лекция 3 эмм в менеджменте
TRANSCRIPT
Экономико-математические методы в планировании и управленииУральский федеральный университет
2014
им. первого Президента России Б.Н.Ельцина
Кафедра «Экономика и управление строительством и рынком недвижимости»
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 2
Тема 4. Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты постнумерандоПлан Виды потоков платежей; Обобщающие параметры потоков
платежей. Основные понятия и определения; Годовая постоянная рента
постнумерандо; Начисление процентов один раз в году; Начисление процентов m раз в году;
Постоянная p-срочная рента постнумерандо; Начисление процентов один раз в конце
года (m=1); Начисление процентов m раз в году
(m#p);
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 3
Виды потоков платежей
Последовательности платежей во времени называются потоками платежей.
Во времени потоки платежей могут быть:
регулярные - платежи осуществляются через равные промежутки времени;
нерегулярные - платежи через произвольные промежутки времени.
По вероятности выплат потоки платежей могут быть:
верные выплаты в случае безусловных выплат, например, погашение кредита;
условные выплаты выплата ставится в зависимость от наступления какого-либо события, например, страховые выплаты, пенсии.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 4
Виды потоков платежейПо срокам выплат потоки платежей могут быть:
конечные если задан определенный срок, в течение которого должны производится выплаты, например, выплаты по кредиту;
вечные если срок, в течение которого должны производится выплаты не задан, например, пенсии;
немедленные если выплаты производятся сразу при наступлении назначенного срока;
отложенные если выплаты откладываются.
Платежи называются постнумерандо, если осуществляются в конце заданных периодов, и пренумерандо если в начале.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 5
Обобщающие параметры потоков платежей Обобщающими параметрами потока платежей являются его наращенная сумма S и современная стоимость A. Наращенная сумма потока платежей S ─ это сумма всех членов потока с начисленными на них процентами по сложной ставке процента до конца срока. Современная стоимость потока платежей A ─ это сумма всех членов потока, дисконтированных на начало всех выплат.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 6
Обобщающие параметры потоков платежейОбщая схема потока платежей
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 7
Обобщающие параметры потоков платежейПрямой метод расчета S и A.Пусть имеется ряд платежей: S1 , S2 , S3 ,...Sm со сроками n1 ,n2 ,n3...nm . Общий срок выплат лет n лет; начисление процентов производится один раз в конце года по сложной процентной ставке i.Тогда справедливы следующие равенства:
Умножим второе уравнение на (i+1)n и получим:
1 1
(1 ) , (1 ) .j j
m mn n n
j jj j
S S i A S i
1
(1 ) (1 ) .j
mn nn
jj
A i S i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 8
Обобщающие параметры потоков платежейУчитывая, что выражение справа в полученном равенстве в точности равно S , т.е.
получаем следующие зависимости:
- взаимосвязь между наращенной суммой и современной стоимостью потока платежей.
1
(1 ) .j
mn n
jj
S i S
(1 ) .(1 )
nn
SS A i A
i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 9
Основные понятия и определения
Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы равны, называется финансовой рентой или аннуитетом.
Общая схема ренты
Рента является частным случаем потока платежей, которому присуща регулярность выплат.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 10
Основные понятия и определения
Параметры ренты: Основные обязательные
член ренты R ─ это размер отдельного платежа;
период ренты t ─ это временной интервал между последовательными платежами;
срок ренты n ─ это число лет, в течение которых предполагаются выплаты от их начала до конца;
процентная ставка i ─ это ставка сложных процентов, по которой производится их начисление.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 11
Основные понятия и определенияПараметры ренты:
Дополнительныечисло платежей в году p ─ это
число частей, на которые разбит годовой платеж;
частота начислений процентов в году m показывает, сколько раз в году производится начисление процентов на выплаченные суммы.
Если p=1 или m=1, то эти параметры не используются в явном виде в формулах.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 12
Классификация финансовых рентПо количеству членов ренты делятся на:
Ограниченные – с конечным числом членов;
Бесконечные (вечные) – с бесконечным числом членов;По количеству выплат в году ренты делятся на:
Дискретные – платежи производятся через определенные промежутки времени; годовые - платежи производятся раз
в году (p=1); p-срочные - платежи производятся p
раз в году (p>1); Непрерывные – платежи
производятся так часто, что такие ренты можно рассматривать как непрерывные.
Основные понятия и определения
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 13
Классификация финансовых рентПо числу раз начислений процентов в году различают
Ренты с ежегодным начислением процентов (m=1);
Ренты с начислением процентов m раз в году (m>1);
Ренты с непрерывным начислением процентов (m);По величине членов ренты различают:
Постоянные ренты– все платежи одинаковы;
Переменные ренты - с изменяющимися во времени платежами.По моменту выплат платежей различают:
Ренты постнумерандо (обыкновенные)– платежи осуществляются в конце периодов;
Пренумерандо – с платежами в начале периодов.
Основные понятия и определения
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 14
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуВ течение n лет в банк вносится по R рублей в конце каждого года. Ежегодно на взносы начисляются проценты по сложной процентной ставке i. Схема платежей и начислений процентов
На 1-й член начисляются проценты один раз в году по ставке i в течение срока, равного (n-1) лет; на 2-й член (n-2) года, на 3-й член (n-3) лет …… на n-й член 0 лет.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 15
Наращенная сумма потока платежей равна:
Рассмотрим сумму членов, располагая их с конца:
Как видно, члены суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=1+i, число членов прогрессии равно n.
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в году
1 2
3
(1 ) (1 )
(1 ) ... (1 ) .
n n
n
S R i R i
R i R i R
2
2 1
(1 ) (1 ) ...
(1 ) (1 ) .n n
S R R i R i
R i R i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 16
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуИспользуя известную формулу для нахождения суммы членов геометрической прогрессии
где a первый член суммы,
q знаменатель прогрессии,
n число членов прогрессии,
S сумма членов прогрессии,
найдем наращенную сумму годовой постоянной ренты постнумерандо:
1,
1
nqS a
q
(1 ) 1 (1 ) 1.
(1 ) 1
n ni iS R R
i i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 17
Коэффициент при R называется коэффициентом наращения годовой ренты:
Экономический смысл этого коэффициента в том, что он представляет собой наращенную сумму ренты с членом R=1. В экономике этот коэффициент является 2-й функцией сложного процента и называется «накопление единицы за период»
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в году
,
(1 ) 1.
n
n i
is
i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 18
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуИспользуя формулу для современной стоимости произвольного потока платежей:
Найдем современную стоимость годовой постоянной ренты постнумерандо,
Получим:
.(1 )nS
Ai
(1 ) 1(1 ) (1 )
nn ni
A S i R ii
1 (1 ).
niА R
i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 19
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуКоэффициент при R называется коэффициентом приведения годовой ренты и обозначается как
Экономический смысл этого коэффициента в том, что он представляет собой современную стоимость ренты с членом R=1. В экономике этот коэффициент является 5-ой функцией сложного процента и называется «текущей стоимостью единичного аннуитета».
,
1 (1 ).
n
n i
ia
i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 20
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуСхема платежей годовой постоянной ренты постнумерандо при m-разовом начислении процентов
На 1-й член начисляются проценты m-раз в году по ставке в течение срока, равного (n-1) лет, на 2-й (n-2) года, на 3-й член (n-3) лет и т.д., на n-ый член 0 лет.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 21
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуНаращенная сумма потока платежей равна:
Рассмотрим сумму членов, располагая их с конца:
( 1) ( 2)
1 1 ...
... 1 .
m n m n
m
i iS R R
m m
iR R
m
2
( 1)
1 1 ....
.... 1 .
m m
m n
i iS R R R
m m
iR
m
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 22
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКак видно, члены суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, равным а число членов прогрессии равно n.Применяя формулу для нахождения суммы геометрической прогрессии, получим:
- формула для вычисления наращенной суммы годовой постоянной ренты постнумерандо c m-разовым начислением процентов в году
1 ,m
iq
m
1 1.
1 1
mn
m
im
S Rim
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 23
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКоэффициент наращения годовой ренты в этом случае будет равен:
Современная стоимость этой ренты находится по формуле:где q - знаменатель прогрессии, равный
,
1 1.
1 1
mn
i mmn m
im
sim
1 .m
iq
m
nA S q
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 24
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуПолучим
Формула для вычисления современной стоимости годовой постоянной ренты постнумерандо c m-разовым начислением процентов в году.
1 11 ,
1 1
mn
mnn
m
iim
A S q Rmi
m
1 1.
1 1
mn
m
im
A Rim
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 25
Годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКоэффициент приведения годовой ренты в этом случае будет равен
,
1 1.
1 1
mn
i mmn m
im
aim
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 26
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуСхема платежей и начислений процентов в этом случае будет выглядеть так
Если сумма годового платежа составляет R, то сумма разового платежа - R/p. Число членов ренты равно np.На 1-й член начисляются проценты по ставке i в течение срока, равного (n-1/p) лет, на 2-й (n-2/p) года, на 3-й член (n-3/p) лет и т.д., на np-ый член 0 лет.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 27
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуНаращенная сумма потока платежей будет равна:
Располагая слагаемые в обратном направлении, получим
1 2
1
(1 ) (1 ) ...
... (1 ) .
n np p
p
R RS i i
p p
R Ri
p p
1 2
1
(1 ) (1 ) ...
... (1 ) .
p p
np
R R RS i i
p p p
Ri
p
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 28
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуЧлены суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, равным а число членов прогрессии равно np .Применяя формулу нахождения суммы геометрической прогрессии для нашего случая, получим
- формула для вычисления наращенной суммы постоянной p-срочной ренты постнумерандо c начислением процентов один раз в году.
1
(1 ) ,pq i
1
1 1
(1 ) 1 (1 ) 1.
(1 ) 1 (1 ) 1
npnp
p p
R i R iS
p pi i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 29
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуКоэффициент наращения ренты в этом случае будет равен:
Современная стоимость этой ренты находится по формуле:
где q - знаменатель прогрессии, равный
( ), 1
1 (1 ) 1.
(1 ) 1
npn i
p
is
pi
npA S q
1
(1 ) .pq i
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 30
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуПолучим
откуда
- формула для вычисления современной стоимости постоянной p-срочной ренты постнумерандо c начислением процентов один раз в году.
1( )
1
(1 ) 1(1 )
(1 ) 1
n npnp p
p
R iA S q i
pi
1
1 (1 ).
(1 ) 1
n
p
R iA
pi
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 31
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в годуКоэффициент приведения ренты в этом случае будет равен:
( ), 1
1 1 (1 ).
(1 ) 1
npn i
p
ia
pi
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 32
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуСхема платежей и начислений процентов в этом случае (mp) будет выглядеть так
Сумма разового платежа составит - R/p . Число членов ренты - np. На 1-й член начисляются проценты m раз в году по ставке i/m в течение срока, равного (n-1/p) лет, на 2-й (n-2/p) года, на 3-й член (n-3/p) лет и т.д., на np-ый член 0 лет.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 33
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуНаращенная сумма потока платежей будет равна:
или
1 2
1
1 1 ...
... 1 .
m n m np p
mp
R i R iS
p m p m
R i R
p m p
1 2
1
1 1 ...
... 1 .
m mp p
m np
R R i R iS
p p m p m
R i
p m
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 34
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуЧлены суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, равным а число членов прогрессии равно np .Таким образом, для нашего случая получим
- формула для вычисления наращенной суммы постоянной p-срочной ренты постнумерандо c начислением процентов mp раз в году.
1
m
piq
m
1 1 1 1.
1 1 1 1
mnp mnp
m m
p p
i iR Rm m
Sp pi i
m m
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 35
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКоэффициент наращения в этом случае равен:
Современная стоимость этой ренты находится по формуле:
где q - знаменатель прогрессии
( )
,
1 11
.
1 1
mn
pi mmnm p
im
sp i
m
npA S q 1 .
m
piq
m
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 36
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуПолучим
Формула для вычисления современной стоимости постоянной p-срочной ренты постнумерандо c начислением процентов mp раз в году
( )1 11
1 1
mn
mnp
pnp
m
p
iR im
A S qp mi
m
1 1.
1 1
mn
m
p
iR m
Ap i
m
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 37
Постоянная p-срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в годуКоэффициент приведения ренты в этом случае будет равен:
( )
,
1 11
.
1 1
mn
pi mmnm p
im
ap i
m
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 38
Сравнение результатов наращения и современных стоимостей разных видов постоянных рентРассмотрим соотношение наращенных сумм и современных стоимостей рент в зависимости от частоты выплат и начислений процентов.
Пусть сумма годовых выплат (R), продолжительность рент (n) и размеры процентных ставок (i) одинаковы.
Обозначим S(p;m), A(p;m) наращенные суммы и современные стоимости постоянных рент постнумерандо. Если p=1, то число выплат в году равно 1, если m=1, то число начислений процентов равно 1, если непрерывное начисление процентов, то m=.
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 39
Сравнение результатов наращения и современных стоимостей разных видов постоянных рентРасположим наращенные суммы постоянных рент постнумерандо по возрастанию:(1;1) (1; ) (1; ) ( ;1) ( ; ) ( ; ),S S m S S p S p m S p
1
1 1(1 ) 1
(1,1) , (1, ) ,
1 1
1 (1 ) 1(1, ) , ( ,1) ,
1(1 ) 1
1 11
( , ) , ( , ) .
11 1
mn
n
m
n n
p
mn
n
m
p p
ii m
S R S m Ri i
me R i
S R S pe p
i
iR R em
S p m S pp pi e
m
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 40
Сравнение результатов наращения и современных стоимостей разных видов постоянных рент Расположим современные стоимости постоянных рент постнумерандо по возрастанию:(1; ) (1; ) (1;1) ( ; ) ( ; ) ( ;1).A A m A A p A p m A p
1
1 11
(1, ) , (1, ) ,1
1 1
1 (1 ) 1(1,1) , ( , ) ,
1
1 11 (1 )
( , ) , ( ,1) .
(1 ) 11 1
mn
n
m
n n
p
mn
n
m
p p
ie m
A R A m Re i
m
i R eA R A p
i pe
iR R im
A p m A pp pi i
m
Автор: доцент, к.ф.-м.н. В.А.Ларионова 41
Спасибо за внимание