Введение в динамическую эпистемическую логику-2
TRANSCRIPT
Введение в динамическуюэпистемическую логику-2
НУГ "Формальная философия",проект "Динамический поворот в логической
семантике"(15-05-0005)
Виталий ДолгоруковШкола философии
ПовторениеФормы группового знания
Формулы и модели
Построить модель для следующих формул (или доказать,что это невозможно)(1) ¬Kaϕ ∧Kbϕ(2) ¬Kaϕ ∧ ϕ(3) Kaϕ ∧ ¬ϕ(4) K̂aϕ ∧ ¬ϕ(5) Kaϕ ∧ (ϕ→ ψ) ∧ ¬Kaψ(6) Kaϕ ∧Ka(ϕ→ ψ) ∧ ¬Kaψ(7) K̂aϕ ∧ K̂a¬ϕ(8) KaKbϕ ∧ ¬Kaϕ(9) KaKbϕ ∧ ¬KbKaϕ(10) KbKaϕ ∧KaKbϕ ∧ ¬KaKbKaϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Формулы и модели
Они не знают, что мы знаем, что они знают, что мызнаем
¬KbKaKbKaϕK̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Формулы и модели
Они не знают, что мы знаем, что они знают, что мызнаем¬KbKaKbKaϕ
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Формулы и модели
Они не знают, что мы знаем, что они знают, что мызнаем¬KbKaKbKaϕK̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
w1 : ϕ
w2 : ϕ
b
w3 : ϕ
a
w4 : ϕ
b
w5 : ϕ
a
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
w1 : ϕ
w2 : ϕ
b
w3 : ϕ
a
w4 : ϕ
b
w5 : ϕ
a
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
w1 : ϕ
w2 : ϕ
b
w3 : ϕ
a
w4 : ϕ
b
w5 : ϕ
a
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
w1 : ϕ
w2 : ϕ
b
w3 : ϕ
a
w4 : ϕ
b
w5 : ϕ
a
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
w1 : ϕ
w2 : ϕ
b
w3 : ϕ
a
w4 : ϕ
b
w5 : ϕ
a
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
w1 : ϕ
w2 : ϕ
b
w3 : ϕ
a
w4 : ϕ
b
w5 : ϕ
a
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
w1 : ϕ
w2 : ϕ
b
w3 : ϕ
a
w4 : ϕ
b
w5 : ϕ
a
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
w1 : ϕ
w2 : ϕ
b
w3 : ϕ
a
w4 : ϕ
b
w5 : ϕ
a
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
K̂bK̂aK̂bK̂a¬ϕ
w1 : ϕ
w2 : ϕ
b
w3 : ϕ
a
w4 : ϕ
b
w5 : ϕ
a
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Групповое знание
Итерация знания
Kni ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸
n
ϕ
Пример:K3
aϕ = KaKaKaϕДля любого i верно, что Kn
i ϕ = Kiϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Групповое знание
Итерация знанияKn
i ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸n
ϕ
Пример:K3
aϕ = KaKaKaϕДля любого i верно, что Kn
i ϕ = Kiϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Групповое знание
Итерация знанияKn
i ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸n
ϕ
Пример:
K3aϕ = KaKaKaϕ
Для любого i верно, что Kni ϕ = Kiϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Групповое знание
Итерация знанияKn
i ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸n
ϕ
Пример:K3
aϕ = KaKaKaϕ
Для любого i верно, что Kni ϕ = Kiϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Групповое знание
Итерация знанияKn
i ϕ� Ki...Ki︸ ︷︷ ︸n
ϕ
Пример:K3
aϕ = KaKaKaϕДля любого i верно, что Kn
i ϕ = Kiϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
EGϕ =∧i∈G
Kiϕ
Пример:E{a,b}ϕ = Kaϕ ∧Kbϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
EGϕ =∧i∈G
Kiϕ
Пример:E{a,b}ϕ = Kaϕ ∧Kbϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
EGϕ =∧i∈G
Kiϕ
Пример:
E{a,b}ϕ = Kaϕ ∧Kbϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
EGϕ =∧i∈G
Kiϕ
Пример:E{a,b}ϕ = Kaϕ ∧Kbϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
Что значит E2{a,b}ϕ ?
E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧
KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2
{a,b}
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
Что значит E2{a,b}ϕ ?
E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ
= E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2
{a,b}
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
Что значит E2{a,b}ϕ ?
E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ)
= KaKbϕ ∧KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2
{a,b}
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
Что значит E2{a,b}ϕ ?
E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧
KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ
= Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2
{a,b}
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
Что значит E2{a,b}ϕ ?
E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧
KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕ
Построить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2
{a,b}
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Все знают"
Что значит E2{a,b}ϕ ?
E2{a,b} = E{a,b}E{a,b}ϕ = E{a,b}(Kaϕ ∧Kbϕ) = KaKbϕ ∧
KbKaϕ ∧KaKaϕ ∧KbKbϕ = Kaϕ ∧Kbϕ ∧KaKbϕ ∧KbKaϕПостроить модель дляE{a,b} ∧ ¬E2
{a,b}
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
"Общее знание"
CGϕ�∞∧i=0
EnGϕ = ϕ ∧ EGϕ ∧ E2
Gϕ ∧ E3Gϕ...
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Дистрибутивное знание
Kaϕ ∧Kb(ϕ→ ψ)
D{a,b}ψ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Дистрибутивное знание
Kaϕ ∧Kb(ϕ→ ψ)D{a,b}ψ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Определения форм группового знания
Ri = {< wj , wk > |wj , wk ∈W}REG
=⋃i∈G
Ri
RDG=
⋂i∈G
Ri
RCG– R∗ рефлексивное транзитивное замыкание:
R ⊂ R∗∀x∀y∀z((xR∗y ∧ yR∗z)→ xR∗z)∀xxR∗x
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Определения форм группового знания
M,wi |= EGϕ е.т.е. ∀w′(wiREGw′ →M,w′ |= ϕ)
M,wi |= DGϕ е.т.е. ∀w′(wiRDGw′ →M,w′ |= ϕ)
M,wi |= CGϕ е.т.е. ∀w′(wiRCGw′ →M,w′ |= ϕ)
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Определения форм группового знания
M,wi |= EGϕ е.т.е. ∀w′(wiREGw′ →M,w′ |= ϕ)
M,wi |= DGϕ е.т.е. ∀w′(wiRDGw′ →M,w′ |= ϕ)
M,wi |= CGϕ е.т.е. ∀w′(wiRCGw′ →M,w′ |= ϕ)
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Определения форм группового знания
M,wi |= EGϕ е.т.е. ∀w′(wiREGw′ →M,w′ |= ϕ)
M,wi |= DGϕ е.т.е. ∀w′(wiRDGw′ →M,w′ |= ϕ)
M,wi |= CGϕ е.т.е. ∀w′(wiRCGw′ →M,w′ |= ϕ)
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Определения форм группового знания
M,wi |= EGϕ е.т.е. ∀w′(wiREGw′ →M,w′ |= ϕ)
M,wi |= DGϕ е.т.е. ∀w′(wiRDGw′ →M,w′ |= ϕ)
M,wi |= CGϕ е.т.е. ∀w′(wiRCGw′ →M,w′ |= ϕ)
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Некоторые свойства
CG(ϕ→ ψ)→ (CGϕ→ CGψ)
CGϕ→ (ϕ ∧ EGCGϕ)CG(ϕ→ EGϕ)→ (ϕ→ CGϕ)
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Некоторые свойства
CG(ϕ→ ψ)→ (CGϕ→ CGψ)CGϕ→ (ϕ ∧ EGCGϕ)
CG(ϕ→ EGϕ)→ (ϕ→ CGϕ)
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Некоторые свойства
CG(ϕ→ ψ)→ (CGϕ→ CGψ)CGϕ→ (ϕ ∧ EGCGϕ)CG(ϕ→ EGϕ)→ (ϕ→ CGϕ)
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Формулы и модели
(1) E{a,b,c}ϕ ∧ ¬KaKbϕ(2) E{a,b}ϕ ∧ ¬E{a,b}E{a,b}ϕ(3) D{a,b}ϕ ∧ ¬Kaϕ ∧ ¬Kbϕ(4) C{a,b}ϕ ∧ ¬Kcϕ(5) E2
{a,b}ϕ ∧ ¬C{a,b}ϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Иерархия форм группового знания
У нас есть следующие операторы:DG, Ki, CG, EG, ϕКак они связаны между собой? Что откуда следует?
CGϕ→ EGϕ→ Kiϕ→ DGϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику
ПовторениеФормы группового знания
Иерархия форм группового знания
У нас есть следующие операторы:DG, Ki, CG, EG, ϕКак они связаны между собой? Что откуда следует?CGϕ→ EGϕ→ Kiϕ→ DGϕ
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику