1

الجمھوریة العربیة السوریة

وزارة التعلیم العالي

جامعة تشرین

قسم الفیزیاء -كلیة العلوم

دراسة العوامل األساسية لمسألة تعدد الجسيمات وتطبيقاتها من أجل مسألتي ثالثة وأربع جسيمات

أطروحة أعدت لنيل درجة الدكتوراه في الفيزياء الحديثة

إعداد

سامر دیب سعید

بإشراف

تیسیر معال . د .أ حسن عبد الكریم سلمان . د.أ

أستاذ في قسم لفیزیاء أستاذ في قسم الفیزیاء

2

3

ممجدا كريما الزاهي عمره قضى

الندى فأسمع العرش رب داهان

عالما صار إذ مواله وفقه

معهدا ويرأس أجياال ينشئ

أهله أفق كل في تالميذه

فرقدا النور ساطع فيهم صار

الذي فضله أدركوا إذ به تباهوا

مخلدا مجدا األيام على كساهم

إلى أستاذي الدكتور حسن عبد الكريم سلمان

الله رحمة واسعةرحمه

4

كلمة شكر

في نهاية هذا العمل ال يسعني إال أن أشكر عمادة كلية العلوم في جامعة تشرين ورئاسة قسم رحمه الله أخص بالشكر أستاذي الكريم األستاذ الدكتور حسن عبد الكريم سلمان و، الفيزياء

وكما أخص ، ما بذاله من أجلي وأستاذي الكريم األستاذ الدكتور تيسير معال من اجل كلبالشكر الجزيل ألستاذي الدكتور صالح بدوي دومة على كل المحتوى العلمي والنصائح القيمة التي قدمها لي سواء في مرحلة الماجستير كأستاذ مشرف أو في مرحلة الدكتوراه عن طريق

. أمير تفيحة رالدكتور الذي أكن له كل التقدير واالحترام الدكتو

5

المحتویات

نظرية الحقل الكمومي الفعال

8...................................................................................مقدمة

10.............................................................التنظيم وزمرة إعادة التنظيم

14..................................................................................مخطط

الفصل األول

16................................................الكروموديناميك الكمومي وتناظر الكيرال

SU(3) ...................................................................16زمرة التناظر

18.............................................تابع الالغرانج في الميكانيك الكوانتي اللوني

21...........................................................................تناظر الكيرال

25....................................................................كسر التناظر التلقائي

32....................................................................نموذج سيغما الخطي

37.............................................................نظرية االضطراب الكيرالية

40..................................................نظرية االضطراب الكيرالية للميزونات

47...............................................تابع الالغرانج الفعال وقدرة العد لواينبرغ

6

48........................................................................التناظر المعياري

52................................................................تابع الالغرانج الباريوني

الفصل الثاني

NNNLO ................................55قيمة طاقة االرتباط لنواة التريتيوم وفق الحدود

57.........................................معادالت فادييف لنظام مؤلف من ثالثة نيكلونات

EFT .....................................................67نووية وفق نظرية بناء القوى ال

LO ..............................86قيمة طاقة االرتباط لنواة التريتيوم وفق الحدودالرئيسية

92............................قيمة طاقة االرتباط لنواة التريتيوم بإدخال قوى ثالثة نيكلونات

96............................................... نيكلونات النتائج العددية بإدخال قوى ثالثة

الفصل الثالث

NNLO ....................................98قيمة طاقة االرتباط لنواة الهيليوم وفق الحدود

109..........................................................معادالت فادييف ياكوبوفسكي

114..........................................الحلول العددية لمعادالت فادييف ياكوبوفسكي

124..............................................النتائج العددية بإدخال قوى ثالثة نيكلونات

الفصل الرابع

134.................ل ثالثة جسيمات بوزونية متطابقة إعادة تنظيم معادلة شرودينغر من اج

134.................................................................................مقدمة

141.............................................معادلة شرودينغر لنظام مؤلف من جسيمين

7

144......................................من ثالثة جسيمات معادلة شرودينغر لنظام مؤلف

149.......................................................طريقة النشر االضطرابي المنظم

153...................................................نشر معادلة االرتباط لثالثة جسيمات

LO ..............................................159لحدود الرئيسية معادلة االرتباط وفق ا

163............................................................................التوصيات

A ............................................................................164الملحق

B .............................................................................170الملحق

8

نظرية الحقل الكمومي الفعال

Effective Quantum Field Theory

:مقدمة -1

ضمن بناء نظري لنظرية الحقل الكمومي الفعال األساسمن قدم األفكار كان واينبرغ أول وسنأخذ هنا ، إال أن الخطوط العامة كانت تستخدم قبل ذلك بكثير [ 1 ] 1979م في العا متكامل

المثال األول دراسة ، مثالين نوضح خاللهما السمات الرئيسة لنظرية الحقل الكمومي الفعالغير مسموح التبعثرهذا ، [2]فوتون عند الطاقات المنخفضة - هاينزبرغ لتبعثر فوتون –ويلر أ

ولكن في ) الضممبدأ (كالسيكية حيث معادالت ماكسويل خطية به في الفيزياء البوزيترون -الكترون ليينتجيمكن للفوتون أن يتبعثر مع فوتون آخر ، االلكترودينامك الكمومي

. بعد ذلك إنتاج فوتونين ليعيدا

ل ابتداء من الغرانج الحقغرانج التفاعل تابع ال ه يمكن بناء افترض اويلر وهاينزبرغ أناحترام الخصائص بو، ذلك بإضافة حدود غير خطية تعبر عن كسر مبدأ االنضمامو الكالسيكي

و تحويالت لورنتز Gauge symmetry U(1) المعياريالتناظرية والتي هي هنا التناظر : النوعية و

(1)

م عن إسها الحد األوليعبر ،تنسور شدة الحقل الكهرطيسي Fμνو اإللكترونكتلة meحيث ، ثوابت a,bوهي حدود الخطية و me/1الحدود هي نشر في قوى بقية الفوتونات الحرة و

ويبقى النشر يحدد في ثوابت الحالةإذن وفق هذه الطريقة فان كل المعلومات عن ديناميك .السؤال عن كيفية إيجاد هذه الثوابت

الستنتاج قيم QEDغرانج وال (1)الفعال تابع الالغرانجاستخدم هايزبرغ المقارنة بين الثوابت

9

)2(

:بالشكل E, Bين الحقل إدخالبعد الالغرانجوهكذا يصبح تابع

(3)

: [3]التفككعند محاولته تفسير المثال الثاني هو نظرية فيرمي للتفاعالت الضعيفة

(4)

ليست لها فيرمي أن الجسيمات الداخلة والخارجة عدتفاصيل التفاعل غير معروفة ان كون بنية داخلية وأخذ الهاملتوني كجداء للحقول المعبرة عن هذه الجسيمات وذلك بإدخال ثابت

.يعين من التجربة ( Coupling constant)االقتران سماه ثابت

:لنظرية الحقل الكمومي الفعال األساسمن هذين المثالين نستطيع أن نستنتج المالمح

في العملية الفيزيائية فقط لة الحقول الداخلة والخارجةبدال تابع الالغرانجتم كتابة -1بداللة حقل الفوتون فقط دون حقل اإللكترون تابع الالغرانجحيث كتب هاينزبرغ

حقول الجسيمات الناقلة للقوى الضعيفة الخإدوكذلك في نظرية فيرمي لم يتم لالخطية وفي يظهر تأثير هذه الحقول المخفية في الحدود ا، ) W,Zبوزونات (

.لحقل الكمومي الفعال للالغرانج لتابع ا الثوابتجود لحقل كال المثالين يصح فقط من أجل مقاس طاقي معين ففي مثال هاينزبرغ ال و -2

وكذلك ، ثقب -لفوتونات طاقة أقل من عتبة إنتاج الكتروناإللكترون بسبب أن ل . Gev 300نظرية فيرمي غير صحيحة عند الطاقات األعلى من

نحتاج إلى من ثمو منظمةالفعال هي حدود غير تابع الالغرانجالحدود الالخطية في -3 .لكي تكون هذه النظرية مجدية تنظيمها ما إلعادة طريقة

ففي بالحسبان الخصائص التناظرية التي يحققها النظام الفيزيائي تؤخذ في كال المثالين -4 ( Parity) النوعيةل وعند اكتشاف كسر نظرية فيرمي تم أخذ الجداءات السلمية للحقو

(V-A)شعاعيه شبه تم إدخال كميات أخرى لالغرانج تعبر عن جداء كميات شعاعيه و

Current Vector-Axial vector [4] .

هي نظرية غير منظمة وهذا ما يقودنا (EFT)رأينا أن نظرية الحقل الكمومي الفعال . التنظيم مفهوم زمرة إعادة لتعريف

10

: التنظيم وزمرة إعادة التنظيم -2

Renormalization and Renormalization Group

: [5]لنناقش أوال مشكلة الالنهائيات التي تظهر في نظرية الحقل الكمومي

مؤثر الحقل يحقق ψ(t)و ( Interaction Picture)التفاعل تمثيل الهاملتوني في HIليكن :معادلة شرودينغر

(5)

: اآلتيالتي تقبل الحل

(6)

، (∞±)في تجربة التبعثر نهتم فقط باألشكال التقاربية ، الشكل التقاربي (∞-)ψحيث :بالشكل Sالمؤثر نعرف

(7)

[6]المسارات التكاملية ويعبر عنه وفق طريقة Sالمؤثر البرهنة على وجود هذا يمكن

(Path integrals ) المسارات من البداية إلى النهاية بعامل أهمية حيث يتم الجمع على كل : اآلتيبالشكل نكتبه متساوي لكل المسارات و

(8)

إذا كان من الممكن استخدام و، ( Time Ordering Operator)مؤثر ترتيب الزمن Pحيث نكتب α≈1/137حيث التفاعل هو من المرتبة QED [7]نظرية االضطراب كما في نظرية

S = S(0) + S(1) + S(2)+…………….. (9)

. α(n)تتناسب مع S(n)حيث

.الممكنة ( Faynman diagrams)تنتج هذه العالقة كل مخططات فاينمان

11

نظرية وفق ىاألعل الحدود( Loopsالحلقات عند ظهور مشكلة الالنهائيات تظهرحدة لتفاعل الكترون مع حقل خارجي لنأخذ مثال مخططا يحوي حلقة وا )الضطراب ا

Aext [8]

يعاد امتصاصه من االلكترون ومن قبل الكترون وارد Kيتبعثر فوتون اندفاعه حيث : اآلتية بالعالقة وفق قواعد فاينمان Tالتفاعل احتمال تعطى سعةالصادر

(10)

)(,)( pupu الصادر على الترتيب سبينور ديراك لاللكترون الوارد و،γ مصفوفات يسلك لذلك K4لمقام لو K3dKلبسط المرتبة لن ألهذه السعة قيمة النهائية ل ، [9]ديراك

السؤال بعد ظهور مشكلة الالنهائيات انه تم ىويبق، ∞المتباعد عند ln(K)التكامل سلوك : اآلتيأخذ قيمة التكامل إلى الالنهاية وهذا يمكن فهمه بالشكل

له االندفاع االلكترون الوارد إن انحفاظ الطاقة واالندفاع و عقدة في المخططتحقق كل داخل الحلقة اندفاع يومنه ف P'-Kاالندفاع له لكترون الصادراالو (P-K)بعد اإلصدار

أي قوانين انحفاظ الطاقة عند كل عقدة ال تخبرنا و يتشارك بين االلكترونين Kالفوتون 0بكل القيم الممكنة من في حساب سعة االحتمال تساهم Kلذلك فان Kعن قيمة شيء . وهذا يعني أخذ كل قيم طاقة الفوتون وهذا هو مصدر الالنهائيات ∞إلى

12

Λ<k<Λ0 (Faynman) [1]الفكرة األولى لحل هذه المشكلة هو إدخال مفهوم حد القطع : بالشكل

(11)

: نجد Λأصغر بكثير من 'p,pبفرض أن

(12)

(13)

:حيث

(14)

حيث افترضنا ، فيزيائي وسيلة رياضية إلزالة الالنهائيات وله مدلول هوحد القطع أصغر Pبوجود حد القطع أن النظرية صحيحة أي ال وجود لالنهائيات من اجل االندفاع

كن ال ول، االندفاعات العالية وأن النظرية غير صحيحة أو غير كافية من أجل Λمن يوجد شيء في نظرية الحقل الكمومي يؤكد أن هذه النظرية صحيحة من أجل الطاقات

أن القيم العالية نلحظيجب أن ، متباعدة اربما توجد فيزياء أخرى ال تعطي قيموالعالية وهذا يعني عني في نظرية الحقل الكمومي أن المسافات تسعى إلى الصفر تللطاقة

ية داخلية لها وهذا الوضع ال يمكن أن نجده في فيزياء المادة ال بنأي جسيمات نقطيةالمسافة ( مثال حيث يوجد حد أدنى من المسافات يفرضه الوضع الفيزيائي [10]الكثيفة .بينما في نظرية الحقل الكمومي ال وجود لمثل هذا الحد )عقد الشبكة البلورية بين

في حساب سعة يمكن محاكاة الحد الذي يظهر الفكرة الثانية من إدخال حد القطع هو انه : [11]كثافة تابع الغرانج بالشكل إلىاالحتمال بإدخال حد إضافي

13

(15)

:الكلي بالشكل الالغرانج كثافة تابع يكتب ومنه

(16)

:حيث

(17)

والشحنة هذا يعني أنه نتيجة إعادة التنظيم يجب إعادة تعريف الكميات الفيزيائية مثل الكتلة : [12] اآلتيوثوابت االرتباط ويمكن فهم هذا فيزيائيا بالشكل

m0,e0هي الكميات القابلة للقياس أو هي المقاسة فعال بينما eΛ,mΛإن الكميات الجديدة نجد تقابال لهذا في فيزياء المادة الكثيفة حيث نتيجة تأثير الشبكة ، غير قابلة للقياس

فان استجابة االلكترون لحقل خارجي تكون مختلفة فيما لو كان البلورية على اإللكتروناإللكترون حرا لذلك نعرف كميات جديدة مثل شحنة االلكترون الفعالة أو كتلة االلكترون

الفرق مع نظرية الحقل الكمومي هو أنه يمكننا قياس كتلة وشحنة االلكترون وهو ، الفعالة لذلك نقول m0,e0تطيع الخروج من الخالء لقياس حر أما في حالة الحقل الكمومي ال نس

.هي الكميات الفيزيائية الحقيقية eΛ,mΛأن الكميات

،أن هذه الكميات تعتمد على طاقة النظام المدروس وليس لها قيم مطلقة نجد

:نكتب (17)من المعادلتين

(18)

.توابع β,γحيث

14

والتي (Renormalization Group) تنظيمالتعرف هذه المعادالت فيما يسمى زمرة إعادة التنظيملعملية إعادة األساسومنه فان األفكار ، [13]تحدد كيفية تغير الثوابت مع الطاقة

تفرض وجود مقاسات طاقية للحالة الفيزيائية وهنا يدخل بالضبط مفهوم نظرية الحقل Garazzone and Appelquist [14]الكمومي الفعال وذلك باالعتماد عل نظرية صاغها

:أنه والتي تنص على

عند ) النووية الحالةنظام و QCD نظاممعا مثل انمرتبط( انفيزيائي انإذا كان لدينا نظام ينقل التنظيمفانه يوجد دائما شرط إعادة m1,m2 (m1<m2)مقاسين طاقيين مختلفين

وذلك بتغيير العوامل الداخلة الطاقية المنخفضة الحالةالطاقية العالية إلى الحالةتأثيرات .الطاقية المنخفضة الحالةفي وصف

الحقل الكمومي الفعال لذلك نقول ببساطة أن الالغرانجتابع هذه هي الطريقة األساس لبناء .للفيزياء المنخفضة الطاقة تنظيم نظرية الحقل الكمومي هي نظرية إعادة

: مخطط البحث -3

ة الحقل الكمومي الفعال لدراسة نظام مؤلف من ثالثة يهدف هذا البحث تطبيق نظري .نيكلونات وأربعة نيكلونات ونظام مؤلف من ثالثة بوزونات

: اآلتييقسم هذا البحث بالشكل

لنظرية الحقل الكمومي الفعال وكيفية كتابة تابع األساسشرح االفكار : الفصل االول الرئيسةفصل التعرف على مفهوم الحدود وتم كذلك في هذا ال، النووية الحالةالغرانج

(LO) والحدود التي تلي الحدود الرئيسة(NLO) والتي سوف نستخدمها في دراسة نظام .مؤلف من ثالثة بوزونات

األولى هي دراسة تفاعل ، يتألف هذا الفصل من فكرتين أساسيتين : الفصل الثاني واستنتاج الجهد النووي وفق الحدود نيكلون وفق نظرية الحقل الكمومي الفعال -نيكلونفي معادالت فادييف لنظام مؤلف من ثالثة والثانية هي استخدام هذا الجهد ، الرئيسة

.نيكلونات الستنتاج قيم طاقة االرتباط

15

طريقة استنتاج الجهد النووي وفق نظرية الحقل الكمومي : أوال هووما نعتقد أنه جديد ة االضطراب المرتبة زمنيا أي أخذنا الجمع على كل الفعال حيث اعتمدنا على نظري

هي طريقة ةيالحالحيث الطريقة المتبعة في الدراسات و ،مخططات فاينمان الممكنة Unitary Method Effective)التحويل الواحدي في نظرية الحقل الكمومي الفعال

Quantum Field Theory ) .

التي تستخدم الحل المباشر لمعادالت فادييف دون األبحاث هذا الفصل من أوائل دعي: ثانيا يعتبر على حد علمنا أول بحث و ( Parteial Waves)اللجوء إلى استخدام االمواج الجزئية

. يستخدم هذه الطريقة في الحل بالجهود المذكورة في هذا الفصل

لنظام مؤلف من تم في هذا الفصل دراسة معادالت فادييف ياكوفسكي : الفصل الثالث ونعتبر أن هذا أول بحث يتم فيه الحل المباشر ، أربعة نيكلونات الستنتاج طاقة االرتباط

استخدام الجهود المذكورة في بالجزئية و األمواجطريقة لكوفسكي دون اللجوء المعادالت ي .هذا الفصل

ى الذرات تم في هذا الفصل تطبيق نظرية الحقل الكمومي الفعال عل: فصل الرابع الوما نعتقد أنه جديد (Trimer)المسمى بالترايمر 4He3للهيليوم الستنتاج سويات ايفيموف

في هذا الفصل هو التعبير عن التفاعل القصير المدى بتابع دلتا واستخدام نظرية الحقل في هذا الفصل كتبنا معادلة االرتباط لثالثة ، الكمومي الفعال في إزالة الالنهائيات

لثالثة مناطق طاقية هي المنخفضة (LO)فقط الرئيسةطابقة وفق الحدود ات متبوزون . والمتوسطة والعالية

16

الفصل األول

الكروموديناميك الكمومي وتناظر الكيرال

Chromodynamics and Chiral Symmetry

دة تقدم اإلطارالنظري لتحري التفاعالت الشدي (ChPT)نظرية االضطراب الكيرالية (Strong Interaction) عند الطاقات المنخفضة وهي مغايرة تماما لنظرية االضطراب لهذه

. (Asymptotic Freedom)التفاعالت عند الطاقات العالية

لالغرانج SU(3)LҳSU(3)RҳU(1)Vهو التناظر [15]أساس نظرية االضطراب الكيرالية

QCD ا التناظر حالة كسر تناظر تلقائي يعاني هذ، في حالة انعدام كتلة الكواركات(Spontaneously Symmetry Breaking) ومنه حسب نظرية كولدستون لدينا بوزونات

الغاية األساس من هذا ، ( Goldstone Bosons)كولدستون بوزوناتعديمة الكتلة تسمى . الفصل هي شرح البناء النظري لنظرية االضطراب الكيرالية

: SU(3) زمرة التناظر 1-1

ة المعياريتلعب هذه الزمرة دورا مهما في دراسة التفاعالت الشديدة لكونها الزمرة (Gauge group ) لتأثيرات المتبادلة الشديدةل QCD نكهة الكوارك لزمرة تناظر هيوكذلك

(Flavor ) الهادرونات كمجموعات متحللة للتمثيل الالمختزل للزمرة تصنف ومنهSU(3) حيث تشير األدلة ، QCDزمرة التناظر الكيرالية لـ SU(3)LҳSU(3)Rكل وكذلك تش،

[16] كمجموعة من كل المصفوفات SU(3)نعرف الزمرة ، الى اليسار واليمينوفي لغة رياضية (detU =1 ) والمحدد يساوي إلى الواحد (3ҳ3) (UU†=1)لواحديةا

SU(3) هي زمرة لي(Lee Group) [17] تصلة بشكل بسيطلها ثمانية عوامل وم

(Simply Connected ) ومدمجة(compact) ، هذا يعنى أن أي عنصر من الزمرة يرتبطزمرة كونها للزمرة بإجراء تغييرات متصلة ومتتابعة لعوامل الزمرة وب يبالعنصر الواحد

Lee فان كل عنصر من الزمرة يكتب بشكل:

17

(1-1)

وتسمى Gell-Mannهي مصفوفات λa، الزمرة أعداد حقيقية تسمى عوامل θaحيث :مولدات الزمرة وتحقق العالقات

(2-1)

:وفق تمثيل ديراك المولدات لها الشكل

(3-1)

:تحقق هذه المصفوفات عالقة الجداء الداخلي وفق جبر لي

(4-1)

معدومة تعطى ال قيمها غير، ثوابت البنية وهي حقيقية وعكسية التناظر بالكامل fabcحيث :اآلتي بالجدول

قيم ثوابت البنية )1(الجدول

18

:في الميكانيك الكوانتي اللوني الغرانجتابع 1-2 The Lagrange Chromodynamics

طريقة ناجحة لتوليد التفاعالت بين الحقول ( Gauge Principle) المعياريالمبدأ قدم والمثال األفضل ، الكتلة تسمى حامالت القوى المادية عن طريق تبادل بوزونات عديمة

والتي تنتج من تحويل التناظر العالمي (QED)هو نظرية االلكتروديناميك المعياريللمبدأ U(1) (Global Symmetry ) اآلتي:

(1-5)

يبقى تابع الالغرانج ، لموضع ل اليس تابع θالعامل الن حيث سمي هذا التحويل بالعالمي :بالنسبة لهذا التحويل الحر متناظرلاللكترون ا

(1-6)

θالعوامل ، ) ة المعيارينسمي هذه الزمرة بالزمرة ( U(1)وبالنسبة إلى التناظر الموضعي المعياريغير متغيرنتيجة التحويل (6-1) تابع الالغرانجو لكي يبقى θ(x)تابعة للمكان يتحول بالشكل والذي تابع الالغرانجالرباعي في Aμندخل الجهد

(1-7)

:بالشكل تابع الالغرانجليصبح

(1-8)

:حيث

بالشكل ( Covariant derivative)نعرف المشتق الالمتغير ، تنسور شدة الحقل الكهرطيسي

(1-9)

غير متغير تابع الالغرانجوذلك حتى يبقى Ψبنفس أسلوب تحول DμΨ بحيث يتحول : المعيارينتيجة التحويل

(1-10)

19

كدرجة حرية ديناميكية وليس مجرد جهد (8-1) في المعادلة Aμ المعياريالجهد يظهر يمكن إعطاء كتلة للحقول ( بوزونات عديمة الكتلة المعياريالمبدأ يتطلب خارجي ومنه

يتطابق مع الحقل Aμ المعياريالحقل ، ) ة باستخدام مبدأ كسر التناظر التلقائي المعياريبشكل طبيعي التفاعل بين الحقل المعياريالمبدأ يعطي ومنه، ي للحقل الكهرطيسي الرباع

فان (Non- Abelian)تبديلية ة غير المعياريإذا كانت الزمرة ، الكهرطيسي واإللكترون ن ا، ة المعياريمع كل عامل من عوامل الزمرة مستقال اقياسي يربط حقال المعياريالمبدأ

والتي لها زمرة [17]ة الالتبادلية للتفاعالت الشديدةالمعياريظرية هي الن QCDنظرية كواركات التي هي QCD نظريةالحقول المادية لتدعى SU(3)اللونية ة المعياريالتناظر

بكون و،فرميونات بستة نكهات مختلفة باإلضافة إلى ثالث درجات حرية تسمى اللونية نى كتلة الكوارك وقيمتها العددية مرتبطة بشكل الكواركات لم تالحظ كحاالت حرة فان مع

:يقرأ بالشكل QCDالغرانج تابع ،وثيق بالطريقة التي تستنتج بها الخصائص الهادرونية

(1-11)

وعلى درجات (f)يعبر الحد األول عن حقل الكوارك ويتم الجمع على كل نكهات الكوارك : (b)واالزرق (g)واالخضر (r)الحرية االحمر

: اآلتيللكواركات بالجدول األساسنلخص الخصائص

s d u flavor

-1/3 -1/3 2/3 Charge[e]

175±25 9.3±1.4 5.1±0.9 Mass[Mev]

t b c flavor

2/3 -1/3 2/3 Charge[e]

174.3±3.2±4.0 4.0—4.4 1.15—1.35 Mass[Mev]

للكواركات األساسالخصائص (1)الجدول

20

صف بالعوامل والذي ي g(x) المعيارير االنتقال نتيجة تأثي qيتحول : اآلتيبالشكل

(1-12)

ثمانية الزمرةلهذه أن بفرضو SU(3)لزمرة احقل الكوارك باالعتماد على تمثيل يتحول : Aμ,aعوامل فان المشتق الالمتغير يحوي ثمانية جهود قياسية مستقلة

(1-13)

:ة المعياريللحقول اآلتيةيفرض خاصة التحويل المعياريأن الالتغير بما

(1-14)

:فان المشتق الالمتغير يتحول بشكل مشابه للحقل

(1-15)

والذي يتضمن التفاعل مع QCDالغرانج تابع الحقول المادية فقط مناعتبرنا حتى اآلن :الالتبادلية الحالةتعميم لتنسور شدة الحقل إلى (11-1) المعادلة تحوي ، ة المعياريالحقول

(1-16)

:بالشكل SU(3)تنسور شدة الحقل نتيجة الزمرة ينتقل (14-1)باالعتماد على المعادلة

(1-17)

:بالشكل QCDالجزء الغولوني من الغرانج يكتب (2-1)باستخدام

Tr(AB) = Tr(BA)باستخدام ذلك و (17-1)متغير نتيجة التحويل الأنه التأكدمن السهل وة تتفاعل فيما المعياريالتبادلية فان الحقول QEDوبشكل مخالف تماما لنظرية ، UU†=1و

جهة نظر و من، ة الالتبادلية المعياريبينها ومثل هذا التفاعل هو خاصة أساسية للنظريات :اآلتي الحد تابع الالغرانج يحوي ة الشديد تللتفاعال المعياريالالتغير

21

(1-18)

بشكل θالحد يعبر ،العكسي التناظر بالكامل Levi-Civitaإلى تنسور يشيرحيث للتفاعالت الشديدة والذي يعطي على سبيل المثال تفسير P,CPصريح عن كسر التناظر

التجريبية الحديثة إلى صغر هذا المعطيات وتشير ،ثنائي القطب المغناطيسي للنترون لعزم .ية الحالوسنهمله في دراستنا [18] الحد

تناظر الكيرال - 1-3

Chiral Symmetry

وفق المقاس (Mev 10 ≥)كتل صغيرة d,uلكواركات لينطلق هذا التناظر من حقيقة أن وفق هذا المقاس (Mev 150)له كتلة صغيرة Sحتى الكوارك ، [19] (Gev 1)الهادروني

تعني ، (Chiral Symmetry)ينتج تناظر كيرال m=o ومنه إذا وضعنا في معادلة ديراك : ћ=C=1في جملة الواحدات الطبيعية معادلة ديراك ، كلمة في اليونانية كف اليد هذه ال

(1-19)

:مركبتا سبينور ديراك Ф ،χحيث

(1-20)

للمؤثر 1 ±بقيم خاصة ين توابع خاصةالمذكورتفي حالة انعدام الكتلة تكون المركبتين : كما يظهر بوضوح من العالقتين ( Helcitiy Operator) [20]الهلسيتي

(1-21)

رف المصفوفة إلدخال مفهوم الكيرال نع، سبينور ديراك في حالة انعدام الكتلة ~ω حيث γ5 :

(1-22)

:والتي تحقق العالقة

22

(1-23)

:أما شكلها الصريح في تمثيل ديراك فهو

(1-24)

Pمع مؤثر الطاقة γ5تتبادل rr .σ ات الكمومية بالقيم الخاصة للمؤثر الحالةلذلك توصف

γ5 على اعتبار أن 1±وهيγ2يمكن كذلك ، وتسمى هذه بالقيم الذاتية للكيرالية 1= 5

لفرميون عديم تابع الالغرانجحيث ، التعبير عن تناظر كيرال باستخدام نظرية الحقل :الكتلة هو

(1-25)

µ: حيث µγ ∂=∂/

:غير متغير نتيجة التحويل تابع الالغرانج

(1-26)

كـذلك غيـر ، ) xعدد حقيقي غير تابع لـ α( العالمية U(1)المعبر عن زمرة التناظر :متغير نتيجة االنتقال

(1-27)

. U(1)5نسمي هذه الزمرة زمرة التناظر الكيرالية العالمية ونرمز لها بالشكل

: انحفاظ ا لدينا تيار (Neother Theory)وفق نظرية نوثر

(1-28) ψγψ µµ ˆˆˆ =J

23

:انحفاظ الشحنة لكال التيارين μ=0التكامل الفضائي للمركبة يعطي

(1-29)

xdQ 3ˆˆ ∫= ψψ

ـ ، P النوعيـة االختالف األساس بين هذين المؤثرين هو سلوكهما نتيجة تـأثير ا معادلتχφφχإذا تحقق النوعيةنتيجة تأثير انديراك المتغيرت →→ ن االندفاع يتحولوذلك ال,

PPبالشكل ωγωωومنه فان سبينور ديراك يتحول بالشـكل →− 0=→ P أو بشـكل :ينتقل بالشكل Q5منه فان و مكافئ

(1-30)

تحول ي Qبينما المؤثر ، هو مقدار شبه سلمي Q5 فانمن ثم استخدمنا وQQبالشكل ˆˆ نوثر تياريتصرف ، هو مقدار سلميف من ثمو →

( Axial vector) وكشعاع محـوري μ=0كمقدار شبه سلمي للمركبة النوعيةنتيجة تأثير .الفراغية للمركبات

حيث يتحول بالشكل عليها يؤثرألية حال النوعية 5Qالمؤثر يغير

: الحالة بفرض

(1-31)

يتبادل 5Q وبكونبقيمة ذاتية معاكسة Pهي حال خاصة للمؤثر الحالةأي أن : Hمع الهاملتوني

(1-32)

بالطاقة نفسها ψ5Qتوجد حال Eبقيمة خاصة للطاقة ψأي أنه من أجل كل حال النوعيةفان تناظر الكيرال يتطلب وجود ثنائيات من ثم و النوعيةمعاكسة في هاولكن

( Parity Doublet ) وهذه تصح ليس فقط في حال انعدام الكتلة وإنما تصح كذلك بوجود : بالعالقة الغرانج التفاعل يعطى تابع حيث (Gauge Field) [21]معياري تفاعل مع حقل

24

(1-33)

:متغيرنتيجة تحويل الكيرال ال ابع الالغرانجالتهذا

(1-34)

: يحوي المشتق الالمتغير الالغرانج تابع والسبب في ذلك أن الحد الحركي من

(1-35)

الحالةوهذه مهمة جدا في U(1) يالمعيارأي أن الكيرالية تبقى محفوظة بوجود التفاعل dوكوارك uحالة فرميونين مثل كوارك علىيمكن تعميم ما سبق ، النووية كما سنرى

: فنجد الالغرانجتابع في md≈mu≈0حيث نضع

(1-36)

:حيث

(1-37)

:متغير نتيجة التحويل الكيرالي ال تابع الالغرانجهذا

(1-38) τهنا

r جة عدم التغير لدينا ثالثة تيارات نوثريونت، مؤثر االيزوسبين هو:

(1-39)

:والتي هي أشعة محورية وكذلك لدينا ثالثة شحنات مترافقة

(1-40)

لدينا هنا تناظر ال تبادلي ، SU(2)للزمرة T=1التمثيل إلىوهي كميات شبه سلمية تنتمي والتي يمكن SU(2)f5يرال ونرمز لها بـ يشكل زمرة ك) بسبب وجود االيزوسبين (

الفكرة الفيزيائية األساس من هذا ، SU(3)f5تعميمها كذلك الى زمرة التناظر الكيرالية يجب أن يقابله بروتون له (uud)فمثال البروتون المؤلف من ، وجود الثنائيات يالتناظر ه

يمكن أن نعتبر هذه واقع ومنهبالتأكيد هذه الثنائيات ال وجود لها في ال، زوجية معاكسة خاصة أن الباريونات ذات كتل محددة وهذا ما يؤدي أن بالمناقشة غير حقيقية في األصل و

25

يجعلنا نستمر في بانولكن يوجد سب، فرض كتلة الكواركات تساوي الصفر ال معنى له بطة المرت الحالةأوال أنه ليس من الضروري افتراض أن كتلة : هذه المناقشة وهما

النسبوية لها أية عالقة بسيطة مع محتوياتها حيث يمكن أن تشتق على األقل من طاقة وليس لدينا الثنائيات تابع الالغرانجوالسبب الثاني هو أنه لدينا هنا حالة تناظر ، التفاعل

إلى وجود يالمتوقعة ومنه لدينا ما يسمى بكسر التناظر التلقائي والذي كما سنرى سيؤدن قبول إومنه ف (Goldstone Bosons)تسمى بوزونات كولدستون العديمة الكتلة بوزونات

الذي (كذلك إذا افترضنا وجود حد الكتلة ، التناظر الكيرالي مرتبط بوجود هذه البوزونات :هي مصفوفة الكوارك mيث ح qqm=lδ :للكواركات ) يكسر التناظر

=

d

u

mm

m0

0

ومنه فان تيار :نتيجة التحويل ا"متغير تابع الالغرانجيصبح تناظر الكيرال غير محفوظ ولكن طالما أن الكتل صغيرة نعتبر تناظر الكيرال كتناظر تقريبي

بحيث أن بوزونات كولدستون يصبح لها اآلن كتل صغيرة والنجاح األساسي هو إمكانية .بكتل صغيرة مع بوزونات كولدستون πتطابق البيونات

كسر التناظر التلقائي 4-1

Spontaneously Broken Chiral Symmetry

: [22,23,24,25]توجد عدة حاالت لكسر التناظر نلخصها بالشكل

Explicit Breaking كسر التناظر بشكل واضح -1

المهمة هنا فيما الحالةويل ما ومتغير نتيجة تح تابع الالغرانجيحدث هذا نتيجة وجود حد في كما سنرى في ) تناظر تقريبي (كحد اضطرابي عدهلو كان هذا الحد صغير بحيث يمكن

نظرية االضطراب الكيرالية

Anomalous Breakingالكسر الشاذ -2

26

الحالةكن نتيجة انتقال ما ول االكالسيكي متناظر تابع الالغرانجعندما يكون الحالةهذه تحدث طبعا هذا النوع من كسر التناظر مهم وذلك الن تكميم الحقول ، الكمومية غير متناظرة

.الكالسيكي تابع الالغرانجينمان يعتمد عل اباستخدام المسارات التكاملية لف

:كسر التناظر التلقائي -3

بمعنى أنه رالتناظتناظرما ولكن الخالء متغير نتيجة تابع الالغرانجل يكون الحالةفي هذه لفهم كسر التناظر التلقائي الكيرالي نبحث في شروط عدم وجود الثنائيات التي . متحلل

يتطلبها التناظر الكيرالي وأن نلقي الضوء على الشرط الفيزيائي الذي يكون كسر التناظر BAلنأخذ السويتين ، التلقائي محقق وهذا يعني انه نستطيع بحيث تشكالن ثنائيتين ,

: اآلتياستنتاج احدهما من األخرى عن طريق تحويل التناظر

(1-41)

Q مولد زمرة التناظر ،BAττ φφ BAتين الحالةمؤثري توليد ˆ,ˆ , :

(1-42)

:ومنه EA=EBثنائية إذا كان تان الحالةتشكل

(1-43)

: .مولد زمرة التناظر فان Qبفرضوذلك

ˆ00ومنه إذا كان =Q فان:

(1-44)

متغير نتيجة تحويل ال هذا يعني أن الثنائيات تكون موجودة إذا كان الخالء ، EA=EBومنه من ثمو EA=EBفر ولكن إذا كان ال يكون التناظر وبقيمة ذاتية تساوي الص

الخالء متغير نتيجة تأثير يعني أن كسر التناظر التلقائي ومنه ، الثنائيات غير موجودة

27

لتي تنص على وجودا Fabriaud and Picasso نصيغ اآلن هذه الشروط بنظرية، التناظر متعددة حاالت

ˆ00إذا كان -1 =Q متغير الفان الخالء . 2- 00ˆ ≠Q أي) منظمتابع غير (وهي حالة غير معرفة في فضاء هلبيرت:

(1-45)

:µPأن الخالء هو تابع خاص لالندفاع بفرضوذلك

(1-46)

ˆ00التكامل في المعادلة ما لم يكن يجب أن يتباعد =Q ، لتغير الخالء األساسالنتيجةهو وجود جسيمات بوزونية عديمة الكتلة تسمى بوزونات كولدستون ) تحلل الخالء(

(Goldstone Bosons) ، [26]اآلتي تابع الالغرانجيمكن تفسير نشوؤها إذا أخذنا :

(1-47)

:حيث

(1-48)

:نأخذ الجهد بالشكل

(1-49)

0, 2 ⟩µλ متغير نتيجة التناظر ال هذا تابع الالغرانجU(1) ، نعرف أن كل شيء يعتمد علىأوال أن الجهد فرضناإذا ، أي الخالء في نظرية الحقل الكمومي األرضيةطبيعة السوية

ومن الناحية الكمية φ=0سيكية فان القيمة الصغرى للجهد تحدث عند مؤلف من حقول كالحول القيمة الصغرى الكالسيكية التأرجحاتنعرف الخالء بنفس األسلوب ولكن نتوقع بعض

φ=0لذلك ننشر حول القيمة الصغرى

(1-50)

28

(λ=0 )في حالة عدم وجود تفاعل تابع الالغرانجتمثل أمواج مستوية وهي تحقق ±ikxeحيث :لذلك نعرف الخالء الكمومي هنا بحيث

(1-51)

لذلك

(1-52)

فان النهايات الصغرى ) بدون أي سبب فيزيائي واضح ( 2µإذا غيرنا اآلن إشارة الحد :تحدث عند المستقرة

(1-53)

أو

(1-54)

:حيث

(1-55)

: اآلتيكما هو مبين بالشكل

(1)الشكل

:بالشكل (54-1)المعادلةتكتب

(1-56)

29

ومنه لدينا عدد النهائي من حاالت الخالء تتوزع على دائرة هي المحل الهندسي للنهايات :الحقل رالشكل القطبي لمؤثنأخذ الصغرى وللتبسيط

(1-57)

ˆ),(ˆ)(حيث xxh θ مؤثرات الحقول في االتجاه القطري واالتجاه الزاوي.

: يأتيكما تابع الالغرانجعندئذ بوضع و

(1-58)

ˆ)(لحقل لأن بفرض xh 22)(تربيعي احد xhµ فإننا نقابله بجسيم ذو كتلةµ2ما ال وجود بينˆ)(لحقل ل للشكل التربيعي xθ هذا يعني أنه في حالة كسر ، لذلك نقابله بجسيم عديم الكتلةويبقى السؤال عن كيفية تغير النظام ، تماما اطيف الجسيمات مختلفيكون التناظر التلقائي

ففي فيزياء ، حالة طورية مختلفة الى كانتقال هنا سنفهم هذا التغير، 2µالفيزيائي إلشارة إشارتها كتابع لدرجة الحرارة مثال أو لمتحوالت 2µالعوامل مثل تغير األولية الجسيمات

يةأخرى تساهم في التغير الطوري لذلك سنفهم نظرية كولدستون هنا بأنها نظرية ظواهر :الغرانج وهو لتابع اليبقى السؤال عن تيار التناظر، ( Phenomenological Theory)بالكامل

(1-59)

:نجد ) 1-59(في (57-1)في حالة كسر التناظر إذا عوضنا العالقة

(1-60)

:نتوصل إلى النتيجة األساس لكسر التناظر التلقائي وهيوهكذا

(1-61)

أي أن تيار التناظر يربط بين ، µPباندفاع ) ستون بوزون كولد( θ كم هي حالة P,θحيث هذه العالقة متوافقة مع انحفاظ تيار التناظر ، الخالء والسوية التي تحوي جسيم كولدستون

0=∂ µφµJ حيث يجب أن يكونP2=0 لننظر اآلن إلى ، كما هو مطلوب لجسيم عديم الكتلة

: QCDيوني من الغرانج الجزء الفرم

30

(1-61)

:ة اآلتيباإلضافة إلى الزمر SU(3)هي تابع الالغرانجزمرة التناظر لهذا

1- U(1)f ) f تشير الى النكهةFlavor (

.الشحنة المرافقة لهذا التناظر تمثل انحفاظ عدد الكواركات

2- SU(2)f زمرة االيزوسبين

. تابع الالغرانجفي mu,mdلحقل الكهرطيسي والكتل وهو يكسر بشكل واضح بوجود ا

3- U(1)f5

وهو ال يقابل أي قانون انحفاظ وال يمكن مطابقته بكسر التناظر التلقائي حيث ال يوجد هو ميزون شبه سلمي ولكن كتلته ηمع أن الميزون (-0)بوزون عديم الكتلة شبه سلمي

547 Mev أن فقدان هذا الميزون يعبر ، كولدستون لذلك ال يمكن مطابقته مع بوزونات . U(1)عنه بمشكلة

4- SU(2)f5

:يرتبط مع هذا التناظر تيارات نوثر المحورية

(1-62)

:والشحنات المقابلة

(1-63)

ر لزمرة نوثبنفس األسلوب تيارات و، وهي مولدات زمرة التناظر وهي كميات شبه سلمية : SU(2)fالتناظر

(1-64)

: هي الشحنات المرافقةو ،التي نسميها تيارات شعاعية

31

(1-65 )

.وهي مقادير سلمية

: (Lee Algebra)جبر هذه المؤثرات هو جبر لي

(1-66)

: بفرض تشكيل المؤثراتيمكن تبسيط هذه العالقات

(1-67)

:التي تحقق الغالقات و

(1-68)

iLiRالمؤثرات تحقق من ثمو QQ وكما نرى عزم االندفاع مؤثرالعالقات نفسها التي يحققها ˆ,ˆلذلك فان SU(2)يخضع كل منها لجبر لي للزمرة من العالقات السابقة هذه المؤثرات مستقلة و

. SU(2)fLҳSU(2)fR هي زمرة التناظر الكلية

: نكتب مؤثرات الشحنة بالشكل

(1-69)

والتي تسقط خارجا األجزاء الكيرالية PR,Lهي مؤثرات االسقاط ولكن :للفرميون ومنه

:حيث

32

:وكذلك يمكن كتابة التيارات بالشكل

: حيث

: أيضا فان التيار االيزوسبين المحوري محفوظ ااآلن إذا كان التناظر الكيرالي محفوظ

(1-70)

:يحقق العالقة من ثملعدم وجود الثنائيات و تلقائيا التناظر ولكن هذا التيار يكسر

(1-71)

ثابت وسنبين فيما بعد انه عند كسر تناظر fπ، هي جسيمات كولدستون عديمة الكتلة πJحيث يبقي تيار االيزوسبين QCDالكيرال بشكل صريح وذلك بإدخال كتل الكواركات في الغرانج

في العالقة πJكتلة صغيرة للجسيمات المحوري محفوظ بشكل تقريبي وحيث نستطيع إعطاءتعاني من QCDالسابقة ومطابقتها مع البيونات وهذا ما يعطي البرهان على أن نظرية

).حيث البيونات هي المسيطرة ( فضة خناصية كسر التناظر التلقائي عند الطاقات المخ

سيغما الخطي والالخطي نموذج -5

l mode-The Linear and non linear σ

سنحاول اآلن بناء الغرانج يصف التفاعل بين النيكلونات والبيونات بحيث يحقق التناظر لنيكلون كتلة وسنستفيد من خاصة كسر التناظر التلقائي في ليكون لن "الكيرالي ومنه ابتداء

سنعرف ، إعطاء كتلة للنيكلون وبعد ذلك سنكسر التناظر بشكل صريح إلعطاء كتلة للبيونات : [28]ركيبات من حقول الكوارك بالشكلأوال ت

(1-72)

πالبيون يتغير r نتيجة زمرة االيزوسبينSU(2) بالشكل:

33

(1-73)

. SU(2)5بارامترات زمرة التناظر ويتحول بالنسبة إلى زمرة التناظر كيرال jθحيث

(1-74)

: SU(2) حقل سيغما يتحول وفق

(1-75)

: SU(2)5ووفق

(1-76)

إن زمرة تناظر االيزوسبين هي دوران في فضاء االيزوسبين ومنه فان مربع الحقول هي كميات ال متغيرة

(1-77)

:فان SU(2)5الزمرة إلىأما بالنسبة

(1-78)

)ومنه الكمية )22 πσ SU(2) , SU(2)5متغيرة نتيجة الزمرتين هي ال +

(1-79)

)نأخذ الجهد بالشكل لهذا و )22 πσ + V ،نيكلون بالشكل -نعبر عن تفاعل بيون:

(1-80)

πوهو مقدار سلمي وذلك الن كال من r أن بفرض ، نوداخل القوس هما مقداران شبه سلميي

σ سيغما بالشكل- سلمي فإننا نختار تفاعل نيكلون:

(1-81)

: اآلتي الذي يحقق تناظر االيزوسبين والكيرال الشكل تابع الالغرانجيكون ل ومنه

(1-82)

34

:العالمية أي نتيجة التحويل SU(2)متغير نتيجة الزمرة ال تابع الالغرانج

(1-83)

:وتيار نوثر

(1-84)

)مولدات الزمرة (والشحنات

(1-85)

: SU(2)5لكيرالية وكذلك لدينا زمرة التناظر ا

(1-86)

:تيار نوثر المرافق

(1-87)

:والشحنات

(1-88)

. (68-1)كما رأينا فاننا نستطيع تعريف هذه المؤثرات وفق العالقات

ولكن هذا التناظر يمكن SU(2)LҳSU(2)Rلالغرانج هي لتابع ا فان زمرة التناظر الكلية من ثموو ال يمكن فهمه بالنسبة حقل البيون وسيغما حيث γ5يث يوجد النيكلونات ح إلىفهمه بالنسبة

تقابل زمرة SU(2)و يمكن تفسير هذا إذا عرفنا أن γ5 يتحقق هذا التناظر مع عدم وجود ومنه إذا ، الدوران في الفضاء الثالثي حيث تخضع مولدات كال من الزمرتين لنفس جبر لي

ثالثي األبعاد وحقل سيغما يمثل البعد الرابع لهذا افرضنا أن حقل البيون يماثل فضاء مكاني الفضاء فيصبح لدينا فضاء رباعي األبعاد فيه ستة دورانات مستقلة تقابل بالضبط

35

iLiRستة مولدات QQ زمرة SO(4)وهذا يعني بالنسبة الى حقل البيون زمرة التناظر هي ˆ,ˆالكمية ألن وذلك ااقليدي ذا الفضاء يجب أن يكون فضاءه، الدوران في الفضاء الرباعي األبعاد

( )22 πσ بينما إذا فرضنا أن هذا الفضاء هو فضاء مينكوفسكي يجب أن يكون ةمتغيرال +( )22 πσ ). metric functionتابع المسافة( هوالالمتغير −

: جهد التفاعل المبني وفق هذه الطريقة هو

:فان التناظر ال يكسر أي "اموجب μ2إذا كان

(1-89)

:لجهد القيم الصغرى المستقرة لإذا غيرنا اإلشارة فان

(1-90)

الديناميك المسئول عن هذا التغير لذلك اعتبرنا أن إلىتم هنا بحيث لم نشر يأن تغير اإلشارة نتائجها فقط وإذا كانت قادرة على ونحن نبحث عن يةكسر التناظر التلقائي هي نظرية ظواهر

:بالشكل (90-1)نفهم العالقة ، المدروسة فإننا نقول أن الديناميك له هذا السلوك الحالةوصف

(1-91)

)أي أن الخالء هو حلقة كروية في الفضاء الرباعي األبعاد )σπ ,r ومنه لدينا عدد النهائي من :دة منها في اتجاه ما حاالت الخالء ولنختبر واح

(1-92)

aaنستطيع نشر حقل البيون بداللة مؤثرات الفناء والتوليد ˆ,ˆ بينما حقل سيغما ال نستطيع + :نشره وفق هذه المؤثرات لذلك نعرف

(1-93)

36

: (81-1) غرانجتابع الالنعوض هذه العالقة في ، ينشر وفق هذه المؤثرات σ'بحيث

(1-94)

: اآلتية له الخصائص هذا تابع الالغرانج

)(أصبح للنيكلون كتلة -1 σπ νNNg− متناسبة مع عامل كسر التناظرσν ).بوزونات كولدستون (ال كتلة لها πبيونات -2

. µ2له الكتلة σميزون -3

.تلقائيا التناظرتكسر SU(2)5زمرة تناظر بينما الزمرة SU(2)زمرة تشكل ال -4

σلذلك نعتبر ′L الفعال المبني على التناظر تابع الالغرانجهو نوع منSU(2)LҳSU(2)R اآلن إلدخال كتلة للبيون ندخل حد إلى الالغرنج بحيث يكسر التناظر بشكل ، QCDلنظرية

)ˆ(لحد هو إما كتلة الكواركات أو بشكل مكافئ صريح هذا ا σC عندئذ تيار التناظر التلقائي :يصبح غير محفوظ أي

:نجد (71-1)بالمقارنة مع العالقة

(1-95)

ππ بالشكل fπعرفنا اآلن ذاإ ν=f اآلن الكتلةللبيون أصبح σπ ν

cm =2

.

مع (+0)وسلمي 1GeVالمشكلة األساس لهذا النموذج هوعدم مطابقة ميزون كتلته أقل من نجعل كتلته تسعى إلى الالنهاية وبشكل تابع الالغرانجميزون سيغما لذلك إذا أردنا إزالته من

تسعى الى λنجعل قيمة تابع الالغرانجفي ، الطاقية المنخفضة الحالةهي دراسة ، مكافئ :نهاية ومنه حلقة النهايات الصغرى تصبح دائرة نسميها دائرة الكيرال والتي تحقق الشرط الال

(1-96)

37

:وفق هذه العالقة نكتب

(1-97)

:أو باستخدام الرموز العقدية

(1-98)

U هنا مصفوفة الواحدة(2ҳ2) يكافئ (96-1) ومنه الشرط:

(1-99)

الدوران حول دائرة الكيرال فان كل إلىبالنسبة تناظرأن التناظر الكيرالي يقابل ال بفرضو :التركيبات من الشكل

(1-100)

: اآلتيبالشكل QCDومنه نكتب الغرانج ، هي غير متغيرة

(1-101)

عند هذه النقطة فإننا نحتاج إلى مخطط ما يخبرنا أي من هذه البنى يجب أخذه وهذا ما يقودنا .رالية إلى فكرة نظرية االضطراب الكي

نظرية االضطراب الكيرالية 6-1

Chiral Perturbation Theory

لنظرية الحقل الفعال وهي أن األساسنظرية االضطراب الكيرالية مبنية وفق الفكرة الخصائص الديناميكية لنظام فيزيائي تتحدد بشكل كلي بدراسة النظام على المستوى

انه عند مقاسات طاقية معينة ال يشترط أن نعرف (EFT)نظرية جهري ولكن تخبرنا مالمثال القوى التي ، [27]البنية التفصيلية للنظام الفيزيائي حتى نفهم سلوكه عند ذلك المقاس

تحكم ديناميك كرة السلة هي القوى الكهرطيسية بين الذرات المؤلفة للكرة ومع ذلك يكفي أن نعرف عدد قليل من الثوابت

38

هذه الثوابت هي توابع معقدة لثابت ولوصف سلوك الكرة ) ثابت تنسورالمرونة مثال ( ومنه نستطيع وصف ، QEDالذي يعتمد على تفاصيل نظرية (α)االرتباط الكهرطيسي

المعرفة التفصيلية عن هذه إلىديناميك الكرة باالعتماد على هذه الثوابت دون الحاجة بشكل عام حيث يجب أن نعرف بعض الخصائص على ولكن هذا غير صحيح، الثوابت

حيث سلوك كرة السلة سيكون مختلف تماما إذا كانت ، المستوى المجهري مثل التناظرات أو إذا كانت غير متناظرة دورانيا أو تتغير نتيجة امعين اتفضل اتجاه QEDنظرية

(EFT)لكمومي الفعال نظرة أعمق لنظرية الحقل ا إلىوهذا يقودنا ، االنتقال المكاني والتي عبر عنها واينبرغ بالقول أن النظرة الفعالة هي النموذج األعم للنظرية األساس والتي تحوي نفس المحتوى الفيزيائي ولكن مصاغة بداللة درجات حرية مناسبة لمقاس

جتابع الالغرانيسمى هذه الجديد المنشأ وفق درجات الحرية تابع الالغرانجطاقي معين و Functional) [28]وللتعبير عن هذه األفكار بشكل دقيق نأخذ التكامل التابعي، الفعال

Integral) (1-102)

في محتواةالبنية الكاملة للنظرية ، (Sources)تمثل المنابع ρ، حقل التابعي ال φحيث والذي هو القيمة n-Point Green Functionنقطة n يالمولد لتابع غرين ذ Z[ρ]التابع

:لترتيب الزمني لجداء الحقول في ا المتوقعة للخالء

(1-103)

:حيث

(1-104)

:لذلك نستخدم دلتا التابعي Фالنظرية الفعالة تتطلب التحويل الى درجات الحرية الجديدة

(1-105)

39

:المتحوالت الجديدة تدخل بالشكل

(1-106)

اقتصر التكامل التابعي على درجة حرية من ثم لفعل للمتحوالت الفعالة وتابع ا 'Sحيث الفيزيائية الحالةمصداقية هذا اإلجراء يعتمد على تقسيم نإ، مقاس طاقي معين الموافقة ل

φ األساسوحقل النظرية Фالعالقة بين حقل النظرية الفعالة ، إلى مقاسات طاقية مختلفة φf=Φ)(و من الشكل ه بحيث Λأي يوجد مقاس طاقي ، هو تابع حد القطع fحيث

ومنه وفق مخطط نظرية Q<Λتكون النظرة الفعالة صحيحة من اجل االندفاعات األقل نظرية االضطراب الكيرالية أن يجب التأكيد على، Q<Λاالضطراب ننشر بداللة قوى المفهوم العام أي أنها ليست نظرية بداللة ثابت االرتباط في ليست نظرية اضطراب وفق

. QCDنظرية

(EFT)ونظرية ، QCDالنووية هي مقاس طاقي منخفض لنظرية الحالةمثال تعتبر المبنى وفق تابع الالغرانجبحيث أن ، عند الطاقات المنخفضة QCDتصف سلوك نظرية

و ،باإلضافة إلى تناظر الكيرال QCDرية لنظ األساسهذه الطريقة يحقق التناظرات . ( Lagrange Of Effective Field Theory)لحقل الكمومي الفعال لالغرانج بتابع اليسمى

mu≈md≈ms=0في حالة SU(3)LҳSU(3)RҳU(1)Vله التناظر QCDرأينا أن الغرانج التناظر الكلية ومنه نتوقع أن الهادرونات تنظم نفسها وفق التمثيل الالمختزل لزمرة

SU(3)LҳSU(3)RҳU(1)V والزمرةU(1) تؤدي الى انحفاظ العدد الباريوني و تصنيفحقيقتان تجريبيتان تبينان وجود ظاهرة ، B=1وباريونات B=0الهادرونات الى ميزونات

:كسر التناظر التلقائي وهما

.ت هي زمرة التناظر للهادرونا SU(3)LҳSU(3)Rبدال من SU(3)الزمرة -1 ( η , k, π) ( Octet)مطابقة ميزونات كولدستون مع الميزونات الشبه السلمية للمثمن -2

. (-1)ذات الكتل الصغيرة مقارنة مع الميزونات الشعاعية

40

نظرية االضطراب الكيرالية للميزونات1-1-6

Chiral Perturbation Theory for mesons

ال بد أوال من دراسة QCDمومي الفعال لنظرية لحقل الكلالغرانج ال تابع لوضعومن ثم [29]سنناقش ذلك أوال بشكل رياضيوالخصائص التناظرية لبوزونات كولدستون

Gوله زمرة التناظر Hيوصف بالهاملتوني افيزيائي النفرض نظام، نطبقه فيزيائيا سله زمرة التناظر ) ي الخالء في نظرية الحقل الكموم(ولنفرض كذلك أن السوية االرضية

GHالجزئية كل من هذه توصف ، n= nG-nHبوزون كولدستون nأي لدينا ⊃ليتشكل لدينا Фمركبة nسنجمع كل من هذه التوابع وفق شعاع له ، Фiالبوزونات بالتابع :الفضاء الشعاعي

(1-107)

وج بعنصر يربط بشكل وحيد كل ز φهدفنا هو إيجاد تطبيق :اآلتية بالخصائص

(1-108)

الشرط الثاني هو تماثل الزمرة ، M1على Gهذا التطبيق يعرف تأثير الزمرة (Isomorphism) ، التابعφ اليشكل تمثيل للزمرةG لعدم تحقق الشرط

وهي تقابل السوية االرضية والتي يفترض أنها غير متغيرة للزمرة M1نواة Ф=0لتكن :على هذه السوية φ ومنه تأثير Hالجزئية

(1-109) Hhh ∈∀= ,0)0,(ϕ

تمثل والتي G/Hهي إيجاد العالقة بين حقول البوزونات والمجموعة األساسالفكرة يمكن ( (Coset)هي المجموعة المرافقة اليسارية gHحيث , gHمجموعة كل المجموعات

HggHالبرهان انه من اجل الزمرة الالمتغيرة = ( :

(1-110)

41

مشتركة بأي الإلى مجموعة من المجموعات المترافقة غير Gتقسم الزمرة الكلية G/H نإ :يجب أن يكون Фو G/Hحتى نوجد تماثل بين ، عنصر

(1-111)

.وهذا محقق

gHgبحيث Gعنصرين من 'g,g كان وكذلك إذا ),0(),0(فان '∌ gg ′≠ ϕϕ لذلك),0(),0(نفرض gg ′= ϕϕ ومنه:

(1-112)

Hggهذا يعني أن gHgأو 1−′∋ ن ومنه يوجد تماثل بي، وهذا ما يناقض الفرض ′∋G/H وФ ، ومنه لمعرفة الخصائص التناظرية لبوزونات كولدستون نأخذ العنصر:

(1-113)

:حيث

: Фعلى gϕ)(اآلن لنأخذ تطبيق

(1-114)

التي تمثـل ~Hgنضرب المجموعة المرافقة Фمن 'Фهذا يعني أنه للحصول على التابع Ф بالمقدارg للحصول على مجموعة مرافقة جديدة ممثلة لــФ' .

حيث تكون زمـرة التنـاظر الكليـة QCD [29]لنطبق هذه األفكار الرياضية على نظرية G=SU(N)ҲSU(N)

(1-115)

:لنفرض أن

و

42

: SU(3)لنأخذ العنصر من الزمرة

مجموعـة بال بضرب العنصر Uلعنصر نحصل على الخصائص التحويلية ل : المرافقة

مهمتنا اآلن هي بناء نظرية عامة تصف ديناميك بوزونات كولدستون المرتبطـة بكسـر :ولنعرف المجموعة N=2,3لنأخذ ، QCDالتناظر التلقائي في

(1-116)

:ولتكن مجموعة كل المصفوفات الهرميتية

(1-117)

ولنعرف المجموعة ، عليه الجمع العادي للمصفوفات امعرف اشعاعي التي تشكل فضاء:

(1-118)

:بالشكل M1,M2ترتبط عناصر كال من N=2من أجل

(1-119)

43

: N=3وبشكل مشابه من أجل ، مصفوفات باولي و حيث

(1-120)

.و Gell-Mannهي مصفوفات λaحيث

:لنعرف المجموعة

(1-121)

:لندرس سلوك التابع نتيجة تأثير الزمرة لذلك ننشر

(1-122)

: Hير الزمرة الجزئية ثومنه تأ

(1-123)

الغرانج يصف بوزونات كولدستون المرتبطة بكسر التناظر التلقائي تابع اآلن هي بناء مهمتنا تابع الالغرانج، Hيجب أن يكون هناك ثمانية جسيمات شبه سلمية توصف بالزمرة من ثمو

:الفعال من المرتبة األولى يوصف بالشكل

(1-124)

44

F0 المتغير تابع الالغرانج، ثابت اختياري سيتم مطابقته مع تفكك البيون : اآلتيةللزمرة العالمية وفق التحويالت وفق

(1-125)

:ال متغير تابع الالغرانجومنه

(1-126)

ون لها العدد أن بوزونات كولدست بفرضالالتغير محقق وذلك U(1)Vبالنسبة إلى الزمرة . ومنه : تتحول بالشكل من ثمو B=0الباريوني

F2الهدف األساس من إدخال الثابت عتاد هو إظهار الحد الحركي بالشكل الم 0/4

لندرس اآلن ، )بوزونات كولدستون (تصف ثمانية جسيمات ال كتلة لها Фaالحقول الثمانية كتب عناصر هذه الزمرة نرات المحورية المرتبطة بالزمرة حيث التيا

:بالشكل

(1-127)

:لتحديد نضع

(1-128)

45

: ومنه

(1-129)

التيارات اليسارية هي و من ثم:

(1-130)

:نحصل على التيار اليميني األسلوبوبنفس

(1-131)

:من هذه التيارات نعرف التيارات الشعاعية والمحورية

(1-132)

لكسر التناظر التلقائي وهي العناصر المصفوفية للتيار األساسومنه نستطيع أن نستنتج العالقة :المحوري بين الخالء وحالة تحوي جسيم كولدستون وحيد

(1-133)

حد يكسر التناظر بشكل تابع الالغرانجإلى إلعطاء اآلن كتلة لبوزونات كولدستون ندخل : [30]واضح وهو

(1-134)

:حيث

46

Mيجب أن تتحول : متغير للتحويل ال تابع الالغرانجلكي يكون :الذي يكسر التناظر بالشكل تابع الالغرانج يمكن كتابة ومنه : بالشكل

(1-135)

كثافة الطاقة B0الحد يمثل ، (Symmetry breaking)األدلة على كسر التناظر حيث تشير :للسوية االرضية

(1-136)

: اآلتيولنحسب الحد

(1-137)

ومنه

كوارك الكيرالي ومنه أن عدم مالحظة الكوارك بشكل حر هو دليل على حيث تكاثف ال . ظاهرة كسر التناظر التلقائي

: تابع الغرانجمن أجل تحديد كتلة بوزونات كولدستون نأخذ الحد التربيعي من

(1-138)

:نجد (120-1)وباستخدام العالقة

(1-139)

:كولدستون هي كتل بوزونات من ثمو mu=md=mللتبسيط نعتبر

(1-140)

47

: Gell-Mann-Okuboوهي تحقق عالقة Gell-Mann-Oatesتسمى هذه العالقات بعالقات

(1-141)

:الفعال وقدرة العد لواينبرغ تابع الغرانج 1-7

Effective Lagrangian and Weinberg Power Counting

ضة وهي تتبع مبدأ واينبرغ الذي منخفالطاقة ال نظرية االضطراب الكيرالية فيزياءتصف ينص على أنه نستطيع بناء الغرانج ألية حالة فيزيائية وذلك بتحقيق مبدئين هما النظرية

بداللة قوى Sووفق هذه النظرية ننشر المصفوفة ، النسبية الخاصة والتناظر

ΛQ حيثQ

االندفاعات العالية Λو ) Q=300 MeVالنووية لةالحافي ( مقاس االندفاع للحالة المدروسةعلى الرغم ، ) Λ=1 GeVو QCDالنووية هي نظرية الحالةفي ( وتميز النظرية األساس

الفعال يجب أن يحقق كل التناظرات للنظرية األساس وهذا ما يحد كثيرا تابع الالغرانجمن أن ، دد ال نهائي من التفاعالت التي يجب أخذها من أشكال التفاعالت الممكنة إال انه يبقى هناك ع

والذي ( Dimensional analysis )لذلك تلجأ نظرية االضطراب الكيرالية إلى التحليل البعدي يحدد مساهمة كل حد من حدود الالغرابج والذي نستطيع تحديده بإتباع مبدأ واينبرغ والذي

)(ينمان هو ايقرر أن مساهمة كل مخطط من مخططات ف ΛQFQD حيثF من ثمتابع و

والذي يعبر عنه تابع الالغرانجيحدد مساهمة كل تفاعل في Dوفق التحليل البعدي المقدار : [30]ويحدد بالشكلمخطط فاينمان

Vi (Vertex)وعدد محدد من العقد Lأي مخطط لفاينمان يتألف من عدد محدد من الحلقات :ومنه IPنوع الجسيم المساهم وكذلك عدد محدد من الخطوط الداخلية حيث يشير الدليل إلى

∫كل حلقة تشمل تكامل على كل قيم االندفاع 4dQ 4تساهم بامقدار من ثموL .

2 ( Propagator)كل خط داخلي يعبر عن الممتد 1

Q . 2IP-لذلك يساهم بالمقدار

∑تساهم بالمقدار من ثماشتقاق و di كل عقدة تشمل ii dV ومنه:

48

(1-142) ∑+−=i

iiP dVILD 24

يمكن تبسيط هذه العالقة باستخدام العالقة الطبولوجية بين عدد الحلقات والخطوط الداخلية 1+−= ∑

iiP VIL

(1-143) )2(22 −++= ∑ i

ii dVLD

المعياريالتناظر 8-1 Gauge Symmetry

ووفق هذا التناظر ال SU(3)LҳSU(3)Rوفق التناظر العالمي الغرانجالتابع فيما سبقبني دل كمات الحقول ة التي تصف التفاعل بين الحقول المادية عن طريق تباالمعياريوجود للحقول

التابعية ( SU(3)LҳSU(3)Rوفق التناظر الموضعي تابع الالغرانجلذلك سندرس ، ة المعياريوذلك بإدخال Leutwyler and Gasserسنتبع هنا الطريقة التي استخدمها ، ) إلى الموضع

ية ها حقول خارجية وهي شعاعية ومحوربفرض تابع الالغرانجة مباشرة إلى المعياريالحقول : [31]وسلمية وشبه سلمية على الترتيب

(1-144)

: اآلتيعندئذ يصبح تابع الالغرانج بالشكل

(1-145)

0حيث QCDl الغرانجQCD وفق الشروط الكيرالية.

وكذلك وفق تناظر SU(3)LҳSU(3)Rة نتيجة الزمرة المعياريالخصائص التناظرية للحقول يستنتج وفق Tوالتناظر بالنسبة CPو يكفي دراسة التناظر CPTوالزمن عيةالنوالشحنة و . CPTنظرية

49

وفق الصيغتين Pتتحول حقول الكواركات وكثافة توابع الغرانج نتيجة تأثير مؤثر النوعية :تين اآلتي

: اآلتيباستخدام الجدول

لمصفوفات ديراك نتيجة تأثير الزوجبةالخصائص التحويلية (2)الجدول

:بالشكل النوعيةة نتيجة المعياريالحقول تتحول

(1-146)

:حقول الكوارك بالشكل Cنتيجة تحويل الشحنة تتحول و

(1-147)

هي أدلة سبينورات ديراك ومؤثر الشحنة هو α،βاألدلة

: اآلتيوالجدول (147-1)باستخدام العالقة

الخصائص التحويلية لمصفوفات ديراك نتيجة تأثيرمرافق الشحنة (3)الجدول

:ة تتحول نتيجة تحويل الشحنة المعياريفان الحقول

(1-148)

.ة نتيجة الزمرة المعياريأخيرا نريد أن ندرس تحويل الحقول ؤثرات لمونكتبه بداللة ا، (145-1)لالغرانج لتابع ا األيمنلنأخذ الحد الثاني من الطرف

:اليمينية واليسارية

50

:حيث

:لحساب العالقة السابقة استخدمنا العالقات

: نكتبه كذلك بداللة المؤثرات اليمينية واليسارية )1-145( تابع الالغرانجوالحد الثالث من

:يأتي كما (145-1) تابع الالغرانجومنه نكتب

(1-149)

:ة اآلتيمتغير نتيجة التحويالت ال تابع ا الهذ

(1-150)

:ة بالشكل العياريالحقول يجب أن تتحول ومنه

(1-151)

51

وتركيباته وهذا المقدار يتحول Uهو المقدار تابع الالغرانجلبناء األساسأن الوحدات بفرض :بالشكل

Aلمشتق الالمتغير بحيث إذا كانت يجب إدخال ا ( Gauge principle) المعياريوحسب المبدأ يجب أن يتحول بنفس الشكل لذلك نعرف المشتق DμAفان المشتق الالمتغير Uمقدار مثل :بالشكل ( Covariant derivative)الالمتغير

(1-152)

الفعال يحوي كل أنواع تابع الالغرانجأن بفرضو، حيث استخدمنا المقادير التنسورية و يمكننا تعريف شتقاقية من مراتب عليا التفاعالت الممكنة بقوى ا

: ة المعياريوفق الحقول

نعرف التركيب الخطي من الحقل السلمي والشبه سلمي Gasser and Leutwylerووفق

.ثابت معرف وفق العالقة المدروسة سابقا B0حيث

:نلخصها بالجدول Uة والتركيبات المختلفة من المعياريالخصائص التحويلية للحقول

52

يوضح تحويل الحقول العيارية) 3(الجدول

:ة لها المراتب اآلتيووفق مخطط العد في نظرية االضطراب الكيرالية فان المقادير

الموصوفة في األساسمن الوحدات الفعال تابع الالغرانجيبنى ، يرمز إلى المرتبة Oحيث عدم التغير ، السابق ل وبالتوافق مع التحوالت التناظرية الملخصة في الجدو (153-1)المعادلة

يحوي فقط (Mesonic Lagragian)الميزوني تابع الالغرانجنتيجة تحويل لورنتز يتطلب أن : النوعيةالمراتب

:األقل مرتبة هو تابع الالغرانج

(1-153)

:الباريوني تابع الالغرانج 1-9

Baryonic Lagragian

وصلنا اآلن إلى المرحلة التي نستطيع فيها بناء الغرانج التفاعل بين النيكلونات وبوزونات .النووية الحالةالغرانج من ثمو، كولدستون

53

:النيكلون يوصف بالسبينور

(1-154)

بداللة التابع نتيجة زمرة الكيرال الخصائص التحويلية للنيكلونتعطى

: بالشكل

(1-155)

K تابع إلى عنصر الزمرة من وكذلك إلى حقل كولدستونU وله الشكل :

(1-155)

. ترتبط بتحويالت حقل كولدستون و حيث

:المشتق الالمتغير هنا هو

(1-156)

:حيث

(1-157)

هناك صلة وثيقة بين تابع االلفة في النظرية ( ( Connection function)هو تابع االتصال ة النسبية العامة والمشتق الالمتغير في نظرية الحقل الكمومي لذلك ربما تكون النظرية النسبي

) .ة المعياريالعامة هي من النظريات

:المشتق الالمتغير بالشكل يتحول

54

:األقل مرتبة للتفاعل بين النيكلون والبيون يقرأ بالشكل تابع الالغرانجومنه فان

(1-158)

.ثابت االرتباط بين النيكلون واألشعة المحورية gAو ، كتلة النيكلون mحيث

55

لثاني الفصل ا NNLO قيمة طاقة االرتباط لنواة التريتيوم وفق الحدود

:مقدمة 1- 2

SU(2)L×SU(2)Rالعالمي يخضع للتناظر QCDرأينا في الفصل األول أن الغرانج نظرية الذي يقدم مفهوم ويؤدي إلى كسر التناظر التلقائي ما بفرض انعدام كتلة الكوارك، وهذا

هذا الحد صغير بحيث يعتبر (يكسر التناظر بشكل صريح جسيمات كولدستون، وبإدخال حدنستطيع إعطاء كتلة لجسيمات كولدستون والتي يمكن مطابقتها ) تناظر الكيرال تناظر تقريبي

.مع البيوناتالذي يتضمن بشكل Dµالال متغير المعياريوبدراسة التناظر الموضعي للزمرة ندخل المشتق

ال يبقى تناظر تقريبي بوجود حد كسر التناظر الصريح ومنه تلقائي حقل البيون، تناظر كير الحالة(المبني وفق تناظر الكيرال يصف المقاس الطاقي المنخفض تابع الالغرانجفإن

بداللة تابع الالغرانج، ومن هنا تنشأ نظرية االضطراب الكيرالية بنشر QCDلنظرية ) النووية(قوى

∧Q ( حيثQ ،يمثل حد القطع ∧يمثل اإلندفاع أو كتلة البيون)هنا في فضاء االندفاع (يصف التفاعل بين النيكلونات بدون تابع الالغرانجأصغر من كتلة البيون فإن ∧فإذا كان

أكبر من كتلة البيون وأصغر من المقاس الذي ∧طي، وإذا كانت قتبادل البيون أي التفاعل النفإن الحدود ∧≈GeV1تناظر الكيرال غير صحيح الذي نسميه المقاس الهادروني يصبح عنده إننا ننشر في بفرضتصف التفاعل بين النيكلونات والبيونات، و تابع الالغرانجالداخلة في

(نظرية االضطراب الكيرالية بداللة قوى ∧Q (یحدد إسھامھ تابع الالغرانجإن كل حد في ف

ν) Qبداللة قوى ھذا الحد ∧

بالحدود الرئيسة والتي هي ν=0ونسمي الحدود التي تقابل ، )ضافة إلى تفاعل االتصال وهي تقابل تبادل بيون واحد بين النيكلونين وباإل Q(1)من المرتبة

الحدود التي تلي ، ومنه النوعية ظفاحنإال تظهر بسبب ν=1طي، الحدود من أجل قأو النوهي تتألف من عدة أنواع من تبادل البيون وتفاعل ν=2تبدأ عند ) NLO( الرئيسةالحدود

والتي يظهر فيها قوى ثالثة نيكلونات ) NNLO(تسمى الحدود ν=3االتصال، ومن أجل وتظهر هذه القوة بعدة أشكال منها تبادل بيونين وتبادل بيون بين نيكلونين ) NNLO(ألول مرة

والذي تابع الالغرانجتحديد مقدار مساهمة كل حد من ول ،يتفاعالن نقطيا مع النيكلون الثالث

56

لواينبرغ الذي ) Power Counting(مان نلجأ إلى مفهوم قدرة العد انيفلمعين يقابل مخطط .شرحناه في الفصل األول

ينص ولبناء القوى النووية انطالقا من نظرية الحقل الكمومي الفعال نتبع مبدأ واينبرغ والذي ي بداللة كل أشكال التفاعالت الممكنة بحيث تحافظ على التناظر الذ تابع الالغرانجكتابة على

.وكل التناظرات الممكنة QCDتخضع له النظرية األساس وهي هنا :بالشكل النووية الحالةومنه نكتب الغرانج

NNπNππ ££££ ++=

£££..... : حيث (4)ππ

(2)ππππ ++=

سندرس في هذا الفصل حالة االرتباط لثالثة نيكلونات وذلك بحل معادالت فادييف باستخدام نهمل درجات الحرية العائدة سأي ين نيكلونين باالعتماد على تبادل ميزون سلمي الجهد ب

.للسبين واآليزوسبين، وهناك أعمال كثيرة تم فيها دراسة تبعثر ثالثة نيكلونات ]32[في استخدم هذه المعادالت

و CD-Bonn] 34[ و Nijmegen] 33[ة معادالت فادييف باستخدام جهد بواسط ]35 [AV18 و ]36 [Paris و ]37 [AV14 و ]38 [Bonn B و ]39 [Rohrpot كل هذه ،

نحصل من معادالت حيث Partial wavesالدراسات اعتمدت على فكرة األمواج الجزيئية يبين اآلتيمن المعادالت تحل بعدئذ بالطرق العددية، والجدول فادييف على مجموعة منتهية

األعظمية التي Jهذا الجدول قيم نبين فيقيم طاقة االرتباط للتريتيوم من أجل عدة جهود، و .يتم عندها الحساب

Potential/JMax 1 2 3 4 5

Paris 7.30 7.38 7.44 7.46 7.46 Nijm78 7.49 7.54 7.62 7.63 - Nijm II(np) 7.65 7.75 - 7.89 - AV14 7.45 7.58 7.67 7.68 - Bonn B 8.17 8.10 8.13 8.14 8.14 Ruhrpot 7.59 7.56 7.62 7.64 -

طاقة االرتباط للتريتيوم وفق عدة جهود باستخدام تحليل األمواج الجزئية) 2- 1(الجدول

57

Mev 250د الطاقات األعلى من أنه عن هي الستخدام طريقة األمواج الجزئية األساسالمشكلة ينتج لدينا عدد من ثمكبير جدا و عدد األمواج الجزئية المطلوبة لتحقيق تقارب الحلوليكون

.يصعب حلها وفق الطرق العددية) مصفوفة(كبير من المعادالت ا يعتبر هذا البحث والبحث الذي يليه من أوائل األبحاث التي تتناول طريقة جديدة تمامومن هنا

.في حل معادالت فادييفالطريقة التي سوف نستخدمها هنا تعتمد على الحل المباشر لمعادالت فادييف في فضاء

هي إيجاد متحوالت جديدة وهي طويلة كل من األشعة والزوايا فيما األساساالندفاع والفكرة لجهود المدروسة بينها،ويعتبر هذا البحث أول بحث يتناول هذه الطريقة في الحساب باستخدام ا

.في هذا الفصل على حد علمنا :معادالت فادييف لنظام مؤلف من ثالثة نيكلونات 2-2

معادلة شرودينغر لنظام مؤلف من ثالثة جسيمات تتفاعل فيما بينها عن طريق جهد التفاعل : [40]هي بين جسيمين

)1 -2 ( Ψ EΨ ) VH (3

1iio =+ ∑

=

−∑ )2- 2( أو =

ii

o

Ψ V HE

1Ψ

j,kالجهد بين النيكلونين Viحيث free three-bodyالحر الممتد هومن المعادلة السابقة في الطرف األيمن األولد الح

propagator: )3 -2(

oo HE

1G−

=

في المقام εiحد ال حاجة إلى إدخال ال من ثمو E<oأننا ندرس حالة االرتباط فإن بفرضو . ةإلزالة المفرد :عن طريق التعويض المتكرر) 2- 2(بحل المعادلة

)4 -2( Ψ ...... V GV GVGΨV G Ψk

koj

joi

ioio ∑∑∑∑ ==

هي كتابة التابع الموجي بشكل مجموع ثالثة مركبات تسمى مركبات األساسفكرة فادييف

:فادييف )5 -2( ∑

=

=3

1iiΦΨ

58

:بحيث كل مركبة تحقق المعادلة )6 -2( Ψ V G Φ ioi =

أو ∑

∑

≠

=

+=

=

ijjioiio

3

1jjioi

Φ VGΦVG

Φ V G Φ

)7 -2( ( ) ∑≠

=−ij

jioiio Φ VGΦ VG1

:ومنه )8 -2( ( ){ } ∑

≠

−−=ij

io1

ioi j Φ VG VG1 Φ

:الحد بين القوسين في الطرف األيمن يكتب بالشكل

)9-2(

( )

io

ioioiioiio

ioioioioio1

io

tG ...)VGVGVVGV(VG VG ....)VGVGVG 1 (VG VG1

=

+++=

+++=− −

ti هو مؤثر االنتقال بين جسيمين والدليل)i ( كما في حالة الجهد يشير إلـى الجسـيمين)j, k ( : ةاآلتيويحقق معادلة ليبمان شوينغر

)10-2( ioiii tGVVt += :يمكن فهم معادلة ليبمان شوينغر

)11-2( tVGVt o+= :بالحل عن طريق التعويض المتكرر

)12-2( ........VVGVGVVGVt ooo +++= :اآلتينعبر عن هذه المعادلة بالشكل التخطيطي

Vوالجهد tتمثيل تخطيطي لمؤثر االنتقال ) 1(الشكل

:نجد مركبات فادييف تحقق المعادالت) 2-8(بـ) 2-9(بالتعويض

59

)13-2( ∑≠

=ij

jioi ΦtGΦ

:اآلتيا بالشكل التخطيطي مترابطة نعبر عنه ثالث معادالتوهي

(2-13)تمثيل تخطيطي يمثل المعادالت ) 2(الشكل

إذا كانت لدينا ثالثة فرميونات متطابقة فإن التابع الموجي الكلـي يجـب أن يكـون عكسـي :التناظر، وبمالحظة أن مركبات فادييف ترتبط فيما بينها بالشكل

)14-2( 123121o23122o2 Φ P PΨ V G P P ΨVG Φ ===

):i, j(مؤثر يبدل الجسيمين Pijحيث )15-2( 12313io23133o3 Φ P PΨ V G P P ΨVG Φ ===

):2-13(ومن المعادلة Φ1يكفي إيجاد مركبة واحدة من مركبات فادييف ولتكن من ثمو )16-2( 123132312io1 Φ )P PP (P tGΦ +=

:إذا رمزنا لداخل القوسP = P12 P23 + P13 P23

:نجد) 2-16(في المعادلة ) 1( وبإسقاط الدليل )17-2( Φ P t GΦ io=

.وهي معادلة فادييف :هو التابع الموجي الكلي

)18-2(

)2-19( 1Φ P)(1Ψ +=

نختار التمثيل الذي نعبر به عن المعادلـة السـابقة، ) 2-19(قبل إجراء الحل العددي للمعادلة ثـالث مجموعـات والتي هي [40] في فضاء االندفاع وفق إحداثيات جاكوبي سنختار العمل

:مستقلة ) ( 322

11 KKp

rrr−=

1

3

1ii

Φ P)(1

Φ Ψ

+=

= ∑=

60

) ) ( ( 3221

132

1 KKKqrrrr

+−= أو

) KK ( p 132

12

rrr−=

) ) KK ( K ( q 1321

232

2

rrrr+−=

أو

) ) KK ( p 2121

3

rrr−=

) ) KK ( K ( q 2121

332

2

rrrr+−=

}نعبر عن اإلحداثيات } q,p 22

rr و{ } q ,p 33rr بداللة اإلحداثيات{ } q ,p 11

rr:

)20-2( 12

113

143

121

3

qpq

qpprrr

rrr

−−=

+−=

−+=

−−=

121

12

143

121

2

qpq

qpprrr

rrr

}أو بداللة اإلحداثيات } q ,p 22rr:

)21-2( 22

123

243

221

3

qpq

qpprrr

rrr

−+=

+−=

−+=

+−=

221

21

243

221

1

qpq

qpprrr

rrr

}وبداللة اإلحداثيات } q,p 33rr:

)22-2( 32

132

343

321

2

qpq

qpprrr

rrr

−−=

+−= , 32

131

343

321

1

qpq

qpprrr

rrr

−+=

−−=

من إحداثيات جاكوبي فلدينا ثالث حاالت في فضاء االندفاع جموعاتثالث مأنه لدينا بفرض

iii q p qp rrrr

= : وهي منظمة i=1, 2, 3حيث

( ) ( )iiiiiiqq δ pp δ qp qp rrrrrrrr

−′−′=′′

}بداللة اإلحداثيات العمل سنختار }11 q,p rr ونحذف الدليل qp qp

1

rrrr=

:بداللة هذه اإلحداثيات) 2-17(المعادلة نعبر اآلن عن

Ψ qp qp P qp

qp t G qp qdpd q d p d Φ qp

Φ Pt G qp Φ qp

o3333

o

′′′′′′′′′′×

′′′′′′′′=

=

∫ ∫rrrrrr

rrrrrr

rrrr

61

Goللنظر إلى الحد

o

o HE1G

−=

ikفي نظام مؤلف من ثالثة جسيمات حيث اندفاع النيكلون r:

∑=i

io 2m

k Hr

:وبداللة إحداثيات جاكوبي

ll 2Mq

2μp

2MkH

222

o ++=

m/2μ حيث =l و mM 32=l و∑=

3

iik k

rr

:K2=0 إذا كان االندفاع الكلي للنظام محفوظ 2

2

o q4m3

mpH +=

qp t qp ومنه q

4m3

mpE

1 qp t G qp 2

2o ′′−−

=′′ rrrrrrrr

:لحساب العنصر المصفوفي لمؤثر االنتقال نستخدم معادلة ليبمان

( )

qp (E)t qp q

mpE

1

qp qp q d p d p p qq δ

qp (E)t G qp qp qp qp (E)t qp

243

2

33

o

′′′′′×′′−

′′−

′′′′′′′′+′′−=

′′+′′=′′

∫rrrr

rrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

VV

VV

( ) qp qp qq δ qp V qp ′′′−=′′ rrrrrrrrrr V حيث

( )

qp (E)t qp q

4m3

mpE

1

p p p d p p qq δ qp (E)t qp

22

3

′′′′′×′′−

′′−

′′′′+′′−=′′ ∫rrrr

rrrrrrrrrr VV

والحل هو ( ) p )q

4m3(Et p qq δ qp (E)t qp 2 ′−′−=′′ rrrrrrrr

62

: ومنه معادلة فادييف تصبح بالشكل

)23-2(

Ψ qp qp P qp p )q

4m3(E t p

q4m3

mpE

1 qdpd pd Φ q p

2

22

333

′′′′′′′′′′−×

−−′′′′′= ∫ ∫

rrrrrrrr

rr

: لنحسب اآلن العنصر المصفوفي qp PPPP qp qp P q p 23132312 ′′′′+′′=′′′′′′ rrrrrrrr :ة أنبمالحظ

3231312313

2231212312

qp (3,12)(1,23) p p qp p p

qp (2,31)(1,23) p p qp p prrrr

rrrr

===

===

: نجد) 2-20(باستخدام العالقات

( ) ( )( ) ( ) qp qp qp

qp qp qp

21

43

21

3

21

43

21

2

rrrrvv

rrrrvv

−−−=

−−+−=

:وبالتعويض المباشر نجد

)24-2( ( ) ( )( ) ( ) qpq δ qqp δ

qpq δ qqp δ qp qp

21

21

21

21

′′+′′−′′++′

′′+′′+′′−−′=′′′′′rrrrrr

rrrrrrrrrr

ومنه معادلة فادييف لنظام مؤلف من ثالثة جسيمات وفق قوى بـين جسـيمين فـي التمثيـل

:ي لها الشكلاالندفاعي وفق إحداثيات جاكوب )25-2(

′′′′−−′′+−+

′′′′+′′−−−×

′′−−

= ∫

Φ q;qq qq )q4m3(E t p

Φ q;qq qq )q4m3(E t p

qd q

4m3

mpE

1 Φ qp

21

212

21

212

3

22

rrrrrr

rrrrrr

rrr

63

V4ولنرمز لهذا الجهد بـ Three nuclear Force (TNF)لندخل اآلن قوى ثالثة نيكلونات : [41,42,43,44,45] ونكتبه بشكل مجموع

تمثيل تخطيطي لقوى ثالثة جسيمات) 3(الشكل

∑=i

(i)44 VV

V4يكلونات متطابقة فإن أن الن بفرض(i) متناظر نتيجة تبديل النيكلونين)J, K( معادلة

:هي وكلوناتين ةشرودينغر لنظام مؤلف من ثالثة نيكلونات بوجود قوى ثالث )26-2( ( ) Ψ E Ψ VVH

3

1i

(i)4io =

++ ∑

=

أو )27-2( ( ) Ψ VV G Ψ (i)

4io ∑ +=

:لنعرف مركبات فادييف بالشكل )28-2( ∑ Φ=Ψ

3

i i

:من ثمو

( ) ( )

∑∑

∑∑

∑

−

≠

−

≠

−+−=

+=−

+=+=

jj

(i)4o

1io

ijjio

1ioi

jj

(i)4o

ijjioiio

jj

(i)4io

(i)4ioi

Φ VG )VG(1Φ VG )VG(1 Φ

Φ VGΦ VGΦ )VG(1

Φ VVGΨ VV GΦ

itمعادلة ليبمان للمؤثر io

1io tG1)VG(1 +=− −

ومنه ∑∑ ++=

≠ jj

(i)4oio

ijjioi Φ VG )tG(1Φ tGΦ

64

، المعادلة السابقة تصبح بإزالة Φiفي حالة تطابق الجسيمات يكفي أخذ مركبة واحدة ولتكن :بالشكل) 1(الدليل

)29-2( Φ P)(1 VG t)G(1Φ P tGΦ (i)4ooo +++=

P=P12P23+P13P23حيث

=+ Φ P)(1 Ψ والتابع الموجي الكلي في فضاء االندفاع وفق إحداثيات جاكوبي) 2-29(نريد اآلن أن نعبر عن المعادلة

i qp

rr : i=1حيث سنختار

Φ P)(1 VG t)G(1 qp Φ P t G qp Φ qp (i)4ooo +++=

rrrrrr :ةاآلتيسب كل حد على حدى في الطرف األيمن كما في حالة جسيمين لنصل إلى النتيجة نح)30-2 (

[

−−+−−−−+

+−

+++′′−−′+−+′′+×

′−−−′

−−=

∫

∫

22

(1)4

2

(1)4

2321

(1)4

21

21

2

21

2123

22

q~4m3

mp~E

1 Φ P)(1 V q~p~ p~ )q4m3(E t p

Φ P)(1 V qp~ p~ )q4m3(E t p q~d

Φ P)(1 V qp

Φ q;qq qq )q4m3E ( t p Φ q;qq

qq )q4m3(E t p qd

q4m3

mpE

1 Φ qp

r

r

rr

rrrrrrrrr

rrrrr

إذا رمزنا للعنصر المصفوفي بالرمز

)q4m3E,q,p(t q )q

4m3(E t p 22 −=−

rrrr

:وعرفنا مؤثر االنتقال المتناظر بالشكل ) p,p ( t) p,p ( t) p,p ( tS ′−+′=′ rrrrrr

:تؤدي إلى) 2-25(ف من أجل القوى بين الجسيمين فإن معادلة فاديي

65

)31-2(

′′+

−′+′

−−= ∫ Φ q;qq q

4m3E;qq ,p t q d

4m3q

mpE

1 Φ qp 212

21

S3

22

rrrrrrrr

:ومعادلة فادييف لنظام مؤلف من ثالثة نيكلونات بإدخال قوى ثالثة نيكلونات

)32-2 (

−−+

−

+++′′+×

−′+′

−−=

∫

∫

22

(1)4

2S

321

(1)42

1

221

S3

22

q~4m3

mp~E

1 Ψ P)(1 V qp~ q4m3E;p~,p tq~d

Φ P)(1V qp Φ q;qq

q4m3E; qq,p tqd

4m3q

mpE

1 Φ qp

rrrr

rrrrr

rrrrr

عـاد وهي معادالت تكاملية في فضاء ثالثـي األب ) 2-31) (2-30(إذن لدينا معادالت فادييف الحل المباشر دون اللجوء إلى طريقة األمواج الجزئية والتي هي هيالطريقة بستة متحوالت و

أننا نهمل السبين وااليزوسبين فإن مؤثر االنتقـال هـو بفرضو ،غير صالحة للطاقات العاليةهذه المعادالت بشكل أبسط نوجـد تابة كلمتغير نتيجة الدوران ومنه غير مقدار سلمي لذلك هو

بداللتها وهـذه المتغيـرات هـي معادالت فادييفنكتب تغيرات غير متغيرة نتيجة الدورانمp,q,qشـعة طويلة كل من االشعة والزوايا فيما بينها لذلك نأخذ األ rrr′ يمكـن رسـمها والتـي

:بالشكل

qr

′ qr

xr ′ pr

xr

y y

x يبين متجهات االندفاع والزوايا فيما بينها) 4(الشكل

نعرف أوال المتحوالت

66

xqpqq

qq

pp

=

′=′

=

=

ˆ.ˆ

r

r

r

q qx ′=′

جيب تمام الزاوية بين الشعاعين نيمثال 'xو x من ثمو ةشعاع الوحديشير إلى ∧حيث الرمز

q pyونحتاج إلى أن نعرف الزاوية بين الشعاعين الشـكل اسـتخدام نستطيع تحديـدها ب و =′q,pالشعاعين ، السابق

rr شعاع الوحدة النـاظمي لهـذا المسـتوي هـو حيث يعرفان مستوي)( pq rr

q,q والشعاعين ∧ rr′ يعرفان مستوي حيث شعاع الوحدة الناظمي له هو)( qq ′∧rr من و

:الزاوية بين المستويين ثم )( )( qqpqM ′∧∧=

rrrr أن بفرضو

( )

( )2

2

ˆ.ˆ 1

ˆˆ)(

ˆ.ˆ 1

ˆˆ)(

pq

pqqq

pq

pqpq

′−

×=′∧

−

×=∧

rr

rrrr

وباستخدام المتطابقة ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBDADBCADCBA

rrrrrrrrrrrr. . .. . . . −=××

نجد ( ) ( )

( ) ( )22 ˆ.ˆ 1 ˆ.ˆ 1

ˆ.ˆ ˆ.ˆ ˆ.ˆ

pqqq

qqpqqpM−′−

′−′=

qpyومنه الزاوية تساوي =′ ( ) ( ) ( ) ( ) Mpqqqqqpq 22 ˆ.ˆ1ˆ.ˆ1ˆ.ˆ ˆ.ˆqpy −′−+′=′=

أو Mxxxx 22 11.qpy −′−+′=′=

p,p(V(ومنه فإن أي مقدار مثل rr

:نعبر عنه بالمتحوالت الجديدة بالشكل ′ )ˆ.ˆ,,(),( ppppVppV ′′=′ rr

.الشعاع األول والثاني والزاوية بينهما ةأي بداللة طويل

67

بداللة المتحوالت الجديدة، نالحظ أوال أن مؤثرات االنتقال ) 2-31(لنكتب اآلن المعادلة p , 2تابع لألشعة Stلجسمين

1 rrr qq وكذلك طول pلذلك نأخذ طول الشعاع األول +′ :عاع الثانيالش

xqqqqqq ′′+′+=′+ . 2241

21 rr

حيث q.q′=′x

:الزاوية بين الشعاعين هي

( ) ( )

),cos(

),cos(

),( cos .

21

21

21

21

21

21

21

21

21

qqyqqx

qqp

qqpqqpqpqp

qqpqqpqqp

′+

′+=′+

′+′+=′+

′+′+=′+

rrrrr

rrrrrrrrrr

rrrrrrrrr

ومنه

−

′+

′+′′+′+=

−′+ 2

21

21

2241

S2

21

S q4m3E ;

qq yqqx

,x.qqqq,p tq4m3E ;qq,p t rr

rr

:نكتب وبنفس األسلوب

( )

+′

′+′′′′+′+Ψ=′′+Ψ

21

21

2412

21 ,,. ,

qqxqq

qxqqqqqqq rrr

)x, Z(فـي المسـتوي prو Zللمحور اموازي qrيمكن تبسيط هندسة الشكل إذا أخذنا الشعاع ومنـه q′rما هي إال الزاوية السمتية للشـعاع yالتي تظهر في عبارة Mفإن الزاوية من ثمو

:بين جسيمين وفق المتحوالت الجديدة فقط قوى بإدخالنكتب معادلة فادييف

)33-2(

( )

+′

′+′′′′+′+Φ×

−

′+

′+′′+′+×

′′′′−−

=Φ ∫∫∫+

−

∞

qqxqq

qxqqqq

qqyqqx

xqqqqpt

dxdqqd

mp

S

21

21

2

412

2

21

21

22

41

2

0

1

1

0

2

22

,,.

q4m3E;,.,

q4m3E

1xq,p,

rr

π

φ

:حيث φ′′′−−+′=′= cos11.qpy 22 xxxx

68

φ′ الزاوية السمتية للشعاعq′r . ة اآلتيوهذا ما سنشرحه في الفقرة EFTة هي بناء الجهد النووي وفق نظرية اآلتيمهمتنا

نيكلون - ودراسة تفاعل نيكلون الفعال بناء القوى النووية وفق نظرية الحقل الكمومي 2-3

يبدأ تاريخ الفيزياء النووية كعلم عندما قدم رذرفورد تفسير تبعثر ألفا بزاوية كبيرة بداللة نـواة ، 8cm-10وهي أصغر بكثير من نصف قطـر الـذرة 12cm-10ذات شحنة موجبة بنصف قطر

.لميكانيك الكم ألساساوبعد عدة سنوات صاغ كال من هاينزبرغ وشرودينغر المبادئ

على الرغم من التقدم الكبير في دراسة النظام الذري إال أن المفاهيم المتعلقة ببنية النواة بقيـت وبعد هذا chadwickعندما تم اكتشاف النترون من قبل 1932غير واضحة، وذلك حتى العام

نـد ذلـك اقتـرح وع ،نفسـها افترض أن النوى مركبة من نترونات وبروتونات لها األبعاد هاينزبرغ أن النترون والبروتون هما حالتين لنفس الجسيم، وبعد ذلك بأربعة سنوات أدخل كل

.تينالحالمفهوم اإليزوسبين لوصف هاتين Condonو Gassenمن

في الفيزياء النووية هي حساب الخصائص المختلفـة للنـواة انطالقـا مـن األساسالمشكلة الذي افترض ] Yukawa ]46تفسير األول والناجح للقوى النووية قدمه التفاعالت النووية، وال

، )ميزونـات (على أن النيكلونات تتفاعل فيما بينها عن طريق تبادل جسيمات سلمية ذات كتلة قد أدخلت إلى وجهة النظر هـذه إال أن فكـرة متعددة وعلى الرغم من أن تطورات وتعديالت

Yukawa األصلية بقيت صحيحة.

تبادل الميزون للقوى النووية، التعـديل األول لنمزذجد هنا أن نلخص التطورات التاريخية نونموذج ليشمل جسيمات شبه سلمية حيث وسع األ] Porca ]47كان من قبل Yukawaلنظرية

فيـه انموذجأ Swingerو Moller] 48[ قدم كال من متعددة سنواتبوشبه شعاعية، وبعد ذلك قول شبه سلمية وشبه شعاعية، ولتفسير إشارة عزم رباعي األقطاب الكهربـائي تركيب من ح

) π(وجود جسيمات شبه سلمية وبعد ذلك تم اكتشاف ميزونـات ] Pauli ]49للديترون توقع .Pauliالتي تتفق مع توقع

69

مفهوم جديد في الفيزياء Sasaki [50]و Nakamuraو Taketaniمن أدخل كل 1951في العام المنطقـة : نيكلون إلى ثالث مناطق-النووية وهو أنه يمكن تقسيم المدى الكامل لتفاعل نيكلون

r≤2fm≥1والمنطقة الثانية هي منطقة المدى المتوسطة r≥2fmاألولى هي منطقة المدى الكبير أن القـوى النوويـة وفـق بفرضو r≤1 fmوالمنطقة الثالثة هي منطقة المدى القصير حيث

Yukawa ئدة إلى تبادل الجسيمات بكتل عاm متناسبة معexp(-mr)/(mr) حيثr تشـير إلـىالمسافة بين النيكلونين، فإن كل منطقة من المناطق الثالث مسـؤول عنهـا ميزونـات بكتـل

لـذلك فـإن . فإن النيكلونات تتداخل فيما بينها) القلب(مختلفة، ولكن في منطقة المدى القصير معالجـة Taketani] 51[النووية ليست كافيـة، لـذلك قـدم للقوىصورة تبادل الميزونات

.لمدى القصيرلمنطقة ا) فينومولوجية(ظواهرية

، ولكن هذا ] 52[ في منطقة المدى الكبير فسرت القوى النووية على أساس تبادل بيون واحد المركبـة مـن التفسير لم يقدم شرحا وافيا لقوى سبين مدار والتي أثبتت التجربة وجود هـذه

حيث تم اكتشاف الميزونات الثقيلـة، 1969القوى النووية ولكن الوضع اختلف تماما في العام حيث افترض في هذا One Boson Exchange (OBE)وطور بعدئذ نموذج تبادل بوزون واحد

] 53[ النموذج تبادل بيون أو أكثر في حالة تجاوب

وسـميت Nijmegenادل بوزون واحد قدمت مـن قبـل سلسلة من الجهود التي تعتمد على تبNijmI وNijmII [54] حيث استخدمت طريقـة األمـواج الجزئيـة)Partial waves ( لتفسـير

وطـور كـذلك وفـق هـذا ] CD-Bonn ]55نموذج أويوجد كذلك npو ppتجارب التبعثر دخـال نظريـة والشيء الجديد وفق هذا الجهد هـي إ Paris] 56[ نموذج جهد سمي جهد األ

.الحقل الكمومي لحساب مخططات فانيمان لتبادل بيونين

بفـرض : ةاآلتييمكن أن تشرح بالصورة الكالسيكية OBEلنماذج األساسالمشكلة المفاهيمية fmrأن الهادرونات هي كرات صلبة، نصف قطر الشحنة للبروتون هـو 6.02 بينمـا ≈

إذن الميزونات ال يمكـن أن تتوسـط القـوى 0.5fmخفيفة هو نموذجي للميزونات الالحجم األ، وعلى الرغم من أن هذه الصورة بسـيطة 0.6fm+2×0.5=2.2fm×2النووية للمسافات األقل

70

حيث ال تأخذ التأثيرات الكمية بعين االعتبار إال أنه من الواضح أن صورة تبادل ميزون لـن .fm 2النووية عند أقل من الحالةتكون كافية لوصف

والمشكلة الثانية التي ظهرت مع كل من الجهود السابقة هي المشـكلة التـي سـميت بمشـكلة أقـل مـن القيمـة A>2الطاقة المنخفضة والتي تعني أن طاقة االرتباط لكل من النوى حيث

ولتفسير ] 57[ من القيمة التجريبية أقل %10-5التجريبية وبالنسبة إلى التريتيوم هي حوالي قوى ثالثة جسيمات والتي لم يتمكن فهمها إال حديثا نسبيا وذلـك عائـد بسـبب إدخالتم ذلك

نحتاج إلـى حيث لحل العددي لمعادالت فادييف وإلى صغر هذه القوة طرق اجزئي إلى تطورجسيمات ةوفي الوقت الحاضر عدة نماذج لوصف قوى ثالث، قياسات تجريبية دقيقة لمالحظتها

والتي تعتمـد علـى Miyazawa] 60[ و Tucson-Mdbourne] 59[ أو Fujita] 58[ منها الذي يعتمـد علـى تبـادل Brazil] 61[ ، ونموذج )∆(تبادل بيونين بحالة متوسطة للنيكلون

( )ρπ )و − )ρρ . نموذج ظواهري بالكاملأفهو Urbana-Argome [62]نموذج أ، أما −

ثالثة نيكلونات هي بين النماذج السابقة سواء كان لوصف القوى بين نيكلونين أو قوىكل من ظواهرية بالكامل لذلك نالحظ كل هذه الصعوبات في دراسة التفاعل النووي عنـد اتذجونمأ

.كل مناطقه

األسـاس النظريـة بكونها QCDلذلك فإن األمل هو اشتقاق القوى النووية انطالقا من نظرية ليسـت ممكنـة QCDاعالت الشديدة، إال أن الحسابات المباشرة للقوى النووية انطالقا من للتف

ال يمكـن من ثـم التفاعل شديد جدا و) النووية الحالة(وهذا بسبب أنه عند الطاقات المنخفضة ومع ذلك فإن عدة محاوالت قد قدمت لبناء الجهد النـووي ، تطبيق نظرية االضطراب العادية

الذي يمثل درجة الحريـة النيكلونيـة ] 63[ نموذج كوارك أوأهمها QCDمن نظرية انطالقا .بداللة ثالثة حاالت للكوارك

، )EFT(يعتمد على نظرية الحقل الكمومي الفعال QCDالطريق األكثر نظامية إلدخال نظرية رتبـاط للقـوى هنا أنه بدال من النشر وفق نظرية االضطراب بداللة ثابت اال األساسوالفكرة

الشديدة نوجد مقدار أخر ننشر وفقه وهذا المقدار يمكن أن نوجده بمعرفة المقاس الطاقي للحالة

71

، QCDولمعرفة هذا المقدار يجب علينا معرفة كيف تبدو النواة مـن وجهـة نظـر ،النووية :للننظر إلى عامل الشكل الكهربائي للبروتون

)34-2(

MevQمن أجل يتصرف البروتون كجسيم نقطي من ثمعامل الشكل يساوي الواحد و ⟩⟩800 من ثمأو أقل و 300Mev،وإذا علمنا أن اندفاع النيكلون في النواة من مرتبة ال أبعاد داخلية له

QCDالنووية، ومنه فإن الرابط األول بين الحالةفإن درجة الحرية الكواركية ال تظهر في GevQCDنعرف المقاس QCDقاس الطاقي، ففي نظرية النووية هو الم الحالةو 1≈λ والمقاسMevnul هو النووية الحالةيميز ذي ال 100≈λ وهو مرتبط بمقلوب أبعاد النوى الخفيفة، ومن

MevQCDnulهذين المقاسين يمكن أن نعرف مقاس ثالث وهو 10/ ≈λλ وهو مرتبط بطاقات . [64]النوويةاالرتباط

nulQهذه المقاسات تعطينا صورة للنواة كتجمع مـن النيكلونـات بانـدفاعات λ≈ وطاقـات

QCDQE λ/2≈ وهذا يعني أن النيكلون في النواة ال يمكن أن يرى من أجل⟩⟩Q الحالة، وفي 1

يرة يمكن أن تعالج كجسـيمات نقطيـة وفقـط تلـك العامة الجسيمات التي تعيش ألزمنة قص .تدخل في النظرية كدرجات حرية جديدة Q/1الجسيمات التي تنتشر لمسافات من مرتبة

nulQعند الطاقات المنخفضة λ< تعالج النيكلونات بتفاعالت النقطية أو تفـاعالت االتصـال)contact interaction(ى تظهـر البيونـات كـدرجات حريـة إضـافية ، وعند الطاقات األعل

.Q، ومنه يمكن أن نطور نظرية االضطراب بداللة قوى ...وهكذا

فـي حسـاب سـعة Qيساهم بالعامل µDعند كل عقدة في مخطط فانيمان المشتق الالمتغير d4qمـل حجمـي وكـل تكا Q-2يساهم بالعامل ) الممتد الحر(التفاعل وكل خط داخلي للبيون

:حيث υQلذلك فإن كل مخطط فانيمان يساهم بالمقدار Q4المرتبط بالحلقة يساهم بـ

)35-2(

( )( )

2

22

800/1 1 Q

+=

MevQFp

∑ +=i

iidv 4L 2I - υ

72

عدد Iو) i(عدد عقد التفاعل من النوع viو) i(عدد االشتقاقات للتفاعل من نوع يمثل diحيث :بينها بالعالقة الطبولوجية عدد الحلقات، هذه الكميات ترتبط فيما Lالخطوط الداخلية و

)36-2(

:نجد I وبحذف

)37-2( أي تلك الحدود التي هي ) Leading order( الرئيسةنحصل على الحدود υ=0ومنه من أجل

وهي بمثابة الرئيسةة للحدود اآلتينحصل على الحدود υ=1ومن أجل Q(1)من المرتبة ). next to leading order(لحدود التصحيحية األولى ا

إن الرئيسةنيكلون ولذلك الستنتاج الجهد الفعال وفق الحدود -لندرس اآلن تفاعل نيكلونطريقة الحساب المذكورة هنا هي طريقة عائدة لنا وهي تعتمد على نظرية االضطراب المرتبة

يث نأخذ بعين االعتبار الجمع على كل ح] Time-Ordered Perturbation Theory[زمنيا المخططات الالمختزلة والتي تحوي نيكلونين في البداية ونيكلونين في النهاية وهذا يعني أن

.المخططات الالمختزلة تنتج بالطريقة التكرارية لمعادلة ليبمان شوينغر

) unitary method(ية هـي طريقـة التحويـل الواحـدي الحالةالطريقة المتبعة في الدراسات ]. 65... [ ة وهكذا اآلتي الرئيسةوالحدود الرئيسةالستنتاج الجهود النووية وفق الحدود

:ةاآلتيالتي يتبعها هنا هي العالقة األساسالفكرة

)38-2(

اندفاع النيكلون البدائي والنهائي والطرف الثاني هو الجمع على كل المخططـات 'Pو Pحيث .Tللمصفوفة ) irreducible(الالمختزلة

∑ +−=i

ivIL 1

( )∑ ++=i

ii dv 2 2L 2 - υ

( )( ) ( ) T V P-P

21 irr3

3 ∑=′rr

δπ

73

األكثـر عموميـة تابع الالغرانجمن وضع EFTسننطلق إليجاد الجهود النووية وفق نظرية وبحيث يحقق كل حد فيه الخصائص التناظرية وهي عدم التغير نتيجة تحويل لورنتز ونتيجـة

هـذا تابع الالغـرانج فإن [66]تحويل مرافق الشحنة ويحقق تناظر كيرال، وحسب واينبرغ وهـذا كلهـا لكونه يحوي الحدود الممكنةذلك محددة و ار قابل للتنظيم ومع هذا يعطي قيمغي

.والتي تطرح بعضها إلزالة الالنهائيات) counter terms(يعني أنه يحوي الحدود المحيطية

:هي كما رأينا في الفصل األول تابع الالغرانجلبناء هذا األساساللبنات

NDD , DD , ND D , N µυµυµµ

rr

: حيث

d

f1 D

π∂= µ

µ

r

f 1 d 2

2

π+=

[ ]

µµµ

µµµ

×π=υ≡

+∂=

D f2i i - E

N t.E Drr

2 االيزوسبين tحيث t τ

=

كميـات (تكون ال متغيرة نتيجة تحويل لـورنتز يجب أن شكلها من هذه اللبنات نالكميات التي وغير متغيرة نتيجة تحويل مرافق الشـحنة وبحيـث ) Bالملحق ) (ينوفق جمع اينشتا مختزلة

:وهذه الكميات هي) υ=0( الرئيسةتشكل الحدود

)39-2( ):Bالملحق (يمكن اختبار عدم تغيرها نتيجة تحويل مرافق الشحنة

NDNi µµγ

74

( )( )

( ) ( )

NDN i NDN i-

NE .t N i NN i-

NE .t N i NN i-

NE . tiN - NiN

N E . t CCiN -

N E . t Ni NDNi NDNi

Part.Int

TT

TTTTTTT

TT1T

cccccc

µµ

µµ

µµµ

µ

µµµ

µ

µµ

µµ

µµ−µ

µµµ

µµ

µµ

γ →γ=

γ+γ∂=

γ+γ∂=

γ∂γ=

−∂γ=

+∂γ=γ→γ

rs

s

s

r

rrr

rrr

رة ألن الفرميونات عكسية التبادل وفي السـطر حيث في السطر الثالث من األسفل بدلنا اإلشا ).Part.Int(األخير قمنا بعملية التكامل بالتجزئة

:ومن أجل إدخال االيزوسبين فإن الكمية الوحيدة الممكنة تشكيلها هي

)40-2( ): طبعا يمكن أن نختار التركيب من الشكل )µDtt

rrrولكنه يؤدي إلى الشكل السابق وال ×

وهو غير متغير ) مختزل(يضيف أي شيء جديد، هذا الحد غير متغير نتيجة تحويل لورتنز :نتيجة تحويل مرافق الشحنة

( ) . i

. -

. -

. .

5

5

15

55

NDtN

NDtN

NDtCCN

NDtNNDtN

TTTT

TTT

ccc

µµ

µµ

µµ

µµ

µµ

γγ

γγ

γγ

γγγγ

rr

rr

rr

rrrr

=

=

=

→−

أي ال تحـوي المشـتقات Nوالكميات التي نستطيع تشكيلها والتي تحوي فقط حقول النيكلون :هي Dالالمتغيرة

)41-2( ( )( )( ) ( ): NN NN :

: NN NN :tt ΓΓ

ΓΓ

:هي مصفوفات ديراك حيث Γو) normal product(النقطتين تشيران إلى الجداء الطبيعي

NDtN µµγγ

rr.5

75

i

I

5

5

γ

γγ

σ

γ

µµ

µυµυ

µµ

=Γ

=Γ

=Γ

=Γ

=Γ

scalerpesudu

axial

tensor

vecter

scaler

يمكـن أن Fierz [67]الكميات السابقة هي ال متغيرة نتيجة تحويل لورنتز، وباستخدام نظريـة :نثبت أن هاتين الكميتين هي كمية واحدة

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) : NN . NN : C

: NN . N . tN : C : N N . N tN : : NN . NN :

43

ββ

βαβ

ββ

βαβ

αα

αα

ΓΓ=

ΓΓ=

ΓΓ=ΓΓ

∑

∑ tttt

)42-2 (

الرئيسـة وفـق الحـدود تـابع الالغـرانج نحصل على ) 2 -39,40,42(وبتجميع العالقات)0=υ:(

( ) [ ]

( ) ( ) NN . NN C

N Dt 2q m - D i N d m - . d £ A21-2

212-

210

ββ

ββ

µµ

µµ

πµ

µ γγγπππ

ΓΓ+

++∂∂=

∑s

.األول مشروح في الفصل تابع الالغرانجمن هذا الجزء البيوني

وهي المشتق الزمني لحقل الرئيسةالسابق توجد حدود ال تنتمي إلى الحدود تابع الالغرانجفي : حيث نالحظ ، Γالنيكلون وبعض مركبات المصفوفة

)43-2(

:ة هياآلتي الرئيسةوالحدود التي تنتمي إلى الحدود

)44-2(

( ) { } ( ) 1Q , , I, ik5

ko ≈=Γ σγγγo

( ) { } mqQ , , , o

5o

5i2

≈=Γ µσγγγγ

76

:بةوالستبعاد المشتق الزمني لحقل النيكلون نحسب المرك

( ) . t d f

2q N -

. t d f

2q N - . t d f

2q N-

. t d f

2q N D . t 2qN

51A

51A

51APart.Int

51A

5A

N

NN

NN

oo

ooo

o

oo

oo

πγγ

πγγπγγ

πγγγγ

rr

rrrrrs

rrrr

−

−−

−

∂

∂∂ →

∂=

:ومنه

)45-2(

:هو سبينور ديراك Nحقل النيكلون

)46-2(

، ونعـوض ] Ψ ]68الطاقية المنخفضة فإننا نهمل المركبة الثانية الحالةإننا ندرس بفرضو :تابع الالغرانجالعالقة السابقة في عبارة كثافة

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )NN . NN C

. t d 2g 0

0 . tdg2

00 -

. td 0

02- . td

00

2-

0

0 m-

00i

00

i

d m - . d £

1-0

Ai1-

A

i2

1-

2

1-

i0

21-2212-

210

′Γ′′Γ′+

ΨΦ

∂

+∇

∇×

×

−

∇

+∂

ΨΦ+

∂∂=

∑

−++

ββ

ββ

πµ

µ

ππσ

σ

ππσ

σππ

σσ

πππ

rrrr

rrrrrr

rr

fII

f

ffII

II

eeI

I

i

i

i

i

i

iimtimt

) الرئيسةثانية وأخذ بعين االعتبار مصفوفات ديراك وفق الحدود وبإهمال المركبة ال )0Γ نجد:

( ) [( ) ] ( ) ( ) NN . NN C . t d

f2q2-

Dt 2q m - D i N d m - . d £

51A

A2-12

21-2

210

ββ

ββ

µµ

πµ

µ

πγγ

γγγπππ

ΓΓ+∂

++∂∂=

∑− Noo

ii

s

rr

rr

N e e imt-imt- ′=

ΨΦ

=N

77

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) C - .

..... t d2g - . td 2 - i d m - . d £

s21

21

-1A

2

-1

021-2

212-

210

ΦΦΦΦΦΦΦΦ+

Φ

∇×∂Φ+∂∂=

++++

+

σσ

πσπππππ

τ

πµ

µ

rr

rrrrrrrr

C

ff

)47-2(

:نريد اآلن أن نشتق عبارة كثافة الهاملتوني

)48-2 (

:حيث

( )

( )

[ ] ( )( )

[ ] ( ) Φ∇

==Φ=Φ

===

∂

ΦΦ∂

=

Φ=Φ∂

ΦΦ∂

=

Φ

Φ

mi

PHHi

PpHHi

P

iP

ii

ii

t

2 ,.

,.

. , ,. , £

.

. , ,. , £

20

0

00

.

r

δδ

δδ

ππ

π

ππ

ππ

ππ

π

:طبعا نحن نعمل وفق صورة التفاعل

( ) ( ) ( ) ( )tiHxtiHxt 00 exp ,0 exp, −=rr

ππ

: [10] وبالحسابات المباشرة نجد كثافة الهاملتوني( ) ( )0

int00 H HH +=

:حيث

( ) ( ) ( ) m 2

iP . 2221

2

21

21 2

ππ πππ +Φ

∇+∇+= Φ

mPP

rr

H 0

و

( ) ( ) £... −Φ+= ΦPP ππH

78

( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) C - .

..... t 2g . .t 2

s21

21

A2

ΦΦΦΦΦΦΦΦ+

Φ∇Φ+Φ

×Φ=

++=

++++

++

σσ

πσππ

rr

rrr

TCff

03

02

01

0int HHHH

سنجري الحسابات الالحقة لحساب الجهد الفعال بالتعبير عن حقول البيون والنيكلـون بداللـة . مؤثرات التوليد واإلفناء

: ن حقل البيون والنيكلون يحقق المعادالتمكل

(r+2mπ ) 0=π

0 2

i 2

0 =Φ

∇+∂

m

r

( )( )

( ) ( )[ ]

( )( )

( ) ( )[ ]

( )( )

( ) ( )[ ] ka e ka e 2w1

21 kd x t,

ka e ka e 2w1

21 kd x t,

ka e ka e 2w1

21 kd x t,

0ikx

0ikx-

3/230

ikxikx-3/2

3

ikxikx-3/2

3

rrr

rrr

rrr

+

+−−

−

+++

+

+=

+=

+=

∫

∫

∫

ππ

ππ

ππ

22 حيثπmkw +=

r

0321 ,

2 ,

2 ππ

πππ

πππ =

−=

+=

−+−+

i

:ةاآلتيإن مؤثرات التوليد واإلفناء تحقق العالقات

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) k-k ka . ka

0 ka , ka ka . ka 2 ′=′

=′=′+

++

rrrr

rrrr

δ

:اآلتيوبالنسبة إلى حقل النيكلون فإننا نعبر عنه بالشكل

( )( )

( ) ( ) ( ) ,pb t e 2

1t

t

ipx-2/3

3 σεσυπ σ

r∑∫=Φ pdx

79

مؤثر توليـد نيكلـون bالسبين و σااليزوسبين، tسبينور ديراك، و εسبينور باولي، υحيث .pواالندفاع tوااليزوسبين σبالسبين

:تحقق العالقة εو υالسبينورات

( ) ( )

( ) ( ) 1

1

=

=

∑

∑+

+

ttt

εε

συσυσ

:ةاآلتيمؤثرات التوليد والفناء تحقق العالقات العكسية التبادل

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ) sstt ′′′

′′

′=′′

=′′=′′

δδδ p-p S ,p b , S ,p b

0 S ,p b , S ,p b S ,p b , S ,p b 3t

tt

tt

tttt

rrrr

rrrr

:اآلتينحدد جهد التفاعل بدراسة تبعثر نيكلون نيكلون والذي يمثله مخطط فانيمان

ةنيكلون بحلقة واحد-تمثيل تخطيطي يعبر عن تفاعل نيكلون) 5(الشكل

)الممتد الحر للنيكلون هو طبعا من المرتبة )1qQ −

( )12

o

i

2mp-p

i −≈+

qQε

r

:تناسب معتومنه فإن سعة التبعثر لمخطط فانيمان السابق

( ) ( ) ( ) m-q1

i 2m

qp-E q-

1 i

2mqp-E q

1 qd 22222

2o

21

1o

4

π

α

εε×

+−

+++

+≈ ∫ rrrrM

:نايوجد لدينا قطب q0إذا كاملنا هنا حول

P1

P1+q

P1

P2

P2-q

P2

q

q

80

( )

( )ε

ε

i 2m

qpE q

i 2m

qpE- q

22

2o

21

1o

+−

−=

−+

+=

rr

rr

:للتبعثرهي Sالمصفوفة

)49-2( :تعطى بالشكل Tحالتين تحويان النيكلونين أما المصفوفة βو αحيث

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) EE EE

HHH

EE

HH H

intintint

GG

intint

Gint

εε

ε

αα

αβ

α

αββαβα

ii

iT

GG

GGGG

G

GG

+−+−+

+−+=

′

′′

′∑

∑

:ليشير إلى صورة التفاعل حيث) int(سنأخذ هنا فقط ثالثة حدود، والرمز

( ) ( )0intint

== tS tHH

ـ الحالةيشير إلى Gيشير إلى شرودينغر، والدليل Sالدليل ن العالقـة ات المتوسطة، ومنـه م :السابقة نعرف الكمون الفعال بالشكل

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )( )( )( )

( )( ) EE EE

HHH

EE

HH H E

-G-

-Gint-G-Gint-Gint

-G-G

-G

-Gint-Gint

-Gint

εε

ευ

γαγα

αγγγγβ

γγ

γα

αγγβ

γβααβα

ii

i

G

eff

+−+−+

+−+=

′′

′′′

′′∑

∑

:الشكلβαTنعيد كتابة العنصر المصفوفي

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) EE EE

E E E

EE

E E E

εευυυ

ευυ

υ

γαγα

ααγαγγαβγ

γγ

γα

αγααβγ

γαβαβα

ii

iT

effeffeff

effeffeff

+−+−+

+−+=

′

′′

′∑

∑

:هو بالشكل الرئيسةرأينا أن كتابة الهاملتوني من أجل الحدود

( ) ( ) T E - E i2 - - 4βαβαβα δπβαδ=S

81

( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) : ..... t 2g :

A Φ∇Φ=

++=

+ πσrrr

f0

03

02

01

0

H

HHHH

رتبة زمنيا التي نعمل وفقها فإننا يجب أن ندخل في الحساب كل وحسب نظرية االضطراب الم :اآلتياإلسهامات الممكنة، عبارة الهاملتوني السابقة يعبر عنها بالشكل التخطيطي

)رسم تخطيطي يعبر عن كثافة الهاملتوني ) 6(الشكل )( )01H وهو يمثل تبادل بيون

:الجزء المتبقي من كثافة الهاملتوني هو

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) : C . : s2

121 ΦΦΦΦ+ΦΦΦΦ=+ ++++ σσ

rrTC0

302 HH

ونعبر عنـه تخطيطيـا ) contact interaction(وهو جزء يعبر كما رأينا عن تفاعل االتصال :بالشكل

رسم تخطيطي لتفاعل االتصال) 7(الشكل

:ةاآلتياالسهامات الممكنة فإننا نأخذ المخططات أننا نأخذ كل بفرضو) 6(لندرس اآلن الشكل

1α′

1α

2α′

2α

1α′

1α

2α′

2α

82

)6(االسهامات الزمنية الممكنة للشكل ) 8(الشكل

نفرض اتجاه الزمن من األسفل إلى األعلى، ووفق قواعد فانيمان فإن االندفاع محفوظ عند كل )) Vertex(رأس ) ( ) 3

21213 PPpppp

rrrrrr ′−=′−′−+ δδ

2121 , :ومنه ppPppP ′+′=′+=rrrrrr

:وفي إحداثيات مركز الثقل

p , p - 2121 ′=′−=′==rrrrrr pppp

T(1)نحسـب أوال العنصـر المصـفوفي ل، و) 2-38( لحساب الجهد الفعال نعتمد العالقـة :) 8(للمخطط األيسر من الشكل

( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) E-E

. . .

t t t t t t 2w

1 4g - P 2

1

i E-E

. . . .

t t t t t t 2 2w

1 2g

p - k p p - k p kd

H i E-E

1 H T

2211

22112

2A3

3

2211

2i21i13k

2

2A

223

113

i

3

1S0

112S01221

121

21

21

21

βαα

βαα

ββ

β

βββ

βααβ

συσσυσυσσυ

εεεεδπ

εσυσσυσυσσυ

εεεεπ

δδ

αβαε

βαααααα

′′

++

++

′′

++

+++

′′

′′×

′′′=

+

′′

×′′

×−′+′=

′×+

′=′′

∑∫

∑

qq

fP

kk

f

qrrrr

rrrr

rrrr

rrrrrr

)50-2(

1α′

1α

2α′

2α

β

1α′

1α

2α′

2α

β

83

p - p q , mqwحيث 22q ′=+= π

rrrr

w- m2/p - m2/p-E E q22

21′=βα′α′

rr

):6(وبشكل مشابه نحسب العنصر المصفوفي للمخطط األيمن من الشكل

( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) E-E

. . .

t t t t t t 2w

1 4g - P 2

1

H iE-E

1 H T

2211

22112

2A3

3

2S0

122S01221

221

21

21

βαα

βααβ

συσσυσυσσυ

εεεεδπ

αβαε

βαααααα

′′

++

++

′′

′′×

′′′=

′×+

′=′′ ∑

qq

fP

qrrrr

rrrr

(2-51)

:ةاآلتيإننا أهملنا العناصر المصفوفة T(2) و T(1)نالحظ في حساب العناصر المصفوفية

( )( )( ) ( )

( )( ) 21S0121

~~~~21S

01212121 H ~~

E-E 1 ~~ H T

2121

ααβααε

βααααααααβααααβ

×+

′′=′′ ∑ i

:ت ويمكن رسمها بالشكلالحاالوالسبب في ذلك أن هذه العناصر المصفوفية هي بين نفس

.الممكنة لتفاعل النيكلون مع نفسه اإلسهامات) 9(الشكل

) الفصل األول(نيكلون وإنما تساهم في إعادة تنظيم –هي ال تساهم في تفاعل نيكلون من ثمو :نجد) 50,51-2( قات كتلة النيكلون، اآلن باستخدام العال

84

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

E-E 1

E-E 1

. . . .

t t t t t t w1 2g V

2211

2211q

2

2A

210

121

2121

+

×′′

′′=′′

′′′

++

++

βααβαα

π

συσσυσυσσυ

εεεεαααα

qq

frrrr

rr

:ومنه وفق هذه العالقة الجهد التفاعل بين النيكلون

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2mp-

2mp-E

. . tt 1 2g

E-E 1

E-E 1 . . tt

w1 2g V

2222

2121222

2A

1121

q2

2A0

12121

ππ

βααβααπ

σσ

σσ

mq

qqmqf

qqf

+−′+

=

+×=

′′

rrr

rrrrrrr

rrrrrr

:نجد وفق قدرة العد

2222

2mp-

2mp-E πmq

mqqQ +<<

≈

′ rrr

:يصبح الجهد بالشكل من ثمو

)52-2(

)من أجل ) 2(نحسب اآلن اإلسهام وفق المخطط الشكل )20H حيث

( )( ) ( )( ) : : 2

1 ΦΦΦΦ= ++SC0

2H

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

×

×

×′′′′=′′

∑∫

∑∫

∑ ∑∫∫

+

+

′′

e ~ p~ b t~ ~ p~d

e ~ p~ b t~ ~ p~d

e ~ p~ b t~ ~ p~d xd

p b p b o 21

21- H

xp~i33t~

~t~3j3i3

3

xp~i-22t~

~t~2

*m2

*k2

3

ijkm

xp~i-11t~

~t~1

*j1i1

33

2t11t6210221

3

333

2

222

1

111

21

rr

rr

rr

r

r

r

rr

σεσυ

σεσυ

σεσυ

σσπ

αααα

σ

σ

σ

α

SC

( ) ( ) ( ) . . tt4g V 2221

212

2A0

1π

πσσmq

qqf +′

=rrrrrr

85

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )[( ) ( ) ]

( ) ( )[( ) ( ) ]( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )42423131

11t22t

44t~33t~43

33

22t~11t

22t11t23

13

t~t~t~t~~~~~2121

33

11t22t

xp~i44t~

~t~4m4k4

3

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

o , p b , p b

, p~ b , p~ b op~d p~d

o ~ , p~ b ~ , p~ b

, p b , p b op~d p~d

p~ - p~ - p~ p~ 2

1 21-

o p b p b

e ~ p~ b t~ ~ p~d

12

43

21

21

43214321

11

4

444

tttt

CS

εεσυσυεεσυσυ

σσ

σσ

σσ

σσ

δπ

σσ

σεσυ

σσσσ

σ

++++

+′

+

′′

+′

+′

′′

+′

+′

×

×′′′×

′′′′

×′′′′×

′+′=

×

×

∫

∫

∑∑

∑∫

rr

rr

rrrr

rrr

r rr

)53-2(

:وباستخدام العالقات

241323144321 - bbbb δδδδ=++ oo

:نجد

( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [][]

( )( ) (

)12122121

22221111

41324132

3142334422112211

12211221

- - P 2

1

-

-

~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ - P 2

121 - H

33

~~~~

~~~~~~~~

~~~~424231

313

3210

int21

tttt

ttttS

tttt

tttttttt

tttt

S

PC

tttt

PC

′′′′

′′′′

′′′′

′′′′+++

+

′=

×

′=′′

δδδδ

δδδδδπ

δδδδ

δδδδδδδδ

δδδδεεσυσυεε

συσυδπ

αααα

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσσσσσ

σσσσ

rr

rr

V=CS (54-2)

)أما بالنسبة إلى )03H :

( ) ( )( ) : : 21 ΦΦΦΦ= ++ σσ

rrTC0

3H

86

( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ][ ]

4132413231423142

2211221112211221

~~~~~~~~

~~~~~~1~~

424231

313

3210

321

-

- ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ - P 2

121 - H

tttttttt

tttttttt

T

tttt

PC

δδδδδδδδ

δδδδδδσδδεεσυσσυεε

συσσυδπ

αααα

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ ′′′′′′′′

+++

+

×

′=′′

r

r

rrr

)55-2( :الرئيسةومنه فإن الجهد النووي وفق نظرية الحقل الكمومي الفعال ووفق الحدود

)56 -2(

. [42] ( Unitary Method) وهو متوافق تماما مع الطريقة الواحدية

ـ الرئيسـة ألسلوب نستطيع أن نحسب الجهد النووي وفق الحدود وبنفس ا ويمكـن أن ، ة اآلتي : اآلتينلخصها بالشكل

الخطوط المتصلة تشير ، N3LOنيكلون حتى الحدود -يمثل تفاعل نيكلون) 10(الشكل التفاعلللنيكلون والخطوط المنقطة تشير إلى البيونات والعقد الدائرية والمربعة تشير إلى عقد

تابع فاننا نأخذ إننا في هذه الدراسة نهمل درجات الحرية السبينية وااليزوسبينية بفرضو

الذي يفيد في تمييز المقاس F(Q)مع ضرب عند كل عقدة بعامل الشكل ) الممتد الحر (غرين . Λالطاقي خالل حد القطع

) OL( لرئيسةاقيم طاقة االرتباط لنواة التريتيوم من أجل الحدود 2-4

:في الجهد النووي تتألف من تبادل بيون والتفاعل النقطي الرئيسةرأينا فيما سبق أن الحدود

21.σσrr

TCV =

( ) ( ) ( )2122

21212

2A0 .

q. . tt 4g- V σσ

σσ

π

rrrrrrrr

TS CCm

qqf

+++

=

87

الرئيسةتمثيل تخطيطي لجهد النووي وفق الحدود ) 12(الشكل

طي ذو مدى قصير جدا ويمكن تمثيله فـي التمثيـل أو التفاعل النق) contact(تفاعل االتصال )بتابع دلتا يحداثاال )21

2 rrrr

−δ ويمكن التعبير عن هذا الجهـد : يلثقوهذا يعني وجود ميزون :بالشكل

)57-2( ( )( )

+

−+

=′2L

L2H

H212 t

Vt

V2

1p,pVµµπ

rr

pp(t(2 حيث ′−=rr وLµ وHµ يل على الترتيب إن شدة التفاعل ثقكتل الميزون الخفيف وال

، ]69[الكتل أخذت من المرجع ةوقيمVH=7.291, VL=3.197, Hµ =616.7MeV, Lµ =305.9MeV

(2)لتفاعل جسيمين (1) يشير أن الجهد األول) 12(فلي سالدليل ال

22للجهد وذلك بضرب ممتد الميزون السلمي آخر ويمكن وضع شكل1

mQ +الشكل بعامل

F(Q2) يثح:

( )2

22

222

+∧−∧

=QmQF

Q المنتقل االندفاع :يمثل عامل تابع إعادة تنظيم، ونكتب الجهد بين جسيمين بالشكل من ثميمثل حد القطع، و ∧

)58-2( ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

22

22

223

2

2

22

22

223

2

22

1 2

1 2

,

∧+′−−∧

+′−+

∧+′−−∧

+′−−=′

h

hh

h

h

L

LL

L

L

ppm

mppg

ppm

mppgppV

rrrr

rrrrrr

π

π

كتلة الميزون المتبادل بين الجسيمين mhو mLتألف هذا الجهد من مركبتين جاذبة ونابذة، ي :بالشكل) 2- 58(عيد كتابة المعادلة ون

)59-2( ( )( ) ( )( ) ( )( )ppVppVppV HL ′+′=′ rrrrrr ,,, 2222

88

في ) 2-59(المعادلة ،جهد بين جسيمين من النوع الثانيإلى ) 22(حيث يشير الدليل السفلي :ب بالشكلاإلحداثيات الجديدة تكت

( )( ) ( )( )xppVppV ˆ,,, 2222 ′=′rr حيث

ppx ˆ.ˆˆ ′= : )2-33(المعادلة

( )

+′

′+′′′′+′+Φ×

−

′+

′+′′+′+×

′′′′−−

=Φ ∫∫∫+

−

∞

qqxqq

qxqqqq

qqyqqx

xqqqqpt

dxdqqd

mp

S

21

21

2

412

2

21

21

22

41

2

0

1

1

0

2

22

,,.

q4m3E;,.,

q4m3E

1xq,p,

rr

π

φ

حيث تعنـي spline[70,71,72,73,74]أصبحت اآلن جاهزة للحل العددي، سنتبع هنا طريقة لهـذه الطريقـة هـي أننـا ساألساهذه الكلمة في الالتينية القطعة الخشبية الصغيرة، والفكرة

ومن هنا نستطيع أن نفهم (بياني كمجموع من هذه القطع الصغيرة نستطيع أن نطابق أي منحنبياني متغير بشكل سريع فـي منطقـة لهذه الطريقة وهي إذا كان لدينا منحن األساسالمشكلة

وهذا ما يعنـي حتى تصبح عملية المطابقة أفضل،القطع أي زيادتها ير غصغيرة فالبد من تص .)العددي يعتمد بشكل أساسي على هذه القطع وعددهاالحل أن

وتسـمى توابـع ) بدال من القطع المستقيمة(سنستخدم في هذه الدراسة توابع من الدرجة الثالثة spline )Gubic spline function ( الملحق]A[ ،كل متحول إلى عدد من المجاالت نقسم مجال و

الحالة، إذا كان لدينا أكثر من متحول كما هي اود المجال نقاط نسميها عقدتشكل لدينا من حدتلتوزع هي ، طبيعة توزع هذه العقد في هذه الدراسة splineهنا يتشكل لدينا شبكة نسميها بشبكة

.غاوصيالمنشـأة حيـث هـذا splineمن استقالل النتائج عن شـبكة التحقق والبد وفق هذه الطريقة

. مع المنحني في كل مجال من المجاالت splineني مطابقة توابع االستقالل يعيتحول التكامل إلـى مجمـوع ومنـه ) 2-33(تعويض العددي لعقد الشبكة في المعادلة البعد

Lanczos Methodنستخدم طريقة النكزوز يتشكل لدينا مجموعة من المعادالت الخطية ولحلها .حل العددي من اجل أبعاد مختلفة للشبكةقمنا بالوللتأكد من استقالل النتائج

89

، عـدد النقـاط فـي كـل مـن },φ,x'x,,q'q,,p'p{ة اآلتيتتألف هذه الشبكة من المتحوالت Nqونرمز له بـ 'qو q، وكذلك األمر بالنسبة إلى NPمز له بـرهو نفسه ون 'pو pالمتحولين تأخـذ قيمهـا فـي ,φ,x'xالمتحوالت )φN(بـ φ، والزاوية السمتية Nxبـ 'xو xوبالنسبة فـي هـذه ] pmax ,0[و] qmax ,0[تأخذ قيمها في المجال pو qأما المتحوالت ] 1-، 1[المجال

بحيث تكون النتائج مستقلة عن أبعاد الشبكة ونستند هنـا إلـى pmax و qmaxالدراسة حددت قيم 0على الرغم من أن التكامل يمتد من من ثمالموجي النووي له امتداد محدود وكرة أن التابع ف

:التي تدخل في الحساب هيpmax و qmaxإال أن قیم ∞إلى qmax = pmax =1.5 fm-1

.ة بالنسبة إلى الجهد األولاآلتيولدينا النتائج

Nφ Nx Nq Np E(V2L) (MeV)

4 10 30 30 6.921 6 15 35 35 6.910 8 20 45 45 7.456

10 25 50 50 7.512 12 30 55 55 7.574 14 35 65 65 7.573 18 40 75 75 7.573 20 45 85 85 7.574 25 50 95 95 7.573

spline، قيم طاقة االرتباط لنواة التريتيوم بداللة أبعاد شبكة )2(الجدول

[40,64]البوزونات المتبادلة وفـق المرجـع كتل ةتم اختيار قيم V22الثاني بالنسبة إلى الجهد : وبقية العوامل تم توليفها لتعطي أفضل قيمة لطاقة االرتباط

π4/g2L 12

L 4/g π [ ]MeVLm [ ]MeV

hm [ ]MeVL∧ [ ]MeV

h∧

-3.577 9.408 330.210 612.480 1500 1500

:V(22)، قيم العوامل للجهد )3(جدول ال

90

Nφ Nx Nq Np E(V2L)

(MeV) 4 10 30 30 7.251 6 15 35 35 7.253 8 20 45 45 7.467

10 25 50 50 7.579 12 30 55 55 7.581 14 35 65 65 7.583 18 40 75 75 7.582 20 45 85 85 7.583 25 50 95 95 7.583

.splineة التريتيوم بداللة أبعاد شبكة ، قيم طاقة االرتباط لنوا)4(جدول

، بالنسبة إلى الجهد األول طاقة 8.48MeV القيمة التجريبية لطاقة االرتباط لنواة التريتيوم هي مشكلة المسماة نواجه الوهنا MeV 7.583وبالنسبة إلى الجهد الثاني MeV 7.573االرتباط هي

المشكلة أهمها هي إدخال التأثيرات النسـبوية ت عدة حلول لهذهمبمشكلة الطاقة المنخفضة وقد .للتريتيوم Mev 0.25تزيد من طاقة االرتباط بالمقدار ووجد أنها ] 75[

.قوى ثالثة نيكلونات كما سنرى في هذه الدراسةكذلك إدخال واقترح :ادمن أجل األبع splineفي كال الجدولين أن قيمة طاقة االرتباط تصبح مستقلة عن شبكة نجد

NΦ= 14 , Nq=65 Nx= 35 , Nq=65 فكرتنا هنـا وبحاجة إلى اختبار اوسنعتمد هذه األبعاد من أجل قوى ثالثة جسيمات وطبعا هذ

هذه األبعـاد، وكمـا غيير نهي إننا نستخدم هذه األبعاد أوال وإذا كانت القيم متوافقة نبقيها وإال .سنرى ستبقي هذه األبعاد متوافقة

وللطاقة الحركيـة ) H(الجهد بين جسيمين نحسب القيمة المتوقعة للهاملتوني لدراسة خصائص )Ho( وبالنسبة للجهد سنحسب القيمة المتوقعة للجهد ،)22(V والقيمة المتوقعة للجهـد)L2(V أي

:Ψ بوجود الجهد الجاذب فقط، ولحساب هذه القيم نستخدم التابع الكلي( ) 1 Φ+=Ψ P

:ومنه

)60-2( ( )( ) ( )

1

23132312 Φ+Φ+Φ=

Φ+=Ψ

ppqpppqpqp

pqpqprrrrrr

rrrr

91

:ومنه )61-2( ( ) ( ) ( ) ( )qppqqppqqpqp rrrrrrrrrrrr

21

21

43

21

21

43 , , −−−Φ+−−−Φ+Φ=Ψ

:وباالنتقال إلى اإلحداثيات الجديدة كما سبق)62-2(

( ) ( ) (

(

−−−−

−+++−+Φ+

−−−

−−−+++Φ+′Φ=Ψ

qppqpqxpq

pqxpqpqxpq

qppqpqxpq

pqxpqpqxpqxqpxqp

rrrr

rrrr

21

21

43

212

212

83

224122

49

21

21

21

43

212

212

83

224122

49

21

, ,3

, ,3 ,, ,,

:حيث

pqxpqpq 3 2249

21

21

43 ++=−−

rr pqxpqqp −+=− 22

41

21 rr

pqxpqpq 3 2249

21

21

43 −+=−−

rr pqxpqqp ++=−− 22

41

21 rr

:ومن القيمة المتوقعة للهاملتوني )63-2( )22( ΨΨ+ΨΨ=ΨΨ= VHHH o

:حيث

(2-64)

ـ ) 2-64(في المعادلة السابقة ) 2-62(وبتعويض المعادلة ل تصبح هذه المعادلة جـاهزة للحـ قتووالقيمة الم) Lanczos Method(يقة النكزوز ومن ثم طر splineالعددي وذلك باستخدام ة ع

:للجهد )65-2( ΨΨ=ΨΨ= )1(

)22()22()22( 3 VVV كما شرحنا فـي بدايـة ) 3 ,2(يشير إلى أن الجهد هو بين الجسيمين ) 1(حيث الدليل العلوي

p`: ثالثة أشعةهنا لدينا والفصل r ،q

r ،'pr فإذا اخترناq

r للمحـور اموازيZ و`pr يقـع فـي

p'للشـعاع Φكما في السابق هي الزاوية السمتية Mفإن الزاوية ) ,Z x(المستوي r وتصـبح

:اإلحداثيات بالشكل

( ) ( )qxpqxpdxmq

mpdqqdpp

HH oo

11

1

1

22

0

2

0

22 43 . . 8.3

3

ΨΦ

+=

ΨΦ=ΨΨ

∫∫∫+

−

∞∞

π

92

φcos11ˆ.ˆ

ˆˆˆˆ

22 xxxxppy

qpxqpxpp

qq

pp

′−−+′=′=

′=′=

′=′

=

=

r

r

r

:تكتب بالشكل) 2-65(القة ومنه الع

)66-2( ( ) ( ) ( )xqpxqpxxxxpp

xdpdpdxdqqdppV

q

′′ΨΨ′−−+′′

′′′=

∫

∫∫∫∫∫+

−

+

−

,,,, cos11,,

. . . 8.3

2

0

22

1

1

21

1

222)22(

φ

π

L2(V(: وكذلك األمر طبعا بالنسبة إلى :اآلتي بالجدولنجد النتائج

oH الجهد MeV

)22(V MeV

)L2(V MeV

H MeV

E MeV

<V22> 30.471 -39.026 - 7.581 7.583 <V2L> 62.750 - -77.537 7.388 7.387

والطاقة V)21(والمركبة الجاذبة فقط V)22(والجهد Hالقيم المتوقعة للهاملتوني ) 5(الجدول Hoالحركية

ارتباط أقل من الجهـد قيمة تعطي L2(V(ط للجهد نالحظ من هذا الجدول أن المركبة الجاذبة فق)22(V والذي هو مجموع المركبتين الجاذبة والنابذة، قيمة)L2(V أكبر بالقيمة المطلقة من قيمة

)22(V وهذا متوقع بسبب وجود المركبة النابذة في)22(V إن قيم ،oH تدل على اخـتالف تكون أكبر وهذا متوقع، L2(V(حجم نواة التريتيوم حيث من أجل

:اآلتيوفق الجدول ∧لندرس اآلن تغير قيمة طاقة االرتباط بداللة حد القطع ∧L ∧m E[MeV] 200 200 6.141 300 300 6.859 400 400 7.125 600 600 7.291 800 800 7.351

1000 1000 7.372 1500 1500 7.387

∧تغير طاقة االرتباط بداللة القطع ). 6(الجدول

93

:(NNLO) بإدخال قوى بين ثالثة نيكلوناتلنواة التريتيوم طاقة االرتباط 2-5التفاعل النقطـي : متعددة لأشكا تتألف من NNLOمركبة الحدود وفق رأينا أن القوة النووية

ثالثـة جسـيمات، بين قوىمن البين الجسيمين و ىمن القو متعددة أو تفاعل االتصال وأنواعأننـا بفـرض وكنا قد اقترحنا إدخال قوى ثالثة نيكلونات لمعالجة مشكلة الطاقة المنخفضة، و

د النـووي بأخـذ ندرس القوى النووية عن طريق تبادل بوزونات سلمية فيمكن بناء هذا الجهV4الممتد للبوزون السلمي وضربه بعامل الشكل عند كل عقدة لنأخذ مثال الجهد

(1):

.تمثيل تخطيطي لقوى ثالثة جسيمات ) 7( الشكل بحيـث أن ) 21(ومن ثم بين النيكلـونين )31(والذي يتركب من تبادل ميزون بين النيكلونين

، ]بين جسـيمين اجهد يعد ما عدا ذلكو[عن طريق تبعثره بالميزون يبقى كوسيط ) 1(النيكلون :ويمكن التعبير عن هذا الجهد بضرب الممتد للميزون بعامل الشكل

)67-2( ( ) ( )222

222

14 1 1 QF

mQQF

mQV ′

+′+≈

يحـوي أن الجهد النـووي بفرضكتلة الميزون المتبادل، و mقل وتهو االندفاع المن Qحيث افات القصيرة، وبلغة تبادل الجسيمات فإن المسافات القصيرة تعني تبادل مركبة نابذة عند المس

لكـن نضيف مركبة أخرى إلى الجهد السابق لتعبر عن الجهد النابـذ و من ثمميزونات أثقل و :بكتلة مختلفة للميزون

)68-2( ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

+′′

++

+′′

+Γ

+

+′′

+Γ

=

22

2

22

2

22

2

22

2

6

22

2

22

2

6)1(

4

2

1

2

1

αββαβα

βα

α

ααα

α

βπ

π

mQQF

mQQF

mQQF

mQQFgg

mm

mQQF

mQQF

mV

عتبـار التنـاظر النـاتج عـن تبـديل خذ بعين االألالمركبة الثانية ثم كتابتها وفق هذا الشكل .3و 2النيكلونين

94

:ثوابت االرتباط gβ, gαثوابت سعة التبعثر نيكلون ميزون، Γxp, Γxحيث

33

22

KKQ

KKQrrr

rrr

−′=′

′−=

:جاكوبي من النوع األولوبداللة إحداثيات

)69-2( ( )( )112

122

1121

22

qqppQ

qqppQ

′−+′−=′

′−+′−=rrrrr

rrrrr

حيث يدخل اآلن عنصر إضـافي إلـى ) 2-32(ى حل المعادلة باختيار هذا الشكل للجهد، يبق :معادالت فادييف يعبر عن قوى ثالثة من النيكلونات وله الشكل

)70-2( ( ) 1 )1(4

)1(4 Ψ=Φ+ VpqPVqprr

)1(كل مركبة من مركبات إذ4V لها الشكل:

( ) ( )22

22

22 1mQ

QFQFmQ +′

′+

تابع إلى ثالثـة وأربعـة أشـعة ) 2-70(عنصر المصفوفي أن ال) 2-69(نالحظ من من ثموفيما بينها فمن الصـعب اياويلتها والى الزاوطأن طريقتنا هي تحويل هذه األشعة إلى بفرضو

إجراء ذلك لثالثة أو أربعة أشعة، ويمكن حل هذه المشكلة بمالحظة أنه يمكن رد هـذا الجهـد المجموعة الثانية والثالثة مـن إحـداثيات إدخالبإلى جداء جهدين متتاليين بين جسيمين وذلك

.جاكوبي :نجد ) 2-70(إذا أخذنا الطرف األيمن للمعادلة

)2-71( ( )

( )

.........

3322

2

332

22

2

2 2123)1(

41

Ψ′′′′′′′′′′′′′′′′+′

′′′′′′′′′′′′′′′′′

′′′′+

′′′′′=Ψ ∫

qpqpmQ

QFqpqpqp

qpmQ

QFqpqpqppdVpq

rrrrrrrrrr

rrrrrrrrr

):3(و) 2(حولنا العنصر المصفوفي إلى جداء عنصرين مصفوفيين وفق إحداثيات من ثمو

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

2222

222

22322

2

3

2222

222

22222

2

2

mppppFqqqp

mQQFqp

mppppFqqqp

mQQFqp

+′′′′−′′′′′′′−′′′′′′′−′′′=′′′′′′′′

+′′

′′′′′′

+′′−′′′−′

′′−′=′′′′+

′′

rr

rrrrrrrr

rr

rrrrrrr

δ

δ

95

3qوأجرينا التكامل وفـق ) 2-71(سابقتين في المعادلة إذا عوضنا المعادلتين الr ′′ ،3q ′′′′r نجـد :

)72-2(

( )( )( )

( )( )( )

.........

32222

222

32

222

222

2123

23)1(

41

Ψ′′′′′′′+′′′′−′′′′′′′−′′′′′′′′′′′′×

+′′−′′′−′

′′′′=Ψ ∫

qpmpp

ppFqpqp

mppppFqpqpqdpdVpq

rrrr

rrrrrr

rr

rrrrrrrr

:نأخذ اآلن الحدين األخيرين من التكامل ونرمز لهما بالشكل

)73-2( ( ) ( )( )( )

22

23

3 Ψ′′′′′′′+′′′′−′′′′′′′−′′′

′′′′=′′′′′′ ∫ qpmpp

ppFpdqpF rrrr

rrrrr

نحله بشكل مستقل، والناتج هو تـابع من ثمو) 3(النوع هذا التكامل يحوي فقط اإلحداثيات من ) 2(بداللـة اإلحـداثيات F3نعبر عن التابع ل) 2-21(، اآلن نستخدم العالقات )3( لإلحداثيات

):2(بداللة اإلحداثيات اآلتيونحسب العنصر المصفوفي

)74-2( ( ) ( )( ) ( )qpqqpp

qpqpqpqpqp

′′′+′′′−′′′′+′′′+′′=

′′′−′′′′′′−′′′−′′′=′′′′′′′′′rrrrrr

rrrrrrrrrr

213

43

213

221

43

21

232

.

δδ

:ونرمز له آلتيانحسب التكامل ) 2-72(ومنه من المعادلة ( ) ( )∫ ′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′=′′′ qpFqpqpqdpdqpF , , 332

3332

rrrrrr :نجد) 2-74(باستخدام العالقة

( ) ( ) ( ) ( )∫ ′′′′′′×′′′+′′′−′′′′+′′′+′′′′′′′′=′′′ qpFqpqqppqdpdqpF rrrrrrrrrr , , 3213

43

21333

32 δδ :نأخذ أوال تابع دلتا الثاني في داخل التكامل نجد

pqq rrr ′′′+′−=′′′ 22 ومنه

( ) ( ) ( )∫ ′′′+′−′′′×Φ ′′′+′−′′′+′′′′′=′′′ pqpFqpppdqpF rrrrrrrr 22, , 323

23

2133

32 δ ) :ومن تابع دلتا )pqp rrr ′′−′=′′′

23

21

:ومنه

)75-2( ( ) ( )( )pqpqF

pqqpqFqpFrrrr

rrrrr

′′−′−′′−′=

′′−′+′−′′−′=′′′

21

21

43

3

23

21

43

332

,

2 ,,

).2(لإلحداثيات من النوع F32ومنه أصبح لدينا اآلن التابع ):2(هو فقط في اإلحداثيات يالذ اآلتيونأخذ التكامل ) 2-72(نعوض في المعادلة

)76-2( ( ) ( )( )( )

( )

, , 3222

23

4 qpFmpp

ppFpdqpF rrrr

rrrrr ′′′

+′′−′′′−′

′′=′′ ∫

96

نحله بشكل مسـتقل والتـابع النـاتج هـو )2(أن هذا التكامل تابع فقط لإلحداثيات بفرضو( )q,PF4

rr :أخيرا بالشكل) 2-72(تصبح المعادلة من ثمو ′′)77-2( ( ) ( )qpFqpqpqdpdPVqp rrrrrrrrrr ′′′′′′=Φ+ ∫ , 1 421

334

بداللـة ) 2(للتعبير عـن اإلحـداثيات ) 2-20(لحساب العنصر المصفوفي نستخدم العالقات ):1(اإلحداثيات

( ) ( ) ( ) ( )pqqqppqpqpqp rrrrrrrrrrrr ′−′+×′+′+=′−′′−′− 213

43

213

21

43

21 δδ

:نجد) 2-77(تعويض في المعادلة وبال )78-2( ( ) ( )qp,qp F P1 V qp 2

143

21

44rrrrrr

−−+−=Φ+ ومنه ووفق هذه الطريقة نكون قد عالجنا قوى ثالثة نيكلونات كقـوى بـين نيكلـونين علـى

.التوالي :بالشكل) 2-78(ووفق اإلحداثيات التي نتعامل معها في هذه الدراسة نكتب المعادلة

( ) (

−−−

−+++−+=Φ+

+

−

qppqpqxpq

pqxpqpqxpqFPVqp rrrrrr

21

21

43

212

212

83

224122

49

21

44 , ,3 1

حيث

qpx

pqxpqqp

pqxpqpq

ˆˆ

3

2241

21

2249

21

21

43

=

++=−−

−+=−+

rr

rr

) 2-68(أصبحت اآلن جاهزة للحل العددي باستخدام جهد ثالثة نيكلونـات ) 2-32(المعادلة ).V(22) )58-2وجهد بين نيكلونين

:عامل الشكل الداخل في عبارة الجهد لثالثة نيكلونات هو

( )2

22

222

+∧−∧

=QmQF

: [40,64 ]والثوابت هي

mα MeV

mβ MeV

∧α MeV

∧β MeV g2

α/4π g2β/4π Γα Γαβ

305.859 650.00 1000.00 1900.0 5.0 9.0 -2.69 2.40 V4قيم عوامل الجهد ). 7(الجدول

(1)

97

اما العوامل االخرى فتم موالفتهـا [40,64]كتل البوزونات المتبادلة تم أخذها من المرجع يمق . لتعطي أفضل قيمة لطاقة االرتباط

:النتائج العددية بإدخال قوى ثالثة نيكلونات 2-6جملة المعـادالت لحل ومن ثم splineباستخدام طريقة ) 2-32(بإجراء الحل العددي للمعادلة

.الستنتاج القيم الذاتية Lanczosطريقة النكزوز نستخدم تحتاج إلى اختبار وهذا شيء طبيعـي حيـث أن الحالةالمناسبة في هذه splineشبكة دإن أبعا

مختلف عن حالـة وجـود فرض أن نالتابع الموجي في حالة وجود الجهد بين جسيمين فقط سذا يعني من حيث المبدأ إعادة دراسـة قوى ثالثة نيكلونات باإلضافة إلى قوى بين نيكلونين وه

بشكل جيد والطريقـة مجال مع التابع الموجي في كل splineأبعاد الشبكة بحيث يتقارب تابع لدينا فكانتالتي اتبعناها في هذا البحث هي إننا جربنا أوال نفس أبعاد الشبكة في حالة جسيمين

.عملنا على هذه األبعاد من ثمنتائج جيدة وطاقة االرتباط التي ظهرت معنا من أجل جهد بين الجسيمين وجهد بين ثالثة جسيمات إن قيمة

)V(22)+V41 ( 8.596هيMeV 8.518وهي قريبة من القيمة التجريبيةMeV وأول ما نسـتنتجهوهـذا 7.583MeVمن هذه القيمة إن إدخال قوى ثالثة جسيمات أعطى تصحيح صغير للقيمة

راب الكيرالية حيث تنشأ القوى ثالثة نيكلونات عند الحدود التـي ما يتوافق مع نظرية االضطتنظـيم لنعلم أن حد القطع في عبارة عامـل الشـكل أدخـل و، )NNLO( الرئيسةتلي الحدود

)1(االندفاعات العالية، ويبقى السؤال عن تأثير تغير حد القطع في عبارة الجهد 4V على قيمـة

نحسب ير على جهد ثالثة نيكلونات ولدراسة التأثير األخير غوعلى تأثير هذا التطاقة االرتباط، )1(القيمة المتوقعة للجهد

4V اآلتيبالشكل:

)79-2( ( ) ( )xqpVxqpdxdpqdpp

VV

,, ,, 83

3

)1(4

1

10

2

0

22

)1(4)3(

ΨΨ×=

ΨΨ=

∫∫∫+

−

∞∞

π

نحص ل علی ھ م ن Ψ(p, q, x)هو الجهد الكلي للجهد بين ثالثة جسـيمات، والتـابع V(3)حيث ).2-62(المعادلة

98

)1(األول من عبارة الجھد الحل لندرس تغیر حد القطع على 4V أي ∧α:

∧α [MeV] )3(V [MeV] E [MeV] 2000 -3.725 8.989 1500 -2.200 8.830 1000 -0.899 8.596 500 0.139 7.437 100 0.055 6.891

ط والقيمة المتوقعة للجهد الكلي لجهد ثالثة نيكلونات مع حد تغير طاقة االرتبا). 8(الجدول α∧القطع

نالحظ من هذا الجدول أنه من أجل القيم العالية لحد القطع أي عند االندفاعات العاليـة القيمـة المتوقعة للجهد تكون كبيرة وعند القيمة الصغرى لحد القطع أي عنـد االنـدفاعات الصـغيرة

للجهد تقريبا معدومة، وهذا ما يؤكد أن قوى ثالثة نيكلونات تظهر عنـد تكون القيمة المتوقعةاالندفاعات العالية أو عند المسافات القصيرة وهذا ما يتوافق تماما مع نظرية الحقل الكمـومي

.الفعال للنواة

99

الفصل الثالث

LONN قيمة طاقة االرتباط لنواة الهيليوم وفق الحدود :مقدمة 3-1

تعتبر تطوير لمعادالت فادييف لثالثة جسيمات والتي ألربعةسنكتب أوال معادالت ياكوبوفسكي ومـن ثـم (LO)جسيمات، وسنكتب هذه المعادالت أوال في حالة وجود قوى بين جسيمين فقط

.(NNLO) سندخل قوى ثالثة جسيمات

: [40]مؤلف من أربعة جسيمات معادلة شرودينغر لنظام

)1-3( Ψ=Ψ

+ ∑

<

EVHji

ijo

jو iالجهد بين الجسيمين Vijحيث

:اآلتينكتب معادلة شرودينغر السابقة بالشكل

)2-3( Ψ

−=Ψ ∑

<

4

jiij

o

VHE

1

فإن المقام في الطرف الثاني ال يعاني من نقـاط E<oالمرتبطة أي الحالةأننا ندرس بفرضو .في المقام )i ε(ة الحد ال حاجة إلى إضاف من ثممفردة و

وكما في حالة ثالثة نيكلونات نكتب التابع الموجي كمجموع مـن مركبـات تسـمى مركبـات :فادييف

)3-3( ∑

<

Φ=Ψ4

jiij

:وذلك

)4-3( Ψ

−=Φ ij

oij V

HE1

100

المقدار oHE −

:Goرتباط ونرمز له بـهو الممتد الحر ألربعة نيكلونات في حالة اال 1

)5-3( ∑Φ=Ψ=Φkl

klijoijoij VGVG

:تكتب بالشكل) 3-5(من الطرف األيمن المعادلة ) i j(بفصل الحدود

)6-3( ( ) ∑

≠

=−ijkl

klijoijijo ΦVGΦ VG1

)7-3( ∑

≠

Φ=Φijkl

klijoij tG

:مؤثر االنتقال لجسيمين tijحيث

)8-3( ijo

ijij VG1

Vt

−=

لفهم المعنـى الفيزيـائي لهـا نحلهـا وهي ستة معادالت فادييف المرتبطة ) 3-7(المعادالت .بواسطة التعويض المتكرر

)9-3( .........tGtGtG

klmnmno

ijklkloijoij +=Φ ∑∑

≠≠

:اآلتينعبر عن هذه المعادلة تخطيطيا بالشكل

+ ………

ألولى وفق الخط المنقطتخطيطيا، المجموعة ا) 4-9(تمثل العالقة ): 1(الشكل

والثالثة هي التفاعل بين جسيمين) 2+2(والثانية تمثل ) 3+1(تمثل

1

2

3

101

:اآلتيفي التخطيط السابق نالحظ وجود ثالثة مناطق نميزها بالشكل

ثالثة جسيمات تتفاعل بينما الجسيم الرابع يبقى خارجا ونرمز ) من اليسار(في المنطقة األولى ، في المنطقة الثانية نالحـظ التفاعـل يـتم بـين )3+1(و بشكل عام أ) 123، 4(لها بالشكل

أما المنطقة الثالثة فهـي تفاعـل ) 2+2(ونرمز لها بشكل عام بالشكل ) 12، 34(جسيمين أي تنقسم إلى هذه المنـاطق الـثالث، ولنأخـذ مـثال ijΦبين جسيمين، لذلك كل مركبة فادييف

Φ12المركبة

)10-3( ( )342414231312o12 tG Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=Φ

:نكتبها بالشكل

)11-3(

( )( )

3412o

241412o

231312o12

tG tG

tG

Φ+

Φ+Φ+

Φ+Φ=Φ

يحـوي Φ34أن بفرضوالحد األخير و) 3+1(الحدين األولين من الطرف األيمن ينتمي للنوع ).2+2(فهو يمثل t34الحد

وحد من النـوع ) 3+1(النوع تحوي حدين من ijΦاآلن هي أنه كل مركبة األساسالفكرة وستة مـن النـوع ) 3+1(لذلك فإن التابع الموجي الكلي يحوي اثنا عشر من النوع ) 2+2(لدينا ثمانية عشـر مركبـة من ثمو) التابع الموجي الكلي يحوي ستة مركبات فادييف) (2+2(

. [40]ياكوبوفسكي

) أي نهمل السبين وااليزوسبين(ة عتبر النيكلونات جسيمات بوزونية متطابقنفي هذه الدراسة سمتطابقة ) 3+1(ة للسلسلة يفإن التوابع الموج هالتابع الموجي الكلي متناظر بالكامل ومن من ثمو

في الشكل وتنتج إحداها من األخرى بتبديل الجسيمات وكذلك األمـر بالنسـبة إلـى السلسـلة :ولنفرض) 3-11(، للنظر للمعادلة )2+2(

)12-3( ( )231312o1 tGx Φ+Φ=

102

:ينتج بالشكل) 3-11(السطر الثاني من المعادلة

)13-3(

( )[ ][ ][ ] tG

vGvG tG tGPtGP tG

PtGxP

241412o

24o14o12o

23o3413o3412o

23133412o134

Φ+Φ=Ψ+Ψ=

Ψ+Ψ=Φ+Φ=

أن التابع الموجي الكلي متناظر بفرضوذلك

)14-3( Ψ=Ψ34P

:نعرفه بالشكل) 2+2(والذي يعبر عن ) 3-11(والحد األخير من المعادلة

)15-3( 3412o2 tGx Φ=

.تسميان مركبتا ياكوبوفسكي x2و x1المركبتان

:تصبح اآلن بالشكل) 3-11(المعادلة

)16-3( 2134112 xxPx ++=Φ

:عيد كتابتها بالشكلن) 3-12(المعادلة

)17-3(

( )( )

[ ]( )[ ] xx P1 PtG

xxPx PtG PtG

PPPP tG tGx

213412o

2134112o

1212o

122312231312o

231312o1

++=

++=

Ψ=Ψ+=

Φ+Φ=

:نكتبها بالشكل) 3-15(وكذلك المعادلة

)18-3( 12241312o

3412o2

PPtG tGx

Φ=Φ=

2413المؤثر ~ PPP : ومنه) 24(بـ ) 13(يبدل ) 3-18(كما نرى من المعادلة =

103

)19-3( ( )( )( )213412o

2134112o2

xx P1 P~tG

xxPx P~tGx

++=

++=

ياكوبوفسكي لحالة ارتبـاط ألربعـة -معادلتي فادييف) 3-19(و) 3-17(إذن تمثل المعادلتين :نيكلونات

)20-3( ( )[ ]( )[ ]213412o2

213412o1

xx P1 P~tGx

xx P1 PtGx

++=

++=

:ل هذه المعادالت في فضاء االندفاع نستخدم إحداثيات جاكوبيلتمث

)21-3(

( )( )( )( )( ) kkk k u

kk k u

kk u

32131

443

3

2121

332

2

2121

1

rrrrr

rrrr

rrr

++−=

+−=

−=

:ويمكن أن نعرف مجموعة أخرى بالشكل

)22-3(

( )( ) ( )( )

( ) kk v

kk kk v

kk v

4343

3

4321

2121

2

2121

1

rrr

rrrrr

rrr

−=

+−+=

−=

321(اإلحداثيات ,, uuu rrr ( 1مناسبة لتمثيل تابع ياكوبوفسكيx الحالـة نه يمثل وذلك أل )3+1 (321(وأما اإلحداثيات ,, vvv rrr ( 1فهي مناسبة لتمثيل التابعx الحالةوذلك ألنه يمثل )2+2(

:بداللة مجموعتي إحداثيات جاكوبي Hoلنكتب اآلن الهاملتوني

∑=4

i

2i

o m2kH

m منا مجموعة جاكوبي األولى فإنكتلة النيكلون، إذا استخد:

1

2

3

4

1ur 2ur

3ur

1

2

3

4

1vr 2vr3vr

104

ll M2u

M2u

2u

M2kH

23

22

21

2

o +++=µ

:حيث

M=4m و2m

=µ وmM 32=l وmM 4

3ˆ =l

k=0عند العمل وفق إحداثيات مركز الجملة فإن r ومنه:

)23-3( 23

22

21

o um32u

m43

muH ++=

:ل مشابه إذا استخدمنا مجموعة إحداثيات جاكوبي الثانيةوبشك

lM2v

2v

2vH

23

22

21

o ++=µµ

2 حيث m

=µو

=+==

ml

m21

m21

M1mM

l

l

)24-3( m2v

mv

mvH

23

22

21

o ++=

:في التمثيل االندفاعي وفق القواعد) 3-20(لنكتب اآلن المعادالت

321 v,v,v rrr ،321 u,u,u rrr

:لنأخذ أوال المعادلة األولى

)24-3( ( )[ ] xx P1 PtG u,u,uxu,u,u 213412o3211321 ++=rrrrrr

321لندخل المجموعتين التامتين ,, uuu ′′′′′′ ،321 ,, vvv ′′′ rrr:

)25-3 (( ){ }∫ ′′+′′′′+′′′= 2ii12oi1ii3412oii3

i3

1i xv v PtG uxu u P1 P tG u vdudxu rrrrrrrrr

321: حيث ,, uuuuirrrr

=

105

:لنأخذ أوال حداالعناصر المصفوفة على نريد أن نحسب اآلن كال من

)26-3( ( ) ( )∫ ′′+′′′=′′+ i34ii12oii3

i3412oi u P1 u u PtG u udu P1 P tG u rrrrrrr

)27-3( ∫ ′′′′′′′−

=′ u P u u t u udE

1 u PtG u iii12ii3

i12oirrrrrrr

ε

حيث mu

mu

mu

32

43 2

322

21 ++=ε 3-23(باالعتماد على العالقة (

t12 مؤثر االنتقال بين جسيمين لذلك:

)28-3( ( ) ( ) u t u u-u u-u u t u 11333

223

i12i ′′′′δ′′δ=′′ rrrrrrrr

P=P12P23+P13P23 يكتب بالشكل:

( ) u u P u u u-u u u u P u u u 2121333

321321 ′′′′′′′′′δ=′′′′′′′′′ rrrrrrrrrrrr

:كما في حالة ثالثة جسيمات

( ){ } u u u u u u u u u-u u u u P u u u321212212133

3321321 ′′′′′′+′′′′′′′′′δ=′′′′′′′′′ rrrrrrrrrrrrrrrr

:نجد) 2-20( باستخدام العالقات

)29-3 (( ) ( ) ( ){( ) ( )} u u u u u u

u u u u - u u u-u u P u

221

123

243

121

13

221

123

243

121

13

333

ii

′+′−′′δ′+′+′′δ

′+′+′′δ′′+′′δ×′′′δ=′′′rrrrrr

rrrrrrrrrr

:نجد) 3-27(في العالقة ) 3-29) (3-28(بتعويض العالقات

)30-3 (

( ) ( )

( ) ( ) ( ){( ) ( )} u u u u u u

u u u u - u u u-u

u t u u-u u-u udE

1 u PtG u

221

123

243

121

13

221

123

243

121

13

333

ii333

223

i3

i12oi

′+′−′′δ′+′+′′δ

′+′+′′δ′′+′′δ×′′′δ×

′′′′δ′′δ′′ε−

=′ ∫

rrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrrrrr

)بإجراء التكامل وفق توابع دلتا )223 u-u ′′rr

δ ،( )333 u-u ′′rr

δ ،( ) u - u u 243

121

13 ′′+′′ rrr

δ

106

:نجد

)31-3 (

( ) ( ){( ) ( ) } ( ) u u u u t u u u u

u u t u u u u E

1 u PtG u

333

2221

1221

123

2221

1221

123

i12oi

rrrrrrrr

rrrrrrrr

′−δ′−ε′+′−δ+

′+ε′+′+δε−

=′

−

:ونحسب العنصر المصفوفي) 3-26(لنعد إلى العالقة

)32-3(

( )( ) ( ) ( )( ) u u P u u u-u

u-u u-u u-u

u P u uu u P1 u

323432113

333

223

113

i34iiii34i

′′′′′′′′′δ+

′′′δ′′′δ′′′δ=

′′′+′′′=′′+′

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

:ديلإن مؤثر التب

( ) ( ) u - u , u u u u u u P u u 331

2 398

231

32323432 ′′′′′′+′′′′=′′′′′′ rrrrrrrrrr

) 2-20( وذلك باالعتماد على العالقات

:ومنه

)33-3(

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) u u - u u u - u u-u

u-u u-u u-u u P1 u

331

23 3

398

231

2 3

113

333

223

113

i34i

′′+′′′δ′′−′′′δ′′′δ+

′′′δ′′′δ′′′δ=′′+′rrrrrrrr

rrrrrrrr

:نجد) 3-26(في العالقة ) 33،31-3(نعوض كال من العالقات

)34-3 (

( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) }

( ) ( ) ( )[{( ) ( ) ]} u u - u u u - u

u-u u-u u-u

u u t u u u u u u t u

u u u E

u u udu P1P tG u

331

23 3

398

231

2 3

333

223

113

2221

1221

123

2221

1

221

12333

3

i3

i3412oi

′′+′′′δ′′−′′′δ+

′′′δ′′′δ′′′δ×

′−ε′+′−δ+′+ε

′+′+δε−

′−δ′=′′+

−

∫

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrrr

rrrrr

rrr

:ونحسب) 3-25(لنعد اآلن إلى العالقة

)35-3 ( ∫ ′′′′′=′ iiioii3

ioi v u u P tG u udv P tG u rrrrrrr

107

ioi: العنصر المصفوفي utGu ′rr P 3-31(يعطى بالعالقة(

ولكـن قـبال نكتـب ) 3-25(في المعادلة ) 3-31) (3-34(نعوض اآلن كال من المعادالت :بالشكل) 3-34(المعادلة

)36-3 (

( ) ( ){( ) ( ) ( ) }

( ){ ( ) ( ) ]} u u - u u u u-u

u u t u u u u u u t u

u u u E

1u P1 tG u

331

23 3

398

232

3

333

2221

1221

123

2221

1

221

123

i3412oi

′′+′′δ′′−′′δ+′′δ

′′−ε′′+′′−δ+′′+ε

′′+′′+δε−

=′′+

−

rrrrrrr

rrrrrrrrr

rrrrr

):3-25(إذن نعوض في العالقة

)37-3 (

( ){( ) ( ) ( ) }( ){ ( ) ( )}

( ){ ( )

( ) ( ) } ( ) x v v u

u-u u u t u u u u

u u t u u u u E

1 ud vd

x u u u - u u u u-u

u u t u u u u u u t u

u u u E

1 ud x u

111i

333

2221

1221

123

2221

1221

223

i3

i3

1i331

23 3

398

232

3

333

2221

1221

123

2221

1

221

123

i3

1i

′×′′×

′δ×′−ε′+′−δ+

′+ε′+′+δε−

′′+

′′′′+′′δ′′−′′δ+′′δ×

′′−ε′′+′′−δ+′′+ε

′′+′′+δε−

′′=

−

−

∫

∫

rrr

rrrrrrrr

rrrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrrrrr

rrrrr

:بإجراء التكامل وفق توابع دلتا واستخدام مؤثر انتقال الجسيمين المتناظر نجد

)38-3 (

{

} u u t u

x u - u , u - u - , u u

x u - u , u u , u u

x u , u , u u ud E

1 x u u u

2221

S1

2332

221

332

2221

2

1331

2398

231

221

2

132221

223

1321

′+

′′′++

′+′′++

′′+′ε−

= ∫

rrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrr

ياكوبوفسكي لنظام مؤلف مـن أربعـة جسـيمات -وهي المعادلة األولى من معادالت فادييف .متطابقة

):3-20(لننظر اآلن إلى المعادلة الثانية من

108

( )[ ] xx P1 P~ t G v x v 213412oi2i ++=rr

لذلك ندخل iurيناسب القاعدة 1xوالتابع ivrيناسبه القاعدة 2xقلنا فيما سبق أن التابع :مجموعات تامة وفق القاعدتين بالشكل

)39-3(

( ) x v v P~ t G v vd x u

u P1 v v P~ t G v ud vd x v

2ii12oii3

1i

i34ii12oii3

i3

2i

′′′+′×

′+′′′′=

∫∫

rrrrr

rrrrrrr

:حداحسب اآلن العناصر المصفوفية كال على لن

v P~ v v t G v vd v P~ t G v iii12oii3

i12oi ′′′′′′′=′ ∫rrrrrrr

)40-3( v P~ v v t v vd

E1 v P~ t G v iii12ii

3i12oi ′′′′′′′

ε′−=′ ∫

rrrrrrr

حيث mv

mv

mv 2

322

21

2++=′εأن بفرض، وt مؤثر االنتقال بين جسيمين:

)41-3( ( ) ( ) v-v v-v v t v v t v 333

223

1ii12i ′′δ′′δ′′=′′ rrrrrrrr

:أما العنصر المصفوفي

)42-3( ( ) ( ) ( ) v-v vv v-v

v, v - , v v

v , v , v PP v v P~ v

133

223

313

123i

3212413iii

′′′δ′+′′δ′′′δ=

′′′′′=

′′′′′=′′′

rrrrrr

rrrr

rrrrrr

):3-40(في المعادلة ) 41،42-3(كال من المعادلتين نعوض

)43-3 (

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) v-v vv v-v

v-v v-v v t v vd E

1 v P~ t G v

133

223

313

333

223

11i3

112oi

′′′δ′+′′δ′′′δ×

′′δ′′δ′′ε′′′ε′−

=′ ∫rrrrrr

rrrrrrrrr

v نكامل وفق توابع دلتا للمتحوالت i′′r:

)44-3 (( ) ( ) ( ) v-v vv v t v

E1 v P~ t G v 13

322

331i12oi ′δ′+δ′′ε′

ε′−=′ rrrrrrrr

109

:لندرس اآلن العنصر المصفوفي

)45-3( u P v u v u P 1 v i34iiii34i ′′+′′=′+′ rrrrrr

:نالحظ ما يلي )22-3(و) 21-3(من العالقات

)46-3( v - v- u

v v- u

v u

32 21

3

332

2 32

2

11

rrr

rrr

rr

=

+=

=

ننتقـل مـن اإلحـداثيات من ثمو 4↔3يبدل الجسيمين P34وبمالحظة كذلك أن مؤثر التبديل ( )321 , , uuu rrr إلى اإلحداثيات ) 3+1)=(123، 4(حيث النظام ) 21-3(المعطاة وفق المعادالت( )321 , , uuu rrr3+1)=(124، 3(ظام التي تصف الن(

:من ثمو

)47-3(

++=

+=

=

3

k k k - k u

2

k k - k u

k - k u

4213 4

33

214 3

22

211

rrrrr

rrrr

rrr

:من هذه العالقات نالحظ

)48-3( v v- u

v v- u

v u

32 21

3

332

2 32

2

11

+=

−=

=

:نجد) 48، 47، 46-3(ومنه باستخدام العالقات

)49-3 (

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) v - vu v vu v - u

v vu v - vu v - u u P 1 v

3221

33

332

232

23

113

3221

33

332

232

23

113

i34i

′′+′δ′+′+′δ′′δ+

′+′+′δ′′+′δ′δ=′+′rrrrrrrr

rrrrrrrrr

110

إجراء التكامل وفق وب) 3-39(في المعادلة ) 3-49) (3-44(نعوض اآلن كال من المعادالت :توابع دلتا من السهل إيجاد

)50-3 (

( )[ ] x v , v,v x v - v , v v,v 2

v t v vd E2

1 x v

232313221

332

232

3

3S133

2i

′−+′′+×

′′ε′−

= ∫rrrrrrrr

rrrr

.وهي معادلة ياكوبوفسكي الثانية في التمثيل االندفاعي

:ياكوبوفسكي بإدخال قوى ثالثة نيكلونات-معادالت فادييف 3-2

مات بحيث يبقـى رأينا أن نظام أربعة جسيمات يصنف وفق صفين هما تفاعل بين ثالثة جسي، والصف الثاني يعبر عن تفاعـل بـين كـل )3+1(الجسيم الرابع خارجا ونرمز له بالشكل

):2+2(ونرمز له بالشكل حداجسيمين على

)51-3(

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )13,24 24,13 14,23

23,14 34,12 12,34 431,2 341,2 134,2 342,1 432,1 243,1 412,3 241,3 124,3 312,4 231,4 123,4

------ 8121

18

1ii

+++++++++++++++++=

Ψ++Ψ+Ψ=Ψ=Ψ ∑=

، ونشير هنا إلـى أن مفهـوم هـذه )3+1(تدخل إذن وفق النظام ) 3NF(قوى ثالثة نيكلونات مثال وذلك حسب الفصل السابق نعتبـر ) 132، 4( الحالةمن ) 123، 4( الحالة القوى ال يميز

يعـاني تبعثـر مـع ) 1(والنيكلـون ) 13(ومن ثم بـين ) 12(تبادل بوزونين بين الجسيمين .تين غير متميزتينالحالالبوزون، ومنه فإن هاتين

111

بداللـة ) 3+1(ات للصف لةالحاهي كما رأينا في الفقرة السابقة هي كتابة كل األساسوالفكرة وذلك باستخدام مؤثرات التبـديل، ) 12، 34( الحالةبداللة ) 2+2(وللصف ) 123، 4( الحالة

:فمثال نكتب

( ) ( )3,1244,123 P P 34134 ==Ψ

)3-3(من العالقة

342414312312

ij

Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=

Φ=Ψ ∑

:ولكن

34122413

24141234

312312

PPPP

P

Φ=Ψ

φ+φ=φ

φ+φ=φ

)52-3( ( )( ) ( )[ ] x x P1 P~ P P P 1

P~ P P P 1

213434

1234

+++++=Ψ

Φ+++=Ψ

).3-16(خدام العالقة وذلك باست

فلدينا أربعة قوى كل قوة لها ثالثـة ) 3+1(أن قوى ثالثة نيكلونات توصف بالصف بفرضوياكوبوفسكي نبـدأ مـن معادلـة -مركبات، وإلدخال قوى ثالثة نيكلونات في معادالت فادييف

الحـد شرودينغر وبنفس الطريقة في حالة ثالثة جسيمات كما رأينا، فإن هذه القوى تدخل وفق( ) )1(

123 1 vGtG oo+ 1(، حيث(123v أما الدليل العلوي فهو يشـير ) 123، 4( الحالةيشير الجهد في

الحالـة وكما قلنا سابقا فإن الجهد الكلي لهـذه ) 1(إلى أن تبعثر الميزون يحصل عند النيكلون :هو

)53-3( )3(123

)2(123

)1(123123 v v vv ++=

:ياكوبوفسكي تقرأ اآلن بوجود قوى ثالثة نيكلونات بالشكل-معادالت فادييف

112

)54-3( ( ) ( )[ ]

( )[ ]2134o2

2134o)1(

123oo1

x x P1 P~ tGx

x x P1 P tG v G tG1x

++=

+++Ψ+=

)3-52(هو التابع الموجي الكلي Ψحيث

ر عنها بداللـة ومن ثم التعبي iur ،ivrمهمتنا تتلخص في كتابة هذه المعادالت وفق القواعد .اإلحداثيات التي استخدمناها في الفصل السابق ومن ثم الحل العددي

كتبناها في الفقرة السابقة وفق التمثيل اإلنـدفاعي وكـذلك الحـد ) 3-54(المعادلة الثانية من :الثاني من الطرف األيمن من المعادلة األولى، لذلك نكتب اآلن فقط الحد

( )

Ψ

ε+Ψ

ε=

Ψ+Ψ=Ψ+

t vu -E1 vu

-E1

vGt G u vG u vG tG1 u

)1(123i

)1(123i

)1(123ooi

)1(123oi

)1(123ooi

rr

rrr

حيث

mu

mu

muE

123

32

22

43

21 −−−

=ε

Ψ′′′

ε+Ψ

ε= ∫ vu u tuud

-E1 vu

-E1 )1(

123ii12ii3)1(

123irrrrr

i12iالعنصر المصفوفي u u ′rr t حسبناه في القسم األول من هذا الفصل:

( ) ( ) ( ) 11333

223

32112321 u t u u-u u-u uuu t uuu ′ε′δ′δ=′′′ rrrrrrrrrrrr

22اء التكامل وفق توابع دلتا ربالتعويض في المعادلة وأج uu ′=rr ،33 uu ′=

rr نجد:

( ) [

]∫ Ψ′′′×ε

+Ψε

=Ψ+

vuuu u t u ud -E1 vu

-E1 vG tG1 u

)1(12332111i

3

)1(123i

)1(123ooi

rrrrrr

rr

:نجد tsبداللة مؤثر االنتقال بين جسيمين المتناظر t12للتعبير عن

113

)55-3(

( ) [

]∫ Ψ′′′×ε

+Ψε

=Ψ+

vuuu u t u ud -E1 vu

-E1 vG tG1 u

)1(1233211S1i

321

)1(123i

)1(123ooi

rrrrrr

rr

:ياكوبوفسكي بإدخال قوى ثالثة نيكلونات تصبح بالشكل-ومنه معادالت فادييف

)56-3(

{

}{

}

Ψ′′′

ε×+Ψ+′+×

−′′−′++

−′−+′−′++

′′+′

ε−

=

∫

∫

vuuu u t u ud

-E1 vu u u t u

xu u,u- u , u u

xu u,u u , u u

xu, u , u u udE

1xu

)1(1233211S11

3

21)1(

123i2221

S1

2332

221

332

2221

2

1331

2398

231

221

2

132221

221i

rrrrr

rrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

)57-3 (

( )[ ] x, v , v- , v x v v , v v , v 2

v t v vdE2

1xv

232313221

332

232

3

3S133

1i

′′−′+×

′′ε′−

= ∫rrrrrrrr

rrrr

وقوى ثالثة نيكلونات ) 50، 38-3(ياكوبوفسكي من أجل قوى بين نيكلونين -معادالت فادييفلدينا تسـعة متحـوالت مسـتقلة من ثمهي معادالت تكاملية بثالثة متجهات، و) 57، 3-56(

ولتبسيط الحل العددي نعبر عن هذه المعادالت بستة متحوالت فقط وذلك كما رأينا فـي حـال جسيمات، هي طويلة كل متجه والزوايا فيما بينها، وهي مقـادير مسـتقلة عـن جملـة ثالثة .القياس

-فـادييف عن معادالتوكما رأينا في الفصل السابق هذه المتحوالت السلمية تصلح ألن نعبر وذلك ألن كال من التابع الموجي ومؤثر االنتقـال بـين جسـيمين همـا بداللتها ياكوبوفسكي

.بعد إهمال السبين وااليزوسبين للنيكلون مقداران سلميان

.حيث نأخذ أوال طويلة كل شعاع التالي المتحوالت الجديدة موضحة بالشكل

114

44 v v =r

،33 v v =r

،22 v v =r

3V المتجه r منطبق على محورZ اوهذا ممكن دائم

13(نأخذ الزاوية بين الشعاعين , vv rr(

131 v.vx =

حيث الدليل العلوي يشير إلى متجه الوحدة

23(وكذلك الزاوية بين v , v rr(

232 v.vx =

21(إليجاد الزاوية بين الشعاعين v , v rr ( نأخذ المستوي المنشئ وفق)32 v , v rr( شعاع الواحـدة ، :الناظمي لهذا المستوي

( ) v v ˆ 13rr

×=α

23(وشعاع الواحدة الناظمي للمستوي v , v rr:(

( ) v v ˆ23

rr×=β

:ومنه الزاوية بين المستويين

( ) ( ) v v . v v 2313rrrr

××=Γ

وباستخدام المتطابقة

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBDADBCADCBArrrrrrrrrrrr

. . .. . . . −=××

:نجد

( ) ( )

( ) ( )223

213

231321

v.v 1 . v.v 1

v .v . v.v - v.v

−−=Γ

1vr 3v

2v

1x 2x

y

xΓ

115

:ومنه

Γ+== x- 1 x- 1 x x v .v y 22

212121

منطبـق علـى 2vrمن أجل إجراء التكامالت كما سنرى فمن األفضل أخذ المتجـه الثـاني .1vrهي الزاوية السمتية للمتجه Γتصبح من ثمو) x-Z(المستوي

:ياكوبوفسكي من أجل قوى بين نيكلونين-الحلول العددية لمعادالت فادييف 3-3

بداللة اإلحداثيات الجديدة، لنأخـذ أوال المعادلـة ) 3-50(، )3-38(لنعبر أوال عن المعادالت )38-3:(

( ) u, u, u x x u, u, u 32111321rrrrrr

=

:، فإن)Z ،x(في المستوي 2urو Zمنطبق على المحور 3urإذا أخذنا

ϕosc x- 1 x- 1 x x u . u x

u . u x u . u x

u u

u u

u u

22

21212112

232

131

33

22

11

+==

=

=

=

=

=

r

r

r

.1urهي الزاوية السمتية للشعاع φحيث

)الزاوية بين المستويين من ثمو ) u -u 23rr و( ) u -u 13

rr:

ϕosc o =Γ

:ومنه

116

)58-3( ( ) ( ) , x, x, u, u, u x u, u, u x o2132113211 Γ=rrr

)3-38(لنأخذ اآلن الحد األول من التكامل في الطرف األيمن للمعادلة

( ) u , u, u u x x u , u, u u 32221

21132221

2rrrrrrrr ′′+=′′+

):Z ،x(في المستوي 2u′rوالمتجه Zوفق المحور 3urنأخذ المتجه

:المتحوالت الجديدة هي

xu u u u u u 22222

2412

2221

21 ′′+′+=′+=γrrr

2222 :حيث u . u x ′=′

u u , u u 3322 =′=′ rr

u , u الزاوية بين المتجهين 32rr′:

322 u . u x ′=′

)و 3urالزاوية بين ) 221

2 uu ′+rr

( ) ( ) ( )222

122

1322

121 x u xu 1 u . u u ′′+

γ=′+=β

rrr

)و 2u′rالزاوية بين المتجهين ) 221

2 uu ′+rr هي الزاوية بين ناظمي المستويين المنشـئين وفـق

:3urهذين المتجهين مع المتجه

( )

221

212221

21

x 1 . 1

x - u . u u ′−β−

′β′′+=Γ

rrr

:إذا رمزنا

( ) ( ) u xu 1 u . u u 22

1222

1222

12o ′+

γ=′′+=β ′

rrr

:ومنه

117

221

21o1

x 1 . 1 x -

′−β−

′ββ=Γ

:من ثمو

)59-3( ( ) ( ) , , x ,u , u, x u , u, u u x 112321132221

21 Γβ′′γ=′′+rrrr

):3-38(من التكامل في المعادلة اآلتيلنأخذ الحد

x u - u , u u , u u 1331

2398

231

221

2rrrrrr ′+′′+

:إذن لدينا

x u u u u u u

x u u u u u u

u u

232322

3912

2331

23

23227162

381642

291

398

231

2

221

21

′′−+′=−′=

′′++′=+′=

′+=

rr

rr

rr

γ

γ

γ

:الزاوية بين

( ) ( )[ ] x u u - u xu u - xu u 1

u u . u u

232612

221

23231

222231

221

2331

22

′′′+′γγ

=

′+−′=β

′

rrrr

:نالزاوية بي

( ) ( )[ ] u - x u u u 1

u u . u u

2327

82329

723

1

32

398

231

331

23

′′+′γγ

=

+′−′=βrrrr

:أوال دإليجاد الزاوية بين المتجهين الثاني واألول نوج

( ) ( )[ ]2329

4226

12329

822223

1

21

398

231

221

24

x u u u xu u xu u 1

u u . u u

′′+′++′′γγ

=

+′′+=β

′

rrrr

:ومنه الزاوية بين المستويين

118

23

22

3242

1 . 1 -

β−β−

βββ=Γ

:ومنه

)60-3 ( ( ) ( ) , , , , , x u - u , u u , u u x 2323211331

2398

231

221

21 Γββγγγ=′+′′+rrrrrr

):3-38( العنصر المصفوفي الثالث من التكامل في المعادلة

( ) u - u , u - u - , u u x 332

221

332

2221

22rrrrrr ′′′+

:أطوال المتجهات

x u u u u u - u

x u u u u u - u -

232322

3942

241

332

221

5

232342

3942

2332

24

′′−+′=′=

′′++′=′=rr

rr

γ

γ

:الزاوية بين

( ) ( )[ ] u x u u u 1 -

u u- . u u

239

42323

122

1

54

332

2332

221

5

−′′−′γγ

=

−′−′=βrrrr

:والزاوية بين

( ) ( )[ ]2323

1224

12323

222222

1

51

321

2332

221

6

x u u u xu u xu u 1

u u . u u

′′−′+−′γγ

=

′+−′=β

′

rrrr

:أوال دإليجاد الزاوية بين المتجهين الشعاعي الثاني والثالث نوج

( ) ( )[ ]2323

1222

12323

22222

41

332

2231

27

x u u u xu u xu u 1 -

u u - . u u

′′+′++′γγ

=

−′′+=β

′

rrrr

:ومنه الزاوية بين المستويين

119

27

26

5673

1 . 1 -

β−β−

βββ=Γ

:العنصر المصفوفي هو من ثمو

)61-3 (( ) ( ) , , , , , x u - u , u u , u u x 3655412332

221

332

2221

21 Γββγγγ=′−′−′+rrrrrr

:مصفوفة مؤثر االنتقال

( ) ( ) , u u , u t u u t u 12221

1S2221

1S1 ε′′+=′+ε′ rrrrrr

:المتحوالت الجديدة هي

xu u u u u u , u u 22222

2224

1222

1611 ′′+′+=′+==

rrrγ

:الزاوية بين الشعاعين

( ) [ ]2121222

1

6222

1 18 xu xu 1 u u u ′′+

γ=′+=β

rr

:حيث

2121

2112

u . u xu . u x

′==

′

:ومنه

)62-3( ( ) ( ) , , , u t , u u , u t 1861S12221

1S ε′βγ=ε′′+rrrr

:هنا

3m2u -

4m2u - E

23

22

1 =ε′

:ياكوبوفسكي األولى تكتب بالشكل-معادلة فادييف من ثمو

120

)63-3 (

( )

( ) ( ){

( ) ( ) } , , , , , x , , , , , x

, , x ,u , u, x , , , u t d

xd u ud

mu

32 -

mu

43 -

mu - E

1 , x ,x , u , u , u x

36554122323211

1123211861S

2

0

1

1-2

0

2222

322

21

o313211

Γββγγγ+Γββγγγ+

Γβ′′γ×ε′βγϕ

′×′′=Γ

∫

∫∫+∞

r

):3-50(بوفسكي، ياكو-نريد اآلن كتابة المعادلة الثانية من معادالت فادييف

:الطرف األول

( ) v , v , v x x v v v 32122321rrrrrr

=

):Z ،x(يقع في المستوي 2vr و) Z(منطبق على المحور 3vr نأخذ الشعاع

v v , v v , v v 332211 ===rrr

:2vr و 3vr الزاوية بين

v . v y 232 =

:1vr و 3vr والزاوية بين

v . v y 131 =

)نوجدها عن طريق إيجاد الزاوية بـين المسـتويين 2vr ، 3vr الزاوية بين الشعاعين )32 , vv rr )و )21 , vv rr :

122

2121213 osc y - 1 y - 1 y y v . v y Φ+==

:من ثمو 1vr هي الزاوية السمتية للشعاع Φ1حيث

22

21

2133

y 1 . y 1 y y - y cos

−−=Φ=Γ

:ومنه

121

)64-3( ( ) ( ) , y , y , v, v, v x v , v , v x 11232123212 Γ′=rrr

):3-50(الحد الثاني من التكامل في المعادلة

x v v , v v , v 13221

332

232

3 ′−′+rrrrr

:المتحوالت الجديدة هي

[ ]32322

3229

433

223

21

33

yvv2 v v v v

v v

′′+′+=′+=γ′

=rr

r

:حيث

32322

3224

1322

12

3232

yv v v v v v

v . v y

′

′

′−′+=′−=γ′

′=rr

322(الزاوية بين المتجهين 1 vv ′−

rr (و)332

232 vv ′+

rr(

( ) ( )[ ] v - y v v v

32

v v . v v

2332322

1222

1

21

332

232

3221

1

′′−γ′γ′

=

′+′−=β′

′

rrrr

322 (والزاوية بين المتجهين 1 vv ′−

rr (و)3v ′r(

( ) ( ) [ ] y v y v 1 v v v 333222

1

2322

132 ′′−

γ=′−=β′ rrr

:حيث

3333 v . v y ′=′

ــات ــق المتجه ــئين وف ــتويين المنش ــين المس ــة ب ــاد الزاوي }إليج } , 3221

3 vvv ′−rrr

}و } , 3221

332

232

vvvv ′−′+rrrr

:نحسب أوال المقدار

122

( )[ ] y v - y v

32

v v v

333221

332

332

33

′′γ′

=

′+=β′

:ومنه الزاوية بين المستويين

2

12

2

1232

1 . 1 -

β′−β′−

β′β′β′=Γ′

:ومنه

)65-3( ( ) ( ) , , , , , v x v v , v v , v x 22121313221

332

232

31 Γ′β′β′γ′γ′=′−′+rrrrr

):3-50(والحد األخير من التكامل في المعادلة

( ) v , v - , v x 3232 ′rrr

33الزاوية بين , vv ′rr عرفناها فيما سبق:

3333 v . v y ′=′

- و3v′r الزاوية 2vr

( ) ( ) y v . v - 3232 ′−=′

}لتعريف الزاوية بين المستويين } - , 23 vv rr′ و{ } , 33 vv ′rr نوجد المقدار:

( ) 223 y - v - v =

:ومنه

2

32233

323323

y 1 . y 1 y y - y

′′

′′

−−

−=Γ′

:من ثمو

)66-3( ( ) ( ) , y- , y , v , v, v x v , v - , v x 3323332323232 Γ′′=′ ′′rrr

123

):3-50(العنصر المصفوفي من

( ) ( ) , v , v t v t v 231S32S1 ε′′=′ε′ rrrr

حيث

m v -

2m v - E

23

22

2 =ε′

31الزاوية بين المتجهين , vv ′rr

( ) osc y - 1 y - 1 y y v . v 31233

21331314 Φ′−Φ+=′=′ ′′β

3vالزاوية السمتية للشعاع ′3Φ كما مر سابقا، و 1vrالزاوية السمتية للشعاع Φ1حيث ′r:

:ومنه

)67-3( ( ) ( ) , v , v t , v , v t 2431S231S ε′β′′=ε′′rr

:تكتب بداللة المتحوالت الجديدة بالشكل) 3-50(ومنه المعادلة

)68-3(

( )

( ) ( ){

( ) } , y- , y , v , v, v x

, , , , , v x 2 , , v , v t d

dy v vd

m v -

2m v -

m v - E 2

1 , y ,y , v, v, v x

332333232

22121312431S

2

03

1

1-33

0

2332

322

21

1313212

Γ′′+

Γ′β′β′γ′γ′×ε′β′′Φ′

×′′

=Γ′

′′

π

+

′

∞

∫

∫∫

:النتائج العددية باستخدام جهد بين نيكلونين 3-4

ونستخدم الجهـد بـين ) 3-68(و )3-63(لدينا اآلن المعادلتين الجاهزتين للحل العددي وهما :اآلتينيكلونين بالشكل

124

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) P -P

m - m P -P

1 2

g

P -P

m - m P -P

1 2

g - P P, v

2

2h

2

2h

2h

2h

23

2h

2

2L

2

2L

2L

2L

23

2L

∧+′

∧

+′π+

∧+′

∧

+′π=′

rrrr

rrrr

يعبر هذا الجهد عن مركبة جاذبـة حيـث كتلـة ، كما في الفصل السابق حيث الثوابت معطاة .Mh، ومركبة نابذة حيث كتلة الميزون السلمي MLالميزون السلمي

i=1,2,3 ،ui ،vi: وفق المتحوالت الكرويـة splineكما في حالة ثالثة نيكلونات سننشأ شبكة o1والمتحوالت القطبية x1و x2و y1و y2ية رووالمتحوالت الزاوية الك , Γ′Γ′.

إلـى 0كل المتحوالت األخرى تكتب بداللة هذه المتحوالت، متحوالت االندفاع تأخذ قيمها من اه محدود فإن هذه القيم تأخذ قيمة أعظمية منتهية ولكن اعتبار أن التابع الموجي النووي مد ∞+

لذلك نحن في حاجـة splineتعتمد بشكل عام على الجهد المدروس وعدد النقاط المشكلة لشبكة إلى دراسة تقارب الحلول العددية كتابعية لعدد النقاط المأخوذة وذلك كمـا فـي حالـة ثالثـة

.نيكلونات

، بعد التعبير عن معـادالت ]-1، +1[أخذ قيمها في المجال أما المتحوالت القطبية والكروية فتينتج لدينا مصفوفة ذات أبعاد تتناسب مع عدد splineياكوبوفسكي التكاملية وفق شبكة -فادييف

وهو نفسه من Nmبـ uiالنقاط المأخوذة، فإذا رمزنا إلى عدد النقاط المأخوذة لمتحول االندفاع 3الكلي فيكون لدينا عدد النقاط Viأجل

mN حيثm تشير إلى االندفاع، وكذلك إذا رمزنا لعدد2يكون لدينا عدد النقاط الكلي NSالنقاط للمتحوالت الكروية

SN لمتحوالت القطبية ل بالنسبة أما :هي spline ومنه حجم المصفوفة المشكلة لدينا وفق شبكة NPنرمز لعدد النقاط بـ

p2S

3m N . N . N 2 M =

.تحل بعدئذ باستخدام طريقة النكزوز التكرارية نتجتمعادلة القيم الخاصة التي

.splineبداللة أبعاد شبكة ) 4He(قيم طاقة االرتباط للهيليوم اآلتينلخص في الجدول

125

Nφ Nx Nq NP E (MeV)

4 10 30 30 31.542 6 15 35 35 31.977 8 20 45 45 32.540

10 25 50 50 32.472 12 30 55 55 32.810 14 35 65 65 32.896 18 40 75 75 32.897 20 45 85 85 32.897 25 50 95 95 32.892

splineبداللة أبعاد شبكة 4Heقيم طاقة االرتباط للهيليوم ) 1( الجدول

، نالحظ من الجدول السابق أن قيمـة طاقـة Eexp=29.24Mevالقيمة التجريبية لطاقة االرتباط :حيث أبعاد الشبكة E=32.896 Mevاالرتباط

Nx=35 =14 φN Np=65 Nq=65

عدم أخذ بعـين االعتبـار تفاعـل كولـون بـين : اآلتيالفارق بين القيمتين نفسره بالشكل . البروتونين

:د على طريقة األمواج الجزئية نلخصها بالجدولالدراسات السابقة والتي تعتم

Potential E(Mev) BonnB 27.07 Nijm78 25.10

Paris 24.32 Ruhrport 24.60

AV14 24.73 طاقة االرتباط للهليوم باستخدام جهود الموضحة). 2 (الجدول

126

:الحلول العددية بإدخال قوى ثالثة نيكلونات 3-5

:كلونات نأخذه بالشكلالجهد بين ثالثة ني

)69-3 (

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

mQQF

mQQF

mQQF

mQQF g g

m m

21

mQQF

mQQF

m

21 V

22

2

22

2

22

2

22

2

6

22

2

22

2

61123

+′′

++

+′′

+

Γ

π+

+′′

+Γ

π=

αββαβα

βα

αβ

ααα

α

.من الفصل الثاني )7(هي نفسها المأخوذة في حالة ثالثة نيكلونات وفق الجدول حيث الثوابت

) الحدعن نعبر ) ( )22

2

22

2 QF QFmQmQ +′′

+ :اآلتيبالشكل التخطيطي

33 :حيث

22

kkQ

kkQr

rr

−′=′

′−=

وكما في حالة ثالثة نيكلونات من األسهل لحساب العنصر المصـفوفي العائـد لقـوى ثالثـة ثـالث ، وإلنجاز ذلك نعـرف ندخل احداثيات جاكوبي من النوع الثاني والثالث أن نيكلونات

:من إحداثيات جاكوبي مجموعات

):4 ,123( الحالةفي

127

++−=

+−=

−=

3

kkk k u

2

kk k u

2kk u

32144

33

2133

22

211

rrrrr

rrrr

rrr

شكل ونرمز لها بال1321 u u u rrr

):4 ,231( الحالةوفي

++−=

+−=

−=

3

kkk k u

2

kk k u

2kk

u

32144

33

3213

22

321

rrrrr

rrrr

rrr

ونرمز لها بالشكل 2321 u ,u ,u rrr

):4 ,312( الحالةوفي

++−=

+−=

−=

3

kkk k u

2

kk k u

2kk u

32144

33

3123

22

131

rrrrr

rrrr

rrr

ونرمز لها بالشكل 3321 u ,u ,u rrr

)ومنه لحساب العنصر المصفوفي ) v u 1123i1

Ψr لة تفاعل متسلسل بين كـل نيكلـونين بدال

ندخل اإلحداثيات 2iur و

3iur اآلتيبالشكل:

1

2

4

3

1ur

3ur

2ur

2

3

4

1

1ur

3ur

2ur

3

1

4

2

1ur

3ur

2ur

128

)70-3 (

( ) ( )

( ) u u mQ

QF u u u

u mQ

QF u uu...... ud ud vu

i33i22

2

i33 ii2

2i22

2

i22ii1i3i31

123i1

Ψ′′′′′′′′+′

′′′′′′′′′

′′+

′′′′′=Ψ ∫rrrr

rrrrrrr

:حيث

)71-3(

( ) ( ) ( )

( )( )( ) 2

2211

211

333

223

232122

2

3212

m u - u u - u F

u - u u - u

u u u mQ

QF u u u

+′′′′′′

×

′′′δ′′′δ

=′′′′′′+

′′′

rr

rr

rrrrrrrrrr

:وكذلك

)72-3(

( ) ( ) ( )

( )( )( ) 3

2211

211

333

223

3i22

2

i3

m u - u u - u F

u - u u - u

u mQ

QF u

+′′′′′′′′′′′′′′

×

′′′′′′′δ′′′′′′′δ

=′′′′+′

′′′′

rr

rr

rrrrrr

إحـداثيات iurمـع مالحظـة أن ) 3-70(العالقة في ) 3-72(و) 3-71(بتعويض العالقات )جاكوبي من النوع األول و ) u ,u ii ′′′ rr من النوع الثاني، و( ) u ,u ii ′′′′′′′ rr من النوع الثالث:

)73-3 (( ) ( )( )

( )( )( )

( ) u u u u - u

u - u F u u u u

u - u

u - u F uu ud ud ud ud v u

3212211

211

3i3212

2211

211

2ii113

i3

13

i31

123i1

Ψ′′′′′′′′′′+′′′′′′′′′′′′′′

′′′′′′′×

+′′′′′′

′′′′′′′′′′′=Ψ ∫

rrrrr

rrrrrr

rr

rrrrrrrrr

m

m

عين لإلحداثيات من النوع الثالث ا تابمأنه بفرضلنأخذ اآلن الحدين األخيرين من التكامل وذلك فقط لذلك نحل هذا التكامل بشكل مستقل ونرمز له بـ

)74-3( ( ) ( )( )

( ) u u u

m u - u u - u F ud u u u F 32122

11

211

13

3213 Ψ′′′′′′′′′′+′′′′′′′′′′′′′′

′′′′=′′′′′′′′′ ∫rrr

rr

rrrrrr

:باالعتماد على

129

2221

1322333

2243

121

31

u - u u , u u

u - u - u rrrrr

rrr

==

=

):3-73(في المعادلة اآلتينحسب العنصر المصفوفي

)75-3 (

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) u u u u u u u u

u u - u u - u - u u u u u u u u u

333

221

123

243

121

13

23221

1243

121

321223213212rrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrr

′′′−′δ′′′+′′′−′δ′′′+′′′+′′δ=

′′′′′′′′′′′′′′′′′′′=′′′′′′′′′′′′′

)التابع ) 3-74(من المعادلة ) u u u 3213rrr ′′′′′′′′′F لذلك نعبر عنـه ) 3(تابع لإلحداثيات من النوع

:ونجري التكامل) 2(بداللة اإلحداثيات من النوع

( ) ( ) u, u, uF u u u u ud ud ud u, u, uF 32133i321233

23

13

32132rrrrrrrrrrrrr ′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′=′′′′ ∫

:نجد) 3-75(باستخدام العالقة

( ) ( ) ( )( ) ( ) u , u , uF u u

u u u u u u ud ud ud u, u, uF

3213333

221

123

243

121

13

33

23

13

32132

rrrrr

rrrrrrrrrrrr

′′′′′′′′′′′′−′δ

′′′+′′′−′δ′′′+′′′+′′δ′′′′′′′′′=′′′′ ∫

:بإجراء التكامل وفق توابع دلتا نجد

)76-3( ( ) ( ) u , u - u - , u - u F u, u, uF 3221

1121

243

332132 ′′′′′′′=′′′′ rrrrrrrr

:تابع لإلحداثيات من النوع الثاني لذلك نجري التكامل F32التابع

)77-3( ( ) ( ) ( )( )

( ) 13

2211

211

321323214 ud m u - u u - u F u, u, uF u, u, u F ′′

+′′′′′′

′′′′=′′′ ∫r

rr

rrrrrrrr

.splineيحل بشكل مستقل بطريقة ) 3-77(طبعا كما في حالة ثالثة نيكلونات التكامل

:أصبحت بالشكل) 3-73(اآلن المعادلة

)78-3 ( ( ) ( ) u, u, u F uu ud vu 32142ii1i

31123i1

′′′′′=Ψ ∫rrrrrrr

u u u u u u المصفوفي لحساب العنصر 23213211

′′′ rrrrrr نالحظ:

130

1323

1221

122

1243

121

21

u u

u - u u

u - u - u

′=′

′′=′

′′=′r

rr

)79-3 (

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) u u u u u

u u u u , u - u , u - u - u u u

333

221

123

243

121

13

3221

1243

121

321

rrrrr

rrrrrrrr

′−δ′+′−δ×

′+′+′δ=′′′′′

:نجد) 3-78(في العالقة ) 3-79(نعوض

( ) ( ) ( )( ) ( ) u , u , u F u u

u u u u u u ud ud ud vu

3214333

221

123

243

121

13

33

23

131

123i1rrrrr

rrrrrrrrr

′′′′−δ×

′+′−δ′+′+δ′′′=Ψ ∫

:اآلتيوأخيرا العنصر المصفوفي لقوى ثالثة جسيمات تصبح على الشكل

)80-3 ( ( ) ( ) u , u - u - , u - u F vu u u 322

1112

124

34

11233211

rrrrrr=Ψ

إلجراء الحل العددي للجزء الذي يحوي قوى ثالثة نيكلونات من معادالت ياكوبوفسكي نحـل .حداعلى ) 3-74، 77(كال من المعادالت

3urونختار ) 3-74(لنأخذ المعادلة 2urوoZيقع على المحور ′′′ ) x, Z(يقع فـي المسـتوي ′′′1urو الزاوية التي يكامل عليها في الطـرف أنيأخذ بشكل حر والسبب في هذا االختيار هو ′′′

1uاأليمن تتطابق مع الزاوية السمتية للشعاع ′′′′r وهذا ما يسهل الحل.

:لشكلبداللة اإلحداثيات الجديدة با) 3-74(إذن نكتب الطرف األيسر في المعادلة

)81-3( ( ) ( ) ( ) ( )( )30

32

3132133213 , x, x, u , u , u F u u u F Γ′′′′′′′′′=′′′′′′′′′ rrr

:حيث

131

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )30

322

321

32

31

32

31

312

233

2

133

1

33

22

11

. x-1 . x-1 x . x u . u x

u . u x

u . u x

u u

u u

u u

Γ+==

′′′′′′=

′′′′′′=

′′′=′′′

′′′=′′′

′′′=′′′

r

r

r

:حيث

( ) ( )330 cosΦ=Γ

1urالزاوية السمتية للشعاع ′′′.

.يزه عن اإلحداثيات السابقةيالذي يظهر هنا لإلشارة إلى ثالثة فتحات ولتم) 3(الدليل

:بداللة اإلحداثيات الجديدة ولنأخذ الحد) 3-74(معادلة لنكتب اآلن الطرف الثاني من ال

( ) u , u , u u u u 321321rrrrrr ′′′′′′′′′′Ψ=Ψ′′′′′′′′′′

3urإذا أخذنا الشعاع 2urو ) oZ(منطبق على المحور ′′′ :فإن) oZ(منطبق على المحور ′′′

)82-3( ( ) ( ) ( ) ( )( ) , x, x, u , u , u u , u , u 41

42

41321321 Γ′′′′′′′′′′′′Ψ=′′′′′′′′′′Ψ

rrr

:حيث

( ) u . u x

u u

314

1

11

′′′′′′′=

′′′′=′′′′r

)ونعرف الزاوية بين الشعاعين )21 u , u rr :بالشكل ′′′′′′′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )41

322

421

32

4121

412 . x-1 . x-1 x . x u . u x Γ+=′′′′′′′=

)حيث )41Γ 1الزاوية السمتية للشعاعur ′′′:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

x-1 . x-1

x.xx cos 32

242

1

32

41

4144

1−

=Φ=Γ

132

:نكتبه بالشكل) 3-74(أما الحد األول من التكامل في المعادلة

( )( )( )

( )( ) 2

112

12

1

112

12

122

11

211

m u u2 - u u u u2 - u u F

m u - u u - u F

+′′′′′′′′′′′+′′′′′′′′′′′′′′+′′′

=+′′′′′′′′′′′′′′

rrrr

rrrr

rr

rr

1urهنا نالحظ أن الزاوية السمتية للشعاع )هي ′′′ )3Φ 1والزاوية السمتية للشعاعu ′′′′r هي( )4Φ :ومنه

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )34322

421

32

41

41

31

4,3 cos . x-1 . x-1 x . x u . u x Φ−Φ−==

:ومنه نعرف

4) (3,11111 x. u - u u - u ′′′′′′′=′′′′′′′ rr

:ومنه

(3-83)

( )( )( )

( )( )( )( ) 24 3,

112

12

1

4 3,21

2211

211

m xu u2 - u u x, u , u F

m u - u u - u F

+′′′′′′′′′′′+′′′′′′′′′

=+′′′′′′′′′′′′′′

rr

rr

:بالشكل) 3-74(نكتب اآلن ) 81، 82، 83-3(باستخدام المعادالت

)84-3 (

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( ) 24 3,11

21

21

4 3,214

14

24

1321

2

0

41

1-

41

211

0

30

32

313213

m xu u2 - u u x, u , u F , x, x, u , u , u

d xd u u d , x, x, u , u , u F

+′′′′′′′′′′′+′′′′′′′′′

×Γ′′′′′′′′′′′′Ψ

Φ′′′′′′′′=Γ′′′′′′′′′ ∫∫∫π+∞

) 3-84(من المعادلـة F3نقوم بالحساب المباشر للتابع ) 3-76(في المعادلة F32إليجاد التابع :بداللة اإلحداثيات الجديدة

)85-3( ( ) ( )( ) ,x ,x , u , u , u F u , u , u F 32313213232132 Γ ′′′′′′′′′=′′′′ rrr

1uو) oZ(في المستوي 2u′rو ) oZ(وفق المحور 3u′rباختيار ′′r بشكل حر

u . u x u . u x

321

311

′′=′

′′′=′′

133

)الزاوية بين الشعاعين )21 u ,u ′′′ rr

( )

x-1 . x-1

x . xx cos

. x-1 . x-1 x . x u . u x

223

21

231122

52

232

12312112

′′′

′′′−′′=Φ ′′

Γ′′′′′+′′′=′′′=′′

1uمتية للشعاع الزاوية الس ′′r

:فهي بالشكل) 3-76(أما الطرف األيمن من المعادلة

)86-3( ( ) ( ) , , , u , , F u , u - u - , u - u F 109837633221

1121

243

3 βββ′γγ=′′′′′′′ rrrrr

:حيث

u u

u - u -

u - u -

33

221

17

121

243

6

′=′

′′=γ

′′′=γ

r

rr

rr

u3′ الزاوية بين الشعاعين rو( ) u - u - 22

11 ′′ rr:

( )7

23221

11322

118

x u - x u - u . u - u -

β

′′′′′′=′′′′=β

rr

u3′ لشعاعين الزاوية بين اrو( ) u - u - 12

124

3 ′′′ rr:

( )6

1121

23221

3121

243

9

x u - x u - u . u - u -

β

′′′′′′=′′′′=β

rr

)الزاوية بين الشعاعين ) u - u - 221

1 ′′′ rr و( ) u - u - 121

243 ′′′ rr:

( ) ( ) ( )76

212

1228

312122

122

1112

124

39

1 u u - x u u - u - u - . u - u - ββ

′′+′′′′′′=′′′′′′=βrrrr

:تكتب بالشكل) 3-76(ومنه فإن المعادلة

)87-3( ( )( ) ( )109837632323132132 , , , u , , F ,x ,x , u , u , u F βββ′γγ=Γ ′′′′′′′′′

134

:لذلك سنكتبها بالشكل) 3-77(آلن بحل المعادلة سنقوم ا

:نأخذ أوال الطرف األيمن

)88-3( ( ) ( )( ) ,x ,x , u , u , u Fu , u , u F 42132143214 Γ ′′′′′′′=′′′ rrr

( )42

22

1213223

322

311

. x-1 . x-1 x . x u . u x

u . u x u . u x

Γ′′′′+′′=′′=′′

′′=′

′′=′

)حيث )4Γ u1′ الزاوية السمتية للشعاع ′′r

:تكتب بالشكل) 3-77(ومنه المعادلة

)89-3 (

( )( )

( )( ) ( )( ) 2

11212

22

1

1111323132132

2

02

1

1-1

211

04213214

m xu u2 - u u x, u , u F ,x ,x , u , u , u F

d x d u u d ,x ,x , u , u , u F

+′′′′+′′′′

×Γ ′′′′′′′′′

Φ′′′′′′′′=Γ ′′′′′′′ ∫∫∫π+∞

1111 : حيث u . u x ′′′′=

):3-80(ومنه أخيرا العنصر المصفوفي لقوى ثالثة جسيمات

( ) ( ) u , u - u - , u - u F vu u u 322

1112

124

34

1123321

rrrrrrrr=Ψ

:حيث) 3-89(تحل مباشرة بواسطة المعادلة

)90-3( ( ) ( )13121139843221

1121

243

4 , , , u , , F u , u - u - , u - u F βββγγ=rrr

:حيث

135

232

131

2112

1221224

12122

119

1221224

921 2

112

124

38

u . u xu . u xu . u x

xuu u u u - u -

xu3u- u u u - u

==

=

++==γ

+==γrr

rr

( ) ( )

( ) ( )

u u - x u u

u . u - u x u - x u

u . u - u - x u - x u -

88

212

1228

312122

1

13

3121

243

8

1121

2243

12

3221

19

2221

1111

γγβ

γβ

γβ

+=

==

==

−

rr

rr

وفق نفس أبعاد حالة وجود قوى بين نيكلونين فقط، سنقوم بحل معـادالت splineشأ شبكة سننياكوبوفسكي بإدخال قوى ثالثة نيكلونات على مرحلتين األولى هي بأخذ المركبة الجاذبة مـن

:فقط أي) 3-69(الجهد

)91-3( ( )( )

( )( ) ( )

mQQF

mQQF

m

21 V 2

2

2

2

21123

ααα

α

+′′

+Γ

π=

النابذة أي بأخذ كامل الجهد وفـق المعادلـة ، وبإدخال المركبة E=36.409MeVونتيجتنا هي .E=34.319MeVنجد ) 69-3(

136

الرابع الفصل

اعادة تنظيم معادلة شرودينغر من اجل ثالثة جسيمات بوزونية متطابقة

:مقدمة 4-1

من الذرات عند درجات الحرارة المنخفضة جدا إلى سلوك في غاز الكمية تؤدي التأثيرات من ذرات اإذا كان هذا الغاز مؤلف، ل فائق ينساب بدون أية مقاومة أو تبددجمعي يشكل سائ

من الذرات اكبير افان قسم Tcبوزونية متطابقة عند درجة حرارة أخفض من قيمة حرجة . (BEC)اينشتاين -الكمومية وتشكل ما يسمى تكاثف بوز الحالةتشغل نفس

فرميونية متطابقة فإنها لن تتفاعل فيما بينها عند درجات من ذرات اأما إذا كان الغاز مؤلف الحرارة المنخفضة وذلك بسبب مبدأ باولي في االستبعاد وعند درجة حرارة أخفض من قيمة حرجة يتحول الغاز إلى سائل فائق بسبب تزاوج ذرتين قرب سطح فيرمي بسبينات مختلفة

عند درجة nمن الذرات بكثافة في غاز، (Cooper pair)واندفاعات متعاكسة في زوج كوبر وطول n-1/3 قياسين مهمين للطول وهما المسافة بين الجسيمات وتساويم يوجد Tالحرارة

: الموجة الحراري

(4-1)

عند درجات الحرارة العالية بحيث ، كتلة الذرة mثابت بولتزمان و KBحيث يزداد عند تناقص الحرارةو ،سلوك كالسيكي لغازيكون لها والجسيمات فيما بينال تتداخل

التأثيرات التداخلية بين الذرات المجاورة في الظهور وعند قيمة تبدأ طول الموجة الحراري وأغلب الذرات في التأثيرات الكمية ويسلك الغازسلوك تشعر للحرارة أخفض من

السلوك الكمي تماما يسيطر حرارة ومع استمرار انخفاض درجة ال، كمي . على الغاز

137

Pعند درجات الحرارة المنخفضة طول موجة دي بروي hπλ لذرتين يكون اكبر من =2

فإنهما غير قادرتين على تمييز من ثمو) االندفاع النسبي صغير ( الممتد المكاني للذرتين عند المدى الطويل التفاعالت بين الذرات يسيطر عليه تفاعل فان ، منهما البنية الداخلية لكال

: اآلتيدر فالس والذي له الشكل التقاربي

الطول وهو تعريفا lالمدى الطويل نعرفه مقارنة مع مقاس الطول الطبيعي ونرمز له بـ النووية الحالةفمثال في ، الفيزيائية المدروسة الحالةالمتوقع عنده حدوث التفاعل وهو يتبع

والتفاعل ، fm4.1=πlالطول الطبيعي لحدوث التفاعل بين نيكلونين هو بالضبط مدى البيون :الطبيعي بين الذرات نعرفه بالتوازن بين طاقة جهد فان در فالس والطاقة الحركية

66

2

2

rC

mr≈

h فان در فالس ونسميه بطول:

(4-2)

الذي و aالعامل األكثر أهمية في تبعثر الذرات عند الطاقات المنخفضة هو طول التبعثر لتبعثر مرن لذرتين بطاقة تصادم وزاوية θkf)(يعرف بداللة سعة التبعثر

. θتبعثر

:الشكل التقاربي للتابع الموجي

(4-3)

θkf)(هي المهمة لذلك Sالموجة ة لمنخفضعند الطاقات ا التبعثرفي ، مستقل عن الزاوية :نعرف طول التبعثر بأنه سعة التبعثر من أجل طاقة صدم معدومة

:المقطع العرضي التفاضلي لتبعثر مرن هو

(4-4)

138

الحد ال يؤخذ ، لمتطابقة للفرميونات ا) -(للبوزونات المتطابقة و (+) االشارة المقطع العرضي الكلي نحصل عليه ، مكن التمييز بينها يبعين االعتبار من أجل الذرات التي

والتكامل ، بالتكامل على نصف الزاوية المجسمة للجسيمات البوزونية أو الفرميونية المتطابقةومنه من أجل الطاقات لغير متطابقة ة من أجل الجسيمات ايجري على كامل الزاوية المجسم

: المنخفضة للبوزونات المتطابقة يكون

(4-5)

هي فالقيمة المطلقة لطول التبعثر يمكن أن تحدد بقياس المقطع العرضي أما اإلشارة أن أيهي تبريد الغاز إلى دون الدرجة الحرجة لتكاثف إحدى الطرق، أكثر صعوبة في التحديد

يكون (BEC)فان a<0سيكون شبه مستقر وإذا كان (BEC)فان a>0ا كان اينشتاين فإذ -بوز .غير مستقر لالنهيار إلى حالة ذات كثافة أعلى

طول التبعثرللتفاعالت القصيرة المدى للجسيمات الالنسبوية من مرتبة مدى التفاعليكون

التبعثر يمكن أن ولكن طول ، للذرات طول فان درفالس ويساوي)الطول الطبيعي للتفاعل ( lمن الطول الطبيعي أكبر يكون لمثل هذا النظام خصائص عامة للطاقة المنخفضةيكون و

(Universal Low Energy Properties ) ونقصد بهذا أن خصائص هذا النظام تكون غير . [77] لتفاصيل التفاعل القصير المدى ةحساس

في الفيزياء، ألنظمة تملك أطوال تبعثر كبيرة في الفروع المختلفة للفيزياء هناك أمثلة كثيرة حيث طول التبعثر التي لها 4Heالذرية المثال الكالسيكي هو ذرات الهيليوم

[78]

من طول فان در فالس لذرات الهيليوم رهو نصف قطر بور وهو اكبر بكثي

في قناة التبعثر ف ،لنيكلونات طول تبعثر كبيريكون ل وفي الفيزياء النووية، طول التبعثر هو يكون والثالثية االيزوسبين لتبعثر بروتون نترون األحادية السبين

وفي القناة الثالثية السبين واألحادية وهو أكبر بكثير بالقيمة من المدى الفعال .السبين طول التبعثر هو وهو اكبر بكثير من المدى الفعال

139

ظهر تالذي له طول تبعثر كبير [79](Few-Body System)النظام المتعدد الجسيمات في فقط وهي غير حساسة a على قيمة ال تعتمد إال هذه الحصائص خصائص عامة وهذا يعني إن

ففي نظام مؤلف من جسيمين يعني هذا وجود سوية ارتباط ، لتفاصيل التفاعل القصير المدى :بطاقة ارتباط ( Shallow state)) ضعيفة (سطحية

(4-6)

الذي اكتشف ألول مرة في 4He2ثال عليه هو موك Drimerيسمى هذا الجزيء الثنائي الذرة 4He2وذلك باستخدام الصدم بااللكترونات إلنتاج االيونات Minnesotaمن قبل 1992العام

ظهور سويات االرتباط السطحية يقدم النووية الحالةوفي ، ليالحظ بعد ذلك في مطيافية الكتلةالغير مستقرة حيث 8Beلكبر حجم نواة الديتريوم ولنواة كنتيجة لطول التبعثر الكبير تفسيرا

وهو اكبر بكثير من طول a=5fmذه النواة كحالة ارتباط لنواتي ألفا بطول تبعثر تعتبر هألفا فقط -ومنه فان السوية األرضية تقع فوق عتبة تبعثر ألفا fm4.1=πlالتبعثر الطبيعي

: [78] وهذه الطاقة هي أصغر بكثير من مقاس الطاقة الطبيعي Mev 0.1بــ

(4-7) Mevm

Cm 3.522

=α

π

التي ( Efimov)وفي حالة تبعثر ثالثة جسيمات تظهر سويات جديدة تسمى سويات ايفيموف ألي كفاية مقارنة مع الطول الطبيعي تعبرعن حقيقة أنه عندما يكون طول التبعثر كبير

في من حاالت االرتباط تتوزع هندسيا سيمين من الثالثة الداخلة في التفاعل فانه توجد سلسلةج

2المجال بين في

2

20

2

,mamrhh وكلما زاد طول التبعثر تزداد سويات االرتباط حتى قيمة

ثابت s0تختلف هذه السويات فيما بينها بمضاعفات العامل حيث ، aحرجة لــ هو حل للمعادلة s0لبوزونات المتطابقة تعتمد قيمته على اإلحصاء وكتلة الجسيمات ففي حالة ا

(4-8)

0ومنه وعندما s0=1.00624 [80]يعطي القيمة الحل العددي0

→ra

:عدد السويات يكون

140

(4-9) 0

0 lnrasN

π→

ند عتبة التبعثر يوجد عدد النهائي من سويات االرتباط بنقطة تجمع ع a→∞± الحالةفي التفسير النظري لنظام فيزيائي له طول تبعثر كبير يتطلب إجراء تعديالت ، لثالثة جسيمات

رتباط وهذا ما تطلبه نظرية طفيفة على الثوابت الفيزيائية مثل الكتلة أو الشحنة أو ثوابت االوإذا ما عرفنا أن سويات ايفيموف غير حساسة لتفاصيل (Renormalization) التنظيم إعادة

تخبرنا بأننا لسنا ) نظرية الحقل الكمومي الفعال( الحديثة التنظيمان نظرية إعادة والجهد فان هذه النظرية ة المنخفضة بحاجة إلى معرفة ماذا يحدث عند الطاقات العالية لفهم حالة الطاق

. الفيزيائية التي لها طول تبعثر كبير األنظمةتكون مناسبة لدراسة

Λنظرية الحقل الكمومي الفعال تبنى بخطوتين األولى هي إدخال حد القطع لالندفاع بداية تكون حيث ربما Λطبعا ال نعرف قيمة ، هي التي تدخل في الحساب k<Λواالندفاعات

وثانيا إضافة تفاعالت ، Λالنتائج مستقلة عن قيمة يجب أن تكون جديدة ولكن لفيزياء .[81]لمسافات القصيرة اموضعية إلى الالغرانج تمثل تأثيرات فيزياء

:إلى تفاعل كولون ةباإلضاف Vs( r )لنأخذ مثال ذرة تحوي جسيم واحد بتفاعل قصير المدى

:عطى الهاملتوني الذي يصف حركة هذا الجسيم ي

(4-10) )(

2

2

rVm

PH +=

حيث

(4-11)

الفعال تمكننا من بناء هذا الجهد مباشرة بدون المعرفة التفصيلية ة الحقل الكمومي نظريلديناميك المسافات القصيرة وفقط بمعرفة الديناميك عند المسافات الكبيرة وبمعرفة المعطيات

في ذرة الهيدروجين ، غير مهم VS( r )لذلك فان شكل ، لة الطاقية المنخفضة التجريبية للحابين اإللكترون (Weak Interaction)التفاعل القصير المدى يمكن أن يمثل التفاعل الضعيف

:أن شكل التفاعل غير مهم نعبر عن هذا التفاعل بتابع دلتا بفرضو، والبروتون

141

(4-12)

.ملتوني التقريبي الدليل يشير إلى الها

: [82]وللحصول على دقة اكبر نضيف حدود بالشكل

(4-13)

.ثوابت c,dحيث

الذي يلي الحد الرئيسي والثاني بالحد ( Leading order)الرئيسي نسمي الحد األول بالحد (Next to leading order ) ، ندخل اآلن حد القطعa في التمثيل االحداثي ونكتب تابع دلتا

: [82]بالشكل المنظم

(4-14)

: [83] اآلتيومنه الجهد الفعال له الشكل ( Smear)أصبح له ممتد مكاني من ثمو

(4-15)

والتابع ، التفاصيل الفيزيائية الغير معلومة ثوابت ال أبعاد لها قيمها تعكس ……c, d1,d2حيث erf(x) هو تابع الخطأ المعياري(standard error function ) وهو ينتج بإدخال حد القطع إلى

:جهد كولون بالشكل

142

(16-4)

ي والذي هو تفاعل األساس للتفاعلهذا الجهد يجب أن يكون له نفس الخصائص التناظرية . غير متغير دورانيا من ثمكولون و

مرة والذي اكتشف ألولTrimer [86,87,88]والمسمى 4He3موضوع هذا الفصل هو دراسة أن طاقات Lim, Duffy, and Damertافترض كال من 1997في العام ، 1994في العام

وسوية n=0السوية األرضية التي نعطيها الدليل ، هي سويات ايفيموف 4He3االرتباط للــ . n=1االثارة األولى

ين بين جسيم TTYعدة دراسات قدمت لحساب طاقات االرتباط هذه حيث استخدم الجهد MKEMKEة اآلتيوأعطى النتائج 28.2,8.125 )1(

3)0(

3 الطاقة األرضية تم مالحظتها == . بينما طاقة اإلثارة األولى لم تالحظ بعد 1994ألول مرة في العام

:الواحدات المستخدمة هنا هي الواحدات الحرارية

1 Mk=8.62ҳ10-8 ev=1.38ҳ10-26 Joul

حيث Bedque [82]من قبل Trimerتم تطبيق نظرية الحقل الكمومي الفعال في دراسة سنتبع في هذا ، إلزالة الالنهائيات المسارات التكاملية وزمرة إعادة التنظيم استخدم مفهوم

.مختلف بأسلوب البحث نظرية الحقل الكمومي الفعال ولكن

143

ف من جسیمینمعادلة شرودینغر لنظام مؤل. 2. 4

The Schrodinger Equation for Two Body System

:معادلة شرودينغر لجسيمين بوزونين متطابقين

)17-4( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121

3221

2221

21 , , g - , , rrErrrrrrrr rrrrrrrrrr

Ψ=Ψ−Ψ∇−Ψ∇− δ

إننا ندرس التفاعالت القصيرة المدى فإننا نعبر بفرضعن ثابت االرتباط لجسيمين، و g2يعبر من الممكن أخذ شكل آخر لتمثيل هـذا الجهـد ولكـن عن جهد التفاعل بداللة تابع دلتا وكان

حسب نظرية الحقل الكمومي الفعال فإن شكل التابع غير مهم أي أن معرفة البنيـة التفصـيلية .للتفاعل القصير المدى غير مهم

:في إحداثيات مركز الكتلة العالقة السابقة تكتب بالشكل

)18-4( ( ) ( ) ( ) ( )rBrrr rrrrΨ−=ΨΨ∇− 2

32

2 g - 2 δ

.االرتباط لجسيمينطاقة B2حيث

:وفي التمثيل االندفاعي

)19-4( ( )( )

( ) ( )p B2 - q 2

qd g - p 2 3

3

22 rr

rr

Ψ=ΨΨ ∫ πp

:من السهل االستنتاج من العالقة السابقة

)20-4( ( ) 223

3

2 B2q1

2qd 1

+= ∫ π

r

g

التكامل متباعد، وهذا التباعد نشأ ألننا نكامل على كل قيم االندفاع وكما رأينا في الفصل األول لذلك نحـن ) الطاقات العالية(األساسي عدم معرفة فيزياء المسافات القصيرة هذا التباعد سببه

.[83] اآلن بحاجة إلى إعادة تنظيم المسألة

144

، بتابع له تـوزع مكـاني محـدود ةالفكرة هنا هي إننا سنستبدل تابع دلتا الذي يأخذ قيما محددوفق نظرية الحقـل وسنأخذه بشكل غاوصي للتبسيط، على أنه يمكن أخذ أي شكل آخر ولكن

:الكمومي هذا ليس مهما، سنعرف تابع التنظيم بالشكل

)21-4( ( )( )

( ) ( )p r p i exp 2

qd r 23

3

2rrr

rr RR ∫=

π

:حيث

)22-4( ( ) ( )222 /p- exp p ∧=

rR

بأنه حد القطع وبواسطته نستطيع استبعاد االندفاعات العاليـة التـي تعطـي ∧نعرف المقدار ندفاعات األقل من حد القطع ال وجود للنهائيات، ووفـق الالنهائيات، ونفرض بأنه من أجل اال

نعرف ثابت االرتباط بداللة حد القطـع ) Renormalization group(مفهوم زمرة إعادة التنظيم g2(∧) 4-21،22(وفق التوابع المنظمة ) 4-19(وإليجاد هذه العالقة نكتب معادلة االرتباط .(

:فيإلنجاز ذلك سنحسب أوال العنصر المصفو

)23-4(

( )

q q q q v p p qd 2

qd v p p 2121122123

61

3

1221 Ψ×=Ψ ∫rrrrrrr

rrr

π

.التأثير المتبادل بين جسيمين v12حيث

:لحساب العنصر المصفوفي السابق ال بد من حساب العنصر المصفوفي

)24-4( q q r r v r

r p p rd rd rd rd q q v p p

2121211221

212123

13

23

13

211221rrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

′′×′′

′′= ∫rrr

r

r v r 211221 نعرف العنصر المصفوفي ′′ rrrr rr اآلتيبالشكل ] 84[ وفق المرجع:

)25-4(

( ) ( ) 2

r 2

r r- r - g- r v r 2121321

321

32211221

′+′

−+′′=′′

rrrrrrrrrrrr rrrrrr δδδ

145

:العالقة السابقة تصبح بالشكل) 2-22، 21(باستخدام توابع التنظيم

)26-4(

( ) ( ) 2

r 2

r r- r - g- r v r 212132122122211221

′+′

−+′′=′′

rrrrrrrrrrrr rrrRrRrr δ

:نجد) 2-24(في العالقة ) 2-26(بتعويض العالقة

( ) ( )

q q r 2

r 2

r

r- r - r p p rd rd rd rd g- q q v p p

212121213

212212212123

13

23

13

2211221

rrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrrrr

′′

′+′

−+

′′′′= ∫rrr

rRrRr

δ

( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 r

2r

r r i exp r r i exp r q r q i exp

r p r p i- exp 2

kd 2

kd rd rd rd rd g-

21213

2121222211

22113

3

3

3

23

13

23

13

2

′+′

−+

′−′′−′′+′

+′′

′′= ∫

rrrr

rrrrrrrrrrrr

rrrrrr

rrrr

rrkkkRkR

δ

ππ

:وفق توابع دلتا لإجراء التكام

)27-4( ( ) ( ) ( ) ( ) p - p - q q p - p q - q 2 g- q q v p p 2121

312

122

1212

122

12

32211221

rrrrrrrrrrrr+= δπ RR

:نجد) 4-23(في العالقة ) 4-27(بتعويض العالقة

)28-4 (

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( ) q -p p , q

p p 2

qd p - p g-

q , q p - p - q q

p - p q - q 2

qd 2

qd 2 g- v p p

1211

1221

121

231

3

121

221

22

2121213

121

221

2121

221

232

3

31

33

21221

rrrr

rrrr

rr

rrrrrr

rrrrrr

rr

+Ψ

−+=

Ψ×+

=Ψ

∫ qRR

RR

π

δ

πππ

:ومنه معادلة االرتباط في إحداثيات مركز الكتلة حيث

0qq p p 2121 =+=+rrrr

146

:هي

)29-4( ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )p 2

qd p g- p p2 223

3

222 rrr

rrr

Ψ−=ΨΨ ∫ BqqRRπ

ppq: حيث أجرينا التعويض rrrr , q 11 →→

:تابع إلى حد القطع بالشكل g2أن ثابت االرتباط ) 4-29(ن العالقة نجد م

)30-4( ( ) ( )( )

( )( )

22

22

3

3

22

22

3

3

2

2/2exp

2qd

2

2

qd g

1

Bqq

BqqR

+∧−

=

+=

∧

∫

∫

π

πr

rr

المعبرة الرئيسةهي الحدود ) 4-15(وفق العالقة ) 4-21،22(نالحظ أخيرا أن توابع التنظيم تتناسـب مـع أي الحدود التـي الرئيسةالتي تلي الحدود عن تابع دلتا، وإذا أردنا أخذ الحدود

( )rr32δ∇ اآلتييصبح التابع المنظم الشكل:

)31-4( ( ) ( )222

2

22 /exp p 1 ∧−

∧

+= phpR r

.dالثابت ) 4-15(ثابت يقابل في المعادلة h2حيث

االرتباط لثالثة جسيماتمعادلة . 3. 4

state Equation-Three Body Bound

: [82] متطابقة في التمثيل االحداثي بالشكلتكتب معادلة ارتباط ثالثة جسيمات بوزونية

)32-4( [ ] ( )( ) r ,r ,r B-

r ,r ,r VV V V - - -

3213

32112331231223

22

21

rrr

rrr

Ψ=

Ψ++++∇∇∇

:نمثل كال من جهود التفاعل بين جسيمين بتوابع دلتا

147

)33-4( ( )( )( )31

3231

323

223

213

212

r-r g- r-r g- r-r g-

rr

rr

rr

δ

δ

δ

=

=

=

VVV

ونأخذ جهد التفاعل بين ثالثة جسيمات بجداء تابعي دلتا وال يختلف قيمته عن الصفر إال عندما مات في موضع واحد ذلك نسمي هذا التفاعل بالتفاعل النقطي، ومن الممكن وضع تكون الجسي

شكل آخر ولكن وفق نظرية الحقل الكمومي الفعال هذا غير مهم أي أن النتائج ستكون مستقلة عن الشكل الرياضي للتفاعل

)34-4( ( ) ( )323

213

2123 r-r r-r g rrrrδδ+=V

نريـد اآلن . باط لثالثة جسيمات على الترتيبهما طاقة االرتباط وثابت االرت g2و B2الثوابت في التمثيل االندفاعي، حيث تتحول بعض الحـدود فـي المعادلـة ) 4-32(أن نكتب المعادلة

:السابقة مباشرة كما يلي

)35-4( ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) p ,p ,p p r ,r ,r - - -

p ,p ,p B- r ,r ,r B-

32123

22

21321

23

22

21

32133213rrrrrr

rrrrrr

Ψ++→Ψ∇∇∇

Ψ→Ψ

pp

:أما الحدود

( )( ) V r r r r ,r ,r V

V r r r r ,r ,r V

123321321123

ij321321ij

Ψ=Ψ

Ψ=Ψrrrrrr

rrrrrr

:ا بحساب العنصر المصفوفينحسب التمثيل االندفاعي له، i≠j=1, 2, 3حيث

( )( ) V p p p p ,p ,p V

V p p p p ,p ,p V

123321321123

ij321321ij

Ψ=Ψ

Ψ=Ψrrrrrr

rrrrrr

:اآلتيلنحسب أوال العنصر المصفوفي

)36-4 (

( ) ( ) ( )Ψ=Ψ ∫ 3213211233213

33

32

3

31

3

123321 q q q q q q V p p p 2

qd 2

qd 2

qd V p p p rrrrrrrrrrrr

rrr

πππ

:لحساب العنصر المصفوفي هذا نحسب العنصر المصفوفي

148

)37-4 (jjjii qrrVrrqqq ′′′′′′= ∫

rrrrrrrrrrrrrrrrrr123i3

32

31

33

32

31

3321123321 p rd rd rd rd rd rd V p p p

p p p p i321 : حيث للتبسيط استخدمنا الرمزrrrr

=

r v r j123i لعنصر المصفوفي نعرف ا ′rr اآلتيبالشكل ] 84[ وفق المرجع:

)38-4( ( ) ( ) r - r r - r d g r V r j3

i3

3

1,

33j123i ∫ Π ′=′

=βββ δδ

rrrrrrr

jir

:اآلتيندخل كما في حالة جسيمين التابع المنظم بالشكل و

)39-4( ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) r p i exp 2

pd

/exp p 1

33

3

3

222

2

33

pRrR

phpR

rrrrrr

r

∫=

∧−

∧

+=

π

الة جسيمين، المعادلـة في ح (2)يشير إلى ثالثة جسيمات تمييزا له عن (3)حيث الدليل السفلي :تصبح بالشكل) 38-4(

)40-4( ( ) ( ) r - r r - r rd g r V r j3i3

3

1,

33j123i ∫ Π ′=′

=βββ

rrrrrrr RRji

:نجد) 4-37(في العالقة ) 4-40(نعوض العالقة

)41-4 (( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) q- q- q- p p p qR pR 2g

kR kR r-r ki exp r-r ki exp

r q i exp r p i- exp2

kd2

kd rd rd rdg

r - r r - r

r q i exp r p i- exp rd rd rdg V p p p

3213213

j3i33

3

j3i3jjii

jjii6i

3

6i

33

j3

i3

3

j3i3

3

1,

jjii3

j3

i3

3i123321

rrrrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrr

rrr

rrrr

rrrrrrrrrrr

++=

′′′

′′

′=

′×

′′=

∫

Π

∫

=

δπ

ππ

ββ

β

ββ

β

RR

q

ji

):4-36(في العالقة ) 4-41(نعوض اآلن العالقة

149

)42-4 (

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) q- q- , q , q qq-

q q 2

qd 2

qd p p p g

q ,q ,q q V p 2

qd V p

2121213

231332

3

31

3

3323133

321j123i9j

3

123i

rrrrrr

rrrr

rrr

rrrrrr

r

Ψ−

=

Ψ=Ψ

∫

∫

R

RRRRRππ

π

0p p pحيث استخدمنا العالقة 321 =++rrr

Ψ V p 123iنحسب اآلن العنصر المصفوفي r ولنأخذ أوال ،Vij=V12

)43-4( ( ) Ψ=Ψ ∫ jj12i9

j3

12i q q V p 2

qd V p rrr

rr

π

V p 12i العنصر المصفوفي Ψr يحسب بالشكل:

)44-4( jjj12iiij3

i3

j12i q r r V r r p rd rd q V p rrrrrrrrrr ′′′= ∫

مع العلم أنه لدينا هنا ثالثة جسـيمات ) 4-26(أما التفاعل بين جسيمين فنعرفه كما في العالقة :لذلك نضع

)45-4( ( ) r- r r ,r V r ,r r ,r ,r V r ,r ,r 333

21122132112321 ′′′=′′′ rrrrrrrrrrrrδ

:نجد) 4-44(وبتعويض العالقة السابقة في العالقة ) 4-26(باستخدام العالقة

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )k R k R r 2

r 2

r r r i exp

r r i exp r q i exp r p i- exp 2

kd2

kd rd rd g- q V p

2233321213

21

21jjii3

3

3

3

j3

i3

2j12i

′′−

′+′

−+

×′−′′

−′′

′= ∫rrrr

rrrrrrr

rrrrrrrrr

rrrr

rrrk

k

δδ

ππ

:باستخدام خصائص توابع دلتا نجد

)46-4( ( ) ( ) ( )( ) ( )12

122

1212

122

12

21213

3336

2j12i

R qq R

-- qq q 2 g- q V p

pp

ppprrrr

rrrrrrrr

−−

+×+−= δδπ

:نجد) 4-43(سابقة في العالقة بتعويض العالقة ال

150

(4-47) ( ) Ψ=Ψ ∫ jj12i9

j3

12i q q V p 2

qd V p rrr

rr

π

( )( )

( )( )31211

1221

121

231

3

221

121

2212i

,q,q

q R 2

qd R g- V p

ppp

pppprrrrr

rrrr

rrr

−+Ψ×

−+−=Ψ ∫ π

:وبنفس األسلوب نجد

)48-4( ( )( )

( )( )31321

1321

221

231

3

321

221

2223i

,q,q

q R 2

qd R g- V p

ppp

pppprrrrr

rrrr

rrr

−+Ψ×

−+−=Ψ ∫ π

:وكذلك

)49-4( ( )( )

( )( )31311

1321

121

231

3

121

321

2231i

,q,q

q R 2

qd R g- V p

ppp

pppprrrrr

rrrr

rrr

−+Ψ×

−+−=Ψ ∫ π

∑إذا استخدما العالقة = 0ipr تكتب بالشكل) 4-49، 48، 47(القات فإن كال من الع:

)50-4 (

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )21211221

231

3

121

321

2213i

11111121

231

3

321

221

2223i

31311321

231

3

221

121

2212i

,q,q q R 2

qd R g- V p

,q,q q R 2

qd R g- V p

,q,q q R 2

qd R g- V p

ppppp

ppppp

ppppp

rrrrrrr

rrr

rrrrrrr

rrr

rrrrrrr

rrr

−−Ψ−−=Ψ

−−Ψ−−=Ψ

−−Ψ−−=Ψ

−

−

−

∫

∫

∫

π

π

π

نكتب معادلة االرتباط لثالثة جسـيمات بوزونيـة ) 4-50، 42، 35(بتجميع كال من العالقات :متطابقة في تمثيل االندفاع

151

)51-4 (( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) qq- ,q,q qq- R

q R q R 2

qd 2

qd R R R g

,q,q q R 2

qd R g-

,q,q q R 2

qd R g-

,q,q q R 2

qd R g-

p ,p ,p p p p p ,p ,p B-

2121213

231331

3

31

3

3323132

21211221

231

3

121

321

22

11111121

231

3

321

221

22

31311321

231

3

221

121

22

32123

22

213213

rrrrrr

rrrr

rrr

rrrrrrr

rr

rrrrrrr

rr

rrrrrrr

rr

rrrrrr

−Ψ−×

+

−−Ψ−−

−−Ψ−−

−−Ψ−−

Ψ++=Ψ

∫

∫

∫

∫

−

−

−

ππ

π

π

π

ppp

ppppp

ppppp

ppppp

التـي لمعادلة االرتباط ولن نميز الحـدود ) leading order( الرئيسةسنقوم اآلن بتمييز الحدود وحجتنا في ذلـك . وإنما يكون هذا عمل مستقبلي) next to leading order( الرئيسةتلي الحدود

ونحن سنهتم فقط فـي األساسهي الحدود التصحيحية األولى للحلول ) NLO(أن هذه الحدود .أنها سويات إيفيموفلسويات االرتباط وكذلك بإثبات األساسإيجاد القيم

النشر االضطرابي المنظممعادلة . 4. 4

Perturbative Unifozm Expansion Method

سنقوم اآلن بنشر معادلة االرتباط وفق طريقة النشر االضطرابي المنظم والتـي تعتمـد فـي : يأتيالمدروس،وسنوضح هذه الطريقة بما األساس على وجود مقاسات طاقية للنظام الفيزيائي

)نأخذ تابعا )∧Φ , , pβ يحدد المقاس الطاقي و ∧(لمتحوالت اختيارية مستقلةp طاقـة النظـاملـذلك نميـز ثالثـة pثم ننشر هذا التابع من أجل أية قيمة إلى ) طاقة االرتباط βالمدروس و

:مناطق

≈⟩⟩∧األولى هي بحيث βp ننشر بداللة من ثمو∧/β و∧/p ونرمز للتابع في هذه المنطقـة)بـ )∧Φ , , pβl والدليل السفلي هو لإلشارة إلى أن هـذه المنطقـة هـي منطقـة االنـدفاع

ونرمـز للتـابع p/βو β/∧ننشر بداللة من ثمو p≈∧⟨⟨ βوالثانية هي بحيث ، المنخفض)بـ )∧Φ , , ph β فاع العاليلإلشارة إلى االند.

152

ونسمي هـذه بمنطقـة p/∧و p/βو β/∧ننشر بداللة من ثمو p ⟨⟨∧⟨⟨βوالثالثة هي بحيث )االندفاع المتوسط ونرمز لها بـ )∧Φ , , pd β التابع ،( )∧Φ , , pβ يرتبط مع هـذه المركبـات

:بالشكل

)52-4( ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , ∧Φ≈∧Φ−∧Φ+∧Φ pppp dh ββββl

إن نظرية الحقل الكمومي الفعال هي نظرية تقريبية وتعطى درجة تقريبها وفق المرتبـة ومنه ف .التي ننشر عندها

: لنأخذ مثاال التابع

)53-4( ( ) ( ) ( )∧++=∧Φ

p p1 , ,

ββ p

)ننشره وفق المناطق الثالث حتى المرتبة الثانية من عوامل النشر )22 / ∧βO أي أن الحـدودحيث ) n(، وبشكل عام نرمز لدرجة الدقة بـ β2/2∧و pβ/∧و p2/2∧قيها في النشر هي التي نب

( )( )nO ∧/β ونسمي الحدود من الدرجةn=0 الرئيسـة بالحدود O(1) ـ LOونرمـز لهـا بـ ).NLO(ة ونرمز لها بـاآلتي الرئيسةبالحدود n=1والحدود من الدرجة

:الثالث هووفق المناطق ) 4-53(نشر التابع

)54-4( ( ) ( ) pp-1 p1 , , 2

2

∧

+∧+∧

=∧Φβ

β pl

)55-4( ( ) p

-1 1 pp-1 1 , , 2

2

2

2

+

∧

+∧∧

=∧Φββ

βpp

pd

)56-4( ( ) ( ) -1 p

1 , , 2

2

+

Λ+=∧Φ

pppph

βββ

:نجد) 4-52(وباستخدام العالقة

)57-4( - 3

3

Φ∧

=Φ−Φ−Φ+Φβ

dhl

153

3يكون الخطأ وفق هذا النشر هو التابع نفسه مضروب بـ من ثمو

3

∧β

:لندرس اآلن التكامل

)58-4( ( ) ( ) p d p, , p d00∫∫∞∞

Φ−Φ+Φ=∧Φ dhlβ

ما يؤدي هذا إلى تبسيط في العالقة السابقة، ورب) 4-56، 55 ،54(بتعويض كال من العالقات حساب التكامل، هذه الطريقة في حساب التكامل توحي بطريقة رياضية إلزالة الالنهائيات فـي

:الفيزياء وهي

:الطرف األيمن من المعادلة السابقة يظهر تكامل من النوعفي

( )∫∞

+∧03

2p p dβp

متقارب فيجـب أن يكـون ) 4-58(أن الطرف األيسر من المعادلة بفرضوهو متباعد ولكن :اآلتيالطرف األيمن كذلك، ومنه يزال التباعد لهذا التكامل بالشكل

)والنتيجة هي dΦفي عبارة p∧/3نأخذ الفرق بينه وبين الحد ) ( )( )ββ +∧− pp 3/

−∧/3وهو أيضا متباعد لذلك نأخذ الفرق بينه وبين الحد β فـي عبـارة dΦ والنـاتج هـو( )( )ββ +∧ p32 )بينه وبين الحد ق الفر ونأخذ. وهو متباعد أيضا / )32 / ∧pβ فـي عبـارة

dΦ لنجد أخيرا الحد( )( )ββ +∧− pp 32 .وهو غير متباعد /

، ووفق هذا )4-52(في المعادلة dΦللحد ) -(وفق هذا اإلجراء يتضح لنا لماذا أخذنا إشارة التباعد من الشكل التربيعي إلى الخطي إلى اللوغاريتمي ومن ثـم إلـى االجراء خفضنا درجة

التباعد الذي عالجناه هنا هو من أجل القيم العالية لالندفاع وهو مـا يسـمى . القيمة المحدودةوهو يصح مـن أجـل القـيم المنخفضـة ) Ultraviolet Divergence(بالتباعد الفوق بنفسجي

)infrared divergence.(

.في هذه الدراسة طريقة النشر هذه على التكامالت من الشكل سنطبق

154

)59-4( ( ) ( ) , , , f p d p, , 0∫∞

∧=∧Φ qpββ

هي كتابة EFTمن نظرية األساسحيث ما تحت التكامل تابع ألربعة متحوالت، وطبعا الغاية ـ ) المنخفضة والمتوسطة والعالية(التكامل السابق وفق المقاييس الطاقية ا وسوف لن نناقش هنيبين مناطق النشر وعوامل النشر في كـل منطقـة اآلتيرياضيا طريقة النشر هذه والجدول

:حيث لدينا إحدى عشر منطقة نشر لتابع مؤلف من أربعة متحوالت

رمز التابع في كل منطقة

إشارة التابع

عوامل النشر منطقة النشر

f1 + β<<p, q, ∧ β/p, β/q, β/∧ f2 + β<<p, q, ∧ β/Φ, q/∧, β/∧, q/p f3 - β<<q<<p, ∧ β/p, β/q, β/∧, q/p, q/∧ f4 + β, p<<q, ∧ β/q, β/∧, p/∧, p/q f5 + β, p, q<<∧ β/∧, p/∧, q/∧ f6 - β, p<<q<<∧ β/q, β/∧, p/q, p/∧, q/∧ f7 - β<<p<<q, ∧ β/p, β/q, β/∧, p/q, p/∧ f8 - β<<p, q<<∧ β/p, β/q, β/∧, p/∧, q/∧ f9 - β, q<<p<<∧ β/p, β/∧, q/p, q/∧, p/∧ f10 + β<<p<<q<<∧ β/p, β/q, β/∧, p/q, p/∧, q/∧ f11 + β<<q<<p<<∧ β/p, β/q, β/∧, q/p, p/∧, q/∧

يبين مناطق النشر الممكنة في حالة أربعة متحوالت مع إشارة كل حد) 1- 4(الجدول

:شكلفي المناطق الثالث بال) 4-59(وفق الجدول السابق نكتب العالقة

)60-4(( ) ( ) ( ) ( )[ ] ,, , f- ,, , f ,, , f p d , ,0

645∫∞

∧∧+∧=Φ qpqpqpqp ββββl

)61-4( ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ,, , f- ,, , f ,, , f p d , ,0

321∫∞

∧∧+∧=Φ qpqpqpqph ββββ

)62-4( ( ) ( ) ( ) ( )[

( ) ( ) ] ,, , f- ,, , f-

,, , f ,, , f ,, , f p d , ,

1110

0987

∧∧

∧+∧+∧=Φ ∫∞

qpqp

qpqpqpqpd

ββ

ββββ

تبقى هناك مشكلة أساسية في طريقة النشر هذه وهي ما هو المعيار الذي وفقه نأخـذ حـدود .معينة ونهمل الباقي

155

ة النشر ونقارنها مـع الدرجـة المعيار هو أن نأخذ القيمة الصغرى والعظمى للحد وفق منطق .توضح معنا أثناء نشر معادلة االرتباطيالمطلوبة للنشر وهذا ما س

االرتباط لثالثة جسيماتمعادلة نشر . 5. 4

Expand the Bound state Equation for Three Body System

ل هذه تحوي خمسة متجهات من الصعب ح) 4-51(معادلة االرتباط لثالثة بوزونات متطابقة المعادلة عدديا لذلك سنحاول اختزال عدد المتجهات ويتم ذلك بمالحظة أن التكامالت في الحـد

لمتجـه واحـد تابعة فقط ) 4-51(الثاني والثالث والرابع من الطرف األيمن لمعادلة االرتباط :اآلتيلذلك نعرف التابع

( )( )

( ) ( )pppp rrrrrrr

r ,q ,-q q R 2

qd 21

23

3

−Ψ+=Φ ∫ π

:أو بالشكل

)63-4( ( )( )

( ) ( )q- , ,q q R 2

qd 21

23

3 rrrrrrr

r−Ψ+=Φ ∫ pppp

π

.وذلك على اعتبار إننا نتعامل مع بوزونات

:معادلة االرتباط تصبح بالشكل

)64-4 (( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) qq- ,q,q qq- R

q R q R 2

qd 2

qd R R R g

R g- R g-

R g- p ,p ,p p p p p ,p ,p B-

2121213

231332

3

31

3

3323133

2121

321

221321

221

22

3221

121

2232123

22

213213

rrrrrr

rrrr

rrr

rrrrrr

rrrrrrrrr

−Ψ−×

+

Φ−Φ−

Φ−Ψ++=Ψ

∫ ππppp

pppppp

ppp

)لنحسب التابع )2121 qq- ,q,q rrrr

−Ψ 4-63(من معادلة االرتباط السابقة ونعوضه في العالقة ( :لنجد

156

)65-4 (

( )( )

( )( )

( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ] qq ,q,q qq- R

q R q R 2

qd 2

qd q R R q R g -

q q R g p q R g

q q R g qR

2

qd

2121213

231332

3

31

3

3333

21

21

2221

22

21

223

22221

23

3

rrrrrr

rrrr

rrrr

rrrrrrr

rrrrr

rrrr

−−Ψ−×

−−

−−Φ−+Φ++

Φ+++++

+=Φ

∫

∫

ππ

π

pp

ppp

pBqpqp

pp

:أو بالشكل

)66-4(

( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

Bp2q B2qqRq

2g

q-q-,q,qq-q-R qR qR 2

qd2

qd

Bq222 qR R qR qR

2

qdg

qBq222

qR qR

2qd

B2q B2qqRq dq

2

2

0 32

232

22

22

2

223

223

2

212123231332

3

31

3

322

33321

23

3

3

322

21

221

23

3

32

232

22

22

2

02

23223

+++−+

Ψ×

+++−−+

−Φ+++++

×

+++

−+=Φ

∫

∫

∫

∫∫

∞

∞

dqBBp

pqpppp

pqppp

pBBp

p

π

ππ

π

ππ

rrrrrrrrrr

rr

rrrrrrr

rrr

rrrrrr

وهذه السوية تابعة فقط إلـى قيمـة Sالطاقية المنخفضة أي السوية الحالةأننا ندرس بفرضواالندفاع وبسبب التناظر الكروي فإنها ال تعتمد على االتجاه أي تعتمد فقط على طويلة الشعاع

pr

.فقط pتصبح تابعة إلى ، معادلة االرتباط

:اآلتيمهمتنا اآلن تتلخص ك

وفق المقاييس الطاقية وذلك بنشر كل حد في المعادلـة وفـق ) 4-66(وضع معادلة االرتباط ) LO( الرئيسـة ومن ثم نجمع كل من هذه الحدود، وبعد ذلك نميـز الحـدود ) 1-4(الجدول

سنشـرح . ثم سنقوم بالحل العدديلمعادلة االرتباط وذلك من أجل كل مقاس طاقي معين ومن .فقط وبنفس األسلوب يتم نشر باقي الحدود في معادلة االرتباط نهنا نشر حدي

157

):4-30(وهو تابع إلى حد القطع كما في حالة العالقة g2لنأخذ أوال الحد

( ) ( )( )

∫ +∧−

=∧ 2

2

22

3

3

2 2/2exp

2qd1

Bqq

g π

r

:نكتب) 4-58(وبالمقارنة مع العالقة

( ) ( )( )

∫∫ ∫ ΦΘΘ+

∧−=

∧

∞ +

−

π

π

2

00

1

122

222

32

)sin(2

/2exp.2

11 ddBq

qdqqg

:ومنه

)67-4( ( ) ( )( ) 2p2

pRp , , 222

22

2

βπβ

+=∧Φ p

لحساب المركبة و O(β/∧)سننشر حتى الحدود من الدرجة األولى ، 2B=βحيث افترضنا

lΦ نعوضβ,p<<∧ عوامل النشر هي من ثموp/∧ وβ/∧ ومنه:

)68-4( ( ) 2p2p 222

2

βπ +=Φl

p/∧ ،β/∧ ،β/pعوامل النشر هي من ثمو ∧>>β<<pحيث dΦبة ومن اجل المرك

)69-4(

41 2d π

=Φ

β/∧ ،β/pوعوامل النشر هي ∧ ,β<<pحيث hΦومن اجل المركبة

)70-4( ( )222 pR

41 π

=Φh

:الة التباعد نجدبإجراء التكامل مع أخذ إجراء إز

158

( )

( )

( ) ( )∫

∫

∫

∞

∞

∞

++∧=∧Φ

=∧Φ

=∧Φ

02/3

222

0

0

2128 168h3 p, ,

0 p, ,

28 - p, ,

πβ

β

πβ

β

hdp

dp

dp

h

d

l

:والنتيجة النهائية

)71-4( ( )π

βπ 28

-2128

168h3 g1

2/32

22

2

++∧=

h

تكـون ∧>>β<<pفـي المنطقـة O(β/∧)في هذا اإلجراء نالحظ أنه عند النشر إلى المرتبة وهذا اختالف أساسي مع نظرية االضـطراب O(β/∧)من المرتبة (∧/p)(β/p)الجداءات مثل

.لعادية حيث جداء حدين من المرتبة األولى هو حتما من المرتبة الثانيةا

:الحد االننشر نول

( )( ) ( )3

2232

22

22

2

02

23223

B2q B2qqRq dq

2 +++

−+∫∞

pBBp

π

:نجد) 4-59(بالمقارنة مع العالقة

( ) ( )( ) ( ) B2q B2q 2

qR ,,,,

32

232

222

222322

32

32 +++

−+=∧

p

BBpqqpf

πββ

:إلى إحدى عشر منطقة) 1-4(ننشر المعادلة السابقة وفق الجدول

( ) ( )

( )

41

2q 2f

qR2q 8

p3

23

222

2

2

222

2322

2

1

π

βπ

π

=

+=

+=

f

qp

f

159

)72-4(

( ) ( )

( )( )

q8

2q 2q 2

qR q8

1

2223

223

6

32

232

222

232

232

5

2223

223

224

π

π

π

BBpf

BpBBBpq

f

BBpf

−+=

+++

−+=

−+=

( )

( )

( )

41

q61

3

2q 23

2q 83

qR q61

3

211

22

2

10

222

2

9

22322

2

8

2222

2

7

π

π

π

π

π

=

=

+=

+=

=

f

pf

Bqf

ppf

pf

نحصل على نشر هذا الحد وفق منـاطق االنـدفاع ) 4-62، 61، 60(ومنه ووفق العالقات :المختلفة

)73-4(

[ ]

( ) ( )

( )( ) q8

- 2q 2q 2

q

qR q8

1 p d

f- f f p d

2223

223

32

232

222

232

232

2223

223

220

0654

−++++

−+

+−+=

+=Φ

∞

∞

∫

∫

ππ

π

BBpBpB

BBp

BBp

l

:وهي O(1)أي تلك التي لها المرتبة الرئيسةاآلن من هذه العالقة نميز الحدود

)74-4( [ ] ( )( )

( )

28

2q 2q 2q

q d

22/1

32

23

0 32

232

222

232

232

0

π

π

BBp

BpBBBp

n

−+=

+++

−+=Φ ∫

∞

=l

160

:هي lΦمن عبارة ) NLO( الرئيسةوالحدود التي تلي الحدود

)75-4( [ ] ( )[ ]

246

168h3

81-qR

qq d

2/32

2223

223

02

232

23

2221

π

π

−+∧

−+=

−+×=Φ ∫

∞

=

hBBp

BBpnl

:أما النشر وفق منطقة االندفاع المتوسط فهي

)76-4(

[ ]

( ) ( )

( ) dq 4

1- q61

3- 2q 2

2q 83qR

q613 p d

f - f - f f f p d

222

2

222

2

22322

22

222

2

0

01110987

+

+

++

=

++=Φ

∫

∫∞

∞

πππ

ππ

pB

q

ppp

d

:هي) LO(الحد الرئيسي وفق هذه المنطقة

)77-4( [ ] ( )

π

π

613

dq2q 83 p d

02

2322

2

0

p

pp

nd

=

+=Φ ∫

∞

=

:هو) NLO(والحد الذي يلي الحد الرئيسي

)78-4(

[ ] ( )( ) ( )

( )ππ

πππ

282128 168h33

41-

2q 2 1qR

q613 q d

22/3

22

22

22

22

22

222

2

01

Bph

Bqp

nd

−∧

−+=

+

+

−=Φ ∫

∞

=

:بالشكل) 4-61(النشر وفق منطقة االندفاع العالي هي وفق العالقة

161

)79-4(

[ ]

( ) ( ) ( ) 4

12q 2

qR2q 8

p3 p d

f - f f p d

2222

2222

2322

2

0

0321

−

++

+=

+=Φ

∫

∫∞

∞

πππ Bq

p

h

:للعالقات السابقة الرئيسةالحدود

)80-4( [ ] ( ) 2q

qU q d 8

p3 0

2232

22

2

2

0 ∫∞

= +=Φ

pnh π

: الرئيسةالتي تلي الحدود والحدود

)81-4( [ ] ( )

−

+=Φ ∫

∞

= 4

12q 2

p d 2222

2

01 ππ B

qnh

الرئيسةمعادلة االرتباط وفق الحدود . 5. 5

The Bound State Equation in Leading Order

ى نلجأ إلى مـا يسـم ): NLO( الرئيسةوالحدود التي تلي الحدود ) LO( الرئيسةلتمييز الحدود الرئيسـة التي تلي الحـدود الحدودبحيث نعتبر) Dimensional analysis(بتحليل أبعاد كل حد

.O(β/∧)مساهمتها من المرتبة ) الحدود التصحيحية األولى(

ونشره وفق نظرية االضـطراب ) 4-66(يتم أوال أخذ كل حد على حدى في معادلة االرتباط ) فاع المنخفض ومنطقة االندفاع المتوسـط والعـالي منطقة االند(المنظمة في المناطق الثالث

وذلك باستخدام التحليل البعدي، حيث ) LO( الرئيسةوبعد ذلك سنميز ضمن كل منطقة الحدود .O(1)سنهمل كل الحدود التي ليست لها المرتبة

:لنبدأ أوال في منطقة االندفاع المنخفض

:ياآلتمعادلة االرتباط في هذه المنطقة تأخذ الشكل

162

)82-4 (

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

∧−+

++

−+

∧+++

++

++++++∧−+∧×

−−Φ−−

Φ−Φ

−+++++

−++Φ×

−+∧

−+++−+∧

−+

−+=Φ

−

∞

−

∫

∫

232

23

2/32

2323

223

22

323

2

323

2/32/5

232/53

2323

2323

2

2121213231322

3

21

3

3

223

223

232

2

220

232

23

232

23

22223

223

2)32

23

232

26416h8

28

B 16h83

22048 16h8

212831152 /

3p2B3576- 12h12512h462

q,q,q,q qqR qR qR 2

2

g -

222222ln

2q/2RqR

qdq

8

168h8

(28

BBphBBp

hh

hhhBBp

qdqd

qqpqqpBpqqpB

BBppqq

BBp

BBphBBp

BBpBBpp

dh

ππ

πππ

π

ππ

π

π

rrrrrrrrrr

l

l

من المعادلة السابقة باستخدام مفهوم التحليل البعدي لذلك نالحظ أوال الرئيسةنحدد اآلن الحدود يقصد بها طاقة االرتباط لحالة الجسيمين Bحيث O(B)الحد األول في الطرف الثاني له البعد

B2 أو لثالثة جسيماتB3ل في الطرف األيمـن لـه البعـد ، والقوس ما قبل التكامO(B/∧) فإن الحدود داخل القـوس O(1)أي ذات المرتبة الرئيسةإننا نريد تمييز فقط الحدود بفرضو

فـإن للتكامـل من ثمو O(B)فإن الحد ما قبل التكامل له المرتبة من ثمما قبل التكامل تهمل و .عكس هذه المرتبة ليكون الناتج كمية ال أبعاد لها

وبعد إجراء التكامل فإن ∧و qوكال منها يعتمد R2و Φhاألول من التكامل يحوي التوابع الحد O(B/∧)وبالضرب مع العامل ما قبل التكامل تصبح مرتبة هـذا الحـد O(∧-1)مرتبتهما هي

]أما ما يتعلق بالحد الثاني من التكامل فنأخـذ ،ال نأخذه في الحسبان من ثمو ] 0=Φ nl مـنlΦ مـن و O(1)وبضربه بالحد ما قبل التكامل تصبح له المرتبة B/1والحد بالكامل يتصرف مثل

والحد األخير من معادلـة . ال نأخذه من ثمو O(B/∧)نبقيه، للحد الثالث من التكامل المرتبة ثم

االرتباط له المرتبة

∧BO الرئيسةالتي تلي الحدود وهي مرتبة الحدود NLO لذلك نهمله.

163

:فقط هي الرئيسةومنه معادلة االرتباط في منطقة االندفاع المنخفض بالحدود

)83-4(

[ ] ( )( ) [ ] 022

3

223

232

232

232

00 222

222ln 4

28 dq =

∞

= Φ

−+++++

−+

−+=Φ ∫ nn pqqpB

pqqpB

BBpp

BBpqll

π

π

):4-62(وفق العالقة بتجميع الحدود لنضع اآلن معادلة االرتباط في منطقة االندفاع المتوسط

)84-4 (

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

∧+

+−

∧+++

++

+++++∧+−+∧×

−−Φ−−

Φ−Φ−Φ

−++Φ

−+++

+

Φ×

∧

−++∧−∧=Φ

−

∞

∫

∫

2/3

22

232

22

223

2

223

2/32/5

32323

23

5/223

2

2121213231332

3

31

3

3

2

2

232

2

22

22

222

2

0

2222

212816h83

28163

B 16h83

22048 16h83

212831152 /

12h12512h465673-

q,q,q,q qqR qR qR 2

2

g -

qp ln

2

q/2RqRqp dq

..56.3

168h31283.56

38

πππ

πππ

π

ππ

π

phBp

hh

hhhBBp

qdqd

qqqBBq

qqpqqppqqp

qp

qp

hBp

pp

ddd

hd

rrrrrrrrrr

l

الرئيسـة وبنفس األسلوب السابق نحلل مساهمة كل حد ونأخذ الحدود التي تساهم وفق الحدود والقوس الكبير ما قبل التكامل يهمل، p/1المرتبة له ، الحد األول من الطرف األيمن (LO)فقط

وحسب المخطط المشـروح q→0والحد األول ما تحت التكامل يعاني تباعد ما تحت األحمر في إزالة التباعد نأخذ الفرق بينه وبين الحد الرابع ما تحت التكامل والنتيجة النهائية هـي سابقا

نهمله، أما الحد الثالث مـن التكامـل فيعـاني من ثمو O(p2/∧)حد ذو قيمة محددة له المرتبة حيث يزال هذا التباعد بأخذ ناتج الطرح بينه وبين الحد الخامس ∞→qالتباعد فوق البنفسجي

ومنه ال نأخذ هذه الحدود، وبالنسبة إلـى الحـد B/pلينتج في النهاية قيمة محددة تتصرف مثل ]الثاني من ما تحت التكامل نأخذ المركبة ] 0=Φ nd ويبقى لدينا الحد األخير من الطرف األيمـن

164

ومنه فـإن معادلـة (LO) الرئيسةال يساهم في القيم من ثمو O(p/∧)والذي له التحليل البعدي :فقط هي الرئيسةاالرتباط في منطقة االندفاع المتوسط ذات القيم

)85-4( ( )[ ] ( )[ ] 022

22

00 2ln

3q4dq =

∞

= Φ

−+

++=Φ ∫ ndnd p

pqqppqqpp

π

وبتمييـز الحـدود ) 4-61(لنضع اآلن معادلة االرتباط في منطقة االندفاع العالي وفق العالقة :فقط نجد الرئيسة

)86-4(

[ ] ( ) [ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2121

213231332

3

31

3

32

2

2

2232

22

0

223

223332

12

1

1

2

0

2/3

222

2232

22

0

02221

21

100

q,q,q,q

qqR qR qR2

2

2qR dq

222

qpR pR qR pqR q

2128

168h3 -

2qR dq3

4

222pqR

rrrr

rrrrrr

rrrr

rr

−−Φ×

−−∧×

∧

×

+

++++

−+

+×

×

Φ++

+=Φ

∫

∫

∫∫

∫

∫∫

∞

+

−

∞

∞

=

+

−

∞

=

ππ

π

qdqdgp

pqp

pqZqpdZdq

h

pq

pqZqpdZdq nhnh

، الرئيسةوفق الحدود (83,85,86-4)لة االرتباط لثالثة جسيمات بوزونية متطابقة كتبنا معادالستنتاج طاقة سويات ايفيموف للهيليوم Splineهذه المعادالت يمكن حلها عدديا بطريقة

. (Trimer)الثالثي

165

التوصيات

الة لتجنب المشاكل تشكل طريقة الحل المباشر لمعادالت فادييف وياكوبوفسكي طريقة بديلة وفع : اآلتيونوصي كأعمال مستقبلية ، العددية التي تنتج من طريقة االمواج الجزئية

حل معادالت فادييف بطريقة مباشرة في دراسة حالة ارتباط ثالثة نيكلونات وذلك -1 .بادخال مركبات السبين وااليزوسبين

.كلونات حل معادالت فادييف بطريقة مباشرة في دراسة تبعثر ثالثة ني -2

حل معادالت فادييف وياكويوفسكي بطريقة مباشرة في دراسة حالة ارتباط أربعة -3 .نيكلونات وذلك بادخال مركبات السبين وااليزوسبين

حل معادالت فادييف وياكويوفسكي بطريقة مباشرة في دراسة تبعثر أربعة نيكلونات -4 .وذلك بادخال مركبات السبين وااليزوسبين

نيكلون وفق نظرية الحقل الكمومي الفعال حتى الحدود التي تلي - نيكلوندراسة تفاعل -5 . (NNLO) الرئيسةوالحدود التي تلي التي تلي الحدود (NLO) الرئيسةالحدود

إجراء الحل العددي لمعادلة االرتباط لثالثة بوزونات متطابقة وكتابة معادلة االرتباط -6 . الرئيسةوفق الحدود التي تلي الحدود

166

]A[الملحق

طريقة الحل العددي

سنقدم في هذا الملحق طريقة الحل العددي المستخدمة في حـل معـادالت فـادييف وليبمـان .شوينغر من أجل نظام مؤلف من ثالثة نيكلونات أو أربعة

في اليونانية القطعة الخشبية الصغيرة وتعني هنا أنه يمكـن أن نطـابق أي splineتعني كلمة اني كمجموع منته من القطع الخشبية الصغيرة، استخدمت هـذه الطريقـة لمعالجـة منحني بي

المنحنيات البيانية ذات التغيرات الشديدة كمثال على ذلك، منحني غاما الطبيعي الذي يتألف من ال نستطيع مطابقة هذا المنحني بكثير حدود من أي درجـة كانـت من ثمعدد كبير من القمم و

إلى عدد [a, b]األفضل لدراسة هذه المنحنيات هي تجزئة المجال المدروس لذلك فإن الطريقة :حيث [xn-1, xn] .…………,[x1, x2] ,[x0, x1]كبير من المجاالت الجزئية

a = x0 < x1 < ……… < xn = b

فـي f(x)بحيث يتطابق مع المنحني البيـاني splineيسمى تابع Sjوفي كل مجال نعرف تابع ولكن هذا غير ) قطعة مستقيمة(يمكن أن يكون خطي من الدرجة األولى Sjابع الت. هذا المجال

حيث ال نعرف شـكل تغيرهـا، لـذلك ) سيكون الخطأ كبير(عملي من أجل التوابع المجهولة :من الدرجة الثالثة بالشكل splineسنأخذ في هذه الدراسة توابع

(A-1) Sj(x)= aj + bj(x-xj) + cj(x-xj)2 + dj(x-xj)3

j=0, 1, ….., n-1وذلك من أجل

إن عدد النقاط وتوزعها مهم جدا في هذه الطريقة وهذا يحتاج إلى دراسة مفصـلة، والمعيـار ـ الذي لدينا هو أن تظهر القيمة المراد حسابها قريبة من القيمة التجريبية وأن تكون مستقلة ن ع

دنى من عدد النقاط بحيث تكون فيه النتيجـة وهذا يعني أنه يوجد هناك حد أ splineأبعاد شبكة

167

f(x)والتابع المدروس ) spline )Sjمستقلة عن هذا العدد، وهذا ما يخبرنا أن التطابق بين تابع .هو تطابق جيد، وسنستخدم في هذا البحث توزع النقاط بشكل غاوصي) التابع الموجي(

:ةياآلتنستخدم الشروط ) A-1(إليجاد الثوابت في المعادلة

c. Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) for each j=0, 1, ……. n-2

d. S'j+1(xj+1) = S'j(xj+1) for each j=0, 1, ……. n-2

e. S''j+1(xj+1) = S''j(xj+1) for each j=0, 1, ……. n-2

b. S(xj) = f(xj) for each j=0, 1, ……. n

:وعند نهاية المجال نستخدم الشروط

S''(xo) = S''(xn) = 0

.الطبيعية splineوالتي تسمى شروط

:نكتب) A-1(إليجاد الثوابت في المعادلة

Sj(xj) = aj = f(xj)

):C(وبتطبيق الشرط

(A-2)

( ) ( ) ( )( ) ( )3j1jj

2j1jj

j1jjj1jj1j1j1j

x- x d x- x c

x- x b a x S x S a

++

+++++

++

+===

j=0, 1, ……., n-2 من أجل

فالمعادلة an = f(xn)وإذا عرفنا

(A-3) h d h c h b a a 3jj

2jjjjj1j +++=+

j=0, 1, ……., n-1 محققة من أجل

وبمالحظة أن

S'j(x) = bj + 2cj (x-xj) + 3dj (x-xj)2

168

:نجد

S'j(xj) = bj

j=0, 1, ……., n-1 من أجل

:(d)بتطبيق الشرط

(A-4) h 3d h c 2 b b 2jjjjj1j ++=+

j=0, 1, ……., n-1 من أجل

):e(طبيق الشرط وبت Cn=S''(xn)/2ويمكن إيجاد عالقة أخرى تربط بين الثوابت بمالحظة أن

(A-5) jjj1j h d 3 c c +=+

j=0, 1, ……., n-1 من أجل

):A-4,5(وبالتعويض في المعادالت djمن أجل ) A-5(بحل المعادلة

(A-6) ( )1jj

2j

jjj1 c 2c 3

h h b a +− +++=ja

و

(A-7) ( )1jjjj1j c c h b b +− ++=

j=0, 1, ……., n-1 من أجل

)A-6(اآلن من العالقة

(A-8) ( ) ( )1jj

jj1j

jj c 2c

3h

- a a h

1 b ++ +−=

:من العالقات السابقة يمكن أن نستنتج

(A-9) ( ) ( ) ( ) a - a

h3 - a - a

h3 c h ch h 2 c h 1-jj

1-jj1j

j1jjjj1j1-j1-j ++− =+++

169

j=0, 1, ……., n-1 من أجل

}تحوي المجاهيل ) A-9(هذه المعادالت } njjc }أن بفـرض فقط وذلك = 0 } 1

0 −=

njjh و{ } n

jja 0 = }المسافة بين النقاط معلومة من خالل }n10 x ...., ,x ,x وقيمةf عند هذه النقاط.

}يمكن عندئذ معرفة قيمة الثوابت cjبمعرفة الثوابت } 10 −

=njjb ،{ } 1

0 −=

njjd يمكن معرفـة من ثمو

} splineتوابع } 10 −

=njjS.

أو هل الثوابت التي أوجدناها في هذه الطريقة لها قيم ويبقى السؤال هو هل هذه التوابع وحيدة . وحيدة

باستخدام هذه الطريقة في معادلة ليبمان شرودينغر مثال أو معادلـة فـادييف نحصـل علـى :تنحصر المشكلة اآلن في إيجاد القيم الذاتية من ثمالمعادلة القيم الذاتية، و

( ) EK Φ=Φ

: أو بشكل عام

(A-10) ( ) ( ) E EK Φλ=Φ

)حيث )E λ هي القيمة الذاتية، طبعا باستخدام طريقةspline فإن( )E K مصفوفة ذات أبعـادوحلها بالطرق العادية فيه صعوبة لذلك نلجـأ إلـى ) splineعدد النقاط المشكلة لشبكة (كبيرة

فـي فيزيـاء كفاءتهاوهي طريقة أثبتت Lanczos Methodالنكزوز الطريقة المسماة طريقة Iterated orthonoz malizedالجسيمات المتعددة وتدعى بالطريقة التكرارية لألشعة المنظمة

Vectoz Method (IOV)

:وعن طريقة التعويض المتكرر نحصل على 0Φ تبدأ هذه الطريقة باختيار تابع اختبار

( ) EK 1ii −Φ=Φ

:بحيث أن

( ) E K 0i

i Φ=Φ

170

}مجموعة التوابع المتشكلة هنا } iΦ تنظم باستخدام قواعد شميدت:

( )( ) - - N

- N

N

200211222

100111

000

ΦΦΦΦΦΦΦ=Φ

ΦΦΦΦ=Φ

Φ=Φ

. .

ΦΦΦΦ=Φ ∑=

1-i

0jjijiii - N

:عامل أدخل بحيث يكون Niحيث

ijij δ=ΦΦ

:نكتبه بداللة هذه التوابع) A-10(اآلن حل المعادلة

(A-11) ∑

=

Φ=ΦN

0iji c

.مرة Nهذا يعني أننا نقوم بعملية التعويض المتكرر

:نجد) A-10(في العالقة ) A-11(بتعويض العالقة

( ) ( ) E EK Φλ=Φ

(A-12)

( )

( )

( )

a b c

b c

EK b c

b EK c

c EK c

k

1j

0kk,1j

i

0jij

N

0ii

i

0j1jij

N

0ii

i

0jjij

N

0ii

i

0jjij

N

0ii

N

0iii

N

0iii

Φ=

Φ=

Φ=

Φ=

Φ=Φλ

∑∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

+

=+

==

=+

=

==

==

==

:jΦ و iΦ هي الثوابت التي تربط بين bij, aijالثوابت بفرضوذلك

171

∑

∑

=

=

Φ=Φ

Φ=Φ

i

0jjijj

i

0jjiji

b

a

:نجد kΦبـ) A-12(بضرب المعادلة

(A-13) ∑

∑∑

=

= =+

=

=λ

N

0iiki

N

0i

i

0jk,1jijik

M c

a b c c

:حيث

(A-14) N k 0 , a b M

i

0jk,1jijik ⟨⟨= ∑

=+

)هي القيم الخاصة Mالقيم الخاصة للمصفوفة )E λ للمصفوفة( ) E K وفق طريقة التكـرار ،مرة هو أقرب للحل الحقيقي طبعـا مـن التـابع Nهذه فإن التابع الموجي الناتج من التكرار

من أجل كل درجة تكرار تظهر قيمة خاصـة من ثمو. مرة) N-1(تج عن التكرار الموجي النا)إلى )E λ والقيمة المطلوبة هي القيمة األكبر لهذه القيم الخاصة، أي أن الحل الفيزيائي هـو

)بحيث ) 1E =λ في المعادلة:

( ) ( ) E EK Φλ=Φ

:اعتبر بالشكل oΦ تابع الموجي في هذه الدراسة ال

( ) 220 q p 1 xq, p,

+=Φ

.وذلك من أجل ثالثة وأربعة نيكلونات

172

]B[الملحق

: تحويل لورنتز

:نعرف تحويل لورنتز المتجانس بالشكل

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x det x x

xN xN xN xN تنسوریة

xN xN det xN xN شعاعي شبھ

xN xN xN xN شعاعیة

xN xN det i xN xNi سلمیة شبھxN xN xN xN سلمیة

S S

S S

xNS xN xNx x

555

5

55

1o

1-1-

πππ

σσ

γγγγ

γγ

γγ

γγ

γγ

αββµ

αµµυ

υυµ

υυµ

υυ

µµ

rrr∧=′′→

∧∧=′′′′

∧∧=′′′′

∧=′′′′

∧=′′′′=′′′′

∧=∧

∧=∧∧

∧=′′→∧=′→

−ot

x

فيـة تحويـل سـبينور تابع لمصفوفة التحويل ويحدد كي S(Λ)و ، مصفوفة التحويل Λحيث .ديراك

:بالشكل Cنعرف مؤثر تحويل مرافق الشحنة :تحويل مرافق الشحنة

( )( )

- - C - - - C

I CI i

N - N i-

N i- N

i C N

N

55

2252522o5o215

222oo21

T1

2o1

1T2ooT

o2ooxTotCC

o1

toT

cc

T

TT

xC

ToxC

xC

CC

CC

C

N

N

TNCN

γγ

γγγγγγγγγγγγ

γγγγγγγγγγ

γγ

ζγγγγζ

γζγγγγ

γγ

γ

ζ

µµµµ

==

===

===

=

=

==

==

=

=

=→

−

−

−

−

−

++

+

173

[ ] ( )

[ ] T

TTTTC

µυυµ

µυυµυµµυ

σγγ

γγγγγγσ

- , 2i -

- 2i C , C

2i - C

T

1-1

==

==−

( ) ( ) , - , , ,

2

i

2 i

321321

3

21

21

ππππππ

ππ

ππ

ππ

πππ

πππ

=

=

=

=

−=

+=

±

−

+

CCC

oCo

C

o

m

{ }

[ ]

=−=

=

=

=

===

=

−=

=

i

, 2i

1-oooo1-oooo1-oooo1

g

o

o i

g 2 ,

o

o , I-o

ot

i

i

j

j

3215

5

i

i

oo

oo

II

iooi

ikjik

o

io

σσ

σσ

σσ

εσ

γγσ

γγγγγγ

γγ

σσ

γγ

υµµυ

µυ

µυυµ

( )( )

( ) ( )( ) ( ) T T X

4 T x T x X

4 T 16 ,.......... 1,

r41

r41

rr

r

ααα

α

ββα

αβ

αα

αββ

α

α

δ

α

ΓΓ=ΓΓ=

=ΓΓ=Γ

Γ=

=ΓΓ

=Γ

XX

xX

174

راجعــــــــالم

[1] – S.Weinberg, physica, A96. 1979; 327.

[2] – P.Milonni, The quantum vacuum an introduction to quantum electrodynamics, Academic Press, 1994.

[3] – W.Greiner, Gauge theory of weak interactions, springer, 2000.

[4] – T.yang, phys.rev. vol.104, 1956. 245.

R.feynman, theory of Fermi interaction, phys.Rev. 1958. V.109. p.93-188.

[5] – V.Parameswaran, quantum field theory, springer,2005.

[6] – M.Chaichian, Path integrals in physics, IOP publishing Ltd, 2001.

[7] – W.Greiner, Quantum electrodynamics, springer, 2003.

[8] – I.Aitchision, gauge theories in particle physics, IOP Publishing Ltd, 2004.

[9] – W.Greiner, Relativistic quantum mechanics, springer, 1990.

[10]- S.Weinberg, The quantum theory of field, Cambridge university press, 1996.

[11] – J.Collins, Renormalization, Cambridge university press, 1984.

[12] – I.Aitchison, gauge theories in particle physics, vol.2, IOP Publishing Ltd,2004.

[13] – G.Benfatto, Renormalization group, Princeton university press, 1993.

[14] – T.Muta, foundation of quantum chromodynamics, world scientific, 1987.

175

[15] – U.Meibner, Modern theory of nuclear forces, nucl.phys.A . 751, 2005. 149c-166c.

[16] – W.Greiner, quantum mechanics, symmetries,

[17] – G.Burgess, the standard model, Cambridge university press, 2007.

[18] – G.Altarelli, phys.rept. 81. 1. 1982.

[19] – J.Savage, effective field theory for nuclear physics, nucl.phys. A721. 2003. 94c-103c.

[20] – M.Kaku, quantum field theory, New york oxford university press 1993.

[21]- M.Guidry, gauge field theoies, Wiley-verlag, 2004.

[22]- J.Wambach, Modern aspects of nuclear structure theory, nucl.phys. 59. 2007. 243-258.

[23] – U.Kolck, chiral perturbation theory in few body system. Nucl. Phys. A 631. 1998. 56c-69c.

[24] – R.Machleidet, the nuclear force problem, nucl. Phys A 373. 2004. 223-227.

[25] – U.Kolck, nuclear effective field theory without pions, nucl.phys.A 787. 2007. 405c-414c.

[26] – I.Claude, quantum field theory, Macraw-hill, 1980.

[27] – I.Myhan, quarks and cluons, world scientific, 1999.

[28] – H.Leatuyler, in perspectives in standard modle; proceedings of the 1991 advanced theoretical study in statute in elementary particle physics, world scientific. Singapore, 1992.

[29] – A.Balachandran, classical topology and quantum states, world scientific. Singapore,1991.

[30] – H.Leutwyler, annals phys. 235, 165, 1994.

[31] – J.Gasser, nucl.phys.B250,465, 1985.

176

[32] – L.Faddeev, sov. Phys, jetp12. 1014, 1961.

L.Faddeev, mathematical aspects of three-body problem in quantum scattering theory, new york, 1965.

[33] – M.Nagels, phys.rev, D17, 768, 1978.

[34] – R.Machleidt, phys. Rev. C63, 024001, 2001.

[35] – R.Wiringa, phys.Rev. c51, 38. 1995.

[36] – W.Klokle, phys.rep. 274, 107, 1996.

[37] – A.Stadler, phys.Rev.c44,2319, 1991.

[38] – L.Frair, phys.A301, 309. 1981.

[39] – C.Chen, phys, Rev.c31, 2266, 1985.

[40] – W.Glockle, the Quantum mechanical few-body problem, springer- verlag, 1983.

[41] – H.Yamada, effects of a new three-body force in N-D scattering, nucl. Phys. A 689, 2001, 373c-376c.

[42] – W.Clockle, recent progress in the 3N system including three- nucleon forces, nucl,phys. A 631, 1998, 663c-667c.

[43] – W.Clockle, triton binding energies for modern NN forces , phys.Lett, B.409. 1997. 19-25.

[44]- H.Yamada, N-D elastic scattering with a new three body force, nucl.phys. A 684. 2001. 539C-541C.

[45] – P.Bedaque, effective theory of the triton , nucl.phys. A 676. 2000, 357-370.

[46] – H.Yukawa, porc. Phys. Math. Soc. Japan, 17, 1935, 48.

[47] – A.Proca, J. phys. Radiation 7, 1936.347.

[48] – C.Moller, math. Fys. medd. 17, 1940, No.8.

J.Schwinger, phys.Rev. 61 , 1942, 387.

177

[49] – W.Pauli, meson theory of nuclear force, interscience, newyork, 1946

[50] – M.Taketani, prog. Theor.phys. kyoto, 6, 1951, 581.

[51] – M.Taketani, prog. Theor, phys, Kyoto , 7, 1952, 45.

[52] – K.Brueckner, phys. Rev. 1953, 699, 92, 1023.

[53] – K.Holinde, nucl.phys. A256, 1976, 479-497.

[54] – V.Stoks, phys, Rev.c49, 1992, 3995.

[55] – R.Machleidt, phys.rev. c53, 1996.

[56] – E.Lomon, phys.Rev. D14, 1976, 2402, D22, 1980, 229.

[57] – W.Clockle, phys.Rep. 274, 1996, 109

[58] – J.Fujita, prog. Theor. Phys. 17, 1957, 360.

[59] – S.Coon, few-body system, supp1.1, 1986, 41.

[60] – P.Bedaque, effective field theory for few- nucleon systems, Ann. Rev. nucl. Part. Sci. 52. 2002, 339- 396.

[61] – M.Robilotta, nucl.phys. A451, 1986, 581.

[62] – R.Schiavilla, nucl. Phys. A449, 1986, 219.

[63] – N.Isgur, phys.Rev.Lett.50, 1983, 1827, phys. Rev. D29, 1984, 952.

[64] – J.Walecka, theoretical nuclear and subnuclear physics, world scientific, 2004.

[65] – W.Clockle, nuclear forces from chiral lagragian using the method of unitary transformation, nucl.phys. A 671, 2000, 295-331.

[66] – B.Martin, nuclear and particle physics, wiley, 2006.

S.Weinberg, nucl.phys, B 363, 1991.

[67] – B.Lee, chiral dynamics, gordon and breach , science publishers, 1970.

[68] – B.Thaller, the dirac equation, springer-verlag, 1992.

178

[69] – Ch.Elster, few body system 24, 55 (1998).

[70] – R.Landau, computional physics, john wiley, 1997.

[71] – J.Adams, fortran90 handbook, McGraw-Hill, 1992.

[72] – W.Schweinger, numerical quantum dynamics, wily, 2002.

[73] – T.Pang, computional physics, Cambridge university press, 2006.

[74] – L.Malian, gubic splines and the lippmann-schwinger equation, Czech.J. phys.B 27, 1977.

[75] – A.Stadler, a relativistic effects in the three nucleon problem, nucl,phys, A.Vo. 631, 1998, 152-169.

[76] – F.Bedaque, nucl, phys, A 714, 2003, 589-610.

[77] – H.Hammer, universality in the physics of cold atoms large Nucl. Phys. A67, 2003.

[78] - E.Braaten, universality in the three-body problem for 4He3 atoms,phys.Rev.A67.2003.

[79] – E.Braaten, universality in few-body systems with large scattering length, phys.rept, 428, 2006, 259-390.

[80] – J.Anderson, theory of weakly interacting bose gas, phys. Rev. 76, 2004, 599.

E.Braaten, universal equation for efimov states, phys.A67, 2003.

[81] – E.Nielsen, the three- body problem with short range interaction, phys.Rep. 347. 2001. 373-459.

[82] – P.Bedaque, the three boson system with short range interactions, nucl, phys, A 646. 1999. 444-466.

[83] – H.Hammer, A renormalization equation for the three body system with short range interaction, Nucl.phys. A690, 2001, 535-546.

[84] - R.Michael, methods of modern mathematical physics scattering theory, academic press, 1979.

179

180

3- Finally the missed short-range physics is represented in form of local correction terms with arbitrary coefficients to the effective Hamiltonian. These coefficients have to be fixed from the data. It is important that one should keep all local terms allowed by the symmetries of the underlying theory. Putting new correction terms systematically removes the dependence of the low-energy observables on the cut-off, which is compensated by running of parameters in the effective Hamiltonian. Any given precision can be achieved with a finite number of correction terms. The purpose of this thesis to investigate in detail the nuclear force by used the effective quantum field theory, and used the nuclear potential which derived by this approach to calculate the bending energy of three and four nucleon system and to applied EFT on atomic physics for study the Effimov stases of 4He3 ( which is called Helium Trimer ). The manuscript is organized as follows. In chapter 1 we will give an introduction to effective theories. For a better understanding of the philosophy of effective theories. We will begin chapter 2and 3 with a brief introduction to chiral symmetry and construct the two and three-nucleon potential based on the most general chiral effective pion-nucleon Lagrangian using the method of time ordered perturbation theory. By used Faddeev equation for three and four nucleon system we proceed with new numerical method dependent on the ideas of the direct solution of these equation without take on the partial waves method in mind, the latter method is not efficient in high energy ( above 200 Mev) because the numerous number of equation which is necessary to converge the solution according to this method. So we consider this studying between the fist researches which concern in this subject. In chapter four we applied EFT to atomic physics to put the binding wave equation of Trimer in leading order terms, and so that to studying the effimov states.

181

evident from the QCD Lagrangian leads to a model-independent and systematic low-energy expansion in momenta for the S-matrix. What is effective All known interactions in nature can be classified in terms of four fundamental types :strong weak electromagnetic and gravitational. The first three of them have been unified and build the basis of the Standard Model. The crucial role in the development of this model has been played by the requirement of renormalizability. One can easily check the property of renormalizability of a theory by introducing a parameter Δi characterizing an interaction of type i which contains fi (bi) fermionic(bosonic)fields . In four dimensions it is defined by

iiii bfd −−−=∆234

where di is the number of derivatives. This quantity simply defines the mass dimension of a related coupling constant. This allows for the following classification of all interactions those with 0≥∆ i are called renormalizable whereas interactions with 0≤∆ i are non-renormalizable.One defines furthermore a subclass of superrenormalizable interactions with 0⟩∆ i . For instance the interaction of electrons with photons in quantum electordyna-mics (QED) ψψAe /− , is renormalizable since according to previous equation one has 0122

304 =−×−−=∆ whereas the electron mass term ψψm− is an example of a superrenormalizable interaction.

Obviously only a finite number of renormalizable theories exists since i∆ is bounded from above. It has been shown that the theory is renormalizable if all interactions are renormalizable. we would like to enumerate here the basic steps of constructing the effective theory : 1- First one should correctly incorporate the low-energy physics into the effective theory. This must be known from the underlying theory. Note that if the underlying interaction has a finite range one can always restrict an effective theory to very low energies at which the details of the interaction are not important. In such a case one does not need to know anything about the underlying theory. 2- Secondly one should introduce an ultraviolet cut-off- to exclude high-momentum states. The cut-off furthermore provides finiteness of various integrals arising by performing calculations .

182

reasons: only relatively recently it became possible to solve the three-body Faddeev equations exactly for any type of realistic two-body force after all necessary technical and computational tools were worked out and sufficient computer powers were available. In addition to these technical and computational difficulties the effects of the three-body force in most cases are small and require precise experimental measurements of the bservables.At presence several models for the three-body force are available. Some of them like the Fujita-Miyazawa or the Tucson-Melbourneforces are based on the two-pion exchange with one intermediate Δ excitation. Such a two-pion exchange interaction represents the longest range part of the 3NF. Another model proposed by the Brazil group includes in addition π-ρ and ρ-ρ exchanges .The Urbana-Argonne group has worked out a purely phenomenological 3NF. Finally the Tucson-Melbourne force has been extended to take into account also the π-ρ and ρ-ρ exchanges(the so-called Tucson_Melbourne model). For various combinations of the two- and three-nucleon interactions one can always adjust parameters(typically the values of the cut-off in the 3NF) to exactly reproduce the triton binding energy. The main conceptual problem of the OBE models however can be illustrated in terms of the followingclassical picture : assume that hadrons are hard spheres. The charge radius of the proton is 6.02 ≈∑ r fm while the typical size of light mesons is about 0.5 fm.Then mesons can not mediate the uclear force at distances below

fmfmfm 2.25.026.02 =×+×≈ . Even if this picture is very much simplified and does not take into account quantum mechanical effectsit becomes clear that the traditional meson-exchange picture should not be adequate to describe the nuclear matter phenomena at distances below 2 fm . One hopes that quantum chromodynamics(QCD) the fundamental theory of the strong interaction can help to avoid these problems of the OBE models and provide us with a deeper understanding of the nature of the nuclear forces.QCD is a SU(3) color gauge theory of the strong interaction formulated in terms of quarks and gluons. The structure of nucleons as well as interactions between them are in principle completely determined by QCD. Direct calculations of the nuclear force from QCD are not possible up to now.This is because at low energies the interaction is too strong to apply the usual perturbative methods . A more systematic attempt to include information from QCD is based on effective field theories (EFT). Already 20 years ago Weinberg pointed out that requiring the (approximate) SU(2)xSU(2) chiral symmetry which is

183

One of the most detailed and successful works within the meson-exchange models was performed by the Bonn group- Starting from the OBE model based on relativistic time-ordered perturbation theory Erkelenz Holinde Machleidt and Elster calculated two- and some of the three-and four_pion exchange diagrams and extended the model to take into account effects of virtual isobar excitations. The so constructed Bonn-potential which includes apart from these terms exchanges of heavy mesons allows for an accurate description of the nucleon-nucleon scattering data. Recently few attempts have been undertaken by the Julich group to incorporate also correlated meson exchanges(like ππ, πρ ) . A series of modern high-quality potentials based on the pure one-boson exchange model was constructed by the Nijmegen group who also performed a partial-wave analysis (PWA) of all pp and np scattering data. With 15 free parameters they were able to achieve . Another quite successful modern high-quality NN force is the so-called CD-Bonn potential which is also based on the one-boson exchange model.This potential also takes into account charge dependence of the nuclear force. Also a more phenomenological approach of the Argonne group to keep in the potential explicitly only the one-pion exchange and to represent all remaining contributions in a general operator form led after fitting of 40 adjustable parameters to a quite accurate description of the two-nucleon scattering data . All these boson-exchange models appear to be very successful in describing the two-nucleon scattering data as well as the deuteron properties In spite of this success in the pure two- nucleon sector there exist some situations in which the OBE models do not allow for satisfactory explanations and description of data . Since usually the two-nucleon scattering data are used to fix the free parameters in the potentials only on-energy-shell physics is reproduced correctly. Off-energy-shell effects can only be tested in reactions with more than two nucleons and in processes with external probes. Consequently due to this off-shell ambiguity the value of for instance the triton binding energy varies remarkably when calculations are performed with the different two-nucleon forces. None of the existing so-called realistic potentials lead to a correct value of the triton binding energy. Typically one observes underbinding of about 5-10% which can be explained in terms of a missing three-nucleon force (3NF). Indeed the inclusion of a three-body force allows to describe the triton binding energy correctly. One should point out that up to now much less is known about the nature of the three-body forces compared to the two-body interactions .This has partly historical

184

the deuteron which was measured in 1939. Few years later π- mesons were observed experimentally and identified with the particles predicted by Pauli. In 1951 Taketani, Nakamura and Sasaki introduced a new concept .The whole range of nucleon- nucleon interactions is divided into three regions: a long range part ( r > 2 fm), an intermediate region

)21( fmrfm ≤≤ and a short range or core part with fmr 1≤ . Since the nuclear force of Yukawa type due to exchange of particles with the mass m is proportional to )/()exp( mrmr− ,where r denotes the distance between two nucleons exchanges of the heavier particles are in general of shorter range . While the long range part of the nuclear force is dominated by one-pion exchange, two -pion exchange as well as exchanges of heavier mesons become important in the intermediate region. In the core region nucleons are overlapping with each other. So the classical meson-exchange picture of the nuclear force is not adequate any more. Taketani and the co-workers proposed a phenomenological treatment of the short-range nuclear force. After in the 1950, the long-range part of the nuclear interactions due to the one-pion exchange became well established more attention has been paid to the two-pion exchange contributions.Various approaches have been proposed to attack this problem .Soon it became clear that the two-pion exchange itself can not account for a sufficiently strong spin-orbit force whose evidence was transparent from the data. The situation has changed after the experimental discovery of heavy mesons in 1969 which has motivated developments of the one-boson exchange models(OBE) of the nuclear force . One assumed in such models that the two- and more-pion exchanges can be parametrized in terms of multi-pion resonances. With only few parameters one could achieve a quite remarkable quantitative agreement with the existing nucleon-nucleon scattering data. Apart from the one-boson exchange models other concepts like dispersion relations and field theoretical approaches were suggested to describe the nucleon-nucleon interaction. In particular dispersion theory was applied to calculate the two-pion exchange contributions to the NN amplitude starting from πN and ππ scattering data. The most detailed work in this direction was performed by the Stony Brook and the Paris groups. The short range part of the nuclear force in these models was parameterized by OBE and by some phenomenological terms. The nucleon_nucleon interaction developed by the Paris group became known as the Paris potential. The field theoretical approach to the 2π- exchange contributions using the technique of Feynman diagrams was considered by Lomon and collaborators.

185

Abstract

Introduction Nuclear physics as a science has a long history of almost 100 years. In 1911 Rutherford demonstrated that large angle alpha particle scattering can only be explained in terms of a positively charged nucleus of a radius of about 10-12 cm which is much smaller than the typical atomic radii of the size 810−≈ cm . This important discovery allowed to make a crucial progress in understanding the atomic structure and stimulated the development of new theoretical concepts . A few years later Heisenberg and Schrödinger formulated rigorously the principles of quantum mechanics . In spite of advances in the knowledge of atomic systems the concept of the structure of the nucleus remained unclear until 1932 when a neutral particle the neutron was discovered by Chadwick After that it was proposed that nuclei are composed of neutrons and protons which have nearly the same mass . Already at that time Heisenberg suggested that the neutron and proton can be looked upon as corresponding to two states of the same particle . Four years later Cassen and Condon introduced the concept of isotopic spin to describe these two states . The basic problem in nuclear physics is determining the nature of the interactions between neutrons and protons. Only if these forces are known we can understand various properties of nuclei .The first and very successful concept of nuclear forces was proposed by Yukawa who assumed that nucleons interact due to the exchange of massive scalar particles (mesons). Although the meson exchange theory of nuclear forces has undergone many developments and modifications within the last 60 years Yukawa's fundamental idea about a meson exchange origin of nuclear forces is still valid today. In order to keep the manuscript consistent we would like to briefy summarize basic historical developments of the meson exchange models of nuclear forces . First modifications of Yukawa's theory were due to Proca and Kemmer . They extended Yukawa's model to pseudoscalar and pseudovector particles. A few years later models including combinations of pseudoscalar and pseudovector fields were considered by Moller and Rosenfeld and by Schwinger. In 1946 Pauli predicted the existence of an isovector- pseudoscalar meson since the exchange of particles with these quantum numbers could correctly explain the sign of the quadrupole momentum of

186

Syrian Arab republic

High education ministry

Teshreen University

Faculty of Science

Studying the essential parameters for few body

problem and it's application for three and four

particles system

By

Samer said

A dissertation submitted to the faculty of science of requirement for degree of Doctor in modern physics

Approved by:

Prof. hasan salman Prof. Tayser Moual

Faculty of science Faculty of science