АЛГОРИТАМИ ЗА ДИГИТАЛНО МЕРЕЊЕ ФРЕКВЕНЦИЈЕ У ЕЕС

Жељко Р. Ђуришић

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИ ФАКУЛТЕТ

Значај прецизног и брзог мерења (естимације) фреквенције у ЕЕС-у

• Контрола и управљање балансом активних снагагенерисања и потрошње

• Правилно функционисање надфреквенцијске ипотфреквенцијске заштите

• Правилно функционисање комплетног система дигиталне релејне заштите

• Праћење и анализа поремећаја у систему

Одступања фреквенције у ЕЕС

• Нормални услови рада: |f|  50mHz

• Погоршани услови рада: 50 mHz |f| 150 mHz

• Јако погоршани услови рада: 150 mHz |f| 

• Критични услови рада: Критични услови наступају када системска фреквенција падне на 47,5 Hz или се повећа на 51,5 Hz. При овим условима рад ЕЕС-а је на граници распада јер долази до деловања фреквенцијске заштите генератора чиме се они искључују са мреже.

Основна фреквенција у ЕПС-у за време реконекције прве и друге UCTE (ENTSO-E ) синхроне зоне

Карактеристике процесираних сигнала напона: • Присуство виших хармоника• Присуство шума различитог порекла• У условима квара могу садржати и једносмерну компонету• У току трајања кратког споја амплитуде напона могу бити и до сто пута мање од номиналне вредности

Захтеване карактеристике савремених дигиталних естиматора фреквенције мерних сигнала у ЕЕС-у:

• Тачност• Робусност• Велика брзина процесирања

Промена амплитудског нивоа виших хармоника напона у нисконапонској дистрибутивној мрежи у току три дана

Ниво виших хармоника је задат у % у односу на основни хармоник (100%)

Talasni oblik napona u TS 110/35 kV/kV Jabučje koja napaja ugljenokop Kolubara

04/03 04/04 04/05 04/06 04/07 04/08 04/09 04/101

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Vreme

THD

nap

ona

faze

A [%

]Promena THD napona faze A

Укупна хармонијска дисторзија напона у једном 35kV постројењу у угљенокопу Колубара

Обртни фазор напона у трофазном ЕЕС-у

1( , ) arg ( , )2 p

df i t u i tdt

Frakvencija u EES USA u određenom trenutku

МЕРЕЊЕ ФРЕКВЕНЦИЈЕ У ЕЕС-у ПРИМЕНОМ МЕТОДЕ НАЈМАЊИХ КВАДРАТА

• Мерење фреквенције нерекурзивном методом – основни алгоритам

• Мерење фреквенције нерекурзивном методом са повратном спрегом по фреквенцији

• Алгоритам са константном матрицом коефицијената

Математички модел мерног сигнала:

M

k

M

kikrk

M

kkk tetkVtkVVtetkVVtv

1 10

10 )()cos()sin()()sin()(

Метода најмањих квадрата – основни алгоритам

Линеаризовани модел сигнала у околини претпостављене учестаности (0):

M

jjj textatv

4

1

),()()(

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-15

-10

-5

0

5

10

15PROZOR PODATAKA

napo

n

vrijeme

Прозор са m одбирака мерног сигнала на које се примењује линеаризовани модел:

0

актуелни прозор података [v]:

R O M

оптимална процена вектора непознатих :

mMmM

mM

mM

mM

m

im

M

M

M

M

i

M

M

M

M

i

A

A

A

A

AA

A

A

A

A

AA

A

A

A

A

AA

A

)14(0)14(

0)23(

0)22(

0)2(

02

01

02)14(

02)23(

02)22(

02)2(

022

012

01)14(

01)23(

01)22(

01)2(

021

011

)(....................

)(....................

)(.............

)(................)()(

...

...

...

...

...

...

...

...

...

)(....................

)(....................

)(................

)(................)()(

)(....................

)(....................

)(....................

)(................)()(

][

R O M

,

,

1

1

12

13

k

kM

rk

rk

kM

kM

ik

ik

xx

VV

xx

VV

Недостатак методе

• Даје прихватљиву тачност само у уском опсегу око претпостављене (номиналне) учестаности

Добре особине методе

• Поузданост• Релативно мала осетљивост на шум• Могућност естимације амплитуда основног и виших

хармоника

Метода најмањих квадрата са повратном спрегом по фреквенцији

iii 1

11 iii

[xi]=[Ai(i-1)][vi],

[xi+1]=[Ai+1(i)][vi+1]

mMimM

im

im

iM

i

i

iM

i

i

Tii

Tii

A

AA

A

AA

A

AA

aaaA

)14(0)14(

02

01

02)14(

022

012

01)14(

021

011

1

)(

.............

)()(

...

...

...

...

)(

................

)()(

)(

....................

)()(

актуелни прозор података

актуелни прозор података

Добре особине:• Висока класа тачности

• Поузданост

• Релативно мала осетљивост на шум

• Могућност естимације амплитуда виших хармоника

• Релативно широк опсег поуздане ковергенције алгоритма око номиналне фреквенције

Мане:

• Велико захтевано процесорско време

Алгоритам са константном матрицом коефицијената

Основни захтеви:

- да се смањи процесорско време

- да се задрже све добре особине алгоритма са повратном спрегом по фреквенцији

Основна идеја:

- анализирати могућност избегавања прорачуна матрице A у току мерења

Основна идеја на којој се базира алгоритам је да се унапред израчунају матрице Аi за низ еквидистантних вредности фреквенција у дефинисаном мерном опсегу око номиналне вредности. Из сваке од израчунатих матрица Аi би се формирале субматрице које садрже само четири врсте које су довољне за естимацију фреквенције у околини текуће радне тачке.

iii 1

11 iii

[xi]=[A*j][vi],

[xi+1]=[A*j][vi+1]

актуелни прозор података [vi+1]

актуелни прозор података [vi]

)(410

min

icelobrojnoj

R O M

показивач актуелне субматрице у матрици [A*]

Тестирање и оптимизација алгоритма

• Опсег конвергенције алгоритма (мерни опсег)

• Осетљивост алгоритма на присуство виших хармоника

• Осетљивост алгоритма на случајни шум

• Динамичке перформансе алгоритма

• Тестирање алгоритма на релним сигналима

Утицај ширине прозора података на ширину мерног опсега

Опсег конвергенције алгоритма око номиналне фреквенције мерног сигнала

• Ширина мерног опсега је већа уколико је прозор података ужи

• Поуздана конвергенција алгоритма се може постићи у опсегу 40 до 60 Hz

Утицај шума на мерни опсег и грешку алгоритма

Опсег конвергенције алгоритма

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-150

-100

-50

0

50

100

150PROZOR PODATAKA

napo

n [V

]

vreme [s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 145

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

frekv

enci

ja [H

z]

vreme [s]

50 Hz мерни сигнал + бели шум 20%

Временски ток естимиране фреквенције

Динамичке перформансе алгоритма

Симулиран је сигнал чија се фреквенција простопериодично мења са амплитудом fmax=2Hz око номиналне фреквенције fn=50 Hz. Учестаност пулсације фреквенције сигнала је f=3 Hz.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 145

46

47

48

49

50

51

52

frekv

enci

ja [H

z]

vreme [s]

Естимирана фреквенција Стварна фреквенција

Тестирање алгоритма на реалним сигналимаТЕСТ 1: Мерење фреквенције и ефективне вредности напона у дистрибутивној мрежи

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2045

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

frekv

enci

ja [H

z]

vreme [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

vreme [s]

napo

n [V

] Мерни тест сигнал

Естимирана фреквенција

ТЕСТ 2: Мерење фреквенције и амплитуде основног хармоника напона у изолованом систему

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

ampl

ituda

osn

ovno

g ha

rmon

ika

napo

na [V

]

vreme [s]

Естимирана амплитуда сигнала

• Мало захтевано процесорско време • Релативно широк мерни опсег око номиналне фреквенције

• Мала осетљивост на више хармонике, једносмерну компоненту и шум у мерном сигналу

• Добар баланс између поузданости и тачности мерења

• Већи захтеви за меморијом у односу на остале методе

• Примењена метода је осетљива на велике и брзе промене амплитуде мерног сигнала

Карактеристике развијеног алгоритма

МЕРЕЊЕ ФРЕКВЕНЦИЈЕ КОМБИНОВАЊЕМ FOURIER-ОВЕ I ZERO CROSSING МЕТОДЕ

• Алгоритам за монофазно мерење фреквенције у ЕЕС-у комбинованом нерекурзивном Fourier-овом и zero crossing методом

• Алгоритам за трофазно мерење фреквенције у ЕЕС-у комбинованом нерекурзивном Fourier-овом и zero crossing методом

Проблеми мерења фреквенције сложенопериодичног сигнала zero crossing методом

Алгоритам за мерење фреквенције комбиновањем Fourier-ове методе и zero crossing технике

Модел сигнала:

Основни хармоник сигнала у облику Fourier-овог реда:

f – претпостављена фреквенција у Fourier-овом реду, m – број одбирака у претпостављеној Tf , xn - n-ти одбирак сигнала.

[ ][ ] [ ][ ]T TX COS x j SIN x A jB

2 2 2 2cos( ) cos(2 ) ... cos(( 1) ) 1COS mm m m m

2 2 2 2sin( ) sin(2 ) ... sin(( 1) ) 0SIN mm m m m

1 2 3[ ] ... mx x x x x

0.04 0.06 0.08 0.1

-100

-50

0

50

100

vreme [s]

x, A

, B [

%]

B A

x

Косинусна компонента Fourier-овог реда – A(t)

Синусна компонента Fourier-овог реда – B(t)

Мерни сигнал - x(t)

Originalni signal (x) i njegove Fourier-ove komponente (A i B) Originalni signal (x) i njegove Fourier-ove komponente (A i B)

Оригинални сигнал и његове Fourier-ове компоненте

Идеја: Мерни сигнал се прво обради нерекурзивном Fourier-овом методом, а затим се на једној од добијених ортогоналних компоненти примени zero crossing метода.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

120

f/ff

A, B

[%

]

A

B

Амплитудске карактеристике синусног (B) и косинусног (A) Fourier-овог филтра

A/D

fodab

[SIN]сложенопериодични улазни

мерни сигнал основне периоде T

Tf =mTodab

синусна компонента мерног сигнала

T

Zero crossing бројач

.11nmf

nTTf f

odab

Мерење фреквенције сложенопериодичних сигнала комбиновањем Fourier-ове и zero crossing методе

Утицај реда, фазе и нивоа виших хармоника мерних сигнала на тачност мерења основне фреквенције

)2sin()2sin()( 111 rtrfkUtfUtu Модел тест сигнала:

f=55Hz, ff=50Hz, fodab=2000Hz, 1=0, k=20%. вариран ред и почетна фаза вишег хармоника

f=52Hz, ff=50Hz, fodab=2000Hz, 1=0, вариран ред, почетна фаза и амплитуда вишег хармоника

Утицај случајног шума на перформансе алгоритма Тест сигнал x, загађеног Gaus-овим шумом (SNR=20dB) и оgговарајуће рачунске Fourier-ове компоненте

Временски ток естимиране фреквенције тест сигнала:

Ниво максималне грешке у мерењу фреквенције за различити ниво шума у мерном сигналу и различиту учестаност оgабирања

Утицај белог шума у мерном сигналу на грешку мерења фреквенције за различит број периоgа усреgњавања N

Утицај промене амплитуде мерног сигнала на перформансе алгоритма

симулирана промена амплитуде 50Hz мерног сигнала

измерена фреквенција

3,

2

...min...max 21211

N

N

ffffffff

NN

N

ii

симулирана промена амплитуде 50Hz мерног сигнала

Постфилтрирање:

измерена фреквенција

Динамичке перформансе алгоритма

Оgзив алгоритма на оgскочну промену фреквенције простопериоgичног мерног тест сигнала за различите фазе сигнала у тренутку поремећаја

Алгоритам за трофазно мерење фреквенције у ЕЕС-у

Експериментално тестирање развијених алгоритама Монофазно и трофазно мерење фреквенције мрежног напона

Мерење фреквенције сигнала напона и струје напајања персоналног рачунара

Естимирана фреквенција основног хармоника напона ( fu ) и струје ( fi )

Упоредна анализа естимације основне фреквенције мрежног напона алгоритмима на бази различитих метода

Fourier + zero crossing

алгоритам са константном матрицом коефицијаната

A/D

fodab

сложенопериодични мерни сигнал основне периоде T

Tf =mTodab

2 2 2 2cos( ) cos(2 ) ... cos(( 1) ) 1COS mm m m m

2 2 2 2sin( ) sin(2 ) ... sin(( 1) ) 0SIN mm m m m

2 2fC A B

AB

f arctg

FOURIER-ОВ АЛГОРИТАМ ЗА ЕСТИМАЦИЈУ ФАЗОРА У ЕЕС-у

Утицај одступања фреквенције простопериодичног мерног сигнала на грешку мерења амплитуде

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-150

-100

-50

0

50

100

150

vreme [s]

A, B

, C [%

]

B(t)A(t)

C(t)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-150

-100

-50

0

50

100

150

vreme [s]

A, B

, C [%

]

B(t)A(t)

C(t)

f=55 Hz , ff= 50 Hz.

f=45 Hz , ff= 50 Hz.

Естимирани фазор

Нови Foruier-ов алгоритам са адаптивном ширином прозора података заестимацију фазора мерних сигнала променљиве фреквенције

ОСНОВНА ИДЕЈА: Увођење повратне спреге по фреквенцији при формирању вектора SIN и COS, односно, кориговање ширине прозора податак са променом учестаности.

20 30 40 50 60 70 80

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

f [Hz]

rela

tivna

gre

ska

[%]

Опсег грешке мерења амплитуде за различите учестаности мерног сигнала

Ниво максималне релативне грешке естиматора амплитуде простопериодичног мерног сигнала учестаности f за различите учестаности одабирања fs

Експериментално тестирање алгоритма

2 4 6 8 10 12 14 16 18 2046

47

48

49

50

51

52

vreme [s]

frekv

enci

ja [H

z]

2 4 6 8 10 12 14 16 18 202.5

2.75

3

3.25

3.5

vreme [s]

estim

irana

am

plitu

da [V

]

2 4 6 8 10 12 14 16 18 202.5

2.75

3

3.25

3.5

vreme [s]

estim

irana

am

plitu

da [

V]

Измерена фреквенција комбинованимFourier + zero crossing алгоритмом

Измерена амплитуда алгоритмом са фиксном ширином прозором података

Измерена амплитуда алгоритмом са адаптивном ширином проз. података

ЗАКЉУЧАК• Aлгоритам за мерење основне фреквенције и амплитуде мерних сигнала који се темељи на нерекурзивној методи најмањих квадрата.

Једноставност, тачност и брзина процесирања квалификују алгоритам за практичну примену код различитих естиматора фреквенције у ЕЕС-у

Алгоритам је осетљив на нагле промене амплитуде мерног сигнала

• Aлгоритам за монофазно и трофазно мерење основне фреквенције комбиновањем Fourier-ове и zero crossing методе

Алгоритам се одликује једноставношћу, високом класом тачности, робусношћу и поузданошћу и у условима великих изобличења улазних сигнала

• Aлгоритам са адаптивном широном прозора података за праћење фазора основног хармоника мерног сигнала Алгоритам се одликује поузданошћу и високом класом тачности у широком опсегу промена фреквенције мерног сигнала па је применљив и у изолованим системима