فيما سبق:

درست ضرب ثنائيات الحد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب .

أحلل ثلثية حدود على الصورة:- + ب س + جـ2 س

أحل المعادلت على الصورة:-0 + ب س + جـ = 2 س

لماذا؟بركة سطحها مستطيل الشكل، يراد وضع سياج

م. إذا كانت مساحة سطح 24حولها طوله ، فما بعداها؟2 م36البركة

لحل هذه المسألة، يجب إيجاد عددين حاصل ومجموعهما يساوي نصف محيط 36ضربهما

.12البركة أي

+ ب س + جـ تعلمت كيف تضرب 2تحليل سثنائيتي حد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب، ل ًل لناتج على أن تكون كل ثنائية حد منهما عام

الضرب. ويمكن استعمال نمط ضرب ثنائيتي الحد لتحليل أنواع معينة من ثلثيات الحدود .

4*3س + 3س + 4 + 2) = س4) (س + 3(س +

طريقة التوزيع بالترتيب

4×3) س + 3 + 4 + (2= س

خاصية التوزيع

12س + 7 + 2= سبسط

ص9 × ص = 3 × 3(ع.م.أ) =

هو مجموع العددين 7لحظ أن معامل الحد الوسط هو ناتج ضربهما .12، والحد الخير 4 و3

لحظ القاعدة التية في الضرب:

)4*3) س + (3 + 4 + (2) = س4) (س + 3(س +

+ (ن + م) س + م ن2(س + م) (س + ن) = س

= ن4 = م، 3لتكن

البدال (+) + (م + ن) س + م ن2= س

ب = م + ن، جـ = م ن + ب س + جـ2س

لحظ أن معامل الحد الوسط هو مجموع م، ن والحد الخير هو ناتج ضربهما .

تستعمل هذه القاعدة لتحليل ثلثيات الحدود على + ب س + جـ .2الصورة س

+ ب س + جـ2مفهوم أساسي: تحليل س

التعبير اللفظي: لتحليل ثلثية حدود على + ب س + جـ، أوجد عددين 2الصورة س

صحيحين م، ن مجموعهما ب وناتج + ب س + جـ 2ضربهما جـ، ثم اكتب س

على الصورة (س + م) (س + ن) .

الرموز: + ب س + جـ = (س + م) (س + ن)، حيث م 2س

+ ن = ب، م ن = جـ

) . 4) (س + 2 = (س + 8س + 6 + 2مثال: س

.8 = 4×2، 6 = 4 + 2لن

يكون لعاملي جـ الاشارة نفسها عندما تكون موجبة. ويعتمد كون العاملين موجبين أو سالبين

على إاشارة ب. فإذا كانت ب موجبة فالعاملن موجبان، وإذا كانت سالبة فالعاملن سالبان .

1

20س + 9 + 2حلل: س، جـ 9بما أن جـ، ب موجبان في ثلثية الحدود ب =

. لذا يجب إيجاد عاملين موجبين مجموعهما 20= ، 20. كون قائمة عوامل العدد 20 وناتج ضربهما 9

.9وجد العاملين اللذين مجموعهما

مجموع العاملين20عوامل العدد 2،121

10،2125،49

+ ب س + جـ عندما يكون ب ، جـ موجبين2تحليل س

5، 4العاملن الصحيحان هما

اكتب القاعدة = (س + م) (س + ن)20س + 9 + 2س

5، ن = 4م = )5) (س + 4= (س +

20س + 4س + 5 + 2) = س5) (س + 4(س +

طريقة التوزيع بالترتيب

20س + 9 + 2= س

بسط

24د + 11 + 2أ) د1

)8)(د+3(د+

حلل كل من كثيريتي الحدود اليتيتين :

إرشادات لحل المسألة

خمن ويتحققعند يتحليل يثليثية حدود، اعمل يتخمينا

مدروسا، ويتحقق من معقولية، يثم عدل التخمين حتى يتصل إلى الاجابة الصحيحة.

إذا كانت ب سالبة، و جـ موجبة في يثليثية الحدود، استعمل ما تعرفه عن ضرب يثنائيتي

الحد لتقليص قائمة العوامل الممكنة .

2

12س + 8 – 2حلل س

بما أن جـ موجبة، و ب سالبة في يثليثية الحدود، ب = لذا يجب إيجاد عاملين سالبين مجموعهما 12، جـ = 8- .12 وحاصل ضربهما 8-

مجموع العاملين12عوامل العدد -1- ،12-13

-2- ،6-8-3- ،4-7

+ ب س + اجـ عندما يتكون ب سالبة، اجـ مواجبة2يتحليل س

= (س + م) (س + ن)12س + 8 – 2س

اكتب القاعدة

6، ن = -2م = -)6) (س – 2= (س –

، 12س + 8 – 2تحقق: مثل المعادلتين: ص = س) بياني ًا على الشاشة 6) (س – 2ص = (س –

نفسها. بما أن التمثيلين متطابقان، فإن يثليثية الحدود ُحللت بصورة صحيحة .

إرشادات للدراسة

إيجاد العواملعندما يتجد العوامل الصحيحة فليس هناك

ضرورة لختبار العوامل الخرى. 2فمثل، العاملن الصحيحان في المثال

، لذا فل داعي لختبار 6،-2هما: -4،-3العاملين: -

م ًل من كثيريتي الحدود اليتيتين: حلل ك

2م + م22 – 21أ) 2

)21)(م-1(م-

تابــــــــــع

عندما تكون جـ سالبة، يكون لعامليها إشارتان مختلفتان. ولتحدد أي عامل منهما موجب وأيهما سالب، انظر إلى إشارة ب؛ فالعامل الذي له القيمة المطلقة الكبرى له

إشارة ب نفسها .

3

حلل كل كثيرة حدود ما يأتي:

15س – 2 + 2أ) س

وبما أن جـ 15، جـ = -2في يثليثية الحدود هذه ب = سالبة. فإن م و ن عددان مختلفان في الشارة. وبما أن ب

موجبة، فالعامل الذي قيمته المطلقة أكبر يكون موجب ًا .

وبما أن جـ 15، جـ = -2في يثليثية الحدود هذه ب = سالبة. فإن م و ن عددان مختلفان في الشارة. وبما أن ب

موجبة، فالعامل الذي قيمته المطلقة أكبر يكون موجب ًا .

+ ب س + اجـ عندما يتكون اجـ سالبة :2يتحليل س

0 = 0 0 = 0

مجموع العاملين15عوامل العدد

-1 ،1514

-3 ،52

5، ن = 3م = -) 5) (س + 3= (س –

15س – 3س – 5 + 2) = س5) (س + 3تحقق: (س –

طريقة التوزيع بالترتيب

بسط15س – 2 + 2= س

5 ، 3العاملن الصحيحان هما ــ

18س – 7 – 2ب) س

، إذن م أو 18، جـ = -7في يثليثية الحدود هذه ب = -ن سالبة، وليس كلهما . وبما أن ب سالبة، فالعامل ذو

القيمة المطلقة الكبرى يكون سالب ًا .

، على أن يكون أحد 18اكتب أزواج من عوامل -العاملين في كل زوج سالب ًا والرخر موجب ًا، يثم انظر إلى

.7العاملين اللذين مجموعهما -

مجموع العاملين12عوامل العدد 1- ،18-172- ،9-7-6 ،3-3

9، -2العاملن الصحيحان هما

اكتب القاعدة = (س + م) (س + ن)18س – 7 + 2س

9، ن = -2م = )9) (س – 2= (س + س – 7 – 2مثل المعادلتين ص = ستحقق:

) بياني ًا على 9) (س – 2، ص = (س + 18الشاشة نفسها، بما أن التمثيلين متطابقان، لُحللت بصورة صحيحة . فإن يثليثية الحدود

24ر – 2 – 2ب) ر3

)6)(ر-4(ر+

48أ – 8 + 2) أ14

)12)(أ+4(أ-

تدرب وحل المسائل :

حل المعادل ت بالتحليل: يمكن كتابة المعادل ت التربيعية ، أ ل 0 + ب س + جـ = 2على الصورة القياسية: أس

ويمكن حل بعض المعادل ت على هذه الصورة 0يساوي بالتحليل، يثم استعمال رخاصية الضرب الصفري .

4، وتحقق من صحة الحل:27س = 6 + 2حل المعادلة: س

المعادلة الصلية 27س = 6 + 2س

من كل الطرفين27اطرح 0 = 27س – 6 + 2س

حلل إلى العوامل0) = 9) (س + 3(س –

خاصية الضرب الصفري0 = 9 أو س + 0 = 3س –

حل كل معادلة 9 س = -3س =

27س = 6+ 2س27س = 6 + 2س

)3( 2 + 6) 3 = (27

-)9( 2 + 6-) 9 = (27

9 + 18 = 2781 – 54 = 27

0 = 18س – 3 + 2ب) س4

6، -3س=

حل كل معادلة مما يأتي وتحقق من صحة الحل :

كتاب النشاط

) اكتشف الخطأ: حلل كل من رخليل وماجد العبارة: 33. فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك .16س – 6 + 2س

)8) (س – 2 = (س + 16س – 6 + 2سماجد:

)8) (س + 2 = (س - 16س – 6 + 2سرخليل:

) اكتشف الخطأ: حلل كل من رخليل 33. 16س – 6 + 2وماجد العبارة: س

فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك .

خليل، عند ضرب العاملين اللذين يشكلن إل 16س-6-2إجابة ماجد يكون الناتج س

أن الحد الوسط يجب أن يكون موجبا

)8) (س – 2 = (س + 16س – 6 + 2سماجد:

)8) (س + 2 = (س - 16س – 6 + 2سرخليل:

3، 4س=

0 = 12س + 7 – 2) س18

تدرب وحل المسائل :

يصمم سعيد لوحة إعل ن لبيع أقراص تصميم: مدمجة لتعلم الرياضيات. إذا كا ن ارتفاع الجزء

بوصات، ويزيد طول باقي 4العلوي من اللوحة بوصة. ومساحة اللوحة 2اللوحة على عرضها ب

بوصة مربعة، فأوجد عرض اللوحة .616افهم: يجب إيجاد عرض اللوحة .

بما أن اللوحة على شكل مستطيل خطط: فالمساحة = العرض×الطول

5

حل: بما أ ن ض = عرض اللوحة. 2 + 4فيكو ن طول اللوحة = ض +

6= ض + اكتب المعادلة 616) = 6ض (ض +

اضرب 616ض = 6 + 2ض

من كل طرف 616اطرح 0 = 616ض – 6 + 2ض

حلل 0) = 22) (ض – 28(ض + خاصية الضرب 0 = 22 أو ض – 0 = 28ض +

الصفري 22 ض = 28ض = -حل كل معادلة

بما أن البعاد ل يمكن أن تكون سالبة، فإن بوصة .22العرض =

22 بوصة فإن المسافة = 22تحقق: إذا كان العرض بوصة مربعة وهي مساحة اللوحة 616) = 6 + 22(

المطلوبة .

الربط مع الحياةتصميم بعض اللوحات العلينية لستخدامها مرة

واحدة لمناسبة معينة، وإ ن كا ن الغرض من اللوحة الستخدام لفترة طويلة، فيجب مراعاة المواد

المصنوعة منها لتقاوم عوامل الجو.

) هندسة: متوازي أضل ع ارتفاعه أق من قاعدته 5 . فما ارتفاعه؟ 2 سم175 سم، ومساحته 18بـ

سم7ارتفاعه=

24س + 14 + 2) س1

)12)(س+2(س+

0 = 54س + 15 – 2) س7

9، 6س=

تدرب وحل المسائل :

0 = 9ج + 10 + 2) ج21

9، -1جـ=-

انتهى الدرس

تامراجعة المفراد

القيمة المطلقةتمثل القيمة المطلقة للعدد ن المسافة

بين العدد والصفر على خط العداد. وتكتب على الصورة ( ن)