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  • Pgina 28

    Nmero ureo

    a) Demuestra que los tringulos BED y BCF son semejantes.

    Recordamos los ngulos de un pentgono:

    1.

    = = 72; = = 54; 2 = 108

    2.

    = = 36

    3.

    ^B = 108 2 36 = 36

    ^E =

    ^D = = 72

    Sabamos que = 36.

    El tringulo BEC es idntico al BED :

    ^C =

    ^E =

    ^D = 72 ^F = 72

    Luego los dos tringulos tienen sus ngulos iguales son semejantes.

    180 362

    180 1082

    180 722

    3605

    Unidad 1. Nmeros reales 1

    2

    108

    C

    B

    D

    E

    36

    36

    B

    BE D

    F C

    NMEROS REALESUNIDAD 1

    C

    B

    D

    E

    A

    F

  • b)Llamando l = = = y tomando como unidad el

    lado del pentgono, = = = = 1, a partirde la semejanza anterior has de llegar a la siguienteecuacin:

    =

    Despejando l obtendrs su valor.

    Por ser semejantes (apartado a)) = , es decir: = .

    Despejamos l :

    l (l 1) = 1 l 2 l 1 = 0 l = =

    Como l es una longitud, la solucin vlida es la positiva:

    l = . Este es el nmero ureo, .

    Pgina 29

    Rectngulo ureo

    El rectngulo adjunto tiene la peculiaridad de quesi le suprimimos un cuadrado, el rectngulo quequeda, MBCN, es semejante al rectngulo inicialABCD. Comprueba que, efectivamente, en tal caso,el rectngulo es ureo, es decir:

    = (nmero de oro)

    Tomamos como unidad el lado pequeo del rectngulo: = = 1, y llamamosx = = . As:

    Al ser semejantes los rectngulos, tenemos que: =

    Despejamos x :

    x (1 + x) = 1 x 2 + x 1 = 0 x = = 1 52

    1 1 + 42

    1x

    1 + x1

    NCMBBCAD

    ABAD

    1 + 52

    1 52

    1 1 + 42

    1l 1

    l1

    EDFC

    BDBC

    1l 1

    l1

    EFEDBFBC

    ECBDBE

    Unidad 1. Nmeros reales 2

    A M B

    D N C

    1A Bx

    xD CN

    M

    1

    1 1 1

    C

    B

    A

    D

    EF

    1

  • Como x es una longitud, la solucin vlida es la positiva:

    x =

    Hallamos la razn entre los lados del rectngulo:

    = = 1 + x = 1 + = = =

    Obtenemos el nmero de oro.

    Pgina 33

    1. Representa los siguientes conjuntos numricos:

    a) (3, 1) b) [4, + ) c) {x/2 x < 5}

    d) [2, 5) U (5, 7] e) ( , 0) U (3, + ) f) ( , 1) U (1, + )

    Pgina 34

    1. Halla: a) |11| b) || c) | | d) |0| e) |3 |

    a) 11 b) c) d) 0 e) 3

    2. Averigua para qu valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

    a) |x| = 5; b) |x| 5; c) |x 4| = 2; d) |x 4| 2; e) |x 4| > 2

    a) 5 y 5 b) 5 x 5; [5, 5] c) 6 y 2

    d) 2 x 6; [2, 6] e) x < 2 x > 6; (, 2) U (6, +)

    Pgina 35

    1. Simplifica:

    a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f )

    a) b) y 2 c) = c

    d) = e) = f ) = 38343

    229

    2626

    23

    3

    c 23

    c 53

    x 2

    8819

    64686(c2)55

    y 1012x8

    5

    5

    1 + 52

    2 1 + 52

    1 + 52

    1 + x1

    ABAD

    1 + 52

    Unidad 1. Nmeros reales 3

    a)

    d)

    b)

    e)

    c)

    f )

    3

    2

    1 0

    0 5 7

    0

    0 3

    4 0

    0 1

    52

  • 2. Reduce a ndice comn: a) y ; b) y

    a) y ; y b) y

    3. Simplifica: a) ( )8 b) 5

    3

    c) 3

    ( )6

    a) ( )8 = k b) = c) = x

    Pgina 36

    4. Reduce: a) b) c)

    a) =

    b) =

    c) =

    5. Simplifica: a) b) c) d)

    a) 15

    = 15

    = b) 6

    =

    c) 6

    = 6

    = d) 4

    = 4

    = 4

    6. Reduce: a) b) c) d)

    a) 6

    = b) 6

    = =

    c) 10

    = = d) 4

    = = 3

    7. Suma y simplifica: a) 5 + 3 + 2 b) +

    c) + + d)

    a) 10

    b) 3 + 5 = 7

    c) + + = 3 5 + 2 + 2 = 5 3

    d) = 5 3 = 2 2a2a2a2 32 a2 52 a

    2323232322 32 52332222

    x

    18a50a8125027225 29 2xxx

    4

    34 36321081023 2825

    3

    326

    34 363263 3433

    47293

    5162

    9

    33

    332

    3

    ab c1c ab c 5 a 3 b 5 ca 2 b 6 c 66a 1 1a a 3a 4

    6

    a b a 3 b 3a 2 b 215x 2 1x 2 x 3x 5

    4a3 b5 c

    a b3 c3

    6a33a2

    a b

    3a b

    5x3x

    8

    278

    28

    228

    24

    6

    356

    36

    34

    15

    2815

    2315

    25

    8

    24

    226

    33

    95

    23

    2

    6

    x 63

    x 215

    x 108k

    xx10k

    36a 1436a 1512

    28 56112

    29 79112

    13412

    313

    18

    a712

    a53

    134

    31

    Unidad 1. Nmeros reales 4

  • Pgina 37

    8. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

    a) b) c)

    d) e) f)

    g) + + h) +

    a) = = 1

    b) = =

    c) = = + 1

    d) =

    e) = =

    f ) = = = 5 + 2

    g) + + = + 2 =

    h) =

    Pgina 386

    1. Expresa con un nmero razonable de cifras significativas las siguientes canti-dades:

    Visitantes anuales a cierta exposicin: 1 345 589 personas.

    Asistentes a una manifestacin ecolgica: 125 341 personas.

    Bacterias en 1 dm3 de cierto preparado: 203 305 123 bacterias.

    2 x

    x y

    x +

    y +

    x

    y

    x y

    5 2

    222

    2

    2 1

    1

    2 + 1

    122

    630 + 12 6

    6

    18 + 12 + 12 6

    6

    (3 2 + 2

    3 )2

    18 12

    2 3 +

    5

    7

    2 3 +

    5

    12 5

    2 3 +

    5

    (2 3

    5 ) (2

    3 +

    5 )

    x + y + 2 x y

    x y(

    x +

    y) (

    x +

    y)

    (x

    y ) (

    x

    y )

    a(a 1) (a + 1)

    (a 1)

    (a 1) (a + 1)

    (a 1) (

    a + 1)

    x x x

    y + y

    x y

    y

    x y(x + y) (

    x

    y )

    x y(x + y) (

    x

    y )

    (x +

    y ) (

    x

    y )

    22 1

    2 1

    2 1

    (2 + 1) (

    2 1)

    1

    x +

    y

    1

    x

    y

    1

    2 + 1

    1

    2 1

    1

    2

    32 + 2

    3

    32 2

    3

    1

    23

    5

    x +

    y

    x

    y

    a 1

    a 1

    x + y

    x +

    y

    1

    2 + 1

    Unidad 1. Nmeros reales 5

  • Nmero de gotas de agua que hay en una piscina: 8 249 327 741 gotas.

    Nmero de granos en un saco de arena de 50 kg: 2 937 248 granos.Por ejemplo: (I) 1 300 000 personas.

    (II) 125 000 personas.

    (III) 203 millones de bacterias.

    (IV) 8 000 millones de gotas.

    (V) 3 millones de granos.

    Pgina 39

    2. Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en las cantidades quehas expresado en el ejercicio de la pgina anterior.

    Por ejemplo: (I) e. a. < 50 000; e. r. < ; (II) e. a. < 500; e. r. <

    (III) e. a. < 500 000; e. r. < (IV) e. a. < 300 millones; e. r. <

    (V) e. a. < 100 000; e. r. <

    Pgina 41

    1. Opera con la calculadora:

    a) (3,87 1015 5,96 109) : (3,941 106)

    b) 8,93 1010 + 7,64 1010 1,42 109

    a) 3,87 P 15 * 5,96 P 9 / 3,941 P 6 = {\\|}Es decir: 5,85 1012

    b) 8,93 P 10 + 7,64 P 10 - 1,42 P 9 = {|}Es decir: 2,37 1010

    Pgina 42

    1. Halla: a) log2 16 b) log2 0,5 c) log10 1 000

    d) log10 0,01 e) log4 64 f) log7 49

    a) log2 24 = 4 b) log2 21 = 1 c) log10 103 = 3

    d) log10 102 = 2 e) log4 43 = 3 f ) log7 72 = 2

    130

    380

    1405

    1250

    5130

    Unidad 1. Nmeros reales 6

  • Pgina 43

    2. Aplica la propiedad 7 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de lacalculadora:

    a) log2 1 500 b) log5 200 c) log100 200 d) log100 40

    En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciacin.

    a) = 10,55; 210,55 1500 b) = 3,29; 53,29 200

    c) = 1,15; 1001,15 200 d) = 0,80; 1000,80 40

    Pgina 47

    EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

    PARA PRACTICAR

    Nmeros racionales e irracionales

    1 Expresa como fraccin cada decimal y opera:

    0,)12 5,

    )6 0,23

    )+ 3,1

    Recuerda que 5,6)

    = ; 0,23)

    = .

    + = = 2,6)78

    2 Demuestra que el producto 4,0)9 1,3

    )9 es un decimal exacto.

    Comprueba, pasando a fraccin, que los dos factores son decimales exactos.

    4,0)9 = = = 4,1 1,3

    )9 = = = 1,4

    4,0)9 1,3

    )9 = 4,1 1,4 = 5,74

    3 Calcula: a) b)

    a) = = 1,)3 b) = = 0,

    )4

    4 Indica cul, de cada par de nmeros, es mayor:

    a) y b) 0,52)6 y 0,

    )526 c) 4,

    )89 y 2 d) 2,098 y 2,1

    a) b) 0,52)6 c) 4,

    )89 d) 2,0982

    6214099

    23

    49

    43 169

    1,)3

    31, )7

    12690

    139 1390

    36990

    409 4090

    442165

    3110

    2190

    519

    1299

    23 290

    56 59

    log 40log 100

    log 200log 100

    log 200log 5

    log 1500log 2

    Unidad 1. Nmeros reales 7

  • 5 Observa cmo hemos representado algunos nmeros irracionales:

    En el tringulo OAB, = 1, = 1 y = = .

    Por tanto, el punto D representa a .

    Qu nmeros representan los puntos F y H? Justifica tu respuesta.

    F representa , pues = = = ( )2 + 12 =

    H representa , pues = = ( )2 + 12 =

    6 Cules son los nmeros racionales a, b, c, d representados en este grfico?

    a =

    b =

    c =

    d =

    Potencias

    7 Halla sin calculadora: ( )2 ( )1 + 4( )2 ( )1 + 4 = ( )2 ( ) + 4 = 4 + 4 = 0

    8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:

    a) b) c) d)

    Mira, en EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS, el n 4 a).

    a) = b) = =

    c) =