ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

Вероятностные модели

• Вероятностные модели базируются на использовании серий испытаний со случайными параметрами.

• Точность зависит от количества испытаний.

Где находится Монте-Карло?

Предположите, какое отношение город Монте- Карло имеет к вероятностным моделям?

Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом. Дело в том, что одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка…

Цель:

• Построить модель, приближенно вычисляющую площадь геометрической фигуры

ПримерНам нужно вычислить площадь плоской фигуры S. Это может быть совсем произвольная фигура с криволинейной границей, заданная графически или аналитически.

N=40 точек

Из них

N1 =12 внутри фигуры S

N1/N=12/40= 0,30.

В то время как истинная площадь S=0,35.

Y

X1

1

SN1

N

Две особенности Метода Монте-Карло:

Пример из жизни

• Пример:Детская площадка располагается во дворе квадратной формы

• Выпал снег и снежинки равномерным слоем покрыли поверхность двора и площадки

ОПИСАТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

• Если собрать снег с площадки отдельно, а потом весь снег во дворе и взвесить его, то полученное отношение приблизительно равно отношению площади площадки и двора

Будем строить модель вычисления площади круга, вписанного в квадрат. Какой первый этап?

ОПИСАТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО:

-поместим геометрическую фигуру полностью внутрь квадрата;

- будем случайным образом «бросать» точки в этот квадрат, то есть с помощью генератора случайных чисел задавать точкам координаты внутри квадрата;

- будем считать, что отношение числа точек, попавших внутрь фигуры, к общему числу точек в квадрате приблизительно равно отношению площади фигуры к площади квадрата, причём это отношение тем точнее, чем больше количество точек.

• Какой второй этап?

Формализуем задачу

Круг вписан в квадрат со стороной 2R

Площадь квадрата вычисляется по формуле:

Sкв=4R2

R

X

-R

R

Y

X

-R

ФОРМАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ:

Sкр=Sкв*M/N

М – количество точек попавших внутрь круга(красные);

N – количество точек, которые случайно генерируются внутри квадрата(сумма красных и синих).

rd

кр

S

S

N

M

Круг вписан в квадрат со стороной 2R, площадь которого вычисляется по формуле:

Sкв=4R2

Случайный выбор координат точек, которые попадают внутрь квадрата (N точек), должен производиться так, чтобы координаты точек x и y удовлетворяли условиям:

-R<=x<=R и -R<=y<=RКоординаты точек, попавших внутрь круга (М), удовлетворяют условию:

x2 + y2 <= R2

Тогда площадь круга можно вычислить по формуле:

S=4R2* M / N

• Проблема 1

Как сгенерировать случайные числа внутри квадрата?

Как осуществить отбор точек попавших внутрь круга?

Компьютерная модель

• Проблема 2

x:=Random*4-2;x:=Random*4-2;y:=Random*4-2;y:=Random*4-2;

If (x*x+y*y<4) then k:=k+1;If (x*x+y*y<4) then k:=k+1;

Random функция real возвращает случайное вещественное в диапазоне [0..1)

Program Monte_Karlo;Var S,x,y: real; i,M,N: longint;beginWriteln(‘Введите количество точек N:'); Readln(N);Randomize;M:=0;For i:=1 to N dobeginx:=Random*4-2;y:=Random*4-2;If (x*x+y*y<4) then M:=M+1; end;S:=16*M/N;Writeln('S=',S:2:5);end.

Работа программы при различных N различна. N=1000000N=10000000N=100000000

Почему с возрастанием количества случайных точек возрастает точность вычисления площади фигуры?

Можно ли с помощью метода Монте-Карло определить площадь

треугольника, вершины которого имеют координаты (-1,0); (0, 1) и (1,0)?

Площадь произвольной фигуры?

Меньше ошибка, она обратно пропорциональна корню квадратному из числа измерений.

Задание:

Определить методом Монте-Карло площадь

треугольника, вершины которого имеют

координаты (-1,0); (0, 1) и (1,0).

-1 10

1

x

y

Замечание:1.Функция генерации случайных чисел работает так: если дать команду f= rnd(), то в переменную f будут попадать числа из интервала [0, 1].2.Условие попадания точек внутрь треугольника :

dblY>=0 и ABS(dblX) + ABS(dblY)<=1

Задание на дом:

§ 1.4.1

Написать программу: Определить методом Монте-

Карло площадь треугольника, вершины которого имеют

координаты (-1,0); (0, 1) и (1,0).

Работа программы:

Пример 1.Введите N: 1000000S=6.68218 Пример 2.Введите N: 10000000S=6.67204 Пример 3.Введите N: 100000000S=6.66691