Диляра Хакимова - Что такое теория игр и для чего она...

Что такое ТЕОРИЯ ИГР и для чего она нужна

Хакимова Диля

25 октября 2014, МШАД

Хакимова Диля Что такое ТЕОРИЯ ИГР и для чего она нужна25 октября 2014, МШАД 1 / 52

Введение в теорию игр

Сюжет про короля Гарольда1

14 октября 1066 года, войска короля Гарольда (правителяАнгло-Саксонского) vs войска Вильгельма (герцога Нормандского)

1Пример из книги Захарова А.В. «Теория игр в общественных науках»Хакимова Диля Что такое ТЕОРИЯ ИГР и для чего она нужна25 октября 2014, МШАД 2 / 52


Что такое Теория Игр?

Изучение стратегических взаимодействий!

Что такое стратегическое взаимодействие?Что такое не стратегическое взаимодействие?

Попытка предсказать исход игры!



Игра «Конкурс красоты»

ТИШИНА В ЗАЛЕ :)Каждый пишет на листочке бумаги целое число от 1 до 100.Победитель – тот, чье число окажется ближе к 2

3x (2/3 отсреднего арифметического всех выбранных чисел.)Призовой фонд - шоколадка!



Игра «Оценка за курс»

Напишите на листочке ваш выбор: стратегия α или стратегия β.Если ВЫ выбрали α, а ваш ОППОНЕНТ выбрал β, тогда выполучаете “отлично”, а ваш оппонент получает “незачет”.Если вы вместе с вашим оппонентом выбрали α, то вы обаполучаете “зачет”.Если вы вместе с вашим оппонентом выбрали β, то вы обаполучаете “хорошо”.

α βα зачет отличноβ незачет хорошо

α βα зачет незачетβ отлично хорошо



Игра «Оценка за курс»

α βα зачет отличноβ незачет хорошо

α βα зачет незачетβ отлично хорошо

α βα зачет, зачет отлично, незачетβ незачет, отлично хорошо, хорошо



Что такое игра? ИГРОКИ!

Множество игроков N = 1, . . . , n



Что такое игра? СТРАТЕГИИ!

Множество стратегий Si для каждого игрока iПрофиль стратегий s = (s1, . . . , sn) ∈ S = S1 × · · · × SnПрофиль стратегий опоннентов s−i = (s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sn)



Что такое игра? ПЛАТЕЖИ!

Функции платежей (выигрышей) ui : S → R для каждого игрока.Удобно записывать функцию платежей как ui(si, s−i)



Платежи и злые гении.


Злые гении заботятся только о себе, их интересует только своя оценка!

Незачет -1Зачет 0Хорошо 1Отлично 3

α βα 0, 0 3, -1β -1, 3 1, 1



Равновесие Нэша (Nash Equilibrium)

ОпределениеПрофиль стратегий является равновесием Нэша, если никому невыгодно отклониться

После реализации исхода все довольны своим выбором.Нет ни одного игрока, который бы захотел изменить свою стратегию(при фиксированных действиях других игроков).

Определение

Профиль стратегий s∗ = (s∗1, . . . , s∗n) ∈ S =

∏nj=1 Sj является

равновесием Нэша в игре ΓN , если для ∀i верно

ui(s∗i , s∗−i) ≥ ui(si, s∗−i)

для всех si ∈ Si



Джон Форбс Нэш (13 июня 1928)

Нобелевская премия по экономике 1994 года «за анализ равновесий втеории игр»



Джон Форбс Нэш (13 июня 1928)



Игра “Оценка за курс” - Злые гении

α βα 0, 0 3, -1β -1, 3 1, 1

α β

α 0, 0 3, -1β -1, 3 1, 1



Платежи и злые гении.

ОпределениеСтратегия α строго доминирует стратегию β, если платеж от α строгобольше платежа от β, не зависимо от того, что делают другие игроки.Стратегия β - доминируемая стратегия

СледствиеНе играйте доминируемые стратегии.

СледствиеРациональное поведение может привести к “плохому” исходу



Что это была за игра?

Какой известный пример вам это напоминает?

С коллективной точки зрения неплохо было бы договориться Молчать.



Другие примеры (Prisoners Dilemma)

Можете придумать еще примеры дилеммы заключенных?

Уборка в общежитииФирмы, конкурирующие по ценеРазводДопинг в спорте...




Можете придумать еще примеры дилеммы заключенных?Уборка в общежитииФирмы, конкурирующие по ценеРазводДопинг в спорте...




Почему же реализовался “плохой” исход? В чем проблема и можно лиее как то решить?

α β

α 0, 0 3, -1β -1, 3 1, 1

СговорПовторение



Оптимальность по Парето

Определение

Исход игры o лучше с коллективной точки зрения o′, если для всехигроков он не хуже, а хотя бы для одного строго лучше.Тогда мы говорим, что o Парето доминирует o′

ОпределениеИсход игры o∗ Парето оптимальный, если нет исхода, который егоПарето доминирует.



Оптимальность по Парето

Может ли игра иметь больше одного Парето оптимального исхода?

α β

α 0, 0 3, -1β -1, 3 1, 1

Каждая ли игра имеет хотя бы один Парето оптимальный исход?



Платежи и возмущенные ангелы.


Возмущенные ангелы - глубоко моральные люди, они теперь заботятсяне только о своей оценке, но и о других.

Незачет -3 = -1 - 2 (возмущение)Зачет 0Хорошо 1Отлично -1 = 3 - 4 (вина)

α βα 0, 0 -1, -3β -3, -1 1, 1



Платежи и возмущенные ангелы.

Игра “Оценка за курс” - Возмущенные ангелы:

α βα 0, 0 -1, -3β -3, -1 1, 1

α β

α 0, 0 -1, -3β -3, -1 1, 1

СледствиеПлатежи имеют значения.

Что бы вы выбрали?



Игра на координацию

α β γ δα 1, 1 0, 0 0, 0 0, 0β 0, 0 1, 1 0, 0 0, 0γ 0, 0 0, 0 1, 1 0, 0δ 0, 0 0, 0 0, 0 1, 1

Фокальная точка - мост через реку.



Игра на координацию

α β γ δα 1, 1 0, 0 0, 0 0, 0β 0, 0 1, 1 0, 0 0, 0γ 0, 0 0, 0 1, 1 0, 0δ 0, 0 0, 0 0, 0 1, 1

Фокальная точка - мост через реку.Хакимова Диля Что такое ТЕОРИЯ ИГР и для чего она нужна25 октября 2014, МШАД 23 / 52


Возмущенные ангелы и злые гении

Игра “Оценка за курс” - Возмущенные ангелы vs злые гении:

α βα 0, 0 3, -3β -1, -1 1, 1

α β

α 0, 0 3, -3β -1, -1 1, 1



Реальный мир

Реальный мир:70% играют β30% играют α

Причины?Глубоко моральные люди?Люди ошибаются?


Строгое/слабое доминирование


Каждый пишет на листочке бумаги целое число от 1 до 100.Победитель – тот, чье число окажется ближе к 2

3x (2/3 отсреднего арифметического всех выбранных чисел.)Призовой фонд - шоколадка!



Конкурс красоты: решение

Какое число стоит написать?

Не стоит писать число от 67 до 100.Не стоит писать числа от 45 до 67.Не стоит писать числа от 30 до 45.Не стоит писать числа от 20 до 30.Не стоит писать числа от 14 до 20.Не стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!




Какое число стоит написать?Не стоит писать число от 67 до 100.

Не стоит писать числа от 45 до 67.Не стоит писать числа от 30 до 45.Не стоит писать числа от 20 до 30.Не стоит писать числа от 14 до 20.Не стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!




Какое число стоит написать?Не стоит писать число от 67 до 100.Не стоит писать числа от 45 до 67.

Не стоит писать числа от 30 до 45.Не стоит писать числа от 20 до 30.Не стоит писать числа от 14 до 20.Не стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!




Какое число стоит написать?Не стоит писать число от 67 до 100.Не стоит писать числа от 45 до 67.Не стоит писать числа от 30 до 45.

Не стоит писать числа от 20 до 30.Не стоит писать числа от 14 до 20.Не стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!




Какое число стоит написать?Не стоит писать число от 67 до 100.Не стоит писать числа от 45 до 67.Не стоит писать числа от 30 до 45.Не стоит писать числа от 20 до 30.

Не стоит писать числа от 14 до 20.Не стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!




Какое число стоит написать?Не стоит писать число от 67 до 100.Не стоит писать числа от 45 до 67.Не стоит писать числа от 30 до 45.Не стоит писать числа от 20 до 30.Не стоит писать числа от 14 до 20.

Не стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!




Какое число стоит написать?Не стоит писать число от 67 до 100.Не стоит писать числа от 45 до 67.Не стоит писать числа от 30 до 45.Не стоит писать числа от 20 до 30.Не стоит писать числа от 14 до 20.Не стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...

Надо написать 1!!!




Какое число стоит написать?Не стоит писать число от 67 до 100.Не стоит писать числа от 45 до 67.Не стоит писать числа от 30 до 45.Не стоит писать числа от 20 до 30.Не стоит писать числа от 14 до 20.Не стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!



О рациональности и общем знании.

Не 67 до 100: я рационален (R, rational).

Не 45 до 67: я рационален (R) и знаю, что ты рационален (KR,knowledge of rationality).Не 30 до 45: R, KR, KKRНе 20 до 30: R, KR, KKR, KKKRНе 14 до 20: R, KR, KKR, KKKR, KKKKRНе стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!

ЗагадкаАлиса и Боб едут в купе поезда в викторианскую эпоху. Оба чумазые.Знали бы – покраснели, но каждый видит только лицо соседа. . .Входит проводник и говорит, что в купе есть чумазый пассажир. Черезнекоторое время Алиса и Боб краснеют. . . (В. Данилов)




Не 67 до 100: я рационален (R, rational).Не 45 до 67: я рационален (R) и знаю, что ты рационален (KR,knowledge of rationality).

Не 30 до 45: R, KR, KKRНе 20 до 30: R, KR, KKR, KKKRНе 14 до 20: R, KR, KKR, KKKR, KKKKRНе стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!





Не 67 до 100: я рационален (R, rational).Не 45 до 67: я рационален (R) и знаю, что ты рационален (KR,knowledge of rationality).Не 30 до 45: R, KR, KKR

Не 20 до 30: R, KR, KKR, KKKRНе 14 до 20: R, KR, KKR, KKKR, KKKKRНе стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!





Не 67 до 100: я рационален (R, rational).Не 45 до 67: я рационален (R) и знаю, что ты рационален (KR,knowledge of rationality).Не 30 до 45: R, KR, KKRНе 20 до 30: R, KR, KKR, KKKR

Не 14 до 20: R, KR, KKR, KKKR, KKKKRНе стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!





Не 67 до 100: я рационален (R, rational).Не 45 до 67: я рационален (R) и знаю, что ты рационален (KR,knowledge of rationality).Не 30 до 45: R, KR, KKRНе 20 до 30: R, KR, KKR, KKKRНе 14 до 20: R, KR, KKR, KKKR, KKKKR

Не стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!





Не 67 до 100: я рационален (R, rational).Не 45 до 67: я рационален (R) и знаю, что ты рационален (KR,knowledge of rationality).Не 30 до 45: R, KR, KKRНе 20 до 30: R, KR, KKR, KKKRНе 14 до 20: R, KR, KKR, KKKR, KKKKRНе стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...

Надо написать 1!!!





Не 67 до 100: я рационален (R, rational).Не 45 до 67: я рационален (R) и знаю, что ты рационален (KR,knowledge of rationality).Не 30 до 45: R, KR, KKRНе 20 до 30: R, KR, KKR, KKKRНе 14 до 20: R, KR, KKR, KKKR, KKKKRНе стоит писать числа от 10 до 14, от 7 до 10, 5 до 7, от 4 до 5,от 3 до 4, ...Надо написать 1!!!





Сыграем еще раз?



Строго доминируемые стратегии.

L C RT 5, -1 11, 3 0, 0B 4, 4 0, 2 2, 0

L C 1T 5, -1 11, 3B 4, 4 0, 2

L C 1T 5, -1 11, 32

3 C 1T 11, 32



Строго доминируемые стратегии.

Важная особенность последовательного исключения строгодоминируемых стратегий:

УтверждениеРезультат не зависит от порядка, в котором удаляются стратегии.



Слабо доминируемые стратегии.

ОпределениеСтратегия si ∈ Si является слабо доминируемой для игрока i в игреΓN = [N, {Si} , {ui(·)}], если существует стратегия s′i 6= si ∈ Si такаячто

для всех s−i ∈ S−i

ui(s′i, s−i) ≥ ui(si, s−i),

хотя бы для одной s−i ∈ S−i

ui(s′i, s−i) > ui(si, s−i)

В этом случае мы говорим, что стратегия si слабо доминируется s′i



Пример.

Есть слабо доминирующая стратегии. Есть слабо доминируемыестратегии.

L RU 5, 1 4, 0M 6, 0 3, 1D 6, 4 4, 4



Пример.

Есть слабо доминирующая стратегии. Есть слабо доминируемыестратегии.

L RU/L 5, 1 4, 0

M/R 6, 0 3, 1

D 6, 4 4, 4

Нельзя исключить слабо доминируемую стратегию, исходя толькоиз рациональности игрока.Может быть рационально играть стратегию M, если Игрок 1уверен, что Игрок 2 будет играть стратегию LЕсли Игрок 2 играет стратегию R даже с очень маленькойвероятностью ε, то M будет исключена (рациональность).



Слабое доминирование

Еще одно принципиальное отличие между строго и слабодоминируемыми стратегиями:

L RU 1,1 100, 0D 0,100 100,100

УтверждениеСтратегия, исключенная в процессе последовательного удалениястрого доминируемых стратегий, не может быть частью равновесияНэша.



Пример из жизни. Доминирование.

Experiment by B.A. Baldwin and G.B. Meese (1979) “Social Behavior inPigs Studied by Means of Operant Conditioning,” Animal Behavior, Vol 27,pp 947-957.

Две свиньи в большой клетке, одна большая, одна маленькаяДля того, чтобы получить пищу надо нажать на рычагЕда появляется в противоположной стороне от рычага

Всего 10 единиц еды.Нажатие -2Маленькая первая 4, 6Большая первая 1, 9Одновременно 3, 7




Всего 10 единиц еды.Нажатие -2Маленькая первая 4, 6Большая первая 1, 9Одновременно 3, 7

Б.Нажать Б.ЖдатьМ.Нажать 1, 5 -1, 9М.Ждать 4, 4 0, 0




10 экспериментов по 15 минут .

Одна ВместеМаленькая свинка 70 5Большая свинка 75 105



Разные интересные случаи

ПримерПри некоторых обстоятельствах игрок может выиграть от ухудшениясвоего выигрыша (при индивидуальном выборе в отсутствиистратегического взаимодействия такая ситуация невозможна).

L RU 1, 3 4, 1D 0, 2 3, 4

L RU 1, 3 4, 11

L 2U 1, 31




L RU 1, 3 4, 1D 0, 2 3, 4

Ухудшив свой выигрыш от стратегии U , первый игрок кардинальноменяет ситуацию.

L RU* -1, 3 2, 1D 0, 2 3, 4

L RU* -1, 3 2, 1D 0, 2 3, 4




L RU 101, 0 1, 1D 100, 100 0, 0




L RU 100001, 0 1, 1D 100000, 100000 0, 0




L RU 10, 10 0, 10D 10, 0 0, 0

L RU 10, 10 0, 10D 10, 0 0, 0


Применение теории игр

Применение в экономике.

Олигополия Курно:В индустрии есть N фирм с постоянными издержками c наединицу продукции.Каждая фирма одновременно принимает решение, сколькопродукции qi выпускать.Общий выпуск q = q1 + q2 + ...+ qN

Цена устанавливается по кривой спроса: p = D(q)

Прибыль фирмы i равна πi = pqi − cqi = (D(q)− c)qi



Применение в экономике. Дуополия Курно.

ПримерДуополия Курно. На рынке присутствует два игрока. Каждыйвыбирает стратегию qi, с целью максимизировать прибыль πi.Функция спроса p = 1− q1 − q2. Какой выпуск выберут фирмы?



Применение в биологии.

История про солнечных рыб (тропическая рыба яркой окраски) bluegillsunfish.



Применение в биологии.

Особи мужского пола делятся на два типа.Первый тип домосед (homebody):

7 лет растет до взрослого состояния.Cтроит “дом”, который привлекает особей женского пола.Когда икринки отложены он не только оплодотворяет их, но изащищает получившееся потомство.

Другой тип жулик (rogue):Физически меньше и поэтому растет только 2 года.Не способен заботиться о потомстве.Подкрадывается к кладкам и как только икринки отложены,врывается и поспешно оплодотворяет их.

Почему солнечным рыбам удаетсясохранять фиксированные пропорции между особями?



Применение в политологии. Выбор политическойплатформы (Choosing a Platform).

У нас есть две политические партии:Их волнует только политическая силаОни выбирают платформу с целью максимизировать количествоголосов.Избиратели заботятся только о принципиальных вопросах иголосуют за ту партию, идеологию которой разделяют.Идеология избирателя отождествляется с x ∈ [0, 1]

Отрезок [0, 1] – политический спектр (левые-правые).



Применение в политологии.

ПодсказкаОпределите медианного избирателя (median voter), которомубезразлично за какую партию голосовать.



Применение в политологии.

Предполагается, что избиратели распределены равномерно пополитическому спектру.

Обе партии одновременно выбирают точку на отрезке и не могутее впоследствии менять.Избиратель отдает свой голос той партии, к которой он ближерасположен.Хакимова Диля Что такое ТЕОРИЯ ИГР и для чего она нужна25 октября 2014, МШАД 51 / 52

Диляра Хакимова - Что такое теория игр и для чего она...

Documents