ТФРВС - весна 2014 - лекция 10

Лекция 10

Осуществимость решения задач на вычислительных системах

http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov/teaching/index.php?n=Site.DCSFT-spring2014

Пазников Алексей Александрович

к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных систем

Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики

Функция осуществимости решения задач на ВС со структурной избыточностью

2

Функция осуществимости:

𝐹 𝑡 = 𝑅(𝑡)Φ(𝑡)

где 𝑅(𝑡) – функция надёжности системы иливероятность безотказной работы ВС втечение времени 𝑡.

Φ(𝑡) – вероятность решения задачи на 𝑛работоспособных ЭМ за время 𝑡, т.е. Φ 𝑡 =𝑃 0 ≤ 𝜁 < 𝑡 , 𝜁 – случайная величина,являющаяся моментом решения задачи намножестве из 𝑛 исправных ЭМ.

(1)


3

В момент начала решения задачи: 𝑖 ∈ 𝐸𝑛𝑁 =

{𝑛, 𝑛 + 1,… ,𝑁} , т.е. в ВС может бытьисправно 𝑖 ЭМ.

Если во множестве из 𝑖 работоспособных ЭМможно выделить множество из 𝑛 < 𝑖, 𝑖 ∈ 𝐸𝑛

𝑁

связных машин, тогда это подмножествобудет подсистемой, способной выполнятьпрограмму из 𝑛 ветвей.

Функция Φ(𝑡) – вероятностный законрешения сложной задачи на любойсовокупности из 𝑛 работоспособных ЭМ.


4

Статистически установлено, что законраспределения времени решения простыхзадач на одной ЭМ являетсяэкспоненциальным. Поэтому

Φ 𝑡 = 1 − 𝑒−𝛽𝑛𝑡

где 𝛽𝑛 - интенсивность ( 1/𝛽𝑛 - среднеевремя) решения задач на 𝑛 машинах.Практически 𝛽𝑛 ≈ 𝑛𝛽1

(1)


5

Функция (1) позволяет судить о том, скакой вероятностью за время 𝑡 ≥ 0сложная задача, представленнаяпараллельной программой с 𝑛 ветвями,будет решена на неабсолютно надёжнойВС, в которой из 𝑁 машин (𝑁 − 𝑛) ЭМсоставляют структурную избыточность.


6

Поскольку 𝑅(𝑡) и Φ(𝑡) являютсясоответственно невозрастающей инеубывающей функциями, то существуеттакой момент 𝑡𝑚 , при котором 𝐹(𝑡)достигает максимума: 𝐹(𝑡𝑚) = max

𝑡𝐹(𝑡).

⇒ наиболее вероятно ожидать решениязадачи в момент 𝑡𝑚, после прохожденияэтого времени вероятность решениязадачи уменьшается и асимптотическистремится к нулю.


7

Функция 𝐹(𝑡) (1) – функция осуществимостирешения задачи на ВС со структурнойизбыточностью.

Решение сложной задачи осуществимо наВС, если для некоторого 𝑡 одновременноимеют место 𝐹 𝑡 ≥ 𝐹°, 𝑡 ≤ 𝑡°; 𝐹° и 𝑡° -пороги осуществимости параллельногорешения задачи и их значения выбираютэмпирически.


8

Методика расчёта 𝐹(𝑡) не отличается отрасчёта функции надёжности ВС, т.е. 𝑅(𝑡), исвязан с применением численных методов.

Для ВС, режим которой стационарен, вместо(1) достаточно использовать:

𝐹∗ 𝑡 = 𝑅∗ 𝑡 Φ(𝑡)

где 𝑅∗ 𝑡 рассчитывается по известнымформулам.

Функцию 𝐹∗ 𝑡 назовём функциейоперативной осуществимости решениязадачи на ВС со структурной избыточностью.


9

На практике при расчёте 𝐹∗(𝑡) достаточноучесть лишь оценку 𝑅∗(𝑡) снизу.

Но даже в этом случае расчёт являетсятрудоёмким.

Ниже рассчитаем показатели, позволяющиелегко оценить потенциальнуюосуществимость решения задачи на ВС.

Функция осуществимости на живучих ВС

10

Мат. ожидание 𝓃(𝑖, 𝑡) числа работоспособныхЭМ при условии, что в начальный моментисправно 𝑖 ∈ 𝐸0

𝑁 = {0,1,2, … , 𝑁} ЭМ, достаточноточно говорит об уровне потенциальнойпроизводительности ВС в любой момент 𝑡 > 0.

Тогда осуществимость решения задачи:

ℱ 𝑖, 𝑡 = 1 − exp −𝛽

0

𝑡

𝓃 𝑖, 𝜏 𝑑𝜏

где 𝛽 = 𝛽1 - интенсивность решения задачна 1 ЭМ.

(3)


11

(3) ⇒ функция ℱ 𝑡 является вероятностью того,что сложная задача, представленнаяадаптирующейся параллельной программой,будет решена за время 𝑡 на ВС, начавшейфункционировать в состоянии 𝑖 ∈ 𝐸0

𝑁.

Если ВС функционирует долго (стац. режим), товероятность решения задачи может бытьвыражена просто:

ℱ 𝑡 = 1 − exp(−𝛽𝓃𝑡)

Здесь 𝓃 = lim𝑡→∞

𝓃(𝑖, 𝑡)

(4)


12

Функции ℱ 𝑖, 𝑡 и ℱ 𝑡 позволяютпроанализировать процесс параллельногорешения задачи в переходном истационарном режимах.

Решение задачи осуществимо на промежутке[0, 𝑡) , если выполняются неравенстваℱ 𝑖, 𝑡 ≥ 𝐹°, 𝑡 ≤ 𝑡° для переходного режимаи ℱ 𝑡 ≥ 𝐹° , 𝑡 ≤ 𝑡° для стационарногорежима функционирования системы.

𝐹°, 𝑡° - пороги осуществимости решениясложной задачи.


13

Использовав полученные ранее результаты,можно найти, что

ℱ 𝑖, 𝑡 =

= 1 − exp

−𝛽𝑁𝜇

𝜆 + 𝜇𝑡 +

𝑖𝜆 − (𝑁 − 𝑖)𝜇

(𝜆 + 𝜇)21 − 𝑒−(𝜆+𝜇)𝑡

если 𝑖 ∈ 𝑁 −𝑚,𝑁 −𝑚 + 1,… ,𝑁 ,𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇

−𝛽𝑚𝜇

𝜆𝑡 +

𝑖𝜆 − 𝑚𝜇

𝜆21 − 𝑒−𝜆𝑡

если 𝑖 ∈ 0,1, … , 𝑁 −𝑚 − 1 , 𝑁𝜆 > 𝑚𝜇.

(5)


14

Расчёт значений ℱ(𝑖, 𝑡) проще, чем 𝐹(𝑡) (1).

Допустимо ещё одно упрощение. Для ВСхарактерен стационарный режим, в которыйсистема входит достаточно быстро.

Поэтому в ряде случаев можно ограничитьсяанализом стационарного режима работы. Тогдапосле элементарных преобразований:

ℱ 𝑡 = 1 − exp

−𝛽𝑁𝜇 𝜆 + 𝜇 −1,если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇;

−𝛽𝑚𝜇𝜆−1𝑡,в противном случае.

(6)

Анализ обслуживания потока задач на ВС

15

В потоке задачи различных рангов 𝑟, 1 ≤ 𝑟 ≤𝑁 , 𝑁 – количество ЭМ некоторой ВС,используемых для обслуживания

Упрощённая постановка:

Пусть на ВС поступает пуассоновский потокпростых задач с интенсивностью 𝛼 . Каждаязадача – последовательная и решается на ЭМ всреднем за время 1/𝛽.

Требуется рассчитать: мат. ожидания 𝒜(𝑡) иℬ(𝑡) количества задач, находящихся ссистеме, и количество ЭМ, занятыхрешением, в момент времени 𝑡.


16

Случай 1. Поток задач имеет слабуюинтенсивность и такую, что ∀𝑡 ≥ 0:

𝒜(𝑡) ≤ 𝓃(𝑖, 𝑡)

т.е. в системе всегда естьработоспособные и свободные машиныдля решения поступающих задач. Из (7)видно, что 𝒜 𝑡 = ℬ(𝑡).

(7)


17

Мат. ожидание количества задач в системе вмомент 𝑡 + ∆𝑡:

𝒜 𝑡 + ∆𝑡 = 𝒜 𝑡 + 𝛼∆𝑡 −𝒜 𝑡 𝛽∆𝑡

Преобразования приводят к следующемудифференциальному уравнению:

𝑑

𝑑𝑡𝒜 𝑡 = 𝛼 − 𝛽𝒜 𝑡

Неравенство (7) устанавливают областьдопустимых значений для 𝒜 𝑡 при 𝑡 = 0:

𝒜 𝑡 = 𝑗; 𝑗 ∈ 0,1, … , 𝑖 = 𝐸0𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐸0

𝑁

(8)

(9)

(10)


18

Применяя преобразования Лапласа-Карсона,вместо (9) получаем

𝑝 𝒜 𝑝 − 𝒜 0 = 𝛼 − 𝛽 𝒜(𝑝)

где 𝑝 – комплексный параметр, 𝒜(𝑝) –изображение функции 𝒜 𝑡 . Из последнего сучётом (10) следует

𝒜 𝑝 = (𝑗𝑝 + 𝛼)/(𝑝 + 𝛽)

Используя формулу обращенияпреобразования Лапласа-Карсона

𝑗𝑝 + 𝛼

𝑝 + 𝛽~𝛼

𝛽+𝑗𝛽 − 𝛼

𝛽𝑒−𝛽𝑡


19

находим решение (9) при начальныхусловиях (10):

𝒜 𝑡 =𝛼

𝛽+ 𝑗 −

𝛼

𝛽𝑒−𝛽𝑡

Подстановка t=0 в (11) и самой функции𝒜 𝑡 в (9) убеждает в том, что (11)удовлетворяет начальному условию (10) иуравнению (9).

(11)


20

В стационарном режиме среднееколичество задач, находящихся в ВС, независит от начального условия:

𝒜 = lim𝑡→∞

𝒜(𝑡) = 𝛼/𝛽

Вместо (7) выведем простое условие. Дляэтого учтём, что (7) должно выполнятьсяна всём промежутке [0,∞)

lim𝑡→∞

𝒜(𝑡) ≤ lim𝑡→∞

𝓃 𝑖, 𝑡 , 𝒜 ≤ 𝓃

(12)


21

Следовательно, потока поступающих на ВСзадач считается слабоинтенсивным, есливыполняются неравенства:

𝛼

𝛽≤

𝑁𝜇(𝜆 + 𝜇)−1 при 𝑁𝜆 ≤ 𝑚 𝜆 + 𝜇 ;

𝑚𝜇𝜆−1 в противном случае.

Если учесть, что для современных ЭВМ𝜆 ≪ 𝜇, то (13) принимает вид:

𝛼 ≤ 𝑁𝛽 при 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇;

𝑚𝜇𝛽𝜆−1 при 𝑁𝜆 > 𝑚𝜇.

(13)

(14)


22

Т.о. (13), (14) указывают на условия,при которых справедлива формула(11) для расчёта мат. ожиданияколичества задач, находящихся в ВСв момент времени 𝑡.


23

Случай 2. Поток поступающих на ВС задач -сильноинтенсивный и имеет место неравенство

𝒜 𝑡 > 𝓃(𝑖, 𝑡)

Следовательно, имеется очередь задач наобслуживание. Тогда ℬ 𝑡 = 𝓃(𝑖, 𝑡) и справедливыформулы:

𝒜 𝑡 + ∆𝑡 = 𝒜 𝑡 + 𝛼∆𝑡 + 𝓃 𝑖, 𝑡 𝜆Δ𝑡 − 𝓃 𝑖, 𝑡 𝛽Δ𝑡

𝑑

𝑑𝑡𝒜 𝑡 = 𝛼 + (𝜆 − 𝛽)𝓃 𝑖, 𝑡

𝒜 0 = 𝑗, 𝑗 ∈ 𝑖 + 1, 𝑖 + 2,… = 𝐸𝑖+1∞

(15)


24

Действуя аналогичным образом, получаемформулу для мат. ожидания количества задач,находящихся в ВС в момент t приневыполнении неравенства (7):

𝒜 𝑡 = 𝑗 +𝑖(𝜆 − 𝛽)

𝑥−𝑦𝜇(𝜆 − 𝛽)

𝑥2+

+ 𝛼 +𝑦𝜇(𝜆 − 𝛽)

𝑥𝑡

−𝑖(𝜆 − 𝛽)

𝑥−𝑦𝜇(𝜆 − 𝛽)

𝑥2𝑒−𝑥𝑡

(17)

(18)


25

где

𝑥 = 𝜆 + 𝜇, если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚 𝜆 + 𝜇 ,

𝜆, если 𝑁𝜆 > 𝑚 𝜆 + 𝜇 ;

𝑦 = 𝑁, если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚 𝜆 + 𝜇 ,

𝑚, если 𝑁𝜆 > 𝑚 𝜆 + 𝜇 ;

Выражения (16)-(18) характеризуют процессобслуживания сильноинтенсивного потоказадач независимо от режима её работы.

(17)

(18)


26

Условие роста очереди нерешённых задач:

𝛼 > 𝑁 𝛽 − 𝜆 , если 𝑁𝜆 ≤ 𝑚𝜇;

𝑚𝜇 𝛽 − 𝜆 𝜆−1, если 𝑁𝜆 > 𝑚𝜇.

Из (19) следует, что показатель 𝒜 𝑡 следуетрассчитывать по формулам (16)-(18), еслиинтенсивность потока задач выше суммарнойинтенсивности их решения всеми ЭМ ВС.

Случай 1 практически наиболее важен.

(19)


27

1. Показатели осуществимости решения задачустанавливают взаимосвязь междуколичественными характеристикаминадёжности или живучести ВС ивероятностными параметрами поступающихзадач.

2. Моделирование показало, что до 10 чустанавливается стационарный режим.

3. Континуальный подход являетсяэффективными при анализеосуществимости.

Хаи

м С

ути

н

ТФРВС - весна 2014 - лекция 10

Education