1

Компьютерные научные вычисления и эксперименты при решении задач ТДУ и ОУ

Пирштук Денис Иванович,магистрант кафедрыматематической физики ФПМИ БГУ

Научный руководитель:Дубров Борис Михайлович,канд. физ.-мат. наук, доцент

Белорусский государственный университет

Цели работы• анализ возможностей эффективного использования

СКА и СКМ для научных вычислений и экспериментов,• сравнение принципов разработки и распространения

научного ПО• выявление особенностей применения, преимуществ и

недостатков использования пакетов Maple и Sage при решении задач в области ТДУ и ОУ,

• выявление факторов, влияющих на выбор научного ПО для решения конкретной задачи.

Проблема предметной области

• наличие в задачах большого числа рутинных вычислений, не являющихся задачей ТДУ и ОУ,

• трата почти все отведенное для при проведения практических и лабораторных занятий аудиторного время именно выполнения рутинных вычислений

• Объекты исследования часто трудны для понимания, есть постоянная потребность в построении наглядных примеров для объяснения материала в учебном процессе и самоконтроля в научном.

Эффективность использованияСКМ и СКА в ТДУ и ОУ

• возможность передачи компьютеру выполнения значительной части рутинных вычислений,

• уменьшение времени выполнения расчетов и числа возникающих ошибок,

• новые возможности для проведения дополнительных вычислительных экспериментов и предварительной проверки гипотез,

• более детальное изучение объекта исследования посредством наглядного анализа свойств его с использованием различных компьютерных визуализаций.

Эффективность использованияСКМ и СКА в учебном процессе

• высвобождение аудиторных занятий от траты времени на решения вспомогательных задач других областей математики,

• возможность концентрация внимания студентов на проблемах конкретной области,

• выработка полезных необходимых и актуальных навыков использования СКМ и СКА,

• возможность повышения глубины понимания объектов исследования путем проведения вычислительных экспериментов и визуализации полученных результатов

Перспективы свободного ПО (СПО)

• потенциальная возможность для обеспечения более низкой совокупной стоимости владением ПО,

• возможность доработки под конкретные нужды,• выручка от продаж решений, разработанных на основе

СПО остается у местных организаций и специалистов – стимул для развития собственного рынка IT-услуг и снижения импортоёмкости,

• важность СПО в науке: исходные коды научного ПО распространяются на тех же принципах, что и научные знания, т.е. публично, на основе взаимного обмена опытом и результатами работы.

СКМ MapleПреимущества:•возможность символьного и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и их систем,•набор готовых библиотек для анализа и визуализации,•работа с дифференциальной геометрией,•использование при вводе данных обычной математической нотации

Недостаток:Отсутствие интегрированной среды разработки для написании программного кода

Использование при вводе данных обычной математической нотации

Преимущества:•снижение временных затраты на ввод формул,•уменьшение количество возникающих при вводе информации ошибок,•возможность использования СКМ кругом лиц, в том числе и не владеющим навыками программирования.

Где реализовано?•Maple, Wolfram Mathematica, Mathcad

Замечание: не всегда достаточно!

Свободная СКМ Sage• набор библиотек для научных вычислений на Python,• единый Python-интерфейс для большого числа иного

научного СПО (GAP, Maxima, Singular, SymPy, NumPy, SciPy, ATLAS, R и др.),

• Можно использовать все возможности языка Python и его библиотек (например, сетевое взаимодействие, работа с базами данных, параллельные вычисления).

Важные особенности внедрения:• Возможность развертывания в облаке или на

удаленном сервере ― в качестве графического интерфейса выступает веб-интерфейс

• Может быть установлена только на компьютере под управлением ОС Linux или MacOS.

Функциональные возможности SageВозможности Sage могут быть полезны при решении задач в областях•математического анализа, •дифференциальных уравнений,•вычислительной математики, •алгебры и алгебраической геометрии, •теории групп, •теории чисел, •комбинаторики, •математической статистики и анализа данных•и др.

Вывод: свободная СКМ Sage также является перспективной для использования на ФПМИ БГУ.

Личный опыт использования Sage

Задача: явное выписывание системы векторных полей действующих на пространстве , соответствующих свободной алгебре Ли .

Что требуется?•Возможность вычисление базиса Холла свободной алгебры Ли ,•Возможность для работы с векторными полями на дифференциальных многообразиях.•Желательно также иметь инструменты для работы со свободными алгебрами Ли (на перспективу)

Где уже полностью реализовано? ― Пока нигде!

1 2, ,..., ,mX X X n,m rg

,m rg

Решение задачиХод решения:•Берем за основу стандартные набор библиотек Sage.•Используем стороннее расширение manifolds для работы с дифференциальными многообразиями.•Пишем код на Python с использованием библиотек collections, itertools, math и numpy.

Результат:•модуль для вычисления базиса Холла произвольной свободной алгебры Ли ,•модуль для построения образующих соответствующих алгебр Ли векторных полей.

Перспективы:•можно использовать возможности СКА GAP для работысо свободными алгебрами Ли, интегрированными в Sage

,m rg

1 2, ,..., ,mX X X

Возможные пути повышения эффективности использования ИТ в научном и учебном процессе

• Дальнейшее расширение области использования СКМ в учебном процессе с целью высвобождения аудиторного занятий от траты времени на решения вспомогательных задач.

• Повышение вовлеченности белорусского научного сообщества в обмен опытом по разработке, внедрению и использованию СПО с открытым исходным кодом.

• Популяризация разработки, внедрения, использования и распространения научного ПО на тех же принципах, что и научных знаний, т.е. публично, на основе взаимного обмена опытом и результатами работы.

• выполнен анализ проблемы эффективного использования систем компьютерной математики в научном и учебном процессе в области ТДУ и ОУ,

• исследованы перспективы и возможные преимущества использования научного свободного программного обеспечения,

• продемонстрированы преимущества и недостатки пакета Maple для решения задач ТДУ,

Основные результаты (часть 1)

Основные результаты (часть 2)• выделены направления перспективного

использования свободной СКМ Sage на ФПМИ БГУ,

• обобщен личный опыт СКМ Sage использования в узкоспециализированной задаче, работа с объектами исследования которой пока не достаточно развита даже в современных СКМ,

• обоснованы пути дальнейшего повышения эффективности ИТ в научном и учебном процессе в математике.

Спасибоза внимание!