Σωτήρος 40 & Υψηλάντου 149...

Σωτήρος 40 & Υψηλάντου 149

www.nea-simboli.gr 2104100055-6

Γεωμετρία Β λυκείου (Θεωρία)

Κεφάλαιο 7: Αναλογίες

Θεώρημα Θαλή:

Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα

τμήματα που ορίζονται στην μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που

ορίζονται άλλη.

Δηλαδή: Αν 1 2 3// // , τότε

Διαίρεση Τμημάτων Εσωτερικά και Εξωτερικά ως προς Δοσμένο Λόγο

Λέμε ότι το σημείο Μ διαιρεί εσωτερικά το

ευθυγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο λ, αν και μόνο αν

Το M είναι εσωτερικό σημείο του τμήματος AB

και

MA

λMB

Λέμε ότι το σημείο Μ διαιρεί εξωτερικά το ευθυγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο λ,

αν και μόνο αν

Το M είναι εξωτερικό σημείο του τμήματος AB

και

MA

λMB



Θεώρημα Εσωτερικής Διχοτόμου:

Η εσωτερική διχοτόμος γωνίας τριγώνου χωρίζει την

απέναντι πλευρά σε λόγο ίσο με το λόγο των

προσκείμενων πλευρών. Δηλαδή , στο διπλανό σχήμα

ισχύει :

.

Η ΑΔ είναι η εσωτερική διχοτόμος του ΑΒΓ.

Θεώρημα Εξωτερικής Διχοτόμου:

Αν η εξωτερική διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου τέμνει το

φορέα της απέναντι πλευράς, τότε χωρίζει εξωτερικά

αυτήν την πλευρά σε λόγο ίσο με το λόγο των

προσκείμενων πλευρών. Δηλαδή , στο σχήμα ισχύει :

. Η ΑΕ είναι η εξωτερική διχοτόμος του ΑΒΓ.

Κεφάλαιο 8: Ομοιότητα

Όμοια λέγονται δύο τρίγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις

αντίστοιχες γωνίες ίσες .

Λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων λέγεται ο λόγος δύο πλευρών που είναι

απέναντι από αντίστοιχα ίσες γωνίες .

Ισχύουν οι επόμενες προτάσεις :

Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια προς τρίτο τότε είναι και μεταξύ τους όμοια .

Δύο ίσα τρίγωνα είναι πάντα όμοια με λόγο ομοιότητας λ = 1.

Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία τους έχουν λόγο ίσο με το λόγο ομοιότητας τους .

Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων τριγώνων ισούται με τον λόγο ομοιότητας τους.

Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων:

Κριτήριο 1ο : Δύο τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία

Κριτήριο 2ο : Δύο τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν δύο πλευρές ανάλογες και τις

περιεχόμενες των ανάλογων πλευρών γωνίες τους ίσες.

Κριτήριο 3ο : Δύο τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες.



Κεφάλαιο 9: Μετρικές σχέσεις

Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο:

Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ο(Α 90 )

και

έστω Δ η προβολή του σημείου Α στην

υποτείνουσα ΒΓ (σχήμα). Ισχύουν οι σχέσεις:

2ΑΒ ΒΓ ΒΔ και 2ΑΓ ΒΓ ΓΔ

2

2

ΑΒ ΒΔ

ΑΓ ΓΔ

2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ (Πυθαγόρειο Θεώρημα)

2ΑΔ ΒΔ ΔΓ

αβ γ α υ

Παρατηρήσεις:

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΒΓ2=ΑΒ2+ΑΓ2, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

o(Α 90 )

Το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με μήκος πλευράς α

δίνεται από την

σχέση: 2

3αυ

Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος:

(1η περίπτωση Οξυγώνιο τρίγωνο)

2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ 2ΑΒ ΑΖ 2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ 2ΑΓ ΑΕ 2 2 2ΑΒ ΒΓ ΑΓ 2ΑΓ ΓΕ 2 2 2ΑΒ ΒΓ ΑΓ 2ΒΓ ΓΔ 2 2 2ΑΓ ΑΒ ΒΓ 2ΑΒ ΒΖ 2 2 2ΑΓ ΑΒ ΒΓ 2ΒΓ ΒΔ



(2η περίπτωση Αμβλυγώνιο τρίγωνο)

2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ 2ΑΒ ΑΖ

2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ 2ΑΓ ΑΕ

2 2 2ΑΒ ΒΓ ΑΓ 2ΑΓ ΓΕ

2 2 2ΑΒ ΒΓ ΑΓ 2ΒΓ ΓΔ

2 2 2ΑΓ ΑΒ ΒΓ 2ΑΒ ΒΖ

2 2 2ΑΓ ΑΒ ΒΓ 2ΒΓ ΒΔ

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι:

ο222 90Αγβα

ο222 90Αγβα

ο222 90Αγβα

(Οι παραπάνω σχέσεις χρησιμοποιούνται για την εύρεση του είδους ενός τριγώνου

όταν είναι γνωστά τα μήκη των πλευρών του).

Νόμος Συνημιτόνων Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι:

2 2 2α β γ 2βγσυν Α

2 2 2β α γ 2αγσυνΒ

2 2 2γ α β 2αβσυνΓ

Αν α,β,γ είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ και τ είναι η

ημιπερίμετρος τουα β γ

τ2

, τότε ισχύει:

)γτ)(βτ)(ατ(τα

2υα , )γτ)(βτ)(ατ(τ

β

2υβ

)γτ)(βτ)(ατ(τγ

2υγ



Θεωρήματα διαμέσων:

(1Ο Θεώρημα διαμέσων)

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α,β,γ και διαμέσους μα,μβ,μγ ισχύουν οι

παρακάτω σχέσεις

22 2 2

α

22 2 2

γ

22 2 2

β

αβ γ 2μ

2

γα β 2μ

2

βα γ 2μ

2

ή ισοδύναμα

2 2 22

α

2 2 22

β

2 2 22

γ

2β 2γ αμ

4

2α 2γ βμ

4

2α 2β γμ

4

(2Ο Θεώρημα διαμέσων)

Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω σε αυτό. Δηλαδή, στο τρίγωνο , αν ΑΜδιάμεσος ,

ΑΕύψος και ΑΓ ΑΒ τότε ισχύει ότι,

2 2ΑΓ ΑΒ 2ΒΓ ΜΕ

Μετρκές σχέσεις σε κύκλο:

Αν δύο χορδές ΑΒ ,ΓΔ ενός κύκλου ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα

σημείο Ρ (Βλέπε σχήμα), τότε ισχύει: ΡΑ ΡΒ ΡΓ ΡΔ



Aν Ρ εξωτερικό σημείο κύκλου (Ο,R) , ΡΕ εφαπτόμενο τμήμα και μία

ευθεία που διέρχεται από το Ρ , τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β τότε

ισχύει 2ΡΕ ΡΑ ΡΒ

Αν Ρ είναι ένα τυχαίο σημείο στο επίπεδο ενός κύκλου (Ο,R)τότε ο

σταθερός αριθμόςΡ 2 2

(O,R)Δ δ R όπου δ ΟΡ λέγεται δύναμη του

σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο,R). Ισχύουν τα παρακάτω.

Ρ 2 2

(O,R)Δ δ R 0 Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου.

Ρ 2 2

(O,R)Δ δ R 0 Ρ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου.

Ρ 2 2

(O,R)Δ δ R 0 Ρ είναι σημείο του κύκλου.

2 2

,RR

2 2

,RR



Κεφάλαιο 10: Εμβαδά

Πίνακας εμβαδών πολυγωνικών χωρίων:

Άλλοι τύποι για τον υπολογισμό εμβαδού τριγώνου

Δ 1 1 1(ΑΒΓ) βγ ημΑ αγ ημΒ αβ ημΓ

2 2 2

Δ

(ΑΒΓ) τ(τ α)(τ β)(τ γ) (τύπος του Ήρωνα) , όπου α β γ

τ2

(ημιπερίμετρος του τριγώνου).

Δ

(ΑΒΓ) τ ρ όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

Δ α β γ(ΑΒΓ)

4R

όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.



Παρατηρήσεις:

Ο τύπος του Ήρωνα χρησιμοποιείται κυρίως για να υπολογίσουμε το εμβαδόν

τριγώνου του οποίου είναι γνωστά τα μήκη όλων των πλευρών του.

Αν το τρίγωνο AΒΓ είναι ισόπλευρο με πλευρά α , τότε το εμβαδόν του δίνεται

από την σχέση2Δ 3 α

(ΑΒΓ)4

Κάθε διάμεσος ενός τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοεμβαδικά τρίγωνα.

Λόγοι εμβαδών:

Αν α αυ υ , τότε

Δ

Δ

(ΑΒΓ) α

α(Α Β Γ )

Αν α α , τότε

Δ

α

Δ

α

υ(ΑΒΓ)

υ(Α Β Γ )

Αν

Α Α ή

οΑ Α 180 , τότε

Δ

Δ

(ΑΒΓ) β γ

β γ(Α Β Γ )

Αν Δ Δ

ΑΒΓ Α Β Γ με λόγο ομοιότητας λ , τότε

Δ

2

Δ

(ΑΒΓ)λ

(Α Β Γ )



Κεφάλαιο 11: Μέτρηση κύκλου

Κανονικά Πολύγωνα:

Ορισμός: Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και

όλες τις γωνίες του ίσες.

Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν

άλλον. Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι

Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

Χαρακτηριστικά στοιχεία κανονικού ν-γωνου:

Πλευρά: νλ

Απόστημα: να

Γωνία: νφ

Κεντρική Γωνία: νω

Περίμετρος: νP

Εμβαδόν: νΕ

Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

ο

ν

360ω

ν

ο

ο

ν

360φ 180

ν

ον νω φ 180

22 2ν

ν

λα R

4

ν νP ν λ ν ν ν

1Ε να λ

2

ν ν ν

1Ε P α

2

Η πλευρά και το απόστημα τριών βασικών

κανονικών πολυγώνων, ( ισόπλευρο

τρίγωνο ν 3 , τετράγωνο ν 4 , κανονικό

εξάγωνο ν 6 ), ως συναρτήση της ακτίνας

R του περιγεγραμμένου τους κύκλου

δίνονται από τον διπλανό πίνακα.

ν 3 4 6

να R

2

R 2

2

R 3

2

νλ R 3 R 2 R



Σε κάθε κανονικό πολύγωνο ισχύει να ρ , όπου ρ

η ακτίνα του

εγγεγραμμένου κύκλου του.

Μέτρηση κύκλου:

Μήκος κύκλου ακτίνας R : L 2πR

Μήκος τόξου ομ σε κύκλο ακτίνας R : AB

πRμ

180

Μήκος τόξου αrad σε κύκλο ακτίνας R : AB

α R

Εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας R : 2E πR

Εμβαδόν κυκλικού τομέα ομ σε κύκλο ακτίνας R :

2

ΟΑΒ

πR μE

360

Εμβαδόν κυκλικού τομέα αrad σε κύκλο ακτίνας R :

2

ΟΑΒ

1E αR

2

Εμβαδόν κυκλικού τμήματος : κυκλικούτομέα τριγώνουE E Ε

Σωτήρος 40 & Υψηλάντου 149...

Documents