Координаты вектора в пространстве.

Скалярное и векторное произведения векторов.

8. Пусть в пространстве Oxyz задан вектор

Проекция , , вектора на оси координат называются координатами вектора

Def: Длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Def: Расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

9. Введем единичные векторы (орты) i, j, k , направленные по осям координат. Они не равны, так как являются единичными векторами неколлинеарных векторов.

Это разложение единственно!

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде:

1)

П- скаляр

При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

2)

При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются).

Векторы коллинеарные тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

10. Скалярное произведение векторов.

Def: Под скалярным произведением двух векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косину угла между ними, т.е

Этой формуле можно придать другой вид.Так как Этой формуле можно придать другой вид.Так как

то получаемто получаем::

cos , cosb aa пр a b пр b

a bab a пр b b пр a

Свойства:

1)

2)

3)

4) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е

5) Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е

6)

Скалярное произведение в координатной форме.

Перемножим и как многочлен и учитывая, что

будем иметь

Скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат

Проекция вектора на заданное Проекция вектора на заданное направлениенаправление

Нахождение проекции вектораНахождение проекции вектора на направление, на направление, заданное вектором ,может осуществляться по заданное вектором ,может осуществляться по формулеформуле

a

b

2 2 2

), . . x x y y z zb a b

x y x

a b a b a ba b a bпр a пр b т е пр a

b a b b b

Векторное произведение векторов

Def: Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор , для которого:

1) Модуль равен площади параллелограмма, построенного на двух векторах, т.е , где

2) Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (перпендикулярен плоскости параллелограмма), т.е и

Свойства векторного произведения

1) При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е

2) Векторный квадрат равен нуль вектору, т.е

3) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е если п- скаляр, то

4) Для трех векторов справедливо равенство

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов

и

Векторное произведение в координатной форме

Пусть

Перемножая векторно эти равенства и используя сумму девяти слагаемых

Для ортов справедлива следующая «таблица умножения»:

Поэтому получаем:

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВСМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВОпределение смешанного произведения, его Определение смешанного произведения, его

геометрический смыслгеометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов Рассмотрим произведение векторов , , и , составленное и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярнымвекторно-скалярным, или , или смешаннымсмешанным, произведением , произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения Выясним геометрический смысл выражения cba

и вектор

Построим параллелепипед, ребрами которого Построим параллелепипед, ребрами которого

являются векторы , и являются векторы , и и вектори векторa b c bad

Имеем:Имеем:

где - площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где - площадь параллелограмма, построенного на векторах и , , для правой , для правой тройки векторов и для левой, где - высота параллелепипеда. тройки векторов и для левой, где - высота параллелепипеда.

Получаем:Получаем:

т.е.т.е.

где - объем параллелепипеда, образованного векторами и где - объем параллелепипеда, образованного векторами и

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Sbadcdcdcba ПР ,d

a

b HcПР d

HcПР d

HScba

Vcba

ba, c

a b cТри некомпланарных вектора , и взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой

c

a b

Свойства смешанного произведенияСвойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. циклической перестановке его сомножителей, т.е.

bacacbcba

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т.е.

cbacba

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е.

abccbacabcbabcacba ,,

abccbacabcbabcacba ,,

4. Смешанное произведение ненулевых векторов 4. Смешанное произведение ненулевых векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.они компланарны.

ba, c

0abc

Если - компланарны

Выражение смешанного произведения через координаты

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba

Определение объемов параллелепипеда и Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамидытреугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах и вычисляется как, построенного на векторах и вычисляется как,

ba, c

cbaV

а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

cbaV6

1

ПримерПример.. Вершинами пирамиды служат точки Вершинами пирамиды служат точки

Найти объем пирамиды Найти объем пирамиды

Решение: Находим векторы Решение: Находим векторы

1;2;3 , 0; 1;1 , 2;5;2 ,A B C 3;0; 2D

cba ,,

1;3;1,2;3;1 ACbABa

5,2;2 ADcНаходим cba

24169178233171

522

131

231

cba

Следовательно, 4246

1V