Проектиране на робастни системи с дискретни...

Химикотехнологичен и металургичен университет

Факултет по химично и системно инженерство;Катедра: Автоматизация на производството;

Д И П Л О М Н А РАБОТА

Тема: Проектиране на робастни системи с дискретни регулатори

Ръководител катедра: …………………./ Доц. Венцислав Цочев /

Научен ръководител: ………….………… / Доц. Георги Еленков /

Дипломант: …………………………………/Ралица Лумбева; фак. № АУ 292 - 0/

гр. София

2005 г.Химикотехнологичен и металургичен университет

Факултет по химично и системно инженерство

Катедра: Автоматизация на производството

ЗАДАНИЕ ЗА ДИПЛОМНА РАБОТА НА ТЕМА:

Проектиране на робастни системи с дискретни регулатори

Студент: Ралица Божидарова Лумбева, фак. № АУ 292 - 0

Специалност: Автоматика, информационна и управляваща техника;

Съдържание

1. Робастни системи за автоматично регулиране с еталонен модел на

обектите на управление;

2. Изучаване на методи за синтез на дискретни регулатори;

3. Прилагане на САР с еталонен модел за синтез на дискретни регулатори

от нисък порядък;

4. Изследване на влиянието на относителната инерционност, такта на

дискретизация, степента на пререгулиране или затихване върху основни

времеконстанти на “разрешената ” област.

Студент:…………………… Ръководител:……………………/ Ралица Лумбева / /доц. Г. Еленков/

- 2 -

С Ъ Д Ъ Р Ж А Н И Е

Използвани означения 1

1. Увод 2

2. Теоретична част 3

2.1. Структура на системите със вътршен модел 3

2.2. Робастност на системи със вътрешен модел 10

2.3. Цифров ПИД регулатор 13

2.4. Основни качествени показтели на преходния процес 19

3. Експериментална част 23

3.1. Ред на провеждане на експериментите 23

3.2. Резултати 24

3.3. Обобщение на резултатите 45

4. Приложение 46

4. Заключение 75

Използвана литература 76

- 3 -

Използвани означения

Gr(p) – предавателна функция на регулатора;

P(p) – предавателна функция на обекта;

^

P(p) – предавателна функция на модела;

уz – задание;

d – смущение;

y – регулируема величина;

S(p) – функция на чувствителност;

ωВ – ширина на честотната лента;

ωС – срязваща честота;

Lm – мултипликативна гршка;

T(p) – допълнителна функция на чувствителност;

М – показател на колебателност;

f(p) – предавателна функция на нискочестотен филтър

T(f) – времеконстанта на филтъра;

W1(p) – предавателна функция, дефинираща динамичната точност на САР;

δТ , δα – неопределености на времеконстантите;

δd – неопределеност на чистото закъснение;

δК – сумарна грешка в статичния предавателен коефициент;

T, Tα, A – времеконстанти на обекта;

τ – чисто закъснение;

Wз(p) – функция на неопределеност;

Te - еквивалентна времеконстанта;

TW – времеконстанта на функцията W(jw);

KW – настроечен коефициент на функцията;

Ce(p) – предавателна функция на еквивалентния регулатор;

Kp – коефициент на усилване на регулатора;

Tи – време на интегриране;

k – предавателен коефициент;

σ – коефициент на пререгулиране

ψ – степен на затихване

tp – време на регулиране- 4 -

1. Увод

Основните показатели, който определят качеството на една система за

автоматично регулиране, са нейната статична и динамична точност.

Известни са множество методи за оптимизация на параметрите на типови

регулатори или на компенсиращи звена със зададена структура. Основният

недостатък на огромната част от тях е, че се основават на допускането за

точно математично описание на обекта на регулиране. На практика обаче

математичните модели на технологичните процеси са неточни по следните

причини: опростяващи допускания при извода на модела; промени в

натоварването на обекта на управление; сложност на обекта и

невъзможност да се изследват всички вътрешни връзки в него.

Теорията на робастното управление предлага разумен подход за синтез,

който се основава на компромис между точността и устойчивостта на САР.

Това определи и темата на настоящата дипломна работа “Проектиране на

робастни системи с дикретни регулатори”, като основно внимание бе

отделено на изследване на взаимните зависимости между някои

времеконстанти и точността на САР.

- 5 -

2. Теоретична част

2.1. Структура на системите с вътрешен модел

Проектирането на системи за управление на технологични процеси често

се затруднява поради това, че не могат да се опишат точно. Например

структурата на математичните модели на динамиката и статиката на

процесите е добре известна, но поради сложността си те се основават на

редица опростяващи допускания и включват параметри, чийто стойности се

определят приблизително.

На фиг. 2.1.1а е изобразена структурна схема на системата за автоматично регулиране с върешен модел на обекта на управление с отрицателна обратна връзка.

Изборът на тази структура се определя от нейните преимущества. Ако

е изпълнено условието , при смущение по задание САР ще

функционира като отворена, тъй акто сигналът е равен на нула:

(1)

Изискването за възпроизвеждане на сигнала yz(p) от регулируемата

величина се свежда до изпълнение на условието:

, т.е (2)

В този случай регулаторът Gr(p) теоретично напълно компенсира

динамичните закъснения в обекта на управление. Ето защо преходните

процеси протичат много бързо.

- 6 -

Фиг. 2.1.1а

Ако смущението приведено към изхода на обекта на управление е различно

от нула, сигналът в обратната връзка е също различен от нула. Следователно

системата функционира като такава за регулиране по отклонение. Ето защо

може да се обобщи, че въвеждането на еталонен модел на обекта на

управление обединява предимствата на отворените и затоврените САР,

изразяващи се във високо бързодействие на системата и пълно компенсиране

на смущенията.

За улеснение на извода на основните зависимости за синтез на робастен регулатор, структурната схема от фиг. 2.1.1а се преубразува във вида от

фигура 2.1.1б

.При нея изходния сигнал от модела на обекта е прехвърлен след

сравняващия блок на регулатора. Предавателната функция на регулатора,

еквивалентен на Gr(p) в класическата едноконтурна САР е:

(3)

Еквивалентният обект на регулатора Ce(p) е

(4)

Способността на САР да подтиска смущенията d(p), приведени към изхода

на обекта на управление се определя от предавателната функция по канала

”смущение регулируема велична”, наречена функция на чувствителност S(p).

Необходимо е в целия вероятен честотен диапазон модулът |S(jw)| да клони

към нула. Системата от фиг. 2.1.1а или 2.1.1б се отнася към тези с еталонен

модел на обекта на регулиране. Функцията на чувствителност към тях има

вида:

- 7 -

(5)

За да клони модулът и към нула, е необходимо да се изпълнява

условието:

(6)

Вместо S, като мярка за качеството на регулиране може да се използва

ширината на честотната лента на затворената система: това е честотата

при която за пръв път S достига стойност

(7)

Увеличаването на ширината на честотната лента означава по слабо

затихване на задаващия сигнал, по ефективно отработване на смущенията и

по бърза реакция. За запас по фаза по - малък или равен на π/2 ширината на

честотната лента е по малка или равна на честотата ωС, при която

коефициентът на усилване на отворената система спада до единица:

(8)

Основната цел при проектиране на система за управление е да се осигури

устойчивост и приемливо качество на преходните процеси на затворената

система при несъвпадение на модела с обекта, т.е да се гарантира

робастност. Несъвпадението на модела и обекта може да бъде предизивкано

от редуциране на модела ( представяне на обект от висок ред с приблизителен

модел от по – нисък ред ), или от разлика в параметрите на системата, който

зависят от условията на работа.

В направените по долу изводи се приема, че неопределеността в

описанието на обекта на управление е отнесена към неговия изход и е от

мултипликативен тип ( Lm ). По- голяма яснота се добива от следната

структурна схема:

- 8 -

(9)

- функция на неопределеност;

– предавателна функция на реалния процес;

– номинална предавателна функция на обекта на управление.

В общия случай фамилията от описания на технологичния процес π включва

всички негови възможни състояния като е изпълнено следното условие:

(10)

Допълнителната функция на чувствителността:

(11)

е мярка за робастност и представлява предавателната функция на

затворената система по канала “ задание – регулируема величина”

Името на допълнителната функция на чувствителност следва от

равенството:

(12)

Ако P(p), и Gr(p) нямат полюси в дясната полуравнина и затворената

система с номиналния обект и регулаторът Gr(p) е устойчива, от което

следва, че затворената система е устойчива за всички обекти от фамилията

π, тогава и само тогава, когато:

(13)

Тъй като Lm нараства с увеличаване на честотата и евентуално надхвърля

единица, | T(p) | трябва да падне под единица при някаква честота. Поради

израза ( 12 ) |S ( p )| трябва да е близо до единица в този честотен обхват.

Така достижимата ширина на честотната лента на затворената система е

ограничена от ширината на честотната лента, в която модела на процеса е

- 9 -

Фиг. 2.1.2

статично точен. Най – малка неточност Lm(ω) е допустима при честота, при

която |T(jω)| има максимален пик.

Показател на устойчивост:

(14)

Показателят на устойчивост е удобен и широко възприет вместо запасите

по модул или по фаза, защото те оценяват робастността само по отношение

на моделните неточности, който са независими от честотата. Ето защо те

имат тенденцията да бъдат крайно оптимистични. Трябва да отбележим, че

М е само един качествен показател за робастността. Допустимата

неточност в специфичните параметри на модела може да бъде изведена от М

само когато ширината на честотната лента е известна.

Предимствата на структурата с вътрешен модел се разкриват от следните четири своиства:

Свойство 1: Дуална устойчвост.

Предополагаме, че . Тогава системата е ефективно отворена и

устойчивостта на затворения контур следва от устойчивостта на P(p) и

Gr(p):

(15)

Структурата на система с вътрешен модел гарантира устойчивост на

затворената система за всички устойчиви регулатори.

Свойство 2: Идеално регулиране.

Допускаме, че регулаторът е равен на инверсията на модела

и, че затворената система е устойчнва. Тогава y = yz за

всички t>0 и всички смущения d(t)

За разгледаните системи “тип 1” и “тип 2” може да се запише:

Тип 1 lim p . P(p) . Gr(p) ≠ 0 (16) p ->0

Тип 2 lim p2 . P(p) . Gr(p) ≠ 0 (17) p ->0

Тези системи се характеризират с нулева статична грешка при

стъпаловидни и линейно нарастващи смущения ( yz - d). Освен това са

изпълнени следните статични равенства:

lim T(p) = 1 (18) p ->0

- 10 -

lim S(p) = 0 (19) p ->0

Своиство 3: Система “тип 1”

Предполагаме, че коефициента на усилване на регулатора в установено

състояние е равен на инверсията на коефициента на усилване на модела:

(20)

и че затворената система на фиг. 2.1.1а е устойчива. Тогава системата е от

тип 1 и грешката на регулиране клони към нула асимтотично за всички

приблизтелно еднакви входове yz и d.

Своиство 4: Система “тип 2”

Избираме Gr(p) да удовлетворява своиство 3 и:

(21)

Тогава системата е от “тип 2” и грешката на регулиране клони към 0

асимтотично за всички приблизително линейно нарастващи входове yz и d.

Своиство 1 отразява факта, че при отсъствие на несъвпадение на обекта и

модела, въпросът за устоичивостта на затворената система е тривиален до

тогава, докато отворената система е устойчива. Своиство 2 гарантирa, че

идеалният регулатор води до съвършено качество на регулиране на

затворената система, когато се използва структурата на система с

вътрешен модел. От своиство 3 и 4 следва, че присъщо интегрално деиствие

може да бъде допуснато, без да е необходимо да се въвеждат допълнителни

настроечни параметри. Своиство 2 изисква безкраен коефициент на усилване

на регулатора, което означава интегрално управляващо деиствие.

Има няколко причини поради, който идеалния регулатор не може да бъде

реализиран на практика:

а/ Нули в дясната полуравнина – ако моделът има нули в дясната

полуравнина, регулаторът има полюс в дясната полуравнина и

ако затворената система ще бъде неустойчива според своиство

1.

б/ време на чистото закъснение – ако моделът съдържа време на чисто

закъснение регулаторът трябва да включва чисто изпреварване

и не може да бъде реализран.

в/ Ограничение на управляващите променливи.

- 11 -

Ако моделът е правилен тогава съвършеният регулатор

е нереалзируем

Така безкрайно малки високочестотни смущения ще пораждат

безкрайно големи отклонения на управляващите променливи, който са

физически нереализируеми;

г/ Грешка при моделирането

Ако своиство 1 не е спазено и затворената система в общия

случай ще бъде неустойчива за съответния регулатор.

При решаването на тези четири въпроса, идеалът на съвършения

регулатор трябва да бъде изоставен. Процедурата за проектиране на

системата с вътрешен модел се справя с тях на две стъпки: първо вниманието

се насочва към качеството на регулиране, без да се има в предвид

робастността или ограниченията на входа. Второ, въвежда се и се проектира

филтър за постигане на реализируемост и робастност, без да се обръща

внимание как влияе това на качеството на регулиране. Макар че няма

разделителен принцип, който прави този подход “ оптимален”, процедурата

на проектиране е много проста и пряка. Освен това има случай, в който други,

по сложни непреки процедури дават по добри резултати.

На практика за регулатора се получават често практически

нереализируеми функций. Ето защо израза ( 6) се трансформира:

; (22)

е онази част от описанието, която след инвертиране не може да се

реализира физически от управляващото устройство ( например чистото

закъснеие ). Регулаторът синтезиран по уравнение ( 22 ) все още не е подходящ

за прилагане, тъй като поради силно диференциращите се своиства при високи

честоти усилва прекомерно входните сигнали. Ето защо последователно с него

се включва нискочестотен филтър със следната предавателна функция:

(23)

където n е степенен показател, Tf се избира така, че да удовлетворява

изискванията за динамична точност.

Следователно за обект от пъви ред:

- 12 -

Тогава:

(24)

След въвеждане на филтъра, функцията на чувствителност има вида:

(25)

2.2. Робастност на системи със вътрешен модел

Съгласно теоремите за робастна устойчивост и точност при синтез

на робастни системи за регулиране първоначално се определя “разрешената”

честотна област за ходографа на отворената система. Тя е ограничена от

две функций: първата W3(p )определя параметрите на отклоненията от тези в

номиналното описание на обекта на управление, а втората W1(p ) дефинира

динамичната точност на САР.

(26)

Видът на предавателната функция P(p) се определя от уравненията на

материалния и топлинния баланс на технологичните апарати. В повечето

случай техните елементи могат да се опишат с достатъчна точност със

зададена структура като звена от първи ред с чисто закъснение

(27)

δТ , δτ, - неопределеностти във времеконстантите и чистотото

закъснение, а δК –сумарната грешка в статичния предавателен коефициент на

обекта на управление.

Възможно е основната неопределеност в описанието на технологичния

процес да бъде:

- неточност в предавателния коефициент - δК;

- неточност във времеконстантата - δТ;

- неточност в чистотото закъснение - δτ

- 13 -

- произволна комбинация от горните три

Ако бъде решено спрямо времеконстантата ще се получи:

(28)

А спрямо чистото закъснение:

(29)

- 14 -

Най подходящата структура на W1(p) за системи с един вход и един

изход може да бъде изведена на базата на следното ограничение, което е

определящо за свойството на САР да подтиска смущениеята:

(30)

Филтърът от най нисък ред има вида:

Ако в САР няма статична грешка, неравенството може да се запише в

следния вид:

(31)

Изпълнението на това условие може да се проследи най - удобно, ако

лявата и дясната част имат сходна структура, т.е W1(jw) се дефинира като:

(32)

Tw – времеконстанта на функцията;

kw – настроечен коефициент на функцията;

Предавателната функция на регулатора ще изглежда по следния начин:

- 15 -

Предавателната функция на еквивалентния регулатор съдържа

интегрираща съставяща, която гарантира нулева статична грешка.

2.3. Цифров ПИД регулатор

А./ Общ случай

Уравнението на идеалния аналогов ПИД регулатор е:

(34)

Kp – коефициент на усилване;

Ти – време на интегриране;

ТД – време на диференциране;

Ако тактът на квантуване Т0 е малък, производната може да се замени

с първа разлика, а интеграрането да се извърши по метода на

правоъгълниците. Тогава за изхода на регулатора в момента t = k.

(35)

Формулата дава стойността на управляващия сигнал u(k.T0) във всеки

момент на дискретизация и затова е известна като позиционен ПИД

алгоритъм. Неудобството му се състой в това, че в дясната страна участват

всички предишни стойности на грешката на регулиране e(k). Нека я

преубразуваме по следния начин, като определим:

- 16 -

(36)

където параметрите на цифровия регулатор са свързани с параметрите на

аналоговия регулатор чрез съотношенията:

(37)

Формулата дава изменението на управляващия сигнал и тя е известна

като скоростен ПИД алгоритъм. От нея непосредствено следва и

предвателната функция на цифровия ПИД регулатор:

(38)

Тъй като тя съдържа полюс z = 1, цифровият ПИД регулатор осигурява

нулева статична грешка на затворената система при стъпаловидни външни

сигнали ( задание и смущения).

Ако във формулата:

(39)

численото интегриране се извърши по метода на трапеците, предавателната

функция остава същата, но стойностите на параметрите f0 и f1 се променят:

(40)

При малки тактове на квантуване, коефициентите получени по

различните формули не се различават съществено.

Могат да се дефинират параметрите на предавателната функция по

следния начин:

- 17 -

- коефициент на усилване

(41)

- коефициент на интегриране

(42)

- коефициент на изпреварване

(43)

При малки тактове на квантуване, чистото интегриране и

диференциране дават незначителна грешка:

(44)

Предавателната функция на ПИД – регулатора, изразена чрез

коефициентите е:

(45)

Преходната характеристика на цифровия ПИД регулатор се получава

при е( k ) = 1( k ). Тогава от уравнението:

(46)

следва:

(47)

Преходната характеристика на идеалния аналогов ПИД регулатор е

представена на фигура 2.3.1, а на

цифровия ПИД регулатор – на

фигура 2.3.2:

- 18 -

(48)

Всички тези съотношения между параметрите на предавателната

функция на ПИД регулатора дават следната система неравенства:

(49)

- 19 -

Фиг.3а

Фиг. 2.3.1

Фиг.2.3.2

Системата неравенства определя допустимата област на изменение на

параметрите на цифровия ПИД-регулатор, представен на фигура 4

Ако някое от неравенствата се нарушава, регулаторът с тази

предавателна функция вече не е регулатор. Настройката на цифровия ПИД

регулатор не е особено проста, тъй като тези параметри са взаимно

зависими.

Б./ Частни случай

1. П-регулатор

(56)

2. И-регулатор

- 20 -

Фиг. 2.3.3

(57)

Преходната му характеристика е:

3. ПИ регулатор

(58)

Преходната му характеристика е:

2.4. Основни качествени показатели на преходния процес

- 21 -

Фиг.2.3.4

Фиг.2.3.5

Своиството устойчивост е необходимо условие за нормалната работа

на всяка автоматична система. Това означава, че изменението на

регулираната променлива трябва да затихва. Само това свойство обаче не е

достатъчно за работоспособността на системата. В зависимост от

изменението на регулируемата променлива, трябва да се изпълняват

определени качества. Те характеризират възможността на системата да

възпроизвеждат полезните сигнали.

Качеството на управление на една автоматична система се оценява по

вида на нейната преходна функция, наричана преходен процес:

Преходен процес по задание:

R(p) – предавателна функция на регулатора;W(p) – предавателна функция на обекта;

- 22 -

Изменението на y(t) e предизвикано от изменение yз(t)

(59)

Фиг.2.4.1а

Преходен процес по смущение:

При процес по смущение регулираната променлива се отклонява и след

известно време се установява в зададената стойност.

(60)

Качествени критерий

- Допустимо отклонение – счита се, че преходният процес се е установил,

когато заданието се поддържа с точност ∆. По технологични

съображения е ±5%.

- 23 -

Фиг.2.4.2а

Фиг.2.4.2б

Фиг. 2.4.1б

- Максимално динамично отклонение – регулаторът трябва да има такива

параметри, че то да има малка стойност. Характерно е за колебателни

преходни процеси

- Време за регулиране – това е времето за което отклонението от

регулираната променлива от зададената стойност става по малко от

предварително приетата допустима грешка и след това не става по

голямо от него. Стремежът е това време да бъде най – малко.

(61)

- Степен на пререгулиране – характеризира затихването на преходния

процес

(62)

σ <100 – за устойчиви системи

- Степен на затихване – характеризира затихването на преходния процес.

(63)

За устойчиви системи е по – голямо от 0.

Интегрални критерий

(64)

- линеен интегрален критерий

(65)

Недостатък е, че при колебателни преходни процеси има малка

стойност, защото положителните и отрицателните части се сумират

алгебрично. Използват се при апериодично затихване на преходния процес.

- Интегрално квадратичен критерий

(66)

Използва се за апериодични и колебателни преходни процеси.

Параметрите на регулатора се избират, така че I2 да има минимална

стойност.

- 24 -

(67)

Интегралът има два компонента:

Квадратът на динамичната грешка;

Производната на динамичната грешка – минимизирането и води до

по- плавни преходни процеси;

- В практиката се използват:

(67)

(68)

(69)

3. Експериментална част

3.1. Ред за провеждане на експериментите

Изследвана е система за автоматично регулиране с един типов обект за

управление. Обекта има следната предавателна функция.

където Т = 10, к = 1

Обектите са изследвани като отношението τ/Т има следните

стойности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. За всяка промяна на τ/Т е варирано и

отношението Tw /T по следните стойности:0,4; 0,8; 1.- 25 -

За изследваният обект са снети преходните процеси на затворената

система и са определени стойностите на:

- Степен на пререгулиране – σ;

- Степен на затихване – ψ;

- Време за регулиране - tp ;

Изведена е регресионна зависимост от вида или

и е приложена за четири тестови обекта

който съм изследвала при σ = 0,2 и ψ = 0,9

при σ = 0,4 и ψ = 0,75

3.2. Резултати

Резултатите за σ, ψ, tp са подредени в таблици. На базата на тези

резултати е изведена регресионна зависимост от вида или

, с помощта на която са изследвани тестови

зависисмости.

Част от графиките получени на MATLAB за са дадени в

приложението.

- 26 -

Tw/T = 0,4;

Предавателната функция на обекта е:

Предавателната функция на регулатора е:

Поради наличието на такта на дискретизаця в предавателната

функция на регулатора той ( регулатора ) има различна предавателна функция

за всеки различен Т0

Преходен процес по задание

- 27 - Таблица 1а

Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0 0,0910 0,2106 0,3402

ψ 1 1 1 1 1 1 1 1 0,9015

tp 11,3226 11,1290 9,1935 5,6452 14,0323 17,5806 18,5484 34,6774 48,2258

Преходен процес по смущение

Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0 0.0447 0,2011 0,2681

ψ 1 1 1 1 1 1 1 0,9562 0,9083

tp 25,6452 25,3226 25,0490 24,0323 22,0968 18,5484 17,2581 28,2258 47,9032


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0,0715 0,1462 0,2322 0,2844

ψ 1 1 1 1 1 1 1 0,8948 0,8883

tp 9,8387 8,8710 7,5806 8,5484 15,3226 18,5484 26,6129 36,6129 56,2903


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0,0360 0,1073 0,2744 0,3723

ψ 1 1 1 1 1 1 1 0,9156 0,8569

tp 25,3226 25 24,0323 22,7419 20,4839 17,9032 17,5806 18,2258 66,7742

- 28 -

Таблица 1б

Таблица 2а

Таблица 2б


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0,2449 0.2719 0,2943 0,3482 0,4334 0,4644 0,5148 0,5856 0,7221

ψ 0,9395 0,9230 0,8933 0,8723 0,7935 0,7776 0,7492 0,7046 0,5212

tp 20,8065 22,0968 28,8710 34,3548 47,5806 75,1613 82,9032 93,2258 139,6774


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0,0739 0,2174 0,4075 0,4943 0,5487 0,6169

ψ 1 1 1 0,8834 0,8236 0,7554 0,7507 0,6983 0,6563

tp 26,2903 25,3226 26,9355 30,4839 36,2903 55,1613 64,1935 84,1935 113,2258


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0,5034 0,5125 0,5348 0,5969 0,6367 0,7503 0,7868 0,8042 0,8489

ψ 0,7446 0,7085 0,6951 0,5944 0,5931 0,4162 0,3787 0,3555 0,1511

tp 42,0968 51,7742 54,3548 73,7097 80,1613 188,0645 239,1129 296.3710 305,0403


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0,1072 0,1586 0,2094 0,3556 0,4056 0,6342 0,7644 0,8092 0,8855

ψ 0,8009 0,7856 0,7670 0,7108 0,6856 0,5076 0,3529 0,3386 0,3125

tp 33,0645 34,3548 35,9677 57,2581 63,0645 151,2903 185.0806 230.8871 347.5403


- 29 -

Таблица 3 а

Таблица 3б б

Таблица 4а

Таблица 4б

Таблица 5а

Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0,9362 0,9716 * * * * * * *

ψ 0,1065 0,0485 * * * * * * *

tp 678.2258 ▲ * * * * * * *


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0,6530 0.6897 * * * * * * *

ψ 0,2889 0,2567 * * * * * * *

tp 455.6452 ▲ * * * * * * *

* - процесите с това времезакъснение и съответните тактове на дискретизация са неустойчиви;▲ - процесите затихват много бавно и времето за регулиране се отчита трудно;

Процесите с това закъснение са неустойчиви при всички тактове на дисктретизация ( квантуване ) – Т0 .

Регулатора има следната предавателна функция

Обекта има следната предавателна функция:


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0 0,0886 0,1421 0,2115

ψ 1 1 1 1 1 1 1 1 0,9747

tp 22,0968 22,4194 20,8065 20,1613 16,9355 28.2258 32,0968 35,6452 54,3548

- 30 -

Таблица 5б

Таблица 6а


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0 0,0324 0,1049 0,1755

ψ 1 1 1 1 1 1 1 0,9857 0,9739

tp 38,8710 39,5161 37,5806 35.6452 34,3548 31,1290 30,1613 45,6452 50,8065


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0 0,0856 0,0996 0,2274

ψ 1 1 1 1 1 1 1 1 0,9517

tp 20,8065 21,4516 20,1613 18,5484 16.2903 31,1290 33,7097 36,2903 39,5161


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0 0,0470 0,1158 0,2070

ψ 1 1 1 1 1 1 1 0,9909 0,9657

tp 38,8710 37,5806 36,9355 35,3226 33,7097 30,8065 29,8387 32,0968 51.7742


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0,1067 0,1739 0,2543 0,3861

- 31 -

Таблица 6б

Таблица 7а

Таблица 7б

Таблица 8 а

ψ 1 1 1 1 1 0,9837 0,9640 0,9263 0,8998

tp 15,3226 15,3226 14,6774 23,3871 27,2581 35.3226 50.1613 62.4194 69.1935


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0,0992 0,1695 0,2991 0,3099

ψ 1 1 1 1 1 0,9968 0,9708 0,9278 0,8750

tp 35,9677 34,3548 34,3548 32,7419 30.1613 44.0323 49.5161 57.9032 78.5484


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0,0786 0,1919 0,2417 0,3088 0,4019

ψ 1 1 1 1 0,9836 0,9577 0,9313 0,8887 0,8533

tp 18.5484 21.7742 25.0000 27.9032 31.4516 50.8065 55.9677 84.8387 96.4516


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0,0522 0,1878 0,2516 0,3638 0,4163

ψ 1 1 1 1 0,9906 0,9644 0,9326 0,8868 0,8133

tp 34,6774 33.3871 31.7742 29.8387 29.5161 48.2258 52.7419 79.0323 103.5484


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0,2634 0,2763 0,2817 0,3362 0,3741 0,4103 0,5237 0.6008 0.6253

ψ 0,9534 0,9403 0,9314 0,8970 0,8880 0,8227 0,7150 0.6660 0.6279

tp 40.8065 43.3871 44.3548 48.8710 65.3226 97.7419 110.6452 177.7419 188.7097


- 32 -

Таблица 8б

Таблица 9а

Таблица 9б

Таблица 10а

Таблица 10б

Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0,0486 0,0770 0,1189 0,2112 0,2766 0,3852 0,4828 0,6971 0,7237

ψ 0,9604 0,9497 0,9397 0,9277 0,9012 0,8431 0,7523 0,4448 0,4101

tp 29.8387 29.5161 40.1613 45.0000 62.4194 75.8065 120.9677 165.4839 177.0968


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0,4763 0,4941 0,5077 0,5136 0,5470 0,6716 0,7129 0.8457 0.8489

ψ 0,7601 0,7471 0,7198 0,6728 0,6684 0.5610 0,4971 0.1678 0.1601

tp 84.1935 86.7742 91.5323 116.9355 126.2903 190.0000 255.6452 937.0968 ▲


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0,3106 0,3403 0,3879 0,4434 0,5158 0,6274 0,6864 0,8763 0,8840

ψ 0,8264 0,8043 0,7911 0,7358 0,7059 0,5734 0,4830 0,2403 0,1470

tp 77.5806 81.7742 85.8871 107.2581 119.5161 179.0323 221.7742 833.8710 ▲

▲ - процесите затихват много бавно и времето за регулиране се отчита трудно;

Предавателната функция на регулатора е:

Обекта има следната предавателна функция:


- 33 -

Таблица 11а

Таблица 11б

Таблица 12а

Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0 0 0,0926 0,1457

ψ 1 1 1 1 1 1 1 1 1

tp 479.0323 28.8710 26,6129 25.6452 22,7419 19,1935 35.6452 42.4194 45.0000


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0,0177 0,0301 0,0698 0,1550

ψ 1 1 1 1 1 1 1 1 0,9812

tp 446.7742 43,0645 43.3871 40,8065 39,1935 35,9677 35,000 49.8387 57.2581


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0 0 0,0883 0,1463

ψ 1 1 1 1 1 1 1 1 1

tp 433.8710 28.5484 25.3226 24.0323 21.7742 32.0968 35.6452 43.0645 65.3226


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0,0205 0,0388 0,0868 0,1525

ψ 1 1 1 1 1 1 1 1 0,9736

tp 462.9032 42.4194 42.7419 40.4839 39.1935 39.5161 35.6452 53.0645 57.5806


- 34 -

Таблица 12б

Таблица 13а

Таблица 13б

Таблица 14а

Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0,0451 0,1079 0,1106 0,2258

ψ 1 1 1 1 1 1 1 1 0,9560

tp 472.5806 24.6774 23.7097 21.4516 18.5484 37.7419 41.1290 65.3226 69.8387


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0,0393 0,0749 0,1700 0,2110

ψ 1 1 1 1 1 1 1 0,9807 0,9583

tp 452.2326 42.0968 41.7742 39.8387 37.9032 34.5161 34.9194 58.8710 61.1290


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0.1077 0,1511 0,1646 0,2315

ψ 1 1 1 1 1 1 1 0,9743 0,9490

tp 446.7742 21.7742 19.8387 18.2258 26.9355 40.3226 43.0645 64.1935 74.5161


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0 0,0792 0,1095 0,2066 0.2644

ψ 1 1 1 1 1 0,9982 0,9863 0,9606 0.9358

tp 459.6774 41.4516 40.1613 37.5806 35.9677 40.4839 53.7097 62.9032 63.5484


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

- 35 -

Таблица 14б

Таблица 15а

Таблица 15б

Таблица 16а

σ 0 0 0 0 0 0,1677 0,1815 0,2582 0,3351

ψ 1 1 1 1 1 1 1 0,9385 0.9142

tp 453.2258 18.5484 17.5806 16.6129 35.6452 41.6129 59.8387 73.2258 79.0323


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0 0 0,0273 0,1212 0,1771 0,2702 0,3294

ψ 1 1 1 1 1 0,9839 0,9704 0,9404 0,8927

tp 443.5484 40.1613 37.5806 36.2903 35.3226 53.2258 58.5484 64.8387 90.6452


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0,1617 0,1653 0.1686 0,1912 0,2713 0,34 0,4429 0.5277

ψ 1 1 1 1 0,9531 0,9439 0,8826 0,7999 0.7694

tp 474.9490 32.4194 34.0323 36.2903 51.774 66.7742 87.2581 130.6452 141.6129


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0 0.0342 0.0904 0,1449 0,2521 0,3410 0,4328 0.4639

ψ 1 1 0,9885 0.9841 0,9701 0,9329 0,8830 0,8188 0.7854

tp 414.5161 35.0000 34.6774 46.6129 52.7419 60.3226 85.6452 126.7742 133.8710


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

- 36 -

Таблица 16б

Таблица 17а

Таблица 17б

Таблица 18а

σ 0 0.3281 0.3308 0,3826 0.3862 0,4709 0.4909 0,6585 0.7075

ψ 1 0,9194 0.8794 0,8641 0.8444 0,7711 0.7596 0,5450 0.4994

tp 453.2258 55.6452 58.8710 76.2903 80.1613 125.4839 131.9355 240.4839 320.6452


Т0 0,1 0,5 1 2 3 5 6 8 9

σ 0 0,1792 0,2145 0,2722 0,3313 0,4420 0,5112 0,6637 0.6939

ψ 1 0,9331 0,9271 0,9087 0,8744 0,7948 0,7303 0,5681 0.5074

tp 450.8065 52.4194 67.5806 75.6452 82.4194 117.7419 123.5484 228.8710 281.9355

Регресионната зависимост на от , и , респективно бе

определен с програмен продукт MINITAB.

За преходни процеси по задание линейните зависимости имат вида:

1.

2.

а нелинейните зависимости имат вида:

3.

4.

За преходни процеси по смущение линейните зависимости имат вида:

1.

- 37 -

Таблица 18б

2.

а нелинейните зависимости имат вида:

3.

4.

Изследваната методика за настройка на дискретен регулатор е

приложена за два обекта със следната предавателна функция:

Показателите за динамична точност са σ = 20 % и ψ = 0,9.

За обектите:

изследването е извършено при показатели σ = 40 % и ψ = 0,75

По – долу са показани резултатите от изследване на точността на

робастните САР, подредени в таблици. Част от графиките на преходните

процеси са изнесени в приложението:

- 38 -

Т0 5 6 9 12σ 0,2160 0,2169 0,2571 0,3205

ψ 1 0,9546 0,9483 0,9172

tp 75,000 86,6129 104,0323 126,6129

Т0 5 6 9 12σ 0,2312 0,2373 0,3054 0,3800

ψ 0,9552 0,9534 0,9227 0,8603

tp 75,8065 83,7097 97,5806 155,6452

Т0 5 6 9 12σ 0,3409 0,3612 0,4653 0,4687

ψ 0,8881 0,8802 0,7888 0,7474

tp 91,9355 97,2581 154,3548 186,2903

Т0 5 6 9 12σ 0,2411 0,2484 0,3003 0,3444

ψ 0,9629 0,9416 0,9157 0,8784

tp 78,8710 71,7742 100,8065 155,6452

- 39 -

Таблица 19а

Таблица19б

Таблица 19в

Таблица 19г

Т0 5 6 9 12σ 0,1392 0,1674 0,2064 0,2507

ψ 0,9671 0,9670 0,9520 0,9442

tp 73,7903 79,4355 95,4516 112,50

Т0 5 6 9 12σ 0,1439 0,1750 0,2758 0,3118

ψ 0,9654 0,9618 0,9273 0,9047

tp 74,5968 0,7726 116,5323 141,5223

Т0 5 6 9σ 0,1698 0,1764 0,1821

ψ 0,9473 0,9661 0,9687

tp 72.1774 78.6290 101.2097

Т0 6 9 12σ 0,0559 0,1129 0,1871

ψ 0,9944 0,9819 0,9623

tp 66.9355 107.2581 125.0000

- 40 -

Таблица 19д

Таблица 19е

Таблица 19ж

Таблица 19з

Т0 5 7 8 9 12σ 0,1637 0,1694 0,1757 0,2089 0,3536

ψ 0,9728 0,9703 0,9667 0,9579 0,8702

tp 70.4839 105.000 113,230 123.790 189.914

Т0 5 7 8 9 12σ 0,2186 0,2263 0,2283 0,2529 0,2781

ψ 0,9526 0,9424 0,9341 0,9275 0,9084

tp 95.8065 104.8387 112.5000 121.7742 131.4516

Т0 5 7 8 9 12σ 0,2541 0,2084 0,2040 0,1887 0,1879

ψ 0,9196 0,9295 0,9633 0.9661 0,9725

tp 94.5161 100.9677 105.6452 113.7097 123,2560

Т0 5 7 8 9 12σ 0,2259 0,2364 0,2469 0,2672 0,2992

ψ 0,9536 0,9220 0,9069 0,8932 0,8721

tp 93.8710 110.6452 112.0968 120.1613 134.6774

- 41 -

Таблица20а

Таблица20б

Таблица 20в

Таблица 20г

Т0 5 7 8 9 12σ 0,1250 0,1498 0,1640 0,1782 *

ψ 0,9604 0,9647 0,9652 0,9665 *

tp 86.2903 102.4194 107.2581 113.7097 *

Т0 5 7 8 9 12σ 0,1122 0,1510 0,1690 0,1994 0,2586

ψ 0,9712 0,9648 0,9549 0,9469 0,9316

tp 89.5161 102.4194 105.6452 112.0968 157.2581

Т0 5 7 8 9 12σ 0,2146 0,1738 0,1704 0,1656 *

ψ 0,9096 0,9505 0,9601 0,9665 *

tp 108.8710 105,7589 107.2581 113.7097 *

Т0 5 7 8 9 12σ 0,1725 0,2306 0,2487 0,2677 0,3426

ψ 0,9695 0,9532 0,9379 0,9199 0,8907

tp 125.0000 134.6774 137.9032 183.0645 212.0968

- 42 -

Таблица 20д

Таблица 20е

Таблица 20ж

Таблица 20з

Таблица 21в

Т0 5 7 8 9 12σ 0,3303 0,3068 0,2943 0,2824 0,2796

ψ 0,8988 0,9074 0,9220 0,9293 0.9387

tp 100.8065 108.8710 113.8710 119.0323 133.2258

Т0 5 7 8 9 12σ 0,1035 0,1129 0,1338 0,1553 0,2112

ψ 0,9636 0,9527 0,9457 0,9421 0,9321

tp 91.1290 102,9875 112.0968 118.5484 133.0645

Т0 5 7 8 9 12σ 0,3626 0,3921 0,4236 0,4587 0,4789

ψ 0,8808 0,8501 0,8321 0,8147 0,7918

tp 123.3871 130,4587 144.3548 147.5806 170.1613

Т0 5 7 8 9 12σ 0,1754 0,2221 0,3596 0,4792 *

ψ 0,8904 0,8659 0,8365 0,7965 *

tp 114.5161 124.1935 201.6129 201.6129 *

- 43 -

Таблица 21а

Таблица21б

Таблица 21г

Таблица 22а

Т0 5 7 8 9 12σ 0,4591 0,4288 0,4152 0,4000 0,3781

ψ 0,5622 0,6372 0,6671 0,7137 0,7761

tp 427.4194 353.2258 311.2903 304.8387 285.4839

Т0 5 7 8 9 12σ 0,4591 0,4288 0,4152 0,4000 0,3781

ψ 0,5622 0,6372 0,6671 0,7137 0,7761

tp 427.4194 353.2258 311.2903 304.8387 285.4839

Т0 5 7 8 9 12σ 0,4044 0,4278 0,4489 0,4687 0,4793

ψ 0,8629 0,8329 0,8025 0,7947 0,7854

tp 198.3871 211.2903 218,5965 224.1935 240.3226

Т0 5 7 8 9 12σ 0,1382 0,1684 0,1827 0,1908 0,2123

ψ 0,8896 0,8991 0,9041 0,9059 0,9123

tp 185.4839 195.1613 201.6129 202,6987 214.5161

3.3. Обобщение на резултатите

Изследван е следния тестови обект

- 44 -

Таблица 22б

Таблица22в

Таблица22г

където Т = 10, к = 1

τ/Т приема стойностите: 0,05; 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;

Tw /T приема стойностите: 0,4; 0,8; 1;

Т0 / Т приема стойностите: 0,01; 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,6; 0,8; 0,9;

Обектът е изследван за τ/Т = 0,2 само при съотношение Tw /T = 1.

В таблиците със съответните резултати има ясна зависимост за σ и

ψ. С нарастване на такта на дискретизация процесите преминават от

апериодични към колебателни (σ нараства и ψ намалява).

С помощта на получените резултати за σ и ψ, а и отношенията между

Т0 / Т, ТW / Т, τ / Т получавам регресионни зависимости. С тяхна помощ

изследвам още четири обекта:

който съм изследвала при σ = 0,2 и ψ = 0,9

при σ = 0,4 и ψ = 0,75

4. Заключение

В дипломната работа е предложен метод за синтез на робастна САР с

цифрови регулатори от нисък порядък. За целта е възприета структура със

еталонен модел на обекта на управление.

- 45 -

В хода на работата бе проведен числен експеримент със статичен обект

от първи ред за изследване на връзката между: относителната инерционност

, нормираният такт на дискретизация , степен на пререгулиране

или на затихване и нормираната времеконстанта , дефинираща

лявата граница на “ разширената” област в АЧХ и точността на САР.

Изведена е регресионна зависимост от вида: или

. Тя е приложена за няколко тестови обекта, като показва

добри резултати.

Синтезът на цифров регулатор от втори порядък ( ПИД регулатор ) би

могъл да се реализира, ако обектът в САР е от втори ред.

- 46 -

ИЗПОЛЗВАНА ЛИТЕРАТУРА

1. Doyle, I. C., Stein, G., Multivariable Feedback Design:concepts fot a Classical|

Modern syntesys, IEEE Trans. Aut. Control, Vol AC26, No 1, February, 1981.

2. Harriot, P., Process Control, McGraw Hill, 1964, стр 362

3. Morari, M., Doyle, I., A Unyfying Framework for Control System Design under

Uncertainty and Its Implication for Chemical Process Control, CPCIII, 12 –

17.01.1986, California

4. Musch, H. E., Steiner, M., μ – Optimal Control of an Industrial Binary Distillation

Column, 12th World Congrss, IFAC, Sydney, Australia, 18 – 23 July 1993.

5. Велев, К. Теория на автоматичното управление. С., Мартилен, 1993

ПРИЛОЖЕНИЕПри Tw/T = 0,4

Предaвателната функция на обекта е:- 47 -

Предaвателната функция на регулатора е:

- 48 -

- 49 -

- 50 -

- 51 -

- 52 -

- 53 -

- 54 -

- 55 -

- 56 -

- 57 -

- 58 -

- 59 -

- 60 -

- 61 -

- 62 -

- 63 -

- 64 -

- 65 -

- 66 -

- 67 -

- 68 -

- 69 -

- 70 -

- 71 -

- 72 -

- 73 -

- 74 -

- 75 -

Преходни процеси, който се получават с помощта на получените

регресионни уравнения.

- 76 -

- 77 -

- 78 -

- 79 -

- 80 -

- 81 -

- 82 -

- 83 -

- 84 -

Проектиране на робастни системи с дискретни...

Documents