講義 1: 素数と累積和
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講義 1: 素数と累積和. @ kagamiz (Jayson Sho Toma ). 素数とは?. 1 とその数自身以外に約数を持たない数 ただし 1 は 素数ではない なぜか考えてみよう 素数ではない数を 合成数 という. 素数判定. 数 n が素数かどうか判定したい 試し割りをしていく方法 最悪 n に比例する時間がかかる n = 1 の処理に注意 素数の性質を使う方法. 素数判定. 数 n が素数かどうか判定したい 試し割りをしていく方法 素数の性質を使う方法 √ n までの 素数で試し割りを行う - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
講義 1:素数と累積和
@kagamiz (Jayson Sho Toma)
素数とは?
• 1 とその数自身以外に約数を持たない数–ただし 1 は素数ではない–なぜか考えてみよう
• 素数ではない数を合成数という
素数判定
• 数 n が素数かどうか判定したい
• 試し割りをしていく方法– 最悪 n に比例する時間がかかる– n = 1 の処理に注意
• 素数の性質を使う方法
素数判定
• 数 n が素数かどうか判定したい
• 試し割りをしていく方法
• 素数の性質を使う方法– √n までの素数で試し割りを行う–最悪 √ n に比例する時間 ( さっきより速い )–何故これでいいのか?
√n までの試し割り:証明
• n が合成数であれば , 定義より n = a × b
と表せる . いま a ≧ b ⇒ a × b ≧ b × b = b^2.
よって n ≧ b^2, √n ≧ b となり , √n 以下の約数があることが証明された .//
実行時間とプログラムの計算量
• ループの回数が大体 10^8 (1 億 ) で 1 秒
• 10^9 回の処理は約 10 秒程度かかる !
• 10^8 回以下程度の処理を心がけよう–詳しい話は「計算量 オーダー記法」で ググる or 先輩達に聞こう
素数の個数を数える
• 区間 [l, r] の素数の個数を数えよう !
• [l, r] の素数を試し割りで毎回数えると , √l + √(l + 1) + … + √r ≦ (r – l + 1)√r
• [1, 10^6] の素数を試し割りで数えると , 10^9 回くらいの計算に–実際はもっと速いため KCS でもこれで OK
素数の個数を数える
• 効率的に数える方法として , エラトステネスの篩が有名–詳しくは先輩たちに聞く or ググる
• 今回は , 複数の [l, r] のクエリに早く答える
方法を考えていこう .
高速化のアイディア 1 : 前計算
• エラトステネスの篩を用いれば勝手に 前計算がされている .
・試し割りをしている人は , 配列を用意して p が素数だったら 配列の p 番目の 要素を 1 にしよう
高速化のアイディア 2: 累積和
• 刮目せよ!!!• さっき作った配列を…
0 1 1 0 1 0
高速化のアイディア 2: 累積和
• 刮目せよ!!!• さっき作った配列を…
0 1 1 0 1 0
高速化のアイディア 2: 累積和
• 刮目せよ!!!• さっき作った配列を…
• 右に足していく
0 1 1 0 1 0
0 1 2 2 3 3
高速化のアイディア 2: 累積和
1 2 3 4 5 6
• この配列があると何が嬉しいか?–考えてみよう!
0 1 2 2 3 3