Системы дифференциальных уравнений -...
TRANSCRIPT
1
Системы дифференциальных уравнений
Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы
дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д. Рассмотрим пример. Некоторое вещество A разлагается на два вещества P и Q. Скорость образования каждого из этих веществ пропорциональна количеству не разложенного вещества. Пусть x и y – количества вещества P и Q, образовавшихся к моменту t. Определить закон их изменений, зная, что в начальный момент x=0, y=0, а через 1 час x=
83c , y=
8c ,
где c – первоначальное количество вещества A. Решение. Пусть c – первоначальное количество вещества A. К моменту t количество неразложившегося вещества А равно (с – x – y). Тогда согласно условиям задачи скорости образования веществ P и Q:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=
−−=
)(
)(
2
1
yxckdtdy
yxckdtdx
где k1 и k2 – коэффициенты пропорциональности скорости образования каждого из веществ P и Q, x=x(t), y=y(t) – искомые функции, описывающие закон изменения количества веществ P и Q. Не останавливаясь на методах решения систем дифференциальных уравнений, запишем общее решение:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+=
+=
+−
+−
1)(
22
1
)(21
21
21
CeCkkcy
eCCx
tkk
tkk
2
Используя начальные условия: при t=0, x=0 и y=0, определим С1 и С2.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
+=
21
22
21
21
kkckC
kkckC
Подставляя значения констант в общее решение, получим законы изменения x и y в виде
[ ]
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+
=
−+
=
+−
+−
tkk
tkk
ekkcky
ekkckx
)(
21
1
)(
21
2
21
21
1
1
Из дополнительных условий задачи (x = 8
3c , y = 8c , t=1) можно найти k1 и k2.
k1 = 2ln43 и k2 = 2ln
41 .
Окончательно имеем: [ ]
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
−
−
t
t
cy
cx
214
3
214 .
x t( )
y t( )
t
График искомых функций x(t) и y(t) демонстрирует характер образования веществ P и Q в процессе химической реакции разложения вещества А.
В общем случае физический или химический процесс может описываться любым числом меняющихся параметров, что, соответственно, приведет к увеличению числа дифференциальных уравнений в системе. Пример. Пусть )(trr rr
= - закон движения материальной точки в R3, t – время. Это значит в момент времени t точка имеет координаты )}(),(),({)( tztytxtr =
r . Пусть точка движется под действием силы ),,( rrtF rrr
= . Тогда по II закону Ньютона rr (t) должен удовлетворять уравнению
),,( rrtFrm rrrr= - векторная форма
Это уравнение эквивалентно системе
3
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
),,,..,(
),,,..,(
),,,..,(
2
2
2
2
2
2
zyxzyxtZdt
zdm
zyxzyxtYdt
ydm
zyxzyxtXdt
xdm
&&&
&&&
&&&
. Здесь },,{ ZYXF =r
, },,{},,{ zyxdtdz
dtdy
dtdx
dtrd
&&&r
== - проекции скорости
Если считать неизвестными еще и скорости wzvyux === &&& ,, , то система перепишется
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
=
=
),,,..,(
),,,..,(
),,,..,(
)(
)(
)(
wvuzyxtZdtdwm
wvuzyxtYdtdvm
wvuzyxtXdtdum
twdtdz
tvdtdy
tudtdx
=>
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
),,( VrtFdtVdm
Vdtrd
rrrr
rr
- векторная форма
Система ду некоторую кривую )}(),(),(),(),(),({)( twtvtutztytxtR =r
, кот наз. фазовой траекторией, шестимерное пространство точек – фазовое пространство Определение 1. Совокупность уравнений
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′′′=′′′=′′′
,0),,,,,,,,,,,,(,0),,,,,,,,,,,,(,0),,,,,,,,,,,,(
)()(222
)(111
)()(222
)(1112
)()(222
)(1111
21
21
21
n
n
n
mnnn
mmn
mnnn
mm
mnnn
mm
yyyyyyyyyxFyyyyyyyyyxFyyyyyyyyyxF
KKK
KKK
KKK
(1)
где x – независимая переменная, y1(x), y2(x), …, yn(x) – искомые функции, F1, F2, …Fn – известные функции, называется системой дифференциальных уравнений n-го порядка. Совокупность функций n )(,),(),( 2211 xyyxyyxyy nn === K называется решением системы (1) на интервале , если она обращает на каждое уравнение этой системы в тождество.
),( ba ),( ba
Замечание. Всегда будем предполагать, что число уравнений системы равно числу неизвестных
функций. Системы дифференциальных уравнений, в которых число уравнений меньше числа искомых функций, называются уравнениями Монжа. Такие уравнения рассматриваются в более полных курсах математики.
При изучении систем вида (1) приходится выделять несколько случаев. Рассмотрим важнейший из них – случай, когда система может быть разрешена относительно старших производных всех входящих в нее функций, т.е. может быть записана в виде
4
⎪⎩
⎪⎨
⎧
′′′=
′′′=
′′′=
−−−
−−−
−−−
).,,,,,,,,,,,,(),,,,,,,,,,,,,(),,,,,,,,,,,,,(
)1()1(222
)1(111
)(
)1()1(222
)1(1112
)(2
)1()1(222
)1(1111
)(1
21
212
211
nn
n
n
mnnn
mmn
mn
mnnn
mmm
mnnn
mmm
yyyyyyyyyxfyyyyyyyyyyxfyyyyyyyyyyxfy
KKK
KKK
KKK
(2)
Такая система называется канонической Класс дифференциальных уравнений, решение которых можно найти аналитическим путем, достаточно узок. Поэтому мы будем изучать главным образом системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, для которых существует законченная теория построения общего решения, и несложные системы нелинейных уравнений, для которых, как правило, можно подобрать интегрируемые комбинации. Для всех остальных случаев будем использовать численное моделирование.
§ 1. Нормальная система дифференциальных уравнений Определение 2. Каноническая система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−−−−
=
=
),...,,,(
),...,,,(
),...,,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
yyyxfxdyd
yyyxfxdyd
yyyxfxdyd
(3)
Здесь x – независимая переменная, yi(x) – искомая система функций, fi(x) – заданные в некоторой области функции. Число уравнений системы (3) называется ее порядком. Заметим, что каноническую систему (2) всегда можно заменить эквивалентной ей нормальной системой nmmmk +++= K21 уравнений. Для этого достаточно ввести k новых функций 1210 ,,,, −imiiii yyyy K ),,3,2,1( ni K= полагая, что
)1(1210 ,,,, −
− =′′=′== ii
mimiiiiiii yyyyyyyy K ),,3,2,1( ni K= . Поэтому в дальнейшем
будем рассматривать только нормальные системы.
5
Представим систему функций выражения (3) в виде векторов , ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
ny
yy
...2
1
y
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
xdyd
xdydxdyd
n
...
2
1
xdyd , .
Тогда система (3) может быть записана в компактной векторно-матричной (или просто матричной) форме:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nf
ff
...2
1
f
y)f(x,xdyd
= . (4)
Решением системы на интервале (a,b) называют n-мерный вектор y(x)y = или совокупность n функций , которая при подстановке в систему (3) будет обращать каждое уравнение системы в тождество на интервале (a,b).
Геометрически для системы 1-го порядка
)(,...),(),( 21 xyxyxy n
),( 111 yxf
xdyd
= решением будет функция
y1(x)=ϕ(x), что соответствует интегральной кривой на плоскости (двухмерное
пространство). Для системы 2-го порядка
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
),,(
),,(
2122
2111
yyxfxdyd
yyxfxdyd
решением будет пара
функций , которые можно рассматривать как параметрические уравнения
кривой в пространстве трех измерений. Обобщая геометрическую терминологию, будем считать, что решение
⎩⎨⎧
==
)()(
22
11
xyxy
ϕϕ
)(...,),(),( 2211 xyxyxy nn ϕϕϕ === системы (3) представляет собой интегральную кривую (n+1)-мерного пространства переменных x, y1, y2, …, yn. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений ставится также, как для одного уравнения: найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям
0020021001 )(,,)(,)( nn yxyyxyyxy === K (5) Справедлива следующая теорема Теорема 1 (о существовании и единственности решения задачи Коши). Если в некоторой области D )1( +n –мерного пространства
1) функции непрерывны ),,,,( 21 ni yyyxf K
2) имеют в этой области ограниченные частные производные по переменным
: nyyy ,,, 21 K ),1,(, njiMyf
i
i =≤∂∂
6
то для любой фиксированной точки ) области существует, и притом единственное, решение
,,,,( 0201000 nyyyxM K D)(,),(),( 2211 xyxyxy nn ϕϕϕ === K системы (3),
определенное в некоторой окрестности точки , и удовлетворяющее условиям (5). 0x
Из теоремы 1 следует, что, закрепляя значение и изменяя в некоторых
пределах значения (так, чтобы точка принадлежала области ), мы будем для каждой системы чисел получать свое решение. Следовательно, в области система (3) имеет бесчисленное множество решений и эта совокупность решений зависит от произвольных постоянных.
0x02010 ,,, nyyy K ),,,,( 020100 nyyyx K
D 02010 ,,, nyyy K
Dn
Определение 3.
Совокупность n функций
),,,(
),,,(),,,(
1
122
111
nnn
n
n
CCxy
CCxyCCxy
K
K
K
K
ϕ
ϕϕ
=
==
, зависящих от x и n произвольных
постоянных С1, С2, … Сn, называется общим решение системы (3), если: 1) при любых допустимых значениях постоянных она обращает все
уравнения системы (3) в тождество (определяет решение системы); nCCC ,,, 21 K
2) по заданным начальным условиям (5) можно однозначно определить постоянные С1, С2, … Сn. Частным называется решение, полученное из общего решения при конкретных постоянных Сi. Если известные функции fi системы (3) не зависят от свободной переменной x, то она называется автономной (стационарной).
Пример 1. Показать, что система функций
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
+=−
−
xx
xx
eCeCy
eCeCy3
112
3111
22 (П 1)
является общим решением системы уравнений
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
122
211
4yyxdyd
yyxdyd
(П 2)
Решение. В данном примере область D есть +∞<<∞−+∞<<∞− 21 ,, yyx . Подставим функции
из (П 1) в систему (П 2). Получаем тождества по x )(),( 21 xyxy
7
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−−=−−
+−+=+−−−−
−−−
xxxxxx
xxxxxx
eCeCeCeCeCeC
eCeCeCeCeCeC3
113
113
11
311
311
311
442262
223 , справедливые при любых значениях
постоянных С1, С2. Таким образом условие 1) определения 3 выполнено. Проверим условие 2. Для системы (П 2) условия теоремы 1 справедливы в любой точке области D. Поэтому в качестве начальных условий можно взять любую тройку чисел
. Тогда соотношения (П 1) дадут для определения С02
010 ,, yyx 1, С2 систему
. Определитель этой системы . Следовательно, она
однозначно разрешима относительно С⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
+=−
−
00
00
311
02
311
01
22 xx
xx
eCeCy
eCeCy04 02 ≠−=Δ − xe
1, С2 при любых . Условие 2) определения 3 выполнено. Т.О. система (П 1) является общим решением системы (П 2).
02
010 ,, yyx
Для нормальных систем справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Всякое дифференциальное уравнение n-го порядка
),,,,,( )1()( −′′′= nn yyyyxfy K может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой n-го порядка.
Доказательство. Пусть . n
n zyzyzyzy ==′′=′= − )1(321 ,,,, K
Тогда ),,,(,,,, 1)(1)1(
32
21
nnn
nnn zzxf
dxdzyz
dxdzyz
dxdzyz
dxdzy KK ======′′==′ −− ,
т.е. получили нормальную систему
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=′=′
=′=′
−
),,,,,(,
,,
21
1
32
21
nn
nnzzzxfz
zz
zzzz
K
KKKK ,
эквивалентную заданному уравнению. Справедливо обратное утверждение Теорема 3. Всякая нормальная система n-го порядка может быть заменена эквивалентным ей дифференциальным уравнением n-го порядка.
Доказательство.
Пусть дана нормальная система ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′=′=′
).,,,(),,,,(),,,,(
1
122
111
nnn
n
n
yyxfyyyxfyyyxfy
K
K
K
(Т 3.1)
Дифференцируем по x обе части первого уравнения системы:
dxdy
yf
dxdy
yf
xf
dxyd n
n⋅
∂∂
++⋅∂∂
+∂∂
= 11
1
1121
2
K .
8
Заменим dxdy
dxdy
dxdy n,,, 21 K их выражениями через из системы (Т 3.1) и
получим
nyyx ,,, 1 K
nn
fyff
yf
xf
dxyd
⋅∂∂
++⋅∂∂
+∂∂
= 11
1
1121
2
K
или, переобозначая правую часть, ),,,,( 2121 nyyyxfy K=′′ . Дифференцируем теперь это уравнение по x и, используя уравнения нормальной системы (Т 3.1), получим
),,,,( 2131 nyyyxfy K=′′′ и т.д. Таким образом, получим систему уравнений
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′′
=′
).,,,,(
),,,,,(
),,,,,(
21)(
1
2121
2111
nnn
n
n
yyyxfy
yyyxfy
yyyxfy
K
KKKKKKKKKKK
K
K
(Т 3.2)
Из первых уравнений системы (Т 3.2) находим , которые будут выражаться через :
)1( −n nyyy ,,, 32 K)1(
1111 ,,,,, −′′′ nyyyyx K
⎪⎩
⎪⎨
⎧
′′′=
′′′=
′′′=
−
−
−
).,,,,,(),,,,,,(),,,,,,(
)1(1111
)1(111133
)1(111122
nnn
n
n
yyyyxyyyyyxyyyyyxy
K
K
K
ψψψ
(Т 3.3)
Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы (Т 3.2), придем к дифференциальному уравнению –го порядка относительно переменной : . (Т 3.4)
n 1y),,,,,( )1(
1111)(
1−′′′= nn yyyyxFy K
Решив это уравнение, найдем ),,,,( 2111 nCCCxy Kϕ= .
Дифференцируем найденную функцию 1y )1( −n раз и, подставляя получившиеся выражения в (Т 3.3), получаем искомое решение нормальной системы дифференциальных уравнений:
).,,,,(
),,,,,(),,,,,(
21
21222111
nnn
nn
CCCxy
CCCxyCCCxy
KKKKKKKKKKK
KK
ϕ
ϕϕ
=
==
Этот метод называется методом исключения переменных.
Замечание. Получая уравнение (Т 3.4), мы предполагали, что из первых )1( −n уравнений системы (Т 3.2) можно выразить функции . Если это не так, то мы возьмем, например, второе уравнение исходной системы и повторим для него все рассуждения. В итоге будет получено уравнение вида (Т 3.4) для функции . Изложенные выше рассуждения
nyyy ,,, 32 K
2y
9
невозможно провести ни для одного уравнения системы только в том случае, если все они имеют вид , т.е. если система распадается на несвязанные между собой уравнения. Но в этом случае общее решение мы найдем, проинтегрировав каждое уравнение системы.
),( iii yxfy =′
Пример 2. Найти общее решение системы методом исключения
⎩⎨⎧
+−=′−+−=′
.2,1454
212
211
xyyyxyyy
Указать решение, удовлетворяющее условиям 3)0(,11)0( 21 == yy . Решение.
Дифференцируя по x второе уравнение, имеем 12 212 +′−′=′′ yyy . Подставив сюда выражения и из уравнений 1 и 2 соответственно, получим 1y′ 1y 032 222 =−′−′′ yyy . Отсюда общее решение: . Из уравнения 2 выражаем xx eCeCy −+= 2
312 xyyy −+′= 221 2 ,
дифференцируя и приводя подобные, получим . 2y xeCeCy xx −+= −2
311 5
Таким образом, общее решение , или в векторно-матричной
форме .
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
−+=−
−
xx
xx
eCeCy
xeCeCy
23
12
23
11 5
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−+=
−
−
−
−
x
x
x
x
xx
xx
ee
Cee
CeCeC
xeCeC23
3
12
31
23
1 55y
Найдем значение постоянных и , при которых частное решение будет удовлетворять начальным условиям
1C 2C3)0(,11)0( 21 == yy . Подставив в общее решение
, , , будем иметь ⇒ . Следовательно, решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
00 =x 111 =y 32 =y⎩⎨⎧
+=+=
21
21
3,511
CCCC
⎩⎨⎧
==
12
2
1
CC
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
−
x
x
x
x
ee
ee3
352y
§ 2. Метод интегрируемых комбинаций Рассмотрим случай, когда некоторыми арифметическими преобразованиями часть уравнений системы (3) могут быть приведены к полным дифференциалам
. Интегрирование этих уравнений позволяет получить k конечных уравнений, которые называются первыми интегралами
0)...,,,,( 21 =nyyyxdΦ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−−−
==
)...,,,,(ΦC
)...,,,,(ΦC)...,,,,(ΦC
21kk
2122
2111
n
n
n
yyyx
yyyxyyyx
(6)
10
При этом, если хотя бы один определитель 0)y...,,y,y()Φ...,,Φ,Φ(
21
21 ≠∂∂
kiii
k по каким-нибудь k
функциям , то эти k первых интегралов линейно независимы. Из этой системы (6) можно выразить k неизвестных функций через остальные (n – k) функций. Подставим найденные функции в нормальную систему и получим систему с меньшим числом переменных. Эта процедура называется построение интегрируемых комбинаций.
kiii y...,,y,y21
Пример 3. Решить систему методом интегрируемых комбинаций
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++−=
−−=
−−=
;2
,323
,2
3213
3212
3211
yyydxdy
yyydxdy
yyydxdy
Решение 1) Почленно сложим второе и третье уравнения, вычтем первое и получим
)2()323()2( 321321321321 yyyyyyyyy
dxdy
dxdy
dxdy
++−+−−+−−−=++− ,
или 0)( 321 =++− yyydxd .
Отсюда 1321 Cyyy =++− – первый интеграл системы. Этот интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через две другие, например 2113 yyCy −+= . Подставим в первые два уравнения системы и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными и :
3y1y 2y
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−−=
−+−−=
),(323
),(2
211212
211211
yyCyydxdy
yyCyydxdy
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
.3
,
122
111
Cydxdy
Cydxdy
Каждое из уравнений этой системы есть линейное уравнение первого порядка. Решая их, находим:
xeCCy 211 += , xeCCy 312 3 += . Подставим найденные и в первый интеграл и найдем : 1y 2y 3y
132312113 )()3()( CCCCCCCCy xxx eee −−=+−++= .
11
Таким образом, ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
+=
+=
1323
312
211
)(
,3
,
CCCxy
xCCy
xCCy
ee
e – общее решение исходной системы. Или в
векторно-матричной форме xCxCC ee⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
110
101
131
321y
Наиболее удобной формой системы для таких преобразований является симметричная форма системы дифференциальных уравнений.
Преобразуем систему (3)
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−−−−
=
=
),...,,,(
),...,,,(
),...,,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
yyyxfxdyd
yyyxfxdyd
yyyxfxdyd
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−−−−
=
=
xdyyyxf
yd
xdyyyxf
yd
xdyyyxf
yd
nn
n
n
n
),...,,,(
),...,,,(
),...,,,(
21
212
2
211
1
⇒
),...,,,(...
),...,,,(),...,,,( 21212
2
211
1
nn
n
nn yyyxfyd
yyyxfyd
yyyxfyd
=== (7)
Такая форма системы дифференциальных уравнений называется симметричной. Заметим, что в выражении (7) все переменные равноправны, что упрощает нахождение первых интегралов.
Замечание Этот метод предполагает использование производных пропорций (или свойство равных
дробей). Если 3
3
2
2
1
1
bbb==
aaa , то 21
21
3
3
bbb +=
aaa + .
Покажем это. Обозначим kba
ba
ba
===3
3
2
2
1
1 ⇒ a
22
11
bkabk
⋅=⋅=
. Тогда 3
3
21
21
21
21
ba
kbb
bkbkbbaa
==+
=+
⋅+⋅+ .
Пример 4. Решить систему методом интегрируемых комбинаций
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−⋅=
⋅−=
.1ln21
,ln21
1
2
1
1
xydx
dy
xydx
dy
Решение Запишем систему в симметричной форме:
11ln21ln
21
21 xd
xy
dy
xy
dy=
−=
−11
⇒ 11
21
2ln2ln yxd
xydy
xdy
−=
−=
12
Последнее тройное равенство легко записать в виде двух интегрируемых комбинаций: первая комбинация – равенство первой и третьей дробей, вторую комбинацию получим используя свойство равных дробей
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−++−
=
11
21
1
1
2ln2ln
2ln
yxd
xyxdydy
yxd
xdy
⇒ ⇒ ⎩⎨⎧
−=+=−
xddydyxxddyy
21
11 ln2
⎩⎨⎧
=++=−−
221
12
1 )1(lnCxyy
Cxxy
Таким образом, мы получили два первых интеграла. Определитель
01102
)y,y()Φ,Φ( 121
21
≠=∂∂ y
ii, если y1≠0, т.е. первые интегралы линейно независимы и y1 и
y2 определяются однозначно.
§ 3. Системы линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных. Линейная система в нормальной форме имеет вид
)()(1
xbyxadxdy
i
n
jjij
i += ∑=
, ),1( ni =
или, более подробно, в виде системы
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++++=
++++=
++++=
),()()()(
),()()()(
),()()()(
2211
222221212
112121111
xbyxayxayxadxdy
xbyxayxayxadxdy
xbyxayxayxadxdy
nnnnnnn
nn
nn
K
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
K
K
(8)
где коэффициенты и – произвольные функции от )(xaij )(xbi x , - искомые функции.
)(xyi
Если все , 0)( ≡xbi ),1( ni = то система (8) называется однородной. Обозначим матрицы
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
)()()(
)()()()()()(
21
22221
11211
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
nnnn
n
n
KKKKKKKKKKKK
K
K
A , , . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
)(
)()(
)( 21
xb
xbxb
n
KKxB
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
)(
)()(
)( 2
1
xy
xyxy
n
KKxY
Тогда система (8) запишется в матричной (векторно-матричной) форме
BYAY+⋅=
dxd или BAYY =−′ . (9)
13
Определим линейный оператор равенством [ ] AYYY −′=L .
Тогда [ ] BY =L операторная форма неоднородной системы, (10) [ ] 0Y =L операторная форма однородной системы. (11)
Линейный оператор обладает следующими свойствами: [ ]YL1. [ ] [ ]YY CLCL = , 2. [ ] [ ] [ ]2121 YYYY LLL +=+ .
Действительно, 1) [ ] [ ]YAYYAYYYAYY CLCCCCCCL =−′=−′=−′= )()()( ; 2) [ ] =−′+−′=+−′+=+ )()()()( 2211212121 AYYAYYYYAYYYYL [ ] [ ]21 YY LL + .
Следствием этих свойств является равенство
[ ]∑∑==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ n
iii
n
iii LCCL
11
YY ,
где – произвольные постоянные. iC Свойства решений однородной системы дифференциальных уравнений Используя эти свойства легко доказать свойства решения неоднородной и соответствующей ей однородной системы ДУ Теорема 4. Если – решение линейной однородной системы (11), то Y YC , где C – произвольная постоянная, является решением той же системы.
Доказательство. Подставим решение YC в систему (11) [ ] [ ] 0YY == CLCL . Теорема 5. Если и – решения линейной однородной системы (11), то
является решением той же системы. 1Y 2Y
21 YY +Доказательство. Аналогично
Следствие теорем 4 и 5. Если – решения линейной однородной
системы (11), то их линейная комбинация kYYY ,,, 21 K
=∑=
k
iiiC
1
Y kkCCC YYY +++= K2211
с произвольными постоянными коэффициентами является решением той же системы.
iC
Теорема 6. Если линейная однородная система (11) с действительными коэффициентами имеет комплексное решение )(xa VUY iij += , то действительная и
14
мнимая части и в отдельности являются решениями той же
системы.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nu
uu
K2
1
U⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nv
vv
K2
1
V
Доказательство. Имеем 0][][ ≡+= VUY iLL .
Пользуясь свойствами линейного оператора, можем записать: 0][][][ ≡+=+ VUVU iLLiL 0][,0][ ≡≡⇒ VU LL .
Фундаментальная система решений линейной однородной системы ДУ
Решение матрица-столбец ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
)(
)()(
2
1
xy
xyxy
n
KKY это вектор с координатами .
Векторы -решения (12)
nyyy K,, 21
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
)(
)()(
,,
)(
)()(
,
)(
)()(
2
1
2
22
21
2
1
12
11
1
xy
xyxy
xy
xyxy
xy
xyxy
nn
n
n
n
nn
KKKKKKK YYY
называются линейно зависимыми на , если ],[ ba 02211 ≡+++ nnYYY ααα K (13) и не все 0=iα . Векторы называются линейно независимыми на , если тождество (13) имеет место только при условии, что все
nYYY ,,, 21 K ],[ ba0=iα
Тождество (13) эквивалентно системе
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≡+++
≡+++≡+++
.0
,0,0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
yyy
yyyyyy
ααα
αααααα
KKKKKKKKKKKKK
K
K
Матрица этой системы (14) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
nnnn
nn
yyy
yyyyyy
KKKKKKKK
KK
21
2221212111
называется интегральной матрицей, а ее определитель называется определителем Вронского системы решений и обозначается . ],,,[ 21 nW YYY K
Теорема 7. Если решения линейно зависимы, то определитель Вронского тождественно равен нулю.
nYYY ,,, 21 K
Доказательство. Очевидно из свойств определителя
15
Теорема 8. Если определитель Вронского для системы решений : nYYY ,,, 21 K
],,,[ 21 nW YYY K
)()()(
)()()()()()(
21
2221212111
xyxyxy
xyxyxyxyxyxy
nnnn
nn
KKKKKKKKKKKK
KK
=
линейной однородной системы [ ] 0Y =L с непрерывными на коэффициентами равен нулю хотя бы в одной точке
],[ ba)(xaij ],[0 bax ∈ , то решения
линейно зависимы на . nYYY ,,, 21 K
],[ ba Доказательство. По условию теоремы ],[0 bax ∈∃ , в которой Вронскиан
],,,[ 21 nW YYY K 0)()()(
)()()()()()(
00201
0202201201021011
==xyxyxy
xyxyxyxyxyxy
nnnn
nn
KKKKKKKKKKKKKK
KK
.
По свойству определителя столбцы линейно зависимы, ⇒ существует нетривиальная система чисел nααα ,,, 21 K такая, что в точке 0x
0)()()( 0022011 =+++ xxx nnYYY ααα K . (*) Покажем, что это справедливо для любого ],[ bax ∈
Рассмотрим вектор nnYYYY ααα +++= K2211 (**) . Так как – решения линейной однородной системы ],[ bax ∈∀ iY [ ] 0Y =L , то (**) –
решение той же системы, в силу (*) удовлетворяющее начальным условиям 0)( 0 =xY . С другой стороны однородная система [ ] 0Y =L всегда имеет нулевое решение.
В силу теоремы существования и единственности решения, решение (**) и нулевое решение совпадают. Т. О. 02211 ≡+++= nnYYYY ααα K , ⇒ решения – линейно зависимы на . iY ],[ ba
Замечание. Если векторы не являются решениями с непрерывными
коэффициентами , то предыдущая теорема места не имеет.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
in
ii
i
y
yy
K21
Y [ ] 0Y =L
)(xaij
Пример 5. Для векторов и ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛= 0
2
1xY ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= 02
xY имеем
000
2
21 ≡=xxW ]Y,[Y .
Однако эти векторы линейно независимы, так как из 02211 ≡+ YY αα следует
⎩⎨⎧
=⋅+⋅=+
,000,0
21
22
1
αααα xx ⇒ 02
21 =+ xx αα 021 =+⇒ αα x 021 ==⇒ αα .
16
Следовательно, векторы и не могут быть решениями одной и той же линейной однородной системы.
1Y 2Y
Таким образом, имеет место теорема (альтернатива). Теорема 9. Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке
],,,[ 21 nW YYY K
iY],[ bax ∈ , и это означает, что решения линейно независимы. iY
Определение 4. Фундаментальной системой решений линейной однородной системы (11) называется ее линейно независимых решений: n
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
)(
)()(
,,)(
)()(
,)(
)()(
21
2
2221
2
1
1211
1
xy
xyxy
xy
xyxy
xy
xyxy
nn
nn
n
nn
KKK
KKKKYYY .
Теорема 10. Фундаментальная система решений системы [ ] 0Y =L всегда существует.
Доказательство. Рассмотрим чисел таких, что 2n ijb
0
21
2221212111
≠
nnnn
nn
bbb
bbbbbb
KKKKKKKK
KK
.
Положим, например, ⎩⎨⎧
≠==
.,0,,1jijibij Составим решений системы n [ ] 0Y =L ,
которые удовлетворяли бы условиям:
1)(,,0)(,0)(
,0)(,,1)(,0)(,0)(,,0)(,1)(
0202101
2022202212012
1012102111011
======
============
nnnnnnnn
nn
nn
bxybxybxy
bxybxybxybxybxybxy
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
KKKKKK
для какого-нибудь из интервала . Тогда для этих решений при 0x ),( ba 0xx = определитель Вронского отличен от нуля, и поэтому по теореме 9 эти решения линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений.
Теорема 11. Если , (⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
in
ii
i
y
yy
K21
Y ni ,1= ) – фундаментальная система решений системы
, то общее решение этой системы есть линейная комбинация решений фундаментальной системы с произвольными постоянными коэффициентами :
[ ] 0Y =LiC
. (Т11) ∑=
=n
iiiC
1
YY
17
Доказательство. Так как коэффициенты системы непрерывны на , то система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения, поэтому для доказательств теоремы достаточно доказать, что всегда можно так подобрать значения постоянных , что решение (Т11) будет удовлетворять заранее заданным начальным условиям , или подробнее
)(xaij [ ] 0Y =L],[ ba
iC00 )( YY =x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=
+++=+++=
).()()(
),()()(),()()(
00220110
020222012102
010212011101
xyCxyCxyCy
xyCxyCxyCyxyCxyCxyCy
nnnnnn
nn
nn
KKKKKKKKKKKKKKKKKKK
K
K
Имеем неоднородную систему n уравнений относительно переменных , определитель которой есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений , не равный нулю ни в одной точке
. Поэтому эта система имеет единственное решение, что и требовалось доказать.
n iC)](,),(),([ 00201 xxxW nYYY K
nYYY ,,, 21 K
],[ ba
Теоремы 4,5,10,11 можно вместе сформулировать так: совокупность решений линейной однородной системы [ ] 0Y =L образует n -мерное линейное пространство. Фундаментальная система решений – базис в этом пространстве.
Пример 6. Подобрать решения для системы
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
12
21
yxd
dy
yxd
dy
, проверить ее линейную
независимость. Построить общее решение. Решение
Очевидно ⇒ ; ⇒ ⎩⎨⎧
−==
xyxy
sincos
12
11⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=xx
sincos
1Y⎩⎨⎧
==
xyxy
cossin
22
21⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
xx
cossin
2Y
Проверим линейную независимость 01cossinsincos
],[ 21 ≠=−
=xxxx
W YY ⇒ – ФСР 21, YY
Общее решение ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+
=+=xCxCxCxC
CCcossinsincos
21
212211 YYY
Свойства решений неоднородной системы дифференциальных уравнений Теорема 12. Если Y – решение неоднородной системы, а – решение соответствующей однородной системы, то сумма
1Y
1YY + является решением неоднородной системы.
Доказательство. Имеем BY ≡][L , 0][ ≡1YL . Пользуясь свойствами линейного оператора, получаем: BBYYYY ≡+≡+=+ 0][][][ 11 LLL Теорема 13. Общее решение неоднородной системы
BY =][L
18
с непрерывными на коэффициентами ) и правыми частями равно
сумме общего решения соответствующей однородной системы
],[ ba (xaij )(xbi
∑=
n
iiiC
1Y 0][ =YL и
частного решения Y рассматриваемой неоднородной системы, т.е.
YYY += ∑=
n
iiiC
1
(Т 13)
Доказательство. Аналогично ДУ высшего порядка Теорема 14. (Принцип суперпозиции) Если – решения неоднородных систем iY
),1(),(][ mixL i == BY ,
то сумма этих решений является решением неоднородной системы
.
∑=
m
ii
1Y
∑=
=m
ii xL
1
)(][ BY
Доказательство. Имеем ),1(),(][ mixL ii =≡ BY . Тогда
∑∑∑===
≡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ m
ii
m
ii
m
ii xLL
111
)(][ BYY
Метод вариации постоянных. В случае, когда частное решение неоднородной системы найти не просто, можно, как и в случае неоднородных дифференциальных уравнений высшего порядка, использовать метод вариации постоянных.
Рассмотрим линейную неоднородную систему BAYY =−′ и соответствующую линейную однородную систему AYY =′ .
Пусть – фундаментальная система решений этой линейной
однородной системы. Тогда – ее общее решение.
nYYY ,,, 21 K
∑=
=n
iiiC
1
YY
Положим , тогда общее решение )(xCC ii = ∑=
=n
iii xC
1
)( YY
.
Продифференцируем ∑∑==
′+′=′n
iii
n
iii xCxC
11
)()( YYY
и подставим и в неоднородную систему Y Y′ BAYY =−′ :
∑∑==
′+′n
iii
n
iii xCxC
11
)()( YY BYA =⋅− ∑=
n
iii xC
1
)( , BAYYY =−′+′⇒ ∑∑==
n
iiii
n
iii xCxC
11))(()( ,
т.к. – решения однородной системы, то iY 0=−′ ii AYY BY =′⇒ ∑=
n
iii xC
1
)(
19
Распишем последнее условие подробнее
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′++′+′
=′++′+′=′++′+′
).()()()(
),()()()(),()()()(
2211
22222121
11212111
xbyxCyxCyxC
xbyxCyxCyxCxbyxCyxCyxC
nnnnnn
nn
nn
KKKKKKKKKKKKKKKKKKK
K
K
Это неоднородная система относительно неизвестных функций )(xCi′ , ее определитель – определитель Вронского для системы линейно независимых решений
, и поэтому отличен от нуля. Следовательно, она имеет единственное решение
nYYY ,,, 21 K
, ⇒ )(xCi )(xCi′ ),1(),( nixi == ϕ ),1(,)( niCdxx ii =+= ∫ ϕ
где iC – произвольные постоянные. Так как нам достаточно найти только одно частное решение неоднородной системы, то можно считать iC 0= . Тогда
( )∑ ∫=
=n
iii dxx
1)( YY ϕ .
Т.о. общее решение в силу (Т 13) ( )∑ ∫∑==
+=n
iii
n
iii dxxC
11
)( YYY ϕ
ooY Y
Пример 7.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
=
;cos
1
,
12
21
xy
dxdy
ydxdy
Решение
Соответствующая однородная система
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
;
,
12
21
ydxdy
ydxdy
⇒ = .
Положим . Тогда рабочая система
ooY ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
+xCxC
xCxCcossin
sincos
21
21
)(),( 2211 xCCxCC ==
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′+′−
=′+′
xxCxC
xCxC
cos1cossin
0sincos
21
21 ⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
′−=′
=+′
xxCC
xxC
cossin
1)cos(sin
21
222
⇒ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=′
=′
xxC
C
cossin
1
1
2⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
+=
∫ dxxxC
CxC
cossin
1
22
⇒
⇒ ⎩⎨⎧
==
|cos|ln1
2
xCxC =Y ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅−+−
+⋅++xxxxxCxC
xxxxxCxCcos|cos|lnsincossin
sin|cos|lncossincos
21
21
2
1
yy
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) с постоянными коэффициентами
20
С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами. Линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида
)(1
xbyadxdy
i
n
jjij
i += ∑=
, ),1( ni = , (15)
где коэффициенты – постоянные. ijaИли в векторной форме BAYY +=′ Так же, как и система ДУ с переменными коэффициентами, система (15) может быть сведена к одному уравнению порядка n. Но для СЛДУ с постоянными коэффициентами существует другой, более общий способ решения: можно непосредственно найти ФСР соответствующей однородной системы, затем найти частное решение неоднородной
системы, и, используя Т 13, получить общее решение YYY += ∑=
n
iiiC
1
. Частное
решение может быть найдено методом вариации постоянных, хотя часто это приводит к сложным интегралам. Но остается открытым вопрос о построении ФСР для соответствующей однородной системы. Для СЛДУ с постоянными коэффициентами существует не сложный способ построения ФСР для систем любого порядка. Метод Эйлера Рассмотрим линейную однородную систему, соответствующую неоднородной системе (15)
∑=
=n
jjij
i yadxdy
1
, ),1( ni = (16)
Для этой системы можно непосредственно найти фундаментальную систему решений. А именно, будем искать частные решения в виде , (17) kxkxkx eee nnyyy λλλ === ,,, 2211 K
где nk λλλ ,,,, 21 K – постоянные. Требуется определить iλ и k так, чтобы функции
(17) удовлетворяли однородной системе (16). Для этого найдем dxdyi и подставим их
и функции в (16). Получим iy
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=
+++=+++=
.)(
,)(,)(
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
aaak
aaakaaak
kxkx
kxkx
kxkx
ee
eeee
λλλλ
λλλλλλλλ
K
KKKKKKKKKKKKKKKK
K
K
или , kxkx eek λλ A=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nλ
λλ
...2
1
λ
Сократим на , и запишем систему относительно 0≠kxe nλλλ ,,, 21 K .
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+++=++−+=+++−
.0)(,0)(,0)(
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
kaaaakaaaaka
λλλλλλλλλ
K
K
K
(18)
Система (18) имеет нетривиальные решения, если ее определитель равен нулю, т.е.
21
0
21
22221
112111
=−
−−
kaaaakaaaaka
nnnn
n
n
K
K
K
. (19)
Таким образом, мы имеем задачу на собственные числа и собственные векторы. Данная матрица называется характеристической матрицей, определитель – характеристическим уравнением степени n. Корни характеристического уравнения называются характеристическими корнями. Таким образом, характеристические корни и будут теми значениями, при которых однородная система (18) имеет нетривиальные решения
ik
iλ – собственные векторы ),1( ni = . В зависимости от вида корней будет получаться то или иное частное решение однородной системы (16). Совокупность этих линейно независимых частных решений (свойство собственных векторов) будет составлять ФСР. 1. Корни характеристического уравнения (19) действительны и различны. Для каждого корня запишем систему (18) и определим коэффициенты ik
niii λλλ ,,, 21 K . Таким образом, получаем решения однородной системы (16)
для корня . Решение 1k⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
21
11
...
nλ
λλ
1λ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
xkn
xk
xk
e
ee
1
1
1
1
21
11
...λ
λλ
1Y
для корня . Решение и т.д. 2k
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
22
12
...
nλ
λλ
2λ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
xkn
xk
xk
e
ee
2
2
2
2
22
12
...λ
λλ
2Y
для корня . Решение ik
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ni
i
i
λ
λλ
...2
1
iλ
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
xkn
xk
xk
i
i
i
e
ee
2
22
12
...λ
λλ
iY
Определитель Вронского для этих решений
021
22212
12111
21
22212
1211121222
111
≠⋅⋅⋅=nnnn
n
n
nnnn
n
nxkxkxk
xkxkxk
xkxkxk
xkxkxk
n
nnn
eeeeeeeeeeee
λλλλλλλλλ
λλλλλλλλλ
KKK
K
K
K
K
⇒
– ФСР ⇒ общее решение
nYYY ,,, 21 K
nnCCC YYYY +++= K2211 или
22
xkxkxkxk
xkxkxkxk
xkxkxkxk
xkxkxkxk
n
n
n
n
eeee
eeeeeeee
eeee
nnnnnnn
nn
nn
nn
CCCCy
CCCCyCCCCy
CCCCy
λλλλ
λλλλλλλλ
λλλλ
++++=
++++=
++++=
++++=
K
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
K
K
K
321
321
321
321
332211
33333223113
22332222112
11331221111
,,
,
Пример 7. Найти общее решение системы методом Эйлера
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
;34
,2
212
211
yydxdy
yydxdy
Решение. Эта система – линейная однородная с постоянными коэффициентами. Найдем ее
фундаментальную систему решений. Для этого будем искать ее частные решения в
виде ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
xk
xkxk
xk
xkxk
e
ee
e
ee
2
2
2
1
1
1
22
1222
21
1111 ,
λ
λ
λ
λλYλY
Запишем матрице системы ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3421
Составим характеристическое уравнение (19) ⇒ 034
21=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−k
k0542 =−− kk
Найдем его корни 1,5 21 −== kk
Найдем частные решения (собственные векторы) для каждого . kДля система (18) имеет вид: ⇒ ⇒ ⇒
и
51 =k⎩⎨⎧
=−+=+−
0)53(402)51(
21
21
λλλλ
⎩⎨⎧
=−=+−024
024
21
21
λλλλ
⎩⎨⎧
==
αλαλ22
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
21
1λ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⋅=
x
x
ee5
5
1 21
Y
Для ⇒ ⇒ и 12 −=k⎩⎨⎧
=++=++
0)13(402)11(
21
21
λλλλ
⎩⎨⎧
−==
βλβλ
2
1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=11
2λ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅−
⋅=
−
−
x
x
ee
11
2Y
Общее решение . xx eCeCCC −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+=
11
21
25
12211 YYY
2. Корни характеристического уравнения (19) различны, но среди них есть комплексные. Рассмотрим случай, когда уравнение (19) имеет пару корней ikik βαβα −=+= 21 , . Тогда им будут соответствовать решения:
23
Для ik βα +=1 :
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=⋅==
+=⋅==
+=⋅==
+
+
+
)sin(cos
,)sin(cos
,)sin(cos
111
2121212
1111111
)(
)(
)(
xixy
xixy
xixy
xxixxi
xxixxi
xxixxi
eeee
eeeeeeee
nnnn ββλλλ
ββλλλ
ββλλλ
αβαβα
αβαβα
αβαβα
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
Для ik βα −=2 :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=⋅==
−=⋅==
−=⋅==
−−
−−
−−
)sin(cos
,)sin(cos,)sin(cos
222
2222222
1212121
)(
)(
)(
xixy
xixyxixy
xxixxi
xxixxi
xxixxi
eeee
eeeeeeee
nnnn ββλλλ
ββλλλββλλλ
αβαβα
αβαβα
αβαβα
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
Или
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−=
x
x
x
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
ee
e
ee
nn βλ
βλ
βλ
βλ
βλ
βλ
α
α
α
α
α
α
sin
sin
sin
cos
cos
cos
1
21
11
1
21
11
1Y
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−=
x
x
x
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
ee
e
ee
nn βλ
βλ
βλ
βλ
βλ
βλ
α
α
α
α
α
α
sin
sin
sin
cos
cos
cos
2
22
12
2
22
12
2Y
Согласно свойствам решений ЛСДУ (Т 6) если решение Y=U+iV, то U и V – в отдельности тоже решения. Кроме того, они соответствуют разным корням k1 и k2, т.е. они линейно независимые. Их линейная комбинация войдет в ФСР. Пример 8. Найти общее решение системы методом Эйлера
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=′+=′
−−=′
313
212
3211
3
,
yyyyyy
yyyy
Решение. Эта система – линейная однородная с постоянными коэффициентами. Найдем ее
фундаментальную систему решений. Для этого будем искать ее частные решения в
виде ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
==⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
==⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
==xk
xk
xk
xk
xk
xk
xk
xk
xk
xk
xk
xk
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
33
23
13
33
32
22
12
22
31
21
11
11 ,,
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λYλYλY
Составим характеристическое уравнение 0103
011111
=−
−−−−
kk
k ⇒
Найдем корни – характеристические корни различны, но среди них есть комплексные.
0]4)1)[(1( 2 =+−− kk
ikk 21,1 3,21 ±==
24
При система (18) имеет вид: ⇒ ⇒ ⇒
и
11 =k⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=−+=−−−
0)11(30)11(0)11(
31
21
321
λλλλ
λλλ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=−−
030
0
1
1
32
λλ
λλ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==−
=
αλλλ
λ
3
32
1 0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
110
1λ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=x
x
ee0
1Y
При ik 212 +=
IIi
ii
i+×
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=−=++
2
31
21
321
0230202
λλλλ
λλλ ⇒ ⇒ ⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=−=+−
02302023
31
21
31
λλλλ
λλ
ii
i
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
23
2
21
3
2
λλαλ
λλ i
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
312
2
iλ и =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
)2sin2(cos3)2sin2(cos)2sin2(cos2
2
xixexixexixie
x
x
x
Y⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
xexexe
ixexe
xe
x
x
x
x
x
x
2sin32sin2cos2
2cos32cos
2sin2
Строить решение для k3 не обязательно, так как, используя свойство (Т 6), в качестве
линейно независимых решений возьмем две функции и ,
найденные для k
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
xexe
xe
x
x
x
2cos32cos
2sin2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xexexe
x
x
x
2sin32sin2cos2
2. Т.о. общее решение
xxx exxx
Cexxx
CeCCCC⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=++=
2sin32sin2cos2
2cos32cos2sin2
110
321332211 YYYY
3. Корни характеристического уравнения (19) действительны и некоторые из них кратные кратности γ. Пусть уравнение (19) имеет корень k кратности γ. По аналогии с однородным дифференциальным уравнением n-го порядка (т.к. система может быть сведена к нему) решение будем искать в виде
x
n
x
n
x
n
kx exCxeCeCexCxCxCC 1
1
12
11
1
21
11
2
0
20
10
11
12
231201
λ...
λ
λ
...
λ...λλ
λ...λλ
)...( −
−
−
−
−−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=++++= γ
γ
γ
γ
γγ
γγ λλλλY
Пример 9. Найти общее решение системы методом Эйлера ⎩⎨⎧
+=′−=′
212
211
3,
yyyyyy
Решение.
25
Эта система – линейная однородная с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение: 031
11=
−−−
kk ⇒ ⇒ k0442 =+− kk 1,2=2. ⇒
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
x
x
x
x
xe
xeC
e
eC
221
211
2220
210
1 λ
λ
λ
λY . Обозначим неизвестные 21201110 ,,, λλλλ более удобно для
решения (чтобы не терялись индексы), т.е. = . ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
x
x
x
xe
xe
e
eyy
221
211
220
210
2
1
λ
λ
λ
λY
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+xx
xx
dxecebxeae
22
22
Подставим Y в исходную систему: . ⎪⎩
⎪⎨⎧
+++=++
−−+=++xxxxxxx
xxxxxxx
dxecebxeaedxedecedxecebxeaebxebeae
2222222
2222222
332222
Сократим на , получим ⇒ . xe2
⎩⎨⎧
+++=++−−+=++
dxcbxadxdcdxcbxabxba
332222
⎩⎨⎧
+=+−−−−=++
dxbxdcadxbxcba
Приравнивая коэффициенты при равных степенях x, получим систему:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=−−
=+−−=++
00
00
dbdb
dcacba
⇒ ⇒частное решение отличное от нуля
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=
+−==
β
α
ddb
dcac
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=
==
22
11
dbac
Т.о. общее решение: xx xeCeC 2
22
1 22
11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=Y
§ 5. Понятие об уравнении в частных производных и его интегрировании Пусть искомая функция z зависит от нескольких независимых переменных x1, x2, … xn. Определение 5. Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные от искомой функции, называется уравнением в частных производных.
0...),,...,...,,,,...,,,,,,...,,(1
2
2
21
2
21
2
2121 =
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
k
k
nnn x
zx
zxx
zx
zxz
xz
xzzxxxF (20)
Здесь F – заданная функция своих аргументов. Порядок старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения в частных производных. Функция, обращающая уравнение в частных производных в тождество, называется решением этого уравнения. Процесс нахождения решения называется интегрированием уравнения в частных производных. Предварительно, без доказательств рассмотрим простейшие свойства решения уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция z зависит от двух переменных x и y.
26
1) Рассмотрим уравнение 0),,,( =∂∂
xzzyxF , z=z(x, y) – искомая функция.
Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение, если считать y параметром. Тогда его решение z=ϕ(x, y,С(y)), где С(y) – произвольна функция. Т.о. следует ожидать, что общее решение будет содержать произвольную функцию.
2) Рассмотрим уравнение 02
=∂∂
∂yx
z , z=z(x, y) – искомая функция.
Перепишем уравнение по-другому 0=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂
yz
x ⇒
yz
∂∂ – независима от х. ⇒ )(yX
yz
=∂∂ ⇒
– т.о. общее решение, которое зависит от двух функций. )()()()( xyxdyyXz ϕψϕ +=+= ∫3) Рассмотрим уравнение 02
2
=∂∂
xz , z=z(x, y) – искомая функция.
Перепишем уравнение по-другому 0=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂
xz
x ⇒
xz
∂∂ – независима от х. ⇒ )(y
xz ψ=
∂∂ ⇒
, где )()()()( yyxydxyz ϕψϕψ +=+= ∫ )(yψ и )(yϕ - две произвольные функции. Таким образом, при интегрировании дифференциального уравнения в частных производных получают семейство решений, зависящих от произвольных функций. Задача Коши. По аналогии с задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, где по заданным начальным условиям получали 1 частное решение, введем добавочные данные, которые однозначно определяли бы частное решение. Начальные данные Коши для уравнения m-го порядка, разрешенного относительно одной из старших производных, вида
0)...,,...,...,,,,...,,,,,,...,,( 2
2
21
2
21
2
2121
1
=∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
mn
m
nnnm
m
xz
xz
xxz
xz
xz
xz
xzzxxxf
xz
имеют вид: при 011 xx = )...,,,( 320 nxxxz ϕ=
)...,,,( 3211
nxxxxz ϕ=
∂∂
- - -
)...,,,( 32111
1
nmm
m
xxxx
z−−
−
=∂∂ ϕ
Здесь 110 ...,,, −mϕϕϕ - заданные функции. Геометрическая интерпретация задачи интегрирования ДУ с частными производными В случае двух независимых переменных это легко сделать.
27
Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относительно одной частной производной. ),,,(
yzzyxf
xz
∂∂
=∂∂
Его решением будет некоторая функция – с точностью до произвольной функции C(y), которая в пространстве R
),( yxz Φ=
3 изображает поверхности (интегральные поверхности). На рисунке произвольная функция C(y) в одном случае принимает значение C(y)=y2+10, в другом C(y)= – y2–10. (рис.2) Т.о. задача нахождения решений уравнений с частными производными – это задача нахождения интегральных поверхностей. Начальные данные x=x0, z=ϕ (y) – кривая в пространстве. Т.е., задача Коши – это нахождение интегральной поверхности,
проходящей через кривую
(Рис.3). Для удобства восприятия коническая поверхность окрашена зеленым и z=ϕ (y) – кривая в пространстве – линия, лежащая на конической поверхности. Рис.2
⎩⎨⎧
==
)(0
yzxxϕ
28
Рис.3
Тот же геометрический язык применяется и в общем случае. Так – точка n+1 – мерного пространства. ),...,,,,( 321 zxxxx n
)...,,,,( 321 nxxxxz Φ= – интегральная гиперповерхность (поверхность n измерений). Данные Коши – гиперповерхность (n –1) –го измерения. Свойства уравнений в частных производных 1-го порядка.
1) общее решение зависит от произвольной функции 2) интегрирование уравнения сводится к интегрированию системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Вывод первых интегралов
29
Вернемся к рассмотрению нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уточним понятие первых интегралов.
Рассмотрим систему niyyyxfxdyd
nii ,1),,...,,,( 21 == (21)
Предположим, что в некоторой замкнутой области D функции и все их
частные производные по
ni ffff ...,,...,,, 21
nyyy ,...,, 21n
n
ik
i
yf
yf
yf
yf
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ...,,...,,,
2
1
1
1 – непрерывны и зависят от
своих аргументов. Тогда применима теорема о существовании и единственности решения задачи Коши: если точка , то существует одна система
решений уравнения (21), удовлетворяющая начальным условиям x=x
DDyyyx n ⊂∈ '),...,,,( 002
010
0, ,0ii yy = ni ,1= .
Пусть эти решения будут
),...,,,,(
),...,,,,(
),...,,,,(
002
010
002
01022
002
01011
nnn
n
n
yyyxxy
yyyxxy
yyyxxy
ϕ
ϕ
ϕ
=
−−−−−=
=
(22)
Рассмотрим в D некоторую точку ),...,,,( 21 nyyyxM = , лежащую на интегральной кривой, проходящей через начальную точку . Значения
и связаны соотношением (22). Если теперь выбрать за начальную точку М, то кривая пройдет через М
),...,,,( 002
0100 nyyyxM =
),...,,,( 21 nyyyxM = ),...,,,( 002
0100 nyyyxM =
0 (в силу единственности решения) и, исходя из (22) можно выразить через
. ),...,,,( 00
20
100 nyyyxM =
),...,,,( 21 nyyyxM =
),...,,,( 210
nii yyyxy ϕ= Если niCCCxy nii ,1),,...,,,( 21 == ϕ – общее решение (21), то равносильно предыдущим рассуждениям система (21) может быть разрешена относительно Сi.
nnn
n
n
Cyyyx
CyyyxCyyyx
=−−−−
==
),...,,,(
),...,,,(),...,,,(
21
2212
1211
ϕ
ϕϕ
(23)
Совокупность равенств (23) называется общим интегралом системы (21). Любое из равенств (23) называется первым интегралом системы (21). По построению очевидно, что если в любое из равенств (23) подставить какое-либо решение (22), то ϕ i системы (23) обратятся в тождество. Определение 6. Первым интегралом системы (21) называются соотношения, полученные разрешением относительно произвольных постоянных уравнений, дающих общее решение системы. Аналитический признак первого интеграла Пусть Cyyyx n =),...,,,( 21ϕ – первый интеграл системы (23).
30
Если – решения системы (23), то ∀ x nyyy ,...,, 21 Cyyyx n ≡),...,,,( 21ϕ . Продифференцируем обе части этого равенства по x
0...2
2
1
1
=∂∂
++∂∂
+∂∂
+∂∂
xdyd
yxdyd
yxdyd
yxn
n
ϕϕϕϕ
Но ),...,,( 1 nii yyxf
xdyd
= , т.к. - решения (21). ⇒ iy
0),...,,(...),...,,(),...,,( 12
121
11 =∂∂
++∂∂
+∂∂
+∂∂
nnnnn y
yyxfy
yyxfy
yyxfx
ϕϕϕϕ (24)
Таким образом, (24) – необходимое условие для того, чтобы уравнение Cyyyx n =),...,,,( 21ϕ представляло собой первый интеграл системы.
Замечание. Это условие будет и достаточным (без доказательства). Установим более удобную для решения конкретных задач связь между симметричной формой системы уравнений и аналитическим признаком первого интеграла (24).
Как ранее отмечалось, вместо системы ),...,,( 1 nii yyxf
xdyd
= можно записать xdyyxf
yd
ni
i =),...,,( 1
Или в развернутой форме ),...,,(
...),...,,(),...,,(1 112
2
11
1
nn
n
nn yyxfyd
yyxfyd
yyxfydxd
==== ⇒
0)(,),...,,()(
...),...,,()(),...,,()()( 112
2
11
1 ≠⋅
==⋅
=⋅
= xfyyxfxf
ydyyxfxf
ydyyxfxf
ydxfxd
nn
n
nn
.
Переобозначим переменные x=x1 y1=x2 . . . yn=xn+1
⇒ симметричная форма: ),...,(
...),...,(),...,(),...,( 111
1
113
3
112
2
111
1
++
+
+++
====nn
n
nnn xxXxd
xxXxd
xxXxd
xxXxd
(25)
Аналитическое условие того, что Cxx n =+ ),...,( 11ϕ является первым интегралом системы (25) будет иметь вид: если – решения системы (25), то 121 ,...,, +nxxx Cxx n ≡+ ),...,( 11ϕ ⇒
0),...,( 11 =+nxxdϕ ⇒ 0... 11
22
11
=∂
∂++
∂∂
+∂∂
++
nn
dxx
dxx
dxx
ϕϕϕ . Но ),...,( 11 += nii xxkXdx ⇒
0),...,(...),...,(),...,(1
1112
1121
111 =∂
∂++
∂∂
+∂∂
+++++
nnnnn x
xxXx
xxXx
xxX ϕϕϕ (26)
На практике пользуются выражениями (25) и (26) для записи той или иной формы уравнения, которая требуется по условию задачи.
Пример. Найти первый интеграл для уравнения 0=∂∂
−∂∂
yz
xxz
y .
Воспользуемся взаимосвязью выражений (25) и (26) и запишем уравнение с частными производными в виде системы в симметричной форме:
31
xyd
yxd
−= ⇒ ⇒ – первый интеграл. Cyx +−= 22 Cyx =+ 22
Следует обратить внимание на зависимость коэффициентов в равенстве (26) – они не зависят от искомой функции ϕ.
),...,( 11 +ni xxX
Определение 7. Линейным однородным уравнением в частных производных 1-го порядка называется уравнение вида 0...
22
11 =
∂∂
++∂∂
+∂∂
nn x
zXxzX
xzX . (27)
где – непрерывно дифференцируемые функции в рассматриваемой области, зависящие только от n свободных переменных. Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая (27) будет иметь вид
),...,( 1 nii xxXX =
),...,(...
),...,(),...,( 112
2
11
1
nn
n
nn xxXxd
xxXxd
xxXxd
=== (28)
Данную систему называют системой характеристик для (27), а ее фазовые кривые – характеристиками. Из аналитического условия первых интегралов (26) следует теорема Теорема 15. (без доказательства) Функция ),...,( 11 += nxxz ϕ является решением уравнения (27) тогда и только тогда, когда
Cxx n =+ ),...,( 11ϕ – первый интеграл системы (28). Как будет выглядеть общее решение уравнения (27)? Теорема 16. Если 1,1,),...,( 1 −−= niCxx iniϕ – независимые первые интегралы системы (28) и Ф – произвольная дифференцируемая функция n–1 переменной, то ),...,,( 121 −Φ= nz ϕϕϕ – решение уравнения (27). Доказательство. Рассмотрим дифференциальный оператор : отображающий множество непрерывно-дифференцируемых функций n переменных
на множество непрерывных функций n переменных, который имеет вид
)()(1: nn DDX →
)(1
nD
nn x
Xx
Xx
XX∂
∂++
∂∂
+∂∂
= ...2
21
1 . Тогда
nn x
zXxzX
xzXzX
∂∂
++∂∂
+∂∂
= ...][2
21
1
Оператор Х обладает следующим свойством: Если ),...,,( 21 nii xxxψψ = – дифференцируемые функции и ),...,,( 21 nψψψΦ – дифференцируемая функция переменных nψψψ ,...,, 21 , то
][...][][)],...,,([ 22
11
21 nn
n XXXX ψψ
ψψ
ψψ
ψψψ∂
Φ∂++
∂Φ∂
+∂
Φ∂=Φ (29)
32
Докажем это свойство для случая функции Φ двух переменных ψ 1 и ψ 2. Действительно, пусть ),( 21 ψψΦ=Φ . Тогда
=∂
Φ∂++
∂Φ∂
+∂
Φ∂=Φ
nn x
Xx
Xx
XX ...)],([2
21
121 ψψ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂Φ∂
+∂∂
∂Φ∂
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂Φ∂
+∂∂
∂Φ∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂Φ∂
+∂∂
∂Φ∂
=nn
n xxX
xxX
xxX 2
2
1
12
2
22
1
12
1
2
21
1
11 ... ψ
ψψ
ψψ
ψψ
ψψ
ψψ
ψ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++∂∂
+∂∂
∂Φ∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++∂∂
+∂∂
∂Φ∂
=n
nn
n xX
xX
xX
xX
xX
xX 2
2
22
1
21
2
1
2
12
1
11
1
...... ψψψψ
ψψψψ
][][ 22
11
ψψ
ψψ
XX∂
Φ∂+
∂Φ∂
=
Пусть
1211
2212
1211
),...,,(
),...,,(),...,,(
−− =−−−−
==
nnn
n
n
Cxxx
CxxxCxxx
ϕ
ϕϕ
Система независимых первых интегралов для (28), их совокупность – общий интеграл (первые интегралы независимы, так как один не следует из другого). По теореме (15) ϕ i (i=1,n) – частные решения уравнения (27), т.е. имеем тождества:
][ 1ϕX =0 ][ 2ϕX =0 … ][ 1−nX ϕ =0 (*) Пусть Ф – произвольная дифференцируемая функция n-1 аргумента В силу (29) и (*) имеем 0)],...,,([ 121 =Φ −nX ϕϕϕ , т.е. ),...,,( 121 −Φ= nz ϕϕϕ – решение уравнения (27). Замечание. Это решение юудет и общим решением уравнения (27) (без доказательства). Пример 10. Найти общее решение уравнения 0...
22
11 =
∂∂
++∂∂
+∂∂
nn x
fxxfx
xfx
Решение Данное уравнение – линейное, однородное. Искомая функция ),...,( 1 nxxff = . Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений
n
n
xxd
xxd
xxd
=== ...2
2
1
1 ⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−−−
=
=
n
n
xxd
xxd
xxd
xxd
xxd
xxd
1
1
3
3
1
1
2
2
1
1
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−−−
=
=
− 11
23
1
12
1
nn
Cxx
Cxx
Cxx
- первые интегралы. ⇒ Общее решение ),...,,( 1
3
1
2
1
nxx
xx
xxf Φ=
33
Пример 11. Проинтегрировать уравнение 0=∂∂
−∂∂
yz
xxz
y
Решение Данное уравнение – линейное, однородное. Искомая функция . ),( yxzz =Соответствующая система в симметричной форме
xyd
yxd
−= ⇒ ⇒ – первый интеграл. ⇒ Cyx +−= 22 Cyx =+ 22
Общее решение )( 22 yxz +Φ= Задача Коши для однородного уравнения с частными производными. Рассмотрим уравнение 0...
22
11 =
∂∂
++∂∂
+∂∂
nn x
zXxzX
xzX , где ),...,( 1 nii xxXX = , ),...,( 1 nxxzz = .
Требуется найти решение, удовлетворяющее условию : если , то , где 0
nn xx = )...,,,(),,...( 1210
11 −− = nnn xxxxxxz ψ )...,,,( 121 −nxxxψ – заданная дифференцируемая функция n–1 аргумента, – заданное число. 0
nx
Пусть
1211
2212
1211
),...,,(
),...,,(),...,,(
−− =−−−−
==
nnn
n
n
Cxxx
CxxxCxxx
ϕ
ϕϕ
– независимые первые интегралы системы (28).
С учетом начальных условий переобозначим
10
211
20
212
10
211
),...,,(
),...,,(
),...,,(
−− =
−−−−=
=
nnn
n
n
xxx
xxx
xxx
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
(30)
Разрешим (30) относительно (это всегда можно сделать для , не является особой точкой для (28), т.е.
).
121 ...,,, −nxxx),(),...,,,( 0
0121 εMKxxxx nn ∈− ),...,,,( 00
102
010 nn xxxxM −
0)( 0 ≠MX i
Получим
),...,,(
),...,,(
),...,,(
12111
12122
12111
−−−
−
−
=
−−−−=
=
nnn
n
n
x
x
x
ϕϕϕω
ϕϕϕω
ϕϕϕω
(31)
Тогда решение уравнения (27), удовлетворяющего условию , будет иметь вид: )...,,,(),,...( 121
011 −− = nnn xxxxxxz ψ
)),...,,(...,),,...,,(),,...,,(( 121112121211 −−−−= nnnnz ϕϕϕωϕϕϕωϕϕϕωψ (32) Действительно, в силу теоремы 16 (32) определяет решения уравнения (27), а при
имеем 0nn xx =
)),...,,(...,),,...,,(),,...,,(( 121112121211 −−−−= nnnnz ϕϕϕωϕϕϕωϕϕϕωψ Из построения решения видно, что оно однозначно определено начальными данными, т.е. это именно та поверхность, которая проходит через и 0
nx )...,,,( 121 −= nxxxz ψ .
34
Пример 12. Найти решение задачи Коши ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=∂∂
−∂∂
)()0,(
0
xfxzyz
xxz
y
Рис. 4. Решение
1) xyd
yxd
−= ⇒ ⇒ ⇒ Общее решение – все
возможные поверхности вращения с осью ОZ (рис.4).
Cyx +−= 22 Cyx =+ 22 )( 22 yxz +Φ=
2) Задача Коши: при y=0 z(x,y)=f(x) – заданная функция С учетом начальных условий переобозначим ϕ=+ 22 0x (30-Пр) ⇒ ϕ±=x ⇒ )( 22 yxfz +±= - частное решение. Рассмотрим в качестве начальных условий конкретную функцию: при y=0 z(x,y)= x-1.
35
Тогда задача Коши: с учетом начальных условий переобозначим ϕ=+ 22 0x ⇒ ϕ±=x ⇒ 122 −+±= yxz ⇒ - конус. Т.о. из всех возможных поверхностей вращения в качестве решения нашей задачи следует выбрать только конус
. Именно на нем расположена прямая z=x – 1 (рис. 5).
222)1( yxz +=+
222)1( yxz +=+
Рис. 5.
Пример 13. Найти решение задачи Коши
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=∂∂
+∂∂
+∂∂
2),,1(
02
zyzyuzuz
yuy
xux
1) 2/zzd
yyd
xxd
== ⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
zzd
xxd
yyd
xxd
2 ⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
2
2
1
Cxz
Cxy
⇒ Общее решение ),(2
xz
xyz Φ= .
36
2) Задача Коши: при x=1 u(x,y,z)= y+z2 – заданная функция
Первые интегралы
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
2
2
1
ϕ
ϕ
xzxy
. С учетом начальных условий переобозначим
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
2
2
1
1
1
ϕ
ϕ
z
y
(30)
⇒ ⎪⎩
⎪⎨⎧
±=
=
2
1
ϕ
ϕ
z
y ⇒
xz
xyzyxu
2
212
21 )(),,( +=+=±+= ϕϕϕϕ - частное решение.
Определение 8. Линейным неоднородным уравнением в частных производных 1-го порядка называется уравнение вида R
xzP
xzP
xzP
nn =
∂∂
++∂∂
+∂∂ ...
22
11 . (32)
где , – непрерывно дифференцируемые функции в рассматриваемой области, зависящие как от n свободных переменных , так и от искомой функции . Уравнение (32) может быть приведено к однородному уравнению следующим образом. Будем искать неизвестную функцию
),,...,( 1 zxxPP nii = ),,...,( 1 zxxRR n=
nxx ,...,1
),...,( 1 nxxzz =
),...,( 1 nxxzz = в неявном виде.
0),...,,( 1 =nxxzV (33)
⇒ искомой функцией будет V.
Из (33) имеем
zVxV
xz i
i
∂∂∂∂
−=∂∂
⇒ уравнение (32) примет вид
RV
VP
V
VP
V
VP
z
xn
z
x
z
x n =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
′
′−++
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
′
′−+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
′
′− ...21
21 ⇒ 0...2
21
1 =∂∂
+∂∂
++∂∂
+∂∂
zVR
xVP
xVP
xVP
bn (34)
Уравнение (34) – линейное однородное первого порядка ( ),,...,( 1 zxxPP nii = - не зависят от V) с искомой функцией V и n+1 переменой . zxx n ,,...,1
Пусть ),...,,( 110 −Φ= nV ϕϕϕ – общее решение (34), где 110 ,...,, −nϕϕϕ – первые интегралы соответствующей системы ОДУ. ⇒ Неявная функция 0),...,,( 110 =Φ −nϕϕϕ определяет искомую функцию z как функцию от переменных, причем эта функция удовлетворяет уравнению (32).
nxx ,...,1
Пример 14. Найти общее решение 2)1( =∂∂
+∂∂
−−+yz
xz
yxz
Решение
Запишем уравнение в виде (34) 02)1( =∂∂
+∂∂
+∂∂
−−+zV
yV
xV
yxz
37
Тогда соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений :
211zdyd
yxzxd
==−−+
. ⇒ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−−−
=
=
yxzydxdzdyd
zdyd
1
21
Здесь для построения второй интегрируемой комбинации использовалось свойство равных дробей
1)1(21 −−−+−−−
=yxzydxdzdyd
Система первых интегралов: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−−+
=−
2
1
2
2
Cyxzy
Cyz Общее решение 0)2;2( =−−+−Φ yxzyyz .
Но данное уравнение имеет еще одно решение yxz += . Действительно, Подставляя z в исходное уравнение, получаем 2≡2. Однако, если V=z-x-y подставить в уравнение для V: 021)1)(1( ≡+−−−−+ yxz ⇒ Vyxz −=−−− только для V≡0. Решение специальное, т.к. производные от коэффициентов перестают быть ограниченными и нарушаются условия существования и единственности решения задачи Коши.
Пример 15. Решить задачу Коши ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
+=∂∂
−∂∂
2
22
,1
2
xzy
yxyz
yxz
x
Решение а) Найдем общее решение
Запишем уравнение в виде системы в симметричной форме 222 yxzd
yyd
xxd
+=
−= .
Интегрируемые комбинации
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=
−=
=−
222221
2
yxzd
y
ydy
xxxd
yyd
xxd
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
−−+
−−−
=−
yyd
yxyx
ydyxxdzd
yyd
xxd
221
2
2222
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=
0)42
(22
12
yxzd
Cyx⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=
2
221
2
42Cyxz
Cyx (*) ⇒ 0)ln
42;(
222 =++− yyxzyxV – общее решение
b) Найдем решение задачи Коши.
Переобозначим первые интегралы:⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=
2
221
2
42ϕ
ϕ
yxz
yx (**)
Подставим начальное условие y=1 в систему первых интегралов: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=
2
21
2
41
2ϕ
ϕ
xz
x.
38
Найдем частные x и z ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+=
=
41
21
2
1
ϕϕ
ϕ
z
x
Подставим частные x и z в начальные условия : 2xz = 11
2 41
2ϕ
ϕϕ =−+ .
Используя выражения первых интегралов (**), получим частное решение
041
242
222
=−−+−yxyxz ⇒
41
242
222
++−=yxyxz (рис. 6).
z Рис. 6.
39
§ 6. Краевые задачи. Задача Штурма-Лиувилля Наряду с задачей Коши для многих физических задач часто приходится искать решения, заданные другим способом. Например, может быть поставлена задача, найти решения, принимающие определенные значения на концах заданного интервала – в краевых точках. Отсюда – краевая или граничная задача.
Пример 16. ⎩⎨⎧
⊕=′−⊗′=
=′−′′3)2(2)2(3
)1()1(,3
2 yyyy
xyyx
Решение.
Сделаем замену ⇒ ty =′ 2
3x
ttx =−′ ⇒ 3
3xx
uvvuvu =−′+′ ⇒ xv = , 13
1 Cx
u +−= ⇒
12
1 xCx
t +−= ⇒ 2121 CCx
xy ++= - общее решение. Определим С1 и С2 из краевых
условий ⊕ и ⊗. Для этого подготовим первую производную 12 21 xCx
y +−=′
Из ⊗ ⇒ 121 211 CCC +−=++ 221 =− CC ⇒ 12 −=C Из ⊕ 34
4124
213 121 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++ CCC ⇒ 134 21 =+ CC ⇒ 11 =C
Таким образом решение краевой задачи 11 2 −+= xx
y
Общий вид краевых условий для уравнений второго порядка следующий
Aybya =′⋅+⋅ )0()0( , Bydyc =′⋅+⋅ )()( ππ , где – заданные постоянные, причем одновременно не равны нулю. Если A=B=0, краевые условия называются однородными.
BAdcba ,,,,, dcba ,,,
В качестве основного используется интервал [0,π] (при необходимости заменой переменных всегда можно перейти к этому или иному интервалу). В общем случае, краевые задачи не всегда разрешимы, т.е. не имеют решения, которое принимает требуемое значение в граничных точках или имеет бесконечно много таких решений.
Пример 17. ⎩⎨⎧
=′+′=−
=′′0)()0(
1)()0(,0
ππ
yyyy
y
Решение. Общее решение 21 CxCy += . Из граничных условий :
следует, что не существует таких . ⎩⎨⎧
=+=−⋅−
01
11
212
CCCCC π
21 CиCПример Задача о движении материальной точки массой m под действием силы F=F(t, r, ŕ )
описывается уравнением ),,(2
2
rrtFtdrdm &= при условии 1100 )(;)( rtrrtr == . Если речь
40
идет о баллистической задаче (движение снаряда), то задача имеет не единственное решение.
r0 r1
r(t)
ř(t)
ґ(t)Определение. Дифференциальное уравнение вместе с заданными краевыми условиями составляет так называемую краевую задачу. Если в дифференциальном уравнении присутствует еще и параметр, то краевые условия будут или не будут выполняться в зависимости не только от общего решения, но и в зависимости от значений параметра. Такая задача называется задачей Штурма – Лиувилля на собственные значения и собственные функции. Рассмотрим дифференциальный оператор Штурма – Лиувилля
)()( xqxd
dxpxd
dL −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
где p(x), p’(x), q(x) – непрерывные на [0, l] функции, p(x)>0, q(x) ≥ 0, и краевую задачу
0][ =+ yyL λ (35) lxlyy ≤≤== 0,0)(,0)0(
Значения λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи (35), называются собственными значениями. Сами нетривиальные решения задачи (35) называются собственными функциями, отвечающими данному собственному значению. Совокупность всех собственных значений называется спектром данной задачи. Свойства собственных чисел и собственных функций.
1. Собственные числа образуют бесконечную возрастающую последовательность λ1 <λ2 <λ3<…< λn< …
2. Все собственные числа не отрицательны; каждому собственному числу соответствует только одна собственная функция (с точностью до постоянного множителя); каждой собственной функции соответствует только одно собственное число.
3. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям,
ортогональны на [a,b] с весом ρ(x), т.е. . mkdxxyxyxb
amk ≠=∫ ,0)()()(ρ
Пример 18. 0=+′′ yy λ (*), lxlyy ≤≤== 0,0)(,0)0( (**)
Решение. Очевидно y≡0. Вопрос: найти такие λ, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (*), удовлетворяющего (**). Рассмотрим три случая: а)λ<0, б)λ=0, в)λ>0.
41
а) λ<0 ⇒ общее решение xx eCeCxy ⋅−⋅−− += λλ21)( .
С учетом граничных условий (**)⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
+=⋅−⋅−− ll eCeC
CCλλ
21
21
0
0 ⇒ 0
11≠⋅−⋅−− ll ee λλ ⇒
С1=С2=0 ⇒ при λ<0 существует только y≡0 – тривиальное решение. б) λ=0 ⇒ общее решение xCCxy 21)( += .
С учетом граничных условий (**) ⇒ С⎩⎨⎧
+==
lCCC
21
1
00
1=С2=0 ⇒ при λ=0 существует
только y≡0 – тривиальное решение. в) λ>0 ⇒ общее решение xCxCxy ⋅+⋅= λλ sincos)( 21 .
С учетом граничных условий (**)⎩⎨⎧
⋅+⋅=
⋅+⋅=
lClC
CC
λλ sincos0
010
21
21 ⇒
0sincos
01=
⋅⋅ ll λλ ⇒ 0sin =⋅ lλ ⇒ πλ kl =⋅ ⇒
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
lk
kπλ , ...,2,1=k – собственные значения
Собственным значениям λk соответствуют собственные функции x
lkxykπsin)( =
Замечание. Положительным и отрицательным k соответствуют собственные функции, отличающиеся константой, поэтому для построения системы линейно-независимых функций-решений достаточно взять только положительные k.
Задачи на собственные значения и собственные функции возникают при решении задач математической физики. Типичным примером является уравнение Бесселя
( ) 02
=+−′′ xyyx
nyx λ
Такие уравнения рассматриваются в более полных курсах математики.