第 5 章 点的合成运动

5.1 　概述5.1.1 运动的合成与分解在工程和实际生活中物体相对于不同参考系运动的例子很多，如图所示，沿直线滚动的车轮，若在地面上观察轮边缘上点M的运动轨迹是旋轮线，但在车厢上观察则是一个圆。如图所示，车床车削工件时，车刀刀尖M相对于地面做直线运动，而相对于旋转的工件却是沿圆柱面做螺旋运动，因此车刀在工件的表面切出螺旋线。

从上面的两个例子看出物体相对于不同参考系的运动是不同的，它们之间存在运动的合成和分解的关系。在上述例子中，车轮上的点 M 时沿螺旋线运动，若以车厢作为参考体，则点 M 相对于车厢的运动时简单的圆周运动，车厢相对于地面的运动时简单的平移。这样轮缘上一点的运动可以看成两个简单运动的合成，即点 M 相对于车厢作圆周运动，同时车厢相对于地面作平移运动。也就是说，轮缘上一点实际上做螺旋线运动，可以分解成两个简单的运动，这就是运动的合成与分解。

5.1.2 　绝对运动、相对运动和牵连运动

两个坐标系定参考坐标系（定系）

动参考坐标系（动系）

三种运动绝对运动：动点相对于定系的运动。

相对运动：动点相对于动系的运动。

牵连运动：动系相对于定系的运动。

绝对轨迹绝对速度绝对加速度

av

aa

　 在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。

rv

ra

相对轨迹

相对速度

相对加速度

ev

ea

牵连速度 和牵连加速度

x x t

y y t

绝对运动运动方程

x x t

y y t

相对运动运动方程

cos sin

sin cosO

O

x x x y

y y x y

动点： M 动系： ' ' 'O x y

5.1.3 利用坐标变换建立三种运动的关系

由坐标变换关系有

　　例 5-1 点 M 相对于动系 沿半径为 r 的圆周以速度 v 作匀速圆周运动 ( 圆心为 O1 ） ，动系　　相对于定系　　以匀角速度 ω 绕点 O 作定轴转动，如图所示。初始时 　与　　重合，点 M 与 O

重合。

yxO yxO

OxyyxO Oxy

求：点 M 的绝对运动方程。

解 : M

Ox y 动点：动系：

点

相对运动方程

sin

cos

1

11

MOy

MOOOx

代入r

vt

求：点 M 的绝对运动方程。已知： r ，相对速度 v ，　＝ ωt ，　 0 0t 。

r

vtry

r

vtrx

sin

cos1

绝对运动方程

tr

vtrt

r

vtryxy

tr

vtrt

r

vtryxx

cossinsincos1cossin

sinsincoscos1sincos

求：点 M 的绝对运动方程。已知： r ，相对速度 v ，　＝ ωt ，　 0 0t 。

　　例 5-2 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖M 沿水平轴 x 作往复运动，如图所示。设 Oxy 为定坐标系，刀尖的运动方程为 。工件以等角速度 逆时针转向转动。

tbx sin

求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。

相对运动轨迹

42

222 bb

yx

)2cos1(2

sinsin 2 tb

tbtOMy

t t b x , sin已知： 求 : 0, yxf

相对运动方程

解 : 动点： M 　动系：工件 Ox y

' cos sin cos sin 22

bx OM t b t t t

'M Or r r

' ' ' 'r x i y j k

z

M Mr r

定系：Ｏ xyz ，动系：　　　，动点：Ｍ' ' ' 'O x y z

为牵连点'M

5.2 　点的速度合成定理

d '' ' '

drr

v x i y j z kt

d

d

' ' '

Me

O

rv

t

r x i y j z k

d' ' ' ' ' '

dM

a Or

v r x i y j z k x i y j z kt

导数上加“～”表示相对导数。

a e rv v v 得

　 点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。

点的相对速度、牵连速度、绝对速度三者之间满足平行四边形合成法则，即绝对速度由相对速度和牵连速度所构成平行四边形对角线所确定，这个平行四边形称为速度平行四边形。

应当注意： (1) 三种速度有三个大小和三个方向共六个

要素，必须已知其中四个要素，才能求出剩余的两个要素。因此只要正确地画出上面三种速度的平行四边形，即可求出剩余的两个要素。

(2) 动点和动系的选择是关键，一般不能将动点和动系选在同一个参考体上。

(3) 动系的运动是任意的运动，可以是平移、转动或者是较为复杂的运动。

　　例 5-3 　汽车以速度沿直线的道路行驶，雨滴以速度铅直下落，如图所示，试求雨滴相对于汽车的速度。

v1 v1

v2vr

M

解：(1) 建立两种坐标系定系建立在地面上，动系建立在汽车上。(2) 分析三种运动雨滴为动点，其绝对速度为汽车的速度为牵连速度 ( 牵连点的速度 ) ，因汽车作平移，各

点的速度均相等。即(3) 作速度的平行四边形由于绝对速度 va 和牵连速度 ve 的大小和方向都是已知的，如

图所示，只需将速度 va 和 ve 矢量的端点连线便可确定雨滴相对于汽车的速度 vr 。故

雨滴相对于汽车的速度与铅直线的夹角为

2vva

1vve

21

22

22 vvvvv ear

2

1

v

vtan

　　例 5-4 如图所示曲柄滑道机构， T 字形杆 BC部分处于水平位置， DE部分处于铅直位置并放在套筒 A中。已知曲柄 OA以匀角速度 ω=20rad/s 绕 O 轴转动， OA=r=10cm ，试求当曲柄 OA与水平线的夹角 φ=0° 、 30 ° 、 60 ° 、 90

° 时， T 形杆的速度。

ω

B C

D

A

O

E

ve

vavr

φ

解：选套筒 A为动点， T 字形杆为动系，地面为定系。动点的绝对运动为圆，绝对速度的大小为绝对速度的方向垂直于曲柄 OA沿角速度 ω的方向 由于 T 字形杆受水平约束，则牵连运动为水平方向；动点的相对速度为沿 BC作直线运动，即为铅直向上，如图所示，作速度的平行四边形。故 T 字形杆的速度为

将已知条件代入得

a ω 10 20 200cm/sv r

T e a sinv v v

o0 00200 sinvT

o30 cm/s10030200 oT sinv

o60 cm/s217360200 .sinv oT

o90 cm/s20090200 oT sinv

：

　　例 5-5 曲柄 OA以匀角速度绕 O轴转动，其上套有小环M，而小环M又在固定的大圆环上运动，大圆环的半径为 R，如图所示。试求当曲柄与水平线成的角 φ=ωt时，小环M的绝对速度和相对曲柄OA的相对速度。

解：由题意，选小环M为动点，曲柄 OA为动系，地面为定系。小环M的绝对运动是在大圆上的运动，因此小环M绝对速度垂直于大圆的半径 R；小环M的相对运动是在曲柄 OA上的直线运动，因此小环M相对速度沿曲柄 OA并指向 O点，牵连运动为曲柄 OA的定轴转动，小环M的牵连速度垂直于曲柄 OA，如图所示，作速度的平行四边形。即

小环 M 的牵连速度为

小环 M 的绝对速度为

e ω 2 ωcosv OM R

小环 M 的相对速度为

ea 2 ω

cos

vv R

r e cot 2 ωsin 2 ωsinωv R R t v

　　例 5-6 如图所示半径为 R 、偏心距为 e 的凸轮，以角速度 ω 绕 O 轴转动，杆 AB 能在滑槽中上下平移，杆的端点 A 始终与凸轮接触，且 OAB 成一直线。求：在图示位置时，杆 AB 的速度。

(a) (b)

B

A

C O

ω

θ

θve

vavr

B

A

C O

vr

va

ve

θ

θ

解： 1 、动点： AB 杆上 A 动系：凸轮

cota e

ev v OA e

OA

牵连运动：定轴运动（轴 O ） 相对运动：圆周运动（半径 R ）

2 、绝对运动：直线运动（ AB ）

已知： , , ABe AC R v 。求： 。

a e rv v v

OA

? ?大小方向

3 、

√ 　　√　　√

应用点的速度合成定理解题步骤如下 ;(1) 选取动点、动参考系和定参考系。其动点和动系的选取原则为：1) 动点和动系不能选在同一个物体上；2) 动点的相对轨迹越简单越直观越好 (通常是直线

或圆 ) ；3)通常选择固定接触点为动点；(2) 分析三种运动和三种速度。各种运动的速度都

有大小和方向两个要素，只有已知四个要素时才能画出速度平行四边形。

(3) 应用速度合成定理，作出速度平行四边形。注意作图时要使绝对速度为速度平行四边形的对角线。

(4) 利用速度平行四边形中的几何关系求解未知量。

动点 M 在定系和动系中的矢径分别用 r 和 r′ 表示。

kjirrrr zyxoo

kjirr

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

t

z

t

y

t

x

tto

上式在定系中对时间 t 求二阶导数，有

Oi'

O'k'

j'

x'

r

yr'O

y'

z'

x

zM

(m)r'

有关系式

5.3.1 牵连运动是平移时点的加速度合成定理5.3 点的加速度合成定理

Oi'

O'k'

j'

x'

r

yr'O

y'

z'

x

zM

(m)r'

oo

t

ar2

2

d

d

aO'ae ar

rea aaa

kjirr

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a dd

d

d

d

d

d

d

d

t

zd

t

y

t

x

tto

加速度合成定理 ——牵连运动为平移时，点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度的矢量和。 加速度合成定理 ——牵连运动为平移时，点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度的矢量和。

　　例 5-7 　如图 a 所示，曲柄 OA以匀角速度绕定轴 O转动， T 字形杆 BC沿水平方向往复平动，滑块 A在铅直槽 DE内运动， OA=r，曲柄 OA与水平线夹角为 , 试求图示瞬时，杆 BC的速度及加速度。

(a) (b) (c)

aa

ae

ar

φ

C

D

A

B

E

O

ωφ C

D

A

B

E

Oφ

vrva

ve

解：滑块 A为动点， T 字形杆 BC为动系，地面为定系。动点A的绝对运动是曲柄 OA绕轴 O的定轴转动；相对运动为滑块A在铅直槽 DE内的直线运动；牵连速度为 T 字形杆 BC沿水平方向的往复平移。

a ωv r

e a sin ωsinBCv v v r t

(1)求杆 BC的速度作速度的平行四边形，如图 b所示。动点

A的绝对速度为杆 BC的速度为

2aa r

2e a cos ω cosBCa a a r t

(2)求杆 BC的加速度作加速度的平行四边形，如图 c所示。动点 A

的绝对加速度为

杆 BC的加速度为

d

d

AA e A

rv r

t

'A Or r k

d d '( ')

d dO

e Or k

r kt t

d

dO

O e Or

v rt

' ', ' ', ' 'e e ei i j j k k

因为

' 'd '' ,

d ek

k i jt

， ，得 同理可得 即

先分析 对时间的导数 :'k

5.3.2 牵连运动为定轴转动时时点的加速度合成定理

2

2

d '' ' ' ' ' '

dr

ra x i y j z k

t

2

2

d' ' ' ' ' '

dM

e Or

a r x i y j z kt

2

2

d

d

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

2( ' ' ' ' ' ')

Ma

O

ra

t

r x i y j z k

x i y j z k

x i y j z k

2 ' ' ' ' ' 'e x i y j z k

2 e rv

2( ' ' ' ' ' ')

2 ' ' ' ' ' 'e e e

x i y j z k

x i y j z k

因为

2a e r e ra a a v 得

2C e ra v 令 称为科氏加速度

a e r Ca a a a

有

　 点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。

2C e ra v 其中科氏加速度

2 sinC e ra v 大小

e rv 方向垂直于 和

指向按右手法则确定

　　例 5-9 　刨床的急回机构如图所示。曲柄 OA

的一端 A 与滑块用铰链连接。当曲柄 OA 以匀角速度 ω 绕固定轴 O 转动时，滑块在摇杆 O1B 上滑动，

并带动杆 O1B 绕定轴 O1摆动。设曲柄长为 OA=r ，两轴间距离 OO1=l 。 求 :摇杆 O1B 在如图所示位置时的角加速度。

解： 1 、 动点：滑块 A 动系： O1B 杆绝对运动：圆周运动

2 、速度

相对运动：直线运动（沿 O1B ）

牵连运动：定轴转动（绕 O1 轴）

? ?a e rv v v

r

大小方向 √ √ √

1 1, , ,OA OA r OO l OA 已知： 常数 水平。求： 。

22cos

rl

rlvv ar

22

2

221

1 rl

r

rl

v

AO

v ee

3、加速度

22

2

sinrl

rvv ae

2 21 1 1? ? 2

n t na e e r C

r

a a a a a

r O A v

大小方向 √ √ √ √ √

1 1, , ,OA OA r OO l OA 已知： 常数 水平。求： 。

212 cost n

e C ax ra a a v r ＋

2 22 2 22

1 3 22 2 2 22 2 21

)te

rl l ra rl l r

O A l r l rl r

（

n tax e Ca a a －

沿　轴投影x

1 1, , ,OA OA r OO l OA 已知： 常数 水平。求： 。

　　例 5-10 如图所示平面机构中，曲柄 OA=r ，以匀角速度 ωO 转动。套筒 A 沿 BC 杆滑动。已知：BC=DE ，且 BD=CE=l 。

求：图示位置时，杆 BD 的角速度和角加速度。

解： 1 、动点：滑块 A 动系： BC 杆绝对运动：圆周运动（ O点）相对运动：直线运动（ BC ）牵连运动：平移

2 、速度

? ?a e r

O

v v v

r

大小

方向 √ √ √

r e a Ov v v r e O

BD

v r

BD l

, , ,

,OA O

BD BD

OA r BC DE BD CE l

已知： 常数 。

求： 。

3、加速度2 2? ?

t na e e r

O BD

a a a a

r l

大小

方向 √ √ √ √沿 y 轴投影

30sin30cos30sin ne

tea aaa

2sin 30 3 ( )

cos30 3

na et O

e

a a r l ra

l

2

2

3 ( )

3

te O

BD

a r l r

BD l

, , ,

,OA O

BD BD

OA r BC DE BD CE l

已知： 常数 。

求： 。

求：该瞬时 AB 的速度及加速度。

　　例 5-11 如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度ω 绕水平 O 轴转动，带动直杆 AB 沿铅直线上、下运动，且 O ， A ， B 共线。凸轮上与点 A 接触的为 ，图示瞬时凸轮上点 曲率半径为 ρA ，点 的法线与 OA 夹角为 θ ， OA=l 。

'A

'A 'A

绝对运动 ：直线运动（ AB ）相对运动 ：曲线运动（凸轮外边缘）牵连运动 ：定轴转动（ O 轴）

解： 1 、动点（ AB 杆上 A 点） 动系 ：凸轮O

2 、 速度

? ?a e rv v v

l

大小方向 √ √ √

, , , , , ,

,A A

AB AB

O A B OA l CAO

v a

已知： 常数 共线 。求： 。

tantan lvv ea

coscoslvv e

r

3、加速度

2 2? ? 2

t na e r r C

r A r

a a a a a

l v v

大小方向 √ √ √ √ √

沿 轴投影C

nrea aaaa coscos

232

cos

2

cos1

Aa

lla

, , , , , ,

,A A

AB AB

O A B OA l CAO

v a

已知： 常数 共线 。求： 。