Исследование Исследование полиномиальныхполиномиальных

кодов кодов

Торгашова А.В.Торгашова А.В.

№№11:: создание систем кодирования, создание систем кодирования,

которые по своим характеристикам которые по своим характеристикам не уступали бы уже существующим.не уступали бы уже существующим.

Будут рассматриваться циклические Будут рассматриваться циклические полиномиальные коды, исправляющие до полиномиальные коды, исправляющие до

трех ошибок.трех ошибок.

Основная трудность возникает при Основная трудность возникает при кодировании тогда, когда надо кодировании тогда, когда надо

выбрать «нужный» многочлен, т.е. выбрать «нужный» многочлен, т.е. многочлен, при использовании многочлен, при использовании

которого код приобретает заданные которого код приобретает заданные свойства. Поэтому одной из свойства. Поэтому одной из

актуальных актуальных задачзадач является создание является создание методики построения порождающего методики построения порождающего

многочлена.многочлена.

Суть методики построения Суть методики построения циклического полиномиального кода.циклического полиномиального кода.

Если взять примитивный многочлен Если взять примитивный многочлен ff((xx) ) степени степени nn с корнем с корнем α,α, реально можно реально можно найти найти β=αβ=α^(^((2(2nn--1)/1)/dd)) – корень искомого – корень искомого неприводимого многочлена, который неприводимого многочлена, который является характеристическим является характеристическим многочленом элемента многочленом элемента ββ, то есть , то есть порождающим многочленом для кода.порождающим многочленом для кода.

Пример 1. Полиномиальный циклический код, Пример 1. Полиномиальный циклический код, порождённый симметричным неприводимым порождённый симметричным неприводимым многочленом степени 16, обладает многочленом степени 16, обладает свойством свойством ddminmin≥≥5. Так как порядок 5. Так как порядок dd равен равен 257, то при одинаковой степени многочлена 257, то при одинаковой степени многочлена БЧХ-кода (255,16) и симметричного БЧХ-кода (255,16) и симметричного многочлена полученного выше кода (257,16), многочлена полученного выше кода (257,16), получается, что последний может исправлять получается, что последний может исправлять тоже две ошибки, но длина кода на два бита тоже две ошибки, но длина кода на два бита больше, чем кода БЧХ.больше, чем кода БЧХ.

Пример 2. Полиномиальный циклический код Пример 2. Полиномиальный циклический код (641,64), порождённый симметричным (641,64), порождённый симметричным неприводимым многочленом степени 64, неприводимым многочленом степени 64, обладает свойством обладает свойством ddmin min ≥ ≥ 7 и может 7 и может исправлять три ошибки, так как 5≡2исправлять три ошибки, так как 5≡22525((mod mod 641).641).

№ №2:2:последовательное построение последовательное построение

(генерация) неприводимых (генерация) неприводимых многочленов данной степени.многочленов данной степени.

Генерация неприводимых многочленов является Генерация неприводимых многочленов является актуальной и сложной на сегодняшний день актуальной и сложной на сегодняшний день

прикладной задачей, широко востребованной в прикладной задачей, широко востребованной в криптографических приложениях и теории криптографических приложениях и теории

кодирования.кодирования.

Один из методов – получение новых Один из методов – получение новых неприводимых многочленов из данного неприводимых многочленов из данного неприводимого многочлена той же степени, неприводимого многочлена той же степени, при условии, что корни этих многочленов при условии, что корни этих многочленов связаны степенными зависимостями.связаны степенными зависимостями.В ходе работы были явно выписаны и В ходе работы были явно выписаны и программно реализованы переходы программно реализованы переходы хххх33 и и хххх55..Их эффективность проверена и доказана.Их эффективность проверена и доказана.

Один из полученных многочленов с Один из полученных многочленов с использованием преобразования использованием преобразования xx xx3 3 для для

многочлена 64-й степени: многочлена 64-й степени: xx6464++xx6363++xx6262++xx6161++xx6060++xx5656++xx5454++xx5252++xx5151++xx4848++xx4747++xx4444++xx4343++xx4141++xx3939++xx3535++xx3434++xx3333++xx3232++xx3131++xx3030++xx2929++

xx2525+x+x2323+x+x2121+x+x2020+x+x1717+x+x1616+x+x1313+x+x1212+x+x1010+x+x88+x+x44+x+x33+x+x22

+x+1+x+1

Итоги:Итоги:1. С помощью новой методики построены коды (23, 1. С помощью новой методики построены коды (23,

11) и (47, 23), которые исправляют до трех ошибок, 11) и (47, 23), которые исправляют до трех ошибок, а также код (257, 16), исправляющий две ошибки.а также код (257, 16), исправляющий две ошибки.

2. Доказан2. Доказан ряд теорем, применимых к ряд теорем, применимых к полиномиальному кодированию, в том числе о полиномиальному кодированию, в том числе о существовании неприводимых симметричных существовании неприводимых симметричных многочленов, применяемых для кодов и дающих многочленов, применяемых для кодов и дающих ddminmin не меньше трех, пяти и семи. не меньше трех, пяти и семи.

3. 3. Явно выписаны и программно реализованы Явно выписаны и программно реализованы переходы переходы хх хх33 и и хх хх55. Проанализированы . Проанализированы свойства переходов свойства переходов хх хх1111 и и хх хх1717..

Спасибо за вниманиеСпасибо за внимание