تبدیل فوریه ی سیگنال های تنک

براساس:

“Nearly Optimal Sparse Fourier Transform”

«MIT»گروه پژوهشی دانشگاه

ارائه دهنده:محمد نجارزادگان

1/22

فهرست مطالب

معرفی سیگنال های تنک و تبدیل •فوریه ی آن ها

کاربرد تبدیل فوریه ی سیگنال های •تنک

الگوریتم های موجود•الگوریتم جدید و مزایای آن•مقایسه و نتیجه گیری• 2/2

2

مقدمه محاسبه یDFT

پردازش سیگنال•پیاده سازی فیلتر•

محاسبه ی DFT در سیستم بالدرنگ سرعت باال

[ 1 سرعت الگوریتم]FFT :( .log( ))O n n3/22

. .log( )k n n

معرفی سیگنال تنکتنک بودن در حوزه ی فرکانس

صدا•تصویر•عکس•

فشرده سازی اطالعات•MPEG•JPEG

4/22

SFFTمبنای الگوریتم های .تعداد نمونه های سیگنال کم است

AAFFT: 3% [1] همبستگی بین نمونه ها )درون یابی(•تعداد نمونه ها وابسته به دقت مورد نظر است.• است.SFFTتعداد نمونه ها وابسته به الگوریتم •

.تعداد محدودی مولفه فرکانسی وجود دارد

وابسته به نوع سیگنال•وابسته به طول سیگنال•

5/22

Sparsity = 4

تنک بودن صدا

6/22

Voice 10 sec

Voice 2 sec

SFFTهدف الگوریتم های تشخیص مکان مولفه های فرکانسی

تشخیص اندازه ی هر مولفه

پیاده سازی سخت افزاری

توان مصرفی• حافظه ی مورد نیاز•

-در تعداد عملیات کم

با تعداد نمونه -گیری کم

7/22

[1]الگوریتم های موجود AAFFT

•kتعداد مولفه های فرکانس :

Hassnieh

اگر :

1( .log ( ))cO k n2C

3/2( . .log ( ))O n k n

( )K O n1( .log ( ))cO k n

3/2( . .log ( ))O n k n( .log( ))O n n

فقط برای سیگنال های SFFT الگوریتم های . کوچک سریع عمل می کندkتنک و

8/22

نحوه ی اجرای الگوریتمچهار مرحله اصلی

نمونه برداری•

پنجره گذاری و فیلتر•

تبدیل فوریه•

انتخاب مقادیر بزرگ•

9/22

نحوه ی اجرای الگوریتم)ادامه(نمونه برداری

کاهش تعداد نمونه ها•

درون یابی زمان بر•

10/22

نحوه ی اجرای الگوریتم)ادامه([3]

پنجره گذاری و فیلتر

درSincتداخل دنباله های •حوزه فرکانس ) خطا(

تصحیح خطا به کمک تکرار•

پیاده سازی فیلتر : حافظه مورد• نیاز

( ). ( )x t rect t ( ) sinc( )x f f 11/22

نحوه ی اجرای الگوریتم)ادامه([3]

تبدیل فوریه

تبدیل فوریه از هر برش زمانی•

انتخاب k مقدار بیشینه در FFT.

12/22

الگوریتم جدیددو ضعف در الگوریتم های قبلی

درون یابی•تداخل در حوزه فرکانس•

انتخاب فیلتر مناسب

تداخل •درون یابی شکل دادن در زمان •

پنجره گذاری گوسی یا چبیشف

( )rect fsinc( )t

13/22

[4]الگوریتم جدید

14/22

شبیه سازی

15/22

Filter: rectFilter: chebychev

Filter: sinc

Filter: chebychev

پیاده سازی[5] نرم افزاری++Cبرنامه •CPU: 3GHzفرکانس ••Cache: 6MB•RAM: 8GB

FPGA ( ) [3]•Virtex 61Wتوان: •4.28Mbحافظه: •

202 , 500N K

16/22

برابر بیشتر10سرعت برابر کمتر100توان

[1]مقایسهسرعت انجام الگوریتم•تعداد نمونه مورد استفاده•(Sparsityمیزان تنک بودن )•

17/22

[.1 ]مقایسه ی الگوریتم های مختلف

Implementation Samples Runtime

FFTW N

AAFFT

SFFT

( .log ( ))CO k N

4( .log ( ))O k N

( .log( ))O N N

( .log( ))O k N

( .log ( ))CO k N

[5]مقایسه

18/22

[5]مقایسه

19/22

نتیجه گیری•SFFT برای سیگنال تنک و sparsity.کم ، سریع است

به دلیل تعداد نمونه کم بسیار سریع است.SFFTالگوریتم های •

الگوریتم جدید با انتخاب فیلتر مناسب درون یابی و تکرار را •حذف کرده است.

20/22

مراجع[1] H.Hassanieh,P.Indyk,D.Katabi,E.Price “ Nearly Optimal Sparse Fourier Transform”, STOC '12 Proceedings of the 44th symposium on Theory of Computing 2012,Pages 563-578,.

[2] B.Seg al, M.Iwen “Improved Sparse Fourier Approximation Results Faster Implementations and Stronger Guarantees” Springer Science+Business Media, LLC 2012.

[3] A.Agarwal, “FPGA-based design of a Million point Sparse FFT” 2012.

[4] E.Price, “Sparse Fourier Transform Algorithms” ,2013.

[5] H.Hassanieh,P.Indyk,D.Katabi,E.Price, “Simple and Practical Algorithm for Sparse Fourier Transform”, SODA '12 Proceedings of the Twenty-Third Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms 2012,Pages 1183-1194 .

21/22

سوال؟؟؟

با سپاس از توجه شما

22/22