1. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( ) ( )22x 1 µ 5 10x µ− = −

Λύση:

Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση στη µορφή αx β= .

( ) ( )22x 1 µ 5 10x µ− = − ⇔ 2 22µ x µ 50x 5µ− = − ⇔ 2 22µ x 50x µ 5µ− = − ⇔

( ) ( )2 22µ 50 x µ 5µ 1⇔ − = −

Λύνουµε την εξίσωση: 22µ 50 0− = ⇔ ( )22 µ 25 0− = ⇔

( )( )2 µ 5 µ 5 0⇔ − + = ⇔ µ 5 0 ή µ 5 0− = + = ⇔

µ 5 ή µ 5⇔ = = − .

α. Αν µ 5, 5≠ − τότε η (1) έχει µοναδική λύση την:

( )( )( ) ( )

2

2

µ µ 5µ 5µ µx

2µ 50 2 µ 5 µ 5 2 µ 5

−−= = =− − + +

β. Αν µ 5= τότε η (1) γίνεται 0x 0= , που έχει άπειρες λύσεις (είναι ταυτότητα).

Αν µ 5= − τότε η (1) γίνεται 0x 50= , που είναι είναι αδύνατη.

2. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: x λ λx 1 λx 3

12 3 6+ − −− = −

Λύση:

Πολλαπλασιάζουµε µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονοµαστών, το 6.

x λ λx 1 λx 36 6 6 6

2 3 6

+ − −− = − ⇔ ( ) ( ) ( )3 x λ 2 λx 1 6 λx 3+ − − = − − ⇔

3x 3λ 2λx 2 6 λx 3+ − + = − + ⇔ 3x 2λx λx 6 3 2 3λ− + = + − − ⇔( )3 2λ λ x 3λ 7− + = − + ⇔ ( ) ( )λ 3 x 3λ 7 1− + = − +Είναι λ 3 0− + = ⇔ λ 3= .

24. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο

α. Αν λ 3≠ τότε η (1) έχει µοναδική λύση την :3λ 7

xλ 3

− +=− +

β. Αν λ 3= τότε η (1) γίνεται: 0x 2= − , άρα είναι αδύνατη.

3. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση: ( )( )λ λ 3 x 1 3λ 2x 4− − = − −Λύση:

( )( )λ λ 3 x 1 3λ 2x 4− − = − − ⇔ ( )2 2λ 3λ x 2x λ 3λ 3λ 4− + = − + − ⇔

( ) ( )2 2λ 3λ 2 x λ 4 1− + = −Λύνουµε την εξίσωση:

2λ 3λ 2 0− + = ⇔( )3 1

λ2

− − ±= ⇔ 3 1λ

2

±= ⇔ λ 2 ή λ 1= =

α. Αν λ 1, 2≠ τότε η (1) έχει µοναδική λύση την:

( )( )( )( )

2

2

λ 4 λ 2 λ 2 λ 2x

λ 3λ 2 λ 1 λ 2 λ 1

− − + += = =− + − − −

β. Αν λ 1= τότε η (1) γίνεται: 20x 1 4 0x 3= − ⇔ = − και είναι αδύνατη.

Αν λ 2= τότε η (1) γίνεται: 20x 2 4 0x 0= − ⇔ = και είναι ταυτότητα.

4. Να βρείτε διψήφιο αριθµό αν είναι γνωστό ότι το ψηφίο των δεκάδων

είναι τριπλάσιο από το ψηφίο των µονάδων και αν εναλλάξουµε την θέση

των ψηφίων του θα προκύψει αριθµός κατά 36 µικρότερος.

Λύση:

• Έστω xy ο διψήφιος αριθµός, τότε : ( ) ( )x10 y y10 x 36+ − + = (1)

και x 3y= (2). Λόγω της (2) έχουµε:

x10 y 30y y 31y+ = + = και y10 x 10y 3y 13y+ = + =

και απο την (1) παίρνουµε : 31y 13y 36 18y 36 y 2− = ⇔ = ⇔ = .

Άρα x 6= , οπότε ο ζητούµενος αριθµός είναι ο 62.

5. Να λυθούν οι εξισώσεις:

i. 2 2x 1 5− − = ii. x 1 2 1 x 5

13 2

− − − −− =

25.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

iii. 2 x 1 3x 4− − = − iv. 2x 1 µ 9− = −

Λύση:

i. 2 2x 1 5− − = ⇔ 2 2x 1 5− − = ή 2 2x 1 5− − = − ⇔

2x 1 3− − = ή 2x 1 7− − = − ⇔

2x 1 3− = − ή 2x 1 7− = ⇔ αδύνατη ή 2x 1 7− = .

2x 1 7− = ⇔ 2x 1 7− = ή 2x 1 7− = − ⇔2x 8= ή 2x 6= − ⇔x 4= ή x 3= −

ii. Θέτουµε ω x 1 1 x= − = − (αφού οι αντίθετοι αριθµοί έχουν την ίδια απόλυτη

τιµή), και η εξίσωση γίνεται:

ω 2 ω 5 ω 2 ω 51 6 6 6 2(ω 2) 6 3(ω 9)

3 2 3 2

− − − −− = ⇔ − = ⇔ − − = − ⇔

2ω 4 6 3ω 15 ω 5 ω 5. Άρα x 1 5− − = − ⇔ − = − ⇔ = − = ⇔

x 1 5 ή x 1 5− = − = − ⇔ x 6 x 4= = −ή .

iii. 2 x 1 3x 4− − = −

Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε: x 1 ,αν x 1

x 1x 1 ,αν x 1

− ≥− = − + ≤

Άρα για x 1≤ η εξίσωση γράφεται:

62( x 1) 3x 4 5x 6 x

5− + − = − ⇔ − = − ⇔ = , (απορρίπτεται).

και για x 1≥ η εξίσωση γράφεται:

2(x 1) 3x 4 x 2 x 2− − = − ⇔ − = − ⇔ = ( δεκτή).

iv. Το πρόσηµο του τριωνύµου: 2φ(µ) µ 9 (µ 3)(µ 3)= − = + − φαίνεται στον επόµε-

νο πίνακα:

µ −∞ 3− 3 +∞φ(µ) + +− ○○

26. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο

Έτσι : 1. Για µ ( 3,3)∈ − το 2µ 9 0− < ,άρα η (ε) είναι αδύνατη.

2. Για µ 3, 3= − το 2µ 9 0− = και η (ε) γίνεται: x 1 0 x 1− = ⇔ = .

3. Για µ ( ω, 3) (3, ω)∈ − − ∪ + είναι 2µ 9 0− > , άρα η (ε) γίνεται:

2 2 2

2

x 1 µ 9 x 1 µ 9 x 1 µ 9

x µ 8 10

− = − ⇔ − = − − = − +− − − +2

ή

ή x = µ

6. Λύστε τις ανισώσεις: i. x 2 1 x 2 2

12 3

− − − −< − ii. 2 3x 1 8< − <

iii. 2 x 1 3− − < iv. 2x x 1 x 5+ + < +

Λύση:

i. Θέτουµε ω x 2= − και η ανίσωση γίνεται:

ω 1 ω 2 ω 1 ω 21 6 6 6 3(ω 1) 6 2(ω 2)

2 3 2 3

− − − −< − ⇔ < − = ⇔ − < − − ⇔

13 133ω 3 6 2ω 4 5ω 13 ω x 2

5 5− < − + ⇔ < ⇔ < ⇔ − < ⇔

13 13 13 13 3 26x 2 2 x 2 x

5 5 5 5 5 3< − < ⇔ − < < + ⇔ − < < .

ii. Είναι 3x 1 8

2 3x 1 83x 1 2

− << − < ⇔ − >

3x 1 8

8 3x 1 8

7 3x 9

7x 3

3

− < ⇔− < − < ⇔− < < ⇔

− < <

και 3x 1 2

3x 1 2 3x 1 2

3x 1 3x 3

1x x 1

3

− >− < − − >< − >

< − >

ή

ή

ή

Τελικά παίρνουµε : 7 1

x ή 1 x 33 3

− < < − < < .

27.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

iii. 2 x 1 3 3x 2 x 1 3 5 x 1 1

5 x 1 1. Άρα x 1 5 5 x 1 5 4 x 6

− − < ⇔ − < − − < ⇔ − < − − < ⇔> − > − − < ⇔ − < − < ⇔ − < <

iv. Βρίσκουµε το πρόσηµο του τριωνύµου: 2φ(x) x x 1= + + . Είναι

2∆ 1 4 1 1 1 4 3 0= − ⋅ ⋅ = − = − < , άρα 2x x 1 0+ + > για κάθε x ∈� , δηλαδή

2 2x x 1 x x 1+ + = + + . Άρα η ανίσωση γίνεται:

2 2 2x x 1 x 5 x 4 0 x 4 x 2 2 x 2.+ + < + ⇔ − < ⇔ < ⇔ < ⇔ − < < .

ΤΑΥΤΟΤΗTΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ µε Απόλυτα

7. Αν α β γ< < βρείτε χωρίς απόλυτα την παράσταση:

Α α β γ α 2α β γ= − − − + − −

Λύση:

Ισχύουν:

• α β α β 0< ⇔ − < , άρα α β α β− = − +

• γ α γ α 0> ⇔ − > , άρα γ α γ α− = −

•

α β

και

α γ

< <

άρα 2α β γ 2α β γ 0< + ⇔ − − < άρα 2α β γ 2α β γ− − = − + +

Τελικά είναι : Α α β γ α 2α β γ Α α= − + + − + − − ⇔ = .

8. Βρείτε τα x,y εφόσον ισχύει 2x y 3 x 2y 4 0− − + + − = .

Λύση:

2x y 3 x 2y 4 0 2x y 3 0− − + + − = ⇔ − − = και x 2y 4 0+ − = ⇔

2x y 3⇔ − = και x 2y 4+ = , οπότε λύνουµε το σύστηµα:

2x y 3 4x 2y 6 5x 10 x 2

x 2y 4 x 2y 4 y 2x 3 y 1

− = − = = = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = = − =

9. ∆είξτε την ισοδυναµία 2α 5β 5α 2β α β+ = + ⇔ =

Λύση:

28. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο

2α 5β 5α 2β 2α 5β 5α 2β ή 2α 5β 5α 2β

3β 3α ή 7α 7β α β ή α β

+ = + ⇔ + = + + = − − ⇔= = − ⇔ = = −

10. ∆είξτε την ισοδυναµία 2α 5β 5α 2β β α+ < + ⇔ <

Λύση:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2α 5β 5α 2β 2α 5β 5α 2β (2α 5β) (5α 2β)

4α 25β 20αβ 25α 4β 20αβ 19β 19α β α

β α β α

+ < + ⇔ + < + ⇔ + < + ⇔

+ + < + + ⇔ < ⇔ < ⇔

< ⇔ <

11. ∆είξτε ότι: α 1 β 3

3 2 5α 1 β 3

− +− ≤− +

Λύση:

Για α 1≠ ισχύει: α 1 α 1

1 3 3α 1 α 1

− −≤ ⇔ ≤− −

Για β 3≠ − ισχύει:β 3 β 3 β 3

1 1 2 2β 3 β 3 β 3

− − + +≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤− − + +

Άραα 1 β 3

2 5α 1 β 3

− +− ≤− +

12. Αν x 1< και y 2< δείξτε ότι 2x 3y 8+ <

Λύση:

x 1 1 x 1 ρα 2 x 2ρα 8 2x 3y 8

y 2 2 y 2 ρα 6 3y 6

< ⇔ − < < − < < − < + << ⇔ − < < − < <

άά

ά

Οπότε και 2x 3y 8+ <

ΡΙΖΕΣ

13. α. Λύστε την εξίσωση: 22 4x 4x 1 8 0− + − =

β. Λύστε την ανίσωση: 22 x 2x 1 10< − + <

x −∞ 2 +∞

x 2− x 2− +f (x)

x 2−x 2 x 3

2x 5

− + − + =− +

x 2 x 3 1− − + =

Λύση:

α. 2 22 4x 4x 1 8 0 2 (2x 1) 8 2 2x 1 8 2x 1 4− + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =

2x 1 4 ή 2x 1 4

2x 5 ή 2x 3

5 3x ή x

2 2

− = − = −= = −

= = −

β. 2 22 x 2x 1 10 2 (x 1) 10 2 x 1 10

x 1 10 x ( 9,11)x ( 9, 1) (3,11)

x ( , 1) (3, )x 1 2

< − + < ⇔ < − < ⇔ < − < ⇔

− < ∈ − ⇔ ⇔ ∈ − − ∪ ∈ −∞ − ∪ +∞− >

διότι:

* x 1 10

10 x 1 10

9 x 11

x ( 9,11)

− < ⇔− < − < ⇔− < <∈ −

και x 1 2

x 1 2 x 1 2

x 1 x 3

x ( , 1) (3, )

− > ⇔− < − − > ⇔< − >∈ −∞ − ∪ +∞

ή

ή

14. ∆ίνεται 2f (x) x 4x 4 x 3= − + − + µε x∈� :

i. Γράψτε την f µε πολλαπλό τύπο.

ii. Να γίνει η γραφική παράσταση της f.

Λύση:

i) Για x ∈� ισχύει 2f (x) (x 2) x 3 x 2 x 3= − − + = − − + .

Από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε:

x 2 ,αν x 2 0 x 2x 2

x 2 ,αν x 2 0 x 2

− − ≥ ⇔ ≥− = − + − < ⇔ <

Άρα:

30. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο

∆ηλαδή: 2x 5 ,αν x 2

f (x)1 ,αν x 2

− + ≤= <

ii. Η γραφική παράσταση της f αποτελείται:

• Από την ηµιευθεία µε εξίσωση:

y 2x 5 αν x 2= − + ≤που έχει αρχή το Α(2,1) και περνάει από το σηµείο

Β(1,3).

• Από την ηµιευθεία µε εξίσωση y 1 αν x 2= ≥ που έχει αρχή το Α(2,1) και

είναι παράλληλη στον x΄x.

Στις ιδιότητες των ριζών:

15. Βρείτε το γινόµενο: 2 33 4Γ αβ α β αβ= ⋅ − ⋅

Λύση:

Ισχύουν:

6 612

2 8 43 12

3 3 94 12

αβ α β

α β α β

αβ α β

=

=

=

Άρα: 6 6 8 4 3 9 6 6 8 4 3 9 17 19 5 712 12 12 12 12 12Γ α β α β α β Γ α β α β α β Γ α β Γ αβ α β= ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

16. ∆είξτε ότι: 2 2 3 2 2 3 2 3 1+ + ⋅ − + ⋅ + =Λύση:

Ισχύει:

( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

2 22

22

2 2 3 2 2 3 2 3

2 2 3 2 2 3 2 3

2 2 3 2 3 4 2 3 2 3

2 3 2 3 2 3 4 3 1 1

+ + ⋅ − + ⋅ + =

+ + − + + =

− + + = − − + =

− + = − = − = =

17. ∆είξτε ότι: ( )( )8 50 98 200 18− − =

Λύση:

0 1 2

3A

B

xx´

y

y´

31.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

Ισχύουν: 8 4 2 4 2 2 2

50 25 2 25 2 5 2

98 49 2 49 2 7 2

200 100 2 100 2 10 2

= ⋅ = =

= ⋅ = =

= ⋅ = =

= ⋅ = =

Άρα: ( )( ) ( )( )( ) 2

8 50 98 200 2 2 5 2 7 2 10 2

3 2 3 2 9 2 9 2 18

− − = − − =

− − = = ⋅ =

Τροπή Άρρητου Παρονοµαστή σε ρητό:

18. ∆είξτε ότι: 3 3 3 3

43 3 3 3

+ −+ =− +

Λύση:

Ισχύουν

( )( )( )

( )( )( )

2 2

2 2

3 3 3 3 9 3 6 3 12 6 32 3

9 3 63 3 3 3 3 3

3 3 3 3 9 3 6 3 12 6 32 3

9 3 63 3 3 3 3 3

+ + + + += = = = +−− − +

− − + − −= = = = −−+ + −

Άρα: 3 3 3 3

2 3 2 3 43 3 3 3

+ −+ = + + − =− +

19. ∆είξτε ότι: 3 4 1

5 2 6 2 6 5+ =

− + −

Λύση:

Ισχύουν:

( )( )( )

( ) ( )2 2

3 3 5 2 3 5 2 3 5 2• 5 2

35 2 5 2 5 2 5 2

+ + += = = = +− − + −

( )( )( )

( ) ( )2 2

4 4 6 2 4 6 2 4 6 2• 6 2

46 2 6 2 6 2 6 2

− − −= = = = −+ + − −

32. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο

( )( ) 2 2

1 6 5 6 5• 6 5

6 5 6 5 6 5 6 5

+ += = = +− − + −

Άρα: 3 4 1

5 2 6 2 6 55 2 6 2 6 5

+ = + + − = + =− + −

∆ιώνυµη εξίσωση:

20.Λύστε τις εξισώσεις: i. 42x - 162 = 0 ii. 33x + 81 = 0

iii. 64x + 8 = 0 iv.

62x = 64x

Λύση:

i.

4

4

4

2x 162

x 81

x 81

x 3

==

= ±= ±

42x -162 = 0 ii.

3

3

3

3x 81

x 27

x 27

x 3

= −= −

= −= −

33x + 81 = 0

iii.

6

6

4x 8

x 2

αδύνατη

= −= −

64x + 8 = 0 iv.

( )

6

5

5

5

5

2x 64x 0

2x x 32 0

x 0 ή x 32 0

x 0 ή x 32

x 0 ή x 32

x 0 ή x 2

− =

− == − == =

= == =

62x = 64x

21.Λύστε τις εξισώσεις: i. 32(3x - 2) + 16 = 0

ii.

4 42x -1 3 - x-1 =

3 2

iii. 6 3x - 9x + 8 = 0

Λύση:

i.

3

3

3

2(3x 2) 16

(3x 2) 8

3x 2 8

3x 2 2

3x 0

x 0

− = −− = −

− = −− = −=

=

32(3x - 2) + 16 = 0 ii.

( ) ( )

4 4

4 4

4 4

4

4

4

2x 1 3 x6 6 6

3 2

2 2x 1 6 3 3 x

4x 2 6 9 3x

7x 17

17x

7

17x

7

− −− =

− − = −− − = −=

=

= ±

4 42x - 1 3 - x- 1 =

3 2iii.

3

2

3 3

Θέτουµε W x και η

εξίσωση γίνεται :

W 9W 8 0

( 9) 49W

29 7

W2

W 1 ή W 8

x 1 ή x 8

x 1 ή x 2

=

− + =

− − ±=

±=

= == =

= =

6 3x - 9x + 8 = 0

Μεθοδολογία στις

ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

Εξισώσεις µε Απόλυτα Ανισώσεις µε Απόλυτα

f (x) θ f (x) θ αν θ 0

f (x) θ f (x) 0 αν θ 0

αδύνατη αν θ 0

= = − >= ⇔ = = <

f (x) θ θ f (x) θθ 0

f (x) θ f (x) θ f (x) θ

< ⇔ − < <>

> ⇔ < − >ή

f (x) g(x) f (x) g(x) ή f (x) g(x)= ⇔ = = −f (x) g(x)

≤≥

υψώνουµε στο τετράγωνο

και καταλήγουµε σε 1ου

και 2ου βαθµού εξίσωση.

f (x) g(x)= Με τον ορισµό απαλλασόµαστε

από το απόλυτο και λύνουµε την

εξίσωση.

f (x) g(x)≥≤

Με τον ορισµό απαλλα-

σόµαστε από το απόλυτο

και λύνουµε την ανίσωση.

Όταν στην εξίσωση υπάρχουν περισσότερα από

ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον ορισµό απαλ-

λασόµαστε από τα απόλυτα .

Όταν στην ανίσωση υπάρχουν περισσότερα

από ένα διαφορετικά απόλυτα, µε τον ορι-

σµό απαλλασσόµαστε από τα απόλυτα .

1. Αν 2x

1x =+ , αποδείξτε ότι:

4

4

3

3

2

2

x

1x

x

1x

x

1x +=+=+

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. Να λυθεί η εξίσωση: 03x)(12)(x1)(2x 333 =−+−++

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

35.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

3. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) ( ) ( ) ( ) ( )22222x312x2x1x −−+=+−+ β)

6

15x

3

12x

2

2x +=+++

γ) ( ) ( )3x1,21x0,50,3x +=++............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

4. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) ( ) 1-λx1λ 2=− β) ( ) 2λx2λ 2 +=− γ) λ4x2–xλ 2 +=............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. Ένας χυµός φρούτων έχει περιεκτικότητα σε πορτοκάλι 60%. Προσθέτου-

µε στο χυµό 50ml καθαρό χυµό πορτοκάλι και η περιεκτικότητα του χυ-

µού γίνεται 70%. Να βρεθεί πόσα ml αρχικού χυµού είχαµε.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

36. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

6. Ο ∆ιόφαντος ο Αλεξανδρεύς έζησε περίπου το 250 µ.χ. και είναι ο τελευταίος

από τους µεγάλους Έλληνες αρχαίους µαθηµατικούς. Τίποτα δεν είναι γνω-

στό γι’αυτόν, εκτός από τα βιβλία µε τα άριστα τεκµηριωµένα επιτεύγµατά του.

Η µόνη λεπτοµέρεια απ’την ζωή του είναι ο γρίφος που λέγεται ότι ήταν σκαλι-

σµένος στον τάφο του.

“Ο Θεός του παραχώρησε το ένα έκτο της ζωής του για να είναι νέος. Μετά και

από το ένα δωδέκατο αυτής είχαν φυτρώσει στα µάγουλα του γένια. Κατόπιν µε το

ένα έβδοµο της επιπλέον, τον φώτισαν τα κεριά του γάµου, και πέντε χρόνια µετά

το γάµο του (ο Θεός) του έδωσε ένα γιο. Αλίµονο! Το παιδί γεννήθηκε κακότυχο,

και όταν απέκτησε το µισό της ηλικίας του πατέρα του, η άπονη Μοίρα το πήρε

µακριά του. Η επιστήµη των µαθηµατικών ανακούφισε τον πόνο του, µετά όµως

από τέσσερα χρόνια πέθανε” Πόσα χρόνια έζησε ο ∆ιόφαντος;

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

7. α. Να λυθεί η ανίσωση: 4

5x

4

23x

2

1x ≥++−

β. Να λυθεί η ανίσωση: ( ) 2x11xλ −≥+ για τις διάφορες τιµές του πραγ-

µατικού αριθµού λ.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

37.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

8. Να βρείτε τρείς θετικούς ακέραιους, αν το άθροισµά τους είναι µεγαλύτερο

του 14 και µικρότερο του 24, όταν ο δεύτερος είναι διπλάσιος απ’τον πρώτο

και ο τρίτος µικρότερος απ’τον δεύτερο κατα 1.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

9. Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς απόλυτα. x – 2 + x + 1

A =x

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

10. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α. 2 2x 1 3 x 4x 3− = − − + β. x 2 3 x 1 2x 3+ − − = −

38. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο

γ. 2x 5 5 2x− = − δ. 2 2x 2x 2x x− = − =

ε. 12x2x +=+ στ. 6x1x3 +=+

ζ 042x1x =+++

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

11. α. Αν 3β2,α << να αποδείξετε ότι:

i) 122β3α <+ ii) 81β2α <++

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

39.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

12.Να λύσετε τις ανισώσεις: α. x 3 2x 5+ − < β. 2x 1 x 5− < +

γ. 2x 3 x 2x 5− < − + − δ. 22 x 2x 1 10< − + <

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

13. Αν 35

2x

−= και

35

2y

+= να βρεθεί η τιµή της παράστασης: 22

yxyxA +−=

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

14. Να αποδείξετε τις ισότητες:

α. 9 3 3α α α α α= β.

3

26

α β 1

αβ α β=

⋅

40. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο

γ.3 33 4 2 2 2 2 2+ = δ. ( )( )28 7 32 63 32 31+ + − =

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

15. Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) 12x1x13x2

1 2 +−=−

−

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

41.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

16. ∆ίνεται η εξίσωση 02λ3xx2 =++− .

Αν η εξίσωση έχει ρίζα το 5 να βρεθεί η άλλη ρίζα.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

17. Έστω η εξίσωση 0λ1)x(λx2 =++− και x1, x

2 είναι οι ρίζες της.

Αν οι αριθµοί 2, x1, x

2 είναι πλευρές τριγώνου, να δείξετε ότι το (1,3)λ∈

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

18. Έστω η εξίσωση ( ) 0λx1λ-x2 =−+ . Αν τα x1, x

2 είναι ρίζες της εξίσωσης

να υπολογίσετε το λ ώστε: 23xx7x-x7x-3x2

2

2

212

2

1

2

1=+

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

42. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

19. ∆ίνεται η εξίσωση x2 - 5x + 1 = 0

α) ∆είξτε (χωρίς να τις βρείτε), ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι πραγµατι-

κές, διάφορες του µηδενός.

β) Αν x1, x

2 οι δύο ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να κατασκευάσετε την

εξίσωση που έχει ρίζες τα:

1) 1 2

2 1

x x και

x x2)

1 23x - 2 και 3x -2

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

20. ∆ίνεται η εξίσωση ( ) 1-λx3-λ2-x 22 + . Για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει:

α) δύο ρίζες αρνητικές β) δύο ριζες θετικές και άνισες

43.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

γ) δύο ρίζες ετερόσηµες δ) δύο ρίζες αντίστροφες

ε) δύο ρίζες αντίθετες

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

21. Να λυθεί η εξίσωση: 112xx

x3

xx

22

2

2=

+−++

−

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

44. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο

22. Να απλοποιηθεί η παράσταση: ( )2 2

α βΚ α β και α,β 0

α β β α

−= ≠ >+

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

23. Αν α β 0> > δείξτε ότι 2 2α β α β 2αβ

α βα β α β

+ + − = +− +

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

45.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

24. Αν α, β, γ θετικοί αριθµοί δείξτε ότι: α β γ α β γ

βγ αγ αβ αβγ

+ ++ + =

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

46. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο

ÂÞìá 1

ÂÞìá 2

ÂÞìá 3

ÂÞìá 4 ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáòÂÞìá 5

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Nα λυθούν οι ανισώσεις:

i) 2x ≤ i) 13x ≤+ iii) 12x −<+ iv) 01x ≤−

Β. Να λυθούν οι ανισώσεις:

i) 2x1 << ii) 3x1- ≤≤ iii) 312x1 <+<

iv) 12x

1x≤

++

............................................................................................................................

............................................................................................................................

ΘΕΜΑ 2ο

Α. Να λυθεί η εξίσωση: 22x2

x1

3

1x+−=

−+

−

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

Β. Να γίνουν οι πράξεις:

α) 501272918783 −+−

γ) 0βα,β320αβ125αβ45α 333 >−+

Γ. Nα απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

47.Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

i) 4 16 ii) 3 5 4222 iii) 3 2 43 3 3

iv) 5 35 5

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

ΘΕΜΑ 3ο

α) Ένας µαθηµατικός που πρόκειται να αγοράσει ένα περιφραγµένο οικόπε-

δο στο Βαρνάβα Αττικής σχήµατος ορθογωνίου µε εµβαδόν 4070 m2

θέλησε να µάθει τις διαστάσεις των πλευρών του. Ο ιδιοκτήτης όµως

του οικοπέδου δεν ήξερε τις διαστάσεις. Θυµόταν, όµως, ότι χρησιµο-

ποίησε 258m συρµατόπλεγµα για να το περιφράξει. Μ’αυτές τις πληρο-

φορίες ο µαθηµατικός βρήκε τις διαστάσεις. Ποιες ήταν αυτές;

β) Μετά θέλησε να µάθει από την πολεοδοµία του Καπανδριτίου ποιο

είναι το µέγιστο εµβαδόν του σπιτιού που δικαιούται µε βάση το νόµο,

να κτίσει. Ο πολεοδόµος για να τον δυσκολέψει (υποτίθεται) του έδω-

σε την απάντησή ότι η περίµετρος του σπιτιού (σχήµατος ορθογω-

νίου) µπορεί να είναι µέχρι 40m. Ο µαθηµατικός φυσικά βρήκε το µέ-

γιστο εµβαδό. Ποιό ήταν αυτό;

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................