Симметрия Симметрия многочленовмногочленов

Цель:Цель:

Исследовать Исследовать проявление симметрии проявление симметрии в алгебре многочленовв алгебре многочленов

Выполнила: Кузьмина Татьяна, 10А

План План исследованияисследования

Переместительные законы Переместительные законы сложения и умножениясложения и умножения

Выражение симметричных Выражение симметричных многочленов через х+у и хумногочленов через х+у и ху

Треугольник ПаскаляТреугольник Паскаля Симметричные системы уравненийСимметричные системы уравнений

Переместительные Переместительные законызаконы

СложенияСложения

х+у=у+хх+у=у+х

УмноженияУмножения

ху=ухху=ух

Элементарные симметрические Элементарные симметрические

многочлены амногочлены а11 = х+у, а = х+у, а22 = ху = ху

SS11 = х+у = а = х+у = а11 ;; SS22 = = хх22+у+у22 = (х+у) = (х+у)22 –2ху=а –2ху=а11

22 - 2а - 2а22 ;; SS33 = = хх33+у+у33 = (х+у) = (х+у)(( х х22 – – ху+уху+у2 2 ) = ) =

(х+у)((х+у)(х+у)((х+у)22 –3ху) =а –3ху) =а11(( аа1122 - 3а - 3а22 ) ) ;;

SS4 4 == хх44+у+у44 =( х =( х22+у+у22) ) 2 2 –2х–2х22 у у2 2 =(=( аа1122

- 2а- 2а22))22-2 а-2 а2222..

Треугольник ПаскаляТреугольник Паскаля1 1 1 1

1 2 1 n = 2 1 2 1 n = 2 1 3 3 1 n = 31 3 3 1 n = 3

1 4 6 4 1 n = 41 4 6 4 1 n = 4 1 5 10 5 10 1 n = 51 5 10 5 10 1 n = 5

1 6 15 20 15 6 1 n = 61 6 15 20 15 6 1 n = 6 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 71 7 21 35 35 21 7 1 n = 7

1 8 28 56 70 56 28 8 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n = 8 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 nn = 9 = 9

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 nn = 10 = 10 и т.д.и т.д. ПримерПример::

   (а +в)(а +в)55=а=а55+5 а+5 а44в+10ав+10а33вв22+ 10а+ 10а22вв33+ 5ав+ 5ав44+ в+ в55

Симметричные системы Симметричные системы уравненийуравнений

хх33+у+у33 =35 =35 х+у =5 х+у =5Решения системы Решения системы симметричнысимметричны:: (2 (2;;3) и (33) и (3;;2)2)