第 1 章 离散时间信号与系统
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第 1 章 离散时间信号与系统. 离散时间信号 序列的表示 序列的产生 常用序列 序列的基本运算 系统分类 线性系统 移不变系统 因果系统 稳定系统 常系数线性差分方程 连续时间信号的抽样. 离散信号 ( 序列 ) 的表示. x [ k ]={1, 1, 2, -1, 1; k =-1,0,1,2,3}. 离散序列的产生. 对连续信号抽样 x [ k ]= x ( kT ) 信号本身是离散的 计算机产生 注意 : 离散信号 : 时间上都量化的信号 数字信号 : 时间和幅度上都量化的信号. 1 .单位脉冲序列. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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第第 11 章 离散时间信号与系统章 离散时间信号与系统 离散时间信号离散时间信号
序列的表示 序列的产生 常用序列 序列的基本运算
系统分类 线性系统 移不变系统 因果系统 稳定系统
常系数线性差分方程常系数线性差分方程 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样
22
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
k
1
2
1
-1
-1 0 12
3
x[k]
1
}1,1,2,1,1{][
kx
离散信号 ( 序列 ) 的表示
33
对连续信号抽样 x[k]=x(kT) 信号本身是离散的 计算机产生
注意: 离散信号 : 时间上都量化的信号 数字信号 : 时间和幅度上都量化的信号
离散序列的产生
44
1 .单位脉冲序列
00
0 1][
k
kk定义:
2. 单位阶跃序列
00
0 1][
k
kku定义:
3 .矩形序列
otherwise0
10 1][
NkkR N
常用序列
55
4 .指数序列Z kakx k ,][
有界序列: kZ |x [k]| Mx 。 Mx 是与 k 无关的常数
aku[k] : 右指数序列 , |a| 1 序列有界
aku[k] : 左指数序列 , |a| 1 序列有界
5 .虚指数序列 ( 单频序列 )
tjetx )( 角频率为的模拟信号
kjTkjkTt eetxkx )(][
数字信号角频率 =T
66
虚指数序列 x [k]=exp( jk) 是否为周期的 ?
如是周期序列其周期为多少?
即为有理数时,信号才是周期的。
如果 m L , L, m 是不可约的整数,则信号的周期为 L 。
77
6 .正弦型序列
2/)(cos][ kjkj eekkx
例 试确定余弦序列 x[k] = cos0k 当 (a)0=0 (b)0=0.1 (c)0=0.2 (d)0=0.8 (e)0=0.9 (f)0= 的的的的的的的解:(a)0 2 的 N=1 。(b)0 2 的 N=20 。(c)0 2 的 N=10 。(d)0 2 的 N=5 。(e)0 2N=20 。(f)0 2N=2 。
88
0 1 0 2 0 3 0 4 0
-1
0
1
x[k] = cos0
k ,0=0.2
0 1 0 2 0 3 0 4 0-1
0
1
x[k] = cos0 k ,0=0.8 0 1 0 2 0 3 0 4 0
-1
0
1
x[k] = cos0 k ,0=
0 1 0 2 0 3 0 4 0
-1
0
1
x[k] = cos0 k ,0=0
99
当 0 从增加到 2 时,余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。
Z nkkn 00 cos)2(cos
即两个余弦序列的角频率相差 2 的整数倍时,
所表示的是同一个序列。
cos[(20 )k]= cos(0 k)
0 的附近的余弦序列是 高频信号。0 的 2 附近的余弦序列是 低频信号。
1010
1111
][][][ nkhnxkyn
序列的基本运算
• 翻转 (time reversal) x[k]x[-k]
• 位移 ( 延迟 ) x[k] x[k-N]
• 抽取 (decimation) x[k] x[Mk]
• 内插 (interpolation)
• 卷积
1212
例:已知 x1[k] x2[k]= y[k] ,试求 y1[k]= x1[kn] x2[km] 。
结论: y1[k]= y[km+n)]
例: x[k] 非零范围为 N1 k N2 , h[k] 的非零范围为 N3 k N4 求: y[k]=x[k] h[k] 的非零范围。
结论: N1N3 k N4N2
1313
实序列的偶部和奇部
序列的单位脉冲序列表示
)()()( mnmxnxm
)()()( nxnxnx oe
)]()([2
1)( nxnxnxe
)]()([2
1)( nxnxnxo
1414
]}[{]}[{]}[][{ 2121 kxbTkxaTkbxkaxT
系统分类 线性 (Linearity)
注意: 齐次性 叠加性
1515
例 : 设一系统的输入输出关系为 y[k]=x2[k]
试判断系统是否为线性?解:输入信号 x [k] 产生的输出信号 T{x [k]} 为
T{x [k]}=x2[k]
输入信号 ax [k] 产生的输出信号 T{ax [k]} 为 T{ax [k]}= a2x2[k]
除了 a=0,1 情况, T{ax [k]} aT{x [k]} 。故系统不满足线性系统的的定义,所以系统是非线性系统。
1616
例 y(n) = T[x(n)]=5x(n)+3 所表示的系统不是线性系统。
计算 T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3 ,而 ay1(n)+by2(n) = 5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
1717
时时不变 (Time-Invatiance) 定义:如 T{x [k]}=y[k] ,则 T{x [k-n]}=y[k-n] 线性时不变系统简称为: LTI 在 n 表示离散时间的情况下,“非移变”特性
就是“非时变”特性。
例 证明 y(n) = T[x(n)] = nx(n) 不是非移变系统。
计算 T[x(n-k)]=nx(n-k) ,而 y(n-k)=(n-k)x(n-k) 。
1818
解:输入信号 x[k] 产生的输出信号 y[k] 为 y[k]=T{ x[k]}= x[Mk]
输入信号 x[kn] 产生的输出信号 T{x[kn]} 为 T{x[kn]}= x[Mkn]
由于 x[Mkn] y[kn]故系统是时变的。
例 : 已知抽取器的输入和输出关系为 y[k]=x[Mk]
试判断系统是否为时不变的?
1919
2 3 4 51
2
64
k
0
][1 kx
-1
1
35
]2[][ 11 kxky
2 3 4 51
k0- 1
1
3
5
]1[][ 12 kxkx
2 3 4 51
2
6
4
k
0-1
1
3
5
]2[][ 22 kxky
2 3 4 51
2
64
k
0- 1
]2[][ 13 kxkx
2 3 4 51
2
6
4
k0-1
1
3
5
]2[][ 33 kxky 2 3 41
k0- 1
1
3
5
抽取器时变特性的图示说明
2020
定义: ]}[{][ kTkh
例:累加器 :][][ nxky
k
n
][][ kukh
单位脉冲响应( Impulse response )
2121
}][][{]}[{ n
nknxTkxT
}][{][ n
nkTnx
n
nkhnx ][][
][*][ khkx
][][][ khkxky
LTI 系统对任意输入的响应
2222
当任意输入 x(n) 用前式表示时,则系统输出为
因为系统是线性非移变的,所以
通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“ *” 表示:
2323
离散卷积满足以下运算规律:(1) 交换律
2424
(2) 结合律
2525
(3) 分配律
2626
离散卷积的计算离散卷积的计算
2727
计算卷积的步骤如下: (1) 折叠:先在哑变量坐标轴 k 上画出 x(k) 和 h(k) ,将 h(k) 以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k) 。 (2) 移位:将 h(-k) 移位 n ,得 h(n-k) 。当 n 为正数时,右移 n ;当 n 为负数时,左移 n 。 (3) 相乘:将 h(n-k) 和 x(k) 的对应取样值相乘。 (4) 相加:把所有的乘积累加起来,即得 y(n) 。
上图为:
与
的线性卷积。
2828
计算线性卷积时,一般要分几个区间分别加以考虑,下面举例说明。
例 已知 x(n) 和 h(n) 分别为:
和
试求 x(n) 和 h(n) 的线性卷积。解 参看图 2. 15 ,分段考虑如下:
(1) 对于 n<0 :(2) 对于 0≤n≤4 :(3) 对于 n>4 ,且 n-6≤0 ,即 4<n≤6 时:(4) 对于 n>6 ,且 n-6≤4 ,即 6<n≤10 时:(5) 对于 (n-6)>4 ,即 n>10 时:
2929
x
3030
综合以上结果, y(n) 可归纳如下:
3131
卷积结果 y(n) 如图 2. 16 所示
3232
因果性因果性 定义定义 定理定理 证明(充分性、必要性)证明(充分性、必要性)
举例举例
3333
稳定性稳定性 定义定义 定理定理 证明(充分性、必要性)证明(充分性、必要性)
举例举例
3434
线性常系数差分方程线性常系数差分方程 用迭代法求解差分方程---求单位抽样用迭代法求解差分方程---求单位抽样
响应响应 差分方程的优点:差分方程的优点: 在一定条件下,可得到系统的输出在一定条件下,可得到系统的输出 可直接得到系统的结构可直接得到系统的结构
举例举例
3535
信号的抽样 连续信号频谱 X(jw) 与抽样信号频谱 X (ej
W ) 的关系 时域抽样定理 抗混叠滤波 信号的重建 连续信号的离散处理
3636
x(t)
t0 T 2T
x[k]
k0 1 2
kTttxkx
)(][
点抽样
A/Dx(t) x[k]=x(kT)
T
抽样间隔 ( 周期 ) T (s)抽样角频率 sam=2/T (rad/s)抽样频率 fsam=1/T (Hz)
)e()j( j XX
抽样过程的两种数学模型
3737
x(t)
t0 T 2T
T(t)
t0 T 2T
xs(t)
t0 T 2T
理想抽样
)()()( ttxtx Ts
)(][ kTtkxk
)()( kTttxk
3838
)]()([)]([ s ttxFtxF T
)]([)]([2
1tFtxF T
)()j(2
1samsam
nX
n
))(j(1
sam nXT n
))(j(1
)j( sams nXT
Xn
连续信号频谱 X(jw) 与理想抽样信号频谱 Xs(jw) 的关系
3939)e( jX
ttxX tss de)()j( j
tkTtkx t
k
de)(][ j
tkTtkx t
k
de)(][ j
kT
k
kx je][ )e( j TX
)/j(s TX
点抽样信号频谱 X(ejW) 与理想抽样信号频谱 Xs(jw) 的关系
4040
)e( jX )e( /js
TX
))(j(1
)j( sams nXT
Xn
)j()j(T
XX T 缩因子 )π2
j(1π2
T
nX
T n
周期化为
n T
nX
TX )
π2j(
1)e( j
连续信号频谱 X(jw) 与点抽样信号频谱 X (ejW ) 的关系
4141
X(j)=0 ||>m
称为 m 为信号的最高 ( 角 ) 频率。 ωm
)j( X
mm 0
带限 (band limit) 信号
4242
例 : 已知某带限信号抽样信号 x(t) 的频谱如图所示, 试分别抽样角频率 sam=2.5m, 2m , 1.6m 抽样时,抽样后离散序列 x[k] 的频谱。
)j( X
mm
1
0
m 5.2sam 解:
π8.05.2
π2
m
mm
T
T
1
)e( jX
0
4343
m 2sam π2
π2
m
mm
T
T
1
)e( jX
0
m 6.1sam π25.16.1
π2
m
mm
T
T
1
0
T
1
0
)e( jX
4444
T
1
)e( jX
0
m 5.2sam
T
1
)e( jX
0
m 2sam
T
1
0
)e( jXm 6.1sam
4545
设 x(t) 是带限实信号,则抽样后信号频谱不混叠的 ( 充分 ) 条件为:
T /m=1/(2fm)
时域抽样定理
fsam 2fm (或 sam 2 m )
抽样频率 fs 满足:
或抽样间隔 T 满足
fsam = 2fm 频谱不混叠最小抽样频率 (Nyquist rate)
T=1/(2fm) 频谱不混叠最大抽样间隔
4646
例:已知 x(t)=Sa(f0t), 试确定频谱不混叠最大抽样间隔T 及抽样后的序列 x[k] 。
解:
f0
X(j)
f
f
所以 sam=2f0 ,即 T=1/f0 。
)e( jX 1
][kx ][k
若信号 x(t) 以 T 为抽样间隔抽样后的序列为 [k] ,则称该信号 Nyquist-T 信号。
在所有的 Nyquist-T 信号中,只有 x(t)=Sa(f0t) 是带限的。
4747
例:已知连续带通信号 x(t) 的频谱如下图所示 , 试分别画出 sam1=0.5m 及 sam2=0.8m 时,抽样后离散序列的频谱。
解:
m0
X(j)
m
1
sam1=0.5m , 1=2/sam1 =4m
sam2=0.8m , 2=2/sam2=2.5m
0
X(ej)
0
X(ej)
1/T
4848
抗混叠滤波
许多实际工程信号不满足带限条件
抗混叠低通滤波器
)(tx )(1 tx
)(th
)j( X
1
0
)j(1 X
mm
1
0
)j( H
mm
1
0
4949
信号的重建
D/Ax[k]
T
)(][)(s
kTtkxtxk
理想 D/A 模型框图
k
0 1 2 3 4
x[k]
t
0 T 2T 3T 4T
xs(t)
理想 D/A 输入和输出
)e()j( js
TXX
5050
)()( jTs eXjX
A/T
)(jeX
mT mT
22
A/T
)( jXs
m m 2sam
2sam
samsam
5151
A/T
)( jX s
m m 2sam
2sam
samsam
其它0
2/)( sam
r
TjH
)/(Sa)( Ttthr
)()()()( thtxtxtx rsr
)/(Sa)}(][{ TtkTtkxk
)/)((Sa][ TkTtkxk
5252
零阶保持 D/A
0 T 2T
xz(t)
t
0 1 2
x[k]
k
理想D/Ax[k]
T
hz(t)xs(t) xz(t)
0 T
1
hz(t)
t
零阶保持 D/A 模型框图
5353
零阶保持 D/A 输出信号的频谱为 Xz(j)= Hz(j) Xs(j) 2/j
z e)2/(Sa)j( TTTH
0 sam sam
|Hz(j)|
|Xs(j)|
|Xz(j)|
m0 sam samsam m
0 m sam m sam sam
(a)
(b)
(c)
5454
离散域进行补偿的 FIR 和 IIR 滤波器
211 16
1
8
9
16
1)( zzzH
12
81
1
89
)(
z
zH
sam0
-4
-3
-2
-1
0
Gai
n, d
B
samsamsamsam
IIR
FIR
20log10(|Hz(j)|)