ФПНЗЕ 1 ВИЩА ТА ПРИКЛАДНА...

1

МІНІСТЕРСТВО СОЦІАЛЬНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПІДГОТОВКИ КАДРІВ

ДЕРЖАВНОЇ СЛУЖБИ ЗАЙНЯТОСТІ УКРАЇНИ

Кафедра теоретичної та прикладної економіки

“ЗАТВЕРДЖУЮ”

Ректор ______________Могильний О.М.

“____” ____________________2013 р.

Робоча програма навчальної дисципліни

ФПНЗЕ 1. ВИЩА ТА ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

ПІДГОТОВКИ БАКАЛАВРІВ

ГАЛУЗІ ЗНАНЬ 0306 «МЕНЕДЖМЕНТ І АДМІНІСТРУВАННЯ»

НАПРЯМ ПІДГОТОВКИ 6.030601 «МЕНЕДЖМЕНТ»

Київ 2013

2

Робоча програма навчальної дисципліни «Вища та прикладна математика» для

студентів напряму підготовки 6.030601 «Менеджмент»

Розробник програми кандидат фізико-математичних наук, доцент Савчук М.В.

Робоча програма навчальної дисципліни «Вища та прикладна математика»

укладена у відповідності до Галузевого стандарту вищої освіти Освітньо-

професійної програми та Освітньо-кваліфікаційної характеристики з напряму

підготовки 6.030601 «Менеджмент» та «Програм нормативних навчальних

дисциплін і практик підготовки бакалавра галузі знань 0306 «Менеджмент і

адміністрування» напряму 6.030601 «Менеджмент», схвалених на засіданнях

президії НМК з менеджменту і адміністрування 22.04.2009 р., протокол № 22 із

доповненнями та змінами від 18.05.2010 р., протокол № 24 та 09.11.2011 р.,

протокол № 26.

Рецензенти:

Яковлев Г.Л., кандидат технічних наук, доцент кафедри менеджменту Інституту

підготовки кадрів державної служби зайнятості України

Шидліч А.Л., кандидат фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник Інституту математики НАН України

Робоча програма затверджена на засіданні кафедри теоретичної та прикладної

економіки

Протокол № __, від __.__.20__ р.

Завідувач кафедри теоретичної та прикладної економіки

(підпис)

Схвалено Вченою Радою Інституту підготовки кадрів державної служби

зайнятості України, протокол № __ від ___________ 2013 р.

«Погоджено»

Завідувач навчально-методичного Завідувач навчального

відділу відділу

_______________ М. Руженський _______________В. Куляша

© Савчук М.В., 2013

©Інститут підготовки кадрів

державної служби зайнятості України

(ІПК ДСЗУ), 2013

3

1. Опис навчальної дисципліни

Найменування показників Галузь знань, напрям

підготовки, освітньо-

кваліфікаційний рівень

Характеристика навчальної

дисципліни

денна форма

навчання

заочна форма

навчання

Кількість кредитів - 6 Галузь знань

0306 Менеджмент і

адміністрування

Нормативна

Модулів – 4 Напрям підготовки

6.030601 Менеджмент

Рік підготовки

Змістових модулів – 11 1-й

Індивідуальне науково-

дослідне завдання

(контрольна робота)

Семестр

Загальна кількість годин –

216

1-й, 2-й

Лекції

Тижневих годин для

заочної форми навчання:

аудиторних -

самостійної роботи

студента –

Освітньо-кваліфікаційний

рівень: бакалавр

12 год.

Практичні, семінарські

12 год.

Лабораторні

-

Самостійна робота

152 год.

Індивідуальні завдання:

(контрольна робота) – 40 год.

Вид контролю: залік, іспит

Співвідношення кількості годин аудиторних занять до самостійної та

індивідуальної роботи становить:

для денної форми навчання –

для заочної форми навчання – 12 %

4

2. Мета та завдання навчальної дисципліни.

Метою вивчення дисципліни є формування у студентів базових

математичних знань для вирішення завдань у професійній діяльності, вмінь

аналітичного мислення та математичного формулювання економічних задач, що

виникають у процесі управління.

Основні завдання вивчення дисципліни:

- набуття студентами знань з основних розділів вищої математики;

- виконання дій над векторами, матрицями, обчислення визначників;

- розв'язування систем лінійних рівнянь;

- дослідження форм і властивостей прямих та площин, кривих і поверхонь

другого порядку;

- знаходження границі ступенево-показникових функцій;

- дослідження функції за допомогою диференціального числення;

- обчислення інтегралів;

- дослідження числових та ступеневих рядів;

- розв'язування диференціальних рівнянь першого та вищих порядків;

- знання основних понять теорії ймовірностей та математичної

статистики;

- формування уміння виконувати якісний і кількісний математичний

аналіз випадкових подій, випадкових величин та систем таких величин;

- здійснення математичної обробки статистичних даних, отриманих

внаслідок проведеного власного дослідження;

- ознайомлення з типовими оптимізаційними задачами, які виникають при

управлінні економічними та виробничими системами;

- вміння грамотно формулювати математичну постановку загальної задачі

математичного програмування, а також транспортної задачі, задач

цілочислового та динамічного програмування;

- вміння розв’язувати задачі математичного програмування;

- вміння використовувати комп’ютер для розв’язування оптимізаційних

задач (додаток MS Excel).

У результаті вивчення навчальної дисципліни студенти набувають таких

компетентностей:

Загальні вміння (компетентності):

Інструментальні компетентності: - здатність до формування світогляду, розвитку людського буття,

суспільства і природи, духовної культури;

- здатність до саморегуляції та здорового способу життя;

- здатність творчо мислити, вміння доводити та відстоювати власну думку;

- усне спілкування рідною мовою у процесі дискусії;

- знання другої мови при оволодінні іншомовними джерелами;

5

- елементарні комп’ютерні навички (використання мережі Інтернет для

опанування рекомендованих електронних джерел, робота у Microsoft Office

PowerPoint при підготовці доповіді з презентацією);

- уміння знаходити та аналізувати інформацію з різних джерел.

Міжособистісні компетентності:

- уміння працювати у команді;

- здатність до критики та самокритики під час дискусії;

- уміння донести до фахівців і нефахівців інформації, ідей, проблем, рішень

та власного досвіду в галузі професійної діяльності;

- навики та уміння формування міжособистісних стосунків у колективі при

відстоюванні власної позиції під час дискусії;

- етичні зобов’язання при опануванні до виступів доповідачів;

- розуміння традицій і звичаїв інших культур, уміння проявляти толерантне

ставлення;

- уміння критично оцінювати явища, ситуації, діяльність осіб, спираючись

на отриманні знання.

Системні компетентності:

- здатність застосовувати знання на практиці;

- здатність до навчання;

- уміння критично мислити і генерувати креативні ідеї та вирішувати

важливі проблеми на інноваційній основі;

- здатність працювати самостійно при опрацюванні джерел, підготовці

доповіді з презентацією, підготовці альтернативних підходів до висвітлення

теми дискусії;

- бажання досягти успіху при обговоренні тем доповідей з презентацією;

- знання й уміння забезпечувати якісне виконання завдань професійної

діяльності на основі інструкцій, методичних рекомендацій, встановлення

норм, нормативів, технічних умов тощо;

- здатність до формування культури мислення, її сприйняття;

- здатність адаптуватися до нових ситуацій у професійній діяльності;

- здатність нести соціальну відповідальність за діяльність організації.

Спеціальні (фахові) вміння (компетентності)

- знати та вміти грамотно формулювати означення основних

математичних понять;

- знати та вміти грамотно формулювати теореми, які виражають ті чи інші

властивості;

- вміти застосовувати вивчені теореми та формули для розв’язання задач з

лінійної алгебри, векторної алгебри та аналітичної геометрії,

диференціального числення, інтегрального числення, для дослідження рядів

6

на збіжність та розв’язування звичайних диференціальних рівнянь;

- вміти здійснювати дослідження функцій та будувати їх графіки.

- володіти основними поняттями математичної статистики та базовими

знаннями з основ застосування математико-статистичного апарату для

розв’язання практичних задач.

- вміти виконувати якісний і кількісний математичний аналіз випадкових

подій.

- знати та вміти грамотно формулювати означення основних понять теорії

ймовірностей та математичної статистики;

- уміння виконувати якісний і кількісний математичний аналіз випадкових

подій, випадкових величин та систем таких величин;

- вміти здійснювати математичну обробку статистичних даних, отриманих

внаслідок проведеного власного дослідження;

- знати типові оптимізаційні задачі, які виникають при управлінні

економічними та виробничими системами;

- знати та вміти грамотно формулювати математичну постановку загальної

задачі математичного програмування, а також транспортної задачі, задач

цілочислового та динамічного програмування;

- вміти розв’язувати задачі математичного програмування;

- вміти використовувати комп’ютер для розв’язування оптимізаційних задач

(додаток MS Excel).

7

3. Програма навчальної дисципліни

Змістовий модуль I. Лінійна алгебра

Тема 1. Матриці

Поняття матриці. Види матриць. Елементарні перетворення матриць. Ранг

матриці. Додавання матриць і множення матриці на число. Добуток матриць.

Тема 2. Визначники Поняття визначника. Визначники другого і третього порядків. Визначник

n-го порядку. Властивості визначників. Мінори і алгебраїчні доповнення.

Розкладання визначника за елементами рядка або стовпця. Способи обчислення

визначників. Обернена матриця.

Тема 3. Система лінійних рівнянь n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність векторів. Лінійна

комбінація векторів. Ранг системи векторів. Поняття системи лінійних рівнянь.

Сумісність та несумісність системи лінійних рівнянь. Однорідні та неоднорідні

системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків, загальний

розв’язок однорідної та неоднорідної системи лінійних рівнянь. Метод Гаусса

послідовного виключення змінних. Правило Крамера. Матрична форма системи

лінійних рівнянь. Розв’язування системи лінійних рівнянь матричним методом.

Тема 4. Жорданові виключення

Звичайні та модифіковані жорданові виключення. Розв'язування системи

лінійних рівнянь за допомогою жорданових виключень для аналізу

міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва).

Змістовий модуль II. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Тема 5. Вектори

Декартові координати вектора і точки. Приклади економічних задач,

пов'язаних із використанням векторної алгебри та аналітичної геометрії.

Координати на прямій. Координати на площині. Координати у просторі. Лінійні

операції над векторами. Координати точки поділу відрізка. Координати вектора.

Ознака колінеарності двох векторів. Ознака компланарності трьох векторів.

Скалярний добуток векторів і його властивості. Векторний добуток векторів і

його властивості. Мішаний добуток і його властивості.

Тема 6. Пряма на площині Загальне рівняння прямої. Рівняння прямої у відрізках на осях.

Параметричне і канонічне рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через

дві задані точки. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кут між двома

прямими. Умови перпендикулярності і паралельності двох прямих. Нормальне

рівняння прямої.

8

Тема 7. Пряма та площина у просторі Рівняння прямої в просторі. Відстань від точки до прямої. Відстань між

прямими. Взаємне розміщення двох прямих. Взаємне розміщення прямої і

площини.

Загальне рівняння площини. Відстань від точки до площини. Взаємне

розміщення двох площин.

Тема 8. Лінії другого порядку Еліпс. Дослідження форми еліпса. Гіпербола. Асимптоти гіперболи.

Дослідження форми гіперболи. Парабола. Дослідження форми параболи.

Ексцентриситет лінії другого порядку. Директриси ліній другого порядку.

Змістовий модуль III. Вступ до математичного аналізу

Тема 9. Функція Поняття функції. Способи задання функції. Графік функції. Класифікація

функцій: обмежені, монотонні, періодичні, парні та непарні. Поняття складеної

функції. Поняття оберненої функції. Основні елементарні функції та їх графіки.

Поняття границі функції. Критерій існування границі. Властивості границь.

Границя монотонної функції. Перша чудова границя. Функції обмеженої

варіації. Нескінченно малі функції. Нескінченна границя і нескінченно великі

функції.

Поняття числової послідовності. Обмежені та необмежені послідовності.

Границя числової послідовності. Збіжні та розбіжні послідовності. Поняття

підпослідовності. Властивості границь. Монотонна послідовність. Число e .

Поняття часткової границі послідовності. Нижня і верхня границі послідовності.

Критерій Коші збіжності послідовності.

Поняття неперервної функції. Критерій неперервності. Арифметичні дії над

неперервними функціями. Неперервність раціональних і тригонометричних

функцій. Неперервність складеної функції. Одностороння неперервність. Точки

розриву функції та їх класифікація. Властивості функцій, неперервних на

відрізку. Неперервність оберненої функції. Загальна степенева, показникова і

логарифмічна функції та їх неперервність. Друга чудова границя.

Змістовий модуль IV. Диференціальне числення

функції однієї змінної

Тема 10. Похідна функції однієї змінної

Застосування похідної в економічних розрахунках. Граничні показники в

мікроекономіці. Максимізація прибутку і маргінальний аналіз. Оптимізація

оподаткування підприємств.

Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної, її

геометричний, механічний та економічний зміст. Похідна складеної функції.

Похідна оберненої функції. Похідні елементарних функцій. Односторонні та

9

нескінченні похідні. Похідні вищих порядків. Похідна неявної функції. Похідна

функції, заданої параметрично.

Тема 11. Диференціал функції однієї змінної

Поняття диференціала функції. Геометричний зміст диференціала.

Інваріантність форми диференціала. Основні формули та правила

диференціювання. Наближені обчислення за допомогою диференціалів.

Диференціали вищих порядків. Диференціювання функцій, заданих

параметрично. Основні теореми диференціального числення. Теорема Ферма,

Ролля, Лагранжа, Коші. Формула Тейлора.

Тема 12. Дослідження функції за допомогою похідних Умова сталості функції. Умови монотонності функції. Максимум і

мінімум функції. Необхідні та достатні умови екстремуму функції. Опуклість та

увігнутість графіка функції, точки перегину, асимптоти графіка функції. Загальна

схема побудови графіка функції.

Змістовий модуль V. Функції багатьох змінних

Тема 13. Функції багатьох змінних

Функції багатьох змінних у задачах економіки (функція корисності,

функція витрат, багатофакторна виробнича функція Кобба-Дугласа). Деякі задачі

оптимізації (оптимальний прибуток від виробництва товарів різних видів; задача

цінової дискримінації, оптимальний розподіл ресурсів; оптимізація вибору

споживача). Функції двох змінних, область їх визначення. Графічне зображення

функції двох змінних. Частинний і повний приріст функції двох змінних.

Частинні похідні. Повний диференціал. Похідні вищих порядків. Диференціали

вищих порядків.

Тема 14. Екстремум функції багатьох змінних

Необхідні умови екстремуму функції багатьох змінних. Достатні умови

екстремуму функції багатьох змінних. Умови відсутності екстремуму. Поняття про

умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів.

Змістовий модуль VI. Інтегральне числення функції однієї змінної

Тема 15. Невизначений інтеграл

Поняття первісної функції і невизначеного інтегралу. Застосування

інтегралів у задачах економіки. Знаходження обсягу виробничої продукції;

надлишок споживача, аналіз нерівномірності у розподілі доходів серед

населення за допомогою кривої Лоренца. Геометричний і механічний зміст

інтегралу. Таблиця основних інтегралів. Основні методи інтегрування функцій.

Метод розкладу. Метод заміни змінної. Метод інтегрування частинами.

Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування ірраціональних функцій.

Інтегрування тригонометричних функцій.

10

Тема 16. Визначений інтеграл

Площа криволінійної трапеції. Поняття визначеного інтеграла та необхідна

умова його існування. Суми Дарбу та їх властивості. Теорема Дарбу. Критерій

інтегровності функції за Ріманом. Класи інтегровних функцій. Властивості

визначеного інтеграла. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею

інтегрування. Існування первісної. Формула Ньютона-Лейбніца. Формули

заміни змінної та інтегрування частинами для визначеного інтеграла.

Застосування визначеного інтеграла. Площа криволінійної трапеції та

криволінійного сектора. Об’єм тіла обертання. Спрямлювані шляхи. Площа

поверхні обертання. Центр ваги.

Поняття невласного інтеграла. Невласні інтеграли з нескінченними

проміжками інтегрування. Невласні інтеграли від необмежених функцій.

Змістовий модуль VII. Ряди

Тема 17. Числові ряди Поняття ряду та його збіжність. Числовий ряд. Члени ряду. Сума ряду.

Геометрична прогресія та гармонійний ряд. Найпростіші властивості збіжних

рядів. Необхідна ознака збіжності ряду. Достатні ознаки збіжності додатних

рядів. Ознака Д’Аламбера. Знакозмінні ряди. Критерій Коші збіжності ряду.

Абсолютно та умовно збіжні ряди та їх властивості.

Тема 18. Функціональні ряди Поняття функціонального ряду. Збіжність та рівномірна збіжність

функціональних рядів. Ознака Вейєрштрасса. Властивості рівномірно збіжних

функціональних рядів та послідовностей. Поняття степеневого ряду. Інтервал та

радіус збіжності степеневого ряду. Ряд Тейлора. Розкладання елементарних

функцій у степеневі ряди. Наближені обчислення за допомогою рядів.

Змістовий модуль VIII. Диференціальні

рівняння

Тема 19. Диференціальні рівняння першого порядку Поняття диференціального рівняння і його розв'язків. Застосування

диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки. Модель зростання для

постійного темпу приросту; модель зростання в умовах конкуренції; динамічна

модель Кейнса; неокласична модель зростання; модель ринку з прогнозованими

цінами. Диференціальні рівняння першого порядку. Загальний розв'язок і

загальний інтеграл диференціального рівняння першого порядку. Початкові

умови. Частинний розв'язок диференціального рівняння першого порядку з

відокремлюваними змінними. Однорідні рівняння першого порядку. Лінійні

диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння Бернуллі.

11

Тема 20. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими

коефіцієнтами Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Однорідні і неоднорідні диференціальні рівняння. Поняття лінійно-незалежних

розв'язків однорідного диференціального рівняння другого порядку. Загальний

розв'язок лінійного однорідного рівняння другого порядку. Початкові умови.

Структура загального розв'язку неоднорідного диференціального рівняння

другого порядку.

Змістовий модуль IX. Теорія ймовірностей та математична статистика

Тема 21. Основні поняття теорії ймовірностей Предмет теорії ймовірностей. Математична модель стохастичних

експериментів. Алгебра випадкових подій. Аксіоматичний підхід до побудови

ймовірнісного простору стохастичного експерименту. Ймовірності на

дискретному просторі елементарних подій. Теореми суми для несумісних і

сумісних подій. Правило включення та виключення.

Тема 22. Класичне означення ймовірності та елементи комбінаторного

аналізу. Статистичне та геометричне означення ймовірності Класичне означення ймовірності. Основні поняття комбінаторного аналізу:

перестановки, розміщення, сполучення. Геометричне означення ймовірності.

Статистичне означення ймовірності та її властивості.

Тема 23. Умовна ймовірність та поняття про незалежність подій.

Формули повної ймовірності та формули Байєса Умовна ймовірність та теорема добутку для залежних подій. Поняття

попарної незалежності випадкових подій. Незалежність у сукупності. Повна

група подій. Формула повної ймовірності та формули Байєса.

Тема 24. Модель повторних випробувань схеми Бернуллі. Теореми Муавра-

Лапласа та Пуассона як дослідження асимптотичної поведінки біноміального

розподілу Повторні незалежні випробування. Схема Бернуллі. Розподіл числа

успіхів у серіях незалежних стохастичних експериментів. Біноміальний

розподіл. Найвірогідніше число успіхів та його ймовірність. Наближені методи

обчислення біноміальних ймовірностей та їх точність. Локальна теорема Муавра-

Лапласа. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Теорема Бернуллі для оцінки

дійсної ймовірності через статистичну частоту. Теорема Пуассона.

Тема 25. Дискретні випадкові величини, їх закони розподілу та

числові характеристики Поняття випадкових величин та їх класифікація. Закон розподілу

дискретної випадкової величини. Числові характеристики розподілу:

12

математичне очікування, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, початкові

та центральні моменти. Числові характеристики середнього арифметичного,

сукупності випадкових величин. Властивості числових характеристик. Основні

закони дискретних розподілів та їх числові характеристики: вироджений,

гіпергеометричний розподіл, від'ємний біноміальний розподіл, розподіл

Бернуллі та його перетворення, розподіл Пуассона, геометричний розподіл.

Приклади застосування стандартних розподілів у типових задачах на практиці.

Тема 26. Неперервні та абсолютно неперервні випадкові величини.

Функція та щільність розподілу ймовірностей.

Числові характеристики Поняття неперервних випадкових величин. Функція розподілу

ймовірностей випадкової величини та її властивості. Абсолютно неперервні

випадкові величини. Щільність розподілу та її властивості. Щільність

розподілу функцій від абсолютно неперервних випадкових величин. Теорема

згортки. Числові характеристики абсолютно неперервних випадкових величин та

їх властивості.

Тема 27. Рівномірний, показниковий та нормальний закони розподілів

імовірностей. Перетворення послідовностей нормально розподілених

випадкових величин Рівномірний закон розподілу ймовірностей та його числові характеристики.

Показниковий закон розподілу. Перетворення послідовностей незалежних

випадкових величин. Гамма-розподіл. Нормальний закон розподілу ймовір-

ностей та його стандартне представлення. Розподіли Χ2 (Хі-квадрат), Стьюдента

та Фішера, їх зв'язок зі стандартним нормальним розподілом.

Тема 28. Випадкові вектори та закони їх розподілів: сумісні, маргінальні,

умовні. Системи незалежних випадкових величин. Умовні та маргінальні

числові характеристики Випадкові вектори та сумісний закон розподілу ймовірностей, його

компонент. Властивості функції сумісного розподілу, компонент двовимірного

вектора. Маргінальні функції розподілу компонент випадкового вектора.

Дискретні випадкові вектори. Маргінальні розподіли ймовірностей компонент

випадкового вектора. Абсолютно неперервні розподіли. Щільність сумісного

розподілу та її властивості. Маргінальні щільності розподілу компонент

випадкового вектора. Умовні закони розподілу ймовірностей випадкового

вектора. Характеристика сукупності незалежних випадкових величин. Числові

характеристики сумісних розподілів систем випадкових величин: маргінальні та

умовні. Коваріація і коефіцієнт кореляції двовимірного випадкового вектора.

13

Тема 29. Закони великих чисел та центральна гранична теорема Збіжність послідовностей випадкових величин за ймовірністю.

Нерівності Маркова та Чебишева. Закони великих чисел та умови їх виконання.

Оцінювання відхилень статистичних частот за законом великих чисел

Бернуллі. Слабка збіжність чи збіжність за розподілом. Центральна

гранична теорема. Теорема Ляпунова для послідовностей незалежних

однаково розподілених випадкових величин. Поняття про метод Монте-Карло.

Тема 30. Основні поняття математичної статистики:

вибіркові спостереження та вибіркові оцінки

Основні положення вибіркового методу. Вибірковий розподіл. Емпірична

функція розподілу та гістограма. Вибіркові моменти. Статистичні оцінки та їх

властивості. Властивості емпіричної функції розподілу. Властивості вибіркових

моментів. Груповані дані вибіркових спостережень.

Тема 31. Методи параметричного та непараметричного оцінювання

параметрів

Точкові оцінки параметричної сукупності розподілів. Методи знаходження

оцінок: метод моментів і максимальної вірогідності. Порівняння точкових

оцінок. Інтервальні оцінки. Загальний алгоритм побудови довірчих границь

певного рівня значущості для точкових оцінок. Інтервальні оцінки для нормальної

статистичної моделі.

Тема 32. Методи перевірки статистичних гіпотез Загальний алгоритм перевірки статистичних гіпотез. Типи помилок при

перевірці гіпотез і потужність критерію. Критерії узгодженості: критерій

Колмогорова-Смірнова та Пірсона. Перевірка гіпотез про однорідність та

незалежність. Критерії Стьюдента щодо перевірки гіпотез про значення

середніх для нормальної статистичної моделі у випадку рівних (нерівних)

дисперсій. Критерій Χ2 (Хі-квадрат) про єдину дисперсію для нормальної

статистичної моделі. Критерій Фішера про рівність (нерівність) двох дисперсій

для нормальної статистичної моделі. Перетворення Фішера для перевірки гіпотез

про взаємну незалежність.

Змістовий модуль X. Математичне програмування

Тема 33. Предмет математичного програмування

Загальна постановка оптимізаційної задачі, її структура: цільова функція,

обмеження як спосіб опису множини допустимих планів. Приклади задач

математичного програмування в економіці, менеджменті. Означення розв'язку

цільової функції, точка екстремуму; проблема його пошуку. Геометрична

ілюстрація простих оптимізаційних задач з однією та двома змінними.

14

Тема 34. Лінійне програмування Загальна постановка задач. Економічні приклади моделей лінійного

програмування (задача про призначення, задача оптимального використання

сировини, задача оптимізації виробничої програми, матричне планування).

Геометричний метод розв'язування задач лінійного програмування з двома

змінними; ілюстрація можливих випадків, які трапляються під час розв'язування

задачі. Задача лінійного програмування, форми її запису. Правила переходу від

загальної задачі лінійного програмування до канонічної та стандартної.

Дослідження задачі лінійного програмування: поняття опорного плану, теореми

про існування опорного плану, оптимального опорного плану.

Теоретичні основи симплекс-методу розв'язування задачі лінійного

програмування: поняття базису, допустимого базису; взаємозв'язок між

базисами та опорними планами; ознаки оптимальності або необмеженості

цільової функції на множині допустимих планів; правило оптимізації

неоптимального допустимого базису.

Алгоритм симплекс-методу та його реалізація за допомогою симплекс-

таблиць. Поняття про модифікований алгоритм симплекс-методу. Розв'язування

задач лінійного програмування на ПЕОМ.

Тема 35. Двоїстість у лінійному програмуванні Теорія двоїстості для випадку симетричної пари взаємо двоїстих задач:

означення прямої задачі та двоїстої до неї у симетричному випадку,

взаємозв'язок між ними; співвідношення між допустимими значеннями цільових

функцій прямої та двоїстої задач. Перша та друга теореми двоїстості.

Знаходження розв'язку однієї з пар симетричних взаємно двоїстих задач за

відомим розв'язком іншої задачі. Економічна інтерпретація теорем двоїстості.

Теорія двоїстості для випадків, коли вихідною є загальна задача лінійного

програмування або канонічна задача. Поняття про двоїстий симплекс-метод.

Тема 36. Методика розв'язування транспортної задачі Постановка транспортної задачі, умова існування її розв'язку. Пошук

оптимального плану перевезень за методом потенціалів. Розв'язування

транспортної задачі на ПЕОМ.

Тема 37. Цілочислове програмування Сутність та класифікація задач цілочислового програмування (кадрова

задача, задачі про інвестиції, розподіл обладнання), математична постановка

задач цілочислового (дискретного) програмування. Метод відтинань, метод

Гоморрі.

15

Змістовий модуль XI. Дослідження операцій

Тема 38. Предмет та задачі дослідження операцій

Значення використання сучасних математичних методів та моделей в

управлінні. Етапи розв'язування задач з використанням математичних

методів. Операції та їх ефективність. Поняття економіко-математичної

моделі та моделювання. Математична модель операції. Зміст предмета

«Дослідження операцій».

Тема 39. Оптимізаційні задачі управління запасами

Задача про розподіл інвестиційних ресурсів між об'єктами, її подання

моделлю динамічного програмування; алгоритм знаходження оптимального

плану.

Сутність проблеми оптимального управління запасами. Класифікація

витрат, пов'язаних зі створенням та зберіганням запасів. Основні теорії

управління запасами.

Постановка задачі оптимізації поточних запасів за різних умов

постачальника. Статичні детерміновані моделі оптимізації запасів без дефіциту

та з дефіцитом. Стохастичні моделі управління запасами. Методи визначення

оптимальних страхових запасів на основі дослідження коливань: термінів

поставок, одночасно обсягів й термінів поставок дефіцитів матеріалів.

Використання методу статистичного моделювання для визначення множини

варіантів поставок.

Методи регулювання запасів. Система регулювання запасів при сталій

періодичності замовлень.

Комплексна задача планування та зберігання продукції в умовах

неоднакового попиту в різні періоди.

Тема 40. Задачі масового обслуговування Сукупність задач масового обслуговування. Характеристика елементів

системи масового обслуговування: вимоги, вхідний потік вимог, черга вимог,

канали обслуговування, вихідний потік вимог.

Аналіз витрат, які виникають у системі масового обслуговування.

Характеристика найпростішого потоку вимог. Показниковий закон розподілу

часу обслуговування вимог. Класифікація систем масового обслуговування:

системи з відмовленнями, з очікуваннями.

Розрахунок параметрів системи масового обслуговування .

Аналіз кількісних оцінок системи масового обслуговування з

обмеженою та необмеженою чергою.

Методика визначення оптимальної кількості каналів обслуговування.

Тема 41. Задачі упорядкування та координації. Сітьове планування Характеристика задач упорядкування та координації. Постановка задачі

оптимізації послідовності обробки виробів (надання послуг). Використання

16

методів цілочислового програмування та комбінаторних для розв'язування задач

упорядкування.

Зміст і сфери використання сітьових методів планування та управління.

Класифікація систем сітьового планування та управління. Характеристика

комплексу робіт. Елементи сітьового графіка, методика його побудови.

Розрахунки основних параметрів сітьового графіка (аналітичний метод).

Характеристика основних типів сітьових моделей (детерміновані, з урахуванням

часу, вартості, ресурсів, недетерміновані).

Методи оптимізації сітьового графіка за критерієм часу: без урахування

та з урахуванням ресурсів.

Управління комплексом робіт за допомогою сітьового графіка.

Тема 42. Задачі та моделі заміни

Сутність та класифікація задач заміни. Постановка задачі заміни

обладнання тривалого використання. Оптимізація терміну заміни обладнання

при заміні його однотипним або більш продуктивним. Динамічна модель заміни

обладнання. Оптимізація термінів заміни з метою попередження відмовлень.

Тема 43. Задачі з умовами невизначеності та конфлікту

Характеристика задач стохастичного програмування.

Характеристика задач теорії ігор, приклади (задача оптимізації пропозицій

випуску продукції за умов залежності прибутку від попиту; задача про

зберігання продукції, яка швидко псується).

Тема 44. Багатокритеріальні задачі в менеджменті Характеристика, приклади багатокритеріальних оптимізаційних задач. Основні

властивості багатокритеріальної задачі, проблема визначення її розв'язку. Методи

багатокритеріальної оптимізації управлінських рішень.

17

IV. ЗМІСТ ТА СТРУКТУРА КУРСУ

Назва змістовних модулів і тем

Кількість годин заочна форма навчання

Усього

в тому числі

Лекції Прак-

тичні

заняття

Семіна-

рські

заняття

СРС Контрольна

робота

Змістовий модуль І. Лінійна алгебра

Тема 1. Матриці 3,5 0,5 0,5 0,5 2 -

Тема 2. Визначники 5,5 0,5 0,5 0,5 4 -

Тема 3. Система лінійних рівнянь 4 1 0,5 0,5 2 -

Тема 4. Жорданові виключення 2 - - - 2 -

Разом за змістовним модулем І 15 2 1,5 1,5 10 -

Змістовий модуль ІІ. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Тема 5. Вектори 3,5 1 - 0,5 2 -

Тема 6. Пряма на площині 2 - - - 2 -

Тема 7. Пряма та площина у просторі 2 - - - 2 -

Тема 8. Лінії другого порядку 4 - - - 4 -

Разом за змістовним модулем ІI 11,5 1 - 0,5 10 -

Змістовий модуль ІІI. Вступ до математичного аналізу

Тема 9. Функція 11,5 1 - 0,5 10 -

Разом за змістовним модулем ІII 11,5 1 - 0,5 10 -

Змістовий модуль ІV. Диференціальне числення функції однієї змінної

Тема 10. Похідна функції однієї змінної 3 0,5 0,5 - 2 -

Тема 11. Диференціал функції однієї змінної 4 - - - 4 -

Тема 12. Дослідження функції за допомогою

похідних

5 0,5 - 0,5 4 -

Разом за змістовним модулем ІV 12 1 0,5 0,5 10 -


Тема 13. Функції багатьох змінних 6 - - - 6 -

Тема 14. Екстремум функції багатьох змінних 6 - - - 6 -

Разом за змістовним модулем V 12 - - - 12 -


Тема 15. Невизначений інтеграл 5 0,5 - 0,5 4 -

Тема 16. Визначений інтеграл 5 0,5 - 0,5 4 -

Разом за змістовним модулем VІ 10 1 - 1 8 -

Змістовий модуль VIІ. Ряди

Тема 17. Числові ряди 4 - - - 4 -

Тема 18. Функціональні ряди 4 - - - 4 -

Разом за змістовним модулем VIІ 8 - - - 8 -

18

Змістовий модуль VIІІ. Диференціальні рівняння

Тема 19. Диференціальні рівняння першого порядку 4 - - - 4 -

Тема 20. Лінійні диференціальні рівняння другого

порядку зі сталими коефіцієнтами

4 - - - 4 -

Разом за змістовним модулем VIIІ 8 - - - 8 -

Контрольна робота 20 - - - - 20

Всього годин в семестр 108 6 2 4 76 20

Змістовий модуль ІX. Теорія ймовірностей та математична статистика

Тема 21. Основні поняття теорії ймовірностей 3 0,5 - 0,5 2 -

Тема 22. Класичне означення ймовірності та

елементи комбінаторного аналізу. Статистичне та

геометричне означення ймовірності

3 0,5 0,5 - 2 -

Тема 23. Умовна ймовірність та поняття про

незалежність подій. Формули повної ймовірності

та Байєса

2 - - - 2 -

Тема 24. Модель повторних випробувань схеми

Бернуллі. Теореми Муавра-Лапласа та Пуассона як

дослідження асимптотичної поведінки біноміального

розподілу

4 - - - 4 -

Тема 25. Дискретні випадкові величини, їх закони

розподілу та числові характеристики

5 0,5 - 0,5 4 -

Тема 26. Неперервні та абсолютно неперервні

випадкові величини. Функція та щільність розподілу

ймовірностей. Числові характеристики розподілу

5 0,5 - 0,5 4 -

Тема 27. Рівномірний, показниковий

(експоненціальний) та нормальний закони

розподілів ймовірностей. Перетворення

послідовностей нормально розподілених

випадкових величин

4 - - - 4 -

Тема 28. Випадкові вектори та закони їх розподілів:

сумісні, маргінальні, умовні. Системи незалежних

випадкових величин. Умовні та маргінальні числові

характеристики

4 - - - 4 -

Тема 29. Закони великих чисел та центральна

гранична теорема

4 - - - 4 -

Тема 30. Основні поняття математичної

статистики: вибіркові спостереження та вибіркові

оцінки

3,5 0,5 0,5 0,5 2 -

Тема 31. Методи параметричного та

непараметричного оцінювання параметрів

2 - - - 2 -

Тема 32. Методи перевірки статистичних гіпотез 3 0,5 0,5 - 2 -

Разом за змістовним модулем ІX 42,5 3 1,5 2 36 -


Тема 33. Предмет математичного програмування 4 - - - 4 -

Тема 34. Лінійне програмування 5 0,5 - 0,5 4 -

Тема 35. Двоїстість у лінійному програмування 4 - 4 -

Тема 36. Методика розв’язання транспортної задачі 7 0,5 - 0,5 6 -

Тема 37. Цілочислове програмування 6 - - - 6 -

Разом за змістовним модулем X 26 1 - 1 24 -

19


Тема 38. Предмет та задачі дослідження операцій 3 0,5 - 0,5 2 -

Тема 39. Оптимізаційні задачі управління запасами 3 0,5 0,5 2 -

Тема 40. Задачі масового обслуговування 4 - - - 4 -

Тема 41. Задачі упорядкування та координації.

Сітьове планування

3 0,5 - 0,5 2 -

Тема 42. Задачі та моделі заміни 2 - - - 2 -

Тема 43. Задачі з умовами невизначеності та

конфлікту

2 - - - 2 -

Тема 44. Багатокритеріальні задачі в менеджменті 2,5 0,5 - - 2 -

Разом за змістовним модулем XІ 19,5 2 0,5 1 16 -

Контрольна робота 20 - - - - 20

Всього годин в семестр 108 6 2 4 76 20

Разом 216 12 4 8 152 40

20

5. ТЕМИ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Тема 1. Матриці.

1. Визначення розмірності матриці. Представлення протилежної та

транспонованої матриці для заданої.

2. Обчислення суми та різниці матриць.

3. Обчислення добутку матриць та добутку матриці на число.

Література: [1,6,11,12]

Тема 2. Визначники.

1. Обчислення визначників другого та третього порядку.

2. Обчислення визначників довільного порядку.

3. Обчислення оберненої матриці.

4. Визначення рангу матриці.


Тема 3. Системи лінійних рівнянь

1. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом.

2. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Крамера.

3. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.


Тема 10. Похідна функції однієї змінної.

1. Обчислення похідної функції, використовуючи основні правила

диференціювання та таблицю похідних основних елементарних функцій.

2. Обчислення похідної складеної функції.

3. Обчислення похідних вищих порядків.

4. Застосування похідної для дослідження функції:

знаходження найбільшого та найменшого значення функції на вказаному

відрізку;

знаходження інтервалів монотонності (спадання та зростання) функції;

знаходження екстремумів функції;

знаходження інтервалів опуклості та точок перегину.


Тема 22. Класичне означення ймовірності та елементи комбінаторного

аналізу. Статистичне та геометричне означення ймовірності 1. Класичне означення ймовірності.

2. Основні поняття комбінаторного аналізу: перестановки, розміщення,

сполучення.

3. Геометричне означення ймовірності.

4. Статистичне означення ймовірності та її властивості.

Література: [4,5,13,14,15,16]

21


вибіркові спостереження та вибіркові оцінки

1. Основні положення вибіркового методу.

2. Варіаційні ряди розподілу та їх характеристики.

1. Графічне зображення рядів розподілу.

2. Числові характеристики емпіричного розподілу:

середнє арифметичне значення;

мода та медіана;

дисперсія;

середнє квадратичне відхилення.

Література: [4,5,13,14,15,16]

Тема 32. Методи перевірки статистичних гіпотез 1. Загальний алгоритм перевірки статистичних гіпотез.

2. Типи помилок при перевірці гіпотез і потужність критерію.

3. Критерії узгодженості: критерій Колмогорова-Смірнова та Пірсона.

4. Критерії Стьюдента щодо перевірки гіпотез про значення середніх для

нормальної статистичної моделі у випадку рівних (нерівних) дисперсій.

5. Критерій Χ2 (Хі-квадрат) про єдину дисперсію для нормальної


6. Критерій Фішера про рівність (нерівність) двох дисперсій для нормальної


Література: [4,5,13,14,15,16]


1. Сутність проблеми оптимального управління запасами.

2. Класифікація витрат, пов'язаних зі створенням та зберіганням запасів

3. Основні теорії управління запасами.

4. Постановка задачі оптимізації поточних запасів за різних умов

постачальника.

5. Методи регулювання запасів.

6. Комплексна задача планування та зберігання продукції в умовах

неоднакового попиту в різні періоди.

Література: [9,10]

ТЕМИ СЕМІНАРСЬКИХ ЗАНЯТЬ.

Тема 1. Матриці.

1. Поняття матриці. Елементи матриці. Вимірність матриці.

2. Нульова, квадратна, діагональна, одинична матриці.


22

Тема 2. Визначники та їх властивості.

1. Поняття визначника.

2. Основні властивості визначника.


Тема 3. Системи лінійних рівнянь.

1. n-вимірний векторний простір.

2. Лінійна залежність векторів.

3. Лінійна комбінація векторів.

4. Поняття системи лінійних рівнянь.

5. Однорідні та неоднорідні системи лінійних рівнянь.

6. Фундаментальна система розв’язків, загальний розв’язок однорідної та

неоднорідної системи лінійних рівнянь.


Тема 5. Вектори.

1. Поняття вектора.

2. Дії над векторами: додавання векторів та множення вектора на число.

3. Координати вектора.


Тема 9. Функція.

1. Поняття функції

2. Дослідження функції на неперервність.

3. Обчислення границі функції, розкриваючи невизначеності типу ;0

0

.

4. Обчислення границі функції, використовуючи чудові границі.


Тема 12. Дослідження функції за допомогою похідних 1. Умова сталості функції.

2. Умови монотонності функції.

3. Максимум і мінімум функції. Необхідні та достатні умови екстремуму

функції.

4. Опуклість та увігнутість графіка функції, точки перегину, асимптоти

графіка функції.

5. Загальна схема побудови графіка функції.


23


1. Поняття первісної функції і невизначеного інтегралу.

2. Застосування інтегралів у задачах економіки.

3. Геометричний і механічний зміст інтегралу.

4. Таблиця основних інтегралів.

5. Основні методи інтегрування функцій: метод розкладу, метод заміни

змінної, метод інтегрування частинами.

6. Інтегрування раціональних функцій.

7. Інтегрування ірраціональних функцій.

8. Інтегрування тригонометричних функцій.



1. Площа криволінійної трапеції.

2. Поняття визначеного інтеграла та необхідна умова його існування.

3. Властивості визначеного інтеграла.

4. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею інтегрування. Існування

первісної.

5. Формула Ньютона-Лейбніца.

6. Формули заміни змінної та інтегрування частинами для визначеного

інтеграла.

7. Застосування визначеного інтеграла.

8. Поняття невласного інтеграла.


Тема 21. Основні поняття теорії ймовірностей

1. Предмет теорії ймовірностей.

2. Математична модель стохастичних експериментів.

3. Алгебра випадкових подій.

4. Аксіоматичний підхід до побудови ймовірнісного простору

стохастичного експерименту.

5. Теореми суми для несумісних і сумісних подій. Правило

включення та виключення.

Література: [4,5,13,14,15,16]

Тема 25. Дискретні випадкові величини, їх закони розподілу та числові

характеристики 1. Поняття випадкових величин та їх класифікація.

2. Закон розподілу дискретної випадкової величини.

3. Числові характеристики розподілу: математичне очікування, дисперсія,

середнє квадратичне відхилення, початкові та центральні моменти.

24

4. Властивості числових характеристик.

5. Основні закони дискретних розподілів та їх числові характеристики:

вироджений, гіпергеометричний розподіл, від'ємний біноміальний

розподіл, розподіл Бернуллі та його перетворення, розподіл Пуассона,

геометричний розподіл.

6. Приклади застосування стандартних розподілів у типових задачах на

практиці.

Література: [4,5,13,14,15,16]

Тема 26. Неперервні та абсолютно неперервні випадкові величини.

Функція та щільність розподілу ймовірностей.

Числові характеристики 1. Поняття неперервних випадкових величин.

2. Функція розподілу ймовірностей випадкової величини та її властивості.

3. Абсолютно неперервні випадкові величини.

4. Щільність розподілу та її властивості.

5. Числові характеристики абсолютно неперервних випадкових величин та їх

властивості.

Література: [4,5,13,14,15,16]


вибіркові спостереження та вибіркові оцінки 1. Основні положення вибіркового методу.

2. Вибірковий розподіл.

3. Емпірична функція розподілу та гістограма. Вибіркові моменти.

4. Статистичні оцінки та їх властивості.

5. Властивості емпіричної функції розподілу.

6. Властивості вибіркових моментів.

Література: [4,5,13,14,15,16]

Тема 34. Лінійне програмування

1. Економічні приклади моделей лінійного програмування (задача про

призначення, задача оптимального використання сировини, задача

оптимізації виробничої програми, матричне планування).

2. Задача лінійного програмування, форми її запису.

3. Правила переходу від загальної задачі лінійного програмування до

канонічної та стандартної.

4. Геометричний метод розв'язування задач лінійного програмування з двома

змінними; ілюстрація можливих випадків, які трапляються під час

розв'язування задачі.

5. Теоретичні основи симплекс-методу розв'язування задачі лінійного

програмування.

25

6. Алгоритм симплекс-методу та його реалізація за допомогою симплекс-

таблиць. Поняття про модифікований алгоритм симплекс-методу.

Література: [3,7,8]

Тема 36. Методика розв'язування транспортної задачі

1. Постановка транспортної задачі, умова існування її розв'язку.

2. Пошук оптимального плану перевезень за методом потенціалів.

Література: [3,7,8]


1. Значення використання сучасних математичних методів та моделей в

управлінні.

2. Етапи розв'язування задач з використанням математичних методів.

3. Поняття економіко-математичної моделі та моделювання.


Тема 41. Задачі упорядкування та координації. Сітьове планування 1. Характеристика задач упорядкування та координації.

2. Постановка задачі оптимізації послідовності обробки виробів (надання

послуг).

3. Використання методів цілочислового програмування та комбінаторних для

розв'язування задач упорядкування.

4. Зміст і сфери використання сітьових методів планування та управління.

5. Класифікація систем сітьового планування та управління. Характеристика

комплексу робіт.

6. Елементи сітьового графіка, методика його побудови. Розрахунки

основних параметрів сітьового графіка (аналітичний метод).

7. Методи оптимізації сітьового графіка за критерієм часу: без урахування

та з урахуванням ресурсів.

8. Управління комплексом робіт за допомогою сітьового графіка.


26

6. САМОСТІЙНА РОБОТА

Назва теми та зміст самостійної роботи Кіль-

кість

годин

Змістовий модуль І. Лінійна алгебра

Тема 1. Матриці

Завдання:

1. Виконати додавання та множення матриць.

2. Огляд основної та додаткової літератури по темі.

3. Ведення термінологічного словника.

2

Тема 2. Визначники

Завдання:

1. Обчислити визначники другого та третього порядку.



2

Тема 3. Система лінійних рівнянь

Завдання:

1. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса, методом Крамера, матричним

методом



4

Тема 4. Жорданові виключення

Завдання:



2

Змістовий модуль ІІ. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Тема 5. Вектори

Завдання:

1. Виконати дії над векторами



2

Тема 6. Пряма на площині

Завдання:

1. Записати рівняння прямої, що проходить через дві точки.



2

Тема 7. Пряма і площина у просторі

Завдання:

1. Записати рівняння площини, що проходить через три точки.



2

Тема 8. Лінії другого порядку

Завдання:

1. Скласти рівняння ліній другого порядку.



4

27

Змістовий модуль ІІI. Вступ до математичного аналізу

Тема 9. Функція

Завдання:

1. Охарактеризувати cпособи задання функції.



10

Змістовий модуль ІV. Диференціальне числення функції однієї змінної

Тема 10. Похідна функції однієї змінної

Завдання:

1. Таблиця основних похідних.


Ведення термінологічного словника.

2

Тема 11. Диференціал функції однієї змінної

Завдання:

1. Обчислити диференціал функції однієї змінної.



4

Тема 12. Дослідження функції за допомогою похідних

Завдання:

1. Дослідити функцію.



4


Тема 13. Функції багатьох змінних

Завдання:

1. Поняття функції багатьох змінних



6

Тема 14. Екстремум функції багатьох змінних

Завдання:

1. Знайти екстремум функції багатьох змінних.



6



Завдання:

1. Таблиця основних інтегралів.

2. Обчислити невизначений інтеграл.



4


Завдання:

1. Обчислити визначений інтеграл



4

28

Змістовий модуль VIІ. Ряди

Тема 17. Числові ряди

Завдання:

1. Знайти суму числового ряду.

2. Дослідити на збіжність числовий ряд.



4

Тема 18. Функціональні ряди

Завдання:

1. Розкласти функцію у ряд Тейлора



4

Змістовий модуль VIІІ. Диференціальні рівняння

Тема 19. Диференціальні рівняння першого порядку

Завдання:

1. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку.



4

Тема 20. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими

Завдання:

1. Розв’язати диференціальне рівняння другого порядку.


3. Ведення термінологічного словника.коефіцієнтами

4

Змістовий модуль ІX. Теорія ймовірностей та математична статистика

Тема 21. Основні поняття теорії ймовірностей

Завдання:

1. Охарактеризувати предмет та основні поняття теорії ймовірностей



2

Тема 22. Класичне означення ймовірності та елементи комбінаторного аналізу.

Статистичне та геометричне означення ймовірності

Завдання:

1. Вивчити основні поняття комбінаторики. Навчитися використовувати

класичне означення ймовірності при розв’язуванні задач



2

Тема 23. Умовна ймовірність та поняття про незалежність подій. Формули повної

ймовірності та Байєса

Завдання:

1. Знайти умовну ймовірность та повну ймовірність



2

Тема 24. Модель повторних випробувань схеми Бернуллі. Теореми Муавра-Лапласа

та Пуассона як дослідження асимптотичної поведінки біноміального розподілу

Завдання:

1. Поняття про повторні незалежні випробування.



4

29

Тема 25. Дискретні випадкові величини, їх закони розподілу та числові


Завдання:

1. Знайти числові характеристики розподілу дискретної випадкової величини.



4

Тема 26. Неперервні та абсолютно неперервні випадкові величини. Функція та

щільність розподілу ймовірностей. Числові характеристики розподілу

Завдання:

1. Знайти числові характеристики розподілу абсолютно неперервної випадкової

величини



4

Тема 27. Рівномірний, показниковий (експоненціальний) та нормальний закони

розподілів ймовірностей. Перетворення послідовностей нормально розподілених

випадкових величин

Завдання:

1. Охарактеризувати рівномірний закон розподілу ймовірностей



4

Тема 28. Випадкові вектори та закони їх розподілів: сумісні, маргінальні, умовні.

Системи незалежних випадкових величин. Умовні та маргінальні числові


Завдання:

1. Вивчити поняття випадкових векторів та законів їх розподілу



4

Тема 29. Закони великих чисел та центральна гранична теорема

Завдання:

1. Закони великих чисел та умови їх виконання.

2. Оцінити відхилення статистичних частот за законом великих чисел

Бернуллі.



4

Тема 30. Основні поняття математичної статистики: вибіркові спостереження та вибіркові

оцінки

Завдання:

1. Знайти числові характеристики емпіричного розподілу: середнє арифметичне

значення;мода та медіана; дисперсія; середнє квадратичне відхилення.



2

Тема 31. Методи параметричного та непараметричного оцінювання параметрів

Завдання:

1. Охарактеризувати методи знаходження оцінок: метод моментів і

максимальної вірогідності.



2

30

Тема 32. Методи перевірки статистичних гіпотез

Завдання:

1. Визначити до якого класу задач належить дана задача та запропонувати

методи її розв’язання.



2


Тема 33.Предмет математичного програмування

Завдання:

1. Записати математичну модель задачі математичного програмування



4

Тема 34. Лінійне програмування

Завдання:

1. Звести задачу лінійного програмування до канонічного вигляду



4

Тема 35. Двоїстість у лінійному програмування

Завдання:

1. Записати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування та

розв’язати її.



4

Тема 36. Методика розв’язання транспортної задачі

Завдання:

1. Знайти оптимальний план перевезень, використовуючи метод потенціалів.



6

Тема 37. Цілочислове програмування

Завдання:

1. Розв’язати задачу цілочислового програмування, використовуючи метод

Гоморрі.



6



Завдання:

1. Вивчити поняття економіко-математичної моделі та моделювання.



2


Завдання:

1. Охарактеризувати сутність проблеми оптимального управління запасами.

Основні теорії управління запасами.



2

Тема 40. Задачі масового обслуговування

Завдання

1. Розрахувати параметри системи масового обслуговування.

4

31

2. Проаналізувати кількісні оцінки системи масового обслуговування з

обмеженою та необмеженою чергою.



Тема 41. Задачі упорядкування та координації. Сітьове планування

Завдання:

1. Розв'язати задачу упорядкування використовуючи метод цілочислового


2. Розрахувати основні параметри сітьового графіка.



2

Тема 42. Задачі та моделі заміни

Завдання:

1. Постановка задачі заміни обладнання тривалого використання.

2. Оптимізація терміну заміни обладнання при заміні його однотипним або більш

продуктивним.



2

Тема 43. Задачі з умовами невизначеності та конфлікту

Завдання:

1. Охарактеризувати задачу стохастичного програмування.



2

Тема 44. Багатокритеріальні задачі в менеджменті

Завдання:

1. Навести приклади багатокритеріальних оптимізаційних задач.

2. З’ясувати основні властивості багатокритеріальної задачі.



2

ОРГАНІЗАЦІЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ

Самостійна робота студентів має на меті формування пізнавальної

активності студентів, засвоєння ними основних умінь та навичок роботи з

навчальними матеріалами, поглиблення та розширення вже набутих знань,

підвищення рівня організованості студентів тощо.

У процесі самостійної роботи студенти мають оволодіти вміннями та

навичками:

організації самостійної навчальної діяльності;

самостійної роботи в бібліотеці з каталогами;

праці з навчальною, навчально-методичною, науковою, науково-

популярною літературою;

конспектування літературних джерел;

роботи з довідковою літературою;

опрацьовування статистичної інформації;

написання рефератів з проблем курсу.

32

Кожен студент повинен уміти раціонально організовувати свою навчальну

самостійну діяльність. Важливим є вміння скласти план своєї роботи, чітко

визначити її послідовність. Необхідно, щоб план самостійного навчання був

реальним і його виконання приводило до плідних наслідків у навчальному

процесі.

Для успішної самостійної роботи значну частину часу студенти виділяє

для роботи в бібліотеці. Треба розуміти сутність складання алфавітного й

тематичного каталогів, вміти швидко знаходити в них необхідну літературу,

знати особливості бібліографічного шифрування. Для плідної роботи з

літературними джерелами студентові корисно скласти свою власну

бібліографію, заповнюючи бібліографічні картки на необхідні для нього

книги, брошури або статті. Для роботи у провідних бібліотеках м. Києва

слухачеві треба знати їх структуру, спеціалізацію окремих підрозділів, вміти

користуватися різноманітними каталогами, правильно заповнювати бланки

вимоги на літературу тощо.

Відібрана для самостійного опрацювання література може бути різною як

за обсягом наукових даних, так і за характером їхнього викладу. Потрібно

відібрати необхідний для опрацьовування матеріал (розділи, підрозділи тощо),

а також розсортувати його за важливістю (що для детального вивчення, а що

для ознайомчого читання). Процес читання має відбуватися повільно,

вдумливо, до незрозумілих питань слід обов’язково повертатися, наводити

додаткові довідки, щоб зрозуміти сутність думки автора. Знання незнайомих

термінів слід одразу ж з’ясовувати за тлумачними словниками,

енциклопедіями або спеціалізованими довідниками. У процесі роботи з

літературою корисно робити виписки найважливіших думок, формулювань,

окремих висловів на аркушах паперу із зазначенням автора, джерела, сторінок

і абзаців. Для кращого засвоєння матеріалу, розвитку творчого мислення

основний зміст прочитаного доцільно формулювати у вигляді тез.

Конспект є стислим викладом основної сутності опрацьованого

літературного матеріалу. Конспект має бути змістовним і записаним своїми

словами і формулюваннями. Класичні визначення, оригінальні думки,

вислови слід записувати до конспекту повністю з посиланням на автора,

джерело і сторінку. У процесі конспектування важливо витримувати логічний

зв’язок між окремими складовими тексту. У тексті конспекту корисно

підкреслювати найважливіші теоретичні положення, визначення, висновки і

робити помітки на полях. Систематичне конспектування опрацьованого

матеріалу дисциплінує розум, відпрацьовує вміння формулювати свої думки в

короткій змістовній формі, сприяє кращому засвоєнню навчального матеріалу.

Для цілісного уявлення про навчальну дисципліну слухачеві необхідно

користуватися довідковою літературою: енциклопедіями, енциклопедичними

словниками, галузевими довідниками тощо.

Майбутній фахівець повинен достатньо вправно користуватися

персональним комп’ютером. Робота з матеріалами "Інтернету" надає

33

можливість отримувати найновішу інформацію з різних сфер життя нашої

держави.

Самостійна робота студентів з курсу передбачає підготовку фіксованих

виступів. Для цього необхідно скласти план виступу, вивчити потрібні

літературні джерела, зробити виписки. За своїм змістом виступи повинні

відповідати обраній темі. Виклад матеріалу має бути логічним, послідовним.

34

7. НДИВІДУАЛЬНІ НАВЧАЛЬНО-ДОСЛІДНІ ЗАВДАННЯ

(контрольна робота для заочної форми навчання)

7.1. Виконання контрольної роботи передбачає письмове розв’язання завдань

за відповідним варіантом. Кожен варіант включає завдання з тематики,

визначеної навчальною програмою з дисципліни, за якою пишеться

контрольна робота.

7.2. Контрольна робота з курсу "Вища та прикладна математика" складається з

двох частин. Перша частина контрольної роботи складається з 30 варіантів

(кожен варіант складається з шести завдань). Студент одержує

індивідуальне завдання. Вибір варіанта здійснюється студентом

самостійно на основі списку групи, представленого деканатом. Студент,

який в списку значиться за номером першим виконує контрольну роботу

№1, другий - №2, третій - №3 і т.д. Завдання, виконане не за своїм

варіантом, не зараховується.

Друга частина контрольної роботи складається з 10 варіантів (кожен

варіант складається з одинадцяти завдань). Номер варіанту контрольної

роботи студент визначає самостійно за першою літерою свого прізвища

згідно з таблицею.

Початкова літера

прізвища студента Варіант

А К Ф 1

Б Л Х 2

В М Ц 3

Г Н Ч 4

Д О Ш 5

Є П Щ 6

Ж Р Ю 7

З С Я 8

Й Т 9

І У 10

7.3. Контрольна робота з дисципліни «Вища та прикладна математика»

складається лише з практичних завдань.

7.4. Запис умови завдань, передбачених варіантом, є обов’язковим. Контрольна

робота повинна мати самостійний характер. Тому контрольні роботи,

написані без врахування цих вимог, викладачем перевірятися не будуть.

35

ОФОРМЛЕННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

7.5. Контрольна робота виконується державною (українською) мовою.

7.6. Контрольна робота має бути оформлена належним чином (див. Патика Н.І.

Стандарти на оформлення магістерських, дипломних, бакалаврських,

курсових, контрольних робіт та рефератів. – К.: ІПК ДСЗУ, 2008. – 26с.).

7.7. Контрольна робота має бути виконана і направлена для перевірки

протягом міжсесійного періоду, тобто навчального року, протягом якого

здійснюється робота студента над засвоєнням навчального матеріалу як

самостійно, так і під керівництвом викладача, але не пізніше як за 30 днів

до початку сесії для студентів заочної форми навчання, передбаченої

навчальним планом.

ПОРЯДОК ЗАРАХУВАННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ

7.8. Контрольна робота оцінюється за чотирибальною національною шкалою та

в балах за кредитно-трансфертною системою:

Оцінка

ECTS

Оцінка

у національній шкалі

Бали

за ECTS

A ( відмінно) 5 (відмінно) 47 - 50

B (дуже добре) 4 (добре)

44 - 46

C (добре) 40 - 43

D (задовільно) 3 (задовільно)

35 - 39

E (достатньо) 30 - 34

FX (незадовільно) з можливістю

повторного складання 2 (незадовільно)

18 - 29

F (незадовільно) з обов’язковим

повторним вивченням 1-17

7.9. У разі отримання студентом незадовільної оцінки, останній повинен

усунути виявлені недоліки і повторно захистити її в установлений

викладачем строк.

7.10. Студент, який не виконав контрольної роботи або його робота не

зарахована за результатами її виконання, не допускається до семестрового

контролю з дисципліни.

36

ЗАВДАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ

Частина I.

Завдання 1.

Знайти матрицю ABAC , попередньо з’ясувавши можливість виконання

усіх вказаних арифметичних дій.

1.

2

2

1

1

3

0A ,

05

52

32

B ; 8.

237

124

524

A ,

352

134

524

B ;

2.

2

1

5

4

4

3A ,

10

13

12

B ; 9.

27

34

23

A , B

1

5

3

2

7

4;

3.

34

23

12

A ,

5

3

2

2

4

1B ; 10.

232

541

122

B ,

123

211

122

A ;

4.

3

2

7

3

2

4A ,

17

24

31

B ; 11.

23

14

32

34

A ,

4

2

1

3

7

1

5

4B ;

5.

123

321

213

A ,

237

142

131

B ; 12.

34

42

14

32

A ,

2

1

1

3

2

4

4

1B ;

6.

41

52

24

A ,

1

5

3

2

7

4B ; 13.

25

14

23

A ,

2

3

1

2

3

1B ;

7.

142

231

132

A ,

412

524

412

B ; 14.

23

24

32

14

A ,

1

4

3

1

2

3

4

2B ;

37

15.

5

2

4

3

3

7

4

2A ,

24

32

24

13

B ; 23.

342

224

132

A ,

413

231

241

B ;

16.

4

2

1

3

7

1

5

4A ,

24

23

52

12

B ; 24.

13

32

41

A ,

1

5

3

2

2

4B ;

17.

5

1

2

2

3

4A ,

52

34

12

B ; 25.

3

7

4

5

1

2A ,

24

17

45

B ;

18.

12

31

52

43

A ,

2

4

2

3

1

2

4

1B ; 26

1

3

2

4

2

1

3

2A ,

41

32

27

35

B ;

19.

41

22

23

A ,

2

3

3

2

1

4B ; 27.

134

211

413

A ,

312

112

341

B ;

20.

252

314

323

A ,

213

132

241

B ; 28.

25

41

32

A ;

3

2

4

5

3

4B ;

21.

51

23

34

12

A ,

5

1

3

5

4

2

3

4B ; 29.

7

4

5

3

1

2A ,

32

37

54

B ;

22.

2

7

4

4

3

5

1

2A ,

43

21

35

24

B ; 30.

75

11

33

24

A ,

4

1

3

4

2

3

1

2B ;

38

Завдання 2.

Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) матричним методом.

1.

.12

,2223

,22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

9.

.11423

,11243

,42

321

321

321

xxx

xxx

xxx

2.

.872

,1353

,42

321

321

321

xxx

xxx

xxx

10.

.244

,422

,12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

3.

.253

,342

,1342

321

321

321

xxx

xxx

xxx

11.

.1132

,132

,523

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4.

.644

,04

,3223

321

321

321

xxx

xxx

xxx

12.

.103

,2925

,3142

321

321

321

xxx

xxx

xxx

5.

.4432

,532

,15223

321

321

321

xxx

xxx

xxx

13.

.822

,332

,23

321

321

321

xxx

xxx

xxx

6.

.643

,12

,532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

14.

.453

,43

,232

321

321

321

xxx

xxx

xxx

7.

.83

,2232

,22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

15.

.52

,423

,1532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

8.

.12

,12

,0

321

321

321

xxx

xxx

xxx

16.

.432

,32

,1233

321

321

321

xxx

xxx

xxx

39

17.

.12

,12

,12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

24.

.832

,33

,1234

321

321

321

xxx

xxx

xxx

18.

.62

,0

,232

321

321

321

xxx

xxx

xxx

25.

.53

,622

,125

321

321

321

xxx

xxx

xxx

19.

.243

,22

,332

321

321

321

xxx

xxx

xxx

26.

.532

,72

,13

321

321

321

xxx

xxx

xxx

20.

.1234

,82

,132

321

321

321

xxx

xxx

xxx

27.

.04

,722

,15

321

321

321

xxx

xxx

xxx

21.

.243

,532

,42

321

321

321

xxx

xxx

xxx

28.

.62

,032

,232

321

321

321

xxx

xxx

xxx

22.

.0232

,12

,423

321

321

321

xxx

xxx

xxx

29.

.435

,52

,3223

321

321

321

xxx

xxx

xxx

23.

.432

,532

,123

321

321

321

xxx

xxx

xxx

30.

.72

,032

,12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Завдання 3.

Задано координати вершин трикутника ABC .

1. 1;3 A , 2;1B , 5;1C ; 11. 3;4A , 0;5B , 1;2C ;

2. 2;1A , 4;3 B , 5;2C ; 12. 3;1A , 1;2B , 3;1C ;

3. 3;2 A , 4;2B , 9;1C ; 13. 1;2A , 5;1B , 8;3C ;

4. 2;2 A , 1;4B , 2;4 C ; 14. 7;4A , 8;2B , 4;1C ;

5. 3;2A , 2;1B , 1;3C ; 15. 3;2A , 5;7B , 2;0C ;

6. 3;2A , 4;1B , 2;4 C ; 16. 1;1A , 1;2 B , 0;4C ;

7. 1;1A , 2;2B , 3;6 C ; 17. 0;1A , 3;1B , 3;4C ;

8. 1;1A , 1;3 B , 1;1C ; 18. 3;1A , 1;2 B , 6;4C ;

9. 1;2A , 3;4B , 5;6C ; 19. 3;1A , 2;4 B , 2;5 C ;

10 0;1A , 2;3B , 0;5C ; 20. 4;1A , 6;0 B , 0;5C ;

40

21. 5;4A , 0;3B , 4;1C ; 26. 2;8 A , 1;4 B , 2;4C ;

22. 5;3 A , 5;4B , 0;3C ; 27. 3;2 A , 2;3B , 3;1C ;

23. 3;2A , 3;1B , 8;7C ; 28. 4;3 A , 3;2B , 3;4C ;

24. 3;1A , 2;0B , 7;5C ; 29. 2;3A , 2;5 B , 0;3C ;

25. 4;3A , 3;1B , 3;0 C ; 30. 1;1A , 2;3B , 3;5C .

Знайти:

а) координати векторів AB , BC , AC та їх довжин;

б) величини кутів трикутника;

в) площу трикутника ABC ;

г) довжину висоти трикутника, опущеної з вершини B на сторону AC ;

д) записати рівняння прямих, що проходять через точки A і B , B і C , A і C .

Завдання 4. Знайти границі функцій:

1. а) 8

863

2

2lim

x

xx

x

; б) x

x

x

2sinlim

0

;

2. а) 5

252

5lim

x

x

x

; б) xx

x

x sin

2cos1lim

0

;

3. а) 2

43lim

x

x

x

; б)

22

2

2 1lim

x

x x

x

;

4. а) 3

652

3lim

x

xx

x

; б) 1

12

32lim

x

x x

x;

5. а) 1

23

2

1lim

x

xx

x

; б) x

x

x

)31ln(lim

0

;

6. а) 432

322

2

lim

xx

xx

x

; б) tgx

xx

x

sin1sin1lim

0

;

7. а) 432

32lim

xx

x

x

; б) x

x

x/1

0

31lim

;

8. а) 3

52

3

lim

x

x

x

; б) x

tgxx

x

sinlim

0

;

9. а) 3

3

21

75lim

x

xx

x

; б) x

xtg

x 4sin

2lim

0

;

10. а) 23

13

23

1lim

xx

xxx

x

; б) x

x x

x

42

12lim ;

11. а) 4

162

4lim

x

x

x

; б) 3

7

5lim

x

x x

x;

12. а) 233

42

2

lim

xx

x

x

; б) 2

3

0

coscoslim

x

xx

x

;

13. а) 123

322

2

1lim

xx

xx

x

; б) x

xx

x sin

3sin5sinlim

0

;

41

14. а) 722

1352

2

lim

xx

xx

x

; б) 2/)4(

21lim

x

x x;

15. а) 143

232

2

1lim

xx

xx

x

; б)

ctgxxx sin

1lim

0

;

16. а) 24

422

2

lim

xx

xx

x

; б) xx

x x

/)3(2

1lim

;

17. а) 6

1032

2

2lim

xx

xx

x

; б) x

x x

3

21lim ;

18. а) xxx

xx

x 66

23423

23

lim

; б)

tgxxx

1

sin

1lim

0

;

19. а) 8

863

2

2lim

x

xx

x

; б) x

x x

x

1

1lim ;

20. а) 992

342

2

3lim

xx

xx

x

; б) x

x x

x

42

12lim ;

21. а) 253

82

2

lim

xx

xx

x

; б) 2

0

2cos1lim

x

x

x

;

22. а) 1

5722

2

1lim

x

xx

x

; б) lim0x

xx1

21 ;

23. а) 234

58323

3

lim

xx

xx

x

; б) x

x

x cos1

2cos1lim

0

;

24. а) 932

21542

2

3lim

xx

xx

x

; б) lim0x

xx1

31 ;

25. а) 173

3522

2

lim

xx

xx

x

; б) lim0x

xx

31 ;

26. а) 52

2324

3

lim

x

xx

x

; б) x

x

x 3sin

2sinlim

0

;

27. а) 24

23

0 152

63lim

xx

xx

x

; б) x

tgxtgx

x sin

11lim

0

;

28. а) x

xx

x

25 2

lim

; б) x

x x

21lim ;

29. а) 2

82

3

2lim

xx

x

x

; б) x

x x

31lim ;

30. а) 2

742

2

lim

x

xx

x

; б) limx

x ctg x .

42

Завдання 5.

Знайти найбільше та найменше значення функції на вказаному відрізку ba; .

1. ,93 23 xxxy 4;4 ; 16. ,4

42

2

x

xy

1;1 ;

2. 13

62

x

xy , 5;5 ; 17. ,2 xxy 4;0 ;

3. 11232 23 xxxy , 5;1 ; 18. ,sin2 xxy

2;

2

;

4. ,11

52

x

xy 7;3 ; 19. ,2 tgxxy ;0 ;

5. ,143 34 xxy 1;0 ; 20. ,arctgxxy 1;1 ;

6. ,2sin xxy ; ; 21. ,1ln xxy 3;0 ;

7. ,12

xx

xy 2;2 ; 22. xy ,4 x 4;0 ;

8. y ,9

42

x

x 6;4 ; 23. ,sin2

3xxy

2;0

;

9. ,sin2 xy

3

2;

4

; 24. ,2

3

5 35 xxy 2;0 ;

10. ,81

2

2

xxy 4;1 ; 25. ,cosxxy ; ;

11. ,3

sinx

xxy ;0 ; 26. ,4cos2sin2 xxy

3;0

;

12. ,1

xxy 10;1,0 ; 27. ,ln2 xxy 3;1 e ;

13. ,862 xxy 4;1 ; 28. ,3 xxy 6;1 ;

14. ,ln xxxy

e

e;

1; 29. ,

4

44x

xy

3;0 ;

15. ,843 3 xxy 1;1 ; 30. ,ln x

xy 3;ee .

Завдання 6.

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

1. ;2,1,3,2 xxxyxy 7. ,2xy ;xy

2. ,sin xy ,cosxy ;0x 8. ,2xy ;2 yx

3. ,xy ;2xy 9. ,2xy ;3xy

4 ,xey ,2xy ,0x ;1x 10. ,1 2xy ,0y ,0x ;2x

5. ,2 xy ,2y ;0x 11. ,sin xy ,0y ;0 x

6. ,5

xy ;6 xy 12. ,cosxy ,0y ;

22

x

43

13. ,2xy ;2 2xy 22. ,2

2xy ;822 yx

14. ,3xy ;2xy 23. ,043 2 yx ;0142 yx

15. ,2xy ,0y ;4x 24. ,034 yx ;0123 yx

16. ,2xy ;1y 25. ,4xy ,4x ,4y ,0x ;0y

17. ,2sin xy 1y , 2

x ,

24

x ; 26. ,2xy ,0x ,0y ;3x

18. ,42 xxy ;4 xy 27. ,3xy ;xy

19. ,13 2 xy ;73 xy 28. ,2sin xy ,0y ;4

x

20. ,222 xxy ;42 2xxy 29. ,6

xy ;7 xy

21. ,2 2xxy ;0 yx 30. ,22

xxy .0y

Частина II.

Завдання 1.

1. В ящику 10 червоних ґудзиків та 6 синіх. Вийняли два ґудзика. Яка

ймовірність того, що ґудзики будуть одного кольору?

2. На двох верстатах виробляються однакові деталі. Ймовірність того, що деталь

виявиться стандартною для першого верстата дорівнює 0,8, для другого – 0,9.

Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться стандартною.

3. З партії в котрій 20 деталей без дефектів і 5 з дефектами, беруть навмання 3

деталі. Знайти ймовірність того, що: 1) три деталі без дефектів; 2) хоча б одна

деталь без дефекту.

4. Троє стрільців стріляють по цілі. Ймовірність попадання в ціль для першого

стрільця дорівнює 0,75; для другого – 0,8; для третього – 0,9. Знайти ймовірність

того, що: 1) всі стрільці влучають в ціль; 2) тільки один стрілець влучає в ціль;

3) хоча б один стрілець влучає в ціль.

5. Для влучення в ціль достатньо влучення хоча б одного снаряда. Зроблено два

залпи з двох гармат. Знайти ймовірність влучення в ціль, якщо ймовірність

влучення в ціль при одному пострілі з першої гармати дорівнює 0,3, а з другої –

0,4.

6. В урні знаходиться 12 білих і 8 червоних кульок. Вийняли 8 кульок. Яка

ймовірність того, що: 1) три з них червоні; 2) червоних кульок вийняли не

більше трьох?

44

7. В першій урні 3 білі та 1 чорна, а в другій – 2 білі та 2 чорні кулі. З першої

урни в другу навмання переклали одну кулю, а потім з другої урни взяли одну

кулю. Яка ймовірність того, що взята з другої урни куля біла?

8. У першому ящику 2 білих та 1 чорна куля, у другому – 1 біла і 4 чорних кулі.

Навмання вибирають ящик і виймають з нього кулю. Яка ймовірність того, що

витягнута куля буде білою?

9. Два стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу по

мішені. Ймовірність влучення першого – 0,8, а другого – 0,4. Відомо, що є одне

влучення. Знайти ймовірність того, що влучив другий стрілець.

10. В першій урні 6 білих і 9 чорних куль, а в другій відповідно 8 і 4. З кожної

урни навмання вибрано по одній кулі. Знайти ймовірність того, що : 1) обидві

кулі одного кольору; 2) хоча б одна з них біла.

Завдання 2.

1. Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,515. В сім’ї четверо дітей.

Знайти ймовірність того, що серед них не більше двох дівчаток.

2. Яка ймовірність того, що при 10 підкиданнях монети випаде герб від 4 до 6

разів?

3. Гральний кубик підкидають 500 разів. Яка ймовірність того, що цифра 1 при

цьому випаде 50 разів?

4. Ймовірність успіху в кожному випробуванні дорівнює 0,25. Яка ймовірність

того, що при 300 випробуваннях успішними будуть: а) рівно 75 випробувань; б)

від 50 до 100 випробувань?

5. При проведенні експерименту монету підкидають 4095 разів. Знайти

ймовірність того, що герб при цьому випаде 2068 разів?

6. Ймовірність появи події A в кожному з 100 незалежних випробувань

дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія A з’явиться в цих

випробуваннях: а) рівно 90 разів; 2) не менше 80 і не більше 90 разів.

7. Яка ймовірність того, що при 125 підкиданнях кубика цифра 6 з’явиться не

більше 60 разів?

8. Ймовірність того, що студент складе залік з першого разу, дорівнює 0,9. Яка

ймовірність того, що серед 6 студентів залік складуть: а) 5 студентів; б) не

менше 5 студентів?

45

9. Ймовірність настання події A у кожному з 18 незалежних випробуваннях

дорівнює 0,2. Знайти ймовірність настання цієї події принаймні двічі.

10. Гральний кубик кинуто 10 разів. Знайти ймовірність того, що кількість очок,

кратна трьом випаде: а) три рази; б) не менше трьох разів.

Завдання 3.

Випадкова величина X задана рядом розподілу.

X 1x 2x 3x 4x

p 1p

2p 3p 4p

Визначити невідому ip . Знайти функцію розподілу випадкової величини )(XF

та побудувати її графік. Обчислити математичне сподівання )(XM , дисперсію

)(XD , середнє квадратичне відхилення та моду 0M випадкової величини X .

1.

X 3 5 7 11 p 0,12 0,25 ? 0,15

2.

X 4 6 8 12 p 0,1 0,32 ? 0,28

3.

X 5 7 9 13 p ? 0,22 0,48 0,1

4.

X 6 8 10 14 p ? 0,2 0,38 0,12

5.

X 7 9 11 15 p ? 0,25 0,23 0,17

6.

X 8 11 14 20 p 0,15 0,4 0,2 ?

46

7.

X 9 13 17 25 p 0,16 0,34 0,3 ?

8.

X 10 15 20 35 p 0,28 0,5 0,12 ?

9.

X 11 13 15 19 p 0,18 0,32 0,4 ?

10.

X 12 15 18 24 p 0,23 ? 0,17 0,2

Завдання 4.

1. Записати вибірку у вигляді:

варіаційного ряду;

статистичного ряду частот;

статистичного ряду відносних частот.

2. Побудувати полігон, гістограму та кумуляту для вибірки, поданої у вигляді

таблиці частот. 3. Обчислити числові характеристики варіаційного ряду розподілу:

середнє арифметичне значення;

моду;

медіану;

дисперсію;

середнє квадратичне відхилення;

коефіцієнт варіації.

4. Пояснити зміст обчислених числових характеристик.

Вибірка 1.

2 4 2 4 3 3 3 2 0 6 1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 3 3 1 1

2 3 1 4 3 1 7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5 3 6 4 1 3 2 4 1

3 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3

Вибірка 2.

3 7 4 6 1 4 2 4 6 5 3 2 9 0 5 6 7 7 3 1 5 5 4 2 6 2 1 5 3 3 1 5 6 4

4 3 4 1 5 5 3 4 3 7 4 5 6 7 5 2 4 6 6 7 7 3 5 4 4 3 5 5 7 6 6 1

47

Вибірка 3.

8 4 4 7 5 5 5 3 10 2 3 6 7 6 10 6 7 7 6 10 7 6 8 10 7 7 9 1 3 4 7 4

4 5 4 9 6 5 9 5 6 5 6 4 7 2 5 7 6 7 3 8 8 7 4 7 5 7 6 6 5 6 6 6 12

5 11 8 1 10 10 9 1 4 5 6 8 4 10 8

Вибірка 4.

2 1 2 3 1 1 0 2 2 4 3 3 0 3 0 3 2 3 1 2 2 3 0 2 3 0 2 3 3 4 4 1 4 0

0 1 2 4 4 3 0 0 0 2 2 3 2 1 0 0 0 3 1 0 1 2 1 2 2 4 3 2 0 0 1 0 3 0

0 3 1 3 4 2 3 3 2 0 4

Вибірка 5.

3 5 6 8 4 5 4 7 2 7 7 3 7 4 4 5 4 4 5 2 4 8 8 4 6 5 6 4 0 4 4 4 9 3

3 2 1 5 2 5 5 3 4 4 7 8 9 11 4 5 2 5 7 6 1 2 5 6 3 1 2 6 7 3 3 2 5

4 8 2 6 5 9 5 5 2 8 1 6 4 6 6 8 7 3 3 7 3

Вибірка 6.

1 0 1 1 1 2 0 2 1 0 0 0 1 0 3 2 1 1 1 0 0 0 1 1 0 2 0 3 1 2 1 3 2 1

0 0 1 0 1 1 0 2 3 1 0 3 1 1 1 2 1 1 0 0 1 1 3 0 2 3 2 1 1 0 4 2 2 1

1 2 0

Вибірка 7.

5 4 4 4 5 0 3 7 2 2 3 0 5 6 3 4 6 1 2 5 3 2 3 6 6 2 3 1 7 2 3 2 2 5

2 0 2 2 6 1 3 6 7 7 2 0 4 6 1 1 6 7 1 3 4 6 6 3 2 1 7 2 5 4 2 3 4 5

6 6 5 3 2

Вибірка 8.

4 8 4 11 7 7 5 8 9 6 7 1 6 5 8 4 7 4 8 4 6 5 7 4 8 7 4 3 2 8 7 5 0

4 7 6 3 5 7 2 6 6 5 8 1 3 8 6 6 8 8 9 6 8 7 5 12 5 3 9 5 7 7 8 3 7

9 6 5 4 4 4 7 7 4 7 5 9 5 9 3 4 4 8 5 1 10 6 1 7 6 8 6 7 9

Вибірка 9.

7 8 4 0 4 6 5 4 3 2 4 8 6 2 2 5 3 6 6 5 5 3 5 6 7 8 9 5 2 5 4 5 6 6

3 6 5 3 4 5 10 3 7 5 3 3 3 7 5 3 4 9 2 1 4 4 4 2 4 3 4 4 5 5 3 7 5

3 2 6 2 4 4 4 0 6 1 3 4 4 5 4 8 3 5 4 11 9 9

Вибірка 10.

2 0 2 6 2 3 5 3 8 3 6 4 5 2 6 6 5 5 8 8 3 5 3 2 4 5 2 1 6 9 7 6 7 4

5 6 5 6 8 3 6 5 5 1 6 7 4 1 5 6 4 7 2 8 8 2 8 2 1 6 5 2 3 6 3 3 5 3

3 7 5 6 6 3 4 6 7 4 6 7 4 6 2 7 7 1 2 3 6 6 3 2 6 4 2 4 8

48

Завдання 5.

Встановити чи існують відмінності між двома вибірками, у рівні

досліджуваної ознаки, використавши відповідні статистичні критерії.

1. Вибірка 1: 4 2 4 3 3 3 2 0 6 1 2 3 2 2 4

Вибірка 2: 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5 3 6 4 1

2. Вибірка 1: 4 6 1 4 2 4 6 5 3 2 9 0 5 7 1

Вибірка 2: 4 4 3 4 1 5 5 3 4 3 7 4 5 6 7

3. Вибірка 1: 4 4 7 5 5 5 3 10 2 3 6 7 6 4 6

Вибірка 2: 4 4 5 4 9 6 5 9 5 6 5 6 4 7 2

4. Вибірка 1: 1 2 3 1 1 0 2 2 4 3 3 0 3 0 1

Вибірка 2: 0 0 1 2 4 4 3 0 0 0 2 2 3 2 1

5. Вибірка 1: 5 6 8 4 5 4 7 2 7 7 3 7 4 4 2

Вибірка 2: 3 3 2 1 5 2 5 5 3 4 4 7 8 9 11

6. Вибірка 1: 0 1 1 1 2 0 2 1 0 0 0 1 0 3 1

Вибірка 2: 1 0 0 1 0 1 1 0 2 3 1 0 3 1 1

7. Вибірка 1: 4 4 4 5 0 3 7 2 2 3 0 5 6 3 6

Вибірка 2: 5 2 0 2 2 6 1 3 6 7 7 2 0 4 6

8. Вибірка 1: 8 4 11 7 7 5 8 9 6 7 1 6 5 4 7

Вибірка 2: 4 7 6 3 5 7 2 6 6 5 8 1 3 8 6

9. Вибірка 1: 8 4 0 4 6 5 4 3 2 4 8 6 2 2 5

Вибірка 2: 6 3 6 5 3 4 5 10 3 7 5 3 3 3 7

10. Вибірка 1: 2 0 2 6 2 3 5 3 8 3 6 4 5 2 6

Вибірка 2: 1 6 9 7 6 7 4 5 6 5 6 8 3 6 5

49

Завдання 6.

Визначити тісноту взаємозв’язку між альтернативними ознаками,

застосувавши коефіцієнт конгингенції та перевірити істотність даного

зв’язку.

1.

В не В

А 20 5 25

не А 25 50 75

45 55 100

2.

В не В

А 10 13 23

не А 37 40 77

47 53 100

3. В не В

А 15 35 50

не А 35 15 50

50 50 100

4.

В не В

А 18 22 40

не А 52 8 60

70 30 100

5.

В не В

А 14 16 30

не А 25 45 70

39 61 100

6.

В не В

А 38 10 48

не А 22 30 52

60 40 100

50

7.

В не В

А 43 17 60

не А 15 25 40

58 32 100

8.

В не В

А 17 23 40

не А 33 27 60

50 50 100

9.

В не В

А 61 9 70

не А 11 19 30

72 28 100

10.

В не В

А 14 28 42

не А 16 42 58

30 70 100

Завдання 7.

1). Побудувати математичну модель задачі лінійного програмування.

2). Звести дану задачу до канонічного вигляду.

Два вироби 1B і 2B обробляються послідовно на трьох верстатах. Кожен виріб

типу 1B потребує 1 год. для обробки на I-му верстаті, 2 год. – на II-му і A год. –

на III-му. Кожен виріб типу 2B потребує для обробки 2 год., A год. і 3 год.

відповідно на I-му, II-му і III-му верстатах. Час роботи на I-му верстаті не

повинен перевищувати N10 год., на II-му – N15 год., на III-му – 50 год. Скласти

план виробництва при максимальному прибутку, якщо відомо, що продаж

одного виробу типу 1B приносить прибуток 5 грн., а типу 2B – 3 грн.

Примітка: N – порядковий номер студента у групі, NA .

51

Завдання 8.

Розв’язати задачу лінійного програмування графічним методом.

1. max23 21 xxZ

0,0

55

21

21

xx

xx

2. max46 21 xxZ

0,0

1234

1553

21

21

21

xx

xx

xx

3. max42 21 xxZ

0,0

62

21

21

xx

xx

4. max5,25,1 21 xxZ

0,0

2

33

21

21

21

xx

xx

xx

5. max23 21 xxZ

0,0

52

42

21

21

21

xx

xx

xx

6. max21 xxZ

0,0

1234

1243

21

21

21

xx

xx

xx

52

7. max35 21 xxZ

0,0

1025

1553

21

21

21

xx

xx

xx

8. max2 21 xxZ

0,0

4

164

21

1

21

xx

x

xx

9. max21 xxZ

0,0

63

63

21

21

21

xx

xx

xx

10. max2 21 xxZ

0,0

2

22

21

21

21

xx

xx

xx

Завдання 9.

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом повного виключення змінних

(метод Гаусса) з використанням розрахункових таблиць.

1.

12

2223

22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

2.

643

12

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

3.

253

342

1342

321

321

321

xxx

xxx

xxx

53

4.

644

04

3223

321

321

321

xxx

xxx

xxx

5.

132

374

22

421

431

4321

xxx

xxx

xxxx

6.

132

12

12

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

7.

4432

532

1523

321

321

321

xxx

xxx

xxx

8.

3434

532

2324

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

9.

3453

13

22

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

10.

36475

5347

24253

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Завдання 10.

1). Розв’язати симплекс-методом задачу лінійного програмування, яка

представлена у завданні 2.

2). Побудувати двоїсту задачу до заданої задачі лінійного програмування.

3). Знайти розв’язок двоїстої задачі та дати економічну інтерпретацію

отриманого розв’язку.

54

Завдання 11.

Розв’язати транспортну задачу методом потенціалів.

1.

2.

3.

4.

Пункти

відправлення

Пункти призначення

Запаси 1B 2B 3B 4B

1A 4 1 2 3 6

2A 2 3 1 5 4

3A 5 3 2 4 8

Потреби 5 7 2 4

Пункти




1A 3 2 5 1 10

2A 4 1 3 2 7

3A 1 2 4 3 9


Пункти




1A 4 3 1 2 6

2A 2 4 3 1 3

3A 1 4 3 2 8


Пункти




1A 2 5 4 3 6

2A 1 4 2 3 3

3A 3 3 4 1 10


55

5.

6.

7.

8.

Пункти




1A 3 4 2 1 5

2A 2 5 1 4 10

3A 2 2 3 4 7


Пункти

відправлення Пункти призначення


1A 2 3 5 6 7

2A 1 3 1 6 4

3A 2 3 1 5 9


Пункти




1A 2 4 1 5 6

2A 3 4 2 1 3

3A 3 2 1 5 7


Пункти




1A 2 4 1 5 4

2A 2 3 4 1 5

3A 2 2 1 5 3


56

9.

10.

.

Пункти




1A 5 3 4 2 10

2A 4 2 6 1 7

3A 1 4 3 3 13


Пункти




1A 4 1 2 3 6

2A 2 3 1 5 4

3A 5 5 2 4 8


57

8. МЕТОДИ НАВЧАННЯ

Для активізації процесу навчання студентів в ході вивчення дисципліни

застосовуються такі навчальні технології та засоби:

на лекціях чітко та зрозуміло структурується матеріал;

зосереджується увага студентів на проблемних питаннях; наводяться конкретні

приклади практичного застосування отриманих знань; звертаються до

зарубіжного досвіду вирішення окремих проблем; заохочуються слухачі до

критичного сприймання нового матеріалу замість пасивного конспектування;

використовуються наочні матеріали, схеми, таблиці, графіки; використовуються

технічні засоби навчання: мультимедійний проектор, слайди тощо;

на практичних заняттях запроваджуються різні навчальні

технології: обговорення проблем, дискусії; розв’язання практичних задач;

презентації; аналіз конкретної ситуації; робота в малих групах; банки

візуального супроводження; письмовий контроль знань; індивідуальне та

групове опитування; перехресна перевірка завдань з наступною аргументацією

виставленої оцінки тощо.

Обов’язковими елементами активізації навчальної роботи студентів є

чіткий контроль відвідування студентами занять, заохочення навчальної

активності, справедлива диференціація оцінок.

58

9. МЕТОДИ КОНТРОЛЮ

Контроль і оцінювання знань, вмінь та навичок студентів складається з

двох етапів:

- поточного контролю роботи студентів;

- підсумкового контролю (залік, іспит).

Поточний контроль здійснюється в процесі вивчення дисципліни на

практичних заняттях і проводиться у терміни, які визначаються календарним

планом.

Завданням поточного контролю є перевірка розуміння та засвоєння

теоретичного матеріалу, вироблення навичок проведення розрахункових робіт,

умінь самостійно опрацьовувати тексти, здатності осмислити зміст теми, умінь

публічно чи письмово представити певний матеріал (презентація).

Об’єктами поточного контролю знань студентів є:

систематичність, активність, своєчасність та результативність

роботи над вивченням програмного матеріалу дисципліни, у т.ч. виконання

домашніх завдань та розв’язання задач;

виконання завдань для самостійного опрацювання;

виконання модульного завдання.

Поточний контроль знань, вмінь та навичок студентів передбачає

застосування таких видів:

тестові завдання;

конкретна практична задача;

обговорення проблеми, дискусія;

аналіз конкретних ситуацій (поданих у вигляді усного, текстового

або графічного матеріалу);

презентації результатів роботи;

інші.

Об’єктом підсумкового контролю знань студентів у формі заліку та

іспиту є виконання усних та письмових завдань.

На залік та іспит виносяться теоретичні питання та практичні задачі,

завдання, що потребують творчого підходу та вміння синтезувати отримані

знання.

Результати заліку та іспиту студентів заочної форми навчання оцінюються

в діапазоні від 0 до 50 балів.

59

10. РОЗПОДІЛ БАЛІВ, ЯКІ ОТРИМУЮТЬ СТУДЕНТИ

Поточне тестування,

самостійна та контрольна

робота

Підсумковий тест Сума

50 50 100

Шкала оцінювання: національна та ECTS

90-100 балів – відмінно (А);

82-89 балів – добре (В);

75-81 балів – добре (С);

68-74 балів – задовільно (D);

60-67 балів – задовільно (E);

35-59 балів – незадовільно з можливістю повторного складання (FX);

1-34 балів – незадовільно з обов’язковим повторним курсом (F).

11. Методичне забезпечення: навчально-методичний комплекс вивчення

дисципліни (робоча програма навчальної дисципліни, програма навчальної

дисципліни, курс лекцій, ілюстративні матеріали).

60

12. ОРІЄНТОВНИЙ ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ ДО ПІДСУМКОВОГО

КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ

1. Поняття множини. Дії над множинами.

2. Поняття функції. Способи задання функції. Графік функції.

3. Класифікація функцій: обмежені, монотонні, періодичні, парні та

непарні.

4. Поняття складеної функції.

5. Поняття оберненої функції.

6. Основні елементарні функції та їх графіки.

7. Поняття числової послідовності. Границя числової послідовності. Збіжні

та розбіжні послідовності.

8. Поняття підпослідовності.

9. Монотонна послідовність. Число e .

10. Поняття часткової границі послідовності. Нижня і верхня границі

послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності.

11. Поняття границі функції. Критерій існування границі. Властивості

границь.

12. Границя монотонної функції. Перша чудова границя.

13. Нескінченно малі функції. Нескінченна границя і нескінченно великі

функції.

14. Поняття неперервної функції. Критерій неперервності. Арифметичні дії

над неперервними функціями.

15. Неперервність складеної функції.

16. Одностороння неперервність. Точки розриву функції та їх класифікація.

17. Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність.

18. Обернена функція та її неперервність.

19. Загальна степенева, показникова і логарифмічна функції та їх

неперервність. Друга чудова границя.

20. Поняття матриці. Елементи матриці. Вимірність матриці.

21. Дії над матрицями: множення матриці на число, додавання, віднімання

та множення матриць.

22. Поняття визначника матриці. Властивості визначників.

23. Обчислення визначників другого, третього та вищих порядків.

24. Ранг матриці. Обернена матриця.

25. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

26. Метод Гаусса послідовного виключення змінних.

27. Правило Крамера.

28. Розв’язування системи лінійних рівнянь матричним методом.

29. Поняття та властивості квадратичних форм.

30. Додатньо визначена квадратична форма.

31. Декартові координати на площині.

32. Пряма. Поділ відрізка в даному співвідношенні.

33. Відстань між точками. Коло.

61

34. Полярні координати.

35. Декартові координати в просторі.

36. Типи кривих другого порядку та їх властивості.

37. Еліпс, гіпербола, парабола та їх побудова.

38. Зведення загальних рівнянь кривих другого порядку до канонічного

вигляду.

39. Класифікація кривих другого порядку.

40. Поняття вектора. Дії над векторами додавання векторів та множення

вектора на число. Координати вектора.

41. Скалярний добуток векторів.

42. Векторний добуток векторів.

43. Мішаний добуток векторів.

44. Рівняння прямої на площині.

45. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

46. Рівняння прямої у відрізках на осях.

47. Загальне рівняння прямої.

48. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.

49. Кут між прямими.

50. Відстань від заданої точки до прямої.

51. Відстань між двома точками.

52. Рівняння прямої, яка проходить через дві точки.

53. Рівняння прямої, яка проходить через задану точку паралельно або

перпендикулярно до заданого вектора.

54. Загальне рівняння площини. Дослідження загального рівняння площини.

55. Рівняння площини, що проходить через три точки.

56. Відстань від точки до площини.

57. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин.

58. Кут між площинами.

59. Рівняння прямої у просторі.

60. Пряма та площина у просторі.

61. Відстань від точки до прямої.

62. Взаємне розміщення двох прямих.

63. Відстань між двома прямими.

64. Різні типи поверхонь другого порядку.

65. Перетворення загального рівняння поверхні.

66. Класифікація поверхонь другого порядку.

67. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку.

68. Задачі, які приводять до поняття похідної.

69. Означення похідної, її геометричний та механічний зміст.

70. Основні правила диференціювання функцій.

71. Похідна складеної функції.

72. Похідна оберненої функції.

73. Похідні елементарних функцій.

62

74. Похідна функції, заданої параметрично.

75. Похідні вищих порядків.

76. Застосування похідної для дослідження функції: знаходження

найбільшого та найменшого значення функції на вказаному відрізку,

інтервалів монотонності (спадання та зростання), екстремумів функції,

інтервалів опуклості та точок перегину.

77. Поняття диференціала функції.

78. Правила обчислення диференціала.

79. Диференціали вищих порядків.

80. Застосування диференціалів до наближених обчислень.

81. Основні теореми диференціального числення. Теорема Ферма, Ролля,

Лагранжа, Коші.

82. Формула Тейлора. Розклад функції за формулою Тейлора.

83. Розкриття невизначеності ;0

0 ;

;0 ; ;1 ;0 00 . Правила

Лопіталя.

84. Асимптоти. Повне дослідження функції та побудова графіка.

85. Поняття первісної.

86. Поняття невизначеного інтеграла та його властивості. Таблиця основних

інтегралів.

87. Основні методи інтегрування функцій: метод розкладу, метод заміни

змінної, метод інтегрування частинами.

88. Інтегрування раціональних функцій.

89. Інтегрування ірраціональних функцій.

90. Інтегрування тригонометричних функцій.

91. Площа криволінійної трапеції.

92. Поняття визначеного інтеграла та необхідна умова його існування.

93. Властивості визначеного інтеграла.

94. Існування первісної. Формула Ньютона-Лейбніца.

95. Методи обчислення визначеного інтеграла: формули заміни змінної та

інтегрування частинами.

96. Наближені обчислення визначених інтегралів.

97. Геометричне застосування визначеного інтеграла. Обчислення площі

плоскої фігури.

98. Застосування визначеного інтеграла в економіці.

99. Поняття невласного інтеграла та його обчислення.

100. Поняття інтеграла Стілтьєса та його властивості.

101. Поняття функції багатьох змінних та способи її задання.

102. Графічне зображення функції двох змінних.

103. Область визначення функції двох змінних.

104. Області неперервності, точки розриву.

105. Границя функції багатьох змінних. Неперервність функції багатьох

змінних.

63

106. Неперервність складеної функції багатьох змінних.

107. Властивості неперервної функції багатьох змінних. Рівномірна

неперервність.

108. Частинні похідні функції багатьох змінних.

109. Повний диференціал функції багатьох змінних.

110. Диференціювання складеної функції.

111. Похідна за напрямом. Градієнт.

112. Формула Тейлора для функції багатьох змінних.

113. Поняття екстремуму функції багатьох змінних.

114. Необхідні та достатні умови існування екстремуму. Знаходження

екстремуму функції багатьох змінних.

115. Поняття умовного екстремуму. Знаходження умовного екстремуму

функції багатьох змінних методом Лагранжа.

116. Метод найменших квадратів.

117. Поняття числового ряду та його збіжність.

118. Геометрична прогресія та гармонійний ряд.

119. Найпростіші властивості збіжних рядів. Необхідна ознака збіжності

ряду.

120. Достатні ознаки збіжності додатних рядів.

121. Абсолютно та умовно збіжні ряди та їх властивості.

122. Поняття функціонального ряду.

123. Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів. Ознака

Вейєрштрасса.

124. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів та

послідовностей.

125. Поняття степеневого ряду. Інтервал і радіус збіжності степеневого

ряду.

126. Ряд Тейлора.

127. Розкладання елементарних функцій у степеневі ряди.

128. Наближені обчислення за допомогою рядів.

129. Поняття диференціального рівняння.. Задача Коші.

130. Теорема існування та єдиності розв’язку диференціального рівняння.

Інтегральна крива.

131. Наближені методи розв’язання диференціальних рівнянь.

132. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

133. Лінійні та однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

Рівняння Бернуллі.

134. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

135. Предмет та основні поняття теорії ймовірностей.

136. Простір елементарних подій. Випадкові події та операції над ними.

137. Статистичне означення ймовірності. Властивість стійкості частот.

138. Випадкові події. Властивості операцій над подіями.

139. Класичне означення ймовірності. Властивості ймовірності.

64

140. Елементи комбінаторики.

141. Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність події.

142. Умовна ймовірність події. Теорема множення для довільних подій.

143. Формула повної ймовірності та формули Байєса.

144. Послідовні незалежні випробування. Схема Бернуллі.

145. Найімовірніше число успіхів у схемі Бернуллі.

146. Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові

величини.

147. Закон розподілу випадкової величини та форми його задання.

148. Функція розподілу та її властивості.

149. Щільність розподілу та його властивості. Крива розподілу.

150. Числові характеристики випадкових величин. Математичне

сподівання та його властивості.

151. Числові характеристики випадкових величин. Дисперсія та її

властивості.

152. Числові характеристики випадкових величин. Середнє квадратичне

відхилення.

153. Числові характеристики випадкових величин. Поняття про моду та

медіану.

154. Основні закони розподілу дискретної випадкової величини.

155. Основні закони розподілу неперервної випадкової величини.

156. Основні закони розподілу дискретної випадкової величини.

157. Нормальний закон розподілу.

158. Числові характеристики двовимірних випадкових величин.

Коефіцієнт кореляції та його властивості.

159. Закон великих чисел.

160. Предмет та завдання математичної статистики.

161. Основні категорії математичної статистики.

162. Генеральна сукупність. Вибіркова сукупність.

163. Повторна і безповторна вибірки. Репрезентативна вибірка.

164. Способи формування вибіркових сукупностей.

165. Поняття про статистичні гіпотези. Нульова та альтернативна

гіпотези.

166. Перевірка статистичних гіпотез. Рівень статистичної значущості.

167. Статистичні критерії та їх види.

168. Параметричні та непараметричні критерії.

169. Поняття про ряди розподілу та їх види.

170. Основні способи графічного зображення рядів розподілу: огіва,

гістограма, кумулята.

171. Числові характеристики вибірки. Середнє арифметичне значення.

172. Числові характеристики вибірки. Дисперсія.

173. Числові характеристики вибірки. Середнє квадратичне відхилення.

174. Числові характеристики вибірки. Мода та медіана.

65

175. Соціально-економічні системи та математичні методи їх

дослідження.

176. Основні етапи математичного моделювання.

177. Постановка загальної задачі математичного програмування.

178. Критерій оптимальності, цільова функція, система обмежень.

179. Класифікація задач математичного програмування.

180. Постановка загальної задачі лінійного програмування.

181. Стандартна і канонічна задачі лінійного програмування.

182. Допустимий, опорний і оптимальний плани задачі.

183. Зведення задачі лінійного програмування до канонічного вигляду.

184. Типові задачі лінійного програмування.

185. Графічне зображення області допустимих розв’язків, що

визначається системою обмежень, заданою у вигляді нерівностей з двома

змінними.

186. Графічне зображення цільової функції.

187. Метод послідовного виключення змінних (метод Гаусса)

розв’язування системи лінійних рівнянь.

188. Метод повного виключення змінних (метод Гаусса) розв’язування

системи лінійних рівнянь.

189. Базисні та вільні змінні. Базисний розв’язок.

190. Вибір початкового опорного плану. Покращення опорного плану.

191. Критерій оптимальності опорного плану.

192. Симплекс-метод з природним базисом.

193. Симплекс-метод зі штучним базисом (М-метод).

194. Двоїста задача до заданої задачі лінійного програмування.

195. Економічна інтерпретація пари двоїстих задач.

196. Основні теореми двоїстості.

197. Економічне та математичне формулювання транспортної задачі.

198. Умови існування розв’язків транспортної задачі.

199. Методи побудови початкового опорного плану розв’язування

транспортної задачі: метод північно-західного кута і метод найменших

вартостей.

200. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі. Економічний

зміст потенціалів.

201. Покращення опорного плану за допомогою циклу перерозподілу.

202. Задачі цілочислового програмування: задача про призначення,

задача про комівояжера. Метод Гоморрі.

203. Графічне розв’язування задач нелінійного програмування.

204. Метод оптимізації Лагранжа розв’язування задач нелінійного


205. Градієнтний метод.

206. Концепція методу динамічного програмування.

66

13. РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

Базова

1. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навч. посібник.− К.:

КНЕУ, 2001.

2. Валєєв К. Г., Джаладова І. А. Вища математика: Навч.-метод. посібник

для самост. вивч. дисц. − К.: КНЕУ, 1999.

3. Вітлінський В. В., Наконечний С. І., Терещенко Т. О. Математичне

програмування: Навч.-метод. посіб. для самост. вивч. дисц. – К.: КНЕУ,

2001.

4. Гмурман В. Е. Терия вероятностей и математическая статистика. Учеб.

пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2006. – 479 с.

5. Горкавий В. К., Ярова В. В. Математична статистика: Навчальний

посібник. – К.: ВД “Професіонал”, 2007. – 384 с.

6. Грисенко М.В. Математика для економістів: Методи й моделі, приклади й

задачі: Навч. посібник.− К.: Либідь, 2007.− 720 с.

7. Кабак Л. Ф., Суворовский А. А. Математическое программирование. – К.:

ИМКВО, 2002.

8. Кулян В. Р., Юнькова Е. А., Жильцов А. Б. Математическое

программирование (с елементами информационных технологий) . – К.:

МАУП, 2000.

9. Кутковецький В. Я. Дослідження операцій: Навч. посіб. – К: Вид-во ТОВ

“Видавн. дім” Професіонал”, 2004.

10. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие

для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармани, Д. М. Дайтбелов и др.; Под ред.

В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000.

11. Рудин У. Основы математического анализа. 3-е изд. – Спб.; Издательство

Лань, 2002. – 320 с.

12. Соколенко О. І. Вища математика: Підручник.− К.: Видавничий центр

“Академія”, 2002.

Додаткова:

1. Горбань С. Ф., Снижко Н. В. Теория вероятностей и математическая

статистика: Учеб. пособие. – К.: МАУП, 2002. – 168 с.

2. Іванюта І. Д., РибалкаВ. І., Рудоміно-Дусятська І. А. Елементи теорії

ймовірностей та математичної статистики. – К.: Слово, 2003. – 272 с.

3. Жлуктечко В. І., Наконечний С. І., Савіна С. С. Теорія ймовірностей і

математична статистика: Навч.-метод. посібник: У 2-х ч. – Ч. II.

Математична статистика. – К.: КНЕУ, 2009. – 336 с.

4. Донченко В., Сидоров М., Шарапов М. Теорія ймовірностей і математична

статистика: 2009

Інформаційні ресурси

1. http://6years.net/index.php?do=static&page=Matematika_Statistika – вільний

доступ до книг з математичної статистики.

2. http://www.statsoft.ru/home/textbook/ - електронний підручник з статистики

StatSoft.

67

ЗМІСТ

1. Опис навчальної дисципліни 3

2. Мета та завдання навчальної дисципліни 4

3. Програма навчальної дисципліни 7

4. Структура навчальної дисципліни

17

5. Теми семінарських занять 20

6. Самостійна робота

26

7. Індивідуальні навчально-дослідні завдання 34

8. Методи навчання 57

9. Методи контролю

10. Розподіл балів, які отримують студенти

11. Методичне забезпечення

58

59

59

12. Орієнтовний перелік питань до підсумкового

контролю знань

60

13. Рекомендована література 66

68

Навчально-методичне видання

Савчук Марина Володимирівна

Робоча програма навчальної дисципліни

«Вища та прикладна математика»

Відповідальний за випуск М.М. Руженський

Комп’ютерний набір М.В. Савчук

Підписано до друку ___________ Формат 60×84/16. Папір офсетний.

Друк ротаційний трафаретний. Ум. друк. арк. 2.4 .

Тираж ____ прим. Зам. № _____

Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи

до державного реєстру видавців, виготовників і розповсюджувачів видавничої

продукції. Серія ДК №1805 від 25.05.2004.

Інститут підготовки кадрів

державної служби зайнятості України (ІПК ДСЗУ)

03038, Київ – 38, вул. Нововокзальна 17.

Тел./факс (044) 536-14-85

ФПНЗЕ 1 ВИЩА ТА ПРИКЛАДНА...

Documents