Тема 4. Статистические...
TRANSCRIPT
Тема 4. Статистические распределения
4.1. Барометрическая формула
Толщина атмосферы ≈ 30 км
0 constз
hg
R
600,2 const
300
TT
T
0
h
h dh
p+dp
p gdm
SRT
gh
epp 0
T = const
N2
O2
P
h
4CH
кг16
кмоль
возд
кг29
кмольP
h
4CH
кг16
кмоль
возд
кг29
кмоль
P
h
ΔP0
ΔP1
ΔP2
Следствие:
RT
gh
enn 0
Температурный градиент атмосферы
1dT g
dh R
Тема 4. Статистические распределения
4.2. Понятие о функции распределения вероятностей
lim ii
N
NW
N
Вероятность - мера возможности
наступления события
1
1
6W
14W1 4
1
36W W
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
WΣ
n
WΣ
Тема 4. Статистические распределения
4.3. Распределение Больцмана
Больцман Людвиг
(20.II.1844–5.IX.1906)
dN – число молекул в dV
dV=dxdydz
x
y
z
r
x
z
dF
dV=dxdydz
x
y
z
r
x
z
dF
dV=Sdl
x
y
z
r ( )
0( )U r
kTn r n e
1 2
1
2
U U
kTn
en
Общая форма записи распределения Больцмана
dV=dxdydz
x
y
z
r
( )( ) ;
dN rf r dV
N
( )
1U r
kT
V
C
e dxdydz
функция распределения Больцмана V
1( )
U r
kT
U r
kT
f r e
e dV
Равновесие жидкость-пар
0
0 парU
U жидкость
0п жU U U
п kT kT
ж
ne e
n
0п жU U U
kT kTп ж An n e N e
0U
kTP nkT RTe
lnP
1
T
0
ln
1
PU k
T
Тема 4. Статистические распределения
4.4. Распределение Максвелла (1860 г.)
Максвелл Джеймс (1831–79)
dN(υx) – число молекул, имеющих проекции
скорости в диапазоне от υx до υx+dυx
( )xx x x
dNdP f d
N
υz
υx
υy( )x
x
x
dNf
Nd
dN( ) – число молекул, имеющих скорости с проекциями в
диапазоне от υx до υx+dυx, от υy до υy+dυy, от υz до υz+dυz
( )
x y z
dNF
Nd d d
Предпосылки Максвелла:
1) , ,x y zf f f имеют одинаковый вид
22) ,x x x xf f тогда f f
23) F F F
, ,4) . . ,i j k i j k
x y z x x y y z z
тк P PPP то
F d d d f d f d f d
R 8300 T 30028
f v( )2 R T
1
2
e
v2
2R T
v 0 0.01 . 15000 0.01 .f 0 0.1 ....30 0.1 ....3
1000 800 600 400 200 0 200 400 600 800 1000
5 104
0.001
f v( )
v
Распределение Максвелла по проекции
скорости
21
22
2
xm
kTx
mf e
kT
xf
x
Распределение Максвелла по
проекции скорости
f(Vx)
0 V1x V2x Vx
21
22
2
xm
kTx
mf e
kT
22
1 2
1
1
22
2
x x
x x
x
m
kTx
mP e d
kT
f1;f2
Vx
Vy
Vx
Vy
23
22 24
2
m
kTm
ekT
24F F
28 R 8300 T 250
F v( ) 4 v2
2 R T
3
2
e
v2
2 R T
F 0 0.1 . 10 0.1 .
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0.001
0.002
F v( )
v
Распределение Максвелла по
скоростям
υ
F(υ)
υdυ
0
( ) 1F d
( )dN
N
Условие нормировки:
1
υ
F(υ)
T1 < T2 < T3
Влияние температуры
23
22 2( ) 4
2
m
kTm
F ekT
28 R 8300 T 250
F v( ) 4 v2
2 R T
3
2
e
v2
2 R T
F 0 0.1 . 10 0.1 .
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0.001
0.002
F v( )
v
Распределение Максвелла по
скоростям
M
RT
m
kTVНВ
22
M
RT
m
kTVСР
88
M
RT
m
kTV КВСР
33.
Следствия:
2 2НВ
kT RT
m M
8 8СР
kT RT
m M
.
3 3СР КВ
kT RT
m M
Тема 4. Статистические распределения
4.5. Распределение Максвелла-Больцмана
Больцман
Людвиг
(1844–1906)
Максвелл
Джеймс Клерк
(1831–1879)
dV=dxdydz
x
y
z
r
2
2
( , )
mU r
kTF r Ce
32
( )
1
2U r
kT
V
mC
kTe dV
Функция распределения Максвелла-Больцмана:υ
( , )( , ) ;x y z
dN rF r dVd d d
N
Опыт Штерна (1920)
ω
Опыт Штерна (1920)
ω = const
υ2 > υ1
υ3 > υ2
ω
Опыт Штерна (1920)
l
lt
l