبكتى مقوى ورق على ارسم -1الموضحتين فى الرسم أمامك.

أحدهما نموذجين لتصنع شبكة؛ كل واطو اقطع -2قائم منشور والثانى رباعى، لهرم الجانبى السطح

مفتوح من أعلى.

فى وأفرغه الرمل، أو األرز بحبات الهرم امأل -3المنشور، كرر ذلك حتى يمتلئ المنشور تماما.

الحظ أن المحتويات )حبات األرز أو الرمل( التى تلزمك لملئ المنشور سوف تمأل تماما ثالثة أهرامات.

)ق( الهرم قاعدة مساحة نفس له الذى المنشور حجم 13 أى أن حجم الهرم =

ونفس ارتفاع الهرم )ع(.

4 سم

6 سم6 سم

4 سم

4 سم

4 سم

5 سم

5 سم

5 سم

5 سم6 سم

6 سم

4 - 3 حجم الهرم والمخروط القائمVolumes of pyramids and cones

� Vertex رأس � Base قاعدة � Face وجه � Axis حمور � Radius نصف قطر � Volume حجم

إجياد حجم اهلرم املنتظم. �إجياد حجم املخروط القائم �نمذجة وحل مشكالت رياضية �

وحياتية تتضمن حجم كل من اهلرم املنتظم واملخروط القائم.

آلة حاسبة علمية - برامج �رسومية للحاسوب

10كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

حجم المخروط والمخروط القائم Volumes of pyramids and cones

مفردات أساسية

رأس - قاعدة - وجه - محور - ارتفاع - ارتفاع جانبى - حجم.

المواد التعليمية المستخدمة.

عرض جهاز - ملونة( )أقالم ملون طباشير - التعليمية السبورة

- مجسمات آلة حاسبة - برامج رسومية - آلى - حاسب بيانات

هندسية - مخبار مدرج - ماء.

طرق التدريس المقترحة:

العرض المباشر - المناقشة - العصف الذهنى - التعلم التعاونى -

الكتشاف الموجه - حل المشكالت.

مصادر التعلم:

كتاب الطالب من صفحة 107 إلى صفحة 111 - الشبكة الدولية

للمعلومات )اإلنترنت(.

التهيئة:اسأل طالبك لديك مخبار مدرج وماء كيف يمكنك إيجاد �

حجم هرم منتظم؟.

قائم، � منشور بحجم الهرم حجم مقارنة طالبك إلى اطلب

هو وارتفاعه الهرم، قاعدة مساحة تساوى قاعدته مساحة

نفس ارتفاع الهرم وتسجيل مالحظاتهم.

إجراءات الدرس:

نشاط صفحة )109( السابقة وبند الطالب مستعيناا بمالحظات

كتاب الطالب وضح لطالبك أن:

مساحة قاعدته * ارتفاعه 13 حجم الهرم =

كيفية ا موضحا 110 صفحة فى الوارد )1( مثال معهم ناقش ثم

حساب حجم الهرم.

خلفية

هرم هو وأكبرها السبع، الدنيا عجائب من الجيزة أهرامات

بنائه من ، وتراوحت مدة ببنائه 100000 عامل قام خوفو، وقد

ا. 20 إلى 30 عاما

ا وارتفاعه قاعدة هرم خوفو على شكل مربع طول ضلعه 232 مترا

سوف الدرس هذا فى حجمه؟ حساب نستطيع هل ا، مترا 146

القائم، والمخروط الهرم من كل حجم إيجاد الطالب يدرس

ويستخدمهما فى نمذجة وحل مشكالت رياضية وحياتية.

مخرجات الدرس

فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ مافيه من أنشطة من المتوقع أن

يكون الطالب قادرا على أن:

يستنتج حجم كل من اهلرم القائم واملخروط القائم. �ينمذج وحيل مشكالت رياضية وحياتية تتضمن حساب حجم كل �

من اهلرم القائم واملخروط القائم.

77 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

Volume of a Pyramid حجم الهرم

تعلم

حجم الهرم يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته فى ارتفاعه.

1 ق * عأى أن: حجم الهرم = 3

حيث )ق( مساحة القاعدة ، )ع( ارتفاع الهرم.

مثال

احسب حجم هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 18سم، وارتفاعه الجانبى 15سم. 1

الحلأوال: حساب مساحة قاعدة الهرم )ق(

  ` قاعدته مربعة الشكل a الهرم رباعى منتظم

 مساحة قاعدة الهرم )ق( = 18 * 18 = 324 سم2

ثانيا: حساب ارتفاع الهرم )ع(

a ع2 + )9(2 = )15(2 فيثاغورث

` ع2 = )15(2 - )9(2 = 144 ، ع = 12 سم

1 ق * عa حجم الهرم = 3

1 * 324 * 12 = 1296سم2` حجم الهرم = 3

حاول أن تحلأوجد حجم الهرم المنتظم الموضح بالشكل مستخدما البيانات المعطاة. 1

أ

10 سم

21 سم

ب

14 سم

8 سم

ج 15 سم

17 سم

قائم دائرى مخروط حجمى بين المقارنة عند فكر: القاعدة ونفس االرتفاع لهما نفس مساحة قائمة وأسطوانة

نجد أن:

1 حجم األسطوانة.حجم المخروط = 3

كيف تفسر ذلك رياضيا؟

15 سم

18 سم

ع

15 سم

9 سم

ع

تذكر اأن

منتظم مضلع سطح مساحة ضلعه وطول ن، أضالعه عدد

س تساوى rن ن س2 ظتا

4

ع

ق

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

10

Volume of a cone حجم المخروط

تعلم

حجم المخروط يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته فى ارتفاعه

2H r 1 ع3 أى أن: حجم المخروط =

حيث )نق( طول نصف قطر دائرة المخروط ، )ع( ارتفاع المخروط

حاول أن تحلأوجد حجم المخروط القائم الموضح بالشكل مستخدما البيانات المعطاة. 2

أ

14 سم

9 سم

ب

24 سم

26 سم

ج

13 سم

5 سم

مثال

الربط بالفيزياء: سبيكة من الذهب الخالص على هيئة مخروط قائم ارتفاعه 4٫2سم، وطول نصف قطر دائرته 2 1٫5سم. أوجد كثافة الذهب إذا كان كتلة السبيكة 191جم.

الحل2H r 1 ع  ،    H = 1٫5سم ، ع = 4٫2سم

a حجم المخروط = 3

r )1٫5(2 )4٫2( = 9٫896 سم33

` حجم الذهب فى السبيكة =

191 - 19٫3 جم/سم39٫896 ` كثافة الذهب = الكتلة

الحجمa الكثافة =

حاول أن تحلقطعة من الشيكوالتة على هيئة مخروط قائم حجمه r 27سم3 ومحيط قاعدته r 6سم أوجد ارتفاعه. 3

مثال

الربط بالصناعة: هرم خماسى منتظم من النحاس, طول ضلع قاعدته 10سم، وارتفاعه 42سم، صهر وحول إلى 3 مخروط دائرى قائم، طول نصف قطر قاعدته 15سم. فإذا علم أن 10٪ من النحاس فقد أثناء عمليتى الصهر

والتحويل، أوجد ارتفاع المخروط ألقرب رقم عشرى واحد.

الحلحيث س طول ضلعه r5 5 س2 ظتا

a مساحة الخماسى المنتظم = 4

- 172سم3125

c36 ظا = c36 5 * 10 * 10 ظتا

` مساحة قاعدة الهرم = 4

ع

H

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

ااحا رخهلال مرهلاا ر لجح

109

3 3

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل )1( صفحة �

)110( كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم .

إجابات حاول أن تحل صفحة )110(

أ مساحة قاعدة الهرم = 10 * 10 = 100سم2

* 100 * 21 = 700سم313   حجم الهرم =

3 * 8 * 8 جا 60 = 96 12 ب مساحة قاعدة الهرم = 6 *

3 سم3 448 = 14 * 3 96 * 13 حجم الهرم =

ج طول ضلع قاعدة الهرم = 16سم

161 سم = 2)8( - 2)15(   ارتفاع الهرم =

161 - 1082٫8سم3 2)16( * 13   حجم الهرم =

تعلم: حجم المخروط القائمثم � القائم، الدائرى المخروط حجم يستنتجوا طالبك دع

صفحة )2( تحل أن حاول بند فى ماورد حل إليهم اطلب

)111( من كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.

إجابات حاول أن تحل صفحة )111(

2H r ع = 1188سم313 أ حجم المخروط =

100 = 2)24( - 2)26( = 2H ب   حجم المخروط  = 2512سم3

ج ع2 = )13(2 - )5(2 ` ع = 12سم

* 3٫14 * )5(2 * 12 = 314سم313 حجم المخروط =

a محيط دائرة المخروط = r 6 سم 3   r 6 = Hr 2 `

  ويكون H = 3سم

r27 = 2 عHr 13 a حجم المخروط =

r27 = 3(2 ع(r 13 `

      ويكون ارتفاع المخروط = 9سم

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى78

172 * 42 = 2408سم33 1 مساحة القاعدة * االرتفاع =

a حجم الهرم = 3

90 * 2408 = 2167٫2سم3` حجم النحاس فى المخروط = 100

 حيث ع ارتفاع المخروط القائم   r3 )15(2 ع = 2167٫2

2167٫2 * 3 - 9٫2سمr225

` ع =

حاول أن تحلل إلى مخروط دائرى قائم ارتفاعه 21سم، أوجد طول نصف مكعب من الشمع طول حرفه 20سم صهر وحو 4

قطر قاعدة المخروط إذا علم أن 12٪ من الشمع فقد أثناء عمليتى الصهر والتحويل.

سعتها ولحساب تحتويه، الذى السائل بحجم حاوية سعة تقدر هامة: مالحظة تستخدم نفس قوانين حساب الحجوم، ووحدة قياس السعة هى اللتر.

1 لتر = 1000 ملليلتر = 1000سم3= ديسم3

مثال

الربط بالكيمياء: دورق مخروطى الشكل سعته 154 مل. ارتفاعه 12سم 4 . )22

7 - r( أوجد طول نصف قطر قاعدته

الحلسعة الدورق = حجم المخروط القائم = 154سم3

494 = 2H `  154 = 12 * 2H * 22

7 * 13

` H = 3٫5سم

حاول أن تحلC ، ب كأسان للشراب. أيهما سعته أكبر؟ 5

أوجد الفرق بين سعتيهما.

تذكر اأن

الفراغ حجم هى السعة الداخلى ألى جسم أجوف

ع

H

5 سم

5 سم11 سم

11 سم

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

110

r مل27512 = 11 * 2)

52 ( r

3 = C سعة الكأس 5

r مل60512 = 5 * 2)

112 ( r

3سعة الكأس ب =

C الكأس ب أكبر سعة من الكأس `

r 275 - 605

12 الفرق بين السعتين =

     = 86٫4 مل

األخطاء الشائعة:

من متعددة خطوات فى التقريب عمليات الطالب يستخدم قد

فى بها يكتفى التقريب عملية أن الطالب ذكر التمرين. حل

اإلجابة النهائية فقط حتى نتالشى خطأ التقريب المتعدد.

تمارين إثرائية:

مخروط � بداخلها كره شكل على لعبه ب C الشكلين يبين

دائرى قائم أوجد:

6 سم

3.6 سم

6 سم

شكل )ب(شكل )أ(

]r 288 [ أ حجم الكرة

.]r 72 ، 146٫57 [ ب حجم المخروط فى كل حالة

جـ المساحة الجانبية لكل مخروط ] 128٫75 ، 159٫9 [

إجابة التمارين ص 112

حجم المخروط * عدد المخاريط = حجم الكرة

2Hr 43 مساحة القاعدة * ع =

13 ن *

H#عندما يزيد عدد المخاريط وتقل مساحة قاعدتها كان ع

2Hr 43 * مساحة القاعدة =

13 ` ن *

2Hr 4 = مساحة الكرة

فى بند مثال )2(:

4 صفحة 112 � )3( صفحة 111 ومثال )2( ومثال مثال يقدم

مواقف فى المخروط حجم لستخدام حياتية تطبيقات

ا جيدا المشكلة تفهموا الطالب أن من تأكد مختلفة حياتية

الحلول إلى يتوصلوا ودعهم رياضية، صورة فى ونمذجتها

المناسبة بطرق متعددة.

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(

بنود حاول أن تحل )112( � إلى طالبك حل ماورد فى اطلب

)4( ، )5( صفحة )112( كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.

إجابات صفحة 112.

حجم مكعب الشمع = )20(3 = 8000سم3 4

8000 * 88

حجم المخروط القائم = 100

2Hr ع13 =     

21 * 2H * 227 *

13 = 80 * 88

320 = 80 * 4 = 2H `

ويكون طول نصف قطر دائرة المخروط - 17٫88سم

لاجاو مرهلاهو مرهلاوواممجا

79 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

4 سدرال

C2

2- 2 و4ب

س

ص

تمـــاريــن )3 - 4(

أوجد حجم هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 20سم وارتفاعه 36سم. 1

احسب ألقرب رقم عشرى واحد، حجم هرم خماسى منتظم طول ضلع قاعدته 40سم وارتفاعه 10سم. 2

هرم رباعى منتظم ارتفاعه 9سم، وحجمه 300سم3. أوجد طول ضلع قاعدته. 3

هرم رباعى منتظم مساحة قاعدته 700سم2، وارتفاعه الجانبى 20سم أوجد حجمه. 4

أيهما أكبر حجما؟ مخروط قائم طول نصف قطر قاعدته 15سم وارتفاعه 20سم ، أم هرم رباعى منتظم ارتفاعه 5 40سم ومحيط قاعدته 48سم.

أوجد حجم مخروط قائم، محيط قاعدته 44سم وارتفاعه 25سم.

أوجد حجم مخروط قائم، مساحته الجانبية 220سم وطول راسمه 14سم.

رتب المجسمات التالية من األصغر حجما إلى األكبر حجما.

أ

13 سم

9 سم

ب

14 سم

17 سم

10 سمج 8 سم

17 سم

الربط بالسياحة: صنع نموذج للهرم األكبر من سبيكة معدنية كثافتها 3٫2جم/سم3. إذا كان طول ضلع قاعدة 9 النموذج 11٫5سم وارتفاعه 7سم ، فاحسب كتلته ألقرب رقم عشرى واحد.

الربط بالفيزياء: إناء أسطوانى الشكل به ماء، غمر فيه جسم معدنى على شكل مخروط قائم، ارتفاعه 12سم وطول 10 نصف قطر قاعدته 2سم غمرا كامال ، فارتفع سطح الماء فى اإلناء بمقدار 1سم. أوجد طول قطر قاعدة اإلناء.

هندسة مدنية: صهريج مياه على شكل مخروط قائم، حجمه r 32 م3 وارتفاعه 6م. 11 أوجد طول نصف قطر قاعدته ومساحته الكلية.

r بداللة احسب متعامد، إحداثى مستوى المقابل الشكل يوضح 12 حجم الجسم الناشئ عند دوران المثلث C ب و ، دورة كاملة حول:

محور السينات . أ

محور الصادات. ب

تفكير إبداعي: مخروط دائرى، قائم حجمه 100سم3. أوجد حجمه عندما: 13 يتضاعف طول نصف قطره. ب يتضاعف ارتفاعه. أ

يتضاعف ارتفاعه وطول نصف قطره. ماذا تستنتج؟ فسر إجابتك. ج

6 م

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

ااحا رخهلال مرهلاا ر لجح

111

3 3الدرس � تمارين من مختارة تمارين حل طالبك إلى اطلب

الثالث ص 113 مع متابعة إجاباتهم.

إجابات تمارين )4-3(

9175٫8 سم3 2 4800سم3 13500سم3 4 10سم 3

حجم المخروط < حجم الهرم 4712٫4سم3 ، 1920سم3 5342٫3 سم3 7 1582٫8 سم3 6

ب 1110٫7 سم3 أ 1102٫7سم3   8ج 565٫5سم3

ق * ع13 حجم النموذج = 9

)11٫5(2 * 7 = 308٫58سم313 =     

a الكتلة = الحجم * الكثافة

` الكتلة = 308٫58 * 3٫2 - 987٫5 جم

حجم السائل المزاح = حجم المخروط 10r16 = 12 * 2)2( * r سم2

3 =     

` H = 4سم r16 = 1 * 2Hr

ويكون طول قطر اإلناء يساوى 8سم.

H = 4 ، المساحة الكلية للخزان = 140٫9 متر مربع 11

ب r16 وحدة مكعبة أ r12 وحدة مكعبة 12

2H rع = 100 سم33

حجم المخروط = 13

أ عند مضاعفة ارتفاعه

2H r * 2ع3

  حجم المخروط =

2H r * 2 = 200سم33

=     

ب عند مضاعفة طول نصف قطره

H 2( r(2ع3

  حجم المخروط =

2H r ع * 4 = 400سم33

=     

ج عند مضاعفة ارتفاعه وطول نصف قطره

H2( r(2 * 2ع3

  حجم المخروط =

2H r ع * 8 = 800 سم33

=      

نشاط إثرائى:

يبين الشكل المقابل

كأس زجاجية به

عصير البرتقال أوجد:

أ طول نصف قطر دائرة

  سطح عصير البرتقال

  بدللة س

ب حجم عصير البرتقال

.r، بدللة س  

ج احسب قيمة س

  التى تجعل عصير

  البرتقال يشغل نصف

  سعة الكأس.

r س3 سم3، 11٫9سم(4

س سم ، 7525 (

15 سم

س سم

6 سم

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى80

الوحدةالثالثة

5 سدرال

سوف تتعلم

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائل

معادلة الدائرةEquation of a circle 5 - 3

تمهيدعلمت أن الدائرة هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على نفس البعد الثابت من

نقطة ثابتة فى المستوى.

تسمى النقطة الثابتة مركز الدائرة ويرمز لها عادة بالرمز م

، كما يسمى البعد الثابت طول نصف قطر الدائرة ويرمز

له بالرمز H كما يرمز للدائرة عادة بالرمز د.

معادلة الدائرة:الدائرة هى عالقة بين اإلحداثى السينى واإلحداثى الصادى ألى نقطة تنتمى معادلة

للدائرة، وكل زوج مرتب )س ، ص( يحقق هذه العالقة )المعادلة( يمثل نقطة تنتمى

إلى هذه الدائرة.

فى مستوى إحداثى متعامد

تنتمى ص( ، )س S النقطة كانت إذا

يساوى قطرها نصف طول د لدائرة

4 وحدات ومركزها النقطة م )2 ، 1( فإن:

4 = H = S م

وبتطبيق قانون البعد بين نقطتين تكون:)س - 2(2 + )ص - 1(2 = )4(2

)س - 2(2 + )ص - 1( 2 = 16

هى معادلة الدائرة د

م

SدH

دH

س

ص

)2، 1(م

س/

ص/

و

S )س، ص(

تذكر اأن

البعد بين النقطتين )س1، ص1(، )س2، ص2(

)س2-س1(2 + )ص2 - ص1(2 =

كتابة معادلة الدائرة بداللة �إحداثيى مركزها وطول نصف

قطرها.الصورة العامة ملعادلة الدائرة. �تعني إحداثيى مركز دائرة وطول �

نصف قطرها. من الصورة العامة ملعادلة الدائرة.

نمذجة وحل مشكالت حياتية �تتضمن معادلة الدائرة.

� Circle دائرة � Center مركز � Radius نصف قطر � Diameter قطر مستوى إحداثى �

Cartesian plane � Equation معادلة � General Form صورة عامة

آلة حاسبة علمية �ورق مربعات �

تطبيقات الرياضيات - علمى 112

معادلة الدائرة Equation of a circle

خلفية

يراقب علماء الفلك العواصف الجوية باستعمال أجهزة الرادار

للتنبؤ باألحوال الجوية التى تسود البالد فى فترة قادمة، وتستعمل

تقدم مع المسافات، لقياس إحداثيات شبكة الرادار أجهزة

العاصفة يكون مركز شاشة الرادار نقطة األصل لدوائر متحدة

المركز، تستخدم لقياس المسافات، وفى هذا الدرس نتعرف على

فى نقطة موقع وتحديد اإلحداثى، المستوى فى الدائرة معادلة

المستوى اإلحداثى بالنسبة لدائرة معطى معادلتها، كما نستخدم

معادلة الدائرة فى نمذجة وحل مشكالت رياضية وحياتية.

مخرجات الدرس

فى نهاية هذا الدرس وتنفيذ األنشطة فيه من المتوقع أن يكون

الطالب قادرا على أن:

يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيى مركزها وطول نصف قطرها. �يستنتج الصورة العامة ملعادلة الدائرة. �يعني إحداثيى مركز الدائرة وطول نصف قطرها بمعلومية الصورة �

العامة ملعادلة الدائرة.يطبق ما درسه ىف معادلة الدائرة ىف نمذجة مواقف رياضية وحياتية �

وحل املشكالت.

مفردات أساسية

دائرة - مركز - نصف قطر - قطر - مستوى إحداثى - معادلة -

صورة عامة.

المواد التعليمية المستخدمة

عرض جهاز - ملونة( )أقالم ملون طباشير - التعليمية السبورة

بيانات - حاسب آلى - برامج رسومية - ورق مربعات - آلة حاسبة.

طرق التدريس المقترحة:

العرض المباشر - المناقشة - العصف الذهنى - التعلم التعاونى -

الكتشاف الموجه - حل المشكالت.

مصادر التعلم:

الشبكة )122( صفحة إلى )112( صفحة من الطالب كتاب

الدولية للمعلومات )اإلنترنت(.

التهيئة:اطلب إلى طالبك إيجاد المسافة بين النقطتين جـ)2، -6( ، �

ا إيجاد إحداثيى النقطة جـ حيث جـ منتصف ب)8، 2( أيضا

C، ب، جـ تنتمى لدائرة C)1، 1( هل النقط إذا كانت C ب و

واحدة.

2 4

4

2

6 82-

2-

4-

6-

)1 ،1( C

ب )8، 2(

جـ )2، -6(

س/س

ص/

ص

81 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

تعلم

The equation of a circle معادلة الدائرة )بداللة إحداثيى مركزها وطول نصف قطرها(

فى مستوى إحداثى متعامد:

إذا كانت النقطة S )س ، ص( تنتمى إلى دائرة د مركزها النقطة

)E ، هـ( وطول نصف قطرها يساوى H من الوحدات، فإن معادلة

الدائرة د هى:2H = 2)(2 + )ص - هـE - س(

مثال

اكتب معادلة الدائرة د مركزها النقطة م )5 ، 2(، وطول نصف قطرها يساوى 6 وحدات. 1

الحلبفرض أن النقطة S )س ، ص( ∋ الدائرة د

a مركز الدائرة م)5 ، 2( ،  طول نصف قطر الدائرة = 6 وحدات

6 = H ، 2 = 5 ، هـ = E `

وتكون معادلة الدائرة هى )س - 5(2 + )ص - 2(2 = )6(2   أى: )س - 5(2 + )ص - 2(2 = 36

حاول أن تحلاكتب معادلة الدائرة إذا كان مركزها: 1

م )4 ، -3( ، وطول نصف قطرها يساوى 5 وحدات. أ

م )7 ، -1( ، وطول قطرها يساوى 8 وحدات. ب

28 من الوحدات. م )2 ، 0( ، وطول قطرها يساوى ج

)9- ، 2-(C وتمر بالنقطة ، )م )0 ، -5 د

نقطة األصل وطول نصف قطرها يساوى H من الوحدات. ه

مثال

يبين الشكل المقابل الدائرتين د1 ، د2 أثبت أن الدائرتين متطابقتان 2 ثم أوجد معادلة كل منهما.

الحلتتطابق الدائرتان إذا تساوى طوال نصفى قطريهما.

الدائرة د1: مركزها )0 ، 0( وطول نصف قطرها 1H = 2 وحدة.

الدائرة د2: مركزها )5 ، 2( وطول نصف قطرها 2H = 2 وحدة

` الدائرتان متطابقتان 2 = 2H = 1H a

س/س

ص

و

)E، هـ(م

H

د S )س، ص(

ص/

ص - هـ

E - س

ص/

ص

وس

3

3 6

د1د2

س/

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لرلار ا رل جهم

113

3 3

 معادلة د2  )س - 5(2 + )ص - 2(2 = 4 س2 + ص2 = 4   ،  وتكون: معادلة د1

الحظ: الدائرة د2 هى صورة الدائرة د1 باالنتقال )5 ، 2(

تفكير ناقد: إذا كانت الدائرة د3 هى صورة الدائرة د1 باالنتقال )-4 ، 3(

فاكتب معادلة الدائرة د3.

حاول أن تحلاكتب معادلة كل دائرة فى الشكل التالى أ 2

-

ص/

ص

س/س

2-2-4-6-8-10-12-14-

2

2 4 6 8 10 12 14

4

6

4-

د1

د2د3

د4

د5

و

أى الدوائر السابقة متطابقة؟ فسر إجابتك. ب

فكر: أين تقع النقطة )س1، ص1( بالنسبة للدائرة د: ) س- E(2 + )ص - هـ(2H= 2 إذا كان:2H < 2)(2 + )ص1 - هـE - 1س( ب 2H > 2)(2 + )ص1-هـE - 1س ( أ

مثال

بين أن النقطة )4 ، -1( هى إحدى نقط الدائرة د التى معادلتها: )س - 3(2 + )ص - 5(2 = 37 3

الحلبالتعويض بإحداثيي النقطة )4 ، -1( فى الطرف األيمن لمعادلة الدائرة.

` )4 - 3(2 + )-1 - 5(2 = 1 + 36 = 37 = الطرف األيسر

` النقطة )4 ، -1( تنتمى إلى الدائرة د

الحظ أن: للنقطة )س1، ص1( فى مستوى الدائرة

إذا كان )س1 - 3(2 + )ص1 - 5(2 < 37 فإن النقطة )س1 ، ص1( تقع خارج الدائرة د. إذا كان )س1 - 3(2 + )ص1 - 5(2 > 37 فإن النقطة )س1 ، ص1( تقع داخل الدائرة د. و

حاول أن تحلبين أى النقط التالية تنتمى إلى الدائرة د التى معادلتها: )س - 6(2 + )ص + 1(2 = 25، ثم حدد موضع النقط 3

األخرى بالنسبة إلى الدائرة د حيث:

)3- ، 2(E  ، )3 ، 3(جـ  ، )9 ، 3( ،  ب)7 ، 5(C

تذكر اأن

صورة النقطة )E ، هـ( باالنتقال

) م، ن( هى ) E+م ، هـ + ن(

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

114

إجراءات الدرسيستنتجوا � طالبك دع ثم الدائرة، معادلة مفهوم بعرض ابدأ

نصف وطول هـ( , E(م النقطة مركزها التى الدائرة معادلة

قطرها يساوى H وحدة.

ا � موضحا 115 صفحة )2( ومثال )1( مثال طالبك مع ناقش

لهم متى تكون الدائرتان د1، د2 متطابقتين مع توظيف شبكة

اإلحداثيات فى استنتاج البيانات.

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(� )1( تحل أن حاول بند فى ماورد حل طالبك إلى اطلب

كتاب من 116 صفحة )2( تحل أن حاول ،)115( صفحة

الطالب مع متابعة إجاباتهم.

إجابات بند حاول أن تحل:

أ )س - 4(2 + )ص + 3(2 = 25 1ب ) س- 7(2 + )ص + 1(2 = 16

ج )س - 2(2 + ص2 = 7

د س2 + )ص + 5(2 = 20 2H = 2ه س2 + ص

أ معادلة د1: )س - 12(2 + )ص + 1(2 = 4 2  معادلة د2: ) س - 6(2 + )ص - 2(2 = 4

  معادلة د3: )س - 1(2 + )ص - 5(2 = 1

  معادلة د4: س2 + ص2 = 9

  معادلة د5: )س + 9(2 + ) ص - 1(2 = 25

نصفى طولى لتساوى متطابقتان، د2 د1، ب الدائرتان

قطريهما.

وأن لدائرة، بالنسبة نقطة موضع على 116 ص )3( مثال يؤكد

يتحققوا الطالب دع معادلتها، تحقق لدائرة تنتمى التى النقطة

اإلجابة بطرق مختلفة.

إجابة تفكير ناقد ص 116 2H = 2)3- د2 : )س +4(2 + )ص

إجابة فكر ص 116

ب داخل الدائرة أ خارج الدائرة

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(� )3( تحل أن حاول بند فى ماورد حل طالبك إلى اطلب

صفحة )116( كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى82

مثال

C ب حيث C)2 ، -7( ، ب)6 ، 5( اكتب معادلة الدائرة التى قطرها 4

الحلC ب ، فتكون النقطة بفرض أن النقطة م)E ، هـ( مركز للدائرة التى قطرها

C ب م منتصف

1- = 5 + 7-2

2 + 6  = 4 ،   هـ = 2

= E  :احداثيا م `

، C( = 2H م(2 = )4 - 2(2 + ]-1 - )-7([2

40 = 2)6( + 2)2( =

وتكون معادلة الدائرة هى: )س - 4(2 + ]ص - )-1([2 = 40

أى )س - 4(2 + )ص + 1(2 = 40

هل تحقق النقطة )6 ، 5( معادلة الدائرة؟ لماذا؟ فكر: هل تنتمى النقطة )6 ، -7( للدائرة السابقة فسر إجابتك.

حاول أن تحلاكتب معادلة الدائرة إذا كان: 4

)10 ، 2( C وتمر بالنقطة ،)مركزها النقطة م )-2 ، 7 أ

مركزها النقطة م )5 ، 4(، وتمس المستقيم س = 2 ب

ج مركزها م يقع فى الربع األول من المستوى اإلحداثى، وطول نصف قطرها يساوى 3 وحدات،

والمستقيمان س = 1 ، ص = 2 مماسان لها.

مثال

أوجد إحداثيى المركز، وطول نصف قطر كل من الدائرتين: 5 )س + 1(2 + ص2 = 16 ب )س - 2(2 + )ص + 3(2 = 17 أ

الحلنعلم أن معادلة الدائرة بداللة إحداثيى المركز )E ، هـ( وطول نصف قطرها H هى:

2H = 2)(2 + )ص - هـE - س(

بمقارنة كل مقدار جبرى فى المعادلة بنظيره فى المعادالت المعطاة نجد:

2 =   E ` س  - E = س  - 2 أ

` هـ = -3 ص - هـ = ص + 3

17 = H ` 17 = 2H

17 وحدة. فيكون مركز الدائرة النقطة )2 ، -3( وطول نصف قطرها يساوى

تذكر اأن

المسافة منتصف إحداثى ص1( )س1، النقطتين بين

س1+ س2 ،2

)س2، ص2( = )

) ص1+ ص22

)E، هـ(م

ب )6، 5(

)7- ،2( C

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لرلار ا رل جهم

115

3 3

حل حاول أن تحل صفحة )116(

النقطة C ، جـ تنتمى للدائرة د

النقطة ب تقع خارج الدائرة د.

النقطة E تقع داخل الدائرة د.

يهدف مثال )4( مثال )5( صفحة )117( إلى تنمية مهارات الطالب

فى تعيين مركز الدائرة وطول نصف قطرها. تقبل أفكار طالبك

وعزز الحلول الصحيحة األخرى.

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(

اطلب إلى طالبك حل ما ورد ببند حاول أن تحل )4(، صفحة �

)116( كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.

إجابات حاول أن تحل

أ ) س + 2(2 + )ص - 7( 2 = 25 4

ب ) س - 5(2 + )ص - 4(2 = 9

1- 1 2 3 4 5 6 72-

س = 2ص = 2

م

ن

س/س

ص/

ص

ج

1- 1 2 3 4 5 6 72-

س = 1

ص = 2

م

ن

س/س

ص/

ص

a الدائرة تمس المستقيمين س = 1 ، ص = 2

  وطول نصف قطرها 3 وحدات من الرسم يكون مركزها

النقطة م .

حيث النقطة م تقع فى الربع األول .

` مركز الدائرة المطلوبة هو م )4، 5( وتكون معادلتها

  )س - 4(2 + )ص - 5(2 = 9

تمرين إثرائى:

اطلب إلى طالبك إثبات أن الدائرتين : �

  د1: )س - 4(2 + )ص - 3(2 = 9 ،

  د2 : )س - 1(2 + ص2 = 9

  متقاطعتان، ثم أوجد المساحة المشتركة بينهما.

)r - 1( سم2[92 ] اإلجابة :

كةمئوااووةومرعا

83 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

5 سدرال

1- = E ` س - E = س + 1 ب

` هـ   = 0 ص - هـ = ص

4 = H ` 16 = 2H

` مركز الدائرة النقطة )-1 ، 0( وطول نصف قطرها يساوى 4 وحدات.

حاول أن تحلأى من الدوائر المعطاة يمثل دائرة مركزها )3 ، -4( وطول نصف قطرها 3 وحدات. 5

)س + 3(2 + )ص - 4(2 = 9 ب )س - 3(2 + )ص - 4(2 = 9 أ

)س + 3(2 + )ص + 4(2 = 9 د )س - 3(2 + )ص + 4(2 = 9 ج

أوجد إحداثى المركز وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية:- س2 + )ص + 4(2 = 9 ب )س - 3(2 + )ص + 5(2 = 15 أ

)س + 1(2 = 13 - ص2 د 34 )س + 1(2 + )ص + 7(2 = ج

تعلم

General form of the equation of a circle ال�شورة العامة لمعادلة الدائرة علمت أن معادلة الدائرة التى مركزها )E ، هـ( وطول نصف قطرها يساوى H من الوحدات:

هى: )س - E(2 + )ص - هـ(2H = 2 بفك األقواس

)1( ` س2 + صE 2 - 2 س - 2هـ ص + 2E + هـ2H - 2 = صفر

 ` المقدار 2E + هـ2H - 2 = جـ حيث )جـ مقدار ثابت( ثوابت H ، هـ ، E a

2H - 22 + هـE = ك = -هـ ،  جـ  ، E - = بوضع ل 

س2 + ص2 + 2ل س + 2ك ص + جـ = 0تصبح المعادلة )1( على الصورة

وتسمى بالصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها )-ل ، -ك( وطول نصف قطرها يساوى H حيث

ل2 + ك2 -جـ ، ل2 + ك2 - جـ < 0 = H

مثال

أوجد الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها )6 ، -3( وطول نصف قطرها يساوى 5 وحدات.

الحلa مركز الدائرة )-ل ، -ك( فى الصورة العامة لمعادلة الدائرة

، مركز الدائرة )6 ، -3(  معطى

` ل = -6 ، ك = 3 2H - 25 ,  جـ = ل2 + ك = H a

` جـ = )-6(2 + )3(2 - )5(2 = 20

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

11

وتكون الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى: س2 + ص2 - 12س + 6ص + 20 = صفر.

يمكن التحقق من صحة الحل باستخدام معادلة الدائرة: )س - 6(2 + )ص + 3(2 = 25 ثم تبسيطها ومقارنة النتائج

حاول أن تحلاكتب الصورة العامة لمعادلة الدائرة إذا كان:

57 وحدة. مركزها النقطة م )-2 ، 5(، وطول نصف قطرها يساوى أ

مركزها النقطة ن )5 ، -3(، وتمر بالنقطة ب )2 ، 1(. ب

مثال

اكتب الصورة العامة لمعادلة دائرة إذا كانت النقطتان C)4 ، 2( , ب)-1 ، -3( طرفى قطر فيه.

الحلC ب بفرض ان النقطة م )-ل ، -ك( مركز للدائرة التى قطرها

) 3 - 22

، 1 - 42

C ب ويكون إحداثيا النقطة م هما ) ` م منتصف 3-2 أى ل = ` -ل = 32 1أى ك = 2 1-

2  - ك =

 بالتعويض عن ل ، ك فى الصورة العامة لمعادلة الدائرة

 س2 + ص2 + 2ل س + 2 ك ص + جـ = 0

)1( ` س2 + ص2 - 3س + ص + جـ = 0

a الدائرة تمر بالنقطة C)4 ، 2( فهى تحقق معادلتها

` )4(2 + )2(2 - 3)4( + 2 + جـ = 0 أى جـ = -10

 بالتعويض فى المعادلة )1(

` الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى: س2 + ص2 - 3س + ص - 10 = صفر

حاول أن تحلC ب قطر فيها، ثم إذا كانت النقط C)3 ، -2( ، ب )3 ، 8( ، جـ )-1 ، 0( تنتمى إلى دائرة واحدة. فأثبت أن

اكتب الصورة العامة لمعادلتها.

مالحظة هامةنستنتج أن   س2 + ص2 + 2ل س + 2 ك ص + جـ = 0 من الصورة العامة لمعادلة الدائرة

أوال: المعادلة من الدرجة الثانية فى س ، صثانيا: معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة

ثالثا: خالية من الحد الذى يحتوى س ص أى معامل س ص = 0ولكى تمثل معادلة من الدرجة الثانية فى س ، ص دائرة يلزم تحقق الشروط الثالثة السابقة

وأن يكون ل2 + ك2 - جـ < 0

)2 ،4( C

ب )-1، -3(

م )-ل، -ك(

ص

س/س

ص/

و

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لرلار ا رل جهم

11

3 3

تعلم: ال�ضورة العامة لمعادلة الدائرة اعرض صورة معادلة الدائرة �

)س - E(2 + )ص - هـ(2 وتدرج حتى تصل إلى

الصورة س2 + ص2 + 2ل س + 2 ك ص + جـ = 0

حيث ل، ك ، جـ ثوابت )أعداد حقيقية( ، ثم ناقش مع طالبك مثال

ا أن معامل س2 )6( صفحة )118( ، مثال )7( صفحة )119( موضحا

= معامل ص2 = الوحدة ، وأن المعادلة خالية من حد يحتوى س ص.

التقويم المستمر: )الحوار والمناقشة(اطلب إلى طالبك حل ماورد فى بند حاول أن تحل )7( ، )8( �

صفحة )119( كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.

إجابات حاول أن تحل صفحة )118(

جـ 5

3 H ،)4- ،0( ب 15 H ،)5- ،3( أ 6

13 H ،)0 ،1-( د 3

2 H ،)7- ،1-( جـ

إجابات حاول أن تحل صفحة )119(

أ س2 + ص2 + 4س - 10ص - 28 = 0 7ب س2 + ص2 -10س + 6ص + 9 = 0

C ب قطر يلزم إثبات أن: إلثبات أن 8c90 = )جـ ب C c(X

باستخدام ميل المستقيم ـ ب ج أى C جـ =

12 - = 2

4- = )2-(- 03-1- C جـ = ميل

2 = 8-4- = 8 - 0

3 - 1- ميل ب جـ =

1- = 2 * 12 C جـ * ميل ب جـ = - a ميل

C ب قطر فى الدائرة C جـ = ب جـ ويكون `

C ب a مركز الدائرة هو منتصف

) 8 + 2-2 ، 3 + 3

2 ` إحداثيا المركز )

` ل = -3 ، ك = -3 أى النقطة م ) 3، 3(

معادلة الدائرة هى: س2 + ص2 - 6س - 6ص + جـ = 0

a الدائرة تمر بالنقطة ) -1، 0(، ` فهى تحقق معادلتها

` جـ = -7 أى أن 1 + 6 + جـ = 0

وتكون معادلة الدائرة هى:

س2 + ص2 - 6س - 6 ص - 7 = 0

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى84

تعلم

تعيين اإحداثيي مركز دائرة وطول ن�شف قطرهالتعيين إحداثيى مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها:

1- تحقق أوال من وضع المعادلة فى الصورة العامة حيث معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة

`- معامل ص

2- معامل س ،

2j  أى      2- احداثيا المركز )-ل ، -ك(

ل2 + ك2 - جـ ، ل2 + ك2 - جـ < 0 = H حيث     H 3- طول نصف قطر الدائرة يساوى

مثال

إذا كانت معادلة دائرة أوجد مركزها وطول نصف قطرها. أى المعادالت اآلتية تمثل دائرة؟ و س2 + ص2 + 4س + 25 = 0 ب 3س2 + 2ص2 + 6س - 8ص - 10 = 0 أ

4س2 + 4ص2 = 49 د 2س2 + 2ص2 - 12س + 8ص - 30 = 0 ج

س2 + ص2+ 2 س ص + 3 = صفر هـ

الحل` المعادلة ليست لدائرة معامل س2 ! معامل ص2 أ

معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة ، المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص ب

0 = 0 ،  جـ = 254 = 2 ،  ك = 2

ل = 2

` المعادلة ليست لدائرة ` ل2 + ك2 - جـ = )2(2 + )0(2 - 25 > 0

بقسمة طرفى المعادلة على 2  ` س2 + ص2 - 6س + 4ص - 15 = 0 ج

` معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة ، المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص

  ل = -3 ،  ك = 2 ،  جـ = -15

` ل2 + ك2 - جـ = )-3(2 + )2(2 - )-15( = 28 < 0

7 وحدة 2 = 28 = H ، )2- ، 3( المعادلة لدائرة مركزها `

494 ` س2 + ص2 = بقسمة طرفى المعادلة على 4 د

` معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة ، المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص 494   ل = 0 ،  ك = 0 ،  جـ =

7 وحدة2 = 49

4 = H ، المعادلة لدائرة مركزها نقطة األصل ` 0 > 49

4 ` ل2 + ك2 - جـ =

المعادلة تحتوى على س ص ` المعادلة ليست دائرة هـ

حاول أن تحلإذا كانت معادلة دائرة، أوجد مركزها وطول نصف قطرها. أى المعادالت اآلتية تمثل دائرة؟ و 9

س2 + ص2 + 4س - 2ص = 0 ب س2 + ص2 - 6س + 4ص + 17 = 0 أ

س2 + ص2 - 2س ص - 6 = 0 د 2س2 + 2ص2 - 4س + 39 = 0 ج

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

11

هل الدائرتان  د1: س2 + ص2   - 10س - 8ص + 16 = 0 تفكير ناقد:د2: س2 + ص2 + 14س + 10 ص - 26 = 0 متماستان من الخارج؟ فسر إجابتك.

نمذجة مواقف رياضية وحياتيةمثال

الربط بالصناعة: يوضح الشكل المقابل بكرة C فى آلة تمس 9 بكرة على يمر سير، بواسطة تدور اإلحداثيات، محورى

صغيرة ب معادلة دائرتها: س2 + ص2 + 14س + 45 = 0 أوجد:

قطرها نصف طول كان إذا C البكرة دائرة أ معادلة

يساوى 5 وحدات.

من وحدة كل كان إذا البكرتين مركزى بين ب البعد

المستوى اإلحداثى تمثل 6سم.

الحلa البكرة C تمس محورى اإلحداثيات ، وطول نصف قطرها يساوى 5 وحدات. أ

أى ل = -5 ، ك = -5 ` مركز دائرتها النقطة م)5 ، 5(

`   جـ = )-5(2 + )-5(2 - )5(2 = 25 2H - 2جـ = ل2 + ك a

وتكون معادلتها: س2 + ص2 - 10س - 10ص + 25 = صفر

a معادلة دائرة البكرة ب: س2 + ص2 + 14س + 45 = 0 ب

2 = 45 - 49 = H   45 = ل = 7   ك = 0   جـ `

 ويكون مركزها النقطة ن )-7 ، 0( وطول نصف قطرها يساوى 2 وحدة

)5 + 7(2 + )5(2 = 13 وحدة ` البعد بين مركزى البكرتين = م ن =

a كل وحدة فى المستوى اإلحداثى ثمثل 6سم

` البعد بين البكرتين = 13 * 6 = 78سم

حاول أن تحلالربط بالطرق: يوضح الشكل المقابل مقطعا رأسيا فى أحد األنفاق 10

الدائرية لمرور السيارات معادلة دائرته:

C ب قطر فيها. س2 + ص2 - 4س - 6ص - 12 = 0 ،

أوجد أقصى ارتفاع للنفق إذا كانت وحدة األطوال فى المستوى

اإلحداثى تمثل 70سم.

مثال

الربط بالهندسة: أوجد ألقرب سنتيمتر مربع مساحة سطح شكل خماسى منتظم تمر برؤوسه الدائرة: 10 س2 + ص2 + 6س - 12ص + 5 = 0 علما بأن كل وحدة فى المستوى اإلحداثى تمثل 5سم.

ص

س/س

ص/ب

و

C

Cب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لرلار ا رل جهم

119

3 3

فى بند تعلم �ص 120:الصورة من قطرها نصف وطول دائرة مركز إحداثيى لتعيين

العامة لمعادلتها ، استخلص منها كيفية إعادتها على الصورة

إيجاد مركز الدائرة وطول نصف )س - E(2 + )ص - هـ(2H = 2 ، و

قطرها بدللة الثوابت ل، ك، جـ. راجع مع طالبك مهارة إكمال

المربع لمقدار جبرى على صورة Cس2 + ب س + ع ،C س2 + ب س

ا متى تكون المعادلة: ناقش أيضا

+ جـ = صفر لدائرة، واستنتج 2 ك ص + 2 ل س + + ص2 س2

بمناقشة 0 مع توضيح ذلك > + ك2 - جـ ضرورة أن يكون ل2

مثال )8( صفحة 100.

التقويم المستمر: )الحوار والمناقشة(� )9( تحل أن حاول بند فى ورد ما حل طالبك من اطلب

صفحة )120( كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.

حل حاول أن تحل )9( صفحة )120(

أ المعادلة ليست لدائرة )ل2 + ك2 - جـ > 0(

ب المعادلة لدائرة مركزها النقطة )-2، 1( وطول نصف قطرها

5 من الوحدات. يساوى

ج المعادلة ليست لدائرة )ل2 + ك2 - جـ > 0(

د المعادلة ليست لدائرة )المعادلة تحوى الحد - 2 س ص(

تفكير ناقد:

الدائرتان � تكون متى بأخرى؟ دائرة عالقة ما طالبك اسأل

من متماستين الدائرتان تكون ومتى الداخل؟ من متماستين

الخارج؟ ودعهم يالحظوا أن:

م1 )5، 4(، م2 ) -7، -5( فيكون م1م2 = 15

10 = 2H ،5 = 1H

15 = 2 H + 1H `

2H + 1H = 2م1م a

` الدائرتان متماستان من الخارج.

تطبيقات حياتية:

حياتية تطبيقات )121( صفحة ومثال)10( )9( مثال يقدم

وحل حياتية مواقف نمذجة فى الدائرة معادلة لستخدام

مشكالت ناقش مع طالبك ما ورد بهذه األمثلة، ودعهم يتوصلوا

إلى الحلول المناسبة.

كةمئوااووةومرعا

85 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

5 سدرال

الحلبفرض أن م مركز الدائرة المارة برؤوس الخماسى المنتظم C ب جـ E هـ فيكون:

C ب = ب جـ = جـ E = E هـ = C هـ  )وهى أوتار فى الدائرة م(

c72 = c3605 ` Cc(X م بc(X = )ب م جـ( = ....... =

ويالحظ تقسيم الشكل C ب جـ E هـ إلى 5 مثلثات متطابقة

أى أن مساحة الخماسى المنتظم = 5 * مساحة 9 م C ب

c72 م ب جا * C 1 م2 * 5 =

)1(  c72 2 جاH 52 =

من معادلة الدائرة: ل = 3     ك = -6   جـ = 5

` 2H = 9 + 36 - 5 = 40 وبالتعويض فى )1( 2H a = ل2 + ك2 - جـ

5 )40( جا c72 = 95٫10565 وحد مربعة` مساحة الخماسى المنتظم = 2

a كل وحدة طول فى المستوى اإلحداثى تمثل 5سم

` الوحدة المربعة فى المستوى اإلحداثى تمثل مساحة قدرها )5(2 = 25سم2

 وتكون مساحة الخماسى المنتظم = 95٫10565 * 25 - 2378 سم2

تمـــاريـــن )3 - 5(

اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:النقطة )2 ، 0( تقع على 1

الدائرة س2 + ص2 = 9 د المستقيم ص = 2س ج محور الصادات ب محور السينات أ

C ب هما إذا كانت C)3 ، -7( ، ب)-3 ، 5( فإن إحداثيى النقطة التى تنصف 2 )0 ، 1-( د )1- ، 0( ج )0 ، 1( ب )1 ، 0( أ

المسافة بين النقطتين )2 ، 4( ، )10 ، -2( تساوى 3 6 د 10 3 ج 10 ب 9 أ

الدائرة س2 + ص2 = 25 مركزها )0 ، 0( وتمر بالنقطة 4 )1 ، 5( د )0 ، 25( ج )0 ، 5( ب )4 ، 1( أ

معادلة الدائرة التى مركزها )3 ، -5( وطول نصف قطرها يساوى 7 وحدات هى:- 5 )س + 3(2 + )ص - 5(2 = 49 ب )س - 3(2 + )ص - 5(2 = 49 أ

)س - 3(2 + )ص + 5(2 = 49 د )س + 3(2 + )ص - 5(2 = 49 ج

م

Cب

E

جـ هـ

تذكر اأن

مساحة اي مضلع منتظم =360K

2H K جا 2

الدائرة قطر نصف H حيث K عدد أضالع برؤوسه، المار

المضلع.

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

120

محيط الدائرة التى معادلتها س2 + ص2 = 8 r 2 4 د r 2 2 ج r 64 ب r 8 أ

اكتب معادلة الدائرة التى مركزها م وطول نصف قطرها H إذا كان: 4 = H ، ) 0 ، 0(م ب 5 = H ، )3 ،2 ( م أ

7 = H ، )5- ، 4(م د 6 = H ، )0 ،3( م ج

32 = H ، )3- ، 4-(م و 3 2 = H ، )1- ،0( م ه

اكتب معادلة الدائرة التى يمثلها الرسم المعطى

أ

2

2

4

4 6

ص

س

ب

2 4 6

4-

2-

سص

ج

2

2

4

4 6 8س

دص

3

3-

س

ص

ه

4-

44-8- 8

8-

سوص

3 6

أوجد معادلة الدائرة إذا كان: 9

.)2 ، 3(C وتمر بالنقطة ،)مركزها النقطة م )7 ، -5 أ

C ب قطر فى الدائرة حيث C)6 ، -4( ، ب)0 ، 2(. ب

مركزها النقطة )5 ، -3(، وتمس محور السينات. ج

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لرلار ا رل جهم

121

3 3

التقييم المستمر: )الحوار والمناقشة(� )10( تحل أن حاول بند فى ماورد حل طالبك إلى اطلب

صفحة )121( مع متابعة إجاباتهم.

5 = H ` 12- = مركز الدائرة م )-ل ، -ك( = )3،2( ، جـ

أقصى ارتفاع هو طول العمود المقام من مركز الدائرة على قطرها.

` طول العمود = طول نصف قطر الدائرة.

a وحدة األطوال فى المستوى اإلحداثى تمثل 70 سم.

` أقصى ارتفاع للنفق = 5 * 70 = 350 سم.

األخطاء الشائعة

ا ما يخلط الطالب بين قانونى مساحة المضلع المنتظم م � كثيرا

r2 حيث س تمثل ن

ن 2H جا 2

r ، م =ن

ن س2 ظتا4

=

طول ضلع المضلع ، تمثل طول نصف قطر الدائرة الخارجة.

تمرين إثرائى

اطلب إلى طالبك تعيين قيمة C التى تجعل المعادلة �

  س2 + صC2 + 2 س + 1 = 0 تمثل دائرة

)[∞ ،1]∪[1- ،∞- ] ∈C( اإلجابة

التدريب والتقييم )الحوار والمناقشة(الدرس � تمارين من مختارة تمارين حل طالبك إلى اطلب

الرابع صفحة )122( كتاب الطالب مع متابعة إجاباتهم.

إجابات تمارين )5-3(

د 6   د 5 ب 4   ب 3   ج 2   أ 1

أ )س - 2(2 + )ص - 3(2 = 25 7

ج )س - 3(2 + ص2 = 36 ب س2 + ص2 = 16

ه س2 + )ص + 1(2 = 12 د )س - 4(2 + )ص + 5(2 = 7

94 و )س + 4(2 + )ص + 3(2 =

أ )س - 3(2 + )ص - 3(2 = 4 8

ب )س - 4(2 + )ص + 2(2 = 9

ج )س - 4(2 + )ص - 3(2 = 9

ه س2 + )ص + 6(2 = 16 د س2 + ص2 = 36

و )س + 6(2 + ص2 = 36

أ )س - 7(2 + ) ص + 5(2 = 65 9ب ) س - 3(2 + )ص + 1(2 = 18

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى86

أوجد إحداثيى المركز، وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية: 10 )س + 3(2 + )ص - 5(2 = 49 ب س2 + ص2 = 27 أ

س2 + )ص + 7(2 = 24 د )س - 2(2 + ص2 = 16 ج

اكتب الصورة العامة لمعادلة الدائرة فى الحاالت اآلتية: 11 )3 ، 1-( C وتمر بالنقطة ،)مركزها م )0 ، 0 ب مركزها م)3 ، 1(، وطول قطرها يساوى 8. أ

C ب قطر فيها حيث C)3 ، -7( ، ب)5 ، 1( د مركزها م )-5 ، 0(، وتمر بالنقطة ب )3 ، 4( ج

أوجد إحداثيى المركز، وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية 12 س2 + ص2 + 2س = 8 ب س2 + ص2 - 4س + 6ص - 12 = 0 أ

س2 + ص2 - 8س = 12 د س2 + ص2 - 6س + 10ص = 0 ج

بين أى دائرتين مما يلى متطابقتان 13 س2 + ص2 + 6س - 11 = 0 ، س2 + ص2 - 2س + 4ص - 3 = 0 أ

س2 + ص2 + 10س + 13 = 0 ، س2 + ص2 - 14س + 37 = 0 ب

بين أى المعادالت اآلتية لدائرة ، ثم أوجد مركزها وطول نصف قطرها: 14 س2 + 2ص2 + 6س - 5ص = 0 ب س2 +ص2 + 8س - 16ص -1 = 0 أ

س2 + ص2 + 2س ص - 12 = 0 د 1ص2 + س - 8 = 0 4 1س2 +

4 ج

2س2 + 2ص2 + 3ص - 8 = 0 و س2 + ص2 - 2س + 4ص + 7 = 0 ه

المالحة البحرية: يقع رادار عند الموقع C)7 ، -9( ويغطى منطقة دائرية طول نصف قطرها يساوى 30 وحدة 15 رصد للرادار يمكن هل اإلحداثى. المستوى فى الرادار عمل مجال تحدد التى الدائرة معادلة اكتب طول.

سفينة فى الموقع ب )25 ، -30(؟ فسر إجابتك.

بالدائرة رؤوسه تمر منتظم، ثمانى شكل على قاعدته مبنى معمارى مهندس صمم المعمارى: التصميم 1 س2 + ص2 - 4س + 12ص - 60 = 0 احسب مساحة قاعدة المبنى ألقرب وحدة مربعة.

يوازى مستقيم على يقعا مركزيهما آلة فى ترسين المقابل الشكل يبين الصناعة: 1 محور الصادات وأقصى بعد بين حافتيهما 10 وحدات. أوجد معادلة الترس األصغر

علما بأن معادلة الترس األكبر هى: س2 + ص2 - 10س - 8ص + 32 = 0

C)1 ، 3( ، ب)2 ، -4( ويقع مركزها على محور بالنقطتين التى تمر ابداعى: أوجد معادلة الدائرة تفكير 1 السينات.

10

س

ص

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

122

  الدائرتان غير متطابقتين

3 2 = 1H، )0 ،7( 1ب م

3 2 = 2H، )0 ،5-( 2م  

2H = 1H a  

  ` الدائرتان متطابقتان.

أ المعادلة لدائرة مركزها النقطة )-4، 8( وطول نصف 14101 من الوحدات.   قطرها يساوى

ب معامل س2 ! معامل ص2

  ` المعادلة ليست لدائرة

المعادلة لدائرة مركزها النقطة )-2، 0( وطول نصف ج

  قطرها 6 وحدات.

د المعادلة بها حد يحوى س ص

  ` المعادلة ليست لدائرة .

ه المعادلة لدائرة مركزها النقطة )1، -2( وطول نصف

3 من الوحدات.   قطرها 2

(وطول نصف 34 و المعادلة لدائرة مركزها النقطة )0، -

من الوحدات. 73 12   قطرها

س2 + ص2 - 14 س + 18ص - 770 = 0 15النقطة ب تقع داخل الدائرة التى تحدد عمل الرادار.

H = 10 وحدات 16 c45 2 جاH

12 مساحة الثمانى المنتظم = 8 *

- 282٫84 وحدة مربعة

أقصى بعد بين الحافتين = 10 وحدات 17

10 = 2H2 + 1H 2

)1( 5 = 2H + 1H `

مركز القوس األكبر

م1)5، 4(

مركز القوس األصغر

م2 )5، 9(

1 - جـ1 + ك2

1 = ل22H

` 1H = 3 وحدات 9 = 32 - 16 + 25 =  

معادلة الترس األصغر هى: ويكون 2H = 2 حدة

س

ص

5

4

9

و

1م

2م

1H

2H + 1H2H

ج )س - 5(2 + ) ص + 3(2 = 9

3 3 = 27 = H، )0 ،0( أ م 10

7 = 49 = H ، )5 ،3-( ب م

4 = 16 = H ، )0 ،2( ج م

6 2 = 24 = H ، )7- ،0( د م

أ س2 + ص2 - 6س - 2ص - 6 = 0 11

ب س2 + ص2 - 10 = 0

ج س2 + ص2 + 10س - 55 = 0

د س2 + ص2 - 8س + 6ص + 8 = 0

5 = H ، )3- ،2( أ م 12

3 = H ، )0 ،1-( ب م

34 = H ، )5- ،3( ج م

7 2 = H ، )0 ،4( د م

2 2 = 1H ، )2- ،1( 1أ م 13

5 2 = 2H ، )0 ،3-( 2م  

كةمئوااووةومرعا

87 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

5 سدرال

المساحة الكلية للهرم المنتظم تساوى ...................................... سم2 12 432 د 384 ج 240 ب 360 أ

حجم الهرم يساوى ...................................... سم3 13 384 د 480 ج 96 ب 64 أ

النسبة بين حجم الهرم إلى حجم المخروط تساوى: ...................................... 14 r : 3 د 4 : r ج r : 4 ب 3 : r أ

أجب عن األسئلة اآلتية:

هرم منتظم حجمه 12سم3 ومساحة قاعدته 4سم2. احسب ارتفاعه. 15

هرم رباعى منتظم حجمه 400سم3 وارتفاعه 12سم. احسب مساحته الجانبية. 1

مخروط دائرى قائم حجمه r 96سم3. أوجد طول نصف قطر قاعدته إذا كان ارتفاعه 8سم. 1

أوجد ألقرب رقم عشرى واحد المساحة الكلية لمخروط قائم طول قطر قاعدته 10سم وارتفاعه 12سم. 1

هرم رباعى قائم قاعدته معين طوال قطريه 12سم، 8سم وارتفاعه 10 سم. أوجد حجمه. 19

اكتب معادلة الدائرة إذا كان: 20

مركزها م)3 ، 5( وطول نصف قطرها 4 وحدات. أ

مركزها م )-2 ، 0( وطول قطرها 9 وحدات. ب

مركزها م )0 ، 9( وتمر بالنقطة )4 ، 6( ج

C ب قطر فى الدائرة حيث C )5 ، -2( ، ب )1 ، 10( د

اكتب الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها ) 5، -12( وتمر بنقطة األصل. 21

أوجد مركز وطول نصف قطر كل دائرة ممايلى: 22

)س + 4(2 + ص2 = 9 ب )س - 3(2 + )ص + 5(2 = 27 أ

2س2 + 2ص2 - 10ص - 7 = 0 د س2 + ص2 - 2 س + 6 ص - 6 = 0 ج

أن أمتار، وجد 5 تمثل فيه متعامد كل وحدة المدن على مستوى إحداثى المدن: فى رسم إلحدى تخطيط 23 الدائرة: س2 + ص2 - 6س + 8ص + 11 = 0 تحدد أحد ميادينها، أوجد ألقرب متر مربع مساحة هذا الميدان.

125كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

متلري اعلل ا) ر�الما رثلرث (

حجم الهرم يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه.

حجم المخروط يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه.

الدائرة: هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على نفس البعد الثابت من نقطة ثابتة فى المستوى.

2H= 2)(2 + )ص - هـE- س ( :هى Hوطول نصف قطرها يساوى )هـ ،E( معادلة الدائرة : معادلة الدائرة التى مركزها النقطة

H الصورة العامة لمعادلة الدائرة: الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها النقطة )-ل ، -ك( وطول نصف قطرها يساوى

هى: س2 +ص2 + 2 ل س + 2 ك ص + جـ = صفر

، ل2 + ك2 - جـ <0 ل2 + ك2- جـ = Hحيث

لتعيين إحداثى مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها

تحقق أوال من وضع المعادلة فى الصورة العامة حيث: معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة ½

½ ) - معامل ص2 - معامل س ،

2 إحداثيا المركز )-ل ، - ك( أى )

ل2 + ك2 - جـ ، حيث ل2 + ك2 - جـ < 0 ½ = H طول نصف قطر الدائرة يتعين من العالقة

تمارين عامة )الوحدة الثالثة(

أكمل كل ممايأتى:ا إذا علم عليه ....................................................................................................................................................... يتحدد المستقيم تحديدا تام 1 المستقيمان المتخالفان اليمكن أن يحتويهما .............................................................................................................................................. 2 يكون المستويان منطبقان إذا اشتركا فى .......................................................................................................................................................... 3 األوجه الجانبية فى الهرم المنتظم ............................................................................................................................................................................... 4 االرتفاعات الجانبية فى الهرم المنتظم ................................................................................................................................................................... 5

ارتفاع المخروط القائم................................................. طول راسمه حجم الهرم = .................................................. * ....................................................

طول نصف قطر الدائرة س2 + ص2 - 18 = 0 يساوى ........................................................................................................................ معادلة الدائرة التى مركزها النقطة )2 ، 3( وطول نصف قطرها 4 وحدات هى ............................................. 9

اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة مستعينا بالشكل المقابل:

المستقيمان المتخالفان: 10 اليتعامدان. ب اليتقاطعان. أ

اليتقاطعان واليتوازيان. د اليتوازيان. ج

المساحة الجانبية للمخروط القائم تساوى ............................ سم2 11 r48 د 48 ج r 60 ب 60 أ

8 سم

6 سم

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

124

)س - 5(2 - )ص - 9(2 = 4

أى: س2 + ص2 - 10س - 18ص + 102 = 0

a م مركز الدائرة يقع 18 على محور السينات

)0 ،E( إحداثيا م `

ويكون مC = م ب

)أنصاف أقطار(

= 2)3 - 0( + 2)1 - E( 2)4 + 0( + 2)2 - E(

` E = 5 ويكون مركز الدائرة )5، 0(

5 = H ` 25 = 2)3- 0( + 2)1- 5( = 2H

وتكون معادلة الدائرة هى: )س - 5(2 + ص2 = 25

أى س2 + ص2 -10س = 0

إجابات التمارين العامة صفحتى )126(، )127(

3 ثالث نقاط على األقل 2 مستوى واحد نقطتان 1اقل من 6 5 متساوية فى الطول متطابقة 4

مساحة القاعدة * الرتفاع13 7

9 )س -2(2 + )ص -3(2 = 16 18 813 384 سم3 12 384 سم2    r 60 سم2   11

15 الرتفاع = 9سم       r : 4 14المساحة الجانبية = 260 سم2 16

المساحة الكلية للمخروط - 282٫7سم2 1719 حاول مع طالبك ، 18

أ )س - 3(2 + )ص - 5(2 = 16 20 814 ب )س + 2(2 + ص2 =

ج س2 + ) ص - 9(2 = 25

د )س - 3(2 + )ص - 4(2 = 40

س2 + ص2 - 10س + 24 ص = 0 21

3 = H ، )0 ،4- ( ب م 3 3 = H ، )5- ،3( أ م 2239

2 = H ، )

52 د م )0، 4 = H ، )3- ، 1( ج م

23 مساحة الميدان = r 14 وحدة مربعةa وحدة األطوال تمثل 5 أمتار.

` وحدة المساحات تمثل 25 متر مربع ويكون:

* 25 = 1100 متر مربع. 227 مساحة الميدان في الخريطة = 14 *

6-)4- ،2(

)3 ،1(

وم

ب

سس/

ص/

صC

مق����س� تمقلا ��

تطبيقات الرياضيات - علمى88

حجم النموذج r 164٫35 = Cسم3 11حجم النموذج ب = r 180سم3

ا النموذج ب أكبر حجما

ل يتغير حجم النموذج C بتغير ارتفاعى المخروطين المتالصقين

مساحة الزجاج المستخدم 12

= المساحة الجانبية للهرم الرباعى المنتظم .

محيط القاعدة * الرتفاع الجانبى )1(12 =

a ل2 = ع2 + س2

` ل2 = )21٫6(2 + )17٫5(2

772٫81 =  

ا ` الرتفاع الجانبى = 27٫8 مترا

بالتعويض فى )1(

27٫8 * 35 * 4 * 12 مساحة الزجاج المستخدم =

ا. ا مربعا       - 1946 مترا

إجابات االختبار التراكمى صفحة )128(

ب ب    5   د    4 د    3 د     2 1 ب ليوجد أ مستقيم وحيد   6

د 6 مستقيمات ج مستقيم وحيد 

ج مستوى واحد ب عدد لنهائى أ عدد لنهائى 7ج 62سم3 ب 1433 سم3   أ 1280 سم3   8

س2 + ص2 - 4س + 14ص - 48 = 0 9 10 2 = 1H ، )1 ،2-( 1أ م 10

13 = 2H ، )0 ،3-( 2م  

` الدائرتان غير متطابقتان. 2H ! 1H a  

20 = 1H ، )4- ،2(1ب م

20 = 2H ، )6- ،0(2م  

  2H = 1H a     ` الدائرتان متطابقتين. 1761٫8 سم3 11

C ب محيط دائرة المخروط = طول 12r * c60c180

* 18 = Hr 2

` H = 3سم 2)3( - 2)18( = 2H - 2ع2 = ل 

` ع = 17٫75سم  ع2 = 21 * 15 r * )3(2 * 17٫75 - 167٫3سم3

3حجم المخروط =

ل

ع21.6 متر

35 متر2

الصناعة: تقوم خطوط إنتاج مصنع آيس كريم بإنتاج نوعين 24 C ، ب الموضحين بالشكل المقابل، أى النوعين أكبر حجما. هل

يتغير حجم النموذج C بتغير ارتفاعى المخروطين المتالصقين

على أن يظل مجموع االرتفاعين ثابتا؟ فسر إجابتك.

السياحة: اهتمت فرنسا باآلثار المصرية القديمة فنقلت بعضها إلى باريس؛ لتعرض فى متاحفها. كما أنشأت 25 هرما من الزجاج الشفاف مشابها للهرم األكبر؛ ليكون مدخال رئيسيا لمتحف اللوفر بباريس. إذا علمت أن

ارتفاعه 21٫6 متر وطول ضلع قاعدته 35 مترا ، فأوجد مساحة الزجاج المستخدم فى بنائه ألقرب متر مربع.

اختبار تراكمي .

اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:جميع الحاالت اآلتية تعين مستوى ماعدا: 1

ب مستقيمين متوازيين وغير منطبقين. مستقيم ونقطة التنتمى إليه. أ

مستقيمين متخالفين. د مستقيمين متقاطعين. ج

المساحة الكلية )السطحية( للمخروط القائم تساوى: 2

2H r3ع ب Hrل أ

د H( H r3ع + 3ل( H( Hr + ل( ج

هرم رباعى منتظم محيط قاعدته 36سم، وارتفاعه 10سم فإن حجمه يساوي.....سم2 3 270 د 360 ج 180 ب 810 أ

الدائرة )س + 2(2 + ص2 + 2ص = 0 مركزها النقطة: 4 )2 ، 4-( د )1- ، 2( ج )1- ، 2-( ب )2 ، 2( أ

أى الشبكات التالية التصنع هرما رباعيا منتظما عند طيها. 5

دج بأ

15 سم

12 سم

4.3 سم

5.5 سم

6 سم

Cب

عل

H

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الثالثة: لت����س� ا لتا و��

12

اأ�سئلة ذات اإجابات ق�سيرةكم مستقيما يمكن رسمه فى كل حالة من الحاالت اآلتية:

ب ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة. نقطتان مختلفتان. أ

أربع نقاط فى الفراغ، التقع أى ثالث منها على استقامة واحدة . د مستويان متقاطعان. ج

اذكر عدد المستويات التى يمكن أن تمر بكل ممايأتى: ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة. ج نقطتين معلومتين. ب نقطة معلومة. أ

أوجد حجم كل مجسم ممايأتى ألقرب سنتيمتر مكعب.

أ

17 سم

16 سم

16 سم

ب

18 سم20 سم

ج

12 سم

6 سم

أوجد معادلة دائرة مركزها النقطة )2، -7( وتمر بالنقطة )1، 3(. 9

أى الدائرتين اآلتيتين متطابقتان؟ فسر إجابتك. 10 س2 + ص2 + 4س - 2ص - 5 = 0 ، س2 + ص2 + 6س - 4 = 0 أ

س2 + ص2 - 4س + 8ص = 0 ، س2 + ص2 + 12ص + = 0 ب

اأ�سئلة ذات اإجابات طويلة:احسب ألقرب رقم عشرى واحد حجم هرم خماسى منتظم، طول ضلع مضلع قاعدته 16سم، وارتفاعه 12سم. 11 قطره؛ نصفا ولصق cطوى 60 المركزية زاويته وقياس 18سم دائرته قطر نصف طول ب C م دائرى قطاع 12

ليكون أكبر مساحة جانبية لمخروط قائم. أوجد حجم هذا المخروط.

فى الشكل المقابل: النقط م ، ن ، ع تقع على محور السينات 13 ع ن، م، كان إذا األصل. نقطة ن متعامد، إحداثى لمستوى

من 6 ،9 ،5 هى أقطارها أنصاف أطوال دوائر ثالث مراكز

أوجد وحدات. 4 = C م 2 = E جـ الترتيب، على الوحدات

الصورة العامة لمعادلة كل من الدوائر الثالث.

المشهد مثل هذا بنقطة تالقيها. نقطة، ويمر فوقهما شارع اليمر يلتقيان فى ما واديين رصد طيار فى لحظة 14 بالرسم، ثم حدد عدد المستويات المتكونة.

هل تحتاج إلى مساعدة إضافية:

إذا لم تستطع حل السؤال رقم

12345678910

3 - 4مهارات عامة3- 33 - 34 - 34 - 33 -31 - 34 - 33 -2ارجع إلى

س

ص

Cم

Eجـبعن

12كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

ختبلراته كمي

كةمئوااووةومرعا

89 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

5 سدرال

الوحدة الرابعة

االحتمالProbability

مقدمة الوحدة

مخرجات التعلم

تمتد جذور علم االحتمال إلى عصر النهضة من خالل دراسة العلماء لعلم الفلك وألعاب الحظ ومحاوالت فهم وتحليل ظهور عناصر من بين مجموعة

،)Pierr de Fermat( ،فى القرن السادس عشر، و بيير دي فيرما )Gerolamo Cardano(كبيرة من العناصر األخرى والتى قام بها جيروالمو كاردانو

وبليز باسكال )Blaise Pascal( واللذان عاشا خالل القرن السابع عشر.

وفى سياق تطور علم االحتمال وتقدمه، وإنطالقا من القرن التاسع عشر ظهرت تعاريف عدة لالحتمال، منها ما هو بسيط، ويعتمد على اإلدراك

الحسى، ومنها ما يعتمد على التجربة وفكرة التكرار النسبى للحدث المراد اختياره من خالل تكرار التجربة عددا كبيرا من المرات تحت شروط

ثابته. فاالحتمال مقياس إلمكانية وقوع حادث )Event( معين

و انطالقا من القرن التاسع عشر اكتشفت نظرية االحتماالت التى تعتبر المساعد األكبر للعمل اإلحصائى، ويعتبر العالم لبالس)Laplace( أحد

مؤسسيها، كذلك العالم أدولف كوتيليت )Adolph Quteelet( الذي قدم أول عمل احصائى بطريقة علمية سنة 1853 وابتداء من ذلك الوقت بدأ

اإلحصاء واالحتمال يبرز كعلم له فائدته، وقيمته الكبيرة فى مختلف المجاالت، كذلك فى البحوث العلمية فى كافة المجاالت ، بل تعدى ذلك إلى

إعطاء حسابات صحيحة يعتمد عليها فى التنبؤ فى قضايا مستقبلية . وفى هذه الوحدة نتناول بعض المفاهيم والتعاريف األساسية فى االحتمال

وكيفية حسابه.

بعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب أن:

يتعرف مفهوم التجربة العشوائية. �يتعرف مفهوم فضاء العينة. �يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية. �يتعرف مفهوم الحدث - الحدث البسيط - الحدث المؤكد �

- الحدث المستحيل.يتعرف مفهوم األحداث المتنافية. �

يتعرف العمليات على األحداث مثل )االتحاد - التقاطع - �الفرق - اإلكمال(.

يتعرف مفهوم االحتمال. �يستخدم مسلمات االحتمال في حساب احتمال وقوع حد. �يحل مسائل تطبيقية باستخدام مسلمات االحتمال. �يحل مشكالت حياتية باستخدام قوانين االحتمال. �

االحتمالProbability دة

وحال

الرابعة

128

مقدمة الوحدةمما الشك فيه أن علمى االحتمال واإلحصاء هما فرع أساسى من

بمواد وثيقا ارتباطا يرتبطان فهما التطبيقية، الرياضيات فروع

العلوم األساسية من جهة وبين العلوم التطبيقية من جهة أخرى؛

لدى الحديث العلم أساسيات من وأساس جوهر يعتبران لذا

ارتباطهما الوثيق بالحاسب اآللى، واالتصاالت، والمال واألعمال،

النشرة الجوية وحتى مباريات كرة القدم.

الكيفية األمور تقنين يحاول رياضى علم هو االحتماالت إن

التى ترتبط بالتجارب العشوائية واالختبارات التى اليمكن التنبؤ

بنتيجتها بشكل مؤكد قبل إجرائها )مثل إلقاء حجر نرد أو قطعة

علم دراسة عند بالنتيجة التنبو علم إن القول يمكننا أى نقود،

بمفاهيم علم تبدأ ، لمفاهيم كثيرة نتعرض ما االحتماالت كثيرا

يأتى )التقاطع واالتحاد والفرق واإلكمال( ومن ثم المجموعات

الطالب يستكمل وسوف االحتمال وحساب االحتمال مفهوم

دراسته لهذه المفاهيم فى هذه الوحدة من خالل أمثلة وتطبيقات

حياتية متنوعة وذلك من خالل هذه الوحدة.

مخرجات الوحدةبعد دراسة هذه الوحدة وتنفيذ األنشطة فيها يتوقع من الطالب

أن:

يتعرف مفهوم التجربة العشوائية. �يحل مسائل تطبيقية باستخدام مسلمات االحتمال. �يحل مشكالت حياتية باستخدام قوانين االحتمال. �يتعرف مفهوم فضاء العينة. �يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية. �� - المؤكد الحدث - البسيط الحدث - الحدث مفهوم يتعرف

الحدث المستحيل.يتعرف مفهوم األحداث المتنافية. �يتعرف العمليات على األحداث مثل )االتحاد - التقاطع - الفرق �

- اإلكمال(.

يتعرف مفهوم االحتمال. �يستخدم مسلمات االحتمال. �يستخدم مسلمات االحتمال في حساب احتمال وقوع حدث. �

تطبيقات الرياضيات - علمى90

الزمن المناسب لتدريس الوحدة 5 حصص.

مهارات التفكير التى تنميها الوحدةحل - التحليلى التفكير - اإلبداعى التفكير - الناقد التفكير

المشكالت.

الوسائل التعليمية المستخدمةسبورة تعليمية - طباشير ملون )أقالم ملونة( حاسب آلى - جهاز

عرض بيانات - برامج رسومية - آلة حاسبة.

طرق التدريس المقترحة - االستنباطية الطريقة - الموجه االكتشاف - التعاونى التعليم

العصف الذهنى - المناقشة - حل المشكالت.

طرق التقييم المقترحةأسئلة شفهية وتحريرية فردية وجماعية قبل وأثناء وبعد الدرس

أو األنشطة المقترحة - تمارين عامة واختبار تراكمى فى نهاية

الوحدة.

المخطط التنظيمى للوحدة:الخاصة المفاهيم الوحدة لهذه التنظيمى المخطط يتناول

فضاء تشمل والتى العشوائية، التجارب وبخاصة باالحتمال،

لمسلمات ونتعرض األحداث، على والعمليات والحدث العينة

االحتمال وقوانينها.

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائلدروس الوحدة

مخطط تنظيمى للوحدة

المصطلحات األساسية

Ñ Scientific calculator آلة حاسبة علمية Ñ Graphical calculator آلة حاسبة رسومية Ñ Graphical programs برامج رسومية للحاسوب

حساب االحتمال. الدرس )4 - 1(:

Ñ Statistics إحصاء Ñ Probability احتمال Ñ Random Experiment تجربة عشوائية Ñ Sample space فضاء العينة - فضاء النواتج Ñ Coin قطعة نقود Ñ Die حجر نرد Ñ Event حدث

Ñ Simple Event حدث بسيط )أولى( Ñ Compound Event حدث مركب Ñ Certain Event حدث مؤكد Ñ Impossible Event حدث مستحيل Ñ Operation on the Events العمليات على األحداث Ñ Mutually Exclusive Events أحداث متنافية

العمليات على األحداثالحدث

تطبيقات حياتية وحل مشكالت

مسلمات االحتمال تجارب عشوائية

االحتمال

قوانين االحتمالفضاء العينة

اتحادمستحيل فرقاكمالمحتمل قانونا ري مورجانأحداث متنافية تقاطعمؤكد

129

91 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

الوحدةالرابعة

1 سدرح�ساب االحتمالال

Calculating Probability

خلفية

سبق أن درس الطالب بعض المصطلحات والمفاهيم األساسية فى

األحتمال فى مراحل سابقة وسوف يستكمل تعميق هذه المفاهيم

كل مشكالت حياتية تتطلب استخدام قوانين األحتمال والتعرف

الفرق - - التقاطع - العمليات على األحداث مثل )األتحاد على

حساب فى األحتمال مسلمات يستخدم وسوف اإلكمال(،

احتمال وقوع حدث ما.

مخرجات الدرس

بعد دراسة هذا الدرس، وتنفيذ األنشطة فيه يتوقع من الطالب أن:

يتعرف مفهوم التجربة العشوائية وفضاء العينة. �يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية الشهرية )إلقاء قطعة �

نقود- إلقاء حجر نرد(.يعرف مفهوم احلدث - احلدث البسيط - احلدث املؤكد - احلدث �

املستحيل - األحداث املتنافية.

زمن تدريس الدرس:

5 حصص. �

مفردات اساسية

بسيط حدث - النواتج( )فضاء العينة فضاء - عشوائية تجربة

)أولى( - حدث مركب - حدث مؤكد - حدث مستحيل - أحداث

متنافية - تقاطع - اتحاد - فرق - اكمال - احتمال حدث - مسلمات

األحتمال.

المواد التعليمية المستخدمة

سبورة تعليمية - طباشري ملون - قطع نقود - حجر نرد - جهاز �عرض بيانات - حاسب آىل مزود باالنرتنت - برامج رسومية -

آلة حاسبة.

طرق التدريس المقترحة:

العرض المباشر - المناقشة الشفهية - حل مشكالت.

مصادر التعلم:

كتاب الطالب من صفحة 130 إلى صفحة 153

الشبكة الدولية للمعلومات )اإلنترنت(.

التهيئة:يبدأ المعلم بطرح مواقف تتضمن اجراء تجربة من حياتنا العملية

والتي تتسم بعدم اليقين مثل: ما فرص الفوز فى مباراة ما؟

ما احتمال أن تكون اآللة الحاسبة الجديدة التى يتم تصنيعها على

خط االنتاج بها عيب؟

استنبط مع طالبك أمثلة من الحياة العملية تتضمن إجراء تجارب

تتسم بعدم اليقينية ؟

ثم ابدأ معهم نشاط )1( مفهوم التجربة العشوائية .

الثالثة التجارب خالل من المطروحة األسئلة فى طالبك ناقش

والتى لها عدد من النواتج الممكنة ، والتى اليمكن التأكيد مسبقا

بنتيجة التجربة.

التجارب عن 130 ص المعروضة األمثلة طالبك مع تأمل

العشوائية، وناقش الطالب حولها.

في بند تعلم ص )130(:

اكد إلى طالبك على مفهوم التجربة العشوائية وذلك من خالل �

التجارب عشوائية وأيها أى من تبين التى األمثلة األخرى بعض

غير عشوائية وذلك باستخدام العصف الذهنى لدى الطالب.

سوف تتعلم

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائل

1 - 4مقدمة :

سبق أن درست المفاهيم األساسية لالحتمال بصورة مبسطة، وفى هذا الدرس سوف

وقوع إحتمال حساب فى األحداث على والعمليات المفاهيم هذه دراسة تستكمل

حدث ما من خالل أمثلة وتطبيقات حياتية متنوعة.

Basic terms and concepts م�سطلحات ومفاهيم �أ�سا�سية

تعلم

xperimentE Random : التجربة العشوائية هى كل تجربة يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها، ولكن النستطيع

أن نحدد أيا من هذه النواتج سوف يتحقق عند إجرائها.

مثال

بين أيا من التجارب التالية تجربة عشوائية ؟ 1 إلقاء حجر نرد منتظم ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى. أ

ب سحبت كرة ملونة من كيس به مجموعة من الكرات الملونة) دون أن نعرف

ألوانها ( ومالحظة لون الكرة المسحوبة.

إلقاء قطعة نقود معدنية ومالحظة ما يظهر على الوجه العلوى. ج

األولى والوزن، الحجم فى متماثلة كرات أربع به كيس من كرة د سحب

بيضاء، الثانية سوداء، الثالثة حمراء، الرابعة خضراء، ومالحظة لون الكرة

المسحوبة.

الحلالتجارب )أ( ، )جـ(، )د( هى تجارب عشوائية؛ ألنه يمكن معرفة جميع نواتج

كل منها قبل إجرائها ولكن النستطيع أن نحدد أيا من هذه النواتج سوف يقع عند

إجراء التجربة.

بينما تجربة )ب( هى تجربة غير عشوائية؛ ألنه اليمكن تحديد ناتج التجربة

قبل إجرائها.

حاول أن تحل

بين أيا من التجارب اآلتية هى تجربة عشوائية : 1

مفهوم التجربة العشوائية وفضاء �العينة.

مفهوم احلدث - احلدث البسيط �- احلدث املؤكد - احلدث

املستحيل .العمليات عىل األحداث: �

االحتاد - التقاطع - الفرق - اإلكامل.

األحداث املتنافية . �قانونا دي مورجان. �مفهوم االحتامل �حساب االحتامل �مسلامت االحتامل وتطبيقات �

حياتية عىل االحتامل

جتربة عشوائية �random experiment

� sample space فضاء العينة � event حدث � simple event حدث بسيط � certain event حدث مؤكد حدث مستحيل �

impossible event أحداث متنافية �

mutually exclusive events � probability االحتامل مسلامت االحتامل �

probability axioms

آلة حاسبة.

ح�ساب �الحتمالCalculating Probability

تطبيقات الرياضيات - علمى 130

تطبيقات الرياضيات - علمى92

اأمثلة اأخرى لتجارب ع�شوائية:سحب بطاقة عشوائيا من بين 10 بطاقات تحمل األرقام 1، 2، �

3، ....، 10 ومالحظة العدد المكتوب على البطاقة.

وقياس � 4سم قطرها نصف طول دائرة داخل نقطة اختيار

بعدها عن مركز الدائرة.

اختيار وسيلة مواصالت لالنتقال بين ثالث وسائل مواصالت �

متاحة.

اأمثلة على تجارب غير ع�شوائية:ملون � جميعها كرات على يحتوى كيس من كرة سحب

باللون األزرق.

جمع العدد 3 مع العدد 6 وتسجيل ناتج الجمع. �

ضرب العدد 4 بالعدد 12 وتسجيل ناتج الضرب. �

التقييم المستمر )الحوار والمناقشة(:

اطلب إلى طالبك حل بند حاول أن تحل )1( صفحة )131( �

وتابع وعزز إجاباتهم.

إجابات

جميع معرفة يمكن ألنه عشوائيتان )جـ( ، )أ( التجربتان 1 تحديد النستطيع ولكن اجرائهما قبل منهما كل نواتج

بينما ، التجربة اجراء عند يقع سوف النواتج هذه من أيا

ناتج تحديد يمكن ال ألنه عشوائية غير ، )ب( التجربة

التجربة قبل اجرائها.

في بند تعلم: ص )131(

ناقش طالبك مفهوم فضاء العينة )فضاء النواتج( لتجربة عشوائية �

على أنه مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة ويرمز لها

ن)ف( بالرمز العينة فضاء عناصر لعدد يرمز كما ف بالرمز

حيث ف مجموعة منتهية.

أكد على مفهوم فضاء العينة )فضاء النواتج( لبعض التجارب �

العشوائية الشهيرة ص 132

وضح لطالبك كيفية رسم الشجرة البيانية والصورة الهندسية �

والصورة الجدولية أو القائمة لتحديد عناصر فضاء العينة فى

صفحة )132( .

النواتج إليهم أن جميع هذه الطرق توضح عناصر فضاء موضحا

الطريقة اختيار الطالب وعلى متتاليتين مرتين نرد حجر إللقاء

تناسبه فى معرفة ذلك.

إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين ومالحظة تتابع الصور والكتابات. أ

أرقامها( نعرف أن )دون المرقمة البطاقات من مجموعة على تحتوى حقيبة من مرقمة بطاقة ب سحب

ومالحظة رقم البطاقة المسحوبة.

سحب بطاقة واحدة من حقيبة بها 20 بطاقة متماثلة مرقمة من 1 إلى 20 ومالحظة العدد الذى يظهر على البطاقة المسحوبة. ج

تعلم

Sample space (outcomes space( : )ف�ساء �لعينة )ف�ساء �لنو�تجفضاء العينة لتجربة عشوائية هو مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة، ويرمز له بالرمز )ف( ½

يفعرت

يرمز لعدد عناصر فضاء العينة ف بالرمز ن )ف( . ½

إذا كان عدد ½ إذا كان عدد عناصره محدودا، أو غير منته العينة منتهيا يكون فضاء

عناصره غير محدود ، وسندرس فقط فضاء النواتج المنتهي.

مالحظة:

ف�شاء العينة لبع�ض التجارب الع�شوائية ال�شهيرة :

Tossing a coin : أوال: �إلقاء قطعة نقود�1- فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة

ومالحظة الوجه الظاهر هو: ف = } ص، ك{

حيث ص ترمز للصورة ، ك ترمز للكتابة

ويكون : ن)ف( = 2

2- فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين

ومالحظة تتابع الصور والكتابات هو:

ف = } )ص، ص(، )ص، ك(، )ك، ص(، )ك، ك({ ويكون : ن )ف( = 2 * 2 = 4 = 22

مرات ثالث نقود قطعة إلقاء لتجربة العينة 3- فضاء

)يمكن والكتابات الصور تتابع ومالحظة متتالية

الحصول عليه من الشجرة البيانية المقابلة هو:

ف = } )ص ، ص ، ص( ،   ) ك ، ك ، ك ( ،

)ص ، ص ، ك (  ،   ) ك ، ك ، ص ( ،

 )ص ، ك ، ص (  ،  )ك ، ص ، ك ( ،

  )ص ، ك ، ص (  ،  )ك ، ص ، ص({ ويكون : ن)ف( = 2 * 2 * 2 = 8 = 32

الحظ من األمثلة السابقة2- ) ص، ك( ! ) ك، ص( لماذا؟

1- عند رمى قطعة نقود م من المرات المتتالية يكون ن )ف( = 2 م

كص

نواتج الرمية األولى

صص

كص

ك

ك

نواتج الرمية الثانيةنواتج الرمية األولى

ص

ص ك

نواتج الرمية األولى

نواتج الرمية الثانية

نواتج الرمية الثالثة

ككصص

صص

صك

كك

ك

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امسح لا باسح

131

4 4

3- فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعتى نقود متمايزتين )مختلفتين فى الشكل أو الحجم( معا هو نفس فضاء العينة عند إلقاء قطعة نقود واحدة مرتين متتاليتين، ويكون كل

ناتج من نواتج التجربة على الشكل الزوج المرتب:

) وجه القطعة األولى ، وجه القطعة الثانية (.

Tossing a die : ثانيا : �إلقاء حجر نرد1- فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على

الوجه العلوى هو :

  ويكون : ن )ف( = 6 ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6 {

2- فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر

فى كل مرة على الوجه العلوى هو مجموعة األزواج المرتبة التى مسقطها األول

هو ناتج الرمية األولى، ومسقطها الثانى هو ناتج الرمية الثانية أى أن:

ف = } )س، ص( : س∋ } 1، 2، 3، 4، 5، 6{, ص∋ } 1، 2، 3، 4، 5، 6{{ واألشكال التالية توضح ذلك .

صورة هندسية : ب أ صورة جدولية :

األولىالرمية123456

الثانية1)1 ،1()2 ،1()3 ،1()4 ،1()5 ،1()6 ،1(2)1 ،2()2 ،2()3 ،2()4 ،2()5 ،2()6 ،2(3)1 ،3()2 ،3()3 ،3()4 ،3()5 ،3()6 ،3(4)1 ،4()2 ،4()3 ،4()4 ،4()5 ،4()6 ،4(5)1 ،5()2 ،5()3 ،5()4 ،5()5 ،5()6 ،5(6)1 ،6()2 ،6()3 ،6()4 ،6()5 ،6()6 ،6(

ج الشجرة البيانية

الحظ أن:1- ن )ف( = 6 * 6 = 36 = 26

2- ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{ * } 1، 2، 3، 4، 5، 6، {نرد حجرى إلقاء لتجربة العينة فضاء -3نفس هو )معا(, واحد آن فى متمايزين

نرد واحد إلقاء حجر لتجربة العينة فضاء

مرتين متتاليتين.

51 3

11

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

الرمية الثانية

الرمية األولى

2

1

34

5

6

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

6 5 4

3 2 1

نواتج الرمية الثانية نواتج الرمية األولى

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

132

امسح لا باسح

93 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 سدرال

فى بند تعلم :

فضاء � من جزئية كمجموعة الحدث مفهوم لطالبك وضح

⊂ ف C C حدثا من فضاء العينة ف فإن: العينة ف، فإذا كان

ويمكن تمثيله بشكل ڤن، ونقول إن الحدث C قد وقع إذا كان

ناتج التجربة العشوائية عنصرا من عناصر C. كذلك وضح إلى

المستحيل المؤكد، البسيط، الحدث مفهوم كل من الطالب

مع التأكيد على مفهوم المجموعة وخصائصها.

ناقش مع طالبك حل مثال )3( صفحة )134( والذى يهدف �

إلى إتقان الطالب التعبير عن األحداث بلغة المجموعات.

ويؤكد على مفهوم وقوع الحدث كما فى فقرات هذا المثال �

التقييم المستمر: )المناقشة والحوار(

اطلب إلى طالبك حل ما ورد فى بند حاول أن تحل )3( صفحة

134 كتاب الطالب وتابع إجاباتهم.

إجابات

` ف = } ) ص، ص(، ) ص ، ك، ص(،

ص، )ك، ،) ك ك، ص، (

ص(، )ك، ص، ك(، )ك، ك({

C = } ) ص ، ص( ، ) ص، ك، ص(

، ) ك، ص، ، )ص، ك، ك(

ص( ، )ك، ص، ك(، )ك، ك( { = ف

ج = })ص، ص( ، )ص، ك، ص(، )ك، ص، ص({

ملونة دائرة بسطح أ الحدث مثل جيوجبرا برنامج باستخدام

بينما مثل ف سطح باللون األصفر الحدث ب ، كذلك باألزرق

C ، ب، داخل مستطيل شفاف وبالتالى يمكنك تحريك الحدثين

، ص 143 تعلم ص 142 بند فى المذكورة العمليات ف واجراء

كما يمكنك تغيير لون األسطح الممثلة لألحداث حسب العملية

وتناقش مع طالبك واطلب اليهم التعبير بلغة المجموعات عن كل

من األحداث التالية:

وقوع C أو ب أو كليهما معا. �

� .C عدم وقوع

وقوع C فقط. �

وقوع ب فقط. �

وقوع C فقط أو وقوع ب فقط. �

ڤن بأشكال السابقة المجموعات تمثيل اليهم اطلب كذلك

وتناقش معهم واستخرج منهم االجابات وعزز موقفهم بالتشجيع

والثناء عليهم.

ص

صص

صص

ككك

كك

مثال

كيس به ثالث كرات متماثلة األولى حمراء، والثانية بيضاء، والثالثة صفراء . اكتب فضاء العينة إذا سحبت 2 كرتان الواحدة بعد اآلخرى مع إعادة الكرة المسحوبة قبل سحب الكرة الثانية ) مع اإلحالل ( ومالحظة تتابع

األلوان.

الحلنرمز إلى الكرة الحمراء بالرمز )ح( والكرة البيضاء بالرمز )ب( والكرة

الصفراء بالرمز )ص(:

أوال: عندما تعاد الكرة المسحوبة إلى الكيس قبل السحبة الثانية فى الظهور فرصة لها الثالث الكرات من كرة كل تصبح

الكرة نفس أن تسحب الممكن من الثانية، ويصبح السحبة

لفضاء البيانية الشجرة المقابل الشكل ويوضح ثانية، مرة

العينة حيث ن )ف( = 23 = 9

ف = } )ح، ح( ، ) ح، ب( ، )ح، ص( ، )ب ، ح( ، ) ب ، ب( ، )ب، ص( ،

)ص ، ح( ، )ص ، ب( ، )ص، ص( {

حاول أن تحلصندوق به ثالث كرات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 3 سحبت كرتان الواحدة بعد 2 األخرى مع اإلحالل ومالحظة رقم الكرة . اكتب فضاء العينة وبين عدد عناصره.

تعلم

The event �لحدث الحدث هو أى مجموعة جزئية من فضاء العينة . ½

يفعرت

The simple event �لحدث �لب�سيط )�لحدث �الأولى ( هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحتوى عنصرا واحدا فقط. ½

يفعرت

The certain event �لحدث �لموؤكد : هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ف

وهو حدث مؤكد الوقوع في كل مرة تجرى فيها التجربة

The impossible event �لحدث �لم�ستحيل z هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز

وهو حدث مستحيل أى يقع في أى مرة تجرى فيها التجربة

يفعرت

السحبة الثانية السحبة األولى

حح

ح

ح

ص

ص

ص

ب

ب

ب

ب ص

)ح، ح( ) ح، ب( )ح، ص()ب ، ح(

) ب ، ب()ب، ص()ص ، ح( )ص ، ب( )ص، ص(

ف

اأ�شف اإلى معلوماتك

إحالل، دون الكرة سحبت إذا فهذا يعنى عدم إعادة الكرة إلى الكيس بعد سحبها، وبذلك لن يكون هناك فرص لظهورها فى

السحبة الثانية.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امسح لا باسح

133

4 4

مثال

عند إلقاء قطعة نقود عدة مرات تتوقف التجربة عند ظهور صورة أو 3 كتابات . 3 اكتب فضاء النواتج ف، ثم عين األحداث اآلتية:

ج "حدث ظهور كتابتين على األقل" C "حدث ظهور صورة على األكثر"

د "حدث ظهور صورتين على األقل" ب "حدث ظهور صورة على األقل"

الحلمن الرسم نجد أن

= }ص ، )ك ، ص(،)ك ، ك ، ص(،)ك ، ك ، ك({ ف

= }ص،)ك ، ص(،)ك ، ك ، ص(،)ك ، ك ، ك({ = ف C

= }ص،)ك ، ص(،)ك ، ك ، ص({ ب

= })ك ، ك ، ص( ، )ك ، ك ، ك({ ج

= }   { = z الحدث المستحيل د

حاول أن تحلعند إلقاء قطعة نقود عدة مرات تتوقف التجربة عند ظهور صورتين أو كتابتين. 3

اكتب فضاء النواتج ثم عين األحداث اآلتية:

ج "حدث ظهور كتابة على األكثر" C "حدث ظهور صورة على األقل"

ب "حدث ظهور كتابتين على األكثر"

Operation of the events �لعمليات على �الأحد�ث

تعلم

Intersection اأوال: التقاطع تقاطع الحدثين C ، ب هو الحدث C ∩ ب الذى يحوى كل عناصر فضاء العينة التى

تنتمى إلى C، ب معا ويعنى وقوع C و ب )وقوع الحدثين معا(

Union ثانيا : االتحاد: فضاء عناصر كل يحوى الذى ب ∪ C الحدث هو ب ،C الحدثين اتحاد

ب أو C وقوع ويعنى معا كليهما أو ب أو C إلى تنتمى التى العينة

)وقوع أحدهما على األقل(

صص

ص كك

ك

C

ف

بC ∩ ب

C

ف

بC ∪ ب

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

134

لا باسح

تطبيقات الرياضيات - علمى94

اطلب إلى طالبك تمثيل الحدث: )عدم وقوع أى من الحدثين �

أ أو ب( كتابته بلغة المجموعات كذلك تمثيل الحدث )عدم

وقوع أ وعدم وقوع ب( وكتابته إلى لغة المجموعات واطلب

يستنتجون؟ وماذا الشكلين؟ من مالحظاتهم تدوين اليهم

كذلك اطلب اليهم نفس الشئ في القاعدة الثانية لدى مرجان

لغة إلى اللفظى التعبير من الحدث كتابة صحة على وأكد

المجموعات وتناقش مع طالبك فى حل السؤال وشجعهم على

االجابة وتابع اجاباتهم.

في بند تعلم ص)135(:

أشر إلى الطالب بأن الحدثين أ، ب يكونان متنافيان إذا كان �

األمثلة بعض لهم أعط ثم األخر ينفى وقوع أحدهما وقوع

كعصف أخرى أمثلة ذكر إليهم واطلب ذلك توضح التى

ذهنى لدى الطالب.

درسها � أن سبق التى المجموعات من األمثلة بعض استخدم

الطالب لتوضيح هذا المفهوم.

� z = ب ∩ Cناقش مع طالبك حل مثال )4( واكد على أن إذا كان

كما يتضح من الشكل الهندسى فإن أ ، ب حدثان متنافيان واطلب

اليهم حل ماورد في بند حاول أن تحل )4( وتابع إجاباتهم.

التقييم المستمر: )المناقشة والحوار(

ناقش مع طالبك إجابات بند حاول أن تحل ص )136( وتوصل �

معهم إلى اإلجابات الصحيحة.

إجابة حاول أن تحل )4(

ج = })1، 4(، )2، 3(، )3، 2(، )4 ،1({

د = })1 ،2(، )2 ،1(، )3 ،6(، )4 ،2(، )6 ،3(، )2، 4({

z= ج ∩ د

ج، د متنافيان

أكد على أنه إذا كان C ∩ ب = z فإنC ، ب متنافيان وبالعكس: �

z = ب ∩ C ب حدثين متنافيين فإن ، C إذا كان

Completion ثالثا : االإكمال فضاء عناصر كل يحوى

/

C لذلك ، C للحدث المكمل الحدث يسمى /

C الحدث

. C ويعنى عدم وقوع الحدث ، C العينة التى التنتمى إلى الحدث

z = /

C ∩ C ، ف = /

C ∪ C : الحظ

Difference رابعا: الفرق الحدث C - ب يحوى كل عناصر الفضاء التى تنتمى إلى C، وال تنتمى إلى ب وهى أيضا

نفس عناصر C ∩ ب/

ويعنى وقوع C وعدم وقوع ب )وقوع C فقط(

C - ب = C ∩ ب/ = C ( - C ∩ ب (

خام�شا: قانونا دى مورجان إذا كان C ، ب حدثين من ف فإن :

∩ ب/ = )C ∪ ب (/ /

C )أوال( وتعنى حدث )عدم وقوع أى من الحدثين( أو )عدم وقوع C وعدم وقوع ب(

∪ ب/ = )C ∩ ب (/ /

C )ثانيا ( و تعني حدث "عدم وقوع الحدثين معا" أو حدث "وقوع أحد الحدثين على األكثر."

تعلم

Mutually exclusive events الأحد�ث �لمتنافية�يقال لحدثين C ، ب أنهما متنافيان إذا كان وقوع أحدهما ينفى )يمنع( وقوع اآلخر.

فمثال: 1- إذا كان C" حدث النجاح فى امتحان ما" ، ب" حدث الرسوب فى نفس االمتحان" فإن وقوع أحدهما

ينفى وقوع اآلخر.

2- فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى فإن ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{

}5 ،3 ،1 { = C : أى إذا كان C حدث ظهور عدد فردى

أى : ب = } 3، 4، 6{ ب حدث ظهور عدد زوجى

فإن C ∩ ب = z أى وقوع أحدهما ينفى وقوع اآلخر .

½ z= ب ∩ C ب متنافيان إذا كان , C يقال: إن الحدثين

يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى. ½

يفعرت

C

ف

C

C

ف

ب

ف

بC

ف

بC

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امسح لا باسح

135

4 4

الحظ :1- إذا كان C ∩ ب = z فإن C ، ب حدثان متنافيان.

z = C ∩ ج ، z = ب ∩ ج ، z = ب ∩ C : ب ، ج ثالثة أحداث من ف وكان ، C إذا كانت و

فإن: C ، ب، ج أحداث متنافية والعكس صحيح.

2- األحداث البسيطة )األولية( فى أى تجربة عشوائية تكون متنافية.

هما حدثان متنافيان./

C ومكمله C 3- أى حدث

مثال

فى تجربة إلقاء حجرى نرد متمايزين ومالحظة العددين الظاهرين على الوجهين العلويين لها. 4

أوال: مثل فضاء العينة هندسيا واكتب كال من الحدثين اآلتيين. الحدث ب " ظهور عددين مجموعهما 7". الحدث C " ظهور نفس العدد على الوجهين"

ثانيا : هل الحدثان C ، ب متنافيان ؟ فسر إجابتك .

الحلأوال : عناصر فضاء العينة لهذه التجربة هى أزواج مرتبة عددها = 26 = 36 الشكل المقابل هو التمثيل الهندسى لفضاء العينة؛ حيث كل عنصر

من عناصر فضاء العينة يمثل بنقطة كما فى الشكل .

} )6 ،6( ، )5 ،5( ، )4 ،4( ،)3 ،3( ،)2 ،2( ،)1 ،1({ =  C

ب = } ) 6، 1( ، )5، 2(، )4، 3( ، )3، 4( ، )2، 5( ، )1، 6( {

` C ، ب حدثان متنافيان z= ب ∩ C a:ثانيا

حاول أن تحل 4 فى المثال السابق اكتب كال من الحدثين اآلتيين :

د حدث " ظهور عددين أحدهما ضعف اآلخر" ج حدث " ظهور عددين مجموعهما يساوى 5"

هل الحدثان ج، د متنافيان ؟ فسر إجابتك.

Propability �الحتمال

تعلم

ح�ساب �الحتمال :إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ما، جميع نواتجها )األحداث األولية( متساوية اإلمكانات، فإن احتمال وقوع

أى حدث C ⊂ ف يرمز له بالرمز ل )C( حيث :

C عدد النواتج التى تؤدى إلى وقوع الحدث

عدد جميع النواتج الممكنة = )

C( نن )ف(

= )C( ل

11

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

C

ب

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

136

امسح لا باسح

95 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 سدرال

مثال

5 سحبت كرة عشوائيا من صندوق به 10 كرات متماثلة منها 5 كرات بيضاء، كرتان لونهما أحمر ، الباقى باللون األخضر ، احسب احتمال األحداث اآلتية:

أ حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء.

ب حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو خضراء.

ج حدث أن تكون الكرة ليست خضراء.

الحل0٫2 = 2

10 = عدد الكرات الحمراء

عدد جميع الكرات = )C( احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء = ل

عدد الكرات الحمراء + عدد الكرات الخضراء

عدد جميع النواتج الممكنةاحتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو خضراء =

0٫5 = 510 = 3 + 2

10 =

احتمال أن تكون الكرة ليست خضراء = ل)ج(

0٫7 = 5 + 210 = احتمال أن تكون الكرة حمراء أو بيضاء =

فكر: هل يمكن الحصول على ل )ج( بطريقة أخرى؟ وضح ذلك.

حاول أن تحلفى المثال السابق احسب االحتماالت اآلتية : 5

د حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو بيضاء.

هـ حدث أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو بيضاء أو خضراء .

تعلمAxioms of probability م�سلمات �الحتمال

من المسلمات السابقة نالحظ :المسلمة األولى تعنى احتمال وقوع أى حدث هو عدد حقيقى ينتمى للفترة ]0، 1[

)C(يرمز له بالرمز ل C ف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث ⊃ C 1- لكل حدث 1 H )C( ل H 0 حيث :

2- ل )ف( = 1 3- إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف

وكان C ، ب حدثين متنافيين فإن :  ل )C ∪ ب( = ل)C( + ل )ب( C

ف

ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امسح لا باسح

137

4 4

المسلمة الثانية تعنى أن احتمال وقوع الحدث المؤكد = 1يمكن تعميم المسلمة الثالثة إلى أى عدد محدود من األحداث المتنافية

ل)C ∪ ... ∪ 3C ∪ 2C ∪ 1Cن( = ل)1C( + ل)2C(+ل)3C( + ...+ ل)Cن(

حيث C، ... ، 3C ،2C ،1Cن أحداث متنافية

نتائج هامة 0 = ) z( ل )1(

)C(1 - ل = ) /

C( ل )2(ل ) C -ب( = ل)C( - ل ) C ∩ ب ( )3(

ل)C ∪ب( = ل)C( + ل )ب( - ل )C ∩ ب( )4(

مثال

إذا كان C ، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية حيث : 6 1 احسب :

3 ، ل ) C ∩ ب( = 43 ، ل)ب( = 4

8 = )C(ل

∩ ب/(/

C( ل د ل )C - ب( ج ) /

C (ل ب ل )C ∪ ب( أ

الحل78 = 1

4 - 34 + 3

8 = ل ) C ∪ ب( = ل)C( + ل )ب( - ل ) C ∩ب( أ 58 = 3

8 - 1 = )C( 1 - ل = ) /

C( ل ب 18 = 1

4 - 38 = ل ) C - ب( = ل )C( - ل ) C ∩ ب( ج

18 = 7

8 - 1 = ∩ ب/( = ل ) C ∪ ب (/ = 1 - ل ) C ∪ ب( /

C ( ل د

حاول أن تحل 6 فى المثال السابق احسب االحتماالت اآلتية :

∪ب/(/

C ( ل ج )C - ل)ب ب ل )ب/( أ

مثال

3 فأوجد :1 ، ل ) C -ب( =8

5 ، ل )ب( =28= )C(ب حدثين من فضاء تجربة عشوائية ف وكان ل ، C إذا كان 7

∪ ب(/

C ( ل د ∩ ب/( /

C ( ل ج ل) C ∪ ب( ب أ ل ) C ∩ ب(

الحل14 = 2

8 = 38 - 5

ل ) C ∩ ب( = ل )C ( - ل ) C -ب( = 8 أ 78 = 1

4 - 12 + 5

ل) C ∪ ب( = ل )C( + ل)ب( - ل )C ∩ ب( = 8 ب 18 = 7

8 ∪ ب( = 1 -

C(1 - ل = /)ب ∪

C ( ل = )/ب ∩ /

C ( ل ج

∪ ب( = ل )C ∩ ب/(/ =1 - ل )C ∩ ب/( = 1 - ل ) C - ب(/

C ( ل د 58 = 3

8 - 1 =

اأ�شف اإلى معلوماتك

إذ كان C ⊂ ب

فإن ل)C( H ل)ب(

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

138

في بند فكر ص)137(:

وضح إلى الطالب بأن يمكن إيجاد احتمال حدث أن تكون �

الكرة ليست خضراء بمفهوم الحدث المكمل كاآلتى:

  ل )ليست خضراء( = 1 - ل )الكرة خضراء(

0.7 = 7

10 = 3

10 - 1 =  

التقييم المستمر )المناقشة والحوار(

ناقش مع طالبك ما ورد فى بند حاول أن تحل وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.

حلول كاملة :

ص137 52 + 5 = 0.7 ، ل)هـ( = ل)ف( = 1

10 ل)د( =

يمكنك استخدم المثال السابق) أو أى مثال آخر( فى توضيح

مسلمات االحتمال وأن ل)z( = صفر ، ل)ف( = 1 لذلك فإن

1 H )C( ل H 0 :ف يكون ⊃ C احتمال أن حدث

إذا كان C ⊂ ف ، ب ⊂ ف حيث C ، ب حدثين متنافيين فإن و

ل)C ∪ ب( = ل)C( + ل)ب( ومن هذه المسلمة إلى تعميمها

مؤكدا على المالحظات ص 151

وضح أنه ألى حدثين C ، ب من ف يكون: �

ل )C ∪ ب( =ل)C( + ل)ب( - ل)C ∩ ب( ،

ل)C - ب( = ل)C( - ل ) C ∩ ب( وليس بالضرورة C، ب متنافيان

الحسابية العمليات على واكد )2( مثال حل فى طالبك ناقش

]1 ، 0[ ∈ )C(يكون ل C لحساب االحتمال وأن االحتمال ألى حدث

ص138 614 =

34 ( = 1 - ل )ب( = 1 -

/

ل)ب 12 =

14 -

34 ل) ب - C ( = ل)ب( = ل )C ∩ ب ( =

34 =

14 = 1 - ل ) C ∩ ب( = 1 -

/

( = ل )C ∩ ب ( /

∪ ب/

C ( ل

لا باسح

تطبيقات الرياضيات - علمى96

∪ ب( بطريقة أخرى ؟ وضح ذلك /

C ( فكر : هل يمكنك إيجاد ل حاول أن تحل

فى المثال السابق أوجد : 7 )

/

C ∩ ل ) ب ج ∪ ب/( /

C ( ل ب )/

C( ل أ

مثال11 ل) C( ، ل)ب( = 2

3 = ) /

C (ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ف، وكان ل ، C إذا كان 8 5 فأوجد :

∪ ب/( = 8/

C ( ل ،

احتمال وقوع أحد الحدثين على األكثر. ب احتمال وقوع أحد الحدثين على األقل. أ

احتمال وقوع أحد الحدثين فقط. د احتمال وقوع الحدث ب فقط. ج

الحل` ل ) C ∩ ب( = 38 ∩ ب( = 58

C( 1 - ل= /)ب ∩

C ( ل ` ∪ ب/( = 58 /

C ( ل a

34 = )C (ل ` 1 = ) C (4 ل

3 ` )C (1 ل3 = )C ( 1 - ل ` )C (1 ل

3 = ) /

C ( ل a

78 = 3

8 - 12 + 3

احتمال وقوع أحد الحدثين على األقل = ل ) C ∪ ب( = ل )C( + ل)ب( - ل ) C ∩ ب( = 4 أ

5 ∪ ب/( = 8

/

C ( ل = /)ب ∩ C ( احتمال وقوع أحد الحدثين على األكثر=ل ب

18 = 3

8 - 1احتمال وقوع الحدث ب فقط= ل )ب - C( = ل)ب( - ل ) C ∩ ب( = 2 ج

12 = 3

8 - 7احتمال وقوع أحد الحدثين فقط = ل ) C ∪ ب( - ل ) C ∩ ب( = 8 د

فكر : هل يمكنك إيجاد احتمال وقوع أحد الحدثين فقط بطريقة أخرى؟ وضح ذلك.

حاول أن تحلإذا كان C ، ب حدثين من فضاء العينة لتجربة عشوائية وكان ل )C( = 0٫8 ، ل)ب( = 0٫6 ، ل )C ∪ ب(/ = 0٫1 8

فاحسب احتمال األحداث اآلتية :

حدث" وقوع C فقط" ب حدث "وقوع أحد الحدثين على األقل" أ

حدث " وقوع أحد الحدثين على األكثر" د حدث " وقوع أحد الحدثين فقط" ج

مثال

C ، ب حدثان من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، حيث : 9 ل )ب( = 3 ل )C( ، ل )C ∪ ب (= 0٫72 أوجد ل )C( ، ل )ب(

أوال: إذا كان C ، ب حدثين متنافيين .

ثانيا:إذا كان C ⊂ ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امسح لا باسح

139

في بند فكر:4 4

من شكل ڤن المقابل نجد أن: )1(

)C - ب( = 1 - ل)ب ∪ /

C( ل

احتمال وقوع أحد الحدثين فقط بطريقة أخرى )2(

)C - ب( + ل) ب - C(ل =

وشكل ڤن المقابل يوضح ذلك.

التقييم المستمر )المناقشة والحوار(

ناقش مع طالبك ما ورد فى بند حاول أن تحل وتوصل معهم �

إلى اإلجابات الصحيحة.

إجابات :

738 =

58 -1 = )

/

C(ل أ

قانون دى مورجان/

( = ل)C ∩ ب(/

∪ ب/

C(ل ب 34 =

14 = 1 - ل )C ∩ ب( = 1 -

= ل)ب( - ل)C ∩ ب(/

)C ∩ ل)ب جـ 14 =

14 -

12 =

( = 1 - ل)C ∪ ب( /

ل)C ∪ ب 8` 0.1 = 1 - ل)C ∪ ب(

` ل)C ∪ ب( = 0.9

ل)C ∪ ب( = 0.9 أ

ل)C - ب( = 0.3 ب

ل)C ∪ ب( - ل)C ∩ ب( = 1 - 0.5 = 0.5 جـ

925 = )C(ب متنافيان ل ، C عندما أ

C ⊃ ب عندما ب 13 = )C(ل

التفكير الناقد:أن � على واكد الناقد التفكير فى ورد فيما طالبك ناقش

]1 ،0[ ∈ )C(ل

Cب

بC

الحل   ` ل )ب( = 3 س بفرض أن ل )C( = س

أوال: C a ، ب حدثان متنافيان. ` ل ) C ∪ ب ( = ل )C( + ل )ب( فيكون : 0٫72 = 3 س + س

 ` س = 0٫18، ل )C( = 0٫18 ، ل )ب( = 0٫54

   ` C ∪ ب = ب ثانيا: C a ⊂ ب  ل ) C ∪ ب ( = ل )ب( = 3س = 0٫72

` ل )C( = 0٫24 ، ل )ب( = 0٫72

حاول أن تحلC ، ب حدثان من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، حيث : 9

)C( 1 أوجد ل1 ، ل ) C ∪ ب( = 3

5 ل)ب( =

C ⊃ ب إذا كان ب أ إذا كان C ، ب حدثين متنافيين.

تفكير ناقد: 37 = )

/

C( ل)C( ل

بين كيف يمكن حساب ل )C( إذا كانC ⊂ ف ، ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ، إذا كان:

حاول أن تحل

, 52 = )

ل )ب/ل )ب(

، 23= )

/

C( ل)C( ل

وكان ، ج{ ، ب ، C { = ف حيث عشوائية لتجربة عينة فضاء ف كان إذا 10

أوجد ل)ج(

مثال

الربط بالبيئة المدرسية: إذا كان احتمال نجاح طالب فى امتحان الفيزياء يساوى 0٫85، واحتمال نجاحه فى 10 امتحان الرياضيات 0٫9 واحتمال نجاحه فى االمتحانين معا 0٫8 أوجد احتمال :

ب نجاح الطالب فى امتحان الرياضيات فقط. أ نجاح الطالب فى أحد االمتحانين على األقل.

ج عدم نجاح الطالب فى االمتحانين معا.

الحلليكن C حدث نجاح الطالب فى امتحان الفيزياء ، ب حدث نجاح الطالب فى الرياضيات

فيكون : ل )C( = 0٫85  ،  ل )ب( = 0٫9  ،  ل )C ∩ ب ( = 0٫8

احتمال نجاح الطالب فى أحد االمتحانين على األقل = ل )C ∪ ب ( أ

0٫95 = 0٫8 - 0٫9 + 0٫85 = ` ل )C ∪ ب(= ل ) C( + ل )ب( - ل ) C ∩ ب(

ب احتمال نجاح الطالب فى امتحان الرياضيات فقط يعنى احتمال نجاحه فى امتحان الرياضيات وعدم

) C - نجاحه فى امتحان الفيزياء أى ل ) ب

C

ف

ب

C

ب

ف

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

140

امسح لا باسح

97 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 سدرال

التقييم المستمر )المناقشة والحوار(

ناقش مع طالبك ما ورد فى بند حاول أن تحل وتفكير ناقد وتوصل معهم إلى اإلجابات الصحيحة.

حاول أن تحل ص141 : 11ل)C - ب( = ل)C( - ل)C ∩ ب( = 0.75 - 0.5 = 0.25 أ

ل)C ∪ ب( = 0.75 + 0.6 - 0.5 = 0.85 ب

تفكير ناقد:

خطأ: ألن حسب تصريحاته فإن:

ل)C ∪ ب( = 0.7 + 0.9 - 0.5 = 1.1 ∋ ]0، 1[ 14 =

936 ، ل)ب( =

16 = )C(ل 12

إجابات

 )هـ( صفر78  ) د (

12  )جـ(

12  )ب(

14 13 ) أ (

25 ) د (

740 )جـ( )ب( صفر

58 14 ) أ (

تمارين إثرائية :

العدد 1 متقابالن يحمالن نرد بحيث يكون وجهان صمم حجر

يحمالن متقابالن ووجهان 2 العدد يحمالن متقابالن ووجهان

العدد 3، ألقى هذا الحجر مرتين متتاليتين ولوحظ العدد الظاهر

على الوجه العلوى فى المرتين أحسب احتمال:59 أ - أن يكون مجموع العددين عددا أوليا 19 ب - أن يكون مجموع العددين أقل من 3 23 جـ -أن يكون المجموع على األكثر 4.

اإر�شادات للدرا�شةهذا � ألقى إذا حالة في السابق التمرين حل طالبك إلى اطلب

الوجه على العددين مجموع ولوحظ متتاليتين مرتين الحجر

، C العلوى فى المرتين اكتب فضاء النواتج ثم أوجد االحتمال فى

ب، جـ مع متابعة إجاباتهم والتأكيد على اختالف فضاء النواتج

فى الحالتين كذلك فى عددها وقيم االحتمال.

اأخطاء �شائعة:الوزن متماثلة به 10 كرات في تجربة سحب كرة من كيس - 1

والحجم منها 5 حمراء ، 3 بيضاء ، 2سوداء من الخطأ اعتبار أن:

ف = }ح، ب، س{ ، ن )ف( = 3

حيث ح تعنى أحمر ، ب أبيض ، س أسود ولكن الصحيح:

ف = } ح ح ح ح ح ، ب ب ب ، س س {، ن )ف( = 10

الخلط فى بعض مفاهيم األحداث عند كتابتها من الصورة - 2

العمليات رموز 0باستخدام الجبرية الصورة إلى اللفظية

على األحداث( وهنا يفضل استخدام أشكال ڤن كوسيلة

0٫1 = 0٫8 - 0٫9 = )C ∩ ( = ل )ب( - ل )ب C -ل ) ب `

حدث عدم نجاح الطالب فى االمتحانين معا = )C ∩ ب ( / وهو حدث مكمل للحدث )C ∩ ب ( ج

` ل)C ∩ ب( / =1 - ل )C ∩ ب ( = 1 - 0٫8 = 0٫2

تطبيقات حياتية:

حاول أن تحلإذا عملى، واآلخر نظرى، أحدهما ، الختبارين الشخص يتقدم الشركات إحدى فى وظيفة على للحصول 11 كان احتمال النجاح فى االختبار النظرى 0٫75 واحتمال نجاحه فى االختبار العملى 0٫6 واحتمال النجاح فى

االختبارين معا 0٫5 فإذا تقدم شخص ما للحصول على هذه الوظيفة ألول مرة أوجد احتمال :

ب نجاحه فى أحد االختبارين على األقل . أ نجاحه فى االختبار النظرى فقط.

تفكير ناقد:الربط بالرياضة: صرح مدرب أحد الفرق الرياضية أثناء لقاء صحفى معه بأن احتمال فوز فريقه فى مباراة الذهاب 0٫7 ، واحتمال فوز فريقه فى مباراة اإلياب 0٫9 ، وأن احتمال فوزه فى المبارتين معا 0٫5 هل يتفق ما صرح به

مدرب الفريق مع مفهوم االحتمال ؟ فسر إجابتك.

مثال

ألقى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين، ولوحظ العدد الظاهر على الوجه العلوى فى كل مرة ، احسب احتمال: 11 أوال: أ حدث أن يكون "مجموع العددين الظاهرين أقل من أو يساوى 4"

ثانيا: ب حدث أن يكون " أحد العددين ضعف اآلخر"

ثالثا: ج حدث أن يكون "الفرق المطلق للعددين يساوى 2"

رابعا: د حدث أن يكون " مجموع العددين أكبر من 12 "

الحلن)ف( = 36

16 = 6

36= )C ( ل` ،6 = )C( ن ` } )1 ،3( ،)2 ،2( ،)1 ،2( ،)3 ،1( ، )2 ، 1( ،)1 ،1({ = C :أوال

16 = 6

`ل )ب( = 36 ثانيا: ب = } )1، 2(، )2، 1(، )2، 4(، )4، 2(، )3، 6( ، )6، 3({ ` ن )ب( = 6

29 = 8

36 ` ل)ج( = ثالثا: ج = })1، 3(، )3، 1(، )2، 4(، )4، 2(، )3، 5(، )5، 3( ، )4، 6( ، )6، 4({

رابعا: حيث إنه اليمكن أن يظهر عددان مجموعهما أكبر من 12، ` د =z ، ل )د( = صفر

حاول أن تحلفى المثال السابق احسب احتمال األحداث اآلتية : 12

أوال: أ حدث " العددان الظاهران متساويان "

ثانيا: ب حدث " العدد فى الرمية األولى فردي وفى الرمية الثانية زوجي"

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امسح لا باسح

141

4 4

مثال

ألقيت قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية، ولوحظ تتابع الصور والكتابات احسب احتماالت األحداث اآلتية : 12 أوال: C حدث ظهور صورة واحدة فقط.

ثانيا: ب حدث ظهور صورتين على األقل.

ثالثا: ج حدث ظهور صورتين بالضبط.

الحل ، ك( ك، )ص، ص(، ك، )ص، ك(، ص، )ص، ص(، ص، ص، ف = } )

ك({، ك، )ك، ص(، ك، )ك، ، ك( ص، )ك، ص(، ص، )ك،

ن )ف( = 8

أوال: C a حدث ظهور صورة واحدة فقط .

 ` C = } )ص، ك، ك( ، )ك، ص، ك(، )ك، ك، ص({ ،

38 = )C( 3  ` ل = )C(ن a  

ثانيا : a ب حدث ظهور صورتين على األقل، أى إما صورتان أو ثالث صور ب = } ) ص، ص، ك( ، )ص، ك، ص(، )ك، ص، ص(، )ص، ص، ص({   

12 = 4

` ل )ب( = 8   a ن )ب( = 4

ثالثا: a ج حدث ظهور صورتين بالضبط 3` ل )ج( = 8 ` ج = } )ص، ص، ك(، ) ص، ك، ص(، )ك، ص، ص({ a ن )ج( = 3

حاول أن تحلفى المثال السابق احسب االحتماالت اآلتية : 13

ثانيا : ب حدث ظهور صورة على األكثر. أوال : C حدث ظهورنفس الوجه في الرميات الثالث

رابعا: د حدث ظهور كتابة على األقل. ثالثا: ج حدث ظهور عدد فردى من الصور

خامسا: هـ حدث ظهور عدد من الصور يساوى نفس العدد من الكتابات.

مثال

االرتباط بالمجتمع: فى أحد المؤتمرات حضر 200 شخص من جنسيات مختلفة، وبياناتهم موضحة بالجدول التالى : 13

المجموعيتحدث الفرنسيةيتحدث اإلنجليزيةيتحدث العربية

504525120رجل

4530580امرأة

957530200المجموع

ص

كص

ك

ص

ك

ص

ك

ص

ك

ص

ك

ص

ك

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

142

لا باسح

تطبيقات الرياضيات - علمى98

إجابات تمارين )4 - 1(

ف = } )ص، 1( ، )ص، 2( ، )ص، 39 ، )ص، 4( ، )ص، 5(، 2)ص، 6(، )ك، 1( ، )ك، 2( ، )ك، 3( ، )ك، 4( ، )ك،

5(، )ك، 6( {

أ = } )ص، 1( ، )ص، 3( ، )ص، 5({

ب = } )ك، 2( ، )ك، 4 ( ، )ك، 6( {

ج = } )ص، 3( ، )ص، 5( ، )ك، 3(، )ك، 5( {

د = })ص، 3( ، )ك، 3( ، )ص، 6( ، )ك، 6( {

3 أ = } ) 1، 1( ، )2، 2( ، )3، 3( ، )4، 4( ، )5،5( ، )6،6( {ب = } )3، 6( ، )4،5(، )5،4(، )6، 3( {

z = ج د = } )3،1(، )2، 3(، )3،3(، )3،4(، )5، 3(، )3،6( ، )1،3(،

} )6،3( ،)5،3( ،)4،3(، )2،3(

4 أ = } 21، 31، 41، 13، 23، 43 {ب = } 31 ، 12، 32، 13، 14، 34{

ج  = } 31 ، 13 { د  = } 21، 31، 41، 12، 32، 13، 23، 43، 14، 34{

أ = } 12، 14، 16، 18، 20{ ، ب = } 1، 2، 3، 4، 6 ، 12{ 5ج = } 3، 9، 15{ ، د = } 10 ،20{ ، و = } 1 ، 2، 3، 4{

ن)ف( = 64 ، أ = } )1، 3( ، )2، 6( { 6ب = } )6، 8( ، )7، 7( ، )7، 8( ، )8، 6( ، )8، 7( ، )8 ، 8( {

C ∩ ب C ،ب حدثان متنافيان

ف = })ص، ص، ص( ، )ص، ص، ك( ، )ص، ك، ص( ، )ك، ص، 7ص( ، )ك، ك، ص( ، )ك، ص، ك( ، )ص، ك ، ك ( ، )ك، ك ، ك( {

أ = })ك، ك، ص(، )ك، ص، ك(، )ص، ك، ك(، )ك ، ك، ك({

ب = } ) ك، ك، ص(، )ك ، ص، ك( ، )ص، ك، ك( ، )ص، ص،

ك( ، )ص، ك ، ص(، )ك، ص، ص(، )ص، ص، ص({

ج = } )ص، ص، ص( ، )ص، ص، ك( ، )ص، ك، ص( ، )ص،

ك ، ك( {

د = } )ك، ك، ك( {

أ أ = } ) ك، 2( ، )ك، 4( ، )ك، 6({ 8ب ب = } )ص، 1( ، )ص، 2( ، )ص، 5({

ج حدث " وقوع أ أو عدم وقوع ب" /

= ) C ∩ ب (/

∪ ب/

C =

z = ب ∩ C ف ألن =

ص

ك

123456123456

إذا اختير أحد الحاضرين عشوائيا فأوجد احتمال أن يكون هذا الشخص المختار:

رجل يتحدث اإلنجليزية. ب امرأة تتحدث العربية. أ

يتحدث العربية واإلنجليزية. د يتحدث العربية أو الفرنسية. ج

امرأة ال تتحدث اإلنجليزية و ال يتحدث العربية. ه

الحل0٫225 = 45

احتمال أن يكون المختار " امرأة تتحدث العربية " = 200 أ

0٫225 = 45احتمال أن يكون المختار "رجل يتحدث اإلنجليزية" = 200 ب

0٫625 = 30 + 95200 احتمال أن يكون المختار "يتحدث العربية أو الفرنسية" = ج

احتمال أن يكون المختار "يتحدث العربية واإلنجليزية" = ل )z( = صفر د

0٫025 = 5احتمال أن يكون المختار "امرأة ال تتحدث اإلنجليزية و ال تتحدث العربية" = 200 ه

حاول أن تحلفى المثال السابق احسب احتمال أن يكون الشخص المختار: 14

ب يتحدث األلمانية. ال يتحدث اإلنجليزية. أ

رجل يتحدث العربية أو امرأة تتحدث اإلنجليزية. د إمرأة تتحدث الفرنسية أو اإلنجليزية. ج

تمــــاريــن )4 - 1(

يرغب طالب فى شراء حقيبة ويمكنه اختيارها من ثالثة أنواع بأحد حجمين، وقد يكون لون الحقيبة أسود 1 أو بنيا ، مثل فضاء العينة فى هذا الموقف بالشجرة البيانية.

فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثم حجر نرد ومالحظة ما يظهر على وجهيهما العلويين. 2 اكتب فضاء العينة المرتبطة بهذه التجربة ثم عين كال من األحداث اآلتية. أ

الحدث ب »ظهور كتابة وعدد زوجى«. ½الحدث C »ظهور صورة وعدد فردى«. ½

الحدث د »ظهور عدد يقبل القسمة على 3«. ½الحدث ج »ظهور عدد أولى أكبر من 2«. ½

فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى. 3 عين كال من األحداث التالية:

الحدث ب »ظهور عددين مجموعهما 9«. ½الحدث C »ظهور عددين متساويين«. ½

الحدث د »ظهور العدد 3 مرة واحدة على األقل«. ½الحدث ج »ظهور عددين مجموعهما 13«. ½

من مجموعة األرقام }1، 2، 3، 4{ كون عددا من رقمين مختلفين. مثل فضاء النواتج ف بشكل شجرة، ثم اكتب 4 ف وعين منها األحداث اآلتية :

ب حدث أن يكون رقم العشرات فرديا. ½أ حدث أن يكون رقم اآلحاد فرديا . ½

د حدث أن يكون رقم اآلحاد أو رقم العشرات فرديا. ½ج حدث أن يكون كال الرقمين فرديا. ½

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امسح لا باسح

143

4 4

العدد المسجل على حقيبة بها 2 بطاقة متماثلة ومرقمة من 1 إلى 20 سحبت بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ 5 البطاقة المسحوبة اكتب األحداث اآلتية :

أ حدث " العدد المسجل زوجى وأكبر من 10" ب حدث " العدد المسجل عامل من عوامل 12"

ج حدث " العدد المسجل فردى ويقبل القسمة على 3" د حدث " العدد المسجل مضاعف للعددين 2، 5 "

هـ حدث " العدد المسجل أولى"

" 17 H 3 - و حدث " العدد المسجل يحقق المتباينة  5س

سحبت بطاقتان الواحدة بعد األخرى من بين 8 بطاقات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 8 مع إعادة البطاقة المسحوبة 6 إذا كان : أوال قبل سحب البطاقة الثانية ، ما عدد عناصر فضاء العينة ؟ و

أ حدث " العدد فى السحبة الثانية ثالثة أمثال العدد فى السحبة األولى"

ب حدث " مجموع العددين أكبر من 13"

اكتب كال من C ،ب هل C ، ب حدثان متنافيان ؟ فسر ذلك.

النواتج بشكل تتابع الصور والكتابات مثل فضاء إلقاء قطعة نقود ثالث مرات متتالية ومالحظة فى تجربة 7 شجرى، ثم عين األحداث اآلتية :

ب حدث " ظهور كتابتين على األكثر" أ حدث " ظهور كتابتين على األقل"

د حدث " عدم ظهور صورة فى الرميات الثالث " ج حدث " ظهور صورة فى الرمية األولى"

ألقيت قطعة نقود ثم حجر نرد ومالحظة الوجه العلوى لقطعة النقود والعدد الظاهر على الوجه العلوى لحجر 8 النرد، مثل فضاء العينة بشكل شجرى ثم أوجد األحداث اآلتية :

أ حدث " ظهور كتابة وعدد زوجى" ب حدث " ظهور صورة وعدد فردى"

د حدث " وقوع الحدث أ فقط " ج حدث " عدم وقوع أ أو عدم وقوع ب"

هـ حدث " وقوع الحدث أ ووقوع الحدث ب"

اختر اإلجابة الصحيحة من اإلجابات المعطاة :

إذا ألقى حجر نرد منتظم مرة واحدة، فإن احتمال الحصول على عدد فردى أقل من 5 هو: 9 16 د 13 ج 12 ب 25 أ

فى تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين، فإن احتمال الحصول على عدد زوجى فى الرمية األولى وعدد 10 أولى فى الرمية الثانية هو :

14 د 19 ج 16 ب 13 أ

إذا سحبت كرة عشوائيا من صندوق به 3 كرات بيضاء ، 5 كرات حمراء ، 7 كرات خضراء فإن: 11 احتمال أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء أو خضراء هو :

12 د 7

15 ج 23 ب 15 أ

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

144

امسح لا باسح

99 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 سدرال

910111213رقم السؤال

ددبدجـاالجابة

13 ، ل)ب( =

12 = ) C( ل أ 14

16 ، ل)د( =

12 ل )ج( =

13 ، ل)و( =

23 ل)هـ( =

16 ل ) C ∪ج ( =1   ل )هـ ∪ و( =1  ل ) ب∩ د( =

1 , ل )ب( = 18

16 = )C(ل 15

16 ل )C( = 0.25 ، ل )ب( = 0.35

11ب ل ) C∪ ب ( = 24

23 = )/C( ل أ 17

1324 = )

/

∩ ب/

C( د ل 1

ل ) C -ب( = 12 ج

ج 0.95 ب 0.45   0.2 أ 18

1330 ،

115 ،

16 ،

13 20

25 ،

35 ،

1115 ،

415 19

38   ل)د( =

12   ل)ج( =

78   ل)ب( =

34 = )C(ل 21

518    5

36    16 22

0.6 ، 0.4 ،4

15 ،1315 23

712 د   

512 ج   

112 ب   

23 أ 24

750 ب ل)ب( = 7

50 أ ل )أ( = 253750 ل)د( = د

150 ج ل)ج( =

a ل )C ∪ ب ( = ل)C( + ل)ب( - ل )C ∩ ب( 26    = ] ل )C( - ل ) C ∩ ب( [ + ل )ب(

)1(         = ل) C - ب( + ل )ب(

)2(   )C ( ل + )C - ب( = ل ) ب ∪ C( أيضا ` ل

من )1( ، )2( ينتج أن

)3( )C (ل + )C - ب( + ل)ب( = ل )ب - C ( ل

بالتعويض فى )3( ينتج أن:

ل )C( 0.45 ، ل)ب( = 0.36 ، ل) C∪ ب( = 0.6

/ ∪ ب/ ( = 0.79

C ( ل

يحتوى صندوق على تسع بطاقات متماثلة تحمل األرقام من 1 إلى 9 اختيرت بطاقة عشوائيا، فإن احتمال أن 12 تحمل البطاقة المسحوبة رقم يقسم العدد 9 أو رقما فرديا هو :

59 د 12 ج 79 ب 13 أ

إذا كان C ، ب حدثين من ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية، وكان ب⊂ C ، ل )C( = 2ل)ب( = 0٫6 فإن ل )C -ب( 13 يساوى:

0٫2 د 0٫4 ج 0٫3 ب 0٫6 أ

ألقى حجر نرد منتظم كتب على أوجهه األعداد 8، 9، 10، 11، 12، 13 ولوحظ العدد على الوجه العلوي: 14

احسب احتمال كل من األحداث التالية: أ

ب "حدث ظهور عدد أولى." ½C "حدث ظهور عدد فردى." ½

د "حدث ظهور عدد أكبر من 12." ½ج"حدث ظهور عدد زوجى." ½

و "حدث ظهور عدد مكون من رقم واحد." ½هـ "حدث ظهور عدد مكون من رقمين." ½

احسب: ل)C ∪ ج( ، ل)هـ ∪ و( ، ، ل)ب ∩ د(. ب

إذا كان ف = }C ، ب، ج، د{ فضاء عينة لتجربة عشوائية، أوجد: 15 7

ل)C( ، ل)ب( ، إذا كان ل )C( = 3 ل)ب(، ل)ج( = ل)د( = 18

إذا كان C، ب حدثين متنافيين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، وكان: 16 ل )C ∪ ب( = 0٫6، ل )C - ب( = 0٫25 أحسب ل)C(، ل)ب(.

1 أوجد:3 ، ل)C ∩ ب( = 4

1، ل)ب( = 83 = )C(ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، وكان ل ،C إذا كان 17

∩ ب/(/

C(ل د ل)C - ب( ج ل)C ∪ ب( ب )/

C(ل أ

إذا كان C، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، حيث: 18 ل)C( = 0٫4 ، ل)ب/( = 3ل)ب( ، ل)C ∩ ب( = 0٫2 احسب احتمال:

ج وقوع C وعدم وقوع ب. وقوع C أو ب. ب وقوع C فقط. أ

صندوق به كرات متماثلة وملونه منها 4 حمراء، 6 زرقاء، 5 صفراء، سحبت منه كرة واحدة عشوائيا. احسب 19 احتمال أن تكون الكرة المسحوبة:

ليست حمراء وال صفراء. د ليست زرقاء. ج زرقاء أو صفراء. ب حمراء. أ

مجموعة بطاقات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 30 سحبت منها بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ العدد المدون عليها. 20 احسب احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل:

عددا يقبل القسمة على 5 ب عددا يقبل القسمة على 3 أ

عددا يقبل القسمة على 3 أو 5 د عددا يقبل القسمة على 3 و 5 ج

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امسح لا باسح

145

4 4

ألقيت ثالث قطع نقود متمايزة مرة واحدة. احسب احتمال كل من األحداث التالية: 21

ب حدث ظهور صورة واحدة على األقل. ½C حدث ظهور صورة واحدة أو صورتين. ½

د حدث ظهور كتابتين متتاليتين على األقل. ½ج حدث ظهور صورة على األكثر. ½

فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى فى كل مرة، احسب احتمال 22 كل من األحداث التالية:

حدث مجموع العددين فى الرميتين يساوى 8 ½حدث ظهور العدد 4 فى الرمية األولى. ½

حدث مجموع العددين فى الرميتين أقل من أو يساوي 5 ½

الربط بالر ياضة : عينة عشوائية تتكون من 60 شخصا شملهم استطالع للرأى، وجد أن 40 شخصا، منهم يشجع 23 نادى الهالل، و28 شخصا يشجع نادى النجمة، وأن 8 أشخاص اليشجعون أيا من الناديين.

إذا اختير شخص عشوائيا من أفراد العينة، فما احتمال أن يكون الشخص المختار من مشجعى:

الناديين معا. ب أحد الناديين على األقل. أ

أحد الناديين فقط. د نادى الهالل فقط. ج

الظاهر على والعدد النقود لقطعة الظاهر الوجه منتظم ومالحظة نرد ثم حجر نقود إلقاء قطعة فى تجربة 24 الوجه العلوى لحجر النرد، إذا كان C هو حدث ظهور صورة وعدد أولى ، ب حدث ظهور عدد زوجى . احسب

احتمال وقوع كل من الحدثين C ، ب ثم احسب احتمال كال من األحداث اآلتية :

ب وقوع الحدثين معا أ وقوع أحد الحدثين على األقل

د وقوع أحد من الحدثين فقط ج وقوع ب فقط

سحبت بطاقة واحدة عشوائيا من 50 بطاقة متماثلة، ومرقمة من 1 إلى 50، احسب احتمال أن يكون العدد على 25 البطاقة المسحوبة:

مربعا كامال ب مضاعفا للعدد 7 أ

ليس مربعا كامال، وليس مضاعفا للعدد 7 د مضاعف للعدد 7 ومربعا كامال ج

4 ل )C( ، ل )C -ب( = 0٫24 إذا كان C، ب حدثين من فضاء نواتج لتجربة عشوائية ف، ل)ب( = 5 26 ∪ ب/(

/

C( ل ،)ب ∪ C( ل ،)(، ل )ب C ( 0٫15 أوجد : ل = )/

C ∩ل )ب

كتب طارق 75 خطابا على اآللة الكاتبة، فوجد أن 60٪ منها بال أخطاء ، وكتب زياد 25 خطابا أخرى، فوجد 27 أن 80٪ منها بال أخطاء، فإذا اختير خطاب عشوائيا مما تم كتابته بواسطة طارق وزياد، فأوجد احتمال أن

يكون هذا الخطاب :

زياد هو الذى كتب الخطاب. ب بال أخطاء . أ

طارق قد أخطأ فى كتابته . د زياد لم يخطئ فى كتابته. ج

∩ ب( C(0٫5 فاحسب ل = )ب ∪ C( 0٫8، ل = )( = 0٫6 ، ل)ب C (ب حدثين من فضاء عينة ف، ل ،C 28 إذا كان

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

146

لا باسح

تطبيقات الرياضيات - علمى100

المجموعباألخطاءبال اخطاء27

453075طارق

20525زياد

6535100المجموع

0.65 = 65

100 احتمال أن يكون الخطاب بال أخطاء =

احتمال أن يكون زياد هو الذي كتب الخطاب = 0.25

0.2 = 20

100 احتمال أن يكون زياد لم يخطئ في كتابته =

0.3 = 30

100 احتمال أن يكون طارق قد أخطأ كتابته =

تمارين إثرائية :

إذا كان C، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ف، ل - 1

23 ، ل)C ∩ب( =

14 = )C(

أوجد ل)ب( فى الحالتين اآلتيتين :

ثانيا: C، ب حدثين متنافيين. أوال: إذا كان C ⊂ ب

إذا كان C ، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ف، ل - 2

، 5

12 ، ل ) C ∩ ب( =1

12 )C ∩ ب (=

أوجد كال من: ل)C(، ل)ب( ، ل)C ∩ ب(14 ل)C ∪ ب( =

ملخ�ص �لوحدةالتجربة العشوائية : هى كل تجربة يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها، ولكن النستطيع أن 1

نحدد أيا من هذه النواتج سوف يتحقق عند إجرائها.

التجربة لهذه الممكنة النواتج لتجربة عشوائية هو مجموعة كل العينة النواتج(: فضاء العينة )فضاء فضاء 2ويرمز له بالرمز ف.

الحدث : هو مجموعة جزئية من فضاء العينة. 3

الحدث بسيط )أولى(: هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحوى عنصرا واحدا فقط. 4

الحدث المؤكد : هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ف. 5

.z الحدث المستحيل: هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز 6

العمليات على األحداث: التقاطع - االتحاد - اإلكمال - الفرق. 7

األحداث المتنافية 8

.z = ب ∩ C ب متنافيان إذا كان ،C يقال إن الحدثين

يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا كانت وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى. ½

حساب االحتمال 9 إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ما ، واألحداث األولية التى تحويها متساوية اإلمكانات. ½

½ )C(ن ن)ف(

= )C(حيث ل )C(ف يرمز له بالرمز ل ⊃ C فإن احتمال وقوع أى حدث

مسلمات االحتمال 10½ 1 H )C(ل H 0 : يرمز له بالرمز ل حيث C ف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث ⊃ C لكل حدث

ل)ف( = 1 ½

ل)C ∪ ب( = ل)C( + ل)ب( ½ إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف وكان C، ب حدثين متنافيين فإن:

إذا كان C ∪.... ∪3C∪2C∪1Cن=ف حيث C ، ...،2C ،2C ،1Cن جميعها أحداث متنافية 11

فإن ل)1C( + ل)2C( + ل)3C( + ... + ل)Cن( =1

0 = )z(12 ل

)C(1 - ل = ) /

C(ف حيث ف فضاء نواتج لتجربة عشوائية فإن ل ⊃ C إذا كان 12

ألى حدثين أ ، ب من ف فضاء نواتج لتجربة عشوائية فإن 13ل)C -ب( = ل)C( - ل )C ∩ ب ( ب ل )C ∪ ب ( = ل)C( + ل)ب( - ل )C ∩ ب ( أ

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

����� ل�� ��

147

4 4

األحداث بالصورة اللفظية وتمثيلها بشكل ڤن، واحتماالتها: 14

احتمال وقوع الحدثتمثيل الحدث بشكل ڤنالحدث فى صورة لفظية

C عدم وقوع الحدث

C

ف

C)C(1 - ل = )

/

C(ل

وقوع C أو ب )وقوع أحدهما

على األقل(C

ف

بC ∪ ب

ل)C ∪ ب( = ل)C( + ل)ب( - ل) C ∩ ب(

وقوع C و ب )وقوعهما معا(C

ف

بC ∩ ب

ل)C ∩ ب( = ل)C( + ل)ب( - ل)C ∪ ب(

وقوع الحدث C فقط

C)وقوع C وعدم وقوع ب(

ف

بC -ب = C∩ ب/ = C ( - C ∩ ب (

ل)C - ب( = ل)C( - ل) C ∩ ب( = ل) C ∩ ب/(

وقوع أحدهما فقط

C)وقوع C فقط أو وقوع ب فقط(

ف

ب)C - ب( ∪ )ب - C (

))C - ب( ∪ )ب - C ((ل

) C - ب( + ل) ب - C (ل =  

  = ل) C ∪ ب( - ل) C ∩ ب(

عدم وقوع أى من الحدثين

C)عدم وقوع C وعدم وقوع ب(

ف

ب ∩ ب/

/

C = /)ب ∪ C(

( = 1 - ل )C ∪ ب( ∩ ب//

C(ل = /

ل) C ∪ ب(

عدم وقوع الحدثين معا

)عدم وقوع C أو عدم وقوع ب(

أو )وقوع أحدهما على األكثر( / ∪ ب/

C = / )ب ∩ C(C

ف

ب ∪ ب/( = 1 - ل)C ∩ ب(

/

C(ل = / )ب ∩ C(ل

عدم وقوع C فقط

)C وقوع ب أو عدم وقوع(C

ف

ب / C ∪ ب( / = ب - C (

)/

C ∪ ب( = ل )ب - C(1 - ل = /)ب - C (ل

( + ل )C ∩ ب(/

C( ل = 

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

148

امسح لا باسح

101 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 سدرال

إجابات التمارين العامة على الوحدة الرابعة:

1234567رقم السؤال

جـدأأجـدجـاالجابة

8 أ = }31، 41، 13، 23، 43{ب = }21، 12، 42، 24{

z = ج

د = }12، 24{

 23 ب   

12 أ 9

16 ج

10

Cz = ب ∩ CC = ب - Cب = C - ب

ب - Cz = C ∪ ب = أC ∩ ب = ب ب

ل )C ∩ ب( = 0.3ل)ب - C( = 0.4ل )C ∪ ب( = 0.7جـ

ل )C - ب( 0.3ل )C ∩ ب( = صفرل )C ∪ ب( = 0.9د

0.3 = )/

ل )ب 1123 ثانيا س =

16 أوال س = أ 12

112 ب

ب أ 13

د ج

و ه

14   ل )د( =

12   ل)ج( =

78   ل )ب( =

38 = )C( ل 14

1

2

3

4

2

1

1

1

3

3

2

2

4

4

4

3

Cب

ف

C ∪ بC

ف

/

C

ب

ف

/

)C - ب( = /

C ∪ بC

ف

ب - )C ∩ ب(

ب C

ب

ف

)C - ب( ∪ )ب - C(C

ف

/

∪ ب/

C = /

)C ∩ ب(

ب C

تمارين عامة )الوحدة الرابعة(

اختر االإجابة ال�شحيحة من االإجابات المعطاة:فى تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين فإن :

احتمال الحصول على العدد 5 فى الرمية األولى والعدد 6 فى الرمية الثانية هو: 1 16 د 1

36 ج 130 ب 1

24 أ

احتمال الحصول على العدد 5 فى إحدى الرميتين والعدد 6 فى الرمية األخرى هو: 2 1

18 د 536 ج 16 ب 1

12 أ

احتمال الحصول على عددين متساويين فى الرميتين هو: 3 1

18 د 16 ج 136 ب 15 أ

C ، ب حدثان من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ، اختر الحدث الذى يعبر عن الجزء المظلل بشكل ڤن المقابل:∪ ب/

/

C  ب  ف - ) C ∪ ب( أ 4 ∩ ب (/

C(  د ∪ ب/ ( /

C( - ف  ج

 C ∪ ب/ ب ∩ ب

C  أ 5 ∪ ب/

/

C  د ∪ ب(/

C(  ج

∩ ب (/

C(- ف  ب ∩ ب(

C(- )ب ∪

C(  أ 6

∩ ب (

C( - ف  د ∪ ب(/

C( - ف  ج

∩ ب/ /

C  ب ∩ ب(

C( - ف  أ 7 ∪ ب (/

C( - ف  د )

C - ب( ∪)ب

-

C(  ج

كون من أرقام العدد 4321 أعداد، كل منها يتكون من رقمين مختلفين . مثل فضاء النواتج بشكل شجرة بيانية، 8 ثم اكتب فضاء النواتج واألحداث اآلتية :

أ حدث " مجموعة األعداد األولية ".

ب حدث " مجموعة األعداد التى تقبل القسمة على 3".

ج حدث " مجموعة األعداد التى تقبل القسمة على 3 و 5".

د حدث" مجموعة األعداد التى بها اآلحاد ضعف العشرات".

9 فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة، ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى، احسب احتمال أن يكون العدد الظاهر :

فرديا يقبل القسمة على 3 ج ب من عوامل 6 أ أوليا

ف

بC

C

ف

ب

ف

بC

C

ف

ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

����� ل�� ��

149

4 4

إذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية. 10 أكمل لتكون العبارة صحيحة فيما يأتى:إذا كان C، ب حدثين متنافيين: أ

ب - C½ ...................................................... = C - ب = ............................................ ½C ∩ ب = ............................................. ½

إذا كان ب ⊂ C فإن: ب

ب - C½ ..................................................... = C ∪ ب = ........................................ ½)C ∩ ب( = ................................. ½

إذا كان ل)C( = 0٫3 ، ل)ب( = 0٫5 ، ل )C ∩ ب( = 0٫1 فإن: ج

∩ ب/( = ................................. ½ل)ب - C( = ................................. ½ل)C ∪ ب( = ................................ ½/

C(ل

( = 0٫7، ل)ب/( = 0٫4 فإن:/

C(ل ، z = ب ∩ C إذا كان د

ل)C - ب( = ................................. ½ل)C ∩ ب( = ................................. ½ل)C ∪ ب( = ................................. ½

1، احتمال وقوع ب فقط 2 = )C(ب ، ل ⊃ C ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية، وكان ،C إذا كان 11

يساوي 0٫2. احسب احتمال عدم وقوع ب.

وكان ف، على معرفة احتمال دالة ل عشوائية، لتجربة ف العينة فضاء من حدثين ب ،C كان إذا 12 11، ، ل)ب( = س، ل)C ∪ ب(/ = 3

2 = )C(ل

أوجد قيمة س إذا كان: أ C ⊂ ب. ½C، ب حدثان متنافيان. ½

1 فأوجد ل)C ∩ ب(.إذا كانت س = 4 ب

إذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية، أعط تعبيرا رمزيا لكل من األحداث اآلتية، ومثلها 13 بشكل ڤن:

وقوع أى الحدثين C أو ب. ب .C عدم وقوع الحدث أ

وقوع C أو عدم وقوع ب. د وقوع الحدث ب فقط. ج

وقوع أحدهما فقط. و عدم وقوع الحدثين معا. ه

فى تجربة إلقاء قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية، ومالحظة تتابع الصور والكتابات، مثل فضاء العينة 14 لهذه التجربة بالشجرة البيانية، ثم احسب احتمال كل من األحداث التالية:

الحدث ب »ظهور صورتين على األكثر«. ب الحدث C »ظهور صورتين فقط«. أ

الرميات فى الوجه نفس »ظهور د الحدث د الحدث ج »ظهور كتابة واحدة على األكثر«. ج

الثالث«.

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

150

متسرين عس�ة )ل�� �� ل�رلبعة(

لا باسح

تطبيقات الرياضيات - علمى102

أ 15

` C، ب حدثان متنافيان z = ب ∩ C ب

` C ، ج حدثان متنافيان z = ج ∩ C 1

36 ل )ب ∩ ج( = 1736 ل )C ∪ ب( = ج

19 ل )ب - ج( =

12 =

/

ل )C ∪ ج(

1925 ج

25

ب 35 أ 16

ب 0.48 أ 0.36   17

ب 0.48 أ 0.36   18

د 0.825 ج 0.53  

512 ج ل)ج( =  

13 ب ل)ب( =

14 أ ل)أ( = 19

إجابات اختبار تراكمي

ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{ 1 ف = })ص، ك( ، )ك، ص( ، )ك، ك({ 2

ف = })2، ص( ، )2، ك( ، )3، ص(، )3، ك(، )5، ص(، )ق، ك({ 3 ف = })1، 4( ، )2، 3(، )3، 3(، )1، 4({ 4

ف = }18،15،12،9،6،3{ 5 })ص، ص، ك( ، )ص، ك، ص( ، )ك، ص ، ص({ 6

34 7

0.15 = 3

20 أ احتمال أن يقبل العدد القسمة على 6 = 8

0.2 = 15 ب احتمال أن يكون أوليا أكبر من 10 =

0.3 = 6

20 ج احتمال أن يكون من عوامل العدد 12 =

ج 0.7 ب 0.45  أ 0.3   9 ج 91 ب 0.35   أ 0.25   10

0.55 = )C( ل 11 0.75 = 0.45 * 5

3ل ) C ∪ ب( =

11

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

C

ج

ب

الرمية الثانية

الرمية األولى

فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى. 15

ارسم شكال هندسيا يمثل فضاء العينة ف موضحا عليه كال من األحداث اآلتية: أ

الحدث C »الحصول على عددين مجموعهم فردى وأكبر من 6«. ½

½ .»5 H الحدث ب »الحصول على عددين أحدهما 2 ومجموعها

الحدث ج »الحصول على عددين متساويين«. ½

أى األحداث C، ب، ج متنافية مثنى مثنى؟ ب

 ، ل)ب - ج(./

احسب كل من : ل)C ∪ ب( ، ل)ب ∩ ج( ، ل)C ∪ ج( ج

خمس بطاقات متماثلة مرقمة من 2 إلى 6 سحبت بطاقتان الواحدة بعد اآلخرى مع اإلحالل، ومالحظة الرقم 16 المسجل عليها لتكوين جميع األعداد الممكنة ذات الرقمين. أوجد احتمال:

أن يكون رقم العشرات عددا فرديا. ب أن يكون رقم األحاد عددا أوليا. أ

أن يكون رقم األحاد عددا أوليا أو رقم العشرات عددا فرديا. ج

صحف:C، 24 يقرؤن الصحيفة ب، 9 أشخاص يقرؤن فى عينة من 50 شخصا، وجد أن 27 شخصا يقرؤن الصحيفة 17

الصحيفتين معا. اختير شخص واحد من هذه العينة عشوائيا. أوجد احتمال أن يقرأ الشخص المختار.

إحدى الصحيفتين على األقل. ب الصحيفة C فقط. أ

سياحة:والضوء الصوت مشروع عروض أحد فى 18 بالهرم حضر 200 شخص من جنسيات مختلفة

اختير فإذا ، اآلتى بالجدول موضح بيانهم

أحد الحاضرين عشوائيا عن طريق بطاقات

الدخول الخاصة بهم لمنحه جائزة تذكارية.

أوجد احتمال أن يكون الشخص المختار

سيدة أمريكية. ب رجال أوروبيا. أ

ذو جنسية عربية أو أوروبية. د سيدة. ج

إذا كان ف = }C، ب، ج{، فضاء عينة لتجربة عشوائية ما، وكان: 19 ل) C ( ، ل)ب( ، ل )ج( ( فأوجد: ( = 12ل)ج ( = 15ل)ب

C (20ل

المجموعأمريكىأوروبىعربى32471594رجل

236320106سيدة

5511035200المجموع

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

����� ل�� ��

151

4 4

اختبار تراكمى

اأكمل ما ياأتى:عند إلقاء حجر نرد منتظم مرة واحدة، ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى فإن فضاء النواتج ف = .......................... 1

عند إلقاء قطعة نقود معدنية مرتين متتاليتين، ومالحظة الوجه العلوى، فإن حدث ظهور صورة على األكثر = ...................... 2 عند إلقاء حجر نرد منتظم ثم قطعة نقود ومالحظة الوجه العلوى لكل منهما فإن حدث ظهور عدد أولى = .......................... 3

عند إلقاء حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ومالحظة الوجه العلوى فى كل مرة، فإن حدث " مجموع العددين 4 الظاهرين يساوى 5" = ..........................

عند سحب بطاقة من 20 بطاقة متماثلة ومرقمة من 1 إلى 20 ومالحظة العدد الظاهر على البطاقة فإن حدث 5 » العدد الظاهر يقبل القسمة على 3 " =..........................

صورتين "ظهور حدث فإن والكتابات، الصور تتابع ومالحظة متتاليات مرات ثالث نقود قطعة إلقاء عند 6 بالضبط" = ........................................

. ) /

C(فأوجد ل )C(3 ل = )/

C(ف حيث ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية ، وكان ل ⊃C إذا كان 7

صندوق به 20 بطاقة متماثلة، ومرقمة من 1 إلى 20 سحبت منه بطاقة واحدة عشوائيا، أوجد احتمال أن يكون 8 العدد المكتوب على البطاقة المسحوبة :

من عوامل العدد 12 ج أوليا أكبر من 10 ب يقبل القسمة على 6 أ

إذا كان C ، ب حدثين من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية، ل ) C ∪ ب( = 0٫85 ، ل)C( = 0٫75 ، ل) ب/( = 0٫6 9 أوجد:

∪ ب/( /

C ( ل ج ل ) C ∩ ب/( ب ل ) C ∩ ب( أ

2 ل)ب( ، واحتمال حدث وقوع 3= ) C ( ب حدثين من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية، فإذا كان ل ، C إذا كان 10

أحدهما على األكثر يساوى 0٫75 ، احتمال حدث "وقوع أحدهما على األقل" يساوى 0٫6 فأوجد احتمال

األحداث اآلتية:

.C وقوع ب أو عدم وقوع ج وقوع أحد الحدثين فقط. ب احتمال وقوعهما معا. أ

3 ل)C ∪ ب(= 0٫45 فأوجد ل )ب( 5= )

/

C( ب حدثين من ف فضاء عينة لتجربة عشوائية، فإذا كان ل ، C إذا كان 11 فى الحاالت االتية :

0٫2 = )C - ج ل)ب ب C ⊂ ب C، ب حدثان متنافيان أ

بالسياحة: فوج سياحى مكون من 19 سائحا من روسيا، 17 سائحا من إيطاليا، 14 سائحا من فرنسا، الربط 12 اختير أحدهم عشوائيا، احسب احتمال أن يكون السائح:

تطبيقات الرياضيات - علمى

الوحدة الرابعة: لا باسح

152

امسح لا باسح

103 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

1 سدرال

أ إذا كان C ، ب حدثين متنافيين.

` C ∩ ب = z ل ) C ∩ ب( = صفر

ل )C ∪ ب( = ل )C( + ل )ب(

` ل )ب( = 0.2 0.75 = 0.55 + ل )ب(

ب إذا كان C ⊂ ب فإن C ∪ ب = ب

` ل )ب( = ل ) C ∪ ب( = 0.75

0.2 = )C - ج إذا كان ل ) ب

` ل )ب( - ل )C ∩ ب ( = 0.2

ل )ب( = 0.2 + 0.25 = 0.45

14 + 1950

أ احتمال أن يكون السائح من روسيا أو فرنسا = 12 0.66 =   

17 + 1950

ب احتمال أن يكون السائح ليس من فرنسا =

0.72 =   

ج احتمال أن يكون السائح من أوربا = ل )ف( =1

د احتمال أن يكون السائح من هولندا = ل)z( = صفر

احتمال ، )C( ل = المحافظ حضور احتمال أن يفرض 13 حضور المدير العام = ل )ب(

` ل )C( = 0.8 ، ل )ب( = 0.9 ، ل ) C ∩ ب( = 0.75

أ - احتمال حضور المحافظ فقط = ل) C -ب(

= ل )C( -ل ) C ∩ب( = 0.05

ب - احتمال حضور أحدهما على األقل = ل ) C∪ ب(

0.95 = 0.75 - 0.9 + 0.8 =

جـ -احتمال عدم حضورهما معا = ل ) C ∩ ب(

0.25 = 0.75 - 1 =

أ ل ) C ∩ ب( = ل )C( + ل )ب( - ل ) C ∪ب( 14 0.4 = 0.9 - 0.7 + 0.6 =

ب - ل ) C ∩ب ( = ل ) C - ب( = ل )C( - ل ) C ∩ ب (

0.2 = 0.4 - 0.6 =

جـ - ل ) C- ب( + ل ) ب - C( = ل ) C ∪ب( - ل ) C∩ ب(

0.5 = 0.4 - 0.9 = 73 = )C(1-ل

)C( ل 73 = )

/

C(ل)C( ل

15

0.3 = )C( ل `

`2 ل)ب( = 3 - 3ل)ب( a 2ل )ب( = 3ل )ب(

ليس من فرنسا. ب من روسيا أو من فرنسا. أ

من هولندا. د من أوروبا. ج

الربط بالبيئة المدرسية : فى احتفال المدرسة بتكريم أوائل طالبها، إذا كان احتمال حضور المحافظ 0٫8، 13 واحتمال حضور مدير عام التعليم 0٫9 واحتمال حضورهما معا 0٫75 أوجد:

احتمال حضور أحدهما على األقل. ب احتمال حضور المحافظ فقط. أ

احتمال عدم حضورهما معا. ج

C، ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية ف. 14 فإذا كان ل)C( = 0٫6، ل)ب/( = 0٫3 ، ل)C ∪ ب( = 0٫9، أوجد احتمال كل من األحداث اآلتية:

وقوع C فقط أو ب فقط ج وقوع C وعدم وقوع ب ب وقوع C و ب أ

15 إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية حيث ف= }C، ب، جـ{

)/

ل)جـ)

ل)جـ7 ، 2 ل )ب( = 3 ل)ب/( فأوجد

3 = )/C(ل)C(ل

وكان

إذا كان C، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان: 16 ∪ ب/( = 0٫7 فأوجد احتمال كل مما يأتي:

/

C ( 0٫5    ،   ل = )( = 0٫6   ،   ل)بC(ل

ثانيا: وقوع حدث C فقط أوال: وقوع الحدثين C، معا

رابعا: وقوع أحد الحدثين فقط ثالثا: وقوع أحد الحدثين على األقل

تقدم لوظيفة بأحد البنوك 50 شخصا موزعين كما هو موضح بالجدول التالي، اختير أحد المتقدمين عشوائيا، 17 أوجد احتمال أن يكون الشخص المختار:

أنثى. أوال:

من ذوى المؤهالت المتوسطة. ثانيا:

ذكر من المؤهالت العليا. ثالثا:

أنثى أو من ذوى المؤهالت العليا. رابعا:

مؤهالت الجنسعليا

مؤهالت المجموعمتوسطة

161430ذكر

12820أنثى

282250المجموع

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

����� ل�� ��

153

4 4

` ل )ب( = 0.6

` ل)جـ( = 1 - ) 0.3 + 0.6( = 0.1

`ل )جـ( = 0.9 91 = )

ل)جـ/ل )جـ(

`

)C ∩ ب( = 0.3 ل )C ∪ ب( = 0.7 16 : احتمال وقوع الحدثين معا = ل )C ∩ ب( = 0.3 أولا

ثانياا: احتمال وقوع C فقط = ل ) C - ب(

= ل )C( - ل )C ∩ ب( = 0.6 - 0.3 = 0.3

ثالثاا: احتمال وقوع أحد الحدثين على األقل - ل) C ∪ ب(

= ل )C ( + ل )ب( - ل ) C ∩ ب(

0.8 = 0.3 - 0.5 + 0.6 =

ا: احتمال وقوع احد الحدثين فقط رابعا

= ل )C ∪ ب(- ل )C ∩ ب( = 0.8 - 0.3 = 0.5

ثانيا: 0.44 أوال: 0.4 17 رابعا: 0.72 ثالثا: 0.32

لا باسح

تطبيقات الرياضيات - علمى104

ملحقات دليل المعلم

105 دليل املعلم - الصف الثانى الثانوى

تطبيقات الرياضيات - علمى 112

قائمة المراجع والمواقع الإلكترونية

المراجع:وليم عبيد وآخرون، تربويات الرياضيات، القاهرة، االنجلو المصرية، 2005، ص ص 7 - 28●●وليم عبيد، قصة الرياضيات، القاهرة، المكتبة األكاديمية، الطبقة األولى، 2001، ص ص 15 - 17●●محمد أمين المفتى، االتجاهات الحديثة فى تعليم الرياضيات، ورقة مقدمة للمواتمر العلمى السنوى بعنوان "الرياضيات المدرسية معايير ومستويات"، ●●

الجمعية المصرية لتربويات الرياضيات، القاهرة، 2001على ماهر خطاب، القياس والتقويم فى العلوم النفسية والتربوية واالجتماعية، الطبعة السابعة، القاهرة، االنجلو المصرية، 2008●●سعدون العبيدى )2004( أساسيات الرياضيات ، ط3، االردن : دار الفالح.●●جابر عبد الحميد جابر )1999( استراتيجيات التدريس والتعلم ، مصر : دار الفكر العربى.●●فؤاد أبو حطب؛ آمال صادق)1988( علم النفس التربوى. ط 4، مصر : مكتبة االنجلوا المصرية .●●وليم عبيد )2004(: تعلم الرياضيات لجميع األطفال فى سباق ثقافة الجودة، دار المسيرة ، عمان األردن .●●محبات أبو عميرة )2000( تعليم الرياضيات بين النظرية والتطبيق، مصر : مكتبة الدار العربية للكتاب .●●شاكر عبد الحميد ، وآخرون )2005( تربية التفكير - مقدمة عربية فى مهارات التفكير ، اإلمارات العربية المتحدة - دبي : دار القلم .●●محمد أمين المفتى )1996( سلوك التدريس ، مصر : مركز الكتاب.●●

❍ Daire, S. and other, Geometry U.S.A, prentice Hall ❍ Edward D. Gaughan and others, (1982) Algebra, Second course 1982, Scott Foresman. ❍ Eleanor Beoher and other, Advanced Algebra, U.S.A Prentice Hall ❍ Ernest, H. Richard, P.,(2010). (2005), Introductory mathematical Analysis, Eleventh Edition,

pearson, prentice Hall. ❍ G.N YAkovlEv, (1982) Problem Book in High school mathematics, Mir Publishers, moscow. ❍ George, B., Maurice, D., Joet, R(2011). thomas’ colulus, twelfth Edition. ❍ J.F Talgert and H.H.Heng, (1992) Additional Mathematics, FiFth Edition, Longman ingapore pub-

lishers (Ptc) limited. ❍ John J . Bradiy and other, Algebra, U.S.A, prentice Hall, Zolo ❍ Larson, R.(2013). Precalculus, q the Edition, Brooks cole. ❍ McGraw-Hill, (2005). Advanced Mathematical calconcepts: Precalculus with Applications, 1st

Edition. ❍ Randall I . Charles and others, (2010) Math Corse 3 . U.S.A, prentice Hall ❍ Rayner, General D.(1984) Mathematics, Revision and Practice, Second edition, oxford university

press. ❍ Stewart, J (2012) calculus: Early transcendentals ❍ Sullivan, M.(1996). Mathematics: An Applied Apprach, 8th Edition, John wileyand sone, inc. ❍ Sullivan, M., (2015) Trigonometry: A unit circle Approach, pearson education, Canda. ❍ Vernon, C, Richard, A (2012) college Algebra and trigonometry . ❍ Japan Society of Mathematics Education (2000): mathematics program in Japan, JSME Tokyo,

japan. ❍ MOE (2005) : The Ontario Curriculum mathematics "Ontarion, Canada, ISBN 0-7794-8122-4

(Internet) ❍ Ebeid , William (2005): "Professional Development for Mathematics, Teacher, Unpublished Lec-

tures, cairo. ❍ Ebeid , William (2008): The paradigm shift in mathematics education, in Math and 21st century,

world scientific pub. Co. London.

ثانيا: المواقع اإللكترونية

(http://geogebra.org/com) (http://www.pedowan.dk) (http:// www. phschool.com)

www.NCTM.org http://www.keycurriculum.com/products/ sketchpad

113دليل املعلم - املقدمة

قامو�س الم�صطلحات التربوية والعلمية

Ñ Mutually Exclusive Events أحداث متنافية�Ñ Statistics إحصاء�Ñ Displacement إزاحة�Ñ equilibrium of a body اتزان جسم�Ñ Equilibrium of rigid body اتزان جسم جاسئ�Ñ Probability احتمال�Ñ Height ارتفاع�Ñ Slant height ارتفاع جانبى�Ñ Statics استاتيكا�Ñ Average Velocity السرعة المتوسطة�Ñ Relative Velocity السرعة النسبية�Ñ Operation on the Events العمليات على األحداث�Ñ Space الفراغ�Ñ Straight line المستقيم�Ñ plane المستوى�Ñ The point النقطة�Ñ Random Experiment تجربة عشوائية�Ñ Resolving force تحليل قوة�Ñ Gram weight ثقل جرام�Ñ Kilogram weight ثقل كيلو جرام�Ñ Gravity جاذبية أرضية�Ñ Universal Gravitation جذب عام�Ñ Rigid body جسم جاسئ�Ñ Die حجر نرد�Ñ Event حدث�Ñ Simple Event حدث بسيط )أولى(�Ñ Certain Event حدث مؤكد�Ñ Compound Event حدث مركب�Ñ Impossible Event حدث مستحيل�Ñ Lateral edge حرف جانبى�Ñ Vertical Motion حركة رأسية�Ñ Rectilinear Motion حركة مستقيمة�Ñ Line of action of the force خط عمل قوة�Ñ Circle دائرة�Ñ Dyne داين�Ñ Vertex رأس�Ñ Instantaneous Velocity سرعة لحظية�Ñ Uniform Velocity سرعة منتظمة�Ñ Free fall سقوط حر�

Ñ Net of a pyramid شبكة هرم�Ñ acceleration of gravity عجلة السقوط الحر�Ñ Uniform Acceleration عجلة منتظمة�Ñ Sample space فضاء العينة - فضاء النواتج�Ñ Base قاعدة�Ñ lami's rule قاعدة المى�Ñ triangle of forces قاعدة مثلث القوى�Ñ Diameter قطر�Ñ Coin قطعة نقود�Ñ Force قوة�Ñ Gravitation force قوة التثاقل�Ñ Vector Velocity متجه سرعة�Ñ Position Vector متجه موضع�Ñ Axis محور�Ñ Cone مخروط�Ñ Right circular cone مخروط دائرى قائم�Ñ force Component مركبة قوة�Ñ Center مركز�Ñ centre of gravity مركز ثقل�Ñ Lateral area مساحة جانبية�Ñ Surface area مساحة كلية )سطحية(�Ñ Distance مسافة�Ñ smooth plane مستوى أملس�Ñ inclined smooth plane مستوى مائل أملس�Ñ Average Speed مقدار السرعة المتوسطة Ñ Radius نصف قطر�Ñ Newton نيوتن�Ñ Pyramid هرم�Ñ Right pyramid هرم قائم�Ñ Regular pyramid هرم منتظم�Ñ Lateral face وجه جانبى�

تطبيقات الرياضيات - علمى 114

خريطة المنهج

أساليب التقويماسرتاتيجيات التدريساملفاهيماملوضوعاتمخرجات التعلمالوحدة

ــاك

تيــا

ستاال

وحدات ●● ضوء فى القوة مقدار قياس ووحدات ، كمتجه والقوة ، القوة مفهوم يتعرف القياس السابقة.

يوجد محصلة قوتين مقدارا واتجاها )القوتان تؤثران فى نفس النقطة(.●●يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين فى اتجاهين معلومين.●●يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين.●●يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.●●فى ●● المتالقية المستوية القوى من مجموعة تأثير تحت )جسيم( مادية نقطة اتزان يبحث

نقطة فى الحاالت اآلتية:إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان فى نقطة.

إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة.إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.

ا مستخدما تكنولوجيا المعلومات فى صورة أنشطة. ●● يوجد محصلة قوتين هندسيا وجبرييستخدم تطبيقات ما درسه فى االستاتيكا فى مواقف فيزيائية وحياتية.●●

الدرس�)1 - 1(:�مقدمة�عن�تطور�علم�الميكانيكا.

الدرس�)1 - 2(:�القــوى.

تحليل�القوى. الدرس�)1 - 3(:�

الدرس�)1 - 4(:�محصلة�عدة�قوى�مستوية�متالقية�فى�نقطة.

الدرس�)1 - 5(:�اتزان�جسيم�تحت�تأثير�مجموعة�من�القوى�المستوية�المتالقية�فى�نقطة.

استاتيكا - قوة - جسم جاسئ - - قوة نيوتن الحر - السقوط التثاقل - عجلة جرام ثقل - جرام كيلو ثقل - داين -- خط عمل قوة - تحليل قوة - مركبة قوة - اتزان جسم - قاعدة مثلث القوى - جاسئ جسم اتزان - المى قاعدة -أملس - مائل أملس - مستوى مستوى

مركز ثقل

العصف المناقشة- المباشر- العرض التعلم االستنباطية- الطريقة الذهنى-

التعاونى- حل المشكالت.

والتحريرية الشفهية األسئلة فى تتمثل وأثناء وبعد قبل والجماعية الفردية وسلم المقترحة، واألنشطة الدرس، والتكاليف منها، بكل الخاص التقييم الوحدة واختبار والفردية، الجماعية

واالختبار التراكمى فى نهاية الوحدة.

كامي

ينالد

ا

ف مفهوم الجسيم.●● يتعريتعرف المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر.●●يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك فى خطوط موازية ●●

لبعضها فى أثناء الحركة.يميز بين اإلزاحة والمسافة.●●السرعة ●● متجه - المنتظمة الحركة - السرعة )متجه المنتظمة السرعة مفهوم يتعرف

المتوسطة - متجه السرعة اللحظية - السرعة النسبية - وحدات قياس السرعة(.يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطة )Average velocity(، ومقدار السرعة المتوسطة ●●

)Average speed( في حالة الحركة الخطية في اتجاه متجه ثابت.يطبق مفاهيم السرعة ، السرعة النسبية والعجلة في نمذجة مواقف فيزيائية وحياتية تشمل: ●●

)حركة الصواريخ - حركة الطيران - األقمار الصناعية( في صورة أنشطة .يتعرف مفهوم السرعة النسبية.●●يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة - وحدات قياس العجلة( ع = ع0 + جـ ن، ●●

1 جـ ن2، ع2 = ع2 + 2جـ ف2 ف = ع ن +

يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية.●●يوظف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.●●أو ●● الجسم صعود حالة فى األرضية الجاذبية تأثير تحت الرأسية الحركة قوانين يتعرف

هبوطه.يتعرف الجاذبية األرضية )قانون نيوتن للجذب العام (. ثابت الجذب العام.●●يمثل بيانيا منحنى اإلزاحة مع الزمن ، منحنى السرعة مع الزمن.●●يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة مع الزمن والسرعة مع الزمن.●●

الدرس )2 - 1(: الحركة المستقيمة.

الدرس )2 - 2(: الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.الدرس )2 - 3(: الحركة الرأسية

تحت تأثير الجاذبية األرضية.الدرس )2 - 4(: قانون الجذب

العام لنيوتن

سرعة متجه - مسافة - مستقيمة حركة السرعة مقدار - المتوسطة السرعة -حركة - النسبية السرعة - المتوسطة سرعة - إزاحة - عام جذب - رأسية موضع متجه - لحظية سرعة - منتظمة - عجلة منتظمة - سقوط حر - جاذبية

أرضية

العصف - المناقشة - المباشر العرض التعلم - االستنباطية الطريقة - الذهنى

التعاونى - حل المشكالت.

والتحريرية الشفهية األسئلة فى تتمثل وبعد أثناء وفى قبل والجماعية الفردية وسلم المقترحة، واألنشطة الدرس، والتكاليف منها، بكل الخاص التقييم متنوعة وتمارين والفردية، الجماعية فى التراكمى واالختبار الوحدة على نهاية الوحدة واختبارات عامة للربط بين

جميع أجزاء الوحدة فى نهاية الكتاب.

115دليل املعلم - املقدمة

خريطة المنهج

أساليب التقويماسرتاتيجيات التدريساملفاهيماملوضوعاتمخرجات التعلمالوحدة

ــاك

تيــا

ستاال

وحدات ●● ضوء فى القوة مقدار قياس ووحدات ، كمتجه والقوة ، القوة مفهوم يتعرف القياس السابقة.

يوجد محصلة قوتين مقدارا واتجاها )القوتان تؤثران فى نفس النقطة(.●●يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين فى اتجاهين معلومين.●●يتعرف تحليل قوة معلومة إلى مركبتين متعامدتين.●●يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.●●فى ●● المتالقية المستوية القوى من مجموعة تأثير تحت )جسيم( مادية نقطة اتزان يبحث

نقطة فى الحاالت اآلتية:إذا اتزنت قوتان مستويتان متالقيتان فى نقطة.

إذا اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية فى نقطة.إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.

ا مستخدما تكنولوجيا المعلومات فى صورة أنشطة. ●● يوجد محصلة قوتين هندسيا وجبرييستخدم تطبيقات ما درسه فى االستاتيكا فى مواقف فيزيائية وحياتية.●●

الدرس�)1 - 1(:�مقدمة�عن�تطور�علم�الميكانيكا.

الدرس�)1 - 2(:�القــوى.

تحليل�القوى. الدرس�)1 - 3(:�

الدرس�)1 - 4(:�محصلة�عدة�قوى�مستوية�متالقية�فى�نقطة.

الدرس�)1 - 5(:�اتزان�جسيم�تحت�تأثير�مجموعة�من�القوى�المستوية�المتالقية�فى�نقطة.

استاتيكا - قوة - جسم جاسئ - - قوة نيوتن الحر - السقوط التثاقل - عجلة جرام ثقل - جرام كيلو ثقل - داين -- خط عمل قوة - تحليل قوة - مركبة قوة - اتزان جسم - قاعدة مثلث القوى - جاسئ جسم اتزان - المى قاعدة -أملس - مائل أملس - مستوى مستوى

مركز ثقل

العصف المناقشة- المباشر- العرض التعلم االستنباطية- الطريقة الذهنى-

التعاونى- حل المشكالت.

والتحريرية الشفهية األسئلة فى تتمثل وأثناء وبعد قبل والجماعية الفردية وسلم المقترحة، واألنشطة الدرس، والتكاليف منها، بكل الخاص التقييم الوحدة واختبار والفردية، الجماعية

واالختبار التراكمى فى نهاية الوحدة.

كامي

ينالد

ا

ف مفهوم الجسيم.●● يتعريتعرف المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر.●●يدرك أن الحركة االنتقالية تحدث إذا كانت جميع نقاط الجسم تتحرك فى خطوط موازية ●●

لبعضها فى أثناء الحركة.يميز بين اإلزاحة والمسافة.●●السرعة ●● متجه - المنتظمة الحركة - السرعة )متجه المنتظمة السرعة مفهوم يتعرف

المتوسطة - متجه السرعة اللحظية - السرعة النسبية - وحدات قياس السرعة(.يميز بين مفهومى متجه السرعة المتوسطة )Average velocity(، ومقدار السرعة المتوسطة ●●

)Average speed( في حالة الحركة الخطية في اتجاه متجه ثابت.يطبق مفاهيم السرعة ، السرعة النسبية والعجلة في نمذجة مواقف فيزيائية وحياتية تشمل: ●●

)حركة الصواريخ - حركة الطيران - األقمار الصناعية( في صورة أنشطة .يتعرف مفهوم السرعة النسبية.●●يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة - وحدات قياس العجلة( ع = ع0 + جـ ن، ●●

1 جـ ن2، ع2 = ع2 + 2جـ ف2 ف = ع ن +

يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية.●●يوظف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.●●أو ●● الجسم صعود حالة فى األرضية الجاذبية تأثير تحت الرأسية الحركة قوانين يتعرف

هبوطه.يتعرف الجاذبية األرضية )قانون نيوتن للجذب العام (. ثابت الجذب العام.●●يمثل بيانيا منحنى اإلزاحة مع الزمن ، منحنى السرعة مع الزمن.●●يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة مع الزمن والسرعة مع الزمن.●●

الدرس )2 - 1(: الحركة المستقيمة.

الدرس )2 - 2(: الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة.الدرس )2 - 3(: الحركة الرأسية

تحت تأثير الجاذبية األرضية.الدرس )2 - 4(: قانون الجذب

العام لنيوتن

سرعة متجه - مسافة - مستقيمة حركة السرعة مقدار - المتوسطة السرعة -حركة - النسبية السرعة - المتوسطة سرعة - إزاحة - عام جذب - رأسية موضع متجه - لحظية سرعة - منتظمة - عجلة منتظمة - سقوط حر - جاذبية

أرضية

العصف - المناقشة - المباشر العرض التعلم - االستنباطية الطريقة - الذهنى

التعاونى - حل المشكالت.

والتحريرية الشفهية األسئلة فى تتمثل وبعد أثناء وفى قبل والجماعية الفردية وسلم المقترحة، واألنشطة الدرس، والتكاليف منها، بكل الخاص التقييم متنوعة وتمارين والفردية، الجماعية فى التراكمى واالختبار الوحدة على نهاية الوحدة واختبارات عامة للربط بين

جميع أجزاء الوحدة فى نهاية الكتاب.

تطبيقات الرياضيات - علمى 116

خريطة المنهج

أساليب التقويماسرتاتيجيات التدريساملفاهيماملوضوعاتمخرجات التعلمالوحدة

سقيا

الة و

سند

لها

يعرف النقطة و المستقيم و المستوى.●●●● - القائم الهرم - المنتظم الهرم - )الهرم المجسمات بعض يتعرف

المخروط - المخروط القائم( ، وخواص كل منها.يستنتج المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم - المخروط ●●

القائم.يستنتج حجم كل من الهرم القائم - المخروط القائم.●●يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها، وطول نصف قطرها.●●يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة.●●يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة، وطول نصف قطرها بمعلومية الصورة ●●

العامة لمعادلة الدائرة.ينمذج مواقف رياضية باستخدام قوانين الهندسة.●●

الدرس )3 - 1(: المستقيمات والمستوى.

الدرس )3 - 2(: الهرم والمخروط.

الدرس )3 - 3(: المساحة الجانبية والمساحة الكلية للهرم

والمخروط.الدرس )3 - 4(: حجم الهرم

والمخروط.الدرس )3 - 5(: معادلة الدائرة.

النقطة - المستقيم - المستوى - الفراغ - رأس - قاعدة - محور - دائرة - مركز قطر - هرم - مخروط قطر - - نصف ارتفاع - وجه جانبى - حرف جانبى - - ارتفاع جانبى - هرم منتظم - هرم قائم قائم - دائرى - شبكة هرم - مخروط

مساحة جانبية - مساحة كلية )سطحية(

التعليم التعاونى - المحاضرة - المناقشة - العصف الذهنى - الطريقة االستقرائية االكتشاف - االستنتاجية الطريقة -

الموجه - حل المشكالت.

وجماعية فردية وتحريرية شفهية أسئلة األنشطة أو الدرس وبعد أثناء وفى قبل واختبار عامة تمارين - المقترحة

تراكمى فى نهاية الوحدة

التم

حاال

يتعرف مفهوم التجربة العشوائية.●●يحل مسائل تطبيقية باستخدام مسلمات االحتمال.●●يحل مشكالت حياتية باستخدام قوانين االحتمال.●●يتعرف مفهوم فضاء العينة.●●يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية.●●الحدث ●● - المؤكد الحدث - البسيط الحدث - الحدث مفهوم يتعرف

المستحيل.يتعرف مفهوم األحداث المتنافية.●●●● - الفرق - التقاطع - )االتحاد مثل األحداث على العمليات يتعرف

االكمال(.يتعرف مفهوم االحتمال.●●يستخدم مسلمات االحتمال.●●يستخدم مسلمات االحتمال في حساب احتمال وقوع حد.●●

الدرس�)4 - 1(:�بعض�

المصطلحات�والمفاهيم�

األساسية.

الدرس�)4 - 2(:�العمليات�على�

األحداث.

الدرس�)4 - 3(:�االحتمال.

- عشوائية تجربة - احتمال - إحصاء قطعة - النواتج فضاء - العينة فضاء نقود - حجر نرد - حدث - حدث بسيط )أولى( - حدث مركب - حدث مؤكد على العمليات - مستحيل حدث -

األحداث - أحداث متنافية

التعليم التعاونى - االكتشاف الموجه - الذهنى العصف - االستنباطية الطريقة

- المناقشة - حل المشكالت

وجماعية فردية وتحريرية شفهية أسئلة األنشطة أو الدرس وبعد وأثناء قبل واختبار عامة تمارين - المقترحة

تراكمى فى نهاية الوحدة.

117دليل املعلم - املقدمة

خريطة المنهج

أساليب التقويماسرتاتيجيات التدريساملفاهيماملوضوعاتمخرجات التعلمالوحدة

سقيا

الة و

سند

لها

يعرف النقطة و المستقيم و المستوى.●●●● - القائم الهرم - المنتظم الهرم - )الهرم المجسمات بعض يتعرف

المخروط - المخروط القائم( ، وخواص كل منها.يستنتج المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم - المخروط ●●

القائم.يستنتج حجم كل من الهرم القائم - المخروط القائم.●●يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها، وطول نصف قطرها.●●يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة.●●يعين إحداثيات كل من مركز الدائرة، وطول نصف قطرها بمعلومية الصورة ●●

العامة لمعادلة الدائرة.ينمذج مواقف رياضية باستخدام قوانين الهندسة.●●

الدرس )3 - 1(: المستقيمات والمستوى.

الدرس )3 - 2(: الهرم والمخروط.

الدرس )3 - 3(: المساحة الجانبية والمساحة الكلية للهرم

والمخروط.الدرس )3 - 4(: حجم الهرم

والمخروط.الدرس )3 - 5(: معادلة الدائرة.

النقطة - المستقيم - المستوى - الفراغ - رأس - قاعدة - محور - دائرة - مركز قطر - هرم - مخروط قطر - - نصف ارتفاع - وجه جانبى - حرف جانبى - - ارتفاع جانبى - هرم منتظم - هرم قائم قائم - دائرى - شبكة هرم - مخروط

مساحة جانبية - مساحة كلية )سطحية(

التعليم التعاونى - المحاضرة - المناقشة - العصف الذهنى - الطريقة االستقرائية االكتشاف - االستنتاجية الطريقة -

الموجه - حل المشكالت.

وجماعية فردية وتحريرية شفهية أسئلة األنشطة أو الدرس وبعد أثناء وفى قبل واختبار عامة تمارين - المقترحة

تراكمى فى نهاية الوحدة

التم

حاال

يتعرف مفهوم التجربة العشوائية.●●يحل مسائل تطبيقية باستخدام مسلمات االحتمال.●●يحل مشكالت حياتية باستخدام قوانين االحتمال.●●يتعرف مفهوم فضاء العينة.●●يكتب فضاء العينة لبعض التجارب العشوائية.●●الحدث ●● - المؤكد الحدث - البسيط الحدث - الحدث مفهوم يتعرف

المستحيل.يتعرف مفهوم األحداث المتنافية.●●●● - الفرق - التقاطع - )االتحاد مثل األحداث على العمليات يتعرف

االكمال(.يتعرف مفهوم االحتمال.●●يستخدم مسلمات االحتمال.●●يستخدم مسلمات االحتمال في حساب احتمال وقوع حد.●●

الدرس�)4 - 1(:�بعض�

المصطلحات�والمفاهيم�

األساسية.

الدرس�)4 - 2(:�العمليات�على�

األحداث.

الدرس�)4 - 3(:�االحتمال.

- عشوائية تجربة - احتمال - إحصاء قطعة - النواتج فضاء - العينة فضاء نقود - حجر نرد - حدث - حدث بسيط )أولى( - حدث مركب - حدث مؤكد على العمليات - مستحيل حدث -

األحداث - أحداث متنافية

التعليم التعاونى - االكتشاف الموجه - الذهنى العصف - االستنباطية الطريقة

- المناقشة - حل المشكالت

وجماعية فردية وتحريرية شفهية أسئلة األنشطة أو الدرس وبعد وأثناء قبل واختبار عامة تمارين - المقترحة

تراكمى فى نهاية الوحدة.

تطبيقات الرياضيات - علمى 118

نماذج من اأ�صاليب التقويم

تطبيقات الرياضية اختبار اأجب عن الأ�صئلة الآتية:

ال�صوؤال الأول: اختر الإجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة.

إذا كان ل )C ∪ ب( = 0٫6 حيث C ، ب حدثين متنافيين فى فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان ل ) C ( : ل)ب( = 2 : 3 = ) C ( فإن ل

د 0٫3 ج 0٫2 0٫24 ب 0٫36 أ

قذف جسم رأسيا إلى أعلى بسرعة 42كم/س فإن أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم يساوى:

د 65كم ج 98 كم 84كم ب 90كم أ

المساحة الجانبية للمخروط القائم = حيث ل طول راسمه ، نق طول نصف قطر قاعدته :

)H + ل (H r د H ج ل 2H r2 ب H ل r أ

قوتان متساويتان فى المقدار ومقدار محصلتهما يساوى 8 نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120 فإن مقدار كل منهما يساوى:

د 8 نيوتن 3 نيوتن ج 4 2 نيوتن 4 ب 4 نيوتن أ

ال�صوؤال الثانى:

أثرت القوى X ، 5 ، 9 ، 3 ، 6 ، ك نيوتن فى نقطة واحدة بحيث كان قياس الزاوية بين كل قوتين متتاليتين c60، فإذا كانت المجموعة متزنه فأوجد قيمتى X، ك.

تعطل محرك سيارة فنقصت سرعتها من 72كم/س إلى 36كم/س خالل نصف دقيقة. احسب المسافة التى قطعتها فى هذه الفترة الزمنية، ثم احسب متى تسكن السيارة؟

ال�صوؤال الثالث:

قذفت كرة صغيرة رأسيا ألعلى بسرعة 70م/ث. احسب سرعتها وهى على ارتفاع 90م من نقطة القذف ثم احسب أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة.

مكعب من الشمع طول حرفه 30سم حول باالنصهار إلى مخروط دائرى قائم ارتفاعه 45سم. أوجد طول نصف قطر قاعدة المخروط إذا علم أن 8٪ من الشمع قد فقد أثناء الصهر والتحويل.

ال�صوؤال الرابع:

كرة ملساء منتظمة وزنها 20 نيوتن وطول نصف قطرها 30سم علقت من نقطة على سطحها بخيط خفيف طوله 20سم ومثبت طرفه اآلخر عند نقطة من حائط رأسى أملس . أوجد فى وضع التوازن كل من الشد فى الخيط ورد فعل الحائط .

صندوق به 20 كرة متماثلة ومرقمة من 1 إلى 20 سحبت كرة عشوائيا من هذا الصندوق . احسب احتمال أن تكون الكرة مرقمة.

ب عدد فردى يقبل القسمة على 5 عدد أولى أ

119دليل املعلم - املقدمة

نماذج من اأ�صاليب التقويم

تقييم أداء الطالب فى الرياضيات

توجيهات لإن�صاء وتطوير نظام تقييم موثوق به:إن إنشاء وتطوير نظام تقييم موثوق به هو عملية مستمرة، ا جد مناسبة األولى، الوهلة منذ التقييم، أدوات بعض تظهر بعد وفعالية جودة أخرى أدوات وتظهر ولطالبه، للمعلم أن تتاح للمعلم فرصة تجريبها وتحسينها، وفى الوقت نفسه هناك أدوات غير صالحة لمستوى ما ولموقف تعليمى معين.وهنا نضع بين أيدى زمالئنا المعلمين بعض التوجيهات

التى قد تكون مفيدة عند اختيار نماذج التقييم لبرنامج ما.ا�صتخدام نموذج التقييم الذى يحقق اأهدافك بحيث:

ويعطيك ●● استخدمتها، التى التعليم لطرق مراجعة يؤمن الدالئل التى تستفيد منها فى إعادة النظر وتعديل محتوى

وسرعة عملية التعليم.إلى ●● تأكيدا لنجاحة في مجال ما، باإلضافة يؤمن للطالب

تحديد التحسين المطلوب في مجاالت أخرى.تؤمن نظم التقييم المتعارف عليها نتائج واقعية ملموسة.●●

للطالب اإيجابية خبرة التقييم عملية من اجعل وذلك من خالل:

عة للتقييم.●● استخدام أساليب منوتوفير فرص للطالب يعرضون فيها إمكاناتهم الرياضية في ●●

جو يسمح باألداء األفضل.

ال ●● ما على ال ويتقنونه، الطالب يعرفه ما على التركيز يعرفونه أو يتقنونه.

تعكس ●● مهام أمام بوضعهم التحصيل على الطالب حفز قيمة جهودهم.

مهارات على التركيز في الأداء تقييم ا�صتخدام التفكير العليا، وذلك من خالل:

التركيز على تقييم األداء الذى يصور الطالب مفكرا ناقدا ●●وحاال للمسائل.

تحديد كيفية تعامل الطالب مع الرياضيات، ال كيفية حل ●●المسائل فقط.

المهام ت�صبه التى التقويمية الأن�صطة قدم اليومية، وذلك من خالل:

عمل ●● فى التدريسية لألنشطة متشابهة أنشطة استخدام التقييم.

استخدام األنشطة التقويمية في تأكيد التعليم.●●تقديم التغذية الراجعة التفصيلية الفورية التى يحتاج إليها ●●

الطالب لتأكيد عمليات التعلم.

اأ�صرك كل طالب في عمليات التقييم، وذلك من خالل:تشجيع الطالب على عرض أعمالهم.●●تشجيع الطالب على المشاركة في تحقيق األهداف.●●

استطالع رأى الطالبلكل عبارة من العبارات التالية ضع عالمة )�( أسفل الخانة التى تصف إحساسك.

نادرا ما يحدثبعض الوقتمعظم الوقتالعبارةأتقدم بشكل ملحوظ فى مادة الرياضيات.

أحتاج إلى المساعدة فى حل كثير من المسائل.الرياضيات لها فائدة في جميع المواقف الحياتية.

أفهم المسائل اللفظية.أستطيع حل معظم المسائل.

ل تجريب استراتيجيات جديدة في حل المسائل. أفضأصاب باإلحباط بسهولة من دراسة الرياضيات.

لدى دفتر منظم لمادة الرياضيات.أعتقد أن الرياضيات ممتعة.

ما نوع الرياضيات المفضلة لديك؟ ولماذا؟ ل أن يعمل به الفصل. صف مشروعا تفضاكتب قائمة ببعض األنشطة التى مارستها خارج المدرسة، واستخدمت فيها الرياضيات.

تطبيقات الرياضيات - علمى 120

تقييم ذاتى لعمل الفريق:أسماء الفريق: ......................................................................................................................................................

اقرأ جيدا كل عبارة من العبارات التالية، ثم أعط التقدير )4( لمجموعتك إذا كنت توافق على العبارة، والتقدير )3( إذا كنت توافق إلى حد ما، والتقدير )2( إذا كنت ال توافق إلى حد ما، والتقدير )1( إذا كنت ال توفق، واستخدم )غ م( وتعنى غير مالئم إذا

ط استجابة واحدة لكل وصف لمجموعتك. كانت العبارة ال تنطبق على هذا الموقف. حو

العباراتموافق إلى موافق

حد ماغير موافق إلى حد ما

غير مالئمغير موافق

أعضاء المجموعة ......غ م4321أنجزوا المهام المكلفين بها.

غ م4321فهموا جيدا الغرض من المهمة.غ م4321فهموا جيدا حل المهمة.

غ م4321استمعوا جيدا إلى كل من األفكار األخرى.غ م4321قدموا تغذية راجعة لذوى األفكار المشوشة.

غ م4321تعاونوا في تجهيز العمل الذى تم تجميعه.غ م4321استقوا تكليفاتهم من اليوم السابق.غ م4321عرضوا أفكارهم على المجموعة.

غ م4321تفاهموا مع بعضهم البعض عند الحاجة.

من خالل العمل مع فريق، تعلمت ...............................................................................................................................

سجل عمل الفريق

أسماء الفريق:ل التاريخ، والمهمة التى كلفوا بها، وأرقام الصفحات، ثم صف عمل أعضاء الفريق معا للوصول إلى حل لكل فريق عمل سج

جماعى للمهمة التى كلفوا بها . اذكر أى طرق أو أساليب وجدتها مفيدة إلنجاز المهمة.

وصف عمل الفريقالمهمةالتاريخ

التقييم الذاتى للطالب

المهمة:

اكتب عما قمت بإنجازه.ما الذى حاولت تعلمه؟ كيف بدأت عملك؟ ما األدوات التى كنت في حاجة إليها؟ ما الذى تعلمته؟

ضع عالمة )�( أمام العبارات التى تصف طريقة عملك:كنت قادرا على إجراء هذا العمل. خططت قبل البدء في العمل.

أتبعت التعليمات، ولكننى حصلت على إجابة خاطئة. لم أفهم التعليمات.

نماذج من اأ�صاليب التقويم

121دليل املعلم - املقدمة

أستطيع شرح كيفية إنجاز هذه المهمة لشخص آخر. توصلت إلى طريقة أخرى إلنجاز المهمة. كان العمل أسهل مما توقعت. كان العمل أصعب مما توقعت. إضافات أخرى:

خبراتى في الرياضياتاألهداف التى أريد تحقيقها في مجال دراسة الرياضيات: لها: الرياضيات التى أفض

مهارات الرياضيات التى أحتاج إلى مزيد من التمرين عليها: مهارات الرياضيات التى أتقنها وأستطيع استخدامها: المكافآت التى حصلت عليها في الرياضيات:

تقييم األداء في حل المسائلضع عالمة )�( أسفل العمود المناسب والذى يصف بدقة عمل الطالب:

أبدابعض األحيانفى معظم األحيان

افهم

........................................................................يقرأ المسألة بعناية.

........................................................................يدرس أى جدول أو أي رسم بيانى.

........................................................................يستطيع أن يصوغ المسألة من جديد وبطريقته وعباراته الخاصة.

........................................................................يستطيع فهم وإدراك المعلومات المعطاة.

........................................................................يستطيع فهم وإدراك السؤال الذى يجب اإلجابة عنه.

خطط

........................................................................يختار الخطة األنسب لحل المسألة.

........................................................................يقدر اإلجابة الصحيحة.

حل

........................................................................يعمل وفق منهجية معينة.

........................................................................يعرض الحل بطريقة منظمة ومنطقية.

........................................................................يحسب بطريقة صحيحة.

........................................................................يعطى اإلجابة بجملة كاملة صحيحة، مراعيا الوحدات.

تحقق

........................................................................يتحقق من معقولية اإلجابة.

........................................................................يجرب طرقا أخرى لحل المسألة.

اتجاه

........................................................................يظهر استعدادا لمحاولة حل المسألة.

........................................................................يظهر ثقة بالنفس.

........................................................................محاوالت خاطئة لحل المسألة.

تعليقات أخرى

نماذج من اأ�صاليب التقويم

تطبيقات الرياضيات - علمى 122

التقييم الم�صتمر: حل المسائل

التاريخ: ................................................................

ية.عنا

ة بسأل

لمرأ ا

يق

ية.يان

البت

يالتمث

والل

داولج

واور

صس ال

دري

ص.خا

ه اللوب

أسة ب

سأللم

ة ااغ

صيدة

عاع إ

طيست

ي

ت.وما

معلد ال

حديع ت

طيست

ي

ها. عن

ابةإلج

ب اطل

ى تت الت

ئلةألس

د احدي

ع تطي

ستي

بة.اس

لمنة ا

خطر ال

ختاي

بة.جا

اإليه

علون

تك س

مادر

يق

ام.تظ

بانمل

يع

مة.نظ

ة مريق

بطل

لحب ا

كتي

قة. بد

بيةسا

لحت ا

لياعم

ى الجر

ي

حة.حي

صت ال

حداالو

كر ع ذ

ه مامل

ة كمل

جفي

بة جا

اإلب

كتي

ها.ليت

قومع

ة وجاب

اإلحة

صن

ق محق

يت

ل.لح

ى لخر

قا أطر

ى جر

ي

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28

قدر كل بند إذا كان:++ ممتازا+ جيدا.

� مقبوال- بحاجة إلى التطويرغ. ت. غير قابل للتطبيق.

نماذج من اأ�صاليب التقويم

123دليل املعلم - املقدمة

التقييم الم�صتمر: المالحظة

التاريخ: ................................................................

ت.ارا

مهبال

فة عر

ر مظه

ي

م.اهي

مفك ال

دري

ام.نظ

ب ورتي

ل بتعم

ي

ن.خري

اآلمع

ح جا

ل بنعم

ي

ية.جاب

ف إيواق

ر مظه

ي

ها.دم

تخيس

ر ولغي

ر اكا

م أفحتر

ي

رة.ثاب

ومرا

صبهر

يظ

جة.حا

د العن

دة اع

مسب ال

طلي

ية.اج

إنتت ب

وقم ال

خدست

ي

ل.لح

ى لخر

قا أطر

ى جر

ي

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28

قدر كل بند إذا كان:++ ممتازا+ جيدا.

� مقبوال- بحاجة إلى التطويرغ. ت. غير قابل للتطبيق.

نماذج من اأ�صاليب التقويم

تطبيقات الرياضيات - علمى 124

التقييم الم�صتمر: التعلم التعاونى

التاريخ: ................................................................

ل.سائ

لمل ا

حلي

ة عدر

ر قظه

ي

ام.تظ

بانمل

يع

ق.فري

ي الن ف

خريع آ

ل معم

ي

ن.خري

د آاع

يسه و

وجي

ها.دم

تخيس

ن وخري

اآلاء

آررم

حتي

وء.هد

م بكل

يت

لة.سئ

ح أطر

ي

ية.جاب

ال إيميو

هر يظ

رة.ثاب

ومرا

صبهر

يظ

ز.ئزا

شمن ا

دوقة

وافم م

عدهر

يظ

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28

قدر كل بند إذا كان:++ ممتازا+ جيدا.

� مقبوال- بحاجة إلى التطويرغ. ت. غير قابل للتطبيق.

نماذج من اأ�صاليب التقويم

125دليل املعلم - املقدمة

التقييم الفردى من خالل المالحظةأبداأحيانادائما

الفهم

........................................................................يظهر معرفة بالمهارات.

........................................................................يدرك المفاهيم.

........................................................................يختار الخطة المناسبة للحل.

........................................................................يحل المسائل بدقة.

عادات العمل

........................................................................يعمل بطريقة منظمة.

........................................................................يعمل بنظافة.

........................................................................يقدم العمل في الوقت المحدد.

........................................................................يعمل مع اآلخرين بتناغم.

........................................................................يستخدم الوقت بفاعلية وإنتاجية.

........................................................................يطلب المساعدة عند الحاجة.

........................................................................الثقة بالنفس

........................................................................يبادر بتوجيه األسئلة.

........................................................................إيجابى التوجيه والسلوك.

........................................................................يساعد اآلخرين.

المرونة

........................................................................يجرب طرقا أخرى.

........................................................................يحترم ويستخدم أفكار اآلخرين.

........................................................................يستخدم الرياضيات الذهنية والتقدير.

........................................................................يستخدم اآلالت الحاسبة والتقنيات األخرى.

المثابرة

........................................................................يظهر صبرا ومثابرة.

........................................................................يعمل وفق منهجية معينة.

........................................................................يظهر استعدادا للمحاولة والتجربة.

........................................................................يتأكد من صحة عمله دون أن يطلب منه.

نماذج من اأ�صاليب التقويم

تطبيقات الرياضيات - علمى 126

التقييم العام للطالب:

التاريخ: ................................................................

ل.سائ

لمل ا

ح

ى.اون

لتعم ا

تعلال

ت.ضيا

رياي ال

ة فتاب

لكا

ل.ص

الففة

غرط

شان

ية.نزل

لمت ا

جبالوا

ا

شة.ناق

لمي ا

ة فرك

شالم

ا

ة .صير

القت

اراختب

االت

جادر

ت.انا

تحالم

ت اجا

در

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28

قدر كل بند إذا كان:++ ممتازا+ جيدا.

� مقبوال- بحاجة إلى التطويرغ. ت. غير قابل للتطبيق.

نماذج من اأ�صاليب التقويم

127دليل املعلم - املقدمة

قائمة المراجعة/عر�س الم�صروع

لتقييم مشروع ما مقدم من قبل طالب واحد أو من مجموعة الطالب شفهيا النموذج يمكن أن يستخدم هذا

أو كتابة، كما أنه من الممكن أن يستخدم لمناقشة طرق ناجحة لتقديم أى مادة، ومن المفيد أن يقدم للطالب

إلرشادهم فى التخطيط ألى مشروع في فن الرياضيات أو التجارب العلمية، أو تجميع البيانات لعمل الجداول

والرسوم البيانية، أو عروض حاسوبية، أو مسرحيات هزلية قصيرة، أو أى مشروع بحثى سواء أكان شفهيا أم

مكتوبا.

الطالب/ الطالب: ...............................................................................................................................................

المشروع: ...............................................................................................................................................

المشروعيعرض مفهوما رياضيا بشكل جيد.

يتواصل مع األفكار الرياضية بوضوح. يربط بمواد أخرى.

يظهر الوقت الذى انقضى عليه تخطيطا وتحضيرا. هو أصيل و/ أو مبدع.

هو نابض بالحياة ونظيف. يثير المزيد من االستقصاءات حول الموضوع.

يتضمن تقريرا مكتوبا. يذكر المواد المستخدمة.

يظهر توزيع المهام التى كلفت بها مجموعة الطالب.

التقويم الشفهىيظهر معرفة بالمفهوم الرياضى.

منظم: يتضمن مقدمة ومضمونا وخاتمة. يستخدم الوسائل السمعية/ البصرية عند الحاجة وفى الوقت المناسب.

يتكلم بوضوح ويضبط التقويم بما يناسبه من سرعات. يجيب عن األسئلة ويثير مزيدا من االهتمام بالموضوع.

يظهر ميال وتوجها إيجابيين لحل المسائل. يذكر الموارد المستخدمة.

قدر كل بند إذا كان:++ ممتازا+ جيدا.

� مقبوال- بحاجة إلى التطويرغ. ت. غير قابل للتطبيق.

نماذج من اأ�صاليب التقويم

تطبيقات الرياضيات - علمى 128

مخطط معايير تطبيقات الريا�صيات

الصفحاتالمؤشرات المعيار

المعيار األول

تعرف تطور علم الميكانيكا ودور علماء الرياضيات فى تطوير فهم الظواهر الفيزيائية

النظرية� من� وتطوره� ا،� تاريخي الميكانيكا� علم� تطور� يتعرف� �: نشاط� �الكالسيكية�إلى�النظرية�النسبية،�ويتعرف�أنواعا�أخرى�حديثة�من�علم�

الميكانيكا�فى�صورة�أنشطة.3

نشاط�:�يتعرف�أن�علم�الميكانيكا�علم�دراسة�الظواهر�المتعلقة�بالحركة� �2)الديناميكا(،�والظواهر�المتعلقة�بالكون�)االستاتيكا(.

الميكانيكا،� علم� تطوير� فى� الرياضيات� علماء� دور� ويقدر� يتعرف،� �وقوانينه�التى�أسهمت�فى�فهم�كثير�من�الظواهر�الحياتية،�وحل�العديد�

من�المشكالت�الرياضية�والحياتية.4

يتعرف�وحدات�القياس�اآلتية�،�عند�دراسة�الموضوعات�المتعلقة�بها:�� �وحدات�قياس�المسافة�/�اإلزاحة�التى�تستخدم�فى�قياس�األطوال� ✍

الكبيرة�مثل:�الكيلو�متر�والميل،�والتى�تستخدم�لقياس�األطوال�المتناهية�فى�الصفر�مثل�النانومتر،�ودراسة�العالقة�بينهما.

✍ �- �.... الساعة-الدقيقة-الثانية� �- �...( من� الزمن� قياس� وحدات�الفيمتو�ثانية(،�دراسة�العالقة�بينهما.

وحدات�قياس�الكتلة�)...�-�ثقل�كيلو�جرام�-�ثقل�جرام�-�...(� ✍ودراسة�العالقة�بينهما

وحدات�قياس�السرعة�والعجلة،�والقوة. ✍

5

6

6

7

المعيار الثانى

تعرف علم السكون )األستاتيكا( وقوانينه، ومفاهيمه المختلفة،

وتطبيقاته فى مواقف حياتية.

فى� القوة� مقدار� قياس� كمتجه،�ووحدات� والقوة� القوة،� مفهوم� يتعرف� �12ضوء�وحدات�القياس�السابقة.

14يوجد�محصلة�قوتين�مقدارا�واتجاها�)القوتان�تؤثران�فى�نفس�النقطة(.

20يتعرف�تحليل�قوة�معلومة�إلى�مركبتين.

21يتعرف�تحليل�قوة�معلومة�إلى�مركبتين�متعامدتين.

25يوجد�محصلة�عدة�قوى�مستوية�متالقية�فى�نقطة�. 5

تابع المعيار الثانى

تعرف علم السكون )األستاتيكا(

وقوانينه، ومفاهيمه المختلفة، وتطبيقاته

فى مواقف حياتية.

القوى� 6 من� مجموعة� تأثير� تحت� )جسيم(� مادية� نقطة� اتزان� يبحث� �المستوية�المتالقية�فى�نقطة�فى�الحاالت�اآلتية.

إذا�اتزنت�قوتان�مستويتان�متالقيتان�فى�نقطة. ✍إذا�اتزنت�ثالث�قوى�مستوية�متالقية�فى�نقطة. ✍إذا�اتزنت�عدة�قوى�مستوية�متالقية�فى�نقطة. ✍

31

33

38

ا�مستخدما�تكنولوجيا�المعلومات� 7 ا�وجبري يوجد�محصلة�قوتين�هندسي �فى�صورة�أنشطة.

13

يتعرف�تطبيقات�ما�درسة�فى�اإلستاتيكا�فى�مواقف�فيزيائية�وحياتية. 8 �21

13نشاط�:�محصلة�قوتين�هندسيا�وجبريا�مستخدما�تكنولوجيا�المعلومات. 9

38، 39نشاط:�تطبيقات�القوى�المتالقية�فينقطة�فى�مواقف�فيزيائية�وحياتية 0

129دليل املعلم - املقدمة

مخطط معايير تطبيقات الريا�صيات

الصفحاتالمؤشرات المعيار

المعيار الثالث

تعرف علم الحركة )الديناميكا( وقوانينه،

ومفاهيمه المختلفة،

وتطبيقاته فى مواقف فيزيائية

وحياتية.

يتعرف�مفهوم�الجسيم�على�أنه�نقطة�افتراضية. �52

يتفهم�المقصود�بالحركة�االنتقالية�لجسيم�من�موضع�آلخر. �53

يدرك�أن�الحركة�االنتقالية�تحدث�إذا�كانت�جميع�نقاط�الجسم�تتحرك� �فى�خطوط�موازية�لبعضها�أثناء�الحركة.

53

يميز�بين�اإلزاحة�والمسافة. �53

المنتظمة-� 5 الحركة� السرعة-� )متجه� المنتظمة� السرعة� مفهوم� يتعرف� �النسبية-� السرعة� اللحظية-� السرعة� متجه� المتوسطة-� السرعة� متجه�

وحدات�قياس�السرعة(.

59 ،56

يميز�بين�مفهومى�متجه�السرعة�المتوسطة��Velocity Averageومقدار� 6في� الخطية� الحركة� حالة� في� �Average speed المتوسط� السرعة�

اتجاه�متجه�وحدة�ثابت.

58

يتعرف�مفهوم�السرعة�النسبية 7 �60

المنتظمة-� 8 )العجلة� المنتظمة� العجلة� ذات� المستقيمة� الحركة� يتعرف� �وحدات�قياس�العجلة(.

65

يستنتج�قوانين�الحركة�بعجلة�منتظمة:�� 9 ��ع�+�ع�0+�جـ�ن ✍ ف�=�ع0ن�+�جـ�ن2 ✍�12جـ�ف ✍ �ع�2=�ع2�+�20

66

68

70

72يتعرف�تطبيقات�على�قوانين�الحركة�بعجلة�منتظمة. 0

75يتعرف�الحركة�الرأسية�تحت�تأثير�الجاذبية�األرضية.

حالة� فى� األرضية� الجاذبية� تأثير� تحت� الرأسية� الحركة� قوانين� يتعرف�صعود�الجسم�أو�هبوطه.

75

80يتعرف�الجاذبية�األرضية�)قانون�نيوتن�للجذب�العام-�ثابت�الجذب�العام(.

يتعرف�التمثيل�البيانى�لمنحنى�اإلزاحة�والزمن،�ومنحنى�السرعة�والزمن.

اإلزاحة� 5 بين� العالقة� تمثيل� فى� البيانية� الحاسبة� اآللة� يستخدم� نشاط:�والزمن،�والسرعة�والزمن�فى�صورة�أنشطة

55

نمذجة� 6 فى� والعجلة� النسبية،� والسرعة� السرعة،� مفاهيم� يطبق� نشاط:�مواقف�فيزيائية�وحياتية�تشمل�حركة�األجسام�مثل:�)حركة�الصواريخ-�

حركة�الطيران-�األقمار�الصناعية(�فى�صورة�أنشطة

82 ،64

تطبيقات الرياضيات - علمى 130

مخطط معايير تطبيقات الريا�صيات

الصفحاتالمؤشرات المعيار

المعيار الرابع:

تعرف الهندسة والقياس

وتطبيقاتهما فى مواقف رياضية

وحياتية.

يتعرف�النقطة�والمستقيم�والمستوى�فى�الفراغ. �94

القائم-� الهرم� المنتظم-� الهرم� )الهرم-� المجسمات� بعض� يتعرف� �المخروط-�المخروط�القائم(�

100

القائم-� الهرم� من� لكل� الكلية� والمساحة� الجانبية� المساحة� يستنتج� �المخروط�القائم.

105

يستنتج�حجم�كل�من�الهرم�القائم�والمخروط�القائم. �109

نصف� 5 وطول� مركزها� من� كل� إحداثيات� بداللة� الدائرة� معادلة� يوجد� �قطرها.

114

يستنتج�الصورة�العامة�لمعادلة�الدائرة. 6 �118

بمعلومية� 7 قطرها� نصف� وطول� الدائرة،� مركز� من� كل� إحداثيات� يعين� �الصورة�العامة�المعادلة.

120

نشاط:�يطبق�ما�درسه�فى�الهندسة�والقياس�فى�نمذجة�مواقف�رياضية� 8 �وحياتية

121

المعيار الخامس:

استكمال دراسة االحتمال وتطبيقات عليه.

يتعرف�التجربة�العشوائية،�ويستنتج�بعض�التجارب�العشوائية�الشهيرة� �أو�ثالث�مرات،�رمى� أو�مرتين� المعدنية�مرة�واحدة� العملة� مثل:�رمى�

حجر�النرد�مرة�واحدة�أو�مرتين

133

باألحداث� يعرف� ما� )أو� األحــداث� على� اآلتية� العمليات� يتعرف� �بأشكال� ا�ويمثلها� ا�ورمزي لفظي المركبة(،قوانين�دى�مرجان�ويعبر�عنها�

ڤن:�)بمعلومية�فضاء�ونواتج�تجربة�عشوائية،�C،�ب�حديثين�فى�ف(عدم�وقوع�أى�من�الحدثين�)عدم�وقوع����Cوعدم�وقوع�ب( ✍

150 ،142

اإلحصاء� على� بسيطة� وحياتية� رياضية� تطبيقات� يتعرف� نشاط:� �واالحتمال

154