计算机应用于信号处理的基本条件 ： 1. 连续函数转变为离散数据 (...
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前言：引入 DFT 的原因. 计算机应用于信号处理的基本条件 ： 1. 连续函数转变为离散数据 ( 时域与频域 ) ； 2. 计算范围从无限宽收缩到一个有限区间。 离散傅里叶变换研究内容 ： 1. 如何在频域进行离散化？ 2. 时域上的样本与频域上的样本之间的数学关系是怎样的？. 前言：将采样信号表示为序列. 前言：数字频率. 角频率. 数字频率 ( 归一化频率 ). FT. 表示为序列. DTFT. 例 . 信号频率 f c =10Hz ，采样周期 T=20ms ， 试计算数字频率 解： - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
计算机应用于信号处理的基本条件计算机应用于信号处理的基本条件：：1. 1. 连续函数转变为离散数据连续函数转变为离散数据 (( 时域与频域时域与频域 )) ；；2. 2. 计算范围从无限宽收缩到一个有限区间。计算范围从无限宽收缩到一个有限区间。
离散傅里叶变换研究内容离散傅里叶变换研究内容：：1. 1. 如何在频域进行离散化？如何在频域进行离散化？2. 2. 时域上的样本与频域上的样本之间的数学时域上的样本与频域上的样本之间的数学关系是怎样的？关系是怎样的？
前言：引入前言：引入 DFTDFT 的原因 的原因
*( ) ( ) ( 2) /k
sx t x kT t kT T
是采， 样角频率
前言：将采样信号表示为序列前言：将采样信号表示为序列
前言：数字频率前言：数字频率
FTFT
DTFTDTFT
表示为序列表示为序列
角频率 rad s2 f
数字频率 ( 归一化频率 ) 2 sT f f rad
例 . 信号频率 fc=10Hz ，采样周期 T=20ms ， 试计算数字频率解： 信号角频率 c = 2fc = 20 rad/s
数字频率 c = cT = 20 rad/s 20 ms
= 0.4 rad
第第 99 章 离散傅里叶变换章 离散傅里叶变换
1.1. DFTDFT 的定义的定义2.2. DFTDFT 与与 DTFTDTFT 的关系的关系3.3. DFTDFT 性质性质4.4. DFTDFT 实现线性时不变系统实现线性时不变系统5.5. DFTDFT 实现信号谱分析实现信号谱分析 **
9.1 DFT9.1 DFT 的定义 的定义
( ) ( )j j n
n
X e x n e
首先明确两个概念：首先明确两个概念：1. DTFT1. DTFT ： ： Discrete Time Fourier TransforDiscrete Time Fourier Transfor
mm
离散时间傅里叶变换，又称序列傅里叶变换，离散时间傅里叶变换，又称序列傅里叶变换，反映的是信号的频率特性。定义为：反映的是信号的频率特性。定义为：
2. DFT2. DFT ： ： Discrete Fourier TransformDiscrete Fourier Transform
为适于计算机分析而引入的一种专门运算，为适于计算机分析而引入的一种专门运算，反映了时域离散样本与频域离散样本之间的反映了时域离散样本与频域离散样本之间的关系。关系。
FTFT
DTFTDTFT
DFSDFS
0 t
( )ax t
0 0 0
( )aX j
( )a
0 t
( )px t
0
( )p pX jk
( )b
Tp
0 nT
x nT
N点
( )c
0 nN点
( )d
0
sjkX e
N点
0
jX e
9.1 DFT9.1 DFT 的定义 的定义
FSFS
对于对于 FTFT 、、 FSFS 和和 DTFTDTFT ，至少在一个域，至少在一个域上是连续的，而从数字计算角度，我们感兴趣上是连续的，而从数字计算角度，我们感兴趣的是时域和频域上都是离散的情况。的是时域和频域上都是离散的情况。 DFSDFS 在时在时域和频域上都是离散的，但是周期序列长度为域和频域上都是离散的，但是周期序列长度为无限长。周期序列实际上只有有限个序列值有无限长。周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它的离散傅里叶级数也适用于有限意义，因而它的离散傅里叶级数也适用于有限长序列，这就得到有限长序列的离散傅里叶变长序列，这就得到有限长序列的离散傅里叶变换（换（ DFTDFT ）。 ）。
9.1 DFT9.1 DFT 的定义 的定义
DFS :表达式为 21
0
21
0
( )
1( )
N jk nN
N kk
N jk nN
k Nn
x n a e
a x n eN
2
1
0
1
0
( ) : ( ), : ( ), :
1( ) ( )
( ) ( )
jN
N k N
Nkn
Nk
NknN
n
x n x n Na X k e W
x n X k WN
X k x n W
记
9.1 DFT9.1 DFT 的定义 的定义
9.1 DFT9.1 DFT 的定义 的定义
DFSDFS
DFTDFT
1) 1) DFTDFT 是一个周期上是一个周期上 DFSDFS
有限长序列有限长序列 ( ), 0 1x n n N 有非零值有非零值
( ) (( ))Nx n x n% ( ) ( ) ( )Nx n x n R n%
( ) ( )DFSN
x n X k %%
定义： 离散傅里叶变换定义： 离散傅里叶变换
称之为序列称之为序列 ( )x n 的离散傅里叶变换的离散傅里叶变换 (DFT)(DFT) 。。 取取 ( )X k% 的一个周期记为的一个周期记为 ( )X k ，则有限长序列，则有限长序列 ( )X k
( ) ( ) ( )NX k X k R k %
9.1 DFT9.1 DFT 的定义 的定义
1
0
1
0
( ) ( ) 0,1, 1
1( ) ( ) 0,1, 1
NknN
n
Nkn
Nk
X k x n W k N
x n X k W n NN
L
L
1 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N
kn knN N N N
n n
X k x n W R k x n W R k
%
1 1
0 0
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N Nkn kn
N N N Nk k
x n X k W R n X k W R nN N
%
正变换正变换
反变换反变换
( ) ( )DFTN
x n X k 记为
9.1 DFT9.1 DFT 的定义 的定义
. 1,1, -1, -1 DFT例1 求 的1
0
( ) ( )N
knN
n
X k x n W
解：
2 34 4 4
2 32 2 2
1
1
0, 0
2 2 , 1
0, 2
2 2 , 3
k k k
j k j k j k
W W W
e e e
k
j k
k
j k
. ( ) DFTnNa R n例2 求 的
1
0
( ) ( )N
knN
n
X k x n W
解：
1 1
0 0
1 1
11
N N nn kn kN N
n n
Nk NN
kkNN
a W aW
aW a
aWaW
1
23. 2cos ( )Nk n R n DFT
N
例 求 的
1 11 1
1
2 2
22cos ( )
( ) ( )
N
jk n jk n k n k nN NN N N N
k n R nN
e e R n W W R n
解：
1 1
1 1
1 1
1 1( )
1 1
, -
0
%k kN N
N Nk kk k
N N N N
W WX k
W W W W
N k k N k
，，其它
9.2 DFT9.2 DFT 与与 DTFTDTFT 的关的关系 系
DTFTDTFT
DFTDFT
( )x n ( )X
( )x n ( )X k
对于有限长序列对于有限长序列 xx((nn)) ，其，其 DTFTDTFT 与与 DFTDFT 之间之间的关系如何？ 的关系如何？
9.2 DFT9.2 DFT 与与 DTFTDTFT 的关的关系 系
21
0
1
0
(
( ) (
)
)N j kn
N
n
Nj n j n
n n
x
X k x n e
X x n e x n en
有限长
2 /( ) | k NX k X
2) 2) DFTDFT 所表示的不是序列的频谱，而是对序所表示的不是序列的频谱，而是对序列频谱的一个采样列频谱的一个采样 ! ! 采样间隔为采样间隔为 22/N /N
1
1 0 4
0
1
2 5
3 10
.
,( )
,
. ( )
. ( )
. ( )
例 考虑序列
其它
求的的
nx n
X
N X k
N X k
解： 1 、5 5 5
54 2 2 2
1 1 10 2 2 2
1( )
1
j j jjj j n
jj j jn
e e e eX e e
ee e e
2
5sin( )
21
sin( )2
je
1
2
sin( )21
sin( )2
xx
Nj
N
e
2 245
20 5
5 0 5 101( )
01
j kj kn
j kn
keX k e
otherse
， ， ，L%
显然， ( )X k% 就是 ( )X 在频率 2
5k
处的样本序列。
5 0( ) ( ) ( )
0 1,2,3,4N
kX k X k R k
k
%
2 、 N＝ 5 ，
2
5
( )j
kX e
2 5/ ,k N N
后面补上 5个零点
3 、 N＝ 10 ， ( )x n
2 2 49 410 10 10
0 0
sin( )2( ) ( )
sin( )10
j kn j kn j k
n n
kX k x n e e e
k
2
10
( )j
kX e
( ) 5, 3.24, 0, 1.24, 0, 1, 0, 1.24, 0, 3.24X k
2 10/ ,k N N
XX((kk)) 是对是对 XX(()) 的采样的采样 ! ! 采样间隔为采样间隔为 22//NN ，，当当 NN 越大，越大， XX((kk) ) 越能反映越能反映 XX(()) 的形状。的形状。
9.2 DFT9.2 DFT 与与 DTFTDTFT 的关的关系 系
2 40/ ,k N N
9.3 DFT9.3 DFT 的性质 的性质
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )DFTNax n bx n aX k bX k
1) 1) 线性性质线性性质
9.3 DFT9.3 DFT 的性质 的性质 2) 2) 圆周移位 圆周移位 (( 循环移循环移
位位 ))
左移左移22 位位
7 6 5 4 3 2{ , , , , , }
6 5 4 3 2 7{ , , , , , }
5 4 3 2 7 6{ , , , , , }
9.3 DFT9.3 DFT 的性质 的性质
(( )) ( )kN N
mx n Wm X k
( ) (( ))nN
lNW x n X lk
9.3 DFT9.3 DFT 的性质 的性质
DFS
DFT
x n X k
x n X N k
* *
* *
( ) ( )
( ) ( )
%%
3) 3) 共轭对称共轭对称
当当 ( )x n 为实序列时，为实序列时，( ) ( )x n x n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )N NX k X k R k X N k R k % %
有有
有有 Re ( ) Re ( )X k X N k
Im ( ) Im ( )X k X N k
偶对称偶对称
奇对称奇对称
( ) ( )X k X N k
( ) ( )X k X N k
偶对称偶对称奇对称奇对称
9.3 DFT9.3 DFT 的性质 的性质
9.3 DFT9.3 DFT 的性质 的性质
1
1 2 1 20
( ) ( ) ( ) (( )) ( )
定义循环卷积如下:N
N Nm
x n x n x m x n m R m
#
4)4) 圆周卷积 圆周卷积 (( 循环卷积，周期卷循环卷积，周期卷积积 ))
N
1 2( ) ( )x n x n求 #
1 00 1 2 3x n ( ) { , , , }
2 0 31 1 1( ) { , , } ( )x n R n
sum 0 1 2 3 1 0 1 1 5({ , , , }. { , , , })
sum 0 1 2 3 1 1 0 1 4({ , , , }. { , , , })
4
1 2( ) ( )DFTN
X k X k1( )x n 2 ( )x nN
1 2
1 ( ) ( )DFT
NX k X k
N1 2( ) ( )x n x n N
9.3 DFT9.3 DFT 的性质 的性质
3) 3) 在圆周移位下，在圆周移位下， DFTDFT 的所有性质同的所有性质同 DTFDTFTT
9.3 DFT9.3 DFT 的性质 的性质
5) Parseval5) Parseval 定理定理
1 1
0 0
1( ) *( ) ( ) *( )
N N
n k
x n y n X k Y kN
1 12 2
0 0
1( ) ( )
N N
n k
x n X kN
性质对照表性质对照表1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
ax n bx n
aX bX
*( ) *(- )x n X
( ) ( ) jmx n m X e
00( ) ( - )j ne x n X
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
ax n bx n
aX k bX k
*( ) *( - )x n X N k
(- ) (- )x n X ( - ) ( - )x N n X N k
1. 线性
翻转
3. 共轭
2. 时移 (( )) ( )kN N
mx n Wm X k
( ) (( ))nN
lNW x n X lk
)()()(*)( 2121 XXnxnx4. 卷积 1 2( ) ( )DFT
N X k X k1 2 ( ) ( )x n x nNN
22
2
1( ) ( )
2n
x n X d
5. Parseval 定理 1 12 2
0 0
1( ) ( )
N N
n k
x n X kN
频移
1 2
1 ( ) ( )DFT
N X k X kN
1 2( ) ( )x n x n NN1 2 1 2
1
2( ) ( ) ( )* ( )x n x n X X
9.4 DFT9.4 DFT 实现线性时不变系统实现线性时不变系统
1) 1) 圆周卷积与线性卷积圆周卷积与线性卷积
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6{ , , , , , }. { , , , , , }
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6{ , , , , , }. { , , , , , }
6 66 12. ( ) ( )N R n R n例 求 和 时的 #
0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 31 1{ , , , , , }. { , , , , , , , , , ,, }
0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 11 1{ , , , , , }. { , , , , , , , , , ,, }
0 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 21 1{ , , , , , }. { , , , , , , , , , ,, }
0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 41 1{ , , , , , }. { , , , , , , , , , ,, }
0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 50 1{ , , , , , }. { , , , , , , , , , ,, }
1 2 3 1 1 1 1 61 1 1 1,{ , , }. { , , ,, , , }
3 1( ) ( )x n x n 88 2( )x n
1 2 3 1 1 1 1 61 1 1 1,{ , , }. { , , ,, , , }
1 2 3 1 1 1 1 61 1 1 1,{ , , }. { , , ,, , , }
NN11++NN22-1=10-1=10 点点
1 1 1 1 11 2 0 13 1 0 11{ , , , , ,, , } ,. { , , , }
0 1 1 1 11 2 0 13 1 1 31{ , , , , ,, , } ,. { , , , }
0 0 1 1 1 1 11 2 3 1 1 1 6 { , , }. { , , , , , ,, , , }
3 1( ) ( )x n x n 1010 2( )x n
xx11((nn))
xx22((nn
))
xx11((nn)* )* xx22((nn))
3 1( ) ( )x n x n 88 2( )x n
3 1( ) ( )x n x n 1010 2( )x n
xx22((nn
))xx22((nn))
xx11((mm--nn))xx11((((mm--nn))))1010
NN11 NN22--11
4) 4) 当当 NNNN11+N+N22-1-1 ，在，在 [0,[0,NN-1]-1] 上圆周卷积上圆周卷积与线性卷积相同与线性卷积相同
9.4 DFT9.4 DFT 实现线性时不变系统实现线性时不变系统2) 2) 用用 DFTDFT 求零状态响应求零状态响应 (( 计算线性卷计算线性卷积积 ))
( )x n ：： NN11 ( )h n ：： NN22
( ) ( ) ( )y n x n h n ：： NN1 1 + + NN2 2 - 1- 1
计算计算 NN==NN11 + + NN22 - 1 - 1 点长 点长 DFTDFT ：：
MatlabMatlab 举例举例
LPFLPF ：抗混叠滤波：抗混叠滤波
采样：模数转换采样：模数转换
加窗：加窗：
DFTDFT ：频谱分析：频谱分析
一、频谱分析过程一、频谱分析过程
( )aaH j
( ) ( ) ( )v n x n w n g
混叠失真混叠失真
频谱泄露频谱泄露
栅栏效应栅栏效应
*9.5 *9.5 用用 DFTDFT 实现频谱分析实现频谱分析
0 0
( )cS j
( )aaH j
0 0
( )cX j
( )jX e
0 0 0T
jW e
,jV e
1 2( ) ( )j
cr
X e X j j rT T T
( )1( ) ( ) ( )
2j j jV e X e W e d
21
0
( ) ( )N j kn
n
n
V k v n e
( ) ( ) ( )v n x n w n g
*9.5 *9.5 用用 DFTDFT 实现频谱分析实现频谱分析
二、频谱泄露二、频谱泄露( )1
( ) ( ) ( )2
j j jV e X e W e d
O
( )
O
j j1(e ) (e )X W
......
2
M
4
M
6
M
例： 是一直流信号，例： 是一直流信号，求经矩形窗截断后的频谱。求经矩形窗截断后的频谱。
( ) 1/ 2x n
1( ) ( ) ( )x n x n w n g
( ) ( )jX e
1
2sin( / 2)
( )sin( / 2)
Mjj M
W e e
1( ) ( ) ( ) ( )j j j jX e X e W e W e
*9.5 *9.5 用用 DFTDFT 实现频谱分析实现频谱分析
三、栅栏效应三、栅栏效应 DFTDFT 表示的是对频谱的采样，得到一根根离散的表示的是对频谱的采样，得到一根根离散的谱线，就好像通过一个“栅栏”看信号频谱，因而谱线，就好像通过一个“栅栏”看信号频谱，因而有可能错过一些重要的细节，这就是栅栏效应。有可能错过一些重要的细节，这就是栅栏效应。
( ) cos( ) 0 116
x n n n
例：例：
12( ) ( )w n R n
1. N=121. N=12 ；；2. N=242. N=24 。 求以上两种不同点数的。 求以上两种不同点数的 DFTDFT 。。
*9.5 *9.5 用用 DFTDFT 实现频谱分析实现频谱分析
( ) cos( ) , 126 xv n n N
*9.5 *9.5 用用 DFTDFT 实现频谱分析实现频谱分析
作业：作业：9.2-1 (1)(3)(4), 29.2-1 (1)(3)(4), 29.3-19.3-19.5-1,29.5-1,2*9.7-1*9.7-1(( 用用 MatlabMatlab 产生一个信号，并进行产生一个信号，并进行题中的分析题中的分析 ))