Развитие конструктивного мышления Развитие конструктивного мышления учащихся при решении задач на нахождение учащихся при решении задач на нахождение площади, периметра, объема геометрических площади, периметра, объема геометрических

объектовобъектов

Развитие конструктивного мышления Развитие конструктивного мышления учащихся при решении задач на нахождение учащихся при решении задач на нахождение площади, периметра, объема геометрических площади, периметра, объема геометрических

объектовобъектов

Виды конструктивных задач:Виды конструктивных задач:

Решение конструктивных геометрических задач:активизирует познавательную деятельность учащихся;способствует формированию интеллектуальной культуры

школьников;формирует гибкость мышления;развивает способность к обучению на основе теоретических

знаний и применению их в нестандартных ситуациях.

Конструктивные задачи разного уровня сложности включены в задания внешнего независимого оценивания и государственной итоговой аттестации.

перестраиваниеи разрезание фигур (деление фигуры на части)

достраивание фигур

Геометрические свойства фигури их элементов,

применяемые при решении конструктивных задач

Основные свойства площадей

1) Равные фигуры имеют равные площади

2) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит

Если F1=F2, то SF1=SF2

F1, F2 - равновеликие фигуры

21 SSSô

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части

ADCABDABC SSS AD - медиана

Пусть М – произвольная точка стороны АС треугольника ABC, тогда

MC

AM

S

S

MBC

ABM

Биссектриса угла треугольника делит его площадь на части, которые пропорциональны прилежащим сторонам угла

AC

AB

S

S

ADC

ABD

Площади треугольников с общим основанием относятся как высоты, проведенные к основанию

DM

BK

S

S

ADC

ABC

В треугольнике точка пересечения медиан соединена с вершинами. Площадь каждого из полученных треугольников составляет третью часть площади данного треугольника

ABCAOCBOCAOB SSSS 3

1

Отношение площадей подобных треугольников (фигур) равно квадрату коэффициента подобия

2kS

S

MBNABC

MBN

ABC

Средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника (на четыре равновеликих треугольника)

4321 SSSS

Диагонали параллелограмма разбивают его на четыре треугольника с равными площадями

4321 SSSS

BDACPKMNP

Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, периметр которого равен сумме диагоналей четырехугольника

KMNP - параллелограмм

Прямая, пересекающая противолежащие стороны параллелограмма и проходящая через точку пересечения образует пары равных треугольников

4343

2121

;

;

SS

SS

Если параллелограмм и треугольник имеют общее основание и высоту, то площадь параллелограмма в 2 раза больше площади треугольника

AKDABCD

ABCDAKD

SS

SS

22

1

ABCD – параллелограммM, K, N, P – середины сторон параллелограмма АВСDMKNP – параллелограмм

MKNPABCD SS 2

Точка М – середина стороны квадрата ABCD. Площадь заштрихованной части равна 7 см2. Найти площадь всего квадрата.

Решение:Дополнительное построение:АС – диагональ. ∆ABC, АМ – медиана.

ABMABCAMCABM SSSS 2,

ABMABMABCABCD SSSS 4222

).(2874 2ñìSABCD

Ответ: .28 2ñìSABCD

ВНО, 2010

Найти площадь Х

..7 åäêâÕ ..1262

2

åäêâ

SSÕ BDEDBC

12

Задачи на готовых чертежах

Найти отношения площадей S1 : S2

3

1

2

1 S

S

3

4

Дано: ABDC - параллелограмм

1,

,

,

2

121

21

S

SSS

SSSSSS

SSSS

DECBDCAEDABD

DECAEDBDCABD

4

Одна из сторон треугольника равна 20 см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам равны 18 см и 24 см. Найти площадь треугольника.

Решение:1)

).(96)1624)(1224)(2024(24

).(242

121620

.))()((

2ñìS

ñìp

COpAOpACppS

AOC

AOC

).(16243

2

3

2

).(12183

2

3

2

.20:

ñìÑKÑO

ñìADAO

ñìACAOC

Ответ:

2) ).(2889633 2ñìSS AOCABC

.288 2ñìS ABC

В равнобедренном треугольнике основание равно 66 см. Биссектриса угла при основании делит боковую сторону на отрезки 5:6, начиная от вершины. Найдите площадь частей треугольника, на которые делит его биссектриса.

Решение:

1) По свойству биссектрисы треугольника

).(55511

.5;566611;6

5

66

11

1165,

cìBCÀÂ

ñìõõõ

õõ

÷àñòåéDCBDBCABCD

BD

AC

ÀÂ

2) Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона

3) По свойству биссектрисы треугольника

).(660132511

14525

11

5;6

5 2ñìSSS

SABCABD

ADC

ABD

).(882

176

2

66255cìp

)6688)(5588)(5588(88S

).(145222233

2222433223333882ñì

3) ).(7926601452 2ñìSSS ABDABCADC

Ответ: .792,660 22 ñìSñìS ADCABD

MK – средняя линия треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна 20 см2. Найдите площадь четырехугольника ABMK.

Решение:1) MK || AB по свойству средней линии треугольника.

.2:

,

kKMAB

BACMKC

).(54:20.4: 22 ñìSkSS MKCMKCBAC

Ответ:

2) ).(15520 2ñìSSS MKCBACABMK

.15 2ñìSABMK

ВНО, 2008

Решение:по двум равным углам.

.4

1: 2

21 kSS

DEABEC

.2

1

DE

BEk

ABCD – трапеция.Найти: S1:S2.

В прямоугольнике ABCD прямые m и n проходят через точку пересечения диагоналей. Площадь фигуры, которая состоит из трех закрашенных треугольников, равна 12 см2.

).(481244,12 22 ñìSSñìS AÎBABCDAÎB

Вычислите площадь прямоугольника ABCD.Решение:

Ответ: .48 2ñìSABCD

ВНО, 2010

На рисунке изображен прямоугольник ABCD и равносторонний треугольник ABK, периметры которых соответственно равны 20 см и 12 см. Найдите периметр пятиугольника AKBCD.

)(4123

1ñìAB

Решение:

Ответ:

∆ABK - равносторонний

).(244212202 ñìABPPP ABKABCDAKBCD

.24ñìPAKBCD

ВНО, 2010

На рисунке изображен квадрат ABCD и треугольник BKC, периметры которых соответственно равны 24 см и 20 см. Найдите периметр пятиугольника ABKCD.

)(6244

1ñìBÑ

Решение:

Ответ:

, ABСD – квадрат

).(326220242 ñìBÑPPP BKÑABCDABKCD

.32ñìPABKCD

ВНО, 2010

В четырехугольнике диагонали равны 8 см и 5 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение:

Ответ:

ABСD – параллелограмм

).(1358 ñìPABCD

.13ñìPABCD

ВНО, 2009

Точка K лежит на стороне DC параллелограмма ABCD. Известно, что угол AKB прямой, АК = 8 см, KB = 5 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Ответ: .40 2ñìSABCD

).(402022

).(20582

1

2

1

2

2

ñìSS

ñìKBAKS

AKBABÑÂ

AKB

ВНО, 2008

Дано: ABCD – трапецияНайти: S1:S2.Решение:как площади треугольников с общим основанием AD и высотой h.

ACDABD SS

.1:

,,

21

21

2

1

SS

üíîñëåäîâàòåëSS

SSS

SSS

AEDACD

AEDABD

Найти: S1:S2.Решение: дополнительные построения KN, NP – средние линии треугольника, следовательно: S1:S2=1:3.

№256 Геометрия, 10 класс, Бевз Г.П, и др, профильный уровень

В треугольнике ABC через точку М – середину стороны АВ – проведена плоскость α, α||BC, α AC = N. Найдите: а) ВС, если MN=a; б) SBMNC:SMAN.

;22,2

1

,,)2

;||

,),(,)()1

aMNBCBCMN

ëèíèÿñðåäíÿÿMNABC

MNBC

BCABCBCMNABC

.1:3:)3 MANBMNC SS

Из цилиндра выточен конус так, что его основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина с центром другого основания цилиндра. Найдите отношение объема сточенной части цилиндра к объему конуса.

öèëèíäðàêîíóñà VV 3

1

Решение:

1:23

1:

3

2:

.3

2

.

öèëöèëêîí

öèëêîíöèë

VVVV

VVVV

öèëèíäðà÷àñòèñòî÷åííîéîáúåìV

ВНО, 2010

Объем куба ABCDA1B1C1D1 равен 216 см3. Найдите объем пирамиды D1ACD.

;6

;2

;3

1

111

1111

ACDDêóáà

DCACDAêóáà

ACDDDCACDA

VV

VV

VV

Решение:

).(362166

1;

6

1 3

11ñìVVV ACDDêóáàACDD

Ответ: .36 3

1ñìV ACDD

ВНО, 2010

В сосуд цилиндрической формы, наполненный водой доверху, положили металлический шар, который касается дна и стенок. Определите отношение объема воды, которая осталась в сосуде, к объему воды, которая вылилась.

.1 øàðàöèë VVV

Решение:V1 – объем воды, которая осталась;V2 – объем вылившейся воды.

.2

1

4

2

3432

;3

2

3

42

3

3

2

13321

R

R

V

VRRRRV

32 3

4RVV øàðà

ВНО, 2008

В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна a. Найдите площадь полученного сечения.

Решение: ортогональной проекцией сечения KMNPL на плоскость основания является пятиугольник ABCMK.

.cos8

7

cos

.8

7

8

1

2

222

aS

S

aaaSSS

ABCMKñå÷

KDMABCDABCMK

№16. П. 19 Многогранники. Геометрия, Погорелов А.В.