第九章平均數的差異考驗

Z 與 t考驗

連續變項的分析 基本特性：變項「數值」的無限性。

• 一個連續變項的基本定義，即是在一定的數線範圍之中，具有一定的單位，而可能存在無限數值

具有數學運算的基本功能• 連續性測量資料在進行統計分析之前，除了必須以次數分配

的形式來歸類整理之外，同時必須以描述統計的集中趨勢量數與離散量數來加以描繪該變項的觀察特性

統計的檢定圍繞在樣本的統計數 單一變項的檢定：平均數與標準差來進行 多變項的檢定： T 或 Z 檢定

單母群與多母群考驗單母群考驗。

• 一個連續變數的得分可以計算出一個平均數，如果研究者僅對單一變項的平均數加以檢驗，不考慮其他變項的影響，稱為單母群的平均數考驗。

多母群考驗• 如果研究者想同時考慮不同情況之下的平均數是否有所差異，例如男生與女生的平均數的比較，此時即牽涉到多個平均數的考驗；不同的平均數，代表背後具有多個母數的存在，因此被稱為多母數的平均數考驗。

單尾與雙尾考驗 平均數差異考驗在檢驗兩個平均數大於、小於與不等於等不同形式

的研究假設。形成有特定方向的考驗或無方向性的考驗兩種不同模式。

單尾考驗（ one-tailed test ）• 當研究者只關心單一一個方向的比較關係時（例如男生的數學成績 X1 優於

女生 X2 ），平均數的考驗僅有一個拒絕區• H0: x1 x2

• H1: x1 > x2 　 x1 與 x2 與分別示男生與女生數學成績的平均數 雙尾檢驗（ two-tailed test ）

• 當研究者並未有特定方向的設定（例如男生的智商與女生的智商有所不同），假設考驗在兩個極端的情況皆有可能發生，而必須設定兩個拒絕區

• H0: x1 = x2• H1: x1 x2

獨立樣本與相依樣本 不同的平均數可能計算自不同的樣本，亦有可能計算自同

一個樣本的同一群人，或是具有配對關係的不同樣本。 獨立樣本設計

• 不同平均數來自於獨立沒有關連的不同樣本• 根據機率原理，當不同的平均數來自於不同的獨立樣本，兩

個樣本的抽樣機率亦相互獨立， 相依樣本設計

• 重複量數設計（ repeated measure design ）：不同的平均數來自於同一個樣本的同一群人（例如某班學生的期中考與期末考成績）重複測量的結果

• 配對樣本設計（ matched sample design ） : 不同的平均數來自具有配對關係的不同樣本（例如夫妻兩人的薪資多寡）樣本抽取的機率是為非獨立、相依的情況。因此必須特別考量到重複計數或相配對的機率，以供不同的公式。

單母群平均數考驗 當研究者關心某一個連續變項的平均數，是否與某個理論

值或母群平均數相符合之時，稱為單母群平均數考驗。 • 例如某大學一年級新生的平均年齡 19.2 歲是否與全國大一新

生的平均年齡 18.7 歲相同。研究假設為樣本平均數與母群體（或理論值）平均數不同，或 μ≠μ0 。

當母群的標準差已知，抽樣分配的標準誤可依中央極限定理求得，且無違反常態假設之虞，可使用 Z 分配來進行檢定，

若母群的標準差未知，則需使用樣本標準差的不偏估計數來推估母群標準差。

n

XXZ

X

obt

ns

X

s

Xt

X

obt

雙母群平均數考驗 當研究者關心兩個平均數的差異是否存在之時，是為雙母

群平均數考驗的問題，研究假設（ H １）為樣本一平均數與樣本二平均數具有差異，或 μx1≠μx2 。

當雙母群平均數考驗所使用的樣本是獨立樣本時，使用獨立樣本平均數檢定，例如某大學一年級新生男生的平均年齡 21.1 歲，是否與女生的平均年齡 19.7 歲相同。公式如下 :

當雙母群平均數考驗所使用的樣本是相依樣本時，使用相依樣本平均數檢定，例如某一群受試者參加自我效能訓練方案前後的兩次得分的自我效能平均數的比較。

21

2

2121

11

21

21

21

nn

xxxxZ xx

xx

xxobt

21

2

2121

11

21

21

21

nns

xx

s

xxt

w

xx

xx

xxobt

2121222

21

xxxx

obtsrsss

XXt

Ｔ檢定 前言 統計資料分析時常必須比較不同兩群體的某種特性是否一致，或對某問題的觀點是否一致。這種兩群體特性一致性與否，往往可由兩群體特性的期望值來判斷。獨立樣本的Ｔ檢定是用以檢定兩群體特性的期望值是否相等之一種常用的統計方法。然而要使用Ｔ檢定，則必須符合兩群體特性具有或近似〝常態分配〞的條件。

由於兩群體是獨立，因此在作Ｔ檢定時，必須考慮此兩群體的標準差是否相等的問題。 SPSS軟體的Ｔ檢定對此問題均作了詳細的處理。

t 考驗的基本假設 （一）常態性假設

• 雙樣本平均數考驗中，兩個平均數來自於兩個樣本，除了樣本本身的抽樣分配需為常態化之外，兩個平均數的差的抽樣分配也必須符合常態分配的假設（ normality ）。

（二）變異數同質性假設（ homogeneity of variance ）• 平均數差異檢定中，每一個常態化樣本的平均數要能夠相互比較，

除了需符合常態分配假設外，必須具有相似的離散狀況，也就是樣本的變異數必須具有同質性

• 如果樣本的變異數不同質，表示兩個樣本在平均數差異之外，另外存有差異的來源，致使變異數呈現不同質的情況。變異數同質性假設若不能成立，會使得平均數的比較存有混淆因素。

• 兩個獨立樣本變異數同質性假設是否違反，可以利用 Levene’s test of homogeneity ，以變異數分析（ F 檢定）的概念，計算兩個樣本變異數的比值。若 F 檢定達到顯著水準，表示兩個樣本的變異數不同質，此時需使用校正公式來計算 t 值。

SPSS操作方式 單一樣本 t 檢定

• 是用來檢定單一變數的平均數，是否跟指定的常數不一樣。例如研究人員可能想檢定某一群學生的平均 IQ 是否為不同於一般學生。或者，統一麵包店老闆想看看熱狗的重量，是否為原訂的 50克。

獨立樣本 t 檢定• 是用來比較兩組不同樣本測量值的平均數。

配對樣本 t 檢定• 是用來比較單一樣本或配對樣本在兩個變數的平均數。

其原理是計算每個觀察者在兩個變數值之間的差異，以及檢定平均是否為 0 。通常用於具有前測（ pre-test ）與後測（ post-test ）的研究設計中。

單一樣本 t 檢定檢定 條件 樣本大小 分配 估計

假設形式 檢定統計量

已知 不論n 大小

常態 分配

1. 無限母體 n

Zx

2

2. 有限母體 12

N

nN

nZx

1. 01

00

:

:

H

H

2. 0 0

1 0

:

:

H

H

3. 0 0

1 0

:

:

H

H

n

xZ

30n 常態 分配

1. 無限母體 n

sZx

2

2. 有限母體 12

N

nN

n

sZx

1

)( 22

n

xxs i

1. 01

00

:

:

H

H

2. 0 0

1 0

:

:

H

H

3. 0 0

1 0

:

:

H

H

n

sx

Z

未知

用樣本標準差 s 來估計

30n t分配

1. 無限母體 n

stx

n )1,2(

2. 有限母體 N

n

n

stx

n

1

)1,2(

n

s

N

nx

22 )1(

n

s

N

n 2

)1( 為nN

nN 2

1

不偏估計

1. 01

00

:

:

H

H

2. 0 0

1 0

:

:

H

H

3. 0 0

1 0

:

:

H

H

1)-(nt~

n

sx

t

檢定 條件 樣本 大小

抽樣分配

估計 檢定統計量

已 知

不論n 大小

常態 分配

2 21 2

1 21 22

( )X X Zn n

1 2 1 2

2 21 2

1 2

( ) ( )X XZ

n n

22

21

1n 與

2n 30

常態 分配

2 21 2

1 21 22

( )S S

X X Zn n

用 S取代 2

2 ( )

1iX X

Sn

1 2 1 2

2 21 2

1 2

( ) ( )

X XZ

S Sn n

2 21 2

1n 與

2n 30

常態 分配

2 2

1 21 22

( ) p pS Sx x Z

n n

2pS ： Pooled Variance合併變異數

2 22 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)

2p

n S n SS

n n

1 2 1 2

2 2

1 2

( ) ( )

p p

X XZ

S S

n n

22

21

1n 與

2n 30

t 分配

2 2

1 2 ( , )21 2

( ) p pS SX X t

n n

自由度： 221 nn 2 2

2 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)

2p

n S n SS

n n

1 2 1 2

2 2

1 2

( ) ( )

p p

X Xt

S S

n n

( 在 區 間 估 計 、 檢 定

21 時，如 30n ，且22

21 , 未知，應先檢定

22

21 , 是 否 相 等

( 22

21 )

未知

22

21

1n 與

2n 30

t 分配

2 21 2

1 2 ( , )21 2

( )S S

X X tn n

自由度

2 221 2

1 22 2

2 21 2

1 2

1 2

( )

( ) ( )

1 1

S Sn n

S Sn n

n n

取最近整數值（Welch自由度）

1 2 1 2

2 21 2

1 2

( ) ( )

X Xt

s sn n

獨立樣本 t 檢定

配對樣本 t 檢定檢定 樣本大小 分配 估計

假設形式 檢定統計量

30n t分配 n

std d

n )1,2(

1. 0:

0:

1

0

D

D

H

H

2. 0

1

: 0

: 0D

D

H

H

3. 0

1

: 0

: 0D

D

H

H

n

sd

td

0

30n 常態 分配 n

sZd d

2

1. 0:

0:

1

0

D

D

H

H

2. 0

1

: 0

: 0D

D

H

H

3. 0

1

: 0

: 0D

D

H

H

n

sd

Zd

0

範例 9-1 單一樣本 t 檢定某品牌寶特瓶汽水標示重量為 1000 公克，消費者覺得標示有問題，他隨機挑選 10瓶汽水，測量汽水淨重，根據下表數據，請問該品牌寶特瓶汽水重量標示是否不實

編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

淨重 985 928 950 1010 945 989 965 1005 968 1015

範例 9-2 雙樣本平均數檢定 ( 獨立樣本 )某教授同時敎二個研究所高等統計，甲研究所有 10名學生，乙研究所有 8名學生，期末成績如下表，請問這二個研究所的學生學習統計成績是否有差異

研究所 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

甲 85 82 90 90 75 88 87 85 78 82

乙 82 75 80 80 85 85 75 80

範例 9-3 雙樣本平均數檢定( 相依樣本 : 重複量數設計 )

某研究所 10名學生修習某教授高等統計，期中與期末成績如下表，請問二次考試成績是否有差異

學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

期中考 78 80 90 90 70 88 82 74 65 85

期末考 84 83 89 90 78 89 87 84 78 80

範例 9-4 雙樣本平均數檢定( 相依樣本 : 配對樣本設計 )

某心理學家想探討夫妻的情緒處理能力，具有相似性或相異性，該心理學家選取 12 對夫妻，測量EQ水準 ( 分數介於 0~50 分 ) ，請問夫妻的情緒處理能力是相似或相異

夫妻配對 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

夫 34 22 38 20 29 30 37 14 23 40 36 29

妻 38 39 35 25 19 31 38 44 40 45 33 41

練習 9-1 單一樣本 t 檢定早期研究顯示大學生平均一星期社區服務時間為 50min ，目前隨機抽取 25 位大學生調查平均一星期社區服務時間，請檢定大學生平均一星期社區服務時間是否為 50min

34 56 74 23 12 89 87 56 48 13

9 85 76 56 17 28 66 38 46 81

29 33 41 78 11

解答0

1

: 50

: 50

H

H

單一樣本檢定

-.483 24 .634 -2.56 -13.50平均時間t 自由度 ( )顯著性 雙尾 平均差異 下界

95% 差異的 信賴區間 = 50檢定值

0

0.634 0.05

P Value

Accept H

大學生平均一星期社區服務時間為 50min

練習 9-2 雙樣本平均數檢定 ( 獨立樣本 )

1 2 3 4 5 6 7 8

86 82 84 83 84 83 85 87

83 81 84 72 79 85 78 86

X 理論和Y 理論是管理控制的重要理論，其差別在於對人性的基本假設的不同。 X

理論認為員工視工作為一種懲罰，且對工作毫無抱負，喜歡逃避責任，所以有效管 理必須靠指揮、高壓、威脅等手段。但Y理論假設人視工作為生活的一部份，如果

管理適當，他們願意學習且主動承擔責任，所以管理者應提供一個具充份彈性的工

作環境使員工尋求自我成長。大道公司總經理為了解何種理論較有效，隨機選擇了

16位員工分成 、 組，其中 組施以 X 理論的環境； 組給予Y 理論的環境，然

後在年終給予員工績效評分如下：

檢定兩種管理方式之效果有否差異（ 0 05. ）

解答

變異數同質性檢定 P-value=0.046<0.05 ，變異數不相等，平均數 t 檢定 P-value=0.094>0.05 ，平均數相等，表示兩種管理方式之效果沒有差異

H

H

0 12

22

1 12

22

:

:

H

H0 1 2

1 1 2

:

:

獨立樣本檢定

4.809 .046 1.879 14 .081 3.25 1.73 -.461.879 8.813 .094 3.25 1.73 -.68

假設變異數相等不假設變異數相等

評分F 檢定 顯著性

Levene 變異數相等的檢定

t 自由度 ( )顯著性 雙尾 平均差異 標準誤差異 下界 95% 差異的 信賴區間

t 平均數相等的 檢定

練習 9-3

觀察 8 位病人經服用藥物後體內免疫細胞指數情形得下列資料 ，請檢定服用此藥物是否改變免疫細胞指數

病 人 1 2 3 4 5 6 7 8

未服用 1.56 1.52 1.52 1.49 1.56 1.60 1.59 1.56

服 用 1.60 1.68 1.75 1.64 1.79 1.78 1.75 1.77

解答

0

1

: 0

: 0D

D

H

H

成對樣本檢定

.1700 6.141E-02 2.171E-02 .1187 .2213 7.830 7 - 服用 未服用 1成對平均數 標準差

平均數的標準誤 下界 上界

95% 差異的 信賴區間

成對變數差異

t 自由度

0

0.000 0.05

P Value

reject H

此藥物會改變免疫細胞指數