СИСТЕМЫ обыкновенных дифференциальныХ уравнений
DESCRIPTION
СИСТЕМЫ обыкновенных дифференциальныХ уравнений. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
{ математическое моделирование в инженерных системах - геометрическое истолкование систем дифференциальных уравнений - механическое истолкование систем ДУ - задача с начальными условиями - краевая задача - системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами }
Математическое моделирование физических систем базируется на математическом описании физических процессов с введением внешнихвоздействий и внутренних связей. На основании анализа такой модели можно предсказать поведение конкретной системы.
В зависимости от типа определяющих систему условий, задачи подразделяются на задачи с начальными условиями и задачи с граничными (краевыми) условиями.
С последними задачами часто связаны задачи определения собственных частот системы - задачи на определение собственных чисел и векторов.
Для описания используются известные законы физики и химии, в результате их использования получается набор алгебраических и дифференциальных уравнений, решая которые можно предсказать реакцию сети на внешние возмущения.
демпфер
инертность
пружина
В механической системе, приведенной на схеме, возможно только горизонтальное перемещение
двух масс без учета внешнего трения. Приложенные к грузам силы являются
динамическими, однако могут интерпретироваться как статические в уравнениях состояния после
абстрагирования схемы к диаграмме, приведенной вверху рисунка.
При рассмотрении механических систем могут быть введены следующиекомпоненты: инверсное сопротивление (демпфер) – масса (инертность, при вращении - момент инерции) – , упругость (пружина) – . В уравнениях соответственно присутствуют перемещения, скорости, ускорения тел и физические параметры – масса m, жесткость s, коэффициент сопротивления k .
xcFd
xmFi kxFs
Для масс 1 и 2 справедлив следующий баланс сил:
Силы инерции, сопротивления движению (демпфирования) и упругости определяются по формулам:
)1 1 1 2 2s d i 1 s d1 F F F P F F 0 02 2222
PFFF ) ids
2211
12211
12211
21
21
21
xmF xmF)xx(cF xcF)xx(kF xkF
ii
dd
ss
PXMXCXK
2
1
2
1
2
1
2
1
22
221
2
1
22
221
00
pp
xx
mm
xx
ccccc
xx
kkkkk
После подстановки всех сил в уравнения баланса, последние могут быть записаны как система дифференциальных уравнений в матричной форме
матрицы перемещения, скорости и ускорения элементов
матрица масс,
матрица коэффициентов механического поступательного сопротивления
матрица параметров жесткости системы,
матрица внешних сил, Начальные
условияPKXXCXM
0
0
00
XXXX
)t()t(
Пример из строительной механики Одной из основных задач является определение напряжений в элементах строительных конструкций, в частности в балках и вертикальных стойках, при различных способах их нагружения и разной форме их поперечных сечений.
02
22
4
4
dx
ydKdx
yd
Уравнение, описывающее форму нагруженной стойки с жестко зафиксированными концами может быть представлено в виде
E - модуль упругости материала (модуль Юнга)
I - момент инерции поперечного сечения
P - сила нагружения стойки
Граничные условия
EIPK
00
0 yy
x
00
yy
Lx
Критическая величина нагружения стойки P может быть определена после интегрирования линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
02
22
4
4
dx
ydKdx
yd 0222224 )Kr(rrKr ,Kir,Kir,rr
43
21 0
DL/CxKxcosBKxsinAy
L/CAK
DByy
x0
000
0
L/C)KLsin(BK)Klcos(AK
DC)KLcos(B)Klsin(Ayy
Lx0
000
0000
01010111010
DCBA
GsinGGcosGG
GcosGsin
Однородная система
G A 0
=Тривиальное решение
0000
DCBA
A
@@
Определение ненулевых одновременно элементов матрицы относится к проблеме определения множества собственных значений матрицы G, то есть подходящих значений = KL, при которых будут удовлетворяться граничные условия, а решение дифференциального уравнения будет не тривиальным.
Пусть дана нормальная система двух уравнений и начальные условия:
Пусть известно частное решение системы:
Эти уравнения в области D пространства Oxyz определяют интегральную кривую L (пересечение двух цилиндров), проходящую через точку P (x0,y0,z0). Система данных дифференциальных уравнений устанавливает связь между координатами точек интегральных кривых и направлением касательной к ним в этих точках. P (x0,y0,z0)
LD
)z,y,x(F)x(z)z,y,x(F)x(y
2
10000 z)xx(z ,y)xx(y
)x(z ),x(fy
)x(zZ
)x(fyYxX
111
Система уравнений сводится к одному ОДУ n - го порядка – такой метод называется методом исключения. Рассмотрим этот метод на примере нормальной системы ОДУ:
)y,y,x(F)x(y)y,y,x(F)x(y
2122
2111 )y,y,x()x(y)y,y,x(Fy 1122111
( , , ) ( ( , , ) ( ( , , )
( ( , , ) ( ( , , ( , , ))
( ( , , ( , , )) ( , , ( , , )) ( ( , , ( , , )) ( , , ( ,
11 1 1 2 1 1 2 1 1 2
1
2 11 1 2 1 1 1
2
1 1 11 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1
1 2
dydy F x y y F x y y F x y ydx x y dx
dy dyF x y y F x y x yy dx x dx
dy dy dyF x y x y F x y x y F x y x y F x y x yy dx dx y dx
, ))1dydx
Получили одно дифференциальное уравнение 2 - го порядка для y1.Интегрируем это уравнение. Затем находим решение для y2.
1
1
12
21
ydxdy
ydxdy
@@ 11 122
1 dxdy)x(yy
dxdy
11 12
221
2
ydxdy)y(
dxd
dxyd
Решение
1121
2
ydx
yd
Получили одно дифференциальное
уравнение 2 - го порядка для y1.
xx eCeCYk,kkyy 211212
11 11011
1100 111 AAy,yAy121111 xx eCeCyYy
1111 21211
2 xxxx eCeC)eCeC(dxdyy
11
21
21
2
1xx
xx
eCeCeCeC
yy
@@ Решениеyxdtdy
dtdx ,y
dtdx
30
dtdxx
dtdx
dtxd
dtxd
dtdy
32
2
2
2
0322
2
xdtdx
dtxd 032 kk 2
21311 1,2k 31 2 k ;k1tt eCeCX 3
21
tt eCeCdtdXY 3
21 3 tt eCeCY 321 3
tt
tt
eCeCeCeC
YX
321
321
3
2
13
3
3 CC
eeee
YX
tt
tt
2221212
2121111
yayadxdy
yayadxdy
xx ey ,ey 2211
2221212
2121111
yCyCyyCyCy
00
2
1
2221
1211
aaaa
2
1
2221
1211
2
1
aaaa
x
x
x
x
ee
aaaa
ee
2
1
2221
1211
2
1
0BEA 02221
1211
aa
aa
Характеристическое уравнение, его корни , - характеристические числа.
021122211 aaaa
00
2
1
12221
12111
aaaa
00
2
1
22221
12211
aaaa
2
1
@@ Решение
212
211
44 yyyy y y
04411
0441 052 01 52
00
4411
2
1
11
2
1
00
1414
2
1
04 21
41
2
1
xx eeyy
yy55
2221
1211
411
Фундаментальная система
Общее решение
xeCC
CCyy
521
21
2
1 14
eCC eCC
yy
x
x
522
521
2
1
4